NUMERI COMPLESSI

Patti Maurizio:Patti Maurizio:

Unità immaginaria

Però nulla impedisce di creare un nuovo numero

(naturalmente non reale) il quale, elevato al

quadrato dia proprio -1.

Questo numero si chiama unità immaginaria e

si indica con la lettera i.

Nell’insieme dei numeri reali nessun numero

elevato al quadrato dà un numero negativo.

In particolare, nessun numero reale elevato al

quadrato dà -1.

Si ha dunque per definizione:

i2 = -1

Numero immaginario

Se b è un numero reale il prodotto indicato b*i si chiama

numero immaginario b prende il nome dicoefficiente del numero immaginario

Per questi prodotti si conserva la proprietà commutativa bi = ib.

I numeri bi e -bi si dicononumeri immaginari opposti

Potenze di iPer le potenze di i si ha:

i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = -i

i4 = 1 i5 = i i6 = -1 i7 = -i

i8 = 1 i9 = i ecc.cioè le prime quattro potenze di i si riproducono indefinitivamente nello stesso ordine.

Esempio

Operazioni con i numeri immaginari

L’addizione e la sottrazione di due numeri immaginari dà come risultato un numero immaginario ai + bi = (a + b)i ai - bi = (a - b)i

Il prodotto e il quoziente sono numeri reali

ai * bi = a * b * i2 = a * b*(-1) = -ab

ai : bi = (a : b) * (i : i) = (a : b) * 1 = a : b

In particolare, il quadrato di un numero immaginario è un numero reale negativo.

(ai)2 = a2 * i2 = a2 * (-1) = -a2

Nell’insieme dei numeri immaginari si può estrarre la radice quadrata da un numero negativo

aiaiaa 21

Esempio

Numeri complessi

a si dice parte reale

b si dice coefficiente dell’immaginario.

L’espressione a + ib viene denominata:

forma algebrica del numero complesso

Indichiamo

con C l’insieme dei numeri complessi (a + ib)

con Cr l’insieme dei numeri complessi reali (a + i0)

con Ci l’insieme dei numeri complessi immaginari (0 + ib)

con R l’insieme dei numeri reali (a)

Siano a e b due numeri reali. La somma indicata z = a + ib si dice

numero complesso.

a + ib

R

a + i0 0 + ib

C

a

Esiste una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi Cr e R che conserva le operazioni di addizione e moltiplicazione.

Ci Cr

Due numeri complessi si dicono uguali quando hanno

rispettivamente uguali le parti reali e i coefficienti degli

immaginari

a + ib = c + id se a = c e b = d

Se ciò non si verifica i numeri si dicono disuguali, ma non si

può stabilire tra loro la relazione di “maggiore” e “minore”.

Per un numero complesso non ha luogo la nozione di

“positivo” o “negativo”

Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale

ed opposti i coefficienti dell’immaginario si dicono

complessi coniugati

Esempio

Operazione con i numeri complessi

La somma di due o più numeri complessi è il numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali e per coefficiente dell’immaginario la somma dei coefficienti delle parti immaginarie.

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + (b + d)i

La somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale

(a + ib) + (a - ib) = (a + a) + (b - b)i = 2aEsempio

La differenza di due numeri complessi coniugati è un numero immaginario(a + ib) - (a - ib) = (a - a) + (b + b)i = 2bi

Due numeri complessi si dicono opposti quando sono opposte sia la parte reale che quella immaginaria

a + ib -a - ib

Per differenza di due numeri complessi si intende la somma del primo e dell’opposto del secondo

(a + ib) - (c + id) = (a + ib) + (-c - id) = (a - c) + (b - d)i

Esempio

Il prodotto di due numeri complessi è il numero complesso

che si ottiene moltiplicando termine a termine i due fattori.

(a + ib) * (c + id) = ac + iad + ibc + i2 bd =

= (ac - bd) + (ad + bc)i.

In particolare, il prodotto di due numeri complessi coniugati è un numero reale che prende il nome di

norma

(a + ib) * (a - ib) = a2 - b2i2 = a2 + b2

La potenza di un numero complesso viene calcolata mediante le stesse regole che permettono di determinare le potenze dei binomi

(a + ib)2 = a2 + 2iab + b2i2 = (a2 - b2 ) + 2iab

(a + ib)3 = a3 + 3ia2b + 3ab2i2 + b3i3 =

=(a3 - 3ab2) + (3a2b - b3 )i

Esempio

Due numeri complessi si dicono reciproci quando il loro prodotto è uguale ad 1

Il reciproco di un numero complesso a + ib è

a - ib -------- a2 + b2

Il quoziente di due numeri complessi è il numero che si ottiene moltiplicando il primo per il reciproco del secondo

a + ib -------- c + id

= (a + ib)c - id -------- c2 + d2

Coniugato ------------- Norma

Esempio

EserciziEseguire le operazioni

(1 - i)(1 + i) - (3 + 2i)(3 - 2i) + i11 = 2 - 13 + i3 = -11 - i

2 + i 8 ------- + -- 4 + i 17

= (2 + i) *4 - i 8 ------ + -- = 16 +1 17

8 - 2i + 4i +1 8 ---------------- + --- = 17 17

9 + 2i 8 ------- + --- = 17 17

=9 2i 8 -- + --- + --- = 17 17 17

2 1 + --- i

17

Forma matriciale di un numero complesso

Dato il numero complesso a + ib si chiama forma matriciale del numero complesso dato, la matrice quadrata:

ab

ba

Ad esempio al numero complesso 3 – 2i corrisponde la matrice:

