NOTAS PARA EL CURSO DE FÍSICA I MECÁNICAPrimera Ley de Newton (Ley de la Inercia) ... Cambio de Ímpetu y Segunda ley de Newton Tercera Ley de Newton Conservación del Ímpetu. 2.5

NOTAS PARA EL CURSO DE FÍSICA I

“MECÁNICA”

Elaborada por el profesor:

Jonathan Torres Barrera

2ª Publicación Agosto de 2017

CCH SUR

I N D I C E

CAPITULO 1. GENERALIDADES. 5

Importancia de la Física en la naturaleza y en la vida cotidiana (Ciencia, Tecnología y sociedad. Sistemas físicos 5

1.- Magnitudes y variables físicas. 9 2.- Elementos teóricos y experimentales de la metodología de la 12 Física

3.- Sistemas de unidades y conversiones. 14

4.- Ejemplos de hechos históricos trascendentes de la física. 18 5.- ALGEBRA VECTORIAL 21

a) ¿Qué es un vector? b) Suma de vectores. Procedimiento gráfico. c) Método algebraico o analítico para sumar vectores colineales y/o paralelos d) Método algebraico o analítico para sumar vectores Perpendiculares

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6.- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO 27 CAPITULO 2. MECÁNICA. 29

2.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) 29

2.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 35 2.3. CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL. 40

2.3.1. CAIDA LIBRE 2.3.2. TIRO VERTICAL

2.4. LEYES DE NEWTON 44

Inercia Primera Ley de Newton (Ley de la Inercia) Masa inercial e Ímpetu Cambio de Ímpetu y Segunda ley de Newton Tercera Ley de Newton Conservación del Ímpetu.

2.5. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 54

2.6. INTERACCIÓN GRAVITACIONAL Y MOVIMIENTO DE PLANETAS. Y LA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 57

2.9. TRABAJO MECÁNICO, ENERGÍA MECÁNICA Y POTENCIA 62

2.9.1. Trabajo Mecánico 2.9.2. Teorema de Trabajo-Energía. 2.9.3. Potencia Mecánica

2.10. LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA 73 EJERCICIOS DEL CURSO 77

Agosto de 2017 Ing. Jonathan Torres Barrera.

GENERALIDADES.

Presentación. El conocimiento científico ha sido la base de muchos de los descubrimientos que hoy en día permiten que nuestro mundo tenga los avances y la tecnología que vemos a diario. La Física como disciplina científica no es la excepción. Gracias a su estudio hemos podido encontrar la explicación de diversos fenómenos naturales, los cuales no se circunscriben sólo en nuestro planeta, sino en el universo entero.

A) Importancia de la Física en la naturaleza y en la vida cotidiana (Ciencia, Tecnología y sociedad.

La Física es una de las ciencias que más avances ha tenido a lo largo de los siglos. Tal vez a ti te parecerá que es un tanto lejana o que tu vida diaria no tiene nada que ver con ella, pero te sorprenderás de cuántas cosas dependen de la física ¿Qué es la física? Es muy complicado definir Física, se podría realizar en función de las ramas en que se divide para su estudio; pero, Física es un término que proviene de dos vocablos griegos φυσις (physis) que significa naturaleza y el sufijo –cía- que significa ciencia. Se trata de la ciencia que estudia las propiedades de la naturaleza con el apoyo de la matemática. La física investiga a la naturaleza en sus aspectos más fundamentales de la materia, la energía, el espacio y el tiempo. Debido a su amplio alcance y a su extensa historia, la física es una ciencia fundamental. Esta disciplina científica puede dedicarse a describir las partículas más pequeñas o a explicar cómo nace una estrella. La Física estudia: el movimiento de los cuerpos; la electricidad y el magnetismo; los fenómenos ondulatorios; las transformaciones de la energía; las propiedades de las partículas (átomos, moléculas, iones, partículas elementales); las propiedades de la materia y los materiales; etc. En los últimos dos milenios, la física había sido considerada sinónimo de la filosofía, la química, y ciertas ramas de la matemática y la biología, pero durante la Revolución Científica en el siglo XVI surgió para convertirse en una ciencia moderna, única por derecho propio. Sin embargo, en algunas esferas como la física matemática y la química cuántica, los límites de la física siguen siendo difíciles de distinguir. Para su estudio la física se puede dividir en tres grandes ramas: 1.- La Física clásica estudia aquellos fenómenos que ocurren a una velocidad relativamente pequeña comparada con la velocidad de la luz en el vacío y cuyas escalas espaciales son muy superiores al tamaño de átomos y moléculas. Dentro del campo de estudio de la Física clásica se encuentran la: •Mecánica •Termodinámica •Mecánica ondulatoria •Óptica •Electromagnetismo: Electricidad y Magnetismo

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2.- La Física moderna se encarga de los fenómenos que se producen a la velocidad de la luz o valores cercanos a ella o cuyas escalas espaciales son del orden del tamaño del átomo o inferiores y fue desarrollada en los inicios del siglo XX. Dentro del campo de estudio de la Física moderna se encuentran: • Relatividad Átomo • Mecánica cuántica: Núcleo Física química Física del estado sólido • Física de partículas • Gravitación 3.- La Física contemporánea se dedica a estudiar los fenómenos no-lineales, de la complejidad de la naturaleza, de los procesos fuera del equilibrio termodinámico y de los fenómenos que ocurren a escalas mesoscópicas y nanoscópicas. Esta área de la física se comenzó a desarrollar hacia finales del siglo XX y principios del siglo XXI. Dentro del campo de estudio de la Física contemporánea se encuentran: •Termodinámica fuera del equilibrio: Mecánica estadística Percolación Turbulencia •Dinámica no-lineal: Teoría del Caos Fractales Sociofísica Econofísica •Sistemas complejos: Criticalidad autorganizada Redes complejas •Física mesoscópica: Puntos cuánticos •Nano-Física: Pinzas ópticas [Percolación se refiere al paso lento de fluidos a través de materiales porosos. Ejemplos de este proceso son la filtración y la lixiviación.] [Tturbulencia o flujo turbulento es un régimen de flujo caracterizado por baja difusión de momento, alta convección y cambios espacio-temporales rápidos de presión y velocidad [La teoría del caos trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo.] [Fractales estudia a los objetos geométricos cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.] [La Sociofísica aboga por el uso de métodos y conceptos de la física de Sistemas complejos para el estudio de interacciones colectivas en sociedades.] [La Econofísica aplica teorías y métodos, originalmente desarrollados por físicos, para entender y resolver problemas en la economía y, especialmente, aquellos que involucran aspectos estocásticos y de dinámica no lineal.] [Criticalidad autorganizada describe (clases de) sistemas dinámicos que tienen puntos críticos como un atractor (el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente largo) en su evolución temporal.] [Red compleja es una teoría de redes, se refiere a una red (grafo) que posee ciertas características topológicas no triviales que no ocurren en redes simples.]


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[La física mesoscópica se dedica al estudio de sistemas microscópicos (grupos de átomos) cuyas propiedades sean significativamente diferentes al material masivo. Dicho de otra manera, en las estructuras mesoscópicas las propiedades físicas están alteradas por efecto del tamaño. Sin embargo, el tamaño a partir del cual un sistema comienza a comportarse como sistema mesoscópico depende fuertemente del material particular.] La física es significativa e influyente, no sólo debido a que los avances en la comprensión a menudo se han traducido en nuevas tecnologías, sino también a que las nuevas ideas en la Física a menudo resuenan con las demás ciencias, las matemáticas y la filosofía. La Física no es sólo una ciencia teórica; es también una ciencia experimental. Como toda ciencia, busca que sus conclusiones puedan ser verificables mediante experimentos y que la teoría pueda realizar predicciones de experimentos futuros.

B) Ciencia, Tecnología y Sociedad Piensa en los siguientes artículos: teléfonos celulares, hornos de microondas, computadoras personales, etc. Efectivamente, se trata de inventos que hacen más placentera nuestra vida. Ahora piensa en los siguientes eventos meteorológicos: eclipse de Sol y de Luna, sismos, erupciones volcánicas, huracanes, maremotos; seguramente los recuerdos que te traen no son muy agradables, ya que en ocasiones la furia de la naturaleza nos hace ver lo endebles que somos. Es de ejemplos como éstos que nos permiten entender la razón de la física: proporcionar al ser humano los conocimientos suficientes para desarrollar sus inventos y los conocimientos mínimos para explicar la realidad en que habita. La ciencia y la tecnología son diferentes. La ciencia es un método para responder preguntas teóricas; la tecnología es un método para resolver problemas prácticos. La ciencia se ocupa de descubrir hechos y relaciones entre fenómenos observables en la naturaleza y de establecer teorías que organizan y dan sentido a estos hechos y relaciones. La tecnología tiene que ver con las herramientas, técnicas y procedimientos para aplicar los descubrimientos de la ciencia. Es importante destacar que mientras que la ciencia misma no se entromete en la vida de las personas, la tecnología si lo hace y es en esta parte en donde la tecnología puede tener efectos secundarios adversos o ser generados de otros problemas que será necesario resolver.

C) Sistemas físicos Un sistema físico es un grupo de objetos ordenados según ciertas leyes, entre cuyas

partes existe una interacción de tipo causal. Todo sistema físico presenta tres características, tiene:

a) una ubicación en el espacio-tiempo: es decir que ocurre en un lugar específico y en un momento dado.

b) un estado físico definido sujeto a evolución temporal: quiere decir que si las condiciones iniciales cambian, sus características también lo hacen.

c) se puede asociar con una magnitud física llamada energía. Esta energía puede presentarse en cualquier forma: luz, calor, sonido, electricidad, etc.

Los sistemas físicos pueden ser abiertos, cerrados o aislados, según realicen o no intercambios con su entorno:

a) Sistema abierto: es un sistema que recibe flujos (energía y materia) de su entorno.


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Los sistemas abiertos, por el hecho de recibir energía, pueden realizar el trabajo de mantener sus propias estructuras e incluso incrementar su contenido de información. El hecho de que los seres vivos sean sistemas estables capaces de mantener su estructura a pesar de los cambios del entorno requiere que sean sistemas abiertos.

b) Sistema cerrado: sólo intercambia energía con su entorno, en un sistema cerrado el valor de la entropía o desorden es máximo según la cantidad de energía que tiene. El sistema aislado: no intercambia materia ni energía con el entorno.

En conclusión, la física estudiará cualquier suceso natural observable y medible, que por lo general hará parte de un sistema más complejo. Aún así, en nuestro acercamiento a la física trataremos con temas de excepcional simplicidad. Resuelve: Imagina las siguientes situaciones: 1.- Tienes una mascota y observas durante varios días las cosas que toma ella del entorno y las cosas que libera ella al entorno. Nombra por lo menos 3 cosas en cada caso y clasifíquelas según sean materia o energía. De acuerdo con lo observado: ¿Qué tipo de sistema es su mascota? Explique su respuesta. 2.- Un recipiente con agua caliente que se retira del fuego, se enfría poco a poco. ¿Qué clase de energía se percibe en el sistema? Al enfriarse el agua, ¿Dónde va esa energía? ¿Qué tipo de sistema forman el recipiente, el agua y su entorno? Explique su respuesta 3.- Observas el planeta Tierra desde el espacio. ¿El planeta recibe materia o energía del espacio o de otro cuerpo celeste? ¿El planeta libera materia o energía al espacio? De acuerdo con las respuestas anteriores, ¿Qué tipo de sistema es la Tierra? 4.- Dibuje un carro y nombre algunos elementos del entorno que influyan en su movimiento. El conjunto de los elementos que nombraste, forman un sistema físico. ¿Qué tipo de sistema podría ser este? 5.- ¿Qué elementos del ambiente, intervienen para que una vela se mantenga encendida? ¿Estos elementos forman un sistema físico? ¿Por Qué? ¿Qué tipo de sistema sería?

Entonces, un sistema físico, generalmente está constituido por un solo cuerpo o muchos a los que se les aislan mentalmente del resto del universo con el fin de organizar el estudio de su comportamiento y sacar conclusiones que concuerden con la realidad experimental. Resuelve los siguientes planteamientos: 6.- Un cortinero es también un ejemplo de un sistema físico, explica su funcionamiento utilizando términos físicos como movimiento, fuerza, dirección. 7.- ¿Explica cómo ha afectado la física a tu vida cotidiana? 8.- La Física nos permite explicar fenómenos cómo: ( )

a) La forma como generan las plantas el oxígeno b) El comportamiento de las personas en una manifestación c) La formación del arco iris d) Una Guerra Mundial


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1. Variables que intervienen en un Sistema Físico y la relación que hay entre ellas para determinar la relación de proporcionalidad directa e inversa entre las mismas.

GRÁFICAS Y TABLAS Las gráficas y los histogramas así como las tablas de valores se basan en que debe existir dependencia de una variable física, se dice que la variable “X” depende de la variable “Y” cuando “X” cambia como consecuencia de que cambió “Y”, en palabras matemáticas se dice: X es función de Y, en simbología matemática: X = f (Y) ALGUNOS CASOS DE DEPENDENCIA

a) Directamente proporcional. En la fórmula y = 6 x Si “x” crece la “x” crece; si “x” disminuye la “y” disminuye; si “x” es

cero la “y” es cero. Este tipo de proporcionalidad tiene como gráfica una recta inclinada,

como se muestra en las gráficas de la figura 1, cuyo modelo matemático si pasa por el origen es de la forma: y = m x

La variable independiente es “x”, la variable dependiente es “y”, y la “m” representa la pendiente de la recta. [Ésta es la medida de inclinación de una recta, la razón de cambio en “y” con respecto al cambio en “x”. Si la pendiente es “+” positiva la recta es ascendente y si es “–“ negativa la recta es descendente.]

Figura a) recta con pendiente positiva, y b) recta con pendiente negativa.

b) Inversamente proporcional. En la fórmula x

y57

Si “x” crece la “y” disminuye; si “x” disminuye la “y” aumenta; si “x” es cero la “y” no tiene un valor conocido, se dice que no tiene solución, a veces ayuda decir que se acerca al infinito; si “x” es infinito la “y” es cero.

Este tipo de proporcionalidad tiene como gráfica una hipérbola, como se muestra en la gráfica de figura 2, en este caso su modelo matemático es de la forma: y = k / x


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Figura 2. Hipérbolas. Figura 3. Parábola.

c) Directamente proporcional al cuadrado. En la fórmula 212 xy

Si “x” crece la “y” aumenta mucho más pues la “x” está al cuadrado; Si la “x” tiene un valor menor a uno y disminuye hasta antes de cero, “y” disminuye mucho más. Si la “x” vale cero la “y” también es cero.

Este tipo de proporcionalidad tiene como gráfica una parábola, como se muestra en la figura 3 anterior; en este caso su modelo matemático es de la forma: y = k x2

d) Proporcionalidad constante. En la ecuación y = 4

Para cualquier valor que se le asigne a “x”, la “y” sigue siendo 4. Este tipo de proporcionalidad tiene como gráfica una recta

paralela, como se muestra en la gráficas de la siguiente figura, cuyo modelo matemático es de la forma: y = k

Figura 4. Recta paralela.

Analiza la situación siguiente: 9.- EN EL FUTBOL. (1ª parte) El profe Bernabé, es un adicto al fútbol, por ello fue que viajo al estadio León a presenciar la final del actual torneo entre los equipos Los fieras verdes-L y amarillos-A. Antes de empezar el partido (90 largos minutos), el profe apostaba por su equipo los fieras a que ganaba, contra quien deseara apostar.


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Por cada $50 que le apostasen el pagaba $ 50 si su equipo perdía o empataba; pero después de caer el primer gol y quedar 75 minutos nos daba $60 por cada $50, al pasar el tiempo y quedar sólo 60 minutos nos daba $75 por cada $50, y ya al terminar el primer tiempo (quedaban 45 minutos) nos daba $100 por cada $50; bueno yo me anime y le aposté $100.

Se reanudaron las hostilidades y al quedar 30 minutos nos daba $150 por cada $50, pero al quedar 15 minutos la gente gritaba ¡¡¡ goooool !!!, y nos daba ya $300 por cada $50 de apuesta y finalmente al quedar sólo 10 minutos nos dijo, bueno lo último les doy $450 por cada $50, aviéntense amarillitos, a ver si me quitan mi melena, ahora es cuando, ¿quién dice yo? ¿Quién gano el partido?, ¿qué variables se presentan en este relato? ¿Qué tipo de proporcionalidad se tiene, entre las variables tiempo por jugar y la cantidad a pagar?

Tiempo por jugar, en minutos

Cantidad a pagar si su equipo empataba o perdía

COMENTARIO

90 50 El tiempo es 90, para una apuesta de 50.

75 60 El tiempo disminuye 1.2 veces, la apuesta aumenta 1.2 veces.

60 75 El tiempo disminuye 1.5 veces, la apuesta aumenta 1.5 veces.

45 100 El tiempo disminuye a la mitad, la apuesta aumentó al doble.

30 150 El tiempo disminuye a la tercera parte, la apuesta se triplica.

15 300 El tiempo disminuye a la sexta parte, la apuesta aumentó seis veces.

10 450 El tiempo disminuye a la novena parte, la apuesta aumenta nueve veces.

Traza la gráfica de este comportamiento entre variables. Señala el tipo de proporcionalidad entre las variables involucradas. ¿Existirá otro tipo de relación entre variables, en el relato? ¿Qué tipo de comportamiento presentan?


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2. Elementos de la metodología científica en la descripción y explicación de fenómenos físicos. (REPORTE DE UN EXPERIMENTO).

Aspectos formales para que un alumno de bachillerato presente un reporte escolar de investigación experimental acerca de un fenómeno físico (cabe aclarar que lo que se indica aquí no es la única forma), se explica brevemente algunos aspectos: .

(a) Planteamiento del problema. Consiste en describir los datos que se conocen cualitativos y cuantitativos de un fenómeno físico en base a variables y constantes físicas; También es señalar en relación a un determinado fenómeno con que se cuenta como conocimientos y que es lo que se necesita conocer o resolver.

(b) Formulación de hipótesis. Se refiere a: (i) que es lo que se supone que va a suceder, (ii) explicación probable de las causas del fenómeno en estudio; es decir es la posible explicación, pero sujeta a comprobación científica.

(c) Experimentaciones. Son las condiciones en que se toman los datos, las mediciones, donde se manipulan variables y/o constantes. Aquí se debe repetir la situación bajo variables controladas.

(d) Datos organizados (en tablas, en gráficas). Los resultados recabados de la

experimentación, sean cuantitativos o cualitativos, ameritan que se les organice bajo algún criterio en una o varias tablas, de donde se pueden hacer histogramas y a veces es posible elaborar gráficas.

(e) Análisis y/o comentarios a los datos organizados. Es la parte donde se discuten los conceptos en relación a como se organicen los datos.

(f) Conclusiones. Es establecer la solución al problema con fundamentos científicos. Ejemplos del método científico en la vida cotidiana: PROBLEMA 1.- La computadora no funciona correctamente. OBSERVACIÓN: Se tiene una computadora que se apaga sola y abre varias páginas web que no se solicitan. HIPÓTESIS: La computadora ha sido infectada con un virus. Si se le compra un antivirus original y se realiza un escaneo con él, se analizará la computadora y el antivirus localizará y destruirá el virus; con ello el problema se va a resolver. EXPERIMENTACIÓN Se hizo la compra de un antivirus original, después se instalo en la computadora, con lo que se hizo una actualización y escaneo de la misma, pero antes de terminar el escaneo la computadora se apaga y el antivirus deja de funcionar; se repitió la operación dos veces más pero el resultado es el mismo. Se descarta la 1ª Hipótesis. 2ª HIPÓTESIS: Dado que el antivirus no corrigió el problema ahora se le va a formatear el disco duro y a reinstalar el sistema operativo, quedando el problema resuelto. EXPERIMENTACIÓN Se lleva a cabo el formateo del disco duro, utilizando el disco del sistema operativo y posteriormente se le instalo una vez más el sistema operativo.


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CONCLUSIÓN La computadora tenía un virus pero era tan nuevo que el antivirus no logró desinstalarlo. RESULTADOS La computadora ahora sirve bien; se le instala el antivirus nuevo para evitar otro problema similar, se resolvió el problema pero se perdieron todos los documentos. PROBLEMA 2. OBSERVACIÓN INICIAL: Al colocar un vaso boca abajo, en una cubeta o balde con agua, ésta no entra en el vaso. PROBLEMA: ¿Por qué no entra el agua en el vaso? FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS: El vaso contiene una sustancia, en este caso aire, que impide la entrada del agua. EXPERIMENTACIÓN: Comprobación de la hipótesis: Si es aire la razón por la cual no entra el agua, debemos sacar el aire del vaso, sin modificar su posición inicial en el agua. Materiales Sustancias: Tubo acodado o manguera Agua Vaso Procedimiento: Introducir el tubo acodado y aspirar con la boca el aire. Observar y describir lo que suceda. ANÁLISIS: A medida que el aire se aspiraba, el agua va entrando al vaso, CONCLUSIÓN: El aire ocupa un lugar que no puede ser ocupado por otra sustancia. PROBLEMA 3.- En caída libre, ¿qué cae primero, una hoja de papel o un borrador? OBSERVACIÓN: Queremos estudiar si la velocidad de caída libre de los cuerpos depende de su masa. Para ello, dejamos caer, desde una misma altura un borrador y una hoja de papel. Observamos que el borrador llega mucho antes que el papel al suelo. Si medimos la masa del borrador, vemos que ésta es mayor que la masa del papel. HIPÓTESIS: Podemos formular, como hipótesis, el siguiente razonamiento: "Cae con mayor velocidad el cuerpo que posee mayor masa". EXPERIMENTACIÓN: Si lanzamos el borrador junto a una hoja de papel arrugada, vemos que llegan al suelo prácticamente al mismo tiempo. Si seguimos esta línea de investigación y lanzamos una hoja de papel arrugada y otra hoja sin arrugar desde la misma altura, vemos que la hoja arrugada llega mucho antes al suelo. CONCLUSIÓN: A la vista de los resultados experimentales, se puede concluir que no es la masa la que determina que un objeto caiga antes que otro en la Tierra; más bien, será la forma del objeto la determinante. Como comprobación de nuestro resultado deducimos que nuestra hipótesis inicial era incorrecta. Tenemos, por ejemplo, el caso de un paracaidista: su masa es la misma con el paracaídas abierto y sin abrir; sin embargo, cae mucho más rápido si el paracaídas se encuentra cerrado. Ejercicio: 10.- En equipo planteen una situación donde se aplique el Método Científico.


