Objetivos

• Brindar una introducción a la Simulación de Eventos Discretos

• Construir modelos de simulación simples

Bibliografía• Banks, J. (1998). Handbook of Simulation. New York: John Wiley and sons.• Joines, J. A., & Roberts, S. D. (2012). Simulation modeling with SIMIO: a

workbook (2nd ed.): Simio LLC. • Kelton, W. D., Smith, J. S., & Sturrock, D. T. (2013). Simio and simulation:

Modeling, analysis, applications. Third edition. Learning Solutions. • Law, A. M. & Kelton, W. D. (2000). Simulation modeling and analysis: McGraw

Hill Boston, MA.• Law, A. M. (2008). How to build valid and credible simulation models. Paper

presented at the Proceedings of the 40th Conference on Winter Simulation.• Law, A. M., & McComas, M. G. (2002). Simulation-based optimization. Paper

presented at the Proceedings of the 34th conference on Winter simulation.• OptTek Systems, Inc.'s (2011). The OptQuest Engine Java and .NET Developer's

Guide. Version 6.6. Disponible en: http://www.opttek.com/documentation/ v66engine/OptQuest %20Engine% 20Documentation/Default.htm

• La simulación de sistemas y procesos es una de las herramientas más exitosas y más utilizadas de la Investigación de Operaciones, y se ha constituido en una poderosa herramienta para la optimización de los procesos de toma de decisiones en diversos ámbitos.

Razones para experimentar con el modelo en lugar del sistema real:

• El sistema aun no existe.• Experimentar con el sistema es costoso.• Experimentar con el sistema es inapropiado

(por ejemplo, riesgoso).

¿Cuando simulación es una herramienta apropiada?

• Sistema complejo (aleatoriedades).• Mejorar el sistema real con lo aprendido en el

modelado.• Verificar soluciones analíticas.• Estudiar el comportamiento de un sistema.• Aprendizaje.

¿Cuando simulación NO es apropiada?

• Sentido comun es suficiente.• Existe solución analítica.• Experimentos directos son más sencillos.• Si su costo excede los ahorros (estimados).• Si no se dispone de recursos ni tiempo.• Si no hay datos disponibles.• Si no se puede verificar y validar.• Si el sistema es muy complejo (p.e.

comportamiento humano).

Simulación de eventos discretos

• Sistemas que pueden ser representados por una secuencia de eventos.

• Los cambios de estado del modelo, ocurren en puntos discretos del tiempo (eventos).

• Ejemplo: sistema de inventarios– Eventos:

• Colocación de una orden• Recepción de una orden• Venta o utilización de productos

Ejemplo: Hospital• Los pacientes son los elementos centrales• Uso de recursos costosos.• Simulación es usada para planificar el uso de los recursos modelando las actividades de

los pacientes.• Pacientes esperan, son admitidos, internados, siguen un tratamiento y son dados de

alta.

• Objetivos: Estudiar el efecto de la disposición de la sala de operaciones o el aprovisionamiento de camas en el tiempo de espera de los pacientes.

• Supuestos: El sistema trabaja 24 x 7. Existen prioridades según la necesidad de los pacientes.

• Variables de decisión: Número de camas, tiempos de apertura de la sala de operaciones.• Datos de salida: Lista de espera y de tiempos de espera de los pacientes.• Eventos: Arribos de pacientes, internación (admisión), comienzo de la operación, fin de

operación, y "dado de alta". La sala de operaciones está abierta, la sala de operaciones está cerrada.

Ejemplo: taller de reparaciones• Planta industrial con máquinas que pueden fallar.• Número acotado de mecánicos y equipamiento para repararlas.

• Objetivos: Estudiar el efecto del aprovisionamiento de mecánicos y de equipos en los tiempos no operables de las máquinas.

• Supuestos: Una jornada dura 8 horas, más el tiempo necesario para terminar de reparar las máquinas que se rompieron. Existe material de repuesto suficiente. Todas las máquinas son idénticas. El tiempo que le lleva a un mecánico ir hasta la máquina rota o transportar repuestos es despreciable.

• Variables de decisión: Número de mecánicos. Número de equipos.• Datos de salida: Tiempo de máquina "no operable". Utilización de mecánicos.

Utilización de equipos. Trabajo extra fuera de jornada.• Eventos: Ruptura de máquina. Comienzo del quitado de piezas. Fin del

quitado de piezas. Comienzo de la reparación. Fin de la reparación.

