Numerikus integrálás és az oszcillációs integrandusok ... · Bevezetés A klasszikus analízisben az integrálok explicit kiszámításának alapját képez® Z b a f(x)dx= F(b)

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Numerikus integrálás és az

oszcillációs integrandusok

komplex Gauss-kvadratúrájaBSc szakdolgozat

Készítette: Szarvas Kristóf

Matematika BSc, Alkalmazott Matematikus

Témavezet®: Dr. Gergó Lajos

egyetemi docens

Numerikus Analízis Tanszék

Budapest, 2010

Tartalomjegyzék

1. Newton-Cotes kvadratúraformulák 4

1.1. Speciális Newton-Cotes kvadratúraformulák . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Érint®-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2. Trapéz-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3. Simpson-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Gauss-kvadratúraformulák 10

2.1. Ortogonális polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Speciális ortogonális polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Legendre-polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2. Laguerre-polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3. Hermite-polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.4. Csebisev-polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Gauss-kvadratúrák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Speciális Gauss-kvadratúrák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1. Gauss-Legendre-kvadratúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2. Gauss-Laguerre-kvadratúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.3. Gauss-Hermite-kvadratúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.4. Gauss-Csebisev-kvadratúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Oszcillációs integrandusok 23

3.1. Aszimptotikus kiterjesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. A legmeredekebb lejt® numerikus módszere . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1. Négytagú szumma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ii

TARTALOMJEGYZÉK iii

3.3. A vonalintegrálok numerikus közelítése . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1. Vonalintegrálok a végpontokban . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2. Vonalintegrálok a stacionárius pontokban . . . . . . . . . . . . 36

3.3.3. Numerikus példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4. Aszimptotikusan optimális kvadratúra-szabályok . . . . . . . . . . . . 39

3.4.1. Páros r-ek esete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.2. Páratlan r-ek esete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.3. Numerikus példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5. Még általánosabb oszcillációs függvények . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.1. Globális helyettesítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.2. A számítás lokalizálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Függelék 48

Bevezetés

A klasszikus analízisben az integrálok explicit kiszámításának alapját képez®∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a) (1)

Newton-Leibniz formula, ahol F (x) az f(x) integrandus primitív függvénye, számí-

tástechnikai értéke kicsi. Ennek oka részben az, hogy igen sz¶k azon függvények köre,

amelyeknek primitív függvénye elemi függvényekkel kifejezhet®. Például, ex

x, e−x

2,

sin(x)x

stb. függvények primitív függvénye nem elemi függvény. A másik ok pedig az,

hogy táblázattal adott függvények esetében (1) egyáltalán nem alkalmazható, jólle-

het �zikai, kémiai stb. mérések eredménye mindig ilyen alakú függvény. Az∫ b

a

f(x)dx

határozott integrálnak valamely

Sn =n∑k=1

f(ξk)(xk − xk−1)

Riemann-féle összeggel való közelítése sem kielégít® számítástechnikai szempontból,

mivel itt semmilyen utalás nincs arra vonatkozólag, hogyan kell választani az

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b felosztás pontjait, továbbá a ξ1, ξ2, ..., ξn,

(xk−1 ≤ ξk ≤ xk (k = 1, 2, ..., n)), közbees® pontokat ahhoz, hogy Sn el®re adott

pontossággal szolgáltassa a szóban forgó integrál értékét. Azonkívül, Sn gyakran

csak igen lassan konvergál∫ b

a

f(x)dx-hez.

A numerikus kvadratúra általános alakja∫ b

a

f(x)dx =n∑k=1

Akf(xk) +Rn(f), (2)

vagyis az integrált a függvényértékek lineáris kombinációjaként fejezzük ki, ahol az xk

alappontokat és azAk együtthatókat alkalmas módon választjuk. (2)-t kvadratúrafor-

mulának, vagy csak röviden kvadratúrának, az xk alappontokat abszcisszáknak, az

Ak együtthatókat pedig súlyoknak nevezzük.

1

TARTALOMJEGYZÉK 2

Az interpolációs kvadratúra ötlete az, hogy interpolációs polinomokkal való

közelítésb®l indulunk ki, azaz megkíséreljük azAk és xk mennyiségeket úgy megválasz-

tani, hogy a (2) alakú formula hibája, az Rn(f) mennyiség zérus legyen, ha f(x)

alacsony fokszámú polinom. Nyilvánvaló, hogy például a Lagrange-féle interpolációs

formula integrálásával egy (2) alakú formulát állíthatunk el®. Anélkül, hogy itt most

részletekbe mennénk, minden további nélkül beláthatjuk, hogy mivel az n alappont-

hoz tartozó Lagrange-féle formula pontos a legfeljebb (n − 1)-edfokú polinomokra,

ezért az integrálásával kapott kvadratúraformula ilyen polinomokra ugyancsak pon-

tos lesz.

Ha az integrálandó függvény ekvidisztáns táblázattal van megadva, akkor célsze-

r¶ azt követelnünk, hogy az abszcisszák a táblázat beosztásának megfelel®en egyen-

letesen helyezkedjenek el. Az olyan kvadratúraformulákat, amelyeknek abszcisszáiról

el®re kikötjük, hogy ekvidisztáns elhelyezkedés¶ek legyenek, Newton-Cotes (-féle)

kvadratúrának nevezzük. A gyakorlati érték¶ Newton-Cotes formulák a következ®

két osztály egyikébe sorolhatók (i) zárt formulák, amelyeknél az integrálás interval-

lumának végpontjai az abszcisszák közé tartoznak; (ii) nyílt formulák, amelyeknél

ezek a végpontok nem abszcisszák és a formula abszcisszái a végpontokhoz képest

szimmetrikusan helyezkednek el. Az n = 1-nek megfelel® nyílt Newton-Cotes formula

érint®formula, az n = 2-nek megfelel® zárt Newton-Cotes formula trapézformula, az

n = 3-nak megfelel® pedig Simpson-formula néven ismeretes.

A (2) kvadratúrával kapcsolatban felmerül a következ® kérdés: ha nem rögzítjük

el®re az xk abszcisszákat (például nem szorítkozunk ekvidisztáns alappontrendszer-

re), sem pedig az Ak súlyokat, akkor hanyadfokú az a legmagasabb fokszámú poli-

nom, amelyre a (2) típusú formula Rn(f) hibája még zérussá tehet®? E polinom fok-

számát a kvadratúraformula pontossági fokának (vagy rendjének) nevezzük. Mivel n

számú xk abszcissza és n számú Ak súly, vagyis 2n állandó fölött rendelkezünk, ezért

azt sejthetjük, hogy a felelet: 2n− 1-edfokú polinom. A második fejezetben megmu-

tatjuk, hogy ez valóban igaz. Az így nyert formulákat Gauss-típusú kvadratúrafor-

muláknak nevezzük, amelyek alkalmasan választott súlyfüggvényekre a nem korlátos

intervallumok esetét is felölelik. A súlyfüggvényekkel és az ortogonális polinomokkal

kapcsolatos ismereteket szintén a második fejezetben tárgyaljuk.

TARTALOMJEGYZÉK 3

Az összes eddig említett, véges intervallumra vonatkozó kvadratúraformula az

intervallum hosszának valamilyen pozitív egész kitev®j¶ hatványával arányos. Ezért

a gyakorlatban általában a következ® képpen járunk el: (i) bontsuk fel az [a, b]

intervallumot bizonyos számú, például m részre, (ii) minden részintervallumra al-

kalmazzunk egy kvadratúraformulát, (iii) végül összegezzük a részintervallumokra

vonatkozó eredményeket. Az így nyerhet® formulákat összetett kvadratúraformulák-

nak nevezzük.

A Gauss-kvadratúrákkal már nagyon sok függvény integrálját tudjuk hatékonyan

kiértékelni. Az úgynevezett oszcillációs integrálokkal azonban még ez a módszer

sem tud elbánni. Ha megadott pontossággal szeretnénk egy oszcillációs integrált

Gauss-kvadratúrával kiértékelni, rengeteg alapontra lenne szükségünk. Ezért ehe-

lyett más módszert választunk. Integrálátalakítással fogjuk az oszcillációt megszün-

tetni, olymódon, hogy egy komplex vonalintegrállá alakítjuk át az oszcillációs in-

tegrált, majd erre a nemoszcillációs komplex vonalintegrálra építünk egy Gauss-

kvadratúrát.

1. fejezet

Newton-Cotes kvadratúraformulák

A Newton-Cotes kvadratúraformulák esetében az∫ b

a

f(x)dx

integrál egy közelít® értékét úgy állítjuk el®, hogy az f(x) integrandust ekvidisz-

táns alappontokhoz tartozó Lagrange-féle interpolációs polinommal helyettesítjük.

Tekintüs a következ® alappontrendszert:

xk = c+ kh, k = 1, 2, ..., n.

Két esetet tudunk megkülönböztetni:

i) Nyílt típusú formulák, amikor c = a és b = c+ (n+ 1)h, vagyis

h =b− an+ 1

. (1.1)

Ebben az esetben az interpoláció x1, x2, ..., xn alappontjai nem tartalmazzák sem

a-t, sem pedig b-t.

ii) Zárt típusú formulák, amikor c+ h = a és b = c+ nh, vagyis

h =b− an− 1

. (1.2)

Ebben az esetben mind a, mind pedig b az interpoláció alappontjaihoz tartozik,

vagyis a = x1 és b = xn.

1.1. Megjegyzés. Értelmezhet®k még a balról zárt és jobbról nyílt, illetve a balról

nyílt és jobbról zárt formulák is.

4

5

Tekintsük az f(x) függvénynek az x1, x2, ..., xn alappontokhoz tartozó

(n− 1)-edfokú Ln−1(x) Lagrange-féle interpolációs polinomját, azaz

f(x) ≈ Ln−1(x) =n∑k=1

f(xk)lk(x), (1.3)

ahol

lk(x) =(x− x1)...(x− xk−1)(x− xk+1)...(x− xn)

(xk − x1)...(xk − xk−1)(xk − xk+1)...(xk − xn).

Ekkor ∫ b

a

f(x)dx ≈∫ b

a

n∑k=1

f(xk)lk(x)dx =n∑k=1

f(xk)

∫ b

a

lk(x)dx.

Így a kvadratúra együtthatót választhatjuk:

Ak :=

∫ b

a

lk(x)dx, k = 1, ..., n.

Ebben a fejezetben nem bizonyítjuk az állításokat, de [1]-ben és [2]-ben megtalál-

hatók.

1.1. Állítás. Kihasználva, hogy az alappontrendszerünk ekvidisztáns, a következ®t

állíthatjuk:

Ak = (b− a) ·B(ny)n,k , k = 1, ..., n,

ahol

B(ny)n,k =

(−1)n−k

(n− 1)(k − 1)!(n− k)!

∫ n

1

(t− 1)(t− 2)...(t− n)

t− kdt.

Itt B(ny)n,k együtthatók jelölik az n ponthoz tartozó nyílt Newton-Cotes formula k-adik

együtthatóját, amely nem függ az integrációs intervallumtól és az integrandustól sem.

1.2. Megjegyzés. Hasonlóképpen a zárt Newton-Cotes formulákra:

Ak = (b− a) ·B(z)n,k, k = 1, ..., n,

ahol

B(z)n,k =

(−1)n−k

(n− 1)(k − 1)!(n− k)!

∫ n

1

(t− 1)(t− 2)...(t− n)

t− kdt.

1.1. Példa. i) Érint®-formula: n = 1, k = 1: B(ny)1,1 = 1.

ii) Trapéz-formula: n = 2, k = 1, 2: B(z)2,1 = 1

2, B(z)

2,2 = 12.

iii) Simpson-formula: n = 3, k = 1, 2, 3: B(z)3,1 = 1

6, B(z)

3,2 = 23, B(z)

3,3 = 16.

1.1. Speciális Newton-Cotes kvadratúraformulák 6

Jobban meg�gyelve az együtthatókat, észrevehetjük, hogy szimmetrikusak, il-

letve, hogy az összegük 1. Vajon ez csak egy véletlen és csak erre a három esetre

áll fenn, vagy általánosan minden együtthatóra? Erre ad választ a következ® állítás,

melyet nem bizonyítunk.

1.2. Állítás. Tetsz®leges n ∈ N esetén:

i)

B(ny)n,k = B

(ny)n,n−k+1, illetve B

(z)n,k = B

(z)n,n−k+1, k = 1, ..., n.

ii)n∑k=1

B(ny)n,k = 1, illetve

n∑k=1

B(z)n,k = 1.

Meg�gyelhet®, hogy a zárt Newton-Cotes kvadratúraformulák esetében például

n = 9-nél (itt el®ször) egyes súlyok negatívak. Belátható, hogy n ≤ 8 és n = 10

kivételével mindenhol lesznek negatív súlyok. Mivel a súlyok összege 1, ezért ez

károsan hat ki a függvényértékek kerekítéséb®l származó öröklött hibára. Ugyanakkor,

nagy n-ekre a súlyok meghatározása bonyolulttá válik, ezért magasrend¶ Newton-

Cotes típusú kvadratúraformulákat csak ritkán használunk a gyakorlatban.