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3. Magnitudes y variables físicas. (SISTEMAS DE UNIDADES)

Todo el mundo exterior lo percibimos a través de nuestros sentidos, los cuales son los canales naturales de la información, pero los sentidos también nos engañan a menudo y son numerosas las demostraciones que al respecto pueden llevarse a cabo, por conceder demasiado crédito a las observaciones hechas a través de los sentidos (ver ejemplos de dibujos que ocasionan ilusiones ópticas), el hombre ha incurrido en errores científicos que perduraron por muchos años, en algunos casos; por ejemplo: que el sol giraba alrededor de la tierra, idea fundamental de la concepción toloméica del universo o de que la tierra era plana.

Pero los grandes cambios en la ciencia han ayudado en la comprensión de muchos fenómenos a medida que se han ido perfeccionando los instrumentos de medida y han confiado menos en la exactitud de la información dado por los sentidos. Si observamos dos ciclistas en movimiento, es posible estimar cuál de los dos se mueve con mayor rapidez. Pero si nos preguntamos en qué proporción es mayor la rapidez de uno con respecto al otro, no podremos dar una respuesta precisa con el simple uso de nuestros sentidos, ni nos suministran una información cuantitativa de los fenómenos observados. Por lo tanto medir una magnitud es en esencia compararla con otra de la misma clase, tomando como referencia o patrón, que se elige convencionalmente. Haciendo énfasis en que no siempre se pueden hacer medidas directas (utilizando instrumentos de medida, como el cronometro, la cinta métrica, un dinamómetro, etc.), sino que la física se ha ayudado más de las veces en las mediciones indirectas (a través de medidas directas y el uso de fórmulas o procedimientos matemáticos, como Área = largo x ancho, etc.). Variable física Es todo atributo de un sistema físico que se pueda percibir. Las variables se expresan mediante números que deben de corresponder a determinadas unidades de medida. Hay dos clases de variables, las vectoriales y las escalares. Las escalares se escriben mediante una cifra acompañada de una determinada unidad de medida, en cambio las vectoriales además de expresarlas como las escalares es necesario informar una dirección y un sentido. Magnitud física Es la medición de un atributo físico que consiste en una variable física o una constante física, la que se expresa con una cifra acompañada de determinadas unidades de medida. La importancia de tener la medición de una variable, es decir su -magnitud física-, es que sirve junto con otras magnitudes que tengan las mismas unidades de medida para hacer comparaciones y relaciones matemáticas. Unidades de medida Se establecen arbitrariamente, aunque se procura que tengan relación con fenómenos físicos que sean repetibles, es indispensable que se puedan reproducir cada vez que sea necesario, pero además es necesario que se establezcan convencionalismos para que las personas, comunidades científicas y países se comuniquen entre sí, por lo cual conviene que se usen las mismas unidades en distintos


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lugares , las que deben servir de referencia común para comparar cuantitativamente el mismo atributo físico en diferentes momentos y situaciones. De las unidades establecidas se pueden agrupar en dos tipos:

i) Las unidades fundamentales que correspondientemente miden variables fundamentales, ejemplos: distancia, masa, tiempo, carga eléctrica, para el Sistema Internacional de medidas “SI” las correspondientes a las variables enunciadas son: el metro “m”, el Kilogramo “Kg.”, el segundo “s”, etc.

ii) Y las unidades derivadas que miden variables derivadas, también llamadas compuestas, ejemplos: velocidad, aceleración, fuerza, energía, potencia; en el “SI” las correspondientes a las mencionadas son: m/s, m/s2 , 1 N = 1Kg m /s2 , 1J = 1 N m, 1W = 1 J/s

Magnitud física Las magnitudes físicas tienen un valor numérico que expresa su tamaño en relación con una medida que sirve de referencia, y una dimensión. Así una magnitud es una cantidad y una dimensión. Ejemplo 10 kilogramos de azúcar son un número y la expresión de una propiedad física la masa, cuya unidad es el kilogramo [1 kg] Coinciden en nuestro país dos sistemas de unidades: el sistema internacional de unidades (SI), y el sistema inglés. El SI es el oficialmente destinado a los cálculos científicos y en muchas de las mediciones comunes en México; el otro, el sistema inglés se emplea porque muchos productos tecnológicos vienen de los EU (libra, pulgada, segundo) y ellos siguen empleando estas unidades de medición. Sistema inglés de unidades. Tiene como dimensiones fundamentales la longitud, el tiempo y la fuerza. En éste la longitud es el pie (ft), el tiempo el segundo (s) y fuerza la libra fuerza (lb). El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema de unidades que se debe emplear en los cursos de Física, aunque siempre aparecen algunas magnitudes en otros sistemas de unidades, las cuales se deben manejar en el SI mencionado. El Sistema Internacional SI se compone de siete magnitudes fundamentales, también llamadas básicas, que se presentan en la tabla siguiente.

SISTEMA INTERNACIONAL (SI)

DIMENSIONES FUNDAMENTALES UNIDADES SÌMBOLO

Corriente eléctrica ampere A

Cantidad de materia mol mol

Intensidad de luz candela cd

Ángulo radián rad

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Temperatura kelvin K

Tiempo segundo s


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Y algunas unidades derivadas se muestran a continuación:

Prefijos de las unidades de medición. Los prefijos se utilizan para cualquiera de las unidades, ejemplo mili-metro, mili-segundo, mili-ohm, mili-watt, etc. los guiones aquí aparecen para enfatizar al prefijo pero no se emplean.

Lista de varios prefijos que se usan con frecuencia

nombre

del prefijo

abreviatura

como se

escribe

Equivalencia

en potencias

de diez

la cifra llana

Empleo del

prefijo con la

unidad de

tiempo el

segundo “s”

Empleo de

potencias de diez

en lugar del

prefijo con el

segundo “s”

Mega M 106 1 000 000 Ms 10

6s

Kilo K 103 1000 Ks 10

3s

Centi C 10-2

0.01 Cs 10-2

s

Mili M 10-3

0.001 Ms 10-3

s

micra (o) 10-6

0.000001 s 10-6

s

Nano N 10-9

0.000000001 Ns 10-9

s

Pico P 10-6

0.000000000001 Ps 10-12

s

DIMENSIONES

DERIVADAS SÍMBOLO

NOMBRE DE

LA UNIDAD

EN UNIDADES

FUNDAMENALES

Aceleración a m/s2 m/s

2

Aceleración angular rad/s2 1/s

2

Área A metro cuadrado m2

Cantidad de movimiento p kg*m/s kg*m/s

Energía E joule J = kg*m/s2

Frecuencia f hertz Hz = 1/s

Frecuencia angular rad/s 1/s

Fuerza F newton N = kg*m/s2

Periodo T segundo S

Potencia P

watt W = kg*m2/s

3

caballo de

potencia 746 W

Presión P pascal Pa = N/m2

Trabajo W joule J = kg*m2/s

2

Velocidad v m/s m/s

Velocidad angular omega) rad/s 1/s

Volumen V metro cúbico m3


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Para expresar el valor de cualquier magnitud física, se debe expresar con una cantidad numérica y el nombre de la unidad (esta es usando una sola letra); si aparecen dos letras, la primera indica el prefijo y la segunda la unidad (como se indica en los ejemplos de la segunda tabla): Combinación prefijo-unidad.

4 mm (milímetros) = 4 x 10-3 m coulomb) = 8 x 10-6 C

25 s (microsegundos) = 25 x 10-6 s 45 km (kilometros) = 45 x 103 m

3.4 cN (centinewton ) = 3.4 x 10-2 N 4.2 kJ (kilojoule) = 4.2 x 103 J

2.5 M (Megaohm) = 2.5 x 106 3.8 nw (nanogramos) = 3.8 x 10-9 g

CONVERSION DE UNIDADES. Es un problema común tener una cantidad o magnitud física expresada en unas unidades y se desea expresarla en otras unidades, para resolver se tienen varias estrategias: una es dada la equivalencia entre unidades establecer la regla de proporción (Regla de tres), la otra es multiplicar la cantidad por el factor de conversión adecuado. Este factor de conversión no altera la cantidad sólo la expresa en otras unidades. Una ventaja del factor de conversión es que no se requiere de una tabla muy extensa y exhaustiva de equivalencias entre unidades, para realizar la conversión. EJEMPLO 1. ¿Cuál es la equivalencia de 70 cm en pulgadas (in)? Solución La tabla de conversión nos dice que 2.54cm = 1in, por lo que podemos escribir

las dos razones siguientes: cm

in

54.2

1o

in

cm

1

54.2

La relación conveniente tiene los centímetros en el denominador, ya que al multiplicar

esta razón con los cm del 70, se eliminan.

incm

incm 56.27

54.2

170

Así, quedan convertidos los 70cm en 27.56in.

Ejemplo 2. ¿Cuántos metros por segundo son 90 km/h?

Reflexión: Algunas veces, para realizar la conversión es necesario multiplicar por varios

factores de conversión. Tal es el caso de conversiones donde se deben cambiar dos

unidades a la vez. Recuerda que podemos hacer esta operación porque estamos

multiplicando y dividiendo la cantidad inicial por uno, y multiplicar por uno no afecta la

cantidad.

Solución: Sabemos que 1 km = 1 000 m y que 1 h = 3 600 s.

La expresión queda así: s

m

s

h

km

m

h

km25

3600

1

1

100090

1000m entre 1km es uno y 1h entre 3600 es uno. Así que la operación es válida.


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EJEMPLO 3. ¿Cuántas pulgadas cuadradas (in2) son 896 cm2?

Reflexión. Cuando se trata de unidades al cuadrado es necesario emplear dos veces la

misma relación de conversión; como en este caso que se trata de convertir en pulgadas

cuadradas un área inicialmente dada en centímetros cuadrados.

Solución

2

2

222 88.138

4516.6

1896

54.2

1

54.2

1896 in

cm

incm

cm

in

cm

incm

EJEMPLO 4. Encuentra la equivalencia de 320L/s en m3/min

Tenemos que: 1 m3 = 1000L y 1min = 60s

min2.19

1000

1

min1

60320

33 m

L

ms

s

L

EJEMPLO 5. ¿Cuántos pesos son 60 € (euros)?

Solución:1 € = 1.1184 USD, y 1 USD = $15.6854 (peso)

(Fuente: Banco de México, 30 de junio 2015). Por lo tanto:

55.1052$1

6854.15

1

1184.160

USD

pesos

euro

USDeuros

4. Ejemplos de hechos históricos trascendentes de la física.

La física es la ciencia experimental que trata los objetos materiales y sus propiedades, y trata de ofrecer una respuesta a la cuestión de cuál es la estructura del mundo en que vivimos. Los pensadores griegos fueron los primeros en teorizar sobre esta cuestión, proponiendo diversas soluciones: el agua (Tales de Mileto), los cuatro elementos (tierra, aire, agua y fuego; Empédocles) o los átomos (Leucipo, Demócrito y Epicuro). Otros centraron sus especulaciones en problemas más concretos, como la óptica (Euclides) o la estática e hidrostática, como el empuje de los fluidos y los principios de las palancas (Arquímedes). No obstante, en sus albores, esta ciencia continuó con la indiscutible personalidad de Aristóteles, cuya obra se mantuvo vigente hasta que autores como N. Copérnico, J. Kepler y Galileo Galilei iniciaron la revolución que culminaría en el siglo XVII con el nacimiento de la llamada física clásica.

Así pues, en el siglo XVII se asistió a la formulación de la teoría relativa al magnetismo terrestre (W. Gilbert (1544-1603), al establecimiento de las bases de la dinámica y a la formulación de las leyes de la caída de los cuerpos (G. Galilei 1564-1642). Isaac Newton (1642-1727), por su parte, estableció el concepto de masa y formuló la teoría de la gravitación universal (en su obra Philosophia Naturalis Principia Mathematica, 1682). También creó el formalismo necesario para el tratamiento


19

19

matemático de dicha teoría (cálculo de fluxiones) y demostró la validez de las leyes del movimiento de los planetas, obtenidas empíricamente por J. Kepler (1571-1630). Ch. Huygens (1629-1695) dedujo el teorema de la energía cinética y aplicó los estudios de G. Galilei sobre el péndulo a la regulación de los relojes. Por otra parte, los trabajos de P. Gassendi (1592-1655) y R. Boyle (1627-1691) sacaron del olvido las concepciones materialistas y permitieron formular una nueva teoría atómica de la materia, y el establecimiento de la existencia tanto del vacío como de la atmósfera (E. Torricelli, 1608-1847; B. Pascal, 1623-1662, y O. von Guerricke, 1602-1686). Al mismo tiempo, el desarrollo de la estática y de la dinámica recibió un fuerte empuje por parte de S. Stevin (1548-1620), al igual que la óptica (Ch. Huygens, R. Descartes, 1596-1650, y W. Snell, 1591-1626).

D.G. Fahrenheit (1686-1736) desarrolló la teoría del calor, y junto con A. Celsius (1701-1744) definió la temperatura, estableciendo escalas para medirla. La termodinámica experimentó también un desarrollo espectacular con la formulación, en 1824 por S. Carnot (1796-1832), del llamado segundo principio, y del primer principio, en 1842, por R. Mayer (1814-1878). A este proceso contribuyó asimismo R. Clausius (1822-1888), al definir el concepto de entropía. Finalmente, L. Boltzmann (1844-1906) culminaría este proceso con la formulación de la mecánica estadística.

Durante el siglo XVIII se produjo un fecundo desarrollo de la mecánica clásica, como continuación de los trabajos de I. Newton. Por otro lado, la electricidad, que hasta ese momento no había dejado de ser más que una mera curiosidad científica, experimentó un notable desarrollo, gracias, sobre todo, a los trabajos de Ch.A. Coulomb (1736-1806), que ya entrado el siglo XX serían completados por Ch. Oersted (1777-1851), G.S. Ohm (1787-1854), A.M. Ampere (1775-1836) y M. Faraday (1791-1867). Finalmente, la confirmación de la teoría ondulatoria de la luz por parte de T. Young (1773-1829) y A.J. Fresnel (1788-1827) permitió a J.C. Maxwell (1831-1879) unificar, en 1865, dos disciplinas hasta entonces diferentes, la electricidad y el magnetismo, mediante la formulación de una teoría electromagnética de la luz que sería confirmada experimentalmente, en 1887, por H.R. Hertz (1857-1894). Hacia fines del siglo XIX, la física parecía haber alcanzado un estadio de completitud definitiva con la integración de la mecánica y la termodinámica en la mecánica estadística, y de la electricidad y la óptica a través de la teoría unificada las ondas electromagnéticas. Sin embargo, ciertos fenómenos, como el carácter corpuscular de la electricidad (determinación de la relación carga-masa para el electrón), el carácter negativo de la carga electrónica, la identificación de los electrones y los rayos catódicos, y el establecimiento de la carga del electrón, obligaron a los físicos a replantearse muchas de las concepciones clásicas dando lugar al nacimiento de la llamada física moderna.

Durante el Siglo XX la Física se desarrolló plenamente: En 1904 se propuso el primer modelo del átomo. En 1905 Einstein formuló la Teoría de la Relatividad especial, la cual coincide con las Leyes de Newton cuando los fenómenos se desarrollan a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. En 1915 Einstein extendió la Teoría de la Relatividad especial formulando la Teoría de la Relatividad general, la cual sustituye a la Ley de gravitación de Newton y la comprende en los casos de masas pequeñas. Planck, Einstein, Bohr y otros desarrollaron la Teoría


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20

cuántica a fin de explicar resultados experimentales anómalos sobre la radiación de los cuerpos. En 1911 Rutherford dedujo la existencia de un núcleo atómico cargado positivamente a partir de experiencias de dispersión de partículas. En 1925 Heisenberg y en 1926 Schrödinger y Dirac formularon la Mecánica cuántica, la cual comprende las teorías cuánticas precedentes y suministra las herramientas teóricas para la Física de la materia condensada. Posteriormente se formuló la Teoría cuántica de campos para extender la Mecánica cuántica de manera consistente con la Teoría de la Relatividad especial, alcanzando su forma moderna a finales de los 40 gracias al trabajo de Feynman, Schwinger, Tomonaga y Dyson, quienes formularon la Teoría de la Electrodinámica cuántica. Asimismo, esta teoría suministró las bases para el desarrollo de la Física de partículas. En 1954 Yang y Mills desarrollaron las bases del Modelo estándar. Este modelo se completó en los años 70 y con él fue posible predecir las propiedades de partículas no observadas previamente pero que fueron descubiertas sucesivamente siendo la última de ellas el quark top. En la actualidad el modelo estándar describe todas las partículas elementales observadas así como la naturaleza de su interacción. La física del Siglo XXI La física sigue enfrentándose a grandes retos, tanto de carácter práctico como teórico, a comienzos del siglo XXI. El estudio de los sistemas complejos dominados por sistemas de ecuaciones no lineales, tal y como la meteorología o las propiedades cuánticas de los materiales que han posibilitado el desarrollo de nuevos materiales con propiedades sorprendentes. A nivel teórico la astrofísica ofrece una visión del mundo con numerosas preguntas abiertas en todos sus frentes, desde la cosmología hasta la formación planetaria. La física teórica continúa sus intentos de encontrar una teoría física capaz de unificar todas las fuerzas en un único formulismo en lo que sería una teoría del todo. Entre las teorías candidatas debemos citar a la teoría de supercuerdas. Resuelve: 23.- Relaciona las siguientes columnas:

( ) 1.- Estableció los fundamentos de la palanca y del comportamiento de los fluidos en el principio que lleva su nombre. ( ) 2.- Para un circuito eléctrico, encontró la relación entre el voltaje y la corriente eléctrica. ( ) 3.- Formuló las leyes de la caída de los cuerpos. ( ) 4.- Estableció el concepto de masa y formuló la teoría de la gravitación universal. ( ) 5.- Desarrolló la teoría del calor. ( ) 6.- Participante en elaborar la Mecánica cuántica. ( ) 7.- Formuló la Teoría de la Relatividad especial.

a) Aristóteles. b) Blas Pascal. c) Arquímedes. d) Galielo Galilei. e) Isaac Newton. f) James Joule. g) William Thomson. h) Daniel Fahrenheit i) George Ohm. j) Alejandro Volta. k) Schrödinger l) Albert Einstein.


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21

5. ALGEBRA VECTORIAL.

a) ¿Qué es un vector? Hay dos tipos de cantidades físicas, escalares y vectores. Cantidades escalares solo tienen magnitud (valor numérico y unidad): ejemplos de éstas son la distancia, el tiempo, la masa, la Temperatura, la energía, etc. Una cantidad vectorial se compone de tres partes: una parte escalar (magnitud), una dirección y un sentido. Por ejemplo, la velocidad de un objeto está formada por la magnitud de la velocidad del objeto y la dirección en la que se está moviendo. Del mismo modo, al considerar la distancia y darle una dirección y sentido, se convierte en un vector (el desplazamiento), tal como 2 kilómetros desde el sur hacia el este. La distancia es un escalar, mientras que el desplazamiento es un vector. Los vectores y los escalares son útiles. Por ejemplo, si se corre alrededor de una habitación varias veces y se termina de vuelta donde se empezó, se ha recorrido una distancia por ejemplo de 50 metros; pero el desplazamiento es 0 ( el vector nulo). El vector nulo es el único vector que no tiene dirección. Notación vectorial Se tienen las siguientes representaciones algebraicas de los vectores:

Símbolo Significado

un vector desde el punto a hasta el punto b.

a vector llamado 'a'.

A vector 'a'.

a vector llamado 'a'. Esta representación se usa en algebra.

o |a| o |a| El modulo o magnitud del vector.

b) Suma de vectores. Procedimiento Gráfico. Para efectuar la suma de los vectores A y B: a. Se dibuja los vectores -a la escala para que quepan en el cuaderno- con el ángulo correspondiente de cada uno. b. Se dibujan ambos vectores partiendo de un punto común (Ver Fig. 1.1.a), a la escala elegida y respetando el ángulo de cada vector. c. Trazar una línea auxiliar paralela a cada vector por la punta de cada uno. d. El vector suma es la diagonal que sale del punto inicial y llega a la intersección de las dos rectas paralelas (Ver Fig. 1.1.b).