Conceptos y terminología

• Reloj de la simulación• Entidades• Recursos• Eventos• Estados• Colas• Procesos• Variables• Variables de estado

• Variables aleatorias• Variables aleatorias de

input y de output• Parámetros• Atributos• Réplicas• Horizonte de simulación• Medidas de desempeño• …

Conceptos y terminología• ENTIDADES: Objetos o individuos cuyas actividades modelamos

– En un modelo puede haber diferentes clases

• ATRIBUTOS: Características o datos asociados con las entidades

• RECURSOS: elementos que actúan como restricciones en las actividades de las entidades. Son usados y liberados por otros objetos.

• VARIABLES DE ESTADO: describen el estado del sistema en un instante dado.

• EVENTO: situación o hecho que hace cambiar el estado del sistema.– Pueden ser seguros (ocurrirá indefectiblemente) o condicionales (sujeto al cumplimiento de

condiciones)

• RUTINAS (CÓDIGO): dadas las variables de estado y los eventos es necesario definir la forma como los eventos modifican las variables de estado.

Conceptos y terminología

• PROCESO: actividades en las que intervienen las entidades.

• ESTADOS (de una entidad, un proceso o un recurso): situaci{on en la que se encuentra en un momento determinado– Ocupado, en cola, desocupado, bloqueado, fuera de turno, fallado,

etc.

• COLA (o filas de espera): estado en el que las entidades esperan para ingresar a un proceso.

• RÉPLICA: una “historia” del sistema generada a partir de modelo de simulación.

Modelo conceptual

• Describir el sistema a modelar– Diagrama de flujo– Supuestos– Alcance– Horizonte de la simulación– Procesos a modelar– Variables de input– Variables de output– Medidas de desempeño

• Regla: el modelo debe ser tan simple como sea posible sin dejar de producir resultados verificables y fidedignos.

Modelo computacional

• Necesitamos mecanismos que ejecuten los eventos discretos en el orden correcto.

• Los paquetes de simulación lo tienen incorporado.

Variables de input

• Los problemas que tratamos son estocásticos. No podemos predecir la conducta de los elementos del sistema, pero sí podemos enumerar las posibles conductas.

• Los elementos aleatorios son modelados mediante variables aleatorias con sus distribuciones de probabilidades– Tiempos de procesos– Demanda de clientes

Datos

• Si se dispone de datos existentes: determinar la mejor manera de utilizarlos; importante conocer cómo fueron recolectados.

• Si es posible recolectarlos: definir bien los requerimientos.• Ante ausencia de datos: establecer supuestos adecuados.

• Uso de los datos:– Reproducir la situación observada– Definir una distribución empírica (histograma)– Ajustar una distribución teórica– Validar un modelo

Ajuste de distribuciones de probabilidad

• Existen métodos para encontrar el grado de ajuste de un conjunto de datos con una determinada distribución de probabilidades.– Estimación de parámetros y determinación de bondad de ajuste

• Hay diferentes software que lo hacen y están basados en esos métodos.– Ejemplos: ….

• También se pueden usar distribuciones empíricas (frecuencia relativa de las observaciones, representada por histograma).

• Usar distribución empírica cuando no es posible ajustar a alguna distribución teórica.• Siempre tratar de usar distribución teórica porque:

– Elimina “irregularidades” en los datos,– Permite generación de valores extremos (fuera del rango de datos observados),– Representación compacta.

Generación de variables aleatorias

• Generar variables aleatorias significa obtener un conjunto de valores que se comportan de acuerdo con una distribución de probabilidades determinada.

• Se obtienen a partir de números aleatorios (“semillas”).• Se han desarrollado algoritmos para la generación de

variables aleatorias según su distribución de probabilidades.

• Los software de simulación incorporan estos algoritmos y generan variables aleatorias a partir de números pseudoaleatorios.

Variables de output

• Si queremos observar el comportamiento general del sistema alcanza con realizar una sola réplica.

• Si queremos obtener resultados estadísticamente válidos deben realizarse varias réplicas con distintos números aleatorios que generarán distintos valores de las variables de input.– ¿Cuántas réplicas? ¿De qué depende?

• En general se estiman valores esperados de una determinada variable, con su correspondiente intervalo de confianza.

Medidas de desempeño (resultados)

• Evitar un alud de resultados que nos pueda ahogar.

