Upload
others
View
18
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Jika kejadian pertama dapat terjadi dengan n1 cara berbeda
Kejadian kedua dapat terjadi dengan n2 cara berbeda
Kejadian ketiga dapat terjadi dengan n3 cara berbeda
Kejadian keempat dapat terjadi dengan n4 cara berbeda dan seterusnya sampai kejadian – k
Maka seluruh kejadian tersebut dapat terjadi dengan knnnn ...321
1. Kerti memiliki 2 baju berbeda, 4 celana berbeda, dan 3 topi berbeda, jika Kerti akan
memakai pakaian dengan cara yang berbeda, tentukan banyak kombinasi pakaian
yang mungkin.
Kerti memiliki 2 baju, 4 celana, dan 3 topi jadi seluruh kombinasi pakaian yang bisa
dipakai Kerti = 2 x 4 x 3 = 24 cara
2. Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas
4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak
boleh berulang?
Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari 4 angka yaitu 1, 2, 3, dan 4.
Misalnya terpilih angka 1.
Karena angka-angka itu tidak boleh berulang, maka angka kedua (sebagai ratusan)
dapat dipilih dari 4 angka yaitu 0, 2, 3 dan 4. Misalnya terpilih angka 0.
Angka ketiga (sebagai puluhan)dapat dipilih dari 3 angka yaitu 2, 3, dan 4. Misalkan
yang terpilih angka 2.
Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilihdari 2 angka yaitu 3, dan 4.
2
Jadi, seluruhnya ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang dapat disusun dengan angka-
angka yang tidak boleh berulang.
No Soal Jawaban
1 Misalkan dari Semarang ke
Bandung ada dua jalan dan
dari Bandung ke Jakarta ada
3jalan. Berapa banyak jalan
yang dapat ditempuh untuk
bepergian dari Semarang
keJakarta melalui Bandung?
2 Bilangan terdiri atas 4 angka
disusun dari angka-angka 1, 2,
3, 4, 5, 6, dan 7. Banyak
susunan bilangan dengan
angka-angka yang berlainan
(angka-angkanya tidak boleh
berulang) adalah ….
3 Sebuah rumah makan
mempunyai 6 menu makanan
dan 10 menu minuman.
Banyaknya pasangan menu
makanan dan minuman yang
dapat disajikan adalah ….
Perkalian bilangan asli berurutan yang mulai dari n sampai satu dilambangkan dengan n!
dibaca n factorial.
Contoh :
1. 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
3
2. Hitunglah !3!.6
!10
10!
6!.3!=
10×9×8×7×6!
6!.3×2×1=
10×9×8×7
6= 840
3. Sederhanakanlah bentuk : )!1n(
)!1n(
untuk n ≥ 1
)!1n(
)!1n(
=
)!1n(
)1n(.n)!.1n(
= n (n+1) = n
2 + n
No Soal Jawaban
1 Hasil dari
!3!.3
!6
!4!.7
!10 = ….
2 Bentuk sederhana dari
𝑛+1 !
𝑛−2 !
adalah …
Permutasi susunan dari unsur-unsur dengan memperhatikan urutan. Jika dari n unsur
akan dipilih r unsur dengan memperhatikan urutan, maka rumusnya :
)!(
!Pr
rn
nnPn
r
Tentukan banyaknya cara menyusun pengurus kelas yang terdiri dari ketua,
sekretaris dan bendahara yang dipilih dari 7 orang
n = orang (subjek) = 7
r = pengurus = 3
4
P (7,3) = 1.2.3.4
1.2.3.4.5.6.7
!4
!7
)!37(
!7210 cara
Banyaknya permutasi n elemen dengan p, q, r, unsur sama
!!.!.
!
rqp
nP
Tentukan banyaknya permutasi dari kata ”MOTTO”
M = 1 ; O = 2 ; T = 2
P (5;2,2) = cara301.21.2
1.2.3.4.5
!2!.2
!5
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur yang berbeda = (n – 1 )!
Dari 8 peserta konferensi akan menempati kursi pada meja bundar, berapa macam
susunan posisi duduk yang dapat terjadi?
