Notas de MecQuant Teoria de Espalhamento

8/19/2019 Notas de MecQuant Teoria de Espalhamento

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NOTAS DE AULAS

MECÂNICA QUÂNTICA

Prof.: Dr. Salviano A. Leão

Goiânia 25 de fevereiro de 2013


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Sumário

1 Espalhamento 1

1.1 O problema do espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Potencial espalhador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Seção de choque de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Grandezas físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Espalhamento por estados estacionários: Cálculo da seção de choque . . . . . . . . . . . 3

1.3 Forma assintótica dos estados estacionários espalhados. Amplitude de espalhamento . . 3

1.3.1 Comportamento assintótico da onda espalhada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Cálculo das seções de choque usando as correntes de probabilidade . . . . . . . 4

1.3.3 Corrente espalhada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.4 Expressão para a seção de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.5 A equação integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.6 Integral da função de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.7 Laplaciano de G± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Aproximação de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Interpretação dos termos da expansão de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Espalhamento por muitos centros idênticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Espalhamento por um potencial central: Método das ondas parciais 22

2.1 Estados estacionários de uma partícula livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Partícula Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.2 Estados estacionários com momentum bem definido. Ondas planas . . . . . . . 23

2.1.3 Estados estacionários com momentum angular bem definido. Ondas esféricas livres 242.2 Propriedades físicas das ondas esféricas livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Expansão de uma onda plana em termos de ondas esféricas livres . . . . . . . . 26

2.3 Onda parciais no potencial V (r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Condição de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2 Equação Radial para r → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.3 Significado Físico do Deslocamento de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

i


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Sumário

2.3.4 Potencial de Alcance Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Seção de choque em termos do deslocamento de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Estados estacionários espalhados a partir de ondas parciais . . . . . . . . . . . . 31

2.4.2 Argumento Intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.3 Dedução explicita dos termos da expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.4 Obtenção da Expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.5 Forma da Expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.6 Cálculo da Seção de Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.7 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.8 Teorema Óptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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Capítulo 1

Espalhamento

1.1 O problema do espalhamento

Em geral o problema físico é caracterizado por

Alvo

Detector 1

Feixe incidente

O z

Detector 2

1

2

O resultado de uma colisão é muito complexo.

1.1.1 Potencial espalhadorNo espalhamento, a mecânica clássica prevê corretamente os ângulos de espalhamento. Iremos con-

siderar somente o espalhamento elástico.

Hipóteses:

• Partículas sem spin;

• Desconsidera-se a estrutura interna tanto das partículas incidentes quanto do alvo;

1


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1.1. O problema do espalhamento

• O alvo é fino o suficiente para desconsiderarmos múltiplos processos de espalhamento;

• Toda possibilidade de coerência entre as ondas espalhadas pelas diferentes partículas que consti-

tuem o alvo, será desprezada.

• A interação entre as partículas e o alvo será dada por um potencial V (r), em que r = r1 −

r2 é a

posição relativa das partículas, e além disso usaremos:

1 µ

=1

m1+

1m2

=⇒ µ = m1m2m1 + m2

(1.1)

1.1.2 Seção de choque de espalhamento

No espalhamento o problema é caracterizado por

Detector

AlvoFeixe incidente

O z

1.1.3 Grandezas físicas

• F i é o fluxo de partículas no feixe incidente, isto é, é o número de partículas por unidade de

tempo que atravessam uma área unitária perpendicular ao eixo de incidência (Oz). Sua dimensãoé: [F i] = L−2T −1.

Será considerado que o feixe é fraco o suficiente de modo que a interação entre as partículas do

feixe possa ser desprezada.

• dn é o número de partículas espalhadas por unidade de tempo dentro do elemento de ângulo sólido

d Ω. Sua dimensão é: [dn] = T −1.

dn = F iσ(θ, ϕ)d Ω, (1.2)

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1.2. Espalhamento por estados estacionários: Cálculo da seção de choque

na qual σ(θ, ϕ) é a seção de choque diferencial e a seção de choque total é dada por

σ =

σ(θ, ϕ)d Ω. (1.3)

1.2 Espalhamento por estados estacionários: Cálculo da seção de

choque

O Hamiltoniano do sistema é

H = H 0 + V (r) com H 0 = P2/2 µ (1.4)

A equação de Schrödinger que descreve a evolução temporal do sistema é

i∂Ψ

∂t

= H Ψ =

⇒ Ψ(r, t ) = ϕ(r)e−iEt / (1.5)

na qual

H ϕ(r) = E ϕ(r) =⇒−

2

2 µ∇2 + V (r)

ϕ(r) = E ϕ(r) (1.6)

Será considerado que V (r), vai a zero no infinito mais rápido do que 1/r , o que elimina o potencial

coulombiano.

Por conveniência será definindo

E =

2k 2

2 µ

e V (r) =

2

2 µ

U (r) (1.7)

Portanto, a equação de Schrödinger estacionária é

∇2 + k 2 − U (r)

ϕ(r) = 0 (1.8)

Chamaremos os autoestados do Hamiltoniano que satisfaz a condição de estados estacionários espalhados

de v(di f )k

(r). Portanto, ela sera sua função de onda.