• Los objetivos determinan la selección de las medidas de desempeño.

• El tipo de simulación influye en el análisis de los resultados.

Tipos de Simulación• Predicción: Varias réplicas, cada una con diferentes conjuntos de números

aleatorios.

• Comparación: Diferencia entre los resultados de dos o más experimentos. En cada experimento se cambian los valores de las variables de decisión.

• Investigación: Visualización continua de la información a medida que corre la simulación, mostrando largos de colas, uso de recursos, entre otros.

• En Comparación y Predicción deben capturarse datos durante las réplicas para realizar los cálculos necesarios que fueran determinados según los objetivos de la simulación.

Tipos de Simulación

• Simulación en estado estacionario– Una variable está en estado estacionario (estable) si su valor

esperado es el mismo durante el período de tiempo que estamos considerando.

– Una simulación está en estado estacionario (estable) si todas sus colas están en estado estacionario.

– El estado estacionario es alcanzado luego de un período de tiempo llamado período transitorio (warm-up period).

• Simulación terminal– Sistemas que operan en períodos cortos de tiempo y que muchas

veces nunca alcanzan el estado estacionario. Interesa todo el período de simulación.

Simulación de estado estacionario (largo plazo)

• Interesa evaluar el desempeño de un sistema después de que ha pasado mucho tiempo, de modo que las condiciones iniciales del sistema dejen de tener efecto.

• Ejemplos:– Operación de un puerto durante un año.– Operación de una planta productiva durante un mes.– Tiempo promedio de espera de productos en la cola

considerando 10.000 productos.

Simulación terminal (corto plazo)

• Se simula un sistema hasta que ocurre un cierto efecto terminal, habitualmente de corto plazo.

• Ejemplos:– Operación de una sucursal de un banco de 12AM a 2PM.– Simulación de la máquina hasta que se han atendido 100

productos.

Estado estacionario - Resultados

• Para obtener resultados confiables, durante todo el tiempo en que se toman las medidas (cuando se registran los datos de la simulación) el sistema debe estar en estado estacionario.

• Condiciones iniciales: son los valores iniciales de los parámetros para una simulación en estado estacionario.

• Las condiciones iniciales determinan un sesgo inicial que influye en el tiempo que lleva alcanzar la estabilidad, en los resultados y en las estimaciones calculadas.

• Este sesgo se puede anular realizando simulaciones durante un período de tiempo muy largo.

Estado estacionario - Resultados• Formas de obtener resultados confiables:

1. Comenzar en estado estacionario con información del "sistema real". Cantidad y tipo de entidades en actividad y en colas, organizadas en el calendario según información anterior y de acuerdo a sus distribuciones.

2. La simulación se corre hasta alcanzar estado estacionario y se toma “ese” estado del sistema como punto de partida para las siguientes réplicas.

3. Se corre la simulación desde el “sistema vacío” hasta el “estado estable”, allí se comienzan a recolectar datos. Se desprecian las medidas del período transitorio.

• El tercer método es el más “seguro”. En los dos primeros se corre el riesgo de obtener datos sesgados.

Detección del estado estacionario

• Método de promedios acumulados (Gafarian, 78)– En puntos discretos del tiempo se toman

promedios acumulados de las variables de salida.– El promedio tiende a un valor relativamente

constante cuando se alcanza la estabilidad. – Se considera que la última variable en alcanzar la

estabilidad, determina el fin del período transitorio.

Tipos de medidas de desempeño

1. Distribuciones, promedios, varianzas de las variables proveen importante información en simulaciones en estado estable.

2. Análisis de series de tiempo se usan para variables que cambian sistemáticamente, los datos se toman durante parte o toda la simulación. Se usa en sistemas en estado NO estable.

3. Valores instantáneos de variables tomados cada intervalos en el tiempo, por ejemplo: largo de cola o la cantidad de entidades. También resultados que resumen medidas sobre toda la corrida como por ejemplo el uso de los recursos ya sea su promedio o valor total (son usados en ambos tipos de simulación).

Registro de datos de salida

• La simulación debe registrar las estadísticas y datos a medida que corre la simulación para poder calcular las medidas de desempeño.

