NUMERIKA Sastavljeno v1_ispravno (1)

1. Nabrojati faze u rješavanju tehničkih problema

Faze u rješavanju tehničkih problema predstavlja modelovanje problema, odnosno pisanje matematičkih modela koji opisuju naš problem. U većini slučajeva model je samo aproksimacija stvarnog problema te usljed toga dolazi do neotklonjivih (inherentnih) grešaka. Drugu fazu čini odabir numeričkog metoda za rješavanje datog problema, koji po svojoj prirodi kao numerički metod daje samo približno rješenje pa zbog toga imamo i greške metoda. Treću fazu predstavlja računarski program koji obavlja pseudo aritmetičke operacije, te usljed toga dolazi do zaokruživanja i odsijecanja čime se dodatno unosi još i greška zaokruživanja koja zavisi od tačnosti računara i broja aritmetičkih operacija koje trebaju da se izvrše.

2. Koje vrste grešaka imamo

Greške mogu biti inherentne (neotklonjive), koje nastaju usljed modelovanja nekog problema jer u većini slučajeva modelovanje problema predstavlja samo aproksimaciju stvarnog problema, zatim imamo početnu grešku odnosno grešku ulaznih podataka koja nastaje kada su ulazni podaci samo približno tačni. Greške metoda, koje nastaju usljed korištenja numeričkog metoda za rješavanje nekog problema, jer svi numerički metodi kao izlaz daju samo približna rješenja. Greške zaokruživanja i odsijecanja, koje nastaju kada smo primorani da brojeve sa velikim brojem cifara zamjenimo približnim brojem sa manjim brojem cifara. One su karakteristične za računanje na računarima jer računari obavljaju pseudo aritmetičke operacije.

3. Koja od grešaka pri rješavanju problema ima dominantan uticaj

Dominantan uticaj imaju inherentne odnosno neotklonjive greške, kao što su greške nastale usljed matematičkog modelovanja problema (aproksimacije stvarnog problema), greške ulaznih podataka kao i mašinske greške (nastale usljed zaokruživanja i odsijecanja).

4. Šta je apsolutna greška, a šta granica apsolutne greške

Vrlo često predznak greške približnog broja nije poznat pa se uvodi i pojam apsolutne greške približnog broja, odnosno:

|∆a|=|A−a|Takođe u većini slučajeva tačan broj A nam nije poznat, što

implicira da ne možemo odrediti apsolutnu grešku približnog broja.

Zbog toga, da bi procijenili u kojim se granicama nalazi broj A na

osnovu njegove približne vrijednosti a , uvodimo pojam granice

apsolutne greške. Granica apsolutne greške |∆a|max

približnog broja je svaki broj koji nije manji od apsolutne greške tog broja, odnosno:

|∆a|≤|∆a|maxa−|∆a|max≤ A≤a+|∆a|max

5. Šta je relativna greška, a šta granica relativne greške

Relativna greška δ a približnog broja a je količnik greške

približnog broja ∆ a i tačnog broja A , odnosno približnog broja

a i vrijedi:

δ a=∆aA

≅ ∆aa

Takođe i kod relativne greške zbog nepoznavanja predznaka, uvodimo pojam apsolutne relativne greške približnog broja na slijedeći način:

|δa|=|∆aA |≅|∆ aa |Granica apsolutne relativne greške |δa|max približnog broja

a je svaki broj koji nije manji od apsolutne relativne greške tog broja:

|δa|max=|∆ amaxA |≅|∆amax

a |6. Šta su značajne a šta sigurne cifre broja

Svaka cifra broja, izuzimajući nule koje služe za fiksiranje decimalnog mjesta, naziva se značajnom cifrom broja. Značajna cifra broja je sigurna cifra ako greška tog broja nije veća od polovine jedinice date cifre, odnosno ako vrijedi:

|∆a|≤ 12∙ bk−n

Kaže se da a aproksimira A sa n značajnih cifara ako

|∆a| ne prelazi jedinicu n-tog mjesta mantise.

7. Definicija zaokruživanja brojeva i pravila zaokruživanja

Zaokruživanje broja je formiranje približnog broja sa manjim brojem cifara, pri čemu je greška najmanja (pored zaokruživanja postoji i prosto odsijecanje kod koga se cifre samo odbacuju). Pravila zaokruživanja brojeva se mogu generalisati na način:

- Ako je posljednja zadržana cifra ispred cifre manje od pet, tada se sve preostale cifre jednostavno odbacuju.

- Ako je posljednja zadržana cifra ispred cifre veće od pet, tada se posljednja zadržana cifra poveća za jedan a ostatak odbacujemo.

- Ako je posljednja zadržana cifra ispred cifre jednake pet, tada se koristimo pravilom parne cifre i to na način da ako je posljednja zadržana cifra parna, samo odbacujemo ostatak, a ako je neparna uvećemo za jedan posljednju zadržanu cifru a ostale odbacujemo.

8. Šta je približan broj, a šta greška približnog broja

Približan broj je broj koji zamjenjuje tačan broj u aritmetičkim

operacijama. Odnosno možemo reći da približan broj a predstavlja

broj koji se neznatno razlikuje od tačnog broja A i koji zamjenjuje

tačan broj u proračunima. Razlika:

∆ a=A−a

naziva se greška približnog broja a .

9. Značajne i sigurne cifre i postupak zaokruživanja

Svaka cifra broja, izuzimajući nule koje služe za fiksiranje decimalnog mjesta, naziva se značajnom cifrom broja. Značajna cifra broja je sigurna cifra ako greška tog broja nije veća od polovine jedinice date cifre, odnosno ako vrijedi:

|∆a|≤ 12∙ bk−n

Kaže se da a aproksimira A sa n značajnih cifara ako

|∆a| ne prelazi jedinicu n-tog mjesta mantise.

Zaokruživanje broja je formiranje približnog broja sa manjim brojem cifara, pri čemu je greška najmanja (pored zaokruživanja postoji i prosto odsijecanje kod koga se cifre samo odbacuju). Pravila zaokruživanja brojeva se mogu generalisati na način:

- Ako je posljednja zadržana cifra ispred cifre manje od pet, tada se sve preostale cifre jednostavno odbacuju.

- Ako je posljednja zadržana cifra ispred cifre veće od pet, tada se posljednja zadržana cifra poveća za jedan a ostatak odbacujemo.

- Ako je posljednja zadržana cifra ispred cifre jednake pet, tada se koristimo pravilom parne cifre i to na način da ako je posljednja zadržana cifra parna, samo odbacujemo ostatak, a ako je neparna uvećemo za jedan posljednju zadržanu cifru a ostale odbacujemo.

10. Objasniti mašinsku grešku dva tačna broja

Pretpostavimo da su x i y tačni brojevi i razmatrajmo samo

greške nastale usljed zaokruživanja. Pseudo aritmetičke operacije se definišu na osnovu jednakosti:

( x⊕ y )=( x+ y ) (1+θ )

( x⊖ y )=( x− y ) (1+θ )

( x⊗ y )=( x ∙ y ) (1+θ )

( x⊘ y )=( x : y ) (1+θ )U ovim jednakostima θ je broj čiji je modul mnogo manji od

jedan, i zavisi od tačnosti sa kojom računar radi, te predstavlja relativnu mašinsku grešku koja nastaje usljed zaokruživanja ili odsijecanja rezultata pri radu na realnom računaru. Tako na primjer za mašinsko sabiranje dva broja imamo:

( x⊕ y )=( x+ y ) (1+θ )

( x⊕ y )=( x+ y )+θ ( x+ y )⇒

θ=( x⊕ y )−( x+ y )

x+ yČime smo dobili relativnu mašinsku grešku koju računar učini

prilikom sabiranja, usljed zaokruživanja i odsijecanja. Maksimalna apsolutna relativna greška kod zaokruživanja zavisi od broja značajnih

cifara sa kojima računar radi, pa tako ako imamo slučaj od n

značajnih cifara tada je:

|θ|≤|θ|max=12∙10−n+1

11. Šta su greške pseudo aritmetičkih operacija

Greške pseudo aritmetičkih operacija predstavljaju mašinske greške. Nastaju zbog računanja na računarima (računari obavljaju pseudo aritmetičke operacije) kao posljedica ograničene dužine riječi, odnosno činjenice da računar radi sa konačnim brojem cifara, te usljed toga dolazi do zaokruživanja i odsijecanja. Važno je napomenuti da pri sabiranju više brojeva treba obratit pažnju na redoslijed sabiraka, jer u slučaju da sabiremo prvo veće pa manje brojeve dolazi do veće greške. Odnosno redoslijed sabiraka treba da ide od manjih ka većim brojevima.

12. Apsolutna i relativna greška sabiranja dva približna broja na idealnom računaru

A+B=a+∆a+b+∆b=(a+b )+(∆a+∆b )Pri čemu je (a+b ) približna vrijednost, a

∆ (a+b )=(∆a+∆b )greška sabiranja brojeva. Za praktična računanja mnogo je pogodnije nalaziti relativnu grešku odnosno:

δ a+ b=∆a+∆bA+B

≅ ∆a+∆ba+b

=¿

¿ aa+b

∆aa

+ ba+b

∆bb

= aa+b

δ a+b

a+bδ b

13. Apsolutna i relativna greška oduzimanja dva približna broja na idealnom računaru

A−B=(a+∆a )−(b−∆b )=(a−b )+(∆a−∆b )Pri čemu je (a−b ) približna vrijednost oduzimanja dva

broja, a ∆a−b=(∆a−∆b ) greška oduzimanja

brojeva. Kao i kod sabiranja, za praktična računanja pogodnije je naći relativnu rešku odnosno:

δ a−b=∆ a−∆bA−B

≅ ∆a−∆ba−b

=¿

¿ aa−b

∆aa

− ba−b

∆bb

= aa−b

δa−b

a+bδb

Primjetimo da kritičan slučaj nastupa kada su brojevi a i b bliski

(približno jednaki) jer tada su težinski koeficijenti veliki, te relativna

greška može biti znatno veća od relativne greške brojeva a i b .

14. Apsolutna i relativna greška množenja dva približna broja na idealnom računaru

A ∙B=(a+∆a ) ∙ (b+∆b )=¿

¿ (a ∙b )+(a∙∆ b+b ∙∆a+∆a ∙∆b )Pri čemu je (a ∙b ) približna vrijednost množenja dva broja, a

∆a ∙b≅ (a ∙∆b+b ∙∆a ) greška množenja

brojeva, pri čemu je proizvod (∆ a∙ ∆b ) zanemaren,

obzirom da je u pitanju množenje dva veoma mala broja. Relativna greška množenja je:

δ a ∙b=a∆b+b ∆a+∆a∆b

A ∙B≅ a∆b+b∆a

a ∙b=¿

¿ ∆bb

+∆aa

=δb+δa

15. Apsolutna i relativna greška dijeljenja dva približna broja na idealnom računaru

AB

=a+∆ ab+∆b

=a+∆ ab+∆b

∙b−∆bb−∆b

=¿

¿ ab−a∆b+b∆a−∆ a∆b

b2−b ∆b+b∆ b+(∆b )2≅ ab+b ∆a−a∆b

b2=¿

¿ abb2

+ b∆ab2

−a ∆b

b2=ab

+ ∆ab

−ab∆bb

=¿

¿ ab

+ ab ( ∆aa −∆b

b )=ab

+ ab

(δa−δb )

Pri čemu je a /b približna vrijednost a

∆a /b=a (δ a−δ b )/b greška dijeljenja dva broja.

Kao i u predhodnim slučajevima, od značaja nam je da odredimo relativnu grešku dijeljenja dva broja:

δ ab

=∆ a

b

AB

≅∆a

b

a+∆ab+∆b

=

ab

(δ a−δ b )

a(1+∆aa )

b (1+∆bb )

=

ab

(δa−δb )

ab

1+δa1+δb

=¿

¿δ a−δ b

1+δ a

1+δ b

=δa−δb+δaδ a−δ aδ b

1+δ a

≅δ a−δ b

1+δ a

=¿

¿δ a−δ b

1+δ a

1−δ a

1−δ a

=δa−δb−δ aδb+δ bδ b

1−δb+δb−δbδ b

≅ δ a−δb

Zaključujemo da je greška količnika približnih brojeva jednaka razlici relativnih grešaka brojnika i nazivnika, slično kao što je kod proizvoda zavisila od zbira relativnih grešaka ta dva broja. Problem pri dijeljenju

nastaje za slučaj kada imamo |b|≪a.

16. Može li se ukupna pseudo aritmetička greška rastaviti

Razlika između tačnog zbira i mašinskog zbira:

X1+X2−(x1⊕ x2 )=¿

¿ X1+X 2−(X1−∆ x1+X2−∆ x2 ) (1+θ )=¿

¿ (∆x1+∆ x2 )− (X1+X2 )θ+(∆ x1+∆ x2 )θ

Kao što vidimo ukupna greška sastoji se iz tri dijela, i to prvi dio

(∆x1+∆ x2 ) je greška koja je nastala usljed zaokruživanja

ulaznih brojeva (ulazni brojevi su približno tačni), drugi dio

−( X1+X2 )θ predstavlja mašinsku grešku i naravno

treći dio (∆x1+∆ x2 )θ je član koji spreže (koji je

kombinacija) predhodne dvije greške. Vidimo da ne možemo separirati grešku zbog člana koji predstavlja kombinaciju grešaka.

