No¸tiuni de analiz ˘a matematic ˘a - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~gurzau/an I Bistrita/amcurs_var.pdf · Capitolul 1 Func¸tii de o variabil˘areal ˘a, calcul diferen¸tial

Notiuni de analiza matematica

OMG

January 19, 2016

2

Cuprins

1 Functii de o variabila reala, calcul diferential 5

1.1 Notiuni legate de multimea numerelor reale . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Serii de numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Serii de numere pozitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Serii cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Continuitatea functiilor reale de o variabila reala . . . . . . . . . 11

1.3.1 Proprietati ale functiilor continue definite pe un interval

închis si marginit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Aplicatii ale derivatei la studiul variatiei unei functii . . . 15

1.4.2 Derivate de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Diferentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Functii de doua variabile: calcul diferential 21

2.0.4 Notiuni de topologia planului . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.0.5 Derivate partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.0.6 Derivate partiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . 26

2.0.7 Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.0.8 Extreme conditionate la o functie de doua variabile . . . . 29

2.0.9 Functie implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.0.10 Diferentiala unei functii de doua variabile . . . . . . . . . 31

2.0.11 Functii de mai multe variabile reale . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Calcul integral 37

3.1 Calcul integral pentru functii de o variabila . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Integrala definita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.2 Integrala nedefinita (primitiva) . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3 Cum se calculeaza o integrala definita? . . . . . . . . . . . 44

3.2 Aplicatii ale integralei definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1 Calcul arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

4 CUPRINS

3.2.2 Calcul centre de greutate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3 Calcul arii si volume de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Integrale improrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Integrale depinzând de un parametru . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.1 Integrale Euleriene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Integrala duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5.1 Interpretare geometrica a integralei duble . . . . . . . . . 53

3.5.2 Schimbarea de variabila la integrala dubla . . . . . . . . . 54

3.5.3 Aplicatii ale integralei duble în mecanica . . . . . . . . . . 57

3.6 Integrale curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Câteva tabele utile 69

4.1 Tabel de integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Tabele de derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1 Formule de derivare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3 Valorile functiilor trigonometrice pt. câteva valori ale argumentului: 72

Capitolul 1

Functii de o variabila reala,

calcul diferential

1.1 Notiuni legate de multimea numerelor reale

Multimea numerelor reale: R(R+ ∗) corp comutativ:1. + (+ ) = (+ ) + asociativitate +

2. + = + comutativitate +

3. exista un numar 0 astfel încât: + 0 = ∀ ∈ R4. pentru orice ∈ R exista un numar notat − astfel încât: + (−) = 05. ∗ ( ∗ ) = ( ∗ ) ∗ asociativitate ∗6. ∗ = ∗ comutativitate *7. exista un numar 1 astfel încât: ∗ 1 = ∀ ∈ R8. pentru orice ∈ R∗ exista un numar notat 1

astfel încât: ∗¡1

¢= 1

9. ∗ (+ ) = ∗ + ∗ distributivitate ∗ fata de +Pe R se defineste o relatie de ordine ≤:1. ≤ orice ∈ R (reflexivitate)2. ∈ R atunci ≤ sau ≤ (relatia de ordine este totala)

3. ≤ si ≤ atunci ≤ (tranzitivitate)

4. ≤ si ≤ atunci + ≤ +

5

6CAPITOLUL 1. FUNCTII DE OVARIABILA REALA, CALCUL DIFERENTIAL

5. ≤ si ≥ 0 atunci ≤ ≤ si ≤ 0 atunci ≥

6. 0 ≤ atunci1

≤ 1

7. exista un numar real astfel încât:

8. ≤ ≤ atunci =

Notam ( ) = { ∈ R| } intervalul deschis determinat de si Cf.proprietatii 7 de mai sus ( ) 6= ∅Notam [ ] = { ∈ R| ≤ ≤ } intervalul închis determinat de si Axioma: Daca avem un sir de intervale [ ]∈N ⊂ R cu proprietatea ca

≤ +1 ≤ +1 ≤ ∈ N atunci exista un numar real ∈ [ ] pentruorice ∈ N.N∗ , Q+ Z , Q , 3

√2 ≈ 2 718 3→ R

R\ : numere irationale.

1 √2 2

14 √2 15

141 √2 142

...

Definitia 1 Se numeste sir de numere reale o functie definita pe N si cu valorireale ( : N→ R , si se noteaza în loc de () cu ); notatie ()∈N

Definitia 2 Sirul ()∈ se numeste convergent daca exista un numar real

numit limita sirului, astfel încât:

∀ 0∃ astfel încât ∀ : | − | 1

Un sir care nu este convergent se numeste divergent.

Definitia 3 Un sir divergent are limita +∞ (−∞) daca ∀ 0∃ astfet incat

∀ : ( −)

Definitia 4 R = R∪ (+∞) ∪ (−∞)

Exemplu: Fie sirul ()∈N∗ definit de:

=1

1 || =

≥ 0− 0

1.1. NOTIUNI LEGATE DE MULTIMEA NUMERELOR REALE 7

Acest sir este convergent si are limita 0 :

∀ 0∃ =

∙1

¸astfel încât ∀ ¯

1

¯

[] = {cel mai mic numar intreg mai mare sau egal cu } Daca un sir are limita ∈ R se noteaza:

lim→∞ =

Observatie: Se demonstreaza ca orice numar real este limita unui sir de

numere rationale.

Operatii cu siruri care au limita:

Teorema 1 Daca lim→∞ = si lim→∞ = atunci:

lim→∞ ( ± ) = ±

lim→∞ () =

lim→∞

µ

¶=

lim→∞ =

cu exceptiile ∞−∞∞ · 0 ∞∞ 0 00 1∞∞0

Definitia 5 Un sir ()∈N este marginit daca exista 2 numere ∈ Rastfel încât:

≤ ≤∀ ∈ NDefinitia 6 Un sir ()∈N este monoton crescator (descrescator) daca pentruorice ∈ N :

≤ +1 ( ≥ +1)

Teorema 2 Orice sir monoton si marginit este convergent.

Exemplul 1 Fie sirul =¡1 + 1

¢ Se va arata ca este crescator si mårginit,

deci are limita finita:

lim→∞

µ1 +

1

¶= ≈ 2 718 3

Exemplul 2 Fie sirul definit de:

1 = 2

+1 =1

2

µ +

2

¶ ≥ 1


Se va arata ca este monoton descrescator si marginit, deci are o limita =√2

lim→∞ +1 = lim

→∞1

2

µ +

2

¶ =

1

2

µ+

2

¶ =

√2

Teorema 3 (trecerea la limita în inegalitati) Daca sirurile ()∈ si ()∈sunt convergente catre respectiv si pentru orice ∈ :

≤

atunci:

≤

Teorema 4 (teorema clestelui) Daca sunt date sirurile ()∈ ()∈ si

()∈ astfel încât:

lim→∞ = lim

→∞ =

pentru orice ∈ : ≤ ≤

atunci exista lim→∞ si :

lim→∞ =

Exemplul 3 Fie sirul ()∈ dat de:

=√

2 + 1

sa se afle limita lui.

Soluttie 1 Fie = 1 =

+1 :

+ 1≤ √

2 + 1≤ 1 = √

2

pt. ca :

2 2 + 1 (+ 1)2

iar lim→∞ = 1 lim→∞ = 1 = lim→∞ 11+ 1

= 11+0

1.2 Serii de numere

Fie sirul ()∈

1.2. SERII DE NUMERE 9

Definitia 7 Se numeste serie cu termenul general sirul format:

==X=1

iar ()∈ se numeste sirul sumelor partiale; seria se noteaza:

∞X=1

Definitia 8 SeriaP∞

=1 este convergenta daca si numai daca sirul sumelor

partiale este convergent; daca lim→∞ = atunci scriem:

∞X=1

=

O serie care nu e convergenta se numeste divergenta.

Exemplul 4 SeriaP∞

=11 este divergenta:

10000X=1

1

= 9 787 6

Calculam 2 − =P

=11

+ P

=112 =

12 : daca ar fi convergenta ar

exista astfel încât pentru orice 0 exista pentru orice :

| − |

atunci:

|2 − | = |2 − + − | ≤ |2 − |+ |− + | ≤ 2 1

2!!!


=1(−1) = − ln 2 este convergenta.


=112 =

16

2 este convergenta.


=0 || 1 este convergenta are limita

1

1− :

pt. ca , cf. sumei termenilor unei progresii geometrice:

=1− +1

1−

si lim→∞ +1 = 0 daca || 1Exemplul 8 În exemplul precedent punem = −1 sirul sumelor partiale va fi:1 0 1 0 1 0 deci seria e divergenta.


=01! = este convergenta. ( ≈ ¡

1 + 110000

¢10000)

ln 2 = 0693 15

Exemplul 10P100

=01! = 2 718 3 = 2 718 3


1.2.1 Serii de numere pozitive

Sunt seriiP∞

=1 ≥ 0 orice ∈

Probleme care se pun: convergenta, suma seriei.

Pentru convergenta se folosesc criterii de comparatie de tipul:

Teorema 5 Daca se dau seriile cu termeni pozitiviP∞

=1 siP∞

=1 si

pentru orice : ≤

atunci: 1) dacaP∞

=1 este convergenta atunciP∞

=1 este convergenta, 2)

dacaP∞

=1 este divergenta atunciP∞

=1 este divergenta.

Observatie: la aplicarea teoremei se stie una din serii, si se "alege" cealalta

convenabil. De exempluP∞

=1

1

cu 1 Consideram seria

P∞=1

1

care

e divergenta. Aleg 2) cu =1 si =

1 ( 1 deci

1

1

);

SeriaP∞

=1

1

se numeste seria armonica (fiecare termen al ei e media armonica

a termenilor vecini:

1

=

211

−1+ 1

1+1

=2

(− 1) + (+ 1)

Demonstratia teremei se bazeaza pe obs. ca o serie cu termeni pozitivi este

convergenta daca si numai daca sirul sumelor partiale ()∈ este marginit.

Teorema 6 (D’Alembert) Daca exista limita:

lim→∞

+1

=

atunci seriaP∞

=1 este convergenta pentru 1 si divergenta pentru 1

Teorema 7 (Gauss) Daca exista

lim→∞

√ =

atunci seriaP∞

=1 este convergenta pentru 1 si divergenta pentru 1

La demonstratie se foloseste criteriul de comparatie alegând =

1.2.2 Serii cu termeni oarecareP∞=1 ∈ R

Definitia 9 SeriaP∞

=1 se numeste absolut convergenta daca seriaP∞

=1 ||este convergenta. O serie

P∞=1 care e convergenta dar nu e absolut conver-

genta se numeste semiconvergenta.

