第 1 章. べき級数による 2 階線型常微分方程式の解法

第 1 節. 2 階線型常微分方程式の級数表示z を複素変数とする時, 次の形の w(z) に対する斉次線形常微分方程式を考える.

L[w]≡ d2

dz2w(z) + p(z)

d

dzw(z) + q(z)w(z) = 0 (1)

但し, p(z), q(z) は z の複素関数である. 今, p(z), q(z) は領域 D に高々孤立特異点を持つだけとする。

定義 1-1. (1) p(z), q(z) のすべてが正則な点 z を微分方程式 (1) の正則点 (Regular Point) と呼ぶ。(2) p(z), q(z) の少なくとも１つの特異点であるｚを微分方程式 (1) の特異点 (Singular Point) と呼ぶ.

(3) もしも領域 D に無限遠点 z = ∞ が含まれている時には，ζ = 1/z として ζ = 0 が特異点ならもとの式で z = ∞ がもとの微分方程式の特異点である。

定義 1-2. 領域 D で正則な 2 つの関数 w1(z), w2(z) が少なくとも一方は 0 でない 2 つの複素数 c1, c2(|c1|+ |c2| > 0) について D 内のすべての z について c1w1(z) + c2w2(z) = 0 となるとき, w1(z) とw2(z) は互いに (関数的に) 一次従属 (Linearly Dependent) であるという. 一次従属でないとき, 互いに一次独立 (Linearly Independent) であるという.

定理 1-3. w1(z) と w2(z) が一次独立である必要十分条件は

W [w1, w2] ≡ det

(w1(z) w2(z)w′

1(z) w′2(z)

)6=0 (2)

であり，一次従属である必要十分条件は W [w1(z), w2(z)] = 0 である。この行列式 W [w1(z), w2(z)]をロンスキー行列式という。

定義 1-4. 斉次微分方程式 (1) の解 w1(z), w2(z) が領域 D において互いに一次独立な時, その 2 つを領域D における微分方程式 (1) の解の基本系 (Fundamental System of Solution) と呼ぶ.

定理 1-5. 微分方程式 (1) の p(z), q(z) が一価正則な領域 D において, 2 つの解 w1(z), w2(z) が D 内の任意の 1 点 z = a においてロンスキー (Wronskian) 行列式 W [w1, w2] 6=0 ならば, すべての z∈D に対して W [w1, w2] 6=0 であり, z = a で W [w1, w2] = 0 ならすべての z∈D で W [w1, w2] = 0 である.

定理 1-6. z = a が斉次微分方程式 (1) の正則点であるとする. このとき, z = a 近傍における微分方程式(1) の解の基本系が w1(z) と w2(z) とすると, この近傍における微分方程式 (1) の任意の解 w(z) は

w(z) = c1w1(z) + c2w2(z) (3)

で表され，係数 c1 と c2 は z = a における値 w(a) と w′(a) を与えれば一義的に定まる.

定理 1-7 (正則点の周りでの級数解). z = a を微分方程式 (1) の有限な正則点 z = a であるとする. このz = a に最も近い他の特異点 z = b までの距離を R とすると, 領域 |z − a| < R での微分方程式 (1)の基本系は

w1(z) =∑+∞

n=0cn(z − a)n

w2(z) =∑+∞

n=0dn(z − a)n(4)

の組で表される. 整級数 (4) は領域 |z − a| < R において正則関数を表す. 整級数 (4) は w(a), w′(a)を与えれば一義的に定まる.

定理 1-8 (孤立特異点の周りでの級数解). z = a を微分方程式 (1) の有限な孤立特異点であるとする. このz = a に最も近い他の特異点 z = b までの距離を R とすると, 0 < |z − a| < R の円環領域 (AnnularDomain) での微分方程式 (1) の基本系は

(I)

w1(z) = (z − a)ρ1∑+∞

n=−∞cn(z − a)n

w2(z) = (z − a)ρ2∑+∞

n=−∞dn(z − a)n(5)

1

か, または

(II)

w1(z) = (z − a)ρ1∑+∞

n=−∞cn(z − a)n

w2(z) = (z − a)ρ2∑+∞

n=−∞dn(z − a)n +Aw1(z)log(z − a)

(6)

の組で表される. ここで ρ1, ρ2, A はある複素数である.

定義 1-9. z = aが微分方程式 (1)の有限な孤立特異点 (Isolated Singular Point)であるとする. P (z)≡(z−a)p(z) および Q(z)≡(z − a)2q(z) が z = a でともに正則であることである時, z = a は (1) の確定特異点 (Regular Singular Point) であるという.

定理 1-10 (確定特異点の周りでの級数解). z = a を微分方程式 (1) の有限な確定特異点であるとする.z = a に最も近い他の特異点 z = b までの距離を R とすると, 0 < |z − a| < R の円環領域での方程式 (1) の基本系は

(I)

w1(z) = (z − a)ρ1∑+∞

n=0cn(z − a)n

w2(z) = (z − a)ρ2∑+∞

n=0dn(z − a)n(7)

か, または

(II)

w1(z) = (z − a)ρ1

∑+∞n=0cn(z − a)n

w2(z) = (z − a)ρ2∑+∞

n=0dn(z − a)n +Aw1(z)log(z − a)

(8)

の組で表される. ここで ρ1, ρ2, A はある複素数である.

注意 1-11 定理 1-7, 定理 1-8, 定義 1-9, 定理 1-10 において, a は有限の複素数として一般性を失わない.すなわち z = ∞ を考える時には変数変換 ζ = 1/z によって ζ を変数とする微分方程式で ζ = 0 を考えればよい.

確定特異点 z = a の周りの円環領域 0 < |z − a| < R において p(z) および q(z) は以下のようにローラン展開が可能になる.

p(z) =1

z − a

+∞∑

n=0

αn(z − a)n, q(z) =1

(z − a)2

+∞∑

n=0

βn(z − a)n, (9)

確定特異点 z = a の周りの円環領域 0 < |z − a| < R における級数解 w(z) を

w(z) = (z − a)λ+∞∑

n=0

cn(z − a)n, (c0 6=0) (10)

とおくことがができ, これを式 (9) と共に式 (1) に代入することにより次の式が得られる.

+∞∑

n=0

(λ + n)(λ+ n− 1)cn(z − a)λ+n−2 +

+∞∑

n=0

(λ + n)cn(z − a)λ+n−1+∞∑

m=0

αm(z − a)m−1

+

+∞∑

n=0

cn(z − a)λ+n+∞∑

m=0

βm(z − a)m−2 = 0

+∞∑

n=0

(λ+ n)(λ+ n− 1)cn(z − a)λ+n−2 +

+∞∑

m=0

+∞∑

n=0

(λ+ n)cnαm(z − a)λ+n+m−2

+

+∞∑

m=0

+∞∑

n=0

cnβm(z − a)λ+n+m−2 = 0

2

+∞∑

n=0

(λ+ n)(λ+ n− 1)cn(z − a)λ+n−2 +

+∞∑

m=0

+∞∑

l=m

(λ + l−m)cl−mαm(z − a)λ+l−2

++∞∑

m=0

+∞∑

l=m

cl−mβm(z − a)λ+l−2 = 0

+∞∑

n=0

(λ+ n)(λ+ n− 1)cn(z − a)λ+n−2 +

+∞∑

l=0

l∑

m=0

(λ+ l −m)cl−mαm(z − a)λ+l−2

+

+∞∑

l=0

l∑

m=0

cl−mβm(z − a)λ+l−2 = 0

+∞∑

n=0

(λ+ n)(λ+ n− 1)cn(z − a)λ+n−2 ++∞∑

n=0

n∑

m=0

(λ+ n−m)cn−mαm(z − a)λ+n−2

+

+∞∑

n=0

n∑

m=0

cn−mβm(z − a)λ+n−2 = 0 (11)

ここで (z − a) に対する恒等式であることから以下の等式が得られる.

(λ+ n)(λ+ n− 1)cn +

n∑

m=0

(λ+ n−m)cn−mαm +

n∑

m=0

cn−mβm = 0 (n = 0, 1, 2, · · ·) (12)

特に n = 0 の場合の等式

λ(λ− 1)c0 + λc0α0 + c0β0 = 0 (13)

すなわち c0 6=0 であることにより得られる等式

λ(λ − 1) + λα0 + β0 = 0 (14)

を基本方程式 (Characteristic Equation)と呼ぶ. この 2 次方程式により λ は決定される. この解を λ = ρ1,ρ2 とすると, もし, ρ1 と ρ2 の差が整数でなければ得られた ρ1 と ρ2 および C0, {αm|m = 0, 1, 2, · · ·},{βm|m = 0, 1, 2, · · ·} を用いて式 (12) から順次 {cm|m = 1, 2, 3, · · ·} を決定することができる. λ = ρ1, ρ2から得られた {cm|m = 1, 2, 3, · · ·} を {cm(ρ1)|m = 1, 2, 3, · · ·}, {cm(ρ2)|m = 1, 2, 3, · · ·} と書くことにすると 2 つの独立な解は以下のように得られる.

w1(z) = (z − a)ρ1∑+∞

n=0cn(ρ1)(z − a)n

w2(z) = (z − a)ρ2∑+∞

n=0cn(ρ2)(z − a)n(15)

もし, ρ1 = ρ2 であれば, 解は (10) の形に一通りしか求められない. また, ρ1 − ρ2 = k (k: 自然数) である場合も

w1(z) = (z − a)ρ1

+∞∑

n=0

cn(ρ1)(z − a)n (16)

一つは解が得られるが, n = k の時の式 (12) の ck の係数

(λ+ k)(λ + k − 1) + (λ+ k)α0 + β0 (17)

は λ = ρ2 = ρ1 − k を代入すると決定方程式 (14) により恒等的に 0 であることが示される.

(ρ2 + k)(ρ2 + k − 1) + (ρ2 + k)α0 + β0 = ρ1(ρ1 − 1) + ρ1α0 + β0 = 0 (18)

このため λ = ρ2 とした解 w2(z) は得られないということになる. ρ1 − ρ2 = −k (k: 自然数) である場合もρ1 と ρ2 の役割が逆になるだけで全く同様である. 以下, ρ1 = ρ2 である場合と ρ1 − ρ2 = k (k: 自然数) である場合に分けて考える.

3

まず, ρ1 = ρ2 である場合が第一の解は ρ≡ρ1 = ρ2 = 12 (1 − α0) として式 (12) を満足する {cn|n =

1, 2, 3, · · ·} を ρ の関数として表し, これを {cn(ρ)|n = 1, 2, 3, · · ·} と記することとする. c0 は不定であり, ρによらない定数であるが, 形式的に c0(ρ) と書くことにする. これにより第一の解 w1(z) は

w1(z) = (z − a)ρ+∞∑

n=0

cn(ρ)(z − a)n (19)

により与えられる. 第二の解を求めるために式 (14)を満足しない範囲も含めた任意の λを考え, n = 1, 2, 3, · · ·に対する式 (12) を満足する係数 {cn|n = 1, 2, 3, · · ·} を λ の関数として表し,これを {cn(λ)|n = 1, 2, 3, · · ·}と記することとし, 級数

w(z) = (z − a)λ+∞∑

n=0

cn(λ)(z − a)n (20)

を考える. ここでも c0 は不定であり, λ によらない定数であるが, 形式的に c0(λ) と書くことにする. L[w]は

L[w] =(λ(λ − 1) + λα0 + β0

)c0(z − a)λ−2

+

+∞∑

n=1

((λ+ n)(λ + n− 1)cn +

n∑

m=0

(λ+ n−m)cn−mαm +

n∑

m=0

cn−mβm

)(z − a)λ+n−2

=(λ(λ − 1) + λα0 + β0

)c0(z − a)λ−2 (21)

となる. ここで c0 は λ に依存しないとして, 両辺を λ で微分する.

∂

∂λL[w] = L[

∂w

∂λ] =

{ ∂

∂λ

(λ(λ− 1) + λα0 + β0

)}c0(z − a)λ−2

+(λ(λ − 1) + λα0 + β0

)c0∂

∂λ(z − a)λ−2

=(2λ− 1 + α0

)c0(z − a)λ−2 +

(λ(λ − 1) + λα0 + β0

)c0∂

∂λ(z − a)λ−2 (22)

式 (14) の重根条件から[ ∂∂λL[w]

]λ=ρ

= 0 (23)

が得られ, [∂w/∂λ]λ=ρ も解であることがわかる. 従って第二の解 w2(z) として

w2(z) =[∂w∂λ

]λ=ρ

=[∂(z − a)λ

∂λ

]λ=ρ

+∞∑

n=0

cn(ρ)(z − a)n + (z − a)ρ[ ∂∂λ

+∞∑

n=0

cn(λ)(z − a)n]λ=ρ

= (z − a)ρlog(z − a)

+∞∑

n=0

cn(ρ)(z − a)n + (z − a)ρ+∞∑

n=0

[∂cn(λ)∂λ

]λ=ρ

(z − a)n

= w1(z)log(z − a) + (z − a)ρ+∞∑

n=0

[∂cn(λ)∂λ

]λ=ρ

(z − a)n (24)

が得られる.更に, ρ1 = ρ2 + k (k は自然数) である場合は第 1 の解は ρ≡ρ1 = ρ2 + k として式 (12) を満足する係数

{cn|n = 1, 2, 3, · · ·} を ρ1 の関数として表し, これを {cn(ρ)|n = 1, 2, 3, · · ·} と記することとし, これにより第一の解 w1(z) は

w1(z) = (z − a)ρ+∞∑

n=0

cn(ρ)(z − a)n (25)

4

と与えられる. ここで, c0 は不定であり, ρ によらない定数であるが,形式的に c0(ρ) と書くことにする. 第二の解を求めるために式 (14) を満足しない範囲も含めた任意の λ を考え, n = 1, 2, 3, · · · に対する式 (12)を満足する係数 {cn|n = 1, 2, 3, · · ·} を λ の関数として表し, これを {cn(λ)|n = 1, 2, 3, · · ·} と記することとし, 級数

w(z) = (z − a)λ+∞∑

n=0

cn(λ)(z − a)n (26)

を考える. ここでも c0 は不定であり, λ によらない定数であるが, 形式的に c0(λ) と書くことにする. L[w]は

L[w] =(λ(λ − 1) + λα0 + β0

)c0(z − a)λ−2

++∞∑

n=1

((λ+ n)(λ + n− 1)cn +

n∑

m=0

(λ+ n−m)cn−mαm +n∑

m=0

cn−mβm

)(z − a)λ+n−2

=(λ(λ − 1) + λα0 + β0

)c0(z − a)λ−2 = (λ− ρ1)(λ − ρ2)c0(z − a)λ−2 (27)

となり, この両辺に (λ − ρ2) を掛けることにより次の等式が得られる.

(λ− ρ2)L[w] = L[(λ− ρ2)w] = (λ− ρ1)(λ− ρ2)2c0(z − a)λ−2 (28)

ここで c0 は λ に依存しないとして, 両辺を λ で微分する.

∂

∂λL[(λ− ρ2)w] = L[

∂(λ− ρ2)w

∂λ]

= (λ− ρ2)2c0(z − a)λ−2 + 2(λ− ρ1)(λ − ρ2)c0(z − a)λ−2

+(λ− ρ1)(λ− ρ2)2c0(z − a)λ−2log(z − a) (29)

上式に λ = ρ2 を代入することにより,

L[(∂(λ− ρ2)w

∂λ

)λ=ρ2

]= 0 (30)

が得られ,(

∂(λ−ρ2)w∂λ

)λ=ρ2

も解であることがわかる. 従って第二の解 w2(z) として

w2(z) =(∂(λ− ρ2)w

∂λ

)λ=ρ2

=[∂(z − a)λ

∂λ

]λ=ρ2

+∞∑

n=0

((λ− ρ2)cn(λ)

)λ=ρ2

(z − a)n

+(z − a)ρ2

+∞∑

n=0

[ ∂∂λ

((λ− ρ2)cn(λ)

)]λ=ρ2

(z − a)n

= (z − a)ρ2 log(z − a)

+∞∑

n=k

((λ− ρ2)cn(λ)

)λ=ρ2

(z − a)n

+(z − a)ρ2

+∞∑

n=0

[ ∂∂λ

((λ− ρ2)cn(λ)

)]λ=ρ2

(z − a)n

= Aw1(z)log(z − a) + (z − a)ρ2

+∞∑

n=0

[ ∂∂λ

((λ− ρ2)cn(λ)

)]λ=ρ2

(z − a)n (31)

A≡ 1

c0(ρ1)

((λ− ρ2)ck(λ)

)λ=ρ2

(32)

詳細は以下の参考文献を参考にせよ.

5

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論, pp.38-46 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数, pp.66-77 (岩波全書 252, 岩波書店).

3. 西本敏彦著, 超幾何・合流型超幾何微分方程式, pp.39-50 (共立出版).

4. 福山秀敏, 小形正男著, 物理数学 I (朝倉書店)

5. E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press).

種々の２階斉次線形微分方程式 応用上よく扱われる 2 階斉次線形微分方程式には

ベッセル (Bessel) の微分方程式:

d2

dz2w(z) +

(1z

) ddzw(z) +

(1− ν2

z2

)w(z) = 0 (33)

ルジャンドル (Legendre) の微分方程式:

(1− z2)d2

dz2w(z)− 2z

d

dzw(z) + ν(ν + 1)w(z) = 0 (34)

超幾何微分方程式 (Hypergeometric Differential Equation):

z(1− z)d2

dz2w(z) + [γ − (1 + α+ β)z]

d

dzw(z)− αβw(z) = 0 (35)

合流型超幾何微分方程式 (Confluent Hypergeometric Equation):

zd2

dz2w(z) + (γ − z)

d

dzw(z)− αw(z) = 0 (36)

(γ = 1, α = −λ としたのがラゲール (Laguerre) の微分方程式である.)

エルミート (Hermite) の微分方程式:

d2

dz2w(z)− 2z

d

dzw(z) + 2λw(z) = 0 (37)

オイラー (Euler) の微分方程式

z2d2

dz2w(z) + αz

d

dzw(z) + βw(z) = 0 (38)

問 1. ルジャンドルの微分方程式 (34) で ν = 1 の場合の z = 0 の周りの一般解が

w(z) = C{1− z

2log(1 + z

1− z

)}+Dz (|z| < 1)

である事を下の手順に従って示せ. (ν = 0 の場合は変数分離出来るので, すぐ計算できるので面白くない.)

(1) ルジャンドルの微分方程式の有限のところにある特異点をすべて挙げる (上記の定義 1-1 の (1)を参照).

(2) 上記の定理 1-7 を使って, |z| < 1 における任意の複素数 z に対して解の形を w(z) =∑+∞

n=0Cnzn

と仮定してよいことを説明する。(3) w(z) をルジャンドルの方程式に代入し, z の恒等式であることから, Cn に対する漸化式を求める. (解答) Cn+2 = (n− 1)/(n+ 1)Cn (n = 0, 1, 2, · · ·)

(4) C0 = 0, C1 = 1 とおいて (3) で得られた漸化式から級数 w(z) を求める. (解答) w1(z) = z.

(5) C0 = 1, C0 = 0 とおいて (3) で得られた漸化式から級数 w(z) を求め, |z| < 1, におけるlog(1 + z) のテイラー展開と見比べる事により，ｗ (ｚ)を簡単な形にまとめる. (解答) w2(z) =1− z

∑+∞n=1(2n− 1)−1z2n−1 = 1− (z/2)[log(1 + z)− log(1− z)] (|z| < 1).

(6) (4) と (5) で得られた w(z) をそれぞれ w1(z), w2(z) とし, z = 0 におけるロンスキー行列式W [w1, w2] を計算し, 上記の定理 1-3, 定義 1-4, 定理 1-5 を使って w1(z) と w2(z) が基本系である事を示す.

(7) 上記の定理 1-6 を使って, w1(z) と w2(z) から一般解を求める.

6

第 2 節. ルジャンドルの微分方程式と級数表示ルジャンドルの微分方程式

(1− z2)d2

dz2w(z)− 2z

d

dzw(z) + ν(ν + 1)w(z) = 0 (ν = 0, 1, 2, · · ·) (39)

を考える. 式 (1) において

p(z) =−2z

1− z2, q(z) =

ν(ν + 1)

1− z2(40)

であり, p(z) および q(z) はいずれも z = ±1 において 1 次の極を持つ. すなわち定義 1-9 により z = ±1は方程式 (39) の確定特異点である. この他には有限の特異点はない.まず, 正則点 z = 0 の周りの解を考える. z = 0 に最も近い特異点は z = ±1 であり, 定理 1-7 により級

数解を以下のようにおくことができる.

w(z) =

+∞∑

n=0

cnzn (|z| < 1) (41)

これを式 (39) に代入する.

(1− z2)

+∞∑

n=0

n(n− 1)cnzn−2 − 2z

+∞∑

n=0

ncnzn−1 + ν(ν + 1)

+∞∑

n=0

cnzn = 0

+∞∑

n=0

{(n+ 2)(n+ 1)cn+2 −

(n(n− 1) + 2n− ν(ν + 1)

)cn

}zn = 0

+∞∑

n=0

((n+ 2)(n+ 1)cn+2 − (n− ν)(n+ ν + 1)cn

)zn = 0 (42)

これは z の恒等式なので以下の漸化式が得られる.

(n+ 2)(n+ 1)cn+2 = (n− ν)(n+ ν + 1)cn (n = 0, 1, 2, · · ·) (43)

ここで c0 および c1 を与えることにより cn (n = 2, 3, 4, · · ·) は漸化式 (43) から順次求められるが, 仮にc0 = c1 = 0 とおいてしまうと任意の自然数 n に対して cn = 0 となり w(z) = 0 が解となり自明な解しか得られなくなってしまうので, c0 6=0 または c1 6=0 と仮定して基本系 w1(z), w2(z) を求めるのは自然である.n = ν の時, (n− ν)(n+ ν + 1) = 0 であることから, cν+2 = 0 であり, 従って,

cn = 0 (n = ν + 2, ν + 4, ν + 6, · · ·) (44)

が得られる.

