UNIVERZITET U NIU MAINSKI FAKULTET

NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINAPOSTAVKAPROBLEMA,EGZISTENCIJAREENJA,JEDNOKORANIMETODIDoktorant:DraganaDimitrijevi167Mentor:drLjiljanaPetkoviPredmet:NumerikaanalizaJanuar,2014

Sadraj1. Uvoduobinediferencijalnejednaine...................................................................................................12. Egzistencijareenja...................................................................................................................................33. Jednokoranimetodi.................................................................................................................................43.1. Ojlerov(Eulerov)Metod..............................................................................................................4

3.1.1. PrimereksplicitnogOjlerovogmetoda........................................................................................63.1.2. PrimerimplicitnogOjlerovogmetoda.........................................................................................8

3.2. MetodiRungeKuta(RungeKutta).......................................................................................93.2.1. PrimerklasinemetodeRungeKuta........................................................................................11

Literatura..........................................................................................................................................................12

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|1

1. Uvoduobinediferencijalnejednaine

Reavanjediferencijalnihjednainajeproblemkojiseestojavljauraznimprimenama.Mnogediferencijalnejednainepredstavljajumatematikemodeleraznovrsnihprocesau prirodi, drutvu, prirodnim, drutvenim i tehnikim naukama, i kao takve imajumnogobrojneprimene.Dokjenekimjednainamareenjemogueeksplicitnoizrazitipomoupoznatih funkcija,dalekosubrojnijeone,kojesuodpraktinog interesa,zakojenemoemonapisatiegzaktnoreenje.Takve jednaine reavamonumeriki.Ponekad je akbre i jednostavnije izraunatireenjenumerikimputemumjestodugotrajnimanalitikimpostupkom.Numerikoreenjediferencijalne jednaineesto je izraenouoblikutabelepriblinihvrednostitraenefunkcije.Jednaina koja pored nepoznate funkcije i njenog argumenta sadri jo i izvodenepoznatefunkcijeilinjenediferencijalenazivasediferencijalnajednaina.Akosvenepoznatefunkcijekojeulazeudiferencijalnujednainuzavisesamoodjednenezavisno promenljive, pa samim tim jednaina ne sadri parcijalne izvode, ta sejednainanazivaobinadiferencijalnajednaina(ilikratkodiferencijalnajednainaudaljemtekstuDJ).Funkcijakojazadovoljavatujednainunazivasereenje,odnosnointegraldiferencijalnejednaine.Ako seu obinojdiferencijalnoj jednainipojavljuje samojednanepoznatafunkcija,sasvojimizvodima,ondatakvajednainaimaoptioblik

, , , , , 0 (1.1)

gdeje funkcijaod,i jeprviizvodfunkcijei ntiizvod

funkcijeuzavisnostiodpromenjive.Najvii izvod koji se pojavljuje u diferencijalnoj jednaini naziva se redomdiferencijalnejednaine,paemozajednainu(1.1)recidajentogreda.

, , , , , (1.2)

Jednaina oblika (1.2) naziva se normalan oblik DJ. Za 1 u (1.1) dobijamodiferencijalnujednainuprvogredaoblika:

, , 0 (1.3)

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|2

Akoseova jednainamoe jednoznanoreitipoondasedobijanormalnioblikdiferencijalnejednaineprvogreda

, (1.4) gdeje , ,datafunkcija.

Definicija1.1 U oblasti definisanosti D jednaine (1.4), funkcija definisanazasvako , ,jereenjeovejednaine,akozasvakox(a,b)vai:; , ; , . Definicija1.2 Akojefunkcija , , reenjeDJ(1.4),geometrijskomestotaaka , , jeintegralnakrivareenjailigrafikreenja. Koijev(Cauchy)problemzaDJ(1.4) Za datu taku , odrediti reenje jednaine(1.1),definisanounekojokolini take,kojezadovoljavauslov(Koijevuslov,poetniuslov)

(1.5) ReenjeKoijevogproblema(1.4)(1.5)postojiakopostojiinterval, komepripadatakaiakopostojifunkcija ,definisananatomintervalu,kojajereenjeDJ(1.4)ikojazadovoljavauslov(1.5).Geometrijski,reitiKoijev(poetni)problemznainaiintegralnukrivudateDJkojaprolazikroztaku, .

