Visoka škola: R&B college

Profesor: Nevenka Tomanović

SEMINARKSI RAD

ODREĐENI INTEGRAL

I NJEGOVA PRIMENA

Jelena Kordić

1

S A D R Ž A J

POJAM ODREĐENOG INTEGRALA ....................................................... 2

DEFINICIJA ODREĐENOG INTEGRALA U RIMANOVOM SMISLU .... 3

OSNOVNE OSOBINE ODREĐENIH INTEGRALA ................................... 5

NjUTN – LAJBNICOVA FORMULA ......................................................... 6

PRIMENE ODREĐENOG INTEGRALA ..................................................... 7

Površina ravnih likova ....................................................................... 7

Zapremina obrtnih tela ....................................................................... 10

Površina omotača rotacionog tela ...................................................... 11

Dužina luka krive ................................................................................ 12

2

POJAM ODREĐENOG INTEGRALA

Neka je data funkcija y = f (x) koja je neprekidna na segmentu [a,b] .

Oblast ravni ograničen delom grafika funkcije y = f (x) nad intervalom [a,b],

pravama x=a i x=b i intervalom [a,b] ose Ox, predstavlja krivolinijski trapez

ABCD. Postavlja se zadatak određivanja površine tog krivolinijskog trapeza.

Ako se podeli interval [a,b] proizvoljno na n podintervala tačkama podele

takvih da važi a = < < ...< = b, dobijaju se podintervali

različitih dužina. Dužine tih intervala se označavaju redom sa = - , =

- , ... , = - . Neka su najmanje vrednosti, a

najveće vrednosti funkcije f(x) u podintervalima

Neka se posmatraju sledeće sume:

Suma P naziva se donja integralna suma, a gornja integralna suma. P predstavlja

površinu stepensato upisanog poligona u krivolinijski trapez ABCD, a površinu

1 1 2 2

1

1 1 2 2

1

... ...

...

n

k k n n i i

i

n

k k n n i i

i

P m x m x m x m x m x

P M x M x M x M x M x

3

stepensato opisanog poligona oko krivolinijskog trapeza ABCD. Ako sa P

označimo površinu krivolinijskog trapeza ABCD, tada važi nejednakost:

tj. površina traženog krivolinijskog trapeza nalazi se između površine stepensto

upisanog i stepenasto opisanog poligona za svaku podelu intervala [a,b]. Kada

interval delimo na sve manje podintervale, tj. kada , očekujemo da je

. Ovo tvrđenje je tačno za integrabilne funkcije. Tada se

vrednost P naziva određeni integral na intervalu [a,b] i obeležava sa

.

DEFINICIJA ODREĐENOG INTEGRALA

U RIMANOVOM SMISLU

Skup tačaka P = { } takvih da važi a = < < ...< = b

zove se podela segmenata [ a,b].

a = = b

Definicija: Zbir

gde su tačke [ , ], zove se integralna suma Rimana funkcije f za

podelu P.

4

Definicija: Neka je f : [a,b] R ograničena funkcija. Ako za svaku podelu P

intervala [a,b] i za bilo koji izbor tačaka [ , ] ( k = 1,...,n ) postoji uvek

ista granična vrednost

tada za funkciju f kažemo da je intergrabilna u Rimanovom smislu na segmentu

[ a,b] a broj I zove se određeni integral funkcije f na [ a,b].

Pišemo:

I=

a - donja granica integrala

b - gornja granica integrala

f (x) - podintegralna funkcija (integrand)

x - integraciona promenljiva

[a,b] - interval integracije

Sledeće tvrdnje su tačne:

- Integrabilna funkcija je ograničena (obrnuto ne mora da važi).

- Svaka neprekidna funkcija f :[a,b] R je integrabilna na [a,b].

- Ograničena funkcija je integrabilna na [a,b] ukoliko ima konačan broj

prekida.

Poznavanje pojma određenog integrala i tehnika njegovog izračunavanja je vrlo

korisna pri rešavanju površina i zapremina i slično.

5

OSNOVNE OSOBINE ODREĐENIH INTEGRALA

Neka su f i g integrabilne funkcije na [ a,b]. Tada važi:

1)

-

2)

3)

c

,

Ova osobina zove se homogenost.