(i) ν が偶数である場合:

c2m =(−1)mν(ν − 2)· · ·(ν − 2m+ 2)(ν + 1)(ν + 3)· · ·(ν + 2m− 1)

(2m)!c0 (m = 1, 2, 3, · · ·, ν

2) (45)

c2m = 0 (m =ν

2+ 1,

ν

2+ 2,

ν

2+ 3, · · ·) (46)

c2m+1 =(−1)m(ν − 1)(ν − 3)· · ·(ν − 2m+ 1)(ν + 2)(ν + 4)· · ·(ν + 2m)

(2m+ 1)!c1

(m = 1, 2, 3, · · ·) (47)

7

c0 = 0, c1 = 1 とおいて他の c2m+1 を上の漸化式から定めた級数 w1(z) は

w1(z) =

+∞∑

m=0

c2m+1z2m+1 (48)

c0 = 1, c1 = 0 とおいて他の c2m を上の漸化式から定めた級数 w2(z) は

w2(z) =

ν

2∑

m=0

c2mz2m (49)

(ii) ν が奇数である場合:

c2m =(−1)mν(ν − 2)· · ·(ν − 2m+ 2)(ν + 1)(ν + 3)· · ·(ν + 2m− 1)

(2m)!c0 (m = 1, 2, 3, · · ·) (50)

c2m+1 =(−1)m(ν − 1)(ν − 3)· · ·(ν − 2m+ 1)(ν + 2)(ν + 4)· · ·(ν + 2m)

(2m+ 1)!c1

(m = 1, 2, 3, · · ·, ν − 1

2) (51)

c2m+1 = 0 (m =ν − 1

2+ 1,

ν − 1

2+ 2,

ν − 1

2+ 3, · · ·) (52)

c0 = 0, c1 = 1 とおいて他の c2m+1 を上の漸化式から定めた級数 w1(z) は

w1(z) =

ν−1

2∑

m=0

c2m+1z2m+1 (53)

c0 = 1, c1 = 0 とおいて他の c2m を上の漸化式から定めた級数 w2(z) は

w2(z) =+∞∑

m=0

c2mz2m (54)

w1(0) = 0, w2(0) = 1, w′1(0) = 1, w′

2(0) = 0 であり, z = 0 において W [w1, w2] = −1 6=0 なので, 定理 1-5により |z| < 1 なる任意の z に対して W [w1, w2] = −1 6=0 が成り立ち，定理 1-3 により w1(z) と w2(z) は1 次独立であり, 定義 1-4 により w1(z) と w2(z) は微分方程式 (39) の基本系である. 従って, 定理 1-6 により, 求める一般解 w(z) は C, D を任意定数として次の様に求められる.

w(z) = Cw1(z) +Dw2(z) (|z| < 1) (55)

ν が奇数か偶数で上であげた基本系の w1(z) または w2(z) のいずれかが多項式になることがわかる. この多項式は Pν(z) という記号で表され, ルジャンドルの多項式またはルジャンドルの第 1 種の関数と呼ばれる.

(i) ν が偶数である場合:

Pν(z) = Constant×

1 +

ν

2∑

m=1

(−1)mν(ν − 2)· · ·(ν − 2m+ 2)(ν + 1)(ν + 3)· · ·(ν + 2m− 1)

(2m)!z2m

(56)

(ii) ν が奇数である場合:

Pν(z) = Constant×

z +

ν−1

2∑

m=1

(−1)m(ν − 1)(ν − 3)· · ·(ν − 2m+ 1)(ν + 2)(ν + 4)· · ·(ν + 2m)

(2m+ 1)!z2m+1

(57)

8

式 (56) および式 (57) において 2l = ν + 2m と変換し, zν の係数が (2ν)!2ν(ν!)2 となるように全体にかかる係数

を調整することにより, ν が偶数である場合, 奇数である場合をあわせて以下のようにまとめられる.

Pν(z) =(2ν)!

2ν(ν!)2

⌊ ν

2⌋∑

l=0

(−1)lν(ν − 1)(ν − 2)· · ·(ν − 2l+ 1)

2ll!(2ν − 1)(2ν − 3)(2ν − 5)· · ·(2ν − 2l+ 1)zν−2l

=1

2ν

⌊ ν

2⌋∑

l=0

(−1)l(2ν − 2l)· · ·(ν − 2l + 1)

2ν l!(ν − l)!zν−2l (58)

ここで, ⌊ ν2 ⌋は ν

2 の整数部分を与えるものとする. 具体的に Pν(z) をいくつか書くと以下のようになる.

P0(z) = 1, P1(z) = z, P2(z) =3

2z2 − 1

2

逆に ν が奇数か偶数で w1(z)および w2(z)のいずれかは無限級数となるがこれらは定理 1-8から係数 p(z),q(z) の |z| < 1 における解析性から |z| < 1 において絶対かつ広義一様収束し, 正則関数を表すことがわかる. このことは zn のべき級数としての w1(z) および w2(z) の収束半径 R は ν が奇数である場合と偶数である場合にそれぞれ以下のように与えられる.

(i) ν が偶数である場合:

R = limm→+∞

∣∣∣c2m+1

c2m−1

∣∣∣ = limm→+∞

∣∣∣(2m− 1− ν)(2m+ ν)

(2m+ 1)(2m− 1)

∣∣∣ = 1

(i) ν が奇数である場合:

R = limm→+∞

∣∣∣c2m+2

c2m

∣∣∣ = limm→+∞

∣∣∣ (2m− ν)(2m+ ν + 1)

(2m+ 2)(2m+ 1)

∣∣∣ = 1

とそれぞれ与えられ, |z| < 1 で級数 w1(z), w2(z) はいずれも収束することがわかる.次に |z| > 1 における解を求めるために微分方程式 (39) を ζ = 1/z により変換する.

(1− ζ2)ζ2d2

dζ2w(1/ζ)− 2ζ

d

dζw(1/ζ) − ν(ν + 1)w(1/ζ) = 0 (59)

ここで, p(ζ) = −2ζ3

(1−ζ2)ζ2 は ζ = 0 で正則であり, q(ζ) = −ν(ν+1)(1−ζ2)ζ2 は ζ = 0 で 2 位の極を持つので, ζ = 0 す

なわち z = ∞ は微分方程式 (59) と (39) の確定特異点であることがわかる. すなわち, 方程式 (39) のすべての特異点は z = ±1 および z = ∞ であり, いずれも確定特異点である. 従って, 微分方程式 (39) の解は定理 1-10 により領域 |z| > 1 において

w(z) = zρ+∞∑

n=0

cnz−n =

+∞∑

n=0

cnzρ−n, (|z| > 1) (60)

ととることができる. ここで c0 6=0 と仮定する. これを式 (39) に代入して, パラメータ ρ と係数 {cn} を決める. このために, 級数 (60) が項別微分可能であるとすると

d

dzw(z) =

+∞∑

n=0

(ρ− n)cnzρ−n−1

d2

dz2w(z) =

+∞∑

n=0

(ρ− n)(ρ− n− 1)cnzρ−n−2

が得られ, これらを式 (39) に代入する.

+∞∑

n=0

(ρ− n)(ρ− n− 1)cnzρ−n−2 −

+∞∑

n=0

((ρ− n)(ρ− n− 1) + 2(ρ− n)− ν(ν + 1)

)cnz

ρ−n = 0

9

−(ρ− ν)(ρ + ν + 1)c0zρ − (ρ− ν − 1)(ρ+ ν)c1z

ρ−1

+

+∞∑

n=2

((ρ− n+ 2)(ρ− n+ 1)cn−2 − (ρ− n− ν)(ρ− n+ ν + 1)cn

)zρ−n = 0

この式は z についての恒等式なので, z の各べきの係数は 0 でなければならない. このことから基本方程式

(ρ− ν)(ρ+ ν + 1)c0 = 0 (61)

(ρ− ν − 1)(ρ+ ν)c1 = 0 (62)

および {cn|n = 2, 3, 4, · · ·} に対する漸化式

(ρ− n+ 2)(ρ− n+ 1)cn−2 − (ρ− n− ν)(ρ− n+ ν + 1)cn = 0 (n = 2, 3, 4, · · ·) (63)

が得られる. ここで, 仮に c0 = c1 = 0 とおいてしまうと任意の自然数 n に対して cn = 0 となり w(z) = 0が解となり自明な解しか得られなくなってしまう. そこでまず c0 6=0 と仮定すれば方程式 (61) によりρ = −ν − 1, ν が得られる. この ρ を式 (62) に代入すると

−4ν(ν + 1)c1 = 0 (64)

という式が得られるが ν は 0 または自然数なのでこの等式が一般に成り立つためには c1 = 0 とおく必要があることは自然に理解できる. 更に, 漸化式 (63) により,

cn =(ρ− n+ 2)(ρ− n+ 1)

(ρ− n− ν)(ρ− n+ ν + 1)cn−2 (n = 2, 3, 4, · · ·)

となり, c1 = 0 であることから n が奇数の場合には cn = 0 を得る.

c2l+1 = 0 (l = 0, 1, 2, · · ·)

一方, n が偶数の場合には cn はすべて c0 により表され, 式 (60) に与えられた級数 w(z) は z−2 についてのべき級数となる.

w(z) = zρ+∞∑

l=0

c2lz−2l =

+∞∑

l=0

c2lzρ−2l

z−2 のべき級数としての収束半径 R は

R = liml→+∞

∣∣∣ c2lc2l+2

∣∣∣ = liml→+∞

(∣∣∣ (ρ− 2l+ 2)(ρ− 2l+ 1)

(ρ− 2l− ν)(ρ− 2l + ν + 1)

∣∣∣)−1

= 1

と得られ, |z−2| < 1 すなわち |z| > 1 で式 (60) に与えられた級数 w(z) は収束することがわかる.

(i) ρ = ν の場合: 漸化式 (63) により,

c2l = − (ν − 2l + 2)(ν − 2l+ 1)

2l(2ν − 2l+ 1)c2l−2

が得られるが,ここで ν − 2l+ 1 = 0 または ν − 2l+ 2 = 0 が成り立つとき c2l = 0 となり, ν が奇数である場合と偶数である場合に分けて考えた上でまとめると,

c2l = 0(l = ⌊ν

2⌋+ 1, ⌊ν

2⌋+ 3, ⌊ν

2⌋+ 5, · · ·

)

が得られる. また, l≤⌊ ν2 ⌋ においては c2l は

c2l = (−1)l(ν − 2l+ 1)(ν − 2l + 2)(ν − 2l+ 3)(ν − 2l+ 4)· · ·(ν − 1)ν

2l(2l− 2)(2l− 4)(2l − 6)· · ·2(2ν − 2l+ 1)(2ν − 2l + 3)(2ν − 2l + 5)· · ·(2ν − 1)c0

(l = 1, 2, 3, · · ·, ⌊ν

2⌋)

10

という形に得られ, ここで c0 を

c0 =(2ν)!

2ν(ν!)2=

1·3·5· · ·(2ν − 1)

ν!(65)

と選ぶことにより, c2l は決定される. 最終的な結果は以下のように与えられる.

c2l =

(−1)l (2ν)!2ν(ν!)2

ν(ν−1)(ν−2)···(ν−2l+1)2ll!(2ν−1)(2ν−3)(2ν−5)···(2ν−2l+1)

= (−1)l(2ν−2l)···(ν−2l+1)2ν l!(ν−l)! (l = 1, 2, 3, · · ·, ⌊ν2 ⌋)

0 (l = ⌊ ν2 ⌋+ 1, ⌊ν2 ⌋+ 3, ⌊ ν

2 ⌋+ 5, · · ·)

(66)

ρ = ν に対して得られる解を w1(z) と書くことにすると以下のような z の多項式として与えられる.

w1(z) =

⌊ ν

2⌋∑

l=0

c2lzν−2l

= c0zν + c2z

ν−2 + c4zν−4 + · · ·+ cν−2 + cν

=(2ν)!

2ν(ν!)2

(zν − ν(ν − 1)

2(2ν − 1)zν−2 +

ν(ν − 1)(ν − 2)(ν − 3)

2·4(2ν − 1)(2ν − 3)zν−4 + · · ·

+(−1)⌊

ν

2⌋ν(ν − 1)(ν − 2)· · ·(ν − 2⌊ ν

2 ⌋+ 1)

2⌊ν

2⌋(⌊ ν

2 ⌋)!(2ν − 1)(2ν − 3)(2ν − 5)· · ·(2ν − 2⌊ν2 ⌋+ 1)

)

=(2ν)!

2ν(ν!)2

⌊ ν

2⌋∑

l=0

(−1)lν(ν − 1)(ν − 2)· · ·(ν − 2l+ 1)

2ll!(2ν − 1)(2ν − 3)(2ν − 5)· · ·(2ν − 2l+ 1)zν−2l

=1

2ν

⌊ ν

2⌋∑

l=0

(−1)l(2ν − 2l)· · ·(ν − 2l+ 1)

l!(ν − l)!zν−2l (67)

この多項式は式 (58) で与えられたルジャンドルの多項式 Pν(z) になっている. すなわち, ρ = ν に対して得られる解 w1(z) はルジャンドルの多項式 Pν(z) そのものであることがわかる.

w1(z) = Pν(z) (|z| > 1) (68)

(ii) ρ = −ν − 1 の場合: この場合に任意の自然数 l に対して c2l は 0 にはならず, 漸化式 (63) は以下のように与えられる.

c2l =(ν + 2l − 1)(ν + 2l)

2l(2ν + 2l + 1)c2l−2

=(ν + 1)(ν + 2)(ν + 3)(ν + 4)· · ·(ν + 2l)

2·4·6· · ·(2l)(2ν + 3)(2ν + 5)· · ·(2ν + 2l+ 1)c0 (l = 1, 2, 3, · · ·) (69)

ここで, c0 を

c0 =2ν(ν!)2

(2ν + 1)!(70)

と選ぶと, ρ = −ν − 1 の場合の解 w2(z) は以下のように与えられる.

w2(z) =1

zν+1

+∞∑

l=0

c2lz−2l

=( 1

zν+1

)+∞∑

l=0

( (ν + 2l)!

2·4·6· · ·(2l)·1·3·5· · ·(2ν + 2l+ 1)

)( 1

z2l

)

=( 2ν(n!)2

(2ν + 1)!

)( 1

zν+1+

(ν + 1)(ν + 3)

2(2ν + 3)

1

zν+3+ · · ·

)(|z| > 1) (71)

11

Qν(z) ≡( 1

zν+1

)+∞∑

l=0

( (ν + 2l)!

2·4·6· · ·(2l)·1·3·5· · ·(2ν + 2l+ 1)

)( 1

z2l

)

=( 2ν(ν!)2

(2ν + 1)!

)( 1

zν+1+

(ν + 1)(ν + 2)

2(2ν + 3)

1

zν+3+ · · ·

)(72)

{Qn(z)|n = 0, 1, 2, · · · のはじめの数例を log(z − 1) の z = ∞ のまわりのテーラー展開および第 1 種のルジャンドル関数 {Pn(z)|n = 0, 1, 2, · · ·} を用いて整理して書くと以下のようになる.

Q0(z) =1

2log(z + 1

z − 1

)=

1

2P0(z)log

(z + 1

z − 1

)

Q1(z) =z

2log(z + 1

z − 1

)− 1 =

1

2P1(z)log

(z + 1

z − 1

)− 1

Q2(z) =1

2P2(z)log

(z + 1

z − 1

)− 3z

2

{Pn(z)|n = 0, 1, 2, · · ·} に対する主な性質を列挙しておく.

(1) ロドリゲスの公式:

Pn(z) =( 1

2nn!

) dndzn

((z2 − 1)n

)(73)

(証明) 右辺から出発して左辺を導けばよい.

( 1

2nn!

) dndzn

((z2 − 1)n

)=

1

2nn!

⌊n

2⌋∑

l=0

(nl

)(−1)l

dn

dznz2n−2l

=1

2nn!

⌊n

2⌋∑

l=0

(−1)l(nl

)(2n− 2l)· · ·(n− 2l+ 1)zn−2l

=1

2n

⌊n

2⌋∑

l=0

(−1)l(2n− 2l)· · ·(n− 2l + 1)

l!(n− l)!zn−2l = Pn(z)

(2) 母関数:

(1− 2ζz + ζ2

)−1/2

=

+∞∑

n=0

Pn(z)ζn (74)

(2ζz − ζ2 が小さいとして (1− 2ζz + ζ2)−1/2 を展開し, 更にそれを ζ について展開して, 項をまとめて ζn の係数を求めれば式 (58) に与えられた Pn(z) の定義が得られる.)

(3) 直交性:∫ 1

−1

Pm(x)Pn(x)dx = 0 (m,n = 0, 1, 2, · · ·; m 6=n) (75)

(4) 直交関数展開: 閉区間 [−1, 1] で定義される任意の関数 f(x) は {Pn(z)|n = 0, 1, 2, · · ·} を用いて以下のように直交関数展開される.

f(x) =

+∞∑

n=0

FnPn(x) Fn≡2n+ 1

2

∫ 1

−1

f(x)Pn(x)dx (76)

詳細は以下の参考文献を参考にせよ.

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論, pp.46-57 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数, pp.68-71, pp.95-97 (岩波全書 252, 岩波書店).

3. 野邑雄吉著, 応用数学 — 工学専攻者のための —, pp.197-221 (内田老鶴圃).

4. 福山秀敏, 小形正男著, 物理数学 I (朝倉書店)

5. E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press).

12

第 3 節. ベッセルの微分方程式と級数表示ベッセルの微分方程式

d2

dz2w(z) +

(1z

) ddzw(z) +

(1− λ2

z2

)w(z) = 0 (77)

を考える. λ は任意の複素数である.式 (77) の有限の特異点は z = 0 であり, これは確定特異点である. また z = ∞ は z = 1/ζ と変換し

て ζ = 0 について調べると不確定特異点であることを確かめることができる. そこで, z = 0 の周りの領域0 < |z| <∞ における級数解は定理 1-10 により以下のようにおくことができる.

w(z) = zρ+∞∑

n=0

cnzn (0 < |z| <∞; c0 6=0) (78)

式 (78) を式 (78) に代入して, パラメータ ρ および係数 {cn|n = 0, 1, 2, · · ·} を決める. 級数 (78) が項別微分可能であるとすると

d

dzw(z) =

+∞∑

n=0

(ρ+ n)cnzρ+n−1

d2

dz2w(z) =

+∞∑

n=0

(ρ+ n)(ρ+ n− 1)cnzρ+n−2

これらを微分方程式 (77) の両辺に z2 をかけた式に代入し, z の係数を整理すると以下のようになる.

+∞∑

n=0

(ρ+ n)(ρ+ n− 1)cnzρ+n +

+∞∑

n=0

(ρ+ n)cnzρ+n +

+∞∑

n=0

cnzρ+n+2 −

+∞∑

n=0

λ2cnzρ+n = 0

+∞∑

n=2

{((ρ+ n)2 − λ2

)cn + cn−2

}zρ+n + (ρ2 − λ2)c0z

ρ +((ρ+ 1)2 − λ2

)c1z

ρ+1 = 0

これは z についての恒等式なので次の関係式が得られる.

(ρ2 − λ2)c0 = 0 (79)

((ρ+ 1)2 − λ2

)c1 = 0 (80)

((ρ+ n)2 − λ2

)cn + cn−2 = 0, (n = 2, 3, 4, · · ·) (81)

仮定により c0 6=0 であるから, 式 (79) により ρ = ±λ である. いずれの場合も c1 = 0 として解を求めることにする. 式 (81) により

cn = − 1

(ρ+ n)2 − λ2cn−2 (n = 2, 3, 4, · · ·) (82)

が得られ, c1 = 0 により c2l+1 = 0 (l = 0, 1, 2, · · ·) が得られ, {c2l|l = 1, 2, · · ·} は ρ = ±λ を代入して以下のように与えられる.

c2l = − 1

22l(±λ+ l)c2l−2 =

(−1)l

22ll!(±λ+ l)(±λ+ l − 1)· · ·(±λ+ 1)c0 (l = 1, 2, · · ·) (83)

c0 は任意の定数なので,

c0≡1

2±λΓ(±λ+ 1)(84)

と選ぶことにする. ここで Γ(z) は 0 および負の整数を除く任意の複素数 z に対して定義されるガンマ関数である. ガンマ関数の詳細は以下の文献を参照せよ.

13

1. 野邑雄吉著, 応用数学 — 工学専攻者のための —, pp.96-106 (内田老鶴圃).

2. 廣池, 守田, 田中共著, 応用解析学, pp.117-120 (共立出版).

3. 堀口, 海老澤, 福井共著, 応用数学講義, pp.243-249 (培風館).

4. 犬井鉄郎著, 特殊関数, pp.1-22 (岩波全書 252, 岩波書店).

5. 福山秀敏, 小形正男著, 物理数学 I (朝倉書店)

6. E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press).

ここでガンマ関数の性質 zΓ(z) = Γ(z + 1) を用いると {c2l|l = 0, 1, 2, ·} は以下のようにまとめられる.

c2l =(−1)l

22l±λl!Γ(±λ+ l + 1)(l = 0, 1, 2, · · ·) (85)

従って, λ が整数ではない場合のベッセルの微分方程式 (77) の解は以下のようにまとめられる.

w1(z) = Jλ(z), w2(z) = J−λ(z), (0 < |z| <∞) (86)

ここで, Jλ(z) は次のように定義され, 第 1 種のベッセル関数と呼ばれる.

