NUEVO matrices

Matrices

Prof. Ivan Huerta

Revisado, Segundo Semestre de 2009

Operaciones matriciales Matrices

Matrices

Recordemos que una matriz de m× n define a una funcion F : Rn → Rm

F (~x) = A~x = x1~a1 + x2~a3 + . . .+ xn~an ∈ Rm

Con los vectores ~ai ∈ Rm fijos, variamos los coeficientes xi de ~x ∈ Rn paraobtener diferentes combinaciones lineales.

1


Ejemplo 1.

~y = A~x =

1 23 45 6

[ x1

x2

]= x1

135

+ x2

246

=

x1 + 2x2

3x1 + 4x2

5x1 + 6x2

A transforma vectores de R2 en vectores en R3

Entonces resolver el sistema

x1 + 2x2 = b1

3x1 + 4x2 = b2

5x1 + 6x2 = b3

Es equivalente a determinar el vector ~x tal que A~x = ~b

2


Ejemplo 2.

~y = A~x =[

2 −1 51 2 3

] x1

x2

x3

= x1

[21

]+ x2

[−12

]+ x3

[53

]

=[

2x1 − x2 + 5x3

x1 + 2x2 + 3x3

]

A transforma vectores de R3 en vectores en R2

3


Proposicion 1. Sean A,B matrices de m× n. Entonces

A~x = B~x ∀~x ∈ Rn⇔ A = B

Demostracion:

Sea A = [~a1 · · ·~an], B = [~b1 · · ·~bn]. (~ai, ~bi columna i de A, B).

(⇐) Es claro que si A = B entonces ~ai = ~bi y por lo tanto

A~x = x1~a1 + x2~a2 + . . .+ xn~an

= x1~b1 + x2

~b2 + . . .+ xn~bn

= Bx

para ~x ∈ Rn.

4


(⇒) Supongamos que A~x = B~x para ~x ∈ Rn.

Tomando ~x = ei =

00...1...00

← (i− esimo) obtenemos que Aei = Bei,

pero

Aei = 0 · ~a1 + 0 · ~a2 + · · ·+ 1 · ~ai + · · · 0 · ~an = ~ai

Bei = 0 ·~b1 + 0 ·~b2 + · · ·+ 1 ·~bi + · · ·+ 0 ·~bn = ~bi

y por lo tanto ~ai = ~bi, i = 1, 2, . . . , n En consecuencia A = B.

5


Definicion 1. Una funcion F : Rn → Rm se dice que es unatransformacion lineal si

i) F (~x+ ~y) = F (~x) + F (~y)

ii) F (α~x) = αF (~x)

i), ii) son equivalentes a iii)iii) F (α~x+ β~y) = αF (~x) + βF (~y)

i), ii) implica iii) pues

F (α~x+ β~y)(por i))

= F (α~x) + F (β~y)

(por ii))= αF (~x) + βF (~y)

Ademas iii) implica i), ii) (tomamos α = 1, β = 1 y luego β = 0).

6


Aplicando sucesivas veces iii) obtenemos

F (α~x+ β~y + γ~z) = F (α~x) + F (β~y + γ~z)

= αF (~x) + βF (~y) + γF (~z)

Por induccion obtenemos que

iv) F (k∑

i=1

αi~ui) =k∑

i=1

αiF (~ui), k ≥ 1

Note que con k = 2, iv) es la propiedad iii).

Entonces i) ii) ⇔ iii) ⇔ iv)

7


Esta es la clave:

• La imagen de una combinacion lineal es la combinacion lineal de lasimagenes

• Para transformaciones lineales es posible determinar F (~x) para ~x ∈〈~u1, ~u2, . . . , ~uk〉 solo conociendo F (~ui), i = 1, 2, . . . , k

Proposicion 2. Si A matriz de m × n, entonces F : Rn → Rm definidapor F (~x) = A~x es una transformacion lineal.

Demostracion:

A(α~x+ β~y) = (αx1 + βy1)~a1 + (αx2 + βy2)~a2 + · · ·+ (αxn + βyn)~an

= αx1~a1 + βy1~a1 + αx2~a2 + βy2~a2 + · · ·+ αxn~an + βyn~an

= α(x1~a1 + x2~a2 + · · ·+ xn~an) + β(y1~a1 + y2~a2 + · · ·+ yn~an)

= αA(~x) + βA(~y)

8


Teorema 1. F : Rn → Rm es una transformacion lineal sii existe unamatriz A de m× n tal que F (x) = Ax.

La matriz que representa a la transformacion lineal F es unica y es

A = [F (e1) F (e2) · · · F (en)]

La columna i-esima de A es F (ei) donde ei es el vector canonico i-esimoDemostracion: Si F es una transformacion lineal entonces

F (~x) = F (n∑

i=1

xiei) =n∑

i=1

xiF (ei)

= [F (e1) F (e2) · · · F (en)] ~x

= A~x

La unicidad de A viene de la Proposicion 1)

9


• Una gran cantidad de propiedades de las matrices estan ıntimamenterelacionadas al hecho que F (x) = Ax es una transformacion lineal.

• Por otra parte, funciones que son transformaciones lineales se representanconvenientemente mediante matrices.

• Por ejemplo, rotaciones, proyecciones, reflexiones son transformacioneslineales. y tendremos matrices de rotacion, proyeccion y reflexion cuandoellas correspondan a cada uno de este tipo de transformaciones.

10


Ejemplo 3. La rotacion en una angulo α en el sentido contrahorarioen el plano es una transformacion lineal

R(x+y)=R(x)+R(y)

R(y)R(x)

x+y

y

x

1

2

3

4

–1 1 2 3

11


R(a x)=a R(x)

R(x)

xa

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3

12


Entonces

R

[xy

]= R

(x

[10

]+ y

[01

])= xR

[10

]+ yR

[01

]= x

[cos(α)sin(α)

]+ y

[− sin(α)cos(α)

]=

[cos(α) − sin(α)sin(α) cos(α)

] [xy

]La matriz de rotacion en angulo α en el sentido contrahorario esentonces

R =[

cos(α) − sin(α)sin(α) cos(α)

]

13

Transformaciones Lineales Matrices

Linealidad y Ker(A)

Recordemos que Ker(A) = {~x ∈ Rn : A~x = ~0}

Usamos que A es una T.L para demostrar algunas propiedades de Ker(A)

Proposicion 3. Sea A matriz, entonces

a) ~0 ∈ Ker(A)

b) Ker(A) es ”cerrado” bajo combinaciones lineales. Es decir

~ui ∈ Ker(A), αi ∈ R⇒∑

i

xi~ui ∈ Ker(A)

14


Demostracion:

a) Como A(α~x) = αA(~x),tomando α = 0 obtenemos que A(~0) = ~0

b) ~ui ∈ Ker(A) implica A(~ui) = ~0 y por lo tanto

A(∑

i

xi~ui) =∑

i

xiA(~ui) =∑

i

αi ·~0 = ~0

.

15


Teorema 2. La solucion general un sistema consistente A~x = ~b es

~xg = ~xp +Ker(A)

donde ~xp es una solucion particular de A~x = ~b (fija pero arbitraria).

Demostracion:

Sea S = {~x ∈ Rn : A~x = ~b}.

Como el sistema es consistente S es no vacıo.

Sea A~xp = ~b (solucion particular fija pero arbitraria)

Si A~x = ~b, entonces A(~x− ~xp) = A(~x)−A(~xp) = ~b−~b = ~0.

Entonces ~xh = ~x− ~xp ∈ Ker(A).

Por lo tanto ~x = ~xp + ~xh donde ~xh ∈ Ker(A). (*)Ası, ~x ∈ ~xp +Ker(A).

