Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

Enfoque prctico

Lic Dylana Freer Paniagua. MBA

ndice

Propsitos y motivacin.

Ecuacin diferencial. Conceptos bsicos.

reas de aplicacin:

Enfriamiento y calentamiento de cuerpos.

Circuitos elctricos.

Ecuacin logstica.

Deflexin de una viga

Reflexiones finales.

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Propsitos del Webinar

Los participantes podrn:

Conocer algunos tipos de ecuaciones diferenciales.

Conocer aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en fsica e ingeniera.

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Agenda

Motivacin

Definiciones bsicas sobre ecuaciones diferenciales

reas de aplicacin

Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales

Cierre

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Motivacin

Para qu sirve la matemtica?

Por qu debemos llevar este curso?

La matemtica es el alfabeto con el que Dios ha escrito el Universo Galileo Galilei

(Novixar, 2009)

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Ecuacin diferencial

Una ecuacin diferencial (ED) es una ecuacin que contiene las derivadas de una o ms

funcin(es) dependiente(s) de una o ms

variables independientes. (Zill & Wright, 2012)

Ejemplos

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Condiciones iniciales

Cuando una ecuacin diferencial tiene infinitas soluciones, se puede especificar una solucin

concreta imponiendo una condicin inicial. Esto

es, que la solucin cumpla una condicin y(x0)=y0

para ciertos valores especficos x0 y y0. (Rogawski, 2012)

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Ecuacin lineal

Una ecuacin diferencial lineal es la que se puede expresar de tal forma que la funcin y(x) y

sus derivadas aparezcan de grado 1 y los

coeficientes de estos trminos sean funcin

solamente de x. (Simmons & Krantz, 2007)

Una ecuacin diferencial lineal de orden n se expresa de la forma:

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reas de aplicacin de las

ecuaciones diferenciales

Fenmenos fsicos: enfriamiento-calentamiento de cuerpos, cada libre de objetos.

Crecimiento poblacional.

Anlisis de circuitos.

Soluciones qumicas.

Vibraciones y oscilaciones.

Pandeo de vigas.

Deflexin de columnas.

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Ejemplos concretos

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Enfriamiento y calentamiento

de cuerpos

Ley de Newton

La velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a la diferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea. (Zill & Wright, 2012)

T: temperatura del cuerpo

Tm: temperatura del medio

t: tiempo

k: constante de proporcionalidad

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Solucin de la ecuacin

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Los valores de c y k se pueden hallar a

partir de las condiciones iniciales del

problema que se va a resolver.

Aplicaciones de esta ley

Tratamientos trmicos en metales y otros materiales

Modelos climticos

Diseo de electrodomsticos y mquinas

Diseo de aislantes trmicos

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Circuitos elctricos

Elementos que conforman un

circuito

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Leyes de Kirchhorff

El voltaje E(t) que se genera en un lazo cerrado debe ser igual a la suma de las cadas de voltaje

en el lazo.

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Aplicaciones de las ecuaciones

en circuitos

Determinar la corriente en un circuito.

Determinar, a nivel industrial, el consumo de las mquinas.

Seleccionar equipos de proteccin elctrica (breaker).

Determinar el dimetro ideal de los conductores de corriente.

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Ejemplo particular

Encontrar una ecuacin de la corriente en funcin del tiempo si la corriente inicial est representada por I0 y

se aplica un fem constante E0. Considere un circuito

solamente con resistor e inductor.

Solucin:

Ecuacin:

Condiciones iniciales: i(0)= I0

Solucin de la ecuacin lineal:

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La ecuacin logstica

Utilizada para poblaciones que crecen exponencialmente bajo ciertas condiciones

ambientales.

k >0 es la constante de crecimiento y A>0 es constante de capacidad de carga.

La solucin de dicha ecuacin se puede expresar de la forma: (Rogawski, 2012)

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Ejemplo Propagacin de

un rumor

Considere una escuela con 1000 estudiantes. Sea y(t) la

fraccin de la poblacin estudiantil que ha escuchado un

rumor en el tiempo t.

Suponga que la tasa a la cual se extiende el rumor es

proporcional al producto de la fraccin y de la poblacin que

conoce el rumor por la fraccin que todava no lo ha

escuchado. Si a las 8:00 am, 80 estudiantes conocen el rumor y

al medioda la mitad de la escuela ya lo sabe.

Determine cundo el 90% de los estudiantes ya conocer el

rumor.

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Solucin

La ecuacin que modela la propagacin del rumor es

Las condiciones iniciales son y= 0,08 para t=0. Adems, y= 0,5 si t=4.

De ah, que al resolver la ecuacin, se obtiene

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Aplicando las condiciones iniciales y despejando para t se obtiene:

Siendo y se obtiene que el tiempo es aproximadamente 8 horas.

As que a eso de las 4 de la tarde se conocer el rumor por parte del 90% de los estudiantes.

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Aplicacin de la ecuacin

logstica

Biologa

Propagacin de un rumor

Propagacin de una enfermedad

Crecimiento poblacional

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Deflexin de una viga

Una viga es un elemento estructural que soporta

cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del

elemento. (Beer, Johnston, DeWolf, & Mazurek,

2013)

(Moaveni, 2008)

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(Moaveni, 2008)

Ecuacin diferencial

La deflexin se rige por una ecuacin diferencial de cuarto orden:

Donde E es el mdulo de Young de elasticidad de la viga.

I es el momento de inercia de un corte transversal de la viga.

(Zill & Wright, 2012)

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Ejemplo

Considerando una viga embebida en ambos extremos y que se le distribuye una carga

constante de manera uniforme a todo lo largo

de la viga. La curva de deflexin se deduce a

partir de

Integrando la ecuacin se obtiene

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Continuacin Aplicando las condiciones iniciales

Se despejan las constantes ci , obtenindose finalmente

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Representacin

Si se define por ejemplo que la viga sea de 1m de longitud y , una representacin grfica de la

deflexin de la viga es

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Usos

Clculo de punto mximo de deflexin

Aplicacin en diseo de estructuras

Ubicacin de puntos estratgicos donde colocar aros

Optimizacin de materiales

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Reflexiones finales

La matemtica se utiliza en gran cantidad de modelos.

En lo cotidiano se presenta con frecuencia.

Las aplicaciones motivan el aprendizaje de las matemticas.

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Bibliografa

Beer, F., Johnston, R., DeWolf, J., & Mazurek, D. (2013). Mecnica de Materiales (Sexta edicin ed.). Mxico: McGraw-Hill Education.

Moaveni, S. (2008). Finite Element Analysis. Theory and application with ANSYS (Third edition ed.). Makato: Pearson Education.

Novixar. (2009, 6 1). Proverbia. Retrieved Noviembre 12, 2013, from http://www.proverbia.net/citasautores.asp

Rogawski, J. (2012). Clculo: una variable (Segunda edicin ed.). Espaa: Revert.

Simmons, G., & Krantz, S. (2007). Ecuaciones diferenciales. Teora, tcnica y prctica. Mxico: McGraw-Hill Education.

Zill, D., & Wright, W. (2012). Matemticas Avanzadas para Ingeniera (Cuarta edicin ed.). Mxico, Distrito Federal: McGraw-Hill.

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Informacin de contacto

Dylana Freer Paniagua

Profesora y coordinadora en la Universidad Latina,

Heredia.

Correo electrnico

dylana.freer@ulatina.cr

dylanafreerpaniagua@gmail.com

Muchas gracias!

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