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O Método de Inferência de Takagi-Sugenopara Sistemas Baseados em Regras Fuzzy
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática AplicadaInstituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Quarta-feira, 01 de Abril de 2015
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 1 / 43
Contexto Histórico
Em 1985, Takagi e Sugeno introduziram uma ferramenta paramodelagem de sistemas baseada na teoria fuzzy.
No mesmo artigo, os autores também discutem duas aplicaçõesindustriais: Uma relacionada ao tratamento de água e outra comrespeito a produção de ferro.
Em 1988, Sugeno e Kang publicaram novos resultados eapresentaram critérios para ajustar os parâmetros do método fuzzy.
O método de Takagi-Sugeno, também conhecido comoTakagi-Sugeno-Kang, possui aplicações em diversas áreas incluindo:automação e controle, previsão de séries temporais, reconhecimentode padrões e biomatemática.
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 2 / 43
Teoria Fuzzy
A palavra fuzzy, de origem inglesa, significa incerto, vago,impreciso, subjetivo, nebuloso, difuso, etc.
A teoria fuzzy (lógica fuzzy e teoria dos conjuntos fuzzy) foiintroduzida por L. Zadeh em 1965 com o objetivo de modelarconceitos vagos ou imprecisos que surgem na linguagem natural.
Exemplos de conceitos vagos considerados na teoria fuzzy incluia noção de “pessoa jovem” e “temperatura ideal”.
A teoria fuzzy não é uma teoria vaga mas, sim, uma teoria paramodelar conceitos vagos!
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Conjuntos Fuzzy
Definição (Conjunto Fuzzy )Um conjunto fuzzy A de X é caracterizado por uma função
ϕA : X → [0,1],
chamada função de pertinência.
O valor ϕA(x) indica o grau com o que elemento x ∈ X pertenceao conjunto fuzzy A.
O valor ϕA(x) também pode ser interpretado como o valor daveracidade da afirmação “x é A”.
É comum usar A para representar tanto a função de pertinênciacomo o conjunto fuzzy, i.e., A(x) = ϕA(x).
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Lógica Fuzzy
Lógica ClássicaA lógica clássica é composta de proposições, que são afirmações desentido completo como “Sócrates é um homem” ou “x é A” (em que A
é um conjunto clássico).
Na lógica clássica, uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Lógica Fuzzy
A lógica fuzzy trabalha com proposições vagas ou incertas como“Pedro é jovem”, “Gripe forte provoca febre alta” ou “x é A” (em que A
é um conjunto fuzzy).
Na lógica fuzzy, uma proposição é caracterizada por um grau deveracidade no intervalo [0,1].
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Conectivos da Lógica Fuzzy
Os principais conectivos da lógica fuzzy são:
Conectivo “E”: Modelado usando uma norma triangular.
Conectivo “OU”: Modelado usando uma conorma triangular.
Conectivo “NÃO”: Modelado usando uma negação fuzzy.
Conectivo “SE-ENTÃO”: Modelado usando uma implicação fuzzy.
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Norma Triangular
Definição (Norma Triangular)Uma norma triangular △ : [0,1]× [0,1] → [0,1], também chamadat-norma, é um operador que satisfaz para todo x , y , z ∈ [0,1]:
(a) 1 △ x = x . (elemento neutro)
(b) x △ y = y △ x . (comutativa)
(c) x △ (y △ z) = (x △ y)△ z. (associativa)
(d) x ≤ y ⇒ x △ z ≤ y △ z. (monotonicidade)
ExemploExemplos de t-normas incluem:
x △M y = min{x , y} = x ∧ y . (mínimo)
x △P y = xy . (produto)
x △L y = max{0, x + y − 1}. (Lukasiewicz)
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Sistemas Baseados em Regras Fuzzy
Sistemas baseados em regras fuzzy constituem uma poderosaferramenta com aplicações em diversas áreas incluindo:
Automação e controle.
Previsão de séries temporais.
Reconhecimento de padrões.
Biomatemática.
Aspectos positivos de sistemas baseados em regras fuzzy incluem:
Capacidade de aproximação universal e forte fundamentomatemático.
Fácil interpretação e implementação por não-matemáticos e altainteroperabilidade.
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 8 / 43
Exemplo: Lava Roupas
Objetivo:Automatizar o funcionamento de uma máquina de lavar roupas demodo a economizar água, eletricidade, detergente, etc.
