Embed Size (px)
Citation preview
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM
TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR
NUMERIKUS INTEGRÁLÁS
Szakdolgozat
Írta : Balka JúliaMatematika BSc, matematikai elemzo szakirány
Témavezeto : Kurics Tamás, adjunktusAlkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
Budapest2012
Tartalomjegyzék
Köszönetnyilvánítás 3
1. Bevezetés 4
2. Interpolációs kvadratúra képletek 62.1. Newton–Cotes-formulák és pontosságuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1. A középponti vagy érintoformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2. A trapézformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3. A Simpson-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4. További Newton–Cotes-formulák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Összetett kvadratúra formulák 163.1. Összetett formulák és hibabecsléseik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1. Az összetett érintoszabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2. Az összetett trapézszabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.3. Az összetett Simpson-szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Konvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Gauss-kvadratúrák 294.1. Gauss–Csebisev-kvadratúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Gauss–Legendre-kvadratúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Összefoglalás 38
Irodalomjegyzék 39
Nyilatkozat 40
2
Köszönetnyilvánítás
Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetomnek, Kurics Tamásnak, aki szakértelmével,
hasznos magyarázataival és a konzultációk során biztosított elengedhetetlen tanácsaival hatal-
mas segítséget nyújtott szakdolgozatom elkészüléséhez.
Hálával tartozom továbbá szüleimnek és testvéreimnek, akik nélkül ez a szakdolgozat nem
jöhetett volna létre. Köszönöm nekik, hogy tanulmányaim során türelemmel és megértéssel
támogattak, és minden helyzetben mellettem álltak.
Külön köszönöm páromnak, Ákosnak, hogy egyetemi éveim során végtelen kitartással és
szeretettel támogatta céljaim elérését, és nélkülözhetetlen tanácsaival valamint segítségével hoz-
zájárult e dolgozat megírásához.
Köszönöm mindenkinek!
3
1. fejezet
Bevezetés
Matematikában, fizikában és az élet számos területén kerülünk olyan helyzetbe, hogy határo-
zott integrálokat kell kiszámítanunk. Matematikában ilyen például a terület-, térfogat-, felszín-,
és ívhosszszámítás, függvények skalárszorzatának meghatározása, vagy a valószínuségszámí-
tásban a várható értékek megadása. Fizikában a megmaradási törvényeknél, részecskefizikai
számításoknál, de bizonyos természetbeli jelenségek differenciálegyenletekkel való modellezé-
sének megoldásánál is szükségünk lehet integrálszámításra.
Ilyenkor egy f folytonos függvény [a, b] véges (vagy végtelen) intervallumon vett integrál-
jára vagyunk kíváncsiak. Jelöljük ezt az értéket a továbbiakban a következoképpen:
I(f) :=b∫a
f(x) dx.
A függvények egy (kis) részét könnyen integrálhatjuk az úgynevezett Newton–Leibniz-szabály
segítségével, ha f integrálható az adott intervallumon, és ismerjük a primitív függvényét. Ekkor
a következo képletet használhatjuk:b∫a
f(x) dx = F (b)− F (a),
ahol F az f primitív függvénye, azaz F ′ = f .
Ezt a kifejezést azonban számos alkalommal nem tudjuk alkalmazni. Ilyen akkor fordul elo,
amikor csak néhány pontban ismerjük a függvényértékeket, vagy nem ismerjük az integrálandó
függvény primitív függvényét, vagy ez a primitív függvény túl bonyolult, hogy kiszámoljuk,
vagy nem elemi függvény. Ilyen például a sinxx
vagy az e−x2 .
Elofordul az is, hogy nem is akarjuk kiszámítani pontosan a fent említett képlettel az integrált,
mert az túl bonyolult és idoigényes számításokhoz vezetne, és jelentosen megnone a hibázási
lehetoség, valamint a kerekítési- és számábrázolási hibákból adódó pontatlanság.
Ilyen esetekben muszáj vagy célszeru közelíto módszereket, azaz numerikus integrálást alkal-
maznunk. Szakdolgozatomban ezen eljárások közül mutatok be néhányat.
4
Legyen az [a, b] intervallum egy felosztása a következo :
a ≤ x0 < x1 < x2 < . . . < xn ≤ b,
és legyenek adottak ezekben a pontokban a függvényértékek, azaz f(x0), f(x1), . . . , f(xn).Jelölje a továbbiakban fi := f(xi).Analízisbol tudjuk, hogy a határozott integrál felírható egy határértékként az alábbiak alapján:
I(f) ≡ lim|δ|→0
n∑i=1
f(ξi)(xi − xi−1),
ahol δ a felosztás finomsága, és ξi ∈ (xi−1, xi). Ezt nevezzük Riemann-féle közelíto összegnek.
Ezek alapján tehát arra a következetésre juthatunk, hogy megfelelo együtthatókkal az
In(f) :=n∑i=0
cif(xi) (1.1)
véges összeg közel lesz az I(f) pontos értékhez. Ezt a kifejezést nevezzük kvadratúra képletnek,
melyben xi-ket alappontoknak, a ci ∈ R számokat pedig súlyoknak hívjuk.
1.1. Definíció. Az olyan (1.1) alakú kvadratúra képletet, melyben szerepelnek az a, illetve b
pontbeli függvényértékek is (azaz ha x0 = a és xn = b) zárt, míg amelyekben nem, nyílt
kvadratúra formulának nevezzük.
Vannak bizonyos feltételek, melyeket azonban elvárunk ezektol a közelítésektol. Legyenek
könnyen kiszámíthatóak, valamint, ha a felosztást egyre finomítjuk, akkor tartsanak a pontos
integrálértékhez, és lehetoleg minél gyorsabban.
Felmerül azonban a kérdés, hogy hogyan válasszuk meg ezeket a súlyokat, illetve alappontokat,
hogy ezek a feltételek teljesüljenek. Arra a kérdésre is választ keresünk, hogy ha f elég sok-
szor differenciálható, akkor mekkora lehet a legnagyobb hiba, melyet elkövetünk azáltal, hogy
numerikus integrálást alkalmazunk. A továbbiakban ezekre a kérdésekre is választ kapunk.
5
2. fejezet
Interpolációs kvadratúra képletek
Az elso kérdés, amivel foglalkozunk az, hogy adott alappontok esetén hogyan válasszuk meg
a súlyokat úgy, hogy a kvadratúra képlet által kapott megoldásunk minél közelebb legyen a
pontos integrálértékhez.
Interpoláció elméletbol tudjuk, hogy adott (xi, fi) (i = 0, . . . , n) alappontokhoz egyértel-
muen létezik olyan p ∈ Pn polinom, melyre p(xi) = fi. Az ilyen polinomok egyik eloállítási
módja a Lagrange-féle interpoláció. Jelölje ezt a polinomot Lnf(x), és állítsuk elo a következo
alakban:
Lnf(x) =n∑i=0
fi · li(x) =n∑i=0
fi ·
n∏j=0j 6=i
x− xjxi − xj
,
ahol li(x) =n∏j=0j 6=i
x− xjxi − xj
-et az i-edik (i = 0, . . . , n) Lagrange-féle alappolinomnak nevezzük.
Ez adja számunkra azt az ötletet, hogy az olykor bonyolult és nem integrálható függvénye-
inket helyettesítsük az alappontokra illeszkedo Lagrange-féle interpolációs polinommal, és azt
integráljuk. A közelítés tehát a következo :
I(f) =b∫a
f(x) dx ≈ In(f) =b∫a
Lnf(x) dx =b∫a
(n∑i=0
fi li(x))
dx =n∑i=0
fi
b∫a
li(x) dx
.(2.1)
Ez alapján látható, hogy ci súlyainkat az alábbi képlet alapján kapjuk minden i = 0, . . . , n-re :
ci =b∫a
li(x) dx. (2.2)
2.1. Definíció. A (2.2)-ben definiált súlyokkal meghatározott kvadratúra formulát interpolációs
kvadratúra képletnek nevezzük.
Most bevezetünk egy olyan fogalmat, melyre a késobbiekben még szükségünk lesz.
6
2.2. Definíció. Az In(f) kvadratúra formulánk r-ed rendben pontos, ha I(p) = In(p) minden
legfeljebb r − 1-ed fokú p polinomra, és létezik olyan r-ed fokú polinom, melyre már nem
integrál pontosan a képletünk.
A következo tételünk az interpolációs kvadratúra formula és a pontossági rend között mond
ki egy fontos összefüggést.
2.3. Tétel. Az n + 1 alappontra épülo interpolációs kvadratúra formula egyértelmuen megha-
tározott azáltal, hogy minden p ∈ Pn polinomra pontos, azaz egy kvadratúra formula akkor és
csakis akkor lehet n+ 1-ed rendu, ha az interpolációs kvadratúra formula, azaz ha (2.1) alakú.
Bizonyítás. ([5, 191. oldal] alapján.) Tegyük fel eloször, hogy a formulánk interpolációs kvad-
ratúra formula. Tudjuk, hogy Lnp = p minden p ∈ Pn polinomra. Helyettesítsük be ezt a
polinomot a (2.1)-es képletünkbe. Ekkor igaz a következo :
n∑i=0
cip(xi) =b∫a
Lnp(x) dx =b∫a
p(x) dx.
Ebbol következik, hogy (2.1) pontos minden p ∈ Pn polinomra. Ezzel a tétel egyik felét belát-
tuk.
Tegyük fel most, hogy a kvadratúránk pontossági rendje n+1. Ekkor minden p ∈ Pn-re igaz
az, hogyn∑i=0
cip(xi) =b∫ap(x) dx. Ebbol következik az alábbi minden f ∈ C[a, b] függvényre:
n∑i=0
cif(xi) =n∑i=0
ciLnf(xi) =b∫a
Lnf(x) dx,
azaz a formulánk interpolációs kvadratúra formula. Ezzel a tételt beláttuk.