1.3 Forma assintótica dos estados estacionários espalhados. Am-

plitude de espalhamento

• Para t → −∞, temos uma partícula livre: eikz;

• Para t → +∞, temos uma partícula livre: eikz;

• Portanto, a função de onda v(di f )k

(r), representa o estado estacionário espalhado, associado a energia

E = 2k 2/2 µ, obtida pela superposição da onda plana eikz e a onda espalhada.



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1.3. Forma assintótica dos estados estacionários espalhados. Amplitude de espalhamento

1.3.1 Comportamento assintótico da onda espalhada

• Em uma dada direção (θ, ϕ) sua dependência radial é da forma eikr /r . O fator 1/r resulta do fato de

serem três dimensões espaciais:

∇2

+k

2e

ikr

0, porém∇

2+

k

2 eikr r

=

0. (1.9)

Aqui o fator 1/r assegura que o fluxo de probabilidade que passa através da superfície de uma

esfera não dependa de r .

• Em geral, o espalhamento não é isotrópico, então a amplitude da onda espalhada depende da dire-

ção (θ, ϕ) considerada. Portanto, para r → ∞

v(di f )k

(r) ∼r →∞

eikz + f (θ, ϕ)eikr

r (1.10)

Nesta expressão, somente a amplitude de espalhamento f (θ, ϕ) depende do potencial V (r).

1.3.2 Cálculo das seções de choque usando as correntes de probabilidade

A corrente de probabilidade é

J(r) = 1 µ

ℜϕ∗(r)

i∇ϕ(r)

(1.11)

A Correntes Incidentes

Ji(r) = 1 µ

ℜϕ∗i (r)

i∇ϕi(r)

mas comp ϕi(r) = eikz (1.12)

temos então que

|Ji(r)| = k µ

(1.13)

1.3.3 Corrente espalhada

Como a onda espalhada é expressa em coordenadas esféricas, temos

∇ = êr ∂

∂r +

êθ r

∂

∂θ +

êϕr sen θ

∂

∂ϕ (1.14)

A onda onda espalhada tem a seguinte forma:

ϕsc(r) =

eikr

r

f k (θ, ϕ), (1.15)



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então, temos

(Jd )r = k

µ

1r 2

| f (θ, ϕ)|2, (1.16)

(Jd )θ = k

µ

1r 3

ℜ

1i

f ∗k (θ, ϕ) ∂

∂θ f k (θ, ϕ)

, (1.17)

(Jd )ϕ = k µ

1r 3 sen θ

ℜ

1i

f ∗k (θ, ϕ) ∂∂ϕ f k (θ, ϕ)

. (1.18)

Como r é muito grande, os termos (Jd )θ e (Jd )ϕ são desprezados em relação ao termo (Jd )r , com isso,

temos uma onda espalhada que é praticamente radial.

1.3.4 Expressão para a seção de choque

O feixe incidente é composto por partículas independentes, então temos que o fluxo incidente é

F i = C |Ji| = C

k µ . (1.19)

O número de partículas que incide sobre o detector por unidade de tempo é proporcional ao vetor

fluxo de corrente Jd que cruza as superfície d S, assim:

dn = C Jd · d S = C (Jd )r r 2d Ω = C k µ

| f (θ, ϕ)|2d Ω, (1.20)

entretanto, como dn = F iσ(θ, ϕ)d Ω, então identifica-se o termo σ(θ, ϕ) como sendo

σ(θ, ϕ) = |

f (θ, ϕ)|2 (1.21)

Portanto, a seção de choque diferencial é igual ao quadrado módulo da amplitude de espalhamento.

“A interferência entre a onda incidente e a espalhada é evitada, por um posiciona-

mento adequado do detector”

1.3.5 A equação integral

Temos que ∇2 + k 2ϕ(r) = U (r)ϕ(r). (1.22)Considere que há uma função G(r) tal que:

∇2 + k 2

G(r) = δ(r). (1.23)

A função G(r) é chamada função de Green do operador ∇2 + k 2. Então uma função qualquer ϕ(r), satisfaz

ϕ(r) = ϕ0(r) +

d 3r G(|r − r′|)U (r′)ϕ(r′), (1.24)



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não é definida em todo o eixo real, pois ela possui dois polos sobre o mesmo.