Formulação e Variáveis do Problema:Conhecido o peso aproximado das roupas e quão sujas elas estão,determinaremos a quantidade de detergente a ser aplicada.
Variáveis independentes: Peso e sujeira.
Variável dependente: Quantidade de detergente.
Primeiramente, definiremos conjuntos fuzzy para as variáveisindependentes.
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Fuzzificação - Peso
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
MuitoLeve Leve Pesado
MuitoPesado
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Fuzzificação - Sujeira
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
QuaseLimpo Sujo
MuitoSujo
Extr.Sujo
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Consequente: Quantidade de detergente
0 10 30 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
MuitoPouco Pouco Moderado Exagerado Máximo
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Base de Regras Fuzzy
SE o peso é muito leve e a sujeira é quase limpo,ENTÃO a quantidade de detergente é muito pouco.
SE o peso é muito leve e a sujeira é sujo,ENTÃO a quantidade de detergente é pouco.
...
SE o peso é pesado e a sujeira é muito sujo,ENTÃO a quantidade de detergente é exagerado.
...
SE o peso é muito pesado e a sujeira é extremamente sujo,ENTÃO a quantidade de detergente é máximo.
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Base de Regras Fuzzy
Quaselimpo
SujoMuitosujo
Extr.sujo
Muitoleve
Muitopouco
Pouco Moderado Moderado
Leve Pouco Pouco Moderado ExageradoPesado Moderado Moderado Exagerado ExageradoMuitoPesado
Moderado Exagerado Máximo Máximo
Observe que temos 16 regras no total.
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Gráfico da Máquina de Lavar Roupas
020
4060
80100
0
20
40
60
80
10010
20
30
40
50
60
70
80
90
100
PesoSujeira
Qtd
.D
eter
gent
e
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Método de Inferência
Dado que o peso é p = 10 e o nível de sujeira é s = 15, determinamoso quantidade de detergente da seguinte forma:
Passo 11. Calculamos a ativação de cada regra da seguinte forma:
wi = ϕA1i(p) ∧ ϕA2i
(s), ∀i = 1, . . . ,16.
Por exemplo, a ativação da primeira regra é:
w1 = ϕMuito Leve(p) ∧ ϕQuase Limpo(s) = 0.5 ∧ 0.25 = 0.25.
Analogamente, a ativação da segunda regra é:
w2 = ϕMuito Leve(p) ∧ ϕSujo(s) = 0.5 ∧ 0.25 = 0.25.
Todas as outras regras tem ativação nula, ou seja, wi = 0 parai = 3, . . . ,16.
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 16 / 43
Passo 2A quantidade y de detergente é determinada somando o produto daativação pelo consequente da regra e dividindo o resultado pelo somadas ativações, ou seja,
y =
∑16i=1 wiQi∑16
i=1 wi
,
em que Qi ∈ {Muito Pouco,Pouco,Moderado,Exagerado,Máximo}.Neste exemplo,
y =0.25 × (Muito Pouco) + 0.25 × (Pouco)
0.5
=0.25 × 10 + 0.25 × 30
0.5= 20.
Este é um exemplo do método de Takagi-Sugeno de ordem zero!
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Sistemas Baseados em Regas Fuzzy
Um sistema baseado em regras fuzzy contém três componentes:
Dicionário, que define conjuntos fuzzy sobre as variáveis.
Base de regras, que estabelece uma relação entre as variáveis.
Método de inferência, usado para determinar a saída dado umacerta entrada.
Eventualmente, pode-se acrescentar uma quarta componente,chamada defuzzificação, que transforma uma saída fuzzy em umnúmero real ou um conjunto clássico.
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Modelo de Takagi-Sugeno
Regras Fuzzy de Takagi-SugenoNo modelo de Takagi-Sugeno, as regras são da forma:
SE x1 é A1i e x2 é A2i e . . . e xn é Ani , ENTÃO y = fi(x1, x2, . . . , xn),
em que A1i ,A2i , . . . ,Ani são conjuntos fuzzy dos antecedentesenquanto que o consequente é uma função das variáveis de entrada.
Observação:Geralmente, as funções fi são polinômios.
Tem-se um modelo de Takagi-Sugeno de ordem um se fi sãopolinômios de ordem 1.
Tem-se um modelo de Takagi-Sugeno de ordem zero se fi sãoconstantes.