Az interpolációs kvadratúra formulák egyik fo csoportját azok a képletek alkotják, ahol az
alappontok ekvidisztáns felosztásúak. Most ezekkel a kvadratúrákkal foglalkozunk.
2.1. Newton–Cotes-formulák és pontosságuk
2.4. Definíció. Tegyük fel, hogy xi − xi−1 ≡ h, azaz xi = x0 + ih, minden i = 1, . . . , n-re,
ahol h a lépéstávolság. Ekkor a (2.1)-ben definiált kvadratúrát Newton–Cotes-féle kvadratúra
formulának nevezzük.
Ha x0 = a és xn = b, azaz ha az a illetve b pontbeli függvényértékek is szerepelnek
a formulában, akkor zárt Newton–Cotes-formuláról beszélünk és a lépéstávolság h = b−an
. Ha
ezek az értékek nem szerepelnek, akkor nyílt formulának hívjuk. Ekkor az egyszeruség kedvéért
legyen a = x−1 valamint b = xn+1, így az osztópontok ugyanúgy x0, . . . , xn lesznek. Ekkor a
lépéstávolság h = b−an+2 .
Vizsgáljunk most meg néhány Newton–Cotes-kvadratúrát és azok pontosságát!
7
2.1.1. A középponti vagy érintoformula
A középponti vagy más néven érintoformula egy alappontra - azaz n = 0 - épülo nyílt formula.
Ez az egy alappont az intervallum közepén található, azaz x0 = a+ b
2 . A formulánk a következo
alakú:
I0(f) =0∑i=0
f(xi) b∫a
li(x) dx
= f
(a+ b
2
) b∫a
l0(x) dx.
A c0 együttható a (2.2)-es képlet alapján a következoképpen számolható:
c0 =b∫a
l0(x) dx =b∫a
1 dx = b− a.
A formulánk tehát a következoképpen néz ki :
I0(f) = c0 · f0 = (b− a) · f(a+ b
2
). (2.3)
2.1. ábra. Az érintoformula
Adódik a kérdés, hogy az így kapott formulánk hányadfokú polinomokra pontos.
2.5. Állítás. Az érintoformula másodrendben pontos.
Bizonyítás. A tétel igazolásához kell, hogy a (2.3)-as képletünk pontosan integráljon a legfel-
jebb elsofokú polinomokra, de létezzen olyan másodfokú polinom, amelyre már nem pontos.
Ehhez eloször legyen f(x) = d0 + d1x. A pontos integrálérték a következoképpen néz ki :
I(f) =b∫a
f(x) dx =b∫a
d0 + d1x dx =
= d0(b− a) + d1
(b2
2 −a2
2
)= (b− a)
(d0 + d1
a+ b
2
). (2.4)
Helyettesítsük be most ezt a polinomot a (2.3)-as formulánkba:
I0(f) = (b− a)(d0 + d1
a+ b
2
).
8
Látható tehát, hogy a legfeljebb elsofokú polinomokra I0(f) = I(f). Kell még, hogy a má-
sodfokú polinomokra már nem pontos a formulánk. Ehhez elég, ha azt az esetet nézzük, ha
f(x) = d2x2, hiszen a legfeljebb elsofokú tagokra már tudjuk, hogy pontos a formula. Nézzük
eloször a pontos értéket :
I(f) =b∫a
f(x) dx =b∫a
d2x2 dx = d2
3 (b3 − a3) = b− a3 d2(a2 + ab+ b2). (2.5)
Behelyettesítve f -et a formulánkba, kapjuk:
I0(f) = (b− a)f(a+ b
2
)= (b− a)d2
(a+ b
2
)2
= b− a4 d2(a2 + 2ab+ b2).
Tehát, ha f egy másodfokú polinom, akkor I0(f) 6= I(f). Ezzel az állítást beláttuk.
2.1.2. A trapézformula
A trapézformula egy zárt formula, mely két - azaz n = 1 - alappontra épül. Ebbol következik,
hogy ez a két alappont x0 = a és x1 = b. Lássuk, hogy néz ki a képletünk!
I1(f) =1∑i=0
f(xi) b∫a
li(x) dx
= f(a)b∫a
l0(x) dx+ f(b)b∫a
l1(x) dx = f(a)c0 + f(b)c1,
ahol ci =b∫ali(x) dx az együtthatóink. Ekkor az együtthatókra a következo értékek adódnak:
c0 =b∫a
l0(x) dx =b∫a
x− ba− b
dx = 1a− b
b∫a
(x− b) dx = 1a− b
[x2
2 − bx]ba
=
= 1b− a
(b2 − 2ab+ a2
2
)= 1b− a
((b− a)2
2
)= b− a
2 , és
c1 =b∫a
l1(x) dx =b∫a
x− ab− a
dx = 1b− a
b∫a
(x− a) dx = 1b− a
[x2
2 − ax]ba
=
= 1b− a
(b2 − 2ab− a2 + 2a2
2
)= 1b− a
((b− a)2
2
)= b− a
2 .
Tehát c0 = c1 = b−a2 . Ezek alapján trapézformulánk a következoképpen néz ki :
I1(f) = b− a2 (f(a) + f(b)). (2.6)
Kíváncsiak vagyunk a formulánk pontosságára. Errol szól a következo állítás.
2.6. Állítás. A trapézformula is másodrendu módszer.
9
2.2. ábra. A trapézformula
Bizonyítás. f(x) = d0 + d1x-re az I1(f) képletünk a következot adja:
I1(f) = b− a2 (2d0 + d1a+ d1b) = (b− a)
(d0 + d1
a+ b
2
).
Összehasonlítva a (2.4)-es pontos értékünkkel látható, hogy elsofokú polinomra I1(f) pontos.
Legyen most f(x) = d2x2 ! Ekkor
I1(f) = b− a2 (f(a) + f(b)) = b− a
2 (d2a2 + d2b
2) = b− a2 d2(a2 + b2).
A (2.5)-ös pontban kapott pontos értékkel összehasonlítva látjuk, hogy másodfokú polinomra
már nem pontos a trapézformula, tehát a kapott rend 2.
2.1.3. A Simpson-formula
A Simpson-formula szintén zárt, de 3 alappontra - azaz n = 2 - épülo Newton–Cotes-féle
kvadratúra formula. Alappontjaink x0 = a, x1 = a+ b
2 és x2 = b. Kvadratúra formulánk tehát
a következoképpen néz ki :
I2(f) =2∑i=0
f(xi) b∫a
li(x) dx
= f(a)b∫a
l0(x) dx+ f
(a+ b
2
) b∫a
l1(x) dx+
+ f(b)b∫a
l2(x) dx = f(a)c0 + f
(a+ b
2
)c1 + f(b)c2 , ahol ci =
b∫a
li(x) dx.
Nézzük most mik lesznek az együtthatók!
c0 =b∫a
(x− a+b2 )(x− b)
(a− a+b2 )(a− b)
dx = 2(b− a)2
b∫a
(x− a+ b
2
)(x− b) dx =
= 2(b− a)2
[x3
3 −x2
2
(a+ 3b
2
)+ x
ab+ b2
2
]ba
= (b− a)3
6(b− a)2 = b− a6 .
10
A c1 együtthatónkat hasonlóan kapjuk az alábbiak szerint :
c1 =b∫a
(x− a)(x− b)(a+b
2 − a)(a+b2 − b)
dx = 4(b− a)2
b∫a
(x− a)(x− b) dx =
= 4(b− a)2
[x3
3 −x2
2 (b+ a) + xab
]ba
= 4(b− a)3
6(b− a)2 = 4 · b− a6 .
Azt azonban minden formulánál elvárjuk, hogy pontos legyen a nulladfokú polinomokra, ezért
az együtthatóknak teljesíteniük kell a következo összefüggést :n∑i=0
ci = b−a. Emiatt a harmadik,
c2 súlyunk szintén egyenlo lesz b−a6 -tal. Ezek alapján tehát a Simpson-formula a következokép-
pen néz ki :
I2(f) = b− a6
(f(a) + 4f
(a+ b
2
)+ f(b)
). (2.7)
2.3. ábra. A Simpson-formula
2.7. Megjegyzés. Könnyen látható a következo összefüggés:
23I0 + 1
3I1 = I2 , ugyanis
46(b− a)f
(a+ b
2
)+ 1
6(b− a)(f(a) + f(b)) = b− a6
(f(a) + 4f
(a+ b
2
)+ f(b)
),
azaz a középponti- és trapézformula 23 : 1
3 arányú súlyozásával megkapható a Simpson-formula.
Az alábbi állítást nem bizonyítom.
2.8. Állítás. ([4, 202. oldal] alapján.) Az n+ 1 alappontra épülo Newton–Cotes-formulák pon-
tossági rendje páros n esetén n+ 2, páratlan n esetén n+ 1.
Ebbol értelemszeruen adódik a következo állítás.
2.9. Állítás. A Simpson-formula negyedrendben pontos.
11
2.1.4. További Newton–Cotes-formulák
Az alábbiakban megemlítek néhány további, ritkán használatos Newton–Cotes-formulát. Néz-
zük, hogyan is számoljuk ezeket!
– n = 1A két alappontra épülo formulák közül a trapézformulát már megismertük, ez egy zárt
formula volt. A nyílt, két pontra épülo képletet hasonló módon trapéz-módszernek nevez-
zük. A formula a következo alakú:b∫a
f(x) dx ≈ b− a2 (f(x0) + f(x1)) = b− a
2
(f
(2a+ b
3
)+ f
(a+ 2b
3
)).
– n = 2A három alappontra épülo zárt formulát szintén ismerjük már, ez volt a Simpson-formula.
A nyílt formula Milne nevét viseli, és a következo alakú:b∫a
f(x) dx ≈ b− a3 (2f(x0)− f(x1) + 2f(x2)) =
= b− a3
(2f(
3a+ b
4
)− f
(a+ b
2
)+ 2f
(a+ 3b
4
)).