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|3

2. Egzistencijareenja

Fundamentalnapitanjakoja sepostavljajuu veziKoijevog reenja su egzistencija ijedinstvenostreenja.Definicija1.4 PodskupoblastidefinisanostiDJ(1.4)krozijusvakutakuprolazineka integralnakriva,naziva seoblastegzistencije reenjaovogsistema.Ako,poredtoga,krozsvakutakuoveoblastiprolazisamojednaintegralnakriva,takvaoblastjeoblastegzistencijeijedinstvenostireenja.Da bismo izloili teoremu koja daje dovoljne uslove za egzistenciju i jedinstvenostreenjaDJmoramonajpreuvestipojamLipicovog(Lipschitz)uslova.Definicija1.5 Funkcija , , zadovoljava Lipicov uslov sakonstantom 0 po promenljivoj u oblasti , ako za bilo koje dve take, , , izvai

|, , | | | (1.6)

Teorema1.1Pikarova(Picard)Teorema Neka je funkcija , definisanaineprekidnauoblastiinekazadovoljavaLipicovuslovsakonstantompo promenljivoj na svakom kompaktu sadranom u . Tada kroz svaku taku, prolazi samo jedno reenje diferencijalne jednaine , ,definisanounekojokolinitake,kojezadovoljavapoetniuslov .Uobiajeni postupcidokazivanja ove teoreme sumetod sukcesivnih aproksimacija iprimenaBanahove(Banach)teoremeonepokretnojtaki.

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|4

3. Jednokoranimetodi

Posmatrajmo diferencijalnu jednainu prvog reda sa datim poetnim uslovom,definisanuuoblasti, :

, , , (3.1) Kao to smo ve napomenuli u uvodnom delu, numeriko reenje jednaine (3.1)dobijamo u vidu priblinih vrednosti , 1,2, , traene funkcije, u nizuekvidistantnihtaaka: , , , , 1, 2, , (3.2) Odnosnouvidutabele, 1, 2, , .Koraksenazivaintegracionikorak.

3.1. Ojlerov(Eulerov)Metod

Pretpostavimodajefunkcijaneprekidnazajednosasvojimprvimidrugimizvodom.TadanaosnovuTajlorove(Taylor)aproksimacijepostojitakaizmeutaakai , takvadaje

(3.3) Obzirom na to da je , i , sledi da za imamo

, (3.4)

Akopretpostavimodajekorakdovoljnomali,moemozanemaritiposlednjilannadesnojstraniizaaproksimacijutanevrednostiuzetiza

, (3.5) Ovajpostupaksemoenastavitizaraunanjepriblinihvrednosti, , utakama, , pomouformule

, , 1, 2, 1 (3.6) Formula (3.6) definie eksplicitniOjlerovmetod koji predstavlja najjednostavnijiprimer eksplicitne jednokoranemetode.Geometrijski (Slika 3.1) ovo znaida se iztake, do take, umestodu integralnekrivekreemodutangente , .

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|5

Slika3.1EksplicitniOjlerovmetodNa ovaj nain dobijamo niz taaka , , 1, 2, , , ijim spajanjem nastajepoligonalna linijakoja sezoveOjlerovpoligon.Ovapoligonalna linijaaproksimiragrafiktraenefunkcije.Usvakomkorakudefinisanomformulom(3.6)uinjenajegrekajednakaizostavljenomlanu

(3.7)

Podogovoru,kaemodajemetodaptogredatanosti,akojenjenalokalnagrekareda

(3.8) Uskladusadogovorom(3.6),kaemodajeOjlerovametodaprvogredatacnosti.NaSl.3.2 data je graficka ilustracija lokalne grekeOjlerovemetode.Metode prvog redatanosti sunajmanje tanemetode i radipostizanja zahtevane tanostinumerickogreenjaDJ,unekimproblemimaneophodnojeodabrativrlomaleintegracionekorake.

