Numericne metode II - fmf.uni-lj.sikozak/PedagoskoDelo/Gradiva/NumericneMetodeII... · Metode za reˇsevanje robnih problemov Metode za reˇsevanje robnih problemov delimo v dve skupini:

Nekaj zgledovV robnih problemih resitev diferencialne enacbe zadosca dodatnimpogojem, ki niso vsi predpisani v isti tocki. Ze osnovna zahteva,kot je na primer eksistenca tocne resitve, ni vedno izpolnjena.

ZgledKako se upogne tanka, vodoravno postavljena palica, ki joobtezimo s funkcijo q in togo vpnemo v enem krajiscu ternaslonimo na drugem? Diferencialna enacba, ki ji oblika yzadosca, je

y (4) + k y = q,

torej cetrtega reda. Ce palico togo vpnemo v izhodiscu a, dobimorobna pogoja

y(a) = 0, y ′(a) = 0.

V drugem krajiscu je visina enaka, in ker je palica le naslonjena, jenavor nic, torej

y(b) = 0, y ′′(b) = 0.

J.Kozak Numericne metode II (ISRM) 2011-2012 1 / 21

Streljanje s topomKako s topom zadeti dolocen cilj, ce top stoji v tocki (0, 0) ravnineIR2, cilj pa je (a, 0) ∈ IR2. Naj par (x(t), y(t)) oznaci polozaj kroglev casu t in v := (vx (t), vy (t)) njeno hitrost. Povzemimo preprostmodel, ki opisuje gibanje topovskega izstrelka z diferencialnimienacbami. Te prepisemo v sistem enacb prvega reda,

x ′ = vx , y ′ = vy ,

v ′x = −u(y) vx ‖v‖2/m,v ′y = −g − u(y) vy ‖v‖2/m,

kjer u oznacuje zracni upor, g zemeljski pospesek in m masokrogle. Za zracni upor uporabimo aproksimacijo

u(y) =12cv Sρ0e−

yy0 ,

kjer cv oznacuje koeficient upora, S presek izstrelka,


Streljanje s topom - nadaljevanjeρ0 gostoto zraka na morski gladini in y0 visino, pri kateri se tazmanjsa za faktor e. Zacetna hitrost izstrelka naj bo v0. Ceproblem pogledamo kot zacetni in top postavimo pod kotom θ, je

x(0) = 0, y(0) = 0, vx (0) = v0 cos θ, vy (0) = v0 sin θ.

Trajektorije izstrelka pri konsistentno izbranih enotah in konstantah

cv = 0.2, ρ0 = 1.25, y0 = 10000, g = 9.81, m = 100, S = πr 2, r = 0.1

vidimo na sliki. Vendar nas v resnici ne zanima enoparametricnadruzina resitev zacetnih problemov, ampak tiste resitve, kizadenejo cilj, na primer tocko (20000, 0). Za tocke, ki so v dometutopa, vidimo, da obstajata dve resitvi, dve razlicni topovski poziciji,ki zadeneta cilj. Resda ne po enakem casu, a ce smo se tunatancni in predpisemo, v katerem trenutku zelimo zadetek, boresitev obstajala zelo redko.


Metode za resevanje robnih problemov

Metode za resevanje robnih problemov delimo v dve skupini:metode, ki temeljijo na metodah, razvitih za resevanjezacetnih problemov,metode, razvite neposredno za resevanje robnih problemov.

Prvi skupini metod je skupen razmislek, kako robni problemprevesti na resevanje zacetnih. Ce je problem, ki ga resujemo,linearen, je prevedba dovolj preprosta. Problem je linearen, ce jelinearna diferencialna enacba in so tudi taksni robni pogoji. Tudi zanelinearne probleme poznamo preprosto metodo, ki temelji nastreljanju. V splosnem lahko trdimo, da je prevedba na zacetneprobleme ucinkovita, ce le deluje. Pokaze pa se, da temu ni vednotako, kar bomo spoznali ob numericnih zgledih. Tedaj je trebaposeci po drugi skupini metod.


Metode, razvite posebej za robne probleme:

diferencna metoda: odvode nadomestimo z deljenimidiferencami,kolokacija, resitev iscemo v danem razredu funkcij,najpogosteje v prostorih zlepkov,metoda koncnih elementov: diferencialno enacbo pretvorimo vvariacijsko obliko in diskretiziramo.ipd.