Banyak objek n = 8, maka banyak permutasi sikliknya
P = (8-1)! = 7! = 5.040
No Soal Jawaban
1 Dari 10 kelereng, 5 berwarna
merah, 3 berwarna hitam dan 2
berwarna putih. Berapa banyak
cara untuk menyusun kelereng
tersebut berdampingan?
2 50 siswa akan mengadakan
karya wisata. Banyak cara
memilih 2 siswa masing-
masing sebagai ketua dan
wakil ketua rombongan adalah
5
….
3 Banyak susunan kata yang
dapat dibentuk dari kata
WIYATA adalah
4 Ayah, ibu dan 3 orang anaknya
akan duduk melingkar di meja
makan, tentukan banyak cara
agar ayah dan ibu selalu
berdampingan.
Susunan unsur-unsur tanpa memperhatikan urutan. Jika dalam n unsure akan dipilih
sebanyak r tanpa memperhatikan susunan maka rumusnya :
!)!.(
!),(
rrn
nnCrrnCC n
r
Berapa banyak regu cepat tepat yang berbeda jika 3 siswa dipilih dari 9 siswa sebagai
calon peserta?
Banyak regu = banyak kombinasi 3 dari 9 siswa
= C (9,3) = !3.!6
!6.7.8.9
!3.!7
!9
!3.)!39(
!9
= 1.2.3
7.8.9= 84 regu
No Soal Jawaban
1 Berapa banyak segitiga yang
dapat dibentuk dengan
menghubungkan keenam titik
sudut segienam ABCDEF
6
2 Dari 12 orang anggota Karang
Taruna akan dipilih 3 orang
sebagai petugas ronda. Ada
berapa susunan petugas ronda
yang dapat dibentuk?
3 Pada sebuah tes seorang
peserta hanya diwajibkan
mengerjakan 6 dari 10 soal
yang diberikan. Berapa jenis
pilihan soal yang mungkin
untuk dikerjakan?
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu
percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik
sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang
sampel S.
Pada pelemparan 1 koin, ruang sampelnya adalah muka angka (A) dan muka gambar
(G)
Pada pelemparan 1 buah dadu, ruang sampelnya ada 6 yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Pada pengambilan kartu bridge, ruang sampelnya ada 52
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama
untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka
peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
𝑃 𝐴 = 𝑛(𝐴)
𝑛 (𝑆)
Keterangan :
7
n (A) = banyaknya kejadian A
n (S) = banyaknya ruang sampel
Dari seperangkat kartu bridge, jika diambil 1 kartu secara acak, tentukanlah peluang
munculnya:
a. Kartu As
b. Kartu merah
c. Kartu hati
d. Kartu King wajik
1. Kartu Bridge terdiri dari 52 kartu dengan perincian:
Sesuai warnanya : 26 merah dan 26 hitam
Sesuai motifnya : 13 kartu daun, 13 kriting, 13 hati, dan 13 wajik
Sesuai jenisnya: Masing-masing 4 kartu dari: King, Jack, Queen, As, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, dan 10.
Jika diambil 1 kartu secara acak, maka n(S) = 52
a. P(As) =)S(n
)As(n=
52
4 =
13
1
b. P(Merah) =)S(n
)Merah(n=
52
26 =
2
1
c. P(Hati) =)S(n
)Hati(n=
52
13 =
4
1
d. P(King wajik) =)S(n
)WajikKing(n=
52
1
2. Dari hasil penelitian pada suatu rumah sakit di Jakarta diperoleh bahwa dari tiap
150 pasien yang diteliti ternyata terdapat 6 orang terkena virus HIV. Jika di rumah
sakit A terdapat 200 pasien, berapa pasien yang terbebas dari virus HIV?