– n = 3A négy alappontra épülo nyílt formulab∫a
f(x) dx ≈ b− a24 (11f(x0) + f(x1) + f(x2) + 11f(x3)) =
= b− a24
(11f
(4a+ b
5
)+ f
(3a+ 2b
5
)+ f
(2a+ 3b
5
)+ 11f
(a+ 4b
5
))alakú. A zárt formulát Simpson 3
8 -os szabályának hívják, és a következo alakú:b∫a
f(x) dx ≈ b− a8 (f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)) =
= b− a8
(f(a) + 3f
(2a+ b
3
)+ 3f
(a+ 2b
3
)+ f(b)
).
– n = 4Az öt alappontra épülo nyílt formula:
b∫a
f(x) dx ≈ b− a20 (11f(x0)− 14f(x1) + 26f(x2)− 14f(x3) + 11f(x4))) =
= b− a20
(11f
(5a+ b
6
)− 14f
(2a+ b
3
)+ 26f
(a+ b
2
))+
+ b− a20
(−14f
(a+ 2b
3
)+ 11f
(a+ 5b
6
)).
12
A zárt formulát Boole-szabálynak hívják, melyet az
b∫a
f(x)dx ≈ b− a90 (7f(x0) + 32f(x1) + 12f(x2) + 32f(x3) + 7f(x4)) =
= b− a90
(7f(a) + 32f
(3a+ b
4
)+ 12f
(a+ b
2
)+ 32f
(a+ 3b
4
)+ 7f(b)
)
képlet határoz meg.
Lássunk most néhány feladatot, ahol a fejezetben tárgyalt formulákat alkalmazzuk!
2.2. Példák
2.10. Példa. Számoljuk ki az érinto-, trapéz-, Simpson-, és Milne-formulával, Simpson 38 -os
szabályával valamint a Boole-szabállyal a következo integrált, majd határozzuk meg az elköve-
tett hiba nagyságát :
I(f) =1∫
0
e−x dx!
Megoldás:
A pontos megoldás a következo :
I(f) =1∫
0
e−x dx =[−e−x
]10
= −e−1 + 1 ≈ 0,632120558828558.
Most nézzük a közelítéseket!
1. Érintoformula
I0(f) = 1 · f(1
2
)= e−
12 ≈ 0,606530659712633.
2. Trapézformula
I1(f) = 12 (f(0) + f(1)) = 1
2(1 + e−1
)≈ 0,683939720585721.
3. Simpson-formula
I2(f) = 16
(f(0) + 4f
(12
)+ f(1)
)= 1
6(1 + 4e− 1
2 + e−1)≈ 0,632333680003663.
4. Milne-szabály
1∫0
e−x dx ≈ 13
(2f(1
4
)− f
(12
)+ 2f
(34
))= 1
3(2e− 1
4 − e−12 + 2e− 3
4)≈
≈ 0,631934670637402.
13
5. Simpson 38 -os szabálya
1∫0
e−x dx ≈ 18
(f(0) + 3f
(13
)+ 3f
(23
)+ f(1)
)= 1
8(1 + 3e− 1
3 + 3e− 23 + e−1
)≈
≈ 0,632215591248823.
6. Boole-szabály
1∫0
e−x dx ≈ 190
(7f(0) + 32f
(14
)+ 12f
(12
)+ 32f
(34
)+ 7f(1)
)=
= 190(7 + 32e− 1
4 + 12e− 12 + 32e− 3
4 + 7e−1)≈ 0,632120875008324.
A következo táblázat mutatja az elkövetett hiba nagyságát.
|Hiba|
Érintoformula 0,025589899115925
Trapézformula 0,051819161757163
Simpson-formula 0,000213121175105
Milne-szabály 0,000185888191156
Simpson 38 -os szabálya 0,000095032420265
Boole-szabály 0,000000316179766
2.11. Példa. Számoljuk ki az érinto-, trapéz-, Simpson-, Milne-formulával, Simpson 38 -os sza-
bályával valamint a Boole-szabállyal a következo integrált, majd határozzuk meg az elkövetett
hiba nagyságát :
I(f) =
π2∫
0
sin(2x) dx!
Megoldás:
A pontos megoldás:
I(f) =
π2∫
0
sin(2x) dx =[−cos(2x)
2
]π2
0= 1.
A közelítések a következok:
1. Érintoformula
I0(f) = π
2 · sin(π
2
)≈ 1,570796326794897.
2. Trapézformula
I1(f) = π
4 (sin(0) + sin(π)) = 0.
14
3. Simpson-formula
I2(f) = π
12
(sin(0) + 4 · sin
(π
2
)+ sin(π)
)≈ 1,047197551196598.
4. Milne-szabály
π2∫
0
sin(2x) dx ≈ π
6
(2 · sin
(π
4
)− sin
(π
2
)+ 2 · sin
(3π4
))≈ 0,957362203787823.
5. Simpson 38 -os szabálya
π2∫
0
sin(2x) dx ≈ π
16
(sin(0) + 3 · sin
(π
3
)+ 3 · sin
(2π3
)+ sin(π)
)≈
≈ 1,020262142381748.
6. Boole-szabály
π2∫
0
sin(2x) dx ≈ π
180
(7 · sin(0) + 32 · sin
(π
4
)+ 12 · sin
(π
2
))+
+ π
180
(32 · sin
(3π4
)+ 7 · sin(π)
)≈ 0,999285365911918.
Most lássuk mekkora hibát követtünk el ebben a feladatban, amikor ezeket a közelítéseket hasz-
náltuk!
|Hiba|
Érintoformula 0,570796326794897
Trapézformula 1
Simpson-formula 0,047197551196598
Milne-szabály 0,042637796212177
Simpson 38 -os szabálya 0,020262142381748
Boole-szabály 0,000714634088082
15
3. fejezet
Összetett kvadratúra formulák
Az elozo fejezetben tárgyalt Newton–Cotes-formulák közül csak a bemutatott 3 kvadratúra for-
mula használatos. Az alappontok számának növelésével ugyan növekszik a pontosság (lásd
2.8-as állítás), de egyre több helyen kell kiszámolnunk a pontos függvényértéket, mellyel nö-
vekszik a számábrázolási hiba nagysága. Emellett nyílt formulák esetén már n = 2-nél, zárt
formuláknál pedig n = 8-nál megjelennek negatív súlyok, melyek jelenléte a konvergencia
szemponjából lesz számunkra kedvezotlen. Sok alappont esetén ezen hibák kiküszöbölésére
használjuk az úgynevezett összetett kvadratúra formulákat. Ebben a fejezetben ezen formulák-
kal, hibabecsléseikkel valamint konvergenciájukkal foglalkozom.
3.1. Összetett formulák és hibabecsléseik
Egy f függvény határozott integráljáról tudjuk a következo összefüggést :b∫a
f(x) dx =m∑i=1
xi∫xi−1
f(x) dx,
ahol x0 = a és xm = b, azaz az f függvény [a, b] intervallumon vett integrálja megegyezik a
részintervallumokon számolt integrálok összegével. Ez adja számunkra az ötletet a közelítésre.
Az összetett formulák lényege tehát, hogy nem közvetlenül az f folytonos függvény [a, b] inter-
vallumán alkalmazzuk a közelítést, hanem ezen intervallum részintervallumain. Ehhez osszuk
fel az [a, b] intervallumot m egyenlo részre, majd ezekre használjuk a megismert képleteket.
Legyen tehát a = x0 < x1 < . . . < xm = b az osztópontok, valamint jelöljük l-lel a két
osztópont távolságát, azaz l = b−am
. Jelöljük a továbbiakban ezeket a formulákat Im,n(f)-el.
A következo definíció a konvergenciasebességrol szól, melyet a továbbiakban az összetett
szabályoknál vizsgálni fogunk.
3.1. Definíció. Az Im,n(f) kvadratúra formula r-ed rendben konvergens, ha |I(f)− Im,n(f)| == O(lr).
16
Ismerkedjünk meg most ezekkel az összetett formulákkal valamint hibabecsléseikkel, az-
az hogy legfeljebb mekkora hibát követünk el, amikor ezen képleteket használjuk az integrál
kiszámításánál!
3.1.1. Az összetett érintoszabály
Az összetett érintoszabály lényege, hogy az m azonos hosszúságú részintervallumon a megis-
mert egy alappontú nyílt Newton–Cotes-formulát alkalmazzuk, azaz
Im,0(f) = l · f(x0 + x1
2
)+ . . .+ l · f
(xm−1 + xm
2
)= l ·
m∑i=1
f(xi−1 + xi
2
).
Az egyszeruség kedvéért a továbbiakban használjuk a következo jelölést : xi−0,5 := xi−1 + xi2
minden i-re 1-tol m-ig.
3.1. ábra. Az összetett érintoszabály
A szabály pontossági rendje 2, hiszen az egyszeru érintoformula rendje is 2 volt. A kér-
dés azonban az, hogy ha az alappontokat egyre közelebb vesszük fel egymáshoz, akkor milyen
gyorsan tart a formula a pontos integrálértékhez. Az alábbi tétel tehát a konvergenciasebesség-
rol, valamint az összetett érintoszabály hibabecslésérol szól.
3.2. Tétel. Legyen f az [a, b] intervallumon kétszer folytonosan differenciálható függvény. Ek-
kor
I(f)− Im,0(f) = (b− a)l224 f ′′ (ξ) = O(l2), ahol ξ ∈ [a, b],
tehát az összetett érintoszabály másodrendben konvergens.
A tétel bizonyításához szükségünk lesz az integrálszámítás középértéktételére.
3.3. Tétel (Integrálszámítás középértéktétele). Legyen g egy állandó elojelu függvény. Ekkor
létezik olyan η ∈ R, hogyb∫a
f(x)g(x) dx = η
b∫a
g(x) dx.
Ha f folytonos is, akkor η = f(ξ), ahol ξ ∈ [a, b].