Zapis robnih problemov, primeren za zacetne metode

Robni problem zapisemo lahko tudi v obliki, ki smo je vajeni izresevanja zacetnih problemov, kot sistem diferencialnih enacbprvega reda. Omejimo se na robne pogoje v krajiscih intervala a inb. Treba je poiskati zvezno odvedljivo vektorsko funkcijoy : [a, b]→ IRd , ki zadosca diferencialni enacbi

y′ = f(x , y), x ∈ (a, b)

in robnim pogojemg (y (a) , y (b)) = 0.

Zgoscen zapis (6) in (6) ne poenostavi zapisa numericnih metod vtoliksni meri, kot ga je pri resevanju zacetnih problemov. Zanekatere metode, kot je na primer diferencna, pretvorba na sistemenacb prvega reda ni primerna.


Linearni robni problem drugega reda

y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = r(x), x ∈ (a, b) ,

z linearnima robnima pogojema

α0y(a) + α1y ′(a) = α2, β0y(b) + β1y ′(b) = β2.

Ce izberemo y := (yi )2i=1 := (y , y ′), dobimo zgoscen zapis

y′ = A(x)y + q(x), A(x) := −(

0 1q(x) p(x)

), q(x) :=

(0

r(x)

),

zg (u, z) :=

(〈(α0, α1) ,u〉 − α2〈(β0, β1) , z〉 − β2

).


Prevedba robnega na zacetni problem

Oznacimo z y( . ; s) resitev zacetnega problema

y′ = f(x , y), x ∈ (a, b) , y(a) = s.

Za f, ki zadosca zahtevam eksistencnega izreka, bo zacetniproblem imel resitev za vsak s ∈ IRd . Ker resujemo robni problem,iscemo s, za katerega so izpolnjeni robni pogoji

g (s, y (b; s)) = 0.

To pomeni, da smo resevanje robnega problema prevedli na iskanjeresitve sistema enacb, ki je v splosnem nelinearen. V izracunufunkcije g je skrito resevanje zacetnih problemov. Ker izbiramoparametre s in pri tem skusamo zadeti robne pogoje, metodirecemo strelska metoda. Za dolocen tip robnih problemov dokazujeeksistenco in enolicnost resitve prav ena od poti strelske metode.


OpozoriloZacetni problemi, ki jih spotoma resujemo, imajo ob izpolnjenihpredpostavkah vedno resitev. To ne pomeni, da vedno obstaja tudiresitev robnega problema. Ali da je celo zagotovljena njenaenolicnost.

Ce sta diferencialna enacba in robni pogoji linearna v iskanem y,resevanje sistema naravno poenostavimo. Treba je poiskati dovoljveliko stevilo neodvisnih resitev, da njihovo linearno kombinacijorobni pogoji dolocajo enolicno.


Linearni robni problemResitev robnega problema iscimo kot linearno kombinacijoy = s u + v. Iskani u naj bo resitev homogene, v pa nehomogeneenacbe,

u′ = A(x)u, v′ = A(x)v + q(x).

Zahtevajmo, da y za vsak skalar s zadosca robnemu pogoju vzacetni tocki a. Sledita pogoja, ki jim morata iskani resitvi u in vzadoscati na zacetku.

〈(α0, α1) ,u(a)〉 = 0, 〈(α0, α1) , v(a)〉 − α2 = 0.

Nekaj svobode je se na voljo pri izbiri u(a) in v(a). Izberemo ju inresimo oba zacetna problema. To da drugi robni pogoj s

s 〈(β0, β1) ,u(b)〉+ 〈(β0, β1) , v(b)〉 − β2 = 0.


Ce je〈(β0, β1) ,u(b)〉 = 0,

resitev homogenega problema zadosca obema homogenimarobnima pogojema, konstanta s je poljubna in jo lahko vzamemokar 0. Sicer pa (10) vrednost s doloca kot

s =−〈(β0, β1) , v(b)〉+ β2〈(β0, β1) ,u(b)〉

.

