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Capítulo 10 - Gravitação

O movimento dos astros celestes fascina a humanidade há milênios.

Os primeiros modelos astronômicos propunham que as estrelas e os planetas se

movimentavam em esferas celestes com centro na Terra. Somente 5 planetas

eram então conhecidos: Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno (Urano, 1781;

Netuno, 1846; e o planeta anão Plutão só em 1930).

Os primeiros modelos não conseguiam explicar o movimento retrógrado dos

planetas.

Teoria Geocêntricas - Ptolomeu e os epiciclos

Cláudio Ptolomeu de Alexandria (século II, D.C.) propôs um modelo geocêntrico

de epiciclos. No seu primeiro modelo, a Terra estava no centro de uma

circunferência e os planetas giravam em epiciclos, isto é, em círculos cujos

centros percorriam o perímetro da grande circunferência. Circunferências e

esferas, durante milênios foram as únicas formas plausíveis de manisfestação da

natureza, pela sua estética e simetria.

No segundo e último modelo de Ptolomeu, para ajustá-lo aos dados

astronômicos, Ptolomeu deslocou a Terra do centro do grande círculo (veja fig.).

2

Este modelo vigorou por 15 séculos e tinha uma precisão de cerca de 2% na

determinação das posições dos planetas.

Para os árabes, a obra de Ptolomeu era tão magistral que seu livro ficou

conhecido como o “Almagesto” que significa, “o maior dos livros”.

Teoria Heliocêntrica - Copérnico

Um dos primeiros a propor a teoria heliocêntrica foi Aristarco de Samos (século

III A.C.) . Seus contemporâneos rejeitaram essa teoria porque ela conduziria ao

efeito paralaxe das estrelas (só observada em 1838, com o telescópio).

Nicolau Copérnico (1473 - 1543) propôs, à guisa de simplificação matemática (e

isto o salvou da Inquisição), o modelo heliocêntrico.

Sua teoria permitiu, por exemplo, estimar as escalas relativas das distâncias dos

planetas em relação ao Sol. Planetas internos como Mercúrio e Vênus nunca são

observados muito afastados do Sol. Para Mercúrio (Vênus) o ângulo máximo é

( ). Se é a distância Terra-Sol (que define 1 unidade astronômica =

150 milhões de km) e a distância do planeta então

.

Para planetas externos é só inverter e na equação. A tabela abaixo mostra

que os resultados obtidos por Copérnico foram muito bons

Em 1600, Giordano Bruno defendeu a doutrina de Copérnico e, por este motivo,

foi queimado em Roma. A obra de Copérnico foi colocada no Index em 1616,

pelaa Igreja.

O livro do Moysés traz uma ótima revisão histórica dos primórdios da

Astronomia.

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Tycho Brahe e Kepler

O dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601) passou sua vida inteira fazendo

observações astronômicas muito cuidadosas das posições dos planetas. Suas

medidas se revelaram pelo menos 2 vezes mais precisas do que as anteriores.

Johannes Kepler (1571-1630) foi seu assistente (por apenas 1 ano, logo em

seguida Tycho faleceu) e ficou com o legado dos dados astronômicos de Tycho

Brahe.

Inicialmente, Kepler adotou a teoria de Copérnico com os planetas executando

órbitas circulares em torno do Sol. Entretanto, para a órbita de Marte persistia um

desvio de 8 minutos de arco (sendo que os dados de Tycho Brahe eram

confiáveis dentro de pelo menos 4 minutos de arco). Kepler resolve então

abandonar o mundo perfeito das órbitas circulares e pensar na órbita elíptica. Daí

surgiram as 3 Leis de Kepler.

A 1a. Lei de Kepler (lei das órbitas)

“As órbitas descritas pelos planetas ao redor do Sol são elípticas, com o Sol num

dos focos”.

A equação da elipse é dada por

onde ( ) é o semi-eixo maior (menor) e estamos escolhendo o semi-eixo maior

ao longo do eixo x.