• ¿Cómo se toman y registran los datos?– Almacenando los datos en variables a medida que corre la

simulación.– La forma depende del tipo de estadística que se requiere:

• Conteos (cantidad de productos fabricados)• Datos ponderados por el tiempo (largo promedio de filas de espera o

utilización de recursos)• Promedios de datos (tiempos de espera promedio de clientes)

Procesamiento de resultados

• Necesitamos información para decidir

• Los resultados se procesarán:– estadísticamente, a partir del resumen de varias réplicas, – mediante visualización gráfica, o – mediante cálculos (por ejemplo, costos).

• La decisión de cómo presentar la información se debe planificar anticipadamente, aunque se puede dejar para el final, una vez realizado el plan de experimentación.

Teoría de Colas y Simulación

• Los sistemas descriptos por la teoría de Colas se suponen en estado estacionario.

Análisis de resultados• Los resultados de una réplica de simulación, son muestras de alguna

distribución. • Esos resultados los llamamos “respuestas".

• Las respuestas pueden ser: promedios de valores recolectados en toda o parte de la réplica, o simplemente una única medida (ej. largo de la cola al final de la réplica).

• Las respuestas son muestras de distribuciones, por lo tanto pueden variar de una réplica a otra o en la misma réplica.

• El promedio de la distribución de respuestas la notamos µ y lo llamamos la media (valor medio) de la distribución.

Análisis de resultados• Cuando los resultados son promedios de valores recolectados en estado estacionario, una sola

respuesta “puede” ser usada como la estimación de la media de la distribución.

• En sistemas terminales o no estacionarios siempre deben realizarse varias réplicas, de modo de obtener varias muestras como respuestas, tanto para calcular la media como para calcular la varianza.

• La dispersión de la variable aleatoria respecto de su media, se mide mediante la desviación estándar σ o la varianza σ2.

• Para calcular la varianza de la v.a. que estamos muestreando es necesario obtener varias respuestas independientes.

• En general es aconsejable realizar varias réplicas independientes para tomar varias muestras como respuestas tanto para calcular la media como la varianza (y la desviación estándar).

• Para lograr cierta precisión en la estimación se requiere a menudo que el número de réplicas sea muy grande, pero existen métodos que permiten reducir este número en forma considerable (métodos de reducción de varianza).

Intervalos de confianza

• Nos interesa saber con qué grado de seguridad estamos estimando el valor medio de la distribución.

• La estimación es el promedio muestreado de un conjunto de respuestas, entonces el intervalo de confianza nos brinda una medida de la confianza que le podemos tener a esa estimación.

• Si se obtiene un intervalo de confianza con un nivel de confianza de 95%, significa que la media de la distribución se encontrará en ese intervalo con una probabilidad de 0,95.

Intervalos de confianza

• Conjunto de observaciones: – Cada observación se obtiene de una réplica– Son independientes e idénticamente distribuidas

• Estimador de la media :

• Estimador de la varianza :

Intervalos de confianza

• Los límites del intervalo de confianza se pueden calcular a partir de tablas de:– distribución t-Student para muestras pequeñas,– distribución Normal para muestras grandes (más

de 30 observaciones).

• Nivel de confianza:

Intervalos de confianza• Distribución normal

• Distribución t-Student

1

2

2

1 /2Z 1 /2Z

2

1,1 /2nt

𝑋 ±𝑍1−𝛼 /2 .𝑆√𝑛

𝑋 ±𝑡𝑛−1,1−𝛼/2 .𝑆√𝑛

Intervalos de confianza

• Mayor cantidad de réplicas reducen el ancho del intervalo de confianza, lo que implica mayor precisión en la estimación de la medida de desempeño.

Proyecto de Simulación - Objetivos

• Deben ser claros.

• Determinarán: – Las variables de decisión.– Cuándo es necesaria una salida visual, un

detallado tratamiento estadístico o ambos, y– Qué salidas son importantes.

Proyecto de Simulación - Supuestos

• Implícitos al modelo o explícitos.

• Deben ser documentados.

• Reducen la complejidad del modelo.

Verificación y Validación

• Todo modelo debe ser testeado para asegurarnos que es confiable, no tiene errores y que es aceptado por aquellos que lo van a usar.

• VERIFICACIÓN: chequear el modelo computacional para asegurarnos que se comporta como esperamos.

• VALIDACIÓN: resultados coherentes. Comprobar a través de la comparación de resultados si la simulación se comporta en forma similar al sistema real.

• El proceso de establecer supuestos, construir el modelo y validarlo es un proceso cíclico.