Note que a função q2 − k 2 = (q + k )(q − k ), possui duas raízes, ou seja, q = ±k . Portanto temos doispossíveis contornos de integração no plano complexo:

Im q

Re q+k-k

No caso anterior o polo q = −k foi excluído da integração, assim usando o teorema de resíduos temos+∞

−∞

eiqr

q2

−k 2

= 2π(q + k )

eiqr

(q + k )(q−

k )

q

=−k

= −2πi2k

e−ikr = −πik

e−ikr (1.45)

Neste caso então, a função de Green é

G−(r ) = 14π2r

d

dr

−πi

k e−ikr

= − 1

4πr e−ikr (1.46)

Portanto temos que a função de Green

G−(r ) = − 14πr e−ikr . (1.47)

A seguir a integral (1.44) será realizada, excluindo-se o segundo polo, ou seja, q = +k , portanto nessecaso o contorno da integração é:



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Im q

Re q+k-k

No caso anterior o polo q = +k foi excluído da integração, assim usando o teorema de resíduos temos

+∞ −∞

eiqr

q2 − k 2 = 2π(q − k )

eiqr

(q + k )(q − k )

q=+k

= 2πi

2k e+ikr =

πi

k eikr (1.48)

Neste caso então, a função de Green é

G+(r ) =1

4π2r

d

dr πi

k eikr = −

1

4πr

eikr (1.49)

Portanto temos que a função de Green

G+(r ) = − 14πr eikr . (1.50)

Dos dois resultados anteriores temos então que

G±(r ) = − 14πr e±ikr . (1.51)

1.3.7 Laplaciano de G±

Agora que temos o valor da função de Green, podemos calcular o seu laplaciano, ou seja,

∇2G±(r) = e±ikr ∇2

14πr

− 1

4πr ∇2

e±ikr

+ 2

∇

14πr

·∇

e±ikr

(1.52)

Devemos lembrar que

∇2

1r

= −4πδ(r) (1.53)



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1.4. Aproximação de Born

modo que

f k (θ, ϕ) = − µq8π2ǫ 02 limα→0

d 3r ′ e−iK·r′

d 3r ′′ e−α|r

′−r′′ |

|r′ − r′′|− Zqeδ(r) + ̺ (r′′)

. (1.77)

A introdução do fator e−α|r′−r′′ | não altera o valor da integral quando tomamos o limiteα → 0. Isso ocorrer

porque ele difere de 1 somente nas regiões que essencialmente não contribuem para a integral. Agora a

mudança de ordem da integração é permitida e com isso faremos a seguinte mudança de variável

r′ = u + r′′ (1.78)

e com isso podemos escrever

f k (θ, ϕ) = − µq8π2ǫ 02

d 3r ′′ − Zqeδ(r) + ̺ (r′′) · limα→0

d 3u′ e−iK·r

′ e−α|r′−r′′ |

|r′ − r′′|= − µq

8π2ǫ 02

d 3r ′′

− Zqeδ(r) + ̺ (r′′) e−iK·r′′ · limα→0

d 3u′ e−αu−iK·u

u

A integral acima é dada por:

I = limα→0

d 3u′

e−αu−iK·u

u = lim

α→0

2π0

d ϕ

π0

sen θ d θ ∞

0du e−αu−iK·u

como o vetor K, está em uma direção qualquer do espaço e vamos somar sobre todas elas, logo por uma

questão de simplicidade vamos escolher K = K ê z, assim teremos que

I = limα→0

2π0

d ϕ

π0

sen θ d θ ∞

0udu e−αu−iKu cos θ

= limα→0

2π0

d ϕ

∞0

udu e−αu π

0sen θ d θ e−iKu cos θ

Na última integral do lado direito fazemos a seguinte mudança de variável y = −iKu cos θ , logo dy =iKu sen θ d θ , assim temos que π

0sen θ d θ e−iKu cos θ =

1iKu

iKu−iKu

dy e y = 1iKu

eiKu − e−iKu

=

2Ku

sen(Ku).

Portanto, temos que,

I = limα→0

4πK

∞0

du e−αu sen(Ku)

= limα

→0

2πiK

∞

0

du e−αu eiKu

−e−iKu

= limα→0

2πiK

∞0

duei(K +iα)u − e−i(Ku−iα)u

= limα→0

2πiK

ei(K +iα)u

i(K + iα) +

e−i(K −iα)u

i(K − iα)∞

0

= limα→0

2πK

1

K + iα +

1K − iα

= limα→0

2πK

2K K 2 + α2

= limα→0

4πK 2 + α2



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1.5. Espalhamento por muitos centros idênticos

significantemente na amostra. Portanto, conforme o exposto, a aproximação de Born continua válida e

podemos escrever

f k (θ, ϕ) = − 14π

d 3r e−iK·r2 µ2

N i=1

v(r − ri) (1.88)

Tirando a somatória para fora da integral e introduzindo a seguinte mudança de variável ρ = r

− ri,

obtemos

f k (θ, ϕ) = − 14π N i=1

d 3 ρ e−iK·(ρ+ri)

2 µ2

v(ρ)

=

− µ

2π2

d 3 ρ e−iK·ρv(ρ)

·

N i=1

e−iK·ri (1.89)

Portanto, f k (θ, ϕ) é igual a amplitude de espalhamento devido ao potencial v(r), multiplicada pela soma

das exponenciais e−iK·ri .

