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O CAMPO ELÉTRICO
1. A CARGA ELÉTRICA
• Filósofo grego Tales de Mileto (640-546 a.C.): âmbar, quando atritado, atraipequenos objetos ( palavra elétrico vem de electron = âmbar ),• Médico inglês Willian Gilbert (1540-1603): outras substâncias, quando atritadas,adquirem propriedades atrativas. Estabeleceu diferenças entre atração elétricae magnéticae magnética,• Stephen Gray, (1729): propriedades de atração e repulsão elétricas podem ser transferidas (condução elétrica),• Charles François Du Fay (1698-1739): folha de ouro é atraída por uma bastão de vidro
t it d ó t t é lid ( d iti d é i d l t i id datritado e, após o contato, é repelida (admitiu duas espécies de eletricidade:vítrea e resinosa),• Benjamin Franlin (1747): estudou condução/transferência da eletricidade e estabelecelei da conservação das cargas elétricas (caracterizou o excesso de eletricidade ç g (como positivo e deficiência como negativo),• Joseph Priesteley (1733-1804): não há eletricidade no interior de um vaso oco ( exceto nas vizinhanças da abertura como forças gravitacionais). Estabeleceu que forças entre duas cargas elétricas varia com o inverso doEstabeleceu que forças entre duas cargas elétricas varia com o inverso do quadrado da distância entre elas,
• Charles Coulomb (1736-1806): confirmou lei do inverso do quadrado da distância
usando balança de torção ( inventada por John Mitchell, 1724-1793). Aplicou-a para estudar forças elétricas e magnéticas,• Michael Faraday (1791-1867): realizou experimentos e estabeleceuMichael Faraday (1791 1867): realizou experimentos e estabeleceu leis eletromagnéticas,• James Clerk Maxwell (1831-1879): estabeleceu a teoria eletromagnética,• J.J. Thompson (1897): estabeleceu a relação carga/massa,
R b t Millik (1909) ti ã d lét i ( últi l d id d• Robert Millikan (1909): quantização da carga elétrica (múltiplo de uma unidade fundamental, q=N.e, q-carga, N-número inteiro, e - carga fundamental). Eletron tem carga –e e proton tem carga +e. Massa do próton 2000 massa eletron,
• Outros pesquisadores continuaram seus trabalhos no século XXp q
2. A LEI DE COULOMB
A força que uma carga puntiforme exerce sobre outa:Orienta-se segundo uma reta que une as duas cargas,É repulsiva quando as cargas tem mesmo sinal, caso contrário é atrativa,Módulo da força varia intensamente proporcional com o quadrado da distânciaMódulo da força varia intensamente proporcional com o quadrado da distância que as separa,
Módulo da força varia proporcionalmente com a grandeza das cargas elétricas,
qq122
12
2112 r̂
rqqKF •⋅
•=
Onde:Onde:
9229 109/.1099,8 xCmNxK == (no vácuo) - constante
q1 e q2 são cargas elétricas medidas em Coulomb (C) no sistema MKS ( quantidade de carga que flui por um contador durante um segundo para uma corrente elétrica de 1 Ampere)
1212ˆ rrr −=
1212 rrr
−
é a força exercida pela carga q1 sobre a carga q212F
CARGA ELEMENTAR( Unidade fundamental de Carga)
Exemplo: Dados , e , calcular a forçaresultante sobre a carga conforme a figura abaixo.