A excentricidade da elipse é definida por

, onde é a distância do foco à

origem do sistemas de coordenadas e vale . Logo,

4

A circunferência tem excentricidade zero.

Vemos na tabela da figura, que Mercúrio e depois Marte são os planetas

(conhecidos na época) com maior valor de excentricidade.

A 2a. Lei de Kepler (lei das áreas)

“O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos

iguais”

É uma consequência direta da conservação do vetor momento angular já que sua

derivada é o torque cujo valor é nulo para força central.

Na figura abaixo temos a área infinitesimal varrida num tempo infinitesimal

Logo,

Como L é constante, a chamada velocidade areolar,

, também será constante.

Isso demonstra a 2ª. lei de Kepler. Isso explica porque no periélio um planeta se

move mais rapidamente do que no afélio ( ).

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A 3a. Lei de Kepler (lei dos períodos)

“Os quadrados dos períodos de revolução de 2 planetas T1 e T2 estão entre si

como os cubos de suas distâncias médias ao Sol, R1 e R2”

Como veremos adiante, esta lei é uma consequência direta da força gravitacional

variar com o inverso do quadrado da distância. Abaixo segue uma tabela dos

valores obtidos por Copérnico e os valores atuais.

Kepler foi um dos primeiro escritores de ficção científica, no livro Somnium ele

descreve uma viagem à Lua.

Galileu Galilei (1564-1642)

Galileu tomou conhecimento da teoria de Copérnico. Ele não inventou o

telescópio, mas construiu um bem poderoso para a época e o dirigiu para a Lua e

depois para Júpiter. Perto de Júpiter encontrou 4 pontos luminosos que por vezes

se eclipsavam – eram 4 satélites orbitando Júpiter. Logo a primazia de ter corpos

celestes orbitando em volta não mais pertencia à Terra – Júpiter tinha 4 satélites.

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Convencido de que a teoria heliocêntrica de Copérnico e depois de Kepler era a

correta começou a defendê-la abertamente. Julgado pelo Santo Ofício, teve que

abjurar seus erros e heresias.

Isaac Newton (1642-1727)

Newton teve saúde muito frágil quando ele era criança, mas viveu até idade bem

avançada. Foi um dos formuladores do Cálculo Integral e Diferencial (junto com

Leibnitz).

Quando uma peste se abateu sobre Londres dizimando 1/7 da população, ele se

retirou para sua fazenda. Com ou sem a lenda da maçã, foi lá que ele propôs a

sua Teoria da Gravitação Universal.

A Força variando com o inverso do quadrado da distância

Supondo uma órbita circular de raio e período para um planeta, conhecendo

a sua 2ª. Lei,

e combinado com a 3ª. Lei de Kepler,

, teremos

Supondo que essa força deveria depender também da massa do Sol ele

concluiu que

Que é a chamada Lei da Gravitação Universal de Newton. é a constante

universal.

Para testar sua teoria Newton se perguntou: essa força é a mesma para Terra-

maçã e Terra-Lua?

Ele já sabia o valor do módulo da aceleração que a Terra faz sobre a Lua, pois,

O período da Lua conhecido desde priscas eras e a distância Terra-Lua

determinada havia sido determinada por Hiparco 1700 anos antes.

A Distância Terra-Lua

Hiparco de Nicéia (190-120 A.C.) baseou-se em uma idéia de Aristarco de

Samos (320-250 A.C.)

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Na figura acima vemos um eclipse lunar. O ponto T3 da Lua ingressa na sombra

terrestre e sai em T4. Hiparco cronometrou esse intervalo de tempo Ts (em

minutos). Como ele sabia que o ciclo da Lua em sua órbita é de 29,5 dias =

42.480 minutos, ele pôde calcular o ângulo 2β que a sombra da Terra faz para um

observador na Terra. Supondo velocidade constante e órbita circular, temos por

uma simples regra de três:

360o __________ 29,5 dias

2β __________ Ts

2β ~ 1,3o

O ângulo 2α é o ângulo com que um observador da Terra vê o diâmetro aparente

do Sol. A Lua e o Sol têm, praticamente, o mesmo diâmetro aparente com

2α ~ 0,5o

Da figura, vemos que

α + β = a + b

O ângulo a pode se tomado igual a zero, devido à enorme distância Terra-Sol.