Međutim obzirom da su ∆ x1 ,∆ x2 i θ mali brojevi to

znači da član koji predstavlja kombinaciju grešaka može se zanemariti

jer (∆x1+∆ x2 )θ→0 , pa onda kažemo da je

ukupna greška jednaka zbiru grešaka ulaznih brojeva i mašinske greške.

17. Šta je A'priorna a šta A'posteriorna ocjena greške

A'priorna ocjena greške predstavlja metod kojim procjenjujemo grešku bez vrijednosti, odnosno ona ne zavisi od samog metoda. A'posteriorna ocjena greške predstavlja metod kojim procjenjujemo učinjenu grešku na bazi vrijednosti dobijenih tokom proračuna.

18. A'priorna ocjena greške približnog broja i tačnog rješenja

Približan broj je broj koji zamjenjuje tačan broj u aritmetičkim

operacijama. Odnosno možemo reći da približan broj a predstavlja

broj koji se neznatno razlikuje od tačnog broja A i koji zamjenjuje

tačan broj u proračunima. Razlika:

∆ a=A−a

naziva se greška približnog broja a . Vrlo često predznak greške

približnog broja nije poznat pa se uvodi i pojam apsolutne greške približnog broja, odnosno:

|∆a|=|A−a|

19. Kada se kaže da je metod stabilan

Numerički metod se smatra stabilnim za određenu veličinu koraka

k , ako je greška unesena u k -tom koraku veća ili jednaka od greške

unesene u narednom, odnosno (k+1) koraku.

Osjetljiv sistem je onaj kod koga male promjene ulaznih parametara uzrokuju veliku promjenu rezultata, te ih nazivamo nestabilnim problemima.

20. Primjer nastajanja velike greške uslijed oduzimanja približnih brojeva

Ako bi smo pomoću tablica za cosh x i sinh x

računali vrijednost e− x. Kako vrijedi:

e− x=cosh x−sinh x1 °

e− x= 1cosh x+sinh x

2°

Za velike vrijednosti x imamo oduzimanje bliskih brojeva. Kako na

primjer za x=10 imamo:

cosh 10=¿11013.23292¿

sinh 10=11013.23287To znači da primjenom formule 1 ° imamo oduzimanje bliskih

brojeva i vrijedi da je:

e−10=0.00005Kao što vidimo ova vrijednost ima jednu značajnu cifru iako smo

polazne brojeve uzeli sa po deset značajnih cifara. Dok korištenjem

formule 2 ° dobijamo:

e−10=0.00004539992956Tačna vrijednost data sa deset značajnih cifara iznosi:

e−10=0.00004539992976Te prema tome vidimo da je zbog oduzimanja bliskih brojeva

relativna greška znatno veća. Uzmemo li za x=20 po deset

značajnih cifara, korištenjem formule 1 ° gubimo sve značajne cifre

broja.

21. Zaokružiti brojeve na dvije značajne cifre

Zaokružiti brojeve x1=2.7500 i

x2=0.125000 na dvije značajne cifre. Na osnovu

pravila zaokruživanja brojeva koje kaže: „Ako je posljednja zadržana cifra ispred cifre jednake pet, tada se koristimo pravilom parne cifre i to na način da ako je posljednja zadržana cifra parna, samo odbacujemo ostatak, a ako je neparna uvećemo za jedan posljednju zadržanu cifru a ostale odbacujemo“ dobijamo rješenje, odnosno

brojeve x1 i x2 zaokružene na dvije značajne cifre i to:

x1=2.8 x2=0.12

22. Zaokružiti broj e na 3,4,5 i 6 značajnih cifara

Zaokružiti broj e=2.7182818 na

3,4,5 i 6 značajnih cifara, a onda odrediti granice apsolutnih

grešaka zaokruživanja broja.

Zaokruživanje na 6 značajnih cifara:

e=2.7182818e=2.718282e6=2.71828

|∆e|=|e−e6|=¿¿0.0000018

δ e=∆ee6

=¿

¿6.62183 ∙10−7

Zaokruživanje na 5 značajnih cifara:

e5=2.7183|∆e|=|e−e5|=¿¿0.0000182

δ e=∆ee5

=¿

¿6.6594 ∙10−6

Zaokruživanje na 4 značajne cifre:

e4=2.718|∆e|=|e−e4|=¿¿0.0002818

δ e=∆ee4

=¿

¿0.0001037Zaokruživanje na 3 značajne cifre:

e3=2.72|∆e|=|e−e3|=¿¿0.001782

δ e=∆ee3

=¿

¿0.006317

23. Odrediti značajan broj cifri

Neka je a=42.00 približan broj, tačnog broja

A=41.95 odrediti broj značajnih cifri broja a .

∆ a=A−a=0.05Posmatramo poslijednju cifru broja a , odnosno polovinu jedinice

poslijednje cifre i poredimo sa greškom tog broja, te ako greška nije vaća od polovine jedinice date cifre, promatrana cifra je sigurna.

Broj a ima četiri značajne cifre, ali samo tri su i sigurne.

24. Objasniti pojam stabilnosti numerickog postupka?

Čak i kada imamo tačne ulazne podatke, zbog ograničenosti formata brojeva n javljaju se greške zaokruživanja , za koje ne vrijede klasična pravila aritmetike. A taj način nastaju inherentne ili

neodstranjive greške.U vezi sa tim greškama uvodi se i pojam stabilnosti numeričkog postupka. Kaze se da je numerički postupak stabilan ako pri njegovom korištenju računska ili greška zaokruživanja neznatno raste.U protivnom, metod je nestabilan. Zbog toga, treba izbjegavati korištenje nestabilnih numeričkih metoda kod kojih male greške zaokruživanja mogu dovesti do velikih razlika između stvarnog i dobijenog rješenja.

25. Objasniti grešku izabranog metoda u fazi rješavanja problema?

Svaki fizički ili tehnički problem koji za ulaznu informaciju ima numeričke podatke uvijek je praćen pojavom grešaka. Zbog toga je analiza grešaka sastavni dio ovih problema, pogotovo ako se aksperimentalni ili drugi podaci obrađuju na računarima.

26. O čemu se mora voditi računa pri izboru numeričkog postupka za rješavanje konkretnog matematski definisanog zadatka?

U numeričkoj analizi nailazimo na takve procese čija bi realizacija beskrajno trajala. To je, na primjer, izračunavanje beskonačnih sumi, razni iterativni procesi itd. U praktičnom izračunavanju kod takvih procesa prinuđeni smo da postupak prekinemo poslije konačnog broja koraka. Cilj numeričke analize nije samo u tome da razvija metode koje daju rezultate sa velikom tačnošću. Treba voditi računa da izračuvavanje traje što kraće, tj. da se rezultati dobijaju sa mali brojem operacija.

27. Kako se dijele nelinearne jednačine?

Nelinearne jednačnine se dijele na algebarske i transcedentne jednačine.

28. Vrste nelinearnih jednačina obzirom na funkcije za koje tražimo korijene?

Funkcija f (x) je algebarska ako je za odredjivanje njene

vrijednsoti u tacki x potrebno izvrsiti samo operacije sabiranja,

oduzimanja, mnozenja dijeljenja i stepenovanja sa racionalnim eksponentom. Ako se pri računanju vrijednosti javlja stepenovanje samo cijelim brojevima tada su takve funkcije racionalne. Funkcija je iracionalna ako se pri odredjivanjeu njenje vrijednosi mora vršiti korijenovanje.Sve algebarske funkcije su racionalne ili iracionalne.Transcedentne funkcije čine drugu veliku klasu funkcija. To su nealgebarske funkcije (eksponancijalne,logaritamske, trigonometrijske itd.).Zbog svega toga potrebno je korištenje pribliznih metoda. U praksi je često dovoljno znati približno rješenje sa unaprijed odredjenom tačnošću.

29. Koja je metoda najbolja za određivanje nelinearnih jednačina?

Metoda tangente je najbolja, iako ima svoje prednosti i mane. Jednostavnija je od metode iteracije, ali nazalost vodi ka metodi sa linearnom konvergencijom. Aproksimacija izvoda ove metode je brža nego kod metoda sekante. Iako je ovaj metod najbolji ne funkcioniše uvijek.Postoji kombinovani metod (metod tangente i sekante), ali je metod tangente bolji pa nema smisla to radit kombinovano.

30. Kada smo sigurni da se u nekom segmentu nalazi tačno jedan korijen nelinearne jednačine?

Jednačina f (x)=0može se prikazati na bezbroj načina u

ekvivalentnom obliku x=g(x ). Pretpostavimo da jednačina

(1) ima samo jedno rješenje x=ξ na segmentu [a ,b] i da

je x→ g(x ) diferencijabilna funkcija na ovom segmentu.

Neka je x 0∈[a ,b ]. Pomoću jednačine (1) možemo

formirati iterativni postupak:

(2)x k+1=g (x k)(k=0,1 , ...),Iz kojeg izlazi niz:

x0 , x1 ,... , xk , xk+1, .. .Ako ovaj niz konvergira, označimo njegovu graničnu vrijednost sa ξ ,

za koju je ξ=g(ξ), tj. ξ je nepokretna tačka. Umjesto niza

(3) možemo posmatrati niz:

e0 , e1 ,.... , ek , ek +1, .. .gdje je ek=xk−ξ greška u k-tom iterativnom koraku.

Odredimo uslove koje treba da ispunjava funkcija

x→ g(x ) da niz (3) konvergira. Ako oduzmemo lijeve i

desne strane jednakosti (2¿ i ξ=g (ξ) , nalazimo

X k+1−ξ=g (xk)−g (ξ)Primjenimo li Lagrangeovu teoremu o konačnom priraštaju na desnu stranu ove jednakosti, imamo

X k+1−ξ=g ' (ηk )(xk−ξ ),Tj. ek+1=g ' (ηk )ek ,Gdje se η k nalazi između xk i ξ.

31.Kako se dijele metodi za određivanje greške korijena nelinearne jednačine?

Metod sečice, metod polovljenja intervala, Newton-Raphsonov metod, metod regula falsi,metod proste iteracije.

32. Metode za određivanje početnog rješenja kod nelinearne jednačine f(x)=0?

Većina riješenja realne jednačine f(x)=0 zahtjeva poznavanje početnog intervala [a,b] u kom se nalazi tačno riješenje ili x_0 početno riješenje koje nije daleko od stvarnog riješenja (više metoda koje zahtjeva x_0 – početno riješenje). Ako dođemo do intervala [a,b] na kojem funkcije mijenja predznak, a neprekidna je tu se sigurno nalazi barem jedan korijen. Ako ima više korijena dijelimo interval na još manje dijelove.

33.Koji se metod može koristit za apriornu procjenu greške korijena nelinearne jednačine?

Ako je funkcija f ( x ) neprekidna na segmentu [a ,b ] i ako je

|f ' ( x )|≥m>0 za sve x∈ [a ,b ] tada je

|x¿−x|≤ f ( x )m

Dokaz se izvodi preko teoreme srednje vrijednosti

f ( x )−f ( x¿)=f ' (c ) ( x−x¿) gdje je c

tačka između x i x¿. Kako je f ( x¿ )=0 i

|f ' ( x¿ )|≥m tvrđenje teoreme se direktno dobija. Data

formula je značajna jer se uvjek može koristiti za ocjenu greške bez

obzira na metod koji je korišten za dobijanje približne vrijednosti. Ovakav način procjene greške u kojem se koriste vrijednosti izvedene tokom procesa nalaženja približne vrijednosti naziva se apriornom greškom.

34. Šta je red konvergencije i kako se matematički opisuje?Ako je :

limk→∞

|ek+1||ek|

q =α ≠0

Tada se q naziva redom konvergencije. Ako je q=1 kažemo da

je konvergencija linearna, ako je q>1 kažemo da je

superlinearna.

Za slučajeve q=2 i q=3 kažemo da je konvergencija

kvadratna, odnosno kubna. Da bi metod konvergirao očigledno je da

niz {|ek|}mora biti konvergentan, i da mu granična vrijednost

mora biti nula. Pa prema tome mora biti |ek +1|<|ek| pa se

odavdje očigledno vidi da ako se radi o linearnoj konvergenciji mora

biti α<1. Za slučajeve superlinearne konvergencije ovaj uslov ne

mora biti ispunjen. Ova vrijednost zavisi najčešće od funkcije f ( x ).

35. Koji metod brže konvergira, onaj sa linearnom ili onaj sa kvadratnom konvergencijom?Ukoliko se radi o linearnog konvergenciji očigledno je da mora vrijediti α<1. Za slučajeve superlinearne konvergencije ovaj uslov ne mora biti ispunjen. Svakako se do rješenja u takvim slučajevima dolazi što je vrijednost α manja. Ova vrijednost najčešće zavisi od funkcije f(x). Linearni metod je sporiji, ali ne ovisi o početnom riješenju. Kvadratni metod je brži , ali desi se brz raspad konvergencije (divergira za veće početne uslove). Zbog izvoda aproksimacije sporija je linearna konvergencija od kvadratne.