Figura 1(a) Figura 1(b)


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22

Suma de vectores por el método del polígono

Observa con detenimiento la figura 1.2 en donde se muestra la secuencia lógica que

sirve para sumar más de dos vectores. Se llama método del polígono porque

normalmente se genera una figura con varios lados —un polígono—, si la suma no es

cero tendrá n+1 lados. En donde n es el número de vectores que se suman. El lado n+1

es el resultado de la suma, al que se le llama vector resultante R.

Figura 1.2 (a) Figura 1.2 (b) Figura 1.2 (c)

a. Representamos las magnitudes vectoriales por medio de segmentos dirigidos

(línea recta con flecha en el extremo) con la longitud proporcional a la magnitud del

vector, con la dirección y sentido correspondiente.

b. Elegimos uno de los vectores, en este caso b y lo dibujamos a escala con su

tamaño y dirección,

c. Dibujamos a, de manera que su origen coincida con la punta de b,

d. El tercer vector c, se dibuja a partir de la punta de a,

e. El vector d se dibuja a partir de la punta de c,

f. La suma vectorial o resultante, es un nuevo vector al que hemos llamado R

Resultante (Ver Fig. 1.2.b). Este vector se inicia en donde inició b y termina en la

punta de d. El segmento de recta que hemos llamado Resultante representa la

magnitud y la dirección de la suma de los cuatro vectores (a, b, c y d). Esta

magnitud se encuentra empleando la misma proporción que se usó con los cuatro

vectores.

g. Su dirección, que es el ángulo, se mide con ayuda de un transportador.

h. Puede ocurrir que al dibujar los vectores tal como se dijo, se crucen y no se

produzca un polígono. Eso no importa, no afecta el resultado, pero si se ordenan

de otra manera puede resultar un polígono común, teniéndose la misma

Resultante (Ver Fig. 1.2.c).


23

23

Ejemplo 1.1. Suma gráficamente los vectores A = 50 N, 60° y B = 80 N, 0°.

Dibuja A mediante un segmento de recta de 5.0 cm con 60° con respecto a la horizontal.

Ahora dibuja B de 8.0 cm horizontalmente hacia la derecha —a cero grados—, haz que

coincida con el origen de A. Completa el paralelogramo y en el vértice opuesto se tiene la

punta del vector Resultante. Este es R, el vector fuerza que tiene como magnitud 11.4 N

y con ángulo de 22°

Ejercicios:

27.- Suma gráficamente los vectores desplazamiento A, B y C cuyas magnitudes y

dirección (ángulos) son: A= 120 m, 30°; B= 60 m, 120°; y C= 90 m, 270°.

28.- Obtén la resultante para las fuerzas: F1 = 1500 N, 0° y, F2 = 1000 N 45°.

29.- Determina la suma vectorial de los desplazamientos:

d1 = 50 m, 270° y d2 = 100 m, 150°.

c) Método algebraico para sumar vectores colineales y/o paralelos.

Ejemplo: Si queremos sumar los vectores: A= 4 m, 0°; B= 5 m, 0°; y C= 6 m, 180°.

Trazamos uno a continuación del otro, obteniéndose:

A= 4 m, 0°; B= 5 m, 0°

C= 6 m, 180°.

R = 3 m, 0°

Nota: Aunque en el esquema parecen separados es para mostrar cada vector,

pero en realidad todos están en la misma línea.

Nótese que se puede abreviar la suma gráfica, solamente marcando signos.

Generalmente se acepta por lo común, sentido a la derecha () positivo, sentido a la

izquierda () negativo.

Pudiéndose realizar la suma vectorial de manera algebraica:

R = A + B + C = +4 m +5 m -6 m = 3 m

Como el resultado es positivo, la resultante es con sentido a la derecha.

Método: Cuando se tienen n vectores representados sobre la misma línea (colineales),

la suma vectorial se realiza mediante una suma algebraica, marcando signos de


24

24

referencia, se acepta por lo común, sentido a la derecha o hacia arriba positivo, sentido a

la izquierda o hacia abajo negativo. Efectuándose finalmente una suma algebraica,

donde el vector suma o resultante se ubica en la misma dirección y con sentido de

acuerdo al resultado obtenido.

Ejemplo: Obtén la suma vectorial de los siguientes desplazamientos:

40 m 20 m 35 m 45 m 32 m 75 m

La magnitud es: R = -40 m + 20 m – 35 m +45 m + 32 m – 75 m = - 53 m

Por lo que la resultante R es un vector horizontal de 53 m que apunta hacia la izquierda.

Ejercicios. Obtén la Resultante de cada sistema de vectores:

30.-

75 m 60 m 40 m

110 m 120 m

31.-

125 m 165 m

185 m 200 m

6. Método algebraico analítico para sumar vectores perpendiculares.

Ejemplo: Si queremos sumar los vectores: A= 12 m, 0° y, B= 5 m, 90.

Trazamos uno a continuación del otro, obteniéndose:

A = 12 m,0° B = 5m,90°, la Resultante va del inicio de A, hasta el final

de B, quedando como la hipotenusa del triángulo rectángulo, cuya magnitud se obtiene

con el teorema de Pitágoras e inclinación con la función inversa de la tangente:

R

A B

R = √𝐴2 + 𝐵2 = √(12𝑚)2 + (5𝑚)2 = √144 𝑚2 + 25 𝑚2 = √169 𝑚2 = 13 𝑚

Y su dirección: 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝐵

𝐴) = 𝑡𝑎𝑛−1 (

5 𝑚

12 𝑚) = 𝑡𝑎𝑛−1 0.416 = 22.62°

En general, para sumar vectores perpendiculares se aplica el teorema de Pitágoras

para conocer la magnitud de la resultante, a partir de los valores de los vectores

ubicados en el eje x [Rx] y en del eje y [Ry]. Y la dirección o ángulo con la inversa de la

tangente con las ecuaciones siguientes:


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25

Para la magnitud: 𝑅 = √𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦

2

Y su dirección: 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑅𝑥

𝑅𝑦

Ejemplo: Realiza la suma vectorial de los siguientes vectores:

Rx = 80 m, 0° y, Ry = 60 m,270°

Rx Ry (por tener sentido hacia abajo se le asigna -)

R

R = √𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦

2 = √(80𝑚)2 + (−60𝑚)2 = √6400 𝑚2 + 3600 𝑚2 = √10000 𝑚2 = 100 𝑚

Y su dirección: 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑅𝑥

𝑅𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 (

−60 𝑚

80 𝑚) = 𝑡𝑎𝑛−1 − 0.75 = − 36.87°

En este caso el ángulo se mide a partir del eje x positivo en el sentido de las manecillas

de un reloj.

Ejercicios: Determina la suma vectorial de los vectores:

32.- Rx = 500 m, 180° y, Ry = 800 m, 90°

33.- Fx = 30 N, 0° y, Fy = 60 N, 270°

AUTOEVALUACIÓN 1.- ¿Cuál de los siguientes datos son vectores? • 20 cm; • 9.8 m/s2 hacia el centro de la tierra; • 5 km al sur-este; • 5 m/s; • 20 °C; • 500 m/s en el eje de un cojinete de 285.3°; 2.- Determina el vector desplazamiento d resultante de la suma de dos vectores: el primero de 5 m al norte y el otro de 10 m al sureste. 3.- Un móvil viaja con una velocidad de 12 m/s con rumbo de 30° sobre el Este, ¿qué valor tienen las componentes de la velocidad en la dirección al norte y al este? 4.- La resultante de los desplazamientos 60 m al Este o Oriente, 50 m al Este o Oriente y 40 m hacia el Oeste o Poniente, es: 5.- Si caminas 75 m al Norte y 100 m al Oeste o Poniente, la magnitud de tu desplazamiento es de:


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26

Respuestas a las preguntas de autoevaluación: 1. ¿Cuál de los siguientes datos son vectores? • 20 cm; este es un escalar, no tiene dirección. • 9.8 m/s2 hacia el centro de la tierra; este es un vector. • 5 km al sur-este; es un vector. • 5 m/s; es un escalar. • 20 °C; es un escalar. • 500 m/s en el eje de un cojinete de 285.3° es un vector. 2. Determina el vector desplazamiento d resultante de la suma de dos vectores: el primero de 5 m al norte y el otro de 10 m al sureste.

magnitud Dirección componente horizontal (m) componente vertical (m)

5 m 0° A cos = (5m) cos 90° = (5m) (0) = 0

A sen = (5m) sen 90° = (5m) (1) = 5 m

10 m 135° B cos = (10m) cos -45° = (10m) (0.7071) = 7.071 m

B sen = (10m) sen (- 45°) =(10m) (-0.7071) = -7.071 m

Por lo que la resultante será: dx = 0 + 5 m = 5 m dy = 5 m - 7.071 m = - 2.071 m

d = √[dx2 + dy

2 ]

= √[(5 m)2 + (-2.071 m)2] = √[25 m2 + 4.289 m2 ]

d = √[29.289 m2 ] = 5.411 m

cuya dirección, será: = tan-1(dy /dx) = tan-1(-2.071 m /5 m) = tan-1(- 0.4142) = - 22.5° Entonces, d = 5.411 m, - 22.5° = 5.411 m, 22.5° abajo del Este. 3. Un móvil viaja con una velocidad de 12 m/s con rumbo de 30° sobre el Este, ¿qué valor tienen las componentes de la velocidad en la dirección al norte y al este? La componente en la dirección del Este, es:

vx = v cos = (12 m/s) cos 30° = (12 m/s) (0.866) = 10.392 m/s La componente en la dirección del Norte, es:

vy = v sen = (12 m/s) sen 30° = (12 m/s) (0.500) = 6.000 m/s


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27

4. La resultante de los desplazamientos 60 m al Este, 50 m al Este y 40 m hacia el Oeste, es: En este caso todos los vectores se ubican en la misma dirección. (Línea horizontal) 60 m al Este = 60 m, 0° = + 60 m 50 m al Este = 50 m, 0° = + 50 m 40 m hacia el Oeste = 40 m, 180° = - 40 m R = = + 60 m + 50 m - 40 m = 70 m Por resultado de vectores colineales y (+), la resultante es: R = 70 m, 0° = 70 m hacia el Este. 5. Si caminas 75 m al Norte y 100 m al Oeste o Poniente, la magnitud de tu desplazamiento es de:

75 m al Norte = 75 m, 90° ⟹ dy = + 75 m

100 m al Oeste = 100 m, 180° ⟹ dx = - 100 m

d = √[dx2 + dy

2 ]

= √[(75 m)2 + (-100 m)2] = √[5 625 m2 + 10 000 m2 ] = √[152625 m2 ]

d = 125 m

Y cuya dirección, será: = tan-1(dy /dx) = tan-1(75 m /-100 m) = tan-1(- 0.75) = - 36.87° Entonces, d = 125 m, 143.13°

6.- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO. Para establecer si se tiene movimiento, se requiere de: a) un sistema de referencia. b) cambios de posición con respecto al sistema de referencia. c) que transcurra un intervalo de tiempo. Las características que permiten describir un movimiento son: Trayectoria: es el camino descrito en el movimiento (conjunto de puntos seguidos por un móvil al pasar de un punto inicial al punto final de un movimiento). Es dependiendo de la trayectoria el que se le asigne nombre a los movimientos: (rectilíneo, circular, parabólico, etc.). La trayectoria más simple es la Rectilínea. Distancia recorrida: es la longitud medida sobre el movimiento. Desplazamiento: nos representa el cambio de posición descrito en un movimiento (es un vector que se dirige del punto inicial al final del movimiento): Rapidez: representa el cociente de la distancia recorrida en cada unidad de tiempo. Velocidad: Es un vector que representa la relación entre el desplazamiento realizado en cada unidad de tiempo. Aceleración: es el vector que muestra los cambios de velocidad realizados en cada unidad de tiempo.


28

28

Ejemplo: Una persona recorre 110 m hacia el Este, después se dirige 30 m hacia el Sur, 60 m hacia el Oeste y otros 40 m hacia el Sur y finalmente viaja 50 m hacia el Oeste; todo ello en 20 minutos. Determina su rapidez y velocidad.

i 1 Escala: cada cuadrito, mide por lado 10 m. trayectoria desplazamiento i punto inicial del movimiento f punto final del movimiento

2

3

4

f 5

Con la longitud de la trayectoria, tenemos: distancia recorrida: d = 290 m rapidez de: v = 290 m/20 min = 14.5 m/min

Usando el vector desplazamiento: desplazamiento total: d = 90 m, 270° velocidad media: v = 90 m, 270°/20 min = 4.5 m/min, 270°.

Ejemplo: Una persona recorre en bicicleta una pista circular de 100 m de diámetro dándole 2 ½ vueltas en 200 s. ¿Cuánto son su rapidez y velocidad?

trayectoria desplazamiento i punto inicial del movimiento f punto final del movimiento

La longitud de la trayectoria, son 2 ½ circunferencias, por ello:

distancia recorrida: d = 2 ½ C = 2 ½ ( D) = 2 ½ [ (100 m)] = 785.4 m rapidez de: v = 785.4 m/180 s = 4.363 m/s

Usando el vector desplazamiento: desplazamiento total: d = 100 m, 0° velocidad media: v = 100 m, 0°/180 s = 0.556 m/s, 0°.


29

29

UNIDAD II. FENÓMENOS MECÁNICOS. II.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Es el movimiento que se describe sobre una trayectoria rectilínea, manteniéndose constante la velocidad. Sus características son:

1. La velocidad es constante y su magnitud se calcula con la fórmula

𝑣 =𝑑

𝑡 (1)

Las unidades más frecuentemente utilizadas son km/h y m/s Es importante señalar que solamente en este tipo de movimiento la rapidez y la velocidad coinciden en su magnitud. La velocidad lleva la misma dirección todo el tiempo y por lo tanto podemos hablar de rapidez o valor de la velocidad. Recuerda: velocidad = desplazamiento / tiempo rapidez = distancia / tiempo

el valor del desplazamiento y la distancia en este caso son iguales. 2. Para el MRU la gráfica distancia - tiempo resulta una línea recta ya que a tiempos

iguales corresponden distancias recorridas iguales. 3. También se tiene para el MRU que la gráfica rapidez – tiempo es una línea recta

horizontal debido a la constancia en la rapidez.

4. La pendiente de la gráfica distancia vs tiempo, siempre señala el valor de la velocidad.

5. El área bajo la gráfica velocidad vs tiempo indica la distancia recorrida. EJEMPLOS 1.- Calcular la rapidez de una corredora que avanza los 800m en 120 s. Solución: a) Hay que recordar que rapidez = distancia / tiempo. b) En este caso se conocen ambos valores de distancia y tiempo, por lo que solo nos falta sustituir los datos y realizar la operación indicada.

d

t

gráfica d vs t

v

t

gráfica v vs t


30

30

c) Sustituyendo: v = d / t = 800 m / 120 s = 6.67 m/s 2.- Determina la distancia que recorre un móvil que se mueve de manera uniforme con un valor de 2.4 m/s durante 4.25 minutos. Solución: a) En este caso de la ecuación: rapidez = distancia / tiempo, se despeja a la distancia: d = v t b) Se convierte de minutos a segundos, 4.25 min ( 60 s / 1 min) = 255 s c) Sustituyendo datos: d = (2.4 m/s) (255 s) = 612 m 3.- Encuentra el tiempo en que un móvil recorre 1620 m, si lo hace de manera uniforme a 8.5 m/s. Solución: a) De la ecuación: rapidez = distancia / tiempo, se despeja al tiempo: t = d / v b) Sustituyendo datos: t = 1620 m / 8.5 m/s = 190.59 s 4.- Calcular la rapidez del planeta Marte alrededor del Sol si su período es de 687 días y la distancia media al Sol es de 228 millones de kilómetros. Solución: a) Hay que recordar que rapidez = distancia / tiempo. b) El tiempo que sabemos es el período de Marte alrededor del Sol. En este caso son 687 días que deben convertirse a horas, simplemente multiplicando por el factor 24 puesto que cada día terrestre tiene 24 horas: 687 X 24 = 16488 horas

a) Para calcular la distancia, se debe considerar la longitud recorrida en el período de Marte, es decir la longitud de su trayectoria alrededor del Sol. Para ello, se debe suponer que la órbita es circular, entonces basta calcular el perímetro de la circunferencia con la fórmula:

P = 2 R = 2 (3.14) (228 X 106 Km) = 1431.84 X 106 Km b) Finalmente se calcula la rapidez V = d / t = 1431.84 X 106 Km / 16488 h = 0.0868413 X 106 Km / h Para quitar el exponente se recorre el punto decimal 6 lugares a la derecha. Por lo tanto, la velocidad de Marte alrededor del Sol es v = 86841.3 Km / h 5.- Dada la siguiente gráfica de la posición contra tiempo de un cuerpo en movimiento, construye la gráfica rapidez contra tiempo correspondiente. Solución: a) Se calcula la rapidez en cada tramo de la gráfica, utilizando v = d /t Para los primeros 2 segundos la rapidez es v = 4 m / 2 seg = 2 m/s

R = Distancia media al Sol

= 228 X 106 Km

Sol

Perímetro

P = 2R

R

Marte


31

31

Para los siguientes 2 segundos la rapidez es v = 0 m / 2 seg = 0 m/s Para los últimos 2 segundos la rapidez es, v = 6 m / 2 seg = 3 m/s

6.- Dada la gráfica rapidez contra tiempo, construye la gráfica posición contra tiempo correspondiente.

Solución Se calcula la distancia recorrida en cada tramo a través de la fórmula d=rapidez x tiempo. Para los primeros 2 s: d = (1m/s)(2 s) = 2m Para los siguientes 2s: d = (0 m/s)(2 s) = 0 m Para el intervalo 4-6 s: d = (2 m/s)(2 s) = 4 m Finalmente para el intervalo 6-8 s: d = (-2 m/s)(2 s) = -4 m. La gráfica queda como sigue:

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10

po

sic

ión

(m

)

tiempo (seg)

gráfica posición-tiempo

Seri…

0 2 4 6 6 8 tiempo

(s)

Rapidez

(m/s) 3

2

1

-1

-2


32

32

7.- Una hormiga debe cruzar un patio de 8 m de longitud. Si se mueve con una rapidez constante de 0.25 cm en cada segundo. En cuánto tiempo (minutos) cruzará el patio? Datos d = 8 m = 80 dm. = 800 cm. v = 0.25 cm/s t = ? Fórmula v = d/t Despeje t = d/v Sustitución t = 800 cm / 0.25 cm/s = 3200 seg Como cada minuto tiene 60 segundos, al dividir entre 60 se obtiene el tiempo en minutos. Por lo tanto el resultado es t = 3200 / 60 = 53.33 minutos

EJERCICIOS

5. Calcular la rapidez del planeta Júpiter alrededor del Sol si su período es de 11.86 años y la distancia media al Sol es de 778 millones de kilómetros.

6. Dada la gráfica posición contra tiempo, construye la gráfica rapidez contra tiempo correspondiente.

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

dis

tan

cia

(m

)

tiempo (seg)

gráfica distancia - tiempo

02468

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

dis

tan

cia

(m

)

tiempo (seg)

gráfica posición - tiempo


33

33

7. Dada la gráfica posición contra tiempo, construye la gráfica rapidez contra tiempo correspondiente.

8. Dada la gráfica rapidez contra tiempo, construye la gráfica posición contra tiempo correspondiente.

9. Dada la gráfica rapidez contra tiempo, construye la gráfica posición contra tiempo correspondiente

02468

1012

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

dis

tan

cia

(m

)

tiempo (seg)

gráfica posición - tiempo

02468

1012

0 1 2 3 4 5 6 7

rap

idez (

m/s

)

tiempo (seg)

gráfica rapidez - tiempo

-6-4-202468

1012

0 2 4 6 8 10rap

idez (

m/s

)

tiempo (seg)

gráfica rapidez - tiempo


34

34

10. ¿Qué distancia recorre la luz en 320 segundos? Considera que la rapidez de la luz es de 3 X 108 m/s

a) 9.6 X 1015 m b) 3 X 108 Km c) 9.6 X 108 Km d) 9.6 X 106 Km 11. Un coche sale a determinada hora con una rapidez constante de 60 Km/h. Dos

horas después un segundo coche parte del mismo lugar con una rapidez constante de 90 Km/h. en la misma dirección que el primero ¿Cuánto tiempo después de que partió el primer coche, el segundo alcanza al primero? Suponer que la trayectoria es recta.

a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas

12. Tomando en cuenta el ejercicio anterior, ¿Qué distancia llevaban recorrida cuando

el segundo coche alcanzó al primero? a) 200 Km b) 260 Km c) 300 Km d) 360 Km

13. Dos coches parten al mismo tiempo, por los extremos de una trayectoria recta, en

sentidos contrarios de tal manera que al paso del tiempo se van acercando. ¿En qué tiempo después de haber partido y a qué distancia respecto de la salida del coche A se encuentran? El coche que parte del punto A va a 60 Km/h y el coche que parte del punto B va a 90 Km/h. La longitud de la trayectoria es de 450 Km.

A ---------------------------------------------------------------------------------------------.B 60 Km/h 90 Km/h

a) 3 horas y 180 Km b) 3 horas y 270 Km c) 2 horas y 270 Km d) 4 horas y 180 Km


35

35

2.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Es el movimiento que se describe sobre una trayectoria rectilínea, manteniéndose constante la aceleración. Sus características son:

1. La aceleración es constante, implica un cambio en la velocidad a través de un intervalo de tiempo, su magnitud se calcula con la fórmula

𝑎 = 𝑣𝑓−𝑣𝑖

𝑡 (2)

La unidad de la aceleración es m/s2 Su magnitud señala de cuanto en cuanto cambia el valor de la velocidad en un movimiento rectilíneo, por ejemplo si se tiene una aceleración de 3 m/s2, entonces la velocidad aumenta de 3 en 3 m/s. Si la aceleración fuese de – 4 m/s2, en este caso la velocidad disminuye de 4 en 4 m/s. También en este movimiento se tiene que la distancia y el valor del desplazamiento son iguales, así como que la rapidez y la velocidad coinciden en su magnitud.

2. Para el MRUV la gráfica distancia - tiempo resulta una línea curva (mitad de una

parábola) ya que a tiempos iguales corresponden distancias recorridas diferentes. 3. También se tiene para el MRU que la gráfica rapidez – tiempo es una línea recta

inclinada debido a los cambios de velocidad que se tienen.

4. Y ahora, existe una aceleración que para este movimiento es constante, teniéndose como gráfica aceleración – tiempo, una recta paralela.

5. La pendiente de la gráfica distancia vs tiempo, señala el valor de la velocidad. Y el área bajo la gráfica velocidad vs tiempo indica la distancia recorrida.

6. La pendiente de la gráfica velocidad vs tiempo, representa el valor de la aceleración y el área bajo la gráfica aceleración vs tiempo representa el valor de la velocidad.

d

t

gráfica d vs t

v

t

gráfica v vs t

a

t

gráfica a vs t


36

36

7. Las ecuaciones que se tienen en este movimiento son:

𝑑 = 𝑣𝑖 𝑡 +𝑎 𝑡2

2 (3)

𝑑 = 𝑣𝑓

2− 𝑣𝑖2

2 𝑎 (4)

donde:

𝑑 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑒 𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛 𝑚 𝑣𝑖 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑒𝑛 𝑚/𝑠 𝑣𝑓 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙, 𝑒𝑛 𝑚/𝑠

𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑, 𝑒𝑛 𝑠 𝑎 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑒𝑛 𝑚/𝑠2

También se puede utilizar en los ejercicios de este tema, el valor de la velocidad media

( 𝑣𝑚), el cual representa una magnitud de velocidad constante con la que se realiza el mismo recorrido en cada situación de problemas uniformemente acelerados. Esta se

obtiene como el cociente de la distancia total recorrida (𝑑𝑇 ) entre el tiempo total del recorrido (𝑡), esto es:

𝑣𝑚 =𝑑𝑇

𝑡 (5)

EJEMPLOS 1.- Calcular la aceleración de un móvil que cambia su velocidad de 4 m/s a 36 m/s, en 12 s. Solución: a) Primero hay que tener los valores de velocidad en unidades del sistema internacional (SI):

𝑣𝑖 = 4𝑚

𝑠

𝑣𝑓 = 36𝑘𝑚

ℎ(

1000𝑚

1𝑘𝑚) (1

ℎ

3600𝑠) = 10

𝑚

𝑠

𝑡 = 12 𝑠 b) En este caso se conocen los valores de velocidad y tiempo, por lo que solo nos falta sustituir los datos y realizar la operación indicada, en la ecuación (2). c) Tenemos:

𝑎 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

𝑡=

10𝑚𝑠 − 4

𝑚𝑠

12 𝑠

= 0.5 𝑚

𝑠2

2.- Determina la distancia que recorre un móvil que se mueve a partir de una rapidez de 4 m/s y recibe una aceleración de 0.25 m/s2 de manera uniforme durante 1.25 minutos. Solución: a) En este caso el tiempo lo pasamos a segundos y aplicamos la ecuación (3), de la distancia: t = 1.25 min ( 60 s / 1 min) = 75 s Sustituyendo datos:

𝑑 = 𝑣𝑖 𝑡 +𝑎 𝑡2

2= (4

𝑚

𝑠) (75 𝑠) +

(0.25𝑚𝑠

)( 75 𝑠)2

2

𝑑 = 300 𝑚 + 703.125 𝑚 = 1003.125 𝑚


37

37

3.- Determina el tiempo en segundos, para que un móvil cambie su valor de velocidad de 72 km/h a 18 km/h, si recibe una aceleración de – 1.2 m/s2. Solución: a) Primero efectuamos las conversiones de valores de velocidad al SI

𝑣𝑖 = 72𝑘𝑚

ℎ(

1000𝑚

1𝑘𝑚) (1

ℎ

3600𝑠) = 20

𝑚

𝑠

𝑣𝑓 = 18𝑘𝑚

ℎ(

1000𝑚

1𝑘𝑚) (1

ℎ

3600𝑠) = 5

𝑚

𝑠

𝑎 = – 1.2m/s2 b) De la ecuación (2), de la aceleración, despejamos al tiempo y sustituimos datos:

𝑡 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

𝑎=

5 𝑚𝑠 − 20

𝑚𝑠

1.2 𝑚𝑠2

= 12.5 𝑠

4.- Un automóvil de carreras partió de reposo y se mueve a través de una carretera recta, con una aceleración de 6 m/s2, ¿cuál será del valor de su rapidez después de 12 segundos? Solución: Tenemos que al despejar a la vf de la ecuación (2), de la aceleración, nos queda la siguiente formula en la que sustituimos los datos conocidos, y tenemos que:

𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡 = 0 + (6𝑚

𝑠2) (12 𝑠) = 72

𝑚

𝑠

5.- Un móvil cambia su velocidad de 10 m/s a 40 m/s, mientras recorre 250 m. ¿Qué aceleración recibió y durante cuánto tiempo?

Despejando la a, de la ecuación (4):

𝑎 = 𝑣𝑓

2 − 𝑣𝑖2

2 𝑑=

(40𝑚𝑠 )2 − (10

𝑚𝑠 )2

2(250 𝑚)=

1600𝑚2

𝑠2 − 100𝑚2

𝑠2

500 𝑚= 3

𝑚

𝑠2

Y el tiempo se despeja de la ecuación (2):


𝑎=

40 𝑚𝑠 − 10

𝑚𝑠

3 𝑚𝑠2

= 10 𝑠

6.- Un móvil que viajaba a 22 m/s, recibe una aceleración de -1.4 m/s2, mientras recorre 75 m. Encuentra el valor de la velocidad con la que termina. Despejando de la ecuación (4), y sustituyendo datos, tenemos:

𝑣𝑓 = √𝑣𝑖2 + 2𝑎𝑑 = √(22

𝑚

𝑠)

2

+ 2 (−1.4𝑚

𝑠2) (75 𝑚)

= √484𝑚2

𝑠2− 210

𝑚2

𝑠2 = 16.55

𝑚

𝑠

7.- Dada la siguiente gráfica del valor de la velocidad vs tiempo de un cuerpo en movimiento, construye la gráfica posición vs tiempo correspondiente. Solución:


38

38

a) Se calcula la posición que va adquiriendo al final de cada segundo de su movimiento; utilizamos que la distancia que va recorriendo es el área bajo la gráfica de cada intervalo y corresponde a un triángulo (d = b h/2).

Para el primer segundo: d = (1s)(4m/s)/2 = 2 m. En 2 segundos: d = (2s) (8m/s)/2 = 8 m Al 3er. segundo: d = (3s) (12m/s)/2 =18 m Para 4 segundos: d= (4s)(16 m/s)/2 = 32 m Y en 5 segundos: d= (5s)(20 m/s)/2 = 50 m

8.- Dada la gráfica aceleración vs tiempo, construye la gráfica valor de velocidad vs tiempo correspondiente, si el móvil parte del reposo.

Solución Se calcula la magnitud de velocidad que alcanza en cada intervalo de tiempo con fórmula del área vf =b h. Así, la velocidad alcanzada en: t = 0, vi = 0 Los primeros 5 s: vf = (2m/s2)(5 s) = 10 m/s Así: v5 = vi + 10 m/s = 10 m/s Para los siguientes 5s: vf = (0 m/s2)(5 s) = 0 m No hay aceleración, entonces no hay aumento de velocidad: v10 = 10 m/s Para el intervalo 10-15 s: vf = (4 m/s2)(5 s) = 20 m/s Así: v15 = v10 + 20m/s = 30 m/s Finalmente para el intervalo 15-20 s:

0 5 10 15 6 20 (s)

aceleración

(m/s2)

6

4

2

-2

-4


39

39

vf = (-4 m/s)(5 s) = -20 m/s Así: v20 = v15 - 20 m/s = 10 m/s La gráfica queda como sigue:

9.- Para la siguiente gráfica del valor de velocidad vs tiempo, del movimiento de un cuerpo. Determina la distancia total recorrida y la magnitud de la velocidad media de este movimiento.

Se determina la distancia recorrida para cada intervalo de tiempo, a través del área bajo la gráfica. (la cuál es un triángulo o un rectángulo o la combinación de ambas figuras): De (0 a 4)s: d1 = (4s)(30 m/s) + [(4s)(50 m/s)/2] = 120 m + 100 m = 220 m De (4 a 12)s: d2 = (8s)(30 m/s) = 240 m De (12 a 16)s: d3 = [(4s)(30 m/s)/2] = 60 m De (16 a 20)s: d4 = [(4s)(60 m/s)/2] = 120 m De (20 a 24)s: d5 = (4s)(20 m/s) + [(4s)(40 m/s)/2] = 80 m + 80 m = 160 m Así la distancia total recorrida está dada por toda el área bajo la gráfica, es decir: dT = d1 + d2 + d3 + d4 + d5 = 220 m + 240 m + 60 m + 120 m + 160 m = 800 m Por lo que la magnitud de la velocidad media es:

𝑣𝑚 =𝑑𝑇

𝑡 =

800 𝑚

24 𝑠= 33,33

𝑚

𝑠


40

40

2.3. CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL. Ejemplos de movimientos con aceleración constante son: la caída libre, los tiros verticales y horizontales a cierta altura alrededor de la superficie de la tierra; en donde la aceleración es llamad la aceleración de la gravedad [g]. CAIDA LIBRE. La caída libre se refiere al movimiento causado por la atracción gravitatoria de la tierra sobre todos los cuerpos y en ausencia del aire o cualquier otro medio, haciéndolos caer en línea recta y con una aceleración media alrededor de su superficie de 9.8 m/s2. En la caída libre, todos los cuerpos al soltarlos de la misma altura y al mismo tiempo, caen al mismo ritmo, llegando al piso al mismo tiempo.

Sus ecuaciones se obtienen de las ecuaciones del MRUV (2,3 y 4), sustituyendo las letras 𝒂, 𝑦 𝒅, por las letras 𝒈, 𝑦 𝒉, y quitando la 𝑣𝑖, ya que siempre se parte del reposo, quedando:

𝑣𝑓 = 𝑔 𝑡, (6)

ℎ = 𝑔 𝑡2

2, (7)

ℎ = 𝑣𝑓

2

2 𝑔, (8)

donde: 𝑣𝑓𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑞𝑢𝑒

ℎ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑒 𝑒𝑙 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜

𝑡 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎í𝑑𝑎

Ejemplos: 10.- Una persona se cae de una tabla que cruza por encima de un arroyo, si golpea el agua 0.8 s después. ¿Cuál es la altura de la tabla sobre el arroyo y con qué velocidad choca? Solución: Para la altura tenemos la ecuación (7) y sustituyendo datos, tenemos que:

ℎ = 𝑔 𝑡2

2=

(9.8𝑚𝑠2) (0.8 𝑠)2

2=

(9.8𝑚𝑠2) (0.64 𝑠2)

2=

6.272 𝑚

2= 3.136 𝑚

Para conocer la velocidad de choque, usamos la ecuación (6):

𝑣𝑖 = 𝑔 𝑡 = (9.8𝑚

𝑠2)(0.8 𝑠) = 7.84

𝑚

𝑠


41

41

11.- Determina la altura de un puente desde donde se deja caer una piedra que golpea el agua de un río que pasa abajo con una velocidad final de 36 m/s. Solución: Utilizando la ecuación (8), y sustituyendo datos, obtenemos la altura:

ℎ = 𝑣𝑓

2

2 𝑔=

(36𝑚𝑠 )2

2 (9.8𝑚𝑠2)

= 1296

𝑚2

𝑠2

19.6 𝑚𝑠2

= 66.12 𝑚

12.- Una pelota se deja caer desde 25 m de alto. ¿Cuál será su velocidad de choque? En este caso se despeja de la ecuación (8) a la velocidad de choque o final:

𝑣𝑓 = √2 𝑔 ℎ = √2 (9.8𝑚

𝑠2) (25 𝑚) = √490

𝑚2

𝑠2= 22.14

𝑚

𝑠

13.- Se deja caer una piedra desde 44.1 m de altura. ¿En qué tiempo llega al piso? En este caso se despeja de la ecuación (7) al tiempo, quedando:

𝑡 = √2 ℎ

𝑔= √

2 (44.1 𝑚)

9.8𝑚𝑠2

= √88.2 𝑚

9.8𝑚𝑠2

= √9 𝑠2 = 3 𝑠

TIRO VERTICAL Es otro ejemplo de un MRUV, se debe tener presente el sentido de la velocidad, por ello, si el proyectil se lanza hacia arriba, la aceleración y la velocidad de disparo, tendrán signos contrarios y si el tiro es hacia abajo tendrán el mismo signo. Sus ecuaciones por lo tanto, son similares a las ecuaciones (2, 3 y 4):

𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 − 𝑔 𝑡, (9)

ℎ = 𝑣𝑖 𝑡 −𝑔 𝑡2

2 (10)

ℎ = 𝑣𝑖

2− 𝑣𝑓2

2 𝑔 (11)

Para la máxima altura:

ℎ𝑚á𝑥 = 𝑣𝑖

2

2 𝑔 (12)

𝑡𝑠 = 𝑣𝑖

𝑔 (13)

𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑟 = 𝑡𝑏𝑎𝑗𝑎𝑟

En el tiro ascendente, la máxima altura se logra en el momento en que la 𝑣𝑓 es cero, por

ello la ecuación (11), se reduce a la (12). Para el tiempo en alcanzar la máxima altura, también la 𝑣𝑓 es cero, obteniéndose el tiempo con la ecuación (13).

También es importante mencionar que después de ese instante inicia una caída libre en la que deberá recorrer la misma distancia h, bajo la misma aceleración; por lo que el


42

42

tiempo de caída es igual al tiempo que empleo en llegar a la máxima altura, así como la velocidad de choque que será igual a la de disparo, pero de sentido contrario. Ejemplos: 14.- Se dispara una bala desde el piso a 200 m/s. Determina: a) su posición y velocidad en 5 y en 10 segundos. b) el tiempo en llegar a 2000 m de altura. c) su máxima altura. d) el tiempo en subir. Solución: a) La posición (altura que va alcanzando) y valor de velocidad se obtienen con las ecuaciones (9) y (10):

ℎ5 = 𝑣𝑖 𝑡 −𝑔 𝑡2

2= (200

𝑚

𝑠) (5 𝑠) −

(9.8𝑚𝑠2 (5𝑠)2

2= 1000𝑚 − 122.5𝑚 = 877.5 𝑚

𝑣5 = 𝑣𝑖 − 𝑔 𝑡 = 200𝑚

𝑠− (9.8

𝑚

𝑠2) (5 𝑠) = 200

𝑚

𝑠− 49

𝑚

𝑠= 151

𝑚

𝑠

ℎ10 = 𝑣𝑖 𝑡 −𝑔 𝑡2

2= (200

𝑚

𝑠) (10 𝑠) −

(9.8𝑚𝑠2 (10𝑠)2

2= 2000𝑚 − 490𝑚 = 1510 𝑚

𝑣10 = 𝑣𝑖 − 𝑔 𝑡 = 200𝑚

𝑠− (9.8

𝑚

𝑠2) (10 𝑠) = 200

𝑚

𝑠− 98

𝑚

𝑠= 102

𝑚

𝑠

b) Para conocer el tiempo, primero se necesita tener la velocidad en dicho punto, la cual la obtenemos utilizando la ecuación (11):

𝑣𝑦 = √𝑣𝑖2 − 2 𝑔 ℎ = √(200

𝑚

𝑠)

2

− 2 (9.8𝑚

𝑠2) (2000 𝑚)

𝑣𝑦 = √40 000𝑚2

𝑠2− 39 200

𝑚2

𝑠2 = √800

𝑚2

𝑠2 = 28.28

𝑚

𝑠

Para ahora si obtener el tiempo en llegar a los 2 000 m, con la ecuación (9)

𝑡 = 𝑣𝑖 − 𝑣𝑖𝑓

𝑔 =

200𝑚𝑠 − 28.28

𝑚𝑠

9.8𝑚𝑠2

= 171.72

𝑚𝑠

9.8𝑚𝑠2

= 17.52 𝑠

c) Para la máxima altura, usamos la ecuación (12):

ℎ𝑚á𝑥 = 𝑣𝑖

2

2 𝑔=

(200 𝑚𝑠 )2

2 (9.8𝑚𝑠2)

= 40 000

𝑚2

𝑠2

19.6 𝑚𝑠2

= 2040.82 𝑚

d) Y para obtener el tiempo en subir, aplicamos la ecuación(13):

𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑟 = 𝑣𝑖

𝑔=

200 𝑚𝑠

9.8𝑚𝑠2

= 20.41 𝑠

15.- ¿Cuál es la velocidad inicial de una luz de bengala que se dispara hacia arriba y estalla al encontrarse en su máxima altura de 40m? Si la bengala cayera de dicha altura, calcula la velocidad final. Y entonces, ¿cuál es el tiempo total de vuelo?


43

43

Solución: De la ecuación (12) despejamos a la vi, y como se conoce altura alcanzada de 40 m, tenemos:

𝑣𝑖 = √2 𝑔 ℎ𝑚á𝑥 = √2 (9.8𝑚

𝑠2) (40 𝑚) = √784

𝑚2

𝑠2 = 28

𝑚

𝑠

La velocidad de ascenso inicial es la misma velocidad con que choca en el piso la luz de

bengala, pero de sentido contrario, es decir: 𝑣𝑓 = −𝑣𝑖 = −28𝑚

𝑠

La altura máxima es de 40 m, por lo que el tiempo de vuelo será, el tiempo de ascenso más el de descenso que son iguales, y se obtienen con la ecuación (13):

𝑡𝑠 = 𝑣𝑖

𝑔=

28 𝑚𝑠

9.8𝑚𝑠2

= 2.86 𝑠

𝑡𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡𝑏𝑎𝑗𝑎𝑟 + 𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑟 = 2 (𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑟) = 2 (2.86 𝑠) = 5.72 𝑠

16.- Se dispara desde un acantilado de 175 m de alto, un proyectil verticalmente y hacia abajo a 20 m/s. Determina: a) la distancia que cae y su valor de velocidad en 4 segundos. b) La posición con respecto a la base. c) el tiempo en que llega a la base. Solución: a) La distancia que va recorriendo y el valor de velocidad se obtienen con las ecuaciones (9) y (10), usando mismo sentido para la velocidad y la aceleración:

ℎ4 = 𝑣𝑖 𝑡 + 𝑔 𝑡2

2= (20

𝑚

𝑠) 4 +

(9.8𝑚𝑠2 (4𝑠)2

2= 80𝑚 + 78.4𝑚 = 158.4 𝑚

𝑣4 = 𝑣𝑖 + 𝑔 𝑡 = 20𝑚

𝑠+ (9.8

𝑚

𝑠2) (4 𝑠) = 20

𝑚

𝑠+ 39.2

𝑚

𝑠= 59.2

𝑚

𝑠

b) Como se arrojo desde 175 m de alto y ya recorrió 158.4 m, entonces la altura con respecto a la base es la diferencia:

ℎ = ℎ𝑖 − ℎ4 = 175 𝑚 − 158.4 𝑚 = 16.6 𝑚 c) Para conocer el tiempo en llegar a la base, primero se necesita tener la velocidad de choque en dicho punto, la cual la obtenemos utilizando la ecuación (11) usando mismo sentido para la velocidad y la aceleración:

𝑣𝑓 = √𝑣𝑖2 + 2 𝑔 ℎ = √(20

𝑚

𝑠)

2

+ 2 (9.8𝑚

𝑠2) (175 𝑚)

𝑣𝑦 = √400𝑚2

𝑠2 + 3430

𝑚2

𝑠2 = √3 830

𝑚2

𝑠2 = 61.89

𝑚

𝑠

Para ahora si obtener el tiempo en llegar a la base, con la ecuación (9), usando mismo sentido para la velocidad y la aceleración:


𝑔 =

61.89 𝑚𝑠 – 20

𝑚𝑠

9.8𝑚𝑠2

= 41.89

𝑚𝑠

9.8𝑚𝑠2

= 4.27 𝑠


44

44

2.4. LEYES DE NEWTON. Inercia. En Física definimos inercia como la resistencia de un cuerpo a modificar su estado de movimiento, es decir, si se encuentra en reposo el cuerpo permanece en reposo, si se encuentra en movimiento, continuara moviéndose conservando su dirección y rapidez, esto es, se moverá con un movimiento rectilíneo uniforme (MRU). La masa es una medida de la inercia que posee un cuerpo, es decir, si un cuerpo posee mucha masa tendrá mucha inercia. El resultado anterior fue enunciado por primera vez por Galileo, en contrapartida a la posición aristotélica imperante en su época. Aristóteles en su obra Física, indicaba que los cuerpos tienden a permanecer en movimiento sólo cuando un agente externo interactuaba con ellos. Cuando la acción externa cesaba, inexorablemente el cuerpo se detenía, lo anterior se expresaba en términos del movimiento natural de los cuerpos. El estado natural de un cuerpo, según Aristóteles, es permanecer en reposo. Galileo refutó esta idea en base a experimentos muy cuidadosos (también uso los experimentos mentales: abstracciones de la realidad). Por ejemplo, observemos los planos inclinados, supongamos que las superficies tienen una fricción despreciable. (Lo anterior se puede lograr con superficies muy pulidas y lubricadas) En el primer plano, al soltar la esfera podremos observar que resbala por él y posteriormente al alcanzar el fondo comienza a subir hasta alcanzar la posición señalada el dibujo, es decir, alcanza la altura desde donde se soltó. En ese punto se detiene y vuelve a resbalar por plano.