Dessa maneira, determina-se o ângulo b. Da trigonometria, sabemos que

DTL sen(b) = RT

Como o raio da Terra já era conhecido desde Eratóstenes, Hiparco obteve a

distância Terra-Lua: 385.079 km, nada mal ... pois o resultado atual é de 384.400

km . Observe que, deste resultado, segue imediatamente o raio da Lua RL

Como a aceleração da gravidade

é a aceleração da maçã na superfície

da Terra ele já sabia que

Pela sua teoria

, onde são a massa e o raio da

Terra, respectivamente. Logo

8

Por outro lado,

, logo

Portanto,

Validando sua teoria !!

A sua obra monumental, Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, dá

explicações científicas para:

Os Cometas

Como a queda da maçã e a aceleração da Lua eram explicadas por sua fórmula,

Newton concluiu que os cometas, como os planetas, também tinham órbitas

elípticas só que com excentricidade muito próxima de 1. Na sua época, o cometa

de Halley já havia reconhecido em 3 aparições: 1531, 1607 e 1682, com um

período de 75 a 76 anos.

A forma da Terra

Newton sabia que, caso a Terra não girasse em torno do seu eixo, os efeitos

apenas gravitacionais deveriam torná-la numa esfera perfeita. Mas o efeito da

força centrífuga de rotação deveria achatá-la nos polos transformando-a num

esferóide oblato.

Newton estimou que a razão do diâmetro polar para o diâmetro do equador

deveria ser algo como , conduzindo a uma elipticidade de

(elipticidade =

, na fórmula da elipse). Os valores de hoje dão para a

elipticidade um valor um pouco menor .

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A Precessão dos Equinócios

Hiparco em 130 A.C. já havia reparado que a posição do Sol nos equinócios

migravam em relação às estrelas fixas ao longo dos séculos. Como vimos no

capítulo 12, essa precessão se deve ao torque cuja origem está no achatamento

dos nosso planeta. A Lua tem maior contribuição para a precessão do que o Sol.

As marés

Newton também foi o primeiro a atribuir a existência das marés à força

gravitacional da Lua (e, menor escala, do Sol).

Na figura abaixo temos uma ideia do porque temos duas marés altas e duas marés

baixas no dia. Há que se acrescentar ainda o efeito da força centrífuga sobre as

marés.

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A Existência de Satélites Artificiais

Newton também previu a possibilidade de satélites artificiais orbitando a Terra

(veja figura abaixo). Mesmo sem conhecer o valor da constante universal ,

podemos calcular o período de rotação de um satélite em órbita circular de raio

O primeiro satélite artificial, o Sputnik 1 (1957), tinha uma altitude média de 550

km e, portanto, período de aproximadamente 96 minutos.

Se fizermos , obteremos para a distância (ou altura do satélite) de cerca

de 42.000 km, são os satélites em órbita geoestacionária, “estacionados” sobre o

mesmo ponto do planeta.

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A Determinção de G – A Experiência de Cavendish

Para determinar é necessário medir a força gravitacional entre dois corpos.

Como essa força é muito pequena, levou um século desde o lançamento do “

Principia” de Newton. Em 1798, Cavendish utilizou a balança de torção no

experimento que determinou . Ao par de massas , ligados por uma barra em

cujo centro há uma fibra fina de quartzo, aproxima-se o par de massas . Isso

produz um torque que gira um espelho onde reflete um feixe de luz.