4)

(x)± dx =

x)dx ±

(x)dx.

Ova osobina zove se aditivnost

5)

(x)dx =

x)dx+

(x)dx, ako je c [a,b].

Ova osobina zove se aditivnost u osnosu na interval integracije.

6)

(x)dx 0 ako je f (x) 0, i funkcija f integrabilna na [a,b].

To je očigledno jer za svaku podelu intervala [a,b] važi

7) Ako je , tada je

8)

6

NjUTN – LAJBNICOVA FORMULA

Primitivna funkcija funkcije f definsane na intervalu (a,b) je funkcija F

definirana na istom intervalu sa svojstvom : F' (x) = f(x).

Ako su F i G primitivne funkcije iste funkcije f onda se one razlikuju za konstantu.

F(x) = G(x) + C.

Neka je f neprekidna na segmentu [a,b] i neka je F jedna njena primitivna

funkcija, tada je :

7

PRIMENE ODREĐENOG INTEGRALA

Površina ravnih likova

Teorema: Neka je funkcija f definisana i neprekidna na segmentu [a,b] i neka je

f(x)≥0 za . Tada je površina P krivolinijskog trapeza ispod krive

, nad segmentom [a,b], jednaka određenom integralu funkcije f na segmentu

[a,b], tj

Ako u okviru intervala [a,b] funkcija f menja znak u tački c, tada formula postaje

Ukoliko je figura ograničena sa dve krive f i g , tada formula postaje

8

Primer 1: Izračunati površinu figure ograničene grafikom funkcije

i Ox osom.

Rešenje: Grafik funkcije seče x osu u tačkama gde je

0

Tražimo površinu osenčenog dela i vidimo da nam granice idu od 0 do 2. Dakle,

Primer 2: Izračunati površinu figure ograničene grafikom funkcije , x

osom i pravama

Rešenje:Grafik funkcije seče x osu u tačkama gde je

Kako funkcija menja znak za to površinu osenčene oblasti računamo

9

Primer 3: Izračunati površinu figure omeđene pravom i parabolom

Rešenje: Pronađimo prvo presečne tačke grafika ovih funkcija

Sa slike vidimo da nam je oblast ograničena odozgo parabolom a

odozdo pravom za x od -2 do 1.

10

Zapremina obrtnih tela

Teorema: Neka je funkcija f definisana i neprekidna na segmentu [a,b] i neka je

f(x)≥0 za . Zapreminu tela koje nastaje rotacijom krive oko x-

ose na intervalu računamo

.

Ako su nenegativne funkcije f i g definisane na intervalu [a,b], tada je zapremina

tela koje nastaje rotacijom oblasti ograničene graficima tih funkcija i pravama x=a

i x=b data obrascem

11

Primer 4: Odredi zapreminu koje nastaje rotacijom parabole oko x

ose.

Rešenje: Pronađimo prvo presek parabole i x ose.

Površina omotača rotacionog tela

Teorema: Neka je funkcija f definisana i neprekidna na segmentu [a,b] i neka je

f(x)≥0 za . Površinu omotača tela koje nastaje rotacijom krive

oko x-ose na intervalu računamo

Primer 5: Izračunati površinu omotača tela nastalog rotacijom krive

na intervalu

oko x ose.

12

Rešenje: Luk koji rotiramo je deo gornje polukružnice i na slici je obeležen

tačkama A i B.

Da bismo mogli primeniti formulu moramo izračunati prvi izvod y' .

Dužina luka krive

Teorema: Neka je funkcija f neprekidna i ima neprekidan izvod na segmentu

. Tada dužina luka l date krive od tačke do tačke

iznosi

13

Primer 6: Izračunati dužinu luka krive

za .

Rešenje: Da bismo mogli primeniti formulu moramo izračunati prvi izvod y'

14

L I T E R A T U R A

Đorđević D. Zoran (2007). Matematika za ekonomiste. Niš

Nešić S. (2005). Matematika II. Beograd

Adnađević D.;Kadelburg Z. (1994). Matematička analiza II. Beograd

Obradović M.; Georgijević D. (2003) Matematika za IV razred srednje

škole. Beograd