Numericka matematika - *2ex5. predavanje

Numericka matematika

5. predavanje

Saša Singer i Nela Bosner

PMF - Matematicki odsjek, Zagreb

1 / 158

Sadržaj predavanja

Interpolacija polinomimaKoliko je “dobar” interpolacijski polinom?Interpolacija u Cebiševljevim tockamaHermiteova polinomna interpolacija

Po dijelovima polinomna interpolacijaPo dijelovima linearna interpolacijaPrimjer za linearnu splajn interpolacijuPo dijelovima kubicna interpolacijaPo dijelovima kubicna Hermiteova interpolacija

2 / 158



3 / 158



4 / 158

Koliko je dobar interpolacijski polinom?

U praksi se obicno koristeI interpolacijski polinomi niskih stupnjeva — do 5.

Zašto?

Za neke funkcije i za neke izbore tocaka interpolacije,povecavanje stupnja interpolacijskog polinomaI može dovesti do povecanja grešaka.

Promotrimo nekoliko karakteristicnih primjera. Legenda:I crna boja — funkcija f ,I crvena boja — interpolacijski polinom pn.

Ekvidistantna mreža s n + 1 cvorova u intervalu [a,b] imacvorove x (n)

k = a + k · hn, za k = 0, . . . ,n, uz hn = (b − a)/n.

5 / 158

Primjer — logaritamska funkcija

Promotrimo grafove interpolacijskih polinoma stupnjeva 1–6 kojiinterpoliraju funkciju

f (x) = log10(x)

na ekvidistantnoj mreži za x ∈ [0.1,10].

Primijetit cete da je greška interpolacijeI najveca na prvom intervalu.

Razlog: funkcija log10(x) ima singularitet u 0, a pocetna tockainterpolacije 0.1 je vrlo blizu tog singulariteta.

Nadalje, promotrite kako se interpolacijski polinom ponašaizvan intervala interpolacije (tzv. “ekstrapolacija”).

6 / 158

Logaritam — ekvidistantna mreža

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

1

x

y

1

Ekvidistantna mreža,interpolacijski polinom stupnja 1.

7 / 158


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

1

x

y

1


8 / 158


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

1

x

y

1


9 / 158


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

1

x

y

1


10 / 158


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

1

x

y

1


11 / 158


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

1

x

y

1


12 / 158

Logaritam — ekvidistantna mreža, greška

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.5

0.5

1

x

y

1

Ekvidistantna mreža,greška interpolacijskog polinoma stupnja 1.

Pratite skalu na y -osi.

13 / 158


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.5

0.5

1

x

y

1



14 / 158


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.5

−0.25

0.25

0.5

x

y

1



15 / 158


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.5

−0.25

0.25

0.5

x

y

1



16 / 158


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.25

0.25

x

y

1



17 / 158


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.25

0.25

x

y

1



18 / 158

Primjer Runge

Njemacki matematicar Runge (1901. g.) prvi je uocioI probleme koji nastupaju kod interpolacije polinomima na

ekvidistantnim mrežama cvorova.I Konstruirao je funkciju — poznatu kao funkcija Runge

f (x) =1

1 + x2 , na [−5,5],

takvu da niz interpolacijskih polinoma na ekvidistantnimmrežama ne konvergira prema toj funkciji.

Promotrimo interpolaciju polinomima stupnjevaI 1–6, 8, 10, 12, 14 i 16 (parnost funkcije!),

na ekvidistantnim mrežama cvorova u [−5,5].

19 / 158

Primjer Runge — ekvidistantna mreža

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


20 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


21 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


22 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


23 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


24 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


25 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

x

y

1


26 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

x

y

1


27 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

x

y

1


28 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−5

−3

−1

1

3

5

7

x

y

1


29 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−14

−10

−6

−2

2

6

10

x

y

1


30 / 158

Primjer Runge — ekvidistantna mreža, greška

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


31 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.5

0.5

x

y

1


32 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


33 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.5

0.5

x

y

1


34 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.5

0.5

x

y

1


35 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.5

0.5

x

y

1


36 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

x

y

1


37 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

x

y

1


38 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

1


39 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−7

−5

−3

−1

1

3

5

x

y

1


40 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−10

−6

−2

2

6

10

14

x

y

1


41 / 158

Analiza

Za primjer Runge može se provesti pažljiva analiza (vidiskriptu) i pokazati daI cim je |x | > 3.63 . . ., a interpolira se u ekvidistantnim

cvorovima, niz interpolacijskih polinoma divergira.

Sljedeci primjer pokazuje da postoji još gora situacija — nizinterpolacijskih polinoma konvergira samo u 3 tocke.

Primjer. (Bernstein, 1912. g.) Neka je

f (x) = |x |

i neka je pn interpolacijski polinom u n + 1 ekvidistantnihcvorova na [−1,1]. Tada |f (x)− pn(x)| → 0, kad n→∞, samou tri tocke: x = −1, 0, 1.

42 / 158

Primjer Runge — nastavak

Može li se funkciji Runge “pomoci”? Može!

Ako umjesto ekvidistantnih cvorova interpolacije uzmemoneekvidistantne, tocnije,I tzv. Cebiševljeve tocke,

onda ce, porastom stupnja n, niz interpolacijskih polinoma pn

I konvergirati (i to uniformno) prema funkciji f .

Na intervalu [a,b], uzlazno poredane Cebiševljeve tocke su

xk =a + b

2+

b − a2· cos

(2(n − k) + 1)π2n + 2

, k = 0, . . . ,n.

O njima više — malo kasnije. Prvo primjer za funkciju Runge.

43 / 158

Primjer Runge — Cebiševljeva mreža

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1

Cebiševljeva mreža,interpolacijski polinom stupnja 1.

44 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


45 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


46 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


47 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


48 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


49 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


50 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


51 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


52 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


53 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


54 / 158

Primjer Runge — Cebiševljeva mreža, greška

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1

Cebiševljeva mreža,greška interpolacijskog polinoma stupnja 1.

55 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


56 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

x

y

1


57 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.5

0.25

x

y

1


58 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.25

0.5

x

y

1


59 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.25

0.25

0.5

x

y

1


60 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.25

0.125

x

y

1


61 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.125

0.125

x

y

1


62 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.075

0.075

x

y

1


63 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.05

0.05

x

y

1


64 / 158


−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−0.025

0.025

x

y

1


65 / 158

Jesmo li spašeni?

Sljedeci teorem ukazuje na to da jeI nemoguce naci takav izbor tocaka interpolacije

polinomima, koji bi bio dobar za svaku funkciju.

Teorem. (Faber, 1914. g.) Za svaki moguci izbor tocakainterpolacije, tj. za svaki niz skupova cvorova

X (n) = {x (n)0 , . . . , x (n)

n }, n ∈ N0,

postoji neprekidna funkcija f , za ciji niz interpolacijskihpolinoma pn, stupnja n, s cvorovima iz skupa X (n), vrijedi

‖f (x)− pn(x)‖∞ 6→ 0.�

Dakle, nema (uniformne) konvergencije, tj. “nema spasa”!