1.1. Speciális Newton-Cotes kvadratúraformulák

Ebben a részben a legismertebb Newton-Cotes kvadratúrákat, és tulajdonsá-

gaikat mutatjuk be. A legelterjedtebb Newton-Cotes kavdratúraformulák az n = 1-

nek megfelel® nyílt típusú Érint®-formula, az n = 2-nek megfelel® zárt típusú Trapéz-

formula, illetve az n = 3-hoz tartozó zárt típusú Simpson-formula. A pontosság

javítására szolgáló összetett változatukkal is megismerkedünk.

1.1.1. Érint®-formula

Közelítsük az [a, b] intervallumon értelmezett f(x) függvényt az x1 = a+b2

alap-

ponthoz tartozó L0(x) (konstans) Lagrange-polinomjával, azaz

f(x) ≈ L0(x) ≡ f(a+ b

2

).


Mindkét oldalt integrálva kapjuk az n = 1-hez tartozó nyílt tipusú kvadratúrafor-

mulát: ∫ b

a

f(x)dx ≈∫ b

a

L0(x)dx = (b− a)f(a+ b

2

). (1.4)

1.3. Megjegyzés. A módszer geometriailag azt jelenti, hogy az∫ b

a

f(x)dx integrál

által kifejezett görbevonalú trapéz területét a (b − a) alapú és f(a+b2

) magasságú

téglalap területével közelítjük. Ha f(x) di�ereciálható az a+b2

felez®pontban, akkor

ennek a téglalapnak a területe egyenl® annak a trapéznak a területével, amelyet úgy

kapunk, hogy az f(x) függvény görbéjét az [a, b] intervalumon a felez®pontban húzott

érint®jével helyettesítjük. Innen az Érint®-formula elnevezés.

1.3. Állítás. Ha f ∈ C2([a, b]), akkor

|R1(f)| ≤ M2

24(b− a)3,

Itt R1(f) jelöli az Érint®-formula maradéktagját, illetve Mk = maxx∈[a,b]

|f (k)(x)|. Ezt a

jelölést a kés®bbiekben is fogjuk használni.

Általában az érint®formulát nem alkalmazzuk rögtön az egész [a, b] intervallumra,

hanem azt el®bb felosztjuk m egyenl® részre és az egyes részintervallumokra külön-

külön alkalmazzuk az Érint®-formulát, így kapjuk az Összetett Érint®-formulát.

1.4. Állítás. Ha f ∈ C2([xi, xi+1]), i = 1, ...,m, akkor

|R1(f)| ≤ M2

24m2(b− a)3.

1.1.2. Trapéz-formula

Közelítsük most f(x)-et az x1 = a és x2 = b alappontokhoz tartozó L1(x)

Lagrange-polinomjával, azaz

f(x) ≈ L1(x) =x− ba− b

f(a) +x− ab− a

f(b).

Mindkét oldalt integrálva kapjuk az n = 2-höz tartozó zárt típusú kvadratúrafor-

mulát: ∫ b

a

f(x)dx ≈∫ b

a

L1(x)dx =b− a

2(f(a) + f(b)).


1.4. Megjegyzés. Ha az f(x) függvény pozitív, a módszernek a következ® geomet-

riai jelentés adható: az f(x) függvény által határolt görbevonalú trapéz területét egy

olyan derékszög¶ trapézzal helyettesítjük, melynek egyik oldala f(a), másik oldala

f(b) hosszúságú (ez a két oldal természetesen párhuzamos) és a magassága (b− a).

Innen ered a Trapéz-formula elnevezés.


|R2(f)| ≤ M2

12(b− a)3.

Itt R2(f) jelöli az Trapéz-formula maradéktagját.

A pontosság fokozása érdekében az [a, b] intervallumot most is m egyenl® részre

osztjuk és az egyes részintervallumokon külön-külön alkalmazzuk a Trapéz-formulát.

Ezáltal jutunk el az Összetett Trapéz-formulához.


|R2(f)| ≤ M2

12m2(b− a)3.

1.1.3. Simpson-formula

Tekintsük most az f(x) függvénynek az x1 = a, x2 = a+b2

és x3 = b alappontokhoz

tartozó L3(x) interpolációs polinomját:

L3(x) =2

(b− a)2

((x− a+ b

2

)(x− b)f(a)− 2(x− a)(x− b)f

(a+ b

2

)+

+ (x− a)(x− a+ b

2

)f(b)

).

Ha f(x) integrálját L3(x) integráljával helyettesítjük, a Simpson-formulához jutunk:∫ b

a

f(x)dx ≈∫ b

a

L3(x)dx =b− a

6

(f(a) + 4f

(a+ b

2

)+ f(b)

).

Ez az n = 3-nak megfelel® zárt típusú formula.

1.5. Megjegyzés. A módszer geometriailag azt jelenti, hogy az f(x) függvényt [a, b]-

ben az intervallum középpontján és végpontjain áthaladó másodfokú parabolával köze-

lítjük. Ezért parabola-formulának is szokták nevezni.



|R3(f)| ≤ M4

2880(b− a)5.

Itt R3(f) jelöli az Simpson-formula maradéktagját.

A jól bevált trükkel ismét fokozhatjuk a pontosságot. Osszuk fel az intervallu-

mot m egyenl® részre és külön-külön mindegyik részintervallumon alkalmazzuk a

Simpson-formulát! Ezzel az eljárással kapjuk az Összetett Simpson-formulát.


|R3(f)| ≤ M4

2880m2(b− a)5.

2. fejezet

Gauss-kvadratúraformulák

A Newton-Cotes-féle kvadratúraformulák ismeretében felmerül a kérdés, hogy

növelhetjük-e a pontossági rendet, ha nem ekvidisztáns alappontrendszerre támaszko-

dunk. A továbbiakban az∫ b

a

f(x)dx integrál helyett az általánosabb

∫ b

a

f(x) · α(x)dx

integrál közelít® kiszámításával foglalkozunk, ahol α(x) egy olyan nem-negatív, in-

tegrálható súlyfüggvény, melyre∫ b

a

Q(x) · α(x)dx 6= 0 (2.1)

tetsz®leges Q(x) jeltartó polinom esetén, ahol jeltartó polinom alatt azt értjük, hogy

∀x, y ∈ [a, b]-re: Q(x) ·Q(y) ≥ 0, azaz nem vált el®jelet [a, b]-ben.

Nem felesleges bonyolítás az integrandust f(x) és α(x) tényez®kre bontani, mert

i) Gyakran van szükség ortogonális polinomok szerinti kifejtések együtthatóinak

kiszámítására;

ii) Gyakran fordulnak el® integrandusok tényez®iként, különösen improprius integ-

rálokban.

A felbontás el®nye is kétféle:

i) Sokszor kényelmesebb az f(xi) függvényértékeket kiszámítani, mint az

f(xi) · α(xi)-ket, hiszen a kvadratúraformula nem függ α(xi)-t®l, csak f(xi)-t®l;

10

2.1. Ortogonális polinomok 11

ii) Gyakran el®nyösebb a maradéktagot pusztán f(x) deriváltjaival kifejezni, különö-

sen akkor, ha a súlyfüggvény, vagy valamelyik deriváltja az integrációs intervallum-

ban nem korlátos.

Ezek után az általánosított kvadratúraformulákat a következ® alakban keressük:∫ b

a

f(x) · α(x)dx =n∑k=1

Akf(xk) +Rn(f), (2.2)

ahol az α(x) súlyfüggvény a jobb oldalon már nem szerepel. Az Ak súlyok és az xk

abszcisszák természetesen függnek n-t®l, α(x)-t®l és az [a, b] intervllumtól, de nem

függnek magától az f(x) integrandustól. Az Rn(f) maradéktag viszont függ f(x)-t®l

is.

2.1. Ortogonális polinomok

Ha az Rn(f) maradéktag minden, legfeljebb m-edfokú polinomra elt¶nik, akkor

speciálisan az f(x) = 1, x, x2, ..., xm hatványfüggvényekre is, így∫ b

a

xj · α(x)dx =n∑k=1

Akxjk j = 0, 1, ...,m. (2.3)

2.1. De�níció. Az ∫ b

a

xj · α(x)dx =: µj j = 0, 1, ...,m

mennyiségeket az α(x) súlyfüggvény momentumainak nevezzük.

A (2.3) egyenletrendszert részletesebben kiírva:

A1 + A2 + ...+ An = µ0

A1 · x1 + A2 · x2 + ...+ An · xn = µ1

...

A1 · xm1 + A2 · xm2 + ...+ An · xmn = µm.

Ezáltal m + 1 egyenletet nyertünk 2n ismeretlenre (xk abszcisszák és az Ak sú-

lyok). Innen következik, hogy m maximális értéke 2n − 1 lehet. Az azonban még

nyitott kérdés számunkra, hogy m = 2n − 1 esetben mindig megoldható-e a fenti


egyenletrendszer, a megoldások valósak lesznek-e és, hogy az xk abszcisszák az [a, b]

integrációs intervallumba esnek-e.

Közelítsük f(x)-et az Ln−1(x) Lagrange-polinomjával. Ez egy (n − 1)-edfokú

polinom, így természetesen erre már (2.2) kvadratúraformula pontos, így Rn(f) = 0

és kaptuk: ∫ b

a

f(x) · α(x)dx ≈∫ b

a

Ln−1(x) · α(x)dx =n∑k=1

Akf(xk) (2.4)

interpolációs kvadratúraformulát. Vagyis legyenek az Ak súlyok

Ak =

∫ b

a

lk(x) · α(x)dx k = 1, ..., n.

A következ®, alapvet® jelent®ség¶ tételt csak kimondjuk, de nem bizonyítjuk (A

bizonyítást lásd [2]).

2.1. Tétel. A fenti (2.4) interpolációs kvadratúraformula pontos minden, legfeljebb

(2n − 1)-edfokú polinomra pontosan akkor, ha tetsz®leges, legfeljebb (n − 1)-edfokú

Q(x) polinomra ∫ b

a

ωn(x) ·Q(x) · α(x)dx = 0, (2.5)

ahol

ωn(x) =n∏i=1

(x− xi).

Ezt a jelölést a kés®bbiekben is fogjuk használni.

2.2. De�níció. Az f(x) és h(x) függvényeket ortogonálisnak nevezzük az α(x) súly-

függvényre nézve az [a, b] intervallumon, ha∫ b

a

f(x) · h(x) · α(x)dx = 0.

Most már csak az a kérdés, hogy adott [a, b] intervallum és adott α(x) súlyfügg-

vény esetén található-e olyan ωn(x) n-edfokú polinom, amely ortogonális minden

nála alacsonyabb fokú polinomra, és amelynek gyökei egyszeresek, valósak és [a, b]-be

esnek. Ekkor ugyanis ωn(x) gyökeit a (2.4) kvadratúra alappontjainak választhatjuk,

és a kapott kvadratúra pontossági rendje 2n−1 lesz. Az ilyen, maximális pontossági

rend¶ kvadratúraformulákat Gauss-típusúnak nevezzük. Most ezekre a kérdésekre

adunk pozitív választ.


2.2. Tétel. Tetsz®leges [a, b] intervallum és α(x) súlyfüggvény esetén konstans

tényez®t®l eltekintve egyértelm¶en megadható olyan

Q0(x), Q1(x), ..., Qn(x), ...

polinomsorozat, amelynek tagjai páronként ortogonálisak, azaz∫ b

a

Qi(x) ·Qk(x) · α(x)dx = 0, i 6= k ∈ N (2.6)

és Qn(x) pontosan n-edfokú polinom.

Most bizonyítsuk be a kvadratúrák szempontjából alapvet® jelent®ség¶ tételt:

2.3. Tétel. Ha {Qn(x)} (n=0,1,...) ortogonális polinomsorozat valamely α(x) súly-

függvény szerint egy [a, b] intervallumban, akkor minden n-re Qn(x)-nek n darab

különböz® zérushelye van és ezek az [a, b] intervallumba esnek.

Bizonyítás: Legyen n ≥ 1. Mivel Q0(x) ≡ 1, α(x) ≥ 0 és∫ b

a

Q0(x) ·Qn(x) · α(x)dx = 0, (2.7)

ezért Qn(x)-nek legalább egy el®jelváltása van [a, b] intervallumban. Valóban, mivel

Q0(x) nem vált el®jelet [a, b]-ben (jeltartó polinom), ezért α(x) ≡ 0 nem lehet a

súlyfüggvényekre vonatkozó (2.1) feltétel miatt. Következésképpen (2.7) fennállásá-

hoz szükséges, hogy Qn(x) legalább egyszer el®jelet váltson az [a, b] intervallumban.