Calibrado o pêndulo e medindo o ângulo de giro do espelho, Cavendish conclui

encontrou o valor

, muito próximo do valor atual

Cavendish denominou seu experimento de a Pesagem da Terra, já que sua

determinação permite imediatamente calcular a massa da Terra

A Massa do Sol

Uma vez conhecido o valor de pode-se calcular a massa do Sol

Onde é a distância Terra-Sol. Essa distância havia sido (muito mal) estimada

por Aristarco no século III A.C. Kepler determinou por paralaxe a distância

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Terra-Marte. Como a razão entre as distâncias Terra-Sol e Marte-Sol eram

conhecidas da sua 3ª. Lei. Segue-se que

cerca de 333.000 vezes a massa da Terra.

Os Satélites de Júpiter e a Velocidade da Luz

O satélite mais interno de Júpiter descoberto por Galileu, Io, tem período

conhecido e pequeno . O astrônomo dinamarquês Olaf Römer em 1675

observou que o intervalo entre 2 eclipses consecutivos de Io aumentava quando a

Terra se afastava de Júpiter (ponto 2 na fig) e diminuía quando se aproximava

(ponto 4 na fig). O intervalo de tempo independente da velocidade da luz poderia

ser obtido nos pontos 1 e 3. Conhecendo a velocidade de rotação da Terra em

torno do Sol, ele encontrou o valor , cerca de 25 % inferior ao

de hoje

Outros Planetas

Com a popularização dos telescópios, a busca por novos planetas se intensificou

e, em 1781, William Herschel detectou Urano. Entretanto, a órbita de Urano

apresentava desvios da Teoria da Gravitação de Newton. Confiantes na teoria de

Newton, Adams e depois Le Verrier propuseram a existência de um outro planeta

e utilizando a lei de Bode ( 17712) para o n-ésimo planeta do sistema solar

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Por sorte, Netuno estava numa posição tal da órbita que as consequências desse

erro eram mínimas. Assim Galle, descobriu Netuno a da posição prevista por

Adams e Le Verrier. Descobriu-se depois que Lalande, 50 anos antes já havia

encontrado Netuno no telescópio, mas pensava ser uma estrela.

Além do Sistema Solar

Com a melhoria dos telescópios, ficou claro que as estrelas também não eram

fixas. Várias estrelas duplas e triplas foram descobertas.

Indo além das estrelas detectáveis pelos telescópios (que estão todas em nossa

galáxia – a Via Láctea), existiam as nebulosas. Em 1871, Charles Messier

catalogou cerca de 100 delas (catálogo e nomenclatura usados até hoje). Messier

não queria estudar as nebulosas, apenas localizá-las para que esses irritantes

objetos não fossem confundidos com cometas.

As nebulosas só foram reconhecidas como outras galáxias em 1923, quando

Hubble mediu suas distâncias usando as cefeídas.

A nossa galáxia é espiral e suas dimensões estão mostradas na figura abaixo

A Via Láctea é bem achatada. O sistema solar está há cerca de 30.000 anos luz

do seu centro, com velocidade orbital de e período de rotação de

anos. Se tratarmos esse movimento como um movimento circular com

uma massa da Via Láctea no seu centro (

) obtemos .

Se considerarmos o Sol uma estrela típica ( ) teremos uma

estimativas de estrelas na Via Láctea !

Todo esse sucesso imenso da Mecânica de Newton levou Laplace a enunciar a

ideia de uma dinâmica completamente determinística: “Dê-me as posições e as

velocidades de todos os corpos celestes e eu te direi o futuro do Universo”.

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O Caos Determinístico

O entusiasmo com o determinismo da Mecânica diminuiu tremendamente mesmo

no contexto da Mecânica Clássica (na Mecânica Quântica, o Princípio da

Incerteza de Heisenberg, automaticamente joga por terra os ideais

determinísticos de Laplace). Poincaré demonstrou que equações diferenciais

podem ter condições iniciais infinitesimalmente próximas e levar a resultados

completamente diferentes. Esse caos determinístico foi descrito por Lorenz

(1963) num artigo intitulado “ o bater das asas de uma borboleta no Brasil pode

provocar uma furacão no Texas? “

A meteorologia, que trata de um sistema enormemente complexo como a

atmosfera, é uma das ciências que mais sofre com o caos determinístico.

