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1
Nivel Medio
I-104
Provincia del Neuquén
Patagonia Argentina
www.faena.edu.ar [email protected]
TERCER BLOQUE MATEMATICA
“Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución que lo considere de utilidad para todo fin
educativo.”
FAENA.
2
_PARA TENER EN CUENTA:
Si usted desea imprimir este material en color “Negro” (escala de grises)
tan solo tiene que escoger la opción “negro” en las opciones de la impresora.
3
_UNIDAD_1: NÚMEROS REALES
Números irracionales.
Operaciones con números irracionales.
Operaciones combinadas con radicales.
Racionalización.
Relaciones entre los conjuntos numéricos.
Números reales.
_UNIDAD_2: POLINOMIOS
Expresiones algebraicas.
Valor numérico de una expresión algebraica.
Monomios.
Binomios. Trinomios. Polinomios en general.
Suma y resta de polinomios.
Multiplicación de monomios y polinomios.
División de monomios y polinomios.
Descomposición de una expresión entera en un producto de factores.
Regla de Ruffini.
Teorema del resto.
Divisibilidad.
_UNIDAD_3: FUNCIONES
Relación de conjuntos.
Función.
Grafica de una función.
Función constante.
Función lineal.
4
ACERCA DE ESTE MODULO
¿QUÉ CONTIENE Y CÓMO SE USA?
Este módulo está compuesto por tres unidades en las que se despliegan
los contenidos correspondientes al tercer bloque de Matemática. Para cada
unidad encontrará actividades acordes que le permitirán poner en práctica los
conceptos estudiados y poner a prueba su aprendizaje, lo cual deja abierta la
posibilidad de volver atrás y revisar lo ya aprendido si lo considera necesario.
Al finalizar el módulo encontrará la bibliografía de referencia que le
permitirá profundizar en los contenidos trabajados, y responder a las dudas que
le suscite la lectura de este material.
La estructura de este módulo de estudio permite visualizar con claridad
los conceptos, que se encuentran apartados entre sí, lo cual facilita la
elaboración y comprensión de los mismos. Encontrará cuadros, esquemas y
palabras resaltadas que colaborarán para una mejor comprensión de los
contenidos.
Al final del módulo encontrará actividades de tipo evaluativas que podrán
ser tomadas para evaluaciones futuras y que usted puede usar a modo de
simulacro, para poner a prueba los conocimientos adquiridos a lo largo de toda
la unidad. Se recomienda cumplir con este trabajo de cierre ya que le permitirá
relacionar unos contenidos con otros y darle una conclusión al trabajo realizado
a lo largo de todo el módulo.
Todo lo que usted aporte a lo propuesto por este material, profundizará
su aprendizaje y su dominio sobre la materia. Es un trabajo que depende de
cada uno y que se trata de una inversión. “Quien más lee más sabe”, una
afirmación casi obvia pero poco practicada. Es de este modo cómo uno logra
diferenciarse, crecer y desarrollar un proceso propio.
5
DESARROLLO DE CONTENIDOS DEL BLOQUE 3. TERCER AÑO
A modo de introducción:
En este módulo se desarrollan los contenidos del tercer bloque de
matemática, los cuales generarán preguntas y ensayarán respuestas acerca de
los números reales, polinomios y funciones lineales. Estos son los temas más
importantes que le debe quedar a un alumno de colegio secundario sobre la
matemática. Se abordarán los contenidos desde lo más general a lo particular.
¿Cómo se logra esto? Se presenta el tema con una introducción teórica, luego
se muestran ejemplos resueltos por el profesor, y por último se da la
ejercitación correspondiente al tema presentado. Es ésta última la que le
brindará al alumno la habilidad matemática necesaria para resolver problemas.
Se presenta en la primera unidad al conjunto de los números reales. Es
la anteúltima ampliación al campo numérico. Se conocerán los números
irracionales. Se realizarán todo tipo de actividades con ellos. Se aprenderán
técnicas matemáticas para la reducción de expresiones.
En la segunda unidad se presenta el tema de polinomios. Este es un
tema “raro” porque en lugar de trabajar con números se utilizarán letras. Esto
puede resultar chocante para el alumno al principio, pero luego se dará cuenta
que “es lo mismo”. Se aprende a operar con ellos: suma, resta, multiplicación y
su división. Se aprenderá a factorizarlos. Esto necesita de una buena habilidad
matemática, y es la finalidad de esta unidad desarrollarla.
En la tercera y última unidad, se aprende uno de los conceptos
matemáticos más importantes: la función. Las funciones matemáticas se
utilizan en casi todos los ámbitos que no sean los humanísticos. Se aprenderá
a graficarlas. Es por ello que le resultará más ameno éste tema que el anterior.
6
Los contenidos abordados en este módulo constituyen un conjunto
básico de saberes que cualquier individuo debe manejar para un buen
desarrollo en todo lo que hace a la vida, tanto en el campo personal como
laboral.
Les dedicamos un buen y entusiasta recorrido de la materia.
7
OBJETIVOS PARTICULARES DE CADA UNIDAD
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 1
Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno reconozca el conjunto de los números Reales.
Que trabaje correctamente con todas las operaciones de números
irracionales.
Que sepa racionalizar.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 2
Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno reconozca las expresiones polinómicas.
Que logre realizar las operaciones.
Que interprete y demuestre habilidad para la factorización de polinomios.
Que sepa reconocer las ventajas de la regla de Ruffini y la utilización del
teorema del resto.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 3
Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno reconozca las diferentes funciones.
Que pueda graficarlas correctamente.
8
_UNIDAD_1: NÚMEROS REALES
NÚMEROS IRRACIONALES
Introducción. Hemos estudiado hasta ahora los números naturales (enteros positivos) y los
números negativos, que junto con los naturales forman el conjunto de los
enteros (Z), y el número fraccionario, que responde a la necesidad de dar
solución al problema de la división cuando el dividendo no es un múltiplo del
divisor, y también al de la medida de una magnitud cuando la unidad de medida
no está contenida en ella un número exacto de veces.
Los números enteros y los números fraccionarios componen el campo de los
números racionales, segunda ampliación del concepto de número.
En el campo de los números racionales, sin embargo, tampoco son posibles
todas las operaciones: no es posible, por ejemplo, la radicación, cuando el
índice es par y el radicando es negativo, puesto que, siendo las potencias de
exponente par siempre positivas, no habrá ningún número racional positivo ni
negativo cuyo cuadrado sea negativo; tampoco puede resolverse en éste
campo racional el problema de la medida de una magnitud cuando la magnitud
considerada no contiene un número exacto de veces, no ya la unidad de
medida, sino tampoco ninguna de sus partes alícuotas.
Habrá necesidad en este caso de definir un nuevo número, que llamaremos
número irracional.
Desde otro punto de vista:
9
Las expresiones decimales exactas tienen un número limitado de cifras.
3,5 0,934 1,00038
Las expresiones decimales periódicas tienen un número ilimitado de cifras
decimales que se repiten periódicamente.
0,333... 0,934934934... 0,2154444444...
¿Puede Usted imaginar un número de infinitas cifras que no sean periódicas?
Muy fácil, es suficiente escribir infinitos números naturales a partir de la coma,
de la forma que se le ocurra:
0,12345678910111213...
A los números de infinitas cifras no periódicas se los llama números
irracionales.
El descubrimiento de los números irracionales se le atribuye a Pitágoras al
querer demostrar que la raíz cuadrada de 2 no es un número racional. Por
oposición llamó irracionales a estos números.
Luego se demostró que si la raíz cuadrada de un número entero no es otro
número entero entonces es número irracional. Esta propiedad se generalizó a
raíces de otros índices.
Conjunto de los Números Reales
Los números irracionales junto con los racionales forman el conjunto de los
reales (R).
Así por ejemplo:
son números enteros
son números irracionales
10
Además de los números irracionales provenientes de raíces, existen otros
números irracionales, como por ejemplo: el numero “ ”, el número “e”, muy
conocidos por sus importantes aplicaciones en cálculos de superficies, volumen
y perímetros en círculos, esferas, cilindros; y en expresiones de crecimiento de
población respectivamente.
Las expresiones formadas por el signo radical y una expresión numérica o
literal dentro de la raíz, se llama radical.
Definición de raíz:
Donde “n” se llama índice, “a” se llama radicando y “b” raíz.
La doble flecha se traduce como si y solo si. Indica equivalencia entre las
expresiones.
Ejemplo.
La raíz cúbica de 27 es 3 si y solo si 3 al cubo es 27.
Ejemplo.
Ejercicio 1
¿Cuáles de las siguientes raíces no son números enteros?
11
OPERACIONES CON NUMEROS IRRACIONALES
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES
Podemos sumar y restar expresiones con radicales solamente cuando tengan
el mismo radical, es decir que se pueden sumar y restar radicales semejantes
(son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando).
Lo explicaremos mejor mediante ejemplos:
Ejemplo 1:
En este caso se me pide realizar una operación combinada de suma y resta
Podremos sumar y restar ya que todos los términos tienen 2
De otra forma: saco factor común a la raíz y luego sumo.
Ejemplo 2:
Acá también se me pide realizar una operación combinada de suma y resta.
Sin embargo no será posible porque los tres radicales son diferentes.
Por lo tanto, el resultado del ejercicio es la misma expresión anterior.
Puede racionalizarse y llevarse a una mínima expresión, pero eso se verá más
adelante.
12
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
Existe una propiedad de los radicales, que nos dice:
nnn baba (Y viceversa), siempre que n a y n b existan.
Esta propiedad de las raíces se denomina distributiva respecto del producto.
Esto significa que si tengo dos números multiplicándose dentro de una raíz,
puedo extraer la raíz de cada uno de ellos y luego multiplicarlos; o también que
si tengo dos raíces de igual índice multiplicándose puedo multiplicar los
números y obtener la raíz después.
Ejemplo 1:
6234949 Primero tenía dentro de la raíz cuadrada 9 . 4,
entonces saqué raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente
multiplicarlos.
Ejemplo 2:
312312 En este caso no me conviene hacer lo del ejemplo
anterior, porque 12 es un número irracional.
636312 Por eso multipliqué 12 . 3 primero y luego saque la raíz
cuadrada a este resultado.
DIVISIÓN DE RADICALES
Propiedad distributiva respeto del cociente
La propiedad nos dice que:
13
nnn baba :: (Y viceversa) nnn baba :: , siempre que n a y n b
existan y que b ≠ 0
Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, dará lo mismo
si las resolvemos por separado y después las dividimos, que si primero las
dividimos y luego extraemos la raíz.
Ejemplo1:
5,12:38:27 33 Primero se extraen las raíces cúbicas para luego dividir
los resultados.
Ejemplo 2:
288:648:64 3333 Primero resolvemos la división de los radicandos y
dejamos al último la raíz cúbica.
POTENCIACIÓN DE RADICALES
Lo único que debemos hacer es dividir al exponente por el índice del radical.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
36666 23
6
3 6 Como vemos, el índice del radical (en este caso 3) pasó
a dividir al exponente (en este caso 6).
El resultado de esta división (para nosotros 6 ÷ 3 = 2) será el nuevo
exponente para el radicando (en este caso 6).
Finalmente hemos realizado la potenciación.
14
Ejemplo 2:
64444 32
66
En este caso, hemos hecho lo mismo que en el caso
anterior, haciendo la aclaración de que cuando en un radical no está escrito el
índice, éste es 2.
CONSIDERACIONES A LA POTENCIACION DE LOS RACIONALES
Toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el
conjunto de los números reales. En otras palabras, la radicación no es
cerrada en IR.
Ejemplo: 8 no existe en el conjunto de los reales porque no hay
número que elevado al cuadrado dé (-8).
Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el
radicando.
Ejemplo:
3273 porque (-3)3 = 27
3273 porque 33 = 27
Si el índice es par y el radicando positivo, existen dos raíces reales
opuestas.
Ejemplo:
24 porque 22 = 4 y además (-2)2 = 4
Se observa que hay dos raíces reales opuestas: 2 y –2.
15
La radicación no es distributiva respecto de la suma o resta:
nnn baba
Raíz de una raíz
Se multiplican los índices a efectos de calcular la raíz de una raíz.
En general: mnn m aa .
Ejemplo:
2646464 62.33
Potencia de exponente racional
Aquí el denominador es el índice de la raíz y el numerador es el exponente al
cual está elevado el radicando:
12
1
44
Para simplificar las raíces se puede operar convirtiendo el radicando en
producto de potencias:
56532180
943257628222222222108
22
33 2632227
En otras ocasiones, lo que se hace es introducir números dentro de una
raíz, para lo cual debemos elevarlos al índice de la raíz:
3 633 3.2332
33 332
222
80102102455353
bababa
EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DEL RADICAL:
La extracción de factores fuera del radical puede ser muy útil para la suma y
resta de radicales.
Si el radicando esta formado por una parte numérica y una literal, se
descompone el número en el producto de sus factores primos. Luego si los
16
exponentes son mayores o iguales que el índice de la raíz se pueden extraer
factores fuera de la misma.
108a5b3c2 22 33a5b3c2 22 32 3a4ab2bc2
22 32 a4b2c2 3 ab
Ejemplo:
ab3cba 3 2
bcab3a 3 2 cba3 2 cb108a
22422
2242223532235
y como se pueden simplificar exponentes con índice resulta:
ab3bca6ab3bca32 22
otra forma de hacerlo es dividir cada exponente por el índice de la raíz, el
resultado ( cociente ) de esa división es el exponente con el cual el número o
letra salen fuera del radicando y el resto de la división el exponente con el cual
quedan dentro de la raíz.
Ejemplo:
4 32 ×a10b13c9 = 4 25a10b13c9 = 2 ×a2b3c2 × 4 2 × a2bc
4 22324 9131054 91310 bca 2 cba 2 = cba2 = cba 32
5 : 4 = 1 y resto 1 ;10 : 4 = 2 y resto 2 ;13 : 4 = 3 y resto 1 ;9 : 4 = 2 y resto 1
Ejemplo en la suma:
393 4323 33 2 3 2 3 3 48 12 3 3 42
INTRODUCCIÓN DE FACTORES DENTRO DEL RADICAL:
Se multiplica el exponente de cada factor que está fuera del radical por el
índice de la raíz, y dicho resultado es el exponente con el que entra al radical
(recordar que 1 es el único exponente que no se escribe) por ejemplo en 3ab2 ,
3 y a tienen exponente 1.
17
Ejemplo:
cba2 = abc2cba 2 abc 2 cba 23 510743 239633 2232 (Recordar que en el
producto de potencias de igual base se suman los exponentes )
18
EJERCICIOS
1) Realizar las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
2) Resolver:
a)
b)
c)
d)
3) Desarrolla los siguientes ejercicios hasta encontrar el resultado final
a) (3-2)3 =
b) (p-n. pn)n =
19
c) [(a-2)-2]-2 =
d) (a-1)-2:a =
4) Extraer factores fuera del radical.
a)
b)
c)
d)
5) Introducir factores dentro del radical.
a)
b)
c)
d)
RESPUESTAS EJERCICIOS
20
21
OPERACIONES COMBINADAS CON RADICALES
Propiedad fundamental de las raíces
El valor de una raíz no varía, si se multiplican o dividen a la vez el índice de la
raíz y el exponente del radicando por el mismo número.
Esta propiedad nos permite multiplicar y dividir raíces de distinto índice.
-28 - 8 - 8- 32
6
2
26 2
Ejemplo 1:
6 346 91076 3336 4326 242
32 36 43223 226 433 2
222222
222242
baabbabababa
abbabaabbaba
Ejemplo 2:
4 224 2224 2224 222
4 22222 24 222
97373433
34333433
yxyxyxyx
yxxyyxxy
22
RACIONALIZACION
Racionalizar una expresión es quitar las raíces que aparecen en el
denominador del mismo. Esto se logra multiplicando la expresión por otra que
ya sabemos que simplificada vale 1.
Puede ocurrir que:
2
25
2
25
2
2
2
5
2
5
2
xy
yx
yx
yx
yx
yx
xyxy 2
25
2
25
2
2
2
5
2
5 3 22
3 333
3 22
3 22
3 22
3 23 2
El denominador sea una
raíz cuadrada: en este
caso se multiplica
numerador y denominador
por la misma raíz.
El denominador sea una raíz de índice mayor
que 2: en este caso se multiplica numerador y
denominador por una raíz del mismo índice que el
denominador, pero con un radicando elevado a un
exponente que sea lo que le falta para poder
simplificar la raíz.