Legyenek

x1 < x2 < ... < xν

Qn(x) azon [a, b]-be es® zérushelyei, ahol Qn(x) el®jelet vált, vagyis páratlan multi-

plicitású gyökei. A fentiek szerint tehát 1 ≤ ν ≤ n. Azt kell belátnunk, hogy ν = n,

vagyis ν < n nem lehetséges. Ezért tekintsük a

Qn(x)(x− x1)(x− x2)...(x− xν)

polinomot. Ennek a polinomnak minden [a, b]-beli gyöke páros multiplicitású, tehát

állandó el®jel¶ [a, b]-ben. Ezért∫ b

a

Qn(x) · (x− x1) · (x− x2) · ... · (x− xν) · α(x)dx 6= 0.


Ekkor viszont az (x−x1)(x−x2)...(x−xν) polinom legalább n-edfokú, mert különben

ortogonális lenne Qn(x)-re, vagyis ν ≥ n, amib®l következik, hogy ν = n. Megkap-

tuk, hogy Qn(x) gyökei valósak, egyszeresek és az [a, b] intervallumba esnek. �

2.1. Következmény. Qn(x)-nek ezen kívül más zérushelye nem is lehet.

Az ortogonális polinomok tekinthet®k a következ® Hilbert-tér ortogonális ele-

meiként:

H := {f : [a, b]→ R :

∫ b

a

f 2(x) · α(x)dx < +∞} =: L2,α(a, b),

ahol a skalárszorzat

〈f(x), g(x)〉 :=

∫ b

a

f(x) · g(x) · α(x)dx =: 〈f(x), g(x)〉α

Következésképpen az α-ás norma

‖f(x)‖2α =

∫ b

a

|f(x)|2 · α(x)dx

A 2.2 Tétel alapján, a Gram-Schmidt ortogonalizációval az ortogonális polinomok

el®állítása nehézkes. Ennek kiküszöbölésére szolgál a következ® tételt.

2.1. Megjegyzés. Jelölje az 1-f®együtthatóra normált legfeljebb n-edfokú polinomo-

kat Q̃n(x).

2.4. Tétel. Q̃0(x) és Q̃1(x) egymásra ortogonális polinomok esetén Q̃n+1(x) (n ≥ 1)

ortogonális polinomokra a következ® rekurzív összefüggés teljesül:

Q̃n+1(x) = (x− αn+1)Q̃n(x)− βn+1Q̃n−1(x),

ahol

αn+1 =〈x · Q̃n(x), Q̃n(x)〉α

‖Q̃n(x)‖2α

illetve βn+1 =〈x · Q̃n(x), Q̃n−1(x)〉α

‖Q̃n−1(x)‖2α

.

2.2. Megjegyzés. Qn(x) gyökei mindenütt s¶r¶n helyezkednek el az [a, b] inter-

vallumban, azaz ∀[c, d] ⊂ [a, b] részintervallumra, ha n elég nagy, akkor Qn(x)-nek

legalább egy gyöke lesz a [c, d] részintervallumban.

2.2. Speciális ortogonális polinomok 15

2.2. Speciális ortogonális polinomok

Most megnézünk egy pár speciális súlyfüggvényt és az ezekre ortogonális poli-

nomokat. Ezekkel a nevezetes ortogonális polinomokkal konstruálhatjuk majd meg

a nevezetes Gauss-kvadratúraformulákat.

2.2.1. Legendre-polinomok

Amost következ® részekben a bizonyításoktól eltekintve csak az állításokat mond-

juk ki. Tekintsük az [a, b] := [−1, 1] intervallumot és a súlyfüggvényt válasszuk

α(x) :≡ 1-nek. Továbbá, legyen Q0(x) := 1, Q1(x) := x. Ekkor a következ®ket

állíthatjuk.

2.1. Állítás. αn+1 = 0 és βn+1 = n2

4n2−1, n = 1, 2, ..., így

Qn+1(x) = xQn(x)− n2

4n2 − 1Qn−1(x). (2.8)

Az els® néhány Legendre-polinom:

Q0(x) = 1

Q1(x) = x

Q2(x) = x2 − 1

3

Q3(x) = x3 − 3

5x

Q4(x) = x4 − 6

7x2 +

3

35

Q5(x) = x5 − 10

9x3 +

5

21x

2.2.2. Laguerre-polinomok

Tekintsük az [a, b] := [0,∞) intervallumot és a súlyfüggvényt válasszuk

α(x) := e−x-nek. Továbbá, legyen L0(x) := 1, L1(x) := x− 1. Ekkor a következ®ket

állíthatjuk.

2.2. Állítás. αn+1 = 2n+ 1 és βn+1 = n2, n = 1, 2, ..., így

Ln+1(x) = (x− 2n− 1)Ln(x)− n2Ln−1(x). (2.9)

2.2. Speciális ortogonális polinomok 16

Az els® néhány Laguerre-polinom:

L0(x) = 1

L1(x) = x− 1

L2(x) = x2 − 4x+ 2

L3(x) = x3 − 9x2 + 18x− 6

L4(x) = x4 − 16x3 + 72x2 − 96x+ 24

L5(x) = x5 − 25x4 + 200x3 − 600x2 + 600x− 120

2.2.3. Hermite-polinomok

Tekintsük az [a, b] := (−∞,∞) intervallumot és a súlyfüggvényt válasszuk

α(x) := e−x2. Továbbá, legyen H0(x) := 1, H1(x) := x. Ekkor a következ®ket ál-

líthatjuk.

2.3. Állítás. αn+1 = 0 és βn+1 = n2, n = 1, 2, ..., így

Hn+1(x) = xHn(x)− n

2Hn−1(x). (2.10)

Az els® néhány Hermite-polinom:

H0(x) = 1

H1(x) = x

H2(x) = x2 − 1

2

H3(x) = x3 − 3

2x

H4(x) = x4 − 3x2 +3

4

H5(x) = x5 − 5x3 +15

4x

2.2.4. Csebisev-polinomok

Els®ként elevenítsük fel az interpolációs Csebisev-polinomok de�nícióját:

2.3. De�níció. Az n-edik Csebisev-polinom legyen:

Tn(x) := cos(n · arccos(x)), n = 0, 1, 2, ... (2.11)

2.3. Gauss-kvadratúrák 17

Az 1-f®együtthatóra normált Csebisev-polinom:

T̃n(x) :=1

2n−1Tn(x). (2.12)

Tekintsük az [a, b] := (−1, 1) intervallumot és a súlyfüggvényt válasszuk

α(x) := 1√1−x2 . Továbbá, legyen T0(x) := 1, T1(x) := x. Ekkor a következ®ket

állíthatjuk.

2.4. Állítás. αn+1 = 0 és β2 = 12, illetve βn+1 = 1

4, n = 2, 3, ..., így

T2(x) = x2 − 1

2, illetve Tn+1(x) = xTn(x)− 1

4Tn−1(x), n = 2, 3, ... (2.13)

Így ez nem más, mint az interpolációelméletb®l jólismert 1-f®együtthatóra normált

Csebisev-polinom, melyet a (2.12)-ben írtunk le.

2.5. Állítás. Az n-edik Csebisev-polinom gyökhelyei:

xk = cos

((2k − 1)π

2n

), k = 1, ..., n. (2.14)

Bizonyítás: Triviális, ha felhasználjuk a 2.3 De�níciót. �

Az els® néhány normált Csebisev-polinom:

T0(x) = 1

T1(x) = x

T2(x) = x2 − 1

2

T3(x) = x3 − 3

4x

T4(x) = x4 − x2 +1

8

T5(x) = x5 − 5

4x3 +

5

16x

2.3. Gauss-kvadratúrák

Minden olyan kvadratúraformulát, amelynek abszcisszáit és súlyait abból a köve-

telményb®l határozzuk meg, hogy pontosságának a rendje a lehet® legmagasabb

legyen, Gauss-típusú kvadratúraformulának nevezünk. A 2.4 Tétel szerint egy∫ b

a

f(x) · α(x) ≈n∑k=1

Akf(xk) (2.15)

2.3. Gauss-kvadratúrák 18

interpolációs kvadratúraformula pontossági rendje akkor maximális, vagyis 2n − 1,

ha abszcisszái olyan n-edfokú polinom gyökei, amely [a, b]-ben az α(x) súlyföggvény

szerint minden, legfeljebb (n− 1)-edfokú polinomra ortogonális.

Legyen P0(x), P1(x), ..., Pn(x), ... polinomoknak egy sorozata, amelyek az [a, b]

intervallumon ortogonálisak az α(x) súlyfüggvény szerint. Ilyen polinom sorozat

létezik, mégpedig konstans tényez®t®l eltekintve egyértelm¶en (2.2 Tétel). Legyen

Pn(x) polinomban xn együtthatója An (f®együttható). A 2.3 Tétel szerint Pn(x)

gyökei valósak, egyszeresek és az [a, b] intervallumba esnek. Válasszuk a Pn(x) poli-

nom x1, x2, ..., xn gyökeit a (2.15) kvadratúra alappontjainak és tekintsük az ezen

alappontokhoz tartozó interpolációs kvadratúraformulát, vagyis legyen

Ak =

∫ b

a

lk(x) · α(x)dx, k = 1, 2, ...n, (2.16)

ahol

lk(x) =(x− x1)...(x− xk−1)(x− xk+1)...(x− xn)

(xk − x1)...(xk − xk−1)(xk − xk+1)...(xk − xn).

2.5. Tétel. Az így értelmezett kvadratúraformulákra igazak a következ®k:

i) pontossági rendje 2n− 1.

ii) Ez az egyetlen ilyen tulajdonságú kvadratúraformula.

2.6. Állítás. A Gauss-kvadratúra együtthatói mindig pozitívak, azaz

Ak > 0, k = 1, ..., n.

Bizonyítás: Az n pontból álló Gauss-kvadratúra pontos a (2n − 2)-edfokú l2k(x)

polinomon. Ekkor:

0 <

∫ b

a

l2k(x) · α(x)dx =n∑j=1

Ajl2k(xj) = Akl

2k(xk) = Ak.

2.2. Következmény. Az f :≡ 1 függvényre pontos az n pontból álló Gauss-kvadra-

túra, ezértn∑k=1

Ak =

∫ b

a

α(x)dx = µ0.

S®t, az n pontból álló Gauss-kvadratúra pontos az xj polinomon (j = 0, ..., n − 1),

ezértn∑k=1

Akxjk =

∫ b

a

xj · α(x)dx = µj (2.17)

2.4. Speciális Gauss-kvadratúrák 19

Ez pedig egy egyértelm¶en megoldható egyenletrendszer j-edik sorát adja az Aj is-

meretlenekre. Vagyis egy egyenletrendszer megoldásával egyértelm¶en meg tudjuk

határozni az A1, A2, ..., An kvadratúra-súlyokat.

2.7. Állítás. Ha f ∈ C(2n)([a, b]), akkor

|RG(f)| ≤ M2n

(2n)!‖ω̃n(x)‖2

α.

Itt RG(f) jelöli a Gauss-kvadratúra hibáját, illetve ω̃n(x) =n∏i=1

(x− xi).

2.4. Speciális Gauss-kvadratúrák

Most, hogy már tudjuk, hogyan kell egy n pontú Gauss-kvadratúrát felállítani, a

speciális ortogonális polinomok segítségével speciális Gauss-kvadratúrákat kapunk.

2.3. Megjegyzés. Jelölje az n pontú Gauss-kvadratúrát Gn(f). Vagyis az n-edfokú

ortogonális polinom n db különböz® gyökei lesznek az abszcisszák, majd a (2.17)

egyenletrendszer megoldásával megkapjuk az A1, A2, ..., An súlyokat.

Vegyük a Legendre, a Laguerre, az Hermite és a Csebisev ortogonális polinomokat

és ezekre építsünk Gauss-kvadratúrát!

2.4.1. Gauss-Legendre-kvadratúra

Tekintsük a [−1, 1] intervallumot, az α(x) ≡ 1 súlyfüggvényt és n := 1. Ekkor

az∫ 1

−1

f(x)dx-et fogjuk közelíteni. Az els®fokú Legendre-polinom: Q1(x) = x, így az

egyetlen abszcissza az x1 = 0. Az �egyenletrendszer�, amit meg kell oldani az A1 súly

kiszámításához:

1 · A1 = µ0,

ahol µ0 =

∫ 1

−1

1 · 1dx. Megoldva az egyenletet, kapjuk: A1 = 2, így

G1(f) = 2 · f(0).

2.4. Megjegyzés. A fenti G1(f) pontos a legfeljebb els®fokú polinomokon. Valóban,

2 =

∫ 1

−1

1dx = 2 · f(0) = 2, illetve 0 =

∫ 1

−1

xdx = 2 · f(0) = 0, ugyanakkor

23

=

∫ 1

−1

x2dx 6= 2 · f(0) = 0.


Nézzük még meg a 2 pontú Gauss-Legendre-kvadratúrát! Ekkor Q2(x) = x2− 13,

így az abszcisszák: x1 = − 1√3, x2 = 1√

3. µ0 = 2 továbbra is, µ1 =

∫ 1

−1

x · 1dx = 0. Az

egyenletrendszer:

A1 + A2 = 2

− 1√3· A1 +

1√3· A2 = 0

Innen: A1 = 1, A2 = 1, azaz G2(f) = f(− 1√

3

)+ f(

1√3

).