36.Prekomentarisati slučajeve različitih vrijednosti q (stepen konvergencije), posebno za q=1 (koji uslov mora biti uspunjen da bi metod konvergirao i za q=1)?Ako je :

limk→∞

|ek+1||ek|

q =α ≠0

Tada se q naziva redom konvergencije. Ako je q=1 kažemo da

je konvergencija linearna, ako je q>1 kažemo da je

superlinearna.

Za slučajeve q=2 i q=3 kažemo da je konvergencija

kvadratna, odnosno kubna. Da bi metod konvergirao očigledno je da

niz {|ek|}mora biti konvergentan, i da mu granična vrijednost

mora biti nula. Pa prema tome mora biti |ek +1|<|ek| pa se

odavdje očigledno vidi da ako se radi o linearnoj konvergenciji mora

biti α<1.

37. Izvesti metod iteracije grrafičkim putem?

Rješavamo f ( x )=0. Neka je f neprekidna i diferencijabilna

na segmentu[a ,b ] u kojem je dato početno rješenje x0 i u

kojem se nalazi korijen jednačine.

x1→x2→x3→…limk→∞

xk=¿ x¿¿

Ako je f ( x )=0 napišemo ekvivalentnu jednačinu

x=φ ( x )

Oscilovanje (ciklički) Monotonost

38. Izvesti red konvergencije kod metoda iteracije?

|xn−x¿|=|φ (xn−1 )−x¿|=|φ (xn−1 )−φ (x¿ )|=¿

¿|φ' (ξ )||xn−1−x¿| odakle slijedi

|xn−x¿||xn−1−x¿|

=|φ' (ξ )|odnosno limn→∞

¿ xn−x¿∨ ¿|xn−1−x¿|

=|φ' (x¿ )|¿

Metod ima linearnu konvergenciju jer je q=1. A q koji je

stepen nazivnika člana u limesu predstavlja red konvergencije.

(|xn−x¿|/|xn−1−x¿|1⇒ q=1)39.Konvergencija metoda iteracije za nelinearne jednačine?

|xn−x¿|=|φ (xn−1 )−x¿|=|φ (xn−1 )−φ ( x¿ )|=|φ' (ξ )||xn−1−x¿|¿ xn−x¿∨ ¿

|xn−1−x¿|=|φ ' (ξ )|⇒ lim

n→∞¿ xn−x¿∨ ¿

|xn−1−x¿|=|φ' (x¿ )|¿¿

Metod dakle ima linearnu konvergenciju pa je vidljivo da vrijednost

α=|φ' ( x¿ )| treba da bude manja od jedinice. Metod

iteracije se u primjeni vrlo često zove Gauss-Seidelov metod.

EVO VIDI NAKE KAKO TO IZGLEDA KAD SE SMANJI....

40.Pod kojim uslovima se može primjeniti metod iteracije?Da bi metod funkcionirao moraju članovi iterativnog niza x 1,x2,x3,… biti u [a,b] za bilo koju početnu aproksimaciju.To će svakako biti

ispunjeno,ako je φ([a,b])∁ [a,b].Kako je funkcija φ(x) neprekidna,onda

postoji bar jedna tačka presjeka.Uslove pod kojima metod konvergira daje teorema5 :Neka je φ:[a,b]-->R jednom diferencijabilana na [a,b],φ(x)ϵ[a,b] za svaki xϵ[a,b] i |φ‘(x)|

≤L<1,∀xϵ[a,b].Tada za proizvoljan x0 ϵ[a,b] iterativni niz definisan

metodom iteracije konvergira ka jedinstvenom riješenju jednačine x=φ(x).Dokaz:Dokažimo prvo da ne postoji vise od jednog rješenja.Pretpostavimo da su x1 i x2 dva međusobno različita rješenja.Tada je,prema Lagrangeovom teoremu srdnje vrijednosti,

|x1−x2|=|φ ( x1 )−φ(x2)|≤

|φ' (ξ)||x1−x2|≤L|x1−x2|<

|x1−x2| što je kontradikcija.Dakle,problem ima jedno i samo

jedno rješenje.Preostaje dokazati da za bilo koju početnu

aproksimaciju x0 niz konvergira ka rješenju.Imamo:

|xn−x¿|=|φ ( xn−1 )−x¿|=¿≤L

|xn−1−x¿|Odakle je:

|xn1−X¿|≤L|xn−1−X¿|≤L2|xn−2−X ¿|≤…

≤Ln|x0−X ¿| Kako je 0≤L≤1,slijedi

limn→∞

Ln=0 , limn→∞

|xn−x¿|=0 pa je

limn→∞

xn=x¿.

41.Koje su dobre a koje loše strane metoda iteracije?Problem koji se javlja kod primjene metoda iteracije je kod izbora načina zapisa jednačine f(x)=0 u obliku x=φ (x).Obično se na neki način nameće samim izgledom funkcije f(x),a da li će takav izbor konvergirati ili ne ispituje se analizom izvoda funkcije φ(x).Moguće je da ni nakon nekoliko izabranih slučajeva metoda ne garantuje konvergenciju.Stoga je poželjnije raspolagati algoritmom za nalaženje jednačine x=φ (x) uz

uslov da bude |φ' (x0)|<1.

Metodom iteracije se u odnosu na metod polovljenja interval,rezultat dobija nakon 30 iteracija.Za tačnost 10-6 rezultat se dobija nakon 15,a za tačnost 10-9 nakon 23 iteracije.Ovo je bolje neko kod metode polovljenja interval ,mada su oba metoda istog stepena konvergencije.Međutim,metod iteracije može biti jako osjetljiv u odnosu na izbor početnog rješenja.

42.Graficki ilustrirati razlicite slučajeve konvergencije metoda iteracije?Konvergencija zavisi od izvoda funkcije φ(x).U slučajevima kada primjena metoda konvergira (slučajevi b i d),polazna tačka može bit i znatno udaljenija od tačnog rješenja.Naravno,za brže nalazenja rješenja poželjno je da polazna tačka bude bliže tačnom riješenju.

43.Graficki ilustrirati razlicite slucajeve divergencije metoda iteracije?Sa slika(slučajevi a i c) se vidi da pod odredjenim uslovima bez obzira koliko polazna tačka bila blizu rješenja,ipak dolazi do divergencije.U slučajevima kada korjen ne postoji desit će se brza divergencija.

44.Na šta upučuju oscilatorne a na šta monotone vrijednosti iteracija kod primjene metoda iteracije?Oscilatorne vrijednosti upučuju na to da niz konvergira ka rješenju idući ciklično oko rješenja a monotone vrijednosto na to da niz konvergira ka rješenju približavajući mu se sa jedne strane.

45.Definisati red konvergencije kod metoda iteracijeU dokazu konvergencije metoda iteracije dobijen je izraz:

|xn−X ¿|=|φ ( xn−1 )−x¿|=¿=

|φ' (ξ)||xn−1−x¿| odakle slijedi:

|xn−X ¿||xn−1−x¿|=|φ' (ξ)|,a kada se pusti da n->∞ biće:

limn→∞

|xn−X¿||xn−1− x¿|

=|φ' (x¿)|Metod dakle ima linearnu konvergenciju,pa je I odavde vidljivo da vrijednost α=

|φ' ( x¿)|treba dabudemanjaod jedinice .Metod iteracije se u primjeni vrlo često naziva Gauss-Seidelovim metodom.

46.Kod metoda iteracije izvesti φ (x)=0?Iz jednačine :f(x)=0 slijedi λf(x)=0 slijedi x=x+λf(x)=φ(x) slijedi da je svaka funkcija oblika x+λf(x) funkcija φ(x) uz uslov λ≠0.

Kako mora biti |φ' (x0)|<1 ,izbor koji se nameće je

φ’(xo)=0.Kako je φ’(x)=1+λf ’(x),to treba biti 1+λφ’(x0)=0,odnosno λ=

−1f ' (x 0)

.

U principu,ovaj se izraz I ne mora precizno primjeniti obzirom da je

uslov konvergencije |φ' (x0)|<1.Na taj se način dobija

metod iteracije u obliku:

xk+1=xk - f (xk )f ' (x 0)

.

47.Koliko koraka treba obaviti u metodi polovljenja interval da bi se postiglo rijesenja odradjene tacnosti?Metod polovljenja interval sastoji se u tome da se segment [a,b] na kojem je ispunjen uslov f(a)f(b)<0 raspolovi,odnosno nađe polovšte c.Ako je f(c)=0 onda je korijen x*=c(malo vjerovatna ali moguča sitvacija).U suprotnom se ponovi operacija na onom od segmenata [a,c] ili[c,b] na kojem je ispunjen uslov različitosti predznaka funkcije f(x),Postupaki se dalje ponavlaj sve dok dužina segmenta ne bude manja od željene tačnosti ε.Postupan je ilustrativno prikazan na slici 3.

Metoda pod pretpostavkama u vezi neprekidnosti funkcije I izbora pocetnih vrijednosti uvjek konvergira,ali vrlo sporo.Očito nakon prvog koraka imamo:

|x3-x*|≤12

(b-a),nakon drugog koraka |x3-x*|≤1

22(b-a),odnosno

nakon k-tog koraka,

|x3-x*|≤1

2k(b-a).Ova ocjena greske naziva se apriornom jer se može

izračunati prije samog iterativnog postupka :ocjena govori da grška nije veća od odredjene vrijednosti ,a ne I kolika je njena vrijednost.Ovo znaći da se prije samog iterativnog postupka može izračunati broj potrebnih koraka da se postigne željena tačnost.Cilj je da bude:

|x3-x*|≤1

2k(b-a)≤ε,odakle se može naći

(b−a)ε

≤2k slijedi

k≥log2 (b−a)

ε.Ovo bi vrijedilo ukoliko nebi bilo greške

zaokruživanja.Konvergencija postupka je LINEARNA(dakle spora)obzirom da je

ek+1

ek≈

(b−a)2k+1

(b−a)2k

=12

.

Greška svakog narednog koraka približno je jednaka polovini predhodne greške.

48.Izvesti metod tangent analitičkim postupkom?Neka je x* izolovani korjen jednačine f(x)=0 na segment [a.b] I neka su f’(x) f’’(x) neprekidne funkcije sa stalnim znakom na segment [a,b].Uzme li se proizvoljna tačka x0ϵ[a,b] I razvije li se funkcija u Taylorov red u okolini tačke x0,za vrijednost x* biće:

f(x*)=f(x0)+f ' (x0)1!

(x*-x0)+f ' ' (c)2 !

(x*-x0)2

gdje je c tačka koja leži između tačaka x 0 i x*.Predpostavljajući da je segment u kojem se nalazi korijen mali(on se uvjek može smanjiti metodom polovljenja interval),može se odbaciti član desne strane gornje jednakosti,poslije čega se dobija

0=f(x*)≈f(x0)+f ' (x0)1!

(x*-x0) odnosno

x*≈x0 -f (x0)f ' (Xo)

Na taj način je dobijena nova aproksimacija korjena x*

x1≈x0 - f (x0)f ' (Xo)

.Polazeći sad od x1,na isti način se dobija

aproksimacija x2,itd.U opštem slučaju,sukcesivne aproksimacije računamo po formuli:

xk+1=xk - f (xk)f ' (xk )

.

49.Grafičkim putem objaniti metod tangent?

Sa slike5 je očigledno da je tgα=f(x¿¿0)x0−x1

¿ .Kada je t

tangent na funciju f(x) u tački [x0,f(x0)] to je i tgα=f’(x0).Dakle:

f(x¿¿0)x0−x1

¿=f ’(x0) slijedi x0-x1=

f (x0)f ' (x0)

slijedi

x1=x0- f (x0)f ' (x0)

što je trebalo i pokazati.Pri ovome se

podrazumjeva da je f ’(x0) različito od nule,inče ne bi bilo tačke presjeka tangent t sa apcisom.U vezi sa grafičkom interpretacijom metoda tangente,ovdje se može uočiti razlika između metoda tangent i metoda iteracije.Kako je kod metoda iteracije drži konstantnim prvobitno iračunati

λ=-1

f ' (X 0),to bi znaćilo da metod iteracije grafički zadržava

konstantan nagib prvobitno nađene tangent tokom čitavog iterativnog procesa,što je ilustrativno prikazano na slici2.Ovo je znatno jednostavnije ali nažalost vodi ka metodu sa linearnom konvergencijom.

sl2.Grafička ilustracija metoda iteracije

50.Izvesti metod tangent preko Taylorovog razvoja?Teorem 6.Ako f(x0)f ’(x)>0 i ako je prvi i drugi izvod f(x)imaju stalan znak na segment [a.b],tada je polazeći od početne aproksimacije

x0ϵ[a,b] moguće odrediti niz {Xn} po formuli xk+1=xk – f (xk)f ' (xk )

za

koji je limn→∞

xn=x*,gdje je x* izolovani korjen jednačine f(x)=0 na

segment [a,b].Dokaz:Ne umanjujući uopštenost možemo predpostaviti da je f(a)<0,f(b)>0,f ‘(x)>0 i f’’(x)>0(ostali slučajevi se razmatraju analogno).Sa obzirom na uslov teoreme treba uzeti x0=b.Zbog monotonosti f(x) mora biti f(x0)>f(x*)=0 pa je:

x1=x0- f (x0)f ' (x0)

< x0

Na osnovu Taylorove formule 0= f(x*)=f(x0)+f ' (x0)1!

(x*-x0)+

f ' ' (c)2 !