Jλ(z)≡(z2

)λ+∞∑

l=0

(−1)l

l!Γ(λ+ l+ 1)

(z2

)2l(87)

Jλ(z) の級数表示より(

z2

)2の級数とみて, 収束半径 R を求めると

R≡ liml→+∞

∣∣∣c2l+2

c2l

∣∣∣ = liml→+∞

∣∣∣ (−1)l+1l!Γ(λ+ l + 1)

(−1)l(l + 1)!Γ(λ+ l + 2)

∣∣∣ = +∞

となり, 収束半径は +∞ であり, 領域 0 < |z| <∞ で級数は収束することがわかる. 更に, λ が整数ではない場合に Jλ(z) と J−λ(z) は明らかに 1 次独立な関数なので, ベッセルの微分方程式 (77) の基本系であることがわかる.次に, λ が整数である場合を考える. 任意の自然数 n に対して 1/Γ(1 − n) = 0 であることを用いると

J−n(z) は Jn(z) を用いて以下のように表すことができる.

J−n(z) =(z2

)−n+∞∑

l=0

(−1)l

l!Γ(−n+ l + 1)

(z2

)2l

=(z2

)−n+∞∑

l=n

(−1)l

l!Γ(−n+ l + 1)

(z2

)2l=(z2

)n+∞∑

k=0

(−1)k+n

(k + n)!Γ(k + 1)

(z2

)2k+2n

= (−1)n(z2

)−n+∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(n+ k + 1)

(z2

)2k= (−1)nJn(z)

従って, 任意の整数 n について Jn(z) と J−n(z) は常に一次独立ではないことがわかる.λ が整数である場合の解を求めるために, 任意の整数 n に対して以下の関数 Yn(z) を導入する.

Yn(z)≡ limλ→n

Yλ(z) (88)

ここで, Yλ(z) は整数でない λ に対して以下の様に定義され, λ 次のノイマン関数または第 2 種のベッセル関数という.

Yλ(z)≡1

sin(λπ)

(Jλ(z)cos(λπ) − J−λ(z)

)(89)

14

Yλ(z) は Jλ(z) と J−λ(z) の 1 次結合であるから λ が整数でないときのベッセルの微分方程式 (77) の解である. 式 (88) は任意の整数 n に対する Yn(z) を λ→n の極限として定義することを意味する. 式 (89)を式 (88) の左辺に代入することにより以下のように表される.

Yn(z) = limλ→n

Jλ(z)cos(λπ) − J−λ(z)

sin(λπ)=

limλ→n∂∂λ

(Jλ(z)cos(λπ)− J−λ(z)

)

limλ→n∂∂λ sin(λπ)

=1

π

[∂Jλ(z)∂λ

]λ=n

− 1

π(−1)n

[∂J−λ(z)

∂λ

]λ=n

πYn(z) = 2{log(z2

)+ γ)}Jn(z)−

(z2

)−nn−1∑

k=0

(n− k − 1)!

k!

(z2

)2k

−(z2

)n+∞∑

k=0

(−1)k

k!(n+ k)!

(φ(k) + φ(n+ k)

)(z2

)2k, (n = 1, 2, 3, · · ·) (90)

πY0(z) = 2{log(z2

)+ γ)}J0(z)− 2

+∞∑

k=0

(−1)k

(k!)2φ(k)

(z2

)2k(91)

Y−n(z) = (−1)nYn(z), (n = 1, 2, 3, · · ·) (92)

γ≡lim{φ(k) − loge(k)

}= −Γ(1) = 0.577216· · ·, φ(k)≡

k∑

m=1

1

m(93)

任意の整数 n に対して Jn(z) と Yn(z) は 1 次独立であり, 領域 0 < |z| < ∞ で λ = n とおいたベッセルの微分方程式 (77) の基本系である. 導出の詳細については以下の参考文献を参考にせよ.

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論, pp.60-62 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数, pp.282-284 (岩波全書 252, 岩波書店).

3. 西本敏彦著, 超幾何・合流型超幾何微分方程式, pp.154-156 (共立出版).

4. 福山秀敏, 小形正男著, 物理数学 I (朝倉書店)

5. E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press).

また, γ はオイラーの定数と呼ばれるが,その定義の極限等の詳細については以下の参考文献を参考にせよ.

1. 野邑雄吉著, 応用数学 — 工学専攻者のための —, p.102 および p.314 (内田老鶴圃).

2. 廣池, 守田, 田中共著, 応用解析学, pp.123 (共立出版), 具体的には問題 5, 6, 7.

3. 犬井鉄郎著, 特殊関数, pp.1-10 (岩波全書 252, 岩波書店).

4. 福山秀敏, 小形正男著, 物理数学 I (朝倉書店)

5. E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press).

問 2. 微分方程式

d2

dz2w(z)− z

d

dzw(z) + w(z) = 0 (94)

の z = 0 の周りの領域 |z| <∞ における基本系 w1(z), w2(z) を級数表示を用いて求めよ.

15

問 3. 微分方程式

d2

dz2w(z)− zw(z) = 0 (95)

の z = 0 の周りの領域 |z| <∞ における基本系 w1(z), w2(z) を級数表示を用いて求めよ.

問 4. 微分方程式

d2

dz2w(z)− z

d

dzw(z)− w(z) = 0 (96)

の z = 0 の周りの領域 |z| <∞ における基本系 w1(z), w2(z) を級数表示を用いて求めよ.

問 5. 微分方程式

2zd2

dz2w(z) + (1− 2z)

d

dzw(z)− w(z) = 0 (97)

の z = 0 の周りの領域 0 < |z| <∞ における基本系 w1(z), w2(z) を級数表示を用いて求めよ.

(問 5 のヒント) 微分方程式 (1) において p(z) = 1−2z2z , q(z) = − 1

2z であることから z = 0 は確定特異点であり, それ以外の有限の任意の複素数 z に対してこの微分方程式は正則である. また, ζ = 1/z とおくことにより

d2

dζ2w(1/ζ) +

3ζ + 2

2ζ2d

dζw(1/ζ)− 1

2ζ3w(1/ζ) = 0

と書き換えられ, ζ = 0 すなわち z = ∞ は不確定特異点であることがわかる. そこで, z = 0 の周りでの領域 0 < |z| <∞ での級数解は定理 1-10 により,

w(z) = zρ+∞∑

n=0

cnzn

とおくことができる.

問 6. 微分方程式

2z2d2

dz2w(z) + (z2 − z)

d

dzw(z) + w(z) = 0 (98)

の z = 0 の周りの領域 0 < |z| <∞ における基本系 w1(z), w2(z) を級数表示を用いて求めよ.

問 7. 微分方程式

zd2

dz2w(z) + w(z) = 0 (99)

の z = 0 の周りの領域 0 < |z| <∞ における基本系 w1(z), w2(z) を級数表示を用いて求めよ.

(問 7 のヒント) 微分方程式 (1) において p(z) = 0 = 0/z, q(z) = 1/z = z/z2 であることから z = 0 は確定特異点であり, それ以外の有限の任意の複素数 z に対してこの微分方程式は正則である. また,ζ = 1/z とおくことにより

d2

dζ2w(1/ζ) + 2ζ−1 d

dζw(1/ζ) + ζ−3w(1/ζ) = 0

と書き換えられ, ζ = 0 すなわち z = ∞ は不確定特異点であることがわかる. そこで, z = 0 の周りでの領域 0 < |z| <∞ での級数解は定理 1-10 により, 1 つは

w(z) = zρ+∞∑

n=0

cnzn

16

とおくことができる. これを微分方程式 (99) に代入し係数 {cn} に対する方程式を導出すると, 基本方程式 (14) は ρ(ρ− 1) = 0 と与えられる. そこでまず ρ = 1 とした解 w(z) を

w1(z) = z

+∞∑

n=0

cnzn

とし, 第 2 の解を ρ = 0 と選んだ上で

w2(z) = Aw1(z)log(z) ++∞∑

n=0

dnzn

として係数 {dn} を決定する. このとき z の定数項 A+ d0 = 0 であり, 更に d1 = −A とおいて A はA = 1 と選べばよい.

17

第 4 節. 超幾何微分方程式と合流型超幾何微分方程式の級数表示解4.1. 超幾何微分方程式の級数表示解超幾何微分方程式

z(1− z)d2

dz2w(z) +

(γ − (1 + α+ β)z

) ddzw(z)− αβw(z) = 0 (100)

を考える. ここで α, β, γ は任意の複素数である. この微分方程式はガウス (Gauss) の微分方程式とも呼ばれる. 超幾何微分方程式 (100) のすべての特異点は z = 0, 1, ∞ であり, これらはすべて確定特異点である.まず，γ が整数でない場合のみを考えることにして，z = 0 の周りの領域 0 < |z| < 1 における級数表

示解を求める. 定理 1-10 により級数表示解は

w(z) = zρ+∞∑

n=0

cnzn (101)

とおくことができる. これを微分方程式 (100) に代入し, zn の係数ごとにに整理し, z の恒等式とみなすと以下の ρ に対する決定方程式と係数 cn に対する漸化式が得られる.

ρ(ρ− 1 + γ) = 0 (102)

(ρ+ n+ 1)(ρ+ n+ γ)cn+1 = (ρ+ n+ α)(ρ+ n+ β)cn (n = 0, 1, 2, · · ·) (103)

式 (103) により係数 cn は次のように与えられる.

cn =(α+ ρ)(α+ ρ+ 1)· · ·(α + ρ+ n− 1)(β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ n)(γ + ρ)(γ + ρ+ 1)· · ·(γ + ρ+ n− 1)c0

=(Γ(α + ρ+ n)Γ(β + ρ+ n)

Γ(ρ+ 1 + n)Γ(γ + ρ+ n)

)( Γ(ρ+ 1)Γ(γ + ρ)

Γ(α+ ρ)Γ(β + ρ)

)c0 (n = 0, 1, 2, · · ·)

これから ρ = 0 および ρ = 1− γ の時の級数表示解 w1(z), w2(z) はそれぞれ以下のように与えられる.

w1(z) = F (α, β, γ; z) (0 < |z| < 1) (104)

w2(z) = z1−γF (1− γ + α, 1 − γ + β, 2− γ; z) (0 < |z| < 1) (105)

F (α, β, γ; z) ≡ 1 +αβ

1·γ z +α(α + 1)β(β + 1)

1·2·γ(γ + 1)z2 +

α(α + 1)(α+ 2)β(β + 1)(β + 2)

1·2·3·γ(γ + 1)(γ + 2)z3 + · · ·

= 1 ++∞∑

n=1

α(α + 1)(α+ 2)· · ·(α + n− 1)β(β + 1)(β + 2)· · ·(β + n− 1)

n!γ(γ + 1)(γ + 2)· · ·(γ + n− 1)zn

(|z| < 1) (106)

式 (106) で与えられる整級数を超幾何級数という. 整級数 (106) の収束半径 R は以下のように与えられる.

R = limn→+∞

∣∣∣cn+1

cn

∣∣∣ = limn→+∞

∣∣∣ (ρ+ n+ 1)(ρ+ n+ γ)

(ρ+ n+ α)(ρ+ n+ β)

∣∣∣ = 1 (107)

すなわち, w1(z), w2(z) は微分方程式 (100) の 0 < |z| < 1 における基本系であることがわかる.

問 8. γ が非整数であるときの超幾何微分方程式 (100) の 0 < |z| < 1 における基本系が式 (106) により定義された超幾何級数 F (α, β, γ; z) を用いて式 (104)および式 (105) により与えられることを上記の手順に従って具体的に導出せよ.

次に γ = 1 の場合を考える. 決定方程式 (102) の解は重根 ρ = 0 となる. 解の一つは

w1(z) = F (α, β, 1; z) (0 < |z| < 1)

18

である. もう一つの解は

u(z, ρ) ≡+∞∑

n=0

(α+ ρ)(α + ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)(β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ n)(γ + ρ)(γ + ρ+ 1)· · ·(γ + ρ+ n− 1)zρ+n

を導入することで

w2(z) = limρ→0

∂u(z, ρ)

∂ρ

= F (α, β, 1; z)logz

+

+∞∑

n=0

(limρ→0

∂

∂ρ

( (α + ρ)(α+ ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)(β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ n)(γ + ρ)(γ + ρ+ 1)· · ·(γ + ρ+ n− 1)

))zn

= F (α, β, 1; z)logz

+

+∞∑

n=1

1

(n!)2α(α + 1)· · ·(α+ n− 1)β(β + 1)· · ·(β + n− 1)

{n−1∑

m=0

( 1

α+m+

1

β +m− 2

1 +m

)}zn

(0 < |z| < 1)

が得られる.γ が 2 以上の整数である場合, すなわち γ = k + 1 (k = 1, 2, 3, · · ·) の時は決定方程式 (102) の解は

ρ = 0,−k と重根ではないが, 式 (105) の解が 0 < |z| < 1 であっても発散して意味を失ってしまう. 解の一つは

w1(z) = F (α, β, γ; z) (0 < |z| < 1)

である. もう一つの解は

limρ→−k

∂

∂ρ(ρ+ k)u(z, ρ)

= (log(z))×+∞∑

n=k+1

(lim

ρ→−kzρ(

(α+ ρ)(α + ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ k − 1)(ρ+ k + 1)(ρ+ k + 2)· · ·(ρ+ n− 1)(ρ+ n)

)

×((β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(n+ k + ρ)

))zn

+ (log(z))(

limρ→−k

zρ( (α+ ρ)(α+ ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ k − 1)(β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ k − 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ k − 1)(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(k + k + ρ)

))zn

+

+∞∑

n=0

z−k+n limρ→−k

∂

∂ρ

((ρ+ k)

((α+ ρ)(α + ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)(β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ n)(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(n+ k + ρ)

))

= (log(z))×+∞∑

n=k+1

((α − k)(α− k + 1)· · ·(α− k + n− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − k + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×(n− k − 1)×(n− k)×1×2×· · ·×n)zn−k

+ (log(z))( (α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)

++∞∑

n=0

z−k+n limρ→−k

∂

∂ρ

((ρ+ k)

((α+ ρ)(α + ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)(β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ n)(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(n+ k + ρ)

))

= (log(z))×+∞∑

n=1

( (α− k)(α− k + 1)· · ·(α+ n− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×(n− 1)×n×1×2×· · ·×(n+ k)

)zn

+ (log(z))( (α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)

+

+∞∑

n=0

z−k+n limρ→−k

∂

∂ρ

((ρ− k)

((α+ ρ)(α + ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)(β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ n)(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(n+ k + ρ)

))

= (log(z))×(1 +

+∞∑

n=1

(α(α + 1)· · ·(α+ n− 1)β(β + 1)· · ·(β + n− 1)

n!(k + 1)×(k + 2)×· · ·×(n+ k)

)zn

)

19

×((α − k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)

++∞∑

n=0

z−k+n limρ→−k

∂

∂ρ

(((α+ ρ)(α+ ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ k − 1)(ρ+ k + 1)(ρ+ k + 2)· · ·(ρ+ n− 1)(ρ+ n)

)

×((β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(n+ k + ρ)

))

=((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)F (α, β, k + 1; z)log(z)

+

+∞∑

n=0

z−k+n limρ→−k

∂

∂ρ

((ρ+ k)

((α+ ρ)(α + ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)(β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ n)(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(n+ k + ρ)

))

=((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)F (α, β, k + 1; z)log(z)

+ z−k +

k−1∑

n=1

z−k+n limρ→−k

∂

∂ρ

((ρ+ k)

×((α + ρ)(α+ ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ n− 1)(ρ+ n)

)

×((β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(n+ k + ρ)

))

+ limρ→−k

∂

∂ρ

((ρ+ k)

((α+ ρ)(α + ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ k − 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ k − 1)(ρ+ k)

)

×((β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(n+ k + ρ)

))

+

+∞∑

n=k+1

z−k+n limρ→−k

∂

∂ρ

((ρ+ k)

×(

(α+ ρ)(α+ ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ k − 1)(ρ+ k + 1)(ρ+ k)(ρ+ k + 2)· · ·(ρ+ n− 1)(ρ+ n)

)

×((β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(n+ k + ρ)

))

=((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)F (α, β, k + 1; z)log(z)

+ z−k +k−1∑

n=1

z−k+n

(((α− k)(α − k + 1)· · ·(α− k + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−k + n− 1)(−k + n)

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − k + n− 1)

1×2×· · ·×n

))

+

((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)

−k(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)

)((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

1×2×· · ·×k

)

+

(lim

ρ→−k

((α+ ρ)(α+ ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ k − 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ k − 1)

)

×((β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ k − 1)

(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(k + k + ρ)

)

×k−1∑

m=0

(1

α+ ρ+m+

1

β + ρ+m− 1

ρ+m− 1

ρ+ k +m+ 1

))

20

+

+∞∑

n=k+1

z−k+n

(lim

ρ→−k

((α+ ρ)(α + ρ+ 1)· · ·(α+ ρ+ n− 1)

(ρ+ 1)(ρ+ 2)· · ·(ρ+ k − 1)(ρ+ k + 1)(ρ+ k + 2)· · ·(ρ+ n− 1)(ρ+ n)

)

×((β + ρ)(β + ρ+ 1)· · ·(β + ρ+ n− 1)

(1 + k + ρ)(2 + k + ρ)· · ·(n+ k + ρ)

)

×(k−2∑

m=0

(1

α+ ρ+m+

1

β + ρ+m− 1

ρ+m+ 1− 1

ρ+ k +m+ 1

)

+

(1

α+ ρ+ k − 1+

1

β + ρ+ k − 1− 1

ρ+ k + k

)

+

n−1∑

m=k

(1

α+ ρ+m+

1

β + ρ+m− 1

ρ+m+ 1− 1

ρ+ k +m+ 1

)))

=((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)F (α, β, k + 1; z)log(z)

+ z−k +

k−1∑

n=1

z−k+n

(((α− k)(α − k + 1)· · ·(α− k + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−k + n− 1)(−k + n)

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − k + n− 1)

1×2×· · ·×n

))

+

((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)

−k(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)

)((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

1×2×· · ·×k

)

+

(((α − k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)

)((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

1×2×· · ·×k

)

×k−1∑

m=0

(1

α− k +m+

1

β − k +m− 1

−k +m− 1

m+ 1

))

+

+∞∑

n=k+1

z−k+n

((α− k)(α− k + 1)· · ·(α − k + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)×· · ·×(k − 1)×1×2×· · ·×(−k + n− 1)(−k + n)

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − k + n− 1)

1×2×· · ·×n

)

×(

k−2∑

m=0

(1

α− k +m+

1

β − k +m− 1

−k +m+ 1− 1

m+ 1

)

+

(1

α− 1+

1

β − 1− 1

k

)

+

n−1∑

m=k

(1

α− k +m+

1

β − k +m− 1

−k +m+ 1− 1

m+ 1

))

=((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)F (α, β, k + 1; z)log(z)

+ z−k +

k−1∑

n=1

z−k+n

((α − k)(α− k + 1)· · ·(α− k + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−k + n− 1)(−k + n)

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − k + n− 1)

1×2×· · ·×n

))

+

((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)

−k(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)

)((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

1×2×· · ·×k

)

+

(((α − k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)

)((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

1×2×· · ·×k

)

21

×k−1∑

m=0

(1

α− k +m+

1

β − k +m

))

+

+∞∑

n=k+1

z−k+n

((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− k + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)×· · ·×(−1)×1×2×· · ·×(−k + n− 1)(−k + n)

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − k + n− 1)

1×2×· · ·×n

)

×(

k−2∑

m=0

(1

α− k +m+

1

β − k +m

)

+

(1

α− 1+

1

β − 1− 1

k

)

+

n−1∑

m=k

(1

α− k +m+

1

β − k +m− 1

−k +m+ 1− 1

m+ 1

))

=((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)F (α, β, k + 1; z)log(z)

+ z−k +

k−1∑

n=1

z−k+n

((α − k)(α− k + 1)· · ·(α− k + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−k + n− 1)(−k + n)

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − k + n− 1)

1×2×· · ·×n

))

+

((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)

−k(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)

)((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

1×2×· · ·×k

)

+

(((α − k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)

)((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

1×2×· · ·×k

)

×k−1∑

m=0

(1

α− k +m+

1

β − k +m

))

+

+∞∑

n=k+1

z−k+n

((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− k + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)×· · ·×(−1)×1×2×· · ·×(−k + n− 1)(−k + n)

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − k + n− 1)

1×2×· · ·×n

)

×(

k−2∑

m=0

(1

α− k +m+

1

β − k +m

)

+

(1

α− 1+

1

β − 1− 1

k

))

+

+∞∑

n=1

z−k+n

((α − k)(α− k + 1)· · ·(α+ n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)×· · ·×(−1)×1×2×· · ·×(n− 1)n

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β + n− 1)

1×2×· · ·×(n+ k)

)

×n−1∑

m=0

(1

α+m+

1

β +m− 1

m+ 1− 1

k +m+ 1

)

=((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)F (α, β, k + 1; z)log(z)

+ z−k +

k−1∑

n=1

z−k+n

((α − k)(α− k + 1)· · ·(α− k + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−k + n− 1)(−k + n)

)

22

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − k + n− 1)

1×2×· · ·×n

))

+

((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k

)

×(

− 1

k+

k−1∑

m=0

(1

α− k +m+

1

β − k +m

))

×(1 +

+∞∑

n=1

(α(α+ 1)· · ·(α+ n− 1)β(β + 1)· · ·(β + n− 1)

n!×(k + 1)×(k + 2)×· · ·×(n+ k)

)zn

)

+

+∞∑

n=1

z−k+n

((α − k)(α− k + 1)· · ·(α+ n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)×· · ·×(−1)×1×2×· · ·×(n− 1)n

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β + n− 1)

1×2×· · ·×(n+ k

)