2.5. Megjegyzés. Az iménti G2(f) pontos minden, legfeljebb harmadfokú polinomra.

2.4.2. Gauss-Laguerre-kvadratúra

Tekintsük a [0,∞] intervallumot, az α(x) = e−x súlyfüggvényt és n := 1. Ekkor

az∫ ∞

0

f(x)·e−xdx-et fogjuk közelíteni. Az els®fokú Laguerre-polinom: L1(x) = x−1,

így az egyetlen abszcissza az x1 = 1. Az �egyenletrendszer�, amit meg kell oldani az

A1 súly kiszámításához:

1 · A1 = µ0,

ahol µ0 =

∫ ∞0

1 · e−xdx = 1. Megoldva az egyenletet, kapjuk: A1 = 1, így

G1(f) = 1 · f(1).

2.6. Megjegyzés. Az így kapott G1(f) pontos a legfeljebb els®fokú polinomokon.

Valóban,

1 =

∫ ∞0

e−xdx = 1 · 1 = 1, illetve 1 =

∫ ∞0

x · e−xdx = 1 · 1 = 1, ugyanakkor

2 =

∫ ∞0

x2 · e−xdx 6= 1 · 1 = 1.

Nézzük még meg a 2 pontú Gauss-Laguerre-kvadratúrát! Ekkor

L2(x) = x2− 4x+ 2, így az abszcisszák: x1 = 2−√

2, x2 = 2 +√

2. µ0 = 1 továbbra

is, µ1 =

∫ ∞0

x · e−xdx = 1. Az egyenletrendszer:

A1 + A2 = 1

(2−√

2) · A1 + (2 +√

2) · A2 = 1

Innen: A1 = 12(2−

√2)

= 12x1

, A2 = 12(2+

√2)

= 12x2

, azaz G2(f) = 12

(f(2−

√2)

2−√

2+ f(2+

√2)

2+√

2

).

2.7. Megjegyzés. Belátható, hogy G2(f) pontos minden, legfeljebb harmadfokú poli-

nomra.


2.4.3. Gauss-Hermite-kvadratúra

Tekintsük a [−∞,∞] intervallumot, az α(x) = e−x2súlyfüggvényt és n := 1.

Ekkor az∫ ∞−∞f(x) · e−x2

dx-et fogjuk közelíteni. Az els®fokú Hermite-polinom:

H1(x) = x, így az egyetlen abszcissza az x1 = 0. Az �egyenletrendszer�, amit meg

kell oldani az A1 súly kiszámításához:

1 · A1 = µ0,

ahol µ0 =

∫ ∞−∞

1 · e−x2

dx =√π. Megoldva az egyenletet, kapjuk: A1 =

√π, így

G1(f) =√π · f(0).

2.8. Megjegyzés. A fenti G1(f) pontos a legfeljebb els®fokú polinomokon. Valóban,√π =

∫ ∞−∞e−x

2

dx =√π ·1 =

√π, illetve 0 =

∫ ∞−∞x ·e−x2

dx =√π ·0 = 0, ugyanakkor

12

√π =

∫ ∞−∞x2 · e−x2

dx 6=√π · 0 = 0.

Nézzük még meg a 2 pontú Gauss-Hermite-kvadratúrát! Ekkor H2(x) = x2 − 12,

így az abszcisszák: x1 = − 1√2, x2 = 1√

2. µ0 =

√π továbbra is, µ1 =

∫ ∞−∞x·e−x2

dx = 0.

Az egyenletrendszer:

A1 + A2 =√π

− 1√2· A1 +

1√2· A2 = 0

Innen: A1 =√π

2, A2 =

√π

2, azaz G2(f) =

√π

2

(f(− 1√

2) + f( 1√

2)).

2.9. Megjegyzés. Az így el®állított G2(f) pontos minden, legfeljebb harmadfokú

polinomra.

2.4.4. Gauss-Csebisev-kvadratúra

Tekintsük a [−1, 1] intervallumot, és az α(x) = 1√1−x2 súlyfüggvényt. Azt már

korábban is láttuk a 2.5 Allításnál, hogy a Csebisev-polinomok gyökei

xk = cos

((2k − 1)π

2n

), k = 1, ..., n.

Vagyis, a Gauss-Csebisev-kvadratúra abszcisszáit igen könnyen meg tudjuk határozni.

A most következ® állítás azt mondja, hogy a kvadratúra súlyait is nagyon kényelme-

sen lehet meghatározni.


2.8. Állítás. Az n pontra támaszkodó Gauss-Csebisev kvadratúra együtthatói:

Ak =π

n, k = 1, ..., n.

2.3. Következmény. Tehát Gn(f) = πn

n∑k=1

f

(cos

((2k − 1)π

2n

)).

3. fejezet

Oszcillációs integrandusok

Ebben a fejezetben az oszcillációs integrálok approximációjával fogunk foglalkozni.

Az eljárás azon alapszik, hogy az integrációs intervallumot egy komplex síkbeli gör-

bével helyettesítjük, az úgynevezett legmeredekebb lejt®nek megfelel®en. Ezen vonal-

integrálokon az integrandus már nem fog oszcillálni. Erre a komplex vonalintegrálra

építünk egy Gauss-kvadratúrát.

Tekintsük az úgynevezett Fourier-típusú integrálokat, melyek szép példái az osz-

cillációs integráloknak:

I[f ] :=

∫ b

a

f(x) · eiωg(x)dx, (3.1)

ahol ω egy frekvenciaparaméter, f és g függvényeket pedig rendre amplitúdónak,

vagy kilengésnek és rezgéskelt®nek, vagy oszcillátornak, illetve fázisnak szoktuk

nevezni. Ha ω nagy, az integrandus er®sen oszcillál. Ennek az integrálnak numerikus

kiértékeléséhez rengeteg pontra lenne szükség, ha valaki Gauss-kvadratúra, vagy

bármilyen más interpolációs kvadratúra módszer segítségével szeretné közelíteni.

3.1. Aszimptotikus kiterjesztés

3.1. De�níció. Egy g : [a, b] → R függvénynek a ξ ∈ [a, b] r-edrend¶ stacionárius

pontja, ha g(j)(ξ) = 0, j = 1, 2, ...r, de g(r+1)(ξ) 6= 0.

3.1. Példa. g(x) = xr függvénynek az x = 0-ban (r − 1)-edrend¶ stacionárius

pontja van.

23

3.1. Aszimptotikus kiterjesztés 24

Amikor ω nagy, I[f ] f® hozzájárulása az integrációs intervallum végpontjaihoz, il-

letve a stacionárius pontokhoz van közel. Pontosabban, a végpontok és a stacionárius

pontok el®állítanak egy-egy f® hozzájárulást I[f ] aszimptotikus kiterjesztésében

(Sa,b[f ], Sξ[f ]). Belátható, hogy

Sa,b[f ] =∞∑k=0

ak[f ]ω−k−1, ω →∞.

Itt az ak[f ] együtthatók egyedül f értékeit®l és a végpontok k-adrend¶ derivált-

jaitól függnek. Hasonlóan, az (r−1)-edrend¶ stacionárius ξ pontban az aszimptotikus

kiterjesztés:

Sξ[f ] =∞∑k=0

bk[f ]ω−k+1r , ω →∞,

ahol a bk[f ] együtthatók ugyancsak az f függvény értékeit®l és a ξ stacionárius pont

k-adrend¶ deriváltjaitól függnek. A teljes aszimptotikus kiterjesztés megkapható az

alábbi közelítés megadásával:

I[f ] ∼ Sa,b[f ] + Sξ[f ], ω →∞.

A kiterjesztés abszolút hibája a végpontokban O(ω−n−1)-edrend¶, ha ott a de-

riváltak (n−1)-edrend¶ek és a stacionárius pontokban O(ω−n+1r )-edrend¶, ha a sta-

cionárius pont (r−1)-edrend¶. Ezt szokták Wattson-lemmaként emlegetni. Valóban,

jelölje Sna,b[f ] az Sa,b[f ] n-edik részletösszegét. Ekkor

Sna,b[f ] =n∑k=0

ak[f ]ω−k−1. (3.2)

Itt ak[f ] együtthatók f (k)-tól függnek, de mivel feltettük, hogy a végpontokban a

deriváltak (n − 1)-edrend¶ek, ezért f (j)(a) = f (j)(b) = 0 (j = 0, 1, ..., n − 1), de

f (n)(a) 6= 0 és f (n)(b) 6= 0, így (3.2) a következ® alakra egyszer¶södik:

Sna,b[f ] = an[f ] · ω−n−1 = O(ω−n−1).

Hasonlóan igazolható a stacionárius pontokban is.

Az eljárás a következ®: az integrációs intervallumot a komplex sík görbéivel

helyettesítjük úgy, hogy ezen görbék mentén az integrandus nemoszcillációs és expo-

nenciálisan csökken. Aztán minden egyes integrált paraméterezünk valamilyen mó-

don, hogy hatékony Gauss-kvadratúrát építhessünk rá. Ez el®állítja a Gauss-szabály

3.2. A legmeredekebb lejt® numerikus módszere 25

jólismert optimális polinom rendjét. n darab kvadratúra alappont használata esetén

közel a végpontokhoz egy O(ω−2n−1)-edrend¶ hibát kapunk, így az aszimptotikus

rend nagyjából duplázódik az asszimptotikus kiterjesztéshez képest. El®ször csak

a g(x) = xr speciális esettel foglalkozunk és arra építjük fel a Gauss-kvadratúrát,

majd az általános esetet visszavezetjük erre a speciális esetre:

I[f ] :=

∫ b

a

f(x) · eiωxrdx, (3.3)

ahol a < 0, b > 0, f ∈ C∞[a, b], ξ = 0 (r − 1)-edrend¶ stacionárius pont.

3.2. A legmeredekebb lejt® numerikus módszere

Tekintsük a g(x) = xr oszcillátort és rögzítsünk egy tetsz®leges x ∈ [a, b] pontot.

Ezen pont legmeredekebb lejt®jét de�niáljuk a következ® képpen:

3.2. De�níció. Legyen hx(p) egy olyan p ∈ [0, P ]-vel paraméterezett görbe a kom-

plex számsíkon, hogy az xr fázisfüggvény valós része az egész út mentén konstans

legyen. Ezt elérjük például a

hrx(p) = xr + ip (3.4)

hx(0) = x

peremfeltétel¶ egyenlet megoldásával.

3.1. Megjegyzés. A peremfeltétel kiköti, hogy a rögzített x ∈ [a, b] ponthoz tartozó

legmeredekebb lejt®nek magából az x pontból kell kiindulnia.

3.2. Megjegyzés. Az eljárást az motiválja, hogy az eiωxr

= eiωRe(xr) · eiωiIm(xr) =

= eiωRe(xr) · e−ωIm(xr). Így, ha rögzítjük a valós részt, akkor az integrandus nem hogy

nem lesz oszcilláló, s®t exponenciálisan csökken® lesz.

3.2. Példa. Tekintsük az r = 1 esetet, vagyis az∫ b

a

f(x) · eiωxdx oszcillációs integ-

rált. Az el®z®eket �gyelembe véve a végpontokban felírt legmeredekebb lejt®:

ha(p) = a+ ip, hb(p) = b+ ip, p ∈ [0, P ].

Végül, kössük össze ha(P ) és hb(P ) pontokat és tartsunk P-vel a végtelenbe. Ezt a

konstrukciót láthatjuk a 3.1 ábrán.


3.1. ábra.

g(x) = x esetén a legmeredekebb lejt® a végpontokban.

3.3. Példa. Most tekintsük az r = 2 esetet és legyen a := −1, b := 1. Ekkor az

integrál: ∫ 1

−1

f(x) · eiωx2

dx.

Ekkor a legmeredekebb lejt® egyenlete: h2x(p) = x2 + ip, amib®l hx(p) =

√x2 + ip,

ahol hx(p) egy többérték¶ függvény (egész potnosan 2 érték¶):

hx,j(p) = (−1)j ·√x2 + ip, j = 0, 1.

A (−1)-ben vegyük a j = 1 esetet, az 1-ben pedig vegyük a j = 0 esetet. A végpon-

tokban tehát a legmeredekebb lejt®:

h−1,1(p) = −√x2 + ip, h1,0(p) =

√x2 + ip, p ∈ [0,∞].

A stacionárius ξ = 0 pontba pedig vegyük be mindkét esetet. Így

h0,1(p) = −√ip, h0,0(p) =

√ip.

Ezt a konstrukciót láthatjuk a 3.2 ábrán.

3.4. Példa. Tekintsük végül az r = 3 esetet és legyen megint csak a := −1 és

b := 1. Ekkor az integrál: ∫ 1

−1

f(x) · eiωx3

dx.

Az eddigiekhez hasonlóan járunk el, csak most az inverz függvény 3 érték¶ (3 ágú),

ezért

hx,j(p) = e2πi j3

3√x3 + ip, j = 0, 1, 2.


