NÚMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE …NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS´ Teorema de Dirichlet Teorema de Green-Tao Ben Green e Terence Tao provaram,

NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DO MEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS

NUMEROS PRIMOS: OS AMIGOS DOMEU AMIGO QUE CAUSAM PROBLEMAS

THIAGO DOURADO

Universidade Federal do ABC - UFABC

28 de marco de 2019


O Amigo dos Amigos

Paulo Ribenboim


Por que primos e nao irmaos?

Teorema Fundamental da Aritmetica (Livro VII - Proposicao 32)Todo inteiro maior que 1 ou e um numero primo ou pode ser

escrito de forma unica como produto de primos. Isto e, se a > 1nao e um numero primo, existem unicos primos p1, . . . , pn tais

que

a =n∏

i=1pi.


Quantos primos existem?

Teorema de Euclides (Livro IX - Proposicao 20)Existem um infinidade de primos.


Prova de Euclides

DemonstracaoSuponha que p1, . . . , pn sejam todos os numeros primos, e seja

N =n∏

i=1pi + 1.

Assim, existe um k , 1 ≤ k ≤ n, tal que pk | N , e comopk |

∏ni=1 pi, temos

pk

∣

∣

∣

∣

∣

(

N −n∏

i=1pi

)

⇒ pk | 1.

Q.E.D.


Deserto de Primos

QuestaoPode haver espacos entre primos tao grande quanto se queira?

RespostaSIM. Com efeito, o deserto e dado por

(n + 1)! + 2, (n + 1) + 3, . . . , (n + 1)! + n + 1.


Deserto de Primos

QuestaoPode haver espacos entre primos tao grande quanto se queira?

RespostaSIM. Com efeito, o deserto e dado por

(n + 1)! + 2, (n + 1) + 3, . . . , (n + 1)! + n + 1.


Numeros de Fermat

Conjectura de FermatFermat conjecturou que todo numero da forma

Fn = 22n + 1 (n ≥ 0)

e primo.


Numeros de Fermat

Primeiros quatro numeros

F0 = 220 + 1 = 3,

F1 = 221 + 1 = 5,

F2 = 222 + 1 = 17,

F3 = 223 + 1 = 257,

F4 = 224 + 1 = 65537.

F5 nao e primo (Euler - 1732)F5 = 225 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417.


Numeros de Fermat

Primeiros quatro numeros

F0 = 220 + 1 = 3,

F1 = 221 + 1 = 5,

F2 = 222 + 1 = 17,

F3 = 223 + 1 = 257,

F4 = 224 + 1 = 65537.

F5 nao e primo (Euler - 1732)F5 = 225 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417.


Numeros de Fermat

Prova de EulerTem-se que

641 = 24 + 54 = 27 × 5 + 1,

de forma que:

27 · 5 ≡ −1 (mod641) ⇒ 228 · 54 ≡ 1 (mod641)⇒ −228 · 24 ≡ 1 (mod641)⇒ 232 ≡ −1 (mod641) .

Portanto641 | 225 + 1.

Q.E.D.


Numeros de Fermat

Clausen (nao publicado 1855); Landry e Le Lasseur (1880)F6 = 264 + 1

= 18446744073709551617= 274177 × 67280421310721

Morrison e Brillhart (1970)

F7 = 2128 + 1= 340282366920938463463374607431768211457= 59649589127497217 × 5704689200685129054721


Numeros de Fermat

Clausen (nao publicado 1855); Landry e Le Lasseur (1880)F6 = 264 + 1

= 18446744073709551617= 274177 × 67280421310721

Morrison e Brillhart (1970)

F7 = 2128 + 1= 340282366920938463463374607431768211457= 59649589127497217 × 5704689200685129054721


Numeros de Fermat

Demonstracao de Goldbach da infinitude dos primos (1730)

mdc (Fn, Fm) = 1 ⇒ # {primos} = ∞.


Conjectura de Goldbach

Conjectura (1742)Todo inteiro n > 5 e soma de tres numeros primos.

m

EulerTodo inteiro par 2n > 4 e a soma de dois numeros primos.


Conjectura de Goldbach

Conjectura Fraca (provada)Harald Andres Helfgott provou, em 2013, que todo inteiroIMPAR maior que 5 e a soma de tres numeros primos.


Teorema de Dirichlet

Teorema [existencial]Sejam a e d inteiros ≥ 1 com mdc (a, d) = 1, entao aprogressao aritmetica

a + kd (k ∈ N)

contem infinitos numeros primos.

Outra prova do teorema de EuclidesSe a = 1 e d = 1 temos todos os ımpares ⇒ na infinitude dosnumeros primos.



Teorema [existencial]Sejam a e d inteiros ≥ 1 com mdc (a, d) = 1, entao aprogressao aritmetica

a + kd (k ∈ N)

contem infinitos numeros primos.

Outra prova do teorema de EuclidesSe a = 1 e d = 1 temos todos os ımpares ⇒ na infinitude dosnumeros primos.



Teorema de Green-TaoBen Green e Terence Tao provaram, em 2004, que a sequenciade numeros primos contem progressoes aritmeticasarbitrariamente longas, isto e, para cada numero natural k ,existe um progressao aritmetica formada por k numeros primos.