(x*-x0)2

Gdje je x*<c<x0 pa kako je po pretpostavci f ’’(c)>0,mora biti

f(x0)+f ’(x0)(x* - x0)<0,odakle slijedi da je x*<x0 -f (x0)f ' (x0)

odnosno

da je x*<x1.Analogno se dokazuje da niz{Xn} ima slijdeća svojstva:1.xn+1<xn ,n=0,1,2,3,...2.x*<xn,n=0,1,2,3,. Ovo znći da je niz određen Newtonovim metodom monotono opadajući i ograničen odozdo,dakle konvergentan.Štavise njegova je granična vrijednost korijen jednačine,jer puštajući n->∞ i stavljajući

limn→∞

xn=x dobije se x=x- f (x)f ' (x )

odakle slijedi da je

f(x)=0.Kako je x* jedini korijen jednačine na segment [a,b] mora biti x=x*.

51.Podkojim uslovima metod tangent konvergira(dokazati)?Za ocjenu Newtonovog metoda može se koristiti opšta ocjena ali se može izvesti i bolja.Iz

0= f(x*)=f(xk)+f ' (xk )1!

(x*-xk)+f ' ' (c)2 !

(x*-xk)2 slijedi

0= f(x*)=f(xk)+f ’(xk) (x*-xk)+f ' ' (c)2 !

(x*-xk)2 odakle je

x*=xk -f (xk)f ' (xk )

- 12

f ' ' (c )f ' (xk )

(x*-xk ¿2 odnosno

xk+1 –x*=12

f ' ' (c )f ' (xk )

(x*-xk ¿2 tj.

ek+1=12

f ' ' (c )f ' (xk )

ek2

Pod uslovom da iterativni postupak konvergira,tada vrijednost c i x k

teže riješenju x*,prema tome postupak ima kvadratnu konvergenciju.Primjena na sistemnelinearnih jednačina,odnosno poopštenje metoda je moguće.Može se izvesti i poopštenje metoda uzimajući više članova razvoja u Tajlorovom redu što bi rezultiralo kubnom metodom.Medjutim,metode višega reda,pogotovo u slučajevima nelinearnih jedančina,vrlo se rijetko koriste.

52.Izvesti metod tangent iz metoda iteracije? Primjetimo da je metoda tangent metoda iteracije ako stavimo

φ(x)=x – f ( x )f ' ( x )

dalje slijedi xk+1=xk – f ( x )f ' ( x )

φ’(x)=1-f ' ( x )∗f ' ( x )−f ( x )∗f ' ' (x)

( f '( x))2

φ’(x)=1-( f' ( x ))2

¿¿¿ –

f ( x )∗f ' '(x )f ' (x)2

=

f ( x )∗f ' '(x )f ' (x)2

slijedi

|f ( x )∗f ' '( x)f ' (x)2 |<1 jer je uslov konvergencije |φ’(x)|<1.

53. Šta predstavlja Hornerova šemaPomocu Hornerove seme izracunavamo ostatak dijeljenja R. Primjenom Bezuovog stava po kome je ovaj ostatak jednak vrijednosti

polinoma Pn(x ) za x=x1 sto se direktno dobija ako u

Pn ( x )=(x−x1 )Qn−1 ( x )+R uvedemo

x=x1 , zakljucujemo da pomocu Hornerove seme zaista

izracunavamo Pn(x1) .

Hornerova sema je ekvivalentna sljedecem obliku polinoma

Pn ( x ):

Pn ( x )=a0 xn+a1 x

n−1+…+an−2 x2+an−1 x+an=¿

¿an+x (an−1+x (an−2+…+x (a1+a0 x ))…)Gdje izracunavanje polinoma zapocinje od izraza u najdaljoj unutrasnjoj zagradi. Na taj nacin se izracunavanje polinoma u opstem

slucaju svodi na n sabiranja i n mnozenja. Dokazano je da Hornerovim postupkom broj operacija je minimiziran, pri cemu pretpostavljamo da su svi koeficijenti polinoma razliciti od nule. Ako su neki koeficijenti jednaki nuli, tada se broj operacija moze smanjiti.

54. Kad konvergira Hornerov metod i zasto

Ako Pn prikazemo u obliku:

Pn ( x )=A0(x−x1)n+A1(x−x1)

n−1+…+An−1(x−x1)+An

, dolazimo do sljedeceg zakljucka. Ako Pn(x ) podijelimo sa

(x−x1) , dobijemo polinom Qn−1 i ostatak An ; ako

Qn−1 podijelimo sa (x−x1) , dobijamo polinom

Qn−2 i ostatak An−1, itd. Prema tome, u Hornerovoj semi

dijeljenje treba nastaviti, i kao rezultat dobijamo koeficijente

A0 , A1 ,…, An. Zatim jednacinu:

(8 ) A0 tn+A1t

n−1+…+An−1 t+An=0, gdje je

t=x−x1, zamjenjujemo sa An−1 t+An=0

, iz koje dobijamo da je t 1=−An

An−1

, pa je nova vrijednost

korijena x1+ t1. Postupak se nastavlja razvojem polinoma na

lijevoj strani jednacine (8) po stepenima t−t 1.

S obzirom da je Hornerov postupak za rjesavanje algebarske jednacine ekvivalentan Newton-Raphsonovom metodu, konvergencija je kvadratna. Hornerov metod je pogodan za nalazenje korijena algebarskih jednacina na racunarima.

55.Bez izvodjenja opisati primjenu Berstovog metoda

Pn ( x )=a0 xn+a1 x

n−1+. . .+an−1x+an , ai∈R

potrebno je riješiti pripadnu algebarsku jednadžbu

a0 xn+a1 x

n−1+. ..+an−1 x+an=0 , a0≠0 .Rješenja algebarske jednadžbe mogu biti realna ili kompleksna. Ukupan broj rješenja algebarske jednadžbe je n pri čemu se uračunavaju i kratnosti pojedinih rješenja. Kompleksna rješenja se javljaju u obliku konjugirano-kompleksnih brojeva. Tako npr. ako a + ib ima kratnost s, onda i a – ib ima kratnost s. Za rješenja algebarske jednadžbe vrijedi da ako je stupanj algebarske jednadžbe neparan, onda je barem jedno rješenje realno. Na temelju izračunatih rješenja, algebarsku jednadžbu možemo napisati u obliku:

a0( x−x1 )( x−x2)⋯( x−xn )=0 , (3)

gdje su xk rješenja algebarske jednadžbe.

Bairstowova metoda je iterativan postupak za pronalaženje kvadratnih faktora polinoma oblika

f ( x )=x2+ux+v . (4)

Na početku iterativnog procesa zadaju se inicijalne vrijednosti u0, v0

koje iteracijama konvergiraju prema točnim vrijednostima u i v, nakon čega se se lako izračunaju dvije nultočke (r1, r2) polinoma prema poznatoj formuli

r1,2=−u±√u2−4 v

2 (5)Ako je u2 - 4v<0, onda su (r1, r2) konjugirano kompleksni brojevi

r1,2=−u2

± √u2−4v2

i(6)

Pronalaženje sljedeća dva korijena polinoma se zasniva na ponavljanju postupka za polinom stupnja n-2 koji se dobije dijeljenjem početnog polinoma s izračunatim kvadratnim faktorom. Analogno se pronalaze i svi preostali korijeni polinoma. Osnovna prednost Bairstowove metode je što omogućuje pronalaženje kompleksnih korijena polinoma.U nastavku se opisuje postupak izračunavanje parametara u i v. Ekstrakcijom kvadratnog faktora x2+ux+v iz polinoma (1) dobijemoPn ( x )=(x2+ux+v )Qn−2( x )+ostatakPn ( x )=(x2+ux+v )(b0 x

n−2+b1 xn−3+⋯+bn−3 x+bn−2 )+bn−1( x+u)+bn

(7)Vrijednosti bi se mogu izračunati prema sljedećem rekurzivnom postupku (postupak sintetičke podjele).b0=a0b1=a1−b0ub2=a2−b1u−b0 v

b3=a3−b2u−b1 v⋮bk=ak−bk−1u−bk−2v

⋮bn−1=an−1−bn−2u−bn−3 vbn=an−bn−1u−bn−2v (8)Da bi x2+ux+v bio faktor polinoma nužno je da ostatak bude 0, odnosno da bn-1 i bn budu 0. Promjenom parametara u i v može se utjecati na vrijednosti bn-1 i bn tako da one postanu 0 ili da se barem dovoljno približe nuli. U koraku iteracije Bairstowove metode se mijenjaju vrijednosti u i v tako da se ostatak približi nuli. Parametar b je zapravo funkcija dviju varijabli, u i v. Ako uzmemo da su Δu i Δv inkrementi koji se dodaju u iteracijskom koraku parametrima u i v, onda se bn i bn-1

mogu aproksimirati preko Taylorovog reda funkcije dviju varijabli s obzirom na varijable u i v. Uz pretpostavku da su Δu i Δv mali, pa možemo zanemariti više članove reda, nakon čega imamo

bn(u+ Δu, v+Δv )=0≃bn+∂ bn∂ u

Δu+∂bn∂ v

Δv

bn−1(u+Δu, v+Δv )=0≃bn−1+∂bn−1

∂uΔu+

∂bn−1∂v

Δv(9)

pri čemu su vrijednosti bn i bn-1 desnih strana jednakosti izračunate za vrijednosti u i v, a ne za u+ Δu i v+ Δv. Da bismo pronašli zadovoljavajuće vrijednosti inkremenata Δu i Δv potrebne su nam vrijednosti parcijalnih derivacija. Bairstow je pokazao da se vrijednosti parcijalnih derivacija mogu odrediti iz vrijednosti b postupkom sintetičke podjele. Postupak je analogan postupku pronalaženja vrijednosti b iz vrijednosti a. Parcijalnim derivacijama skupa jednadžbi (8) po varijabli u, te uvođenjem varijable c imamo∂ b0∂u

=∂ a0∂ u

=0

∂ b1∂u

=−b0∂u∂u

=−b0=−c0

∂ b2∂u

=−∂ b1∂u

u−b1−∂ b0∂u

v=−b1+uc0=−c1

∂ b3∂u

=−∂ b2∂ u

u−b2−∂ b1∂ u

v=−b2+uc1+vc0=−c2

∂ b4∂u

=−∂b3∂u

u−b3−∂ b2∂u


⋮∂ bn−1

∂u=−

∂bn−2∂u

u−bn−2−∂bn−3∂u

v=−bn−2+ucn−3+vcn−4=−cn−2

∂ bn∂u

=−∂ bn−1

∂ uu−bn−1−

∂ bn−2

∂ uv=−bn−1+ucn−2+vcn−3=−cn−1

(10)Sličnim postupkom pronalazimo i parcijalne derivacije po varijabli v:

∂ b0∂ v

=∂ a0∂ v

=0

∂ b1∂ v

=−∂ b0∂ v

u−∂u∂ v

b0=0

∂ b2∂ v

=−∂ b1∂ v

u−b0−∂ b0∂ v

v=−b0=−c0

∂ b3∂ v

=−∂ b2∂ v

u−b1−∂ b1∂ v

v=−b1+uc0=−c1

∂ b4∂ v

=−∂b3∂ v

u−b2−∂ b2∂ v


⋮∂ bn−1

∂ v=−

∂bn−2∂ v

u−bn−3−∂bn−3∂ v

v=−bn−3+ucn−4+vcn−5=−cn−3

∂ bn∂ v

=−∂ bn−1

∂ vu−bn−2−

∂ bn−2

∂ vv=−bn−2+ucn−3+vcn−4=−cn−2

(11)Iz (10) i (11) je jasno da vrijedick=bk−ck−1u−ck−2 v , k=2,3 ,… , n−1

(12)pri čemu je c0 = b0 i c1 = b1 + ub0. Kao što se vidi jednadžbe za ck su analogne jednadžbama (8) za izračunavanje bk. Sustav jednadžbi (9) možemo sada napisati u oblikubn=cn−1Δu+cn−2Δvbn−1=cn−2 Δu+cn−3Δv (13)Iz sustava jednadžbi (13) dobivamo povoljne vrijednosti za inkremente Δu i Δv.

Δu=

|bn cn−2bn−1 cn−3

|

|cn−1 cn−2cn−2 cn−3

|(14)

Δv=

|cn−1 bncn−2 bn−1

|

|cn−1 cn−2

cn−2 cn−3

|(15)

Postupak pronalaženja nultočaka polinoma Bairstowom metodom možemo zapisati sljedećom procedurom:Odaberi incijalne vrijednosti za u i v. Najčešće se uzima u0 = 0 i v0 = 0.Izračunaj b0, b1, b2, ..., bn prema relaciji

bk=ak−bk−1u−bk−2v , k=2,3 ,…, n(17)

pri čemu je b0 = a0 i b1 = a1 - b0u. Izračunaj c0, c1, c2, ..., cn-1 prema relaciji

ck=bk−ck−1u−ck−2 v , k=2,3 ,… , n−1 (18)

pri čemu je c0 = b0 i c1 = b1 + ub0. Izračunaj Δu i Δv prema (14) i (15).Povećaj u i v za Δu i Δv

ui+1=u i+Δuivi+1=vi+Δvi (19)pri čemu i označava broj iteracije.