17
Most térjünk rá a tételünk bizonyítására!
Bizonyítás. ([4, 206. oldal] és [9] alapján.) A bizonyítást az (xi−1, xi) intervallumra hajtjuk vég-
re, majd ezt összegezzük. A bizonyítás alapötlete, hogy az f függvényt a Taylor-polinomjával
valamint annak Lagrange-féle maradéktagjával írom fel. Az i-edik intervallumon az összetett
érintoszabály hibája a következoképpen alakul :
emi :=xi∫
xi−1
f(x) dx− f(xi−0,5) (xi − xi−1) =xi∫
xi−1
(f(x)− f(xi−0,5)) dx.
Fejtsük most f -et elsorendu Taylor-sorba az xi−0,5 pont körül! Ekkor
f(x) = f(xi−0,5) + f ′(xi−0,5)(x− xi−0,5) + f ′′ (ξi(x))2! (x− xi−0,5)2,
ahol ξi(x) ∈ (xi−1, xi). Ezután a hibaképletünk a következoképpen alakul, ahol felhasználjuk,
hogy f ′(xi−0,5) egy konstans.
emi =xi∫
xi−1
f ′(xi−0,5)(x− xi−0,5) dx+ 12
xi∫xi−1
f ′′(ξi(x))(x− xi−0,5)2 dx=
= f ′(xi−0,5)xi∫
xi−1
(x− xi−0,5) dx
︸ ︷︷ ︸=0
+12
xi∫xi−1
f ′′(ξi(x))(x− xi−0,5)2 dx =
= 12
xi∫xi−1
f ′′(ξi(x))(x− xi−0,5)2 dx.
Mivel f ′′(ξi(x)) folytonos és (x − xi−0,5)2 állandó elojelu, ezért alkalmazhatjuk a 3.3-as tétel
második állítását. Ekkor a következot kapjuk:
emi = 12
xi∫xi−1
f ′′(ξi(x))(x− xi−0,5)2 dx = 12f′′(ξi)
xi∫xi−1
(x− xi−0,5)2 dx =
= 12f′′(ξi)
(13((xi − xi−0,5)3 − (xi−1 − xi−0,5)3
))= 1
6f′′(ξi)
(l3
8 + l3
8
)= 1
24f′′(ξi)l3.
A Bolzano-tétel szerint létezik olyan ξ ∈ [a, b], hogy f ′′(ξ) =
m∑i=1
f ′′(ξi)
m, mert f ′′ folytonos
függvény. Ezt a tételt felhasználva a teljes hiba a következoképpen alakul :
em =m∑i=1
emi =m∑i=1
124f
′′(ξi)l3 = m · l3
24 f ′′(ξ) = (b− a)l224 f ′′(ξ) = O(l2).
Tehát a formula másodrendben konvergens. Ezzel a tételünket beláttuk.
3.4. Megjegyzés. Mivel a ξ ∈ [a, b] értéket általában nem ismerjük, ezért a hibát csak becsülni
tudjuk a következoképpen:
|I(f)− Im,0(f)| ≤ M2(b− a)24 l2, ahol M2 = max
[a,b]|f ′′|.
18
3.1.2. Az összetett trapézszabály
Alkalmazzuk most az m intervallumunkra a zárt trapézformulát. Ekkor az összetett trapézsza-
bályunk a következoképpen néz ki :
Im,1(f) = l
2 (f(x0) + 2f(x1) + . . .+ 2f(xm−1) + f(xm)) =
= l
2
(f(a) + 2
m−1∑i=1
f(xi) + f(b)).
3.2. ábra. Az összetett trapézszabály
Vizsgáljuk meg most az összetett trapézszabály konvergenciarendjét! Errol szól a következo
tétel.
3.5. Tétel. Legyen f egy kétszer folytonosan differenciálható függvény az [a, b] intervallumon.
Ekkor igaz a következo :
|I(f)− Im,1(f)| ≤ M2(b− a)12 l2 = O(l2), ahol M2 = max
[a,b]|f ′′|.
Tehát az összetett trapézszabály is másodrendben konvergens.
Bizonyítás. ([9] alapján.) A bizonyítás során a Lagrange-interpoláció hibabecslését használjuk
fel az (xi−1, xi) intervallumon. Tudjuk, hogy az (xi−1, f(xi−1)), (xi, f(xi)) pontokra fektetett
L1f(x) Lagrange-féle interpolációs polinom hibája a következoképpen néz ki :
f(x)− L1f(x) = f ′′(ξ(x))2! (x− xi−1)(x− xi).
Ekkor az (xi−1, xi) intervallumon az összetett trapézszabály hibáját az alábbiak szerint számol-
hatjuk:
emi =xi∫
xi−1
f(x)− L1f(x) dx =xi∫
xi−1
f ′′(ξi(x))2 (x− xi−1)(x− xi) dx.
Becsüljük most ezt a hibát! Mivel az (x− xi−1)(x− xi) szorzat az adott intervallumon állandó
elojelu, ezért alkalmazható a 3.3-as tételünk.
19
|emi | =
∣∣∣∣∣∣∣xi∫
xi−1
f ′′(ξi(x))2 (x− xi−1)(x− xi) dx
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣12f′′(ξi)
xi∫xi−1
(x− xi−1)(x− xi) dx
∣∣∣∣∣∣∣ ≤≤ M2
2
∣∣∣∣∣∣∣xi∫
xi−1
(x− xi−1)(x− xi) dx
∣∣∣∣∣∣∣ = M2
2
∣∣∣∣∣∣∣xi∫
xi−1
(x2 − x(xi−1 + xi) + xi−1xi) dx
∣∣∣∣∣∣∣ =
= M2
2
∣∣∣∣∣(x3i − x3
i−13 −
(xi−1 + xi)(x2i − x2
i−1)2 + xi−1xi (xi − xi−1)
)∣∣∣∣∣ =
= M2
2
∣∣∣∣∣ l6(−x2i−1 + 2xi−1xi − x2
i )∣∣∣∣∣ = M2
2
∣∣∣∣∣− l36∣∣∣∣∣ = M2
12 l3, ahol M2 = max
[a,b]|f ′′|.
Összegezve az [a, b] intervallumra kapjuk a hibabecslésünket :
|em| =m∑i=1|emi | ≤ m
M2
12 l3 = M2(b− a)
12 l2.
Tehát az összetett trapézszabály is másodrendu módszer. Ezzel a tételt beláttuk.
3.6. Megjegyzés. Látható tehát, hogy mind az összetett érintoszabály, mind pedig az összetett
trapézszabály másodrendben konvergens, de az összetett érintoszabály a pontosabb módszer.
3.7. Megjegyzés. ([6, 128. oldal] alapján.) Lagrange-interpoláció helyett más interpolációval is
közelíthetjük az integrálandó függvényt. Ha az Hermite-féle interpolációt (azaz a 2 alappont-
beli derivált értékét is figyelembe vesszük) alkalmazzuk a(z összetett) trapézformula kiszámí-
tásánál, akkor bebizonyítható, hogy a kapott módszerünk negyedrendu lesz, és így sokkal gyor-
sabban fog a pontos integrálértékhez konvergálni, mint a(z összetett) érintoszabály. Ezt a mód-
szert nevezzük korrigált (összetett) trapézformulának.
A korrigált trapézformula tehát a következoképpen néz ki :
I(f) ≈ I∗1 (f) = h
2 (f(a) + f(b))− h2
12 (f ′(b)− f ′(a)) = I1(f)− h2
12 (f ′(b)− f ′(a)) .
Ebbol adódik, hogy a korrigált összetett trapézszabály pedig a következo alakú:
I(f) ≈ I∗m,1(f) = l
2
(f(a) + 2
m−1∑i=1
f(xi) + f(b))− l2
12 (f ′(b)− f ′(a)) =
= Im,1(f)− l2
12 (f ′(b)− f ′(a)) .
A korrigált (összetett) trapézszabály hibája egy f négyszer folytonosan differenciálható függ-
vény esetén pedig az alábbiak szerint alakul : létezik olyan ξ ∈ [a, b], hogy
I(f)− I∗m,1(f) = (b− a)l4720 f (4)(ξ).
20
3.1.3. Az összetett Simpson-szabály
Lássuk most, hogy néz ki a Simpson-formula összetett alakja! Az összetett Simpson-szabály
Im,2(f) = l
6 [f(x0) + 2 (f(x1) + . . .+ f(xm−1)) + 4 (f(x0,5) + . . .+ f(xm−0,5)) + f(xm)] =
= l
6
m∑i=1
(f(xi−1) + 4f(xi−0,5) + f(xi))
alakban írható fel.
3.3. ábra. Az összetett Simpson-szabály
A 3.3-as ábrán is jól látszik, hogy az összetett Simpson-szabály már szinte látható hiba nél-
kül közelíti a pontos integrál értékét. Vizsgáljuk meg, hogy pontosan mekkora is a legnagyobb
hiba, amit elkövethetünk, ha ezt a szabályt alkalmazzuk!
3.8. Tétel. Legyen f egy az [a, b]-n négyszer folytonosan differenciálható függvény. Ekkor az
összetett Simpson-szabály hibabecslése a következo :
|I(f)− Im,2(f)| ≤ M4(b− a)2880 l4 = O(l4), ahol M4 = max
[a,b]|f (4)|,
azaz a módszer negyedrendben konvergens.
Bizonyítás. ([5, 195. oldal] és [9] alapján.) A bizonyítás során ismét a Lagrange-interpoláció
hibabecslését használjuk fel, de szükségünk lesz egy plusz ötletre. A három alappontra épülo
Lagrange-polinom hibája a következo :
f(x)− L2(x) = f (3)(ξ(x))6 (x− xi−1)(x− xi−0,5)(x− xi).