Energia Potencial e Princípio de Superposição

Vimos que a força gravitacional

é conservativa. Portanto, tem

associada a ela uma energia potencial

O vetor deslocamento pode ser decomposto numa base ortogonal de

coordenadas esféricas , portanto, .

Integrando a equação (1), temos

onde a constante de integração é nula pois, escolhemos o referencial zero no

infinito ( .

Para um sistema de N partículas interagindo gravitacionalmente vale o princípio

de superposição (propriedade das equações diferenciais lineares, como a 2ª. Lei

de Newton).

onde é a distância entre as partículas de massas e e o fator ½ aparece

para não contar 2 vezes a interação entre i e j.

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Para corpos macroscópicos e contínuos de massa M (não pontuais), podemos

calcular a energia potencial gravitacional infinitesimal de interação desse corpo

com uma partícula pontual de massa m e que está a uma distância s do

infinitésimo de massa dM

A Casca Esférica homogênea de raio a

Seja uma casca esférica homogênea de raio a e uma partícula pontual de massa m

a uma distância r do centro da casca

A área infinitesimal da “fatia” mostrada na figura vale

logo

Substituindo em dU

ou

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A lei dos cossenos fornece

Derivando a equação acima em relação a θ (a e r constantes)

ou

que pode ser substituída imediatamente na expressão (4), só precisamos

reescrever os limites de integração da variável θ para a variável s

quando

Para a região exterior r > a

que é a energia potencial como se toda a massa M da casca estivesse concentrada

no seu centro.

Para a região interior r < a

Observe que na fronteira a energia potencial gravitacional é contínua !

Como

, teremos

A força é descontínua na fronteira !

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No mundo real não existe casca de espessura zero e veremos a força decair como

na figura abaixo

Esfera maciça homogênea de raio R

A Terra é uma esfera não homogênea com a densidade aumentando no seu centro

por um fator próximo de 5

Para uma esfera maciça e homogênea de raio R, a energia potencial fora da

esfera, r > R, se comportará como a superposição de camadas ou cascas, logo

e a força

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No interior, r < R e a contribuição para o potencia vem exclusivamente da esfera

de raio r e massa Mr .

então

A força acima é restauradora e, ao longo do eixo radial, se comporta como uma

mola de constante

Como

podemos integrar e obter a energia potencial

A constante de integração c pode ser obtida pela continuidade de na

fronteira r = R

ou seja

, portanto

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Duas Esferas

A figura abaixo mostra duas esferas cujos centros estão a uma distância r. Como

elas se comportam como se toda a massa tivesse colapsado no seu centro, a força

entre elas é a mesma que de duas partículas de massas m1 e m2 separadas entre si

pela distância r.

Massa Reduzida

A 1ª. Lei de Kepler está incorreta, pois tanto os planetas como o próprio Sol

giram elipticamente em torno do CM. Como a massa do Sol é muito maior

(99,9% da massa do sistema solar corresponde à massa do Sol). Vejamos onde

está o CM do sistema Terra-Sol

Com a origem no centro do Sol, teremos

Como o raio do Sol é de 700 mil km, o CM está praticamente no centro do Sol.

T S 150 x 10

6 km O

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A situação é muito diferente no caso, por exemplo, das estrelas duplas. Elas tem

massas da mesma ordem de grandeza. Para analisar isso vejamos a situação de 2

partículas de massas m1 e m2 passando do referencial de laboratório (origem O da

figura) para o referencial de CM (origem O´ na figura).