Vrati se na korak 2. i ponovi postupak sve dok se Δu i Δv ne približe dovoljno nuli, odnosno sve dok za neku unaprijed zadanu vrijednost ε ne vrijedi

|Δui+1|+|Δvi+1|<ε (20)Izračunaj korijene kvadratnog faktora prema (5).Izračunaj preostale korijene polinoma vraćanjem na korak 1. i ponavljanjem cijelog postupka za polinom čiji su koeficijenti b izračunati na kraju 6. koraka.

56.Kakva je konvergencija Barstovog a kakva Hornerovog metodaHorner:


Pn ( x )=A0(x−x1)n+A1(x−x1)

n−1+…+An−1(x−x1)+An







(8 ) A0 tn+A1t




An−1



lijevoj strani jednacine (8) oi stepenima t−t 1.

S obzirom da je Hornerov postupak za rjesavanje algebarske jednacine ekvivalentan Newton-Raphsonovom metodu, konvergencija je kvadratna. Hornerov metod je pogodan za nalazenje korijena algebarskih jednacina na racunarima.Berst:Bairstowova metoda je poseban slučaj Newtonove metode za rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi. Za Newtonovu metodu rješavanja sustava nelinearnih jednadžbi su poznati uvjeti konvergencije, pa se na temelju tih uvjeta izvode uvjeti konvergencije za Bairstowovu metodu. Napišimo (7) u sljedećem obliku:

Pn ( x )=(x2+ux+v )Qn−2( x ,u , v )+F (u , v )x+G(u , v )

(21)gdje F(u, v) i G(u, v) funkcije dviju varijabli u i v, te im se vrijednosti mogu izračunati prema postupku (8) i iznose bn-1 i u+bn. Cilj Bairstowove metode je ostvariti

F (u , v )=0G(u , v )=0 (22)Bairstowov postupak pronalaženja rješenja ovog sustava nelinearnih jednadžbi samo je poseban slučaj Newtonove metode. Da bismo shvatili uvjete konvergencije Newtonove metode, potrebno ju je ukratko objasniti. Najjednostavniji slučaj je sustav dviju nelinearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, odnosno sustav (2), pa ćemo na njemu i objasniti Newtonovu metodu. Neka je u = i v = rješenja sustava (22). Pretpostavimo da F i G imaju neprekidne parcijalne derivacije. Stavljajući = un+un i =vn+vn dobivamo

F (un+Δun , vn+Δvn )=0G(un+Δun , vn+Δv n )=0 (23)Primjenom Taylorove formule za funkciju dviju varijabli, pri čemu se ograničavamo samo na linearne članove razvoja i izjednačavanjem s nulom dobivamo

F (un , vn )+Δun∂F (un , vn )∂u

+Δvn∂F (un , vn )∂ v

=0

G(un , vn )+Δun∂G(un , vn )∂u

+Δv n∂G (un , vn )∂ v

=0(24)

Za varijable u, v uvedimo vektor z, za funkcije F, G vektor H, a za varijable un i vn vektor ε

zn=[unvn ] ,

H=[FG ],

ε n=[ΔunΔvn ] (25)Sustav (24) možemo kraće i preglednije zapisati u matričnom obliku

H ( zn )+J ( zn )εn=0=H (zn+ε n) (26)

gdje je J(zn) Jacobijeva matrica oblika

H '( zn )=J ( zn )=[ ∂F (un , vn )∂u

∂F (un , vn )∂ v

∂G(un , v n)∂u

∂G(un , vn )∂ v

](27)

Iz (26) dobivamo εn

ε n=−J−1( zn )H (zn ) (28)

Krajnji zapis iteracijskog koraka Newtonove metode glasi

zn+1=zn+ε n=zn−J−1 (zn)H ( zn) (29)

Bairstowova metoda je specijalan slučaj Newtonove metode prilagođen polinomima. Glavni dio iteracijskih koraka Newtonove metode je izračunavanje inverza Jacobijeve matrice J-1(zn). U Bairstowovoj metodi inverz Jacobijeve matrice se izračunava preko vrijednosti ci, koje se dobiju opisanim postupkom sintetičke podjele (12).Osnovni uvjet za konvergenciju Newtonove metode je postojanje prve derivacije funkcija F(u, v), G(u, v) u okolini tražene nultočke sustava nelinearnih jednadžbi. Drugim riječima se može reći da Newtonova metoda konvergira ako je osigurana nesingularnost Jacobijeve matrice u nultočki sustava. Detalji o uvjetima i svojstvima konvergencije Newtonove metode mogu se pronaći u [1]. Pošto je Bairstowova metoda specijalan slučaj Newtonove metode, potrebno je pronaći u kojim slučajevima je osigurana nesingularnost Jacobijeve matrice u slučaju polinoma. Sljedeći teorem daje nužne i dovoljne uvjete za Bairstowovu metodu.Teorem. Neka su u i v bilo koja dva realna broja. Jacobijeva matrica J(zn) zadana izrazom (27) je regularna ako i samo ako u izrazu (21) kvadratni faktor x2+ux+v i polinom Qn-2(x) nemaju zajedničkih nultočki. Rang Jacobijeve matrice J(zn) je jedan ako i samo ako je broj zajedničkih nultočki jedan. Jacobijeva matrica je nul matrica, ako i samo ako je kvadratni faktor x2+ux+v djeljitelj polinoma Qn-2(x).Dokaz. Derivacijom (21) po u, a kasnije po v dobivamo

0=∂Qn−2 (u ,v , x )

∂u( x2+ux+v )+Qn−2(u , v , x )x+

∂F (u , v )∂u

x+∂G(u , v )

∂u(30)

0=∂Qn−2 (u , v , x )

∂v( x2+ux+v )+Qn−2(u , v , x )+

∂F (u , v )∂ v

x+∂G(u , v )

∂ v(31)

Neka su korijeni x1 i x2 korijeni kvadratnog faktora x2+ux+v. Uvrstimo li x1 i x2 u (30) i (31) dobijemo

0=Qn−2(u , v , x1)x1+∂F (u , v )∂u

x1+∂G(u , v )∂u

0=Qn−2(u , v , x2)x2+∂F (u , v )∂u

x2+∂G(u , v )∂ u

0=Qn−2(u , v , x1)+∂F (u , v )∂ v

x1+∂G(u , v )∂ v

0=Qn−2(u , v , x2)+∂F (u , v )∂ v

x2+∂G(u , v )∂ v

(32)Sustav (32) možemo elegantnije matrično zapisatiWP+J TW=0 (33)

gdje je

W=[ x1 x21 1 ]

,

),,(0

0),,(

22

12

xvuQ

xvuQP

n

n

(34)a J je Jacobijeva matrica

J=[ ∂F (u , v )∂u

∂F (u , v )∂v

∂G(u , v )∂u

∂G(u , v )∂v

](35)

JT je transponirana Jacobijeva matrica. Ako su x1 i x2 različiti, onda je matrica W invertibilna. Iz toga slijedi da matrice J i -P su slične, pa prema svojstvima matrica imaju jednak rang. Rang matrice J će biti 2, ako x1 i x2 nisu nultočke od Qn-2(x), te će u tom slučaju J imati inverz. Ako x2+ux+v i Qn-2(x) imaju jednu zajedničku nultočku, onda je rang od J jednak 1 i J nema inverz. Ako su obje nultočke zajedničke onda je rang od J jednak 0 i J nema inverz.Još je potrebno analizirati slučaj kada je x1 = x2. U tom slučaju x2+ux+v ima dvostruku nultočku x1, pa je x1 ujedno i nultočka derivacije. Derivirajmo (30) i (31) po x i uvrstimo x1.∂Qn−2 (u , v , x1 )∂ x

x1+Qn−2(u , v , x1 )+∂F (u , v )∂u

=0

∂Qn−2 (u , v , x1 )∂ x

+∂F (u , v )∂ v

=0

(36)Sustav jednadžbi (30), (31) i (36) možemo matrično zapisati kao

MB+J TM=0 (37)

gdje je

M=[1 x10 1 ]

,

B=[ Qn−2(u , v , x1) 0

∂Qn−2 (u , v , x1 )∂ x

Qn−2(u , v , x1) ](38)

Izraz (37) je analogan izrazu (33). Matrica M je invertibilna, pa stoga matrice B i J imaju isti rang. Ako x1 nije nultočka od Qn-2(u, v, x), onda B ima rang 2, pa je stoga i J invertibilna. Ako je x1 jednostruka nultočka od Qn-2(u, v, x), onda B ima rang 1, a time i J ima rang 1, pa J nije invertibilna. Ako je x1 dvostruka nultočka od Qn-2(u, v, x), onda B ima rang 0. Time je tvrdnja dokazana.Korolar. Neka je

P( x )=Q(u*, v*, x )( x2+u∗x+v∗) (39)

i pretpostavimo da oba faktora s desne strane jednakosti nemaju zajedničkih korijena. Tada postoji pozitivan realan broj d takav da niz (un, vn) dobiven Bairstowom metodom konvergira (kvadratno) prema (u*,v*), te vrijedi |u0 – u*|<d i |v0 – v*|<d.Primjeri divergencijePrimjer 1.Promotrimo polinom

P( x )=( x2+ux+v )( x2+ux+w )+(w−v )2 (40)

Započnimo Bairstowovu metodu s u0=u i v0=v. (40) se može zapisati u obliku

P( x )=( x2+ux+v )2+(w−v )( x2+ux+v )+(w−v )2

(41)Podijelimo li Qn-2 iz (21) sa x2+ux+v, onda se Pn(x) iz (21) može pisati kaoPn ( x )=(x2+ux+v )Qn−4 (x ,u , v )+(F1 (u ,v ) x+G1 (u ,v ))(x2+ux+v )+F (u ,v ) x+G(u ,v )

(42)Za zapis polinoma u obliku (42) vrijedi da je Jacobijeva matrica

J=[F1 (u , v )u−G1 −F1F1 −G1 ]

(43)Dokaz izraza (43) se može pronaći u [4]. Vidi se da izraz (41) odgovara obliku (42), pri čemu je F=0, G=(w-v)2, F1=0, G1=w-v. Prema (43) je Jacobijeva matrica za polinom (40)

J=[v−w 00 v−w ]

(44)Uzmemo li za početne uvjete u0=u i v0=w, dobijemo da Bairstowova metoda uđe u ciklus, te vrijedi:uk=u

, v2k+1=w ,

v2k=v , za sve k.

57.Konvergencija Barstovog postupka, Zasto? Bairstowova metoda je poseban slučaj Newtonove metode za rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi. Za Newtonovu metodu rješavanja sustava nelinearnih jednadžbi su poznati uvjeti konvergencije, pa se na temelju tih uvjeta izvode uvjeti konvergencije za Bairstowovu metodu. Napišimo (7) u sljedećem obliku:

Pn ( x )=(x2+ux+v )Qn−2( x ,u , v )+F (u , v )x+G(u , v )(21)

gdje F(u, v) i G(u, v) funkcije dviju varijabli u i v, te im se vrijednosti mogu izračunati prema postupku (8) i iznose bn-1 i u+bn. Cilj Bairstowove metode je ostvaritiF (u , v )=0G(u , v )=0 (22)Bairstowov postupak pronalaženja rješenja ovog sustava nelinearnih jednadžbi samo je poseban slučaj Newtonove metode. Da bismo shvatili uvjete konvergencije Newtonove metode, potrebno ju je ukratko objasniti. Najjednostavniji slučaj je sustav dviju nelinearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, odnosno sustav (2), pa ćemo na njemu i objasniti Newtonovu metodu. Neka je u = i v = rješenja sustava (22). Pretpostavimo da F i G imaju neprekidne parcijalne derivacije. Stavljajući = un+un i =vn+vn dobivamoF (un+Δun , vn+Δvn )=0G(un+Δun , vn+Δvn )=0 (23)Primjenom Taylorove formule za funkciju dviju varijabli, pri čemu se ograničavamo samo na linearne članove razvoja i izjednačavanjem s nulom dobivamo

F (un , vn )+Δun∂F (un , vn )∂u

+Δvn∂F (un , vn )∂ v

=0

G(un , vn )+Δun∂G(un , vn )∂u

+Δv n∂G (un , vn )∂ v

=0

(24)

Za varijable u, v uvedimo vektor z, za funkcije F, G vektor H, a za varijable un i vn vektor ε

zn=[unvn ] , H=[FG ]

,

ε n=[ΔunΔvn ] (25)Sustav (24) možemo kraće i preglednije zapisati u matričnom obliku

H ( zn )+J ( zn )εn=0=H (zn+ε n)(26)

gdje je J(zn) Jacobijeva matrica oblika

H ' ( zn )=J ( zn )=[ ∂F (un , vn )∂u

∂F (un , vn )∂ v

∂G(un , v n)∂u

∂G(un , vn )∂ v

](27)

Iz (26) dobivamo εn

ε n=−J−1( zn )H (zn ) (28)Krajnji zapis iteracijskog koraka Newtonove metode glasi

zn+1=zn+ε n=zn−J−1 (zn )H ( zn )(29)