A kérdés tehát az, hogy ennek a hibafüggvénynek mekkora az integráljának az abszolútértéke
az (xi−1, xi) intervallumon, azaz∣∣∣∣∣∣∣xi∫
xi−1
f (3)(ξi(x))6 (x− xi−1)(x− xi−0,5)(x− xi) dx
∣∣∣∣∣∣∣ =?
21
Az eddigi bizonyítások során fel tudtuk használni a 3.3-as integrálszámítás középértéktételét, itt
azonban az (x− xi−1)(x− xi−0,5)(x− xi) szorzat nem lesz állandó elojelu. Ezért a következo
ötletet alkalmazzuk: legyen p3 ∈ P3, azaz egy legfeljebb harmadfokú polinom a következo
alakban:
p3(x) = L2(x) +K · (x− xi−1)(x− xi−0,5)(x− xi),
ahol K egy egyelore ismeretlen állandó. Vegyük észre, hogy p3(xi−1) = L2(xi−1) = f(xi−1),p3(xi−0,5) = L2(xi−0,5) = f(xi−0,5) és p3(xi) = L2(xi) = f(xi). Válasszuk meg most a K
konstanst úgy, hogy p′3(xi−0,5) = f ′(xi−0.5), ez nyilvánvalóan mindig megteheto. Ekkor tehát
a p3(x) polinom megegyezik a 3 alappontra épülo Hermite-féle polinommal, mely tartalmazza
még az xi−0,5 helyen vett deriváltat is. Az Hermite-polinomok hibabecslésébol következik, hogy
f(x)− p3(x) = f (4)(ξ(x))4! (x− xi−1)(x− xi−0,5)2(x− xi), tehát
xi∫xi−1
f(x) dx =xi∫
xi−1
p3(x) dx+xi∫
xi−1
f (4)(ξi(x))4! (x− xi−1)(x− xi−0,5)2(x− xi) dx =
=xi∫
xi−1
L2(x) dx+xi∫
xi−1
K · (x− xi−1)(x− xi−0,5)(x− xi) dx+
+xi∫
xi−1
f (4)(ξi(x))4! (x− xi−1)(x− xi−0,5)2(x− xi) dx.
Vegyük észre, hogy azxi∫
xi−1L2(x) dx épp a Simpson-szabály képletét adja. Ebbol átrendezéssel
kapjuk az
emi = K
xi∫xi−1
(x− xi−1)(x− xi−0,5)(x− xi) dx+
+xi∫
xi−1
f (4)(ξi(x))4! (x− xi−1)(x− xi−0,5)2(x− xi) dx
hibát. Vizsgáljuk tagonként ezt a hibafüggvényt!
xi∫xi−1
(x− xi−1)(x− xi−0,5)(x− xi) dx =t:=x−xi−0,5
l2∫
− l2
(t+ l
2
)· t ·
(t− l
2
)︸ ︷︷ ︸
páratlan függvény
dt = 0.
Ebbol adódik, hogy a hibafüggvényünk a következo alakú:
emi =xi∫
xi−1
f (4)(ξi(x))4! (x− xi−1)(x− xi−0,5)2(x− xi) dx.
22
Itt az (x− xi−1)(x− xi−0,5)2(x− xi) szorzat már állandó elojelu, így most már alkalmazhatjuk
a 3.3-as tételt, tehát
emi = f (4)(ξi)4!
xi∫xi−1
(x− xi−1)(x− xi−0,5)2(x− xi) dx.
A hibabecslésünk ezek alapján a következoképpen számolható:
|emi | ≤M4
4!
∣∣∣∣∣∣∣xi∫
xi−1
(x− xi−1)(x− xi−0,5)2(x− xi) dx
∣∣∣∣∣∣∣ =
= M4
4!
∣∣∣∣∣∣∣xi∫
xi−1
((x− xi−0,5) + l
2
)((x− xi−0,5)−
l
2
)(x− xi−0,5
)2
dx
∣∣∣∣∣∣∣ =
= M4
4!
∣∣∣∣∣∣∣xi∫
xi−1
((x− xi−0,5)2 − l2
4
)(x− xi−0,5
)2
dx
∣∣∣∣∣∣∣ =
= M4
4!
∣∣∣∣∣∣∣xi∫
xi−1
(x− xi−0,5)4 dx− l2
4
xi∫xi−1
(x− xi−0,5)2 dx
∣∣∣∣∣∣∣ =
= M4
4!
∣∣∣∣∣15(l5
25 + l5
25
)− l2
12
(l3
23 + l3
23
)∣∣∣∣∣ = M4
4!
∣∣∣∣∣− l5
15 · 23
∣∣∣∣∣ = M4
2880 l5,
ahol M4 = max[a,b]|f (4)|. Ezek alapján a teljes hiba az [a, b] intervallumon az alábbiak szerint
számolható:
|em| ≤m∑i=1|emi | = ml5
M4
2880 = M4(b− a)2880 l4 = O(l4),
azaz a formula negyedrendben konvergens. Ezzel a tételt igazoltuk.
Nézzünk most néhány feladatot, ahol ezeket az összetett szabályokat alkalmazzuk!
3.2. Példák
3.9. Példa. Alkalmazzuk az 5 részre osztott összetett érinto-, trapéz-, korrigált trapéz- és Simp-
son-szabályt a következo integrál kiszámítására, majd határozzuk meg az elkövetett hiba nagy-
ságát! Mekkora ez a hiba, ha a 10 részre osztott összetett szabályokat alkalmazzuk? Mit tapasz-
talunk a két hiba arányából?
I(f) =1∫
0
11 + x2 dx.
Megoldás:
A pontos megoldás:
I(f) =1∫
0
11 + x2 dx = [arc tg(x)]10 = π
4 ≈ 0,785398163397448.
23
A közelítések a következok lesznek:
1. Az összetett érintoszabály
I5,0(f) = 15
(f( 1
10
)+ f
( 310
)+ f
( 510
)+ f
( 710
)+ f
( 910
))≈
≈ 0,786231466000832.
2. Az összetett trapézszabály
I5,1(f) = 110
(f (0) + 2
(f(1
5
)+ f
(25
)+ f
(35
)+ f
(45
))+ f (1)
)≈
≈ 0,783731528452748.
3. A korrigált összetett trapézszabály
I∗5,1(f) = I5,1(f)− l2
12 (f ′(1)− f ′(0)) .
Itt szükségünk van a függvény deriváltjára, mely a következoképpen néz ki :( 11 + x2
)′= − 2x
(1 + x2)2 .
A közelítés tehát az alábbiak szerint alakul :
I∗5,1(f) = 0,783731528452748− 125 · 12
(−1
2 − 0)≈ 0,785398195119414.
4. Az összetett Simpson-szabály
I5,2(f) = 130
(f (0) + 2
(f(1
5
)+ f
(25
)+ f
(35
)+ f
(45
)))+
+ 130
(4(f( 1
10
)+ f
( 310
)+ f
( 510
)+ f
( 710
)+ f
( 910
))+ f (1)
)≈
≈ 0,785398153484804.
A következo táblázat mutatja az elkövetett hiba nagyságát, valamint a hiba csökkenésének ará-
nyát, azaz hogy hányad részére csökkent a hiba, ha a részintervallumok számát megdupláztuk.
m = 5 esetén m = 10 esetén Arány (kb.)
Összetett érintoszabály 0,000833302603384 0,00020833285283 122
Összetett trapézszabály 0,001666634944701 0,00041666617066 122
Korrigált összetett trapézszabály 0,000000031721966 0,00000000049601 126
Összetett Simpson-szabály 0,000000009912644 0,00000000015500 126
24
3.10. Példa. Alkalmazzuk az érinto-, trapéz-, korrigált trapéz-, és Simpson-formulát, valamint
ezek 4 részre osztott összetett szabályait a következo periódikus függvény fél periódusán vett
integráljának kiszámításához! Mekkora a hiba nagysága? Hogyan változik a hiba, ha 4 helyett
8 részre osztjuk az intervallumot?
I(f) =1∫
0
sin(πx) dx.
Megoldás:
A pontos megoldás a következo :
I(f) =1∫
0
sin(πx) dx =[−cos(πx)
π
]1
0= −cos(π)
π+ cos(0)
π= 1π
+ 1π≈ 0,636619772367581.
A közelítések:
1. Érintoformula
I0(f) = sin(π
2
)= 1.
2. Trapézformula
I1(f) = 12 (sin(0) + sin(π)) = 0.
3. Korrigált trapézformula
I∗1 (f) = I1(f)− 112 (π cos(π)− π cos(0)) ≈ 0,523598775598299.
4. Simpson-formula
I2(f) = 16
(sin(0) + 4 sin
(π
2
)+ sin(π)
)≈ 0,666666666666667.
5. Összetett érintoszabály
I4,0(f) = 14
(sin
(π
8
)+ sin
(3π8
)+ sin
(5π8
)+ sin
(7π8
))≈ 0,653281482438188.
6. Összetett trapézszabály
I4,1(f) = 18
(sin(0) + 2
(sin
(π
4
)+ sin(π2 ) + sin
(3π4
))+ sin(π)
)≈
≈ 0,603553390593274.
7. Korrigált összetett trapézszabály
I∗4,1(f) = I4,1(f)− 1192 (π cos(π)− π cos(0)) ≈ 0,636278314068167.
25
8. Összetett Simpson-szabály
I4,2(f) = 124
(sin(0) + 2
(sin
(π
4
)+ sin(π2 ) + sin
(3π4
)))+
+ 124
(4(
sin(π
8
)+ sin
(3π8
)+ sin
(5π8
)+ sin
(7π8
))+ sin(π)
)≈
≈ 0,636705451823217.
A következo táblázat mutatja, hogy mekkora hibát követtünk el, amikor a Newton–Cotes-
formulákat illetve a 4 részre osztott összetett formulákat alkalmaztuk, valamint amikor ezen
összetett szabályok 8 részre osztott változatát használtuk. Tartalmazza a táblázat továbbá azt is,
hogy milyen arányban csökkent a hiba, amikor 4 helyett 8 részre osztottuk az intervallumot,
melybol látszik módszereink konvergencia rendje.
|Hiba| m = 8 esetén Arány (kb.)