1.3. CONTINUITATEA FUNCTIILOR REALE DEOVARIABILA REALA11


=1

(−1)−1

= ln 2 este semiconvergenta.

Teorema 8 Orice serie absolut convergenta e convergenta.

Teorema 9 (Leibniz) Daca sirul ()∈ este un sir de numere pozitive con-

vergent descrescator catre 0 atunci seriaP∞

=1 (−1) este convergenta si, înplus:

| − | ≤ +1


=1

(−1)−1

este convergenta, = ln 2¯¯X

=1

(−1)−1

− ln 2¯¯ ≤ 1

+ 1

∞X=1

(−1)−1

= 1− 12+1

3− 14+ · · ·

1.3 Continuitatea functiilor reale de o variabila

reala

Fie : → R . ( ⊂ R ).

Definitia 10 Functia are limita în punctul ∈ R daca pentru orice sir

()∈ , ∈ \ {} cu lim→∞ = implica lim→∞ () =

Obs.: punctul nu este neaparat din

Operatiile cu limite de functii se reduc la operatii cu limite de siruri.

Câteva limite remarcabile:

1. lim→0sin

= 1 (pentru aproape de zero sin ≈ )

2. lim→0 − 1

= 1

3. lim→0 (1 + )

1

=

4. lim→0ln (1 + )

= 1

5. lim→∞

=∞ ∈ R

6. lim→∞ ln = 0 ∈ R∗+


7. lim→∞()() =

⎧⎨⎩0 grad () grad ()±∞ grad () grad ()

grad () = grad () = () =

+

Definitia 11 Functia este continua în punctul ∈ daca pentru orice sir

()∈ , ∈ din lim→∞ = rezulta lim→∞ () = ()

Obs. Toate functiile elementare sunt continue pe

1.3.1 Proprietati ale functiilor continue definite pe un in-

terval închis si marginit

: [ ]→ R

Teorema 10 Daca este continua în fiecare punct din [ ] si () () 0atunci exista un punct ∈ ( ) astfel încât () = 0Demonstratie: Ideea metoda înjumatatirii. Se definesc doua siruri astfel:

1 = 1 =

Daca avem definitie termenii si definesc +1 si +1 astfel: fie =+2

+1 =

½daca () () 0daca () () ≥ 0

+1 =

½daca () () 0daca () () ≥ 0

din def. rezulta ca pentru orice ∈ :

(+1) (+1) ≤ 0

+1 ≤ +1

+1 − +1 =−

2

Avem un sir de intervale [+1 +1] ⊂ [ ] conform axiomei exista un punctcomun 0 al tuturor intervalelor:

≤ 0 ≤ ∀ ∈

din − =−2−1 rezulta ca 0 e unic cu proprietatea data si:

lim→∞ = 0 = lim

→∞

Se observa ca , daca () 0 atunci () ≥ 0 analog () ≤ 0 (0) =0 Functia este continua în 0 :

lim→∞ () = (0) ≥ 0lim→∞ () = (0) ≤ 0

Din ultimele doua inegalitati rezulta (0) = 0

1.4. DERIVATA 13

Exemplul 13 () = 2 − 2 = 1 = 2 (1) = −1 (2) = 21 = 1 1 = 2

= 32 () =1

42 = 1 2 = = 32

=32 + 1

2=5

4

(54) =25

16− 2 = − 7

16

3 = =5

4 3 =

3

25

4√2

3

2

Observatie : daca verifica conditiile din teorema precedenta nu rezulta ca

punctul 0 în care se anuleaza este unic, de exemplu functia () = 3−5+1avem (−3) (3) 0 dar ecuatia () = 0 are 3 sol. în intervalul [−3 3] :3 − 5+ 1 = 0, {2 128 4−2 330 1 0201 64} Observatie : daca este continua pe [ ] si nu se anuleaza atunci are

semn constant pe [ ] semnul fiind semnul lui () ∈ [ ] Teorema 11 Daca : [ ] → R este continua atunci este marginita si îsiatinge marginile.

Teorema 12 Daca : [ ] → R este continua atunci exista numerele reale

astfel încât

≤ () ≤∀ ∈ [ ]exista ∈ [ ] astfel încât: = () = ( )

Exemplul 14 () = 2 + 1 : [−1 1] → R . = 1 = 2 = 0 = 1

Toate functiile elementare sunt continue pe orice [ ] ⊂

Exemplu de functie care nu e continua pe unele puncte:

[] = max { ∈ | ≤ }de ex. [13] = 1 [−13] = −2; [] nu e continua în ∈

1.4 Derivata

Sir Isaac Newton, Gottfried Wilhelm von Leibniz.

Fermat

Fie : → R , este un inteval de numere reale, 0 ∈


Definitia 12 Functia este derivabila în 0 daca exista si este finita limita:

lim∆→0

(0 +∆)− (0)

∆= 0 (0)

daca limita de mai sus exista si este infinita se spune ca are derivata infinita

în 0

Interpretare geometrica: Fie punctele de pe graficul functiei : (0 +∆ (0 +∆))si 0 (0 (0)) panta dreptei care uneste cele doua puncte este:

= (0 +∆)− (0)

(0 +∆)− 0

daca ∆ → 0 aceasta limita va fi 0 (0) Daca definim tangenta la graficul

unei functii în punctul (0 (0)) ca dreapta care are 2 puncte confundate cugraficul, atunci 0 (0) este panta tangentei la în punctul (0 (0)) Interpretare mecanica: consideram o miscare rectilinie = () timpul,

distanta masurata de la un punct fixat.

= (+∆)− ()

∆

trecând la limita când ∆→ 0 obtinem viteza instantanee: () = 0 () =◦ ()

Toate functiile elementare sunt derivabile pe ... si derivatele lor

sinh = − −

2 cosh =

+ −

2

sunt date de:

() 0 ()1 0 −1

ln 1

sin sin¡+

2

¢= cos

cos cos¡+

2

¢= − sin

arcsin 1√1−2

tg 1cos2 = 1 + tg

2

arctg 11+2

sinh coshcosh sinh

Reguli de derivare

Teorema 13 Daca sunt derivabile în 0 atunci:

( + )0(0) = 0 (0) + 0 (0)

()0(0) = 0 (0)

()0 (0) = 0 (0) (0) + (0) 0 (0)µ

¶0(0) =

0 (0) (0)− (0) 0 (0)

2 (0)

1.4. DERIVATA 15

Teorema 14 (derivata functiei compuse) Daca este derivabila în 0 si este

derivabila în (0) atunci functia compusa ◦ este derivabila în 0 :

( ◦ )0 (0) = 0 ( (0)) 0 (0)

obs.: ( ◦ ) () := ( ()) Aplicatie Sa se deduca formula pentru ()0 Ideea logaritmam :

= ln() = ln

()0 =¡ ln

¢0= ln ( ln)0 =

= µ0 ln+

0

¶

În tabelul de derivate daca în loc de punem = () obtinem în partea

dreapta aceleasi formule înmultite cu 0 () : (sin ())0 = sin¡ () +

2

¢0 ()

1.4.1 Aplicatii ale derivatei la studiul variatiei unei functii

Definitia 13 Fie : → R , 0 ∈ Punctul 0 se numeste punct de minim

local (maxim local) pt. functia daca exista un 0 astfel încât:

(0) ≤ () ( (0) ≥ ()) (1.1)

pentru orice ∈ ∩ (0 − 0 + ) si este punct de minim global daca (1.1)

are loc pentru orice ∈

Teorema 15 (Fermat) Daca : [ ] → R , este derivabila pe ( ) si 0 ∈( ) este punct de minim (maxim) local atunci 0 (0) = 0 (t. lui Fermat).

Obs. Reciproc nu în general adevrata: de ex. () = 3 0 () = 32 0 (0) = 0 dar 0 nu e punct de min. sau de maxim : 0 () 0 = (0) 0 : () 0 = (0) Aplicatie: Sa se determine un dreptunghi de arie maxima înscris într-un cerc

de raza

Teorema 16 (Rolle) Daca : [ ] → R , este continua pe [ ], derivabilape ( ) si () = () atunci exista un punct ∈ ( ) astfel încât 0 () = 0

Demonstratie: Ideea: se aplica T. Fermat si teorema lui Weierstrass.

este continua pe [ ] atunci este marginita si îsi atinge marginile: existapunctele 0 1 astfel încât (0) ≤ () ≤ (1) pentru orice ∈ [ ] Daca (0) = () = (1) rezulta ca este constanta deci

0 () = 0 pentru orice ∈ ( ) Pres. ca (0) () = (); atunci (0 (0)) este punct deminim, 0 6= cf. T. lui Fermat 0 (0) = 0 deci = 0

Corolarul 1 Între doua radacini ale functiei exista cel putin o radacina a

derivatei.


Corolarul 2 Daca 0 () = 0 pentru orice ∈ [ ] atunci este constanta.Teorema 17 (Lagrange) Daca : [ ] → R , este continua pe [ ], deriv-abila pe ( ) atunci exista ∈ ( ) astfel încât:

()− ()

− = 0 ()

Interpretare geometrica: exista un punct astfel încât tangenta la este

paralela cu dreapta care trece prin ( ()) si ( ())

(a,f(a))

(b,f(b))

(c,f(c))

Gf

Remara 1 Daca în formula lui Lagrange înlocuim cu :

() = () + (− ) 0 ()

1.4.2 Derivate de ordin superior

Definitia 14 Fie o functie care are derivatå de ordin − 1 pe un interval.Se numeste derivata de ordin a functiei în punctul din interval derivata

derivatei de ordin − 1 în punctul Daca se noteaza derivata de ordin − 1cu (−1) atunci derivata de ordin în :

() () = lim∆→0

(−1) (+∆)− (−1) ()∆

daca limita exista.

Formule pentru derivate de ordin :

() () ()

sin (+ ) sin³+ +

2

´cos (+ ) cos

³+ +

2

´(1 + ) (− 1) (− + 1) (1 + )−

1.4. DERIVATA 17

(− 1) (− + 1)?

EXEMPLU: acceleratia este derivata a a spatiului în raport cu timpul.