Modificamos el segundo plano inclinado de tal forma que su pendiente sea menor, si repetimos el experimento podremos observar que la esfera alcanza otra vez la altura desde donde se soltó.

¿Podríamos imaginar qué ocurre en el tercer experimento? Si la superficie fuera de extensión infinita, nuestra esfera continuara rodando ¡por siempre! Sin detenerse nunca, pues no podría alcanzar la altura desde donde fue soltada.


45

45

Interacciones y fuerzas: aspecto cualitativo. Todos tenemos una idea intuitiva del concepto de fuerza; por ejemplo sabemos que un objeto tiene peso en virtud la fuerza gravitacional. También sabemos que al aplicar una fuerza sobre un objeto, éste modifica su movimiento. Cuando empujamos un automóvil que se ha quedado sin batería para moverlo aplicamos una fuerza. Así pues definimos fuerza como: Todo aquel agente capaz de modificar el movimiento de un cuerpo, es decir le modifica su velocidad. Un cuerpo siempre está interaccionado con su ambiente, una descripción de está interacción del cuerpo con el ambiente (o con otros cuerpos) lo vamos a realizar a través de una fuerza. Por ejemplo, la interacción de un cuerpo y la Tierra, en virtud de sus masas, la proporciona la fuerza gravitacional. Así también la interacción entre dos cuerpos cargados eléctricamente, se describe en términos de la fuerza eléctrica. Y la interacción entre la aguja de una brújula y el campo magnético terrestre se da en términos de la fuerza magnética. Aspectos cualitativos. Imaginemos las siguientes situaciones: Un automóvil se ha quedado sin batería y nos piden ayuda para empujarlo: Si comparamos el resultado de empujar el auto cuando lo hace una sola persona y cuando lo empujan varias; podremos decir sin lugar a dudas que el automóvil se moverá con más rapidez cuando lo empujan varias personas. Intuitivamente podemos pensar que la fuerza que actúa sobre el automóvil es de mayor magnitud cuando lo empujan varias personas. Lo anterior lo podemos resumir como: A mayor fuerza, el efecto sobre el movimiento de un objeto será mayor Hay que mover dos vehículos diferentes (un automóvil compacto y una camioneta de 3½ toneladas) y lo tienen que hacer las mismas personas. Se podrán imaginar que al empujar el auto compacto, éste se moverá con más rapidez que la camioneta, aunque en ambos se ejerce la misma fuerza sobre los dos cuerpos, pues los empujan las mismas personas, la única diferencia es la masa de los dos cuerpos. El efecto de una fuerza sobre el movimiento de un cuerpo, también depende de su masa. A mayor masa, el efecto de una fuerza sobre su movimiento será menor. Fuerza resultante cero. Es imposible eliminar todas las interacciones que actúan sobre un cuerpo, pero la Primera de Ley de Newton no implica eliminar todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, sólo que la suma de las fuerzas sea cero: “Cuando la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es cero, el cuerpo deberá permanecer en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme” Las fuerzas forman parte de unas cantidades que tienen un álgebra especial que se llaman magnitudes vectoriales


46

46

El carácter vectorial de las fuerzas, se nota con un experimento sencillo que se describe a continuación: Se tiene un objeto suspendido de un hilo y a su vez de un dinamómetro (un dispositivo que mide fuerzas) y obtenemos una lectura. Este mismo objeto lo suspendemos de dos hilos con sus respectivos dinamómetros, como se muestra en la segunda figura; podríamos pensar en primera instancia que las lecturas de ambos dinamómetros son iguales y que la suma de las lecturas tiene que ser igual a la lectura del dinamómetro cuando el objeto está suspendido de un solo hilo, pero resulta que está suma es mayor, y no sólo eso; también depende del ángulo que forman los hilos con la horizontal.

Esto nos lleva a pensar que la suma de las fuerzas sigue reglas especiales. Hasta este momento cuando sumábamos cantidades era sencillo. Por ejemplo, al comprar cemento si cada bulto tiene una masa de 50 kg, y compramos dos bultos la masa total es: 50 kg+ 50 kg = 100 kg. El tipo de cantidades que se suman y restan con las reglas usuales del álgebra se llaman cantidades escalares, son ejemplos de cantidades escalares: la masa, la longitud, el área, el volumen, la densidad, la temperatura, el tiempo. Magnitud Escalar, es aquella que para estar completamente definida sólo requerimos conocer su magnitud, en otras palabras, un número y una unidad Magnitud Vectorial, son aquellas magnitudes que necesitan para estar completamente definidas además de un número y una unidad, asignarles una dirección y un sentido. Ejemplos: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza. El manejo de estas magnitudes se comentó en el capítulo 1 tema 5 1a Ley de Newton (Ley de la Inercia) Newton fue uno de los científicos más brillantes de la historia ya que fue capaz de resumir en las tres leyes que llevan su nombre la relación del movimiento de los cuerpos y las fuerzas que actúan sobre ellos. La primera ley que se le conoce como Ley de la Inercia plantea lo siguiente: “Si la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es cero, entonces el objeto se mantendrá en su estado inicial de movimiento; es decir, si el objeto estaba en reposo (relativo)

dinamómetros

80

N

dinamómetro

19.3°

60 N 60 N


47

47

permanecerá en reposo (relativo) y si el cuerpo se encuentra en movimiento con alguna velocidad continuará con esa misma velocidad”. Para visualizar lo anterior, piensa en el experimento Galileo:

La pelota no llega exactamente al mismo nivel. ¿Por qué? Si no hubiera fricción las pelotas llegarían exactamente hasta el mismo nivel.

Si el segundo plano inclinado está menos inclinado que el primero, la pelota recorre una distancia mayor en ese plano para llegar hasta el mismo nivel ¿Hasta dónde llega la pelota si el segundo plano no está inclinado? ¿Tratará de llegar hasta el mismo nivel? ¿Qué distancia recorrerá?

Esto nos permite concluir que: Un cuerpo que se encuentra libre de fuerzas, tiende a moverse con velocidad constante y en línea recta” Si a ésta conclusión le agregamos el estado de reposo (relativo) tenemos la primera ley de Newton que se enuncia tradicionalmente con las siguientes palabras: “Todo cuerpo tiende a mantenerse en reposo ó en movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza externa lo modifique” Precisamente a ésta tendencia de movimiento se le llama INERCIA EJEMPLOS 31. ¿Por qué cuando se viaja en un camión y de repente se frena, las personas tienden a moverse hacia a delante? Solución: Porque las personas llevaban la velocidad del camión y al frenarse tienden a seguir con dicha velocidad. Lo mismo sucede cuando el camión está en reposo y éste arranca, las personas tienden a moverse hacia atrás ya que la tendencia es permanecer en el estado de movimiento que tenían, en este caso, el reposo (relativo). 32. La Tierra gira a una gran velocidad, en 24 horas completa una rotación. En el siguiente razonamiento “Si nos eleváramos en un globo aerostático, podríamos dejar que la Tierra avanzara y luego bajarnos cuando viéramos pasar a los continentes asiático o europeo”; ello podría ser una forma de viajar, ¿Porqué no lo podemos hacer?


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48

Solución: Por Inercia, porque desde el momento en que nos despegamos de la Tierra la tendencia es mantener la velocidad que ya teníamos, es decir, la de la rotación de la Tierra, quizás no regresemos al mismo lugar de donde partimos pero eso es por efecto del viento. Masa Inercial e Ímpetu. Como se había visto en el punto anterior, la Inercia es la tendencia de un objeto para continuar su movimiento en ausencia de una fuerza. Por otro lado, si tenemos dos cuerpos en reposo de diferente masa, por ejemplo, una bola de golf y una bola de boliche que es mucho más grande y les aplicamos la misma fuerza, observaremos que la de mayor masa (boliche) se mueve menos, se resistió más al cambio.

Un instante después de aplicar la misma fuerza los cuerpos se encuentran así

Cuanto mayor es la masa de un cuerpo, acelera menos bajo la acción de una fuerza aplicada. La unidad de masa en el Sistema Internacional (SI) es el kilogramo [kg]. A ésta masa que llamaremos MASA INERCIAL es una cantidad escalar que obedece las reglas de la aritmética ordinaria. En conclusión: MASA INERCIAL es una cantidad física que mide la resistencia de un objeto a cambios en su velocidad. La masa es una magnitud que para un mismo cuerpo permanece constante, sin importar el lugar del espacio en el que se coloque. EJEMPLOS 33.- Una pasajera sentada en la parte trasera de un autobús dice que resultó lesionada cuando el operador del vehículo aplicó los frenos bruscamente, debido a que una maleta que estaba enfrente salió despedida y la golpeó. Si tú fueras juez, ¿Cuál sería tú veredicto? ¿Por qué? SOLUCIÓN La pasajera está mintiendo ya que al frenarse el camión, la maleta no pudo haber salido despedida hacia ella ya que por inercia tanto la pasajera como la maleta debieron tener un movimiento hacia adelante con una velocidad equivalente a la que llevaba el autobús antes de que frenara.

Bola de boliche

Bola de golf

F

F

Bola de boliche

Bola de golf

F

F


49

49

ÍMPETU Siguiendo con el ejemplo de la bola de golf, si ésta es golpeada por un palo de golf, la pelota experimenta un gran cambio en su velocidad y se desplaza una distancia grande debido a la fuerza ejercida por el palo de golf sobre ella. ¿Por qué el palo de golf no experimenta un gran cambio en su velocidad? Para contestar la pregunta anterior es necesario introducir un concepto nuevo cantidad de movimiento lineal (momentum) o ímpetu que tiene un significado ligeramente diferente en Física que en la vida diaria. Lo más importante del ímpetu es que nos lleva a una ley de conservación, la conservación del ímpetu o de la cantidad de movimiento. El ímpetu ó cantidad de movimiento de un objeto de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad

𝒑 = 𝑚 𝒗 (26) La cantidad de movimiento es una cantidad vectorial, la dirección coincide con la de la velocidad. Las unidades son las de la masa por la velocidad, es decir, en el Sistema Internacional (Kg m /s ). La definición de ímpetu coincide con nuestro uso diario de la palabra. Cuando se considera a un objeto grande que se mueve a gran velocidad, a veces se dice que el objeto tiene un gran ímpetu. Del mismo modo, un objeto pequeño que se mueve con lentitud se dice que tiene un ímpetu pequeño. Pero no se debe olvidar que un objeto pequeño que se mueve a gran velocidad puede tener un gran ímpetu. EJEMPLOS 34.- ¿Qué tiene más ímpetu, una pequeña gacela de 40 Kg que se mueve con una velocidad de 20 m/s (equivale a 72 Km/h) o una bala de 50 gramos que se mueve con una velocidad de 200 m/s? SOLUCIÓN Se calcula el ímpetu de cada cuerpo de acuerdo a la definición Para la gacela:

𝑝 = 𝑚 𝑣 = (40 𝑘𝑔) (20𝑚

𝑠) = 800

𝑘𝑔 𝑚

𝑠

Para la bala

𝑝 = 𝑚 𝑣 = (0.05 𝑘𝑔) (200𝑚

𝑠) = 10

𝑘𝑔 𝑚

𝑠

Por lo tanto, la gacela posee más ímpetu que la bala 35.- Tomando en cuenta los datos del ejercicio anterior, ¿Qué velocidad debería llevar la gacela para tener el mismo ímpetu que la bala? SOLUCIÓN

El ímpetu de la gacela debería ser p = 10 kg m/s, tomando en cuenta que la masa de la gacela es de 40 kg, se despeja la velocidad de la ecuación (28):

𝑣 =𝑝

𝑚=

10𝑘𝑔 𝑚

𝑠40 𝑘𝑔

= 0.25𝑚

𝑠

Lo cual transformado a km/h resulta:

0.25𝑚

𝑠 (

1 𝑘𝑚

1000 𝑚) (

3600 𝑠

1 ℎ) = 0.069

𝑘𝑚

ℎ


50

50

Cambio del ímpetu y Segunda Ley de Newton. 2ª. Ley de Newton. Si la fuerza neta sobre un cuerpo es diferente de cero, este se acelera de manera directamente proporcional a la fuerza neta aplicada y en razón inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

𝑎 = 𝐹𝑛

𝑚 (27)

donde: 𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑒𝑛𝑚

𝑠2

𝐹𝑛 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎, 𝑠𝑒 𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛 𝑁 [𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛] 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎, 𝑠𝑢 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑘𝑔 Sustituyendo la aceleración como cambio de velocidad a través del tiempo, lo anterior puede quedar como: 𝑣𝑓− 𝑣𝑖

𝑡 =

𝐹𝑛

𝑚 Reacomodando términos: 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 =

𝐹𝑛 𝑡

𝑚 que queda como:

𝑚 (𝑣𝑓 − 𝑣𝑖) = 𝑚 𝑣𝑓 − 𝑚 𝑣𝑖 = 𝐹𝑛 𝑡 (28)

Al miembro izquierdo se le llama cambio en la cantidad de movimiento o cambio del ímpetu. Al miembro derecho Fuerza neta por tiempo de aplicación de la misma, se le llama impulso Fuerza constante en la dirección del movimiento De acuerdo a la segunda Ley de Newton, si la fuerza se aplica en dirección del movimiento rectilíneo del objeto, aumentará su velocidad o rapidez, si se aplica en dirección contraria al movimiento habrá una disminución de velocidad o rapidez. De la expresión de la segunda Ley de Newton podemos distinguir la diferencia entre masa y peso. La masa de un cuerpo es una medida de la inercia. El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional que actúa sobre él. En general es la atracción gravitacional de la Tierra o de cualquier cuerpo celeste (planeta, satélite, etc.) [fuerza con la que cuerpos de gran masa atraen a otros de masas menores], y se obtiene con: 𝑝𝑒𝑠𝑜 = 𝑚 𝑔 (29)

donde en el caso de la Tierra, g = 9.8 m/s2, en el Sistema Internacional. Y para el caso del sistema inglés, la gravedad tiene un valor de 32 ft ft/s2. La aceleración en la segunda Ley de Newton no necesariamente es lineal, por ejemplo para el movimiento circular uniforme con una aceleración centrípeta se tiene Fc (una fuerza centrípeta) que proporciona la aceleración necesaria para el movimiento circular.

EJEMPLOS: 36.- Calcula la aceleración de un cuerpo de 25 kg, que es impulsado por una fuerza neta de 240 N Solución: Sustituyendo datos en la ecuación (27):

𝑎 = 𝐹𝑛

𝑚 =

240 𝑁

25 𝑘𝑔= 9.6

𝑚

𝑠2

37.- Calcula la masa que tiene un cuerpo que pesa 548.8 N. Solución:

Despejando la masa de la ecuación (29): 𝑚 = 𝐹𝑛

𝑔 =

548.8 𝑁

9.8𝑚

𝑠2

= 56 𝑘𝑔

38.- Un móvil que pesa 784 N, recibe una fuerza neta de 300N. Obtén su aceleración. Solución: Primero se encuentra la masa del móvil y después calculamos su aceleración:


51

51

𝑚 = 𝐹𝑛

𝑔 =

784 𝑁

9.8𝑚𝑠2

= 80 𝑘𝑔

𝑎 = 𝐹𝑛

𝑚 =

300 𝑁

80 𝑘𝑔= 3.75

𝑚

𝑠2

39.- Halla el ímpetu medio de una mujer que pesa 52 kg, y corre 600 m en 80 s. Solución: Primero se obtiene su velocidad media y después el ímpetu (ecuación 26):

𝑣 = 𝑑

𝑡 =

600 𝑚

80 𝑠= 7.5

𝑚

𝑠

𝑝 = 𝑚 𝑣 = (52 𝑘𝑔) (7.5 𝑚

𝑠) = 390

𝑘𝑔 𝑚

𝑠

40.- Calcula la fuerza neta que provoca a un cuerpo de 0.65 kg un cambio en su velocidad de 4 m/s a 12 m/s, en 0.04 s. Solución: Utilizando la ecuación (28), se despeja la Fn y se sustituyen datos:

𝐹𝑛 = 𝑚 (𝑣𝑓 − 𝑣𝑖)

𝑡 =

= .65 𝑘𝑔 (12𝑚𝑠 − 4

𝑚𝑠 )

0.04 𝑠 =

5.2 𝑘𝑔 𝑚

𝑠0.04 𝑠

= 130 𝑁

41.- Un objeto de 15 kg recibe una fuerza neta de 750 N durante 0.12 s, terminando con un valor de velocidad de 20 m/s. ¿Qué ímpetu traía y cuál era su velocidad? Solución: Se despeja el ímpetu inicial de la ecuación (28):

𝑚 𝑣𝑖 = 𝑚 𝑣𝑓 − 𝐹𝑛 𝑡 = (15 𝑘𝑔) (20𝑚

𝑠) − (750 𝑁)(0.12 𝑠) = 210

𝑘𝑔 𝑚

𝑠

Y después despejamos la vi de la ecuación del ímpetu:

𝑣𝑖 = 𝑝

𝑚=

210 𝑘𝑔 𝑚

𝑠15 𝑘𝑔

= 14 𝑚

𝑠

42.- Un móvil de 82 kg, cambia su velocidad de 2.5 m/s a 8 m/s, al recibir una fuerza neta de 2050 N. ¿Qué tiempo se ejerció la fuerza neta? Solución: Despejando de la ecuación (28) y sustituyendo datos, tenemos:

𝑡 = 𝑚 (𝑣𝑓 − 𝑣𝑖)

𝐹𝑛 =

82 𝑘𝑔 (8 𝑚𝑠 − 2.5

𝑚𝑠 )

2050 𝑁 =

451 𝑘𝑔 𝑚

𝑠2050 𝑁

= 0.22 𝑠

Tercera Ley de Newton. Para completar los postulados sobre lo que se edifica la Mecánica de Newton se tiene el principio de la acción y la reacción, que dice que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro (acción), éste efectúa sobre el primero una fuerza igual y contraria (reacción), Así, al andar, la suela del zapato ejerce sobre la tierra una fuerza hacia atrás, y la Tierra efectúa sobre el peatón una fuerza igual hacia delante que es la que le hace avanzar. El hecho de que la acción no se anule con la reacción se debe a que están aplicadas a cuerpos diferentes. Las ruedas motrices de un automóvil ejercen sobre la Tierra una fuerza hacia atrás y la Tierra le aplica otra igual hacia delante, que lo acelera.


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52

Ejemplos: 43.- Una persona pesa 588 N y asciende por un elevador con una aceleración de 0.8 m/s2. Calcular: a) El peso aparente de la persona, es decir, la fuerza de reacción ( R ) que ejercerá el elevador al subir, y b) El peso aparente de la persona al bajar. Solución: a) Si el elevador estuviera en reposo la fuerza de reacción del piso del elevador sería igual al peso de la persona, pero como sube, el peso aparente de la persona aumenta, toda vez que la fuerza de reacción del piso del elevador debe ser mayor al peso de la persona para lograr que suba. Por lo tanto, tenemos verticalmente:

Σ Fy = − 𝑝𝑒𝑠𝑜 + 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑚 𝑎𝑦

Σ Fy = − 𝑝𝑒𝑠𝑜 + 𝑅 = 588 𝑁 + 𝑅 = (588 𝑁

9.8𝑚𝑠2

) (0.8𝑚

𝑠2) = 48 𝑁

El peso aparente lo encontramos al despejar el valor de la fuerza de reacción R. 𝑅 = 588 𝑁 + 48 𝑁 = 636 𝑁

b) Al bajar, la persona se siente más ligera, es decir, como si de repente pesara menos; esto se debe a que al descender con cierta aceleración, la fuerza de reacción del piso del elevador es menor a su peso. ( si en un momento dado un elevador bajara con una aceleración de 9.8 m/s² , la persona que estuviera dentro de él sentiría que ha desaparecido su peso, pues en realidad estaría sufriendo una caída libre al no existir ninguna fuerza de reacción con el piso del elevador.) Para calcular el peso aparente de la persona al descender, sustituimos los mismos valores en la ecuación, pero ahora el signo de la aceleración ( ay ) es negativo pues actúa hacia abajo.

Σ Fy = − 𝑝𝑒𝑠𝑜 + 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑚 𝑎𝑦

Σ Fy = − 𝑝𝑒𝑠𝑜 + 𝑅 = 588 𝑁 + 𝑅 = (588 𝑁

9.8𝑚𝑠2

) (−0.8𝑚

𝑠2) = −48 𝑁

𝑅 = 588 − 48 𝑁 = 540 𝑁 44.- Dos móviles de 4 kg y 5 kg, viajan en sentido contrarios, a 6 m/s y 4 m/s. Después de chocar cada uno regresa hacia el lugar de donde provino a 6.9 m/s y 6.32 m/s respectivamente. Determina la cantidad de movimiento total antes del impacto y la que se tiene después del impacto.

Solución: A partir de la ecuación (26), obtenemos los ímpetus pedidos: Considerando que el cuerpo 1 se dirige a la derecha y el cuerpo 2 hacia la izquierda

𝐴𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐ℎ𝑜𝑞𝑢𝑒: 𝒑1𝑖 + 𝒑2𝑖 = 𝑚1 𝒗𝑖𝑖 + 𝑚2 𝒗2𝑖 = (4𝑘𝑔) (6𝑚

𝑠) − (5𝑘𝑔) (4

𝑚

𝑠)

𝒑1𝑖 + 𝒑2𝑖 = 24𝑘𝑔 𝑚

𝑠− 20

𝑘𝑔 𝑚

𝑠= 4

𝑘𝑔 𝑚

𝑠

Ahora después de chocar, se considera que el cuerpo 1 se dirige a la izquierda y el cuerpo 2 hacia la derecha

𝐷𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑎𝑟: 𝒑1𝑓 + 𝒑2𝑓 = 𝑚1 𝒗𝑖𝑓 + 𝑚2𝒗2𝑓 = −(4𝑘𝑔) (6.9𝑚

𝑠) + (5𝑘𝑔) (6.32

𝑚

𝑠)

𝒑1𝑓 + 𝒑2𝑓 = −27.6𝑘𝑔 𝑚

𝑠 + 31.6

𝑘𝑔 𝑚

𝑠= 4

𝑘𝑔 𝑚

𝑠


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53

Conservación del ímpetu. Precisamente revisando los resultados anteriores del ejemplo 44, se muestra lo que establece la ley de la Conservación del ímpetu o de la Cantidad de Movimiento: cuando dos o más cuerpos chocan la cantidad de movimiento es igual antes y después del choque. Esto significa que si dos o más cuerpos chocan, el resultado de la suma vectorial correspondiente a las cantidades de movimiento de los cuerpos después del choque es igual a la suma de los vectores que corresponden a las cantidades de movimiento de los cuerpos antes de él, por lo que: 𝑚1 𝒗𝑖𝑖 + 𝑚2 𝒗2𝑖 = 𝑚1 𝒗𝑖𝑓 + 𝑚2𝒗2𝑓 ……….(30)

Donde: 𝑚1 𝒗𝑖𝑖 + 𝑚2 𝒗2𝑖 = 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑡𝑢𝑠, 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐ℎ𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑚1 𝒗𝑖𝑓 + 𝑚2𝒗2𝑓 = 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑡𝑢 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑎𝑟

Está ecuación nos señala claramente la Ley de la Conservación de la Cantidad de Movimiento, pues se observa que antes del choque y después de él la cantidad de movimiento es la misma. Ejemplos: 45.- Un cuerpo cuya masa es de 0.2 Kg lleva una velocidad de 3 m/s al chocar de frente con otro cuerpo de 0.1 Kg de masa y que va a una velocidad de 2 m/s. Considerando al choque completamente inelástico, ¿qué velocidad llevarán los dos cuerpos después del choque al permanecer unidos?

Solución: Sustituyendo datos en la ecuación (30) y despejando, tenemos:

(0.2 𝑘𝑔) (3𝑚

𝑠) + (0.1 𝑘𝑔) (2

𝑚

𝑠) = (0.2 𝑘𝑔)(𝑣) + (0.1 𝑘𝑔)(𝑣)

(0.6𝑘𝑔 𝑚

𝑠) + (0.2

𝑘𝑔 𝑚

𝑠) = 0.8

𝑘𝑔 𝑚

𝑠= (0.3 𝑘𝑔) 𝑣

𝑣 = 0.8

𝑘𝑔 𝑚𝑠

0.3 𝑘𝑔= 2.67

𝑚

𝑠

46.- Un proyectil de 6 Kg es disparado por un cañón cuya masa es de 400 Kg. Si el proyectil sale con una velocidad de 150 m/s, ¿cuál es la velocidad de retroceso del cañón? Solución: Las condiciones iniciales son en reposo, así usando la ecuación (30), se tiene:

0 = 𝑚1 𝒗𝑖𝑓 + 𝑚2𝒗2𝑓 = (6 𝑘𝑔) (150𝑚

𝑠) − (400 𝑘𝑔)(𝑣)

𝑣 = 900

𝑘𝑔 𝑚𝑠

400 𝑘𝑔 = 2.25

𝑚

𝑠


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54

2.5. Movimiento Circular Uniforme (MCU) Este movimiento se define como aquel que efectúa un cuerpo que recorre arcos de circunferencia iguales en tiempos iguales. Esto es la magnitud de la velocidad permanece constante. Esto significa que el móvil se desplaza en una trayectoria circular (una circunferencia o un arco de la misma) a una rapidez constante. Se consideran dos valores de velocidad, la rapidez del desplazamiento del móvil y la rapidez con que varía el ángulo en el giro. El desplazamiento angular θ, es el arco descrito en un movimiento circular que se expresa en grados, revoluciones, y radianes (rad). Un radián es el ángulo correspondiente a una longitud de arco igual a la del radio.

La velocidad angular.[] El cambio de posición a través de la trayectoria circular, se mide con el ángulo descrito

medido en radianes, y al que se le llama desplazamiento angular [Así, la velocidad angular, es la rapidez con la que varía el ángulo descrito en un intervalo de tiempo y se mide en rad/s. [1 vuelta = 1 revolución = 1 ciclo = 2 π (radianes) = 360°]

La velocidad angular se calcula como la variación del ángulo sobre la variación del tiempo.

𝜔 =∆𝜃

∆𝑡=

∆𝜃

𝑡 (17)

Por lo tanto si el ángulo es de 360° (una vuelta) y se realiza por ejemplo en 1 s, la

velocidad angular es: = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

𝑠 .

Si se da media vuelta en 2 s es: = 𝜋

2

𝑟𝑎𝑑

𝑠.

Considerando que la frecuencia [f] es la cantidad de vueltas realizadas en una unidad de tiempo, la velocidad angular también se puede expresar como: 𝜔 = 2𝜋𝑓 (18) Otro concepto muy utilizado es el del período [T] que corresponde al tiempo en realizar una vuelta (revolución o ciclo) completa. El período y la frecuencia se relación con la ecuación:

𝑇 =1

𝑓 que equivale a: 𝑓 =

1

𝑇

La frecuencia f se mide en rev/s, ciclo/s, o Hz [hertz], y el período T, se mide en s. En el MCU la velocidad angular es constante. Ejemplos: 21.- Un objeto presenta una velocidad angular de 4.5 rad/s. ¿Qué desplazamiento angular tiene en 20 s?

Empleamos la ecuación (17), despejando al

∆𝜃 = 𝜔 𝑡 = ( 4.5𝑟𝑎𝑑

𝑠) (20 𝑠) = 90 𝑟𝑎𝑑


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55

22.- Una piedra sujeta a una cuerda, se hace girar de manera que completa 20 vueltas en 5 segundos. ¿Qué velocidad angular tiene? Solución: Primero obtenemos el valor de la frecuencia:

𝑓 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜=

20

5 𝑠= 4 𝐻𝑧

Y utilizando la ecuación (19), evaluamos la velocidad angular:

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2 𝜋 (4 𝐻𝑧) = 25.13𝑟𝑎𝑑

𝑠

23.- Un movimiento circular tiene un período de 0.0125 s, ¿qué frecuencia tiene? Y ¿cuánto desplazamiento angular tendrá en 1 ms? Solución: Como el período y la frecuencia son inversos, entonces:

𝑓 =1

𝑇=

1

0.0125 𝑠 = 80 𝐻𝑧

Así la velocidad angular es:

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2 𝜋 (80 𝐻𝑧) = 502.66𝑟𝑎𝑑

𝑠

Por lo que el desplazamiento angular, es:

∆𝜃 = 𝜔 𝑡 = ( 502.66 𝑟𝑎𝑑

𝑠) (0.001 𝑠) = 0.5 𝑟𝑎𝑑

Velocidad tangencial. La rapidez tangencial es la rapidez del móvil (distancia que recorre sobre la circunferencia entre el tiempo). La velocidad tangencial (rapidez tangencial con dirección), se mide en unidades de espacio sobre unidades de tiempo, por ejemplo [m/s], [km/h], etc. Se calcula como la distancia recorrida en un período de tiempo.

Considerando que un móvil recorre todo el perímetro de una circunferencia de radio 5 m en 3 s, la velocidad tangencial es:

𝑣 =2𝜋𝑟

𝑡=

2 ∗ 𝜋 ∗ 5𝑚

3𝑠= 10.47

𝑚

𝑠

La ecuación que se utiliza para calcular la velocidad tangencial se expresa como la velocidad angular por el radio.

𝑣 = 𝜔𝑟 (19) En MCU la velocidad tangencial es constante (en magnitud). A mayor distancia del eje, la velocidad tangencial aumenta. Su dirección varía continuamente, teniendo siempre la misma dirección que la recta tangente al punto en donde se encuentre el móvil. Ejemplo:


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56

24.- Un antiguo disco de música (LP) de 36 cm de diámetro, cubrían 33 rpm (33 vueltas en un minuto), ¿qué frecuencia en Hz y qué velocidad angular y cuánta velocidad tangencial tenían? Solución: Si obtenemos la frecuencia:

𝑓 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜=

33

60 𝑠= 0.55 𝐻𝑧

Y utilizando la ecuación (19), evaluamos la velocidad angular:

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2 𝜋 (0.55 𝐻𝑧) = 3.46𝑟𝑎𝑑

𝑠

Por último, empleamos la ecuación (19), tangencial:

𝑣 = 𝜔𝑟 = (3.46𝑟𝑎𝑑

𝑠) (0.18 𝑚) = 0.62

𝑚

𝑠

Aceleración centrípeta. El M.C.U. es un movimiento de rapidez constante, pero no de velocidad constante, pues un cambio de dirección del vector v tangencial en cada instante supone la existencia de una aceleración. Esta aceleración que hace posible el giro del cuerpo, más no aumenta ni disminuye su rapidez, recibe el nombre de aceleración centrípeta “ac”. Es un vector de dirección radial, o sea perpendicular a la velocidad tangencial “v” y que apunta siempre hacia el centro de curvatura, de allí el nombre de “centrípeta”.

𝑎𝐶 =𝑣2

𝑟=

(𝜔∗𝑟)2

𝑟= 𝜔2 ∗ 𝑟 (20)

Fuerza centrípeta. Es la que se necesita aplicar a un objeto o cuerpo para que éste consiga superar la inercia y realizar un movimiento con una curva.

Esta fuerza se ejerce perpendicularmente a la dirección en la que se mueve el cuerpo sobre el que se aplica. El objeto que se mueve en una trayectoria del tipo circular recibe una fuerza neta que puede descomponerse en un componente tangencial (que altera la magnitud de la velocidad tangencial) y en otro perpendicular (que modifica el sentido del movimiento). La fórmula para poder hallar la fuerza centrípeta es la siguiente:

𝐹𝐶 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐶 =𝑚∗𝑣2

𝑟 (21)

Ejemplos: 25.- Supongamos que atamos una pelota de 120 g con una cuerda de 1.5 m y la hacemos girar en círculo a velocidad angular constante de 1.5 rad/s. ¿Cuánto son los valores de aceleración y fuerza centrípeta? Solución: Primero evaluamos la aceleración centrípeta, con la ecuación (20):


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57

𝑎𝐶 = 𝜔2 ∗ 𝑟 = (1.5𝑟𝑎𝑑

𝑠)

2

(1.5𝑚) = 3.375𝑚

𝑠2

Y con este dato, se evalúa la Fuerza centrípeta, usando la ecuación (21):

𝐹𝐶 = 𝑚 𝑎𝐶 = (0.12 𝑘𝑔) (3.375𝑚

𝑠2) = 0.405 𝑁

26.- Un satélite artificial sigue una órbita circular alrededor de la Tierra a una altitud de 500 Km. Si el satélite hace una vuelta cada 90 minutos. Calcule la rapidez orbital (velocidad tangencial) y la aceleración centrípeta. Solución: A partir de los datos: h = 500 Km = 5 x 105m t = 90 min = 90 ( 60 s) = 5 400 s Evaluamos la frecuencia y con ella, la velocidad angular:

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 (1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

5400 𝑠) = 1.16 𝑥 10−3

𝑟𝑎𝑑

𝑠

el radio que se expresa en la ecuación (18), se calcula sumando el radio de la Tierra con la altitud del satélite.

𝑟 = 𝑅𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 + ℎ𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 = 6.4 𝑥 106𝑚 + 5 𝑥 105𝑚 = 6.9 𝑥 106 𝑚 Así la velocidad tangencial, es:

𝑣 = 𝜔𝑟 = (1.16 𝑥 𝑥 10−3 𝑟𝑎𝑑

𝑠) (6.9 𝑥 106 𝑚) = 8.02 𝑥 103

𝑚

𝑠

Por lo que la aceleración centrípeta es

r

vac

2

mx

sm6

2

109.6

51.0288 234.9 sm

2.6. INTERACCIÓN GRAVITACIONAL Y MOVIMIENTO DE PLANETAS,

SATÉLITES Y COMETAS. SÍNTESIS NEWTONIANA. INICIOS DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN Cuando Nicolás Copérnico desechó la platónica idea de que "la Tierra es el centro y los demás astros orbitan a su alrededor", todavía, durante bastantes años, se mantuvo la también platónica idea de que las órbitas planetarias alrededor del Sol habrían de ser exactamente circulares. Johannes Kepler tardó largos años en superar tal falacia, pero, cuando lo logró, formuló tres leyes del movimiento planetario que representaron uno de los grandes logros de la Ciencia. Johannes Kepler, fue un astrónomo alemán (Württemberg, 1571-Ratisbona, 1630) al que se deben las tres leyes que describen el movimiento de los planetas de nuestro sistema solar. Partidario de la teoría heliocéntrica de Copérnico, Kepler en principio supuso que las órbitas planetarias eran perfectamente circulares, y se propuso perfeccionar el sistema de Copérnico ayudándose de las observaciones de Marte que había hecho, durante más de 20 años el danés Tycho Brahe (1546-1601), así como en sus propias observaciones. Durante varios años realizó prolijos cálculos sobre la manera de obtener parámetros de las orbitas planetarias, hasta llegar al convencimiento de que había de desecharse la idea de que fueran circulares. En resumen, descubrió tres hechos fundamentales en el movimiento planetario alrededor del Sol que podrían describirse de la manera que se expone a continuación.


58

58

Primera Ley: 1. Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica, una elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol. Kepler obtuvo esta ley de forma empírica, mediante observación de los movimientos aparentes de los planetas. Es válida, pues para objetos de gran tamaño orbitando alrededor del Sol siguiendo órbitas cerradas: planetas, asteroides, etc.., pero si se tiene en cuenta el movimiento general de los cuerpos celestes habría que enunciar esta primera ley kepleriana de la siguiente manera: 1. Bajo la fuerza de atracción gravitacional de un objeto astronómico el movimiento de otro objeto a su alrededor sigue una trayectoria cónica (círculo, elipse, parábola, hipérbola). Segunda Ley: 2. El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posición de cada planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. Esto indicará que los planetas más cercanos al sol se desplazan más rápidamente, o sea, tardan menos tiempo en dar una vuelta completa a la elipse. Tercera Ley: 3. Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas La fuerza gravitacional Fue Isaac Newton quien nos legó la famosa ley de gravitación universal que rige las atracciones gravitatorias entre los cuerpos de la naturaleza. Cuenta la leyenda que Newton concibió la idea de dicha ley al ver caer una manzana hacia la Tierra, sin que hubiese un contacto directo ni un intermediario entre ambos cuerpos. Supuso entonces que la caída de la manzana se debía a una acción a distancia, a una fuerza de

atracción que ejercía la Tierra sobre ella a través del espacio vacío. Y pensó que, si la Tierra atraía así a la manzana, también debería atraer a cualquier otro cuerpo, aunque se encontrase a gran distancia de la Tierra como lo está la Luna, por ejemplo. Con los datos que tenía, pudo calcular la aceleración con que caería hacia la Tierra un cuerpo situado a la distancia en que está la Luna, y encontró que dicha aceleración era mucho menor que aquella con que caía la manzana situada casi sobre la superficie terrestre. Recordando que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración que le produce, nos podemos dar cuenta de que aquel resultado le hizo deducir a Newton que la fuerza de atracción terrestre sobre un cuerpo cualquiera disminuía notablemente a medida que dicho cuerpo se alejaba del centro de nuestro planeta. Posteriormente, al estudiar el movimiento de los planetas alrededor del Sol, encontró un resultado parecido, esto es, que la fuerza de atracción que ejercía el Sol sobre los diferentes planetas era tanto menor cuanto mayor era la distancia a que aquéllos se encontraban de su centro. Guiado por estos resultados concibió la idea genial de que esta relación entre la fuerza y la distancia debía satisfacerse para todos los cuerpos, cualesquiera que fuesen. Más aún, pudo encontrar el valor exacto de dicha relación y de este modo llegó a la conclusión de que la fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separaba.

La masa gravitacional Pero aún faltaba algo para completar la ley. Y ese algo lo encontró cuando pudo calcular que la fuerza con que la Tierra atraía a los cuerpos que sobre ella caían era mucho menor que aquella con la que el Sol atraía a sus planetas. Es decir, que cada cuerpo tenía una propiedad característica que le hacía atraer con mayor o menor intensidad a los otros cuerpos que estaban en su presencia. A esta propiedad –que en la Tierra por ejemplo, era mucho menor que en el Sol- le damos en la actualidad el nombre de masa de los cuerpos y es considerada, como la longitud y el tiempo, una de las magnitudes fundamentales de la Física.


59

59

Se ha adoptado como unidad de masa el kilogramo (kg), que es la masa de un cilindro de platino iridiado, llamado kilogramo patrón, guardado en la Oficina de Pesas y Medidas de Sévres, París, Francia. La ley de gravitación universal

Con estos antecedentes podemos formular la ley de la atracción gravitacional entre dos cuerpos cualesquiera, ley que merecidamente es conocida con el nombre de Ley de la Gravitación Universal de Newton. La fuerza gravitacional con que mutuamente se atraen dos cuerpos estará dada, pues, por un vector según la línea que une los centros de ambos cuerpos. La magnitud de dicho vector está dada por la famosa ley: La magnitud de la fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Es decir, que si tenemos dos cuerpos y llamamos: m1 = Masa de un cuerpo, en kilogramos (kg) m2 = Masa del otro cuerpo, en kilogramos (kg) r = Distancia entre los centros de ambos cuerpos en metros (m). F = Fuerza entre los cuerpos, en newtons (N) G = Constante de proporcionalidad, en m3 / kg s2 La ecuación que nos exprese cuantitativamente esta ley, será:

2

21

r

mmGF

Observando esta ecuación, vemos que en ella aparece una constante de proporcionalidad G. Esta constante no depende de los cuerpos que se atraen ni del medio que rodea a dichos cuerpos. Es pues una constante universal que se llama constante de gravitación.

Su valor depende del sistema de unidades que se use, y en el Sistema Internacional, vale:

G = 6.67 x 10-11 m3 / kg s2 Ejemplo Encontrar la fuerza de atracción gravitacional entre el electrón y el protón en el átomo de hidrógeno si la distancia media que los separa es de 5.3 x 10-11 m. m1 = 9.11 x 10-31 kg m2 = 1.67 x 10-27 kg r = 5.3 x 10-11 m G = 6.67 x 10-11 m3 /kg s2

De la ley de gravitación universal 2

21

r

mmGF

211

27312311

)103.5(

)1067.1)(1011.9)(/1067.6(

mx

kgxkgxkgsmxF

F = 3.6 x 10-47 N Ejemplo Encontrar la distancia a que hay que colocar dos masas de un kilogramo cada una para que se atraigan con una fuerza de 1 newton. F = 1 N G= 6.67 x 10-11 m3 / kg s2 m1 = 1 kg m2 = 1 kg


60

60

De la ley de gravitación universal: 2

21

r

mmGF

despejamos la distancia r:

F

mGmr 21 ,

N

kgkgkgsmxr

1

)1)(1)(/1067.6( 2311

r = 8.16 x 10-6 m A la vista del resultado de este ejemplo, podríamos decir también que: Un newton es la fuerza con que se atraen gravitacionalmente dos masas de un kilogramo cada una colocada a una distancia de 8.16 x 10-6 m, lo cual sería otra manera de entender lo que es el Newton. Aceleración de la gravedad Lo mismo que Newton vio caer una manzana, estamos nosotros acostumbrados a ver constantemente caer los cuerpos a la superficie terrestre. Ahora bien, ¿Cómo caen dichos cuerpos? De nuevo en esta ocasión supo ver claro Galileo, contra la opinión de los sabios antiguos e incluso contra lo que parece decirnos el sentido común, de que los cuerpos más pesados caen a tierra más rápidamente que los más ligeros. En efecto Galileo, primero razonando y después experimentando con diversos cuerpos arrojados por él mismo desde la torre inclinada de Pisa, llegó a la conclusión que todos los cuerpos dejados caer desde la misma altura llegan al suelo, casi al mismo tiempo, y que esa pequeña diferencia de tiempo que se observa en realidad es debido, no a la naturaleza de los cuerpos en sí, sino a la resistencia que el aire opone a su caída. Si esa resistencia desapareciera, es decir, si los cuerpos cayesen en el vacío, su caída debería verificar, según Galileo, en el mismo tiempo, lo que quería decir que la aceleración que la Tierra comunica a todos los cuerpos es la misma. Esta aceleración con que todos los cuerpos caen hacia la Tierra en el vacío se denomina aceleración de la gravedad y se designa con la letra g. Su valor aceptado es:

g = 9.8 m / s2 y decimos aceptado ya que varía de un punto a otro de la Tierra, según sea la latitud y la altitud del lugar en que se mida. En la ciudad de México, por ejemplo, vale 9.78 m / s2 Este valor de la aceleración de la gravedad terrestre medido directamente, puede ser deducido de la ley de la gravitación universal, lo que podemos considerar como una inmediata comprobación de ésta. En efecto, trataremos de aplicar la citada ley para calcular la atracción que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa cualquiera, próximo a su superficie. Si tomamos los datos conocidos: M = Masa de la Tierra = 5.98 x 1024 kg R = Radio de la Tierra = 6.37 x 106 m La relación de la ley de gravitación universal se puede escribir como:

mR

GM

r

mmGF

22

21

Si examinamos esta ecuación vemos que la cantidad separada por los paréntesis


61

61

2R

GM

no depende de la masa de cuerpo que cae sobre la Tierra y, por lo tanto, tiene que ser igual para todos los cuerpos y es una característica propia y exclusiva de la Tierra que atrae a todos los cuerpos. Además tiene las propiedades de una aceleración a, ya que las unidades en que se mediría son:

222

3

2 s

m

m

kg

kgs

m

R

GMa

que son las de una aceleración. La ley de la gravitación de Newton nos dice, pues, que dicha aceleración a sería la que tendrían todos los cuerpos al caer sobre la Tierra. ¿Cuál es, por otra parte su valor numérico? Para encontrarlo resolveremos el siguiente ejemplo. Ejemplo Aplicando la ley de gravitación universal, encontrar la aceleración con que caen todos los cuerpos colocados cerca de la superficie terrestre. M = 5.98 x 1024 kg R = 6.37 x 106 m G = 6.67 x 10-11 m3 / kg s2

2

26

242311

/8.9)1037.6(

)1098.5)(/1067.6(sm

mx

kgxkgsmxa

Si comparamos este resultado de a calculado teóricamente con el de g medido directamente, vemos que son la misma cosa, lo cual, además de ser una brillante comprobación de la ley de gravitación universal de Newton, nos da el valor de la aceleración de la gravedad terrestre en términos de la masa M y Radio R de la Tierra, y la constante de gravitación universal G, es decir:

2R

GMa

Se ha podido verificar experimentalmente que en la naturaleza existen cuatro tipos de fuerzas: la gravedad, el electromagnetismo y las fuerzas débil y fuerte. INTERACCIÓN GRAVITATORIA Todos los fenómenos que se producen en el Universo se deben a las interacciones entre las partículas que lo componen. Estas interacciones se describen mediante el concepto de fuerza. Así, la caída de un objeto o la "caída" de la Luna hacia la Tierra se describe mediante la fuerza gravitatoria. No hace falta una presentación muy extensa para esta fuerza. La sentimos a cada instante al estar pegados a la Tierra. A pesar de lo que pueda parecer, es extremadamente débil. Su intensidad es aproximadamente, dicho en números redondos, 1000000000000000000000000000000 de veces menor que la interacción nuclear débil.

La gravedad nos pega a nuestro planeta


62

62

No obstante, en presencia de grandes acumulaciones de partículas, es decir, de cuerpos de gran masa, puede tener un efecto enorme, llegando a colapsar estrellas bajo la fuerza gravitatoria interna de su propia masa, dando lugar a los famosos agujeros negros y a las no tan famosas estrellas de neutrones. Esta fuerza no tiene límite en su alcance, aunque su influencia se reduce según aumenta la distancia, como ya formuló Isaac Newton con su Ley de la Gravedad, una Ley que posteriormente fue mejorada por Einstein. Las ecuaciones de Newton no eran otra cosa que un caso particular de otras más generales. Ese caso particular es el de nuestra vida cotidiana, pero a escala mayor rige la Teoría General de la Relatividad.

Esto es el mayor reto para la física actual, puesto que las otras tres fuerzas se explican mediante la llamada Teoría Cuántica, y hay graves dificultades para unificar ambas teorías y conseguir una única que explique todo, los intentos para relacionar el bosón de la gravedad, el llamado gravitón, con los demás bosones no fructifican.

Su alcance es infinito y actúa a grandes distancias. Es la interacción más débil de todas, pero es la responsable de la estructura general del Universo. Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las partículas y es conservativa.

2.7. TRABAJO MECÁNICO Y ENERGÍA MECÁNICA. a) Antecedentes. El trabajo y la energía son dos conceptos muy importantes de la Física, y desempeñan papeles importantes en nuestra vida cotidiana. El trabajo en Física difiere de la interpretación cotidiana (esfuerzo para alcanzar un objetivo), el trabajo lo realiza una fuerza al actuar sobre un cuerpo, si el punto de aplicación de la fuerza se mueve a través de una distancia y existe una componente de la fuerza a lo largo de la línea de movimiento. Íntimamente relacionado al concepto de trabajo está el concepto de energía, que es la capacidad de realizar trabajo. Cuando un sistema realiza trabajo sobre otro, se transfiere energía entre los dos sistemas. Por ejemplo cuando se empuja un carrito de tamales, el trabajo se convierte parcialmente en energía del movimiento del carrito, llamada energía cinética y parcialmente en energía térmica que surge de la fricción entre las llantas y el piso. FUERZA. En Mecánica, interesa su efecto, ya que es todo aquello que puede cambiar la velocidad de un cuerpo. Es una magnitud vectorial, por ello tiene magnitud, dirección y sentido; se representa como una flecha dirigida. Su unidad recibe el nombre de newton [1 N = 1 kg m/s2], siendo la fuerza necesaria para que un cuerpo de1 kg experimente un cambio en su velocidad de 1 m/s en cada segundo que pase. Las fuerzas se miden con un instrumento llamado dinamómetro, que consiste en un resorte con una escala pertinente. DESPLAZAMIENTO. Representa un cambio de posición, establecido con respecto a un sistema de referencia; se dibuja como un vector que va del punto inicial al punto final del movimiento. Su unidad es el metro [m]. TRABAJO MECÁNICO. El trabajo mecánico se refiere al hecho de aplicar una fuerza que sea capaz de provocar un desplazamiento; para que se tenga trabajo se requiere que exista una componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento.


63

63

Figura 1. Aplicando una fuerza con una inclinación con respecto al plano del movimiento. En el esquema anterior, al jalar el carrito, se ejerce una fuerza F, que se encuentra

sobre el desplazamiento un ángulo ; dicha fuerza tendrá dos componentes una vertical

(Fy = F sen ) que reduce el valor de la fuerza de fricción y la otra horizontal que es la

que provoca el desplazamiento horizontal (Fx = F cos ). Entonces el trabajo mecánico se obtiene con la fuerza que provoca el movimiento:

𝑊 = 𝐹𝑥 𝑑 = 𝐹 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 …..(32) En donde: F es la magnitud de la fuerza aplicada, medida en N [newton]; d es el valor del desplazamiento, se mide en m [metro];

es el ángulo entre los vectores Fuerza F y desplazamiento d W es el trabajo mecánico, que se mide en (N m = J) [joule]

Dependiendo del valor del ángulo el trabajo mecánico puede ser:

a) positivo, si < 90° (la Fuerza y el desplazamiento tratan de ir en el mismo sentido).

b) negativo, si 90 < ≤ 180° (la Fuerza y el desplazamiento tratan de ir en sentidos contrarios).

c) nulo, si = 90° (la Fuerza y el desplazamiento son perpendiculares). Ejemplo 50. Observa las figuras a continuación y describe ¿cómo es el Trabajo mecánico en cada situación positivo, negativo o nulo (+,-,0)?

(a) (b) (c) (d)

Figura 2. Situaciones donde se aplica fuerza a diferentes cuerpos y que comparados con el

desplazamiento, permiten decir si el Trabajo es [+], [-], o [nulo].

Al momento de estar lanzando la moneda (a) [Fuerza hacia arriba, desplazamiento hacia arriba], el trabajo es positivo; pero cuando la moneda sube (b) [Fuerza hacia abajo aplicada por la atracción gravitatoria y el desplazamiento hacia arriba], recibe un Trabajo negativo y la moneda al caer (c) moneda [Fuerza hacia abajo, desplazamiento hacia abajo], nuevamente recibe un Trabajo positivo. El trabajador al moverse horizontalmente y llevar cargando una caja (d) [la Fuerza hacia arriba, desplazamiento hacia la derecha, ángulo de 90°], el Trabajo es nulo. Al empujar un objeto con una fuerza F, en la misma dirección que el desplazamiento

( = 0°); el trabajo mecánico simplemente se obtiene como:


64

64

𝑊 = 𝐹 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝐹 𝑑 cos 0° = 𝐹 𝑑 (1) = 𝐹 𝑑

𝑊 = 𝐹 𝑑 …..(33)

La fuerza de fricción siempre se opone al movimiento, por ello es contraria al

desplazamiento ( = 180°), así el trabajo de la fuerza de fricción siempre es negativo:

𝑊 = 𝐹 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐹 𝑑 cos 180° = 𝐹 𝑑 (−1) = −𝐹 𝑑

Ejemplo 51. Determina el trabajo mecánico realizado por cada fuerza en el siguiente esquema:

Como la Fuerza F1, actúa horizontal y paralela al piso tiene un ángulo de = 30°, así:

𝑊1 = 𝐹1 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃1 = (80 𝑁)(4 𝑚)(cos 30°) = (80 𝑁)(4 𝑚)(0.866) = 277 𝐽

Como la Fuerza F2 (es el peso del bloque), actúa vertical y perpendicular al piso tiene un

ángulo con respecto al desplazamiento de = 120°, evaluando el trabajo como: 𝑊2 = 𝐹2 𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃2 = (50 𝑁)(4 𝑚)(cos 120°) = (50 𝑁)(4 𝑚)(−0.5) = −100 𝐽

Y como la Fuerza de fricción (f), actúa en contra del desplazamiento, tiene un ángulo de

f = 180°, obteniéndose: 𝑊𝑓 = 𝑓 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = (25 𝑁)(4 𝑚)(cos 180°) = (25 𝑁)(4 𝑚)(− 1.0) = −100 𝐽

Si queremos evaluar el trabajo total que recibe el bloque al subirlo 4 m, este es: 𝑊𝑇 = 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊𝑓 = 277𝐽 − 100𝐽 − 100𝐽 = 77 𝐽

b) Teorema Trabajo-Energía cinética bajo fuerza constante. Se ha mencionado que al aplicar una fuerza neta constante y diferente de cero en la dirección del desplazamiento, provoca un Trabajo Mecánico; pero no se debe olvidar que al aplicar la fuerza neta constante diferente de cero sobre un cuerpo, le provoca cambio

en su velocidad. Por ello de acuerdo con la segunda ley de Newton [𝐹 = 𝑚 𝑎 ] y la ecuación que corresponde a un movimiento con aceleración constante en términos de las magnitudes de las velocidades y desplazamiento, es:

[𝑎 = 𝑣𝑓

2− 𝑣𝑖2

2 𝑑 ] ….(Ecuación 4, despejada y ya revisada en el tema MRUA)

Por lo que podemos obtener:

𝐹 = 𝑚 𝑎 = 𝑚 ( 𝑣𝑓

2 − 𝑣𝑖2

2 𝑑 )


65

65

Como m multiplica a ambos términos y el 2 también los divide, además de sacar a 1/d como factor común:

𝐹 = 𝑚 𝑎 = 𝑚 ( 𝑣𝑓

2 − 𝑣𝑖2

2 𝑑 ) =

1

𝑑 (

𝑚 𝑣𝑓2

2−

𝑚 𝑣𝑖2

2 )

Quitando a d, del segundo miembro de la ecuación, para pasarlo al primer miembro, nos queda finalmente:

𝐹 𝑑 = ( 𝑚 𝑣𝑓

2

2−

𝑚 𝑣𝑖2

2 )

El termino [ F d] ya lo mencionamos en el punto anterior (Ecuación 33), es el Trabajo mecánico realizado por la Fuerza neta constante [F]; por lo que podemos escribir:

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹 𝑑 = ( 𝑚 𝑣𝑓

2

2−

𝑚 𝑣𝑖2

2 ) ….. (34)

y a la magnitud [ 𝑚 𝑣2

2 ] se le llama energía cinética Ec del cuerpo. Esta es una magnitud

escalar que depende en forma directa del cuadrado de la velocidad y de manera directa con su masa. Por ello la energía es capacidad de poder realizar trabajo, en este caso gracias a tener velocidad.

𝐸𝑐 = 𝑚 𝑣2

2 ….. (35)

En donde: Ec, es la energía cinética del móvil, se mide en J, (joule). m, es la masa del móvil, en kg.

v, es el valor de la velocidad en un instante t, su unidad es el m/s.

El segundo miembro de la ecuación 3, representa el cambio en la energía cinética producido en el móvil, es decir la energía cinética al final del tiempo de aplicar la Fuerza neta constante [F] menos la energía cinética un instante antes de iniciar la aplicación de F. Teorema Trabajo – Energía cinética: El trabajo total que se realiza sobre un móvil es igual al cambio que presenta en su energía cinética.

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = 𝑚 𝑣𝑓

2

2−

𝑚 𝑣𝑖2

2 …. . (36)

Ejemplo 52. Un proyectil de 0.02 kg que viaja a 90 m/s, se impacta sobre un tronco de madera, penetrando 0.15 m. ¿Qué fuerza lo detuvo?

Datos Ecuación y su despeje

m = 0.02 kg vi = 90 m/s d = 0.15 m F = ? que lo detiene: Por ello vf = 0

De la ecuación 34

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹 𝑑 = ( 𝑚 𝑣𝑓

2

2−

𝑚 𝑣𝑖2

2 )

Despejamos a F:

𝐹 =(

𝑚 𝑣𝑓2

2−

𝑚 𝑣𝑖2

2 )

𝑑

Sustituyendo los datos y resolviendo:


66

66

𝐹 =

( (0.02 𝑘𝑔) (0

𝑚𝑠 )

2

2 − (0.02 𝑘𝑔) (90

𝑚𝑠 )

2

2 )

0.15 𝑚 =

(0 − (0.02 𝑘𝑔) (8100

𝑚2

𝑠2 )

2)

0.15 𝑚

𝐹 =− 81 𝐽

0.15 𝑚 = −540 𝑁

El signo (−) es porque la fuerza se opone al movimiento del proyectil. Ejemplo 53. Un auto de 1800 kg que viaja a 30 m/s, se aproxima a un cruce por lo que aplica un freno de 4200 N mientras recorre 150 m. ¿con qué energía termina?


m = 1800 kg vi = 30 m/s F = - 4200 N d = 150 m Ecf = ?

De la ecuación 34

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹 𝑑 = ∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = 𝑚 𝑣𝑓

2

2−

𝑚 𝑣𝑖2

2

Reducimos a:

𝐹 𝑑 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝑚 𝑣𝑖

2

2

𝐹 𝑑 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝑚 𝑣𝑖

2

2

Obteniéndose finalmente: 𝐸𝑐𝑓 = 𝐹 𝑑 + 𝑚 𝑣𝑖

2

2

Sustituyendo datos y realizando operaciones:

𝐸𝑐𝑓 = [(− 4200𝑁)(150 𝑚)] + [ (1800 𝑘𝑔) (30

𝑚𝑠 )

2

2] = [−630000 𝐽] + [810000 𝐽] =

𝐸𝑐𝑓 = 180 000 𝐽

Si quisiéramos conocer la velocidad a la que quedo, se despeja de la ecuación 35


2, a la velocidad final, quedando:

𝑣 = √2 𝐸𝑐

𝑚 = √

2 (180 000 𝐽)

1800 𝑘𝑔= √200

𝑚2

𝑠2= 14.1

𝑚

𝑠

Ejemplo 54. Un protón (masa de 1.67 x 10-27 kg) es acelerado en un acelerador lineal. En cada etapa del acelerador, el protón es acelerado a lo largo de una línea recta de 3.50 x 10-2 m, con una aceleración de 3.60 x1015 m/s2. Si el protón entra moviéndose inicialmente a 2.40 x 107 m/s. Calcule (a) su velocidad al final del recorrido recto y (b) la ganancia de energía cinética resultante de la aceleración.


m = 1.67 x 10-27

kg a = 3.60 x1015 m/s2 vi = 2.40 x 107 m/s

(a) De la ecuación de aceleración

𝑎 = 𝑣𝑓

2− 𝑣𝑖2

2 𝑑 , despejamos a la 𝑣𝑓


67

67

d = 3.50 x 10-2 m Ecf = ?

𝑣𝑓 = √𝑣𝑖2 + 2 𝑎 𝑑

Susituyendo datos

𝑣𝑓 = √(2.40 × 107m

s)2 + 2 (3.60 × 1015

m

s2) (3.50 × 10−2𝑚 )

𝑣𝑓 = √(5.76 × 1014m2

s2) + (25.20 × 1015

m2

s2)

𝑣𝑓 = √(257.76 × 1014m2

s2) = 16.05 × 107

m

s

(b) La ganancia de energía cinética es el cambio de la misma:

∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = 𝑚 𝑣𝑓

2

2−

𝑚 𝑣𝑖2

2

Sustituyendo datos:

∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = (1.67 ×10−27 𝑘𝑔) (16.05 × 107𝑚

𝑠)2

2−

(1.67 ×10−27 𝑘𝑔) (2.40 × 107𝑚

𝑠)2

2

∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = 215.10 × 10−13 𝐽 − 2.40 × 10−13 𝐽 = 212.70 × 10−13 𝐽

Ejemplo 55. Al aplicar una fuerza neta constante [F] de magnitud 50 N en dirección del desplazamiento d, figura 4 (a), ¿Qué trabajo se realiza? De acuerdo a la gráfica de la figura 4 (a); se tiene que el área bajo la gráfica es un rectángulo, cuya área se obtiene como base por altura [la base es el valor del desplazamiento (d) y la altura el valor de la fuerza (F)], por lo que el área representa el Trabajo mecánico realizado W, figura 4 (b).

Figura 4. Gráficas Fuerza – desplazamiento, para una fuerza constante.


68

68

Así, si el móvil se mueve por ejemplo: de las posiciones 4 m, a la posición 6 m; el trabajo a realizar es:

Primero, la base es 𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1 = 10 𝑚 − 4 𝑚 = 6 𝑚 Así, el área bajo la gráfica, es el Trabajo hecho:

𝑊 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝑏 𝑎 = (6𝑚)(50𝑁) = 300 𝐽 c) Teorema Trabajo-Energía cinética bajo fuerza variable. En muchas ocasiones la fuerza neta aplicada no es constante, pudiéndose tener variaciones proporcionales o no proporcionales durante un movimiento. De manera que el valor de la fuerza neta aplicada en cada instante puede tener valores diferentes, como se ilustra en la siguiente gráfica.

Figura 5. Gráfica Fuerza – desplazamiento con una fuerza variable.

Al igual que en la gráfica F – x con una fuerza constante, el área encerrada entre la curva y el eje x, corresponde al trabajo mecánico realizado por dicha fuerza. Para calcularla, se utiliza una aproximación dividiendo el desplazamiento en tramos iguales y sumando las áreas de los rectángulos. Cuanto más estrechos sean, mejor será la aproximación del

cálculo. Conclusión:

El trabajo es el área bajo la curva de la Fuerza Fx en función de la posición x. Si analizamos nuevamente la figura 5 (c), para cada rectángulo, la fuerza es constante, por lo que el trabajo total en el mismo es igual al cambio en la energía en el intervalo. La sumatoria de todas las áreas de todos los intervalos considerados será la suma de las respectivas diferencias de energía cinética que se producen en el intervalo total (entre x1 y x2). Consecuentemente, el área total bajo la curva es igual a la suma de los cambios de

energía cinética que ocurren en cada intervalo xi, es decir, el cambio total en la energía cinética del intervalo completo:

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝐸𝑐 = 𝑚 𝑣2

2

2−

𝑚 𝑣12

2

Lo cual representa lo mismo que encontramos como trabajo total para una fuerza constante; es decir el resultado expresado como ecuación 34. d) Teorema Trabajo-Energía. Se llama energía potencial gravitatoria a la capacidad de poder realizar un trabajo en virtud de la posición que se tenga con respecto a un nivel de referencia colocado en un campo gravitatorio, se obtiene como:


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𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 ℎ (37)

En donde: Ep, es la energía potencial del cuerpo, se mide en J, (joule). m, es la masa del cuerpo, en kg.

g, es el valor de la aceleración de la gravedad, e igual a 9.8 m/s2. h, es la altura con respecto a un sistema de referencia, se mide en m.