66 / 158



67 / 158

Greška interpolacije — što se može uciniti?

Neka je pn interpolacijski polinom za funkciju f s medusobnorazlicitim cvorovima interpolacije xk ∈ [a,b], za k = 0, . . . ,n.

U bilo kojoj tocki x ∈ [a,b] za grešku interpolacijskog polinomapn vrijedi

e(x) := f (x)− pn(x) =ω(x)

(n + 1)!f (n+1)(ξ).

za neku tocku ξ ∈ (xmin, xmax) ⊆ (a,b), uz

xmin := min{x0, . . . , xn, x}, xmax := max{x0, . . . , xn, x}.

Ako je funkcija f unaprijed zadana, onda faktor s derivacijomfunkcije f ne možemo “kontrolirati”.

68 / 158

Što možemo napraviti?

Idealno bi bilo minimizirati po apsolutnoj vrijednosti maksimalnugrešku aproksimacije, tj. ‖f − pn‖∞ → min, na željenomintervalu [a,b].I Polinom p∗n za koji je maksimalna greška minimalna se

može konstruirati.I Kad promatramo grešku e∗(x) polinoma p∗n, može se

pokazati da za dvije susjedne tocke x∗j i x∗j+1 u kojima|e∗(x)| poprima lokalne maksimume, vrijedie∗(x∗j ) = −e∗(x∗j+1).

I Jedina je nevolja da je postupak traženja takveaproksimacije iterativan (Remesov algoritam), tj. takvuaproksimaciju nije jednostavno naci.

I Takva aproksimacija zove se minimaks aproksimacijafunkcije f na intervalu [a,b].

69 / 158

Polinom cvorova — razne mreže cvorova

Umjesto egzaktne minimaks aproksimacije p∗n funkcije f naintervalu [a,b], zadovoljimo se “skromnijim” ciljem:I ako možemo birati cvorove interpolacije x0, . . . , xn,I minimizirajmo maksimalnu apsolutnu vrijednost (grešku)

polinoma cvorova

ω(x) =n∏

k=0

(x − xk ).

Pogledajmo kako izgleda polinom cvorova. Ako su cvoroviI ekvidistantni — najmanja greška je pri sredini intervala, a

raste prema rubu,I Cebiševljevi — maksimalna greška je jednaka na svakom

podintervalu izmedu cvorova, ukljucivo i rubove a, b.

70 / 158

Polinom cvorova za n = 6, ekvidistantna mreža

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

−80

−40

40

80

1

ω(x) na [−3,3], za n = 6, ekvidistantna mreža71 / 158

Polinom cvorova za n = 6, Cebiševljeva mreža

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

−80

−40

40

80

1

ω(x) na [−3,3], za n = 6, Cebiševljeva mreža72 / 158

Cebiševljeve tocke

Prethodne slike navode na cinjenicu da,I kad se uzmu Cebiševljevi cvorovi,I greška mijenja znak, aI susjedni maksimumi grešaka su po apsolutnoj vrijednosti

približno jednaki (v. primjer Runge).Takvu aproksimaciju zovemo skoro minimaks aproksimacija.

Sve dokaze provodit cemo na “standardnom” intervalu [−1,1].Ako je funkcija f zadana na nekom drugom intervalu, onda julinearnom (afinom) transformacijom

y = cx + d

svodimo na interval [−1,1].

73 / 158

Cebiševljeve tocke

Pokažimo da Cebiševljevi cvorovi minimiziraju maksimalnuapsolutnu vrijednost polinoma cvorova, tj. da minimiziraju

maxa≤x≤b

|(x − x0) · · · (x − xn)|.

Na intervalu [a,b], uzlazno poredane Cebiševljeve tocke su

xk =a + b

2+

b − a2· cos

(2(n − k) + 1)π2n + 2

, k = 0, . . . ,n.

Ako je a = −1, b = 1, onda su Cebiševljeve tocke xk , zak = 0, . . . ,n,I sve nultocke Cebiševljevog polinoma prve vrste Tn+1.

74 / 158

Cebiševljevi polinomi — definicija i rekurzija

Cebiševljevi polinomi prve vrste, oznaka je Tn, za n ≥ 0,definirani su relacijom

Tn(x) = cos(n arccos x), x ∈ [−1,1].

Polinomi Tn zadovoljavaju troclanu rekurzivnu relaciju

Tn+1(x)− 2xTn(x) + Tn−1(x) = 0, n ∈ N,

(dokaz = zbroj cosinusa preko produkta, za x = cosϕ), uz start

T0(x) = 1, T1(x) = x .

Iz ove rekurzivne relacije odmah slijedi da je Tn polinom stupnjan. Usput, za |x | ≥ 1 vrijedi Tn(x) = ch(nArchx).

75 / 158

Cebiševljevi polinomi — nultocke i ekstremi

Nultocke i ekstreme polinoma Tn+1 nije teško izracunati.

Njegove nultocke su (silazno indeksirane — kraca formula)

xk = cos(2k + 1)π2(n + 1)

, k = 0, . . . ,n,

dok su ekstremi na segmentu [−1,1] (opet, silazno indeksirani)

x ′k = coskπ

n + 1, k = 0, . . . ,n + 1.

Vrijednost Cebiševljevog polinoma u ekstremu je

Tn+1(x ′k ) = (−1)k , k = 0, . . . ,n + 1.

Primijetite da tih ekstrema ima tocno n + 2 (rubovi −1 i 1 suukljuceni) i da pripadne vrijednosti alterniraju po znaku.

76 / 158

Cebiševljevi polinomi — graf

Graf prvih nekoliko Cebiševljevih polinoma Tn na [−1,1].

−1 −0.75−0.5−0.25 0.25 0.5 0.75 1

−1

−0.75

−0.5

−0.25

0.25

0.5

0.75

1

x

y

T1(x)

T2(x)

T3(x)

T4(x)

1

77 / 158

Cebiševljevi polinomi — svojstvo minimizacije

Cebiševljevi polinomi Tn imaju važno svojstvo minimizacije“uniformnog otklona polinoma od nule” na segmentu [−1,1].

Teorem. Za zadani prirodni broj n, promatrajmo minimizacijskiproblem

τn := infdeg(P)≤n−1

{max−1≤x≤1

|xn + P(x)|},

gdje je P polinom. Minimum τn se dostiže samo za polinom

xn + P(x) =1

2n−1 Tn(x).

Pripadna pogreška ili “otklon od nule” je τn =1

2n−1 .

78 / 158


Dokaz. Iz troclane rekurzije, nije teško induktivno dokazati da jevodeci koeficijent u Tn jednak 2n−1, tj. da je

Tn(x) = 2n−1xn + clanovi nižeg stupnja, n ≥ 1.

Zbog toga vrijedi da je

12n−1 Tn(x) = xn + clanovi nižeg stupnja.

Tocke

x ′k = coskπn, k = 0, . . . ,n,

su lokalni ekstremi od Tn na [−1,1].