×n−1∑

m=0

(1

α+m+

1

β +m− 1

m+ 1− 1

k +m+ 1

)

=((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)F (α, β, k + 1; z)log(z)

+ z−k +

k−1∑

n=1

z−k+n

((α − k)(α− k + 1)· · ·(α− k + n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−k + n− 1)(−k + n)

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β − k + n− 1)

1×2×· · ·×n

))

+

((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k

)

×(

− 1

k+

k−1∑

m=0

(1

α− k +m+

1

β − k +m

))

×F (α, β, k + 1; z)

+

+∞∑

n=1

z−k+n

((α − k)(α− k + 1)· · ·(α+ n− 1)

(−k + 1)(−k + 2)×· · ·×(−1)×1×2×· · ·×(n− 1)n

)

×((β − k)(β − k + 1)· · ·(β + n− 1)

1×2×· · ·×(n+ k

)

×n−1∑

m=0

(1

α+m+

1

β +m− 1

m+ 1− 1

k +m+ 1

)

=((α− k)(α− k + 1)· · ·(α− 1)(β − k)(β − k + 1)· · ·(β − 1)

(−k + 1)(−k + 2)· · ·(−1)1×2×· · ·×k)

×(F (α, β, k + 1; z)log(z)

+

(− 1

k+

k−1∑

m=0

(1

α− k +m+

1

β − k +m

))F (α, β, k + 1; z)

+ (−1)k+1k!

k−1∑

n=0

(−1)n(k − n− 1)!zn−k

n!(α− 1)(α− 2)· · ·(α− k + n)(β − 1)(β − 2)· · ·(β − k + n)

+

+∞∑

n=1

α(α+ 1)· · ·(α+ n− 1)β(β + 1)· · ·(β + n− 1)

n!(k + 1)(k + 2)· · ·(k + n)

23

×{n−1∑

m=0

( 1

α+m+

1

β +m− 1

k + 1 +m− 1

1 +m

)}zn

)(0 < |z| < 1) (108)

すなわち

w2(z) = F (α, β, k + 1; z)log(z)

+(−1)k+1k!k−1∑

n=0

(−1)n(k − n− 1)!zn−k

n!(α− 1)(α− 2)· · ·(α− k + n)(β − 1)(β − 2)· · ·(β − k + n)

+

+∞∑

n=1

α(α+ 1)· · ·(α+ n− 1)β(β + 1)· · ·(β + n− 1)

n!(k + 1)(k + 2)· · ·(k + n)

×{n−1∑

m=0

( 1

α+m+

1

β +m− 1

k + 1 +m− 1

1 +m

)}zn (0 < |z| < 1) (109)

が得られる.γ が 0 または負の整数である場合,すなわち γ = −k+ 1 (k = 1, 2, 3, · · ·) の時も決定方程式 (102) の解

は ρ = 0,−k とやはり重根ではないが, 式 (104) の解 w1(z) = F (α, β,−k + 1; z) が意味を失ってしまう.この場合の解は γ が正の整数である場合に得られた 0 < |z| < 1 における解を用いて得ることができる.

w(z) = z1−γv(z) = zkv(z)

と変換することで超幾何微分方程式 (100) は

z(1− z)d2

dz2v(z) +

((k + 1

)−((α+ k) + (β + k) + 1

)z) ddzv(z)− (α + k)(β + k)v(z) = 0 (110)

と書き換えれる. γ = 1, 2, 3, · · · の時の超幾何微分方程式 (100) とその解を比較することで基本解は次のように与えられる.

w1(z) = zkF (α+ k, β + k, k + 1; z) (0 < |z| < 1)

w2(z) = zkF (α+ k, β + k, k + 1; z)logz

+(−1)k+2(k + 1)!

×k∑

n=0

(−1)n(k − n)!zn−k+1

n!(α+ k − 1)(α+ k − 2)· · ·(α+ 1 + n)(β + k − 1)(β + k − 2)· · ·(β + 1 + n)

+

+∞∑

n=1

(α + k)(α+ k + 1)· · ·(α+ k + n− 1)(β + k)(β + k + 1)· · ·(β + k + n− 1)

n!(k + 2)(k + 3)· · ·(k + n+ 1)

×{n−1∑

m=0

( 1

α+ k +m+

1

β + k +m− 1

k + 2 +m− 1

1 +m

)}zn

(0 < |z| < 1) (111)

が得られる.確定特異点 z = 1 の周りの解は ζ≡1− z と変数変換すると

ζ(1 − ζ)d2

dz2w(1 − ζ) +

(1− γ + α+ β − (1 + α+ β)ζ

) ddζw(1 − ζ)− αβw(1 − ζ) = 0 (112)

が得られる. この方程式は微分方程式 (100) において α, β, γ を α, β, 1− γ + α+ β と置き換えたものであるから, ζ = 0 の周りの領域 |ζ| < 1 における解を考えればよい. 従って, γ が非整数である場合の z = 1の周りの 0 < |z − 1| < 1 における微分方程式 (100) の基本系は以下のように求められる.

w1(z) = F (α, β, 1 − γ + α+ β; 1− z) (0 < |z − 1| < 1) (113)

w2(z) = zγ−α−βF (γ − β, γ − α, 1 + γ − α− β; 1 − z) (0 < |z − 1| < 1) (114)

24

が得られる.確定特異点 z = ∞ の周りの微分方程式 (100) の基本系は z = 1/ζ とおくことにより,

d2

dζ2w(

1

ζ) +

(−1 + α+ β) + (2 − γ)ζ

ζ(ζ − 1)

d

dζw(

1

ζ)− αβ

ζ2(ζ − 1)w(

1

ζ) = 0 (115)

と書き換えられる. ここで w(1ζ ) = ζαv(ζ) とおくことにより

d2

dζ2v(ζ) +

(−1− α+ β) + (2 − γ + 2α)ζ

ζ(ζ − 1)

d

dζv(ζ) +

α(1− γ + α)

ζ(ζ − 1)v(ζ) = 0 (116)

という v(ζ) に対する微分方程式に書き換えられる. 微分方程式 (100) と係数を比較すると式 (104) および式 (105) により, γ が非整数である場合の 1 < |z| < +∞ における解は以下のように与えられる.

w1(z) =1

zαF (α, 1− γ + α, 1 + α− β;

1

z) (1 < |z| < +∞) (117)

w2(z) =1

zβF (β, 1 − γ + β, 1− α+ β;

1

z) (1 < |z| < +∞) (118)

詳細については以下の参考文献を参考にせよ.

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論, pp.68-75 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数, pp.77-86 (岩波全書 252, 岩波書店).

3. 西本敏彦著, 超幾何・合流型超幾何微分方程式, pp.59-65 (共立出版).

4. 福山秀敏, 小形正男著, 物理数学 I (朝倉書店)

5. E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press).

4.2. 合流型超幾何微分方程式の級数表示解超幾何微分方程式 (100) において βz = ζ を行えば, 以下のように書き換えられ,

ζ(1− ζ

β

) d2dζ2

w(ζ

β) +

(γ − 1 + α+ β

βζ) ddζw(

ζ

β)− αw(

ζ

β) = 0 (119)

z-平面で z = 0, 1, ∞ にあった確定特異点は ζ-平面では ζ = 0, β, ∞ に移る. この書き換えらた方程式において ζ を z に w(ζ/β) を w(z) に置き換えられることにより以下の方程式が得られる.

z(1− z

β

) d2dz2

w(z) +(γ − 1 + α+ β

βz) ddzw(z)− αw(z) = 0 (120)

この微分方程式においてすべての特異点は z = 0, β, ∞ であり, いずれも確定特異点である. ここで β→∞の極限をとることにより確定特異点 z = β をもう一つの確定特異点 z = ∞ に合流させることにより方程式は以下のようになる.

zd2

dz2w(z) +

(γ − z

) ddzw(z)− αw(z) = 0 (121)

式 (121) は合流型超幾何微分方程式と呼ばれ, すべての特異点は z = 0 であり, z = ∞ は特異点ではあるがもはや確定特異点ではないことは容易に確かめることができる.定理 1-10 により z = 0 の周りの領域 0 < |z| < +∞0 における級数表示解を

w(z) = zρ+∞∑

n=0

cnzn (122)

とおき, これを微分方程式 (121) に代入し, zn の係数ごとにに整理し, z の恒等式とみなすと以下の ρ に対する決定方程式と係数 cn に対する漸化式が得られる.

ρ(ρ− 1 + γ) = 0 (123)

25

(ρ+ n+ 1)(ρ+ n+ γ)cn+1 = (ρ+ n+ α)cn (n = 0, 1, 2, · · ·) (124)

式 (124) により係数 cn は次のように与えられる.

cn =(ρ+ n− 1 + α)(ρ+ n− 2 + α)· · ·(ρ+ α)

(ρ+ n)(ρ+ n− 1)· · ·(ρ+ 1)(ρ+ n− 1 + γ)(ρ+ n− 2 + γ)· · ·(ρ+ γ)c0 (n = 0, 1, 2, · · ·)

まず，γ が整数でない場合のみを考えることにすると ρ = 0 および ρ = γ の時の級数表示解 w1(z),w2(z) は

w1(z) = F (α, γ; z) (0 < |z| < +∞) (125)

w2(z) = z1−γF (1− γ + α, 2 − γ; z) (0 < |z| < +∞) (126)

F (α, γ; z) ≡ 1 +α

1·γ z +α(α + 1)

1·2·γ(γ + 1)z2 +

α(α+ 1)(α+ 2)

1·2·3·γ(γ + 1)(γ + 2)z3 + · · ·

= 1 +

+∞∑

n=1

α(α+ 1)(α+ 2)· · ·(α+ n− 1)

n!γ(γ + 1)(γ + 2)· · ·(γ + n− 1)zn (127)

で与えられる. 整級数 (127) の収束半径 R は以下のように与えられる.

R = limn→+∞

∣∣∣cn+1

cn

∣∣∣ = limn→+∞

∣∣∣ (ρ+ n+ 1)(ρ+ n+ γ)

(ρ+ n+ α)

∣∣∣ = ∞, (ρ = 0, 1− γ) (128)

すなわち, 式 (125) およぶ式 (126) で与えられた w1(z), w2(z) は微分方程式 (121) の |z| > 0 における基本系であることが確かめられる. 微分方程式 (121) の z = 0 の周りの領域 |z| > 0 における基本系 w1(z),w2(z) の級数表示解は式 (104) および式 (105) で与えられた微分方程式 (100) の基本系の級数表示解おいて z = ζ/β と変数変換し, β→∞ の極限をとり, ζ を z と書き直すことにより基本系が式 (125) および式(126) のように与えられることもわかる.

問 9. γ が非整数である場合に合流型超幾何微分方程式 (121) の 0 < |z| < +∞ における基本系が式 (127)により定義された級数 F (α, γ; z) を用いて式 (125) および式 (126) により与えられることを上記の手順に従って具体的に導出せよ.

次に γ = 1 の場合を考える. 決定方程式 (123) の解は重根 ρ = 0 となる. 解の一つは

w1(z) = F (α, 1; z) (|z| > 0)

である. もう一つの解は

u(z, ρ) ≡+∞∑

n=0

(ρ+ n− 1 + α)(ρ+ n− 2 + α)· · ·(ρ+ α)

(ρ+ n)(ρ+ n− 1)· · ·(ρ+ 1)(ρ+ n− 1 + γ)(ρ+ n− 2 + γ)· · ·(ρ+ γ)zρ+n

を導入することで

w2(z) = limρ→0

∂

∂ρu(z, ρ)

= F (α, 1; z)log(z)

++∞∑

n=1

α(α+ 1)(α+ 2)· · ·(α+ n− 1)

(n!)2

{n−1∑

m=0

( 1

α+m− 2

1 +m

)}zn (|z| > 0)

γ が 2 以上の整数である場合, すなわち γ = k + 1 (k = 1, 2, 3, · · ·) の時は決定方程式 (123) の解はρ = 0, k と重根ではないが, 式 (126) の解が 0 < |z| < 1 であっても発散して意味を失ってしまう. 解の一つは

w1(z) = F (α, k + 1; z) (|z| > 0)

26

である. もう一つの解は

limρ→k

∂

∂ρ(ρ− k)u(z, ρ) (129)

を計算することで

w2(z) = F (α, k + 1; z)log(z)

+(−1)k+1k!

k−1∑

n=0

(−1)n(k − n− 1)

(α− 1)(α− 2)· · ·(α− k + n)zn−k

+

+∞∑

n=1

α(α+ 1)(α+ 2)· · ·(α+ n− 1)

n!(k + 1)(k + 2)· · ·(k + n)

{n−1∑

m=0

( 1

α+m− 1

1 +m+ k− 1

1 +m

)}zn (|z| > 0)

(130)

により得ることができる.最後に γ が 0または負の整数,すなわち γ = −k+1 (k = 1, 2, 3, · · ·)の場合は式 (125)の解が 0 < |z| < 1

であっても発散して意味を失ってしまう. しかしながらこの場合は w(z) = z1−γv(z) と変換することで合流型超幾何微分方程式 (121) の α と γ を α − γ + 1 と 2 − γ にそれぞれ置き換えた方程式に帰着される.つまり γ が正の整数の場合の解で α と γ を α− γ + 1 と 2− γ にそれぞれ置き換えた式が γ が 0 または負の整数の場合の解であり, 基本系であるということになる.式 (125) および式 (126) は超幾何微分方程式 (100) おいて確定特異点 z = 1 をもう一つの確定特異点

z = ∞ に合流させる操作から

w1(z) = limβ→+∞

F(α, β, γ;

z

β

)(0 < |z| < +∞)

w2(z) = limβ→+∞

z1−γF(1− γ + α, 1− γ + β, 2− γ;

z

β

)(0 < |z| < +∞)

を計算することによっても得ることができる. そして γ が整数の時も, 対応する極限操作を行うことで超幾何微分方程式の基本解から合流型の超幾何微分方程式の基本解を得ることができる.式 (121) において γ = 1, α = −λ とおいた以下の微分方程式をラゲール (Laguerre) の微分方程式と

いう.

zd2

dz2w(z) +

(1− z

) ddzw(z) + λw(z) = 0 (131)

計算の詳細は省略するが，この基本系は

w1(z) = F (−λ, 1; z) (|z| > 0) (132)

w2(z) = limρ→0

∂

∂ρ

{+∞∑

n=0

( (ρ+ n− 1− λ)(ρ+ n− 2− λ)· · ·(ρ− λ)

(ρ+ n)2(ρ+ n− 1)2· · ·(ρ+ 1)2

)zn+ρ

}

= F (−λ, 1; z)log(z)

−+∞∑

n=1

(−1)nλ(λ− 1)(λ− 2)· · ·(λ− n+ 1)

122232· · ·n2

{ 1

λ+

1

λ− 1+

1

λ− 2+ · · ·+ 1

λ− n+ 1

+ 2(1 +

1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n

)}zn (|z| > 0) (133)

となる. （式 (125) および式 (126) は γ = 1 で縮退してしまうことに注意しなければならない．）λ を自然数 ν = 0, 1, 2, · · · とすると F (−ν, 1, z) は ν 次の多項式となる. 以下に与えられる多項式 Lν(z) をラゲール(Laguerre) の多項式という.

Lν(z) ≡ ν!F (−ν, 1, z)

=

ν∑

m=0

(−1)ν−m {m(m− 1)(m− 2)· · ·(ν −m+ 1)}2m!

zν−m

= exp(z)dν

dzν

(zνexp(−z)

)(134)

27

具体的に Lν(z) をいくつか書くと以下のようになる.

L0(z) = 1, L1(z) = −z + 1, L2(z) = z2 − 4z + 2

また, 合流型超幾何微分方程式 (121) において変数変換 z = ζ2 とおくことにより

d2

dζ2w(ζ2) +

(2γ − 1

ζ− 2ζ

) ddζw(ζ2)− 4αw(ζ2) = 0 (135)

ここで, γ = 1/2, −2α = λ とおき, ζ と w(ζ2) を z と w(z) に置き換えることにより

d2

dz2w(z)− 2z

d

dzw(z) + 2λw(z) = 0 (136)

という微分方程式が得られる. 逆に言えば微分方程式 (136) は変数変換 z = ζ2 により α = −λ2 , γ = 1

2 とおいた合流型超幾何微分方程式 (121) に帰着される. 微分方程式 (136) はエルミートの微分方程式と呼ばれ, 任意の z において正則であり, その基本系 w1(z), w2(z) は任意の複素数 z に対して以下のように与えられる.

w1(z) = F (−λ2,1

2; z2) (137)

w2(z) = zF (−λ+ 1

2,3

2; z2) (138)

λ が偶数の時は w1(z) が, λ が奇数の時は w2(z) がそれぞれ λ 次の多項式となる. そこで, 以下のように定義される Hν(z) をエルミートの多項式という.

H2m(z) = (−1)m(2m)!

m!F (−m, 1

2; z2) (m = 0, 1, 2, · · ·) (139)

H2m+1(z) = 2(−1)m(2m+ 1)!

m!zF (−m, 3

2; z2) (m = 0, 1, 2, · · ·) (140)

すなわち,

Hν(z) = (2z)ν − ν(ν − 1)

1!(2z)ν−2

+ν(ν − 1)(ν − 2)(ν − 3)

2!(2z)ν−4 − ν(ν − 1)(ν − 2)(ν − 3)(ν − 4)(ν − 5)

3!(2z)ν−6 + · · ·

= (−1)νexp(z2)dν

dzν

(exp(−z2)

)(m = 0, 1, 2, · · ·) (141)

具体的に Hν(z) をいくつか書くと以下のようになる.

H0(z) = 1, H1(z) = 2z, H2(z) = 4z2 − 2

詳細については以下の参考文献を参考にせよ.

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論, pp.75-86 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数, pp.86-90 (岩波全書 252, 岩波書店).

3. 西本敏彦著, 超幾何・合流型超幾何微分方程式, pp.100-103, pp.112-123, (共立出版).

4. E. T. Whittaker and G. N. Waton, A Course of Modern Analysis (Cambridge University Press).

28

第 2 章. 定積分による 2 階線型常微分方程式の解法第 1 節. 積分変換

z を複素変数とする時, 次の形の w(z) に対する斉次線形常微分方程式を考える.

L[w]≡p0(z)d2

dz2w(z) + p1(z)

d

dzw(z) + p2(z)w(z) = 0 (142)

但し, p0(z), p1(z), p2(z) は z の複素関数である. この方程式の解を

w(z) =

∫

C

K(z, ζ)v(ζ)dζ (143)

の形に求めることを考える. K(z, ζ) は複素数 z と ζ の関数であり, オイラーの変換K(z, ζ)≡exp(zζ) またはラプラスの変換 K(z, ζ)≡(z − ζ)λ がよく用いられる. v(z) は w(z) が微分方程式 (142) を満足するように選ばれる関数である. C は ζ-平面上の適当な開いたまたは閉じた積分路を表す.まず準備として

∫Cv(z)L[w]dz を考える.

∫

C

v(z)L[w]dz =

∫

C

v(z)(p0(z)

d2

dz2w(z) + p1(z)

d

dzw(z) + p2(z)w(z)

)dz

=

∫

C

v(z)p0(z)d2

dz2w(z)dz +

∫

C

v(z)p1(z)d

dzw(z)dz +

∫

C

v(z)p2(z)w(z)dz

=[v(z)p0(z)

d

dzw(z)

]C−∫

C

d

dz

(v(z)p0(z)

) ddzw(z)dz +

[v(z)p1(z)w(z)

]C

−∫

C

d

dz

(v(z)p1(z)

)w(z)dz +

∫

C

v(z)p2(z)w(z)dz

=[v(z)p0(z)

d

dzw(z)

]C−[ ddz

(v(z)p0(z)

)w(z)

]C+

∫

C

d2

dz2

(v(z)p0(z)

)w(z)dz

+[v(z)p1(z)w(z)

]C−∫

C

d

dz

(v(z)p1(z)

)w(z)dz +

∫

C

v(z)p2(z)w(z)dz

=

∫

C

{ d2

dz2

(v(z)p0(z)

)− d

dz

(v(z)p1(z)

)+ v(z)p2(z)

}w(z)dz

+[v(z)p0(z)

d

dzw(z)− d

dz

(v(z)p0(z)

)w(z) + v(z)p1(z)w(z)

]C

(144)

ここで, [ ]C は積分路 C が開曲線の場合の終点と始点における [ ] 内の関数値の差を表し, 閉曲線の場合には一周したときの関数値の増加を表す. ここで

M [v]≡ d2

dz2

(v(z)p0(z)

)− d

dz

(v(z)p1(z)

)+ v(z)p2(z) (145)

を導入すると式 (144) は以下のように書き換えられる.

∫

C

v(z)L[w]dz =

∫

C

w(z)M [v]dz +[v(z)p0(z)

d

dzw(z)− d

dz

(v(z)p0(z)

)w(z) + v(z)p1(z)w(z)

]C

(146)

M [v] は L[v] の随伴微分式という. 式 (143) を式 (142) に代入する.

p0(z)d2

dz2

∫

C

K(z, ζ)v(ζ)dζ + p1(z)d

dz

∫

C

K(z, ζ)v(ζ)dζ + p2(z)

∫

C

K(z, ζ)v(ζ)dζ = 0 (147)

∫

C

(p0(z)

d2

dz2K(z, ζ) + p1(z)

d

dzK(z, ζ) + p2(z)K(z, ζ)

)v(ζ)dζ = 0 (148)

∫

C

L[z,K(z, ζ)]v(ζ)dζ = 0 (149)

29

L[z,K(z, ζ)] は以下のように定義される.

L[z,K(z, ζ)]≡p0(z)d2

dz2K(z, ζ) + p1(z)

d

dzK(z, ζ) + p2(z)K(z, ζ) (150)

ここで K(z, ζ) が以下の偏微分関係式を満たすとする.