Slika3.2LokalnagrekaOjlerovemetode

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|6

3.1.1. PrimereksplicitnogOjlerovogmetoda

Priblino odrediti reenje Koijevog problema na intervalu 0,0.5 sa 0.1korakom.Uporedititanoreenjeproblemasapriblinim.

2 2 0 1 ReenjeTanoreenjeproblemaje 1

DabikoristiliOjlerovmetod,prvoemotransformisatijednainu 2 2 toznaidaje, 2 2 idaje 0i 1

0,1 2 2 1 1 1 0.1 1 0.9

Dakleza 0.1imamo 0.9Nasledeemkorakuimamo

0.1,0.9 2 2 0.9 . 0.470320046 0.9 0.1 0.470320046 0.852967995

Dakle za 0.2 imamo da je 0.852967995, ostale vrednosti daemo tabelarno, gde smo greku raunali po sledeoj formuli

| | 100

tano Greka%0 0 1 1 01 0.1 0.9 0.925794646 2.792 0.2 0.852967995 0.889504459 4.113 0.3 0.837441500 0.876191288 4.424 0.4 0.839833779 0.876283777 4.165 0.5 0.851677371 0.883727921 3.63

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|7

Kakobismodobilipreglednijigrafikposmatraemoproblemanaintervalu 0,5saistim korakom 0.1. Tabelarno emo dati prikaz za svako deseto, odnosno zacelobrojnevrednosti

Slika3.2Grafikreenjanaintervalux[0,5]sakorakomh=0.1

Implicitnemetodesustabilnijeuodnosunaeksplicitneistogaredatanosti.Bazirajusenaidejidasepriaproksimacijiizvoda, funkcije,radiprocenjivanjavrednostifunkcije u narednoj taki, ukljuci i taka u kojoj je vrednostfunkcije, nepoznata idaseondazahvaljujui iterativnomodreivanjuiztakodobijeneimplicitneformule(metoduzastopnihzamena)poveastabilnostraunskogprocesa.Implicitnemetodesadredveformule:

prediktor formulu,koja slui zaodreivanjeprveprocene za,pomounekeeksplicitnejednokoranemetode

korektorformulu,kojajeimplicitnaiijimseiterativnimkoricenjem(metoduzastopnihzamena)dobija,saunapredzadatompreciznou.

izlaznikriterijumzaokonanjeiteracionogprocesa

tano Greka%0 0 1 1 010 1 0.9313244 0.9414902 1.0820 2 0.9913681 0.9910099 0.03630 3 0.9990501 0.9987637 0.02940 4 0.9998976 0.9998323 0.006550 5 0.9999890 0.9999773 0.0012

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|8

Takose implicitnomOjlerovommetodom,koja je,kao iodgovarajuaeksplicitnametoda,drugogreda,vrednostfunkcijeraunakao:

, , 0,1, , 1 (3.9)

aprediktorikorektorformuleiizlaznikriterijumsu:prediktor , (3.9a)korektor , ,

0,1, , 1(3.9b)izlaznikriterijum (3.9c)

3.1.2. PrimerimplicitnogOjlerovogmetoda

ReitiproblempoetnihvrednostiimplicitnomOjlerovommetodomnaintervalu0,1 0.2 ;0 1;sakorakom 0.2ReenjeKoristimoformule

, 0.2

2 , , 2 0.2

0.2

Reenjasudatatabelarno

0 0 1 1 0.2 1.036808 1.022 0.4 1.0605387 1.054307423 0.6 1.05380476 1.067033554 0.8 0.99764746 1.040014855 1 0.87173876 0.95355347