Cq µ251 += Cq µ102 −= Cq µ203 +=
3q
e= 19106,1 −•
g g3q
Solução:
Como q1 e q3 tem mesmo tipo deComo q1 e q3 tem mesmo tipo desinais, a força F13 é de repulsão entre elas. Sendo a distância entreelas é de , esta força é 22calculada por:
231
13qqKF ⋅
= 213r
( )( )( ) NF 56,0
22
10.2010.2510.9 2
669
13 ==−−
e faz um ângulo de 45º como eixo dos x
( )
Como q2 e q3 tem sinais opostos, a força F23 é de atração e é calculadapor:
( )( )( )( )( )
NrqqKF 45,0
210.2010.1010.9 2
669
223
3223 ==
⋅=
−−e é dirigida p/ baixo
A força resultante, F=F13+F23, é igual a soma de suas componentes no eixosdo x e do y:
NFFF 400º45cos5600 =⋅+=+=NsenFFF
NFFF
yyy
xxx
05,045,0º4556,040,045cos56,00
2313
2313
−=−⋅=+==⋅+=+=
3. O CAMPO ELÉTRICO
É a regiao do espaço onde cargas elétricas ficam sujeitas a ação de umaforça elétrica:força elétrica:
EqF ⋅= ⇔qFE =q
Onde:
q : Carga elétrica ( escalar )q g ( )F : Força elétrica sobre a carga elétrica q ( vetor )E : Vetor campo elétrico ( unidade MKS: N/C )
Atenção:
O campo elétrico é provocado por cargas elétricas puntiformes ou distribuídas,É um conceito que permite evitar o problema da ação a distância ( quando o campoÉ um conceito que permite evitar o problema da ação a distância ( quando o campo
não de propaga instataneamente) ou quandoa distribuiçao de cargas elétricasgeradoras do campo é desconhecida,
A relação entre o campo elétrico e a(s) carga(s) puntiforme(s) que o ç p ( ) g ( ) p ( ) qgerou(geraram) pode ser descrita por:
^
2
1.r
qqKFE prova⋅== 2 qrq provaprova
onde q é a carga que gerou. Se for para n cargas puntiformes:^
01
20
0. i
n
i i
iprova r
rqqKF ∑
=
= ∑=
=n
ii
i
i rrqKE
1
^
020
0⇔
EXEMPLO: Calcular o campo elétrico no ponto P ( para pontos do eixo xafastados das cargas elétricas) como mostra a ficgura.
Solução: Calcula-se o campo devido as cargas –q e +q no ponto P como segue:
q)k.(K.qE −+=
{ 43421(-q) a
2
q)( a devido
2
devido
x a)(xxE
++=
+
++
=
+
−= 2422 )/1()2/1(2.
)(11.
xaxaaxqk
axxqKEx
Com x>>a despreza a/2x então:Com x>>a, despreza a/2x, então:
33
..2...2xpK
xaqKEx ==
aqp . :Onde =
é o vetor momento dipolo elétricoé o vetor momento dipolo elétrico(unidade MKS: C.m)
Linhas de campo elétrico
As linhas de campo elétrico são também chamadas de linhas de força uma vez que• As linhas de campo elétrico são também chamadas de linhas de força, uma vez que elas mostram a orientação da força exercida sobre uma carga de prova positiva.
• Exclusivamente principiam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.• O numero de linhas de força que saem de uma carga positiva ou entram numa
carga negativa é proporcional ao valor da carga.• As linhas que entram e saem de uma carga elétrica esferossimétricas.• A densidade de linhas (numero por unidade de área perpendicular as linhas) é
proporcional a grandeza do campoproporcional a grandeza do campo.• Duas linhas de força nunca podem se interceptar
Atenção; casca esférica d l t i t ã tcarregada eletricamente não tem
campo elétrico em seu interior (como campo gravitacional).
5 CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES5. CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUA DE CARGAS
Um conjunto de muitas cargas agrupadas pode serUm conjunto de muitas cargas agrupadas pode ser considerado como uma distribuição contínua de cargas.DENSIDADE LINEAR DE CARGA; carga distribuída num ‘fio’.
=
∆∆
=iac
LQ argλ
EXEMPLO Calc lar o campo magnético no ponto P sobre o ei o do anel
∆ ocomprimentL
EXEMPLO: Calcular o campo magnético no ponto P sobre o eixo do anel de carga, uniformemente distribuída com densidade , de raio R, conforme mostra a figura.
Solução:Temos que:Temos que:
dE)( 222 Rx
dQKsdQK
+==
Devido a simetria do problema a soma das componentes em y é igual a zero.