Exemplo (k = 3)

7, 13, 19



Teorema de Green-TaoBen Green e Terence Tao provaram, em 2004, que a sequenciade numeros primos contem progressoes aritmeticasarbitrariamente longas, isto e, para cada numero natural k ,existe um progressao aritmetica formada por k numeros primos.

Exemplo (k = 3)

7, 13, 19



Maior exemplo do Teorema de Green-TaoEm 12 de abril de 2010, Benoat Perichon, encontrou umasequencia contendo 26 primos:

43142746595714191 + 23681770 · 223092870 · n,

n de 0 a 25.A constante 223092870 e o primonial de 23, isto e,

223092870 =∏

2≤p≤23p primo

p = 23#.


Numeros Perfeitos

DefinicaoUm numero inteiro positivo e perfeito se e a soma de seusdivisores proprios.(Leva este nome porque todos os numeros perfeitos saotriangulares e hexagonais.)

Exemplos

6, 28, 496, 8128.


Numeros Perfeitos

DefinicaoUm numero inteiro positivo e perfeito se e a soma de seusdivisores proprios.(Leva este nome porque todos os numeros perfeitos saotriangulares e hexagonais.)

Exemplos

6, 28, 496, 8128.


Numeros Perfeitos

Teorema de Euclides (Livro IX - Proposicao 36)Se 2n − 1 e um numero primo, entao

2n−1 (2n − 1)

e um numero perfeito.

Teorema de Euler (1747)Todo numero perfeito par e da forma

2n−1 (2n − 1) .


Numeros Perfeitos

Teorema de Euclides (Livro IX - Proposicao 36)Se 2n − 1 e um numero primo, entao

2n−1 (2n − 1)

e um numero perfeito.

Teorema de Euler (1747)Todo numero perfeito par e da forma

2n−1 (2n − 1) .


Numeros Perfeitos

Numeros de MerseneSao os numeros da forma

2n − 1.

Maior primo conhecido (Patrick Laroche - Janeiro de 2019)

282589933 − 1,

com 24862048 dıgitos.


Numeros Perfeitos

Numeros de MerseneSao os numeros da forma

2n − 1.

Maior primo conhecido (Patrick Laroche - Janeiro de 2019)

282589933 − 1,

com 24862048 dıgitos.


Numeros Perfeitos

Sucessao de LucasS0 = 4,

S1 = 42 − 2 = 14S2 = 142 − 2 = 194

...Sℓ = S2

ℓ−1 − 2

Teorema de Lucas (1878)2n − 1 e primo ⇔ 2n − 1 | Sn−2.


Numeros Perfeitos

Sucessao de LucasS0 = 4,

S1 = 42 − 2 = 14S2 = 142 − 2 = 194

...Sℓ = S2

ℓ−1 − 2

Teorema de Lucas (1878)2n − 1 e primo ⇔ 2n − 1 | Sn−2.


Primos Gemeos

DefinicaoNumeros onde

p e p + 2sao ambos primos sao ditos primos gemeos.

ConjecturaExistem infinitos primos gemeos.

Maiores primos gemeos conhecidos (Chris Caldwell - Set/2018)

2996863034895 · 21290000 ± 1.


Primos Gemeos





2996863034895 · 21290000 ± 1.


Primos Gemeos





2996863034895 · 21290000 ± 1.


Primos Gemeos

Demonstracao de Euler da Infinitude dos Primos (1737)∑

p primo

1p

= ∞.

Teorema de Brun (1919)∑

p,p+2 primos

(1p

+ 1p + 2

)

= B ≈ 1, 902160583104.


Primos Gemeos

Demonstracao de Euler da Infinitude dos Primos (1737)∑

p primo

1p

= ∞.

Teorema de Brun (1919)∑

p,p+2 primos

(1p

+ 1p + 2

)

= B ≈ 1, 902160583104.


Primos Gemeos

Teorema de Goldston-Pintz-Yldirin (2005)

lim infn→∞

pn+1 − pn

log pn= 0.

Problema semelhante em aberto

limn→∞

(√pn+1 − √

pn

)

= 0.

Conjectura de Andrica (1986)

√pn+1 − √

pn < 1.

Verificada numericamente para 242 ≈ 4, 39 × 1012.


Primos Gemeos


lim infn→∞

pn+1 − pn

log pn= 0.


limn→∞

(√pn+1 − √

pn

)

= 0.


√pn+1 − √

pn < 1.



Primos Gemeos


lim infn→∞

pn+1 − pn

log pn= 0.


limn→∞

(√pn+1 − √

pn

)

= 0.


√pn+1 − √

pn < 1.



Teorema do Numero Primo

Funcao π (x)

π (x) = numero de primos ≤ x.


π (x) ∼ x

log x.



Funcao π (x)

π (x) = numero de primos ≤ x.


π (x) ∼ x

log x.