3.2. ábra.

g(x) = x2 esetén a legmeredekebb lejt® konstrukciója.

Az x = −1 végpontba a j = 1-hez tartozó görbét, míg az x = 1 végpontba a j = 0-hoz

tartozó görbét vegyük be, így

h−1,1(p) = e2πi 13

3√−1 + ip, h1,0(p) = 3

√1 + ip.

A ξ = 0 stacionárius pontba pedig a j = 1-hez, illetve a j = 0-hoz tartozó görbéket

vegyük be:

h0,1(p) = e2πi 13

3√ip, h0,0(p) = 3

√ip.

Ezt a konstrukciót láthatjuk a 3.3 ábrán.

(3.4) görbe segítségével (3.3) a következ® vonalintegrált ölti:∫ P

0

f(hx(p)) · eiωhrx(p) · h′x(p)dp = eiωx

r

∫ P

0

f(hx(p)) · h′x(p) · e−ωpdp.

3.3. Megjegyzés. Jelölés: Ezt az exponenciálisan csökken®, nemoszcillációs vo-

nalintegrált jelölje:

I[f ;hx] := eiωxr

∫ P

0


A (3.4) egyenletnek pontosan r darab különböz® megoldása van; a j-edik éppen:

hx,j(p) = e2πi jr · r√xr + ip, j = 0, ..., r − 1, (3.5)


3.3. ábra.

g(x) = x3 esetén a legmeredekebb lejt® konstrukciója.

ahol hx,j(p) mindegyike egy-egy komplex-görbe.

Az f : C→ C, f(z) = zr komplex függvény analitikus és inverze egy többérték¶

függvény. Minden ponthoz hozzárendeli az r darab megoldást, vagyis gyököt és ezek

pontosan kijelölnek r darab különböz® görbét. A végpontokban a legmeredekebb

lejt® útja egyértelm¶en meghatározható a peremfeltételb®l: ha(0) = a és hb(0) = b.

Legyenek

j1 := br/2c, illetve j2 := 0 (3.6)

és keressük az útvonalakat ha,j1 és hb,j2 alakban. A ξ = 0 stacionárius pontban

minden megoldás kielégíti a peremfeltételt, azaz h0,j(0) = 0, j = 0, ..., r − 1, mi

mégis csak az el®írt j1 és j2 által meghatározott ágakat vesszük �gyelembe. Ezt

láthatjuk a 3.2 és 3.3 ábrán r = 2 és r = 3 esetekben.

3.2.1. Négytagú szumma

Szeretnénk a (3.3) integrált a ha,j1 , hb,j2 , h0,j1 és h0,j2 vonalintegrálok összegére

bonatni, hogy aztán numerikusan kiértékelhessük ezeket a vonalintegrálokat. Ehhez

el®ször is mondjuk ki a zárt görbékr®l szóló Cauchy-tételt, majd további tételek

kimondásával jutunk közelebb a felbontáshoz.

3.1. Tétel (Cauchy integrál-formula). Legyen B,D ⊂ C tartományok,

f: D → C reguláris függyvény, γ : [a, b] → B rekti�kálható, egyszer¶, zárt görbe,


melyre intγ ⊂ D. Ekkor ∫γ

f(z)dz = 0.

3.1. Lemma. Legyen u analitikus függvény egy egyszeresen összefügg® D ⊂ C tar-

tományon, melyre [a, b] ⊂ D és legyen S ⊂ D egy korlátos, összefügg® tartomány,

melyre |u(z)| ≤ ε ∀z ∈ S, továbbá, tegyük fel, hogy S bármely két, p és q pontját

összekötö S-beli görbe hossza felülr®l becsülhet® egyM > 0 konstanssal. Ekkor létezik

egy F (x) x ∈ [a, b] függvény, melyre u integrálja a következ®vel approximálható∫ x

a

u(z)dz ≈ F (a)− F (x) (3.7)

egy e hibával, mely kielégíti: |e| ≤Mε. Az F függvény egy vonalintegrál:

F (x) =

∫Γx

u(z)dz,

ahol Γx egy tetsz®leges, x-b®l induló D-beli görbe.

Bizonyítás: Legyen Γx egy D-beli görbe x-b®l egy tetsz®leges S-beli pontba, melyet

jelöljön q(x) és Γa szintén egy D-beli görbe a-ból q(a) ∈ S-be. Legyen κ egy S-

ben haladó q(a)-t és q(x)-et összeköt® görbe. Mivel u analitikus D-ben, 3.1 Cauchy

Tétel miatt az integrációs görbe a és x között választható Γa, κ, és −Γx uniójaként.

Következésképp az integrál a következ® alakba írható:∫ x

a

u(z)dz = F (a) +

∫κ

u(z)dz − F (x), ahol

∣∣∣∣ ∫κ

u(z)dz

∣∣∣∣ ≤Mε

a vonalintegrál triviális becslése miatt. �

3.4. Megjegyzés. Jegyezzük meg, hogy F nem határozható meg teljesen 3.1 Lemma

feltételeivel. Általában Γx görbe q(x) végpontja x-nek egy tetsz®leges függvénye.

Ha g analitikus, akkor az eiωg(x) oszcilláló függvény is analitikus a (3.1) integrál-

ban, mivel x-nek egy függvénye. Ez a függvény abszolút értékben kicsi, ha

|eiωg(x)| ≤ ε ⇔ e−ωImg(x) ≤ ε ⇔ Img(x) ≥ − log(ε)

ω.

Ha g inverze létezik, találhatunk 3.1 Lemmához szükséges S tartományt g−1(c+ id)

pontokkal, ahol d ≥ d0, d0 := − log(ε)ω

.


3.5. Megjegyzés. Jegyezzük meg, hogy általánosan egy analitikus függvény lehet

többérték¶. Ebben az esetben az inverz függvény nem lesz folytonos a stacionárius

pontok, illetve (mondjuk) a ∞ által meghatározott �töröttvonalon� (esetünkben a

[0,∞) félegyenesen), mert ott az inverz függvény féloldali deriváltjai nem fognak

megegyezni. Ezen �töröttvonal� pontjain kívül az inverz függvény minden pontban

lokálisan létezik, ezért jellemezni tudjuk a felbontás hibáját a 3.1 Lemmában a (3.1)

integrál általános esetében, ω függvényeként.

3.2. Tétel. Legyen f és g analitikus egy korlátos nyílt D ⊂ C tartományon, melyre

[a, b] ⊂ D és tegyük fel, hogy g′(z) 6= 0, z ∈ D. Ekkor a (3.1) integrálnak létezik egy

(3.7) approximációja egy O(e−ωd0) nagyságrend¶ hibával, ahol d0 > 0 konstans.

Bizonyítás: Legyen S := {z : Img(z) ≥ d0} ∩ D, d0 > 0. Itt |eig(z)ω| ≤ ε. Ilyen

d0 konstans mindig található, mert S nemüres, mivel g analitikus. Tekintsünk egy

x ∈ [a, b] pontot. Mivel g analitikus x-ben, ezért egy elég kicsi környzetében is,

tehát a g(z) = g(x) + id0 egyenletnek mindig van egy z megoldása elég kis d0 > 0-ra

(z = g−1(x+ id0)). Mivel D összefügg® x egy környezetében és z ∈ D, ezért d0 elég

kicsinek választható. A szükséges geometriai feltételek S-re, melyeket 3.1 Lemma

követel, következik g folytonosságából. Kaptuk:

∀x ∈ S : |f(x) · eiωg(x)| ≤ |f(x)| · e−ωd0 .

Mivel S korlátos, (S ⊂ D, D korlátos), létezik C > 0 konstans, hogy

|f(x)| ≤ C, x ∈ S. Az eredmény következik a 3.1 Lemmából u(x) = f(x) · eiωg(x)

és ε = C · e−ωd0 választással. �

A ξ stacionárius pontban g deriváltja elt¶nik és az f(x) · eiωg(x) integrandus nem

oszcillál, legalábbis lokálisan. Az integrandus hozzájárulása ξ-ben emiatt nem el-

hanyagolható. A 3.2 Tétel nem alkalmazható, mert g inverze nem létezik egyértelm¶en

(többérték¶ függvény) a ξ elágazási pont környezetében. Azért, hogy illusztráljuk a

problémát, tekintsük a következ® szituációt. Tegyük fel, hogy g′(x) = 0 egyenletenek

egyetlen megoldása: ξ ∈ [a, b]. Most de�niáljuk g következ® megszorításait:

g1 := g|[a,ξ] illetve g2 := g|[ξ,b]. (3.8)


Ekkor g-nek az [a, b]-n nem létezik egyértelm¶ inverze, de az egyérték¶ g−11 ág meg-

található, mely kielégíti g−11 (g(x)) = x, x ∈ [a, ξ]. Ez az ág mindenhol analitikus,

kivéve a stacionárius ξ pontban. Hasonlóan, egy egyérték¶ g−12 ág létezik, mely a

g−12 (g(x)) = x, x ∈ [ξ, b] egyenletet elégíti ki. Mindkét ág kielégíti a g(g−1

i (z)) = z,

i = 1, 2, az analitikus értelmezési tartományukban. Az integrandus kicsi az S1

területen a g−11 (c+ id), d ≥ d0 formula pontjaival, vagy az S2 területen a

g−12 (c+ id), d ≥ d0 formula pontjaival. Könnyen belátható, hogy S1 és S2 diszjunk-

tak. Tegyük fel, hogy y ∈ S1 és z ∈ S2. Alkalmazva g-t a g−11 (y) = g−1

2 (z) egyenlet

mindkét oldalán ⇒ y = z, ami csak akkor lehetséges, ha z = ξ /∈ S1, S2.

Az út, mely megoldja a g(hx(p)) = g(x)+ip egyneletet, egy a-ból induló S1-beli és

egy b-b®l induló S2-beli úthoz vezet. A megoldás ennélfogva kettéosztja az integrációs

intervallumot két részintervallumra: [a, ξ] és [ξ, b]. Ez az eljerás a stacionárius pontok

tetsz®leges száma esetén ismételhet®.

3.3. Tétel. Tegyük fel, hogy f és g függvények analitikusak a D ⊂ C nyílt tar-

tományon, [a, b] ⊂ D. Ha ξ ∈ D a g′(x) = 0 egyenlet egyetlen megoldása (ξ sta-

cionárius pont), és ξ ∈ (a, b), akkor léteznek az Fj(x) j = 1, 2 függvények, melyekre:∫ t

s

f(z) · eiωg(z)dz = F1(s)− F1(ξ) + F2(ξ)− F2(t) +O(e−ωd0), d0 > 0,

ahol s ∈ [a, ξ] és t ∈ [ξ, b], továbbá

Fj(x) :=

∫Γx,j

f(z) · eiωg(z)dz, (3.9)

ahol Γx,j egy x-b®l induló görbe.

Bizonyítás: De�niáljuk g(x)-et, mint (3.8) megszorításban. Az∫ t

ξ

f(x) · eiωg(x)dx

lesz¶kítés megatlálható 3.2 Tétel bizonyításában két módosítással. El®ször is, a

g(z) = g(x) + id0 egyenletnek legalább két megoldása van az x = ξ pont körül. Azt

a megoldást választjuk, amelyik kapcsolódik a g invezrének egyérték¶ g−12 ágához,

amely kielégíti: g−12 (g(x)) = x, x ∈ [ξ, b]. Az elágazás mindig megválasztható úgy,

hogy ne gátolja a Cauchy-tétel alkalmazását. Másodszor, S-et most de�niáljuk úgy,

mint S := {z : Img(z) ≥ d0, g−12 (g(z)) = z}∩D, mely D egy összefügg® részével van

lefedve, ahol az integrandus kicsi. Ezekkel a módosításokkal a bizonyítás megmutatja

3.3. A vonalintegrálok numerikus közelítése 32

F2 létezését, mely a következ® alakú:∫ t

ξ

f(z) · eiωg(z)dz = F2(ξ)− F2(t) +O(e−ωd0).

Ugyanez az okoskodás alkalmazható, hogy megtaláljuk az [a, ξ] intervellumra történ®

lesz¶kítést. Ez vezet az eredményre. �

Ez utóbbi tétel értelmében mostmár el tudjuk készíteni a 4-tagú szummát, ami

a célunk volt:

I[f ] = I[f, ha,j1 ]− I[f, hξ,j1 ] + I[f, hξ,j2 ]− I[f, hb,j2 ] +O(e−dω), (3.10)

ahol ω →∞ és d > d0 > 0.

3.6. Megjegyzés. Az egyszer¶ség kedvéért csak P = ∞ esettel foglalkozunk, ezért

elegend®, hogy f analitikus legyen egy elegend®en nagy tartományon.

Ezzel elértük, hogy az eredetileg oszcillációs integrálunkat felbontottuk 4 darab

nemoszcillációs vonalintegrál összegére. A következ®kben ezen vonalintegráloknak

vizsgáljuk a numerikus kiértékelését.