16


Hemos demostrado que S ⊂ ~xp +Ker(A)

Por otra parte si ~x ∈ ~xp+Ker(A), entonces ~x = ~xp+~xh, con ~xh ∈ Ker(A).

Entonces A(~x) = A(~xp + ~xh) = A(~xp) +A(~b) = ~b+~0 = ~b.

Por lo tanto ~xp +Ker(A) ⊂ A. (**)

Por (*) y (**), {~x ∈ Rn : A~x = ~b} = ~xp +Ker(A)

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Imagenes de Conjuntos

Definicion 2. Sea A matriz de m× n. La imagen de S ⊂ Rn bajo A es

A(S) = {A~x : ~x ∈ S}

En particular se define la Imagen de A como:

Im(A) = A(Rn) = {A~x : ~x ∈ Rn }

Proposicion 4. Si A = [~a1 ~a2 · · ·~an] es una matriz con columnas ~ai, entonces

Im(A) = 〈~a1, ~a2, . . . , ~an〉

Demostracion: Es consecuencia inmediata de la definicion A~x = x1~a1 +x2~a2 + · · ·+ xn~an.

18


Note que

S ⊂ Rn =⇒ A(S) ⊂ Rm

Nos interesa ver como son transformados planos, rectas, segmentos, etc..bajo A.

La idea general es: expresar el conjunto como combinaciones linealesde vectores (ya sean positivas o convexas)y luego aplicar la propiedad detransformacion lineal

Proposicion 5. A(PQ) = A(P )A(Q). Es decir, la imagen de un segmentobajo una matriz A es otro segmento.

Demostracion: Sea ~x ∈ PQ, entonces ~x = αP+βQ, con α+β = 1, α, β ≥ 0.Por lo tanto

A~x = A(αP + βQ)

= αA(P ) + βA(Q).

19


Es decir, A~x es una combinacion convexa de A(P ), A(Q). y A(PQ) ⊂A(P )A(Q) = T .

Ahora, si ~y ∈ A(P )A(Q), entonces ~y = αA(P ) + βA(Q), con α + β = 1,α, β ≥ 0.

Como ~y = αA(P ) + βA(Q) = A(αP + βQ) ∈ A(PQ), tenemos queA(P )A(Q) ⊂ A(PQ).

Hemos demostrado que A(P )A(Q) = A(PQ)

20


Ejemplo 4. Si P =[

12

], Q =

[01

], entonces la matriz A =

[1 2−1 1

],

transforma el segmento PQ en el segmento RS, donde

~R = A ~P =[

1 2−1 1

] [12

]=[

51

]~S = A ~Q =

[1 2−1 1

] [01

]=[

21

]

21


Ejemplo 5. Demuestre que la imagen del plano Π : x1+x2+x3 = 1 bajo

A =

1 2 −10 1 1−1 −1 0

es otro plano y determine su ecuacion cartesiana.

Solucion: Tomando como variables libres a x2, x3 y como variable basica ax1, obtenemos que los puntos del plano son de la forma

x1

x2

x3

=

1− x2 − x3

x2

x3

=

100

+ x2

−110

+ x3

−101

22


Aplicando que A tiene la propiedad lineal obtenemos que

~y = A~x = A

100

+ x2

−110

+ x3

−101

= A

100

+ x2 A

−110

+ x3 A

−101

=

10−1

+ x2

110

+ x3

−211

(∗)

Entonces la imagen del plano Π bajo A es el plano

A(Π) =

10−1

+ <

110

, −2

11

>23


Igualando componentes en (*) obtenemos que ~y = A~x es equivalente a

y1 = 1 + x2 − 2x3

y2 = x2 + x3

y3 = x3

Eliminamos x2, x3. Para ello resolvemos x2, x3 de las ultimas dos ecuacionesy reemplazamos en la primera, para obtener

y1 = 1 + y2 − 3y3

que es la ecuacion cartesiana del plano A(Π).

Proposicion 6. Si S = ~x0+ < ~u1, ~u2, . . . , ~uk > entonces

A(S) = A~x0+ < A~u1, A~u2, . . . , A~uk >

24


Caso particular: para ~x0 = ~0 obtenemos

A(< ~u1, ~u2, . . . , ~uk >) =< A~u1, A~u2, . . . , A~uk >

La imagen de un conjunto generado es el conjunto generadopor las imagenes de los generadores.

Demostracion: Sea T = A~x0+ < A~u1, A~u2, . . . , A~uk >.

Debemos demostrar que T = A(S).

Sea ~x ∈ S.

Por lo tanto ~x = ~x0 +∑k

−i=1αi~ui,

25


y entonces

A~x = A(~x0 +k∑

−i=1

αi~ui)

= A(~x0) +k∑

i=1

αiA~ui ∈ T

Por lo tanto, A(S) ⊂ T .

Similarmente si ~y ∈ T , entonces

~y = A(~x0) +k∑

−i=1

αiA~ui = A(~x0 +k∑

−i=1

αi~ui) ∈ A(S)

. Por lo tanto T ⊂ A(S).Hemos demostrado que A = T (S).

26


En general, cuando las columnas de A son li, es decir A~x = ~0 ⇒ ~x = ~0,la imagen bajo A de

• una recta es una recta• un hiperplano es un hiperplano• un triangulo es un triangulo• un cono es un cono• un poliedro es un poliedro• etc...

Cuando las columnas de A son l.d, al calcular la imagen de un conjunto esposible (pero no siempre) que se pierdan ”dimensiones”. Por ejemplo esposible que la imagen de un plano sea una recta. Este tema lo veremos endetalle mas adelante

27


Ejemplo 6. Demuestre que la imagen del plano Π : x1 + 2x2 + x3 = 1bajo

A =

1 2 12 −1 13 1 2

es una recta y determine su ecuacion cartesiana.

Solucion: Tomando como variables libres a x2, x3 y como variable basica ax1, obtenemos que los puntos del plano son de la forma

x1

x2

x3

=

1− 2x2 − x3

x2

x3

=

100

+ x2

−210

+ x3

−101

28


Aplicando que A es una transformacion lineal obtenemos que

~y = A~x = A

100

+ x2

−210

+ x3

−101

= A

100

+ x2 A

−210

+ x3 A

−101

=

123

+ x2

0−5−5

+ x3

011

=

123

+ (−5x2 + x3)

011

(∗)

29


Entonces la imagen del plano Π bajo A es la recta

A(Π) =

123

+ 〈

011

〉Las ecuaciones parametricas de la recta son ( t ∈ R)

y1 = 1

y2 = 2 + t

y3 = 3 + t

Eliminando t, obtenemos y1 = 1, y2 − 2 = y3 − 3 que constituyen ecuacionescartesianas (interseccion de planos) para la recta.

30

Operaciones Matriciales Matrices

Operaciones Matriciales

Definicion 3. Si F,G : Rn → Rm entonces las funciones producto porescalar y suma αF, F +G : Rn → Rm estan definidas por

(F +G)(~x)def= F (~x) +G(~x)

(αF )(~x)def= α F (~x)

Si G : Rn → Rp. F : Rp → Rm entonces la composicion F ◦ G estadefinida por

(F ◦G)(~x)def= F (G(~x))

Nos interesa caraterizar F + G, αF , F ◦ G cuando F,G son TL’s, es decircuando F (x) = Ax, G(x) = Bx, donde A,B son matrices.

31


Teorema 3.

i) Si F,G : Rn → Rm son transformaciones lineales entonces F +G, αF :Rn → Rm son transformaciones lineales

ii) Si G : Rn → Rp, F : Rp → Rm son transformaciones lineales entoncesF ◦G : Rn → Rm es una transformacion lineal

Demostracion: La dem de i) queda propuesta como ejercicio. Demostramosii).

