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Introduction
• Ecoulement de fluides compressiblesdans des conduites de section variable
x
A(x)
Section variable A(x)
u=uep=peρ=ρeT=Te
u=u(x), p=p(x), ρ=ρ(x), T=T(x)
u=usp=psρ=ρsT=Ts
Objectif
• On connait la vitesse, la pression, lamasse volumique et la température al’entrée (ou une section quelconque)
• On veut calculer les mêmes quantités ala sortie (ou dans des positionsintermédiaire de la conduite)
• Le fluide est idéal - pas de couche limite
Hypothèses de travail
• Ecoulement quasi-unidimensionel– Vitesses v, w sont négligeables par rapport à u.
• Fluide idéal– Soit pas de couche limite dynamique ou thermique– Soit l'épaisseur de la couche limite est petite par
rapport à la hauteur de la section• Ecoulement stationnaire• Pas de forces extérieurs• La conduite est complètement isolée du
monde extérieur (pas d'échange d'énergie)
Equations de base
• Conservation de la masse
• Conservation de l’enthalpie totale
• Conservation de l’entropie!
" x( )u x( )A x( ) = Cste
!
CpT x( ) +u2x( )2
= Cste
!
p
"#= Cste ou
p
T
#
# $1
= Cste
Variations infinitésimales• On connaît les caractéristiques de
l'écoulement dans une section x• On souhaite calculer les caractéristiques
dans une section x+dx• On représente tous le changements entre x et
x+dx par des différences du, dp, dρ, dT, dMcauser par la différence dA
x dx
A+dAA
Relations entre différences
• Entre du et dM
• Entre dT et dM
!
du
u=
1
1+" #1
2M
2
dM
M
!
dT
T= "
# "1( )M 2
1+# "1
2M
2
dM
M
Relations entre différences
• Entre dp et dM
• Entre dρ et dM
!
dp
p= "
#M 2
1+# "1
2M
2
dM
M
!
d"
"= #
M2
1+$ #1
2M
2
dM
M
Relation entre dA et dM
!
dA
A=
M2 "1
1+# "1
2M
2
dM
M
• Relation ultra-importante:– Quand M<1, une augmentation de la section
entraîne une diminution du M– Quand M>1, une augmentation de la section
entraîne une augmentation du M– Quand M<<1,
!
dA
A= "
dM
M= "
du
u
Relation entre d(ρu) et dM
• Quantité de mouvement, ρu• Il est évident que
• Et que
!
d "u( )"u
=d"
"+du
u
!
d "u( )"u
=1#M 2
1+$ #1
2M
2
dM
M
Convergentes-divergentes etvice-versa
• Les propriétés de la relation entre dA etdM permettent l'accélération d’unécoulement subsonique a des vitessesupersoniques et vice-versa
• Ceci est réaliser dans des conduitesconvergentes-divergentes et vice-versa
Convergente-divergente
• Tuyère de Laval• Ecoulement initialement subsonique
• Quel est la valeur de M à la sortie?
M<1
Mc
M=?
Deux possibilitésM<1
Mc
M=?
M=1
M=1
Ecoulement entièrement subsonique
Ecoulement entièrement accéléré
Les expressions pour le calculdes tuyères
• Il suffit de intégrer les relations entre lesdifférences des conditionsthermodynamiques totales (M=0)jusqu’au nombre de Mach de la sectionconsidérée, e.g.
!
d"
""t
"
# = $M
2
1+% $1
2M
2
dM
M0
M
#
Voila
!
T
Tt
=1
1+" #1
2M
2
!
"
"t
=1
1+# $1
2M
2
%
&
' ' '
(
)
* * *
1
# $1
!
p
pt=
1
1+" #1
2M
2
$
%
& & &
'
(
) ) )
"
" #1
Par rapport aux conditionssoniques
• Les conditions soniques (M=1) donnent
!
T*
Tt
=2
" +1
!
"*
"t
=2
# +1
$
% &
'
( )
1
# *1
!
p*
pt=
2
" +1
#
$ %
&
' (
"
" )1
Relations finales
• Ainsi, les relations peuvent être écritepar rapport aux conditions soniques
!
T
T*
=
" +1
2
1+" #1
2M
2
!
"
"*=
# +1
2
1+# $1
2M
2
%
&
' ' '
(
)
* * *
1
# $1
!
p
p*
=
" +1
2
1+" #1
2M
2
$
%
& & &
'
(
) ) )
"
" #1
Quantité du mouvement
• Integrant ρu depuis M=1 jusqu’à M
!
"u
"*u*= M
# +1
2
1+# $1
2M
2
%
&
' ' '
(
)
* * *
# +1
2 # $1( )
!
A
A*
=1
M
" +1
2
1+" #1
2M
2
$
%
& & &
'
(
) ) )
#" +1
2 " #1( )
Debit massique dans unetuyère
• Le débit massique est conservé partout dansla tuyère
• Conditions au col: Dm=ρcucAc• Soit
• Débit maximum
!
Dm =2
" +1
#
$ %
&
' (
" +1
2 " )1( )pt
"
RTtA*
!
Dc =2
" +1
#
$ %
&
' (
" +1
2 " )1( )pt
"
RTtAc
Etat critique (choked flow)En augmentant leMach au col on peutaugmenter le débitmassique, jusqu’aupoint ou M=1. Lavaleur du débitmassique à M=1 est lavaleur critique.