O primeiro caso que investigaremos é aquele de materiais, cujos centros espalhadores movem-se

constantemente, por exemplo: líquidos e gases. A seção de choque diferencial envolve o quadrado do

módulo da soma de exponenciais complexas, (1.89). Portanto, podemos escrever N

i=1

e−iK·ri

2

=

N i=1

e−iK·ri N

j=1

eiK·r j = N i, j

e−iK·(ri−r j) = N + N i j

e−iK·(ri−r j). (1.90)

Enquanto o número de centros espalhadores for muito grande, o ambiente de todos os centros que se

encontram afastados dos limites (contornos) da amostra, em média, são os mesmos. Seja então n(r) a

densidade média de centros espalhadores no ponto r com relação a um dado centro. Então, com isso,

pode-se escrever N i j

e−iK·(ri−r j) = N ≫1

N

d 3r n(r)e−iK·r, (1.91)

de modo que, definindo

F atm(θ ) = − µ2π2

d 3 ρ e−iK·ρv(ρ) (1.92)

então podemos escrever a seção de choque diferencial como

σ(θ, ϕ) = N · |F atm(θ )|2 ·1 +

d 3r n(r)e−iK·r

. (1.93)

A seção de choque diferencial é portanto proporcional, a amplitude de espalhamento atômico, ao númerototal de centros espalhadores, e está relacionada com a probabilidade com que um centro espalhador está

posicionado com relação a outro, ou seja, a probabilidade de sua posição relativa.

O segundo caso que será investigado, é o de um cristal perfeito, isto é, um material cujos os centros

espalhadores estão distribuídos sobre uma rede periódica. Seja a, b e c os vetores de translação funda-

mentais da rede. Será considerado que o cristal é um paralelepípedo. A posição dos centros espalhadores

é dada na figura 1.4, por

ri = naa + nbb + ncc. (1.94)



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1.5. Espalhamento por muitos centros idênticos

logo o seu módulo é 1 − eix = −2i sen( x/2)eix/2 = 2 sen( x/2). (1.100)Portanto, podemos escrever,

N

i=1

e−iK

·ri

2

= F a(K · a)F b(K · b)F c(K · c) (1.101)

em que a função

F α(K · α) =sen2( 12 N αK · α)

sen2( 12 K · α) , com α = a, b, c. (1.102)

Portanto, a seção de choque diferencial é dada por

σ(θ, ϕ) =

14π

d 3 ρ e−iK·ρ

2 µ2

v(ρ)

2

× F a(K · a)F b(K · b)F c(K · c) (1.103)

Dado que N α é grande o suficiente, a função F α(K · α) mostra um máximo agudo nos pontos em queK · α ’um múltiplo inteiro de 2π, ou seja, K · α = 2πqα, com qα = 0, 1, 2, · · · . O comportamento deF α(K · α), em torno do seu valor máximo N 2α, é mostrado no gráfico 1.5. O intervalo entre dois zerosconsecutivos em ambos os lados do máximo central é 4π/ N α. A área sobre aquele máximo é da ordem

de N α.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

Fator de forma atômico

Figura 1.5: A função F α(K · α). Note que o valor máximo de F α(K · α) é N 2α.



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Capítulo 2

Espalhamento por um potencial central:

Método das ondas parciais

No caso especial de um potencial central V (r), o momentum angular orbital L é uma constante demovimento. Portanto, existem estados estacionários com momentum angular bem definido: isto é, au-

toestados comuns de H , L2 e L z. Chamaremos as funções de onda associadas a estes estados de ondas

parciais e as designaremos por ϕk ,l,m(r). Assim temos que

H ϕk ,l,m(r) = E k ϕk ,l,m(r) =

2k 2

2 µ ϕk ,l,m(r) (2.1)

L2ϕk ,l,m(r) = l(l + 1)2ϕk ,l,m(r) (2.2)

L zϕk ,l,m(r) = mϕk ,l,m(r). (2.3)

Como o potencial V (r) influência somente a parte radial da equação de Schrödinger, então a depen-

dência angular de ϕk ,l,m(r) será dada pelos harmônicos esféricos Y ml (θ, ϕ).

Quando r for grande o suficiente, espera-se que as ondas parciais se aproximem das autofunções

comuns de H 0, L2 e L z, na qual H 0 é o operador Hamiltoniano de uma partícula livre, e em particular,

de uma que possuí um momentum angular bem definido. Neste caso, as correspondentes funções de

onda ϕ(0)k ,l,m

(r) são ondas esféricas livres: sua dependência angular, de fato, são aquelas dos harmônicos

esféricos, e será visto que a expansão assintótica da sua função radial é a superposição de uma onda

incidente e−iKi·r e uma onda que sai eiKi·r com uma diferença de fase bem determinada.

2.1 Estados estacionários de uma partícula livre

2.1.1 Partícula Livre

O Hamiltoniano de uma partícula livre,

H 0 = P2

2 µ, (2.4)

22


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2.1. Estados estacionários de uma partícula livre

não constitui por si só um C.S.C.O e seus autovalores são infinitamente degenerados. Entretanto, os 4

observáveis

H 0, P x, P y, P z (2.5)

formam um C.S.C.O. Seus autoestados comuns são estados estacionários de um momentum bem defi-

nido. Uma partícula livre pode ser considerada como uma partícula num potencial central nulo, nesse

caso os três observáveis

H 0, L2, L z (2.6)

formam um C.S.C.O. Seus correspondentes autoestados, serão estado estacionários com momentum an-

gular L bem definido, mais precisamente com L2 e L z bem definidos.