79 / 158


Ocito je

−1 = x ′n < x ′n−1 < · · · < x ′1 < x ′0 = 1.

U tim tockama je

Tn(x ′k ) = cos(kπ) = (−1)k , k = 0, . . . ,n.

Polinom1

2n−1 Tn ima vodeci koeficijent jednak 1 i vrijedi

max−1≤x≤1

∣∣∣∣ 12n−1 Tn

∣∣∣∣ = 12n−1 .

Zbog toga je

τn ≤1

2n−1 .

80 / 158


Pokažimo da je τn baš jednak desnoj strani. Pretpostavimosuprotno, tj. da je

τn <1

2n−1 .

Pokazat cemo da to vodi na kontradikciju.

Iz definicije τn preko infimuma i prethodne pretpostavke,zakljucujemo da postoji polinom M takav da je

M(x) = xn + P(x), deg(P) ≤ n − 1,

za kojeg vrijedi

τn ≤ max−1≤x≤1

|M(x)| < 12n−1 .

81 / 158


Definiramo

R(x) =1

2n−1 Tn(x)−M(x).

No, vodeci koeficijenti polinoma s desne strane se skrate, pa je

deg(R) ≤ n − 1.

Ispitajmo vrijednosti funkcije R u lokalnim ekstremima polinomaTn. Iz gornje ograde za τn, redom, izlazi

R(x ′0) = R(1) =1

2n−1 −M(1) > 0,

R(x ′1) = −1

2n−1 −M(x ′1) < 0, . . .

82 / 158

Cebiševljevi polinomi — svojstvo minimizacijetj. za polinom R vrijedi

sign(R(x ′k )) = (−1)k , k = 0, . . . ,n.

Buduci da ima bar n + 1 razliciti predznak, to mora postojati barn nultocaka, što je moguce samo ako je R = 0. Odatle odmahizlazi da je

M(x) =1

2n−1 Tn(x).

No, onda je max−1≤x≤1

|M(x)| = 1/2n−1, što je kontradikcija s < .

Sad bi još trebalo pokazati da je to jedini polinom s takvimsvojstvom. Taj dio dokaza vrlo je slican ovom što je vecdokazano. Istim argumentom izlazi opet M(x) = 1

2n−1 Tn(x).

�

83 / 158

Interpolacija u Cebiševljevim tockama

Vratimo se sad polaznom problemu optimalnog izbora cvorovainterpolacije.

Želimo izabrati cvorove interpolacije xk ∈ [−1,1] tako daminimiziraju

max−1≤x≤1

|(x − x0) · · · (x − xn)|.

Polinom cvorova ω u prethodnoj relaciji je stupnja n + 1 i imavodeci koeficijent 1. Po Teoremu o minimalnom otklonu,minimum cemo dobiti ako stavimo

ω(x) = (x − x0) · · · (x − xn) =12n Tn+1(x),

a minimalna ce vrijednost biti max−1≤x≤1

|ω(x)| = 1/2n.

84 / 158

Interpolacija u Cebiševljevim tockama

Odatle odmah citamo da su cvorovi x0, . . . , xn nultockepolinoma Tn+1. U silaznom poretku, te nultocke su

xk = cos(2k + 1)π

2n + 2, k = 0, . . . ,n.

Uzlazni poredak dobivamo zamjenom indeksa k 7→ n − k .

Afinom transformacijom intervala [−1,1] u interval [a,b],

x ∈ [−1,1] 7→ a + b2

+b − a

2· x ∈ [a,b],

izlazi i opca formula za Cebiševljeve tocke (uzlazno) u [a,b]

xk =a + b

2+

b − a2· cos

(2(n − k) + 1)π2n + 2

, k = 0, . . . ,n.

85 / 158

Jesmo li bar malo spašeni?

Problem u Bernsteinovom primjeru f (x) = |x | i Faberovomteoremu je preširoka klasa funkcija, odnosno,I premala glatkoca — samo neprekidnost za f .

Uz samo malo jacu glatkocu, ipak jesmo “spašeni”!

Teorem. Neka je f ∈ C1[−1,1]. Za svaki n ∈ N0, neka je pninterpolacijski polinom za funkciju f na Cebiševljevoj mreži sn + 1 cvorova u intervalu [−1,1].

Niz polinoma pn uniformno konvergira prema f na [−1,1], tj.vrijedi

‖f (x)− pn(x)‖∞ → 0, n→∞.�

Dakle, imamo uniformnu konvergenciju interpolacije zaneprekidno derivabilne funkcije na Cebiševljevim mrežama.

86 / 158



87 / 158

Hermiteova polinomna interpolacija

Osim interpolacije funkcijskih vrijednosti funkcije f u cvorovimaxk , možemo tražiti i interpolaciju derivacije f ′,I tako da derivacija h′ interpolacijskog polinoma h interpolira

derivaciju f ′ u cvorovima xk .Dakle, zahtijevamo da je

h(xk ) = f (xk ), h′(xk ) = f ′(xk ), k = 0, . . . ,n.

Takva vrsta interpolacije zove se Hermiteova interpolacija.

Prvo, treba odgovoriti na nekoliko važnih pitanja:I postoji li takav interpolacijski polinom;I ako postoji, je li jedinstven;I ako postoji i jedinstven je, kojeg je stupnja.

88 / 158


Uvedimo skracene oznake za vrijednosti f i f ′ u cvorovima

fk := f (xk ), f ′k = f ′(xk ), k = 0, . . . ,n.

Problem egzistencije i jedinstvenosti Hermiteove interpolacijekonstruktivno rješava sljedeci teorem.

Teorem. Postoji jedinstveni polinom h2n+1, stupnja najviše2n + 1, koji zadovoljava interpolacijske uvjete

h2n+1(xk ) = fk , h′2n+1(xk ) = f ′k , k = 0, . . . ,n,

gdje su xk medusobno razlicite tocke i fk , f ′k zadani realnibrojevi.

Dokaz. Ideja = konstrukcija baze nalik na Lagrangeovu.

89 / 158


Tražimo “bazicne polinome” hk ,0 i hk ,1, za k = 0, . . . ,n, za kojevrijede tzv. “kardinalni” uvjeti interpolacije

hk ,0(xi) =

{0, za i 6= k ,1, za i = k ,

h′k ,0(xi) = 0,

hk ,1(xi) = 0, h′k ,1(xi) =

{0, za i 6= k ,1, za i = k .

Ako nademo takve polinome hk ,0 i hk ,1, onda je

h2n+1(x) =n∑

k=0

(fkhk ,0(x) + f ′khk ,1(x)

).

90 / 158


Provjera (prije dokaza): Deriviranjem polinoma h2n+1(x) izlazi

h′2n+1(x) =n∑

k=0

(fkh′k ,0(x) + f ′kh′k ,1(x)

),

pa lako vidimo da su ispunjeni svi uvjeti interpolacije

h2n+1(xi) =n∑

k=0

(fkhk ,0(xi) + f ′khk ,1(xi)

)= fk ,

h′2n+1(xi) =n∑

k=0

(fkh′k ,0(xi) + f ′kh′k ,1(xi)

)= f ′k .