Bairstowova metoda je specijalan slučaj Newtonove metode prilagođen polinomima. Glavni dio iteracijskih koraka Newtonove metode je izračunavanje inverza Jacobijeve matrice J-1(zn). U Bairstowovoj metodi inverz Jacobijeve matrice se izračunava preko vrijednosti ci, koje se dobiju opisanim postupkom sintetičke podjele (12).Osnovni uvjet za konvergenciju Newtonove metode je postojanje prve derivacije funkcija F(u, v), G(u, v) u okolini tražene nultočke sustava nelinearnih jednadžbi. Drugim riječima se može reći da Newtonova metoda konvergira ako je osigurana nesingularnost Jacobijeve matrice u nultočki sustava. Detalji o uvjetima i svojstvima konvergencije Newtonove metode mogu se pronaći u [1]. Pošto je Bairstowova metoda specijalan slučaj Newtonove metode, potrebno je pronaći u kojim slučajevima je osigurana nesingularnost Jacobijeve matrice u slučaju polinoma. Sljedeći teorem daje nužne i dovoljne uvjete za Bairstowovu metodu.Teorem. Neka su u i v bilo koja dva realna broja. Jacobijeva matrica J(zn) zadana izrazom (27) je regularna ako i samo ako u izrazu (21) kvadratni faktor x2+ux+v i polinom Qn-2(x) nemaju zajedničkih nultočki. Rang Jacobijeve matrice J(zn) je jedan ako i samo ako je broj zajedničkih nultočki jedan. Jacobijeva matrica je nul matrica, ako i samo ako je kvadratni faktor x2+ux+v djeljitelj polinoma Qn-2(x).Dokaz. Derivacijom (21) po u, a kasnije po v dobivamo

0=∂Qn−2 (u , v , x )

∂u( x2+ux+v )+Qn−2(u , v , x )x+

∂F (u , v )∂u

x+∂G(u , v )

∂u(30)

0=∂Qn−2 (u , v , x )

∂v( x2+ux+v )+Qn−2(u , v , x )+

∂F (u , v )∂ v

x+∂G(u , v )

∂ v(31)

Neka su korijeni x1 i x2 korijeni kvadratnog faktora x2+ux+v. Uvrstimo li x1 i x2 u (30) i (31) dobijemo

0=Qn−2(u , v , x1)x1+∂F (u , v )∂u

x1+∂G(u , v )∂u

0=Qn−2(u , v , x2)x2+∂F (u , v )∂u

x2+∂G(u , v )∂ u

0=Qn−2(u , v , x1)+∂F (u , v )∂ v

x1+∂G(u , v )∂ v

0=Qn−2(u , v , x2)+∂F (u , v )∂ v

x2+∂G(u , v )∂ v

(32)Sustav (32) možemo elegantnije matrično zapisati

WP+J TW=0 (33)

gdje je

W=[ x1 x21 1 ]

,

),,(0

0),,(

22

12

xvuQ

xvuQP

n

n

(34)a J je Jacobijeva matrica

J=[ ∂F (u , v )∂u

∂F (u , v )∂v

∂G(u , v )∂u

∂G(u , v )∂v

](35)

JT je transponirana Jacobijeva matrica. Ako su x1 i x2 različiti, onda je matrica W invertibilna. Iz toga slijedi da matrice J i -P su slične, pa prema svojstvima matrica imaju jednak rang. Rang matrice J će biti 2, ako x1 i x2 nisu nultočke od Qn-2(x), te će u tom slučaju J imati inverz. Ako x2+ux+v i Qn-2(x) imaju jednu zajedničku nultočku, onda je rang od J

jednak 1 i J nema inverz. Ako su obje nultočke zajedničke onda je rang od J jednak 0 i J nema inverz.Još je potrebno analizirati slučaj kada je x1 = x2. U tom slučaju x2+ux+v ima dvostruku nultočku x1, pa je x1 ujedno i nultočka derivacije. Derivirajmo (30) i (31) po x i uvrstimo x1.∂Qn−2 (u , v , x1 )∂ x

x1+Qn−2(u , v , x1 )+∂F (u , v )∂u

=0

∂Qn−2 (u , v , x1 )∂ x

+∂F (u , v )∂ v

=0

(36)Sustav jednadžbi (30), (31) i (36) možemo matrično zapisati kao

MB+J TM=0 (37)

gdje je

M=[1 x10 1 ]

,

B=[ Qn−2(u , v , x1) 0

∂Qn−2 (u , v , x1 )∂ x

Qn−2(u , v , x1) ](38)

Izraz (37) je analogan izrazu (33). Matrica M je invertibilna, pa stoga matrice B i J imaju isti rang. Ako x1 nije nultočka od Qn-2(u, v, x), onda B ima rang 2, pa je stoga i J invertibilna. Ako je x1 jednostruka nultočka od Qn-2(u, v, x), onda B ima rang 1, a time i J ima rang 1, pa J nije invertibilna. Ako je x1 dvostruka nultočka od Qn-2(u, v, x), onda B ima rang 0. Time je tvrdnja dokazana.Korolar. Neka je

P( x )=Q(u*, v*, x )( x2+u∗x+v∗) (39)

i pretpostavimo da oba faktora s desne strane jednakosti nemaju zajedničkih korijena. Tada postoji pozitivan realan broj d takav da niz (un, vn) dobiven Bairstowom metodom konvergira (kvadratno) prema (u*,v*), te vrijedi |u0 – u*|<d i |v0 – v*|<d.Primjeri divergencijePrimjer 1.Promotrimo polinom

P( x )=( x2+ux+v )( x2+ux+w )+(w−v )2 (40)

Započnimo Bairstowovu metodu s u0=u i v0=v. (40) se može zapisati u obliku

P( x )=( x2+ux+v )2+(w−v )( x2+ux+v )+(w−v )2

(41)Podijelimo li Qn-2 iz (21) sa x2+ux+v, onda se Pn(x) iz (21) može pisati kaoPn( x )=(x2+ux+v )Qn−4(x ,u , v )+(F1(u , v ) x+G1(u , v ))(x2+ux+v )+F (u , v ) x+G(u , v )

(42)Za zapis polinoma u obliku (42) vrijedi da je Jacobijeva matrica

J=[F1 (u , v )u−G1 −F1F1 −G1 ]

(43)Dokaz izraza (43) se može pronaći u [4]. Vidi se da izraz (41) odgovara obliku (42), pri čemu je F=0, G=(w-v)2, F1=0, G1=w-v. Prema (43) je Jacobijeva matrica za polinom (40)

J=[v−w 00 v−w ]

(44)Uzmemo li za početne uvjete u0=u i v0=w, dobijemo da Bairstowova metoda uđe u ciklus, te vrijedi:uk=u

, v2k+1=w , v2k=v

, za sve k.

58. Šta predstavlja ostatak djeljenja polnoma sa (x-x1) (Bezutov stav)


Pn ( x )=A0(x−x1)n+A1(x−x1)

n−1+…+An−1(x−x1)+An







(8 ) A0 tn+A1t




An−1



lijevoj strani jednacine (8) po stepenima t−t 1.

59.Izvesti Bezutov stav

Bezuov stav : Pri djelidbi polinoma Pn(x ) polinom prvog

reda stepena x−a ostatak je jednak P(a) .

Posljediba Bezuovog stava: Ako je a nula polinoma, onda je polinom

Pn(x ) djeljic ponomom x−a bez ostatka pa je:

Pn ( x )=anQn−1 (x )(x−a)Ako su x1 , x2 ,…, xn nule polinoma, tada je

Pn ( x )=an (x−x1 ) (x−x2 )…(x−xn)Ako je Pn ( x )=an ( x−a )kQm(x) tada je

a nula k−tog reda polinoma.

60. Dokazati da polinomi sa realnim koeficijentima imaju realne i konjugovano kompleksne korijene

Ako su svi koeficijenti {ai }polinoma Pn ( x ) realni, a polinom

ima kompleksnu nulu α+iβ reda k , tada je i α−iβ

kompleksna nula tog polinoma reda k . Drugim rečima, kod polinoma sa

realnim koeficijentima, kompleksne nule se javljaju u parovima: kao

kompleksan broj z i njemu konjugovano kompleksan broj z .

61. Kada je korisno sistem linearnih jednačina rješavati metodom LU dekompozicijei zasto

Pretpostavimo da je A∈Rnxnregularna kvadratna

matrica, kojoj su sviglavni minori razli citi od nule. Tada se na jednistven na µcin moµze napraviti

rastav A=LU gdje je L donja trougaona

matrica, kojoj su elementi na

glavnoj dijagonali jedinice, a U gornja trougaona

matrica µciji dijagonalni elementi nisu nule:

[ a11a12⋯ a1na21a22⋯ a2n

⋮ ⋮⋱ ⋮an1an2⋯ ann

]=

[ 10⋯0l211⋯0⋮ ⋮⋱ ⋮

ln1 ln2⋯ 1] ∙[u11u12⋯ u1n0u22⋯ u2n⋮ ⋮⋱ ⋮00⋯unn

]Metoda faktorizacije kod koje su elementi po dijagonali donje trougaone matrice jednaki jedinici naziva se

Doolittleovametoda, a ona kod koje

su elementi dijagonale gornje trougaone matrice jednaki

jedinici, metodaCrouta.

Neka je poznata LU dekompozicija matrice sistema

A=LU . Sistem Ax=btada glasi

LUx=b …(9)

ako oznaµcimo

z :=Ux…(10)

onda prethodni sistem postaje sistem

Lz=b …(11)

koji se lahko rjesava jer je matrica sistema L donja

trougaona matrica sajedinicama na glavnoj dijagonali. Rjesenje sistema (11) uvrstimo u (10) koji se sada jednostavno rje sava jer je

matrica U gornja trougaona matrica ciji dijagonalni

elementi nisu nule. Rjesenje sistema (10) je i rjesenje polaznog sistema.

62. Šta predstavlja postupak interpolacije i da li je isti jedinstvenInterpolacije je zahtjev da se funkcija i njena aproksimacija funkcija podudaraju na nekom konacnom skupu tacaka(cvorovima interpolacije). Moze se zahtijevati i podudaranje njihovih derivacija. Takvu aproksimacijsku funkciju nazivamo i interpolacijska funkcija.

{x0 , x1 ,…, xn}φ (xk )=f (xk ) , k=0,1 ,… ,n

63. Da li je postupak interpolacije polinomom jedinstven (pokazati)

Za zadane tacke (xk , f k ) , k=0,1 ,…,ngdje je

x i≠ x j za i≠ j, postoji jedinstven interpolacijski polinom stepena

najvise n ,

φ ( x )=pn ( x )=a0+a1 x+…+an xn

Za koji vrijedi

pn (xk )=f k , k=0,1,2 ,…,n .Dokaz:

pn (x0 )=a0+a1 x0+…+an x0n=f 0

pn (x1)=a0+a1 x1+…+an x1n=f 1

………pn (xn0 )=a0+a1 xn+…+an xn

n=f nSistem linearnih jednacina(n+1 jednacina n+1, nepoznata) ima

jedinstveno rjesenje ako je matrica sistema regularna, tj ako je njena determinanta razlicita od nule.Determinanta ovog sistema je Vandermondeova determinanta:

Dn=|1x0 x02…x0

n

1 x1 x12…x1

n

………1xn xn

2…xnn|

Dn= ∏0≤ j<i ≤n

( xi−x j)≠0Pa sistem ima jedinstveno rjesenje.

64. Kako glasi Lagrangeov pomocni polinom, i koje uslove ispunjava

Neka je funkcija x⟼ f (x) tabelirana u tackama

x0 , x1 ,…,xn pri cemu je

x0<x1<…<xn, i neka su f 0 , f 1 ,…, f nredom vrijednosti funkcije. Pretpostavimo da je funkcija f

diferencijabilna n+1 puta.

Posmatrajmo pomocnu funkciju pi, definisanu sa

(1 ) p i ( x )=(x−x0 ) (x−x1 )…( x−x i−1 ) (x−x i+1)… (x−xn)

(x i−x0 ) (x i−x1 )…(x i−x i−1 ) (x i−x i+1 )… (x i−xn )Ova funkcija n−¿tog stepena, koji se anulira za sve apscise

interpolacionih cvorova, osim za x=x i. Za x=x i imamo

pi (x i)=1. Prema tome, mozemo pisati

pi (x j )=δij , gdje je δ ij Kroneckerov simbol.

Koristeci se osobinama pomocne funkcije pi, mozemo formirati

interpolacioni polinom x⟼ Pn(x ), tj.

(2 ) Pn ( x )=∑i=0

n

p i(x) f iDirektnom zamjenom uvjeravamo se da je

Pn (xk )=f k k=(0,1,2 ,…,n).

Polinom Pn definisan sa (2), gdje je pi dato u (1), naziva se

Lagrangeov intepolacioni polinom.

U teoriji interpolacije cesto se primjenjuje funkcija πn+1 , data sa:

πn+1 ( x )=(x−x0 ) (x−x1 )…x−xn¿To je polinom stepena n+1 cije su nule apscise interpolacionih

cvorova. Pomocna funkcija pi, data sa (1), moze se izraziti

primjenompomocne funkcije πn+1 na sljedeci nacin:

pi ( x )=(x−x0) (x− x1 )… (x−x i−1 ) (x−x i+1 )…(x−xn)

πn+1' (xi)

=1

π n+1' (x i)

πn+1(x )x−x i

Pri cemu vodimo racuna da se x−x i skracuje sa istim clanom u

πn+1(x ). Lagrangeov interpolacioni polinom (2) dobija oblik:

Pn ( x )=πn+1(x )∑i=0

n1

x−x i

f iπ n+1' (x i)

65.Kakva je greška Langrangeovog interpoalcionog polinomaProcjena greske

Greska interpolacije R(x ) definise se kao razlika funkcije f i

interpolacionog polinoma Pn, tj.