(F ◦G)(α~x+ β~y) = F (G(α~x+ β~y))

= F (αG(~x) + βG(~y))

= αF (G(~x)) + βF (G(~y))

= α(F ◦G)(~x) + β(F ◦G)(~y)

Entonces, F ◦G es TL.

32


Dado que las transformaciones lineales de Rn en Rm son matrices, estasproposiciones implican que:

Para matrices dadas A,B tales que la suma o la composicion estedefinida,

• existe una unica matrix C tal que C~x = A~x+B~x para todo ~x

• existe una unica matrix D tal que D~x = A(B~x) para todo ~x

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Suma de Matrices

La suma de funciones esta definida solo cuando ellas tienen el mismodominio y mismo recorrido.

Sean A,B : Rn → Rm matrices de m×n. A = [~a1 ~a2 . . . ~an], ~ai columnai-esima de A B = [~b1 ~b2 . . . ~bn], ~bi columna i-esima de A

A~x+B~x = (x1~a1 + x2~a2 + · · ·+ xn~an) + (x1~b1 + x2

~b2 + · · ·+ xn~bn)

= x1(~a1 +~b1) + x2(~a2 +~b2) + · · ·+ xn(~an +~bn)

= [~a1 +~b1 ~a2 +~b2 · · · ~an +~bn]~x

= C~x

donde C = [~a1 +~b1 ~a2 +~b2 · · · ~an +~bn]

34


Definicion 4. Sean matrices de m× n entonces

A+Bdef= [~a1 +~b1 ~a2 +~b2 · · · ~an +~bn]

es la unica matriz C tal que C~x = A~x+B~x para ~x ∈ Rn.

La suma de matrices se puede ver desde los puntos de vista:

• por elementos: (A+B)i,j = Ai,j +Bi,j, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

• por filas: filai(A+B) = filai(A) + filai(B)

• por columnas: colj(A+B) = colj(A) + colj(B)

Si pensamos a una matriz de m× n como un vector de m · n elementos,la suma de matrices corresponde a la suma vectorial.Las matrices se sumanelemento a elemento

35


Ejemplo 7.

A =[

1 2 34 5 6

], B =

[−1 1 12 2 4

], C =

[−1 03 1

]

Entonces

A+B =[

1 2 34 5 6

]+[−1 1 12 2 4

]=[

0 3 46 7 10

]A+ C no esta definida

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Producto por escalar

Sea A : Rn → Rm matriz de m × n. A = [~a1 ~a2 . . . ~an], ~ai columnai-esima de A

αA~x = α(x1~a1 + x2~a2 + · · ·+ xn~an)

= x1(α ~a1) + x2(α ~a2) + · · ·+ xn(α ~an)

= [α ~a1 α ~a2 · · · α ~an]~x

= C~x

donde C = [α ~a1 α ~a2 · · · α ~an]

37


Definicion 5. Sea A de m× n entonces

αAdef= [α ~a1 α ~a2 · · · α ~an]

es la unica matriz C tal que C~x = α A~x para ~x ∈ Rn.

El producto por escalar de una matriz se puede ver desde los puntos devista:

• por elementos: (α A)i,j = αAi,j i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n

• por filas: filai(α A) = α filai(A)

• por columnas: colj(α A) = α colj(A)

Si pensamos a una matriz de m× n como un vector de m · n elementos, elproducto por escalar de una matriz corresponde al producto escalar vectorial.

38


Al multiplicar por un escalar una matriz se multiplica cada elemento dela matriz por el escalar.

Ejemplo 8.

A =[

1 2 34 5 6

], C =

[−1 03 1

]Entonces

3A =[

3 6 912 15 18

]− C = (−1)C =

[1 0−3 −1

]

Definicion 6. La resta de dos matrices de m× n es A−B def= A+ (−1)B

39


Producto o composicion de Matrices

A · B → ABm× p p× n m× n

El producto AB esta definido solo cuando el numero p de columnas de A esigual al numero p de filas de B

40


Para A de m× p, B de p× n A = [~a1 ~a2 . . . ~ap], ~ai columna i-esima de

A B = [~b1 ~b2 . . . ~bn], ~bi columna i-esima de B

A(B~x) = A(x1~b1 + x2

~b2 + · · ·+ xn~bn)

= x1 A~b1 + x2 A~b2 + · · ·+ xn A~bn

= [A~b1 A~b2 · · · A~bn]~x

= C~x

donde C = [A~b1 A~b2 · · · A~bn]

Definicion 7. Sea A de m× p, B de p× n. El producto AB es

ABdef= [A~b1 A~b2 · · · A~bn]

es la unica matriz C tal que C~x = A(B~x) para ~x ∈ Rn.

41


Ejemplo 9.

A =[

1 2 34 5 6

]B =

−1 03 1−1 1

C =[−1 1

2 2

]2× 3 3× 2 2× 2

• AB es de 2× 2

• BA es de 3× 3

• AC no esta definida

• CA es de 2× 3

• BC es de 3× 2

• CB no esta definida

42


AB =

1 2 3

4 5 6

−1 0

3 1

−1 1

=

[1 2 3

4 5 6

] −1

3

−1

[ 1 2 3

4 5 6

] 0

1

1

=

1

2

3

·

−1

3

1

1

2

3

·

0

1

1

4

5

6

·

−1

3

1

4

5

6

·

0

1

1

=

[8 5

17 11

]

• Las columnas de AB son combinaciones lineales de las columnas de A.• AB es la matriz de productos puntos de filas de A con columnas de B.

43


El producto AB lo podemos ver por columnas y por filas

AB =[

1 23 4

] [b1,1 b1,2

b2,1 b2,2

]

=

[b1,1

[13

]+ b2,1

[24

]︸︷︷︸

Col 1 de AB

b1,2

[13

]+ b2,2

[24

]︸︷︷︸

]Col 2 de AB

=[

1 · [b1,1 b1,2] + 2 · [b2,1 b2,2]3 · [b1,1 b1,2] + 4 · [b2,1 b2,2]

]← Fila 1 de AB← Fila 2 de AB

Cada columna de AB es una combinacion lineal de las columnas de A conponderadores en la columna correspondiente de B.

Cada fila de AB es una combinacion lineal de las filas de B conponderadores en la fila correspondiente de A.

44


Ejemplo 10.• La col j de AB es una combinacion lineal de las columnas de A con

ponderadores en la col j de A.

[~a1 ~a2][

1 32 4

]= [1 · ~a1 + 2 · ~a2 3 · ~a1 + 4 · ~a2]

• La fila i de AB es una combinacion lineal de las filas de B conponderadores en la fila i de A.[

1 23 4

] [~B1~B2

]=

[1 · ~B1 + 2 · ~B2

3 · ~B1 + 4 · ~B2

]

• El elemento i, j de AB es el producto punto de la fila i de A con lacolumna j de B[

~A1~A2

] [~b1 ~b2

]=

[~A1 ·~b1 ~A1 ·~b2~A2 ·~b1 ~A2 ·~b2

]

45


Si denotamos a las filas por mayusculas y las columnas por minusculas

A = [~a1 ~a2 · · ·~ap] =

~A1~A2...~Am

B = [~b1 ~b2 · · ·~bn] =

~B1~B2...~Bp

C = [~c1 ~c2 · · ·~cn] =

~C1~C2...~Cm

46


Si C = AB, entonces

• Por columnas: ~cj = A~bj = [~a1 ~a2 · · ·~ap]

b1,j

b2,j...bp,j

=∑p

i=1 bi,j~ai

• Por filas: ~Ci = ~AiB = [ai,1 ai,2 · · · ai,p]

~B1

~B2...~Bp

=∑p

j=1 ai,j~Bj

• Por elementos: ci,j = ~Ai ·~bj = [ai,1 ai,2 · · · ai,p]

b1,j

b2,j...bp,j

=∑p

k=1 ai,kbk,j

47


Ejemplo 11. Sea ~ui, ~vj vectores de R4. Exprese las siguientesrelaciones en la forma de un producto de matrices.