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Inferência de Takagi-SugenoDada uma entrada (x1, x2, . . . , xn), a saída é
y =
∑ki=1 wi fi(x1, x2, . . . , xn)
∑ki=1 wi
,
em que
wi = ϕA1i(x1)△ ϕA2i
(x2)△ . . .△ ϕAni(xn), ∀i = 1, . . . , k ,
representam as ativações de cada regra fuzzy.
Observação:As t-normas mais utilizadas são o mínimo e o produto.
As funções de pertinência mais utilizadas são as triangulares e asfunções em forma de sino.
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 20 / 43
Exemplo (Takagi-Sugeno com antecedentes crisp)Considere a base de regras:
SE x é pequeno, ENTÃO y = 0.1x + 6.4.
SE x é médio, ENTÃO y = −0.5x + 4.
SE x é grande, ENTÃO y = x − 2.
Considerando intervalos nos antecedentes, obtemos:
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fun
ção
deP
ertin
ênci
a pequeno médio grande
Entrada-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
8
Entrada
Saí
da
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 21 / 43
Exemplo (Takagi-Sugeno com antecedentes fuzzy )Considere a base de regras:
SE x é pequeno, ENTÃO y = 0.1x + 6.4.
SE x é médio, ENTÃO y = −0.5x + 4.
SE x é grande, ENTÃO y = x − 2.
Considerando conjuntos fuzzy nos antecedentes, obtemos:
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fun
ção
deP
ertin
ênci
a pequeno médio grande
Entrada-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
8
Entrada
Saí
da
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 22 / 43
Exemplo (Takagi-Sugeno com antecedentes fuzzy )Considere a base de regras:
SE x é pequeno E y é pequeno, ENTÃO z = −x + y + 1.
SE x é pequeno E y é grande, ENTÃO z = −y + 3.
SE x é grande E y é pequeno, ENTÃO z = −x + 3.
SE x é grande E y é grande, ENTÃO z = x + y + 2.
Antecedentes fuzzy :
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fun
ção
deP
ertin
ênci
a pequeno grande
x-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fun
ção
deP
ertin
ênci
a pequeno grande
y
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 23 / 43
Exemplo (Takagi-Sugeno com antecedentes fuzzy )Superfície do modelo de Takagi-Sugeno:
-5
0
5
-5
0
5-2
0
2
4
6
8
10
xy
z
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 23 / 43
Transformada Fuzzy
As transformadas fuzzy, introduzidas por Perfilieva, podem ser vistascomo modelos de Takagi-Sugeno de ordem d .
Aplicações das transformadas fuzzy inclui processamento de sinais,previsão de séries temporais e equações diferenciais fuzzy.
Ideia da Transformada Fuzzy :A transforma fuzzy de ordem d transforma uma função realf : [a,b] → R em uma matriz do R
n×(d+1) usando conceitos da teoriados conjuntos fuzzy.
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 24 / 43
Partição Fuzzy
Definição (Partição Fuzzy )Considere nós a = x1 < x2 < . . . < xn = b. Dizemos que os conjuntosfuzzy A1,A2, . . . ,An forma uma partição de [a,b] se, para cadai ∈ {1, . . . ,n}, tem-se
ϕAi: [a,b] → [0,1], ϕAi
(xi) = 1.
ϕAi(x) = 0, x ∈ [xi−1, xi+1], com x0 = a e xn+1 = b.
ϕAié contínua.
ϕAié crescente em [xi−1, xi ] e decrescente em [xi , xi+1].
∑ni=1 ϕAi
(x) = 1, para todo x ∈ [a,b].
Uma partição fuzzy A1,A2, . . . ,An é dita uniforme se os nósx1, x2, . . . , xn são equidistantes.
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 25 / 43
Exemplo
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Partição fuzzy não uniforme do intervalo [0,4] com nós0 < 1.6 < 2.8 < 3.4 < 4.
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Transformada Fuzzy
Definição (Transformada Fuzzy Direta)Considere uma partição fuzzy A1,A2, . . . ,An de [a,b] e f ∈ C ([a,b]).
A matriz Fn [f ] ∈ Rn×(d+1) cujas linhas são os coeficientes do
polinômio que minimiza o erro quadrado médio é a transformada fuzzy
de ordem d de f com respeito à partição A1, . . . ,An.