V obeh primerih dobimo iskano resitev y = s u + v. Resda smo tuodmislili mozne numericne tezave pri izracunu u in v.


V nelinearnih primerih je treba uporabiti eno od znanih metod zaresevanje sistema (6). Pri robnih problemih drugega reda resujemoeno samo nelinearno enacbo in najpogosteje posezemo pometodah:

regula falsi,sekantna metoda,tangentna metoda.

Pri prvi izbiri je tezava, da izberemo zacetni vrednosti parametrovtako, da ”zadetka“ ujameta vrednost, ki jo ciljamo. Pri sekantnimetodi prav tako potrebujemo dva zacetna priblizka, a nas tudilahko neomejeno odnese pri vsakem novem priblizku. Tangentnometodo dodajmo kot zgled.


Robni problem drugega reda, tangentna metoda

y ′′ = f (x , y , y ′), x ∈ (a, b), y(a) = α, y(b) = β,

v zacetni obliki za y = y( . ; s) poenostavljen v

y ′′ = f (x , y , y ′), x ∈ (a, b), y(a; s) = α, y ′(a; s) = s.

Drugi robni pogoj se glasi

g(s) := y(b; s)− β = 0.

Za tangentno metodo potrebujemo poleg vrednosti g tudi vrednostodvoda

dds g(s) =

∂

∂s y(b; s).

To izracunamo tako, da dolocimo vrednost odvodu

ys(x) :=∂

∂s y(x ; s)

na celotnem intervalu [a, b].J.Kozak Numericne metode II (ISRM) 2011-2012 13 / 21

Robni problem drugega reda, tangentna metoda, nadaljevanjeZ odvajanjem prvotne diferencialne enacbe dobimo

y ′′s = fy (x , y , y ′)ys + fy ′(x , y , y ′)y ′s ,

z odvajanjem zacetnih pogojev se

ys(a) = 0, y ′s(a) = 1.

Da dolocimo g ′(s) = ys(b), moramo dodatno resiti se en zacetniproblem, skupaj na vsakem koraku po dva.


Robni problemi kot diskretni sistemi enacbDiferencna metoda je najpogosteje uporabljana metoda zaresevanje robnih problemov. Temelji na diskretni aproksimacijiodvodov. Pri tej metodi ne uporabljamo prevedbe problema nasistem enacb prvega reda. Zato si od tu naprej poenostavimo zapisin predpostavimo, da je iskana funkcija skalarna. Vzemimo, daresujemo robni problem reda m,

y (m) = f(

x , y , y ′, . . . , y (m−1)), x ∈ [a, b],

z robnimi pogoji

gi(

y(a), y ′(a), . . . , y (m−1)(a); y(b), y ′(b), . . . , y (m−1)(b))

= 0,(0.1)

i = 1, 2, . . . ,m.Interval vnaprej razdelimo na n podintervalov, najpogostejeekvidistantno,

xi = a + i h, i = 0, 1, . . . , n , h :=b − a

n ,

in iscemo diskretno aproksimacijoyi ≈ y(xi ), i = 0, 1, . . . , n,

pravi resitvi y . Enacbe, ki dolocajo iskane yi , dobimo tako, dadiferencialno enacbo (15) zapisemo v tockah xi . Vse odvode, kinastopajo, zamenjamo z diferencnimi aproksimacijami, v katerihnamesto y (xi ) uporabimo numericne priblizke yi . Pri temupostevamo robne pogoje (0.1), v katerih prav tako aproksimiramoodvode z deljenimi diferencami. Pri teh aproksimacijah poskrbimo,da imamo toliko enacb kot neznank. Ce je prvotni problemlinearen, je taksna tudi diskretna aproksimacija. Numericnevrednosti yi dobimo z resevanjem sistema linearnih enacb. Sicer jetreba resiti sistem nelinearnih enacb.