∫ == 0yy dEE e ∫ ∫== θcos.dEdEE xx
logo:
dQ}
∫∫ +⋅
+=
+=
RdQ
R
x Rxx
RxdLK
RxdQKE
ππ λθ2
02/12222
2
022 )()(
cos)( +++ RxRxRx
θ
0cos
0 )()()(43421
Daí;KQ
2/122 )( RxKQE x
x +=
Densidade superficial de carga : carga distribuída numa superfície
)(Q∆)()carga(
áreaAQ=
∆∆
=σ)(
EXEMPLO: calcular o campo magnético no ponto P sobre o eixo da casca esférica, de raio R, carregada com densidade elétricas uniformemente distribuídas, conforme mostra a figura.Solução:Escolhemos um anel de carga com largura e comprimento θRd
θπRsen2A área deste anel é:
θθπθθπ dsenRRdRsendA 222 ==a carga elétrica neste anel é:
θθπσσ dsenRdAdQ 22== θθπσσ dsenRdAdQ 2==
Vimos que a componente radial (eixo x) devido a este anel é:Vimos que a componente radial (eixo x) devido a este anel é:
asKdQdEx cos2= a
sdsenRKdEx cos2
2
2 θθπσ= (I)
sPor outro lado podemos relacionar as variáveis s e por:
θ2222 RRθ
que diferenciando chega se a∴−+= θcos2222 rRRrs que diferenciando chega-se a
θθdrRsensds 22 = ⇔sdsdsen =θθ (II)θθdrRsensds 22 = ⇔ rR
dsen θθ
Por outro lado podemos relacionar as variáveis s com como segue:a
( )
asrrsR cos2222 −+= srRrsa
2cos
222 −+= (III)
sr2
substituindo(II) e (III) em (I) (elimina-se e da equação), temos
RrRr RRKRRK++ 222224
Rr
Rr
Rrx s
RrsrRKds
sRr
rRKdE
−
+
−
−−=
++== ∫∫
22
22
22
2
2
14 σππσ
Logo:Logo:
Para pontos fora da casca (funciona como se fosse uma carga puntiforme na origem)
22
24rKQ
rRKEx ==πσ
t d t dpara pontos dentro da casca:
022
2 =
−−=
+Rr
xRrsRKE σπ
2
−rRsr
(muda limite inferior)
DENSIDADE VOLUME DE CARGA: carga distribuída num volume
)carga(Q∆)(
)carga(volumeV
Q=
∆∆
=ρ
EXEMPLO: calcular o campo magnético no ponto P sobre o eixo da esfera, de raio R, carregada com densidade volumar de cargas elétricas uniformemente distribuídas, conforme mostra a figura.
ρ
Solução:
Pode-se ver uma esfera como uma superposição de cascas esféricasuma superposição de cascas esféricas concêntricas de espessura dr cuja carga elétrica é:
drrdQ 24πρ= {43421
volume
áreaQ ρ
Logo, o campo elétrico no ponto P devido a casca esférica de raio R é:
24 drrKKdQ πρ22
4s
drrKsKdQdE πρ
==
Conseqüentemente, se o ponto P estiver fora da esfera, temos:q , p ,R
R rKdrrKdEE 2
3
2
234
4∫ ∫ ===
πρπρou 2s
KQE = para s > R
r ss 00∫ ∫
= s
Quando o ponto P estiver dentro da esfera, a carga q´ no interior:
333 44´` QrrQrVq =
=== ππρρ 33 3
343 R
rR
rVq
ππ
πρρ
Logo: QrK3
KQrRQK
sKqE 2
3
2
´⇒
==
rRKQE 3= para s< R
6.MOVIMENTO DE CARGAS PUNTIFORMES EM CAMPO ELÉTRICO
CASO I: Carga elétrica que lançada na di ã d l id ddireção do campo com velocidade (MRUV)
Aceleração:
Força= m.a=q.E= força elétrica
Logo: qEa =
O espaço percorrido pela carga elétrica até parar, é igual a:
m
mv2
logo Savv ∆+= .220
2
qEmvS2
0=∆
CASO II: carga elétrica lançada perpendicularmente a direção doperpendicularmente a direção do campo elétrico com velocidade
Aceleração na vertical é:
(como no caso I)mqEa =
na vertical temos um MUV onde:
e
m
tqEatv == 22
tqEaty ==∆
e na horizontal temos um MU.
tm
atv22t
my ==∆
7.DIPOLO ELÉTRICO EM CAMPO ELÉTRICO
Momento dipolo (p):
Lqp .=
Ex: moléculas polares (centro das cargas positivas não concide com o centro das cargas negativas, eg, NaCl, CO, etc.) a maioria das moléculas e todos os átomos são apolares e, na presença de um campo elétrico, podem orientar suas cargas e tomar um dipolo)
Torque sobre um dipolo )(τ
Temos: qEFF == |||| 21
Logo: { θθτ senEqLsenLFp
.... ==
Daí: Ep ×=τ
Energia potencial de um dipolo (U):
O trabalho para aumentar o ângulo (aplica torque para girar):θp g ( p q p g )
É convenção fazer a energia potencial U=0 quando , logo
θθθτ dsenEpddU ...== ⇒ 0cos UpEU +−= θo90=θç g p q , g
pEpEU −=−= θcos
• Bruno rafael eBruno rafael e aecio levy