Definitia 15 O functie este convexa (concava) pe intervalul [ ] daca pentruorice 1 2 ∈ [ ] si pentru orice ∈ [0 1] :

(2 + (1− )1) ≤ (≥) (1) + (1− ) (2)

Interpretare geometrica: Graficul functiei pentru ∈ [1 2] este subsegmentul de dreapta care uneste punctele (1 (1)) (2 (2))

Teorema 18 Daca are derivata de ordin 2 pe intervalul ( ) si derivata adoua este pozitiva atunci este convexa si reciproc.

Notatii: pentru derivata a doua 00 pentru derivata a treia 000 ,pentruderivata a patra

Polinomul si formula lui Taylor

Ideea: sa rescriem formula de la T. lui Lagrange:

() = () + (− ) 0 ()

gen:

() = ()+−

1! 0 ()+· · ·+ (− )

! () ()+

(− )+1

(+ 1)! (+1) () (1.2)

Polinomul:

() +−

1! 0 () + · · ·+ (− )

! () () = ( ; ) ()

si se numeste polinomul lui Taylor de grad corespunzator functiei în punctul

Exemple:

1. () = = 0

= 1 +

1!+

2

2!+ · · ·+

!+

+1

(+ 1)!

pentru = 1 :

=1

0!+1

1!+1

2!+ · · ·+ 1

!+

(+ 1)!

10! = 3628 800


2. () = sin = 0 :

(sin)()=0 = sin³2

´=

⎧⎨⎩ 0 = 21 = 4 + 1−1 = 4 + 3

∈ N

sin =

1!− 3

3!+

5

5!+ · · ·+ (−1)

2+1

(2 + 1)!+

2+2

(2 + 2)!sin

µ(2 + 2)

2 +

¶sin ≈

1!− 3

3!+

5

5!+ · · ·+ (−1)

2+1

(2 + 1)!

3. () = cos = 0

(cos)()=0 = cos³2

´=

⎧⎨⎩ 0 = 2 + 11 = 4

−1 = 4 + 2 ∈ N

cos = 1− 2

2!+

4

4!+ · · ·+ (−1)

2

(2)!+

2+1

(2 + 1)!cos

µ(2 + 1)

2 +

¶

4. () = sinh = − −

2

sinh =

1!+

3

3!+ · · ·+ 2+1

(2 + 1)!+

2+2

(2 + 2)!(sinh)(2+2)=

(sinh)(2+2)= = sinh

5. () = cosh = + −

2

cosh = 1 +2

2!+ · · ·+ 2

(2)!+ (cosh)(2+1)=

(cosh)(2+1)= = sinh

6. () = (1 + ) = 0

((1 + ))()=0 = (− 1) (− + 1)

(1 + ) = 1 +

1!+

(− 1)2!

2 + · · ·+ (− 1) (− + 1)

! +

= (− 1) (− + 1) (− )

(+ 1)!(1 + )−−1

Calcul√2 = (1 + 1)

12

√2 ≈ 1 +

1

2+12 ∗ (−12)

2!+12 ∗ (−12) ∗ (−32)

3!= 1 437 5

√2 ≈ 1 +

1

2+12 ∗ (−12)

2!+12 ∗ (−12) ∗ (−32)

3!+12 ∗ (−12) ∗ (−32) ∗ (−52)

4!=:

1.4. DERIVATA 19

Calculp32 = (1 + 12)12

p32 ≈ 1+1

2

µ1

2

¶+12 ∗ (−12)

2!

µ1

2

¶2+12 ∗ (−12) ∗ (−32)

3!

µ1

2

¶3= 1 226 6

7. () = ln (1 + ) = 0

1.4.3 Diferentiala

Fie : → R , derivabila în punctul 0

Definitia 16 Se numeste diferentiala functiei în punctul 0 functia notata

(0) : R→ R : (0) () = 0 (0)

Teorema 19 Daca are derivata continua pe atunci pentru orice 0 ∈ :

lim→0

| (0 + )− (0)− (0) ()||| = 0

Demonstratie:

lim→0

| (0 + )− (0)− (0) ()||| = lim

→0| 0 ()− 0 (0)|

|| =

= lim→0

| 0 ()− 0 (0)| →0=

= | 0 (0)− 0 (0)| = 0


Capitolul 2

Functii de doua variabile:

calcul diferential

Fie : → R , ⊂ R2 Pentru ( ) ∈ exista un unic numar real notat

( ) Graficul lui va fi o suprafata:

{( ) | ( ) ∈ = ( )} =

De exemplu : R2 → R , ( ) = (acoperisul garii din Predeal, sa)

�1.0

�0.5

0.0

0.5

1.0

�1.0

�0.5

0.0

0.5

1.0

�1.0

�0.5

0.0

0.5

1.0

2.0.4 Notiuni de topologia planului

Fie 1 (1 1) 2 (2 2) doua puncte din plan.

21

22CAPITOLUL 2. FUNCTII DE DOUA VARIABILE: CALCULDIFERENTIAL

Definitia 17 Se numeste distanta dintre punctele de mai sus numarul:

((1 1) (2 2)) =

q(2 − 1)

2 + (2 − 1)2 = (12)

(adica lungimea segmentului [12] )

Pricipalele proprietati ale distantei:

1. (12) ≥ 0 = are loc ddaca 1 =2

2. (12) = (21)

3. (13) ≤ (12) + (23) pentru orice puncte ∈ R2 = 1 2 3 (inegalitatea triunghiului).

Definitia 18 Se numeste disc cu centrul în punctul 0 (0 0) si de raza

multimea:

{ ( ) | (0) } disc închis cu centrul în punctul 0 (0 0) si de raza multimea:

{ ( ) | (0) ≤ } si cerc cu centrul în punctul 0 (0 0) si de raza multimea:

{ ( ) | (0) = } Remarca: cercul cu centrul în punctul 0 (0 0) si de raza multimea:n

( ) | (− 0)2 + ( − 0)

2 = 2o

Suntem în masura sa definim continuitatea. Fie : → R , ⊂ R2(0 0) ∈

Definitia 19 Functia este continua în (0 0) daca pentru orice 0 existaun 0 astfel încât:

| ( )− (0 0)|

daca:

(( ) (0 0))

este continua pe daca este continua în orice punct din

Definitia 20 Multimea este marginita daca exista un numar real 0astfel încât pentru orice ( ) ∈ :p

2 + 2

Definitia 21 Multimea este închisa daca pentru orice punct 0 (0 0) ∈

si orice disc de raza cu centrul în 0 :

{ ( ) | (0) } ∩ 6= ∅

23

Teorema 20 Daca : → R , este continua pe si este o multime

închisa si marginita, atunci este marginita si îsi atinge marginile: exista

numerele si si puncele ( ) ( ) astfel încât:

= ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) =

pentru orice ( ) ∈

Exemplul 15 Fie =©( ) |2 + 2 ≤ 1ª (adica discul închis de raza 1

: → R ( ) =

p1− 2 − 2

0 = (1 0) ≤p1− 2 − 2 ≤ 1 = (0 0)

2.0.5 Derivate partiale

Fie : ∈ R , 0 (0 0) ∈

Definitia 22 Functia are derivata partiala în raport cu (prima variabila)

în punctul 0 daca exista

lim∆→0

(0 +∆ 0)− (0 0)

∆=

(0 0) = 0 (0 0)

Functia are derivata partiala în raport cu (a doua variabila) în punctul 0

daca exista

lim∆→0

(0 0 +∆)− (0 0)

∆=

(0 0) = 0 (0 0)

Exemplul 16 Fie () = (0 = 1 0 = 2)

(1 2) = lim

∆→0

1+∆2 − 1

2

∆=1

2=

µ

¶0

=1

|=2 = 1

2

(1 2) = lim

∆→0

12+2∆ − 1

2

∆= lim∆→0

1−1−∆2(2+∆)

∆=

= lim∆→0

−12 (2 +∆)

=−14=

µ

¶0

= −12|=1=2

Remara 2 Daca derivatele partiale se calculeaza într-un punct arbitrar din

atunci (0 0) nu se mai scrie, sau se scrie 0 ( )

Remara 3 În definitia derivatelor partiale se folosesc doar valorile functiei pe

drepte paralele cu axele de coordonate : = 0 (ct.) , = 0 (ct.).

Remara 4 Daca o functie de doua var. are derivate partiale într-un punct nu

rezulta ca ea e continua în punctul respectiv, dupa cum se constata pe urmatorul

exemplu:


Exemplul 17

( ) =

½0 ( ) = (0 0)

2+2 ( ) 6= (0 0)Calcul derivate partiale în (0 0) :

(0 0) = lim

∆→0

∆·0(0+∆)2+02

− 0∆

= 0

(0 0) = lim

∆→0

0·∆02+(0+∆)2

− 0∆

= 0

Daca ar fi continua în (0 0) : ¯

2 + 2

¯≤

pentru ¯2 + 2

¯ ≤ 2

Fie dat,

=√

1 +2 =

√1 +2

2 + 2 = 2 ( ) =2

1 +2

1

2=

1 +2≤ !

Remara 5 A calcula derivatele partiale, practic, se considera cealalta var. con-

stanta, si se aplica formulele de la derivarea functiilor de o variabila.

Exemplul 18 ( ) = arctg =

2 − arctg

==³arctg

´0=

1

1 +¡

¢2 =

2 + 2|= =

2 + 2

==

µarctg

¶0=

−2

1 +³

´2 = −

2 + 2|= = −

2 + 2

Derivarea functiilor compuse

Fie : → R , ⊂ R2 : → R , = () : → R , = () astfelîncât ( () ()) ∈ pentru ∈

Teorema 21 Daca sunt derivabile si functia are derivate partiale con-

tinue în orice punct din atunci functia : → R ,

() = ( () ())

25

este derivabila si:

0 () =

=

( () ())

+

=

= 0 ()

+ 0 ()

Exemplul 19 Fie ( ) = arctg = sin = cos ∈ [0 2) () =

arctg sin cos = arctg tg = :

0 () =

µ

2 + 2

¶cos +

µ−

2 + 2

¶(− sin ) =

=cos

1cos +

µ−sin

1

¶(− sin ) = 1

Fie : → R , ⊂ R2 : 1 → R , = ( ) : 1 → R ,

= ( ) astfel încât ( ( ) ( )) ∈ pentru ( ) ∈ 1

Teorema 22 Daca au derivate partiale continue în orice punct ( ) ∈ 1

si functia are derivate partiale continue în orice punct din atunci functia

: 1 → R , ( ) = ( ( ) ( ))

are derivate partiale si:

( ) =

( ( ) ( ))

( ) +

( ( ) ( ))

( )

( ) =

( ( ) ( ))

( ) +

( ( ) ( ))

( )

Definitia 23 Fie : → R o functie; punctul ( ) se numeste punct deminim local daca exista un disc cu centrul în ( ) de raza astfel încât

pentru orice punct ( ) ∈ (( ) ) :

( ) ≤ ( )

si este punct de maxim local daca inegalitate de mai sus e ≥ Un punct de

minim sau maxim local se numeste punct de extrem local.