~u1 = 2~v1 + ~v2 − ~v3~u2 = −~v1 + 2~v2 + ~v3

Solucion: Expresamos las relaciones pensando que los vectores ~ui, ~vj sonvectores columna

[~u1 ~u2] = [~v1 ~v2 ~v3]

2 −11 2−1 1

o equivalentemente U = V C donde U = [~u1 ~u2] es de 4 × 2, V =

[~v1 ~v2 ~v3] es de 4× 3, C =

2 −11 2−1 1

es de 3× 2

48


Matriz Nula

Definicion 8. La matriz nula On,m de m × n es la matriz que tiene todossus elementos iguales a cero. Usualmente denotamos a la matriz nula porO quedando su tamano definido por el contexto.

O2,2 =[

0 00 0

]O3,2 =

0 00 00 0

O2,3 =[

0 0 00 0 0

]

Si A es de m× n, la matriz nula satisface

A+ O = A, A O = O, O A = O

toda vez que la operacion este definida.

Note que si A es de 3× 4 entonces A O4,2 = O3,2

49


Matriz Identidad

Definicion 9. La matriz identidad In es la matriz de n× n tal que

(In)i,j ={

0 si i 6= j1 si i = j

La matriz identidad tiene 1’s en la diagonal principal y 0’s fuera de ladiagonal

I2 =[

1 00 1

]I3 =

1 0 00 1 00 0 1

In =

1 0 · · · 00 1 · · · 0... ... . . . ...0 0 · · · 1

50


La funcion identidad Id(~x) = ~x para ~x ∈ Rn es una transformacion linealy la matriz identidad es la matriz que la representa.

I3~x =

1 0 00 1 00 0 1

x1

x2

x3

=

x1

x2

x3

~x ∈ R3

La matriz identidad es la unica matriz que satisface

In~x = ~x ~x ∈ Rn

Si A es de m× n,AIn = A Im A = A 1 0 0

0 1 00 0 1

a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

a3,1 a3,2

=

a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

a3,1 a3,2

[ 1 00 1

]=

a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

a3,1 a3,2

51


Propiedades

La suma satisface (”O” es una matriz nula)

A+B = B +A

(A+B) + C = A+ (B + C) (1)

A+O = A

A+ (−1)A = O

El producto por escalar satisface

(αβ)A = α(βA)

(α+ β)A = αA+ βA (2)

α(A+B) = αA+ αB

1A = A

52


El producto satisface (In es la identidad de n× n)

A(B C) = (A B)C

A(B + C) = A B +A C (3)

(A+B)C = A C +B C

A In = A

Im A = A

Estas propiedades se cumplen en general para la suma, producto por escalary composicion de funciones, y en particular entonces se cumplen parafunciones que son transformaciones lineales.

AB 6= BA, pues en general la composicion NO conmuta

Demostracion: Solo demostramos A(BC) = (AB)C y las demasdemostraciones quedan propuestas como ejercicio. Haremos dos

53


demostraciones.

• Una basada en la asociatividad de la composicion de funciones,• y otra que utiliza la formula explıcita para el producto de dos matrices.

Sean A de m× p, B de p× q, C de q×n, R = (AB)C, T = A(BC) de m×n.Para demostrar que R = T basta con demostrar que R~x = T~x, ∀~x ∈ Rn.

R~x = ((AB)C)(~x)

= (AB)(C(~x)) por la definicion de producto como composicion

= A(B(C(~x))) ” ”

= A((BC)(~x)) ” ”

= (A(BC))(~x)) ” ”

= T~x

Por lo tanto R = T , es decir (AB)C = A(BC).

54


Ahora, a modo de ejercicio demostramos la identidad usando la formula(AB)i,j =

∑pk=1 ai,k bk,j

Entonces

((AB)C)i,j =q∑

l=1

(AB)i,l cl,j

=q∑

l=1

(p∑

k=1

ai,kbk,l

)cl,j

=q∑

l=1

(p∑

k=1

ai,kbk,lcl,j

)

=p∑

k=1

(q∑

l=1

ai,kbk,lcl,j

)reordenando terminos

55


=p∑

k=1

ai,k

(q∑

l=1

bk,lcl,j

)

=p∑

k=1

ai,k(BC)k,j

= (A(BC))i,j

Hemos demostrado que ((AB)C)i,j = (A(BC))i,j, es decir (AB)C =A(BC).

56


Potencias

Si A es cuadrada entonces se define

• A0 = I

• A2 = AA

• En general, Ak = A ·Ak−1, k = 2, 3, 4, . . ..

Las potencias de una matriz conmutan Para n,m ∈ N se tiene AnAm =AmAn = An+m

Las potencias de matrices estan definidas solo para matrices cuadradas

57


Ejemplo 12.

• (I −A)(I +A) = I(I +A)−A(I +A)

= (I +A)−A−A2

= I −A2

• (I −A)(I +A+A2) = I(I +A+A2)−A(I +A+A2)

= I +A+A2 −A−A2 −A3

= I −A3

• Por induccion se demuestra que

(I −A)(I +A+A2 + · · ·+Ak−1) = I −Ak , k = 1, 2, . . . .

58


Ejemplo 13. En general AB 6= BA.

• Si A es de 2× 3 y B es de 3× 4 entonces AB es de 2× 4 pero BA noesta definida.• Si A,B son matrices cuadradas, para el cuadrado del binomio te-

nemos

(A+B)2 = (A+B)(A+B) = A(A+B)+B(A+B) = A2+AB+BA+B2

Note que en general (A+B)2 6= A2 + 2AB +B2 pues AB 6= BA.• Si A,B son matrices cuadradas, para el cubo del binomio tenemos

(A+B)3 = (A+B)(A+B)2 = (A+B)(A2 +AB +BA+B2)

= A3 +A2B +ABA+AB2 +BA2 +B2A+B3

Si AB = BA entonces (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 +B3

59


Matrices como vectores

Si consideramos a las matrices de m×n como vectores con mn elementos,entonces las definiciones de suma y producto por escalar para matricescorresponden a las ya definidas para vectores de Rm n. Entonces desde estaperspectiva, podemos hablar de

• combinaciones lineales de matrices,

• conjuntos generados por matrices

• independencia-dependencia lineal de matrices.

Este enfoque lo tratamos en el capıtulo de espacios vectoriales.

60


Transpuestas

Definicion 10. Sea A de m × n, entonces la matriz transpuesta AT esla matriz de n×m tal que

(AT )i,j = Aj,i i = 1, 2, . . . , n j = 1, 2, . . . ,m

61


Las relaciones entre columnas, filas y elementos entre A y AT son:

• Elementos: (AT )i,j = Aj,i

• Filas :La fila i de (AT ) es la transpuesta de la columna i de A

• Columnas :La columna j de (AT ) es la transpuesta de la fila j de A

Proposicion 7.

i) (A+B)T = AT +BT

ii) (α A)T = α AT

iii) (AT )T = A

iv) (A B)T = BT AT

62


Demostracion: Las demostraciones de i), ii), iii) quedan propuestasDemostramos iv)

((AB)T )i,j = (AB)j,i

= Producto punto de fila j de A por columna i de B

= Producto punto de columna j de AT por fila i de BT

= Producto punto de fila i de BT por columna j de AT

= (BTAT )i,j

Entonces (AB)T = BTAT

63


Aplicando sucesivas veces las propiedades i) ii) de la proposicion (7)obtenemos

v) (α1A1 + α2A2 + · · ·+ αkAk)T = α1AT1 + α2A

T2 + · · ·+ αkA

Tk

Aplicando sucesivas veces la propiedad iv) obtenemos

vi) (A1 A2 · · · Ak)T = ATk · · · A

T2 A

T1

Por ejemplo,(A+ 3B − 4C)T = AT + 3BT − 4CT

(ABC)T = CTBTAT

64


Ejemplo 14. Sean ui, vj vectores columna en Rn. Exprese las relacionessiguientes en la forma de producto de matrices, por filas y por columnas.