On peut deduire queA*pt=Cste
qui veut dire queA*=Cstequand la pression totale est conservée
Tuyères avec choc1. L’écoulement est subsonique partout2. Idem3. L’écoulement est sonique au col mais
décélère dans le divergent4. L’écoulement est sonique au col mais
accélère dans le divergent5. L’écoulement est supersonique dans le
divergent mais devient subsonique après unchoc normal
6. Idem7. Il y a un choc normal à la sortie de la tuyère
Cas avec choc
•Au choc l’entropie n’est pas conservée.
•A* est constant uniquement dans les partie de latuyère ou il n’y a pas de choc.
•La partie avant le choc a une valeur A1* et celle après
le choc a une autre valeur A2*
•On peut écrire A1* pt1 = A2
* pt2
pt1 pt2
Définitions
• On pose λ=pa/pt1, pa=pression à la sortie,pt1=pression au reservoir (pression totaleavant le choc)
• On pose σ=As/Ac, As=section de sortie,Ac=section du col
• On pose r= pt1/pt2, pt1=pression totale avant lechoc, pt2=pression totale après le choc
• On pose g=1+(γ-1)/2 M2
• On utilise la relation , gs=g à lasortie
!
r = "gs# / # $1( )
Résultats
• On obtient une expression pour gs
• Et une expression pour Ms
!
gs =1
21+ 1+
" #1
" +1
2
" +1
$
% &
'
( )
2
" #1 2
*+
$
% &
'
( ) 2
,
-
.
.
.
/
0
1 1 1
!
Ms
2=1
" #11+
" #1
" +1
2
" +1
$
% &
'
( )
2
" #1 2
*+
$
% &
'
( ) 2
#1
,
-
.
.
.
/
0
1 1 1
Utilisation
• Avec gs on peut calculer la chute de pressiontotale a travers le choc
• Donc, on peut calculer le Mach avant le choc• Donc, on peut calculer la position du choc si
on connaît la géométrie de la tuyère• Puisque à la sortie l'écoulement est
subsonique
!
"# $2
% +1
&
' (
)
* +
%
% ,1
Détermination du régime
• En connaissant λ et σ on peut déterminer letype de régime d'écoulement dans la tuyère
• On commence par la détermination du Machde sortie en supposant que le col est sonique
• Deux cas:– Régime adapte: Divergent entièrement
supersonique– Désamorçage complet: Ecoulement entièrement
subsonique avec col sonique
Détermination du régime• On obtient Ma et Mdc en utilisant les
valeurs de A/A* (σ=A/A*). Il y a deuxsolutions (une subsonique, unesupersonique)
• Pour Ma et Mdc on obtient λa et λdc enutilisant les valeurs p/pt.
• On peut aussi calculer λc en utilisant
!
"c
=# +1
# $1"a
2
# +1
%
& '
(
) *
2
#1
"a
%
& '
(
) *
# $1
#
$1
+
,
- - -
.
/
0 0 0
Cas λ ≤ λa
• Ecoulement entièrement adapté.Détente de Prandlt-Meyer à la sortie
• Quand λ= λa l'écoulement et parallèle àla sortie
Underexpanded Nozzle
• La pression atmosphérique est plus basse que lapression du jet
• Le jet commence directement à grossir.• Ce phénomène s’accomplit à l’aide des ondes
d’expansion Prandtl-Meyer• Les ondes sont reflétées par la paroi du jet créant le
‘diamond pattern’.
Overexpanded Nozzle
• La pression atmosphérique est plus haute que lapression du jet
• Le jet commence à contracter à l’aide de deux chocsobliques symétriques.
• En suite il se détend à l’aide des ondes d’expansionPrandtl-Meyer
• Les ondes sont reflétées par la paroi du jet créantune paterne en diamant.
Cas λc≤ λ ≤ λdc
• Choc normal dans le divergent• Ecoulement supersonique avant le choc• Le choc devient plus fort et se déplace
vers l’amont lorsque λ augmente• Le col est toujours sonique
Cas λdc≤ λ
• Désamorçage complet• L'écoulement est complètement
subsonique dans la tuyère• Il y a un maximum Mach au col• Ce maximum peut être 1 quand λdc= λ
Pression extérieure
• Le pression extérieure peut influencer le débitmassique uniquement quand la tuyère estdésamorcée
• Si le col est sonique (choked flow) le débitmassique dépend uniquement des conditionsdans le réservoir
Pression extérieure (2)
• Le pression extérieure influence aussile débit de quantité de mouvement
• Mais pas dans le cas des tuyèresadaptées
Tuyères à double col
• Cas où il y à pas de choc entre les deux cols– La pression totale est conservée– Seul le col de section minimale peut devenir
sonique• Cas où il y à un choc entre les deux cols
– Le choc cause une chute de pression totale– La section sonique augmente après le choc car
A*pt=Cste.– Il y a deux possibilités
Le premier col est plus petit
• Soit l’entrée est subsonique, le premier colsonique et le deuxième col subsonique ousonique
• Soit l’entrée est supersonique, le premier colsupersonique et le deuxième col subsoniqueou sonique