No lab, o vetor posição do CM é

Definindo o vetor de coordenadas relativas

E, lembrando que:

e

As equações de movimento no CM são

onde

Substituindo (1) e (2) nas 2 equações de (3) obtemos uma única equação

onde

é a chamada massa reduzida

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A equação (5) mostra que o problema de 2 corpos foi transformado no problema

de um único corpo de massa reduzida μ, com vetor posição e sujeito à força

Vemos que se uma massa, por exemplo, m2 é muito maior do que a outra m1

então

ou seja, a massa reduzida se aproxima da do corpo de menor massa. Se as

massas forem iguais, então

Voltando à equação (5), tudo se passa como se uma partícula fictícia de massa

igual à massa reduzida estivesse sob a ação da força gravitacional.

O que acontece se essa partícula fictícia executa um movimento circular?

então

mas a aceleração centrípeta vale

de (6) e (7) concluímos

Isso corrige a 3ª. Lei de Kepler, onde a única massa que aparece é a massa do

Sol.

A equação (8) continua válida para elipses, é só substituir o raio do círculo pela

distância média (ou, equivalentemente, pelo semi-eixo maior).

Observação: pelas equações

Vemos que se a partícula fictícia de massa reduzida tem o seu vetor posição descrevendo uma elipse então de (1) e (2) os corpos 1 e 2 também descreverão

uma elipse.

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Para comparar vejamos o sistema Sol com o maior planeta Júpiter, supondo uma

órbita circular. Dados:

Logo o corpo fictício de massa , executa um movimento

circular de raio . O CM do sistema Sol-Júpiter está a uma

distância (do centro do Sol)

que é um pouco maior

do que o raio do Sol de . Portanto, Júpiter executará um movimento

circular de raio

em torno do CM e o Sol executará

um movimento circular de raio

em torno do CM (que

está um pouquinho além do seu raio). Podemos imaginar uma barra sem massa

ligando Sol-Júpiter, com o Sol numa extremidade e Júpiter na outra e girando em

torno do CM.

Esse movimento (wobble) do Sol e de qualquer estrela devido à presença de um

planeta bem massivo foi a primeira técnica utilizada na determinação de

exoplanetas. A outra técnica é a de trânsito do planeta na frente de sua estrela, já

que altera a luminosidade medida dessa estrela.

Se 2 astros têm mesma massa e estão separados por uma distância L, então eles

giram em torno do CM num movimento circular de raio L/2.

O Campo Gravitacional

Definimos para uma partícula de massa o campo gravitacional

Dizemos que o corpo de massa cria ou gera em todos os pontos do espaço 3D,

um vetor campo gravitacional . A cada ponto do espaço está associado um

vetor .

Se o corpo de massa for macroscópico, então para calcular o campo

gravitacional temos que integrar

dM

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Para ilustrar o cálculo de campo gravitacional, vamos generalizar o exercício

10.17 do Moysés.

Um fio homogêneo de massa tem a forma de um anel circular de raio .

Perpendicular a seu plano e com direção passando pelo centro está uma barra

unidimensional de densidade uniforme, massa , comprimento e cuja

extremidade está a uma distância do centro do anel. Calcule a força

gravitacional exercida pelo anel sobre a barra.

Por simetria, as componentes y e z (plano que contém o anel) se anulam já que

para toda contribuição haverá outra igual mas de sentido oposto a . Logo, o

campo gravitacional infinitesimal gerado por M será

e

integrando, teremos

Esse campo cria uma força infinitesimal sobre

onde

chamando

M

a

D

L

m

dM

x

α dm

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A hipótese de uma estrela ter a mesma densidade que a Terra é ruim. Vejamos a

Terra e o Sol.

ou seja, o Sol é cerca de 4 vezes menos denso do que a Terra.

Sejam , a massa, o

raio e a densidade da estrela, conforme proposto por Laplace.

Então,

Um corpo de massa para escapar da superfície dessa estrela tem ter uma

velocidade de escape

A massa da estrela calculada é cerca de 100 milhões de vezes a massa do Sol...a

Relatividade Geral reduziu esse valor para cerca de 10 vezes a massa do Sol.

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