Nuevo exponente = índice ─ exponente del
radicando.
22
3210
325
3210
35
3252
35
35
35
2
35
22
2
El denominador sea un binomio con raíces cuadradas: en este caso
debemos multiplicar numerador y denominador por el conjugado del
denominador(*)
Producto de números conjugados:
(a +b) ∙ (a -b) = a2 ─ ab + ab ─ b2 = a2 ─ b2
El producto de números conjugados da siempre por resultado el cuadrado del
primer termino menos el cuadrado del segundo termino. (dos números son
conjugados si solo cambia el signo de operación + ó – que separa los términos)
El conjugado de (─7 ─ 3 ) es (─7 + 3 )
23
El conjugado de ( 8 + 5 ) es ( 8 ─ 5 )
Ejemplos de productos por su conjugado:
(─3 + x)∙( ─3 ─ x) = (─3)2 ─ x2 = 9 ─ x2
(5 + 11 ) ∙ (5 ─ 11 ) = 52 ─(─ 11 )2 = 25 ─ 11 = 14
( 10 + 3 ) ∙ ( 10 ─ 3 ) = ( 10 )2 ─( 3 )2 = 10 ─ 3 = 7
(*) Nota: Si el exponente de los factores numéricos o literales es mayor o
igual al índice de la raíz, primero se extraen factores fuera del radical y
luego se racionaliza.
Ejemplo 1:
32222222235 4
25
22
25
22
25
2
2
22
5
22
5
2
5
8
5
a
a
aa
a
aa
a
a
a
aaaaaaaa
Ejemplo 2:
4
15
4
33
4
1533
59
1533
53
5333
53
53
53
3
53
32
2
En el ultimo paso se aplico la propiedad distributiva de la división con respecto
a la suma y a la resta (en una fracción el denominador es el divisor y divide a
cada uno de los términos del numerador).
Ejemplo 3:
4
10
4
35
5
1035
27
1035
27
2575
27
27
27
5
27
522
24
EJERCICIO MODELO
Realizar las siguientes operaciones y racionalizar
5
5
2
3
8
6
RESOLUCION
103
5
1015
5
5215
5
5
5
523
5
523
5
5
4
212
5
5
4
2626
5
5
4
22326
5
5
4
24326
5
5
16
8326
5
5
2
3
8
6
2
25
EJERCICIOS
1) Racionalizar y resolver cuando sea posible.
2) Realizar las siguientes operaciones y racionalizar.
3) Racionalizar.
Consejo: en las sumas y restas racionalizar por términos y luego resolver las
operaciones sacando común denominador.
Cuando al racionalizar el denominador es negativo, se lo transforma en
positivo, cambiando los signos del numerador (es decir que multiplicamos
numerador y denominador por –1).
26
RESPUESTAS EJERCICIOS
1)
a) 55
2
b) 3
3
22
2
7
c) b
ba3 242
d)
14
7
3
2)
a) 103
b) 30
360360101056675
c) 6
750237
d)
100
23005528140625
3)
a) 67
13
7
3
b) 15
4
135
4
1
c) 65
1
5
4
d) 10
3
2
3
7
e) 625 f) 153
16
3
1
27
RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOS NUMERICOS
Para darle una connotación histórica, el conjunto de los naturales {1,2,3,...} fue
el primero utilizado por el hombre.
Luego surgió la necesidad de trabajar con números negativos naciendo así el
conjunto de los números enteros {....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.
Con la división de los números enteros nacen los conjuntos de números
fraccionarios que junto con los enteros forman el conjunto de los números
racionales {3/5, 7/8, 1/3, etc}.
Con las raíces aparecen los números irracionales {1.32568527..., , …. }.
Por último el conjunto que engloba a todos estos otros conjuntos es el de los
números reales. Pero éste conjunto no es cerrado porque cuando uno quiere
calcular la raíz cuadrada de (-4) “no da”, es decir, (-2)*(-2) no es igual a (-4).
Con lo que nace un último conjunto de números, el complejo.
El conjunto de los números complejos engloba a todos los demás. Este campo
complejo se verá en un bloque posterior.
Z
Fracciones
Irracionales
N
Naturales
Enteros negativos
Q
I
R
28
NÚMEROS REALES
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales es el conjunto
de los números reales.
Notación
Q: conjunto de números racionales. Q U I = IR
I: conjunto de los números irracionales.
IR: conjunto de números reales
OBSERVACIONES
N0 simboliza “los números naturales y además el cero”
Z+ simboliza “los números enteros positivos”
Z─ simboliza “los números enteros negativos”
Q+ simboliza “los números racionales positivos”
Q─ simboliza “los números racionales negativos”
R+ simboliza “los números reales positivos”
R─ simboliza “los números reales negativos”
Z simboliza los números enteros (positivos y negativos)
Q simboliza los números racionales (positivos y negativos)
R simboliza los números reales (positivos y negativos)
29
NÚMEROS REALES (CONTINUACIÓN DEL TEMA)
En el conjunto de los números reales IR se definen las siguientes operaciones
binarias: adición y multiplicación. Las mismas son cerradas, es decir, la
adición y la multiplicación de números reales siempre da por resultado otro
número real.
En el conjunto de los reales se pueden realizar todas las operaciones vistas en
racionales e irracionales, y se cumplen todas las propiedades vistas en ellos.
30
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama expresión algebraica a todo conjunto de números y letras unidos por
signos que indican las operaciones que hay que efectuar. Esas letras
representan números.
Las expresiones algebraicas constan de elementos denominados términos;
éstos están compuestos de la siguiente forma:
Ejemplo:
7ab2
Signo: positivo
Coeficiente: 7 → indica la cantidad de veces que se repite el factor
literal. (incluye al signo)
Factor literal: ab2 → está compuesto por letras.
Ejemplo:
Expresar el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular.
x
y
Si suponemos que mide "x" metros de largo e "y" metros de ancho,
obtendremos:
Perímetro: 2x + 2y ; Área: x∙y
Ambas son expresiones algebraicas (recuérdese que el signo de la
multiplicación entre letra y número 2x, acostumbra a no ponerse)
_UNIDAD_2: POLINOMIOS
31
Otras expresiones algebraicas podrían ser:
a) Suma de cuadrados: a2 + b2
b) Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y
c) Suma de varias potencias de un número: a4 + a3 + a2 + a
32
VALOR NUMERICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se
realizan las operaciones indicadas se obtiene un número que es el valor
numérico de la expresión algebraica para dichos valores de las letras.
En el ejemplo, si el largo del terreno fuera 50m (a= 50) y el ancho 30m (b= 30),
el valor numérico de: Perímetro = 2 ∙ 50m + 2 ∙ 30m = 100m + 60m = 160m
Área = 50m ∙ 30m = 1500m2
Naturalmente debe observarse que el valor numérico de una expresión
algebraica no es único sino que depende del valor que demos a las letras
que intervienen en ella.
Como las letras de la expresión algebraica pueden tomar cualquier valor
numérico, entonces con la misma expresión pueden obtenerse infinitos
números.
33
EJERCICIOS:
1) Calcular el valor numérico de la expresión algebraica a2 - 2ax + 4 si:
a) a = 2; x = 3 b) a = -2; x = 1
c) a = -3; x = 4 d) a = 4; x = 4
RESPUESTAS:
a) –4
b) 12
c) 37
d) -12
34
MONOMIOS
Si se observan las siguientes expresiones algebraicas se verá que en ellas
aparecen distintas operaciones:
Ejemplo:
a) 3ax b) -2xy2 c) 8ab3x d) 3ax - 2y e) x2 + 2x – 4.
En las tres primeras expresiones no aparecen sumas entre términos mientras
que en la d) y la e) sí. En los tres primeros casos se trata de monomios
mientras que en los otros dos no.
Podemos decir por tanto que:
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones
que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente
natural. Es decir, es toda expresión algebraica que consta de un solo término.
Ejemplo:5
3 x2y ; 9a3b ; -5ax2 ;
4
7x ; a3bx2
El coeficiente de un monomio es el número (con su respectivo signo) que
aparece multiplicando a las letras. Normalmente se coloca al principio. Si es un
1 no se escribe y nunca es 0 ya que la expresión completa sería 0. En los tres
ejemplos de monomios anteriores los coeficientes son; 5
3 ; 9 ; -5 ;
4
7 y 1
respectivamente.
Hay distintos tipos de monomios:
Monomios racionales e irracionales.
35
Los monomios: 2
3;
2;3
2
32 a
b
xaba son racionales porque las letras que en
ellos figuran no están afectadas de ningún radical.
En cambio: x
bxaa
2;3; son irracionales.
Monomios enteros y no enteros. Monomios fraccionarios.
Los monomios: 2
3;4;3 232 a
xbaxa se llaman enteros porque son racionales
y en sus denominadores no figura ninguna letra.
x
babaxa
3
4;;2
233 son en cambio, monomios no enteros; los dos primeros
porque no son racionales y el tercero porque en su denominador figura una
letra.
Todo monomio algebraico racional que contenga una letra en el denominador
se llama monomio fraccionario.
Se denomina grado de un monomio entero a la suma de los exponentes de
la parte literal.
Ejemplo:
4a3b2x4 es un monomio de noveno grado.
3a2x es un monomio de grado tres.
Los coeficientes de un monomio pueden no ser enteros.
Monomios semejantes
Son monomios semejantes entre sí aquellos en los que aparecen las mismas
letras con los mismos exponentes, sin importar si el coeficiente es igual o no.
Ejemplo: Son monomios semejantes: 2ax4y3 ; -3ax4y3 ; ax4y3 ; 5ax4y3
36
No son monomios semejantes: axy3 ; 3a2x4y3 ; 2bx4
Conclusiones:
Dos monomios semejantes sólo se diferencian en el coeficiente.
Los monomios semejantes tienen el mismo grado.
37
BINOMIOS – TRINOMIOS – POLINOMIOS EN GENERAL
Un polinomio está constituido por varios términos, que son los monomios.
Según el número de términos, se denominan así:
2 términos (binomio)
3 términos (trinomio)
4 términos (cuatrinomio)
5 términos en adelante (polinomio de n términos.)
Ejemplo:
-4x2 + 8x8 es un binomio formado por los monomios –4x2 y 8x8
ax2 + bx +c es un trinomio formado por los monomios ax2 , bx y c.
Un polinomio es la suma algebraica de monomios.
Un polinomio es racional cuando todos sus términos o monomios son
racionales. De lo contrario, es irracional. Análogamente, un polinomio es entero
cuando todos sus términos son enteros, y no entero en el caso contrario.
En este bloque nos interesan los polinomios formados por monomios enteros ,
es decir, los polinomios enteros.
Ejemplo:
4x3-3x2-5x+4 es un polinomio entero.
3x
a + bx2 no es entero porque contiene una letra en el denominador.
Grado de un polinomio
Es el grado del término de mayor grado.
Ejemplo:
3ab4c ─ 5a2b ─ 7p4b5 → es de grado nueve.
38
Polinomios en x
Los polinomios en x son aquellos en los que en su parte literal sólo aparece la
letra x.
Ejemplo:
P(x) = 2
3x3 ─5x + 4x2 + 4x4 ─
3
1
Dándole cualquier valor a la x se obtiene el valor numérico del polinomio.
El grado del polinomio va a ser el mayor exponente de x.
Ejemplo:
P(x) es de grado 4.
Letra ordenatriz: es la letra que se utiliza para analizar o determinar el orden
del polinomio.
Ejemplo:
La letra ordenatriz de P(x) es la x.
Orden de un polinomio
Si el exponente de la letra ordenatriz en cualquiera de los términos es menor
que en el término siguiente, entonces el orden del polinomio es CRECIENTE.
Si el exponente de la letra ordenatriz en cualquiera de los términos es mayor
que en el término siguiente,entonces el polinomio es de orden DECRECIENTE.
Ejemplo:
P(x) está desordenado, ordenándolo en forma decreciente queda:
P(x) = 4x4 + 2
3x3 + 4x2 ─5x ─
3
1
y en forma creciente: P(x) = ─3
1 ─5x + 4x2 +
2
3x3 + 4x4
Polinomio completo
39
Es aquel en el que aparecen TODOS los exponentes de la letra ordenatriz
entre el mayor y el menor que figuran.
Ejemplo:
P(x) está completo porque aparecen todos los exponentes de x, desde x4 hasta
x0 que sería –1/3.
Ejemplo:
Completar y ordenar en forma decreciente a Q(a).
Q(a) = 2 a - 5 a4 +3
Q(a) = -5 a4 + 0 a3 + 0 a2 + 2 a +3
Síntesis: cuando se trabaja con polinomios se deben tener en cuenta:
_ el valor numérico (si es que se pide)
_ el / los coeficientes
_ la parte literal
_ el grado
_ el orden
40
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Los polinomios constituyen formas de expresar números, tal como se ha visto
al calcular el valor numérico de un polinomio.
Al igual que con los números, los polinomios se pueden sumar, restar,
multiplicar, dividir, elevarlos a algún exponente o aplicarles alguna raíz.
Al operar con polinomios el resultado es otro polinomio.
Dado que no es necesario dar valores numéricos a la parte literal, se trabaja
con las formas polinómicas, esto es, teniendo en cuenta los coeficientes y la
parte literal.
Suma y resta de monomios y polinomios
Observar las siguientes operaciones:
1) 5ax4y3 - 2ax4y3 = 3ax4y3 2) 4ax4y3 + x2y
En el primer caso la resta de monomios se puede hacer mientras que en el
segundo caso la suma no.
En el primer caso se trata de monomios semejantes y en el segundo no.
Por lo tanto:
Para sumar o restar dos monomios tienen que ser semejantes.
El resultado de la suma o resta es otro monomio semejante a ellos que tiene
por coeficiente la suma o diferencia, según el caso, de los coeficientes.
Cuando los monomios no son semejantes la suma queda indicada y el
resultado es un polinomio como veremos en este tema.
41
Si se trabaja con polinomios en x: para sumar y restar hay que prestar atención
a los exponentes de x (la parte literal).
Para sumar y restar polinomios se aplican las propiedades conmutativa y
asociativa, luego se resuelven los coeficientes de los términos de igual parte
literal asociados.
Ejemplo:
Calcular E(x) = A(x) + B(x) ; H(x) = A(x) – B(x)
Forma práctica de resolver la suma y resta de polinomios
a) Se completan y se ordenan en forma decreciente.
b) Se encolumnan los términos de igual parte literal.
42
Ejemplo:
Con los mismos polinomios A(x) y B(x).
Para restar resulta conveniente transformar la resta en suma, cambiando los
signos de los coeficientes del sustraendo, es decir, A(x)+ [-B(x)]
43
EJERCICIOS:
1. Calcula las sumas de los monomios que se indican:
a) 2ax4 – 3ax4 + 5ax4 b) 2x3 – x + x3 + 3x3 +2x
2. Realiza las siguientes operaciones:
a) 38 ab – (–8 ab) =
b) –17 x – (–3 x) =
c) –8cg2 – (16 cg2) =
d) (2a – 7b + 4c) – (–3a – 5b + 4c) =
3. Resuelve:
a) (6x2 – 6x3 + 5x) – (–4 + 6x2 – 3x3) =
b) (4x + 8y – 9z) – (–5x +y –z) =
c) – (–5x + 7x3 – 4 + 2 x2) – (–9 + 3x –2x2 – 5x3) =
d) 12b – [ ( 7x – b) + (6x – 4b) ] =
e) –5x2 – [4a – 7x – (–4a –3b)] =
f) –[– (–8x + 5y – 4z) ] – [–4 x – (–7y –2z)] =
g) 18ab – [(6ab – c) + (4ab – c)] =
P(x) = 3x4 + 2x3 –7x2 + 2x + 4
4) Dados : Q(x) = 4x3 + 3x –2
R(x) = 2x2 + 4x + 3
Hallar:
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) + R(x)
c) P(x) – Q(x)
d) P(x) + R(x) – Q(x)
e) Q(x) + R(x) – P(x)
44
RESPUESTAS:
1)
a) 4ax4 b) 6x3 + x
2)
a) 46 ab b) –14x
c) - 24cg2 d) 5a - 2b
3)
a) ─3x3 + 5x + 4 b) 9x + 7y ─8z
c) ─2x3 + 2x + 13 d) 17b -13x
e) ─5x2 + 7x ─8a ─3b f) ─4x ─2y ─6z
g) 8ab + 2c
45
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
Se aplican las siguientes propiedades:
1°) Producto de potencias de igual base.