Ostaje još konstruirati polinome hk ,0 i hk ,1.

91 / 158


Tvrdimo da se hk ,0 i hk ,1 mogu napisati kao

hk ,0(x) = [1− 2(x − xk )`′k (xk )] `

2k (x)

hk ,1(x) = (x − xk ) `2k (x),

gdje je `k odgovarajuci polinom Lagrangeove baze.

Provjera da vrijednosti hk ,0(xi), h′k ,0(xi), hk ,1(xi) i h′k ,1(xi)zadovoljavaju tražene uvjete vrši se direktno — uvrštavanjem.

Buduci da je `k polinom stupnja n,I onda su hk ,0 i hk ,1 stupnja 2n + 1,I pa je h2n+1 stupnja najviše 2n + 1.

Time smo dokazali egzistenciju. Preostaje još jedinstvenost.

92 / 158


Primijetite da funkcija pogreške polinoma h

eh(x) = f (x)− h2n+1(x)

ima dvostruke nultocke u cvorovima x0, . . . , xn, jer i funkcija eh, injezina derivacija e′h imaju nultocke u xi , tj.

eh(xi) = 0, e′h(xi) = 0.

Neka je q2n+1 bilo koji drugi polinom koji zadovoljava uvjeteinterpolacije. Za razliku p tih polinoma onda vrijedi

p(x) = h2n+1(x)− q2n+1(x)= (f (x)− q2n+1(x))− (f (x)− h2n+1(x))= eq(x)− eh(x).

93 / 158


Polinom p je stupnja najviše 2n + 1 iI ima dvostruke nultocke u cvorovima xi , za i = 0, . . . ,n,

odnosno, ukupno ima barem 2n + 2 nultocke.Zakljucak. Polinom p je nul-polinom, pa je h2n+1 jedinstven.

�

Zato što greška Hermiteovog interpolacijskog polinoma imadvostruke nultocke u x0, . . . , xn, polinom cvorova ωh jednak je

ωh(x) = (x − x0)2(x − x1)

2 · · · (x − xn)2 = ω2(x),

pri cemu je ω polinom cvorova Lagrangeove interpolacije.

Grešku Hermiteove interpolacije dobivamo na slican nacin kao ikod Lagrangeove interpolacije.

94 / 158

Greška Hermiteove interpolacije

Jedine razlike: ovdje je h2n+1 stupnja 2n + 1, a polinom cvorovaje ωh(x) = ω2(x).

Teorem. Neka je f funkcija definirana na segmentu [a,b]. Nekaje n ∈ N ∪ {0} iI neka su xk ∈ [a,b], za k = 0, . . . ,n, medusobno razliciti

cvorovi interpolacije, tj. xi 6= xj za i 6= j ,I neka prva derivacija f ′ postoji u cvorovima x0, . . . , xn,I neka je eh greška Hermiteovog interpolacijskog polinoma

h2n+1 za funkciju f na mreži cvorova x0, . . . , xn.Za bilo koju tocku x ∈ [a,b], takvu da je x 6= x0, . . . , xn, tj. cim xnije cvor interpolacije, za grešku interpolacije vrijedi

eh(x) = f (x)− h2n+1(x) = ω2(x) f [x0, x0, x1, x1, . . . , xn, xn, x ].

95 / 158

Greška Hermiteove interpolacije — nastavak

Ako f (2n+2) postoji na [a,b], onda za svaku tocku x ∈ [a,b],postoji tocka ξ ∈ (xmin, xmax), gdje je

xmin := min{x , x0, . . . , xn}, xmax := max{x , x0, . . . , xn},

takva da je

eh(x) = f (x)− h2n+1(x) = ω2(x)f (2n+2)(ξ)

(2n + 2)!.

�

Napomena. Ako želimo da prva formula (s podijeljenomrazlikom) vrijedi i u cvorovima interpolacije, ondaI treba pretpostaviti da druga derivacija f ′′ postoji u svim

cvorovima,I jer dobivamo trostruke cvorove na desnoj strani (v. iza).

96 / 158

Hermiteova interpolacija — Newtonova forma

Hermiteov interpolacijski polinom može se zapisati i uNewtonovoj bazi — što je zgodnije za racunanje.I Tocke interpolacije su x0, x0, x1, x1, . . . , xn, xn, tj. svaka od

njih je dvostruki cvor. U tablici podijeljenih razlika ovumrežu oznacavamo s t0, t1, t2, t3, . . . , t2n, t2n+1.

Pokazali smo da za podijeljene razlike s dvostrukim cvoromvrijedi

f [xk , xk ] = limh→0

f [xk , xk + h]

= limh→0

f (xk + h)− f (xk )

h= f ′(xk ).

Dakle, f [xk , xk ] = f ′k su baš zadani podaci! Uz tu modifikaciju,podijeljene razlike se racunaju na uobicajeni nacin (rekurzija).

97 / 158

Podijeljene razlike

Tablica svih potrebnih podijeljenih razlika ima ovaj oblik:

tj f [tj ] f [tj , tj+1] f [tj , tj+1, tj+2] · · · f [t0, . . . , t2n+1]

x0 f [x0]f ′(x0)

x0 f [x0] f [x0, x0, x1]f [x0, x1]

. . .x1 f [x1] f [x0, x1, x1]

f ′(x1) · · ·x1 f [x1] f [x1, x1, x2]...

......

... . ..

xn f [xn] f [xn−1, xn, xn]f ′(xn)

xn f [xn]

98 / 158

Newtonov oblik interpolacijskog polinoma

Konacni izgled Hermiteovog interpolacijskog polinoma uNewtonovoj bazi je

h2n+1(x) = f [x0] + f ′(x0) (x − x0) + f [x0, x0, x1] (x − x0)2

+ f [x0, x0, x1, x1] (x − x0)2 (x − x1) + · · ·

+ f [x0, x0, . . . , xn, xn] (x − x0)2 · · · (x − xn−1)

2(x − xn).

Naziv “Hermiteova interpolacija” koristi se i za opcenitiju, tzv.proširenu Hermiteovu (ili Hermite–Birkhoff) interpolaciju.I Ovdje se mogu interpolirati i više derivacije od prvih.I Bitno: u svakom cvoru xi , “redom” se interpoliraju

funkcijska vrijednost i prvih nekoliko uzastopnih derivacija,a broj podataka po cvoru može varirati.

99 / 158

Proširena Hermiteova interpolacija

I za proširenu Hermiteovu interpolaciju postoji jedinstveniinterpolacijski polinom stupnja najviše n = broj podataka− 1.

Primjer. Nadite interpolacijski polinom koji interpolira redomzadane vrijednosti f , f ′, . . . , f (n) u cvoru x0.

U ovom primjeru, x0 je (n + 1)-struki cvor interpolacije. Zapodijeljene razlike višeg reda s istim cvorovima vrijedi

f [x0, . . . , x0︸︷︷︸(k + 1) puta

] =f (k)(x0)

k !, k = 0, . . . ,n,

cim f (k)(x0) postoji, pa je interpolacijski polinom pn jednakTaylorovom polinomu stupnja n, za funkciju f oko tocke x0.