Exemplul 20 Daca înaltimea punctului de pe glob, latitudinea, longi-

tudinea, arunci coordonatele oricarui fund de groapa e punct de minim local, si

coordonatele oricarui vârf de movila e punct de maxim local.

Teorema 23 Daca ( ) este punct de minim (maxim) local si are derivatepartiale continue pe atunci:

( ) = 0

( ) = 0


Remara 6 Reciproca teoremei de mai sus nu e adevarata, vezi exemplul:

Exemplul 21 ( ) = 2 − 2; ( ) = 2 ( ) = −2;

(0 0) = 0

(0 0) = 0

(1 0) =1

2 0 = (0 0) ; (0−1) = −1

2 0 = (0 0)

2.0.6 Derivate partiale de ordin superior

Fie : → R , ⊂ R2 care admite în punctul ( ) derivate partiale deordin 1

Definitia 24 Se numesc derivate partiale de ordin 2 pentru functia în punctul( ) derivatele partiale ale derivatelor partiale:

2

2( ) =

µ

( )

¶2

2( ) =

µ

( )

¶2

( ) =

µ

( )

¶2

( ) =

µ

( )

¶

Generalizare:

Definitia 25 Se numesc derivate partiale de ordin pentru functia în punctul

( ) derivatele partiale ale derivatelor partiale ale derivatelor partiale de ordin− 1

În anumite conditii nu conteaza ordinea de derivare:

Teorema 24 (Schwarz) Daca are derivate partiale de ordin 2 continue pe

atunci:

2

( ) =

2

( )

Teorema 25 Daca are derivate partiale de ordin continue pe atunci

exista + 1 derivate partiale de ordin distincte.

Daca = 3 :

3

3( )

3

2( )

3

2( )

3

3( )

27

2.0.7 Formula lui Taylor

Fie : → R , ⊂ R2 o functie care are derivate partiale continue de ordin+ 1 Atunci pentru ( ) ∈ ( ) ∈

( ) = ( ) +

µ

( ) (− ) +

( ) ( − )

¶+

+

µ

(− ) +

( − )

¶2 ( ) 2! + +

+

µ

(− ) +

( − )

¶ ( ) ! + ()

unde: µ

(− ) +

( − )

¶2 ( )µ

2

2(− )2 + 2

2

(− ) ( − ) +

2

2( − )2

¶ ( )

2

2( ) (− )

2+ 2

2

( ) (− ) ( − ) +

2

2( ) ( − )

2

Exemplul 22 Sa se scrie formula lui Taylor pentru = 2 = = 0 ( ) =ln (1 + ) Rezolvare: se calculeaza derivatele partiale de ordin 1 si 2 pentru

în (0 0) :

0 ( ) =

1 + 0 ( ) =

1 +

002 ( ) = − 2

(1 + )2 002 = −

2

(1 + )2

00 =

µ

1 +

¶0

=1 + −

(1 + )2

formula lui Taylor:

ln (1 + ) = 0 +0+ 0

1!+02 + 2 · 1 · + 02

2!+2

ln (1 + ) = +2

Conditii suficiente de extrem pt. functii de 2 variabile

Fie : → R , ( ) ∈ astfel încât 0 ( ) = 0 ( ) = 0 Notam = 002 ( ) = 00 ( ) = 002 ( )

Teorema 26 Daca 0 si − 2 0 atunci ( ) este punct de minim local

pentru si daca 0 si − 2 0 atunci ( ) este punct de maxim local

pentru


Demonstratie: Ideea : scriem formula lui Taylor pentru = 2 :

( ) = ( ) + (− )2 + 2 (− ) ( − ) + ( − )2

2+2 ()

( )− ( ) ≈ (− )2 + 2 (− ) ( − ) + ( − )2

2=

=( − )2

2

Ã

µ−

−

¶2+ 2

µ−

−

¶+

!ultima paranteza este o functie de grad 2 în −

− are semn constant ( egal cu

semnul lui ) daca ∆ 0 adica (2)2 − 4 0 sau:− 2 0

deci daca 0 si − 2 0 atunci:

( )− ( ) 0

( ) ≤ ( )

pentru ( ) suficient de apropiat de ( ) deci ( ) este punct de maximlocal.

Exemplul 23 ( ) = 2 + 2 Extreme?

1. Se calculeaza derivatele partiale de ordin 1 : 0 0

2. Se rezolva sistemul 0 = 0 0 = 0

3. Pentru ( ) solutie a sistemului se calculeaza derivatele partiale de ordin2 = 002 ( ) = 00 ( ) = 002 ( )

4. Se verifica daca − 2 0 daca atunci ( ) va fi un punct de maximîn cazul în care 0 si de minim în cazul 0

Rezolvare:

1. 0 = 2 0 = 2

2. 2 = 0 2 = 0 solutia: ( ) = (0 0)

3. 002 = 2 002 = 2

00 = 0; = 2 = 2 = 0

4. − 2 = 4 0 = 2 0 ⇒ (0 0) este punct de minim pentru = ( ) = 2 + 2 val. minima: (0 0) = 0

Obs. Pentru 3.,4. se poate folosi matricea formata cu derivatele partiale ale

functiei în ( ) :

=

µ

¶conditia de extrem este det () 0

= 2 + 2

29

2.0.8 Extreme conditionate la o functie de doua variabile

Fie : → R , : → R . Se cere sa se determine extremele functiei înpunctele din plan care verifica:

( ) = 0 (2.1)

Ideea (Lagrange): se considera functia auxiliara:

( ) = ( ) + ( )

Teorema 27 Daca ( ) este un punct de extrem pentru functia cu conditia

(2.1) atunci exista o valoare astfel încât ( ) este punct de extrem pentru

adica ( ) si sunt solutii pentru:

= 0

= 0

( ) = 0

Exemplu: Sa se determine cea mai mica si cea mai mare distanta de la

origine la cercul (− 2)2 + ( − 2)2 = 1 Functia ( ) = 2 + 2 Functia

( ) = 2 + 2 + ¡2 − 4+ 2 − 4 + 7¢ Sistemul:⎧⎨⎩ 2+ 2− 4 = 0

2 + 2− 4 = 02 − 4+ 2 − 4 + 7 = 0£

= 12

√2 + 2 = 1

2

√2 + 2 = −2√2− 1¤£

= 2− 12

√2 = 2− 1

2

√2 = 2

√2− 1¤

Deci 1 =12

√2 + 2 1 =

12

√2 + 2 2 = 2− 1

2

√2 = 2

(1 1) =

µ1

2

√2 + 2

¶2+

µ1

2

√2 + 2

¶2= 4√2 + 9

(2 2) = 9− 4√2

2.0.9 Functie implicita

Se da ecuatia:

( ) = 0 (2.2)

Se pune problema în ce conditii pot rezolva ecuatia în raport cu = () sicum se calculeaza derivata lui folosind

Teorema 28 Daca are derivate partiale continue si în punctul (0 0) derivata 6= 0 atunci exista o functie definita pe un interval cu centrul în 0 astfel

încât:


1. (0) = 0

2. ( ()) = 0 pentru orice ∈

3.

0 () = −0 ( ())

0 ( ())

sau notând = () :

0 () = −0 ( )

0 ( )

Demonstratie: formula de la pct. 3.:

( ()) = 0

se deriveaza în raport cu folosind formula pt. derivarea functiei compuse:

d=

d

d+

d

d=

=

+ 0 ()

= 0

de unde:

0 () = −

Exemplul 24 Fie ecuatia :

2 + 2 = 1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

31

si punctul (0 1) ( ) = 2 + 2 − 1; 0 = 2 0 = 2 0 (0 1) = 2 6= 0

Intervalul cu centrul în 0 va fi (−1 1) si () = √1− 2 =

0 () = −22= −

= 0

0 () =−2

2√1− 2

2.0.10 Diferentiala unei functii de doua variabile

Fie : → R2 care admite derivate partiale continue de ordin 1

Definitia 26 Se numeste diferentiala (de ordin întâi ) a functiei pe punctul

( ) o functie notata d : R2 → R :

d (dd) =

d+

d

Obs.: de obicei se noteaza d = d+

d

Exemplul 25 Fie ( ) = sin() Sa se calculeze diferentiala de ordin 1Solutie: calcula derivatele partiale ale functiei :

= sin ( + 2) = cos ()

= cos ()

d = cos () d+ cos () d =

= cos () (d+ d)

2.0.11 Functii de mai multe variabile reale

Fie : → R , ⊂ R ≥ 3 Valoarea functiei pe (1 2 ) se noteazacu (1 2 )

Definitia 27 Se numeste derivata partiala a functiei în punctul (1 2 )în raport cu variabila limita:

lim∆→0

(1 2 +∆ +1 )− (1 2 )

∆=

(1 2 )

Exemplul 26 Fie (1 2 ) =Q

=1 = 12

1(1 2 ) = 2

(1 2 ) =

(1 2 )


Definitia 28 Punctul (1 2 ) este un punct de minim local pentru dacaexista un numar 0 astfel încât:

(1 2 ) ≤ (1 2 )

pentru orice (1 2 ) ∈ care verifica conditia

| − | ≤ = 1

Teorema 29 Daca (1 2 ) este un punct de minim (maxim) local pentru

si are derivate partiale în (1 2 ) atunci:

(1 ) = 0

Definitia 29 Se numeste derivata partiala de ordin 2 a functiei derivata

partiala a unei derivate partiale. Notatia:

2

00

Daca derivatele partiale sunt continue atunci nu conteaza ordinea de derivare si

avem

µ

2

¶+ = (+1)

2 derivate partiale distincte.

în cazul = 3 se noteaza variabilele ( ) si derivatele de ordin 2 :

002 002

002

00

00

00

Exemplul 27 Daca = ( ) este potentialul electrostatic în punctul ( )atunci în ⊂ R3 = R×R×R unde nu exista sarcini electrice verifica ecuatia(Laplace):

2

2+

2

2+

2

2= 0

Exemplul 28 Sa se calculeze derivatele partiale de ordin 2 pentru functia

( ) =1p

2 + 2 + 2

si sa se arate ca este verificata ecuatia lui Laplace.

2.1. EXERCITII 33

Solutie:

= −

³p2 + 2 + 2

´0³p

2 + 2 + 2´2 = −

2

2√

2+2+2³p

2 + 2 + 2´2 = − ³p

2 + 2 + 2´3

= − ³p

2 + 2 + 2´3 = − ³p

2 + 2 + 2´3

2

2=

⎛⎜⎝− ³p2 + 2 + 2

´3⎞⎟⎠0

= −¡2 + 2 + 2

¢32 − 322¡2 + 2 + 2

¢12(2 + 2 + 2)3

=

=2 + 2 + 2 − 32³p

2 + 2 + 2´5 = 2 + 2 − 22³p

2 + 2 + 2´5

2

=

⎛⎜⎝− ³p2 + 2 + 2

´3⎞⎟⎠0

=

2

2+

2

+

2

2=

2 + 2 − 22³p2 + 2 + 2

´5 + 2 + 2 − 22³p2 + 2 + 2

´5 + 2 + 2 − 22³p2 + 2 + 2

´5 == 0

2.1 Exercitii

Exercitiul 1 Sa se afle extremele functie ( ) = 3 + 3 − 15 Solutie:1. Se calculeaza derivatele partiale:

= 32 − 15

= 32 − 15

2. Se rezolva sistemul:

32 − 15 = 0

32 − 15 = 0

=2

5:

µ2

5

¶2− 5 = 0

4 − 125 = 0 1 = 0 2 = 5

1 = 0 2 = 5


3. Se calculeaza der. partiale de ordin 2:

2

2= 6;

2

= −15;

2

2= 6

pentru 1 = 0 1 = 0 avem: = 0 = −15 = 0 deci − 2 0 Pentru2 = 2 = 5 avem = −30 = −15 = −30 deci −2 = 900−152 0.

4. Pentru 2 = 2 = 5 = −30 deci (5 5) este punct de maxim local,

max = 53 + 53 − 15 · 5 · 5 = −125

Exercitiul 2 Sa se calculeze 0 () stiind ca:

2 + 2 + ln¡2 + 2

¢− 1 = 0

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Solutie: aplicam formula de la functii implicite cu

( ) = 2 + 2 + ln¡2 + 2

¢− 1avem:

0 () = −0

0= −2+

22+2

2 + 22+2

= −¡2 + 2 + 1

¢ (2 + 2 + 1)

= −

Exercitiul 3 Sa se afle minimul si maximul functiei ( ) = 2 + 2 stiind

ca 4 + 3 = 1

2.1. EXERCITII 35

Solutie: consideram functia auxiliara:

( ) = 2 + 2 + (4 + 3− 1)

= 2+ 4 = 0

= 2 + 3 = 0

4 + 3− 1 = 0

Solutia:

= −8; = −

6

−

32−

16− 1 = 0

= −323 = 43 =

169


Capitolul 3

Calcul integral

3.1 Calcul integral pentru functii de o variabila

3.1.1 Integrala definita

Z

() d

Definitie, existenta, calcul, aplicatii.

Problema care conduce laR () d : Sa se defineasca si sa se calculeze

aria cuprinsa între axa dreptele = = si graficul functiei ( = () ∈ [ ] ), presupunând ca () ≥ 0 ∈ [ ]

O

y

xb=xn

x2xn-1x ...3 xk

x ...1+k xn-4 xn-3xn-2x1

a=x0a=x0

Gf

c2

f(c )2

Definitia 30 Se numeste diviziune a intervalului [ ]

{ = 0 1 −1 = } = ∆ [ ]

37

38 CAPITOLUL 3. CALCUL INTEGRAL

si norma diviziunii ∆ [ ] numarul:

k∆ [ ]k = max=1

( − −1)

Definitia 31 Se numeste sistem de puncte intermediare atasat diviziunii ∆ [ ]o multime de puncte {}=1 cu proprietatea ca:

∈ [−1 ] = 1

Definitia 32 Se numeste suma Rieman atasata functie diviziunii ∆ [ ] sipunctelor intermediare {}=1 suma:

∆ =X=1

() ( − −1)

Exemplul 29 Fie functia () = 2 [ ] = [0 1] fixat, = =

atunci:

∆ =X=1

µ

¶21

=1

3

X=1

2 = (2+ 1) (+ 1)

63

Daca în ∆ trecem la limita →∞ avem:

lim→∞∆ =

2

6=1

3

Definitia 33 Se numeste integrala functiei pe intervalul [ ] numarul =R () d definit de:

= lim→∞

k∆k→0∆ (3.1)

daca limita exista.

Remara 7 (3.1) scrisa exact: pentru orice 0 exista un 0 astfel încâtpentru orice diviziune ∆ cu k∆k si pentru orice puncte intermediare

{}=1 :| − ∆ |

Teorema 30 Daca este continua pe [ ] atunci existaR () d (functia

este integrabila pe [ ] ).

Teorema 31 Daca este monotona si marginita pe [ ] atunci ea este inte-grabila pe [ ]

Teorema 32 Daca este integrabila pe [ ] atunci este marginita pe [ ]

Teoreme de medie pentru integrala:

3.1. CALCUL INTEGRAL PENTRU FUNCTII DE O VARIABILA 39

Teorema 33 Daca este continua pe [ ] atunci exista un punct ∈ [ ]astfel încât: Z

() d = (− ) ()

Teorema 34 Daca si sunt continue pe [ ] si are semn constant pe [ ]atunci exista un punct ∈ [ ] astfel încât:Z

() () d = ()

Z

() d

Proprietati ale integralei

Teorema 35 Daca si sunt functii integrabile pe [ ] si sunt numerereale atunci + este integrabila pe [ ] si:Z

() + () d =

Z

() d+

Z

() d

(liniaritatea integralei în raport cu functia).

Teorema 36 Daca este integrabila pe [ ] si ∈ ( ) atunci este inte-grabil pe [ ] si [ ] :Z

() d =

Z

() d+

Z

() d

(aditivitatea integralei fata de interval).

Teorema 37 Daca este continua pe [ ] si ∈ ( ) atunci functia :

() =

Z

() d

este derivabila în 0 () = ()

Demonstratie:

(+∆)− ()

∆=

R +∆

() d− R () d

∆=

=

R +∆

() d

∆=∆ ()

∆=

= ()

unde ∈ ( +∆) Daca facem ∆→ 0 atunci → deci ( continua)

lim∆→0

() = ()

adica:

lim∆→0

(+∆)− ()

∆= ()

0 () = ()


Corolarul 3 Daca functia este continua pe [ ] si functia este cea definitaîn teorema precedenta ( 0 () = () ∈ [ ]) atunci:Z

() d = ()− () (3.2)

(formula Newton-Leibniz).

3.1.2 Integrala nedefinita (primitiva)

Definitia 34 Fie functia : [ ] → R . Functia : [ ] → R se numeste

primitiva functiei pe intervalul [ ] daca:

0 () = () ∀ ∈ [ ]

Probleme: daca exista mai multe primitive, prin ce difera? Cum se pot

calcula primitivele?

Teorema 38 Daca 1 si 2 sunt primitive ale functiei pe [ ] atunci existao constanta astfel încât:

1 () = 2 () + orice ∈ [ ]

Notatie : multimea tuturor primitivelor functiei pe un interval dat se

noteaza: Z () d = () + C

unde este o primitiva a lui

Pentru calcul primitive se foloseste tabelul de derivate citit de la dreapta la

stânga + metode specifice pentru anumite tipuri de integrale. De exemplu:Zd =

+1

+ 1+

()0= −1µ

+1

+ 1

¶0=

Zd

= ln+

Dar exista functii continue a caror primitiva nu este calculabila, de exemplu

() = −2Z

−2

d =1

2

√ erf () +

−2


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x

y

Daca nu se pot calcula integralele prin aplicare directa se pot folosi 2 metode

pentru a o aduce functia de "integrat" la o functie din tabel.

Integrarea prin partiZ () d

=

Z () 0 () d = () ()−

Z0 () () d

aplicabila dacaR0 () () d este mai usor de calculat decât

R () 0 () d

Exemplul 30R sind

() = 0 () = sin0 () = 1 () = − cosZ

sind = − cos+Zcosd = − cos+ sin+

Exemplul 31Rlnd

() = ln 0 () = 1

0 () =1

() = Z

lnd = ln−Z

d = ln− +


Remarca : uneori se aplica de mai multe ori integrarea prin parti:

=

Z sind

()=sin0()==

= sin−Z

cosd()=cos 0()=

=

= sin− cos−Z

sind

= sin− cos

2+

Schimbari de variabila

1. Z () d

=

Z ( ())0 () d =

Z () d = ( ()) +

0 =

2.

Z () d

= () = −1 ()

=Z ( ())0 () d =

Z () d = () + =

¡−1 ()

¢+

Exemplul 32 Pentru prima schimbare de variabila:Z−

2

2d()=−20()=−2

= −Z

d = − + = −−2 +

Exemplul 33

Z p1− 2d

= sin = arcsind = cos d

=Z p1− sin2 cos d =

Zcos2 d =

Z1 + cos 2

2d =

=

2+sin 2

4+ =

=arcsin

2+2√1− 2

4+

sin 2 = 2 sin cos = 2p1− 2


Integrarea functiilor rationale Fie doua polinoame.Z ()

()d =?

Ideea: daca grad grad atunci se descompune fractia în fractii simple si se

integreaza fiecare fractie simpla.

Fractii simple:

(− )

+

(2 ++)

unde ∈ ∗ 2 ++ = 0 n-are sol. reale.Numitorii fractiilor simple se obtin din descompunerea lui în produse

de polinoame de grad 1, corespunzatoare radacinilor reale si factori de grad 2corespunzatori radacinilor complexe.

Daca este radacina reala a lui multipla de ordin la descompunerea în

fractii simple corespund fractiile:

1

−

2

(− )2

(− )

iar daca am o radacina complexa multipla de ordin care este solutie pentru

2 ++ = 0 corespund fractile simple:

1+1

2 ++

+

(2 ++)

si coeficientii numitorilor se determina prin identificare cu ()()

Exemplul 34 Z2 + 2+ 1

(− 1)2 (2 + 1)3d

: 2+2+1(−1)2(2+1)3 =

(2+1)2

− 1−1 +

12(−1)2 +

12+1

¡+ 1

2

¢− 1(2+1)3

Exemplul 35R

14+1d =

√2

µ14 arctan

¡√2− 1¢− 1

4 +14 arctan

¡√2+ 1

¢+18 ln

¡2 +

√2+ 1

¢− 18 ln

¡2 −√2+ 1¢

¶.