2°) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta.
3°) Propiedad conmutativa
4°) Propiedad asociativa
El producto de dos monomios se obtiene multiplicando en un orden
cualquiera todos los factores que en ellos figuran.
Si los monomios son enteros, se agrupan las potencias de las mismas letras
así como sus coeficientes.
Ejemplo:
Recordar producto de potencias de igual base (am∙an = am+n)
CONSECUENCIAS:
1°) El producto de dos monomios es otro monomio.
2°) Su coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores.
3°) Cada letra del producto está afectada de un exponente que es la suma de
los exponentes que tiene en ambos factores.
4°) El grado de un producto es la suma de los grados de cada uno de los
factores.
46
Producto de varios monomios
Se multiplican dos de ellos, el producto obtenido por un tercero, y así
sucesivamente. Las consecuencias anteriores siguen aplicándose.
Ejemplo:
47
EJERCICIOS:
Resolver los siguientes productos.
a) 2ax2∙(─3a3x)∙5y4x3 =
b) 9ax2∙(─2a2x3)∙5a3x4 =
c) ─2x2y∙(─3x2y3z)∙4x3y3z4 =
d) 5a2bc3∙3a3b3c2∙(─2a3bc2) =
e) 9x3y∙(─2x2y3)∙(─3xy2) =
RESPUESTAS:
a) ─30a4x6y4
b) ─90a6x9
c) 24x7y7z5
d) ─30a8b5c7
e) 54x6y6
48
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS (CONTINUACIÓN DEL TEMA)
Producto de un polinomio por un monomio
Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada término del
polinomio por el monomio y se suman los productos obtenidos.
Ejemplo 1:
P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x ; Q(x) = 2x3
P(x)∙Q(x)= (2x5+3x4-2x3-x2+2x) ∙ (2x3) =
= (2x5 ∙ 2x3) + (3x4 ∙ 2x3) + (-2x3 ∙ 2x3) + (-x2 ∙ 2x3) + (2x ∙ 2x3) =
= 4x8 + 6x7-4x6-2x5+4x4
Ejemplo 2:
Multiplicando directamente el monomio por cada término del polinomio,
aplicando la regla de los signos.
(3x3 - 2x2 + 2x - 5) ∙ 3x2 = 9x5 - 6x4 + 6x3 -15x2
49
EJERCICIOS:
1) Calcular los siguientes productos.
a) (3x3 ─2x2 + 7x ─4) • ( ─2x)
b) (4a3 ─3a2x + 5ax2 ─2x3) • (3ax2)
c) (2x3 ─4x2 ─3x + 1) • (─3x)
d) (5x4 + 2x2 ─3x ─2) • (2x2)
e) (3x3y ─3x2y2 + 4xy3) • (5x2y)
RESPUESTAS:
a) ─6x4 + 4x3 ─14x2 + 8x
b) 12a4x2 ─9a3x3 + 15a2x4 ─6ax5
c) ─6x4 + 12x3 + 9x2 ─3x
d) 10x6 + 4x4 ─6x3 ─4x2
e) 15x5y2 ─15x4y3 + 20x3y4
50
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS (CONTINUACIÓN DEL TEMA)
Observación:
Si el polinomio está ordenado con respecto a una letra, el producto estará
ordenado con respecto a la misma letra, si se toman sucesivamente todos los
términos del polinomio en el orden que están escritos.
Pueden cambiarse, obviamente, el orden de los factores del producto sin
alterar el resultado.
Producto de dos polinomios.
Para multiplicar dos polinomios se suman los términos que se obtuvieron
multiplicando cada término de uno de los polinomios por todos los términos del
otro.
Ejemplo 1:
Calcular: H(x) = A(x) • B(x)
51
Ejemplo 2:
Se multiplica cada término del primer factor por todos los términos del segundo
factor, luego se suman los términos semejantes.
Otra forma para la multiplicación
1°) Se completan y ordenan los polinomios en orden decreciente.
2°) Se encolumnan por igual parte literal.
3°) Se aplica la propiedad distributiva.
4°) Se suman los coeficientes de igual parte literal (distribuidos en columnas).
Ejemplo:
Primero se multiplicó 2x2 por todos los otros términos del polinomio de arriba, y
así sucesivamente.
52
EJERCICIOS:
1. a) Obtener la expresión del volumen de este cuerpo. Obtener su valor
numérico cuando x = 1.
b) Obtener la expresión del área de cada una de sus caras. Obtener sus
valores numéricos cuando x = 1.
2. Obtener la expresión del área y del volumen de la superficie del siguiente
cilindro. Obtener sus valores numéricos cuando x = 1.
h =3x3
53
ACLARACIÓN SOBRE LOS EJERCICIOS: en los ejercicios dados de áreas y
volúmenes aparecen expresiones en forma de “funciones polinómicas”.
El objetivo de trabajar con estos ejercicios es que el alumno incorpore las
mecánicas de resolución y las utilice con mayor fluidez.
Puede pensarse que la solución más sencilla es acreditar un valor numérico a x
y el problema queda resuelto. Esto es así pero lo que se intenta es que el
alumno se familiarice con todas las operaciones y propiedades.
En los ejercicios ya resueltos se observa que tanto las áreas como los
volúmenes dependen de x, luego están en función de x.
Así entonces se tiene una aplicación de funciones polinómicas.
A cada valor de x le corresponde un valor numérico del volumen que depende
de la forma del polinomio.
RESPUESTAS:
1) a) V = 8x3 + 108x2 + 364x + 360
V(1) = 840
b) Área1=2x2+23x+45 Área2=4x2+44x+72 Área3=8x2+28x+40
Área1(1) = 70 Área2(1) = 120 Área3(1) = 76
2) V = r2h = • 12x5 + 12x4 + 3x3) Áreabase= r2 = • 4x2+4x+1)
V(1) = 27 = 84,82 Áreabase(1)= 9 = 28,27
Áreacara lateral=2 rh = • 12x4+6x3)
Áreacara lateral(1)=18 = 56,55
54
DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
En ésta división aparecen las siguientes operaciones y propiedades:
1°) Cociente de potencias de igual base (se restan los exponentes)
2°) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta.
3°) Producto de potencias de igual base (se suman los exponentes)
4°) Suma de polinomios.
Dado que los polinomios son en definitiva un número (como ya se ha visto al
obtener el valor numérico del polinomio) la división puede analizarse mediante
números sencillos.
Donde: D(x) = dividendo; d(x) = divisor; C(x) = cociente; R(x) = resto.
Como 34 = 4∙7+6 entonces
Se supondrá siempre que los valores numéricos atribuidos a las letras no
anulan el divisor, pues en éste caso la definición carecería de sentido.
División de dos monomios
La división de los monomios A y B da lugar a la fracción A / B. Esta fracción
puede simplificarse, en ciertos casos, multiplicando o dividiendo sus dos
términos por una misma expresión algebraica, especialmente en el caso en que
ambos monomios tengan factores comunes.
D(x) = C(x) • d(x) + R(x)
55
Ejemplos:
Observación:
En el último ejemplo el cociente no es entero. El cociente de dos monomios
enteros no será un monomio entero cuando:
_ el dividendo no contenga todas las letras que figuran en el divisor.
_ una letra que figure en el dividendo y el divisor tenga un exponente inferior en
el dividendo.
56
EJERCICIOS:
1. Calcular la siguiente división de polinomios: (6a5x2) : (2a3x)
El cociente, ¿es un monomio?
2. Calcular ahora: (6a5x2y) : (3a6x)
¿Es el cociente un monomio? ¿Por qué?
3. (7x4y3a2) : (2x2y2a2)
4. (35a5b3x4) : (5a4bx2)
5. (81x7y5b6) : (-3x2y3b4)
57
DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS (CONTINUACIÓN DEL TEMA)
División de un polinomio por un monomio
Se aplica el mismo procedimiento que se hace con los números. Se debe
encontrar un término (monomio) tal que multiplicado por el divisor anule el
primer término del dividendo (al escribir el producto de un término del cociente
por el divisor debajo del dividendo va con el signo cambiado).
