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Capitulo 28: A Lei de Faraday1.A Lei de Faraday
Michael Faraday e Joseph Henry(1830) verificaram que campos magnéticos variáveis induzem corrente elétrica.
Fem induzidana bobina
Fem induzida não é localizada imaginada como distribuída por todo o circuitoinjeta emergia no circuitoinjeta emergia no circuitoforça por unidade de carga = campo elétrico não
conservativo (diferente dos campos eletrostáticos que são conservativos)( p q )
dmdldE φε −== ∫
rr.
dt∫
fem Variação do fluxo
Integral sobre o circuito todo trabalho por unidade
magnético por unidade de tempo
Lei de Lenzde carga
2. A Lei de Lenz2. A Lei de Lenz“ A Força Eletromotriz Induzida e a corrente estão na direção em que se opõe a modificação que as provocou ”
Exemplo 01: Força eletromotriz do movimento: Barra de comprimento l eu desliza sobre trilhos com velocidade constante v num campo magnético B
vr
Cálculo da fem:
Fluxo magnético: Фm =B.A = B.l.x
Taxa de variação do fluxo: lvBdtdxLBd ...
dtm −=−=−=φεTaxa de variação do fluxo:
E fem induzida (corrente no sentido anti-horário).
dtdt
Análise do trabalho por unidade de carga:
hfr
vrhf
rfr
vfr
v
vvr rvr
Usando a regra da mão direita: (para baixo)Bxvefv
rrr−=
Logo, aparece uma velocidade vertical Vv na direção de fv: Vr=Vv=V
Dados Vr e B podemos determinar a força a força magnética sobre o elétron:Dados Vr e B podemos determinar a força a força magnética sobre o elétron:
Logo, o módulo de suas componentes horizontal e vertical são dadas por:vhv ffBxvefrrrrr
+=−=
θffrr
(contrabalanceada por alguém puxando a barra: fm)
L t b lh f t d b lét d l i t t t l
θcosrv ff =θsenrh ff
rr=
Logo, o trabalho efetuado sobre um elétron quando ele percorre o comprimento total da barra é:
*SfW m .cosθ=Sl=θsen
fm
fr θ
(fr não realiza trabalho / perpendicular ao deslocamento)
Sl=θsen Sf
l
t1 t2
Logo, fazendo as devidas substituições na equação *temos:
Calculo da fem induzida via corrente induzida:
lveW r .cos.. θ=
O movimento da barra tende a aumentar o fluxo magnético dentro da área A
Lei de Lenz Corrente induzida estará na direção em que se opõe a esta modificaçãoç q p çAparece uma fem induzida no sentido a evitar o deslocamento da barraCorrente induzida é no sentido anti-horário:
Potência no resistor:
BlxIfm
rrr=
vBlIvfRIP ....2 ===
Então a fem induzida será:
vBlIvfRIP m ....
vlBRI ..==ε
Exemplos de aplicação da Lei de Lenz: determinar sentido da corrente induzidaExemplo 02:
Exemplo 03: induzido B crescendo B induzido B odecrescend B
Exemplo 04: Galvanômetro balístico (medir B experimental)
Fluxo sobre a bobina:B
crescendo I odecrescend I induzido Iinduzido I
Fluxo sobre a bobina:Фm =NBA
Após ar um giro de 90º na bobina:Фm = 0
á i d f i d id ( ) lG
R
N espiras
B
Há o aparecimento de uma fem induzida(corrente) tal que:
dI mφε 1== ∫ ∫ ===
NBAdIdtQ φ1
Logo, para medir B experimentalmente:Onde Q é lido no galvanômetro. NA
QRB =
dtRRI == ∫ ∫ ===
Rd
RIdtQ mφ
NA
Exemplo 05: Corrente de Foucalt ( são correntes induzidas circulantes em peças inteiriças metálicas que são provocadas por fluxo magnético variável)inteiriças metálicas que são provocadas por fluxo magnético variável).
- São usualmente indesejáveis devido ao calor gerado causa perda de potência e tem que ser dissipado( maquinas elétricas: ex: transformador)q p ( q )
- Remédio: para minimizar as correntes de foucault deve-se laminar as peças inteiriças no sentido a evitar a circulação das correntes induzidas.
3. Indutâncias:
Bobinas ou solenóide com muitas espiras que tem um formato alongado ( certo comprimento) são chamado de indutores.
Considere dois circuitos adjacentes:R1 R2
O campo magnético em P se deve parcialmente devido a corrente I2.Então o fluxo magnético no circuito 2 pode ser
R1 R2
I1 I2 o fluxo magnético no circuito 2 pode ser dado por (usando Biot-Savart),por exemplo:
Circuito 1 Circuito 2
Фm1=L1.I1±M21.I2 Auto-indutância Indutância mútuado circuito 2 do dois circuitos
Auto indutância: é uma constante que depende somente da geometria do próprioAuto-indutância: é uma constante que depende somente da geometria do próprio circuito.Indutância mútua: é uma constante que depende da geometria e posição dos dois circuitos.