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|9

3.2. MetodiRungeKuta(RungeKutta)

JedneodnajpoznatijihjednokoranihmetodasuRungeKutametode.Onesezasnivajuna primeni Tajlorovog reda ali izbegavaju izraunavanje izvoda date diferencijalnejednaine.Kodovihmetodajefunkcijaoblika

, , , , (3.10)

, , , , , , 1, 2, , (3.11)

BrojzovemobrojredaRungeKuta(RK)metode,ionoznaavakolikoputamoramoraunati funkcijuu svakomkoraku.Koeficijentima , , ,definiu se razliitemetode,najeesebirajutakodaredmetodebudetojemoguevei.Izizraza(3.11)vidimodase nalazinalevojinadesnojstranijednaine,tj.zadatjeimplicitnotegovorimooimplicitnojRKmetodi.Upraksisenajviekoristemetodegdeje 0za .Tada moemoizraunatipreko , , tj. funkcije su zadane eksplicitno. Takve RKmetode nazivamoeksplicitnima.OdabraemokoeficijentezaRKredadva

, , , , , , (3.12)

, , , (3.13)

, , , (3.14)

RazvojemreenjadiferencijalnejednaineuTajlorovred,iprimenomdefinicijelokalnegrekediskretizacije,dobijamosledeeuslove

1 0 (3.15)dabimetodbioreda1,idabimetodbioreda2koeficientetrebaodabratitakodajei

0 (3.16)

Uvoenjem slobodnog koeficijenta reenje ove dve jednainemoemo napisati uobliku

0, 1 , (3.17)

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|10

Hojnova(Heunova)metoda(RK2) 12

, ,

OjlerKoijevametoda(RK2)

, , 1

KlasinaRungeKutemetoda(RK4)

16 2 2 ,

2 , 2

2 , 2

, skametoda (RK4)

18 3 3 ,

3 , 3

3 , 2

, Gilova(Gill)metoda(RK4)

16 2 2 2 2 ,

2 , 3

2 , 2 1

2 2 2

2

, 22 2 2

2

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|11

3.2.1. PrimerklasinemetodeRungeKuta

KoristeiRungeKutaformule 4redatanosti,priblinoreitiKoijevzadatak 2 3,0 2za 0,0.5sakorakom 0.1ReenjeKoristimoformuleza 4. , 2 ,

2

2 , 2

, y 6 2 2 Za 0 0 2 0,2 2 2 0 3 1.0000

0 0.12 , 2 0.12 1 0.05,1.95 1.95 2 0.05 3 0.9500

0 0.12 , 2 0.12 0.9500 0.05,1.9525 0.9474

0 0.1,2 0.1 0.9474 0.1,1.9053 0.8947

y 2 0.16 1 2 0.95 2 0.9474 0.8947 1.9052

Reenjediferencijalnejednaineje 2 1izuslovdaje0 2sledidaje 1.Formiramotabelu

|| || || || tano0 0 2.0000 1.0000 0.9500 0.9474 0.8947 21 0.1000 1.9052 0.8948 0.8396 0.8368 0.7785 1.90522 0.2000 1.8214 0.7786 0.7175 0.7145 0.6500 1.82143 0.3000 1.7499 0.6501 0.5826 0.5793 0.5081 1.74994 0.4000 1.6918 0.5082 0.4336 0.4299 0.3512 1.69185 0.5000 1.6487 1.6487

DraganaDimitrijevi|NUMERIKOREAVANJEOBINIHDIFERENCIJALNIHJEDNAINA|12

Literatura

AriehIserles,Afirstcourseinthenumericalanalysisofdifferentialequations,CambridgeUniversityPress,1996.IvanIvani,Numerikamatematika,Element,Zagreb,1998.J.Stoer,R.Bulirscha,Introductiontonumericalanalysis,TextsinAppliedMathematics12,SpringerVerlag,NewYork,2002.PetkoviLjiljana,Numerikaanaliza,MainskifakultetNi,2003,SvetlanaJankovi,Diferencijalnejednaine,PrirodnomatematikifakultetNi,2004.