Zgledi diferencnih aproksimacij odvodov

Diskretne enacbe v tockah xi , ki so tako blizu enega od obehkrajisc intervala, da je treba upostevati tudi robne pogoje,zahtevajo posebno pozornost. Neredko so prava nadloga pripripravi programov za resevanje robnih problemov. Prav zatonajpogosteje posezemo po aproksimacijah odvodov, ki temeljijo nakar se da malo sosednjih tockah. Ce je le mogoce, so diferencneaproksimacije simetricne, torej za red boljse kot primerljivenesimetricne, na primer

y ′(xi ) =y (xi+1)− y (xi−1)

2h +O(

h2),

y ′′(xi ) =y (xi+1)− 2yi + y (xi−1)

h2 +O(

h2),

y (4)(xi ) =y (xi−2)− 4y (xi−1) + 6y (xi )− 4y (xi+1) + y (xi+2)

h4 +O(

h2).


Vzemimo diskretno aproksimacijo diferencialne enacbe v tocki xi .Ker so odvode zamenjale diference, je nastala v vsaki od tock nekaokrnitvena napaka. To vpeljemo kot definicijo lokalne napake priresevanju robnih problemov.

Definicija

Lokalna napaka pri resevanju robnih problemov v dani tocki jerazlika, ki jo v tej tocki dobimo, ce od diferencialnega operatorja nagladki funkciji odstejemo diferencno aproksimacijo na tej funkciji.

V definicijo bi lahko vkljucili zahtevo, da je funkcija, ki nastopa,tudi resitev diferencialne enacbe. Temu smo se izognili, saj vemo,da so z eksistenco resitve lahko tezave, lokalna napaka pa jevseeno dobro definirana. Tam, kjer to potrebujemo zaradi visjihredov aproksimacije, to posebej povemo.Ob diskretizaciji skusamo paziti, da je lokalna napaka v vsehtockah istega reda. Dobro je tudi ohranjati naravo diferencialnegaoperatorja: ce je diferencialni operator simetricen ali pozitivnodefiniten, naj bo taksen tudi diskretni problem.


Diskretna aproksimacija z lokalno napako O(h2)

Diferencialno enacbo

y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = r(x), x ∈ [a, b] ,

v tocki xi zamenja izraz

yi−1 − 2yi + yi+1h2 + pi

yi+1 − yi−12h + qi yi = ri , i = 1, 2, . . . , n−1,

z pi := p(xi ), qi := q(xi ) in ri := r(xi ). Oznacimo lokalno napakov xi z τi . Za y ∈ C 4([a, b]) je ta drugega reda,

τi = τi (y) =(

y ′′(xi ) + p(xi )y ′(xi ) + q(xi )y(xi )− r(xi ))−

−(

y(xi−1)− 2y(xi ) + y(xi+1)

h2 + p(xi )y(xi+1)− y(xi−1)

2h +

+ q(xi )y(xi )− r(xi )

)= O

(h2).


Diskretna aproksimacija z lokalno napako O(h2), nadaljevanje

Linearna robna pogoja

α0y(a) + α1y ′(a) = α2, β0y(b) + β1y ′(b) = β2

diskretiziramo tako, da je tudi tu lokalna napaka reda O(h2).

Izberemo aproksimacijo

α0y0 + α1−3y0 + 4y1 − y2

2h = α2,

β0yn + β13yn − 4yn−1 + yn−2

2h = β2 .


Diskretna aproksimacija z lokalno napako O(h2), nadaljevanje

Dobimo sistem linearnih enacb za neznane yi , z matriko oblike

× × ×× × ×× × ×

. . . . . . . . .× × ×

× × ×× × ×

∈ IRn+1,n+1 ,

ki je skoraj tridiagonalna. Gaussova eliminacija linearne sistemeenacb s taksno obliko matrike resi v linearnem casu O (n).


Zgled konvergencnega izreka

IzrekNaj za robni problem

y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = r(x), x ∈ [a, b] , y(a) = α, y(b) = β,

velja q ≤ q < 0 za neko konstanto q. Funkcije p, q inr naj bodo gladke. Naj bo (yi )

ni=0 numericna resitev,

ki jo da diskretizacija, ki smo jo uporabili. Tedajobstaja h0 > 0, taksen, da za vse h, 0 < h ≤ h0 velja

max0≤i≤n

|yi − y(xi )| = O(

h2).


Documents

Numericne metode II - fmf.uni-lj.sikozak/PedagoskoDelo/Gradiva/NumericneMetodeII... · Metode za reˇsevanje robnih problemov Metode za reˇsevanje robnih problemov delimo v dve skupini: