Notes for Ss

8/8/2019 Notes for Ss

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Brief Notes on Signals andSystems

By:

C. Sidney Burrus

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Brief Notes on Signals and

Systems

By:C. Sidney Burrus

C O N N E X I O N S

Rice University, Houston, Texas

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2 0 0 8 C . S i d n e y B u r r u s

T h i s s e l e c t i o n a n d a r r a n g e m e n t o f c o n t e n t i s l i c e n s e d u n d e r t h e C r e a t i v e C o m -

m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e :

h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /

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T a b l e o f C o n t e n t s

1 C o n t i n u o u s - T i m e S i g n a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 D i s c r e t e - T i m e S i g n a l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

3 D i s c r e t e - T i m e S y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

4 S a m p l i n g , U p S a m p l i n g , D o w n S a m p l i n g ,

a n d M u l t i R a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

B i b l i o g r a p h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3

A t t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8

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i v

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C h a p t e r 1

C o n t i n u o u s - T i m e S i g n a l s

1

S i g n a l s o c c u r i n a w i d e r a n g e o f p h y s i c a l p h e n o m e n o n . T h e y m i g h t b e

h u m a n s p e e c h , b l o o d p r e s s u r e v a r i a t i o n s w i t h t i m e , s e i s m i c w a v e s , r a d a r

a n d s o n a r s i g n a l s , p i c t u r e s o r i m a g e s , s t r e s s a n d s t r a i n s i g n a l s i n a b u i l d i n g

s t r u c t u r e , s t o c k m a r k e t p r i c e s , a c i t y ' s p o p u l a t i o n , o r t e m p e r a t u r e a c r o s s a

p l a t e . T h e s e s i g n a l s a r e o f t e n m o d e l e d o r r e p r e s e n t e d b y a r e a l o r c o m p l e x

v a l u e d m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n o f o n e o r m o r e v a r i a b l e s . F o r e x a m p l e ,

s p e e c h i s m o d e l e d b y a f u n c t i o n r e p r e s e n t i n g a i r p r e s s u r e v a r y i n g w i t h

t i m e . T h e f u n c t i o n i s a c t i n g a s a m a t h e m a t i c a l a n a l o g y t o t h e s p e e c h

s i g n a l a n d , t h e r e f o r e , i s c a l l e d a n a n a l o g s i g n a l . F o r t h e s e s i g n a l s , t h e

i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i s t i m e a n d i t c h a n g e s c o n t i n u o u s l y s o t h a t t h e t e r m

c o n t i n u o u s - t i m e s i g n a l i s a l s o u s e d . I n o u r d i s c u s s i o n , w e t a l k o f t h e

m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n a s t h e s i g n a l e v e n t h o u g h i t i s r e a l l y a m o d e l o r

r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p h y s i c a l s i g n a l .

T h e d e s c r i p t i o n o f s i g n a l s i n t e r m s o f t h e i r s i n u s o i d a l f r e q u e n c y c o n -

t e n t h a s p r o v e n t o b e o n e o f t h e m o s t p o w e r f u l t o o l s o f c o n t i n u o u s a n d

d i s c r e t e - t i m e s i g n a l d e s c r i p t i o n , a n a l y s i s , a n d p r o c e s s i n g . F o r t h a t r e a -

s o n , w e w i l l s t a r t t h e d i s c u s s i o n o f s i g n a l s w i t h a d e v e l o p m e n t o f F o u r i e r

t r a n s f o r m m e t h o d s . W e w i l l r s t r e v i e w t h e c o n t i n u o u s - t i m e m e t h o d s o f

t h e F o u r i e r s e r i e s ( F S ) , t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o r i n t e g r a l ( F T ) , a n d t h e

L a p l a c e t r a n s f o r m ( L T ) . N e x t t h e d i s c r e t e - t i m e m e t h o d s w i l l b e d e v e l o p e d

i n m o r e d e t a i l w i t h t h e d i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m ( D F T ) a p p l i e d t o n i t e

l e n g t h s i g n a l s f o l l o w e d b y t h e d i s c r e t e - t i m e F o u r i e r t r a n s f o r m ( D T F T ) f o r

i n n i t e l y l o n g s i g n a l s a n d e n d i n g w i t h t h e Z - t r a n s f o r m w h i c h a l l o w s t h e

p o w e r f u l t o o l s o f c o m p l e x v a r i a b l e t h e o r y t o b e a p p l i e d .

M o r e r e c e n t l y , a n e w t o o l h a s b e e n d e v e l o p e d f o r t h e a n a l y s i s o f s i g n a l s .

W a v e l e t s a n d w a v e l e t t r a n s f o r m s [ 3 2 ] , [ 9 ] , [ 2 0 ] , [ 6 0 ] , [ 5 6 ] a r e a n o t h e r m o r e

1

T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 6 9 2 0 / 1 . 1 / > .

1

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C H A P T E R 1 . C O N T I N U O U S - T I M E S I G N A L S

e x i b l e e x p a n s i o n s y s t e m t h a t a l s o c a n d e s c r i b e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e -

t i m e , n i t e o r i n n i t e d u r a t i o n s i g n a l s . W e w i l l v e r y b r i e y i n t r o d u c e t h e

i d e a s b e h i n d w a v e l e t - b a s e d s i g n a l a n a l y s i s .

1 . 1 T h e F o u r i e r S e r i e s

T h e p r o b l e m o f e x p a n d i n g a n i t e l e n g t h s i g n a l i n a t r i g o n o m e t r i c s e r i e s

w a s p o s e d a n d s t u d i e d i n t h e l a t e 1 7 0 0 ' s b y r e n o w n e d m a t h e m a t i c i a n s

s u c h a s B e r n o u l l i , d ' A l e m b e r t , E u l e r , L a g r a n g e , a n d G a u s s . I n d e e d , w h a t

w e n o w c a l l t h e F o u r i e r s e r i e s a n d t h e f o r m u l a s f o r t h e c o e c i e n t s w e r e

u s e d b y E u l e r i n 1 7 8 0 . H o w e v e r , i t w a s t h e p r e s e n t a t i o n i n 1 8 0 7 a n d

t h e p a p e r i n 1 8 2 2 b y F o u r i e r s t a t i n g t h a t a n a r b i t r a r y f u n c t i o n c o u l d

b e r e p r e s e n t e d b y a s e r i e s o f s i n e s a n d c o s i n e s t h a t b r o u g h t t h e p r o b l e m

t o e v e r y o n e ' s a t t e n t i o n a n d s t a r t e d s e r i o u s t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n s a n d

p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s t h a t c o n t i n u e t o t h i s d a y [ 3 1 ] , [ 1 2 ] , [ 3 7 ] , [ 3 6 ] , [ 2 8 ] ,

[ 4 5 ] . T h e t h e o r e t i c a l w o r k h a s b e e n a t t h e c e n t e r o f a n a l y s i s a n d t h e

p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s h a v e b e e n o f m a j o r s i g n i c a n c e i n v i r t u a l l y e v e r y

e l d o f q u a n t i t a t i v e s c i e n c e a n d t e c h n o l o g y . F o r t h e s e r e a s o n s a n d o t h -

e r s , t h e F o u r i e r s e r i e s i s w o r t h o u r s e r i o u s a t t e n t i o n i n a s t u d y o f s i g n a l

p r o c e s s i n g .

1 . 1 . 1 D e n i t i o n o f t h e F o u r i e r S e r i e s

W e a s s u m e t h a t t h e s i g n a l x (t) t o b e a n a l y z e d i s w e l l d e s c r i b e d b y a r e a l o r c o m p l e x v a l u e d f u n c t i o n o f a r e a l v a r i a b l e t d e n e d o v e r a n i t e i n t e r v a l {0 t T}. T h e t r i g o n o m e t r i c s e r i e s e x p a n s i o n o f x (t) i s g i v e n b y

x (t) =

a (0)

2 +

k=1 a (k) cos

2T kt

+ b (k) sin

2T kt

.

( 1 . 1 )

w h e r e xk (t) = cos (2kt/T) a n d yk (t) = sin (2kt/T) a r e t h e b a s i s f u n c - t i o n s f o r t h e e x p a n s i o n . T h e e n e r g y o r p o w e r i n a n e l e c t r i c a l , m e c h a n i c a l ,

e t c . s y s t e m i s a f u n c t i o n o f t h e s q u a r e o f v o l t a g e , c u r r e n t , v e l o c i t y , p r e s -

s u r e , e t c . F o r t h i s r e a s o n , t h e n a t u r a l s e t t i n g f o r a r e p r e s e n t a t i o n o f

s i g n a l s i s t h e H i l b e r t s p a c e o f L2 [0, T]. T h i s m o d e r n f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m i s d e v e l o p e d i n [ 2 6 ] , [ 3 7 ] . T h e s i n u s o i d a l b a s i s f u n c t i o n s i n t h e

t r i g o n o m e t r i c e x p a n s i o n f o r m a c o m p l e t e o r t h o g o n a l s e t i n L2 [0, T]. T h e o r t h o g o n a l i t y i s e a s i l y s e e n f r o m i n n e r p r o d u c t s

cos

2T

kt

, cos2T

t

=T0

cos

2T

kt

cos2T

t

dt = (k )( 1 . 2 )

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3

a n dcos

2

Tkt

, sin

2

Tt

=

T0

cos

2

Tkt

sin

2

Tt

dt = 0

( 1 . 3 )

w h e r e (t) i s t h e K r o n e c k e r d e l t a f u n c t i o n w i t h (0) = 1 a n d (k = 0) =0. B e c a u s e o f t h i s , t h e k t h c o e c i e n t s i n t h e s e r i e s c a n b e f o u n d b y t a k i n g t h e i n n e r p r o d u c t o f x (t) w i t h t h e k t h b a s i s f u n c t i o n s . T h i s g i v e s f o r t h e c o e c i e n t s

a (k) = 2TT0

x (t) cos

2T kt

dt ( 1 . 4 )

a n d

b (k) =2

T

T0

x (t) sin

2

Tkt

dt ( 1 . 5 )

w h e r e T i s t h e t i m e i n t e r v a l o f i n t e r e s t o r t h e p e r i o d o f a p e r i o d i c s i g n a l . B e c a u s e o f t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e b a s i s f u n c t i o n s , a n i t e F o u r i e r s e r i e s

f o r m e d b y t r u n c a t i n g t h e i n n i t e s e r i e s i s a n o p t i m a l l e a s t s q u a r e d e r r o r

a p p r o x i m a t i o n t o x (t) . I f t h e n i t e s e r i e s i s d e n e d b y

x (t) =a (0)

2+

Nk=1

a (k) cos

2

Tkt

+ b (k) sin

2

Tkt

, ( 1 . 6 )

t h e s q u a r e d e r r o r i s

=1

T T

0

|x (t) x (t) |2

dt ( 1 . 7 )

w h i c h i s m i n i m i z e d o v e r a l l a (k) a n d b (k) b y ( ( 1 . 4 ) ) a n d ( ( 1 . 5 ) ) . T h i s i s a n e x t r a o r d i n a r i l y i m p o r t a n t p r o p e r t y .

I t f o l l o w s t h a t i f x (t) L2 [0, T], t h e n t h e s e r i e s c o n v e r g e s t o x (t) i nt h e s e n s e t h a t 0 a s N [ 2 6 ] , [ 3 7 ] . T h e q u e s t i o n o f p o i n t - w i s e c o n v e r g e n c e i s m o r e d i c u l t . A s u c i e n t c o n d i t i o n t h a t i s a d e q u a t e f o r

m o s t a p p l i c a t i o n s t a t e s : I f f(x) i s b o u n d e d , i s p i e c e - w i s e c o n t i n u o u s , a n d h a s n o m o r e t h a n a n i t e n u m b e r o f m a x i m a o v e r a n i n t e r v a l , t h e F o u r i e r

s e r i e s c o n v e r g e s p o i n t - w i s e t o f(x) a t a l l p o i n t s o f c o n t i n u i t y a n d t o t h e a r i t h m e t i c m e a n a t p o i n t s o f d i s c o n t i n u i t i e s . I f

f(x)i s c o n t i n u o u s , t h e

s e r i e s c o n v e r g e s u n i f o r m l y a t a l l p o i n t s [ 3 7 ] , [ 3 1 ] , [ 1 2 ] .

A u s e f u l c o n d i t i o n [ 2 6 ] , [ 3 7 ] s t a t e s t h a t i f x (t) a n d i t s d e r i v a t i v e s t h r o u g h t h e q t h d e r i v a t i v e a r e d e n e d a n d h a v e b o u n d e d v a r i a t i o n , t h e F o u r i e r c o e c i e n t s a (k) a n d b (k) a s y m p t o t i c a l l y d r o p o a t l e a s t a s f a s t

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a s

1kq+1 a s k . T h i s t i e s g l o b a l r a t e s o f c o n v e r g e n c e o f t h e c o e c i e n t s

t o l o c a l s m o o t h n e s s c o n d i t i o n s o f t h e f u n c t i o n .

T h e f o r m o f t h e F o u r i e r s e r i e s u s i n g b o t h s i n e s a n d c o s i n e s m a k e s

d e t e r m i n a t i o n o f t h e p e a k v a l u e o r o f t h e l o c a t i o n o f a p a r t i c u l a r f r e q u e n c y

t e r m d i c u l t . A d i e r e n t f o r m t h a t e x p l i c i t l y g i v e s t h e p e a k v a l u e o f t h e

s i n u s o i d o f t h a t f r e q u e n c y a n d t h e l o c a t i o n o r p h a s e s h i f t o f t h a t s i n u s o i d

i s g i v e n b y

x (t) =d (0)

2+

k=1d (k) cos

2

Tkt + (k)

( 1 . 8 )

a n d , u s i n g E u l e r ' s r e l a t i o n a n d t h e u s u a l e l e c t r i c a l e n g i n e e r i n g n o t a t i o n

o f j =1,

ejx = cos (x) + jsin (x) , ( 1 . 9 )

t h e c o m p l e x e x p o n e n t i a l f o r m i s o b t a i n e d a s

x (t) =

k=c (k) ej

2T

kt( 1 . 1 0 )

w h e r e

c (k) = a (k) + j b (k) . ( 1 . 1 1 )

T h e c o e c i e n t e q u a t i o n i s

c (k) =1

T

T0

x (t) ej2T

ktdt ( 1 . 1 2 )

T h e c o e c i e n t s i n t h e s e t h r e e f o r m s a r e r e l a t e d b y

|d|2 = |c|2 = a2 + b2 ( 1 . 1 3 ) a n d

= arg{c} = tan1

b

a

( 1 . 1 4 )

I t i s e a s i e r t o e v a l u a t e a s i g n a l i n t e r m s o f c (k) o r d (k) a n d (k) t h a n i n t e r m s o f a (k) a n d b (k) . T h e r s t t w o a r e p o l a r r e p r e s e n t a t i o n o f a c o m p l e x v a l u e a n d t h e l a s t i s r e c t a n g u l a r . T h e e x p o n e n t i a l f o r m i s e a s i e r

t o w o r k w i t h m a t h e m a t i c a l l y .

A l t h o u g h t h e f u n c t i o n t o b e e x p a n d e d i s d e n e d o n l y o v e r a s p e c i c

n i t e r e g i o n , t h e s e r i e s c o n v e r g e s t o a f u n c t i o n t h a t i s d e n e d o v e r t h e r e a l

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l i n e a n d i s p e r i o d i c . I t i s e q u a l t o t h e o r i g i n a l f u n c t i o n o v e r t h e r e g i o n

o f d e n i t i o n a n d i s a p e r i o d i c e x t e n s i o n o u t s i d e o f t h e r e g i o n . I n d e e d ,

o n e c o u l d a r t i c i a l l y e x t e n d t h e g i v e n f u n c t i o n a t t h e o u t s e t a n d t h e n t h e

e x p a n s i o n w o u l d c o n v e r g e e v e r y w h e r e .

1 . 1 . 2 A G e o m e t r i c V i e w

I t c a n b e v e r y h e l p f u l t o d e v e l o p a g e o m e t r i c v i e w o f t h e F o u r i e r s e r i e s

w h e r e x (t) i s c o n s i d e r e d t o b e a v e c t o r a n d t h e b a s i s f u n c t i o n s a r e t h e c o o r d i n a t e o r b a s i s v e c t o r s . T h e c o e c i e n t s b e c o m e t h e p r o j e c t i o n s o f

x (t)o n t h e c o o r d i n a t e s . T h e i d e a s o f a m e a s u r e o f d i s t a n c e , s i z e , a n d

o r t h o g o n a l i t y a r e i m p o r t a n t a n d t h e d e n i t i o n o f e r r o r i s e a s y t o p i c t u r e .

T h i s i s d o n e i n [ 2 6 ] , [ 3 7 ] , [ 6 2 ] u s i n g H i l b e r t s p a c e m e t h o d s .

1 . 1 . 3 P r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r S e r i e s

T h e p r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r s e r i e s a r e i m p o r t a n t i n a p p l y i n g i t t o s i g n a l

a n a l y s i s a n d t o i n t e r p r e t i n g i t . T h e m a i n p r o p e r t i e s a r e g i v e n h e r e u s i n g

t h e n o t a t i o n t h a t t h e F o u r i e r s e r i e s o f a r e a l v a l u e d f u n c t i o n x (t) o v e r

{0

t

T

}i s g i v e n b y

F{x (t)

}= c (k) a n d x (t) d e n o t e s t h e p e r i o d i c

e x t e n s i o n s o f x (t).

1 . L i n e a r : F{x + y} = F{x} + F{y} I d e a o f s u p e r p o s i t i o n . A l s o s c a l a b i l i t y : F{ax} = aF{x}

2 . E x t e n s i o n s o f x (t) : x (t) = x (t + T)x (t) i s p e r i o d i c . 3 . E v e n a n d O d d P a r t s : x (t) = u (t) + jv (t) a n d C(k) = A (k) +

jB (k) = |C(k) | ej(k)

u v A B |C| e v e n 0 e v e n 0 e v e n 0

o d d 0 0 o d d e v e n 0

0 e v e n 0 e v e n e v e n /2

0 o d d o d d 0 e v e n /2

T a b l e 1 . 1

4 . C o n v o l u t i o n : I f c o n t i n u o u s c y c l i c c o n v o l u t i o n i s d e n e d b y

y (t) = h (t) x (t) =T0

h (t ) x () d ( 1 . 1 5 )

t h e n F{h (t) x (t)} = F{h (t)}F{x (t)}

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6


5 . M u l t i p l i c a t i o n : I f d i s c r e t e c o n v o l u t i o n i s d e n e d b y

e (n) = d (n) c (n) =

m=

d (m) c (n m) ( 1 . 1 6 )

t h e n F{h (t) x (t)} = F{h (t)} F{x (t)} T h i s p r o p e r t y i s t h e i n v e r s e o f p r o p e r t y 4 a n d v i c e v e r s a .

6 . P a r s e v a l :

1T

T0

|x (t) |2dt = k= |C(k) |2 T h i s p r o p e r t y s a y s t h e e n e r g y c a l c u l a t e d i n t h e t i m e d o m a i n i s t h e s a m e a s t h a t c a l c u -

l a t e d i n t h e f r e q u e n c y ( o r F o u r i e r ) d o m a i n .

7 . S h i f t :

F{x (t t0)} = C(k) ej2t0k/T

A s h i f t i n t h e t i m e d o m a i n

r e s u l t s i n a l i n e a r p h a s e s h i f t i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n .

8 . M o d u l a t e : F{x (t) ej2Kt/T} = C(k K) M o d u l a t i o n i n t h e t i m e

d o m a i n r e s u l t s i n a s h i f t i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n . T h i s p r o p e r t y i s

t h e i n v e r s e o f p r o p e r t y 7 .

9 . O r t h o g o n a l i t y o f b a s i s f u n c t i o n s :

T0

ej2mt/T ej2nt/T dt = T (n m) = { T i f n = m0 i f n = m.

( 1 . 1 7 )

O r t h o g o n a l i t y a l l o w s t h e c a l c u l a t i o n o f c o e c i e n t s u s i n g i n n e r p r o d -

u c t s i n ( ( 1 . 4 ) ) a n d ( ( 1 . 5 ) ) . I t a l s o a l l o w s P a r s e v a l ' s T h e o r e m i n p r o p -

e r t y 6 . A r e l a x e d v e r s i o n o f o r t h o g o n a l i t y i s c a l l e d t i g h t f r a m e s "

a n d i s i m p o r t a n t i n o v e r - s p e c i e d s y s t e m s , e s p e c i a l l y i n w a v e l e t s .

1 . 1 . 4 E x a m p l e s

A n e x a m p l e o f t h e F o u r i e r s e r i e s i s t h e e x p a n s i o n o f a s q u a r e w a v e

s i g n a l w i t h p e r i o d 2 . T h e e x p a n s i o n i s

x (t) =4

sin (t) +

1

3sin (3t) +

1

5sin (5t)

. ( 1 . 1 8 )

B e c a u s e x (t) i s o d d , t h e r e a r e n o c o s i n e t e r m s ( a l l a (k) = 0) a n d , b e c a u s e o f i t s s y m m e t r i e s , t h e r e a r e n o e v e n h a r m o n i c s ( e v e n k t e r m s a r e z e r o ) . T h e f u n c t i o n i s w e l l d e n e d a n d b o u n d e d ; i t s d e r i v a t i v e

i s n o t , t h e r e f o r e , t h e c o e c i e n t s d r o p o a s

1k .

A s e c o n d e x a m p l e i s a t r i a n g l e w a v e o f p e r i o d

2. T h i s i s a c o n t i n -

u o u s f u n c t i o n w h e r e t h e s q u a r e w a v e w a s n o t . T h e e x p a n s i o n o f t h e

t r i a n g l e w a v e i s

x (t) =4

sin (t) 1

32sin (3t) +

1

52sin (5t) +

. ( 1 . 1 9 )

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H e r e t h e c o e c i e n t s d r o p o a s

1k2 s i n c e t h e f u n c t i o n a n d i t s r s t

d e r i v a t i v e e x i s t a n d a r e b o u n d e d .

N o t e t h e d e r i v a t i v e o f a t r i a n g l e w a v e i s a s q u a r e w a v e . E x a m i n e t h e

s e r i e s c o e c i e n t s t o s e e t h i s . T h e r e a r e m a n y b o o k s a n d w e b s i t e s o n t h e

F o u r i e r s e r i e s t h a t g i v e i n s i g h t t h r o u g h e x a m p l e s a n d d e m o s .

1 . 1 . 5 T h e o r e m s o n t h e F o u r i e r S e r i e s

F o u r o f t h e m o s t i m p o r t a n t t h e o r e m s i n t h e t h e o r y o f F o u r i e r a n a l y s i s

a r e t h e i n v e r s i o n t h e o r e m , t h e c o n v o l u t i o n t h e o r e m , t h e d i e r e n t i a t i o n

t h e o r e m , a n d P a r s e v a l ' s t h e o r e m [ 1 3 ] .

T h e i n v e r s i o n t h e o r e m i s t h e t r u t h o f t h e t r a n s f o r m p a i r g i v e n i n ( ( 1 . 1 ) ) , ( ( 1 . 4 ) ) , a n d ( ( 1 . 5 ) ) . .

T h e c o n v o l u t i o n t h e o r e m i s p r o p e r t y 4 . T h e d i e r e n t i a t i o n t h e o r e m s a y s t h a t t h e t r a n s f o r m o f t h e d e r i v a t i v e

o f a f u n c t i o n i s j t i m e s t h e t r a n s f o r m o f t h e f u n c t i o n . P a r s e v a l ' s t h e o r e m i s g i v e n i n p r o p e r t y 6 .

A l l o f t h e s e a r e b a s e d o n t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e b a s i s f u n c t i o n o f t h e

F o u r i e r s e r i e s a n d i n t e g r a l a n d a l l r e q u i r e k n o w l e d g e o f t h e c o n v e r g e n c e

o f t h e s u m s a n d i n t e g r a l s . T h e p r a c t i c a l a n d t h e o r e t i c a l u s e o f F o u r i e r

a n a l y s i s i s g r e a t l y e x p a n d e d i f u s e i s m a d e o f d i s t r i b u t i o n s o r g e n e r a l i z e d

f u n c t i o n s ( e . g . D i r a c d e l t a f u n c t i o n s , (t) ) [ 4 8 ] , [ 3 ] . B e c a u s e e n e r g y i s a n i m p o r t a n t m e a s u r e o f a f u n c t i o n i n s i g n a l p r o c e s s i n g a p p l i c a t i o n s , t h e

H i l b e r t s p a c e o f L2 f u n c t i o n s i s a p r o p e r s e t t i n g f o r t h e b a s i c t h e o r y a n d a g e o m e t r i c v i e w c a n b e e s p e c i a l l y u s e f u l [ 2 6 ] , [ 1 3 ] .

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m s a n d r e s u l t s c o n c e r n t h e e x i s t e n c e a n d c o n v e r -

g e n c e o f t h e F o u r i e r s e r i e s a n d t h e d i s c r e t e - t i m e F o u r i e r t r a n s f o r m [ 4 6 ] .

D e t a i l s , d i s c u s s i o n s a n d p r o o f s c a n b e f o u n d i n t h e c i t e d r e f e r e n c e s .

I f f(x) h a s b o u n d e d v a r i a t i o n i n t h e i n t e r v a l (, ), t h e F o u r i e r s e r i e s c o r r e s p o n d i n g t o f(x) c o n v e r g e s t o t h e v a l u e f(x) a t a n y p o i n t w i t h i n t h e i n t e r v a l , a t w h i c h t h e f u n c t i o n i s c o n t i n u o u s ; i t

c o n v e r g e s t o t h e v a l u e

12 [f(x + 0) + f(x 0)] a t a n y s u c h p o i n t a t

w h i c h t h e f u n c t i o n i s d i s c o n t i n u o u s . A t t h e p o i n t s , i t c o n v e r g e s t o t h e v a l u e

12 [f( + 0) + f( 0)]. [ 3 1 ]

I f f(x) i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n i n (

, ) , t h e F o u r i e r s e r i e s c o n -

v e r g e s t o f(x) , u n i f o r m l y i n a n y i n t e r v a l (a, b) i n w h i c h f(x) i sc o n t i n u o u s , t h e c o n t i n u i t y a t a a n d b b e i n g o n b o t h s i d e s . [ 3 1 ]

I f f(x) i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n i n (, ) , t h e F o u r i e r s e r i e s c o n - v e r g e s t o

12 [f(x + 0) + f(x 0)], b o u n d e d t h r o u g h o u t t h e i n t e r v a l

(, ) . [ 3 1 ]

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I f f(x) i s b o u n d e d a n d i f i t i s c o n t i n u o u s i n i t s d o m a i n a t e v e r y p o i n t , w i t h t h e e x c e p t i o n o f a n i t e n u m b e r o f p o i n t s a t w h i c h i t m a y

h a v e o r d i n a r y d i s c o n t i n u i t i e s , a n d i f t h e d o m a i n m a y b e d i v i d e d i n t o

a n i t e n u m b e r o f p a r t s , s u c h t h a t i n a n y o n e o f t h e m t h e f u n c t i o n i s

m o n o t o n e ; o r , i n o t h e r w o r d s , t h e f u n c t i o n h a s o n l y a n i t e n u m b e r

o f m a x i m a a n d m i n i m a i n i t s d o m a i n , t h e F o u r i e r s e r i e s o f f(x) c o n - v e r g e s t o f(x) a t p o i n t s o f c o n t i n u i t y a n d t o 12 [f(x + 0) + f(x 0)]a t p o i n t s o f d i s c o n t i n u i t y . [ 3 1 ] , [ 1 2 ]

I f f(x) i s s u c h t h a t , w h e n t h e a r b i t r a r i l y s m a l l n e i g h b o r h o o d s o f a n i t e n u m b e r o f p o i n t s i n w h o s e n e i g h b o r h o o d |f(x) | h a s n o u p p e r b o u n d h a v e b e e n e x c l u d e d ,

f(x)b e c o m e s a f u n c t i o n w i t h

b o u n d e d v a r i a t i o n , t h e n t h e F o u r i e r s e r i e s c o n v e r g e s t o t h e v a l u e

12 [f(x + 0) + f(x 0)], a t e v e r y p o i n t i n (, ) , e x c e p t t h e p o i n t s

o f i n n i t e d i s c o n t i n u i t y o f t h e f u n c t i o n , p r o v i d e d t h e i m p r o p e r i n -

t e g r a l

f(x) dx e x i s t , a n d i s a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t . [ 3 1 ] I f f i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n , t h e F o u r i e r s e r i e s o f f c o n v e r g e s a t e v e r y

p o i n t x t o t h e v a l u e [f(x + 0) + f(x 0)] /2. I f f i s , i n a d d i t i o n , c o n t i n u o u s a t e v e r y p o i n t o f a n i n t e r v a l I = (a, b), i t s F o u r i e r s e r i e s i s u n i f o r m l y c o n v e r g e n t i n I. [ 6 4 ]

I f a (k) a n d b (k) a r e a b s o l u t e l y s u m m a b l e , t h e F o u r i e r s e r i e s c o n - v e r g e s u n i f o r m l y t o f(x) w h i c h i s c o n t i n u o u s . [ 4 6 ]

I f a (k) a n d b (k) a r e s q u a r e s u m m a b l e , t h e F o u r i e r s e r i e s c o n v e r g e s t o f(x) w h e r e i t i s c o n t i n u o u s , b u t n o t n e c e s s a r i l y u n i f o r m l y . [ 4 6 ]

S u p p o s e t h a t f(x) i s p e r i o d i c , o f p e r i o d X, i s d e n e d a n d b o u n d e d o n [0, X] a n d t h a t a t l e a s t o n e o f t h e f o l l o w i n g f o u r c o n d i t i o n s i s s a t i s e d : ( i ) f i s p i e c e w i s e m o n o t o n i c o n [0, X], ( i i ) f h a s a n i t e n u m b e r o f m a x i m a a n d m i n i m a o n [0, X] a n d a n i t e n u m b e r o f d i s c o n t i n u i t i e s o n [0, X], ( i i i ) f i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n [0, X], ( i v )

fi s p i e c e w i s e s m o o t h o n

[0, X]: t h e n i t w i l l f o l l o w t h a t t h e F o u r i e r

s e r i e s c o e c i e n t s m a y b e d e n e d t h r o u g h t h e d e n i n g i n t e g r a l , u s i n g

p r o p e r R i e m a n n i n t e g r a l s , a n d t h a t t h e F o u r i e r s e r i e s c o n v e r g e s t o

f(x) a t a . a . x, t o f(x) a t e a c h p o i n t o f c o n t i n u i t y o f f, a n d t o t h e v a l u e

12 [f(x

) + f(x+)] a t a l l x . [ 1 3 ] F o r a n y 1 p < a n d a n y f Cp S1 , t h e p a r t i a l s u m s

Sn = Sn (f) =|k|n

f (k) ek ( 1 . 2 0 )

c o n v e r g e t o f, u n i f o r m l y a s n ; i n f a c t , ||Sn f|| i s b o u n d e d b y a c o n s t a n t m u l t i p l e o f np+1/2 . [ 2 6 ]

T h e F o u r i e r s e r i e s e x p a n s i o n r e s u l t s i n t r a n s f o r m i n g a p e r i o d i c , c o n t i n u o u s

t i m e f u n c t i o n , x (t) , t o t w o d i s c r e t e i n d e x e d f r e q u e n c y f u n c t i o n s , a (k) a n d

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b (k) t h a t a r e n o t p e r i o d i c .

1 . 2 T h e F o u r i e r T r a n s f o r m

M a n y p r a c t i c a l p r o b l e m s i n s i g n a l a n a l y s i s i n v o l v e e i t h e r i n n i t e l y l o n g

o r v e r y l o n g s i g n a l s w h e r e t h e F o u r i e r s e r i e s i s n o t a p p r o p r i a t e . F o r t h e s e

c a s e s , t h e F o u r i e r t r a n s f o r m ( F T ) a n d i t s i n v e r s e ( I F T ) h a v e b e e n d e -

v e l o p e d . T h i s t r a n s f o r m h a s b e e n u s e d w i t h g r e a t s u c c e s s i n v i r t u a l l y

a l l q u a n t i t a t i v e a r e a s o f s c i e n c e a n d t e c h n o l o g y w h e r e t h e c o n c e p t o f f r e -

q u e n c y i s i m p o r t a n t . W h i l e t h e F o u r i e r s e r i e s w a s u s e d b e f o r e F o u r i e r

w o r k e d o n i t , t h e F o u r i e r t r a n s f o r m s e e m s t o b e h i s o r i g i n a l i d e a . I t c a n

b e d e r i v e d a s a n e x t e n s i o n o f t h e F o u r i e r s e r i e s b y l e t t i n g t h e l e n g t h o r

p e r i o d T i n c r e a s e t o i n n i t y o r t h e F o u r i e r t r a n s f o r m c a n b e i n d e p e n - d e n t l y d e n e d a n d t h e n t h e F o u r i e r s e r i e s s h o w n t o b e a s p e c i a l c a s e o f

i t . T h e l a t t e r a p p r o a c h i s t h e m o r e g e n e r a l o f t h e t w o , b u t t h e f o r m e r i s

m o r e i n t u i t i v e [ 4 8 ] , [ 3 ] .

1 . 2 . 1 D e n i t i o n o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m

T h e F o u r i e r t r a n s f o r m ( F T ) o f a r e a l - v a l u e d ( o r c o m p l e x ) f u n c t i o n o f t h e

r e a l - v a r i a b l e t i s d e n e d b y

X() =

x (t) ejt dt ( 1 . 2 1 )

g i v i n g a c o m p l e x v a l u e d f u n c t i o n o f t h e r e a l v a r i a b l e r e p r e s e n t i n g f r e q u e n c y . T h e i n v e r s e F o u r i e r t r a n s f o r m ( I F T ) i s g i v e n b y

x (t) =

1

2 X() e

jt

d.( 1 . 2 2 )

B e c a u s e o f t h e i n n i t e l i m i t s o n b o t h i n t e g r a l s , t h e q u e s t i o n o f c o n v e r -

g e n c e i s i m p o r t a n t . T h e r e a r e u s e f u l p r a c t i c a l s i g n a l s t h a t d o n o t h a v e

F o u r i e r t r a n s f o r m s i f o n l y c l a s s i c a l f u n c t i o n s a r e a l l o w e d b e c a u s e o f p r o b -

l e m s w i t h c o n v e r g e n c e . T h e u s e o f d e l t a f u n c t i o n s ( d i s t r i b u t i o n s ) i n b o t h

t h e t i m e a n d f r e q u e n c y d o m a i n s a l l o w s a m u c h l a r g e r c l a s s o f s i g n a l s t o

b e r e p r e s e n t e d [ 4 8 ] .

1 . 2 . 2 P r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m

T h e p r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m a r e s o m e w h a t p a r a l l e l t o t h o s e o f

t h e F o u r i e r s e r i e s a n d a r e i m p o r t a n t i n a p p l y i n g i t t o s i g n a l a n a l y s i s a n d

i n t e r p r e t i n g i t . T h e m a i n p r o p e r t i e s a r e g i v e n h e r e u s i n g t h e n o t a t i o n

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1 0


t h a t t h e F T o f a r e a l v a l u e d f u n c t i o n x (t) o v e r a l l t i m e t i s g i v e n b y

F{x} = X().

1 . L i n e a r : F{x + y} = F{x} + F{y}

2 . E v e n a n d O d d n e s s : i f x (t) = u (t) + jv (t) a n d X() = A () +jB () t h e n

u v A B |X| e v e n 0 e v e n 0 e v e n 0



0 o d d o d d 0 e v e n /2

T a b l e 1 . 2

3 . C o n v o l u t i o n : I f c o n t i n u o u s c o n v o l u t i o n i s d e n e d b y :

y (t) = h (t) x (t) = h (t ) x () d =

h () x (t ) d( 1 . 2 3 )

t h e n F{h (t) x (t)} = F{h (t)}F{x (t)}

4 . M u l t i p l i c a t i o n : F{h (t) x (t)} = 12F{h (t)} F {x (t)}5 . P a r s e v a l :

|x (t) |2dt = 12

|X() |2d6 . S h i f t : F{x (t T)} = X() ejT7 . M o d u l a t e : F{x (t) ej2Kt} = X( 2K)8 . D e r i v a t i v e :

F{dx

dt }= jX()

9 . S t r e t c h : F{x (at)} = 1|a|X(/a)1 0 . O r t h o g o n a l i t y :

ej1tej2t = 2 (1 2)

1 . 2 . 3 E x a m p l e s o f t h e F o u r i e r T r a n s f o r m

D e r i v i n g a f e w b a s i c t r a n s f o r m s a n d u s i n g t h e p r o p e r t i e s a l l o w s a l a r g e

c l a s s o f s i g n a l s t o b e e a s i l y s t u d i e d . E x a m p l e s o f m o d u l a t i o n , s a m p l i n g ,

a n d o t h e r s w i l l b e g i v e n .

I f x (t) = (t) t h e n X() = 1 I f x (t) = 1 t h e n X() = 2 () I f x (t) i s a n i n n i t e s e q u e n c e o f d e l t a f u n c t i o n s s p a c e d T a p a r t ,

x (t) =

n= (t nT), i t s t r a n s f o r m i s a l s o a n i n n i t e s e q u e n c e

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1 1

o f d e l t a f u n c t i o n s o f w e i g h t 2/T s p a c e d 2/T a p a r t , X() =

2

k= ( 2k/T) . O t h e r i n t e r e s t i n g a n d i l l u s t r a t i v e e x a m p l e s c a n b e f o u n d i n [ 4 8 ] , [ 3 ] .

N o t e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m t a k e s a f u n c t i o n o f c o n t i n u o u s t i m e i n t o a

f u n c t i o n o f c o n t i n u o u s f r e q u e n c y , n e i t h e r f u n c t i o n b e i n g p e r i o d i c . I f d i s -

t r i b u t i o n " o r d e l t a f u n c t i o n s " a r e a l l o w e d , t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f a

p e r i o d i c f u n c t i o n w i l l b e a i n n i t e l y l o n g s t r i n g o f d e l t a f u n c t i o n s w i t h

w e i g h t s t h a t a r e t h e F o u r i e r s e r i e s c o e c i e n t s .

1 . 3 T h e L a p l a c e T r a n s f o r m

T h e L a p l a c e t r a n s f o r m c a n b e t h o u g h t o f a s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e F o u r i e r

t r a n s f o r m i n o r d e r t o i n c l u d e a l a r g e r c l a s s o f f u n c t i o n s , t o a l l o w t h e u s e o f

c o m p l e x v a r i a b l e t h e o r y , t o s o l v e i n i t i a l v a l u e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , a n d

t o g i v e a t o o l f o r i n p u t - o u t p u t d e s c r i p t i o n o f l i n e a r s y s t e m s . I t s u s e i n

s y s t e m a n d s i g n a l a n a l y s i s b e c a m e p o p u l a r i n t h e 1 9 5 0 ' s a n d r e m a i n s a s

t h e c e n t r a l t o o l f o r m u c h o f c o n t i n u o u s t i m e s y s t e m t h e o r y . T h e q u e s t i o n

o f c o n v e r g e n c e b e c o m e s s t i l l m o r e c o m p l i c a t e d a n d d e p e n d s o n c o m p l e x

v a l u e s o f s u s e d i n t h e i n v e r s e t r a n s f o r m w h i c h m u s t b e i n a r e g i o n o f c o n v e r g e n c e " ( R O C ) .

1 . 3 . 1 D e n i t i o n o f t h e L a p l a c e T r a n s f o r m

T h e d e n i t i o n o f t h e L a p l a c e t r a n s f o r m ( L T ) o f a r e a l v a l u e d f u n c t i o n

d e n e d o v e r a l l p o s i t i v e t i m e t i s

F (s) =

f(t) est dt ( 1 . 2 4 )

a n d t h e i n v e r s e t r a n s f o r m ( I L T ) i s g i v e n b y t h e c o m p l e x c o n t o u r i n t e g r a l

f(t) =1

2j

c+jcj

F(s) est ds ( 1 . 2 5 )

w h e r e s = + j i s a c o m p l e x v a r i a b l e a n d t h e p a t h o f i n t e g r a t i o n f o r t h e I L T m u s t b e i n t h e r e g i o n o f t h e s p l a n e w h e r e t h e L a p l a c e t r a n s f o r m i n t e g r a l c o n v e r g e s . T h i s d e n i t i o n i s o f t e n c a l l e d t h e b i l a t e r a l L a p l a c e

t r a n s f o r m t o d i s t i n g u i s h i t f r o m t h e u n i l a t e r a l t r a n s f o r m ( U L T ) w h i c h

i s d e n e d w i t h z e r o a s t h e l o w e r l i m i t o f t h e f o r w a r d t r a n s f o r m i n t e g r a l

( ( 1 . 2 4 ) ) . U n l e s s s t a t e d o t h e r w i s e , w e w i l l b e u s i n g t h e b i l a t e r a l t r a n s f o r m .

N o t i c e t h a t t h e L a p l a c e t r a n s f o r m b e c o m e s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o n

t h e i m a g i n a r y a x i s , f o r s = j . I f t h e R O C i n c l u d e s t h e j a x i s , t h e

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1 2


F o u r i e r t r a n s f o r m e x i s t s b u t i f i t d o e s n o t , o n l y t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f

t h e f u n c t i o n e x i s t s .

T h e r e i s a c o n s i d e r a b l e l i t e r a t u r e o n t h e L a p l a c e t r a n s f o r m a n d i t s u s e

i n c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m t h e o r y . W e w i l l d e v e l o p m o s t o f t h e s e i d e a s f o r

t h e d i s c r e t e - t i m e s y s t e m i n t e r m s o f t h e z - t r a n s f o r m l a t e r i n t h i s c h a p t e r

a n d w i l l o n l y b r i e y c o n s i d e r o n l y t h e m o r e i m p o r t a n t p r o p e r t i e s h e r e .

T h e u n i l a t e r a l L a p l a c e t r a n s f o r m c a n n o t b e u s e d i f u s e f u l p a r t s o f t h e

s i g n a l e x i s t s f o r n e g a t i v e t i m e . I t d o e s n o t r e d u c e t o t h e F o u r i e r t r a n s f o r m

f o r s i g n a l s t h a t e x i s t f o r n e g a t i v e t i m e , b u t i f t h e n e g a t i v e t i m e p a r t o f a

s i g n a l c a n b e n e g l e c t e d , t h e u n i l a t e r a l t r a n s f o r m w i l l c o n v e r g e f o r a m u c h

l a r g e r c l a s s o f f u n c t i o n t h a t t h e b i l a t e r a l t r a n s f o r m w i l l . I t a l s o m a k e s t h e

s o l u t i o n o f l i n e a r , c o n s t a n t c o e c i e n t d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h i n i t i a l

c o n d i t i o n s m u c h e a s i e r .

1 . 3 . 2 P r o p e r t i e s o f t h e L a p l a c e T r a n s f o r m

M a n y o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e L a p l a c e t r a n s f o r m a r e s i m i l a r t o t h o s e f o r

F o u r i e r t r a n s f o r m [ 3 ] , [ 4 8 ] , h o w e v e r , t h e b a s i s f u n c t i o n s f o r t h e L a p l a c e

t r a n s f o r m a r e n o t o r t h o g o n a l . S o m e o f t h e m o r e i m p o r t a n t o n e s a r e :

1 . L i n e a r : L{x + y} = L{x} + L{y}2 . C o n v o l u t i o n : I f y (t) = h (t) x (t) = h (t ) x () d t h e n

L{h (t) x (t)} = L{h (t)}L{x (t)}3 . D e r i v a t i v e : L{dxdt } = sL{x (t)}4 . D e r i v a t i v e ( U L T ) :

L{dxdt } = sL{x (t)} x (0)5 . I n t e g r a l : L{x (t) dt} = 1sL{x (t)}6 . S h i f t : L{x (t T)} = C(k) eTs7 . M o d u l a t e : L{x (t) ej0t} = X(s j0)

E x a m p l e s c a n b e f o u n d i n [ 4 8 ] , [ 3 ] a n d a r e s i m i l a r t o t h o s e o f t h e z -

t r a n s f o r m p r e s e n t e d l a t e r i n t h e s e n o t e s . I n d e e d , n o t e t h e p a r a l l a l s a n d

d i e r e n c e s i n t h e F o u r i e r s e r i e s , F o u r i e r t r a n s f o r m , a n d Z - t r a n s f o r m .

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C h a p t e r 2

D i s c r e t e - T i m e S i g n a l s

1

A l t h o u g h t h e d i s c r e t e - t i m e s i g n a l x (n) c o u l d b e a n y o r d e r e d s e q u e n c e o f n u m b e r s , t h e y a r e u s u a l l y s a m p l e s o f a c o n t i n u o u s - t i m e s i g n a l . I n

t h i s c a s e , t h e r e a l o r i m a g i n a r y v a l u e d m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n x (n) o f t h e i n t e g e r n i s n o t u s e d a s a n a n a l o g y o f a p h y s i c a l s i g n a l , b u t a s s o m e r e p r e - s e n t a t i o n o f i t ( s u c h a s s a m p l e s ) . I n s o m e c a s e s , t h e t e r m d i g i t a l s i g n a l i s

u s e d i n t e r c h a n g e a b l y w i t h d i s c r e t e - t i m e s i g n a l , o r t h e l a b e l d i g i t a l s i g n a l

m a y b e u s e i f t h e f u n c t i o n i s n o t r e a l v a l u e d b u t t a k e s v a l u e s c o n s i s t e n t

w i t h s o m e h a r d w a r e s y s t e m .

I n d e e d , o u r v e r y u s e o f t h e t e r m d i s c r e t e - t i m e " i n d i c a t e s t h e p r o b -

a b l e o r i g i n o f t h e s i g n a l s w h e n , i n f a c t , t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e c o u l d

b e l e n g t h o r a n y o t h e r v a r i a b l e o r s i m p l y a n o r d e r i n g i n d e x . T h e t e r m

d i g i t a l " i n d i c a t e s t h e s i g n a l i s p r o b a b l y g o i n g t o b e c r e a t e d , p r o c e s s e d , o r

s t o r e d u s i n g d i g i t a l h a r d w a r e . A s i n t h e c o n t i n u o u s - t i m e c a s e , t h e F o u r i e r

t r a n s f o r m w i l l a g a i n b e o u r p r i m a r y t o o l [ 4 7 ] , [ 4 9 ] , [ 4 ] .

N o t a t i o n h a s b e e n a n i m p o r t a n t e l e m e n t i n m a t h e m a t i c s . I n s o m e

c a s e s , d i s c r e t e - t i m e s i g n a l s a r e b e s t d e n o t e d a s a s e q u e n c e o f v a l u e s , i n

o t h e r c a s e s , a v e c t o r i s c r e a t e d w i t h e l e m e n t s w h i c h a r e t h e s e q u e n c e

v a l u e s . I n s t i l l o t h e r c a s e s , a p o l y n o m i a l i s f o r m e d w i t h t h e s e q u e n c e

v a l u e s a s c o e c i e n t s f o r a c o m p l e x v a r i a b l e . T h e v e c t o r f o r m u l a t i o n a l l o w s

t h e u s e o f l i n e a r a l g e b r a a n d t h e p o l y n o m i a l f o r m u l a t i o n a l l o w s t h e u s e

o f c o m p l e x v a r i a b l e t h e o r y .

1

T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 6 8 8 1 / 1 . 1 / > .

1 3

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C H A P T E R 2 . D I S C R E T E - T I M E S I G N A L S

2 . 1 T h e D i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m

T h e d e s c r i p t i o n o f s i g n a l s i n t e r m s o f t h e i r s i n u s o i d a l f r e q u e n c y c o n t e n t

h a s p r o v e n t o b e a s p o w e r f u l a n d i n f o r m a t i v e f o r d i s c r e t e - t i m e s i g n a l s a s i t

h a s f o r c o n t i n u o u s - t i m e s i g n a l s . I t i s a l s o p r o b a b l y t h e m o s t p o w e r f u l c o m -

p u t a t i o n a l t o o l w e w i l l u s e . W e n o w d e v e l o p t h e b a s i c d i s c r e t e - t i m e m e t h -

o d s s t a r t i n g w i t h t h e d i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m ( D F T ) a p p l i e d t o n i t e

l e n g t h s i g n a l s , f o l l o w e d b y t h e d i s c r e t e - t i m e F o u r i e r t r a n s f o r m ( D T F T )

f o r i n n i t e l y l o n g s i g n a l s , a n d e n d i n g w i t h t h e z - t r a n s f o r m w h i c h u s e s t h e

p o w e r f u l t o o l s o f c o m p l e x v a r i a b l e t h e o r y .

2 . 1 . 1 D e n i t i o n o f t h e D F T

I t i s a s s u m e d t h a t t h e s i g n a l x (n) t o b e a n a l y z e d i s a s e q u e n c e o f N r e a l o r c o m p l e x v a l u e s w h i c h a r e a f u n c t i o n o f t h e i n t e g e r v a r i a b l e n . T h e D F T o f x (n), a l s o c a l l e d t h e s p e c t r u m o f x (n), i s a l e n g t h N s e q u e n c e o f c o m p l e x n u m b e r s d e n o t e d C(k) a n d d e n e d b y

C(k) =N1

n=0

x (n) ej2N

nk( 2 . 1 )

u s i n g t h e u s u a l e n g i n e e r i n g n o t a t i o n : j =1. T h e i n v e r s e t r a n s f o r m

( I D F T ) w h i c h r e t r i e v e s x (n) f r o m C(k) i s g i v e n b y

x (n) =1

N

N1k=0

C(k) ej2N

nk( 2 . 2 )

w h i c h i s e a s i l y v e r i e d b y s u b s t i t u t i o n i n t o ( 1 ) . I n d e e d , t h i s v e r i c a t i o n

w i l l r e q u i r e u s i n g t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e b a s i s f u n c t i o n o f t h e D F T w h i c h

i s

N1k=0

ej2N

mkej2N

nk = { N i f n = m0 i f n = m.

( 2 . 3 )

T h e e x p o n e n t i a l b a s i s f u n c t i o n s , ej2N

k, f o r k {0, N 1}, a r e t h e N

v a l u e s o f t h e Nt h r o o t s o f u n i t y ( t h e N z e r o s o f t h e p o l y n o m i a l (s 1)N) .T h i s p r o p e r t y i s w h a t c o n n e c t s t h e D F T t o c o n v o l u t i o n a n d a l l o w s e c i e n t

a l g o r i t h m s f o r c a l c u l a t i o n t o b e d e v e l o p e d [ 7 ] . T h e y a r e u s e d s o o f t e n t h a t

t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n i s d e n e d b y

WN = ej 2

N( 2 . 4 )

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w i t h t h e s u b s c r i p t b e i n g o m i t t e d i f t h e s e q u e n c e l e n g t h i s o b v i o u s f r o m

c o n t e x t . U s i n g t h i s n o t a t i o n , t h e D F T b e c o m e s

C(k) =N1n=0

x (n) WnkN ( 2 . 5 )

O n e s h o u l d n o t i c e t h a t w i t h t h e n i t e s u m m a t i o n o f t h e D F T , t h e r e i s

n o q u e s t i o n o f c o n v e r g e n c e o r o f t h e a b i l i t y t o i n t e r c h a n g e t h e o r d e r o f

s u m m a t i o n . N o d e l t a f u n c t i o n s a r e n e e d e d a n d t h e N t r a n s f o r m v a l u e s c a n b e c a l c u l a t e d e x a c t l y ( w i t h i n t h e a c c u r a c y o f t h e c o m p u t e r o r c a l c u -

l a t o r u s e d ) f r o m t h e

Ns i g n a l v a l u e s w i t h a n i t e n u m b e r o f a r i t h m e t i c

o p e r a t i o n s .

2 . 1 . 2 M a t r i x F o r m u l a t i o n o f t h e D F T

T h e r e a r e s e v e r a l a d v a n t a g e s t o u s i n g a m a t r i x f o r m u l a t i o n o f t h e D F T .

T h i s i s g i v e n b y w r i t i n g ( ( 2 . 1 ) ) o r ( ( 2 . 5 ) ) i n m a t r i x o p e r a t o r f o r m a s

C0C1

C2.

.

.

CN1

=

W0

W0

W0

W0

W0 W1 W2

W0 W2 W4

.

.

.

.

.

.

W0 W(N1)(N1)

x0x1

x2.

.

.

xN1

( 2 . 6 )

o r

C = Fx. ( 2 . 7 )

T h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e b a s i s f u n c t i o n i n ( ( 2 . 1 ) ) s h o w s u p i n t h i s m a t r i x

f o r m u l a t i o n b y t h e c o l u m n s o f F b e i n g o r t h o g o n a l t o e a c h o t h e r a s a r e t h e r o w s . T h i s m e a n s t h a t FTF = kI , w h e r e k i s a s c a l a r c o n s t a n t , a n d , t h e r e f o r e ,

FT = kF1 . T h i s i s c a l l e d a u n i t a r y o p e r a t o r . T h e d e n i t i o n o f t h e D F T i n ( ( 2 . 1 ) ) e m p h a s i z e s t h e f a c t t h a t e a c h o f

t h e N D F T v a l u e s a r e t h e s u m o f N p r o d u c t s . T h e m a t r i x f o r m u l a t i o n i n ( ( 2 . 6 ) ) h a s t w o i n t e r p r e t a t i o n s . E a c h

k- t h D F T t e r m i s t h e i n n e r p r o d u c t

o f t w o v e c t o r s , k - t h r o w o f F a n d x; o r , t h e D F T v e c t o r , C i s a w e i g h t e d s u m o f t h e N c o l u m n s o f F w i t h w e i g h t s b e i n g t h e e l e m e n t s o f t h e s i g n a l v e c t o r

x. A t h i r d v i e w o f t h e D F T i s t h e o p e r a t o r v i e w w h i c h i s s i m p l y

t h e s i n g l e m a t r i x e q u a t i o n ( ( 2 . 7 ) ) .

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I t i s i n s t r u c t i v e a t t h i s p o i n t t o w r i t e a c o m p u t e r p r o g r a m t o c a l c u l a t e

t h e D F T o f a s i g n a l . I n M a t l a b [ 4 3 ] , t h e r e i s a p r e - p r o g r a m m e d f u n c t i o n t o

c a l c u l a t e t h e D F T , b u t t h a t h i d e s t h e s c a l a r o p e r a t i o n s . O n e s h o u l d p r o -

g r a m t h e t r a n s f o r m i n t h e s c a l a r i n t e r p r e t i v e l a n g u a g e o f M a t l a b o r s o m e

o t h e r l o w e r l e v e l l a n g u a g e s u c h a s F O R T R A N , C , B A S I C , P a s c a l , e t c .

T h i s w i l l i l l u s t r a t e h o w m a n y m u l t i p l i c a t i o n s a n d a d d i t i o n s a n d t r i g o n o -

m e t r i c e v a l u a t i o n s a r e r e q u i r e d a n d h o w m u c h m e m o r y i s n e e d e d . D o

n o t u s e a c o m p l e x d a t a t y p e w h i c h a l s o h i d e s a r i t h m e t i c , b u t u s e E u l e r ' s

r e l a t i o n s

ejx

= cos (x) + jsin (x)( 2 . 8 )

t o e x p l i c i t l y c a l c u l a t e t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t o f C(k).I f M a t l a b i s a v a i l a b l e , r s t p r o g r a m t h e D F T u s i n g o n l y s c a l a r o p e r a -

t i o n s . I t w i l l r e q u i r e t w o n e s t e d l o o p s a n d w i l l r u n r a t h e r s l o w l y b e c a u s e

t h e e x e c u t i o n o f l o o p s i s i n t e r p r e t e d . N e x t , p r o g r a m i t u s i n g v e c t o r i n n e r

p r o d u c t s t o c a l c u l a t e e a c h C(k) w h i c h w i l l r e q u i r e o n l y o n e l o o p a n d w i l l r u n f a s t e r . F i n a l l y , p r o g r a m i t u s i n g a s i n g l e m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n r e q u i r -

i n g n o l o o p s a n d r u n n i n g m u c h f a s t e r . C h e c k t h e m e m o r y r e q u i r e m e n t s

o f t h e t h r e e a p p r o a c h e s .

T h e D F T a n d I D F T a r e a c o m p l e t e l y w e l l - d e n e d , l e g i t i m a t e t r a n s -

f o r m p a i r w i t h a s o u n d t h e o r e t i c a l b a s i s t h a t d o n o t n e e d t o b e d e r i v e d

f r o m o r i n t e r p r e t e d a s a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e c o n t i n u o u s - t i m e F o u r i e r

s e r i e s o r i n t e g r a l . T h e d i s c r e t e - t i m e a n d c o n t i n u o u s - t i m e t r a n s f o r m s a n d

o t h e r t o o l s a r e r e l a t e d a n d h a v e p a r a l l e l p r o p e r t i e s , b u t n e i t h e r d e p e n d s

o n t h e o t h e r .

T h e n o t a t i o n u s e d h e r e i s c o n s i s t e n t w i t h m o s t o f t h e l i t e r a t u r e a n d

w i t h t h e s t a n d a r d s g i v e n i n [ 1 7 ] . T h e i n d e p e n d e n t i n d e x v a r i a b l e n o ft h e s i g n a l x (n) i s a n i n t e g e r , b u t i t i s u s u a l l y i n t e r p r e t e d a s t i m e o r , o c c a s i o n a l l y , a s d i s t a n c e . T h e i n d e p e n d e n t i n d e x v a r i a b l e k o f t h e D F T C(k) i s a l s o a n i n t e g e r , b u t i t i s g e n e r a l l y c o n s i d e r e d a s f r e q u e n c y . T h e D F T i s c a l l e d t h e s p e c t r u m o f t h e s i g n a l a n d t h e m a g n i t u d e o f t h e c o m p l e x

v a l u e d D F T i s c a l l e d t h e m a g n i t u d e o f t h a t s p e c t r u m a n d t h e a n g l e o r

a r g u m e n t i s c a l l e d t h e p h a s e .

2 . 1 . 3 E x t e n s i o n s o f

A l t h o u g h t h e n i t e l e n g t h s i g n a l x (n) i s d e n e d o n l y o v e r t h e i n t e r v a l

{0 n (N 1)}, t h e I D F T o f C(k) c a n b e e v a l u a t e d o u t s i d e t h i s i n t e r v a l t o g i v e w e l l d e n e d v a l u e s . I n d e e d , t h i s p r o c e s s g i v e s t h e p e r i o d i c

p r o p e r t y 4 . T h e r e a r e t w o w a y s o f f o r m u l a t i n g t h i s p h e n o m e n o n . O n e

i s t o p e r i o d i c a l l y e x t e n d x (n) t o a n d + a n d w o r k w i t h t h i s n e w s i g n a l . A s e c o n d m o r e g e n e r a l w a y i s e v a l u a t e a l l i n d i c e s n a n d k m o d u l o

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1 7

N. R a t h e r t h a n c o n s i d e r i n g t h e p e r i o d i c e x t e n s i o n o f x (n) o n t h e l i n e o f i n t e g e r s , t h e n i t e l e n g t h l i n e i s f o r m e d i n t o a c i r c l e o r a l i n e a r o u n d

a c y l i n d e r s o t h a t a f t e r c o u n t i n g t o N 1, t h e n e x t n u m b e r i s z e r o , n o t a p e r i o d i c r e p l i c a t i o n o f i t . T h e p e r i o d i c e x t e n s i o n i s e a s i e r t o v i s u a l i z e

i n i t i a l l y a n d i s m o r e c o m m o n l y u s e d f o r t h e d e n i t i o n o f t h e D F T , b u t t h e

e v a l u a t i o n o f t h e i n d i c e s b y r e s i d u e r e d u c t i o n m o d u l o N i s a m o r e g e n e r a l d e n i t i o n a n d c a n b e b e t t e r u t i l i z e d t o d e v e l o p e c i e n t a l g o r i t h m s f o r

c a l c u l a t i n g t h e D F T [ 7 ] .

S i n c e t h e i n d i c e s a r e e v a l u a t e d o n l y o v e r t h e b a s i c i n t e r v a l , a n y v a l u e s

c o u l d b e a s s i g n e d x (n) o u t s i d e t h a t i n t e r v a l . T h e p e r i o d i c e x t e n s i o n i s t h e c h o i c e m o s t c o n s i s t e n t w i t h t h e o t h e r p r o p e r t i e s o f t h e t r a n s f o r m ,

h o w e v e r , i t c o u l d b e a s s i g n e d t o z e r o [ 4 7 ] . A n i n t e r e s t i n g p o s s i b i l i t y i s

t o a r t i c i a l l y c r e a t e a l e n g t h 2N s e q u e n c e b y a p p e n d i n g x (n) t o t h e e n d o f x (n). T h i s w o u l d r e m o v e t h e d i s c o n t i n u i t i e s o f p e r i o d i c e x t e n s i o n s o f t h i s n e w l e n g t h 2N s i g n a l a n d p e r h a p s g i v e a m o r e a c c u r a t e m e a s u r e o f t h e f r e q u e n c y c o n t e n t o f t h e s i g n a l w i t h n o a r t i f a c t s c a u s e d b y e n d

e e c t s " . I n d e e d , t h i s m o d i c a t i o n o f t h e D F T g i v e s w h a t i s c a l l e d t h e

d i s c r e t e c o s i n e t r a n s f o r m ( D C T ) [ 2 7 ] . W e w i l l a s s u m e t h e i m p l i c i t p e r i o d i c

e x t e n s i o n s t o x (n) w i t h n o s p e c i a l n o t a t i o n u n l e s s t h i s c h a r a c t e r i s t i c i s i m p o r t a n t , t h e n w e w i l l u s e t h e n o t a t i o n

x (n).

2 . 1 . 4 C o n v o l u t i o n

C o n v o l u t i o n i s a n i m p o r t a n t o p e r a t i o n i n s i g n a l p r o c e s s i n g t h a t i s i n

s o m e w a y s m o r e c o m p l i c a t e d i n d i s c r e t e - t i m e s i g n a l p r o c e s s i n g t h a n i n

c o n t i n u o u s - t i m e s i g n a l p r o c e s s i n g a n d i n o t h e r w a y s e a s i e r . T h e b a s i c

i n p u t - o u t p u t r e l a t i o n f o r a d i s c r e t e - t i m e s y s t e m i s g i v e n b y s o - c a l l e d l i n -

e a r o r n o n - c y c l i c c o n v o l u t i o n d e n e d a n d d e n o t e d b y

y (n) =

m=

h (m) x (n m) = h (n) x (n) ( 2 . 9 )

w h e r e x (n) i s t h e p e r h a p s i n n i t e l y l o n g i n p u t d i s c r e t e - t i m e s i g n a l , h (n)i s t h e p e r h a p s i n n i t e l y l o n g i m p u l s e r e s p o n s e o f t h e s y s t e m , a n d y (n) i st h e o u t p u t . T h e D F T i s , h o w e v e r , i n t i m a t e l y r e l a t e d t o c y c l i c c o n v o l u t i o n ,

n o t n o n - c y c l i c c o n v o l u t i o n . C y c l i c c o n v o l u t i o n i s d e n e d a n d d e n o t e d b y

y (n) =

N1m=0

h (m) x (n m) = h (n) x (n) ( 2 . 1 0 )

w h e r e e i t h e r a l l o f t h e i n d i c e s o r i n d e p e n d e n t i n t e g e r v a r i a b l e s a r e e v a l -

u a t e d m o d u l o N o r a l l o f t h e s i g n a l s a r e p e r i o d i c a l l y e x t e n d e d o u t s i d e t h e i r l e n g t h N d o m a i n s .

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1 8


T h i s c y c l i c ( s o m e t i m e s c a l l e d c i r c u l a r ) c o n v o l u t i o n c a n b e e x p r e s s e d a s

a m a t r i x o p e r a t i o n b y c o n v e r t i n g t h e s i g n a l

h (n)i n t o a m a t r i x o p e r a t o r

a s

H =

h0 hL1 hL2 h1h1 h0 hL1

h2 h1 h0.

.

.

.

.

.

hL1 h0

, ( 2 . 1 1 )

T h e c y c l i c c o n v o l u t i o n c a n t h e n b e w r i t t e n i n m a t r i x n o t a t i o n a s

Y = HX ( 2 . 1 2 )

w h e r e X

a n dY

a r e c o l u m n m a t r i c e s o r v e c t o r s o f t h e i n p u t a n d o u t p u t

v a l u e s r e s p e c t i v e l y .

B e c a u s e n o n - c y c l i c c o n v o l u t i o n i s o f t e n w h a t y o u w a n t t o d o a n d c y c l i c

c o n v o l u t i o n i s w h a t i s r e l a t e d t o t h e p o w e r f u l D F T , w e w a n t t o d e v e l o p

a w a y o f d o i n g n o n - c y c l i c c o n v o l u t i o n b y d o i n g c y c l i c c o n v o l u t i o n .

T h e c o n v o l u t i o n o f a l e n g t h N s e q u e n c e w i t h a l e n g t h M s e q u e n c e y i e l d s a l e n g t h N+ M 1 o u t p u t s e q u e n c e . T h e c a l c u l a t i o n o f n o n - c y c l i c c o n v o l u t i o n b y u s i n g c y c l i c c o n v o l u t i o n r e q u i r e s m o d i f y i n g t h e s i g n a l s b y

a p p e n d i n g z e r o s t o t h e m . T h i s w i l l b e d e v e l o p e d l a t e r .

2 . 1 . 5 P r o p e r t i e s o f t h e D F T

T h e p r o p e r t i e s o f t h e D F T a r e e x t r e m e l y i m p o r t a n t i n a p p l y i n g i t t o

s i g n a l a n a l y s i s a n d t o i n t e r p r e t i n g i t . T h e m a i n p r o p e r t i e s a r e g i v e n h e r e

u s i n g t h e n o t a t i o n t h a t t h e D F T o f a l e n g t h - N c o m p l e x s e q u e n c e x (n) i sF{x (n)} = C(k) .

1 . L i n e a r O p e r a t o r : F{x (n) + y (n)} = F{x (n)} + F{y (n)}2 . U n i t a r y O p e r a t o r :

F1 = 1NFT

3 . P e r i o d i c S p e c t r u m : C(k) = C(k + N)4 . P e r i o d i c E x t e n s i o n s o f x (n) : x (n) = x (n + N)5 . P r o p e r t i e s o f E v e n a n d O d d P a r t s : x (n) = u (n) + jv (n) a n d

C(k) = A (k) + jB (k)

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1 9

u v A B |C| e v e n 0 e v e n 0 e v e n 0

o d d 0 0 o d d e v e n /2


0 o d d o d d 0 e v e n 0

T a b l e 2 . 1

6 . C y c l i c C o n v o l u t i o n : F{h (n) x (n)} = F{h (n)}F{x (n)}7 . M u l t i p l i c a t i o n : F{h (n) x (n)} = F{h (n)} F {x (n)}8 . P a r s e v a l :

N1n=0 |x (n) |2 = 1N

N1k=0 |C(k) |2

9 . S h i f t : F{x (n M)} = C(k) ej2Mk/N1 0 . M o d u l a t e : F{x (n) ej2Kn/N} = C(k K)1 1 . D o w n S a m p l e o r D e c i m a t e : F{x (Kn)} = 1K

K1m=0 C(k + Lm)

w h e r e N = LK1 2 . U p S a m p l e o r S t r e t c h : I f xs (2n) = x (n) f o r i n t e g e r n a n d z e r o

o t h e r w i s e , t h e n

F{xs (n)

}= C(k), f o r k = 0, 1, 2, ..., 2N

1

1 3 . N R o o t s o f U n i t y :

WkN

N = 1 f o r k = 0, 1, 2,...,N 1

1 4 . O r t h o g o n a l i t y :

N1k=0

ej2mk/Nej2nk/N = { N i f n = m0 i f n = m.

( 2 . 1 3 )

1 5 . D i a g o n a l i z a t i o n o f C o n v o l u t i o n : I f c y c l i c c o n v o l u t i o n i s e x p r e s s e d a s

a m a t r i x o p e r a t i o n b y y = Hx w i t h H g i v e n b y ( ( 2 . 1 1 ) ) , t h e D F T

o p e r a t o r d i a g o n a l i z e s t h e c o n v o l u t i o n o p e r a t o r H, o r FTHF = Hdw h e r e

Hd i s a d i a g o n a l m a t r i x w i t h t h e N v a l u e s o f t h e D F T o f h (n) o n t h e d i a g o n a l . T h i s i s a m a t r i x s t a t e m e n t o f P r o p e r t y 6 . N o t e t h e c o l u m n s o f

Fa r e t h e N e i g e n v e c t o r s o f H , i n d e p e n d e n t o f

t h e v a l u e s o f h (n) .

O n e c a n s h o w t h a t a n y k e r n e l " o f a t r a n s f o r m t h a t w o u l d s u p p o r t c y c l i c ,

l e n g t h - N c o n v o l u t i o n m u s t b e t h e N r o o t s o f u n i t y . T h i s s a y s t h e D F T

i s t h e o n l y t r a n s f o r m o v e r t h e c o m p l e x n u m b e r e l d t h a t w i l l s u p p o r t

c o n v o l u t i o n . H o w e v e r , i f o n e c o n s i d e r s v a r i o u s n i t e e l d s o r r i n g s , a n

i n t e r e s t i n g t r a n s f o r m , c a l l e d t h e N u m b e r T h e o r e t i c T r a n s f o r m , c a n b e

d e n e d a n d u s e d b e c a u s e t h e r o o t s o f u n i t y a r e s i m p l y t w o r a i s e d t o a

p o w e r s w h i c h i s a s i m p l e w o r d s h i f t f o r c e r t a i n b i n a r y n u m b e r r e p r e s e n -

t a t i o n s [ 1 ] , [ 2 ] .

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2 0


2 . 1 . 6 E x a m p l e s o f t h e D F T

I t i s v e r y i m p o r t a n t t o d e v e l o p i n s i g h t a n d i n t u i t i o n i n t o t h e D F T o r s p e c -

t r a l c h a r a c t e r i s t i c s o f v a r i o u s s t a n d a r d s i g n a l s . A f e w D F T ' s o f s t a n d a r d

s i g n a l s t o g e t h e r w i t h t h e a b o v e p r o p e r t i e s w i l l g i v e a f a i r l y l a r g e s e t o f

r e s u l t s . T h e y w i l l a l s o a i d i n q u i c k l y o b t a i n i n g t h e D F T o f n e w s i g n a l s .

T h e d i s c r e t e - t i m e i m p u l s e (n) i s d e n e d b y

(n) = { 1 w h e n n = 00 o t h e r w i s e

( 2 . 1 4 )

T h e d i s c r e t e - t i m e p u l s e M (n) i s d e n e d b y

M (n) = {1 w h e n n = 0, 1, , M 10 o t h e r w i s e

( 2 . 1 5 )

S e v e r a l e x a m p l e s a r e :

DF T{ (n)} = 1, T h e D F T o f a n i m p u l s e i s a c o n s t a n t .

DF T

{1}

= N (k) , T h e D F T o f a c o n s t a n t i s a n i m p u l s e .

DF T{ej2Kn/N} = N (k K) ( 2 . 1 6 )

DF T{cos (2Mn/N) = N2

[ (k M) + (k + M)] ( 2 . 1 7 )

DF T{M (n)} =

sinNM k

sin

Nk

( 2 . 1 8 )

T h e s e e x a m p l e s t o g e t h e r w i t h t h e p r o p e r t i e s c a n g e n e r a t e a s t i l l l a r g e r

s e t o f i n t e r e s t i n g a n d e n l i g h t e n i n g e x a m p l e s . M a t l a b c a n b e u s e d t o e x -

p e r i m e n t w i t h t h e s e r e s u l t s a n d t o g a i n i n s i g h t a n d i n t u i t i o n .

2 . 2 T h e D i s c r e t e - T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m

I n a d d i t i o n t o n i t e l e n g t h s i g n a l s , t h e r e a r e m a n y p r a c t i c a l p r o b l e m s

w h e r e w e m u s t b e a b l e t o a n a l y z e a n d p r o c e s s e s s e n t i a l l y i n n i t e l y l o n g

s e q u e n c e s . F o r c o n t i n u o u s - t i m e s i g n a l s , t h e F o u r i e r s e r i e s i s u s e d f o r n i t e

l e n g t h s i g n a l s a n d t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o r i n t e g r a l i s u s e d f o r i n n i t e l y

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2 1

l o n g s i g n a l s . F o r d i s c r e t e - t i m e s i g n a l s , w e h a v e t h e D F T f o r n i t e l e n g t h

s i g n a l s a n d w e n o w p r e s e n t t h e d i s c r e t e - t i m e F o u r i e r t r a n s f o r m ( D T F T )

f o r i n n i t e l y l o n g s i g n a l s o r s i g n a l s t h a t a r e l o n g e r t h a n w e w a n t t o s p e c i f y

[ 4 7 ] . T h e D T F T c a n b e d e v e l o p e d a s a n e x t e n s i o n o f t h e D F T a s N g o e s t o i n n i t y o r t h e D T F T c a n b e i n d e p e n d e n t l y d e n e d a n d t h e n t h e D F T

s h o w n t o b e a s p e c i a l c a s e o f i t . W e w i l l d o t h e l a t t e r .

2 . 2 . 1 D e n i t i o n o f t h e D T F T

T h e D T F T o f a p o s s i b l y i n n i t e l y l o n g r e a l ( o r c o m p l e x ) v a l u e d s e q u e n c e

f(n)i s d e n e d t o b e

F() =

f(n) ejn ( 2 . 1 9 )

a n d i t s i n v e r s e d e n o t e d I D T F T i s g i v e n b y

f(n) =1

2

F() ejn d. ( 2 . 2 0 )

V e r i c a t i o n b y s u b s t i t u t i o n i s m o r e d i c u l t t h a n f o r t h e D F T . H e r e c o n -

v e r g e n c e a n d t h e i n t e r c h a n g e o f o r d e r o f t h e s u m a n d i n t e g r a l a r e s e r i o u s

q u e s t i o n s a n d h a v e b e e n t h e t o p i c s o f r e s e a r c h o v e r m a n y y e a r s . D i s -

c u s s i o n s o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m a n d s e r i e s f o r e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s

c a n b e f o u n d i n [ 4 9 ] , [ 4 ] . I t i s n e c e s s a r y t o a l l o w d i s t r i b u t i o n s o r d e l t a

f u n c t i o n s t o b e u s e d t o g a i n t h e f u l l b e n e t o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m .

N o t e t h a t t h e d e n i t i o n o f t h e D T F T a n d I D T F T a r e t h e s a m e a s t h e

d e n i t i o n o f t h e I F S a n d F S r e s p e c t i v e l y . S i n c e t h e D T F T i s a c o n t i n -

u o u s p e r i o d i c f u n c t i o n o f , i t s F o u r i e r s e r i e s i s a d i s c r e t e s e t o f v a l u e s w h i c h t u r n o u t t o b e t h e o r i g i n a l s i g n a l . T h i s d u a l i t y c a n b e h e l p f u l

i n d e v e l o p i n g p r o p e r t i e s a n d g a i n i n g i n s i g h t i n t o v a r i o u s p r o b l e m s . T h e

c o n d i t i o n s o n a f u n c t i o n t o d e t e r m i n e i f i t c a n b e e x p a n d e d i n a F S a r e

e x a c t l y t h e c o n d i t i o n s o n a d e s i r e d f r e q u e n c y r e s p o n s e o r s p e c t r u m t h a t

w i l l d e t e r m i n e i f a s i g n a l e x i s t s t o r e a l i z e o r a p p r o x i m a t e i t .