P(terkena virus HIV) = )S(n
)virusterkena(n =
150
6 =
25
1
8
P(terbebas virus HIV) = 1 – P(terkena virus HIV)
= 1 - 25
1=
25
24
Fh terbebas virus HIV = P(terbebas virus HIV) x n
= 25
24х 200 = 192
Jadi pasien yang terbebas dari virus HIV adalah 192 orang
Kisaran Nilai peluang
1)(0 AP
: P(A) = 1 adalah kejadian pasti
P(A) = 0 adalah kejadian mustahil
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang
peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1
dinamakan kejadian pasti.
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ),
maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 360 kali, frekuensi harapan muncul mata
dadu angka 2 adalah …
Pada pelemparan sebuah dadu, ruang sampelnya 6 dan angka 2 muncul 1 kali jadi
peluangnya adalah :
𝑃 2 = 1
6, sehingga frekuensi harapannya =
1
6× 360 = 60 𝑘𝑎𝑙𝑖
Komplemen dari kejadian A dilambangkan dengan Ac (kejadian bukan A)
Jadi, jika peluang hasil terjadi dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu
tidak terjadi adalah (1 – P).
9
Pada bulan Nopember, peluang terjadi hujan adalah 0, 3. Banyaknya hari tidak terjadi
hujan pada bulan tersebut adalah …
Peluang terjadi hujan di bulan nopember adalah 0,3 jadi peluang tidak terjadi hujan
adalah 1 – 0,3 = 0,7
Pada bulan nopember terdapat 30 hari, jadi banyaknya tidak terjadi hujan = 0,7 x 30 =
21 hari
)()()()( BAPBPAPBAP dua kejadian tidak saling lepas
)()()( BPAPBAP dua kejadian saling lepas
)().()( BPAPBAP dua kejadian saling bebas
)/().()( ABPAPBAP dua kejadian bersyarat
P(B/A) peluang B setelah kejadian A
Catatan :𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) dibaca “ Kejadian A atau B dan 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 dibaca “Kejadian A dan B”
Dua dadu dilempar bersama-sama, tentukan peluang munculnya:
a. Dua dadu berjumlah 6 atau berjumlah 10
b. Dua dadu berjumlah 6 atau muncul mata dadu bernomor lima!
Pembahasan :
Ruang sampel pelemparan 2 buah dadu adalah sebagai berikut :
Misalkan A kejadian munculnya dua dadu berjumlah 6, maka
A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}, n(A) = 5 dan
B kejadian munculnya dua dadu berjumlah 10, maka
B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}, n(B) = 3.
10
Karena A dan B adalah kejadian yang saling lepas, maka:
P(A U B) = P(A) + P(B) = 36
5 +
36
3 =
36
8 =
9
2
Misalkan A kejadian munculnya dua dadu berjumlah 6, maka n(A) = 5 dan B kejadian
munculnya dadu bermata lima, maka
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5) (4, 5), (5, 5) (6, 5) (5, 1) (5, 2) (5, 3), (5, 4) (5, 6)}, n(B) = 11. A
dan B bukan kejadian yang saling lepas karena A B ada, yaitu {(1, 5), (5, 1)}, n(AB)
= 2, maka:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B)
= )S(n
)A(n+
)S(n
)B(n -
)S(n
)BA(n
= 36
5 +
36
11 -
36
2 =
36
14 =
18
7
11
1. Ada 6 jalan antara A dan B, dan 4 jalan antara B dan C. Banyaknya cara dapat
ditempuh dari A ke C melalui B pergi pulang adalah ….
A. 24 cara D. 512 cara
B. 144 cara E. 576 cara
C. 256 cara
2. Tersedia angka-angka 1, 2, 3, 4, 5. Akan dibentuk bilangan yang terdiri dari 4 angka
dengansyarat setiap bilangan tidak ada angka yang sama. Banyaknya bilangan yang
terbentuk adalah….
A. 25 D. 125
B. 60 E. 625
C. 120
3. Diketahui 7 titik dan tidak ada 3 titik atau lebih yang segaris. Banyak segitiga yang
dapat dibentuk dari titik-titik tersebut adalah ….
A. 10 D. 35
B. 21 E. 70
C. 30
4. Dari 7 orang pengurus suatu ekstrakurikuler akan dipilih seorang ketua, wakil ketua,
sekretaris, bendahara, dan humas. Banyak cara pemilihan pengurus adalah ….