~a1 = ~b1 + 2~b2 −~b3~a2 = −~b1 −~b2 + 2~b3

Solucion: Usando que las columnas de BC son combinaciones lineales delas columnas de B

[~a1 ~a2] = [~b1 ~b2 ~b3]

1 −12 −1−1 2

por cols

65


Transponiendo obtenemos

[~aT

1~aT

2

]=[

1 2 −1−1 −1 2

] ~bT1~bT

2~bT

3

por filas

66


¡NO OLVIDE !

• AX : matriz con columnas que son combinacion lineal de columnas de Acon ponderadores en las columnas de X

• XA: matriz con filas que son combinacion lineal de filas de A conponderadores en las filas de X

Esta es la esencia de la identidad

C = AX ⇔ CT = XTAT

67


El producto punto ~x · ~y = ~xT~y

Sean ~x, ~y vectores (columna) de n× 1 en Rn. Entonces,

~xT ~y es de 1× n · n× 1 = 1× 1 es un escalar

~x · ~y =

x1

x2...xn

·y1y2...yn

= x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn

= [x1 x2 · · · xn] ·

y1y2...yn

= ~xT ~y

68


Entonces si A = [~a1~a2 · · ·~an] tenemos

ATA =

~aT

1

~aT2...~aT

n

[~a1~a2 · · ·~an]

=

~aT

1~a1 ~aT1~a2 · · · ~aT

1~an

~aT2~a1 ~aT

2~a2 · · · ~aT2~an

... ... . . . ...~aT

n~a1 ~aTn~a2 · · · ~aT

n~an

=

[~aT

i ~aj

]

ATA es la matriz de productos puntos de las columnas de A

69


ATA es una matriz diagonal sii las columnas de A sonperpendiculares entre sı.

Ejemplo 15.

CTC =

~aT1 ~a1 ~aT

1 ~a2 ~aT1 ~a3

~aT2 ~a1 ~aT

2 ~a2 ~aT2 ~a3

~aT3 ~a1 ~aT

3 ~a2 ~aT3 ~a3

=

||~a1||1 ~aT1 ~a2 ~aT

1 ~a3

~aT2 ~a1 ||~a2||2 ~aT

2 ~a3

~aT3 ~a1 ~aT

3 ~a2 ||~a3||2

CTC =

1 2 −12 1 4−9 6 3

1 2 −9

2 1 6−1 4 3

=

6 0 00 21 00 0 126

Las columnas de C son perpendiculares entre sı

70


Ejemplo 16.

ATA =

1 0 −1 01 1 2 1−2 1 1 −1

1 1 −20 1 1−1 2 1

0 1 −1

=

~aT1~a1 ~aT

1~a2 ~aT1~a

T3

~aT2~a1 ~aT

2~a2 ~aT2~a

T3

~aT3~a1 ~aT

3~a2 ~aT3~a

T3

=

2 −1 −3−1 7 0−3 0 7

La matriz de productos puntos de las columnas de una matriz essimetrica son respecto a su diagonal

71


Matrices Simetricas

Definicion 11. Una matriz A real se dice simetrica si AT = A

• AT = A sii Ai,j = Aj,i

• Si A = AT entonces necesariamente A es cuadrada.• En las matrices simetricas la fila i es la transpuesta de la columna i.

72


Ejemplo 17.

B =

1 2 31 4 23 5 6

no es simetrica, pues B1,2 6= B2,1

Proposicion 8. Sean A,B matrices simetricas de n× n, entonces

i) A+B es simetrica

ii) αA es simetrica

iii) AB NO es simetrica en general: AB es simetrica sii AB = BA

73


Demostracion:

Para i) tenemos (A + B)T = AT + BT = A + B y entonces A + B essimetrica

Para ii) tenemos (αA)T = αAT = αA, y entonces αA es simetrica

Para iii) tenemos (A B)T = BT AT = B A 6= AB en general.

Para que el producto AB de matrices simetricas sea simetrica, lasmatrices deben conmutar, es decir AB = BA.

Ejemplo 18. Demuestre que si A es de m × m entonces ATA essimetrica.

Solucion: Hay que demostrar que (ATA)T = ATA

(ATA)T = AT (AT )T = ATA

74


NOTA

En clases ( Segundo semestre del 2009) vimos con mas detalle algunostopicos:

• Matrices Simetricas, Antisimetricas:, propiedades, toda matriz sedescompone en forma unica como la suma de una matriz simetricamas una antisimetrica.

• xTy es el producto punto de los vectores x, y; xyT es una matriz de n×nde rango 1.

• AB = O es equivalente a que las filas de A son perpendiculares a lascolumnas de B, es decir AB = O sii Im(B) ⊂ Ker(A)

• ATA es la matriz de productos puntos de las columnas de A, Ker(ATA) =Ker(A), ATA tiene inversa sii las columnas de A son li, la ecuacionATAx = AT b (re-interpretacion problema de la I1 de este semestre).

75


• En clases ya tenemos a estas alturas 1-1 y sobre y entonces la presentaciondada en clases para los topicos que siguen a continuacion (Solucion deAX = B y de Y A = B) consideran estos conceptos. Vimos que A es1-1 sii AT es sobre y que A es sobre sii AT es 1-1. En estas notas 1-1y sobre se introducen despues de estos temas y se consideran solamentepara inversas por la derecha y por la izquierda, en la solucion de AX = Iy Y A = I, respectivamente.

76


La ecuacion matricial AX = B

El problema es:

dadas dos matrices A, B determinar una matriz X tal que AX = B.

• Si A, B tienen distinto numero de filas el problema no tiene sentido.

• Si A es de m × p y B es de m × q entonces necesariamente X debe serde p× q.

• La matrix X se calcula por colummas.

Sea X = [~x1 ~x2 · · · ~xq], ~xi col-i de X.

Sea B = [~b1 ~b2 · · · ~bq], ~bi col-i de B.

77


AX = B ⇔ A[~x1 ~x2 · · · ~xq] = [~b1 ~b2 · · · ~bq]

⇔ [A~x1 A~x2 · · · A~xq] = [~b1 ~b2 · · · ~bq]

⇔ A~xi = ~bi, i = 1, 2, . . . , q

Entonces para determinar la matriz X hay que:

• Resolver q sistemas de ecuaciones A~x = ~bi con la misma matriz A decoeficientes y distintos vectores ~bi.

• Para ello se calcula la escalonada reducida de la matriz ampliada [A|B].

• Si no aparece una ecuacion del tipo 0 = 1, esto es r([A|B]) = r(A), cadasistema es consistente y hay soluciones de AX = B. (existencia)

78


• Si ademas las columnas de A son li.,es decir no hay variables libres, lasolucion X es unica.(unicidad)

Proposicion 9. La ecuacion AX = B tiene solucion sii cada sistemaA~xi = ~bi, i = 1, 2, . . . , q es consistente.

Si la solucion existe, esta es unica sii las columnas de A son li.

Proposicion 10. Sea A de m× p. Son equivalentes

• La ecuacion AX = B tiene solucion para cada matriz B de m× q.

• r([A|B] = r(A) para cada matriz B de m× q.