3.3. A vonalintegrálok numerikus közelítése

Jelölje:

Φx,j(p) := f(hx,j(p)) · h′x,j(p), x = {a, ξ, b}, j = j1, j2,

ahol h′x,j(p) ismert: h′x,j(p) = e2πi jr · i

r· (xr + ip)−

r−1r , (3.5) p-szerinti deriválásával.

Ezzel a jelöléssel a 4-tagú szummánk a következ® formára egyszer¶södik:

I[f ] ∼ eiωar

∫ ∞0

Φa,j1(p) · e−ωpdp−∫ ∞

0

Φξ,j1(p) · e−ωpdp+

+

∫ ∞0

Φξ,j2(p) · e−ωpdp− eiωbr

∫ ∞0

Φb,j2(p) · e−ωpdp.

Most külön-külön meg fogjuk vizsgálni a végpontok és a stacionárius pontok

esetét.


3.3.1. Vonalintegrálok a végpontokban

A vonalintegrálok a megfelel® a és b végpontokban jól viselkednek és az aszimp-

totikus kiterjesztésük levezethet®. Például, x = a-ban I[f ;ha,j1 ] ∼∞∑k=0

ak[f ]ω−k−1,

ahol az ak[f ] együtthatók f (j)(a)-tól függnek j = 0, ..., k. Ha valaki az aszimptotikus

kiterjesztés n-edik részletösszegével approximálja a vonalintegrált, akkor a hiba

aszimptotikusan viselkedik és

I[f ;ha,j1 ]−∞∑k=0

akω−k−1 = O(ω−n−1), ω →∞. (3.11)

Ezek az aszimptotikus kiterjesztések azonban általában divergensek, még akkor is,

ha a vonalintergrálok amúgy jól viselkednek. Ennélfogva ω bármely rögzített értékére

a hiba (3.11)-ben nagy lehet és nem lehet jelent®sen csökkenteni a szumma további

tagjainak megadásával. Ezért más utat járunk be: Abban vagyunk érdekeltek, amikor

a nevezetes kvadratúra-formulák egy családjába es® kvadratúrával tudjuk approxi-

málni a vonalintegrálokat. Legyen:

Q[f ;ha,j1 ] :=n∑k=1

f(xk(ω))wk(ω) (3.12)

ω-tól függ® xk(ω) pontokkal és wk(ω) súlyokkal, ahol

I[f ;ha,j1 ]−Q[f ;ha,j1 ] = O(ω−Sn), ω →∞. (3.13)

Célunk ezen felül az is, hogy maximalizáljuk Sn aszimptotikus rendjét minden n-re.

A (3.12) formula egy vonalintegrált közelít. Hajtsuk végre a q = ωp helyettesítést:

Q[f ;ha,j1 ] =n∑k=1

f(xk(ω))wk(ω) ∼ eiωar

∫ ∞0

Φa,j1(p) · e−ωpdp =

= eiωar 1

ω

∫ ∞0

f

(ha,j1

( qω

))· h′a,j1

( qω

)· e−qdq.

Kaptunk egy improprius integrált e−q súlyfüggvénnyel. Ezt már könnyen tudjuk app-

roximálni a jólismert Gauss-Laguerre kvadratúrával. Legyenek xGLk az alappontjai

és wGLk a súlyai:∫ ∞0

f

(ha,j1

( qω

))· h′a,j1

( qω

)· e−qdq ∼

n∑k=1

f

(ha,j1

(xGLkω

))h′a,j1

(xGLkω

)wGLk


Kaptuk:n∑k=1

f(xk(ω))wk(ω) =n∑k=1

f

(ha,j1

(xGLkω

))h′a,j1

(xGLkω

)wGLk (3.14)

A (3.14) egyenl®ségb®l leolvashatjuk az xk(ω) alappontok és wk(ω) súlyok (egy lehet-

séges) értékét:

xk(ω) := ha,j1

(xGLkω

), illetve wk(ω) :=

eiωar

ω· h′a,j1

(xGLkω

)· wGLk . (3.15)

Most egy lemmát mondunk ki, amely megmutatja, hogy az approximáció aszimp-

totikus rendje a Gauss-Laguerre polinom fokából meghatározható.

3.2. Lemma. Tekintsük a 0 < α ∈ R számot és egy kvadratúra szabályt n darab xk

alapponttal és wk súlyokkal, melyre∫ ∞0

xm · e−xαdx =n∑k=1

xmk wk, m = 0, ..., d− 1. (3.16)

Ha∫ ∞

0

u(x) · e−ωxαdx létezik valamilyen ω > ω0 súlyfüggvényre és u analitikus az

x = 0 pontban, akkor∫ ∞0

u(x) · e−ωxαdx− ω−1α

n∑k=1

u(xkω

− 1α

)wk = O(ω−

d+1α ), ω →∞.

Bizonyítás: Használva az x = ω−1α t helyettesítést:∫ ∞

0

xm · e−xαdx = ω−1α

∫ ∞0

(ω−

1α t)m·(e−ω

− 1α t)αdt =

= ω−1α

n∑k=1

(xkω

− 1α

)mwk, m = 0, ..., d− 1. (3.17)

Ez utóbbi egyenl®ség a (3.16) pontossági feltevés miatt következik. Mivel u analitikus

az x = 0-ban, így konvergens Taylor-sora van tetsz®leges R > 0-ra

u(x) =∞∑i=0

u(i)(0)

i!xi, |x| < R

u(x) =d−1∑i=0

u(i)(0)

i!xi +

∞∑i=d

u(i)(0)

i!xi.

Jelölje:

ud(x) :=d−1∑i=0

u(i)(0)

i!xi, illetve ul(x) :=

∞∑i=d

u(i)(0)

i!xi,


így u(x) = ud(x) + ul(x), ahol ud ∈ Pd−1. Legyen: Lω[u] :=

∫ ∞0

u(x) · e−ωxαdx.

Ezt továbbírva:

=

∫ ∞0

ud(x) · e−ωxαdx+

∫ ∞0

ul(x) · e−ωxαdx = Lω[ud] + Lω[ul].

Mivel ud ∈ Pd−1, így Lω[ud] = ω−1α

n∑k=1

ud

(xkω

− 1α

)wk, ami a (3.17) egyenl®ségb®l

következik.

Tehát a kvadratúra hibája:∫ ∞0

u(x) · e−ωxαdx− ω−1α

n∑k=1

u(xkω

− 1α

)wk = Lω[u]− ω−

1α

n∑k=1

u(xkω

− 1α

)wk =

= Lω[ud] + Lω[ul]− ω−1α

n∑k=1

u(xkω

− 1α

)wk = ω−

1α

n∑k=1

ud

(xkω

− 1α

)wk + Lω[ul]−

−ω−1α

n∑k=1

ud

(xkω

− 1α

)wk − ω−

1α

n∑k=1

ul

(xkω

− 1α

)wk = Lω[ul]− ω−

1α

n∑k=1

ul

(xkω

− 1α

)wk.

Itt mindkét tag becsülhet® O(ω−d+1α )-val, ugyanis:

i) Az els® tagban az xα = t helyettesítést végrehajtva, majd ul de�nícióját fel-

használva:

Lω[ul] =

∫ ∞0

ul(x) · e−ωxαdx =1

α

∫ ∞0

ul(t

1α

)· t

1α−1 · e−ωtdt.

Az integrandus:

t1α−1 · ul

(t

1α

)= t

1α−1

∞∑i=d

u(i)(0)

i!

(t

1α

)i= t

1α−1 ·

(u(d)(0)

d!tdα + ...

)∼ t

d+1α−1,

mert u(d)(0) 6= 0. A Wattson-lemma miatt:

⇒ 1

α

∫ ∞0

ul(t

1α

)· t

1α−1 · e−ωtdt ∼ 1

α

∫ ∞0

td+1α−1 · e−ωtdt = O(ω−

d+1α ), ω →∞.

Azaz: Lω[ul] = O(ω−d+1α ).

ii) Elég nagy ω-ra, melyre xkω−1α < R

ul(xkω

− 1α

)= u

(xkω

− 1α

)− ud

(xkω

− 1α

)=∞∑i=d

u(i)(0)

i!

(xω−

1α

)i= O(ω−

dα )

⇒n∑k=1

ul(xkω

− 1α

)wk = O(ω−

dα ) ⇒ ω−

1α

n∑k=1

ul(xkω

− 1α

)wk = O(ω−

d+1α ).

�


3.4. Tétel. De�niáljuk a Q[f ;ha,j1 ] kvadratúra szabályt a (3.12) formulában meg-

adott módon a (3.15)-ben adott pontokkal és súlyokkal. Ekkor az approximácó hibája:

I[f ;ha,j1 ]−Q[f ;ha,j1 ] = O(ω−2n−1), ω →∞.

Bizonyítás: Azonnal következik a 3.2 Lemmából α = 1 és u(x) = f(ha,j1(x))

választással. Ez az u függvény analitikus az x = 0-ban. �

3.7. Megjegyzés. i) A 3.4 Tétel eredménye a másik végpontra, b-re is érvényes.

Még általánosabban, bármely x-re érvényes, ahol g′(x) 6= 0.

ii) A stacionárius pontokban a hξ,j(p) függvény nem analitikus a 0-ban, így

a 3.2 Lemma nem használható fel azonnal.

iii) Fontos megjegyezni, hogy ellentétben a Fylton-típusú kvadratúra-szabállyal,

Q[f ;ha,j1 ] általában nem pontos, amikor f polinom. Csak akkor pontos, ha

f(ha,j1(p)) · h′a,j1(p) egy kell®en kis fokú polinom.

3.3.2. Vonalintegrálok a stacionárius pontokban

Hasonló érvelés vonatkozik azon integrálokra, melyek tartalmazzák az x = 0

stacionárius pontot. Emlékeztet®ül, az aszimptotikus kiterjesztés formulája:

I[f ;hξ,jm ] ∼∞∑k=0

am,k[f ]ω−k+1r , m = 1, 2 ω →∞,

ahol az am,k[f ] együtthatók az f (i)(0), i = 0, 1, ..., k értékeit®l függnek. Ennek

következtében az aszipmtotikus kiterjesztés n-edik részletösszege aszimptotikusan

viselkedik, mivel:

I[f ;hξ,jm ]−n−1∑k=0

am,k[f ]ω−k+1r = O(ω−

n+1r ), ω →∞. (3.18)

Egy alkalmas Gauss-típusú kvadratúra �gyelembe vételével az aszimptotikus rend

ebben az esetben is duplázódhat. Tekintsük az I[f ;hξ,j2 ] vonalintegrált és hajtsuk

végre a q = r√p helyettesítést:

I[f ;hξ,j2 ] =i

r

∫ ∞0

f( r√ip) · (ip)−

r−1r · e−ωpdp =

r√i

∫ ∞0

f(qr√i) · e−ωqr .

Most egy újabb helyettesítésel (tr = ωqr) és a δr :=(iω

) 1r jelöléssel

= δr

∫ ∞0

f(δrt) · e−tr

dt.


Ez az alak már alkalmas Gauss-kvadratúrára, az e−trnemsztenderd súlyfüggvénnyel.

Jelölje a pontokat és súlyokat rendre xNSk és wNSk és de�niáljuk

xk(ω) := δrxNSk , illetve wk(ω) := δrw

NSk . (3.19)

A következ® tétel a 3.2 Lemmából következik α = r választással.

3.5. Tétel. De�niáljuk a Q[f ;hξ,j2 ] kvadratúra szabályt a (3.19)-ben megadott alap-

pontokkal és súlyokkal. Ekkor a stacionárius pontban felírt legmeredekebb lejt®j¶ vo-

nalintegrál approximációjában a hiba:

I[f ;hξ,j2 ]−Q[f ;hξ,j2 ] = O(ω−2n+1r ), ω →∞.

3.8. Megjegyzés. Az aszimptotikus rend valóban hozzávet®legesen kétszerese a

(3.18) rendjének. Egy hasonló eredménnyel kecsegtet I[f ;hξ,j1 ].

3.9. Megjegyzés. A (3.3) integrált tekinthetjük, mint egy folytonos lineáris funkci-

onált, ezért

L[f ] :=

∫ ∞0

f(x) · e−xrdx. (3.20)


3.3.3. Numerikus példák

Ebben a részben illusztráljuk a Gauss-kvadratúra véghezvitelét. Illusztráljuk

az alappontok elhelyezkedését a komplex síkon ω különböz® értékeire. Tekintsük

a következ® integrálokat:

I1 :=

∫ 1

−1

sin(2x) · eiωx3

dx. (3.21)

I2 :=

∫ 1

−1

x · log(x+ 3) · eiωx4

dx. (3.22)

A 3.4 ábra I1 alappontjait ábrázolja (r = 3 eset), míg a 3.5 ábra I2 alappontjait

vázolja (r = 4 eset) ω = 1, ω = 10 és ω = 100 értékekre. Mind az alappontokat,

mind a legmeredekebb lejt®t ábrázoltuk (szaggatott vonal). Növekv® ω esetén az

alappontok egyre inkább megközelítik az integrációs intervallum végpontjait és a

stacionárius pontot, vagyis a, b és az origo körül helyezkednek el.