32

23

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi

I numeri complessi possono essere rappresentati geometricamente:

- mediante punti di un piano

- mediante vettori

Rappresentazione mediante i punti del piano

Fissiamo nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy

y

xO

Al numero complesso z = a + bi facciamo corrispondere il punto P(a;b)

b

a

P(a;b)

Rimane così fissata una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri complessi e l’insieme dei punti del piano.

Ai punti dell’asse x (asse reale) corrispondono i numeri reali; a quelli dell’asse y (asse immaginario) corrispondono i numeri immaginari.

Il punto P(a;b) viene chiamato immagine di z; il numero z viene chiamato affissa di P.

Il piano in cui vengono rappresentati i numeri complessi viene chiamato piano di Gauss.

Rappresentazione mediante vettori

Fissiamo ancora nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy.

y

xO

Al numero z = a + bi facciamo corrispondere il vettore OP;

al vettore OP facciamo corrispondere il numero z = a + bi

b

a

P(a;b)

Il vettore OP viene chiamato vettore rappresentativo del numero complesso z.

Esempio

Rappresentazione vettoriale della somma di due numeri complessi

Siano z1 = a + bi e z2 =a + b i due numeri complessi,

P1(a;b) e P2(a;b) i loro punti immagine,

OP1 e OP2 i rispettivi vettori rappresentativi

y

xO

b

a

P1

b

a

P2

Al vettore OP, somma dei due vettori OP1 e OP2 corrisponde il numero complesso z, somma dei numeri complessi z1 e z2

a+a

b+b P

Anche al vettore d differenza di due vettori v1 e v2, corrisponde il numero complesso differenza dei due numeri complessi corrispondenti a v1 e v2: d = v1 - v2 = v1 + (-v2) la differenza si riduce quindi al caso della somma.

Fine

Modulo ed argomento di un numero complesso

Sia z = a + bi un numero complesso, P(a;b) la sua immagine e v = OP il vettore rappresentativo; sia la distanza del punto P dall’origine, l’angolo che il vettore forma con il semiasse positivo reale

x

y

0 a

bP(a;b)

Il numero viene chiamato modulo ed il numero argomento del numero complesso z.Si ha immediatamente :

a = cos b = sen

22 ba

bsen

a

cos

Forma trigonometrica di un numero complesso

Dato il numero complesso a + bi si ha:

a + bi = cos + i sen = (cos + i sen )

l’espressione (cos + i sen ) si dice

FORMA TRIGONOMETRICA

del numero complesso

Esempio

Operazioni con numeri complessi sotto forma trigonometrica

•Prodotto

•Potenza

•Reciproco

•Quoziente

Radici n-esime di un numero complesso

Si chiama radice n-esima di un numero complesso z = (cos + i sen ) ogni numero complesso w che elevato ad n dà z

[r(cos + i sen )]n = (cos + i sen )

rn(cos n + i sen n) = (cos + i sen )

quindi: rn = nr

n = + 2k n

kn

2

nk

ni

nk

nw n

k

2sen

2cos

Esempio

Forma esponenziale di un numero complesso

Un numero complesso z = (cos + i sen ) può essere scritto sotto la seguente forma, detta esponenziale:

iez Ad esempio:

iei 2)sen(cos22

2

2sen

2cos

ieii

FINE

Calcolare le radici quarte del numero

3

2sen

3

2cos231

ii

)3,2,1,0(

4

2

6sen

4

2

6cos24

k

kikwk

)3(2

2)

6sen

6(cos2

44

0 iiw

312

2

26sen

26cos2

44

1 iiw

iiw

3

2

2

6sen

6cos2

44

2

312

2

2

3

6sen

2

3

6cos2

44

3 iiw

Determinare le radici quarte dell’unità.

Essendo: = 1 e = 0°+ k360° risulta 1= cosk360°+isenk360°

e quindi:

Ritorna

)3,2,1,0(

3604

sen3604

cos14

k

ki

k

Le quattro radici dell’unità sono dunque:

z0 = cos0°+isen0° = 1

z1 = cos90°+isen90° = i

z2 = cos180°+isen180° = -1

z3 = cos270°+isen270° = -i

Dato il numero complesso -1 + i scriverlo sotto forma trigonometrica

211 2

2cos

2

2sen

4

3

4

3sen

4

3cos21 ii

Dato il numero complesso 4(cos 120° + i sen 120°) scriverlo sotto forma algebrica

iii 3222

3

2

14120sen120cos4

Ritorna

ProdottoDati due numeri complessi (cos + isen) e '(cos ' + isen ') il loro prodotto è