L[z,K(z, ζ)] = A[z,K(z, ζ)] (151)

A[ζ,K(z, ζ)]≡a0(ζ)d2

dζ2K(z, ζ) + a1(ζ)

d

dζK(z, ζ) + a2(ζ)K(z, ζ) (152)

この時, 式 (149) は以下のように書き換えられる.∫

C

A[ζ,K(z, ζ)]v(ζ)dζ = 0 (153)

式 (152) を式 (153) に代入することにより以下の等式が得られる.

∫

C

A[ζ,K(z, ζ)]v(ζ)dζ =

∫

C

(a0(ζ)

d2

dζ2K(z, ζ) + a1(ζ)

d

dζK(z, ζ) + a2(ζ)K(z, ζ)

)v(ζ)dζ

=

∫

C

a0(ζ)v(ζ)d2

dζ2K(z, ζ)dζ +

∫

C

a1(ζ)v(ζ)d

dζK(z, ζ)dζ +

∫

C

a2(ζ)v(ζ)K(z, ζ)dζ

=[a0(ζ)v(ζ)

d

dζK(z, ζ)

]C−∫

C

d

dζK(z, ζ)

d

dζ

(a0(ζ)v(ζ)

)dζ

+[a1(ζ)v(ζ)K(z, ζ)

]C−∫

C

d

dζ

(a1(ζ)v(ζ)

)K(z, ζ)dζ +

∫

C

a2(ζ)v(ζ)K(z, ζ)dζ

=[a0(ζ)v(ζ)

d

dζK(z, ζ)

]C−[K(z, ζ)

d

dζ

(a0(ζ)v(ζ)

)]C

+

∫

C

K(z, ζ)d2

dζ2

(a0(ζ)v(ζ)

)dζ +

[a1(ζ)v(ζ)K(z, ζ)

]C

−∫

C

d

dζ

(a1(ζ)v(ζ)

)K(z, ζ)dζ +

∫

C

a2(ζ)v(ζ)K(z, ζ)dζ

=

∫

C

K(z, ζ){ d2

dζ2

(a0(ζ)v(ζ)

)− d

dζ

(a1(ζ)v(ζ)

)+ a2(ζ)v(ζ)

}dζ

+[a0(ζ)v(ζ)

d

dζK(z, ζ)−K(z, ζ)

d

dζ

(a0(ζ)v(ζ)

)+ a1(ζ)v(ζ)K(z, ζ)

]C

すなわち∫

C

K(z, ζ){ d2

dζ2

(a0(ζ)v(ζ)

)− d

dζ

(a1(ζ)v(ζ)

)+ a2(ζ)v(ζ)

}dζ

+[(a0(ζ)v(ζ)

) ddζK(z, ζ)− d

dζ

(a0(ζ)v(ζ)

)K(z, ζ) + a1(ζ)v(ζ)K(z, ζ)

]C= 0 (154)

が成り立ち, これを z の恒等式とみると

d2

dζ2

(a0(ζ)v(ζ)

)− d

dζ

(a1(ζ)v(ζ)

)+ a2(ζ)v(ζ) = 0 (155)

[(a0(ζ)v(ζ)

) ddζK(z, ζ)− d

dζ

(a0(ζ)v(ζ)

)K(z, ζ) + a1(ζ)v(ζ)K(z, ζ)

]C= 0 (156)

という関係式が得られる.詳細については以下の参考文献を参考にせよ.

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論, pp.87-91 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数, pp.151-154 (岩波全書 252, 岩波書店).

30

第 2 節. ルジャンドル関数の積分表示ルジャンドルの微分方程式

(1− z2)d2

dz2w(z)− 2z

d

dzw(z) + ν(ν + 1)w(z) = 0 (ν = 0, 1, 2, · · ·) (157)

に対する積分表示解を考える. 第 1-2 節で既に触れたように z = ±1 および z = ∞ は方程式 (157) の確定特異点であり, この他の任意の点は正則点である. そこでこの方程式 (157) に対するオイラーの変換の形

w(z) =

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ (158)

の解を求めることとする. まず, 式 (157) の左辺の各項に式 (158) を代入し整理する.

(1− z2)d2

dz2w(z) = (1− z2)

d2

dz2

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ

= (1 − z2)

∫

C

d2

dz2(z − ζ)λv(ζ)dζ =

∫

C

λ(λ − 1)(1− z2)(z − ζ)λ−2v(ζ)dζ

−2zd

dzw(z) = −2z

d

dz

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ = −2z

∫

C

d

dz(z − ζ)λv(ζ)dζ

= −2z

∫

C

λ(z − ζ)λ−1v(ζ)dζ =

∫

C

(−2λz)(z − ζ)λ−1v(ζ)dζ

ν(ν + 1)w(z) = ν(ν + 1)

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ =

∫

C

ν(ν + 1)(z − ζ)λv(ζ)dζ

これにより微分方程式 (157) は以下のように書き換えられる.

∫

C

(λ(λ − 1)(1− z2)(z − ζ)λ−2 + (−2λz)(z − ζ)λ−1 + ν(ν + 1)(z − ζ)λ

)v(ζ)dζ = 0 (159)

ここで, z = (z − ζ) + ζ と表し, 整理した後に

λ(z − ζ)λ−1 = − ∂

∂ζ(z − ζ)λ

λ(λ − 1)(z − ζ)λ−2 =∂2

∂ζ2(z − ζ)λ

という等式を用いれば等式 (159) は以下のように書き直される.∫

C

(λ(λ − 1)(1− ((z − ζ) + ζ)2)(z − ζ)λ−2

+(−2λ((z − ζ) + ζ))(z − ζ)λ−1 + ν(ν + 1)(z − ζ)λ)v(ζ)dζ = 0

∫

C

(λ(λ− 1)(z − ζ)λ−2 − λ(λ− 1)(z − ζ)λ − 2λ(λ− 1)ζ(z − ζ)λ−1

−λ(λ− 1)ζ2(z − ζ)λ−2 − 2λ(z − ζ)λ − 2λζ(z − ζ)λ−1 + ν(ν + 1)(z − ζ)λ)v(ζ)dζ = 0

∫

C

(λ(λ− 1)(1− ζ2)(z − ζ)λ−2 − 2λ2ζ(z − ζ)λ−1 − (λ+ ν + 1)(λ− ν)(z − ζ)λ

)v(ζ)dζ = 0

∫

C

((1− ζ2)

∂2

∂ζ2(z − ζ)λ + 2λζ

∂

∂ζ(z − ζ)λ

)v(ζ)dζ − (λ+ ν + 1)(λ− ν)

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ = 0 (160)

31

更に等式 (160) の左辺の第 1 項と第 2 項について部分積分を行う.

∫

C

(1− ζ2)∂2

∂ζ2(z − ζ)λv(ζ)dζ +

∫

C

2λζ( ∂∂ζ

(z − ζ)λ)v(ζ)dζ − (λ + ν + 1)(λ− ν)

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ = 0

−∫

C

∂

∂ζ

((z − ζ)λ

) ∂∂ζ

((1− ζ2)v(ζ)

)dζ − 2λ

∫

C

∂

∂ζ

(ζv(ζ)

)(z − ζ)λdζ

+[(1 − ζ2)v(ζ)

∂

∂ζ(z − ζ)λ

]C+[2λζv(ζ)(z − ζ)λ

]C

−(λ+ ν + 1)(λ− ν)

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ = 0

∫

C

(z − ζ)λ∂2

∂ζ2

((1− ζ2)v(ζ)

)dζ − 2λ

∫

C

∂

∂ζ

(ζv(ζ)

)(z − ζ)λdζ

+[(1 − ζ2)v(ζ)

∂

∂ζ(z − ζ)λ

]C−[(z − ζ)λ

∂

∂ζ

((1− ζ2)v(ζ)

)]C+[2λζv(ζ)(z − ζ)λ

]C

−(λ+ ν + 1)(λ− ν)

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ = 0

∫

C

{ ∂2

∂ζ2

((1 − ζ2)v(ζ)

)− 2λ

∂

∂ζ

(ζv(ζ)

)}(z − ζ)λdζ

+[(1 − ζ2)v(ζ)

∂

∂ζ(z − ζ)λ − (z − ζ)λ

∂

∂ζ

((1− ζ2)v(ζ)

)+ 2λζv(ζ)(z − ζ)λ

]C

−(λ+ ν + 1)(λ− ν)

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ = 0 (161)

得られた等式 (161) の成り立つための十分条件は以下の通りである.

∂2

∂ζ2

((1− ζ2)v(ζ)

)− 2λ

∂

∂ζ

(ζv(ζ)

)= 0 (162)

[(1 − ζ2)v(ζ)

∂

∂ζ(z − ζ)λ − (z − ζ)λ

∂

∂ζ

((1− ζ2)v(ζ)

)+ 2λζv(ζ)(z − ζ)λ

]C= 0 (163)

(λ + ν + 1)(λ− ν) = 0 (164)

微分方程式 (162) を解くと v(z) は以下のように与えられる.

∂

∂ζ

((1− ζ2)v(ζ)

)− 2λζv(ζ) = 0 (ここでは積分定数は 0とおいている.) (165)

(1− ζ2)∂

∂ζv(ζ) − 2(1 + λ)ζv(ζ) = 0 (166)

( 1

v(ζ)

) ∂∂ζv(ζ) = (1 + λ)

( 1

1− ζ− 1

1 + ζ

)(167)

ln(v(ζ)) = (1 + λ)(− ln(1− ζ) − ln(1 + ζ)

)+Constant (168)

v(ζ) = A×(1− ζ)−1−λ(1 + ζ)−1−λ (169)

32

ここで, A は積分定数である. この v(z) を式 (163) に代入して整理する事により積分路 C に対する条件式が以下のように得られる.

[(1− ζ2)(1− ζ)−1−λ(1 + ζ)−1−λ ∂

∂ζ(z − ζ)λ − (z − ζ)λ

∂

∂ζ

((1 − ζ2)(1 − ζ)−1−λ(1 + ζ)−1−λ

)

+2λζ(1− ζ)−1−λ(1 + ζ)−1−λ(z − ζ)λ]C= 0

[− λ(1− ζ2)(1 − ζ)−1−λ(1 + ζ)−1−λ(z − ζ)λ−1 + 2ζ(z − ζ)λ(1− ζ)−1−λ(1 + ζ)−1−λ

−(1 + λ)(z − ζ)λ(1− ζ2)(1 − ζ)−2−λ(1 + ζ)−1−λ + (1 + λ)(z − ζ)λ(1− ζ2)(1− ζ)−1−λ(1 + ζ)−2−λ

+2λζ(1− ζ)−1−λ(1 + ζ)−1−λ(z − ζ)λ]C= 0

[− λ(1− ζ2)−λ(z − ζ)λ−1 + 2ζ(z − ζ)λ(1− ζ2)−1−λ

−(1 + λ)(z − ζ)λ(1 − ζ2)−1−λ(1 + ζ) + (1 + λ)(z − ζ)λ(1− ζ2)−1−λ(1 − ζ)

+2λζ(1 − ζ2)−1−λ(z − ζ)λ]C= 0

[− λ(1 − ζ2)−λ(z − ζ)λ−1 + 2ζ(z − ζ)λ(1− ζ2)−1−λ

−2(1 + λ)ζ(z − ζ)λ(1− ζ2)−1−λ + 2λζ(1− ζ2)−1−λ(z − ζ)λ]C= 0

λ[(1− ζ2)−λ(z − ζ)λ−1

]C= 0 (170)

最終的には式 (169) を式 (158) に代入することにより, w(z) の表式が得られ, その積分路 C を決める方程式は式 (170) により与えられ, また, λ は式 (164) の解として得られる. このことを整理すると以下のように与えられる.

w(z) = A

∫

C

(z − ζ)λ(1 − ζ)−1−λ(1 + ζ)−1−λdζ (171)

[(1− ζ)−λ(1 + ζ)−λ(z − ζ)λ−1

]C= 0 (172)

(λ + ν + 1)(λ− ν) = 0 (173)

積分路 C を選ぶために, まず ζ-平面上で ζ = ±1, z, ∞ は多価関数 (1 − ζ)−λ(1 + ζ)−λ(z − ζ)λ−1 の分岐点であることに注意する. ζ = 1 と ζ = z を結ぶ単一曲線および ζ = −1 と ζ = ∞ を結ぶ単一曲線を互いに交わらない形で選んで, これを切断として採用することとする. (普通は ζ = 1, ζ = z を結ぶ線分と ζ = −1, ζ = ∞ を負の実軸上に沿って結ぶ線分を切断として採用することが多い.) 積分路 C はこの 2本の切断を横切らないようにを選ばなければならないことに注意しながら, 1 つの選択肢として, ζ = 1 とζ = z を内部に持ち, ζ = −1 を外部に持つ単一閉曲線上を反時計回りに回る積分路をC として採用したとする. C の始点における絶対値と偏角をそれぞれ |1− ζ| = r1, |1 + ζ| = r−1, |z − ζ| = rz , arg(1− ζ) = θ1,arg(1 + ζ) = θ−1, arg(z − ζ) = θz と選ぶことにすると積分路 C 上を 1 周する時に式 (172) を満足することを以下のように示すことができる.[(1− ζ)−λ(1 + ζ)−λ(z − ζ)λ−1

]C

=[exp(− λln(1− ζ)− λln(1 + ζ) + (λ − 1)ln(z − ζ)

)]C

=[exp{− λ(ln|1− ζ|+ i arg(1− ζ)

)− λ(ln|1 + ζ|+ i arg(1 + ζ)

)

+ (λ− 1)(ln|z − ζ|+ i arg(z − ζ)

)}]C

33

= exp{− λ(ln(r1) + i θ1

)− λ(ln(r−1) + i θ−1

)+ (λ− 1)

(ln(rz) + i θz

)}

−exp{− λ(ln(r1) + i(θ1 + 2π)

)− λ(ln(r−1) + iθ−1

)+ (λ − 1)

(ln(rz) + i(θz + 2π)

)}

={1− exp

(− 2πλi + 2π(λ− 1)i

)}

×exp{− λ(ln(r1) + i θ1

)− λ(ln(r−1) + i θ−1

)+ (λ− 1)

(ln(rz) + i θz

)}

= 0

ここで, 積分路 C は ζ = −1 の周りを 1 周してはいないので偏角は始点と終点で変化しないことに注意しなければならない. 式 (173) の解のうちの λ = −ν − 1 を採用し, 積分定数 A を A = − 1

2ν+1πi とおき,

w(z) =1

2πi

∫

C

(ζ2 − 1)ν

2ν(ζ − z)ν+1dζ (174)

が得られ, 積分路 C としては ζ = 1, ζ = z を結ぶ線分と ζ = −1, ζ = ∞ を負の実軸上に沿って結ぶ線分を切断として採用した上で選んだ ζ = 1 と ζ = z を内部に持ち, ζ = −1 を外部に持つ単一閉曲線上を反時計回りに回る積分路を採用したとき, この右辺の積分はシュレーフリ積分と呼ばれる. 特に ν が自然数の場合にはコーシーの積分公式 1 を用いると

1

2πi

∫

C

(ζ2 − 1)ν

2ν(ζ − z)ν+1dζ =

( 1

2ν

)( 1

ν!

)( dνdzν

(z2 − 1)ν)

が得られる. この右辺にロドリゲスの公式を用いることにより,第 1 種のルジャンドル関数の積分表示式が得られる.

Pν(z) =1

2πi

∫

C

(ζ2 − 1)ν

2ν(ζ − z)ν+1dζ (175)

ここでは第 1 種のルジャンドル関数に対する積分表示の導出について説明したが, C として他の積分路を選べば式 (171), (172), (173) から出発して第 2 種のルジャンドル関数の積分路を導出することもできる.またルジャンドルの微分方程式については適当な変数変換を行うことにより超幾何微分方程式の特別な場合として見なすこともでき, 多くの教科書においてはまず超幾何微分方程式の積分表示解を求めておいてそれを用いて式 (171), (172), (173)を導出するというシナリオで説明がなされている. これらの詳細については以下の参考文献を参照してほしい.

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論, pp.91-99 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数, pp.154-181, pp.221-230 (岩波全書 252, 岩波書店).

3. R. クーラン, D. ヒルベルト共著, 銀林浩訳, 数理物理学の方法, 第 2 巻, pp.207-210 (東京図書).

1 コーシーの積分公式: 複素関数 f(z) は z-平面上の領域 D で正則であり, C はその周上及び内部が D に含まれる閉曲線である.C の内部にある任意の 1 点 α に対して, 次の関係が成り立つ.

f(α) =1

2πi

∫

C

f(z)

z − αdz,

dn

dznf(z)

∣∣∣z=α

=n!

2πi

∫

C

f(z)

(z − α)n+1dz, (n = 1, 2, 3, ···)

ここで積分路 C は反時計回りに回るものとする.

34

第 3 節. ベッセル関数の積分表示ベッセルの微分方程式

d2

dz2w(z) +

(1z

) ddzw(z) +

(1− ν2

z2

)w(z) = 0 (176)

すなわち,

z2d2

dz2w(z) + z

d

dzw(z) +

(z2 − ν2

)w(z) = 0 (177)

に対する積分表示解を考える. 第 1-3 節で既に触れたように z = 0 は確定特異点, z = ∞ は不確定特異点であり, この他の任意の点は正則点である. そこでこの方程式 (177) に対する

w(z) =

∫

C

exp(−izsin(ζ))v(ζ)dζ (178)

の形の解を求めることとする.

z2d2

dz2w(z) = z2

d2

dz2

∫

C

exp(−izsin(ζ))v(ζ)dζ

=

∫

C

z2d2

dz2exp(−izsin(ζ))v(ζ)dζ

= −∫

C

z2sin2(ζ)exp(−izsin(ζ))v(ζ)dζ (179)

zd

dzw(z) = z

d

dz

∫

C

exp(−izsin(ζ))v(ζ)dζ

=

∫

C

zd

dzexp(−izsin(ζ))v(ζ)dζ

=

∫

C

(− izsin(ζ)

)exp(−izsin(ζ))v(ζ)dζ (180)

(z2 − ν2)w(z) = (z2 − ν2)

∫

C

exp(−izsin(ζ))v(ζ)dζ

=

∫

C

(z2 − ν2)exp(−izsin(ζ))v(ζ)dζ (181)

これらを式 (177) に代入する.

−∫

C

z2sin2(ζ)exp(− izsin(ζ)

)v(ζ)dζ +

∫

C

(− izsin(ζ)

)exp(− izsin(ζ)

)v(ζ)dζ

+

∫

C

(z2 − ν2

)exp(− izsin(ζ)

)v(ζ)dζ = 0

−∫

C

{(z2sin2(ζ) + izsin(ζ)− z2

)exp(− izsin(ζ)

)+ ν2exp

(− izsin(ζ)

)}v(ζ)dζ = 0 (182)

ここで,

∂2

∂ζ2exp(− izsin(ζ)

)=

∂

∂ζ

{− izcos(ζ)exp

(− izsin(ζ)

)}

= izsin(ζ)exp(− izsin(ζ)

)− z2cos2(ζ)exp

(− izsin(ζ)

)

= izsin(ζ)exp(− izsin(ζ)

)− z2

(1− sin2(ζ)

)exp(− izsin(ζ)

)

= izsin(ζ)exp(− izsin(ζ)

)+ z2sin2(ζ)exp

(− izsin(ζ)

)− z2exp

(− izsin(ζ)

)

=(z2sin2(ζ) + izsin(ζ) − z2

)exp(− izsin(ζ)

)

35

という等式により, 式 (182) は以下の様に書き換えられる.∫

C

{ ∂2

∂ζ2exp(− izsin(ζ)

)+ ν2exp

(− izsin(ζ)

)}v(ζ)dζ = 0

第 1 項に対して部分積分を実行することにより, 式 (177) は以下のようにまとめられる.∫

C

exp(− izsin(ζ)

)( ∂2∂ζ2

v(ζ) + ν2v(ζ))dζ

−[exp(− izsin(ζ)

){ ∂

∂ζv(ζ)

}− v(ζ)

{ ∂

∂ζexp(− izsin(ζ)

)}]C= 0 (183)

式 (183) の成り立つための十分条件は以下のように与えられる.

∂2

∂ζ2v(ζ) + ν2v(ζ) = 0 (184)

[exp(− izsin(ζ)

) ∂∂ζv(ζ)− v(ζ)

∂

∂ζexp(− izsin(ζ)

)]C= 0 (185)

式 (184) の微分方程式を v(ζ) について解くことにより以下のように与えらえる.

v(ζ) = exp(±iνζ) (186)

これを式 (185) に代入することにより積分路 C を決定する条件式は以下のように書き直される.[(

±iν − izcos(ζ))exp(− izsin(ζ)±iµζ

)]C= 0 (187)

最終的に, ベッセルの微分方程式 (177) に対する積分表示式 (178) の形の解は以下のようにまとめられる.

w(z) =

∫

C

exp(− izsin(ζ)±iνζ

)dζ (188)

[(±iν − izcos(ζ)

)exp(− izsin(ζ)±iνζ

)]C= 0 (189)

ここで, 任意の複素数 z に対して, 積分路 C に対するひとつの選択肢を与える. すなわち,

Im(z)sin(θ) + Re(z)cos(θ) < 0

を満足する任意の実数 θ に対して積分路 C をC : ζ = θ − it (−∞≤t≤0), ζ = θ + t (0≤t≤2π), ζ = θ + 2π − i(2π − t) (2π≤t≤+∞) (190)

と選ぶと,

limζ→θ+i∞

(±iλ− izcos(ζ)

)exp(− izsin(ζ)±iλζ

)= 0 (191)

limζ→θ+2π+i∞

(±iλ− izcos(ζ)

)exp(− izsin(ζ)±iλζ

)= 0 (192)

が成り立つので条件式 (189) を満たすことがわかる. 従って, 積分表示解は式 (190) で与えられる積分路 Cに対して式 (189) の形に求められたことになる. 更に, ν が整数であるならば積分路 C の中の Im(ζ) > 0における虚軸に平行な部分の積分は打ち消し合ってしまう. 従って, w(z) は z が実数であり, ν が整数である時には以下の形の積分表示に帰着される.

w(z) =1

2π

∫ θ+2π

θ

exp(− izsin(ζ) + iνζ

)dζ

=1

2π

∫ +π

−π

exp(− izsin(ζ) + iνζ

)dζ

=1

2π

∫ +π

−π

exp(+ izsin(ζ) − iνζ

)dζ

=1

π

∫ +π

0

cos(zsin(ζ)− νζ

)dζ (193)

36

ここで, 第 1 章で与えた整数次の第 1 種のベッセル関数 Jν(x) を思い出す (すなわち, ν は整数である).