Érintoformula 0,363380227632419
Trapézformula 0,636619772367581
Korrigált trapézformula 0,113020996769282
Simpson-formula 0,030046894299085
Összetett érintoszabály 0,016661710070607 0,00410908956779 122
Összetett trapézszabály 0,033066381774308 0,00820233585185 122
Korrigált összetett trapézszabály 0,000341458299414 0,00002110498313 124
Összetett Simpson-szabály 0,000085679455635 0,00000528109458 124
3.11. Példa. Határozzuk meg legalább hány osztópont szükséges az összetett érinto-, trapéz-,
korrigált trapéz-, és Simpson-szabályt alkalmazva, hogy a következo integrál becslésének hibája
10−3-nál kisebb legyen:2∫
0
1(1 + x)2 dx.
1. Összetett érintoszabállyal
|I(f)− Im,0(f)| ≤ M2(b− a)3
24 ·m2 < 0,001
3! · 23
24 ·m2 < 0,0012
0,001 < m2
⇒44,721359549995796 < m⇒ 45 ≤ m.
26
2. Összetett trapézszabállyal
|I(f)− Im,1(f)| ≤ M2(b− a)3
12 ·m2 < 0,001
3! · 23
12 ·m2 < 0,0014
0,001 < m2
⇒63,245553203367585 < m⇒ 64 ≤ m.
3. Korrigált összetett trapézszabállyal
|I(f)− I∗m,1(f)| ≤ M4(b− a)5
720 ·m4 < 0,001
5! · 25
720 ·m4 < 0,001240
45 · 0,001 < m4
⇒8,545740127924681 < m⇒ 9 ≤ m.
4. Összetett Simpson-szabállyal
|I(f)− Im,2(f)| ≤ M4(b− a)5
2880 ·m4 < 0,001
5! · 25
2880 ·m4 < 0,001120
90 · 0,001 < m4
⇒6,042750794713537 < m⇒ 7 ≤ m.
Ugyanahhoz a feladathoz tehát a kívánt pontosság eléréséhez az összetett Simpson-szabály és
a korrigált összetett trapézszabály jóval kevesebb osztópontot használ fel, mint az összetett
érinto-, és trapézszabály, így lényegesen kevesebb számolást igényel, mellyel csökken a hibá-
zási lehetoség.
3.3. Konvergencia
A fejezet végén ejtsünk néhány szót a konvergenciáról! Láthattuk, hogy ha teljesülnek bizonyos
feltételek (például a többszöri folytonos differenciálhatóság), akkor az eljárásaink a meghatáro-
zott rendben konvergensek. Felmerül azonban a kérdés, hogy mi van akkor, ha a függvényeink
csak folytonosak, de nem feltétlenül differenciálhatóak folytonosan a megadott rendig. Errol
szól a következo két tétel.
27
3.12. Tétel (Pólya). ([3, 330. oldal] alapján.) Legyen az In formula pontos minden p ∈ Pn-re,
azaz teljesüljön, hogy In(p) = I(p), valamint létezzen olyan K = const, hogyn∑i=0|c(n)i | ≤ K
minden n ∈ N esetén. Ekkor az In(f) kvadratúra képlet minden f folytonos függvény esetén
konvergálni fog a pontos integrál értékhez.
3.13. Tétel (Sztyeklov). ([3, 330. oldal] alapján.) Ha az összes c(n)i súly nemnegatív, és a kvad-
ratúra képletünkre teljesül, hogy In(p) = I(p) minden p ∈ Pn-re, akkor az In képlet konvergál
minden folytonos függvényre.
Bizonyítás. A Sztyeklov-tétel a Pólya-tételbol következik, hiszen ha minden ci súly nemnega-
tív, akkor igaz a következo :
n∑i=0|cni | =
n∑i=0
cni = b− a = K,
így teljesül a Pólya-tétel, és ezzel a tételünket beláttuk.
Ezek a tételek nyilván érvényesek az összetett formulákra is. Mint az elozo fejezet végén
már láthattuk, a Newton–Cotes-formuláknál, és a belolük képzett összetett formuláknál bizo-
nyos alappontszám esetén megjelennek negatív súlyok is, mellyel sérül a Sztyeklov-tétel, így a
módszereinkre nem minden esetben fog teljesülni a konvergencia minden folytonos függvény
esetén.
Szeretnénk tehát olyan módszert létrehozni, ahol teljesülnek ezek a tételek, így minden foly-
tonos függvényre konvergálni fog a közelítés a pontos integrálértékhez. Ilyen módszerek közé
tartozik a Gauss-kvadratúra, melynek súlyai bizonyíthatóan mindig nemnegatívak lesznek. Ez-
zel foglalkozunk a következo fejezetben.
28
4. fejezet
Gauss-kvadratúrák
Az eddigiekben olyan formulákkal foglalkoztunk, ahol adott alappontbeli függvényértékek sú-
lyozásának összegzésével közelítettük az integrált. Felmerül azonban a kérdés, hogy mi van ak-
kor, ha tetszoleges pontban ki tudjuk számolni a függvényértékeket. Ebben a fejezetben olyan
kvadratúrákat vizsgálunk, ahol az alappontok és a súlyok alkalmas megválasztásával a maximá-
lis pontosságot tudjuk elérni. Az ilyen közelítéseket hívjuk Gauss-kvadratúráknak. De mekkora
is ez a maximális pontosság?
Legyen x0, x1, . . . , xn az alappontok. Nyilvánvaló, hogy a maximális m + 1-edrendu pon-
tosság eléréséhez kvadratúránknak teljesítenie kell a következo összefüggést :
b∫a
xk dx =n∑i=0
cixki (4.1)
minden k-ra 0-tól m-ig. Ekkor tehát a c0, c1, . . . , cn, x0, x1, . . . , xn 2n + 2 darab ismeretlenre
(4.1) egy m + 1 egyenletbol álló nem lineáris egyenletrendszert jelent. Ennek pontosan akkor
van egyértelmu megoldása, ha m + 1 = 2n + 2, azaz a maximális pontosság 2n + 2, így a
kvadratúra pontos lesz minden legfeljebb 2n+1-ed fokú polinomra. A kérdés azonban az, hogy
hogyan válasszuk meg az alappontokat és a súlyokat, hogy elérjük ezt a kívánt pontosságot.
Ebben a fejezetben nem f integrálásával foglalkozunk, hanem egy kicsit általánosabban az-
zal az esettel, amikor egy súlyfüggvénnyel szorozzuk f -et. Tehát a feladatunk most a következo :
legyen
I(f, w)(x) =b∫a
w(x)f(x) dx,
ahol w : (a, b)→ R valamilyen folytonos, pozitív súlyfüggvény, melynek létezik [a, b]-n integ-
rálja. Közelítsük tehát most ezt az integrált ! Hasonlóan az eddigiekhez, a közelítés a követke-
zoképpen fog kinézni :
In(f, w)(x) =n∑i=0
cif(xi),
29
ahol most a ci együtthatóink a súlyfüggvénnyel való szorzás miatt az alábbiak szerint alakulnak:
ci =b∫a
w(x)li(x) dx,
ahol li(x) továbbra is az i-edik Lagrange-féle alappolinom. A következo állítások választ adnak
arra a kérdésre, hogy hogyan kaphatók meg a keresett alappontjaink és súlyaink.
4.1. Állítás. ([5, 201. oldal] alapján.) Legyen x0, . . . , xn a Gauss-kvadratúra alappontjai. Ekkor
minden q ∈ Pn polinom és qn+1(x) = (x− x0) · · · (x− xn) esetén igaz, hogy
b∫a
w(x)qn+1(x)q(x) dx = 0. (4.2)
Bizonyítás. ([5, 201. oldal] alapján.) Tudjuk, hogy qn+1 ∈ Pn+1 és q ∈ Pn, ezért igaz, hogy
qn+1q ∈ P2n+1, valamint qn+1(xi) = 0. Mivel a Gauss-kvadratúra pontos minden legfeljebb
2n+ 1-ed fokú polinomra, így qn+1q-ra is pontos lesz, így a következo összefüggést kapjuk:
b∫a
w(x)qn+1(x)q(x) dx =n∑i=0
ciqn+1(xi)q(xi) = 0.
4.2. Állítás. ([5, 201. oldal] alapján.) Legyen x0, . . . , xn olyan alappontok, melyek kielégítik
a (4.2)-es egyenletünket. Ekkor a megfelelo polinom interpolációs kvadratúra csak a Gauss-
kvadratúra lehet.
4.3. Állítás. ([5, 202. oldal] alapján.) Létezik polinomoknak egy olyan egyértelmu (qn) sorozata,
hogy q0 = 1 és
qn(x) = xn + rn−1(x), (n = 1, 2, . . . ),
ahol rn−1 ∈ Pn−1, mely kielégíti a következo ortogonalitási relációt:
b∫a
w(x)qn(x)qm(x) dx = 0, n 6= m,
és Pn a q0, q1, . . . , qn (n = 0, 1, . . . ) polinomok által kifeszített altér.
4.4. Állítás. ([5, 202. oldal] alapján.) A 4.3-as állításban szereplo minden qn ortogonális po-
linomnak pontosan n darab gyöke van, melyek mindegyike egyszeres és mindegyik az (a, b)intervallumban van.
4.5. Tétel. ([5, 202. oldal] alapján.) Minden n + 1 = 1, 2, . . . -ra létezik egyértelmu Gauss-
kvadratúra, melynek n + 1 alappontját a qn+1 ortogonális polinom (a, b) intervallumban lévo
gyökei alkotják.
30
4.6. Tétel. ([5, 203. oldal] alapján.) A Gauss-kvadratúra súlyai mindig pozitívak, így a formula
konvergens lesz minden folytonos függvényre.