No olvidarse de completar el polinomio y ordenarlo en forma decreciente.
Ejemplo:
(2x3 es un término tal que
multiplicado por 2x da 4x4
División de dos polinomios
Es igual que la división de polinomio por monomio.
─
D (x): Q(x) = 2x3-x2+3x-4
R= -4
58
Ejemplo:
En resumen:
Para hacer la división de polinomios, el polinomio dividendo debe ser completo
y ordenado, si no esta completo se completa con 0xn Siendo n los exponentes
de x que faltan), y el polinomio divisor debe estar ordenado (no se lo completa),
luego dividimos el primer monomio del dividendo por el primer monomio del
divisor (En el ejemplo x5:x ; se obtiene el cociente x4), multiplicamos el cociente
(x4) por el divisor (x-2), lo encolumnamos debajo de los monomios semejantes
y se lo restamos al dividendo. Así sucesivamente hasta que el exponente del
dividendo sea menor que el exponente del divisor.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y
polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 ó
mas términos.
59
EJERCICIOS:
1) (4x5 + 8x4 + 6x3 + 4x2 + 8x ─4) : (2x2 + 2x ─2)
2) (8x4 + 4x2 ─8) : (2x2 ─2x)
-
3) (6x3 +3) : (2x ─2)
4) (6x5 ─4x4 + 6x3 + 2) : (2x2 + 2x)
5) (x4 ─16) : (x + 2)
RESPUESTAS:
1) 2x3 + 2x2 + 3x + 1 Resto = 12x ─2
2) 4x2 + 4x + 6 Resto = 12x ─8
3) 3x2 + 3x +3 Resto = 9
4) 3x3 ─5x2 + 8x ─8 Resto = 16x + 2
5) x3 ─2x2 + 4x ─8 Resto = 0
60
CUADRADO Y CUBO DE UN BINOMIO
CUADRADO DE UN BINOMIO
(a + b)2 =(a + b) • (a + b)
(a ─ b)2 =(a ─ b) • (a ─ b)
Ejemplo:
(2x + y)2 = (2x + y) • (2x + y) = 4x2 + 2xy +2xy + y2 = 4x2 + 4xy + y2
Regla para hallar el cuadrado de un binomio
(a ± b)2 es igual al cuadrado del primer termino, mas el doble producto del
primero por el segundo (si es una suma) y menos (si es una resta ), mas el
cuadrado del segundo termino.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a ─ b)2 = a2 ─ 2ab + b2
Los cuadrados son siempre positivos, el único que puede ser negativo es el
doble producto si se trata del cuadrado de una resta (a ─b)2 o siendo una
suma, el primer término es negativo (─a + b)2
Ejemplo 1:
(2x2 + 3y3)2 = (2x2)2 + 2∙2x2∙3y3 + (3y3)2 = 4x4 +12x2y3 + 9y6
61
Ejemplo 2:
(5x ─ 4y2)2 = (5x)2 ─ 2∙5x∙4y2 + (4y2)2 = 25x2 ─ 40xy2 + 16y4
Ejemplo 3:
(─∙3x3 + 4y2)2 = (─∙3x3)2 + 2∙(─∙3x3)∙4y2 + (4y2)2 = 9x6 ─ 24x3y2 + 16y4
CUBO DE UN BINOMIO
(a + b)3 = (a + b)• (a + b) • (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a ─ b)3 = (a ─ b)• (a ─ b) • (a ─ b) = a3 ─ 3a2b + 3ab2 ─ b3
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, mas el triplo del
cuadrado del primer termino por el segundo, mas el triplo del primero por el
cuadrado del segundo, mas el cubo del segundo término.
Si se trata del cubo de una resta, los signos son alternadamente positivos y
negativos ( + , ─ , + , ─ )
Ejemplo:
(3x2 + 2y)3 = (3x2)3 + 3∙(3x2)2∙2y + 3∙3x2∙(2y)2 + (2y)3 =
= 27x6 + 3∙9x4∙2y + 3∙3x2∙4y2 + 8y3 = 27x6 + 54x4y + 36x2y2 + 8y3
En caso de no recordar las reglas para resolver el cuadrado y el cubo de un
binomio, se aplica la definición de potencia, es decir, multiplicar a la base por si
misma tantas veces como indica el exponente y luego multiplicar como
producto cualquiera de polinomios.
(a + b)2 = (a + b)• (a + b)
(a ─ b)3 = (a ─ b)• (a ─ b) • (a ─ b)
62
EJERCICIOS:
Desarrollar los siguientes cuadrados y cubos de bnomios:
1) (7x + 2a)2 =
2) (2
3a2 ─5b2)2 =
3) (5x ─3)2 =
4) (2x + 5y)3 =
5) (3x2 ─2y3)3 =
6) (4a + 3)3 =
RESPUESTAS:
1) 49x2 + 28xa + 4a2 2) 4
9a4 ─15a2b2 + 25b4
3) 25x2 ─30x + 9 4) 8x3 + 60x2y + 150xy2 + 125y3
5) 27x6 ─54x4y3 + 36x2y6 ─8y9 6) 64a3 + 144a2 ─108a + 27
63
REGLA DE RUFFINI
División de polinomios con el divisor del tipo "x ─a”
El caso más importante de la división de polinomios es el que tiene por divisor
un binomio del tipo x - a, siendo "a" un número entero; por ejemplo (x ─1) ;
(x + 2), etc.
Además de realizarse la división por el método general expuesto en un
apartado anterior, se puede realizar también usando la regla de Ruffini.
La regla de Ruffini se utiliza fundamentalmente cuando el polinomio dividendo
tiene como única letra (variable) la x y el ya citado divisor es (x ─a).
La regla utiliza los coeficientes del polinomio dividendo y el valor de "a"
(obsérvese que va cambiado de signo), obteniéndose los coeficientes del
polinomio cociente y el valor del resto (obsérvese que el resto siempre será un
número).
Ejemplo1:
(x3 + x2 ─x ─1) : (x ─2)
"Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a
menor grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0”
64
- Se "baja" el primer coeficiente del dividendo. (En el ejemplo 1)
- Se multiplica a (en el ejemplo es 2) por el coeficiente bajado y se coloca el
resultado debajo del segundo coeficiente (el signo de a será positivo si el
divisor es del tipo (x ─a) y negativo si el divisor es del tipo (x + a).
-Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior y se baja el
resultado. (En el ejemplo es 3)
- Se continúa el mismo proceso hasta terminar con los coeficientes.
Los números obtenidos de la fila inferior (en el ejemplo 1 3 5) son los
coeficientes del cociente (de un grado menor al dividendo) excepto el último
número (en el ejemplo 9) que es el valor del resto.
Así en el ejemplo anterior: El cociente es x2 + 3x +5 y el resto es 9.
(x3 ─x2 ─x ─1) : (x ─2) = x2 +3x + 5 y Resto = 9
Ejemplo 2: (2x4 ─2x3 +3x +2): (x ─2) = 2x3 + 2x2 + 4x + 11
•
+
65
TEOREMA DEL RESTO
Como hemos visto en el apartado anterior, mediante la Regla de Ruffini, se
obtiene de forma sencilla el cociente y el resto de la división de un polinomio
por el binomio (x ─a). También hemos conocido en apartados anteriores lo que
es el valor numérico de una expresión algebraica en general y por tanto de un
polinomio en particular.
Ejemplo:
Calcula el valor numérico de los polinomios dividendo del ejercicio anterior para
los valores de x = ─3 y x = 1 respectivamente. Compara dicho valor numérico
con el resto de las divisiones efectuadas en dicho ejercicio ¿Qué has
observado?
El resultado que seguro has observado se puede expresar como el enunciado
del teorema del resto:
El resto de la división de un polinomio P(x) por un binomio de la
forma (x ─a), es igual al valor numérico del polinomio cuando x
toma el valor "a", que podemos expresar como P(a).
El resto de la división de un polinomio P(x) por un binomio de la
forma (x + a), es igual al valor numérico del polinomio cuando x
toma el valor "─a", que podemos expresar como P(─a).
Ejemplo1:
A(x) = x3 ─8 ; B(x ) x ─2 En A(x) : B (x)
El divisor es de la forma (x ─a) →calculo el resto como A(2)
A(2) = 23 ─8 = 8 ─8 = 0→por lo tanto el resto de la división A(x) : B(x) es cero.