1

4 + 1=

1

(4 + 22 + 1)− 22 =

=1¡

2 + 1−√2¢ ¡2 + 1 +√2¢ ==

+

2 + 1−√2 ++

2 + 1 +√2

se determina:

1 = (+)³2 + 1 +

√2´+ (+)

³2 + 1−

√2´


0 = +

0 = +√2 + −

√2

0 = +√2 + −

√2

1 = +

3.1.3 Cum se calculeaza o integrala definita?Z

() d =?

1. Se determina o primitiva a lui pe [ ]

2. Se foloseste formula Newton-Leibniz:Z

() d = ()− ()

Daca intervalul e [− ] :1. Daca functia este impara ( (−) = − () ) atunci:Z

− () d = 0

2. Daca functia este para ( (−) = () ) atunci:Z

− () d = 2

Z

0

() d

3.2 Aplicatii ale integralei definite

3.2.1 Calcul arii

O x

y

y=f(x)

y=g(x)

ba

3.2. APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE 45

Aria cuprinsa între = = si graficele functiilor ( () () ∈[ ] : Z

( ()− ()) d

Exemplul 36 Sa se calculeze aria marginita de curbele = −2 ++2 = 0

�2 �1 1 2

�4

�3

�2

�1

Primul pas: se calculeaza intersectiile celor 2 grafice:

= −2+ + 2 = 0

Solutii:

= −1 = −1 = 2 = −4

Aria: Z 2

−1

¡−2 − (−− 2)¢d = 9

2

3.2.2 Calcul centre de greutate

Centrul de greutate al multimii plane marginite de = = si graficul unei

functii are coordonatele date de:

=

R () dR

() d

=12

R 2 () dR

() d


Se deduc din formula pentru baricentru:

−−→ =

P=1

−−→P

=1

=

P=1P=1

=

P=1P=1

Exemplul 37 Sa se calculeze centrul de greutate al unui semidisc de raza

cu centrul în cu diametrul pe

Solutie: Ecuatia semicercului este:

=p2 − 2 = ()

=

R −

√2 − 2dR

−√2 − 2d

= 0

=12

R −¡2 − 2

¢dR

−√2 − 2d

=

Z

−

p2 − 2d

= sin =

Z 2

−2

p2 −2 sin2 cos d

= 2Z 2

−2cos2 d = 2

Z 2

−2

1 + cos (2)

2d

= 2

ÃZ 2

−2

1

2d+

Z 2

−2

cos (2)

2d

!= 2

µ

2+sin (2)

4|2−2

¶=

2

2+ 0

1

2

Z

−

¡2 − 2

¢d =

1

2

µ23 − 3

3|−

¶=23

3

deci

=23

32

2

=4

3

3.2.3 Calcul arii si volume de rotatie

Fie o functie : [ ] → R . () 0 ∈ [ ] Aria supafetei generate derotirea graficului functiei în jurul axie se calculeaza cu formula:

= 2

Z

()p1 + 02 ()d

3.2. APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE 47

Volumul obtinut prin rotatia suprafetei plane marginita de axa si

dreptele = = se calculeaza cu formula:

=

Z

2 () d

Exemplul 38 Sa se afle aria si volumul sferei de raza Se obtin din rotatia

în jurul axei a graficului:

=p2 − 2 = () ∈ [−]

Cf. formulelor³ 0 () = −√

2−2´:

= 2

Z

−

p2 − 2

r1 +

2

2 − 2d

= 2

Z

−

√2d = 2 (2) = 42

=

Z

−

¡2 − 2

¢d

=

µ2− 3

3

¶|− =

43

3

Exemplul 39 Sa se calculeze aria si volumul torului generat de rotatia cercului

de ecuatie:

2 + ( − )2 = 2

în jurul axei

Rezolvare: Din ecuatia torului rezulta:

= ±p2 − 2

= 2(

Z

−

³+

p2 − 2

´r1 +

2

2 − 2d+

+

Z

−

³−

p2 − 2

´r1 +

2

2 − 2d)

Z

−

³+

p2 − 2

´r1 +

2

2 − 2d

=

Z

−

µ√

2 − 2+ 1

¶ =

³ arcsin

´|− + ∗ 2 =

= + 22Z

−

³−

p2 − 2

´r1 +

2

2 − 2d

= − 22


deci:

= 2¡+ 22 + − 22¢ = 42

Volumul:

=

µZ

−

³+

p2 − 2

´2−³−

p2 − 2

´2d

¶=

=

Z

−4p2 − 2d = 4

Z

−

p2 − 2d = 4

2

2=

= 222 = (2)¡2

¢

3.3 Integrale improrii

Fie : [ )→ R , integrabila pe [ ] ⊂ [ ) ( poate fi ∞ ).

Definim functia : [ )→ R :

() =

Z

() d

Definitia 35 Daca exista limita:

lim→

()

finita atunci aceasta limita se noteaza cuZ −

() d

si se spune ca integrala de mai sus este convergenta.

Exemplul 40 Fie : [0 1) → R , () = 1√1−2

R 1−0

() d este conver-

genta? () =R 0

1√1−2d = arcsin limita:

lim→11

() = lim→11

arcsin =

2

deci Z 1

0

1√1− 2

d =

2

Exemplul 41 : [0∞) → R , () = 11+2

R∞0

11+2d este convergenta?

() = arctg si exista limita:

lim→∞ () =

2

deciR∞0

11+2d este convergenta si:Z ∞

0

1

1 + 2d =

2

3.4. INTEGRALE DEPINZÂND DE UN PARAMETRU 49

Exemplul 42 : [0∞)→ R , () = −

() =

Z

0

−d = −−|==0 = 1− −

lim→∞ () = 1

deciR∞0

−d este convergenta si are valoarea 1

Exemplul 43R∞0

−2

d = 12

√ este convergenta () =

R 0−

2

d = 12

√ erf ()

.

Daca = ∞ atunci se poate deduce convergentaR∞

() d folosind oteorema de comparatie:

Teorema 39 Daca exista limita :

lim→∞

()

= (finita)

atunciR∞

() d este convergenta daca 1 si divergenta daca ≤ 1De asemenea este utila urmatoarea teorema:

Teorema 40 Daca are primitiva marginita pe [∞) si functia este monotonacu limita 0 la infinit atunci: Z ∞

() () d

este convergenta.

Exemplul 44R∞0

−2

d

2 =

=√

=R∞0

−

2√d si () = − () = 1

2√veri-

fica conditiile din teorema, deci integrala e convergenta.

Exemplul 45R∞0cos¡2¢d (Fresnel) Cu aceeasi schimbare de variabila:Z ∞

0

cos¡2¢d =

Z ∞0

cos

2√d

() = cos () = 12√(Fresnel).

3.4 Integrale depinzând de un parametru

Fie : [ ]× [ ]→ R Se defineste integrala:

() =

Z

( ) d (3.3)

depinzând de parametrul (pentru acele valori ale lui pentru care exista

integrala.)


Teorema 41 Daca este continua pe [ ]× [ ] atunci functia definita de

(3.3) este definita si continua pe [ ]

Teorema 42 Daca are derivata partiala continua în raport cu a doua vari-

abila , este continua pe [ ] × [ ] atunci este derivabila în raport cu

si:

0 () =Z

( ) d

Exemplul 46 Fie : [0 1]× [0 1]→ R , ( ) = arctan () ;

() =

Z 1

0

arctan () d

0 () =

Z 1

0

1 + 22d =

1

22ln¡1 + 22

¢ |=1=0 =ln¡1 + 2

¢22

Teorema 43 Daca este continua pe [ ]× [ ] atunci este inegrabila pe

[ ] si: Z

() d =

Z

ÃZ

( ) d

!d

Z

ÃZ

( ) d

!d =

Z

ÃZ

( ) d

!d

Exemplul 47 Fie : [0 1]× [ ]→ R , ( ) = 0

() =

Z 1

0

d =+1

+ 1|=1=0

1

+ 1Z

1

+ 1d =

Z 1

0

ÃZ

d

!d

ln+ 1

+ 1=

Z 1

0

ln|==d

ln+ 1

+ 1=

Z 1

0

−

lnd

3.4.1 Integrale Euleriene

Sunt integrale care depind de parametri, si, eventual, improprii:

Functia Γ a lui Euler

Γ () =

Z ∞0

−1−d

Principalele proprietati:

3.4. INTEGRALE DEPINZÂND DE UN PARAMETRU 51

1. Γ () este convergenta pentru orice 0

2. Este adevarata formula de recurenta:

Γ (+ 1) = Γ ()

Dem.: integrare prin parti:

Γ (+ 1) =

Z ∞0

−d

() =

0 () = −= −−|=∞=0 +

Z ∞0

−1−d

= Γ ()

3. Deoarece Γ (1) =R∞0

−d = 1 din rel. de recurenta rezulta:

Γ (+ 1) = ! ∈ N

Functia a lui Euler

Este integrala care depinde de 2 parametri:

( ) =

Z 1

0

−1 (1− )−1

d

Principalele proprietati:

1. este convergenta pentru 0

2. ( ) = ( )

3. ( ) = Γ()Γ()Γ(+)

O consecinta la a treia proprietate: calcul Γ (12) :

= = 12

(12 12) =Γ2 (12)

Γ (1)

dar

(12 12) =

Z 1

0

dp (1− )

=

Z 1

0

dp (1− )

=

Z 1

0

dq14 −

¡− 1

2

¢2

d√2−2

=arcsin

=

= arcsin− 1212

|=1=0 = arcsin 1− arcsin (−1) = 2

2


Ox

Oy

Figure 3.1:

de unde:

Γ (12) =√ =

Z ∞0

−√d

Tema: ÎnR∞0

−√d sa se faca schimbarea de variabila = 2

3.5 Integrala duble

Fie ⊂ R2 marginita, : → R . Ce înseamna:ZZ

( ) dd

si cum se calculeaza.