A. 2.100 D. 4.200
B. 2.500 E. 8.400
C. 2.520
5. Sebanyak 50 siswa akan mengadakan karya wisata. Banyak cara memilih 2 siswa
masing-masing sebagai ketua dan wakil ketua rombongan adalah ... cara.
A. 25 D. 2.450
B. 100 E. 2.500
C. 1.225
12
6. Sebuah rapat anggota DPRD akan diikuti ketua, wakil ketua, sekretaris, dan 3 orang
anggota dewan. Mereka akan duduk pada sebuah meja bundar. Jika ketua harus duduk
di antara wakil ketua dan sekretaris. Banyak cara duduk dalam rapat tersebut adalah.…
A. 6 D. 36
B. 12 E. 48
C. 24
7. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal tetapi nomor 1 sampai dengan 4
wajib dikerjakan. Banyak pilihan yang dapat diambil siswa tersebut adalah ….
A. 10 D. 25
B. 15 E. 30
C. 20
8. Sembilan motor terdiri atas 4 Honda, 3 Yamaha, dan 2 Suzuki akan diparkir
membentuk suatu barisan. Jika setiap merek tidak boleh terpisah dalam barisan
tersebut, banyaknya barisan yang dapat dibentuk adalah ….
A. 188 D. 1.728
B. 376 E. 3.556
C. 864
9. Dua buah dadu dilempar bersama-sama sebanyak 180 kali. Frekuensi harapan muncul
jumlah kedua mata dadu merupakan bilangan prima adalah ….
A. 60 D. 75
B. 65 E. 80
C. 70
10. Di sebuah kotak terdapat 8 bola merah. Jika dilakukan percobaan mengambil 2 bola
sekaligus secara acak, banyaknya ruang sample adalah ….
A. 28 D. 56
B. 36 E. 64
C. 42
11. Dari 7 calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menduduki ketua, sekretaris,
dan bendahara. Banyaknya cara pemilihan tersebut adalah…cara.
A. 35 D. 840
B. 120 E. 5040
C. 210
13
12. Banyaknya permutasi dari kata “PELUANG” adalah….
A. 4450 D. 5040
B. 4500 E. 5400
C. 5004
13. Nilai dari C(7,3) adalah…..
A. 21 D. 350
B. 35 E. 840
C. 210
14. Dua buah dadu dilempar bersama. Peluang muncul mata dadu yang berjumlah bilangan
genap lebih dari 8 adalah ….
A. 36
28 D.
36
7
B. 36
11 E.
36
4
C. 36
10
15. Sebuah kelompok terdiri dari 10 pria dan 20 wanita, setengah dari pria dan setengah
dari wanita memiliki mata berwarna coklat. Peluang seseorang yang dipilih dari
kelompok itu memiliki mata coklat atau ia seorang pria adalah ….
A. 3
1 D.
4
3
B. 5
2 E.
9
8
C. 3
2
16. Jika A dan B kejadian dengan 4
3)( BAP ,
3
2)( AP dan
4
1)( BAP , maka
)(BP = ….
A. 5
1 D.
3
2
B. 3
1 E.
5
4
C. 2
1
14
17. Dua dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang jumlah mata kedua dadu
yang muncul habis dibagi 5 adalah ….
A. 36
2 D.
36
7
B. 36
4 E.
36
8
C. 36
5
18. Tiga keping uang logam dilempar bersama-sama. Peluang muncul ketiga sisi mata
uang sama adalah ….
A. 8
5 D.
4
1
B. 2
1 E.
16
1
C. 8
3
19. Dua dadu dilempar bersama-sama. Peluang muncul mata dadu berjumlah 8 adalah…
A. 36
1 D.
36
4
B. 36
2 E.
36
5
C. 36
3
20. Tiga buah uang logam dilemparkan bersama–sama satu kali. Peluang muncul dua
muka angka dan satu gambar atau minimal dua gambar adalah….
A. 8
2 D. 8
5
B. 8
3 E. 8
7
C. 8
4