Formalmente, a i-ésima linha de Fn [f ] é
Fn [f ]i = [ai0,ai1, . . . ,aid ], ∀i = 1, . . . ,n,
em que ai0,ai1, . . . ,aid são a solução de quadrados mínimos:
Minimize∫ b
a
(
f (x)−(ai0 + ai1(x − xi) + . . .+ aid(x − xi)
d)
︸ ︷︷ ︸
polinômio de grau d
)2ϕAi
(x)dx .
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Transformada Fuzzy Inversa
Definição (Transformada Fuzzy Inversa)Considere uma partição fuzzy A1,A2, . . . ,An de [a,b] e F uma matrizem R
n×(d+1) com linhas Fi = [ai0, . . . ,aid ]. A função fF ,n dada por
fF ,n(x) =
n∑
i=1
(ai0 + ai1(x − xi) + . . .+ aid(x − xi)
d)
︸ ︷︷ ︸
polinômio de grau d
ϕAi(x),∀x ∈ [a,b],
é chamada transformada fuzzy inversa.
Note que fF ,n(x) pode ser escrita como
fF ,n(x) =n∑
i=1
wk
(ai0 + ai1(x − xi) + . . .+ aid(x − xi)
d),
em que wi = ϕAi(x) com
∑ni=1 wi =
∑ni=1 ϕAi
(x) = 1.
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 28 / 43
ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 1.6 < 2.8 < 3.4 < 4.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 29 / 43
ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 1.6 < 2.8 < 3.4 < 4. Dada a função f (x) = sin(πx)ex/2, temos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
ffF,n
em que fF ,n é a transformada fuzzy inversa de Fn [f ].
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 29 / 43
Propriedade de Aproximação
TeoremaSeja f ∈ C ([a,b]). Dado ǫ > 0, existe nǫ e uma partição fuzzy
A1, . . . ,Anǫde [a,b] tal que
|f (x)− fF ,nǫ(x)| ≤ ǫ, ∀x ∈ [a,b],
em que e fF ,nǫ(x) é a transformada fuzzy inversa de Fn [f ]
Observação:Pode-se mostrar também que fF ,nǫ
pode aproximar as derivadas de f
caso ela seja diferenciável.
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ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 1 < . . . < 3 < 4.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 31 / 43
ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 1 < . . . < 3 < 4. Dada a função f (x) = sin(πx)ex/2, temos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
ffF,n
em que fF ,n é a transformada fuzzy inversa de Fn [f ].
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 31 / 43
ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 0.4 < 0.8 < . . . < 3.6 < 4.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 32 / 43
ExemploConsidere a partição fuzzy A1,A2, . . . ,A5 de [0,4] com nós0 < 0.4 < 0.8 < . . . < 3.6 < 4. Dada a função f (x) = sin(πx)ex/2,temos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
ffF,n
em que fF ,n é a transformada fuzzy inversa de Fn [f ].
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 32 / 43
Takagi-Sugeno Adaptativo
Em muitas situações práticas, não conhecemos o dicionário ou a basede regras fuzzy, mas temos em mãos um conjunto significativo dedados.
Os dados podem ser usadas para determinar o dicionário ou as regrasfuzzy num modelo de Takagi-Sugeno.
Inspirado em resultados sobre redes neurais artificiais, Jang introduziuem 1993 um modelo de Takagi-Sugeno adaptativo chamadoadaptative neuro fuzzy inference system (ANFIS).
Outros modelos adaptativos baseados no modelo de Takagi-Sugenoincluem também o Evolving Takagi-Sugeno (ETS) introduzido porAngelov e Filev em 2004.
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 33 / 43
ANFIS
Conjunto de TreinamentoConsidere um conjunto de dados {(xξ, yξ) : ξ = 1, . . . ,m}, em quexξ = [x1ξ , x2ξ, . . . , xnξ ] ∈ R
n e yξ ∈ R, chamado conjunto detreinamento.
EstruturaO ANFIS implementa um modelo de Takagi-Sugeno de ordem 1 comnúmero fixo de regras e conjuntos fuzzy nos antecedentes.
AntecedentesAs funções de pertinência são funções parametrizáveis.
Exemplo (Função Sino Generalizada)
ϕA(x ;α, β, γ) =1
1 +∣∣ x−γ
α
∣∣2β .
