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(1)Factores, Múltiplos
y Divisores
(2)Números
compuestos y primos
4.1 - 4.2
Cuando escribimos
12 = 6 x 2
decimos que 6 x 2 corresponde a una factorización de 12.
¿Existen otras factorizaciones de 12? ¿Cuál(es) ?
12 = 3 x 4
12 = 12 x 1
Hemos encontrado tres factorizaciones de dos factores para
12.
El conjunto de factores de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Factorización
En resumen:
La factorización de un número natural es
simplemente una expresión de multiplicación con
números naturales.
Factorización
• Mencione todas las factorizaciones de dos
factores para 45.
¿Cuál es el conjunto de factores de 45?
Factorización - Ejercicios
Números primos y compuestos
Todo número natural mayor que 1 o esprimo o es compuesto.
Un número primo es un número que es elproducto solamente de 1 y sí mismo.
–Ejemplo: 2 = 2 × 1
–Ejemplo: 5 = 5 × 1
–Ejemplo: 7 = 7 × 1
Los primeros 12 primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37
Números primos y compuestos
Un número compuesto es un número natural mayor que uno que tiene más de dos factores.
–Ejemplo: 6 = 2 × 3, 6 x 1
6 es un número compuesto.
–Ejemplo: 8 = 2 × 4, 8 x 1
8 es un número compuesto.Nota: El número 1 tiene un solo factor
positivo, por lo tanto ni es primo ni es compuesto.
Factorización prima
Teorema de factorización única:
Todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos de una forma única, sin tomar en cuenta el orden de los factores.
72 = 36 × 2
De éstos, sólo 2 es un factor primo.
72 = 6 x 6 × 2
De éstos, sólo 2 es un factor primo.
72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2
factorizacion prima
Factorización prima
La factorizacion prima se puede escribir usando exponentes.
72 = 3 × 2 × 3 × 2 × 2
Primero, ordenamos los factores
72 = 3 × 3× 2 × 2 × 2
Luego, usamos exponenciación para representar la multiplicación repetida.
72 = 32 ×23
factorizacion prima en notación exponencial
Un árbol de factores es un diagrama que ayuda a
determinar la factorizacón prima del un número.
Árbol de factores
Construya un árbol de factores para determinar la
factorizacón prima del cada número.
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Práctica
Divisor
Si a y b son números cardinales y b 0, se dice que
a es divisible por b, o b divide a
si y sólo si el residuo es 0 cuando a se divide entre b.
Ejemplo:
132 = 12 x 11 implica que 132 12 = 11 R 0
Por lo tanto, 12 es un factor o divisor de 132 y
11 es un factor o divisor de 132
Ejemplo:
7 no es un divisor de 50 porque 50 7 = 7 y
el residuo es 1.
.
Ejercicios
1. La factorización prima de un número es
2 x 3 x 5. ¿A qué número le corresponde esta
factorización?
2. Si dividimos 98 entre 7 el cociente es y
el residuo es . Por lo tanto, 7 es / no es
un factor o divisor de 98.
3. El conjunto de los divisores de 54 es:
Divisibilidad
El símbolo | , se lee “divide a”.
Ejemplo: Si escribimos 4|12 podemos leerlo
“cuatro divide a doce”.
Esto indica que al dividir 12 entre 4 el residuo es 0
y el cociente es un número natural.
• 4 es factor de 12
• 4 es divisor de 12
• 12 es divisible en 4
• 4 divide al 12
• 12 es un múltiplo de 4
Divisibilidad - Ejemplos
1. No se debe confundir el símbolo |, con el símbolo /
que se lee “dividido entre”.
2. Al realizar la división 24/6 el cociente es 4 y se
obtiene un residuo 0.
– Como el cociente es natural y el residuo es 0,
podemos escribir 6|24.
3. Al realizar la división 23/4 se obtiene cociente 5 y
residuo 3.
– El cociente es natural pero el residuo NO es 0.
Entonces, es FALSO escribir 4|23.
Pruebas de divisibilidad
a. 2 b. 3
c. 4 d. 5
e. 6 f. 8
g. 9 h. 10
Ejemplo
El númber 57,729,364,580 tiene demasiados dígitos para la
mayoría de las calculadoras. Use las reglas de divisibilidad
para determinar si es divisible por los siguientes:
Propiedades de la División
Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.
Para cualquier número natural a, n y d, d ≠ 0,
si d | a, entonces d | (n × a).
En palabras, si d es un divisor de un número
natural a, es también divisor de cualquier
múltiplo de a.
Para cualquier número natural a, b, y d,
a) Si d | a y d | b, entonces d | (a + b).
b) Si d | a, y d | b, entonces d | (a − b).
Ejemplo
Clasificar cada uno de los siguientes enunciados
como cierto o falso dentro del conjunto de
cardinales.
a. Si 3 | 9 & 3 | 51, entonces 3 | 459.
b. Si 3 | (13 + 5), entonces 3 | 13 y 3 | 5.
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