2 . 2 . 2 P r o p e r t i e s

T h e p r o p e r t i e s o f t h e D T F T a r e s i m i l a r t o t h o s e f o r t h e D F T a n d a r e

i m p o r t a n t i n t h e a n a l y s i s a n d i n t e r p r e t a t i o n o f l o n g s i g n a l s . T h e m a i n

p r o p e r t i e s a r e g i v e n h e r e u s i n g t h e n o t a t i o n t h a t t h e D T F T o f a c o m p l e x

s e q u e n c e x (n) i s F{x (n)} = X() .

1 . L i n e a r O p e r a t o r : F{x + y} = F{x} + F{y}

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2 2


2 . P e r i o d i c S p e c t r u m : X() = X( + 2)3 . P r o p e r t i e s o f E v e n a n d O d d P a r t s :

x (n) = u (n) + jv (n)a n d

X() = A () + jB ()

u v A B |X| e v e n 0 e v e n 0 e v e n 0



0 o d d o d d 0 e v e n /2

T a b l e 2 . 2

4 . C o n v o l u t i o n : I f n o n - c y c l i c o r l i n e a r c o n v o l u t i o n i s d e n e d b y :

y (n) = h (n) x (n) =

m= h (n m) x (m) =

k= h (k) x (n k)( 2 . 2 1 )

t h e n F{h (n) x (n)} = F{h (n)}F{x (n)}5 . M u l t i p l i c a t i o n : I f c y c l i c c o n v o l u t i o n i s d e n e d b y :

Y () = H() X() =T0

H( ) X() d ( 2 . 2 2 )

F{h (n) x (n)} = 12

F{h (n)} F {x (n)} ( 2 . 2 3 )

6 . P a r s e v a l :

n= |x (n) |

2

=12 |X() |

2

d7 . S h i f t : F{x (n M)} = X() ejM8 . M o d u l a t e : F{x (n) ej0n} = X( 0)9 . S a m p l e : F{x (Kn)} = 1K

K1m=0 X( + Lm) w h e r e N = LK

1 0 . S t r e t c h : F{xs (n)} = X(), f o r K K w h e r e xs (Kn) = x (n) f o r i n t e g e r n a n d z e r o o t h e r w i s e .

1 1 . O r t h o g o n a l i t y :

n= e

j1nej2n = 2 (1 2)

2 . 2 . 3 E v a l u a t i o n o f t h e D T F T b y t h e D F T

I f t h e D T F T o f a n i t e s e q u e n c e i s t a k e n , t h e r e s u l t i s a c o n t i n u o u s

f u n c t i o n o f . I f t h e D F T o f t h e s a m e s e q u e n c e i s t a k e n , t h e r e s u l t s a r e

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2 3

N e v e n l y s p a c e d s a m p l e s o f t h e D T F T . I n o t h e r w o r d s , t h e D T F T o f a n i t e s i g n a l c a n b e e v a l u a t e d a t

Np o i n t s w i t h t h e D F T .

X() = DTFT{x (n)} =

n=

x (n) ejn ( 2 . 2 4 )

a n d b e c a u s e o f t h e n i t e l e n g t h

X() =N1

n=0x (n) ejn. ( 2 . 2 5 )

I f w e e v a l u a t e a t N e q u a l l y s p a c e p o i n t s , t h i s b e c o m e s

X

2

Nk

=

N1n=0

x (n) ej2N

kn( 2 . 2 6 )

w h i c h i s t h e D F T o f x (n). B y a d d i n g z e r o s t o t h e e n d o f x (n) a n d t a k i n g a l o n g e r D F T , a n y d e n s i t y o f p o i n t s c a n b e e v a l u a t e d . T h i s i s u s e f u l i n

i n t e r p o l a t i o n a n d i n p l o t t i n g t h e s p e c t r u m o f a n i t e l e n g t h s i g n a l . T h i s

i s d i s c u s s e d f u r t h e r i n C h a p t e r 4 .

T h e r e i s a n i n t e r e s t i n g v a r i a t i o n o f t h e P a r s e v a l ' s t h e o r e m f o r t h e

D T F T o f a n i t e l e n g t h - N s i g n a l . I f x (n) = 0 f o r 0 n N 1, a n d i f L N, t h e n

N1n=0

|x (n) |2 = 1L

L1k=0

|X(2k/L) |2 = 1

0

|X() |2 d. ( 2 . 2 7 )

T h e s e c o n d t e r m i n ( ( 2 . 2 7 ) ) s a y s t h e R i e m a n n s u m i s e q u a l t o i t s l i m i t

i n t h i s c a s e .

2 . 2 . 4 E x a m p l e s o f D T F T

A s w a s t r u e f o r t h e D F T , i n s i g h t a n d i n t u i t i o n i s d e v e l o p e d b y u n d e r -

s t a n d i n g t h e p r o p e r t i e s a n d a f e w e x a m p l e s o f t h e D T F T . S e v e r a l e x a m -

p l e s a r e g i v e n b e l o w a n d m o r e c a n b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e [ 4 7 ] , [ 4 9 ] ,

[ 4 ] . R e m e m b e r t h a t w h i l e i n t h e c a s e o f t h e D F T s i g n a l s w e r e d e n e d o n

t h e r e g i o n {0 n (N 1)} a n d v a l u e s o u t s i d e t h a t r e g i o n w e r e p e r i - o d i c e x t e n s i o n s , h e r e t h e s i g n a l s a r e d e n e d o v e r a l l i n t e g e r s a n d a r e n o t

p e r i o d i c u n l e s s e x p l i c i t l y s t a t e d . T h e s p e c t r u m i s p e r i o d i c w i t h p e r i o d

2 .

DTFT{ (n)} = 1 f o r a l l f r e q u e n c i e s .

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2 4


DTFT{1} = 2 () ( 2 . 2 8 )

DTFT{ej0n} = 2 ( 0) ( 2 . 2 9 )

DTFT{cos (0n)} = [ ( 0) + ( + 0)] ( 2 . 3 0 )

DTFT{M (n)} = sin (Mk/2)

sin (k/2)( 2 . 3 1 )

2 . 3 T h e Z - T r a n s f o r m

T h e z - t r a n s f o r m i s a n e x t e n s i o n o f t h e D T F T i n a w a y t h a t i s a n a l o g o u s

t o t h e L a p l a c e t r a n s f o r m f o r c o n t i n u o u s - t i m e s i g n a l s b e i n g a n e x t e n s i o n

o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m . I t a l l o w s t h e u s e o f c o m p l e x v a r i a b l e t h e o r y a n d

i s p a r t i c u l a r l y u s e f u l i n a n a l y z i n g a n d d e s c r i b i n g s y s t e m s . T h e q u e s t i o n

o f c o n v e r g e n c e b e c o m e s s t i l l m o r e c o m p l i c a t e d a n d d e p e n d s o n v a l u e s o f zu s e d i n t h e i n v e r s e t r a n s f o r m w h i c h m u s t b e i n t h e r e g i o n o f c o n v e r g e n c e "

( R O C ) .

2 . 3 . 1 D e n i t i o n o f t h e Z - T r a n s f o r m

T h e z - t r a n s f o r m ( Z T ) i s d e n e d a s a p o l y n o m i a l i n t h e c o m p l e x v a r i a b l e

z w i t h t h e d i s c r e t e - t i m e s i g n a l v a l u e s a s i t s c o e c i e n t s [ 2 9 ] , [ 5 3 ] , [ 4 7 ] . I t i s g i v e n b y

F (z) =

n=

f(n) zn ( 2 . 3 2 )

a n d t h e i n v e r s e t r a n s f o r m ( I Z T ) i s

f(n) =1

2j

ROC

F(z) zn1dz. ( 2 . 3 3 )

T h e i n v e r s e t r a n s f o r m c a n b e d e r i v e d b y u s i n g t h e r e s i d u e t h e o r e m [ 1 4 ] ,

[ 4 9 ] f r o m c o m p l e x v a r i a b l e t h e o r y t o n d f(0) f r o m z1F (z), f(1) f r o m F (z), f(2) f r o m zF (z), a n d i n g e n e r a l , f(n) f r o m zn1F(z). V e r i c a - t i o n b y s u b s t i t u t i o n i s m o r e d i c u l t t h a n f o r t h e D F T o r D T F T . H e r e

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2 5

c o n v e r g e n c e a n d t h e i n t e r c h a n g e o f o r d e r o f t h e s u m a n d i n t e g r a l i s a s e r i -

o u s q u e s t i o n t h a t i n v o l v e s v a l u e s o f t h e c o m p l e x v a r i a b l e

z. T h e c o m p l e x

c o n t o u r i n t e g r a l i n ( ( 2 . 3 3 ) ) m u s t b e t a k e n i n t h e R O C o f t h e z p l a n e .

A u n i l a t e r a l z - t r a n s f o r m i s s o m e t i m e s n e e d e d w h e r e t h e d e n i t i o n

( ( 2 . 3 3 ) ) u s e s a l o w e r l i m i t o n t h e t r a n s f o r m s u m m a t i o n o f z e r o . T h i s

a l l o w t h e t r a n s f o r m a t i o n t o c o n v e r g e f o r s o m e f u n c t i o n s w h e r e t h e r e g u -

l a r b i l a t e r a l t r a n s f o r m d o e s n o t , i t p r o v i d e s a s t r a i g h t f o r w a r d w a y t o s o l v e

i n i t i a l c o n d i t i o n d i e r e n c e e q u a t i o n p r o b l e m s , a n d i t s i m p l i e s t h e q u e s -

t i o n o f n d i n g t h e R O C . T h e b i l a t e r a l z - t r a n s f o r m i s u s e d m o r e f o r s i g n a l

a n a l y s i s a n d t h e u n i l a t e r a l t r a n s f o r m i s u s e d m o r e f o r s y s t e m d e s c r i p -

t i o n a n d a n a l y s i s . U n l e s s s t a t e d o t h e r w i s e , w e w i l l b e u s i n g t h e b i l a t e r a l

z - t r a n s f o r m .

2 . 3 . 2 P r o p e r t i e s

T h e p r o p e r t i e s o f t h e Z T a r e s i m i l a r t o t h o s e f o r t h e D T F T a n d D F T a n d

a r e i m p o r t a n t i n t h e a n a l y s i s a n d i n t e r p r e t a t i o n o f l o n g s i g n a l s a n d i n t h e

a n a l y s i s a n d d e s c r i p t i o n o f d i s c r e t e - t i m e s y s t e m s . T h e m a i n p r o p e r t i e s

a r e g i v e n h e r e u s i n g t h e n o t a t i o n t h a t t h e Z T o f a c o m p l e x s e q u e n c e x (n)i s Z{x (n)} = X(z).

1 . L i n e a r O p e r a t o r : Z{x + y} = Z{x} + Z{y}2 . R e l a t i o n s h i p o f Z T t o D T F T : Z{x}|z=ej = DTFT{x}3 . P e r i o d i c S p e c t r u m : X

ej

= X

ej+2

4 . P r o p e r t i e s o f E v e n a n d O d d P a r t s : x (n) = u (n) + jv (n) a n d

X

ej

= A

ej

+ jB

ej

u v A B

even 0 even 0

odd 0 0 odd

0 even 0 even

0 odd odd 0

( 2 . 3 4 )

5 . C o n v o l u t i o n : I f d i s c r e t e n o n - c y c l i c c o n v o l u t i o n i s d e n e d b y

y (n) = h (n) x (n) =

m= h (n m) x (m) =

k= h (k) x (n k)( 2 . 3 5 )

t h e n Z{h (n) x (n)} = Z{h (n)}Z{x (n)}

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2 6


6 . S h i f t : Z{x (n + M)} = zMX(z)7 . S h i f t ( u n i l a t e r a l ) : Z{x (n + m)} = z

m

X(z) zm

x (0) zm1x (1) zx (m 1)

8 . S h i f t ( u n i l a t e r a l ) : Z{x (n m)} = zmX(z) zm+1x (1)

x (m)9 . M o d u l a t e : Z{x (n) an} = X(z/a)

1 0 . T i m e m u l t . : Z{nmx (n)} = (z)mdmX(z)dzm

1 1 . E v a l u a t i o n : T h e Z T c a n b e e v a l u a t e d o n t h e u n i t c i r c l e i n t h e z -

p l a n e b y t a k i n g t h e D T F T o f x (n) a n d i f t h e s i g n a l i s n i t e i n l e n g t h , t h i s c a n b e e v a l u a t e d a t s a m p l e p o i n t s b y t h e D F T .

2 . 3 . 3 E x a m p l e s o f t h e Z - T r a n s f o r m

A f e w e x a m p l e s t o g e t h e r w i t h t h e a b o v e p r o p e r t i e s w i l l e n a b l e o n e t o

s o l v e a n d u n d e r s t a n d a w i d e v a r i e t y o f p r o b l e m s . T h e s e u s e t h e u n i t s t e p

f u n c t i o n t o r e m o v e t h e n e g a t i v e t i m e p a r t o f t h e s i g n a l . T h i s f u n c t i o n i s

d e n e d a s

u (n) = { 1 i f n 00 i f n < 0

( 2 . 3 6 )

a n d s e v e r a l b i l a t e r a l z - t r a n s f o r m s a r e g i v e n b y

Z{ (n)} = 1 f o r a l l z . Z{u (n)} = zz1 f o r |z| > 1. Z{u (n) an} = zza f o r |z| > |a| .

N o t i c e t h a t t h e s e a r e s i m i l a r t o b u t n o t t h e s a m e a s a t e r m o f a p a r t i a l

f r a c t i o n e x p a n s i o n .

2 . 3 . 4 I n v e r s i o n o f t h e Z - T r a n s f o r m

T h e z - t r a n s f o r m c a n b e i n v e r t e d i n t h r e e w a y s . T h e r s t t w o h a v e s i m i l a r

p r o c e d u r e s w i t h L a p l a c e t r a n s f o r m a t i o n s a n d t h e t h i r d h a s n o c o u n t e r

p a r t .

T h e z - t r a n s f o r m c a n b e i n v e r t e d b y t h e d e n e d c o n t o u r i n t e g r a l i n

t h e R O C o f t h e c o m p l e x z p l a n e . T h i s i n t e g r a l c a n b e e v a l u a t e d u s i n g t h e r e s i d u e t h e o r e m [ 1 4 ] , [ 4 9 ] .

T h e z - t r a n s f o r m c a n b e i n v e r t e d b y e x p a n d i n g 1z F (z) i n a p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n f o l l o w e d b y u s e o f t a b l e s f o r t h e r s t o r s e c o n d

o r d e r t e r m s .

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2 7

T h e t h i r d m e t h o d i s n o t a n a l y t i c a l b u t n u m e r i c a l . I f F(z) = P(z)Q(z) ,f(n) c a n b e o b t a i n e d a s t h e c o e c i e n t s o f l o n g d i v i s i o n .

F o r e x a m p l e

z

z a = 1 + a z1 + a2z2 + ( 2 . 3 7 )

w h i c h i s u (n) an a s u s e d i n t h e e x a m p l e s a b o v e . W e m u s t u n d e r s t a n d t h e r o l e o f t h e R O C i n t h e c o n v e r g e n c e a n d

i n v e r s i o n o f t h e z - t r a n s f o r m . W e m u s t a l s o s e e t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e

o n e - s i d e d a n d t w o - s i d e d t r a n s f o r m .

2 . 3 . 5 S o l u t i o n o f D i e r e n c e E q u a t i o n s u s i n g t h e Z -

T r a n s f o r m

T h e z - t r a n s f o r m c a n b e u s e d t o c o n v e r t a d i e r e n c e e q u a t i o n i n t o a n a l g e -

b r a i c e q u a t i o n i n t h e s a m e m a n n e r t h a t t h e L a p l a c e c o n v e r t s a d i e r e n t i a l

e q u a t i o n i n t o a n a l g e b r a i c e q u a t i o n . T h e o n e - s i d e d t r a n s f o r m i s p a r t i c u -

l a r l y w e l l s u i t e d f o r s o l v i n g i n i t i a l c o n d i t i o n p r o b l e m s . T h e t w o u n i l a t e r a l

s h i f t p r o p e r t i e s e x p l i c i t l y u s e t h e i n i t i a l v a l u e s o f t h e u n k n o w n v a r i a b l e .

A d i e r e n c e e q u a t i o n D E c o n t a i n s t h e u n k n o w n f u n c t i o n x (n) a n ds h i f t e d v e r s i o n s o f i t s u c h a s x (n 1) o r x (n + 3) . T h e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n i s t h e d e t e r m i n a t i o n o f x (t). A l i n e a r D E h a s o n l y s i m p l e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f x (n) a n d i t s s h i f t s . A n e x a m p l e o f a l i n e a r s e c o n d o r d e r D E i s

a x (n) + b x (n 1) + c x (n 2) = f(n) ( 2 . 3 8 ) A t i m e i n v a r i a n t o r i n d e x i n v a r i a n t D E r e q u i r e s t h e c o e c i e n t s n o t b e

a f u n c t i o n o f n a n d t h e l i n e a r i t y r e q u i r e s t h a t t h e y n o t b e a f u n c t i o n o f x (n) . T h e r e f o r e , t h e c o e c i e n t s a r e c o n s t a n t s .

T h i s e q u a t i o n c a n b e a n a l y z e d u s i n g c l a s s i c a l m e t h o d s c o m p l e t e l y

a n a l o g o u s t o t h o s e u s e d w i t h d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . A s o l u t i o n o f t h e

f o r m x (n) = Kn i s s u b s t i t u t e d i n t o t h e h o m o g e n e o u s d i e r e n c e e q u a - t i o n r e s u l t i n g i n a s e c o n d o r d e r c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n w h o s e t w o r o o t s

g i v e a s o l u t i o n o f t h e f o r m xh (n) = K1n1 + K2

n2 . A p a r t i c u l a r s o l u t i o n

o f a f o r m d e t e r m i n e d b y f(n) i s f o u n d b y t h e m e t h o d o f u n d e t e r m i n e d c o e c i e n t s , c o n v o l u t i o n o r s o m e o t h e r m e a n s . T h e t o t a l s o l u t i o n i s t h e

p a r t i c u l a r s o l u t i o n p l u s t h e s o l u t i o n o f t h e h o m o g e n e o u s e q u a t i o n a n d t h e

t h r e e u n k n o w n c o n s t a n t s Ki a r e d e t e r m i n e d f r o m t h r e e i n i t i a l c o n d i t i o n s o n x (n).

I t i s p o s s i b l e t o s o l v e t h i s d i e r e n c e e q u a t i o n u s i n g z - t r a n s f o r m s i n a

s i m i l a r w a y t o t h e s o l v i n g o f a d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y u s e o f t h e L a p l a c e

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t r a n s f o r m . T h e z - t r a n s f o r m c o n v e r t s t h e d i e r e n c e e q u a t i o n i n t o a n a l g e -

b r a i c e q u a t i o n . T a k i n g t h e Z T o f b o t h s i d e s o f t h e D E g i v e s

a X(z) + b [z1X(z) + x (1)] +c [z2X(z) + z1x (1) + x (2)] = Y (z)

( 2 . 3 9 )

s o l v i n g f o r X(z) g i v e s

X(z) =z2 [Y (z) b x (1) x (2)] z c x (1)

a z2

+ b z + c

( 2 . 4 0 )

a n d i n v e r s i o n o f t h i s t r a n s f o r m g i v e s t h e s o l u t i o n x (n) . N o t i c e t h a t t w o i n i t i a l v a l u e s w e r e r e q u i r e d t o g i v e a u n i q u e s o l u t i o n j u s t a s t h e c l a s s i c a l

m e t h o d n e e d e d t w o v a l u e s .

T h e s e a r e v e r y g e n e r a l m e t h o d s . T o s o l v e a n nt h o r d e r D E r e q u i r e s o n l y f a c t o r i n g a n n t h o r d e r p o l y n o m i a l a n d p e r f o r m i n g a p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n , j o b s t h a t c o m p u t e r s a r e w e l l s u i t e d t o . T h e r e a r e p r o b l e m s

t h a t c r o p u p i f t h e d e n o m i n a t o r p o l y n o m i a l h a s r e p e a t e d r o o t s o r i f t h e

t r a n s f o r m o f y (n) h a s a r o o t t h a t i s t h e s a m e a s t h e h o m o g e n e o u s e q u a - t i o n , b u t t h o s e c a n b e h a n d l e d w i t h s l i g h t m o d i c a t i o n s g i v i n g s o l u t i o n s

w i t h t e r m s o f t h e f r o m nn j u s t a s s i m i l a r p r o b l e m s g a v e s o l u t i o n s f o r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f t h e f o r m t est .

T h e o r i g i n a l D E c o u l d b e r e w r i t t e n i n a d i e r e n t f o r m b y s h i f t i n g t h e

i n d e x t o g i v e

a x (n + 2) + b x (n + 1) + c x (n) = f(n + 2) ( 2 . 4 1 )

w h i c h c a n b e s o l v e d u s i n g t h e s e c o n d f o r m o f t h e u n i l a t e r a l z - t r a n s f o r m

s h i f t p r o p e r t y .

2 . 3 . 6 R e g i o n o f C o n v e r g e n c e f o r t h e Z - T r a n s f o r m

S i n c e t h e i n v e r s i o n i n t e g r a l m u s t b e t a k e n i n t h e R O C o f t h e t r a n s f o r m ,

i t i s n e c e s s a r y t o u n d e r s t a n d h o w t h i s r e g i o n i s d e t e r m i n e d a n d w h a t i t

m e a n s e v e n i f t h e i n v e r s i o n i s d o n e b y p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n o r l o n g

d i v i s i o n . S i n c e a l l s i g n a l s c r e a t e d b y l i n e a r c o n s t a n t c o e c i e n t d i e r e n c e

e q u a t i o n s a r e s u m s o f g e o m e t r i c s e q u e n c e s ( o r s a m p l e s o f e x p o n e n t i a l s ) ,

a n a n a l y s i s o f t h e s e c a s e s w i l l c o v e r m o s t p r a c t i c a l s i t u a t i o n s . C o n s i d e r a

g e o m e t r i c s e q u e n c e s t a r t i n g a t z e r o .

f(n) = u (n) an ( 2 . 4 2 )

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w i t h a z - t r a n s f o r m

F(z) = 1 + a z1 + a2 z2 + a3 z3 + + aMzM. ( 2 . 4 3 ) M u l t i p l y i n g b y a z1 g i v e s

a z1F (z) = a z1 + a2z2 + a3z3 + a4z4 + +aM+1zM1

( 2 . 4 4 )

a n d s u b t r a c t i n g f r o m ( 2 . 3 2 ) g i v e s

1 a z1F (z) = 1 aM+1zM1 ( 2 . 4 5 )

S o l v i n g f o r F (z) r e s u l t s i n

F(z) =1 aM+1zM1

1 a z1 =z aaz M

z a ( 2 . 4 6 )

T h e l i m i t o f t h i s s u m a s M i s

F (z) =z

z a ( 2 . 4 7 )

f o r |z| > |a| . T h i s n o t o n l y e s t a b l i s h e s t h e z - t r a n s f o r m o f f(n) b u t g i v e s t h e r e g i o n i n t h e z p l a n e w h e r e t h e s u m c o n v e r g e s .

I f a s i m i l a r s e t o f o p e r a t i o n s i s p e r f o r m e d o n t h e s e q u e n c e t h a t e x i s t s

f o r n e g a t i v e n

f(n) = u (n 1) an = { an n < 0

0 n

0

( 2 . 4 8 )

t h e r e s u l t i s

F(z) = zz a ( 2 . 4 9 )

f o r |z| < |a| . H e r e w e h a v e e x a c t l y t h e s a m e z - t r a n s f o r m f o r a d i e r e n t s e q u e n c e f(n) b u t w i t h a d i e r e n t R O C . T h e p o l e i n F(z) d i v i d e s t h e z - p l a n e i n t o t w o r e g i o n s t h a t g i v e t w o d i e r e n t f(n). T h i s i s a g e n e r a l r e s u l t t h a t c a n b e a p p l i e d t o a g e n e r a l r a t i o n a l F (z) w i t h s e v e r a l p o l e s a n d z e r o s . T h e z - p l a n e w i l l b e d i v i d e d i n t o c o n c e n t r i c a n n u l a r r e g i o n s

s e p a r a t e d b y t h e p o l e s . T h e c o n t o u r i n t e g r a l i s e v a l u a t e d i n o n e o f t h e s e

r e g i o n s a n d t h e p o l e s i n s i d e t h e c o n t o u r g i v e t h e p a r t o f t h e s o l u t i o n

e x i s t i n g f o r n e g a t i v e n w i t h t h e p o l e s o u t s i d e t h e c o n t o u r g i v i n g t h e p a r t o f t h e s o l u t i o n e x i s t i n g f o r p o s i t i v e n .

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N o t i c e t h a t a n y n i t e l e n g t h s i g n a l h a s a z - t r a n s f o r m t h a t c o n v e r g e s

f o r a l l

z. T h e R O C i s t h e e n t i r e z - p l a n e e x c e p t p e r h a p s z e r o a n d / o r

i n n i t y .

2 . 3 . 7 R e l a t i o n

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