Matrices y Algebra de Matrices

Matrices y Algebra de MatricesConcepto de MatricesMs formalmente, dado un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de nm elementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y m columnas. Las caractersticas de los elementos del conjunto X dependern, en cada caso, de la naturaleza del problema que se est estudiando. X puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de nmeros, etc. De aqu en adelante, salvo que se especifique lo contrario, los elementos del conjunto X sern nmeros reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden nm (n filas y m columnas) por . M nUna Matriz se representa:

Tipos MatricesMatriz Cuadrada: Es aquella que tiene igual nmero n de filas que de columnas (n=m). En ese caso se dice que la matriz es de orden n. Por ejemplo, la matriz

Matriz Nula: Una matriz es nula si todos sus elementos son iguales a cero. En el siguiente ejemplo se muestra la matriz nula de orden 32.

Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada, A=( ij a ), es diagonal si ij a =0, para i j . Es decir, si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es diagonal:

Matriz Unidad: Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal son todos 1. A continuacin mostramos la matriz unidad de orden 2.

Matriz triangular: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (o por encima) de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es triangular:

Operaciones con MatricesSuma y diferencia: Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamao, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posicin, resultando otra matriz de igual tamao.

Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices: a) Conmutativa: A + B = B + A b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento neutro: La matriz nula del tamano correspondiente. d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.Producto por un numero real: Dada una matriz cualquiera A y un numero real k, el producto kA se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamao. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un numero real). Trasposicin de matrices Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.

Propiedades: a) (At )t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.

b) (A + B)t = At + Bt c) (k A)t = k At

Producto de matrices: Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condicin:

Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, AB , es condicin indispensable que el numero de columnas de A sea igual al numero de filas de B

Propiedades del producto de matrices a) Asociativa: A(BC) = (AB)C b) Distributiva respecto de la suma:

A (B + C) = A B + A C (B + C) A = B A + C A Aplicacin de MatrizUna empresa de muebles fabrica 3 modelos de estantera : A B C En cada uno de los tamaos grandes y pequeos produce diariamente 1000 estanteras grandes y 8000 pequeos de tipo ,8000 G y 6000 P de tipo B y 4000 grandes y 6000 pequeas de tipo Cada estantera grande lleva 16 tornillos y 6 soportes y cada estantera pequea lleva 12 tornillos y 4 soportes en cualquiera de los tres modelos Gracias