100 / 158

Preskakanje derivacija u interpolaciji

Ako dozvolimo “preskakanje” nekih derivacija u nekim tockama,problem interpolacijeI ne mora uvijek imati jedinstveno rješenje.

Primjer. Nadite nužne i dovoljne uvjete za egzistenciju ijedinstvenost interpolacijskog polinoma p ∈ P2, za kojeg vrijedi

p(x0) = f0, p′(x1) = f ′1, p(x2) = f2,

gdje su (x0, f0), (x1, f ′1) i (x2, f2) zadane tocke, uz pretpostavkuda je x0 6= x2 (dozvoljeno je x1 = x0 ili x1 = x2).

Rješenje. Mora biti x1 6= (x0 + x2)/2⇐⇒ regularnost matricesustava za interpolaciju.

101 / 158



102 / 158

Interpolacija polinomima — zakljucci

Polinomna interpolacija visokog stupnjaI može imati vrlo loša svojstva — izmedu cvorova,I i u praksi se ne smije koristiti.

Umjesto toga, koristi seI po dijelovima polinomna interpolacija, tj. na svakom

podintervalu koristi se polinom fiksnog, niskog stupnja.

Pretpostavka: cvorovi interpolacije su uzlazno numerirani,

a = x0 < x1 < · · · < xn = b.

i baš u njima su rubovi podintervala za pojedine polinome.Može i drugacije (cvorovi su razliciti od rubova). Medutim, ovoje zgodno za neparne stupnjeve polinoma.

103 / 158

Po dijelovima polinomna interpolacija

Na svakom podintervalu [xk−1, xk ] koristimo polinom fiksnogstupnja m, tj. tražimo da je

ϕ∣∣∣[xk−1,xk ]

= pk , k = 1, . . . ,n,

gdje je pk ∈ Pm.

Svaki polinom pk (stupnja najviše m)I odreden je s m + 1 koeficijenata, iI moramo odrediti koeficijente n takvih polinoma — na

svakom intervalu po jedan.Dakle, ukupan broj koeficijenata koje treba odrediti je

(m + 1) · n.

104 / 158


Interpolacijski uvjeti su

ϕ(xk ) = fk , k = 0, . . . ,n.

Gledano na [xk−1, xk ], za svaki polinom pk imamo po 2 uvjeta

pk (xk−1) = fk−1,

pk (xk ) = fk ,za k = 1, . . . ,n.

Dakle, ukupno imamo 2n uvjeta interpolacije (ne samo n + 1).

Digresija. Ovi uvjeti interpolacije osiguravaju neprekidnostfunkcije ϕ u svim “unutarnjim” cvorovima mreže x1, . . . , xn−1, jerje

pk (xk ) = pk+1(xk ) = fk , k = 1, . . . ,n − 1.

105 / 158


Zakljucak.I Uvjeta interpolacije je 2n, aI treba naci (m + 1) · n koeficijenata.

Bez dodatnih uvjeta, to je moguce jedinstveno napravitiI samo za m = 1,I tj. za po dijelovima linearnu interpolaciju.

Za m > 1,I dodaju se uvjeti na glatkocu interpolacijske funkcije ϕ u

(unutarnjim) cvorovima mreže za podintervale.Uz naš dogovor, to su upravo i cvorovi interpolacije.

106 / 158



107 / 158

Po dijelovima linearna interpolacija

Osnovna ideja po dijelovima linearne interpolacije je:I umjesto jednog polinoma visokog stupnja,I koristi se više polinoma, ali stupnja 1.

Na svakom podintervalu [xk−1, xk ], polinom pk je stupnja 1I i jedinstveno je odreden iz uvjeta interpolacije.

Zapisujemo ga relativno obzirom na pocetnu tocku intervala(stabilnost) u obliku

pk (x) = c0,k + c1,k (x − xk−1),

gdje je x ∈ [xk−1, xk ], za k = 1, . . . ,n.

108 / 158


Interpolacijski polinom pk zapisujemo u Newtonovoj formi

pk (x) = f [xk−1] + f [xk−1, xk ] · (x − xk−1),

pa je ocito

c0,k = f [xk−1] = fk−1,

c1,k = f [xk−1, xk ] =fk − fk−1

xk − xk−1,

k = 1, . . . ,n.

Za aproksimaciju vrijednosti funkcije f u jednoj tocki x ∈ [a,b],trebaI prvo pronaci indeks k takav da vrijedi x ∈ [xk−1, xk ],I a onda izracunati vrijednost pk (x) pripadnog linearnog

polinoma pk na tom podintervalu.

109 / 158


Za traženje tog intervala koristimo binarno pretraživanje.

Binarno pretraživanje

low = 0;high = n;dok je (high - low) > 1 radi {/* U sljedecoj liniji cjelobrojno / */mid = (low + high) / 2;ako je x < x[mid] ondahigh = mid;

inacelow = mid;

};

Trajanje ovog algoritma je proporcionalno s log2(n).

110 / 158

Greška po dijelovima linearne interpolacije

Ako je funkcija f klase C2[a,b], onda je pogreška takveinterpolacije, zapravo,I maksimalna pogreška od n linearnih interpolacija.

Na svakom podintervalu [xk−1, xk ], pogreška jeI greška linearne interpolacije polinomom pk .

Ocjena lokalne pogreške, ovisna o tocki x , je

|f (x)− pk (x)| ≤ |ωk (x)|M(k)

22!

,

pri cemu je

ωk (x) = (x − xk−1)(x − xk ), M(k)2 = max

x∈[xk−1,xk ]|f ′′(x)|.

111 / 158


Nadimo maksimum po apsolutnoj vrijednosti za ωk (x), nazatvorenom intervalu [xk−1, xk ].

Funkcija |ωk | može imati maksimum samo na otvorenomintervalu (xk−1, xk ) — u rubovima je vrijednost 0 (minimum).

Deriviranjem dobivamo da se lokalni ekstrem funkcije

ωk (x) = (x − xk−1)(x − xk ),

postiže u polovištu xe = (xk−1 + xk )/2 (tjeme parabole).

Vrijednost funkcije ωk u lokalnom ekstremu je

ωk (xe) = (xe − xk−1)(xe − xk ) = −(xk − xk−1)

2

4.

112 / 158


Za bilo koji x ∈ (xk−1, xk ) je ωk (x) < 0, pa je xe

I tocka lokalnog minimuma za ωk , odnosno,I tocka lokalnog maksimuma za |ωk |, tj. vrijedi

|ωk (x)| ≤ |ωk (xe)| =(xk − xk−1)

2

4, ∀x ∈ [xk−1, xk ].

Neka je h maksimalni razmak cvorova po svim podintervalima

h := maxk=1,...,n

{hk := xk − xk−1},

i neka je M2 maksimum apsolutne vrijednosti f ′′ na cijelomintervalu [a,b]

M2 := maxk=1,...,n

{M(k)2 } = max

x∈[a,b]|f ′′(x)|.