Analogamente, o fluxo magnético no circuito 1 pode ser dado por:Фm1=L1.I1±M21.I2
Pode se demonstrar que as indutâncias mútuas são iguais ( o sinal depende da disposição de um circuito com relação ao outro )disposição de um circuito com relação ao outro )
M=M12=M21
As forças eletromotrizes induzidas em cada circuito podem ser dadas por:s o ç s e e o o es du d s e c d c cu o pode se d d s po :
dtdIM
dtdILm
2111 ±=ε
Unidade de indutâncias: Henry (H) onde: 1H = 1T m2/A=1V s/A portanto µ = 4π 10-7dtdIM
dtdILm
1222 ±=ε
Unidade de indutâncias: Henry (H), onde: 1H 1T.m /A 1V.s/A, portanto µ0 4π.10H/m
Em geral a determinação da auto-indutância e indutância mútua seguem o seguinte esquema:esquema:1- Use a lei de Biot-Savart/ Lei de Ampére para de terminar B2- Calcule o fluxo magnético:3- Compare com as equações acima e determine L e M.
danBNmrr.∫=φ
Exemplo 06: Determinar a auto-indutância de uma solenóide.
1- Ampére)ou Savart -Biot de (Lei 00 IlNnIB µµ ==
2- AlnAlnIlNAnINNBAm
2000 )()( µµµφ ====
3- AlnIAlnILm2
02
0 L . µµφ =⇒==
Exemplo 07: Determinar a indutância mútua da espira retangular.
- Campo magnético a uma distância x do fio retilíneo comprido (Lei de Biot -Savart ou Ampére)
dx
cI Savart ou Ampére)
- O fluxo magnético no elemento de áreaxIBπµ2
0=abx
dA=c.dx
Logo: dxcxIdABd m ..
2. 0
πµφ ==
fio retilineo comprido
x2π
abcIdxc
xIb
am ln.
2....
2. 00
πµ
πµφ ∫ ==
e a indutância mútua:bcMbcIMIm ln.
2.ln.
2.. 00 µµφ =⇒==
aam 22 ππ
4. Circuito LR
São circuitos que contem baterias, resistores e indutores. Considere o circuito:
• - No instante t=0 fecha-se a chave S, e uma corrente I tende a passar pelo circuito;
O i d i d• - O indutor reage ao crescimento da corrente com uma fem induzida;
• - Pela Lei de Kirchhoff, temos:RIdILVV RL +=+=ε
reescrevendo:dtRL
LI
LR
dtdI ε
=+
com as condições iniciais para { t=0 => I=0 }, temos:
onde =>d ∫ −=
t
HH dtIIL
I 1 ,ε tLR
H eI−
=
−=
−ctt
eR
I 1εonde: ∫ HHL 0
,
R
Constante de tempo (necessário para corrente atingir 63% de seu valor máximo ):Rε
Lt
Observações:t 0 > I 0 >
dI ε
Rtc =
t= 0 => I= 0 =>
t= 0 => I= =>
Ldt=
Rε 0=
dtdI
Agora considere o seguinte circuito:
• - Inicialmente fecha-se a chave S2 (S1aberta) até a corrente atingir um valor I0;
• - Simultaneamente abre-se a chave S2 e fecha se a chave S no instante t=0
2Sfecha-se a chave S1 no instante t=0, (aparece no indutor uma fem induzida que tende a impedir a diminuição da corrente (vide polarização);
1S
- Por Kirchhoff, temos: , cuja solução é: 0=+ RIdtdIL
=>
dt
∫ ∫−=I t
dtRdIctt
eII−
=∫ ∫=I
dtLI0 0
eII = 0
5. Energia Magnética
N m circ ito LR temos: ddILRI +=εNum circuito LR, temos:
Potência (taxa de energia):
dt
dtdILIRII += 2ε
fornecida pela bateria
dissipada por efeito Joule
armazenada no indutor
Energia magnética: =>dtdILI
dtdUm =
2
21 LILIdIUm == ∫
Para ver que a energia magnética está armazenada no campo magnético do solenóide considere para o solenóide:
volume=AI Numero de espiras por unidade de comprimento: I
Logo: ,0nIB µ= ,20 lAnL µ=
Daí:
( ) volumeBAlBBlAnUm
2222
01 µ ==
=
Relembrando energia eletrostática:
( ) volumeln
lnUm000
0 222 µµµµ
Relembrando energia eletrostática:
volumeEAdEQVUe2
02
0 21
21
21
∈=∈==
Densidade de Energia:
Magnética: Eletrostática:2
η B= 21 E∈=ηMagnética: Eletrostática:
02µηm = 02
Ee ∈=η
6. Circuito LC (Oscilador)
• - Por Kirchhoff:
• ou
0=+CQ
dtdIL
02
2
=+CQ
dtQdL
Cuja solução é: )cos( δω += tAQ
)( δωω +−== tAsendtdQI
onde a freqüência angular
dt
LC1
=ωLC
Utilizando as condições iniciais (2 equações e 2 incógnitas):para => eQQ =0=t 0=Ipara > e
Temos:
0QQ =0=t 0=I
0QQ=0=t 0=I
tQQ ωcos0=
tsenQI ωω−= tsenQI ωω 0=
Energias:
Eletrostática: tC
QC
QQVUe ω220
2
cos222
1===
Magnética: tsenC
QtsenQLLIUm ωωω 220
20
2
22)(
2===
Total: (Energia total se conserva)
C222
CQUUU eme 2
20=+=
7. Circuito RLC (Oscilador amortecido)
Por Kirchhoff: 02
2
=++CQ
dtdQR
dtQdL