Daca = [ ]×[ ] si este continua atunci (vezi integrale cu parametru):ZZ

( ) dd=

Z

ÃZ

( ) d

!d

=

Z

ÃZ

( ) d

!d

Daca este marginit de = = = 1 () = 2 () 1 () ≤2 () 1 2 derivabile, ∈ [ ] ( se numeste simplu în raport cu

):atunci ( 1 2 derivabile):ZZ

( ) dd=

Z

ÃZ 2()

1()

( ) d

!d

3.5. INTEGRALA DUBLE 53

Analog se defineste integrala dubla daca în def. se schimba cu

În general se descompune ca reuniune de domenii simple în raport cu una

din axe, domenii care sa aiba în comun curbe, si integrala va fi suma de integrale

corespunzatoare domeniilor simple.

Exemplul 48

ZZ

( ln ) dd margimit de = 0 = 4 = 1 = :

ZZ

( ln ) dd =

Z 4

0

µZ

1

ln d

¶d

=

Z 4

0

µZ

1

ln d

¶d

= ln 0 = 1 0 = 1 =

=

=

Z 4

0

( ln |1 − |1) d

=

Z 4

0

d ∗ (− + 1) =2

2|40 = 8

Exemplul 49

ZZ

(− ) dd margimit de = 2 − 2 = 2 − 1 Se

determina de intersectie:

2− 2 = 2− 1 = 1−3 Atunci:ZZ

(− ) dd =

Z 1

−3

ÃZ 2−2

2−1(− ) d

!d =

Z 1

−3

¡ − 22

¢ |=2−2=2−1

=

Z 1

−3

³¡2− 2

¢− ¡2− 2¢22−

¡2− 2

¢+ (2− 1)2 2

´d

= −2125

Z 2−2

2−1(− ) d =

¡ − 22

¢ |=2−2=2−1

= ¡2− 2

¢− ¡2− 2¢22−

¡2− 2

¢+ (2− 1)2 2

3.5.1 Interpretare geometrica a integralei duble

Daca : → R+ atunci : ZZ

( ) dd


reprezinta volumul corpului marginit de si graficul functiei :

Ox

Oy

Oz

Oy

Ox

Oz

3.5.2 Schimbarea de variabila la integrala dubla

Fie : → R , si : ½ = ( ) = ( )

( ) ∈ ∆ (3.4)

cu având derivate partiale continue, corespondenta între ∆ si este bijec-

tiva, iar la puncte de pe curba care margineste corespund puncte pe curba


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figure 3.2:

care margineste ∆ Notam

=

¯

¯

numit Jacobianul tranformarii definite de (34) . În aceste conditii:

ZZ

( ) dd =

ZZ∆

( ( ) ( )) | |dd

Formula de sch. de variabila la

ZZse foloseste ca ∆ sa fie mai simplu ca

Exemplul 50

ZZ

(− )2(+ )

3dd margimit de + = 1 − =

1 + = 3 − = −1 Domeniul:Ideea: fac sch. de variabile + = − =

atunci ∈ [1 3] ∈ [−1 1] = +2 = −

2

=

¯12

12

12 −12

¯= −1

2


Deci ZZ

(− )2 (+ )3 dd =

ZZ∆

231

2dd

=

Z 3

1

3µZ 1

−121

2d

¶d

=

Z 3

1

3d ∗Z 1

−121

2d

=4

4|31 ∗

3

6|1−1 =

Un caz particular este trecerea la coordonate polare:½ = cos = sin

în acest caz = formula devine:ZZ

( ) dd =

ZZ∆

( cos sin ) dd

Exemplul 51 Sa se calculeze

ZZ

dd2+2+1 unde este marginit de axa

si semicercul superior al cercului 2 + 2 = 1�1.0 �0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Trecând în coordonate polare:½ = cos = sin

=

ZZ

dd

2 + 2 + 1=

ZZ∆

dd

2 + 1

=

Z 1

0

µZ

0

d

2 + 1

¶d

=

Z 1

0

d

2 + 1∗Z

0

d

=1

2ln¡2 + 1

¢ |10 ∗ =

ln 2

2


Direct:

ZZ

dd

2 + 2 + 1=

Z 1

−1

ÃZ √1−20

d

2 + 2 + 1

!d =

3.5.3 Aplicatii ale integralei duble în mecanica

1. Daca reprezinta densitatea unei placi plane atunci masa placii este:

=

ZZ

( ) dd

2. Centrul de greutate al unei placi plane cu densitatea ::

=

ZZ

( ) dd

ZZ

( ) dd

=

ZZ

( ) dd

ZZ

( ) dd

3. Aria unui domeniu plan:

=

ZZ

dd

Exemplul 52 Sa se calculeze aria unui sfert de cerc si centrul sau de greutate.

( = 1) ( raza si centrul ). Aria (trecând în coordonate polare:

= cos () = sin () dd = ):Z Z

dd =

Z 2

0

ÃZ

0

d

!d =

Z 2

0

2

2d =

2

4

=

R Rdd24

=4

2

Z 2

0

ÃZ

0

cos d

!d =

=4

2

Z

0

2d ∗Z 2

0

cos d =4

23

3sin |20 =

=4

3=


Exemplul 53 = 3 141 6

Exemplul 54 ≈ (1 + 110000)10000

3.6 Integrale curbilinii

Integrale curbilinii de speta întâi

Fie Γ o curba data parametric:⎧⎨⎩ = () = () = ()

∈ [ ]

cu functiile derivabile.

Integrala curbilinie de speta întâi a functiei : → R , Γ ⊂ este numarul

notat cuRΓ ( ) definit de:Z

Γ

( ) =

Z

( () () ())p02 () + 02 () + 02 ()d

Daca reprezinta densitatea liniara a curbei Γ atunciRΓ ( ) reprez-

inta masa curbei.

Integrala curbilinie de speta a doua

Fie Γ curba de mai sus, functii definite pe Γ ⊂ Integrala curbilinie

de speta a doua din−→ = () pe curba Γ este numarul notat cu

RΓ

−→ d−→ =R

Γd+d +d definit:ZΓ

d+d+d =

Z

( ( () () ())0 () + ( () () ()) 0 () + ( () () ()

Interpretare mecanica: daca−→ este o forta atunciZ

Γ

−→ d−→

este lucrul mecanic efectuat de forta−→ dea lungul curbei Γ

IntegralaRΓ

−→ d−→ depinde de sensul de parcurgere al curbei Γ adica daca

se schimba sensul integrala îsi schimba semnul.

Daca Γ este curba închisa se foloseste notatia:IΓ+

−→ d−→

3.6. INTEGRALE CURBILINII 59

Exemplul 55 Sa se calculezeRΓ unde Γ

= = 2 = ∈ [0 ]si ( ) = 2 + 2 + 2 Conform formulei :Z

Γ

=

Z

0

¡2 + 4 + 2

¢q1 + (2)

2+ 1 =

=

Z

0

¡2 + 4

¢p2 + 42 = 2

Z

0

¡2 + 4

¢r2 +

1

2 =

= =3

128ln 2− 3

64ln³2 +

√2p22 + 1

´− 364

√2p22 + 1 +

3

32

√2¡22 + 1

¢ 32 +

1

12

√23

¡22 + 1

¢ 32

La calculul integralei se foloseste schimbarea de variabila:p2 + 12 = +

2 + 12 = 2 + 2+ 2

=12− 2

2

=−22 − ¡12− 2

¢22

p2 + 12 =

12− 2

2+ =

12 + 2

2Z ¡2 + 4

¢p12 + 2

=

Z Ãµ12− 2

2

¶2+

µ12− 2

2

¶4!12 + 2

2

−2 − 1222

=

=p2 + 12−

Exemplul 56 Sa se calculeze ZΓ

2 − 2

unde Γ : =√cos =

√sin ∈ [0 2]

Solutie: ZΓ

2 − 2

=

Z 2

0

µcos √sin

cos

2√sin

− sin √cos − sin 2√cos

¶ =

=

Z 2

0

µcos2 + sin2

2

¶ =

2|20 =

4


Integrala curbilinie de speta a doua în plan

Fie Γ o curba plana: ½ = () = ()

∈ [ ]

(curba închisa: () = () () = () ) si doua functii definite pe

⊂ R2Γ ⊂ ZΓ

d+d =

Z

( ( () ())0 () + ( () ()) 0 ()) d

Formula lui Green: Fie o curba închisa,simpla (nu trece de doua ori prin

acelasi punct) si interiorul curbei, cf. figurii:

�

int( )�

Atunci:

Consecinte:

1. Daca =

pe atunci

I+

( ) d+ ( ) d = 0

2. Daca =

pe atunci

R ( ) d+ ( ) d nu depinde de

doar de extremitati. ( ⊂ ).

3. Daca =

pe atunci exista o functie : → R astfel încât

=

= (3.5)

si functia este definita:

( )− (0 0) =

Z

0

( 0) d+

Z

0

( ) d

unde (0 0) este un punct fixat din

3.6. INTEGRALE CURBILINII 61

Remara 8 Daca functia verifica egalitatile (3.5) atunci conform teoremei

lui Schwarz:2

=

2

⇔

=

Exemplul 57 Fie ( ) = 2 + 2 ( ) = 2 = R2 =

= 2

Atunci:

( )− (0 0) =

Z

0

¡2 + 20

¢d+

Z

0

2d

=

µ3

3+ 20

¶|==0 + 2|==0

=3

3+ 20 −

303− 0

20 + 2 − 20

=3

3+ 2 −

µ303+ 0

20

¶

Exemplul 58 Sa se calculezeR (+ 3) d+( + 3) d unde (1 1) si (2 3)

Ideea: integrala nu depinde de curba ci numai de extremitati, si aleg ca si curba

segmentul

( ) = + 3 ( ) = + 3

= 3 =

Parametrizarea segmentului ∈ [0 1] :

= ∗ + (1− ) ∗ = + 1

= ∗ + (1− ) ∗ = 2+ 1

d = ( − ) dd = ( − ) d

Integrala este: Z 1

0

(+ 1 + 3 (2+ 1)) d+

Z 1

0

(2+ 1 + 3 (+ 1)) 2d

=

Z 1

0

(7+ 4) d+

Z 1

0

(5+ 4) d =122

2+ 8|10 = 14

Exemplul 59 Sa se calculezeIΓ

¡−2d+ 2d¢

unde curba Γ este cercul de ecuatie 2+ 2 = 2 parcurs în sens trigonometric.