Jν(z)≡(z2

)ν+∞∑

l=0

(−1)l

l!Γ(ν + l + 1)

(z2

)2l(194)

この第 1 種のベッセル関数の母関数は exp(

z2 (ζ − 1

ζ ))であることが知られている.

exp(z2(ζ − 1

ζ))=

+∞∑

n=−∞Jn(z)ζ

n (|ζ| > 0) (195)

この整数次の第 1 種のベッセル関数の母関数の表式の導出については exp(

zζ2

)と exp

(− z

2ζ

)を ζ = 0 の

周りでそれぞれローラン展開し, 積をとった後に和をまとめ直し, Jν(z) に対する級数表示 (194) と比較することにより得ることができる 2 . 両辺に ζ−ν−1 を掛けて単位円 |ζ| = 1 上を反時計回りに回る複素積分を実行することにより以下の等式が得られる.

Jν(z) =1

2πi

∫

|ζ|=1

ζ−ν−1exp(z2(ζ − 1

ζ))dζ (196)

ここで, ζ = exp(it) (−π < t≤+ π) と変数変換すると

Jν(z) =1

2π

∫ +π

−π

exp(+ izsin(t)− iνt

)dt

=1

π

∫ +π

0

cos(zsin(t)− νt

)dt (197)

この右辺は式 (193) の右辺に一致する. すなわち, ν が整数である時に式 (190) で与えられた積分路 C に対して与えられた積分表示解 (188) は第 1 種のベッセル関数 Jν(z) そのものであることがわかる.積分路 C として他の経路を選ぶことも可能であり, これにより様々の積分表示解を得ることができるこ

とも知られているが, その詳細については以下の参考文献を参照してほしい.

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論, pp.99-117 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数, pp.176-195, pp.266-324 (岩波全書 252, 岩波書店).

3. R. クーラン, D. ヒルベルト共著, 銀林浩訳, 数理物理学の方法, 第 2 巻, pp.173-207 (東京図書).

4. 西本敏彦著, 超幾何・合流型超幾何微分方程式, pp.100-103, pp.145-165, (共立出版).

2 以下の参考文献に計算の詳細は与えられているので参照してほしい.

1. 廣池, 守田, 田中共著, 応用解析学, p.130 (共立出版).

2. 野邑雄吉著, 応用数学 — 工学専攻者のための —, p.217 (内田老鶴圃).

3. 犬井鉄郎著, 特殊関数, p.307, 脚注 (岩波全書 252, 岩波書店).

37

第 4 節. 超幾何微分方程式と合流型超幾何微分方程式の積分表示解超幾何微分方程式

z(1− z)d2

dz2w(z) +

(γ − (1 + α+ β)z

) ddzw(z)− αβw(z) = 0 (198)

を考える. ここで α, β, γ は任意の複素数である. この微分方程式の積分表示解をオイラーの変換の形

w(z) =

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ (199)

において求める. 式 (199) を式 (198) に代入し, ルジャンドルの微分方程式の積分表示解 (171)-(173) を得る際と同様の手順により, 式 (198)は次の形に書き換えられる．

− (λ+ β)(λ+ β)

∫

C

(z − ζ)λv(ζ)dζ

+

∫

C

{∂2

∂ζ2(ζ(1− ζ)v(ζ)) +

∂

∂ζ(λ− 1 + γ − (2λ− 1 + α+ β)ζ)v(ζ)

}dζ

+

[− (λ− 1 + γ − (2λ− 1 + α+ β)ζ)v(ζ)(z − ζ)λ

+ ζ(1− ζ)v(ζ)

(∂

∂ζ(z − ζ)

λ

)−(∂

∂ζ(ζ(1− ζ)v(ζ))

)(z − ζ)λ

]

C

= 0 (200)

式 (200)が z の恒等式として成り立つための条件として以下の等式がなりたくことを要請する．

(λ+ β)(λ+ β) = 0 (201)

∂2

∂ζ2(ζ(1− ζ)v(ζ)) +

∂

∂ζ(λ− 1 + γ − (2λ− 1 + α+ β)ζ)v(ζ) (202)

[− (λ− 1 + γ − (2λ− 1 + α+ β)ζ)v(ζ)(z − ζ)

λ

−(∂

∂ζ(ζ(1− ζ)v(ζ))

)(z − ζ)λ + ζ(1− ζ)v(ζ)

(∂

∂ζ(z − ζ)

λ

)]

C

= 0 (203)

式 (201)から

λ = −α,−β (204)

が得られる．式 (201)を解くことにより v(ζ)は次のように求められる．

v(ζ) = Constant×ζ−λ−γ(1− ζ)−λ+γ−α−β−1 (205)

式 (203) は左辺の[· · ·]内の第 1項と第 2項の和が式 (202) の左辺と同じなので 0となり，以下の形に帰着

される．[ζ(1− ζ)v(ζ)

(∂

∂ζ(z − ζ)

λ

)]

C

= 0 (206)

式 (205)を式 (206)に代入することで式 (203)は[ζ(1− ζ)v(ζ)(−λ)(z − ζ)λ−1

]

C

= 0 (207)

38

Constant×[ζ(1− ζ)ζ−λ−γ(1 − ζ)−λ+γ−α−β−1(−λ)(z − ζ)λ−1

]

C

= 0 (208)

Constant×[ζ−λ−γ+1(1 − ζ)−λ+γ−α−β(z − ζ)λ−1

]

C

= 0 (209)

という形に帰着される．以上，得られた結果をまとめると次のようになる．

w(z) = A

∫

C

ζ−λ−γ(1− ζ)−λ+γ−α−β−1(z − ζ)λdζ (210)

λ = −α,−β (211)

Constant×[ζ−λ−γ+1(1 − ζ)−λ+γ−α−β(z − ζ)λ−1

]

C

= 0 (212)

λ = −αの時は

w(z) = A

∫

C

ζα−γ(1− ζ)γ−β−1(z − ζ)−αdζ (213)

[ζα−γ+1(1− ζ)γ−β(z − ζ)−α−1

]

C

= 0 (214)

λ = −β の場合は

w(z) = A

∫

C

ζβ−γ(1 − ζ)γ−α−1(z − ζ)−βdζ (215)

[ζβ−γ+1(1− ζ)γ−α(z − ζ)−β−1

]C= 0 (216)

式 (215)-式 (216)で与えられる λ = −β の場合の解に ζ = 1/u と変数変換することにより

w(z) = A

∫

C

uα−1(1− u)γ−α−1(1− uz)−βdu (217)

[uα(1 − u)γ−α(1− uz)−β−1

]C= 0 (218)

積分路 C の選び方をいくつかの簡単な場合について説明する. まず, Re(α) > 0, Re(γ − α) > 0 の場合には, z が 1 より大きい実数である場合を除外すると, u = 0 から u = 1 に向かって実軸上を進む積分路を Cに選ぶことができる. この時,

[uα(1− u)γ−α(1− uz)−β−1

]C

= limu→1

uα(1− u)γ−α(1− uz)−β−1 − limu→0

uα(1− u)γ−α(1 − uz)−β−1 (219)

limu→0

∣∣∣uα(1− u)γ−α(1− uz)−β−1∣∣∣

= limu→0

∣∣∣exp(αlog(u) + (γ − α)log(1− u)− (β + 1)log(1− uz)

)∣∣∣

= limu→0

∣∣∣exp(αlog(u) + (γ − α)log(1− u)− (β + 1)log(1− uz)

)∣∣∣

= limu→0

exp(Re(αlog(u)) + Re((γ − α)log(1− u))− Re((β + 1)log(1− uz))

)

= limu→0

|u|Re(α)|1− u|Re(γ−α)|1− uz|−Re(β+1)

×exp(− Im(α)arg(u)− Im(γ − α)arg(1− u) + Im(β + 1)arg(1 − uz)

)= 0 (220)

39

limu→1

∣∣∣uα(1− u)γ−α(1− uz)−β−1∣∣∣

= limu→1

|u|Re(α)|1− u|Re(γ−α)|1− uz|−Re(β+1)

×exp(− Im(α)arg(u)− Im(γ − α)arg(1− u) + Im(β + 1)arg(1 − uz)

)= 0 (221)

すなわち, 式 (218) が成り立つことが示される. 更に, 式 (217) の積分路 C の任意の u に対して arg(u) =arg(1− u) = 0, |arg(1 − uz)| < π が常に成り立つように u の偏角を選ぶと式 (217) の積分表示解は

w(z) = A

∫ 1

0

uα−1(1 − u)γ−α−1(1− uz)−βdu (222)

と与えられる．ここで, 式 (106) で与えられた超幾何関数を思い出そう.

F (α, β, γ; z) = 1 +

+∞∑

n=1

α(α + 1)(α+ 2)· · ·(α + n− 1)β(β + 1)(β + 2)· · ·(β + n− 1)

n!γ(γ + 1)(γ + 2)· · ·(γ + n− 1)zn (|z| < 1) (223)

z = 0 ではこの級数は F (α, β, γ; z) = 1 である. 式 (222) の積分路上では |arg(1− uz)| < π が成り立つように 1− uz の偏角が選ばれているので limz→0arg(1− uz) = 0, すなわち limu→0(1− uz)−β = 1 が成り立つ. 従って

w(0) = A

∫ 1

0

uα−1(1− u)γ−α−1du = B(α, γ − α) =Γ(α)Γ(γ − α)

Γ(γ)(224)

であり, このとき A を w(0) = F (α, β, γ; 0) が成り立つように選ぶと

A =Γ(γ)

Γ(α)Γ(γ − α)(225)

すなわち

w(z) =Γ(γ)

Γ(α)Γ(γ − α)

∫ 1

0

uα−1(1− u)γ−α−1(1− uz)−βdu

(arg(u) = arg(1− u) = 0, |arg(1− uz)| < π, lim

z→0arg(1 − uz) = 0

)(226)

が得られる. |uz| < 1 で (1− uz)−β をテイラー展開すると

(1− uz)−β = 1 +

+∞∑

n=1

(−β)(−β − 1)· · ·(−β − n+ 1)

n!(−uz)n (227)

が成り立つ.3 式 (226) において u の積分は区間 (0, 1) の実数値の範囲でのみ考えているので, z に対しては領域 |z| < 1 で考えることにすると |uz| < 1 を常に満たすことになる. 式 (227) を領域 |z| < 1 の任意のz に対する式 (226) に代入し, 項別積分を実行することにより

w(z) =Γ(γ)

Γ(α)Γ(γ − α)

∫ 1

0

uα−1(1− u)γ−α−1(1− uz)−βdu

=Γ(γ)

Γ(α)Γ(γ − α)

+∞∑

n=0

(−β)(−β − 1)· · ·(−β − n+ 1)

n!(−z)n

∫ 1

0

uα+n−1(1− u)γ−α−1du

=Γ(γ)

Γ(α)Γ(γ − α)

+∞∑

n=0

β(β + 1)· · ·(β + n− 1)

n!zn

Γ(α+ n)Γ(γ − α)

Γ(γ + n)

=+∞∑

n=0

α(α + 1)(α+ 2)· · ·(α + n− 1)β(β + 1)(β + 2)· · ·(β + n− 1)

n!γ(γ + 1)(γ + 2)· · ·(γ + n− 1)zn

= F (α, β, γ; z) (228)

3 例えば, 堀口, 海老澤, 福井共著, 応用数学講義 (培風館) の p.240 の第 7 章の章末問題 7 を参照.

40

すなわち

F (α, β, γ; z) =Γ(γ)

Γ(α)Γ(γ − α)

∫ 1

0

uα−1(1− u)γ−α−1(1 − uz)−βdu

(arg(u) = arg(1 − u) = 0, |arg(1− uz)| < π, |z| < 1

)(229)

が得られる.式 (222)-(229) は Re(α) > 0, Re(γ − α) > 0 が成り立つ範囲での超幾何微分方程式の解を与えている

が, Re(α) > 0, Re(γ − α) > 0 という制限をはずした場合の積分表示解も式 (217)-(218)から出発して得られている. 詳細は

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数 (岩波全書 252, 岩波書店).

を参照されたい.次に, 合流型超幾何微分方程式

zd2

dz2w(z) +

(γ − z

) ddzw(z)− αw(z) = 0 (230)

の積分表示解を考える. この微分方程式の積分表示解をラプラスの変換の形

w(z) =

∫

C

ezζv(ζ)dζ (231)

を解の形として仮定して解く方針で説明する．式 (231) を式 (230)に代入して zezζ という因子を持つ項と持たない項に分けた上で，

zezζ =∂

∂zezζ (232)

が成り立つことを用いて zezζ を ∂∂z e

zζ に置き換えた上で部分積分を行うことで式 (230)は以下の形に書き換えられる．

[ζ(ζ − 1)v(ζ)ezζ

]C−∫

C

{∂

∂ζ(ζ(ζ − 1)v(ζ)) − (γζ − α)v(ζ)

}ezζdζ = 0 (233)

式 (233) が zの恒等式として成り立つための十分条件は

∂

∂ζ(ζ(ζ − 1)v(ζ)) − (γζ − α)v(ζ) = 0 (234)

[ζ(ζ − 1)v(ζ)ezζ

]C= 0 (235)

によって与えられる．式 (234) を v(ζ)について解くと次のようになる．

v(ζ) = Constant×ζα−1(1− ζ)γ−α−1

(236)

式 (236)を式 (235)に代入することで次のように書き換えられる．[ζα(ζ − 1)γ−αezζ

]C= 0 (237)

得られた結果をまとめると以下のようになる．

w(z) = Constant×∫

C

ζα−1(1− ζ)γ−α−1

ezζdζ (238)

[ζα(1− ζ)γ−αezζ

]C= 0 (239)

41

式 (230)は超幾何微分方程式で βz を z と置き換えて β→∞の極限をとることで導かれたものである.積分表示解も超幾何微分方程式の積分表示解 (217)-(218)から同じ操作により, 次のように導かれる.

w(z) = limβ→∞

A

∫

C

uα−1(1− u)γ−α−1(1 − uz

β)−βdu

= A

∫

C

uα−1(1− u)γ−α−1exp(uz)du (240)

詳細は積分路 C の取り方も含めて

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数 (岩波全書 252, 岩波書店).

を参照されたい.また, 変数変換により, ルジャンドルの微分方程式は超幾何微分方程式の特殊な場合に,ベッセルの微分

方程式は合流型超幾何微分方程式の特殊な場合にそれぞれ帰着されために, 多くの参考書等においては超幾何微分方程式, 合流型超幾何微分方程式の積分表示解を用いて求めておいて, その結果をもとにルジャンドルの微分方程式およびベッセルの微分方程式の積分表示解を得るというシナリオで説明していることのほうが多い.

42

第 3 章. 固有値問題とグリーン関数第 1 節. フーリエ級数と直交関数展開任意の整数　m, n に対して以下の等式が成り立つ.

∫ +π

−π

sin(mx)sin(nx)dx =

∫ +π

−π

cos(mx)cos(nx)dx = πδm,n (m,n = 1, 2, 3, · · ·) (241)

∫ +π

−π

sin(nx)dx = 0,

∫ +π

−π

cos(nx)dx = 2πδn,0,

∫ +π

−π

sin(mx)cos(nx)dx = 0 (m,n = 0, 1, 2, 3, · · ·) (242)

(証明)∫

+π

−π

sin(nx)dx =

[−

cos(nx)

n

]+π

−π

= −cos(nπ)

n+

cos(nπ)

n= 0 (n 6=0),

∫+π

−π

sin(nx)dx =

∫+π

−π

0dx = 0 (n = 0),

∫+π

−π

cos(nx)dx =

[1

nsin(nx)

]+π

−π

=sin(nπ)

n+

1

nsin(nπ) = 0 (n 6=0),

∫+π

−π

cos(nx)dx =

∫+π

−π

dx =

[x

]+π

−π

= 2π (n = 0)

∫+π

−π

sin(mx)sin(nx)dx =1

2

∫+π

−π

(− cos((m + n)x) + cos((m − n)x)

)dx

=1

2

[sin((m + n)x)

m+ n−

sin((m − n)x)

m− n

]+π

−π

= 0 (m6=n m6=0, n 6=0)

∫+π

−π

sin(mx)sin(nx)dx =1

2

∫+π

−π

(− cos((m + n)x) + 1

)dx =

1

2

[sin((m + n)x)

m+ n+ x

]+π

−π

= π (m = n m6=0, n 6=0)

∫+π

−π

cos(mx)cos(nx)dx =1

2

∫+π

−π

(cos((m + n)x) + cos((m − n)x)

)dx

=1

2

[−

sin((m + n)x)

m+ n−

sin((m − n)x)

m− n

]+π

−π

= 0 (m6=n, m6=0, n 6=0)

∫+π

−π

cos(mx)cos(nx)dx =1

2

∫+π

−π

(cos((m + n)x) + 1

)dx =

1

2

[−

sin((m + n)x)

m+ n+ x

]+π

−π

= π (m = n, m6=0, n 6=0)

∫+π

−π

sin(mx)cos(nx)dx =1

2

∫+π

−π

(sin((m + n)x) + sin((m − n)x)

)dx

=1

2

[−

cos((m + n)x)

m+ n−

cos((m − n)x)

m− n

]+π

−π

= 0 (m6=n, m6=0, n 6=0)

∫+π

−π

sin(mx)cos(nx)dx =1

2

∫+π

−π

(sin((m + n)x)

)dx =

1

2

[−

cos((m + n)x)

m+ n

]+π

−π

= 0 (m = n, m6=0, n 6=0)

実変数 x の複素関数値関数 f(x) および g(x) を考える. この時, 次の定理が成り立つ.

定理 有限区間 a≤x≤b で f(x) が絶対積分可能, a < x < b で g(x) が連続かつ有界ならば, f(x)g(x) はa≤x≤b で絶対積分可能である.

有限区間 −λ≤x≤λ (λ > 0) で絶対積分可能である関数 f(x) に対して, 係数 an, bn を

an≡1

λ

∫ λ

−λ

f(x)cos(nπ

λx)dx (n = 0, 1, 2, · · ·), bn≡

1

λ

∫ λ

−λ

f(x)sin(nπ

λx)dx (n = 1, 2, 3, · · ·) (243)

と定義する. f(x) は閉区間 −λ≤x≤λ (λ > 0) で絶対積分可能であり, cos(nπλ x) と sin(nπλ x) はいずれも開区間 −λ < x < λ で連続かつ有界なので, f(x)cos(nπλ x) と f(x)sin(nπλ x) は −λ≤x≤λ で絶対積分可能である.

43

一般に, 2λ の周期を持つ関数 f(x) が −λ≤x≤λ で絶対積分可能である時,

f(x)∼1

2a0 +

+∞∑

n=1

(ancos(

nπ

λx) + bnsin(

nπ

λx))

(−∞ < x < +∞) (244)

を f(x) のフーリエ級数と言う. さらに, 式 (244) の三角関数を指数関数を使って書き換える事により, 次の様な形に書く事が出来る.

f(x)∼ limN→+∞

+N∑

n=−N

cnexp(inπ

λx), cn≡

1

2λ

∫ λ

−λ

f(x)exp(− i

nπ

λx)

(245)

これを f(x) の複素型フーリエ級数という. f(x) が 0 < x≤λ で与えられ, 0≤x≤λ で絶対積分可能とする.−λ≤x < 0 において, f(x)≡f(−x) と定義して作られる偶関数のフーリエ級数を f(x) のフーリエ余弦級数と言う. 同様に −λ≤x < 0 において, f(x)≡− f(−x) と定義して作られる奇関数のフーリエ級数を f(x) のフーリエ正弦級数と言う.一般に閉区間 [α, β] で定義された関数列 {φn(x)} が

∫ β

α

φn(x)φm(x)dx = 0 (n 6=m) (246)

を満たすとき, この関数列を [α, β] での直交関数系といい, [α, β] で定義された任意の複素数値関数 f(x) に対して

f(x)∼∑

n

cnφn(x), cn≡∫ β

α

f(x)φn(x)dx (247)

を f(x) の {φn(x)} に関する直交関数展開という. 以下の等式を容易に示すことができる.

∫ λ

−λ

sin(mπ

λx)sin(

nπ

λx)dx =

∫ λ

−λ

cos(mπ

λx)cos(

nπ

λx)dx =

∫ λ

−λ

sin(mπ

λx)cos(

nπ

λx)dx = 0 (m 6=n) (248)

すなわち閉区間 [−λ, λ] において定義された関数 f(x) に対して式 (244) で定義されたフーリエ級数は f(x)の

{1, sin(

π

λx), cos(

π

λx), sin(

2π

λx), cos(

2π

λx), sin(

3π

λx), cos(

3π

λx), · · ·, sin(nπ

λx), cos(

nπ

λx), · · ·

}(249)

に関する直交関数展開と見なすことができる.関数 f(x) が区間 [a, b] で有限個の点を除いて連続であり, f(a+ 0) と f(b− 0) が存在し, 不連続点 x0

においては f(x0 + 0) と f(x0 − 0) が存在する時, f(x) は [a, b] で区分的に連続であると言う. また, 導関数 f ′(x) が区分的に連続である時, f(x) は [a, b] で区分的に滑らかであると言う.