Grafico de π (x) e x/ log x [2, 10]









Grafico de π (x) e x/ log x [2, 1 × 1011]



Valores numericos de π (x)/

xlog x

x = 1000 ⇒ π (x)

/

x

log x= 1, 160502886868999 . . .

x = 10000 ⇒ π (x)

/

x

log x= 1, 1319508317158729 . . .

x = 100000 ⇒ π (x)

/

x

log x= 1, 1043198105999443 . . .

x = 1000000 ⇒ π (x)

/

x

log x= 1, 0844899477790795 . . .



Postulado de Bertrand - 1845 (Tschebycheff - 1852)

Entre n e 2n sempre existe um numero primo.

Teorema de Rosser-Schoenfeld (1975)

π (2x) < 2π (x) .

Conjectura de Hardy-Littlewood (1923)

π (x + y) ≤ π (x) + π (y) .






π (2x) < 2π (x) .


π (x + y) ≤ π (x) + π (y) .






π (2x) < 2π (x) .


π (x + y) ≤ π (x) + π (y) .



1896

Em 1896 Jacques Hadamard e Charles Jean de la ValleePoussin, independentemente, demonstraram o Teorema doNumero Primo.

Funcao Zeta de Riemann

ζ (s) =

∞∑

n=1

1

ns, s ∈ C.



1896

Em 1896 Jacques Hadamard e Charles Jean de la ValleePoussin, independentemente, demonstraram o Teorema doNumero Primo.

Funcao Zeta de Riemann

ζ (s) =

∞∑

n=1

1

ns, s ∈ C.



Hipotese de Riemann (1859)

ζ (s) = 0 ⇔ Re s =1

2.

G.H. Hardy (1914)

Existem infinitos zeros na reta Re s = 12 .

Levinson (1974)

Ao menos um terco dos zeros da funcao zeta encontram-se nareta Re s = 1

2 .




ζ (s) = 0 ⇔ Re s =1

2.

G.H. Hardy (1914)


Levinson (1974)


2 .




ζ (s) = 0 ⇔ Re s =1

2.

G.H. Hardy (1914)


Levinson (1974)


2 .


Formula para Numeros Primos

Willians (1964)

pn = 1 +2n∑

m=1

n

√

n

1 + π (m).

Minac-Ribenboim (1988)

π (m) =m∑

j=2

⌊

(j − 1)! + 1

j−⌊

(j − 1)!

j

⌋⌋

.



Willians (1964)

pn = 1 +2n∑

m=1

n

√

n

1 + π (m).

Minac-Ribenboim (1988)

π (m) =m∑

j=2

⌊

(j − 1)! + 1

j−⌊

(j − 1)!

j

⌋⌋

.



Funcao de Mobius

µ (n) =

1 se n = 1,(−1)r se n e o produto de r primos distintos,

0 n tem um fator quadrado.

Forma equivalente da Hipotese de Riemann

limn→∞

∑nk=1 µ (k)

n = 0.



Funcao de Mobius

µ (n) =

1 se n = 1,(−1)r se n e o produto de r primos distintos,

0 n tem um fator quadrado.

Forma equivalente da Hipotese de Riemann

limn→∞

∑nk=1 µ (k)

n = 0.



Gandhi (1971)

pn =

1 − 1

log 2log

−1

2+

∑

d|p1p2···pn−1

µ (d)

2d − 1

.


Algumas Conjecturas em aberto

Conjectura de Artin (1927)

Se a e um inteiro, a 6= 0 que nao e quadrado, entao existe umainfinidade de numeros primos p tais que a e um raiz primitivamodulo p.(a e uma raiz primitiva modulo p se a gera o grupo (Z/nZ)×.)



Conjectura de Bateman-Selfridge-Wagstaff (1989)

Seja p um natural ımpar (nao necessariamente primo). Se duasdas condicoes abaixo e satisfeita, entao a terceira tambem serasatisfeita:

1 p e igual a 2k ± 1 ou a 4k ± 3 (para alguma k ≥ 1).

2 2p − 1 e primo.

32p+1

3 e um numero primo.



Conjectura de Bouniakowsky (1857)

Seja f (X ) um polinomio irredutıvel, de coeficientes inteiros, decoeficiente lıder positivo e de grau, no mınimo, igual a dois.Supoe-se satisfeita a seguinte condicao:

(∗) Nao existem inteiros n > 1 que dividam todos os

valores f (k), para cada inteiro k .

Existe entao uma infinidade de numeros naturais m tais quef (m) e um numero primo.



Conjectura de Opperman (1882)

π(

n2 + n)

> π(

n2)

> π(

n2 − n)

para n > 1.

Conjectura de Brocard (1904)

π(

p2n+1

)

− π(

p2n

)

≥ 4 para n ≥ 2.



Conjectura de Opperman (1882)

π(

n2 + n)

> π(

n2)

> π(

n2 − n)

para n > 1.

Conjectura de Brocard (1904)

π(

p2n+1

)

− π(

p2n

)

≥ 4 para n ≥ 2.



Conjectura de Polignac (1849)

Para todo numero natural par 2k , existe uma infinidade de paresde primos consecutivos pn e pn+1 tais que pn+1 − pn = 2k .


O B R I G A D O ! ! ! ! !

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