113 / 158


Na cijelom intervalu [a,b], onda možemo pisati

|f (x)− ϕ(x)| ≤ h2

4· M2

2!=

18

h2M2.

Zakljucak. Ako ravnomjerno povecavamo broj cvorova n, takoda maksimalni razmak cvorova h→ 0 (kad n→∞),I onda i maksimalna greška teži u 0, tj.I dobivamo uniformnu konvergenciju!

Na primjer, za ekvidistantne mreže, za koje je

xk = a + kh, h =b − a

n,

pogreška je reda velicine h2, odnosno, n−2.

114 / 158

Komentar na po dijelovima linearnu interpolaciju

Mane po dijelovima linearne interpolacije:I Potrebno je dosta podintervala da se dobije umjerena

tocnost aproksimacije.I Na primjer, za h = 0.01, tj. za n = 100, greška

aproksimacije je reda velicine 10−4, do na faktor M2/8.I Funkcija ϕ nije dovoljno glatka — samo je neprekidna.

115 / 158



116 / 158

Primjer — po dijelovima linearna interpolacija

Primjer. Funkciju

f (x) = ln x

na intervalu [1,100] aproksimiramo po dijelovima linearnominterpolacijom, s tocnošcu ε = 10−4, koju tražimo na cijelomintervalu.

Nadite broj cvorova interpolacije n + 1 potrebnih da se postigneta tocnost ε, uz(a) ekvidistantnu mrežu na cijelom intervalu,(b) interval [1,100] podijelimo na tri podintervala [1,2], [2,7],

[7,100] i na svakom od njih koristimo posebnuekvidistantnu mrežu.

Po obje metode nadite aproksimaciju za ln 2.

117 / 158


Rješenje. Za po dijelovima linearnu interpolaciju ϕ vrijedisljedeca ocjena pogreške

|f (x)− ϕ(x)| ≤ 18

h2M2.

Ako je mreža ekvidistantna na [a,b], onda je

h =b − a

n,

pri cemu je n broj podintervala interpolacije.

Tražimo li tocnost ε, onda mora biti

|f (x)− ϕ(x)| ≤ ε.

118 / 158


Da bi se to postiglo, dovoljno je zatražiti da je

18

h2M2 =18

(b − a

n

)2

M2 ≤ ε.

Odatle odmah slijedi da mora biti

n ≥ (b − a)

√M2

8ε.

Sada još samo treba izracunati M2. Deriviranjem dobivamo

f ′′(x) = − 1x2 .

119 / 158


Buduci da je f ′′ negativna, strogo rastuca funkcija, onda jemaksimum njezine apsolutne vrijednosti na lijevom rubu, tj.

M2 = maxx∈[a,b]

∣∣∣∣− 1x2

∣∣∣∣ = 1a2 .

Rješenje za (a). Na intervalu [1,100] je M2 = 1. Dobivamo

n ≥ (100− 1)

√1

8 · 10−4 =9900√

8≈ 3500.1785667,

pa je n = 3501, dok je broj cvorova n + 1 = 3502.

Da bismo odredili aproksimaciju za ln 2, moramo naci u kojempodintervalu se nalazi tocka x∗ = 2.

120 / 158


Ako je x∗ u podintervalu [xk−1, xk ], mora biti

a + (k − 1) · b − an≤ x∗ ≤ a + k · b − a

n.

U našem slucaju je x∗ = 2. Onda dobivamo

1 + (k − 1) · 993501

≤ 2 ≤ 1 + k · 993501

(k − 1) · 993501

≤ 1 ≤ k · 993501

(k − 1) ≤ 350199

≤ k

(k − 1) ≤ 35.36 ≤ k .

121 / 158

Primjer — po dijelovima linearna interpolacijaPrema tome, k = 36, x35 ≈ 1.9897172240,x36 ≈ 2.0179948590, pa imamo tablicu podijeljenih razlika

xj f [xj ] f [xj , xj+1]

1.9897172240 0.68799253010.4990461264

2.0179948590 0.7021043744

Interpolacijski polinom na tom podintervalu onda glasi:

p36(x) = 0.6879925301 + 0.4990461264(x − 1.9897172240),

pa je

p36(2) = 0.6931241097, | ln(2)− p36(2)| = 0.0000230709.

122 / 158


Rješenje za (b). Na intervalu [1,2] je M2 = 1, odakle dobivamo

n1 ≥ (2− 1)

√1

8 · 10−4 =100√

8≈ 35.3535,

pa je n1 = 36.

Na intervalu [2,7] je M2 =14

, odakle dobivamo

n2 ≥ (7− 2)

√14

8 · 10−4 =5002√

8≈ 88.388834765,

pa je n2 = 89.

123 / 158


Na intervalu [7,100] je M2 =149

, odakle dobivamo

n3 ≥ (100− 7)

√149

8 · 10−4 =93007√

8≈ 469.7209334,

pa je n3 = 470.

Ukupan broj podintervala je n = n1 + n2 + n3 = 595, što jeskoro 6 puta manje nego u (a). Broj cvorova je 596.

Buduci da je 2 cvor interpolacije, onda nemamo što racunati, ivrijednost u cvoru je upravo ln 2 ≈ 0.6931471806.

124 / 158



125 / 158

Po dijelovima kubicna interpolacija

Kod po dijelovima kubicne interpolacije na [a,b], restrikcijaaproksimacijske funkcije ϕ na svaki podinterval [xk−1, xk ] jekubicni polinom

ϕ∣∣∣[xk−1,xk ]

= pk , k = 1, . . . ,n,

gdje je pk ∈ P3.

Ove polinome pk obicno zapisujemo relativno obzirom napocetnu tocku intervala xk−1, u obliku

pk (x) = c0,k + c1,k (x − xk−1)

+ c2,k (x − xk−1)2 + c3,k (x − xk−1)

3,

za x ∈ [xk−1, xk ], i za k = 1, . . . ,n. Razlog za ovaj zapis jeznacenje koeficijenata (Taylor u xk−1) i stabilno racunanje.

126 / 158

Broj nepoznatih parametara i broj uvjeta

Ukupno imamo n kubicnih polinoma.I Za svakog od njih treba odrediti po 4 koeficijenta,I dakle, ukupno moramo odrediti 4n koeficijenata.

Uvjeta interpolacije je 2n, jer svaki kubicni polinom pk

I mora interpolirati funkciju f u rubovima svog podintervala[xk−1, xk ],

tj. mora vrijediti

pk (xk−1) = fk−1,

pk (xk ) = fk ,k = 1, . . . ,n.

Ovi uvjeti automatski osiguravaju neprekidnost funkcije ϕ usvim unutrašnjim cvorovima mreže x1, . . . , xn−1.

127 / 158

Dodatni uvjeti interpolacije na derivaciju

Obicno želimo da interpolacijska funkcija ϕ bude glada:I barem klase C1[a,b], odakle slijedi zahtjev daI derivacija funkcije ϕ mora biti neprekidna i u cvorovima.