66
Ejemplo 2:
Calcular el resto de (2x3 + 5x2 ─4) : (x + 3)
R(─3) = 2(─3)3 + 5(─3)2 ─4 = 2(─27) + 5∙9 ─4 = ─54 + 45 ─4 = ─13
→el resto es = ─13
67
EJERCICIOS:
1) Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando Ruffini.
a) (2x3 + 6x2 ─1) : (x ─2)
b) (x4 + 2x3 ─x2 + 3x ─5) : (x ─1)
c) (4x5 ─3x4 + 2x2 + 4) : (x ─2)
d) (3x4 + 9x3 + 2x2 + 4) : (x + 2)
e) (x3 + 27) : (x + 3)
f) (4x3 + 4x2 + 8) : (x + 2)
g) (2x5 ─3
5x3 +
2
1x ─
6
1) : (x + 1)
2) Calcular el resto de las siguientes divisiones por el teorema del Resto.
a) (3x3 + 4x2 ─2x + 1) : (x + 2)
b) (x3 ─7x2 + 14x ─21) : (x ─2)
c) (x4 + 4x3 + 3x2 ─9) : (x + 3)
d) (2x5 ─6x4 + 8x2 ─5) : (x ─1)
68
e) (2x3 ─4x2 ─10x ─30): (x ─5)
RESPUESTAS:
1)
a) 2x2 + 10x + 20 resto: 39
b) x3 + 3x2 + 2x + 5 resto: 0
c) 4x4 + 5x3 + 10x2 + 22x + 44 resto: 92
d) 3x3 + 3x2 ─4x + 8 resto: ─12
e) x2 ─3x + 9 resto: 0
f) 4x2 ─4x + 8 resto: ─8
g) 2x4 ─2x3 + 3
1x2 ─
3
1x +
6
5 resto: ─1
2)
a) Resto = ─3
b) Resto = ─13
c) Resto = ─9
d) Resto = ─1
e) Resto = 70
69
DESCOMPOSICIÓN DE UNA EXPRESIÓN ENTERA EN UN PRODUCTO DE FACTORES
Las anteriores operaciones (adición, sustracción, multiplicación y elevación a
potencias de monomios y polinomios) permiten, cuando dichos monomios y
polinomios están ligados por los signos de las operaciones, reemplazar la
expresión dada por un polinomio o un monomio. Esto es lo que se llama
desarrollar. Aunque en numerosos casos es conveniente desarrollar, en otros
muchos es en cambio conveniente reemplazar la expresión entera dada por un
producto de factores, operación análoga a la que permite, en aritmética,
reemplazar un número por un producto de factores primos. Por la falta de una
regla general, se indican a continuación algunos procedimientos que conviene
practicar, en el mismo orden que aquí se indican.
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es obtener otra expresión del mismo mediante factores.
(Es decir transformar el polinomio en un producto de n términos).
Debe recordarse que los elementos de una suma se denominan “términos” y
los elementos que aparecen en una multiplicación se denominan “factores”.
No todos los polinomios pueden factorizarse. Hay seis casos especiales de
factoreo.
1°) Factor común
Sacar factor común en un polinomio es sustituirlo por el producto del monomio
que se saca como factor y del polinomio cuyos términos son los cocientes de
70
los términos del polinomio dado por el factor común. (Es decir que se divide a
cada término del polinomio por el factor común).
En la práctica, el mayor factor común que puede sacarse es el formado por las
letras comunes a todos los términos del polinomio, afectada cada una de ellas
de su menor exponente; de los números el máximo común divisor de todos
los coeficientes del polinomio (regla análoga a la del máximo común divisor en
aritmética).
Ejemplo1:
5
3x
4 ─
17
9x
7 +
23
27x
3 = 3x
3∙(
5
1x ─
17
3x
4 +
23
9)
Ejemplo2:
77a2b
4 ─22 ab
3c
2 + 99a
2b
2cd + 55a
3b
3 =
= 11ab2∙(7ab
2 ─2bc
2 + 9acd + 5a
2b)
2°) Factor común por grupos
Si no hay factor común y hay una cantidad par de términos, se forman grupos
con igual cantidad de términos y en cada grupo se saca factor común, de forma
tal que los polinomios que se forman dentro de los paréntesis sean iguales y
sacar nuevamente factor común.
Ejemplo:
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b)
xy + 2x + 3y + 6 = x(y + 2)+ 3(y + 2) = (y + 2)(x + 3)
71
3°) Trinomio cuadrado perfecto. Cuadrado de un binomio
Está formado por tres términos, dos de los cuales son cuadrados perfectos y el
tercero es el doble del primer termino por el segundo. Para factorearlo debo
comprobar que dos son cuadrados perfectos y el otro el doble producto de la
primer base por la segunda. Si el signo del doble producto es positivo es el
cuadrado de una suma y si es negativo es el cuadrado de una resta.
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a ─ b)2 = a2 ─2 a b + b2
Ejemplo:
x2 + 6x + 9 =
x2 = (x)2
9 = (3)2 x y 3 son las bases de los cuadrados
2∙x∙3 = 6x
x2 + 6x + 9 = (x + 3)
2
4°) Cuatrinomio cubo perfecto. Cubo de un binomio
Es igual al cubo del primero más el triple del producto del cuadrado del primero
por el segundo más el triple del producto del cuadrado del segundo por el
primero más el cubo del segundo. Y se factorea como el cubo de un binomio
(a + b)3 = a3 + 3∙a2∙b + 3∙a∙b2 + b3
(a ─ b)3 = a3 ─3∙a2∙b + 3∙a∙b2 ─b3
72
En un trinomio debo comprobar que dos términos son cubos perfectos, y los
otros dos son, uno el triple del cuadrado del primero por el segundo y el otro el
triple del primero por el cuadrado del segundo.
Ejemplo:
8x3 ─5
12x2 +
25
6x ─
125
1 =
dos términos al cubo Y los otros dos
8x3 = (2x)3 3∙(2x)2∙5
1= 3∙4x2∙
5
1=
5
12x2
2x primer término
125
1=
3
5
1 3∙2x∙
2
5
1= 3∙2x∙
25
1=
25
6x
5
1
segundo término
8x3 ─5
12x2 +
25
6x ─
125
1 =
3
5
1x2
5°) Diferencia de cuadrados
Es una resta de dos términos que son cuadrados.
a2 ─b2 = (a + b) (a ─b) = a∙a ─a∙b + b∙a ─b∙b
La diferencia de cuadrados se factorea como la suma por la resta de las bases
de los cuadrados.
Las bases se obtienen al aplicar la raíz cuadrada a cada término aa 2 , a es
la primera base. bb2 , b es la segunda base
73
Ejemplos:
x4 ─4 = (x
2)2 ─2
2 = (x
2 ─2)(x
2 + 2)
25x2 ─36y
2 = (5x ─6y)(5x + 6y)
16x4 ─9y
6 = (4x
2 ─3y
3)( 4x
2 + 3y
3)
6°) Sumas o diferencias de potencias de igual grado
Dado el polinomio xm ± am debo determinar en primer lugar si es divisible por la
suma o por la resta de las bases (esto significa que al dividir xm ± am por x ± a ,
el resto es cero).
xm + am es divisible por x + a si m es impar.
xm + am con m par no se puede factorizar.
xm ─ am es divisible por x ─a siempre
xm ─ am es divisible por x + a si m es par.
xm ± am = (x + a)∙(el cociente de dividir xm ± am por x ± a aplicando
RUFFINI)
Ejemplo 1:
Factorizar x3 + 8
x3 + 8 = x3 + 23 Es divisible por x + 2.
74
Aplico Ruffini
Se obtiene:
x3 + 8 = (x + 2)(x2 ─2x +4)
Ejemplo 2:
Factorizar x4 ─16
x4 ─ 16 = x4 + 24 Es divisible por x + 2 ; y también por x ─2 .