(cos + isen) '(cos' + isen') =

= ' (cos cos' + i cos sen' + i sen cos' – sen sen' ) =

= '[(cos cos' – sen sen' ) + i(cos sen' + sen cos')] =

= ‘[cos( + ') + i sen( + ')]

Il prodotto di due numeri complessi sotto forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti

Esempio Ritorna

Potenza n-esima di un numero complesso

Se applichiamo la regola del prodotto tra numeri complessi sotto forma trigonometrica ad n fattori tutti uguali a (cos + isen ) si ottiene la formula di MOIVRE

[(cos + isen)]n = n (cos n + isen n)

La potenza n-esima (con n intero) di un numero complesso non nullo è un numero complesso che ha per modulo la potenza n-esima e per argomento n volte l’argomento della base

Esempio Ritorna

Reciproco di un numero complesso

Il reciproco del numero complesso non nullo z = (cos + isen)

ha per modulo il reciproco del modulo di z

e per argomento l’opposto dell’argomento di z

)sen()cos(11

iz

Infatti

10sen0cos)sen()cos(

)sen()cos(1

sencos

ii

ii

Esempio Ritorna

QuozienteDati due numeri complessi (cos + isen) e '(cos ' + isen ') il quoziente si ottiene

)'sen()'cos('

)'sen()'cos('

1)sen(cos

)'sen'(cos'

)sen(cos

i

iii

i

Il quoziente di due numeri complessi sotto forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti

Esempio Ritorna

Calcolare:

3(cos25° + isen25°)·4(cos15° + isen15°) = 12(cos40° + isen40°)

2(cos15° + isen15°)·5(cos35° + isen35°) = 10(cos50° + isen50°)

Ritorna

Calcolare

[3(cos30° + isen30°)]5 = 35 (cos 5·30° + isen 5·30° ) =

= 243(cos150° + isen150°)

[2(cos20° + isen20°)]3 = 23 (cos 3·20° + isen 3·20° ) =

= 8(cos60° + isen60°)

Ritorna

Il reciproco del numero 3(cos 25° + isen 25°) è

)25sen()25cos(3

1 i

Il reciproco del numero 5(cos 30° + isen 30°) è

)30sen()30cos(5

1 i

Ritorna

)5sen()5cos(2

3)2015sen()2015cos(

2

3

)20sen()20cos(2

1)15sen15(cos3

)20sen20(cos2

)15sen15(cos3

ii

iii

i

Calcolare

)15sen15(cos3

)1025sen()1025cos(3)10sen10(cos2

)25sen25(cos6

i

ii

i

Ritorna

i14 = ? 14 : 4 = 3 con il resto di 2 quindi i14 = i2 = -1

i12 = ? 12 : 4 = 3 con il resto di 0 quindi i12 = i0 = 1

Ritorna

3i + 4i = (3 + 4)i = 7i

7i - 9i = (7 - 9)i = -2i

4i * (-3i) = -12i2 = -12*(-1) = 12

3i : 4i = 3/4

(2i)3 = 23 * i3 = 8 * (-i) = -8i

ii 24*4*14 2

Ritorna

Sono uguali i numeri

2 - 3i 2 - 3i

-3 + 5i -3 + 5i

Sono complessi coniugati i numeri

3 - 2i 3 + 2i

-5 + 3i -5 - 3i

Ritorna

(3 + 2i) + (-1 + 4i) = (3 - 1) + (2 + 4)i = 2 + 6i

(2 - 4i) + (-5 + i) + i = (2 - 5) + ( -4 + 1 + 1)i = -3 - 2i

(-3 + 7i) + (3 - 7i) = (-3 + 3) + (7 - 7)i = 0

(6 + 5i) + (6 - 5i) = (6 + 6) + (5 - 5)i = 12

Ritorna

Sono opposti i numeri

1 - 3i -1 + 3i

-5 + i 5 - i

Ritorna

Differenze

(4 - 3i) - (5 + 7i) = (4 -5) + (-3 - 7)i = -1 - 10i

(5 - 2i) - (5 + 2i) = (5 - 5) + (-2 - 2)i = -4i

(2 - 5i) * (-1 + 2i) = (-2 + 10) + (4 + 5)i = 8 + 9i

(-7 + i)i = -1 - 7i

(-5 + 3i) * (-5 - 3i) = 25 + 9 =34

(2 - 3i)2 = 4 - 12i + 9i2 = (4 - 9) - 12i = -5 -12i

(1 + 2i)3 = 1 + 6i + 12i2 + 8i3 = (1 -12) + (6 - 8)i = -11 - 2i

Ritorna

Reciproci

il reciproco di 7 - 2i è 7 + 2i --------= 72 + 22

7 + 2i --------= 49 + 4

7 + 2i --------= 53

7 2 -- + ---i 53 53

Divisioni

iiiiiiii

15236

52*)3(

23 2

Ritorna

Trovare il punto immagine ed il vettore rappresentativo del numero complesso z = 2 - 3i

y

x1 2-1

-2

-3P(a;b)

Ritorna