• La filas de A son linealmente independientes

79


Ejemplo 19. Determine las soluciones de la ecuacion matricial AX = Bdonde

A =

1 0 1 1−2 0 −3 0−1 0 1 −5

B =

3 1−5 −3−5 2

Solucion: Como A es de 3 × 4 y B es de 3 × 2, la matriz X debe ser de4× 2 y X tiene dos columnas.

C = [A|B] =

1 0 1 1 3 1−2 0 −3 0 −5 −3−1 0 1 −5 −5 2

→ 1 0 1 1 3 1

0 0 −1 2 1 −10 0 2 −4 −2 3

→

1 0 1 1 3 10 0 −1 2 1 −10 0 0 0 0 1

Vemos que el sistema para la segunda columna de X es inconsistente pues

80


se obtiene la ecuacion 0 = 1 y por lo tanto la ecuacion matricial AX = Bno tiene solucion

81


Ejemplo 20. Determine las soluciones de AX = B donde

A =

1 2 1 1−2 −4 −1 −5

1 2 2 −2

B =

1 5−4 −9−1 6

Solucion: A es de 3 × 4 y B de 3 × 2 por lo que X debe ser de 4 × 2, esdecir, X tiene 2 columnas en R4

X =

x1 y1

x2 y2

x3 y3

x4 y4

82


Resolvemos X por columas resolviendo los sistemas A~x = ~bi, i = 1, 2.

C = [A|B] =

1 2 1 1 1 5−2 −4 −1 −5 −4 −9

1 2 2 −2 −1 6

→ 1 2 1 1 1 5

0 0 1 −3 −2 10 0 1 −3 −2 1

→

1 2 1 1 1 50 0 1 −3 −2 10 0 0 0 0 0

→ 1 2 0 4 3 4

0 0 1 −3 −2 10 0 0 0 0 0

• Vemos que cada uno de los 2 sistemas es consistente.• Tomamos como variables libres a la 2,4 y basicas a las 1,3.• Despejando x1, x3 para la primera columna obtenemos

x1 = 3− 2x2 − 4x4

x3 = −2 + 3x4

83


• Despejando y1, y3 para la segunda columna obtenemos

y1 = 4− 2y2 − 4y4

y3 = 1 + 3y4

Entonces

X =

3− 2x2 − 4x4 4− 2y2 − 4y4

x2 y2

−2 + 3x4 1 + 3y4

x4 y4

, x2, x4, y2, y4 ∈ R

84


Ejemplo 21. Si ~u1 = (2, 1), ~u2 = (1, 1) determine vectores ~v1, ~v2 talesque

~u1 · ~v1 = 1, ~u1 · ~v2 = 2 ~u2 · ~v1 = −1 ~u2 · ~v2 = 0

Solucion: Usando que AX es el producto punto de las filas de A conlas columnas de X el problema es equivalente a determinar una matrizX = [~v1 ~v2], ~vi col i de X, tal que

AX =[

2 11 1

][~v1 ~v2] =

[1 2−1 0

]= B

85


C = [A|B] =

[2 1 1 21 1 −1 0

]→

[2 1 1 20 1/2 −3/2 −1

]

→

[2 1 1 20 1 −3 −2

]→

[2 0 4 40 1 −3 −2

]→

[1 0 2 20 1 −3 −2

]

Entonces X =[

2 2−3 −2

], por lo que ~v1 = (2,−3), ~v2 = (2,−2).

86


La ecuacion matricial Y A = B

El problema es:

dadas dos matrices A, B determinar una matriz Y tal que Y A = B.

• Trasponiendo la ecuacion Y A = B obtenemos ATY T = BT y definiendoX = Y T obtenemos la ecuacion ATX = BT .

• Para resolver Y A = B resolvemos ATX = BT y entonces Y = XT .

• Si A, B tienen distinto numero de columnas el problema no tiene sentido.

• Si A es de p ×m y B es de q ×m entonces necesariamente Y debe serde q × p.

• La matrix Y se calcula por filas, que son las columnas de X = Y T .

87


Entonces para determinar la matriz Y hay que:

• Resolver q sistemas de ecuaciones AT~x = ~BTi , (fila i de B). con la misma

matriz AT de coeficientes y distintos vectores ~BTi .

• Para ello se calcula la escalonada reducida de la matriz ampliada [AT |BT ].

• Si no aparece una ecuacion del tipo 0 = 1, esto es r([AT |BT ]) = r(AT ),cada sistema es consistente y hay soluciones de Y A = B. (existencia)

• Si ademas las columnas de AT son li., es decir las filas de A son li., nohay variables libres y la solucion Y es unica.(unicidad)

88


Proposicion 11. La ecuacion Y A = B tiene solucion sii cada sistemaAT~xi = ~BT

i , i = 1, 2, . . . ,m es consistente.

Si la solucion existe, esta es unica sii las filas de A son li.

Proposicion 12. Sea A de p×m. Son equivalentes

• La ecuacion Y A = B tiene solucion para cada matriz B de q ×m.

• r([AT |BT ] = r(AT ) para cada matriz B de p×m.

• La columnas de A son linealmente independientes (las filas de AT

son li)

89


Ejemplo 22. Determine las matrices A tal que

A

110

=

−101

, A

011

=

21−1

, A

111

=

−210

En este problema se dan las imagenes de A sobre tres vectores li y sepide A.

Solucion: Las condiciones dadas son equivalentes a

A

1 0 11 1 10 1 1

=

−1 2 −20 1 11 −1 0

90


Transponiendo obtenemos la ecuacion matricial para X = AT :

UX =

1 1 00 1 11 1 1

X =

−1 0 12 1 −1−2 1 0

= V

Calculando la escalonada reducida de [U |V ] obtenemos

1 0 1 −1 2 −21 1 1 0 1 10 1 1 1 −1 0

→

1 0 00 1 00 0 1

−1 2 11 −1 30 0 −3︸︷︷︸

X

Por lo tanto

XT = A =

−1 1 02 −1 01 3 −3

91


Inversas por la derecha

AX~y = ~y ∀~y ∈ Rm⇔AX = Im

Definicion 12. Sea A de m × n. La matrix X de n ×m se dice inversapor la derecha de A si

A X = Im

92


Definicion 13. La matriz A se dice ”sobre” si

Im(A)def= A(Rn) = {A~x : ~x ∈ Rn} =< ~a1, ~a2, . . . , ~an >= Rm

Es decir, para cada vector ~y ∈ Rm existe ~x ∈ Rn tal que A~x = ~y

93


Teorema 4. Sea A matriz de m× n. Son equivalentes

i) A es sobre

ii) La ecuacion A~x = ~b es consistente para cada ~b ∈ Rm

iii) Im(A) =< ~a1,~a2, . . . ,~an >= Rm

iv) Las filas de A son li.

v) r(A) = m

vi) La escalonada reducida de A no tiene filas nulas

vii) A tiene inversa por la derecha

94


Demostracion: Lo unico que falta por demostrar es que A tiene inversapor la derecha sii A es sobre.

(⇒) Supongamos que exista X tal que AX = Im. Sea ~b ∈ Rm. Entoncespara ~x = X~b tenemos

A~x = A(X~b) = (AX)~b = Im~b = ~b

Es decir A es sobre.

(⇐) Supongamos que A es sobre, entonces A tiene las filas li. Por lotanto cada ecuacion matricial AX = B tiene solucion para cada matriz B dem× q. En particular AX = Im tiene solucion, y por lo tanto A tiene inversapor la derecha.

95


Ejemplo 23. Determine las inversas por la derecha de

A =[

1 2 3 02 3 −1 1

](4)

Solucion: Hay que resolver la ecuacion matricial AX = I2. Como Aes de 2× 4 las inversas por la derecha son de 4× 2.