3.4. ábra.

A kvadratúra pontok elhelyezkedése egy oszcillációs integrál (I1) a [−1, 1]-en r = 3-mal, a megfelel®

ω = 1 (bal), ω = 10 (közép) és ω = 100 (jobb) értékekre. Minden görbén 8 pont lett kiszámolva. A

pontok legmeredekebb lejt® mentén helyezkednek el (szaggatott vonal).

3.4. Aszimptotikusan optimális kvadratúra-szabályok 39

3.5. ábra.

A kvadratúra alappontjainak elhelyezkedése a [−1, 1]-en oszcillációs integrálra r = 4-gyel (I2), rendre

ω = 1 (bal), ω = 10 (közép), ω = 100 (jobb) értékekre. Minden egyes görbén 8 pont lett kiszámolva. A

pontok a legmeredekebb lejt® mentén helyezkednek el (szaggatott vonal).

3.4. Aszimptotikusan optimális kvadratúra-szabályok

A Gauss-kvadratúra szabályokat a legmeredekebb lejt®j¶ integrálok numerikus

kiértékelésére használjuk, javítva az aszimptotikus kiterjesztés aszimptotikus rend-

jét. A módszer megköveteli a stacionárius pontokban a két vonalintegrál kiértékelését,

ahogy azt korábban láttuk. Mindkét integrálhoz n darab kvadratúra pontot haszná-

lunk, a teljes integrandus kiértékeléséhez tehát 2n pont szükségeltetik. Az aszimp-

totikus kiterjesztésben 2n darab tagot használva a két közelítés hibája ugyanahhoz

az aszimptotikus rendhez vezet.

Az eredményünk javítható, meg�gyelve, hogy talán kombinálhatjuk a két leg-

meredekebb lejt®j¶ integrált a stacionárius pontokban. Meg fogjuk vizsgálni annak

a lehet®ségét, hogy hogyan tudnánk kiértékelni a két különböz® integrált.

Legyen λr := e2πibr/2c 1r . Ekkor, ha

i) r páros, azaz r = 2s alakú ⇒ λ2s = e2πib2s/2c 12s = eπi = −1,

ii) r páratlan, azaz r = 2s+ 1 alakú ⇒ λ2s+1 = e2πib2s+1/2c 12s+1 = e

2πis2s+1 .

Kaptuk:

λr = e2πis2s+1 , ha r = 2s+ 1, (3.23)

illetve λr = −1, ha r = 2s.


Emlékeztet®ül, δr =(iω

) 1r , így λrδr:

i) r = 2s: λrδr = −δr = −( iω

) 1r

ii) r = 2s+ 1: λrδr =(eπisω

) 12s+1 · i =: εs · i.

Ugyanis: Megmutatjuk, hogy az egyenl®ség fennáll a megfelel® 2s + 1-edik gyök

választásával. Ez teljesül akkor, ha mindkét oldal 2s + 1-edik hatványa ugyanaz.

Emeljük tehát mindkét oldalt a 2s+ 1-edik hatványra. Ekkor a bal oldal:

(λrδr)2s+1 =

(e

2πis2s+1 ·

( iω

) 12s+1

)2s+1

= e2πis · iω

=i

ω.

Illetve a jobb oldal:

(εs · i)2s+1 =eπis

ω· i2s+1 =

(−1)s

ω· i · i2s =

(−1)s

ω· i · (−1)s =

i

ω.

Kaptuk tehát, hogy mindkét oldal 2s+1-edik hatványa ugyanaz, és ez kellett nekünk.

Ugyanakkor az is teljesül, hogy:

δr = εs · i.

Az el®z® eredményt felhasználva:

δr =1

λr· εs · i = e−

2πis2s+1 ·

(eπisω

) 12s+1 · i = e−

2πis2s+1 ·

( 1

ω

) 12s+1 · e

πis2s+1 · i =

=( 1

ω

) 12s+1 · e−

πis2s+1 · i = εs · i.

Ezen jelölések mellett:

I[f ;hξ,j2 ]− I[f ;hξ,j1 ] = δr

∫ ∞0

f(δrt) · e−tr

dt− λrδr∫ ∞

0

f(λrδrt) · e−tr

dt.

Következésképpen páros és páratlan r-ek esetében különböz® eredményre jutunk.

3.4.1. Páros r-ek esete

Amennyiben r páros (azaz r = 2s alakú), a stacionárius pont hozzájárulása egy

t = −t helyettesítéssel a második integrálban könnyen átalakítható egy egyszer¶

integrállá a (−∞,∞) intervallumon:

I[f ;hξ,j2 ]− I[f ;hξ,j1 ] = δr

(∫ ∞0

f(δrt) · e−t2s

dt+

∫ ∞0

f(−δrt) · e−t2s

dt

)=

= δr

∫ ∞−∞f(δrt) · e−t

2s

dt.


Ebben az esetben az út egy egyenes vonal, amely π2r

szöget zár be a valós tengellyel.

Ezt láthatjuk r = 2 esetben a 3.2 ábrán. Az e−t2s

súlyfüggvényt a (−∞,∞)-en

Freud-súlynak nevezik.

3.10. Megjegyzés. s = 1 esetén a klasszikus Gauss-Hermite kvadratúrát kapjuk

vissza.

Ehhez az elrendezéshez a 3.5 Tétel aszimptotikus rendjét tudjuk biztosítani. A

következ® Lemma a 3.2 Lemma egy variációja:

3.3. Lemma. Tekintsük a 0 < α ∈ R számot és egy kvadratúra szabályt n darab xk

alapponttal és wk súlyokkal, melyre∫ ∞−∞xm · e−xαdx =

n∑k=1

xmk wk, m = 0, ..., d− 1.

Ha∫ ∞−∞u(x) · e−ωxαdx létezik valamilyen ω > ω0 súlyfüggvényre és u analitikus az

x = 0 pontban, akkor∫ ∞−∞u(x) · e−ωxαdx− ω−

1α

n∑k=1

u(xkω

− 1α

)wk = O(ω−

d+1α ), ω →∞.

Bizonyítás: A bizonyítás teljesen analóg a 3.2 Lemmáéval. �

De�niáljuk a következ® folytonos lineáris funkcionált:

LH [f ] :=

∫ ∞−∞f(x) · e−x2s

dx. (3.24)

3.11. Megjegyzés. Ez az eredmény azt mutatja, hogy a (3.20) funkcionálnak

megfelel® kvadratúra szabályok helyett inkább az olyan kvadratúrák iránt érdekl®d-

jünk, melyek a (3.24) folytonos lineáris funkcionálnak felelnek meg.

Ez egy Hermite-típusú Gauss-kvadratúra szabály, ezért legyenek xHk -k az alappontjai

és wHk -k a súlyai, k = 1, ..., n és (3.19)-cel analóg módon válasszuk:

xk(ω) := δrxHk , illetve wk(ω) := δrw

Hk . (3.25)

Ekkor tehát a következ® eredményünk van.


3.6. Tétel. De�niáljuk a QH [f ] kvadratúra szabályt a (3.25)-ben megadott alappon-

tokkal és súlyokkal. Ekkor az approximáció hibája a stacionárius pontokban páros

r-ek esetén:

(I[f ;hξ,j2 ]− I[f ;hξ,j1 ])−QH [f ] = O(ω−2n+1r ), ω →∞.

3.12. Megjegyzés. A (3.24) folytonos lineáris funkcionál pozitív de�nit, ezért a

Gauss-kvadratúra garantáltan létezik.

3.4.2. Páratlan r-ek esete

Amikor r = 2s + 1 páratlan, az átalakítás min®ségileg nagyon különböz®. A

kombinált út két félegyenes uniója, amelyek r−1rπ szögben metszik egymást.

3.13. Megjegyzés. Emlékeztet®ül, δr = ( iω

)1r , továbbá beláttuk, hogy

λrδr = εsi, ahol εs =(eπisω

) 12s+1

, illetve δr = εsi.

Így a kombinált legmeredekebb lejt® görbéje egy szimmetrikusabb alakra hozható:

I[f ;hξ,j2 ]− I[f ;hξ,j1 ] = i

[εs

∫ ∞0

f(εsit) · e−t2s+1

dt− εs∫ ∞

0

f(εsit) · e−t2s+1

dt

]. (3.26)

De�niáljuk a következ® folytonos lineáris funkcionált a következ® képpen:

M[f ] :=

∫Γ

f(z) · eiz2s+1

dz, (3.27)

ahol Γ a stacionárius pontban felírt legmeredekebb lejt® két görbéjének uniója

(V-alak).

3.14. Megjegyzés. Hasonlóan L[.] folytonos lineáris funkcionálhoz, ez a de�níció

sem függ ω-tól.

Γ megfelel® választásával megkapjuk (3.26) paraméterezését ω = 1-gyel. Tegyük fel,

hogy létezik Gauss-kvadratúra szabály (3.27)-re, valamilyen xMk alappontokkal és

wMk súlyokkal. Legyen:

xk(ω) := ω−1rxMk , illetve wk(ω) := ω−

1rwMk (3.28)


és a kvadratúraformula legyen

QM [f ] :=n∑k=1

f(xk(ω))wk(ω)

egy egyszer¶ approximációja (3.26)-nak. A 3.3 Lemma és a 3.6 Tétel analóg mintájára

könnyen megfogalmazhatjuk a következ®ket. A lemmát nem, csak a tételt mondjuk

ki.

3.7. Tétel. A QM [f ] kvadratúra szabály approximációs hibája a stacionárius pon-

tokban páratlan r-ek esetén:

(I[f ;hξ,j2 ]− I[f ;hξ,j1 ])−QM [f ] = O(ω−2n+1r ), ω →∞.

3.15. Megjegyzés. MivelM[.] inde�nit, ezért nem egyértelm¶, hogy létezik Gauss-

kvadratúra. Amennyiben van megfelel® Gauss-kvadratúra, akkor teljesül a 3.7 Tétel

állítása.

3.5. Példa. r = 3 eseténM[x2] = 0, tehátM[.] valóban inde�nit.

Mindazonáltal létezik megfelel® Gauss-kvadratúra formula és numerikusan

meghatározható. A 3.7 Tétel aszimptotikus rendje a gyakorlatban meg�gyelt.

3.4.3. Numerikus példák

Ebben a részben a Gauss-kvadratúra szabály megfelel az M[f ] funkcionálnak,

xMk alappontokkal és wMk súlyokkal. Egyszer kell kiszámolnunk n és r minden értékét,

melyek még ω-tól függnek.

Például, tekintsük a következ® integrált:

I =

∫ 1

−1

cos(3x+ 2) · eiωx4

dx. (3.29)

Ennek az integrálnak egy harmadrend¶ stacionárius pontja van az origóban. A leg-

meredekebb lejt® útja keresztül megy az origón, összekapcsolva azt egy egyenes vo-

nallá. Alkalmazhatjuk a Gauss-Hermite-típusú kvadratúrát, ahogy azt a 3.4.1 részben

írtuk.


Azonban r páratlan értékeire a Gauss-kvadratúra formulát, mint egy inde�nit

funkcionált használjuk. Tekintsük a következ® integrálokat:∫ 1

−1

cos(4x)

x+ 3· eiωx3

dx (3.30)

és ∫ 1

−1

√x+ 6 · eiωx5

dx. (3.31)

Az alappontok elhelyezkedését mutatja a 3.6 ábra ((3.30) esetén) r = 3 eset és a

3.7 ábra ((3.31)) r = 5 esetben. Az ábrák tartalmazzák az alappontokat az integrálok

végpontjaiban, ±1-ben. Az eredményeket ω különböz® értékeire mutatjuk. A kvadra-

túra pontok hozzájárulása a stacionárius pontokhoz egy sima, a két legmeredekebb

lejt®j¶ út által határolt görbének t¶nik.

3.6. ábra.

A kvadratúra alappontok helyzete r = 3 esetén [−1, 1]-en ((3.30) integrálhoz), ω = 2 nek megfelel®en

(bal), ω = 10 (közép) és ω = 100 (jobb). 8 pont lett kiszámolva minden egyes integrálhoz.

3.5. Még általánosabb oszcillációs függvények 45

3.7. ábra.

A kvadratúra alappontok helyzete r = 5 esetén [−1, 1]-en ((3.31) integrálhoz), ω = 2-nek megfelel®en

(bal), ω = 10 (közép) és ω = 100 (jobb). 8 pont lett kiszámolva minden egyes integrálhoz.

3.5. Még általánosabb oszcillációs függvények

Ezidáig �gyelmünket inkább a (3.3)-ban említett integrálokra korlátoztuk, mint

a sokkal általánosabb (3.1) formulára. Most megmutatjuk, hogy az általános oszcil-

lációs g(x) esetének felölelése nem követel új kvadratúraformulát. Az oszcillációs in-

tegrálok kiértékelése végrehajtható a korábbi részekben megkonstruált kvadratúrafor-

mulával bármilyen g(x) oszcillációs függvény esetén.