Najlakši nacin da to dobijemo = dodamo tocno još 2n uvjeta“interpolacije”, kao da interpoliramo i derivaciju, tj.I za svaki kubicni polinom pk dodajemo još po dva uvjeta

p′k (xk−1) = sk−1,

p′k (xk ) = sk ,k = 1, . . . ,n,

pri cemu su sk neki brojevi. Njihovo stvarno znacenje može bitirazlicito, pa cemo ga detaljno opisati kasnije.I Ideja = brojeve sk možemo birati/zadati na razne nacine.

128 / 158

Neprekidnost derivacije interpolacijske funkcije

Zasad, možemo zamišljati da su brojevi sk

I neke aproksimacije derivacije funkcije f u cvorovima.Oznaka sk dolazi od engleske rijeci “slope” = nagib.

Primijetite da je takvim izborom dodatnih uvjetaI osigurana neprekidnost prve derivacije funkcije ϕ u svim

unutrašnjim cvorovima,jer je

p′k (xk ) = p′k+1(xk ) = sk , k = 1, . . . ,n − 1.

Ako pretpostavimo da su sk nekako zadani brojevi, dobivamoproblem Hermiteove interpolacije za svaki polinom pk .

Nadimo koeficijente interpolacijskog polinoma pk .

129 / 158

Zapis po dijelovima kubicne interpolacije

Za ovaj problem Hermiteove interpolacijeI najzgodnije je koristiti Newtonov oblik interpolacijskog

polinoma pk ,I s tzv. dvostrukim cvorovima xk−1 i xk .

Razlog. U oba cvora xk−1 i xk zadajemo po dva podatka:I vrijednost funkcije i derivacije.

Razmak susjednih razlicitih cvorova oznacavamo kao i prije

hk := xk − xk−1, k = 1, . . . ,n.

Ponovimo što, zapravo, znaci da je xk dvostruki cvor zaHermiteovu interpolaciju u Newtonovom obliku.

130 / 158

Dvostruki cvorovi u podijeljenim razlikama

Ako se u podijeljenoj razlici f [xk , xk + h], drugi cvor približavaprvom, onda na limesu kad h→ 0 dobivamo

limh→0

f [xk , xk + h] = limh→0

f (xk + h)− f (xk )

h= f ′(xk ),

naravno, pod uvjetom da f ima derivaciju u tocki xk . Drugimrijecima, tada vrijedi

f [xk , xk ] = f ′(xk ).

U našem slucaju, ako u tocki xk

I derivaciju f ′(xk ) zadajemo ili aproksimiramo sa sk ,onda je zadano

f [xk , xk ] = sk .

131 / 158

Tablica podijeljenih razlika za polinom pk

Tablica podijeljenih razlika za Hermiteov interpolacijski polinompk , koji ima dva dvostruka cvora xk−1 i xk , je

tj f [tj ] f [tj , tj+1] f [tj , tj+1, tj+2] f [tj , tj+1, tj+2, tj+3]

xk−1 fk−1sk−1

xk−1 fk−1f [xk−1, xk ]− sk−1

hk

f [xk−1, xk ]sk + sk−1 − 2f [xk−1, xk ]

h2k

xk fksk − f [xk−1, xk ]

hksk

xk fk

132 / 158

Newtonov oblik polinoma pk

Newtonov oblik Hermiteovog interpolacijskog polinoma pk , kojiima dva dvostruka cvora xk−1 i xk , je

pk (x) = f [xk−1] + f [xk−1, xk−1] · (x − xk−1)

+ f [xk−1, xk−1, xk ] · (x − xk−1)2

+ f [xk−1, xk−1, xk , xk ] · (x − xk−1)2(x − xk ),

s tim da je

f [xk−1, xk−1] = sk−1,

f [xk−1, xk−1, xk ] =f [xk−1, xk ]− sk−1

hk,

f [xk−1, xk−1, xk , xk ] =sk + sk−1 − 2f [xk−1, xk ]

h2k

.

133 / 158

Newtonov oblik polinoma pk

Uvrštavanjem cvorova xk−1 i xk u prethodnu formulu za pk ,odmah možemo provjeriti da je

pk (xk−1) = fk−1,

pk (xk ) = fk ,p′k (xk−1) = sk−1,

p′k (xk ) = sk .

Drugim rijecima, našli smo traženi polinom pk na svakompodintervalu [xk−1, xk ], za k = 1, . . . ,n.

Za nalaženje koeficijenata ci,k u standardnom zapisu, treba jošI Newtonov oblik polinoma pk “preurediti” tako da bude

napisan po potencijama od (x − xk−1).

134 / 158

Standardni oblik polinoma pk

Posljednji clan Newtonovog oblika polinoma pk možemonapisati kao

(x − xk−1)2(x − xk ) = (x − xk−1)

2(x − xk−1 + xk−1 − xk )

= (x − xk−1)2(x − xk−1 − hk )

= (x − xk−1)3 − hk (x − xk−1)

2.

Zapis polinoma pk onda glasi

pk (x) = f [xk−1] + f [xk−1, xk−1] · (x − xk−1)

+(f [xk−1, xk−1, xk ]− hk f [xk−1, xk−1, xk , xk ]

)· (x − xk−1)

2

+ f [xk−1, xk−1, xk , xk ] · (x − xk−1)3.

135 / 158


Usporedivanjem koeficijenata uz odgovarajuce potencije od(x − xk−1), dobivamo

c0,k = pk (xk−1) = fk−1,

c1,k = p′k (xk−1) = sk−1,

c2,k =p′′k (xk−1)

2= f [xk−1, xk−1, xk ]− hk f [xk−1, xk−1, xk , xk ],

c3,k =p′′′k (xk−1)

6= f [xk−1, xk−1, xk , xk ].

Promotrimo li posljednje dvije relacije, vidimo da se isplatiI prvo izracunati koeficijent c3,k ,I a zatim ga upotrijebiti za racunanje c2,k .

136 / 158


Na kraju, dobivamo sljedece relacijeI za koeficijente ci,k u standardnom zapisu polinoma pk ,

napisane redom kako se racunaju iz zadanih podataka:

c0,k = fk−1,

c1,k = sk−1,

c3,k =sk + sk−1 − 2f [xk−1, xk ]

h2k

,

c2,k =f [xk−1, xk ]− sk−1

hk− hkc3,k .

za k = 1, . . . ,n.

137 / 158

Po dijelovima kubicna interpolacija — komentar

Drugim rijecima, ako znamo sk , ondaI nije problem naci koeficijente po dijelovima kubicne

interpolacije.

Ostaje nam samo pokazati kako bismo mogli birati brojeve sk .

Tu postoje dva bitno razlicita nacina.I sk su prave vrijednosti derivacije funkcije f u cvorovima,

ako ih znamo, tj. sk = f ′(xk ).I sk su neke aproksimacije za f ′(xk ). Takve aproksimacije

možemo lako naci numerickim deriviranjem iz zadanihvrijednosti fk .