定理. 周期 2λ を持つ関数 f(x) が区間 [−λ, λ] で区分的に滑らかであれば, f(x) のフーリエ級数は任意の実数 x で収束し, 等式

1

2

{f(x+ 0) + f(x− 0)

}=

1

2a0 +

+∞∑

n=1

(ancos(

nπ

λx) + bnsin(

nπ

λx))

(250)

an≡1

λ

∫ λ

−λ

f(x)cos(nπ

λx)dx, bn≡

1

λ

∫ λ

−λ

f(x)sin(nπ

λx)dx (n = 1, 2, 3, · · ·) (251)

が成り立つばかりでなく, 項別積分が可能であり, 次の等式も成り立つ.

∫ x

0

f(t)dx =1

2a0x+

+∞∑

n=1

∫ x

0

(ancos(

nπ

λt) + bnsin(

nπ

λt))dt (252)

更に, f(x) が 2λ の周期関数なので, f ′(x) も 2λ の周期関数であるが, f ′(x) が区間 [−λ, λ] で区分的に滑らかであれば, 項別微分が可能であり, 任意の実数 x に対して次の等式が成り立つ.

1

2

(f ′(x + 0) + f ′(x− 0)

)=

+∞∑

n=1

d

dx

(ancos(

nπ

λx) + bnsin(

nπ

λx))

(253)

44

第 2 節. フーリエ積分とフーリエ変換f(x) が高々有限個しか不連続点を持たず, (−∞,+∞) で絶対積分可能である時, この f(x) に対して次

の積分を定義する.

f(x)∼∫ +∞

0

(a(w)cos(wx) + b(w)sin(wx)

)dw (254)

a(w)≡ 1

π

∫ +∞

−∞f(x)cos(wx)dx, b(w)≡ 1

π

∫ +∞

−∞f(x)sin(wx)dx (255)

式 (254) の右辺をフーリエ積分といい, 記号 ∼ はその右辺により f(x) のフーリエ積分が表されるということを. 意味する. また式 (254) は式 (255) を代入して整理することにより次のようなフーリエ 2 重積分と呼ばれる形に変形することができる.

f(x) ∼∫ +∞

0

{( 1π

∫ +∞

−∞f(u)cos(wu)du

)cos(wx) +

( 1π

∫ +∞

−∞f(u)sin(wu)du

)sin(wx)

}dw

=1

π

∫ +∞

0

∫ +∞

−∞f(u)

(cos(wu)cos(wx) + sin(wu)sin(wx)

)dudw

=1

π

∫ +∞

0

∫ +∞

−∞f(u)cos(w(u − x))dudw (256)

式 (254) の左辺をフーリエ２重積分と言う。

定理. 関数 f(x) が (−∞,+∞) で区分的に滑らかであり,かつ絶対積分可能な関数ならば,次の等式が成立する.

1

2

(f(x+ 0) + f(x− 0)

)=

1

π

∫ +∞

0

∫ +∞

−∞f(u)cos(w(u − x))dudw

=

∫ +∞

0

(a(w)cos(wx) + b(w)sin(wx)

)dw (257)

フーリエ積分 (254) に対してオイラーの公式 exp(iwx) = cos(wx) + i sin(wx) を使うことにより，次の様に書き換える事が出来る。

f(x)∼ limλ→+∞

1√2π

∫ +λ

−λ

F (w)exp(iwx)dw (258)

F (w)≡ 1√2π

∫ +∞

−∞f(x)exp(−iwx)dx (259)

F (w) を f(x) のフーリエ変換という。

定理. f(x) が (−∞,+∞) で区分的に滑らかであり,かつ絶対積分可能な関数ならば, f(x) のフーリエ変換を F (w) とすると次の等式が成立する.

1

2

(f(x+ 0) + f(x− 0)

)=

1√2π

limλ→+∞

∫ +λ

−λ

F (w)exp(iwx)dw (260)

第 3 節. デルタ関数デルタ関数 δ(x) は

δ(x) = 0 (x6=0),

∫ +∞

−∞δ(x)dx = 1,

∫ +∞

−∞f(x)δ(x)dx = f(0) (261)

45

という性質をもった関数で扱われる. f(x) が −∞ < x < ∞ で絶対可積分かつ区分的に滑らかであれば式(260) が成り立ち, 式 (260) に式 (258) を代入することにより

1

2

(f(x+ 0) + f(x− 0)

)=

1

2πlim

a→+∞

∫ +a

−a

(lim

b→+∞

∫ +b

−b

f(x′)exp(−iwx′)dx′)exp(iwx)dw (262)

すなわち

1

2

(f(x+ 0) + f(x− 0)

)=

1

2πlim

b→+∞

∫ +b

−b

f(x′)

(lim

a→+∞

∫ +a

−a

exp(iw(x − x′)

)dw

)dx′ (263)

という等式が成り立つ. 更にここで f(x) が −∞ < x <∞ で連続であれば

f(x) =1

2πlim

b→+∞

∫ +b

−b

f(x′)

(lim

a→+∞

∫ +a

−a

exp(iw(x − x′)

)dw

)dx′ (264)

と書き換えられ, 式 (261) と比較することにより

δ(x− x′) =1

2πlim

a→+∞

∫ +a

−a

exp(iw(x − x′)

)dw (265)

δ(x − x′) =1

2π

∫ +∞

−∞exp(iw(x − x′)

)dw (266)

が得られる. 実際, デルタ関数のフーリエ変換は式 (261) を用いて

∆(w)≡ 1√2π

∫ +∞

−∞δ(x)exp(−iwx)dx =

1√2π

(267)

と与えられるが, これにフーリエ逆変換の公式 (260) を適用することにより

δ(x) =1√2π

∫ +∞

−∞∆(w)exp(iwx)dw (268)

が得られ, これが式 (266) に対応する.

第 4 節. 簡単な 1 次元のグリーン関数関数 ψ(x) が 0≤x≤π で絶対積分可能, 連続かつ区分的に滑らかであり, しかも ψ(0) = ψ(π) = 0 とす

る. この時,

d2

dx2f(x) + λf(x) = ψ(x) (0≤x≤π) (269)

という非斉次定係数 2 階線形微分方程式を考え, その境界条件として f(0) = f(π) = 0 を課すものとする.この時, f(x) および ψ(x) は

f(x) =

+∞∑

n=1

bnsin(nx) bn≡1

π

∫ π

−π

f(x)sin(nx)dx (270)

ψ(x) =+∞∑

n=1

γnsin(nx) γn≡1

π

∫ π

−π

ψ(x)sin(nx)dx (271)

という形に直交関数展開できる. 式 (270) および式 (271) を式 (269) に代入することにより

−n2cn + λcn = γn (272)

が得られ, λ6=n2 (n = 1, 2, 3, · · ·) であれば

cn =γn

λ− n2(273)

46

すなわち

f(x) =

+∞∑

n=1

γnλ− n2

sin(nx) (274)

が得られる. ここで式 (271) を式 (274) に代入することにより

f(x) =

∫ π

0

G(x, x′)ψ(x′)dx′ (275)

G(x, x′)≡ 2

π

+∞∑

n=1

sin(nx)sin(nx′)

λ− n2(276)

が得られる. 式 (276) の G(x, x′) は

d2

dx2G(x, x′) + λG(x, x′) = δ(x− x′) (−π≤x≤π, − π≤x′≤π) (277)

の解と見ることもでき, G(x, x′) を微分方程式 (269) に付随するグリーン関数という.ここで, 任意の自然数 n に対して λ6=n2 であるとしたが, ある特定の自然数 m に対して λ = m2 であ

れば, 式 (275)-(276) により解が与えられるためには γm = 0 すなわち

1

π

∫ π

−π

ψ(x)sin(mx)dx = 0 (278)

が成り立つという制限が ψ(x) に課せられることになる. これは ψ(x) と sin(mx) が直交関係にあることを意味し, cm は任意定数となる.次に斉次方程式

d2

dx2f(x) + λf(x) = 0 (0≤x≤π) (279)

の 2つの独立解による一般解の表現から得られるグリーン関数について説明する．斉次方程式 (279)は基本解が e+i

√λx と e−i

√λx によって与えられるがこれを f1(x)と f2(x)が式 (279) の互いに一次独立な解で

あり，f1(0) = 0と f2(π) = 0をそれぞれ満足するように選ぶと，

f1(x) = sin(x), f2(x) = sin(π − x) (280)

と与えられる．そこで Langrangeの定数変化法を用いて式 (279)を求めていくことにする．式 (269)の解を

f(x) = u(x)f1(x) + v(x)f2(x) (281)

として，u(x)と v(x)は(d

dxu(x)

)f1(x) +

(d

dxv(x)

)f2(x) = 0 (0≤x≤π) (282)

u(b) = 0, v(a) = 0 (283)

を満たすように選ぶことにする．式 (281) を式 (269)に代入し，f1(x)と f2(x)が式 (279) に解であることと式 (282)が [0, πの任意の xに対して恒等的に成り立つことを用いると

(d

dxu(x)

)(d

dxf1(x)

)+

(d

dxv(x)

)(d

dxf2(x)

)= 0 (0≤x≤π) (284)

が得られる．式 (282) と式 (284) から(d

dxu(x)

)=

−f2(x)φ(x)f1(x)

(ddxf2(x)

)− f2(x)

(ddxf1(x)

)(d

dxv(x)

)=

−f2(x)φ(x)f1(x)

(ddxf2(x)

)− f2(x)

(ddxf1(x)

) (285)

47

ここで，式 (283) に境界条件を満たす必要があることを考慮して積分する u(x)と v(x)は次のように求められる．

u(x) =

∫ π

x

−f2(x′)φ(x′)f1(x′)

(d

dx′f2(x′)

)− f2(x′)

(d

dx′f1(x′)

)dx′ (286)

v(x) =

∫ π

0

f1(x′)φ(x′)

f1(x′)(

ddx′f2(x′)

)− f2(x′)

(d

dx′f1(x′)

)dx′, (287)

ここで，式 (283) に境界条件を満たすように選ぶと，

f(x) = f1(x)

∫ π

x

−f2(x′)φ(x′)f1(x′)

(d

dx′f2(x′)

)− f2(x′)

(d

dx′f1(x′)

)dx′

+f2(x)

∫ x

0

f1(x′)φ(x′)

f1(x′)(

ddx′f2(x′)

)− f2(x′)

(d

dx′f1(x′)

)dx′

=

∫ π

0

−f1(x)f2(x′)θ(x′ − x) + f1(x′)f2(x)θ(x − x′)

f1(x′)(

ddx′f2(x′)

)− f2(x′)

(d

dx′f1(x′)

) φ(x′)dx′

=

∫ π

0

sin(√

λx)sin(√

λ(π − x′))θ(x′ − x)− sin

(√λx′)sin(√

λ(π − x))θ(x − x′)

√λ(sin(√

λx′)cos(√

λ(π − x′))− cos

(√λx′)sin(√

λ(π − x′))) φ(x′)dx′

(288)

このことから一般解はグリーン関数 G(x, x′) を用いて次のように与えられる.

f(x) =

∫ π

0

G(x, x′)φ(x′)dx′ (289)

G(x, x′) ≡sin(√

λx)sin(√

λ(π − x′))θ(x′ − x)− sin

(√λx′)sin(√

λ(π − x))θ(x − x′)

√λ(sin(√

λx′)cos(√

λ(π − x′))− cos

(√λx′)sin(√

λ(π − x′))) (290)

48

第 5 章. シツルム・リウヴィル方程式に対するグリーン関数.

第 1 節. 固有関数系による表現.

次の形の 2 階微分方程式の境界値問題を考える.

− d

dx

(p(x)

d

dx

)f(x) + q(x)f(x) = λρ(x)f(x) (291)

a1f(a) + a2df

dx(a) = 0, b1f(b) + b2

df

dx(b) = 0 (292)

ここで, p(x), q(x), ρ(x) は a≤x≤b で正則な実数値関数であり, p(x) > 0, q(x)≥0 を満足する. また, λ,a1, b1, a2, b2 は定数であり, a21 + a22 6=0, b21 + b22 6=0 を満足する. この問題は x = a と x = b で境界条件(292)を与えて解いたときに, λ がある特定の実数値の系列 λ1, λ2, · · · に対してのみそれぞれの解 f(x) の系列 φ1(x), φ2(x), · · · が得られ, このある特定の実数値の系列 {λ1, λ2, · · ·} を固有値といい, 対応する解の系列 {φ1(x), φ2(x), · · ·} を固有関数と呼び, この境界値問題をスツルム・リウヴィルの固有値問題という. ここで式 (291) の左辺を

Kf(x) ≡{− d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x)

}f(x) (293)

と表すことにする.

定理. 境界条件 (292) を満たす任意の関数 f1(x) と f2(x) に対し,∫ b

a

(Kf1(x)

)f2(x)dx =

∫ b

a

f1(x)(Kf2(x)

)dx (294)

が成り立つ.

証明.

Kf1(x) = − d

dx

(p(x)

d

dxf1(x)

)+ q(x)f1(x) (295)

Kf2(x) = − d

dx

(p(x)

d

dxf2(x)

)+ q(x)f2(x) (296)

が成り立つので(Kf1(x)

)f2(x) − f1(x)

(Kf2(x)

)= −f2(x)

( d

dx(p(x)

d

dxf1(x)

)+ f1(x)

( d

dx(p(x)

d

dxf2(x)

)

= p(x)(f1(x)

d2

dx2f2(x) − f2(x)

d2

dx2f1(x)

)

+( ddxp(x)

)(f1(x)

d

dxf2(x) − f2(x)

d

dxf1(x)

)

= p(x)d

dx

(f1(x)

d

dxf2(x) − f2(x)

d

dxf1(x)

)

+( ddxp(x)

)(f1(x)

d

dxf2(x) − f2(x)

d

dxf1(x)

)

=d

dx

{p(x)

(f1(x)

d

dxf2(x)− f2(x)

d

dxf1(x)

)}(297)

W [f1(x), f2(x)]≡f1(x)d

dxf2(x)− f2(x)

d

dxf1(x) = det

(f1(z) f2(z)df1dx (z)

df2dx (z)

)(298)

I =

∫ b

a

{f2(x)

(Kf1(x)

)− f1(x)

(Kf2(x)

)}dx

=[p(x)

(f1(x)

d

dxf2(x)− f2(x)

d

dxf1(x)

)]ba

=[p(x)W [f1(x), f1(x)]

]ba

= p(b)W [f1(b), f2(b)]− p(a)W [f1(a), f2(a)] (299)

49

境界条件により{a1f1(a) +a2

df1dx (a) = 0

a1f2(a) +a2df2dx (a) = 0

,

{b1f1(b) +b2

df1dx (b) = 0

b1f2(b) +b2df2dx (b) = 0

(300)

が成り立ち, a21 + a22 6=0, b21 + b22 6=0 により

W [f1(a), f2(a)] = det

(f1(a) f2(a)df1dx (a)

df2dx (a)

)= 0, (301)

W [f1(b), f2(b)] = det

(f1(b) f2(b)df1dx (b)

df2dx (b)

)= 0 (302)

でなければならない. 従って,

I =

∫ b

a

{f2(x)

(Kf1(x)

)− f1(x)

(Kf2(x)

)}dx

= p(b)W [f1(b), f2(b)]− p(a)W [f1(a), f2(a)] = 0 (303)

定理. 関数 f1(x) と f2(x) がさらに

Kf1(x) = λ1ρ(x)f1(x), Kf2(x) = λ2ρ(x)f2(x), (304)

を満たす時,

(i) λ1 = λ2 ならば, f1(x), f2(x) の一方は他方の定数倍である.

(ii) λ1 6=λ2 ならば,

∫ b

a

ρ(x)f1(x)f2(x)dx = 0.

証明. (i) λ1 = λ2 = λ とおくと, f1(x), f2(x) は斉次形の 2 階線形微分方程式{− d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x)

}f(x) = λρ(x)f(x) (305)

の解で, 境界条件{a1f1(a) +a2

df1dx (a) = 0

a1f2(a) +a2df2dx (a) = 0

(306)

を満たす. a21 + a22 6=0 により,

W [f1(a), f2(a)] = det

(f1(a) f2(a)df1dx (a)

df2dx (a)

)= 0 (307)

でなくてはならず, f1(x), f2(x) は一次従属だから, その一方は他方の定数倍である.

(ii)

∫ b

a

(Kf1(x)

)f2(x)− f1(x)

(Kf2(x)

)dx = 0 (308)

だから, これに Kf1(x) = λ1ρ(x)f1(x), Kf2(x) = λ2ρ(x)f2(x) を代入して

(λ1 − λ2)

∫ b

a

λρ(x)f1(x)f2(x)dx = 0. (309)

ここで λ1 − λ2 6=0 により∫ b

a

λρ(x)f1(x)f2(x)dx = 0. (310)

50

この定理により固有値 {λn|n = 1, 2, · · ·} に対応する固有関数 {φn(x)|n = 1, 2, · · ·} について以下の規格直交性が成り立つ.

∫ b

a

ρ(x)φm(x)φn(x)dx = δmn (311)

また, 2 回連続微分可能で境界条件 (292) を満たす任意の関数 f(x) をこの固有関数系 {φn(x)|n = 1, 2, ·}を用いて

f(x) =+∞∑

n=1

cnφn(x), cn≡∫ b

a

φn(x)f(x)ρ(x)dx (312)

と展開することができる. これを固有関数展開という. 式 (312) から

f(x) =

+∞∑

n=1

∫ b

a

φn(x′)f(x′)ρ(x′)dx′φn(x)

=

∫ b

a

+∞∑

n=1

φn(x′)f(x′)ρ(x′)φn(x)dx

′

=

∫ b

a

+∞∑

n=1

φn(x)φ(x′)ρ(x′)f(x′)dx′ (313)

任意の関数 f(x) に対して成立すると仮定するとその十分条件は+∞∑

n=1

φn(x)φ(x′)ρ(x′) = δ(x − x′) (314)

すなわち+∞∑

n=1

φn(x)φ(x′) =

δ(x− x′)

ρ(x′)(315)

により与えられる. 式 (315) は完全性の条件と呼ばれる.そこで方程式

Kf(x)− λρ(x)f(x) = −v(x) (316)

に対するグリーン関数 G(x, x′) を以下のように考える.

KG(x, x′)− λρ(x)G(x, x′) = δ(x− x′) (317)

すなわち{− d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x)

}G(x, x′)− λρ(x)G(x, x′) = δ(x− x′) (318)

グリーン関数 G(x, x′) を式 (291), (292) に対する固有関数系 {φn(x)} を用いて固有関数展開すると以下のようになる.

G(x, x′) =+∞∑

n=1

cn(x′)φn(x), cn(x

′)≡∫ b

a

φn(x)G(x, x′)ρ(x)dx (319)

ここで係数 cn は x′ の関数 cn(x′) になる. 式 (319) を式 (317) に代入して,

Kφn(x) + λρ(x)φn(x) = (λ − λn)φn(x)ρ(x)≡Enφn(x)ρ(x) (320)

を用いると

K

+∞∑

n=1

cn(x′)φn(x)− λρ(x)

+∞∑

n=1

cn(x′)φn(x) = −δ(x− x′) (321)

51

+∞∑

n=1

cn(x′)Kφn(x)− λρ(x)

+∞∑

n=1

cn(x′)φn(x) = −δ(x− x′) (322)

+∞∑

n=1

cn(x′)λnρ(x)φn(x)− λρ(x)

+∞∑

n=1

cn(x′)φn(x) = −δ(x− x′) (323)

+∞∑

n=1

cn(x′)(λ− λn)φn(x)ρ(x) = δ(x− x′) (324)

が得られる. この両辺に φm(x) をかけて x で a から b まで積分し, 正規直交関係 (311) を用いることにより cm(x′) の表式が得られる.

∫ b

a

φm(x)

+∞∑

n=1

cn(x′)(λ − λn)φn(x)ρ(x)dx =

∫ b

a

φm(x)δ(x − x′)dx

+∞∑

n=1

cn(x′)(λ − λn)

∫ b

a

φm(x)φn(x)ρ(x)dx = φm(x′)

+∞∑

n=1

cn(x′)(λ− λn)δm,n = φm(x′)

cm(x′)(λ − λm) = φm(x′)

cm(x′) =φm(x′)

λ− λm

これをグリーン関数の直交関数展開 (319) に代入することによりグリーン関数の固有関数を用いた表現が得られる.

G(x, x′) =+∞∑

n=1

φn(x)φn(x′)

λ− λn(325)

この表式から

G(x, x′) = G(x′, x) (326)

という相対性も直ちに得られる.

第 2 節. 斉次方程式の 2 つの独立解による表現微分方程式 (291) の基本解を f1(x), f2(x) とすると, 微分方程式 (316) の解はラグランジェの定数変化

法を用いて求めることができる. すなわち

f(x) = u1(x)f1(x) + u2(x)f2(x) (327)

が微分方程式 (316) の解となるように u1(x), u2(x) を決めるものである. まず式 (327) を微分方程式

Kf(x)− λρ(x)f(x) = −v(x) (328)

に代入する.