3.5.1. Globális helyettesítés

Az egyszer¶ség kedvéért el®ször is tegyük fel, hogy a g(x) rezgéskelt® oszcillátor-

nak a ξ = 0-ban egy (r − 1)-edrend¶ stacionárius pontja van és ξ ∈ (a, b). Ezekkel

a feltételekkel ez arra csábít minket, hogy az x = u(y) helyettesítést vegyük �gye-

lembe. Tegyük fel továbbá, hogy ez a helyettesítés kielégíti a g(u(y)) = yr egyen-

letet. Feltevéseink miatt u(y) függvény garantáltan létezik és invertálható az [a, b]

intervallumon. Ezzel a megközelítéssel kapjuk:∫ b

a

f(x) · eiωg(x)dx =

∫ u−1(b)

u−1(a)

f(u(y)) · u′(y) · eiωyrdy. (3.32)

Így a problémát visszavezettük a korábban tárgyalt integrálra. A (3.32)-es integrált

hatékonyan ki tudjuk értékelni, miután az integrációs görbét eltoltuk a legmere-


dekebb lejt®j¶ útra.

3.16. Megjegyzés. A helyettesítés nem függ ω-tól, ezért minden aszimptotikus hi-

babecslés a továbbiakban is fennáll.

3.5.2. A számítás lokalizálása

Az x = u(y) helyettesítés talán fáradtságos, hogy a gyakorlatban megkonstruáljuk,

különösen az x = ξ stacionárius ponton kívül. Egy sokkal gyakorlatiasabb for-

mulához jutunk, mihelyst eltoljuk a legmeredekebb lejt®¶ útra, �gyelembe véve a

g(x) oszcillátort.

Mégis, a gyakorlatban csak lokális számítást követel meg. Ezenkívül, ez a

megközelítés könnyedén általánosítható többszörös stacionárius pontok esetén is.

El®ször a végpontokat vesszük �gyelembe. A (3.4) általános formulája a következ®:

g(hx(p)) = g(x) + ip, x ∈ {a, b}. (3.33)

Ez a következ® vonalintegrálhoz vezet:

I[f ;hx] = eiωg(x)

∫ ∞0


Ahogy azt már korábban is láttuk, ez alkalmas a Gauss-Laguerre kvadratúrához. A

h′x(p) derivált megkapható (3.33) di�erenciálásával, amely

h′x(p) =i

g′(hx(p)).

ξ stacionárius pontban eltoljuk a legmeredekebb lejt®j¶ útra, amely kilégíti:

g(hξ,j(q)) = g(ξ) + iqr. (3.34)

Ennek az egyenletnek r darab analitikus megoldása van, ha q elég kicsi. Ahogy azt

korábban láttuk, csak két lényeges megoldása van: hξ,j1 , hξ,j2 . Ezek két vonalin-

tegrálhoz vezetnek a következ® formulában:

I[f ;hξ,jm ] = eiωg(ξ)∫ ∞

0

f(hξ,jm(q)) · h′ξ,jm(q) · e−ωqrdq, m = 1, 2.

A deriváltak adottak:

h′ξ,jm(q) = irqr−1 1

g′(hξ,jm(q)).

Ez a közelítés alkalmas, hogy elvégezzük a g(x) = yr helyettesítést lokálisan az x = ξ

pontban.


3.17. Megjegyzés. A korábban megkonstruált kvadratúraformula ismét alkalmaz-

ható.

A két vonalintegrál kombinálható a stacionárius pontban. Az egyetlen különbség,

összehasonlítva a g(x) = xr esettel az, hogy a hξ,j(q) útgörbe nem hosszabb az

egyenes útnál.

3.6. Példa. Tekintsük a következ® integrált:

I =

∫ 1

−1

(cos(x) + sin(x)) · eiω(x4+4x3)dx.

A rezgéskelt® g(x) = x4 + 4x3-nek másodrend¶ stacionárius pontja van a ξ = 0-ban.

Jegyezzük meg, hogy a kvadratúra pontok a Gauss-Laguerre kvadratúra pontoknak

megfelel®en a legmeredekebb lejt® útján helyezkednek el. A többi pont a két út közötti

bels® részben marad a stacionárius pontoknál. Összehasonlításként, a legmeredekebb

lejt®j¶ út a g(x) = x3-nek felel meg, melyet a 3.8 ábrán mutatunk. Az út, mely a

g(x) = x4 + 4x3-nek felel meg és kvalitatíve hasonlóan viselkedik ξ = 0-ban, de ezek

hajllottak.

3.8. ábra.

A g(x) = x4 + 4x3-nek megfelel® legmeredekebb lejt®j¶ út (folytonos vonal); a g(x) = x3-nek megfelel®

legmeredekebb lejt®j¶ út (szaggatott vonal) és a kvadratúrxa pontok helyzete ω = 1-nek megfelel®en.

4. fejezet

Függelék

Végül, levezetésként nézzünk meg néhány programot, melyek jól illusztrálják a

legmeredekebb lejt®r®l elmondottakat. Csak a speciális g(x) = xr esettel foglalkozunk,

amikor a = −1 és b = 1.

A 4.1 ábrán azt �gyelhetjük meg, hogy r = 3 esetén h1(p)-nek mi az emlegetett

három megoldása. Ezeket jelöltük kékkel. Ezek közül tényleg van egy és csakis egy

olyan, ami az 1-b®l indul. Ábrázoltuk még a ξ = 0 stacionátius pontban is a leg-

meredekebb lejt®ket, melyeket piros színnel tüntettünk fel. És végül berajzoltuk a

komplex egységkört is, aminek segítségével jobban láthatjuk, hogy a megoldások

csak egymás elforgatottjai.

4.1. ábra.

r = 3 esetén h1(p) görbéi (kék)

A kedves olvasó is meggy®z®dhet róla, ha beírja a Maple-be az alábbi paran-

48

49

csot:

plot({

[Re(root[3](1.0+I*p)),Im(root[3](1.0+I*p)),p=0..20],

[Re((-1/2+I*sqrt(3)/2)*(root[3](1.0+I*p))),

Im((-1/2+I*sqrt(3)/2)*(root[3](1.0+I*p))),p=0..20],

[Re((-1/2-I*sqrt(3)/2)*(root[3](1.0+I*p))),

Im((-1/2-I*sqrt(3)/2)*(root[3](1.0+I*p))),p=0..20],

[Re(root[3](I*p)),Im(root[3](I*p)),p=0..20],

[Re((-1/2+I*sqrt(3)/2)*(root[3](I*p))),

Im((-1/2+I*sqrt(3)/2)*(root[3](I*p))),p=0..20],

[cos(p),sin(p),p=0..2*Pi]},

scaling=constrained,

thickness=2,

color=[green,blue,red,blue,blue,red],

labels=[Re,Im]);

Ugyanezt a jelenséget �gyelhetjük meg a 4.2 ábrán, csak most az r = 4-nek

megfelel® h1(p) esetén. Ennek négy megoldása van, de ezek is csak egymás elforga-

tottjai és egyértelm¶en létezik egy, amelyik az 1-b®l indul.

4.2. ábra.

r = 4 esetén h1(p) görbéi (kék)

50

Ezt az ábrát az alábbi Maple parancs hozza létre:

plot({

[Re(root[4](1.0+I*p)),Im(root[4](1.0+I*p)),p=0..20],

[Re((I)*(root[4](1.0+I*p))),Im((I)*(root[4](1.0+I*p))),p=0..20],

[Re((-1)*(root[4](1.0+I*p))),Im((-1)*(root[4](1.0+I*p))),p=0..20],

[Re((-I)*(root[4](1.0+I*p))),Im((-I)*(root[4](1.0+I*p))),p=0..20],

[Re(root[4](I*p)),Im(root[4](I*p)),p=0..20],

[Re((-1)*(root[4](I*p))),Im((-1)*(root[4](I*p))),p=0..20],

[cos(p),sin(p),p=0..2*Pi]},


thickness=2,

color=[blue,green,blue,blue,red,red],

labels=[Re,Im]);

Az alábbi ábrasorozat r párartlan értékeire mutatja be a legmeredekebb lejt®

konstrukcióját r = 3-tól kezdve. Érdemes meg�gyelni, hogy az egyenesek által

bezárt szög egyre inkább kiegyenesedik, amin nem is szabad meglep®dnünk, hisz

említettük, hogy páratlan r-ek esetén a két egyenes r−1rπ szögben metszik egymást,

limr→∞

r − 1

rπ = π. Továbbá, érdemes azt is meg�gyelni, hogy az egyes ágak egyre

gyorsabban simulnak rá az egyenesekre.

r=3

r=5

51

r=7

r=9

r=11

Ugyanezt a páros r-ekre elvégezve, egy olyan ábrasorozatot kapunk, ahol az egye-

nesnek a valós tengellyel bezárt szöge egyre kisebb. Szintén nem meglep®, ha visz-

szagondolunk, hogy az egyeneseknek a valós tengellyel bezárt szöge π2r, limr→∞

π

2r= 0.

Itt is meg�gyelhet®, hogy az egyes ágak egyre gyorsabban simulnak rá az egyene-

sekre.

r=2

r=4

52

r=6

r=8

r=10

Kipróbálhatja a kedves olvasó is, hogy tetsz®leges r esetén hogy néz ki a leg-

meredekebb lejt®, ha elkészíti az alábbi procedúrát a Maple-ben:

gorbe:=proc(r)

if(modp(r,2)=0)

then

plot({

[Re(root[r](1.0+I*p)),Im(root[r](1.0+I*p)),p=0..20],

[Re((-1)*(root[r](1.0+I*p))),Im((-1)*(root[r](1.0+I*p))),p=0..20],

[Re(root[r](I*p)),Im(root[r](I*p)),p=0..20],

[Re((-1)*(root[r](I*p))),Im((-1)*(root[r](I*p))),p=0..20]},


color=[green],thickness=2,

labels=[Re,Im]);

else

plot({

[Re(root[r](1.0+I*p)),Im(root[r](1.0+I*p)),p=0..20],

[Re((cos(Pi*(r-1)/r)+I*sin(Pi*(r-1)/r))*(root[r](-1.0+I*p))),

Im((cos(Pi*(r-1)/r)+I*sin(Pi*(r-1)/r))*(root[r](-1.0+I*p))),p=0..20],

[Re(root[r](I*p)),Im(root[r](I*p)),p=0..20],

[Re((cos(Pi*(r-1)/r)+I*sin(Pi*(r-1)/r))*(root[r](I*p))),

Im((cos(Pi*(r-1)/r)+I*sin(Pi*(r-1)/r))*(root[r](I*p))),p=0..20]},


53

color=[blue],

thickness=2,

labels=[Re,Im]);

fi;

end;

Ne feledjük, a parancssor beírása még kevés, minden sort aktivizálni kell (például

enter leütéssel)! Ezután, például az r = 25-nek megfelel® legmeredekebb lejt®t a

gorbe(25) paranccsal tudjuk megszemlélni.

Köszönetnyilvánítás

Szeretnék köszönetet mondani Gergó Lajos Tanár Úrnak, aki bevezetett a Nu-

merikus analízis szépségeibe és aki nélkül nem jöhetett volna létre ez a dolgozat.

Köszönöm odaadó munkáját és türelmét, hogy a rengeteg elfoglaltsága ellenére is

elvállalta a témavezetést és id®t szakított a konzultációkra.

Kiemelten szeretnék köszönetet mondani Sigray István Tanár Úrnak, aki a

komplex függvénytanos részekben nyújtott nagy segítséget.

Továbbá, szeretném megköszönni Kovács Balázsnak, hogy a Latex-ben oly

sokat segített és sok jó ötletet adott a dolgozattal kapcsolatban.

Végül, de nem utolsó sorban szeretnék köszönetet mondani mindazoknak, akik

támogattak és megteremtették a lehet®séget, hogy nyugodtan, csak a tanulmányaimra

koncentrálva tudjam végig csinálni ezeket az éveket.

54

Irodalomjegyzék

[1] Gergó L.: Numerikus módszerek, Numerikus integrálás, ELTE jegyzet, ELTE

Eötvös Kiadó, Budapest (2000).

[2] Móricz F.: Numerikus Analízis I., Közelít® di�erenciálás és integrálás, JATE

jegyzet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (1983).

[3] A. Deaño, D. Huybrechs: Complex Gaussian quadrature of oscillatory

integrals, Numerische Mathematik, Springer-Verlag, Berlin (2009).

[4] D. Huybrechs, S. Vandewalle: On the evaluation of highly oscillatory

integrals by analitic continuation, K.U. Leuven, Belgium (2005).

[5] Halász G: Bevezet® komplex függvénytan, Lokális értékeloszlás, ELTE

jegyzet, Budapest (1998).

55

Documents

Numerikus integrálás és az oszcillációs integrandusok ... · Bevezetés A klasszikus analízisben az integrálok explicit kiszámításának alapját képez® Z b a f(x)dx= F(b)