R ( x )=f ( x )−Pn(x)U interpolacionim cvorovima greska je jednaka nuli jer je f ¿ .

Da bismo odredili gresku u ostalim tackama, posmatrajmo funkciju:(4)

φ ( t )=f ( t )−Pn ( t )−πn+1 ( t )πn+1 ( x )

( f (x )−Pn ( x ))

, gdje je x fiksirano x≠ xk (k=0,1 ,…,n)Funkcija t⟼φ (t) se analizira za t=xk , dakle u

n+1 tacaka je πn+1 (xk )=0Sa druge strane, φ (t) ima n+2 nule. Primijenimo li

Rolleovu teoremu, zakljucujemo da postoji neko t=ξ , gdje je

min (x0 , x1,…, xn , x )<ξ<max (x0 , x1 ,…, xn , x )

za koje je φn+1 (ξ )=0Ako desnu stranu jednakosti (4) diferenciramo n+1 puta po t ,

vodeci racuna da je (Pn ( t ))(n+1)=0 i

(π¿¿n+1 (t ))(n+1)= (n+1 )!¿ ,

dobijemo(5)

R ( x )=f ( x )−Pn ( x )= f n+1(ξ)(n+1)!

π n+1 (x )Greska interpolacije se moze proceniti ako poznajemo maksimalnu

vrijednost modula izvoda reda n+1 funkcije f . Ako je

¿ f n+1 ( x )∨≤M , imamo

¿ R ( x )∨≤M

(n+1 )!∨π n+1 (x )∨¿

66.Sta predstavlja polinom (pi) u Langrangeovoj interpolaciji

U teoriji interpolacije cesto se primjenjuje funkcija πn+1 , data sa:

πn+1 ( x )=(x−x0 ) (x−x1 )…x−xn¿To je polinom stepena n+1 cije su nule apscise interpolacionih

cvorova. Pomocna funkcija pi, data sa (1), moze se izraziti

primjenompomocne funkcije πn+1 na sljedeci nacin:

pi ( x )=(x−x0) (x− x1 )… (x−x i−1 ) (x−x i+1 )…(x−xn)

πn+1' (xi)

=1

π n+1' (x i)

πn+1(x )x−x i

Pri cemu vodimo racuna da se x−x i skracuje sa istim clanom u

πn+1(x ).

67. Objasniti grešku Langrangeovog i Hermitovog interpolacionog polinomaLaGrange:Procjena greske

Greska interpolacije R(x ) definise se kao razlika funkcije f i

interpolacionog polinoma Pn, tj.

R ( x )=f ( x )−Pn(x)U interpolacionim cvorovima greska je jednaka nuli jer je f ¿ .

Da bismo odredili gresku u ostalim tackama, posmatrajmo funkciju:(4)

φ ( t )=f ( t )−Pn (t )−πn+1 ( t )πn+1 ( x )

( f (x )−Pn ( x ))

, gdje je x fiksirano x≠ xk (k=0,1 ,…,n)Funkcija t⟼φ (t) se analizira za t=xk , dakle u

n+1 tacaka je πn+1 (xk )=0Sa druge strane, φ (t) ima n+2 nule. Primijenimo li

Rolleovu teoremu, zakljucujemo da postoji neko t=ξ , gdje je

min (x0 , x1,…, xn , x )<ξ<max (x0 , x1 ,…, xn , x )

za koje je φn+1 (ξ )=0Ako desnu stranu jednakosti (4) diferenciramo n+1 puta po t ,

vodeci racuna da je (Pn ( t ))(n+1)=0 i

(π¿¿n+1 ( t ))(n+1)= (n+1 )!¿ ,

dobijemo

(5)

R ( x )=f ( x )−Pn ( x )= f n+1(ξ)(n+1)!

π n+1 (x )Greska interpolacije se moze proceniti ako poznajemo maksimalnu

vrijednost modula izvoda reda n+1 funkcije f . Ako je

¿ f n+1 ( x )∨≤M , imamo

¿ R ( x )∨≤M

(n+1 )!∨π n+1 (x )∨¿

Hermitt:

Neka je f ( x )∈C2n+2[a ,b] i neka su

x i∈[a ,b] , i=0 , n cvorovi interpolacije. Neka su

zadane vrijednosti funkcije y i=f (x i) i vrijednost prvog

izvoda y i'=f '( xi) u cvorovima interpolacije,

interpolacioni polinom Pm ( x ) koji zadovoljava uslove

Pm (x i )= y i i Pm' ( xi )= y i

', i=0 , n

naziva se Hermittov interpolacioni polinom i trazimo ga u obliku:

P2n+1 ( x )=¿

∑i=0

n

(1−2 pi' (x i ) (x−x i ))(p i ( x ))2 y i+∑i=0

n

(x−x i )( pi ( x ))2 y i'

pri cemu je:

pi ( x )=(x−x0 ) (x−x1 )… (x−x i−1 ) ( x−xi+1 )…(x−xn)

(x i−x0 ) (x i−x1 )… (x i−x i−1) (x i−x i+1)… (x i−xn )

68. Kako glasi Hermitov interpolacioni polinom, kako glase I koje osobine imaju pomoćni polinomi koji se u izrazu pojavljuju?

Hermitov interpolacioni polinom glasi :

P2n+1 ( x )=∑i=0

n

(1−2 p i' (x i ) (x−x i ))( pi(x))2f i+∑

i=0

n

(x−x i )( pi(x ))2 f i'

.Pomocni polinomi su :

ui ( x )=(1−2 pi' (x i ))(p i(x))2,

v i ( x )=(x−x i )( p i( x))2.

Koji imaju osobinu : Ako su ui I v i polinomi stepena 2n+1, takvi da

je

ui (x j )=δij ,u i ' (x j )=0 , v i (x j )=0 , v i ' (x j )=δijGdje je δ ij

KRONECKERov symbol.

69.Greška Hermitovog interpolacionog polinoma (komentarisati uticajne faktore)

Da bismo odredili grešku interpolacije , posmatrajmo pomoćnu funkciju:

φ (t )=f (t )−P2n+1 (t )−(π n+1 (t ) )2

(πn+1 ( x ) )2( f ( x )−P2n+1 ( x )) ,

(1)

Gdje je x fiksirano I razlicito od x0 , x1 ,…,ili xn .

Kako je φ (xk )=0 iφ ' (x k)=0 za k=0,1,…,n,

zakljucujemo da φ ( t )ima n+1 dvostrukih nula. Za t=x vazi

φ ( x❑)=0 . Prema tome , φ ( t ) ima 2n+3 nule,

racunajuci I visestrukost nula, te prema ROLLEovoj teoremi postoji t = ξ

za koje vazi jednakost φ (2n+1 ) (ξ )=0 , pri cemu je

min (x0 , x1 ,…,xn , x)<ξ<max (x0 , x1 ,…,xn , x ) Ako desnu stranu jednakosti (1) diferenciramo 2n+2 puta I uvedemo t =

ξ , nalazimo

f (2n+2 ) (ξ )− (2n+2 ) !

(πn+1 ( x ) )2( f ( x )−P2n+1 ( x ) )=0

Odakle dobijamo greku

Rn ( x )=f ( x )−P2n+1 ( x )= f (2n+2 )(ξ)(2n+2 )! (π n+1 (x ) )2

70.Pokazati cemu je jednako v i (x j ) i v i ' (x j ) u izrazu

za Hermitov interpolacioni polinom.

v i (x j )=0 , v i ' (x j )=δij Gdje je δ ijKRONECKERov symbol.

71. Objasniti gresku Lagrangeovog I Hermitovog interpolacionog polinomaGreska Lagrangeovog interpolacionog polinomaGreska interpolacije R(x) definise se kao razlika funkcije f i interpolacionog polinoma Pn tj , R(x)= f(x) – Pn(x).U interpolacionim cvorovima greska je jednaka nuli jer je f(Xk)=Pn(Xk)(k=0,1,2,3…,n)Da bismo odredili gresku u ostalim tackama , posmatrajmo funkciju :

φ ( t )=f (t )−Pn ( t )−(π n+1 ( t ) )2

(πn+1 ( x ) )2( f ( x )−Pn (x ) ) ,

(1)


Funkcija t→φ (t ) se anulira za t=xk , dakle u n+1

tacaka jer je (πn+1 (xk ))=0. S druge strane , φ ( t )

se anulira za t=x.

Prema tome , φ (t ) ima n+2 nule. Primjenimo li ROLLEovu teoremu

, zakljucujemo da postoji neko t=ξ , gdje je

min (x0 , x1 ,…,xn , x)<ξ<max (x0 , x1 ,…,xn , x )

, za koje je φ (n+1 ) (ξ )=0.Ako desnu stranu jednokosti (1) diferenciramo n+1 puta po t , vodeci racuna da je

(P¿¿n (t))(n+1)=0 i (πn+1 ( x ) )(n+1)= (n+1 )! ¿, dobijamo

R❑ ( x )=f ( x )−Pn ( x )= f (n+1 )(ξ)(n+1 )! (π n+1 (x ) )❑

Greška Hermitovog interpolacionog polinomaDa bismo odredili grešku interpolacije , posmatrajmo pomoćnu funkciju:

φ (t )=f (t )−P2n+1 (t )−(π n+1 (t ) )2

(πn+1 ( x ) )2( f ( x )−P2n+1 ( x )) ,

(1)


Kako je φ (xk )=0 iφ ' (x k)=0 za k=0,1,…,n,

zakljucujemo da φ (t )ima n+1 dvostrukih nula. Za t=x vazi

φ ( x❑)=0 . Prema tome , φ ( t ) ima 2n+3 nule,

racunajuci I visestrukost nula, te prema ROLLEovoj teoremi postoji t = ξ

za koje vazi jednakost φ (2n+1 ) (ξ )=0 , pri cemu je

min (x0 , x1 ,…,xn , x)<ξ<max (x0 , x1 ,…,xn , x ) Ako desnu stranu jednakosti (1) diferenciramo 2n+2 puta I uvedemo t =

ξ , nalazimo

f (2n+2 ) (ξ )− (2n+2 ) !

(πn+1 ( x ) )2( f ( x )−P2n+1 ( x ) )=0

Odakle dobijamo greku

Rn ( x )=f ( x )−P2n+1 ( x )= f (2n+2 )(ξ)(2n+2 )! (π n+1 (x ) )2

72.Objasniti osobine Čebišljevih polinomaČebišljev polinom Tn definisan je sa :

T n=cos (narccos x ) (n=0,1,… ) , (1)

Pri cemu uzimamo da je xє[-1,1].Iz jednakosti (1) za n=0 I n=1 redom dobijamo To(x)=1,T1(x)=x. Koristeci se identitetom cos2Ѳ=2cos2Ѳ-1, za Ѳ=arcos x imamo T2(x)=2x2-1 .Pomocu razvoja fje cos nѲ po stepenima cosѲ nalazimo opsti izraz za ČEBIŠLJev polinom

T n ( x )=∑k=0

[n/2]

(−1)k nn−k (n−k

k )2n−2k−1 xn−2k (n≥1 ; xϵ [−1,1 ] ) .Iz datog izraza za n=0,1… moze se zakljuciti das u ČEBIŠLJEVI polinomi ili PARNE ili NEPARNE funkcije.Oni se mogu dobiti I rekurzivnim postupkom ako se znaju prva dva polinoma T0 I T1 .

Čebišljev polinom Tn ima n realnih I različitih nula u interval (-1,1).Ove nule dobijamo direktno iz jednacine :

cos (narcos x )=0⇒arccos x=2k+1n

π2

, odakle je

xk=cos ( 2k+1n

π2 )(k=0,1 ,.. , n−1)

Čebišljev polinom ima minimaks osobinu.Minimaks osobina Čebišljeva polinoma se primjenjuje u procesu ekonomizacije potencijalnih redova.Teorema. ZaČebišljev polinom Tn(x) važi nejednakost

max|x|≤ 1

|21−nT n ( x )|≤max|x|≤1

|Pn (x )|(n≥1 ) .

73.Objasniti min-max osobinu Čebišljevih polinomaPostavimo najprije sljedeci elementaran zadatak:Odrediti parameter a I b tako da je max|x2+ax+b| minimalan za xє[-1,1].Drugim rijecima , treba naci a I b tako da kvadratni trinom, ciji je koeficijent uz x2

jedinica, najmanje odstupa od x-ose.S obzirom da sve parabole y=x2+ax+b mogu translacijom da se poklope, jednostavno se geometrijski uvjeravamo da je trezeni polinom x2 – ½, u kome prepoznajemo 1/2T2(x).Sto predstavlja minimaks osobinu.

74.Koja je greška I Newtnovog interpolacionog polinoma.

Pn ( x )=f 0+x−x01!h

∆ f 0+…+(x−x0) (x− x1 ) ..(x−xk−1)

k !hk∆k f 0+…+

(x−x0 ) (x−x1 )..(x−xn−1)

n !hn ∆n f 0 ,

Tj.

f ( x )=Pn ( x )+R(x ), gdje je R greska

aproksimacije a polinom Pn prvi Newtonov interpolacioni polinom.