Rezolvare: var. 1 : cu calcul direct; parametrizarea cercului este:

= cos = sin ∈ [0 2]d = − sin dd = cos d

IΓ

¡−2d+ 2d¢= 2

Z 2

0

4 cos2 sin2 d =

= 24Z 2

0

sin2 (2)

4d =

4

2

Z 2

0

1− cos (4)2

d =

=4

42 =

4

2

var. 2 cu formula lui Green: ( ) = − ( ) = 2

= 2

= −2

IΓ

¡−2d+ 2d¢=

Z Z()

¡2 + 2

¢dd

=

=

Z 2

0

ÃZ

0

2d

!d = 2

4

4|0 =

=4

2

Exercitiul 4 Sa se calculezeI

p2 + 2d+

³ + ln

³+

p2 + 2

´´d

unde curba este frontiera dreptunghiului 1 ≤ ≤ 4 0 ≤ ≤ 2

Ideea: Green.

=p2 + 2 =

³ + ln

³+

p2 + 2

´´

=

2

2p2 + 2

=

⎛⎝ +1 + 2

2√2+2

+p2 + 2

⎞⎠ =

Ã +

1p2 + 2

!

3.7. EXERCITII 63

−

= 2

I

p2 + 2d+

³ + ln

³+

p2 + 2

´´d

=

Z 4

1

µZ 2

0

2d

¶d =

Z 4

1

8

3d = 8

O aplicatie la formula lui Green:I+

( ) d+ ( ) d =

ZZ

µ

−

¶dd

Aria multimii marginite de curba + se poate calcula si cu formula:

=1

2

I+

− d+ d (3.6)

pentru ca daca înlocuim în formula lui Green = si = în partea dreapta

avem: ZZ

2dd = 2()

De exemplu sa se calculeze aria cercului de raza cu centrul în Parame-

trizarea cercului :

= cos = sin ∈ [0 2]Înlocuind în (3.6):

=1

2

Z 2

0

(− sin ∗ (− sin )) + cos ( cos ) d =

=1

2

Z 2

0

2d =2

22 = 2

3.7 Exercitii

1. Sa se calculeze integrala:ZZ

(+ )2 (− )3 dd

unde este patratul marginit de dreptele + = 1 − = 1 + = 3− = −1 Ideea: se face schimbarea de variabile:

= + = −


∈ [1 3] ∈ [−1 1]

=+

2 =

−

2

se calculeaza Jacobianul:

=

¯¯

¯¯ =

¯¯ 12

12

12 −12

¯¯ = −12

Avem: ZZ

(+ )2(− )

3dd =

ZZ∆

23 | |dd =

=1

2

Z 3

1

µZ 1

−123d

¶d =

=1

2

Z 3

1

2d ∗Z 1

−13d =

=1

2

3

3|31 ∗

4

4|1−1 = 0

2. Sa se calculeze

ZZ

sin√2+2√

2+2dd unde domeniul este marginit de

curbele 2+2 = 29 2+2 = 2 Ideea: se trece la coordonate polare:

= cos = sin

= ∈ [3 ] ∈ [0 2]

ZZ

sinp2 + 2p

2 + 2dd =

Z 2

0

ÃZ

3

sin

d

!d =

=

Z 2

0

³− cos |3

´d =

Z 2

0

µ+1 +

1

2

¶d =

= 3

3. Sa se calculeze aria domeniului marginit de curbele = 2 − 2 + = 0 Ideea: desen, si determinarea punctelor de inersectie. Punctele deintersectie:

= 2 − 2 + = 0

= − = 2 + 2

Solutii:

1 = 0 1 = 0 2 = −1 2 = 1

3.7. EXERCITII 65

=

Z 1

0

µZ −2−2

d

¶d =

=

Z 1

0

¡− − 2 + 2¢d =

= −3

3− −

2

2|10 =

−13+1

2=1

6

=

Z 0

−1

µZ −1−√+1

d

¶d = =

1

6

4. Sa se calculezeR[]

¡2 − 2

¢d + d unde (1 1) si (3 4) Ideea:

se foloseste parametrizarea segmentului [] :

= + (1− ) = 3+ (1− ) 1 = 1 + 2d = 2d

= + (1− ) = 4+ (1− ) 1 = 1 + 3d = 3d

Z[]

¡2 − 2

¢d+ d

=

Z 1

0

³(1 + 2)

2 − (1 + 3)2´2d+ (1 + 2) (1 + 3) 3d =

=

Z 1

0

¡−2 (5+ 2) + 182 + 15+ 3¢d ==

Z 1

0

¡82 + 11+ 3

¢d =

µ83

3+ 11

2

2+ 3

¶|10 =

5. Sa se calculezeR∞0

−4d SOC caR∞0

−4d = Γ (5) = 4! = 24

6. Sa se calculeze volumul comun cilindrilor de ecuatii 2+2 = 2 2+2 =2 Figura:


Formula:

= 2

Z Z2+2≤2

p2 − 2dd =

= 2

Z

−

p2 − 2d

Z √2−2−√2−2

d

= 4

Z

−

³p2 − 2

´2d =

= 4

Z

−

¡2 − 2

¢d = 4

µ2− 3

3

¶|− = 16

3

3

7. Sa se calculeze volumul corpului marginit de suprafetele 2+2 = 8 = 0 = 0 = 0 + + = 4 Figura:

3.7. EXERCITII 67

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

Solutia:

=

ZZ

(4− − ) dd

unde =©( ) |2 + 2 ≤ 8 ≥ 0 ≥ 0ª deci:

=

Z 2

0

ÃZ 2√2

0

(4− cos − sin ) d

!d =

=

Z 2

0

µ42

2− 3

3cos − 3

3sin

¶|=2

√2

=0 d =

=

Z 2

0

Ã16− 16

√2

3cos − 16

√2

3sin

!d =

= 8 − 323

√2


Capitolul 4

Câteva tabele utile

4.1 Tabel de integrale

1.Rd = +

2.Rd = +1

+1 + ; 6= −1

3.Rd = ln ||+ ; 6= 0

4.R

d+ = ln |+ |+ ; 6= −

5.R

d(+) = − 1

(−1)(+)−1 + ; 6= −

6.Rd = +

7.Rd = 1

+

8.Rcosd = sin+

9.Rsind = − cos+

10.Rcos () d = 1

sin () +

11.Rsin () d = − 1

cos () +

12.Rsinhd = cosh+

13.Rcoshd = sinh+

14.R

dcos2 = tg + ; 6=

2 + ∈ Z15.

Rd

sin2 = − ctg + ; 6= ∈ Z

16.Rtg d = − ln |cos|+ ; 6=

2 + ∈ Z17.

Rctg d = ln |sin|+ ; 6= ∈ Z

69

70 CAPITOLUL 4. CÂTEVA TABELE UTILE

18.R

sincos2 d =

1cos + ; 6=

2 + ∈ Z19.

Rcossin2

d = − 1sin + ; 6= ∈ Z

20.R

dsin = ln

¯tg

2

¯+ ; 6= ∈ Z

21.R

dcos = ln

¯tg¡2 +

4

¢¯+ ; 6=

2 + ∈ Z

22.R 0()

() d = ln | ()|+ ; () 6= 0

23.R

d√1−2 = arcsin+ ; || 1

24.R

d√2−2 = arcsin

+ ; ||

25.R

d√2−(−)2 = arcsin

− + ; |− | ||

26.R

d1+2 = arctg +

27.R

d2+2 =

1 arctg

+

28.R

d2+(−)2 =

1 arctg

− +

29.R

d√1+2

= ln¡+√1 + 2

¢+

30.R

d√2+2

= ln¡+√2 + 2

¢+

31.R

d√2−1 = ln

¯+√2 − 1¯+ ; || 1

32.R

d√2−2 = ln

¯+√2 − 2

¯+ ; || ||

33.R

d√2++

= ln¯+

2 +p2 + +

¯+ 1

34.R

d2−2 =

12 ln

¯−+

¯+ ; 6= ±

35.R

d2−2 =

12 ln

¯+−

¯+ ; 6= ±

36.R

d(−)(−) =

1− ln

¯−−

¯+ ; ∈ { }

37.R

√2−2 =

R√

2−(−)2 = arcsin− + ; 2− 2 0

38.Rcos2 d =

R1+cos 2

2 d = 2 +

sin 24 +

39.Rsin2 d =

R1−cos 2

2 d = 2 − sin 2

4 +

Remara 9 Toate formulele de mai sus se pot folosi pentru schimbarea de vari-

abila, înlocuind cu () si înmultind expresia de subRcu 0 () (vezi for-

mulele 3 si 22 de exemplu).

1De la 29 la 33 în paranteza apare jumatatea derivatei functiei de sub radical plus radicalul.

4.2. TABELE DE DERIVATE 71

4.2 Tabele de derivate

Functia Derivata Domeniu

(constanta) 0 R 1 R ( ≥ 1) −1 R ( ∈ R) −1 (0+∞)√ 1

2√

(0+∞)ln 1

(0+∞) R ( 0 6= 1) ln Rsin cos Rcos − sin Rtg 1

cos2 R\© + 2 ∈ Z

ªctg - 1

sin2 R\ { ∈ Z}

arcsin 1√1−2 (−1 1)

arccos - 1√1−2 (−1 1)

arctg 11+2 R

arcctg - 11+2 R

Functia Derivata Domeniu

0

( ≥ 1) −10

( ∈ R) −10 0√ ( ≥ 0) 1

2√0 0

ln 1

0 0 0

( 0 6= 1) ln · 0sin cos · 0cos − sin · 0tg (cos 6= 0) 1

cos2 0 cos 6= 0

ctg (sin 6= 0) - 1sin2

0 sin 6= 0arcsin

¡2 ≤ 1¢ 1√

1−20 2 1

arccos¡2 ≤ 1¢ - 1√

1−20 2 1

arctg 11+2

0

arcctg - 11+2

0

4.2.1 Formule de derivare

1. ( + )0 = 0 + 0

2. ()0= 0

3. ()0= 0 + 0

72 CAPITOLUL 4. CÂTEVA TABELE UTILE

4.³

´0= 0−0

2

4.3 Valorile functiilor trigonometrice pt. câteva

valori ale argumentului:

0

6

4

3

2

sin

√0

2

√1

2

√2

2

√3

2

√4

2

cos

√4

2

√3

2

√2

2

√1

2

√0

2

Documents

No¸tiuni de analiz ˘a matematic ˘a - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~gurzau/an I Bistrita/amcurs_var.pdf · Capitolul 1 Func¸tii de o variabil˘areal ˘a, calcul diferen¸tial