A w súlyfüggvénytol függoen azonban változik a megfelelo ortogonális polinom is. Ezek
alapján hívjuk a képletet Gauss–Csebisev illetve Gauss–Legendre-kvadratúrának. Természete-
sen más Gauss-kvadratúrák is léteznek, ezek közé tartozik például a Laguerre- és az Hermite-
kvadratúra, de szakdolgozatomban csak a két korábbival foglalkozom részletesen. Mielott ezek
tárgyalásába belekezdünk, határozzuk meg a Gauss-kvadratúrák hibáját!
4.7. Tétel. ([5, 203. oldal] alapján.) Legyen f egy, az [a, b] intervallumon 2n + 2-szer folyto-
nosan differenciálható függvény. Ekkor az n + 1 alappontra épülo Gauss-kvadratúra hibája a
következoképpen alakul: létezik olyan ξ ∈ [a, b], hogy
I(f, w)(x)− In(f, w)(x) = f (2n+2)(ξ)(2n+ 2)!
b∫a
w(x)(qn+1(x))2 dx.
Térjünk rá most a Gauss–Csebisev és a Gauss–Legendre-kvadratúrák vizsgálatára! Az egy-
szeruség kedvéért a továbbiakban az n alappontra épülo Gauss-kvadratúrákat mutatom be, ahol
ez az n alappont : x1, x2, . . . , xn.
4.1. Gauss–Csebisev-kvadratúra
Az elso eset, amivel foglalkozunk az, amikor a súlyfüggvényünk
w(x) = 1√1− x2
alakú, melybol következik, hogy x ∈ [−1,1]. Bebizonyítható, hogy e súlyfüggvény esetén a
meroleges polinomrendszer a Csebisev-féle polinom, mely a következo alakban írható fel :
Tn(x) = cos(n arccos(x)), ahol x ∈ [−1,1].
Látható, hogy T0(x) = 1 és T1(x) = x. A koszinusz függvény addíciós képletét felhasználva,
mely szerint cos((n+1)t)+cos((n−1)t) = 2 cos(t) cos(nt), könnyen látható, hogy a Csebisev-
polinom rekurziós képlete az alábbiak szerint alakul minden n = 1, 2, . . . esetén:
Tn+1(x) + Tn−1(x) = 2xTn(x).
Ezek alapján Tn egy n-edfokú polinom, mely felírható a következo alakban:
Tn(x) = 2n−1xn + . . . , ahol n = 1, 2, . . . .
31
Vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e erre a polinomra a 4.3-as állításban szereplo ortogonalitási fel-
tétel ! Helyettesítsünk x helyére cos(t)-t ! Ekkor a következot kapjuk:
1∫−1
Tn(x)Tm(x)√1− x2
dx =π∫
0
cos(nt) cos(mt) dt =
π , ha n = m = 0π2 , ha n = m > 0
0 , ha n 6= m.
Mivel n 6= m esetén ennek a kifejezésnek az integrálja 0 lesz, ezért teljesül rá az ortogonalitási
reláció, így a 4.3-as állításban szereplo qn felírható lesz 21−nTn alakban.
Kvadratúránkhoz szükség lesz a Csebisev-polinom gyökeire, melyek a következok lesznek:
xi = cos(2i− 1
2n π)
, i = 1, 2, . . . , n.
Ebbol tehát megkaptuk a Gauss–Csebisev-kvadratúránk alappontjait, most már csak a súlyokra
vagyunk kiváncsiak, melyek az alábbiak szerint számolandók:
n∑i=1
ci cos(
(2i− 1)m2n π
)=
π , ha m = 0
0 , ha m = 1, . . . , n− 1,
melyet a kvadratúra pontossági feltételébol kaptunk. Ebbol kapjuk, hogy a ci együtthatóink ci == π
nalakban írhatók fel, minden i-re 1-tol n-ig.
Mindezek alapján az n alappontra épülo Gauss–Csebisev-kvadratúra a következo alakban írható
fel, ha n = 1, 2, . . . :
1∫−1
f(x)√1− x2
dx ≈ π
n·n∑i=1
f(
cos(2i− 1
2n π))
, (4.3)
melynek hibája egy 2n-szer folytonosan differenciálható függvény esetén: létetik ξ ∈ [−1,1],hogy
1∫−1
f(x)√1− x2
dx− π
n·n∑i=1
f(
cos(2i− 1
2n π))
= πf (2n)(ξ)22n−1(2n)! .
4.2. Gauss–Legendre-kvadratúra
A következo Gauss-kvadratúra vizsgálatához válasszuk a w súlyfüggvényünket az azonosan 1
függvénynek a [−1,1] intervallumon. E súlyfüggvény esetén a megfelelo meroleges polinomo-
kat Legendre-polinomoknak nevezzük, melyek
Ln(x) = 12nn!
dn
dxn(x2 − 1)n (4.4)
32
alakban írhatók fel. Vegyük észre, hogy Ln(x) egy n-ed fokú polinom, valamint hogy m < n
esetén többszöri parciális integrálással és annak felhasználásával, hogy (x2 − 1)n-nek a -1-ben
és az 1-ben n-szeres gyöke van megkapható az, hogy1∫−1
xmdn
dxn(x2 − 1)n dx = 0.
Ebbol következik, hogy teljesül erre a polinomra is az ortogonalitási feltétel, azaz1∫−1
Ln(x)Lm(x) dx = 0, ha n 6= m.
A Csebisev-polinomokkal ellentétben azonban a Legendre-polinomok gyökei nem adhatók meg
explicit alakban, így csak bizonyos eseteket tudunk vizsgálni. A (4.4)-es képletbol következik,
hogy L0(x) = 1, L1(x) = x és L2(x) = x2 − 13 . Tekintsük az n = 1 illetve az n = 2 esetet, és
vizsgáljuk meg, hogy néznek ki ezek a formulák!
– n = 1Tekintsük az [a, b] = [−1,1] intervallumot! Egy alappont esetén a maximális elérheto
pontosság 2n = 2 lesz, így a formula pontos lesz minden legfeljebb elsofokú polinomra.
A kérdés már csak az, hogy hol legyen ez az egy alappont és milyen súllyal szorozzuk a
formulánkban. Az elso Gauss–Legendre-kvadratúra alappontjait és súlyait megkaphatjuk
a pontossági feltételbol, mely a következoképpen néz ki :1∫−1
xk dx =1∑i=1
cixki = c1x
k1, k = 0, 1 esetén. (4.5)
k = 0 esetén a következo egyenletbol megkapjuk a keresett súlyunkat :1∫−1
dx = c1 ⇔ c1 = 2.
k = 1-re az alábbi egyenlet adódik, melybol a keresett alappont határozható meg:1∫−1
x dx = c1x1 ⇔ x1 = 0.
Tehát az elso Gauss–Legendre-kvadratúra a következoképpen néz ki :1∫−1
f(x) dx ≈ c1x1 = 2 · f(0), (4.6)
azaz a formula megegyezik a 2.1.1-es alfejezetben definiált középponti-formulával. A
hibafüggvény egy kétszer folytonosan differenciálható f esetén pedig: létezik olyan ξ ∈∈ [−1,1], hogy
1∫−1
f(x) dx− 2f(0) = 13f′′(ξ).
33
– n = 2Két alappont esetén a maximális pontosság 2n = 4, így a második Gauss–Legendre-
kvadratúra pontosan fog integrálni minden legfeljebb harmadfokú polinom esetén. A kér-
dés tehát az, hogy mik legyenek az alappontjaink és a súlyaink. Ezeket ismét a (4.5)-ös
pontossági feltételünkbol számoljuk ki k = 0, 1, 2, 3 esetén.
k = 0-ra a következo egyenletet kapjuk:
1∫−1
dx = c1 + c2 ⇔ c1 + c2 = 2.
k = 1 esetén az alábbi összefüggésre jutunk:
1∫−1
x dx = c1x1 + c2x2 ⇔ c1x1 + c2x2 = 0.
k = 2-re a következo egyenlet adódik:
1∫−1
x2 dx = c1x2 + c2x
2 ⇔ c1x21 + c2x
22 = 2
3 .
k = 3 esetén megkapjuk az utolsó egyenletünket is :
1∫−1
x3 dx = c1x31 + c2x
32 ⇔ c1x
31 + c2x
32 = 0.
Ez tehát egy 4 egyenletbol álló, 4 ismeretlenes nem lináris egyenletrendszert jelent. Ennek
egyértelmu megoldása adja a keresett alappontjainkat és súlyainkat, melyek a következok
lesznek: x1 = −√
33 , x2 =
√3
3 , súlyaink pedig: c1 = c2 = 1. A kvadratúra alappontjait
egyébként az L2(x) = x2−13 polinom gyökeibol is meghatározhattuk volna. Ezek alapján
tehát a második Gauss–Legendre-kvadratúra a következoképpen néz ki :
1∫−1
f(x) dx ≈ f
(−√
33
)+ f
(√3
3
), (4.7)
melynek hibája egy négyszer folytonosan differenciálható f függvény esetén: létezik
olyan ξ ∈ [−1,1], melyre
1∫−1
f(x) dx−(f
(−√
33
)+ f
(√3
3
))= 1
135f(4)(ξ).
Bár mind a Gauss–Csebisev-, mind pedig a Gauss–Legendre-formuláinkat a [−1,1] interval-
lumon definiáltuk, egy koordinátatranszformációval tetszoleges [a, b] intervallumra átvihetjük
34
oket. Ha w(x) ≡ 1, azaz ha a Gauss–Legendre-kvadratúrát alkalmazzuk, akkor a korábban
meghatározott súlyok és alappontok felhasználásával egy tetszoleges [a, b] intervallumon a for-
mula a következoképpen számolható:b∫a
f(x) dx ≈ b− a2
n∑i=1
cif
(a+ b
2 + b− a2 xi
).