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 34 / 43
Ajuste dos Parâmetros
Ajuste dos Parâmetros dos ConsequentesDados os parâmetros que definem as funções de pertinência dosantecedentes, determina-se os parâmetros ai0,ai1, . . . ,ain dosconsequentes usando quadrados mínimos:
Minimizeai0,ai1,...,ain
m∑
ξ=1
(
yξ −
∑ki=1 wi(ai0 + ai1x1ξ + . . . + ainxnξ)
∑ki=1 wi
)2
,
em que wi = ϕA1i(x1ξ)△ ϕA2i
(x2ξ)△ . . .△ ϕAni(xnξ).
Observação:Geralmente, calcula-se a ativação usando a t-norma do produto!
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 35 / 43
Ajuste dos Parâmetros
Ajuste dos Parâmetros dos AntecedentesDe um modo similar, fixado os parâmetros ai0,ai1, . . . ,ain dosconsequentes, os parâmetros dos antecedentes são determinadosminimizando o erro quadrático médio:
Minimizeαi ,βi ,γi
m∑
ξ=1
(
yξ −
∑ki=1 wi(αi , βi , γi)(ai0 + ai1x1ξ + . . .+ ainxnξ)
∑ki=1 wi(αi , βi , γi)
)2
,
em que
wi(αi , βi , γi) = ϕA1i(x1ξ;αi , βi , γi)△ . . .△ ϕAni
(xnξ;αi , βi , γi),
são as ativações das regras (vistas como funções de αi , βi e γi ).
Marcos E. Valle (DMA - IMECC - Unicamp) Inferência de Takagi-Sugeno 01/04/2015 36 / 43
Exemplo
Considere a função f (x) = sin(πx)ex/2 e o conjunto de treinamento{(xξ , yξ) : ξ = 1, . . . ,41) em que xξ = 0.1(ξ − 1) e yξ = f (xξ).Fixado o número de regras k = 5 e as funções de pertinência dosantecedentes como função sino generalizada, obtemos:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
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Exemplo
Considere a função f (x) = sin(πx)ex/2 e o conjunto de treinamento{(xξ , yξ) : ξ = 1, . . . ,41) em que xξ = 0.1(ξ − 1) e yξ = f (xξ).Fixado o número de regras k = 5 e as funções de pertinência dosantecedentes como função sino generalizada, obtemos:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Previsão de Séries Temporais
Considere a série temporal de Mackey-Glass dada por
d
dtz(t) =
0.2z(t − τ)
1 + z10(t − τ)− 0.1z(t),
com z(0) = 1.2, z(t) = 0 para t < 0 e τ = 17.
Usando Runge-Kutta de 4a ordem, encontramos uma série temporalcaótica (que não converge nem diverge) muito usada para avaliar odesempenho de modelos.
O objetivo será estimar um valor futuro conhecendo os valorespassados.
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Série temporal de Mackey-Glass.
0 200 400 600 800 1000 12000.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Tempo (s)
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Para t1 = 118, t2 = 119, . . ., t1000 = 1117, definimos:
xξ = [z(tξ − 18), z(tξ − 12), z(tξ − 6), z(tξ)] e yξ = z(tξ + 6).
Os 500 primeiros pares (xξ, yξ) foi usado para determinar o ANFIScom 16 (24) regras.
Cada regra tem dois conjuntos fuzzy com função de pertinência emforma de sino no antecedente.
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0.6 0.8 1 1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6 0.8 1 1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6 0.8 1 1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6 0.8 1 1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
ude
Per
tinên
cia
Gra
ude
Per
tinên
cia
Gra
ude
Per
tinên
cia
Gra
ude
Per
tinên
cia
z(t − 18) z(t − 12)
z(t − 6) z(t)
A11 A12 A21 A22
A31 A32 A41 A42
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200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tempo)
Tempo (s)
Série (azul) e Estimativa (vermelho)
Erro da Estimativa
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Conclusão
Nesta palestra:
Relembramos alguns conceitos da teoria fuzzy.
Apresentamos os modelos de Takagi-Sugeno.
Interpretamos as transformadas fuzzy como modelos deTakagi-Sugeno em que os antecedentes são fixos mas osconsequentes são determinados usando quadrados mínimos(contínuo).
Mencionamos como o ANFIS (adaptative neuro fuzzy inferencesystem) sintetiza um modelo de Takagi-Sugeno a partir de umconjunto de dados.
Muito grato pela atenção!
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