Zato nema smisla proizvoljno zadati sk , ili tražiti samoneprekidnost ϕ′ u cvorovima, jer daju lošu aproksimaciju za f .

138 / 158



139 / 158

Po dijelovima kubicna Hermiteova interpolacija

Vrijednosti sk možemo izabrati tako da su one baš jednakederivaciji zadane funkcije u odgovarajucoj tocki, tj. da vrijedi

sk = f ′(xk ).

U tom slucaju, svaki kubicni polinom pk jeI odreden lokalno — iz podataka na svom podintervalu, tj.

ne ovisi o drugim kubicnim polinomima.I Razlog = na rubovima su zadane 2 funkcijske vrijednosti i

2 vrijednosti derivacija.Takva se interpolacija zove po dijelovima kubicna Hermiteovainterpolacija.

Naziv “Hermiteova” znaci: sk = f ′k su zadani ulazni podaci.

140 / 158

Greška po dijelovima kubicne Hermiteove interp.

Neka je funkcija f ∈ C4[a,b]. Za svaki podinterval [xk−1, xk ],ocjena lokalne greške za Hermiteovu kubicnu interpolaciju pk je

|f (x)− pk (x)| ≤ |ωk (x)|M(k)

44!

,

pri cemu je

ωk (x) = (x − xk−1)2(x − xk )

2, M(k)4 = max

x∈[xk−1,xk ]|f (4)(x)|.

Uocite da je ovdje ωk jednak kvadratu polinoma cvorova ωlink za

po dijelovima linearnu interpolaciju na istoj mreži.

Za svaki x vrijedi ωk (x) ≥ 0, pa je |ωk | = ωk . Ostaje samo jošpronaci maksimum funkcije ωk na intervalu [xk−1, xk ].

141 / 158


Dovoljno je naci sve lokalne ekstreme funkcije ωk u otvorenomintervalu, jer je na rubovima vrijednost jednaka 0.

Deriviranjem izlazi da se ekstrem (i to lokalni maksimum) opetdostiže u polovištu xe = (xk−1 + xk )/2.

Vrijednost ωk u tocki xe je kvadrat vrijednosti ωlink (xe) za po

dijelovima linearnu interpolaciju na istoj mreži cvorova

ωk (xe) = (xe − xk−1)2(xe − xk )

2 =(xk − xk−1)

4

16=

h4k

16.

Iz |ωk | = ωk slijedi da je xe tocka lokalnog maksimuma za |ωk | i

|ωk (x)| ≤ |ωk (xe)| =h4

k16, ∀x ∈ [xk−1, xk ].

142 / 158


Kao i prije, neka je h maksimalni razmak susjednih cvorova

h = maxk=1,...,n

{hk = xk − xk−1}.

Onda, na citavom intervalu [a,b], možemo pisati

|f (x)− ϕ(x)| ≤ h4

16· M4

4!=

1384

h4M4,

pri cemu je

M4 = maxk=1,...,n

{M(k)4 } = max

x∈[a,b]|f (4)(x)|.

Drugim rijecima, ako ravnomjerno povecavamo broj cvorova,tako da h→ 0, onda i maksimalna greška teži u 0, tj. dobivamouniformnu konvergenciju. To vrijedi i za derivacije!

143 / 158


Neka je f ∈ C1[a,b] i pretpostavimo daI f ima ogranicenu i integrabilnu cetvrtu derivaciju na

svakom podintervalu [xk−1, xk ].Tada je

‖f (x)− ϕ(x)‖∞ ≤1

384h4 ‖f (4)‖∞,

‖f ′(x)− ϕ′(x)‖∞ ≤√

3216

h3 ‖f (4)‖∞,

‖f ′′(x)− ϕ′′(x)‖∞ ≤1

12h2 ‖f (4)‖∞,

‖f ′′′(x)− ϕ′′′(x)‖∞ ≤12

h ‖f (4)‖∞.

144 / 158

Primjer — po dij. kubicna Hermiteova interp.

Primjer. Nadite po dijelovima kubicnu Hermiteovu interpolacijuza sljedece podatke

xk 0 1 2fk 1 2 0f ′k 0 1 1

.

Ocito, treba naci dva kubicna polinomaI p1 na intervalu [0,1],I p2 na intervalu [1,2].

Oba polinoma pišemo u standardnom obliku — oko pocetnetocke odgovarajuceg intervala.

145 / 158

Primjer — po dij. kubicna Hermiteova interp.Za polinom p1 imamo sljedecu tablicu podijeljenih razlika

tj f [tj ] f [tj , tj+1] f [tj , tj+1, tj+2] f [tj , . . . , tj+3]

0 10

0 1 11 −1

1 2 01

1 2

Iz nje dobivamo

p1(x) = 1 + 0(x − 0) + (x − 0)2 − (x − 0)2(x − 1)

= 1 + (1 + 1)(x − 0)2 − 1(x − 0)3

= 1 + 2x2 − x3.

146 / 158

Primjer — po dij. kubicna Hermiteova interp.Na slican nacin, za p2 dobivamo tablicu podijeljenih razlika

tj f [tj ] f [tj , tj+1] f [tj , tj+1, tj+2] f [tj , . . . , tj+3]

1 21

1 2 −3−2 6

2 0 31

2 0

pa je

p2(x) = 2 + (x − 1)− 3(x − 1)2 + 6(x − 1)2(x − 2)

= 2 + (x − 1) + (−3− 6)(x − 1)2 + 6(x − 1)3

= 2 + (x − 1)− 9(x − 1)2 + 6(x − 1)3.

147 / 158

Demo — po dij. kubicna Hermiteova interp.

Pokazat cemo kako izgleda po dijelovima kubicna Hermiteovainterpolacija na primjeru funkcije Runge:

f (x) =1

1 + x2 , x ∈ [−5,5],

na ekvidistantnim mrežama s parnim brojem podintervala.

Slike interpolacija i grešaka su na sljedecim stranicama.

148 / 158

Po dij. kubicna Hermiteova interp. — Runge

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -2 0 2 4

f(x)

x

Po dijelovima kubicna Hermiteova interpolacija s 2 podintervala

funkcijainterpolacija

149 / 158


-0.5

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

-4 -2 0 2 4

gres

ka

x

Greska s 2 podintervala

greska

150 / 158


-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -2 0 2 4

f(x)

x



151 / 158


-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

-4 -2 0 2 4

gres

ka

x


greska

152 / 158


-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -2 0 2 4

f(x)

x

Po dijelovima kubicna Hermiteova interpolacija sa 6 podintervala


153 / 158


-0.1

-0.09

-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

-4 -2 0 2 4

gres

ka

x

Greska sa 6 podintervala

greska

154 / 158


-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -2 0 2 4

f(x)

x



155 / 158


-0.04

-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

-4 -2 0 2 4

gres

ka

x


greska

156 / 158


-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -2 0 2 4

f(x)

x



157 / 158


-0.014

-0.012

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

-4 -2 0 2 4

gres

ka

x


greska

158 / 158

Documents

Numericka matematika - *2ex5. predavanje