R❑ ( x )=f ( x )−Pn ( x )= f (n+1 )(ξ)(n+1 )! (π n+1 (x ) )❑

75.Kad je moguce i kada je pogodno primjeniti I , a kada II Newtonov interpolacioni polinom I zasto?Prvi Newtonov interpolacioni polinom koristi se za početnu grupu podataka, ili grupu podataka koja se nalazi u sredini čitave grupe. U slučaju kada je nepohodno primjeniti metodu na posljednju grupu podataka ,neophodne razlike unaprijed ne postoje, pa se koristi tzv. Drugi Newtonov interpolacioni olinom ili Newtonov interpolacioni polinom za diferenciranje unazad.Prvi NEWTONov interpolacioni polinom dobili smo primjenom operatora Es na f0 , gdje je s realni parameter , koiji oznacava za koliko koraka odstupa x od x0.Ako je 0 < s < n, radi se o interpolaciji, tj. Nalazimo vrijednost funkcije između interpolacionih čvrova. Za s<0 imamo ekstrapolaciju levo od x0, a za s>n ekstrapolaciju desno od x0. Međutim , ovaj interpolacioni polinom primjenjujemo za izracunavanje funkcija za argument koji su bliski x0 . Zaista , ako posmatramo I N.I.P. uocavamo da je f0 njegov glavni dio (za argument bliske x0) I ako bismo htjeli da povecamo tacnost izracunavanja funkcije, trebalo bi povecati stepen polinoma.DODATAK: Postoje dva fundamentalno razlicita pristupa za određivanje približnih funkcija koje se koriste za opisivanje zavisnosti grupe podataka:1.interpolacija , ili tacno poklapanje2.aproksimacija, ili priblizno poklapanjeInterpolacija dovodi do funkcija koje tacno prolaze kroz sve zadate tacke, kao na slici1.Interpolacija se obicno koristi za mali broj podataka.Nasuprot tome, aproksimacijom se dolazi do funkcija koje prolaze kroz grupu podataka na najbolji moguci nacin, bez obaveze da tacno prođu kroz zadate tacke , slika2.Aproksimacija je veoma

pogodna za velike grupe podataka,lijepo grupisane podatke, te male I velike grupe razbacanih podataka.

76.Objasniti srednjekvadratnu aproksimacijuNeka je fja x f(x) definisana na segment [a,b] I neka je dat skup funkcija {𝜑i} (i=0,1,..,n).Funkciju f aproksimiracemo pomocu linearne kombinacije funkcija 𝜑0 ,𝜑1 ,..,𝜑n , tj.

f ( x )≈g (x )=∑i=0

n

Ciφi ( x ) ,Tako da je srednje kvadratno odstupanje f od g u odnosu na tezinsku funkciju x w(x)≥0 I segment [a,b] minimalno.Ekvivalentan problem je minimizacija srednje kvadratnog odstupanja.Prema tome, treba naci minimum funkcije

(C0 ,C1 ,.. ,Cn )→ρ (f , g )2= 1b−a

∫a

b

w (x )( f ( x )−∑i=0

n

C iφ i ( x ))2dx .

Kao sto se vidi , ρ2 je pozitivno određena kvadratna forma od

C0 ,C1, .. ,Cn. Minimum ove forme nalazimo iz uslova

∂ ρ2

∂Ck

=0 (k=0,1 , .., n ) ,Tj

−2∫a

b

w ( x )( f (x )−∑i=0

n

Ciφi ( x ))❑

φk( x)dx=0 (k=0,1 ,.. , n ) .Ako sa x→Rn(x) oznacimo gresku aproksimacije , tj.

Rn ( x )=f ( x )−g ( x )=f ( x )−∑i=0

n

C iφ i ( x ) ,Ovi uslovi se svode na to da greska R n(x) mora biti ortagonalna sa baznim funkcijama 𝜑0 ,1 ,..,𝜑n, a stoga I sa funkcijom g. S druge strane, ovo je system linearnih jednacina koji se moze prikazati u obliku

∑i=0

n(φi , φk )C i=( f , φk ) (k=0,1, .. , n ) ,

¿¿

I iz njega izracunavamo parameter C0 ,C1, .. ,Cn.

77.Kada se primjenjuje BANACHIEWICZEV metod? Ovaj specijalan metod za rjesavanje sistema sa simeticnim matricama naziva se metod kvadratnog korjena ili BANACHIEWICZEV metod. Koristi se pri razlaganju matrice A na proizvod donje I gornje trougaone matrice kada je A simetcina pozitivno definitna matrica. Matrica A=||aij|| je prikazana u obliku A=L(U+I) , gdje je L donja trougaona matrica, U strogo gornja trougaona i I jedinicna matrica .

78.Objasniti Croutov metodKoristi se pri izracunavanju elemata a’ ij matrice A=L+U . Iz jednakosti

A x⃗=b⃗ , A=L (U+ I ) , (U+ I ) x⃗= y⃗ i L y⃗=b⃗izlazi

L (U+ I| y⃗ )=( A|b⃗ ) , (1)

Gdje su u zagradama prosirene matrice U+I i A sa matricama kolonama

y⃗ i b⃗ . Izjednacavanjem odgovarajucih elemenata u matricnoj

jednakosti (1) dobijamo formule :

∑k=1

j−1

a 'ika ' kj+a ' ij=aij (i ≥ j ) ,

∑k=1

i−1

a 'ika ' kj+a ' iia 'ij=aij ( i< j ) ,

∑k=1

i−1

a' ik yk+a'ii y i=bi , pri cemu je i . j=1, .. , n .

Iz ovih formula izlazi redom

a ' ij=aij−∑k=1

j−1

a' ika ' kj (i≥ j ) , (1)

a ' ij=1

a 'ii

¿ (2)

y i=1a' ii

(bi−∑k=1

i−1

a' ik yk) .(3)

Izracunavanje ide ovim redom : u (1) se fiksira j=1 dok I ide od 1 do n. U

tom slucaju je ∑k=1

0

a 'ika ' k 1=0 , te je

a ' i1=ai1. Zatim se u (2) stavlja i=1 a j ide od 2 do n. , sto

znaci da se izracunava prva vrsta matrice A’, ukljucujuci i y1 iz (3). Sada se vracamo na (1) I uvodimo j=2, tako da za i=2,..,n nalazimo elemente druge kolone matrice A’, itd. Dakle, iznjeti postupak je istovjetan sa

metodom razlaganja matrice A. Kada se odrede matrice A’ i y⃗ ,

pristupa se povratnoj zamjeni

x i= y i− ∑k=i+1

n

a' ik xk ( i=n ,n−1 ,…,1 ) , (4)Pri cemu je xn=yn.Jednakostima 1,2,3,4 opisan je CROUTOV metod za rjesavanje sistema linearnih jednacina.140.Sta je potreban uslov konvergencije Gaus – Seidelovog metoda (pokazati)Posmatrajmo opsti slucaj od n linearnih jednacina , koji je dat u obliku

x⃗=B x⃗+ c⃗, gdje je B= L + U. (L- strogo donja trougaona

matrica , U-gornja trougaona matrica).Dalje pisemo,

x⃗ (k+1 )=L x⃗ (k+1 )+U x⃗ (k )+ c⃗(1−L ) x⃗ ( k+1 )=U x⃗ (k )+c⃗ tj .x⃗ (k+1 )=( I−L )−1U x⃗ (k )+ (I−L )−1 c⃗ .Matrica ( I−L )−1U je ustvari iterativna matrica koja

odgovara Jacobieovom iterativnom procesu.Za iterativnu matricu

( I−L )−1U karakteristicna jednacina glasi

det (( I−L )−1U−λ I )=0,

Kako je det (I−L )−1U=1 imamo

det (U− λ(I−L))=0

(1)

Uslov konvergencije GAUS-SEIDELOVOG processa je u tome da korjeni jednacine (1) leze u jedinicnom krugu.Kao sto se vidi, jednacina (1) se razlikuje od karakteristicne jednacine Jakobijevog iterativnog postupka u tome sto su elementi strogo donje trougaone ,atrice pomnozeni sa λ. Napomena:Uslovi konvergencije Jacobijevog I Gaus-Seid. Iterativnog postupka su razliciti, sto znaci da ako jedan postupak konvergira , drugo moze da divergira.

Teorema. Gauss-Seidelov postupak sa system A x⃗=b⃗ ,koji je

rijesen redom po x1,…,xn, konvergira ako je ovaj system normalan. Ako

system A x⃗=b⃗ nije normalan, on se moze transformirati na

normalni system ako se pomnozi sa AT, s obzirom da je ATA simetricna I pozitivno definitna matrica.

79.Sta je potreban uslov konvergencije Jakobijevog metodaPosmatrajmo iterativni postupak

x⃗ (k+1 )=B x⃗ (k )+ c⃗ .Pretpostavimo da su poznate sopstvene vrijednosti iterativne matice B,

tj. Korijeni λ1 ,…, λn karakteristicne jednacine

|b11− λ b12 … b1nb21 b22−λ ¿ ¿

¿¿¿bn1¿bn2¿¿bnn−λ¿|=0Iterativne matirice b i odgovarajuci spostveni vektori

β⃗1 ,…, β⃗n, koji su definisani pomocu

B β⃗i= λi β⃗iTeorema.Ako se sopstvene vrijednosti iterativne matrice B nalaze u jedinicnom krugu |z|<1 , tada iterativni process (1) kovergira.

80.Sta je kanonicna norma matrice I koje je dovoljan uslov konvergencije Jacobijevog metoda ?Ako norma matrice zadovoljava sljedece dopunske uslove naziva se se kanonickom normom:5° Neka je |A| matrica ciji su elementi moduli elemenata matrice A.Tada je |aij|≤|| |A| ||6°Iz nejednakosti |A|≤|B| sljeduje ||A||≤||B||, gdje se usvaja da je |A|≤|B| ako je |aij|≤|bij|Za matrice se uvode tri osnovne kanonicke norme:

m-norma: ‖A‖m=maxi

∑j=1

n

|a ij|, tj maksimalan

zbir modula elemenata neke vrste matrice A

l-norma: ‖A‖l=maxj

∑i=1

n

|aij|, tj maksimalan

zbir modula elemenata neke kolone matrice A;

k-norma: : ‖A‖k=¿¿

Teorema. Niz x⃗ (0 ) , x⃗ (1 ) ,…, x⃗ (k ) ,.. ,formiran Jakobievim iterativnim postupkom

x⃗ (k+1 )=B x⃗ (k )+ c⃗ .Konvergira ka jedinstevnom rjesenju jednacine

x⃗=B x⃗+ c⃗ ako je bilo koja kanonicka norma iterativne

matrice B manja od jedinice , pri cemu je x⃗ (0 ) proizvoljno.

143.Izvesti gresku Simpsonove formule

E=∫a

b

e (x)dx=∫a

bω ( x )

(2+1 )!f (2+1 ) (ξ )dx=1

6∫a

b

( x−a )(x−a+b2 ) ( x−b ) f ' ' ' (ξ)dx=−h5

90f (4 )(ξ)

Gdje je ξϵ (a ,b)

81. Pokazati koji su od operatora I,D,∆ komutativni .Operatori D i I su komutativni jer je

IDf (x )=∫x

x+h

f ' ( x )dt=f (x+h )−f ( x )=∆ f (x)

, tj JD=∆

82.Izvesti Newton – Cotesovu formula te pokazati cemu je jednaka greska integracije Za izracunavanje integrala

∫a

b

f (x )dx

prirodno se namece ideja da se podintegralna funkcija interpolira(ili aproksimira) polinomom n-tog stepena pa da se zatim integracija funkcije zamjeni integracijom polinoma.Neka su Mk(xk,fk) (k=0,1,..,n) cvorovi interpolacionog polinoma, pri cemu je fk=f(xk).Aproksimirajmo funkciju x f(x) LAGRANGEOVIM polinomom , datim sa

Pn ( x )=∑i=0

n πn+1(x)(x−x i)π 'n+ 1(x i)

f i,

Gdje je

πn+1 ( x )=(x−x0 ) (x−x1 )… (x−xn ) .Kako je f(x)=Pn(x)+Rx , imamo

∫a

b

f (x )dx=∫a

b

Pn(x)dx+∫a

b

R(x )dx

.Priblizna vrijednost ovog integral iznosi

∫a

b

Pn(x )dx=∫a

b

(∑i=0

n πn+1(x )(x−x i)π ' n+1(x i)

f i)dx

=∑i=0

n

¿¿ (1)

U specijalnom slucaju uzimamo da su x0 , x1 , .., xn

ekvidistantni tj.da je

x i=x0+ih (i=0,1 ,…,n ) , pri cemu je

x0=ai xn=b . Tada iz (1) dobijamo NEWTON –

COTESOVE formule koji imaju vise varijanti. Kako je

f ( x )=Pn ( x )+R ( x ) , gdje je Rn ( x )= f (n+1)(ξ)(n+1 )!

π n+1 (x ), greska Rn(x) numericke integracije iznosi :

Rn ( f )=∫a

b

R(x )dx= 1(n+1 )!∫a

b

f (n+1 ) (ξ )π n+1 (x )dx .

Documents

NUMERIKA Sastavljeno v1_ispravno (1)