X =

x1 y1

x2 y2

x3 y3

x4 y4

La matriz ampliada [A|I2] es:[

1 2 3 0 1 02 3 −1 1 0 1

]96


Eliminando la primera variable de la segunda ecuacion,[1 2 3 0 1 00 −1 −7 1 −2 1

]Multiplicando por −1 la segunda ecuacion y eliminando la segundavariable de la primera ecuacion,[

1 0 −11 2 −3 20 1 7 −1 2 −1

]Tomando como variables basicas la primera y la segunda, y comovariables libres la tercera y la cuarta obtenemos,

X =

−3 + 11x3 − 2x4 2 + 11 y3 − 2 y4

2− 7x3 + x4 −1− 7 y3 + y4

x3 y3

x4 y4

97


donde x3, x4, y3, y4, i = 1, 2, 3, 4 son parametros libres.

Ejemplo 24. La matriz

A =

1 22 33 4

no tiene inversas por la derecha puesto que r(A) ≤ 2 < 3 = m y por lotanto A no es sobre.

98


Ejemplo 25. La matriz A =

1 2 3 4−1 −1 1 10 1 4 5

no tiene inversas por

la derecha.

En efecto, si tratamos de resolver el sistema de ecuaciones AX = I3obtenemos 1 2 3 4 1 0 0

−1 −1 1 1 0 1 00 1 4 5 0 0 1

→

1 2 3 4 1 0 00 1 4 5 1 1 00 1 4 5 0 0 1

→

1 2 3 4 1 0 00 1 4 5 1 1 00 0 0 0 −1 −1 1

de donde se obtiene que el sistema AX = I no es consistente.

99


Note que A tiene solo dos columnas li, siendo las columnas 3 y 4combinaciones lineales de las columnas 1,2.

Entonces Im(A) = 〈~a1,~a2〉, pero con dos vectores no puedo generarR3, y entonces A no es sobre.

100


Inversas por la izquierda

Y A~x = ~x ∀~x ∈ Rn ⇔ Y A = In

Definicion 14. Sea A de m × n. La matrix Y de n ×m se dice inversapor la izquierda de A si

Y A = In

101


Definicion 15. La matriz A se dice ”1-1” si para ~x1, ~x2 ∈ Rn, se tiene

A~x1 = A~x2 ⇒ ~x1 = ~x2

102


Teorema 5. Sea A matriz de m× n. Son equivalentes

i) A es 1-1

ii) A~x = ~0 implica ~x = ~0

iii) Ker(A) = {~x ∈ Rn : A~x = ~0} = {~0}

iv) Las columnas de A son linealmente independientes

v ) Las ecuaciones consistentes A~x = ~b tienen una unica solucion.

vi) r(A) = n

vii) A tiene n pivotes distintos de cero

viii) A tiene inversa por la izquierda

103


Demostracion: Ya sabemos que ii), iii), iv) v), vi) vii) son equivalentes.Solo falta demostrar entonces que i) sii ii) sii viii), es decir A es 1-1 siiA~x = ~0⇒ ~x = ~0 sii A tiene inversa por la derecha.

(i) ⇒ ii) Supongamos que A es 1-1, entonces A~x1 = A~x2 implica ~x1 = ~x2.

Supongamos que A~x = ~0, como A~0 = ~0, y A es 1-1 se tienenecesariamente que ~x = ~0.

ii) ⇒ i)

Supongamos que A~x = ~0 implica ~x = ~0.

A~x1 = A~x2 ⇒ A~x1 −A~x2 = ~0⇒ A(~x1 − ~x2) = ~0

⇒ ~x1 − ~x2 = ~0⇒ ~x1 = ~x2

Ahora demostramos viii) sii iv)

104


iv) ⇒ viii)

Supongamos que A tiene columnas li,

entonces AT tiene filas li

por lo tanto ATX = In tiene solucion

entonces Y A = In tiene solucion, con Y T = X.

105


viii) ⇒ iv)

Supongamos que A tiene un inversa por la derecha Y A = In.

Entonces A~x = ~0 implica Y A~x = Y~0.

Pero Y A = In, Y~0 = ~0 por lo que ~x = ~0, y entonces A tiene sus columnasli.

106


Note que

Y A = I ⇔ ATY T = I ⇔ ATX = I, con X = Y T

Y es inversa por la izquierda de A si y solo si X = Y T

es inversa por la derecha de AT

Por lo tanto, para calcular las inversas por la izquierda de A se calculanlas inversas por la dereha de AT y se transpone.

Ejemplo 26. Calculamos las inversas por la izquierda de

A =

1 0 12 1 0−1 1 −22 1 1

107


Para ello determinamos las inversas por la derecha de

AT =

1 2 −1 20 1 1 11 0 −2 1

Formamos la matriz ampliada [AT |I] y la llevamos a su formaescalonada reducida 1 2 −1 2 1 0 0

0 1 1 1 0 1 01 0 −2 1 0 0 1

→ 1 2 −1 2 1 0 0

0 1 1 1 0 1 00 −2 −1 −1 −1 0 1

→

1 2 −1 2 1 0 00 1 1 1 0 1 00 0 1 1 −1 2 1

→ 1 2 0 3 0 2 1

0 1 0 0 1 −1 −10 0 1 1 −1 2 1

108


→

1 0 0 3 −2 4 30 1 0 0 1 −1 −10 0 1 1 −1 2 1

Las variables basicas son la 1,2,3 y la libre es la 4. Entonces, lasinversas por la derecha de AT son las matrices de la forma

−2− 3x4 4− 3 y4 3− 3 z4

1 −1 −1−1− x4 2− y4 1− z4x4 y4 z4

con x4, y4, z4, parametros libres.

109


Ası las inversas por la izquierda de A son las matrices de la forma

Y =

−2− 3x4 1 −1− x4 x4

4− 3 y4 −1 2− y4 y4

3− 3 z4 −1 1− z4 z4

110


Inversas

Definicion 16. Decimos que X es la inversa de A si X es inversa porla derecha e inversa por la izquieda de A

Proposicion 13. Sea A de m× n

• Si n > m entonces A no puede ser 1-1 y por lo tanto A NO tieneinversas por la izquierda

• Si n < m entonces A no puede ser sobre y por lo tanto A NO tieneinversas por la derecha

En consecuencia, las unicas matrices que pueden tener inversa son lasmatrices cuadradas

111


Demostracion: Si n > m entonces A tiene mas columnas que filas,

entonces al resolver A~x = ~0 habra necesariamente variables libres.

Entonces, A~x = ~0 tendra soluciones no nulas y las columnas seran ld.

Por lo tanto, A no serıa 1-1 y A no tendrıa inversa por la izquierda.

Similarmente, si n < m, A tiene mas filas que columnas,

por lo que sus filas seran ld,

y entonces A no es sobre,

y por lo tanto A no tiene inversas por la derecha.

112


Proposicion 14. Sea A de n× n

i) AX = In, Y A = In implica X = Y

ii) La inversa de A si existe es unica

Demostracion: Demostramos i).

X = In X = (Y A) X = Y (AX) = Y In = Y Demostramos ii)

Si X,Y son inversas de A, entonces AX = In, Y A = In y por i) X = Y .

Definicion 17. La inversa de A cuando existe la denotamos por A−1

113


Proposicion 15. Sea A una matriz de n× n ( cuadrada )

i) Si A tiene una inversa por la izquierda Y entonces A es invertibley A−1 = Y .

ii) Si A tiene una inversa por la derecha X entonces A es invertible yA−1 = X.

Demostracion:

Demostramos i) Si Y A = In entonces las columnas de A son li y por lotanto las escalonada de A tiene n pivotes no nulos

Como A es cuadrada, A tiene sus filas l.i. y por lo tanto existe X talque AX = In

Entonces X = Y y Y = A−1

La demostracion de ii) es similar.