Para levantar un bloque proporcionándole un desplazamiento d, es necesario ejercer una fuerza ascendente F. Sin importar como se ejerza la fuerza, pero si esta es lo suficiente, se logra cambiar al bloque de su nivel de referencia inicial con posición hi, a otro cuya posición está dada por hf. (ver figura 6.)

Figura 6. Al realizar trabajo la persona para levantar el bloque, le modifica su

Energía potencial gravitatoria.

En este caso la fuerza ejercida por la persona, se trasmite a través de la cuerda modificando la posición del bloque de una altura inicial [hi = 0] en el que se tiene una energía potencial [Epi = 0], hasta una posición con altura final [hf > 0], en el cual la energía potencial es 𝐸𝑝𝑓 = 𝑚 𝑔 ℎ𝑓

Por ello podemos decir que: 𝑊 = 𝐹 𝑑 = 𝐸𝑝𝑓 − 𝐸𝑝𝑖 = 𝑚 𝑔 ℎ𝑓 − 𝑚 𝑔 ℎ𝑖

El trabajo mecánico es igual al cambio en la Energía potencial del bloque. Y si se cambio de posición de referencia del objeto desde el nivel del piso hi = 0, a una nueva altura, entonces el trabajo será igual a: 𝑊 = 𝐹 𝑑 = 𝐸𝑝𝑓 − 𝐸𝑝𝑖 = 𝑚 𝑔 ℎ𝑓 − 𝑚 𝑔 ℎ𝑖 = 𝑚 𝑔 ℎ𝑓 − 0 = 𝑚 𝑔 ℎ𝑓

𝑊 = 𝐹 𝑑 = 𝐸𝑝𝑓 − 𝐸𝑝𝑖 = 𝑚 𝑔 ℎ𝑓 .….. (38)


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Ejemplo 56. Si la persona aplica su fuerza de 294 N en un desplazamiento de la cuerda de 3 m, para levantar el bloque desde el piso, y conociendo que tiene una masa de 60 kg, ¿a qué altura se levanto el bloque? En este caso es necesario despejar a la hf de la ecuación 38:

𝑊 = 𝐹 𝑑 = 𝐸𝑝𝑓 − 𝐸𝑝𝑖 = 𝑚 𝑔 ℎ𝑓

La cual se reduce a: 𝐹 𝑑 = 𝑚 𝑔 ℎ𝑓

Quedando: ℎ𝑓 = 𝐹 𝑑

𝑚 𝑔=

(294 𝑁)(3 𝑚)

(60 𝑘𝑔)(9.8 𝑚

𝑠2)=

882 𝑁 𝑚

588 𝑁= 1.5 𝑚

No se debe olvidar que la Energía mecánica en un punto del movimiento es la suma de sus energías: cinética y potencial; por lo que podemos describir que “el trabajo mecánico modifica a la energía mecánica”, esto se escribe:

𝑊 = 𝐹 𝑑 = 𝐸𝑀𝑓− 𝐸𝑀𝑖

….. (39)

Ejemplo 57. Un bloque de 5 kg parte del reposo y desciende por la pendiente mostrada en la figura. Si la velocidad con la que llega al final de la rampa es de 6 m/s, determina la cantidad de trabajo desarrollado por la fuerza de rozamiento o fricción.

En este caso aplicamos la ecuación 9: 𝑊 = 𝐹 𝑑 = 𝐸𝑀𝑓

− 𝐸𝑀𝑖

𝑊 = 𝐸𝑀𝑓

− 𝐸𝑀𝑖= (𝐸𝑐𝑓

+ 𝐸𝑝𝑓) − (𝐸𝑐𝑖+ 𝐸𝑝𝑖)

𝑊 = (𝑚 𝑣𝑓

2

2+ 𝑚 𝑔 ℎ𝑓) − (

𝑚 𝑣𝑖2

2+ 𝑚 𝑔 ℎ𝑖)

Como al deslizarse el bloque por el plano, llega a la parte final con vi = 6 m/s pero queda en el nivel de referencia (hf = 0); además en el punto inicial del movimiento, el bloque no tiene velocidad (vi = 0), pero si altura (hi = 4 m): tenemos:

𝑊 = [𝑚 𝑣𝑓

2

2+ 𝑚 𝑔 (0)] − (

𝑚(0)2

2+ 𝑚 𝑔 ℎ𝑖) = [

𝑚 𝑣𝑓2

2] − ( 𝑚 𝑔 ℎ𝑖)

𝑊 =(5 𝑘𝑔) (6

𝑚𝑠 )2

2+ (5 𝑘𝑔) (9.8

𝑚

𝑠2) (4 𝑚) = 90 𝐽 − 196 𝐽 = −106 𝐽

El trabajo es negativo, porque es efectuado por la fuerza de fricción. Ejemplo 58. Un cuerpo de 8 kg, se mueve sobre el eje x, bajo la acción de una fuerza F paralela al eje, cuya magnitud varía como se muestra en la gráfica. Si en x = 0, el cuerpo está en reposo, ¿cuál será su velocidad cuando se encuentre en x = 12 m?


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Aplicamos la ecuación 39: 𝑊 = 𝐹 𝑑 = 𝐸𝑀𝑓

− 𝐸𝑀𝑖

Para esta situación como el objeto se mueve sobre el eje x, no hay cambio de posición vertical, en consecuencia no existe cambios en la energía potencial, teniéndose así:

𝑊 = 𝐸𝑀𝑓− 𝐸𝑀𝑖

= 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖

Y como parte del reposo en x=0, la ecuación se reduce a: 𝑊 = 𝐸𝑐𝑓

Por la conclusión del Teorema Trabajo-Energía cinética bajo fuerza variable, el trabajo mecánico es el área bajo la gráfica Fuerza vs posición X. En este caso, podemos encontrar el trabajo realizado como el área formada por el triángulo de [0,6] m; con la del rectángulo de (6,12] m.

𝑊 = 𝑏 ℎ

2+ 𝑙 𝑎 =

(6𝑚)(15𝑁)

2+ (6𝑚)(15 𝑁) = 45 𝐽 + 90 𝐽 = 135 𝐽

Y de 𝑊 = 𝑚 𝑣𝑓

2

2 ; se despeja a la vf:

𝑣𝑓 = √2 𝑊

𝑚= √

2 (135 𝐽)

8 𝑘𝑔= 5.8

𝑚

𝑠

Potencia Mecánica. En muchas ocasiones no es tan importante conocer la cantidad de trabajo que se realiza, sino la rapidez con la que éste se hace, por ello se emplea el concepto de potencia mecánica. Ejemplo 59. El Sr. L. González lleva del primer piso al tercero de un edificio escolar 40 sillas, de una en una, empleando en ello una hora. En cambio el Sr. R. Pérez, sube 40 sillas del 1° al 3er piso en sólo ½ hora. ¿Quién realiza mayor trabajo? Y ¿quién de los dos tiene mayor potencia? Respuesta: Como las posiciones inicial y final son las mismas, el desplazamiento es igual. Además cada persona levanta el peso de 40 sillas, en consecuencia, también la fuerza total aplicada es la misma, [W = F d = (peso de 40sillas)( altura a la que se llevaron)], los dos realizan la misma cantidad de trabajo. Aunque el trabajo es el mismo, la potencia es la rapidez con la que se hace el trabajo y el Sr. R Pérez emplea menor tiempo en hacerlo, si disminuye el tiempo aumenta la Potencia; entonces R Pérez tiene mayor Potencia. La potencia promedio que se ejerce al aplicar una fuerza sobre un cuerpo, es:

𝑃 = 𝑊

𝑡 ….. (40)

donde: W es el trabajo mecánico, medido en J, joule t es el tiempo en realizar el trabajo, medido en s, segundo

y, P es el valor de la potencia mecánica promedio, su unidad es el 𝐽

𝑠= 𝑊, watt


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Si la fuerza que realiza el trabajo es constante, entonces:

𝑃 = 𝑊

𝑡=

𝐹 𝑑

𝑡= 𝐹

𝑑

𝑡= 𝐹 𝑣𝑚 [potencia media = (Fuerza constante)(velocidad media)

𝑃 = 𝐹 𝑣𝑚 ….. (41) Esta forma de expresar la potencia, nos señala claramente lo que le sucede a un auto el cual tiene una potencia definida o constante de su motor, pero se puede modificar su velocidad, simplemente cambiando el valor de la fuerza aplicada. Para iniciar el movimiento del auto se requiere mucha fuerza para vencer a la fuerza de fricción estática

[F v], arrancamos el auto en 1ª; una vez en movimiento se reduce la fuerza de fricción

(ahora es fricción cinética) por lo que podemos pasar a 2ª [F v] debido a que se

necesita menor fuerza y con ello se aumenta la magnitud de la velocidad. Si colocamos la 3ª, se reduce aún más la fuerza aplicada, incrementándose a un valor mayor la

velocidad [F v ]. En todos estos cambios, la potencia se mantiene constante. (Ver la

ecuación 41). Despejando a W de la ecuación 10, obtenemos una forma alternativa de buscar el

trabajo: 𝑊 = 𝑃 𝑡. Por lo que la unidad de trabajo se obtiene multiplicando la unidad de potencia por la unidad de tiempo. Así la unidad de trabajo se define como: el trabajo mecánico hecho en una unidad de tiempo por un cuerpo o máquina que posea una unidad de potencia. Por ejemplo: “Un joule es el trabajo realizado en un segundo por una potencia de un watt”, o también “un watt-hora es el trabajo que se realiza en una hora con un cuerpo o máquina de un watt de potencia”. Ejemplo 60. Un elevador vacío pesa 5160N. Está diseñado para levantar hasta 20 pasajeros desde la planta baja hasta el piso 20 de un edificio en un tiempo de 20 s. Suponiendo que cada persona pese 700 N y la distancia entre cada piso sea de 3 m. ¿Cuál debe ser la potencia constante que ejerce el motor de este elevador? La fuerza total a ejercer por el motor es para levantar el peso del elevador y la del peso de las 20 personas.

𝐹 = 5160 𝑁 + (20)(700) = 5160 𝑁 + 14000 𝑁 = 19 160 𝑁 El valor del desplazamiento a realizar es: 𝑑 = 20 (3 𝑚) = 60 𝑚 Así el trabajo total a desarrollar es:

𝑊 = 𝐹 𝑑 = 19 160 𝑁) (60 𝑚) = 1 149 600 𝐽 Y la potencia es:

𝑃 = 𝑊

𝑡=

1 149 600 𝐽

20 𝑠= 57 480 𝑊 = 57.48 𝑘𝑊

Si la fuerza aplicada es variable, entonces, la potencia instantánea P producida es:

P = 𝑑𝑊

𝑑𝑡

donde: dW es la pequeña cantidad de trabajo que se efectúa en un intervalo de tiempo muy pequeño dt. Trabajaremos solamente situaciones en el que la potencia sea constante, entonces la potencia en cada instante es la potencia media: P = P, que es la ecuación 8.


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2.8. LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA. ENERGÍA Y SUS TIPOS: Es tal vez el fuego es la manifestación más potente de la energía. De la importancia de su aparición en la vida humana dan cuenta multitud de vestigios arqueológicos, y las antiguas leyendas narran su procedencia divina y cómo el robo de una antorcha encendida, cometida por el héroe Promoteo, proporcionó al hombre el poder de dominar la naturaleza. Cuando se piensa en grandes cantidades de energía, se recuerda la bomba de hidrógeno. Sin embargo, incluso la inmensa energía de la bomba es pequeña comparada con la energía del sol, de un huracán tropical o de las mareas. En un día, en la república os Estados Unidos se recibe tanta energía del Sol como la que darían más de un millar de bombas H. La energía de los huracanes o de las mareas implica movimiento. Y, ¿qué hay con relación a la energía del Sol? Ciertamente, no se percibe movimiento cuando los rayos solares entibian nuestra piel o iluminan el paisaje. Pero es el calor del Sol el que mueve los vientos de un huracán. Es evidente que la energía puede aparecer en más de una forma. Un trabajo efectuado sobre un cuerpo o sistema de cuerpos supone un aumento de su energía. Así, el curvar un arco o someter a torsión un muelle, se almacena en ellos energía en forma elástica que se pone de manifiesto al lanzar la flecha o desenrollar el muelle. En este proceso se produce sólo cesión de energía entre los componentes del sistema, de modo que el balance global es nulo. Este fenómeno, conocido como principio de conservación de la energía no se crea ni se destruye, sufriendo únicamente transformaciones de unos estados a otros, y constituyó uno de los axiomas de la física hasta que fue superado tras la aparición de las teorías relativistas de Albert Einstein. Se estudian seis formas principales de energía: • Energía Mecánica. Por ejemplo, aquella que poseen los cuerpos en movimiento. • Energía Radiante. Generada por la interacción de campos electrostáticos y campos magnéticos, se manifiesta en forma de ondas electromagnéticas, ejemplos de éstos son: la luz, los rayos ultravioleta, los rayos gamma, etc. • Energía Química. Se origina por las reacciones químicas entre las sustancias; proporciona capacidad para efectuar un trabajo, por ejemplo: la dinamita, una batería de automóvil, una pila para radio, etcétera. • Energía Nuclear. Es la de mayor intensidad, se encuentra en el interior de los núcleos atómicos, se manifiesta en los procesos de fisión nuclear (por ejemplo en nuestro Sol) y por fusión nuclear (en las centrales nucleares o en los submarinos nucleares por ejemplo).


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• Energía calorífica. Es la que se transmite entre dos cuerpos que se encuentran a diferente temperatura. Su efecto más notorio se tiene cuando lo proporciona el calor; por ejemplo, una parrilla eléctrica, el vapor para mover una locomotora, etcétera. • Energía eléctrica. Es la que se produce por el movimiento de electrones a través de un conductor, mueve máquinas, enciende lámparas, calentadores, motores, etcétera, es originada por un flujo de electrones a través de un conductor eléctrico. Pero, sólo existen dos formas de energía, o es CINÉTICA o es POTENCIAL, formuladas en las ecuaciones 35 y 37. La energía cinética es la derivada del movimiento de las partículas materiales, mientras que la energía poseída por los cuerpos en virtud de sus posiciones o configuraciones se conoce como potencial. Un martillo, por ejemplo, utiliza su energía cinética para vencer las fuerzas de rozamiento que se oponen a la penetración del clavo. Sin embargo, los saltos de agua transforman la diferencia de energía potencial, debida a las distintas alturas con respecto al centro de la Tierra. Tradicionalmente, se diferencia la energía cinética de traslación, provocada por la velocidad lineal de un cuerpo, de la rotación de los sólidos en torno a un eje. Asimismo, la energía potencial puede ser de naturaleza gravitatoria, elástica, magnética, eléctrica, química, etc. En todo campo gravitacional la energía mecánica se compone de dos sumandos: la energía cinética y la energía potencial gravitacional.

𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 𝑚 𝑣2

2+ 𝑚 𝑔 ℎ (43)

Ejemplo 61: Un avión de juguete de 0.3 kg vuela a 6 m/s de manera permanente a 5 m de altura. Determina sus energías (cinética, potencial y mecánica). SOLUCION La energía cinética es:


2=

(0.3 𝑘𝑔)(6𝑚𝑠

)2

2= 5.4 𝐽

La energía potencial se obtiene con:

𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 ℎ = (0.3 𝑘𝑔) (9.8𝑚

𝑠2) (5 𝑚) = 14.7 𝐽

Así se tendrá una Energía mecánica de: 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 5.4 𝐽 + 14.7 𝐽 = 20.1 𝐽

Ejemplo 62: De un helicóptero que vuela a 80 m de altura, se lanza un saco de 5 kg con un valor de velocidad de 10 m/s. Encuentra el valor de sus energías. SOLUCION La energía cinética es:


2=

(5 𝑘𝑔)(10𝑚𝑠 )2

2= 250 𝐽

La energía potencial se obtiene con:

𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 ℎ = (5 𝑘𝑔) (9.8𝑚

𝑠2) (80 𝑚) = 3920 𝐽

Así se tendrá una Energía mecánica de: 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 250 𝐽 + 3920 𝐽 = 4170 𝐽


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Ejemplo-ejercicio. Determina los valores de las energías cinética, potencial y mecánica, para cada instante de la caída de una pelota de 0.08 kg al soltarle desde 50 m de altura. Datos adicionales, obtenidos con las ecuaciones de caída libre: a) Al momento de soltarla, la vi = 0, y se tiene h = 50 m.

𝐸𝑐𝑖 = 𝑚 𝑣2

2=

(0.08 𝑘𝑔)(0𝑚𝑠 )2

2= 0 𝐽

𝐸𝑝𝑖 = 𝑚 𝑔 ℎ = (0.08 𝑘𝑔) (9.8𝑚

𝑠2) (50 𝑚) = 39.20 𝐽

𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 0 𝐽 + 39.20 𝐽 = 39.20 𝐽

b) En el primer segundo: v1 = 9.8 m/s, y la h = 45.1 m.

𝐸𝑐1 = 3.8416 𝐽

𝐸𝑝1 = 35.3584 𝐽

𝐸𝑀 = 39.20 𝐽 c) Después de dos segundos: v2 = 19.6 m/s, y la h = 30.4 m

𝐸𝑐2 = 15.3664 𝐽

𝐸𝑝2 = 23.8336 𝐽

𝐸𝑀 = 39.20 𝐽 d) Para 3 segundos: v3 = 29.4 m/s, y la h = 5.9 m

𝐸𝑐2 = 34.5744 𝐽 𝐸𝑝2 = 4.6256 𝐽

𝐸𝑀 = 39.20 𝐽 De la solución del ejercicio anterior se nota que la Energía mecánica es constante, por ello se puede formular el siguiente principio, llamado de la conservación de la Energía mecánica: En un campo conservativo, como lo es el campo gravitatorio y en ausencia de fuerzas disipativas (fricción, fuerzas deformantes, etc.), la Energía mecánica en cualquier punto de la trayectoria es la misma, sólo se presentan cambios de Energía cinética a potencial o bien de la Energía potencial a la cinética. Ejemplo 63: Se lanza desde una altura de 12 m un proyectil de 0.4 kg a 20 m/s de velocidad vertical ascendente. Determina sus energías cinética, potencial y mecánica: a) al disparo, b) cuando suba con valor de velocidad de 10 m/s, y c) cuando descienda y se encuentre a sólo 4 m del piso. a) Al momento del disparo las energías valen:

La energía cinética inicial es: 𝐸𝑐𝑖 = 𝑚 𝑣𝑖

2

2=

(0.4 𝑘𝑔)(20𝑚

𝑠)2

2= 80 𝐽

La energía potencial es: 𝐸𝑝𝑖 = 𝑚 𝑔 ℎ𝑖 = (0.4 𝑘𝑔) (9.8𝑚

𝑠2) (12 𝑚) = 47.04 𝐽


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Así se tendrá una Energía mecánica de: 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐𝑖 + 𝐸𝑝𝑖 = 80 𝐽 + 47.04 𝐽 = 127.04 𝐽

b) Al momento de subir con velocidad de 10 m/s: Se puede evaluar la energía cinética:

𝐸𝑐1 = 𝑚 𝑣1

2

2=

(0.4 𝑘𝑔)(10𝑚𝑠 )2

2= 20 𝐽

Como la energía mecánica es constante: 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐1 + 𝐸𝑝1 = 20 𝐽 + 𝐸𝑝1 = 127.04 𝐽

Así se tendrá una Energía potencial de: 𝐸𝑝1 = 𝐸𝑀 − 𝐸𝑐1 = 127.04 𝐽 − 20 𝐽 = 107.04

c) Al momento de descender y encontrarse a 4 m del piso: Ahora se puede evaluar la energía potencial:

𝐸𝑝2 = 𝑚 𝑔 ℎ2 = (0.4 𝑘𝑔) (9.8𝑚

𝑠2) (4 𝑚) = 15.68 𝐽

Como la energía mecánica es constante: 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐2 + 𝐸𝑝2 = 𝐸𝑐2 + 15.68 𝐽 = 127.04 𝐽

Así se tendrá una Energía cinética de: 𝐸𝑐2 = 𝐸𝑀 − 𝐸𝑝2 = 127.04 𝐽 − 15.68 𝐽 = 111.36 𝐽

Ejercicio a: Se conoce que en un punto de la trayectoria del vuelo de una pelota de 0.05 kg, las energías cinética y potencial son de 28 J y 32 J respectivamente, si en otro punto de su movimiento la energía cinética es de 45 J. ¿Cuánto valen la Energía mecánica y la potencial en este punto? Ejercicio b: En un punto del ascenso de un carrito de 6 kg, se conoce que la energía cinética es de 240 J y potencial de 210 J, si en otro punto de su movimiento la enerpotencial es de 400 J. ¿Cuánto valen la Energía mecánica y la cinética en este punto?

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NOTAS PARA EL CURSO DE FÍSICA I MECÁNICAPrimera Ley de Newton (Ley de la Inercia) ... Cambio de Ímpetu y Segunda ley de Newton Tercera Ley de Newton Conservación del Ímpetu. 2.5