As bases no espaço de estados definidos pelos operadores de (2.5) e (2.6) são distintas, já que os

operadores P e L são quantidades incompatíveis.

2.1.2 Estados estacionários com momentum bem definido. Ondas planasA base {|p} dos autoestados comuns dos operadores de (2.5) são:

P |p = p |p e H 0 |p = p2

2 µ|p . (2.7)

Portanto, o espectro de H 0 é contínuo e inclui o zero. Cada um dos autovalores são infinitamente dege-

nerados: para uma energia positiva fixa E existe um número infinito de kets |p correspondentes, já queexiste um número infinito de vetores ordinários p cujo o módulo satisfaz

|p| =

2 µ E = p2

x + p2

y + p2

z.

(2.8)As funções de onda associadas ao ket |p são

r| p =

12π

3/2eip·r/ (2.9)

Introduzindo o vetor de onda k, que caracteriza uma onda plana, como

k = p

(2.10)

então podemos definir o ket|k como

|k = 3/2 |p (2.11)O kets k são estados estacionários com momentum bem definidos, assim

P |k = k |k e H 0 |k = 2k2

2 µ |k . (2.12)

e eles são ortonormais no senso estendido

k| k′ = δ(k − k′), (2.13)



27/37

2.2. Propriedades físicas das ondas esféricas livres

e formam uma base no espaço de estados

d 3k |k k| = 1. (2.14)

As funções de onda, são ondas planas normalizadas em todo o espaço

r| k =

12π

3/2

eik·r. (2.15)

2.1.3 Estados estacionários com momentum angular bem definido. Ondas esféri-

cas livres

As funções de onda associadas com os estados estacionários de momentum angular bem definidoϕ(0)k ,l,m

de uma partícula livre, são as ondas esféricas livres, as quais são dadas por

r| ϕ(0)k ,l,m

= ϕ(0)k ,l,m(r) =

2k

2

π jl(kr ) Y ml (θ, ϕ) (2.16)

na qual as funções jl( ρ), são as funções esféricas de Bessel definidas por:

jl( ρ) = (−1)l ρl

1 ρ

d

d ρ

l sen( ρ) ρ

. (2.17)

As ondas esféricas são ortonormais no senso estendido e satisfazem a seguinte relação

ϕ(0)k ,l,m ϕ(0)k ′ ,l′,m′ =2

π

kk ′∞

0

jl(kr ) jl′(k ′r )r 2dr d ΩY ml ∗(θ, ϕ)Y m

′l′ (θ, ϕ) = δ(k

−k ′)δl,l′δm,m′ (2.18)

e formam uma base no espaço de estados, logo elas também satisfazem a seguinte relação de completeza

∞ 0

dk

∞l=0

+lm=−l

ϕ(0)k ,l,m

ϕ

(0)k ,l,m

= 1. (2.19)

2.2 Propriedades físicas das ondas esféricas livres

Dependência angular: Ela deve-se completamente aos harmônicos esféricos Y ml (θ, ϕ), os quais são

fixados pelos autovalores de L2 e L z, ou seja, os índices l e m.

Comportamento próximo da origem: Consideremos um ângulo sólido infinitesimal d Ω0 em torno

da direção (θ 0, ϕ0); quando o estado da partículaϕ(0)

k ,l,m

, a probabilidade de encontrar a partícula nesse

ângulo sólido entre r e r + dr é proporcional a

r 2 j2l (kr )Y ml (θ, ϕ)2 dr d Ω0. (2.20)



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29/37


Esse resultado é fisicamente muito importante, pois ele implica que uma partícula no estadoϕ(0)

k ,l,m

praticamente não é afetada pelo que ocorre dentro de uma esfera centrada em O de raio

bl(k ) =1k

l(l + 1). (2.25)

b

L

p

Figura 2.2: Definição do parâme-

tro de impacto de uma partícula.

Note que na mecânica clássica, uma partícula livre de momentum pe momentum angular L move-se em uma linha reta cuja distância b ao

ponto O é dada por:

b =|L||p| , (2.26)

que é chamado de parâmetro de impacto da partícula relativa a ori-

gem O. Se |L| for trocado por √ l(l + 1) e o módulo de |p| por k ,obtemos uma expressão para bl(k ), a qual pode ser interpretada semi-

classicamente.

Comportamento assintótico: Pode-se mostrar que para r → ∞temos

jl( ρ) ≃ ρ→∞

1 ρ

sen ρ − lπ

2

. (2.27)

Como sen θ = (eiθ − e−iθ )/2i, logo o comportamento assintótico da ondas esférica livre é

ϕ(0)k ,l,m

(r) ≃r →∞

−

2k 2

π Y ml (θ, ϕ)

e−ikr eilπ/2 − eikr e−ilπ/22ikr

(2.28)

No infinito, ϕ(0)k ,l,m

(r → ∞

) resulta, portanto, na superposição de uma onda chegando e−

ikr /r e uma

onda saindo eikr /r , cujas amplitudes diferem por um fator de fase igual lπ.

2.2.1 Expansão de uma onda plana em termos de ondas esféricas livres

Há duas bases distintas formadas pelos autoestados de H 0: a base {|k} associada com uma onda planae a base {

ϕ(0)k ,l,m

} associada com as ondas esféricas livres. É possível expandir qualquer ket de uma base

em termos dos vetores de estado da outra base.

Considere uma partícula cujo o estado é dado pelo ket |0, 0, k , o qual está associado com uma onda

plana de vetor de onda k direcionado ao longo do eixo z, ou seja k = k ̂e z, logo o ket |k = |0, 0, k , é dadopor

k| 0, 0, k =

12π

3/2eikz =

12π

3/2eik·r . (2.29)

O ket |0, 0, k representa um estado com energia E = 2k 2/2 µ bem definida e momentum |p| = k ,direcionado ao longo do eixo z. Note porém que como

eikz = eikr cos θ = eik·r , (2.30)



30/37


então a onda plana é independente do ângulo ϕ e como a componente L z do momentum angular na

representação |r é dada por L z =

i

∂

∂ϕ , (2.31)

então, o ket |0, 0, k também é um autovetor de L z, com autovalor zero,

L z |0, 0, k = 0 ⇐⇒ i

∂

∂ϕeikr cos θ = 0 (2.32)

Usando a relação de completeza das ondas esféricas livres podemos escrever

|0, 0, k =∞

0

dk ′∞

l=0

+lm=−l

ϕ(0)k ′ ,l,m

ϕ

(0)k ′,l,m

0, 0, k (2.33)

como L z |ϕ = ml |ϕ e como |0, 0, k eϕ

(0)k ′,l,m

são dois autoestados de H 0, então eles são ortogonais se

os correspondentes autovalores forem diferentes. Portanto o seu produto escalar deve ser proporcional a

δ(k ′ − k ). Similarmente, eles são ambos autoestados de L z e o seu produto escalar é proporcional a δm,0.Portanto a expressão anterior, toma a seguinte forma

ϕ

(0)k ′,l,m

0, 0, k = C k ,lδ(k − k ′)δl,l′δm,0 . (2.34)Portanto, podemos escrever

|0, 0, k =∞

l=0

C k ,lϕ(0)

k ,l,0

, (2.35)

Os coeficientes C k ,l podem ser calculados através da expansão

eikz =

∞l=0

il

4π(2l + 1) jl(kr )Y 0l (θ ) . (2.36)

Um estado de momentum linear bem definido, é portanto formado pela superposição dos estados

correspondentes a todos os possíveis momenta angulares.

Note ainda que, como os harmônicos esféricos Y 0l (θ ) são proporcionais aos polinômios de Legendre

Pl(cos θ ), ou seja, como

Y 0

l (θ ) = 2l + 1

4πP

l(cos θ ) , (2.37)

então também podemos escrever

eikz =

∞l=0

il(2l + 1) jl(kr )Pl(cos θ ) . (2.38)



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2.3. Onda parciais no potencial V (r )

2.3 Onda parciais no potencial V (r )

Para um potencial central V (r ) qualquer, o operador Hamiltoniano do problema é

H = H 0 + V (r ) =P2

2 µ + V (r ) , (2.39)

na qual H 0 corresponde o Hamiltoniano da partícula livre. Portanto, o problema a ser resolvido é

( H 0 + V )ϕk ,l,0 = E ϕk ,l,0 . (2.40)

Como na representação |r, temos que as ondas parciais ϕk ,l,0(r) possuem a seguinte forma

r| ϕk ,l,0

= ϕk ,l,0(r) = Rk ,l(r ) Y ml (θ, ϕ) =1r

uk ,l(r ) Y ml (θ, ϕ) (2.41)

na qual uk ,l(r ) é a solução da equação radial

−

2 µd 2

dr 2 +

l(l + 1)22 µr 2

+ V (r )

uk ,l(r ) = 2k 2

2 µuk ,l(r ) , (2.42)

2.3.1 Condição de Contorno

Na origem temos que:

uk ,l(0) = 0. (2.43)

Esse problema é análogo ao de uma partícula de massa µ, sobre a influência de um potencial efetivo

unidimensional V e f (r ), como o da figura 2.3, cuja forma é O potencial efetivo V e f (r ) é

V e f (r ) =

V (r ) +

l(l + 1)2

2 µr 2 r > 0

∞ r


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Figura 2.3: Comportamento do potencial efetivo que entra na equação radial.

a direita. Desde que, não pode haver onda transmitida, pois V (r ) = ∞ para r < 0, a corrente refletidana origem deve ser igual a incidente. Portanto, vemos que a condição (2.43) implica que, na expressão

assintótica (2.48), os valores das constantes A e B são tais que,

| A| = | B|, (2.47)

e consequentemente, a equação (2.48) toma a forma

uk ,l(r )

≃r →∞ | A

| eikr

+ e−ikr eiϕb (2.48)a qual ainda pode ser reescrita na forma

uk ,l(r ) ≃r →∞

C sen (kr − βl) (2.49)

Esse mesmo resultado pode ser obtido, observando que para os estados ligados temos que uk ,l ∈ ℜ oque significa então que podemos escrever A = B∗ = (C /2i)e−i βl , e com isso C ∈ ℜ, portanto,

uk ,l(r ) ≃r →∞

C

2i

ei(kr − βl) − e−i(kr − βl)

= C sen(kr − βl). (2.50)

A fase βl introduzida, é completamente determinada impondo a continuidade entre a solução da equa-

ção radial e com o seu comportamento assintótico. Assim, como surgiu o fator lπ/2 no comportamento

assintótico da onda esférica livre, vamos introduzir o mesmo, fazendo βl = lπ/2 − δl, na qual δl é odeslocamento de fase. Assim,

uk ,l(r ) ≃r →∞

C sen

kr − lπ2

+ δl

(2.51)

A quantidade δl definida desse modo, é chamada de deslocamento de fase da onda parcial ϕk ,l,m(r);

ela obviamente depende de k , isto é da energia.



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2.3.3 Significado Físico do Deslocamento de Fase

Conforme o exposto, ao considerarmos (2.41) e (2.43), podemos escrever o comportamento assintó-

tica da onda parcial ϕk ,l,0(r) na seguinte forma:

ϕk ,l,0(r) ≃r →∞ C sen kr − l

π2 + δl

r Y

m

l (θ, ϕ)

≃r →∞

−CY ml (θ, ϕ)e−ikr ei(lπ/2−δl ) − eikr e−i(lπ/2−δl)

2ir (2.52)

Desse resultado, vê-se que tanto as ondas parciais ϕk ,l,0(r) como as ondas esféricas livres, (2.28), resultam

da superposição de uma onda chegando com uma onda saindo.

Note então que se multiplicarmos o comportamento assintótico da onda parcial acima, (2.52) pelo

fator de fase eiδl e fizermos C = 1, obtemos o mesmo comportamento assintótico da onda esférica livre

que chega, (2.28), ou seja,

ϕ̃k ,l,0(r) = eiδl

ϕk ,l,0(r) (2.53)

≃r →∞

−Y ml (θ, ϕ)e−ikr eilπ/2 − eikr e−ilπ/2e2iδl

2ir (2.54)

Esta expressão pode ser interpretada da seguinte forma: na saída temos a mesma onda que chega como

no caso de uma partícula livre. Quando a onda incidente se aproxima da zona de influência do potencial

ela é mais perturbada por este potencial. Quando ela é refletida, ela é transformada numa onda que sai,

com um deslocamento de fase 2δl acumulado, relativo ao resultado obtido para uma onda livre saindo,

quando o potencial V (r ) = 0. O fator e2iδl , o qual varia com k e l, sumariza o efeito total do potencial

sobre uma partícula de momentum angular l

Portanto, a onda que sai, acumulou um deslocamento de fase de 2δl relativo a onda que chega, e o

fator e2iδl sumariza o efeito do potencial.

2.3.4 Potencial de Alcance Finito

Considere o potencial central V (r ), com um alcance r 0 finito, ou seja,

V (r ) = 0 Para r > r 0 (2.55)

Como vimos uma onda esférica livre penetra muito pouco numa esfera de raio bl(k ), centrada em O.

Então os potenciais de curto alcance como na eq. (2.55) não atuam sobre uma onda parcial fora do seu

alcance, ou seja, se

bl(k ) ≫ r 0 , (2.56)pois a correspondente onda incidente retorna antes de atingir a zona de influência do potencial V (r ).

Portanto, para cada valor de energia há um valor máximo de momentum angular l M , o qual de acordo

com (2.25) é aproximadamente l M (l M + 1) ≃ kr 0 . (2.57)



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2.4. Seção de choque em termos do deslocamento de fase

Os deslocamento de fase só são apreciáveis para valores de l menores ou da ordem de l M .

Para os potenciais de curto alcance e uma baixa energia incidente, o momentum angular l M é pe-

queno. Nestes casos pode acontecer que os únicos deslocamentos de fase δl não nulos, sejam aqueles

correspondentes as primeiras ondas parciais: A onda s (l = 0) em baixa energia, seguida pelas ondas s e

p com energias um pouco maiores, etc.

2.4 Seção de choque em termos do deslocamento de fase

O deslocamento de fase caracteriza as modificações, do comportamento assintótico dos estados es-

tacionários com momentum angular bem definido, causadas pelo potencial. Conhecendo-se o desloca-

mento de fase será possível determinar a seção de choque. Para demonstrar isso, deve-se expressar o

estado estacionário v(dif f )k

(r) em termos das ondas parciais, e calcular a amplitude de espalhamento desta

maneira.

2.4.1 Estados estacionários espalhados a partir de ondas parciais

Devemos encontrar uma superposição linear de ondas parciais cujo comportamento assintótico seja

da forma

v(di f )k

(r) ≃r →∞

eikz + f k (θ, ϕ)eikr

r (2.58)

Desde que o estado estacionário é um autoestado do Hamiltoniano H , a expansão de v(dif f )k

(r) envolve

somente ondas parciais tendo a mesma energia 2k 2/2 µ. Note também que no caso de um potencial

central V (r ), o problema de espalhamento que estamos investigando é simétrico com respeito a umarotação do feixe incidente em torno do eixo z. Consequentemente, a função de onda do espalhamento

estacionário v(dif f )k

(r) é independente do ângulo azimutal ϕ, então esta expansão inclui somente ondas

parciais para as quais m é zero. Finalmente, temos uma expressão da forma:

v(di f )k

(r) =∞

l=0

C lϕ̃k ,l,0(r) . (2.59)

Então o problema consiste em determinar os C l

2.4.2 Argumento Intuitivo

Quando V (r ) = 0, a função de onda v(di f )k

(r) reduz-se a uma onda plana eikz e as ondas parciais

tornam-se ondas esféricas livres, ou seja,

v(di f )k

(r) → eikz e ϕ̃k ,l,0(r) → ϕ(0)k ,l,0(r) . (2.60)

Vimos que



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• para V (r ) 0, v(di f )k

(r) inclui uma onda divergente e uma onda plana;

• ϕ̃k ,l,0(r) difere de ϕ(0)k ,l,0(r) no seu comportamento assintótico somente pela presença da onda saindo,

a qual tem a mesma dependência radial da onda espalhada. Esse termo da onda incidente possui o

termo do deslocamento de fase.

Portanto, os coeficientes da expansão (2.58) seja os mesmo da da (2.36), com isso, temos

v(di f )k

(r) =∞

l=0

il

4π(2l + 1)ϕ̃k ,l,0(r) . (2.61)

2.4.3 Dedução explicita dos termos da expansão

Mostraremos que (2.61) é defato a expansão correta. Para isso, temos que

∞

l=0

il 4π(2l + 1)ϕ̃k ,l,0(r) ≃r →∞∞l=0

il

4π(2l + 1)Y 0l (θ )e−ikr eilπ/2 − eikr e−ilπ/2e2iδl

2ir

Note ainda que:

e2iδl = cos(2δl) + i sen(2δl)

= 1 − 2sen2(δl) + 2i sen(δl)cos(δl)= 1 + 2sen(δl) [− sen(δl) + i cos(δl]

= 1 + 2i sen(δl) [i sen(δl) + cos(δl]= 1 + 2i sen(δl)e

iδl

Substituindo na expressão anterior

2.4.4 Obtenção da Expansão

∞

l=0

il 4π(2l + 1)ϕ̃k ,l,0(r) ≃r →∞∞

l=0

il

4π(2l + 1)Y 0l (θ )×

e−ikr eilπ/2 − eikr e−ilπ/22ir

− eikr

r · 1

k · e−ilπ/2eiδl sen(δl)

Como, vimos

ϕ(0)k ,l,m

(r) =

2k 2

π jl(kr ) Y

ml (θ, ϕ)



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eikz =

∞l=0

il

4π(2l + 1) jl(kr )Y 0l (θ )

=

∞l=0

il

4π(2l + 1)

π

2k 2ϕ

(0)k ,l,m

(r)

Entretanto como a expansão assintótica de ϕ(0)k ,l,m

(r) é dada por

ϕ(0)k ,l,m

(r) ≃r →∞

−

2k 2

π Y 0l (θ )


então

eikz ≃r →∞

−∞

l=0

il

4π(2l + 1)

π

2k 2

2k 2

πY ml (θ, ϕ)×


Portanto, o termo eikz é identificado como,

eikz ≃r →∞

− ∞l=0

il

4π(2l + 1)Y 0l (θ )e−ikr eilπ/2 − eikr e−ilπ/2

2ikr .

2.4.5 Forma da Expansão

Portanto, a expansão das ondas parciais é:∞

l=0

il

4π(2l + 1)ϕ̃k ,l,0(r) ≃r →∞

eikz + f k (θ )eikr

r (2.62)

na qual usamos o fato de que: e−ilπ/2 = (

−i)l = (1/i)l, para escrever

f k (θ ) = 1k

∞l=0

4π(2l + 1)eiδl sen(δl)Y

0l (θ ) (2.63)

2.4.6 Cálculo da Seção de Choque

A seção de choque diferencial de espalhamento é

σ(θ ) = | f k (θ )|2 = 1k 2

∞l=0

4π(2l + 1)eiδl sen(δl)Y

0l (θ )

2

(2.64)

e portanto, a seção de choque é dada pela integral sobre todo o ângulo sólido d Ω

σ =

d Ω σ(θ ) =

1k 2

∞l=0

∞l′=0

4π

(2l + 1)(2l′ + 1)ei(δl−δl′ )×

sen(δl)sen(δl′)

d Ω Y 0l′ (θ )Y 0l (θ ) (2.65)

Como os harmônicos esféricos são ortonormais, obtemos:

σ = 4π

k 2

∞l=0

(2l + 1)sen2(δl) =∞

l=0

σl (2.66)



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