Hasonlóképpen átviheto az [a, b] intervallumra a kvadratúra abban az esetben is, amikor a súly-
függvényünk nem az azonosan 1 függvény. Tekintsük azb∫ag(z) dz integrált, és helyettesítsük z
helyébe a következot : z := a+b2 + b−a
2 x. Ezzel a transzformációval a függvényünket áttransz-
formáltuk a [−1,1] intervallumra, melyen már értelmezve van a Gauss–Csebisev-kvadratúra is.
Ezek után a következoképpen számolhatunk:b∫a
g(z) dz =x:= 2z−(a+b)
b−a
1∫−1
b− a2 ·
g(a+b
2 + b−a2 x
)w(x)︸ ︷︷ ︸
f(x)
·w(x)︸ ︷︷ ︸w(x)
dx ≈ π
n·n∑i=1
f(
cos(2i− 1
2n π))
.
Nézzünk most néhány feladatot, ahol a Gauss-kvadratúrákat alkalmazzuk!
4.3. Példák
4.8. Példa. Alkalmazzuk a 3 alappontra épülo Gauss–Csebisev-formulát valamint a 2 alappont-
ra támaszkodó Gauss–Legendre-formulát a következo integrál kiszámításához, majd határozzuk
meg az elkövetett hiba nagyságát :1∫
0
11 + x2 dx!
Megoldás:
A pontos megoldás:1∫
0
11 + x2 dx = [arc tg(x)]10 = π
4 ≈ 0,785398163397448.
Most lássuk a Gauss-kvadratúrákat :
1. A 3 alappontra épülo Gauss–Csebisev-kvadratúra1∫
0
11 + z2 dz =
x:=2z−1
1∫−1
11 + (x+1
2 )2 ·12 dx =
1∫−1
√1− x2
2(
1 +(
1+x2
)2)
︸ ︷︷ ︸f(x)
· 1√1− x2︸ ︷︷ ︸w(x)
dx ≈
≈ π
3
3∑i=1
f(
cos(2i− 1
2 · 3 π))
= π
3
(f
(√3
2
)+ f(0) + f
(−√
32
))≈
≈ 0,819470183514344.
35
2. A 2 alappontra épülo Gauss–Legendre-kvadratúra
1∫0
11 + x2 dx ≈ 1
2
2∑i=1
cif(1
2 + 12xi
)=
= 12
(f
(12 −√
36
)+ f
(12 +√
36
))≈ 0,786885245901639.
Lássuk az elkövetett hiba nagyságát!
|Hiba|
A 3 alappontra épülo Gauss–Csebisev-kvadratúra 0,034072020116896
A 2 alappontra épülo Gauss–Legendre-kvadratúra 0,001487082504191
4.9. Példa. Alkalmazzuk az egy, ketto illetve három alappontra épülo Gauss–Csebisev-, és az
egy illetve két pontra illeszkedo Legendre-kvadratúrákat, majd határozzuk meg az elkövetett
hiba nagyságát a következo integrál kiszámításánál :
1∫0
1(1 + x)2 dx!
Megoldás:
A pontos megoldás:1∫
0
1(1 + x)2 dx =
[− 1
1 + x
]1
0= 1
2 .
A közelítések a következok lesznek:
1. Egy alappont esetén
– Gauss–Csebisev-kvadratúra
1∫0
1(1 + z)2 dz =
x:=2z−1
1∫−1
1(1 + x+1
2 )2 ·12 dx =
1∫−1
√1− x2
2(1 + x+1
2
)2
︸ ︷︷ ︸f(x)
· 1√1− x2︸ ︷︷ ︸w(x)
dx ≈
≈ π1∑i=1
f(
cos(2i− 1
2 π))
= π · f(0) ≈ 0,698131700797732.
– Gauss–Legendre-kvadratúra
1∫0
1(1 + x)2 dx ≈ 1
2
1∑i=1
cif(1
2 + 12xi
)= f
(12
)≈ 0,444444444444444.
36
2. Két alappont esetén
– Gauss–Csebisev-kvadratúra
1∫0
1(1 + z)2 dz =
x:=2z−1
1∫−1
1(1 + x+1
2 )2 ·12 dx =
1∫−1
√1− x2
2(1 + x+1
2
)2
︸ ︷︷ ︸f(x)
· 1√1− x2︸ ︷︷ ︸w(x)
dx ≈
≈ π
2
2∑i=1
f(
cos(2i− 1
2 · 2 π))
= π
2
(f
(1√2
)+ f
(− 1√
2
))≈
≈ 0,584185299827052.
– Gauss–Legendre-kvadratúra
1∫0
1(1 + x)2 dx ≈ 1
2
2∑i=1
cif(1
2 + 12xi
)= 1
2
(f
(12 −√
36
)+ f
(12 +√
36
))≈
≈ 0,497041420118343.
3. Három alappont esetén
– Gauss–Csebisev-kvadratúra
1∫0
1(1 + z)2 dz =
x:=2z−1
1∫−1
1(1 + x+1
2 )2 ·12 dx =
1∫−1
√1− x2
2(1 + x+1
2
)2
︸ ︷︷ ︸f(x)
· 1√1− x2︸ ︷︷ ︸w(x)
dx ≈
≈ π
3
3∑i=1
f(
cos(2i− 1
2 · 3 π))
= π
3
(f
(√3
2
)+ f(0)
)+
+ π
3
(f
(−√
32
))≈ 0,532734107771272.
Lássuk mekkora hibát követtünk el a közelítések során!
1 alappont esetén 2 alappont esetén 3 alappont esetén
Gauss–Csebisev-kvadr. 0,19813170079773 0,084185299827052 0,03273410777127
Gauss–Legendre-kvadr. 0,05555555555556 0,002958579881657
37
Összefoglalás
Szakdolgozatomban a numerikus integrálás leggyakrabban használt módszereit mutattam be
részletesen, meghatároztam a pontossági- és konvergenciarendet, valamint kiszámítottam a for-
mulák használatakor keletkezo hiba nagyságát.
Az elso témakör, amivel foglalkoztam az interpolációs kvadratúraképletek köre volt, azon
belül is a Newton–Cotes-formulákat mutattam be, melyek alappontjai azonos távolságra he-
lyezkednek el. Láthattuk, hogy a pontossági rend az alappontok számával növekszik, viszont
ezzel egyidejuleg növekszik az elszámolási- és pontábrázolási hiba valószínusége is, így a gya-
korlatban csak a részletesen bemutatott három formula használatos. Szerettünk volna azonban
kevesebb hibát véteni a közelítések során, így jutottunk el az összetett formulák témaköréig.
Az összetett szabályok lényege, hogy a megismert Newton–Cotes-formulákat alkalmazzuk,
de nem az egész intervallumon, hanem ezen intervallum részintervallumain. Ezen módszerek
használatával lényegesen csökkentettük az elkövetett hiba nagyságát, ugyanakkor megfelelo
számú részintervallum esetén a hibát tetszoleges kicsire redukálhattuk. Minél több részinterval-
lumban alkalmazzuk azonban a módszereinket, annál több helyen kell kiszámolnunk a függ-
vényértékeinket, mellyel szintén növekszik a hibázási lehetoség, valamint elképzelheto az is,
hogy nincs lehetoségünk minden pontban meghatározni a keresett függvényértéket. Ezen prob-
léma megoldása során jutottunk el a Gauss-kvadratúrákig.
A következo fejezetben tehát a Gauss-kvadratúrákkal foglalkoztam. A motivációt az adta,
hogy ha megválaszthatjuk az alappontok elhelyezkedését, valamint a súlyozást, akkor mekkora
az a maximális pontossági rend, amit elérhetünk, ha közelítést alkalmazunk. Kiszámoltuk, hogy
n alappontú formula alkalmazásával a módszereink pontosan fognak integrálni minden legfel-
jebb 2n − 1-edfokú polinomra. Választ adtam arra a kérdésre is, hogy ez a pontosság hogyan
érheto el. Így jutottunk el az ortogonális polinomrendszerek köréig, melyek közül a Csebisev-
és a Legendre-polinomok felhasználásával hoztuk létre kvadratúráinkat.
Mindhárom fejezet végén példákkal illusztráltam a módszereink alkalmazását, illetve lát-
hattunk arra is feladatot, hogy a kívánt nagyságú hibát hány alappont felvételével tudjuk elérni.
Ezen módszerek tehát alkalmasak arra, hogy olyan függvények integráljait közelítsük, me-
lyeknél nincsen lehetoségünk vagy igényünk a pontos megoldás meghatározására.
38
Irodalomjegyzék
[1] Peter Henrici : Numerikus analízis, Muszaki Könyvkiadó, 1985.
[2] Stoyan Gisbert : Numerikus matematika - Mérnököknek és programozóknak, TypoTeX,
2007.
[3] Stoyan Gisbert, Takó Galina: Numerikus módszerek 1., TypoTeX, 1993.
[4] Faragó István, Horváth Róbert : Numerikus módszerek, ELTE jegyzet, 2011.
[5] Rainer Kress: Numerical Analysis, Springer, 1998.
[6] J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis, Springer, 1991.
[7] George M. Phillips: Interpolation and Approximation by Polinomials, Springer, 2000.
[8] Giuseppe Mastroianni, Gradimir V. Milovanovic: Interpolation Processes - Basic Theory
and Applications, Springer, 2008.
[9] Alkalmazott analízis 1. eloadás jegyzet, ELTE, 2011.
[10] http://mathworld.wolfram.com/Newton−CotesFormulas.html
39
NYILATKOZAT
Név: Balka Júlia
ELTE Természettudományi Kar, szak: Matematika BSc
ETR azonosító: BAJRAAT.ELTE
Szakdolgozat címe: Numerikus integrálás
A szakdolgozat szerzojeként fegyelmi felelosségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom
önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard
szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelo idézés nélkül nem
használtam fel.
Budapest, 2012. május 24.
a hallgató aláírása