K(u1(x)f1(x) + u2(x)f2(x)) − λρ(x)(u1(x)f1(x) + u2(x)f2(x)) = −v(x)

52

{− d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x)

}(u1(x)f1(x))

+{− d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x)

}(u2(x)f2(x))

−λρ(x)(u1(x)f1(x) + u2(x)f2(x)) = −v(x)

− d

dx

(p(x)

d

dx

)(u1(x)f1(x)) + q(x)u1(x)f1(x)

− d

dx

(p(x)

d

dx

)(u2(x)f2(x)) + q(x)u2(x)f2(x)

−λρ(x)(u1(x)f1(x) + u2(x)f2(x)) = −v(x)

− d

dx

(p(x)

du1(x)

dxf1(x)

)− d

dx

(p(x)u1(x)

df1(x)

dx

)+ q(x)u1(x)f1(x)

− d

dx

(p(x)

du2(x)

dxf2(x)

)− d

dx

(p(x)u2(x)

df2(x)

dx

)+ q(x)u2(x)f2(x)

−λρ(x)(u1(x)f1(x) + u2(x)f2(x)) = −v(x)

− d

dx

(p(x)

du1(x)

dxf1(x)

)− du1(x)

dxp(x)

df1(x)

dx− u1(x)

d

dx

(p(x)

df1(x)

dx

)+ q(x)u1(x)f1(x)

− d

dx

(p(x)

du2(x)

dxf2(x)

)− du2(x)

dxp(x)

df2(x)

dx− u2(x)

d

dx

(p(x)

df2(x)

dx

)+ q(x)u2(x)f2(x)

−λρ(x)(u1(x)f1(x) + u2(x)f2(x)) = −v(x)

− d

dx

(p(x)

du1(x)

dxf1(x)

)− p(x)

(du1(x)dx

)(df1(x)dx

)

− d

dx

(p(x)

du2(x)

dxf2(x)

)− p(x)

(du2(x)dx

)(df2(x)dx

)

+u1(x){− d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x) − λρ(x)

}f1(x)

+u2(x){− d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x)− λρ(x)

}f2(x) = −v(x)

− d

dx

(p(x)

du1(x)

dxf1(x)

)− du1(x)

dxp(x)

df1(x)

dx

− d

dx

(p(x)

du2(x)

dxf2(x)

)− du2(x)

dxp(x)

df2(x)

dx= −v(x)

− d

dx

(p(x)

du1(x)

dxf1(x)

)− d

dx

(p(x)

du2(x)

dxf2(x)

)

−p(x){(du1(x)

dx

)(df1(x)dx

)+(du2(x)

dx

)(df2(x)dx

)}= −v(x)

dp(x)

dx

{(du1(x)dx

)f1(x) +

(du2(x)dx

)f2(x)

}+ p(x)

{(d2u1(x)dx2

)f1(x) +

(d2u2(x)dx2

)f2(x)

}

+2p(x){(du1(x)

dx

)(df1(x)dx

)+(du2(x)

dx

)(df2(x)dx

)}= v(x) (329)

ここで(du1(x)

dx

)f1(x) +

(du2(x)dx

)f2(x) = 0 (330)

53

とすれば

d

dx

{(du1(x)dx

)f1(x) +

(du2(x)dx

)f2(x)

}={(d2u1(x)

dx2

)f1(x) +

(d2u2(x)dx2

)f2(x)

}

+{(du1(x)

dx

)(df1(x)dx

)+(du2(x)

dx

)(df2(x)dx

)}= 0 (331)

であるから

p(x){(du1(x)

dx

)(df1(x)dx

)+(du2(x)

dx

)(df2(x)dx

)}= v(x) (332)

となる. 式 (330) および式 (332) を du1(x)dx , du1(x)

dx について解くと以下のようになる.

du1(x)

dx= − f2(x)v(x)

W [f1(x), f2(x)]p(x),

du2(x)

dx=

f1(x)v(x)

W [f1(x), f2(x)]p(x)(333)

両辺を積分すると

u1(x) =

∫ b

x

f2(τ)v(τ)

W [f1(τ), f2(τ)]p(τ)dτ, u2(x) =

∫ x

a

f1(τ)v(τ)

W [f1(τ), f2(τ)]p(τ)dτ (334)

という形に u1(x), u2(x) が得られ, 結局, 微分方程式 (316) の一般解 f(x) は次のように求められる.

f(x) = f2(x)

∫ x

a

f1(τ)v(τ)

W [f1(τ), f2(τ)]p(τ)dτ,+f1(x)

∫ b

x

f2(τ)v(τ)

W [f1(τ), f2(τ)]p(τ)dτ

=

∫ x

a

f1(τ)f2(x)v(τ)

W [f1(τ), f2(τ)]p(τ)dτ,+

∫ b

x

f1(x)f2(τ)v(τ)

W [f1(τ), f2(τ)]p(τ)dτ

=

∫ b

a

{ f1(τ)f2(x)v(τ)

W [f1(τ), f2(τ)]p(τ)θ(x − τ) +

f1(x)f2(τ)v(τ)

W [f1(τ), f2(τ)]p(τ)θ(τ − x)

}dτ

=

∫ b

a

1

W [f1(τ), f2(τ)]p(τ)

{f1(τ)f2(x)θ(x − τ) + f1(x)f2(τ)θ(τ − x)

}v(τ)dτ (335)

ここで v(x) = δ(x− x′) とおくことにより得られる解 f(x) はグリーン関数 G(x, x′) になるはずである.

f(x) = G(x, x′)

=

∫ b

a

1

W [f1(τ), f2(τ)]p(τ)

{f1(τ)f2(x)θ(x − τ) + f1(x)f2(τ)θ(τ − x)

}δ(τ − x′)dτ

=1

W [f1(x′), f2(x′)]p(x′)

{f1(x

′)f2(x)θ(x − x′) + f1(x)f2(x′)θ(x′ − x)

}(336)

このことから一般解はグリーン関数 G(x, x′) を用いて次のように与えられる.

f(x) =

∫ b

a

G(x, x′)v(x′)dx′ (337)

G(x, x′) =1

W [f1(x′), f2(x′)]p(x′)

{f1(x

′)f2(x)θ(x − x′) + f1(x)f2(x′)θ(x′ − x)

}(338)

54

第 4 章. 偏微分方程式とグリーン関数第 1 節. 2 次元のラプラスの方程式の変数分離による解法ラプラスの方程式

∆u(x, y)≡∇2u(x, y) =∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂y2= 0 (0 < x < 1, 0 < y < π) (339)

を境界条件

u(0, y) = cos(y), u(1, y) = 0, u(x, 0) = u(x, π) = 0 (340)

の下で u(x, y) = X(x)Y (y) という変数分離解の形を仮定して, X(x), Y (y) の各々に対する常微分方程式を導く. ラプラスの方程式に u(x, y) = X(x)Y (y) を代入すると，

1

X(x)

∂2X(x)

∂x2+

1

Y (y)

∂2Y (y)

∂y2= 0 (341)

と書き換えられる. 左辺の第 1 項及び第 3 項はそれぞれ x, y のみに依存するので,

1

X(x)

∂2X(x)

∂x2= κ2,

1

Y (y)

∂2Y (y)

∂y2= −κ2 (342)

と書く事が出来る。これら微分方程式はそれぞれ次の様な一般解を持つ.

X(x) = a1(κ)exp(κx) + a2(κ)exp(κx) (0 < x < 1) (343)

Y (y) = b1(κ)sin(κy) + b2(κ)cos(κy) (0 < y < π) (344)

X(x), Y (y)は恒等的に 0ではないということを考慮しながら式 (343)及び式 (344)を境界条件 u(1, y) = 0,u(x, 0) = u(x, π) = 0 に代入することにより, 次の等式が得られる.

X(1) = Y (0) = Y (π) = 0 (345)

Y (0) = Y (π) = 0 を満たすためには b2(κ) = 0 かつ κ = n (n は整数) でなければならない.

Y (y) = Bnsin(ny) (0 < y < π, n = 1, 2, 3, · · ·) (346)

ここで Bn≡b1(n)− b1(−n) として新しい定数 Bn を導入したことを注意する. また X(1) = 0 であることにより

a1(κ)exp(κ) + a2(κ)exp(−κ) = 0, (347)

すなわち

X(x) = a1(κ)exp(κx)− a1(κ)exp(2κ)exp(−κx)= a1(κ)exp(κ)

(exp(κ(x− 1))− exp(−κ(x− 1))

)

= Cκsinh(κ(x− 1)) (0 < x < 1) (348)

が得られる. ここで Cκ≡a1(κ)exp(2κ) として新しい定数 Cn を導入したことを注意する. 従って, ラプラスの方程式 (339) は

{sinh(n(x− 1))sin(ny)

∣∣∣0 < x < 1, 0 < y < π, n = 1, 2, 3, · · ·}

(349)

をすべて解として持つことがわかるので, 重ね合わせの原理により

u(x, y) =

+∞∑

n=1

Ansinh(n(x− 1))sin(ny) (0 < x < 1, 0 < y < π) (350)

が得られる. これをもう一つの境界条件 u(0, y) = cos(y) に代入する.

cos(y) =

+∞∑

n=1

Ansinh(−n)sin(ny) (0 < y < π) (351)

55

両辺に sin(my) (m は自然数) を掛け, 区間 [0, π] で積分し, 教科書 p.127 の式 (4.5) から導かれる等式∫ π

0

sin(my)sin(ny)dy =π

2δm,n (m = 1, 2, 3, · · ·, n = 1, 2, 3, · · ·) (352)

を用いることにより Am が次のように得られる.

∫ π

0

cos(y)sin(my)dy =

∫ π

0

+∞∑

n=1

Ansinh(−n)sin(ny)sin(my)dy (m = 1, 2, 3, · · ·) (353)

∫ π

0

+∞∑

n=1

Ansinh(−n)sin(ny)sin(my)dy =

+∞∑

n=1

Ansinh(n)

∫ π

0

sin(ny)sin(my)dy

= Ansinh(−n)×π

2δm,n =

π

2Amsinh(−m) (m = 1, 2, 3, · · ·) (354)

Am =2

πsinh(−m)

∫ π

0

cos(y)sin(my)dy =1

πsinh(−m)

∫ π

0

(sin((m+ 1)y) + sin((m− 1)y)

)dy

= − 1

πsinh(−m)

[cos((m+ 1)y)

m+ 1+

cos((m− 1)y)

m− 1

]π0

= − 1

πsinh(−m)

(cos((m+ 1)π)

m+ 1+

cos((m− 1)π)

m− 1− 1

m+ 1− 1

m− 1

)

= − 1

πsinh(−m)

((−1)m+1

m+ 1+

(−1)m−1

m− 1− 1

m+ 1− 1

m− 1

)

=1

πsinh(−m)

(2m((−1)m + 1)

(m2 − 1)

)(m = 1, 2, 3, · · ·) (355)

A2l = − 8l

π(4l2 − 1)sinh(2l)(l = 1, 2, 3, · · ·) (356)

A2l−1 = 0 (l = 1, 2, 3, · · ·) (357)

従って, ラプラスの方程式 (339) の解は次のように与えられる.

u(x, y) =

+∞∑

n=1

2n((−1)n + 1)

π(n2 − 1)sinh(n)sinh

(n(1− x)

)sin(ny)

(0 < x < 1, 0 < y < π) (358)

すなわち

u(x, y) =

+∞∑

l=1

8l

π(4l2 − 1)sinh(2l)sinh

(2l(1− x)

)sin(2ly)

(0 < x < 1, 0 < y < π) (359)

第 2 節. 2 次元のポアッソンの方程式の直交関数展開による解法[フーリエ級数を用いた解法]ポアッソンの方程式

∆u(x, y)≡∇2u(x, y) =∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂y2= −ρ(x, y) (0 < x < π, 0 < y < π) (360)

を境界条件

u(0, y) = u(π, y) = u(x, 0) = u(x, π) = 0 (361)

の下で考える. この場合, 境界条件 (361) を満たすように

u(x, y) =

+∞∑

m=1

+∞∑

n=1

Am,nsin(mx)sin(ny) (362)

56

と仮定する. 式 (362) を式 (360に代入することにより+∞∑

m=1

+∞∑

n=1

− (m2 + n2)Am,nsin(mx)sin(ny) = −ρ(x, y) (363)

が得られ, 式 (363) の両辺に sin(kx)sin(ly) を掛けて x と y について (0, π) で積分することにより Am,n

の表式が得られる.

∫ π

0

∫ π

0

(+∞∑

m=1

+∞∑

n=1

(m2 + n2)Am,nsin(mx)sin(ny))sin(kx)sin(ly)dxdy

=

∫ π

0

∫ π

0

ρ(x, y)sin(kx)sin(ly)dxdy (364)

(k2 + l2)Ak,l =( 2π

)2∫ π

0

∫ π

0

ρ(x, y)sin(kx)sin(ly)dxdy (365)

式 (365) を式 (362) に代入することにより

u(x, y) =+∞∑

m=1

+∞∑

n=1

(( 1π

)2( 1

m2 + n2

)∫ π

0

∫ π

0

ρ(ξ, η)sin(mξ)sin(nη)dξdη

)sin(mx)sin(ny)

=

∫ π

0

∫ π

0

(+∞∑

m=1

+∞∑

n=1

( 2π

)2( sin(mξ)sin(nη)sin(mx)sin(ny)m2 + n2

))ρ(ξ, η)dξdη (366)

すなわち

u(x, y) =

∫ π

0

∫ π

0

G(x, y, ξ, η)ρ(ξ, η)dξdη (0 < x < π, 0 < y < π) (367)

G(x, y, ξ, η)≡+∞∑

m=1

+∞∑

n=1

( 2π

)2( sin(mξ)sin(nη)sin(mx)sin(ny)m2 + n2

)(368)

という形に式 (360) の解が得られる. ここで, G(x, y, x′, y′) は式 (360) に付随するグリーン関数であり,

( ∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G(x, y, x′, y′) = −δ(x− x′)δ(y − y′)

(0 < x < π, 0 < y < π, 0 < x′ < π, 0 < y′ < π) (369)

を満たしていることは容易に確かめられる.

第 3 節. ヘルムホルツの方程式のグリーン関数xyz-座標系により表された 3 次元空間を考え, x 軸, y-軸, z-軸に対する基本ベクトルを~i, ~j, ~k とし, そ

の上で位置ベクトル ~r, 関数 u(~r), ρ(~r) およびラプラスの演算子 ∆ を

~r≡~ix+~j + ~kz, u(~r) = u(x, y, z), ρ(~r) = ρ(x, y, z), (370)

∇≡~i ∂∂x

+~j∂

∂y+ ~k

∂

∂z, ∆≡∇·∇ = ∇2 =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(371)

により定義し, 境界のない場合の 3 次元のヘルムホルツの方程式を考え,フーリエ変換によりグリーン関数を求めてみる. すなわち, 本節で考えるヘルムホルツの方程式は

(∆− λ

)u(~r) = −ρ(~r) (−∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞,−∞ < z < +∞) (372)

により与えられ, 条件

lim|~r|→+∞

u(~r) = 0 (373)

57

を満たすものとする. この場合のグリーン関数 G(~r, ~r′) の満たすべき方程式は(∆− λ

)G(~r, ~r′) = −δ(~r − ~r′) (−∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞,−∞ < z < +∞) (374)

である. ここで, δ(~r− ~r′) は δ(~r− ~r′)≡δ(x− x′)δ(y− y′)δ(z − z′) により与えられる 3 次元のデルタ関数である. この場合, 境界面がなく, 式 (374) の非斉次項が ~r− ~r′ の関数であることを考慮すると, グリーン関数G(x, y, x′, y′)は ~r− ~r′ の関数 G(~r, ~r′) = K(~r− ~r′)と表されると仮定することができる. G(~r, ~r′) = K(~r− ~r′)のフーリエ変換 G(~p, ~p′) とその逆変換は

G(~p, ~p′)≡(√ 1

2π

)6∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞G(~r, ~r′)exp

(− i~p·~r − i~p′·~r′

)d~rd~r′ (375)

G(~r, ~r′) =(√ 1

2π

)6∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞G(~p, ~p′)exp

(i~p·~r + i~p′·~r′

)d~pd~p′ (376)

で与えられる. ここで

G(~p, ~p′) =(√ 1

2π

)6∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(~r − ~r′)exp

(− i~p·~r − i~p′·~r′

)d~rd~r′

=(√ 1

2π

)6∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(~r − ~r′)exp

(− i~p·(~r − ~r′)− i(~p+ ~p′)·~r′

)d~rd~r′

= K(~p)δ(~p+ ~p′) (377)

G(~r, ~r′) =(√ 1

2π

)6∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(~p)δ(~p+ ~p′)exp

(i~p·~r + i~p′·~r′

)d~pd~p′

=(√ 1

2π

)6∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞K(~p)δ(~p+ ~p′)exp

(i~p·(~r − ~r′) + i(~p+ ~p′)·~r′

)d~pd~p′

=(√ 1

2π

)3∫ +∞

−∞K(~p)exp

(i~p·(~r − ~r′)

)d~p (378)

δ(~r − ~r′) =(√ 1

2π

)6∫ +∞

−∞exp(− i~p·(~r − ~r′)

)d~p (379)

であることを用いて, 式 (374) の両辺をフーリエ変換することにより

(− |~p|2 + λ

)K(~p) = −

(√ 1

2π

)3(380)

という等式が得られる. これを逆変換することにより G(~r, ~r′) は

G(~r, ~r′) =(√ 1

2π

)3∫ +∞

−∞K(~p)exp

(i~p·(~r − ~r′)

)d~p =

( 1

2π

)3∫ +∞

−∞

1

|~p|2 − λexp(i~p·(~r − ~r′)

)d~p (381)

という形に求められる. ~pの極座標表示 ~p =~ipsin(θ)cos(φ)+~jpsin(θ)sin(φ)+~krcos(θ) (0≤p < +∞, 0≤θ≤π,0≤φ≤2π) を導入し計算されるが，詳細は

今井勤著, 物理とグリーン関数, pp.36-40 (岩波全書 308, 岩波書店).

を参照されたい.

58

最終章. 大学院講義「応用微分方程式論」のおわりに.

約 4 ヶ月ほどの間, 本講義を我慢強く受講していただいた大学院生の皆さんに深く感謝いたします. 残念ながら時間の関係で超幾何微分方程式および合流型超幾何微分方程式の積分表示解の詳細，グリーン関数の具体的な計算については触れることができませんでしたことはお詫びいたします. 本講義において参考にした文献を改めて列挙し, 講義ノートをしめくくることとさせていただきます.

1. 永宮健夫著, 応用微分方程式論 (共立出版).

2. 犬井鉄郎著, 特殊関数 (岩波全書 252, 岩波書店).

3. R. クーラン, D. ヒルベルト共著, 銀林浩訳, 数理物理学の方法 (東京図書).

4. 西本敏彦著, 超幾何・合流型超幾何微分方程式 (共立出版).

5. 堀口, 海老澤, 福井共著, 応用数学講義 (培風館).

6. 廣池, 守田, 田中共著, 応用解析学 (共立出版).

7. 野邑雄吉著, 応用数学 — 工学専攻者のための — (内田老鶴圃).

8. 今井勤著, 物理とグリーン関数 (岩波全書 308, 岩波書店).

59

ヘルムホルツの方程式の具体的計算

G(~r, ~r′) =( 1

2π

)3∫ +∞

0

∫ π

0

∫ 2π

0

1

p2 − λexp(ip|~r − ~r′|cos(θ)

)p2sin(θ)dφdθdp

=( 1

2π

)2∫ +∞

0

∫ π

0

1

p2 − λexp(ip|~r − ~r′|cos(θ)

)p2sin(θ)dθdp

=( 1

2π

)2∫ +∞

0

[( 1

p2 − λ

)(− 1

ip|~r − ~r′|

)exp(ip|~r − ~r′|cos(θ)

)]π

0

p2dθdp

=( 1

2π2i|~r − ~r′|

)∫ +∞

0

p

p2 − λexp(ip|~r − ~r′|

)dp (382)

60

(問 1 の解答例) ν = 1 に対するルジャンドルの微分方程式は次の様になる。

(1− z2)d2

dz2w(z)− 2z

d

dzw(z) + 2w(z) = 0 (383)

z = 0 はこの正則点なので, 定理 1-8 より, z = 0 の周りの解は次の形を持ち, z = 0 に最も近い特異点は z = ±1 なのでこの級数は |z| < 1 で絶対収束する.

w(z) =+∞∑

n=0

Cnzn (|z| < 1) (384)

これを (383) に代入すると次の等式が得られる。

+∞∑

n=0

(− (n− 1)Cn + (n+ 1)Cn+2

)zn = 0 (385)

これは z の恒等式なので係数 Cn に対して次の漸化式が得られる。

Cn+2 =n− 1

n+ 1Cn (n = 0, 1, 2, · · ·) (386)

C0 = 0, C1 = 1 とおいて他の Cn を上の漸化式から定めた級数 w1(z) は

w1(z) = z (387)

C0 = 1, C1 = 0 とおいて他の Cn を上の漸化式から定めた級数 w2(z) は

w2(z) = 1−+∞∑

n=1

1

2n− 1z2n−1 (388)

この級数を |z| < 1 での log(1 + z) のテーラー展開の式と見比べると次の様にまとめる事が出来る。

w2(z) = 1− z

2

(log(1 + z)− log(1− z)

)(|z| < 1) (389)

さらに, z = 0 に対して W [w1, w2] = −1 6=0 なので, 定理 1-5 により |z| < 1 なる任意の z に対してW [w1, w2] = −1 6=0 が成り立ち，定理 1-3 により w1(z) と w2(z) は 1 次独立であり, 定義 1-4 により w1(z) と w2(z) は微分方程式 (383) の基本系である. 従って, 定理 1-6 により, 求める一般解 w(z)は C, D を任意定数として次の様に求められる.

w(z) = C{1− z

2

(log(1 + z)− log(1 − z)

)}+Dz (|z| < 1) (390)

61