114


Sea A cuadrada:

• Para demostrar que una cierta matriz X es la inversa de A basta condemostrar que AX = I

• Para demostrar que una cierta matriz X es la inversa de A basta condemostrar que XA = I

• A veces es mas sencillo verificar AX = I y otras veces XA = I.

Ejemplo 27. Demuestre que si B es la inversa de A2 entonces AB es lainversa de A.

Solucion: Sea X = AB, entonces AX = A(AB) = A2B = I, y por lo tantoX es inversa por la izquierda de A, como A es cuadrada A−1 = AB.

Note que si intentamos con XA = ABA no llegamos a nada pues elproducto no es conmutativo en general.

115


Este es un ejemplo en que es facil verificar que AX = I pero no esaparente como demostrar que XA = I directamente.

116


Teorema 6. Sea A de n× n. Son equivalentes

1. A tiene inversa2. A tiene inversa por la izquierda3. A es 1-14. A~x = ~0 implica ~x = ~05. Ker(A) = {~x ∈ Rn : A~x = ~0} = {~0}6. Las columnas de A son linealmente independientes7. A~x = ~b tiene solucion unica para cada ~b ∈ Rm.8. r(A) = n9. A tiene n pivotes distintos de cero

10. A es sobre11. Las filas de A son li.12. La ecuacion A~x = ~b es consistente para cada ~b ∈ Rm

13. La escalonada reducida de A no tiene filas nulas14. Im(A) =< ~a1,~a2, . . . ,~an >= Rn

15. A tiene inversa por la derecha

117


Para calcular la inversa de una matriz resolvemos AX = In. Para ello:

• formamos la matriz ampliada [A|I] y la llevamos a su forma escalonadareducida [E|Y ].

• Si E 6= I entonces el sistema AX = I no tiene solucion y A no tieneinversa.

• Si E = I, entonces la solucion de AX = I es la matrix X = Y .

118


Ejemplo 28. Determine la inversa de la matriz

A =

1 2 12 3 11 2 0

Formamos la matriz ampliada [A|I3] y la llevamos a su formaescalonada reducida.

1 2 1 1 0 02 3 1 0 1 01 2 0 0 0 1

119


1 2 1 1 0 00 −1 −1 −2 1 00 0 −1 −1 0 1

1 2 1 1 0 00 1 1 2 −1 00 0 1 1 0 −1

1 2 0 0 0 10 1 0 1 −1 10 0 1 1 0 −1

120


1 0 0 −2 2 −10 1 0 1 −1 10 0 1 1 0 −1

de donde

A−1 =

−2 2 −11 −1 11 0 −1

121


Ejemplo 29. Determine x, y tal que la matriz A tiene inversa, con

A =

1 2 20 3 y

1 x x

Solucion: A tiene inversa sii al escalonar no se producen pivotes nulossii r(A) = 3. Escalonando se obtiene 1 2 2

0 3 y

0 0 x− 2− yx3 + 2 y

3

Por lo tanto A tiene inversa sii r(A) = 3 sii x− 2− yx

3 + 2 y3 6= 0.

122


Proposicion 16. Sean A,B matrices de n× n invertibles. Entonces

1. AT es invertible y (AT )−1 = (A−1)T

2. A−1 es invertible y (A−1)−1 = A

3. AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1

4. An es invertible y (An)−1 = (A−1)n

5. Si ademas A simetrica, entonces A−1 es tambien simetrica.

Demostracion:

1. Para demostrar que X = (A−1)T es la inversa de AT basta con demostrarque ATX = I.

ATX = AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I

123


2. Como AA−1 = I tenemos que A es inversa por la izquierda de A−1 por lotanto (A−1)−1 = A

3. Para demostrar que X = B−1A−1 es la inversa de AB basta con demostrarque (AB)X = I.

(AB)X = (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = A In A−1 = AA−1 = In

4. Por induccion se demuestra que si las Ai son invertibles entonces suproducto es invertible y

(A1A2 · · ·Ak)−1 = (Ak)−1 · · · (A2)−1(A1)−1

Como caso particular, con Ai = A, k = n obtenemos (An)−1 = (A−1)n

5. De la parte 1. tenemos si AT = A entonces (A)−1 = (A−1)T . Es decir,(A)−1 es simetrica.

124


Proposicion 17. Sean A,B de n × n. Si C = AB es invertible entoncesnecesariamente A,B son invertibles.

Demostracion: Supongamos que C = AB es invertible y que B no seainvertible.

Entonces existe ~x 6= ~0 tal que B~x = ~0.

Por lo tanto (AB)~x = A(B~x~0) = A(~0) = ~0

Entonces AB no es 1-1 y no serıa invertible

La contradiccion viene de suponer que B no tiene inversa.

Por lo tanto B tiene inversa.

Como C = AB implica CB−1 = (AB)B−1 = A(B B−1) = A I = A

Tenemos que A es el producto de matrices invertibles y por lo tantotiene inversa.

125


Nota: En la proposicion anterior se necesita la hipotesis de que A,B seancuadradas, pues es posible que A,B no sean cuadradas y AB sea invertible.Por ejemplo para

A =

[1 1 11 −1 1

]B =

2 0−1 10 1

AB =

[1 23 0

]

AB tiene inversa pues sus columnas son li, pero A,B no son invertibles

126


Proposicion 18. Sean A,C invertibles. Entonces,

1. el sistema A~x = ~b tiene una unica solucion x = A−1~b

2. la ecuacion matricial AX = B tiene solucion unica X = A−1B

3. la ecuacion matricial AXC = B tiene solucion unica X = A−1BC−1

Demostracion:

1.

A~x = ~b ⇒ A−1(A~x) = A−1~b⇒ (A−1A)~x = A−1~b

⇒ I~x = A−1~b⇒ ~x = A−1~b

127


2.

AX = B ⇒ A−1(AX) = A−1B ⇒ (A−1A)X = A−1B

⇒ IX = A−1B ⇒ X = A−1B

3.

AXC = B ⇒ A−1(AXC)C−1 = A−1BC−1 ⇒ (A−1A)X(C C−1) = A−1B

⇒ I X I = A−1B ⇒ X = A−1B

128


Ejemplo 30.a) Determine por lo menos 2 matrices A no nulas de 2 × 2 tal que

A2 = 0 (la matriz nula)b) Demuestre que para toda matriz A de n×n tal que A2 = 0, I −A es

invertible y (I −A)−1 = I +A.

Solucion:

a) A2 = 0 sii las columnas de A son ortogonales a las filas de A. Lasmatrices [

0 10 0

],

[1 1−1 −1

],

cumplen A2 = 0.b) Supongamos que A2 = 0. Para demostrar que X = I+A es la inversa

de I −A basta con demostrar que (I −A)X = I.

(I −A)X = (I −A)(I +A) = I −A2 = I − 0 = I

129


Ejemplo 31. Demuestre que si I − 2A + A2 − 4A3 = 0 entonces A esinvertible. Solucion:

I − 2A+A2 − 4A3 = 0 ⇒ 2A−A2 + 4A3 = I

⇒ A(2I −A+ 4A2) = I

Por lo tanto A tiene inversa y A−1 = 2I −A+ 4A2.

130


Ejemplo 32. Demuestre que si A,B son matrices cuadradas y AB es lainversa de A2 entonces B es la inversa de A3.

Demostracion: Si AB es la inversa de A2 entonces

(AB)A2 = I y (A2)(AB) = I

De la segunda igualdad, usando la asociatividad de la multiplicacion dematrices, obtenemos A3B = I, y entonces B es inversa por la derecha deA3.

Como A3 es cuadrada, su inversa por la derecha es tambien inversa porla izquierda y entonces (A3)−1 = B.

131

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