Validación

• Formas:1. Permitir que el usuario chequee que la simulación se desarrolla

como debe (lógica del modelo y detalles).2. Brindar estadísticas que confirmen que la simulación produce

resultados similares a los del sistema real. Esto necesita de una recolección de datos adicional.

• Tener cuidado ya que pueden haber ocurrido cambios en el sistema real luego de comenzado el estudio de la simulación.

• Puede ocurrir que se hayan despreciado características que en realidad influyen en el comportamiento del sistema.

Análisis de sensibilidad• Se analiza la conducta y respuesta del modelo cuando se testean distintos supuestos y

valores de parámetros.

• En el proceso de validación se utiliza análisis de sensibilidad para: • Asegurarnos que el modelo produce resultados razonables cuando se modifican parámetros y/o supuestos del

modelo.• Para simplificar la estructura del modelo. Si el cambio en los niveles de algunos factores no implica cambios en las

respuestas del modelo, entonces podríamos pensar en omitir algún recurso o actividad implicada en esos cambios. Por ejemplo, si incluir cierto número de actividades de los doctores en el modelo del hospital, no influye en los tiempos de los pacientes, podemos obviarlas.

• Chequear los efectos del uso de parámetros basados en información inadecuada, difícil de obtener o incierta. Por ejemplo, tiempo real de actividades, podemos hacer corridas con valores límites y estudiar el tiempo y esfuerzo necesario para obtener buenos datos.

• Todo análisis de sensibilidad debe ser realizado con cuidado y muy bien planificado, ya que es imposible chequear todos los propósitos planteados a la vez.

• El análisis de sensibilidad se utiliza también en el propio proceso de experimentación, para estudiar los efectos causados en los resultados del modelo, al cambiar algunos elementos.

Experimentación

• Determinar el comportamiento del modelo (medidas de desempeño) bajo diversas circunstancias o escenarios, modificando las variables de decisión.

Salida visual

• En qué situaciones es útil la salida visual:– Validación.– Análisis visual.– Comunicación a los usuarios.

• Métodos de visualización:– Imprimir valores de parámetros.– Imprimir histogramas durante el transcurso de la simulación.– Diagramas animados: despliegan el estado de las entidades y

recursos.– Gráficos: reproducen el escenario que se modela.

Modelación• S.E.D. puede describir una gran variedad de sistemas. La descripción

del sistema en cuestión debe ser lo más sencilla posible. De todos modos se deben incluir las complejidades intrínsecas al sistema que se está modelando.

• Ejemplos– Muchos modelos de simulación requieren de distribuciones de llegadas

que varían, ya que la tasa de llegadas varía según distintos períodos de tiempo.

– En sistemas de filas humanas se deben incluir algunas conductas de tipo no retirarse o cambiar de fila.

– Las entidades en la mayoría de los sistemas pueden participar en más de una actividad a la vez, por lo que se deben implementar facilidades para tomar, unir o separar entidades.

Modelación

• POR EVENTOS– Se modela cada evento que modifica el estado del sistema– Más eficiente– Menos modular

• POR PROCESOS– Las actividades que realizan las entidades se proyectan como

procesos– Las entidades fluyen por los procesos hasta que abandonan la

simulación– Sin manejo explícito de colas

• POR OBJETOS– Modelado más intuitivo

Proyecto de Simulación• El objetivo principal de la simulación es proveer de información que

permita tomar alguna decisión.

• Muchas veces en el proceso de crear el modelo, recolectar y analizar datos y resultados, es común que perdamos las perspectiva de los propósitos para el cual lo estamos diseñando.

• Por ello no debemos perder de vista el contexto del modelo que estamos usando; observar la necesidad e importancia de plantear:– objetivos claros, – un modelo creíble, – datos confiables y – resultados pertinentes.

Tipos de resultados• Conteos

– Durante un período determinado– Ejemplo: Cantidad producida en un mes

• Recolección de valores– Interesa el promedio, desviación estándar, máximo, mínimo o en general la

distribución (histograma)– Ejemplo: Tiempo de permanencia en el sistema

• Variables en función del tiempo– En general interesa el promedio ponderado por el tiempo– También puede interesar el máximo o el mínimo– Ejemplos: Cantidad de productos en la fila de espera, Porcentaje de utilización

de un recurso

Agregar

• Clase 2 de simulación• Paper de validación