Aplico Ruffini para: (x4 ─16) : (x ─2)
1 0 0 0 ─16
2 2 4 8 16
1 2 4 8 0
Cociente = x3 + 2x2 + 4x +8
Se obtiene:
x4 ─16 = (x ─2)( x3 + 2x2 + 4x +8)
Vuelvo a aplicar Ruffini para: (x3 + 2x2 + 4x +8) : (x + 2)
1 2 4 8
─2 ─2 0 ─8
1 0 4 0
Cociente = 1x2 + 0x +4 = x2 + 4
Se obtiene:
x4 ─16 = (x ─2)(x + 2)(x2 + 4)
75
EJERCICIOS:
Factorizar:
1) Factor común y factor común por grupos.
a) 9x3a4 ─12x2a3 + 15x4a2
b) 3
2a3b2 +
9
4ab3 +
15
8a4b4
c) 5xy ─25y + 2xb ─10b
d) 6a3 ─4a2x + 3ax ─2x2
e) 49x2 ─21xy ─14ax + 6ay
2) Trinomio cuadrado perfecto.
a) x2 + 10x + 25
b) 4x2 ─ 3
4x +
9
1
c) 25x4 + 30x2y + 9y2
d) 49x8 ─56x4y3 + 16y6
3) Cuatrinomio cubo perfecto.
a) x3 + 12x2 + 48x + 64
76
b) 27x3 ─27x4 + 9x2 ─1
c) 125a3 + 150a2b3 + 60ab6 + 8b9
d) x9 ─ x6 + 3
1x3 ─
27
1
Nota: 1 se puede expresar como potencia de cualquier exponente (12, 13, 14 ,
15 ,etc.) dado que de acuerdo a lo visto en la propiedades de la potencia 1n=1
4) Diferencia de cuadrados
a) x2 ─9
b) 25a4 ─1
c) 16x6 ─25y4
d) 49x2 ─9y2
e) x6 ─1
5) Suma o diferencia de potencias de igual grado.
a) x3 + 27
b) x4 ─1
c) x5 + 32
d) x6 ─64
6) En la siguiente expresión desarrollar los cuadrados y luego Factorear.
77
(ax ─3b)2 ─ (bx ─3a)2 =
RESPUESTAS:
1)
a) 3x2a2(3xa2 ─4a + 5x2)
b) 2322 ba5
4b
3
2 aab
3
2
c) (x ─5)(5y + 2b)
d) (3a ─2x)(2a2 +x)
e) (7x ─3y)(7x ─2a)
2)
a) (x + 5)2
b)
2
3
1-x 2
c) (5x2 + 3y)2
d) (7x4 ─ 4y3)2
3)
a) (x + 4)3
b) (3x2 ─1)3
c) (5a + 2b3)3
78
d)
3
3
3
1- x
4)
a) (x + 3)(x ─3)
b) (5a2 +1)(5a2 ─1)
c) (4x3 + 5y2)(4x3 ─ 5y2)
d) (7x + 3y)(7x ─3y)
e) (x3 + 1)(x3 ─1) = (x + 1)(x2 ─ x + 1)(x ─1) (x2 + x + 1)
5)
a) (x + 3)(x2 ─3x + 9)
b) (x ─1)(x + 1)(x2 + 1)
c) (x + 2)(x4 ─2x3 + 4x2 ─8x + 16)
d) (x ─2)(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32)
El ejercicio b) podría resolverse también como una diferencia de cuadrados y
dentro de uno de los paréntesis queda otra diferencia de cuadrados.
6) (x + 3)(x ─3)(a + b)(a ─b)
79
RELACION DE CONJUNTOS
Sea el producto cartesiano entre los conjuntos A y B que da un nuevo conjunto
C.
A x B = C
Se tienen los siguientes pares ordenados.
C = { (a, h) , (a, w) , (b, h), (b, w) , (c, h) , (c, w) }
Relación
A = conjunto de partida.
B = conjunto de llegada.
Sean los conjuntos Dominio A ; Imagen B.
Dom = {a, c} ; Im = {h, w}
Relaciono a los conjuntos A y B con la siguiente relación: (R: relación)
A R B = D
_UNIDAD_3: FUNCIONES:
80
D = { (x, y) / x A ; y B ; x R y }
D = { (a, h) , (a, w) , (c, w) }
Otro ejemplo de relación:
Dom = { b } ; Im = { h, w }
A R B = G
Entonces: G = { (b, h) , (b, w) }
Otro ejemplo:
R : “es la mitad de”
Dom = { 1 , 2 , 3, 4 }
Im = { 2 , 4 , 6 , 8 }
81
FUNCION
Se dice que una relación es una función si a cada elemento del dominio le
corresponde uno y solo un elemento de la imagen, y no hay elementos
aislados en el dominio (elementos que no tengan imagen).
Toda función es una relación, pero no toda relación es función.
A R B = K → K = {(x, y) / x A ; y B ; x R y ; (xm , yh ) (xm , yt ) }
En otras palabras:
Si de cada elemento del conjunto Dom, gráficamente, parte una flecha y solo
una hacia el conjunto Im, entonces esa relación es función.
Si en una relación existe al menos un elemento del conjunto Dom que esté
relacionado con dos o más elementos del conjunto Im, entonces esa relación
no es función.
El último ejemplo es una función.
Funciones
Una función es una relación de dos magnitudes numéricas (llamadas variables)
las cuales están relacionadas de forma unívoca (uno a uno).
En una función a cada valor de la primera magnitud (variable independiente) le
corresponde un valor y sólo uno de la segunda magnitud (variable
dependiente).
Suele decirse que la segunda magnitud es función de la primera.
82
Simbólicamente se puede expresar:
y = f (x)
Donde “x” es la variable independiente e “y” la variable dependiente. Esta forma
de representar una función es muy útil, si la relación entre la “x” y la “y” es una
expresión matemática (por ejemplo y = 2x + 1), en ese caso podemos saber
con certeza los valores que toma la variable dependiente (y) para cualquier
valor que tomemos de la variable independiente (x). Por ejemplo, al valor x= 2
le corresponde el valor y = 2 ∙ 2 + 1 = 4 + 1 = 5 y al valor x = -3 le
corresponde el valor y = 2 ∙ ( - 3 ) + 1 = -6 +1 = -5 .
83
GRAFICA DE UNA FUNCION
Si se dispone de una expresión matemática de una función, se puede realizar
fácilmente una tabla de valores de la misma y una gráfica de la función, ya que
cada pareja de valores (x,y) de la tabla que hagamos determina un punto del
plano, uniendo todos los puntos de la tabla obtendremos la gráfica de la
función.
Ejemplo: y = 2x + 1
Los ejes del gráfico se denominan:
Eje x: eje de las abscisas.
Eje y: eje de las ordenadas.
Elementos de una función
En una función, dos magnitudes se relacionan de forma unívoca. La primera de
esas magnitudes se denomina variable independiente y la segunda variable
dependiente. Además, hemos visto que en algunos casos la función (de una
variable) admite una expresión del tipo
y = f (x)
84
Los dos principales elementos de una función son los valores posibles que
pueden tomar las variables (dependiente e independiente).
El Dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la
variable independiente (x).
Se lo representa con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f).
El Recorrido, Rango o Imagen de una función es el conjunto de valores que
toma la variable dependiente, o sea, es el conjunto de valores que puede
alcanzar la función.
Se lo representa con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f).
Funciones elementales
Funciones constantes
Las funciones constantes son las más simples de todas las funciones.
Su expresión analítica es y = K, o f(x)=K,
siendo K un número real cualquiera. Esto
significa que sea cual sea el valor de x la
función siempre toma el valor K
El gráfico de una función constante es una
línea recta horizontal que toca el eje Y en el
valor y = K.
Funciones polinómicas de primer grado. Dependencia lineal
La expresión algebraica de este tipo de funciones es un polinomio de primer
grado, y = ax + b, siendo a y b dos números reales cualesquiera y a es distinto
de cero. (Observa que si a = 0 se trataría de la función constante y = b).
En una función de este tipo se dice que la y depende linealmente de la x, se
dice esto porque la gráfica de esta función es una línea recta. El coeficiente a
85
de las funciones lineales se denomina pendiente de la recta, (determina la
inclinación de la misma).
El coeficiente b se denomina ordenada al origen ya que es el valor que toma
la función cuando x es igual a cero y, por lo tanto, es el punto de contacto de la
recta de la función con el eje Y de ordenadas.
Ejemplo: y = 2x +1
y = a∙x + b Ordenada al origen
Variable independiente
Pendiente
Variable dependiente
Ejemplos:
1) y = 3x – 2 Pendiente = 3 Ordenada = –2
2) y = 2
3 x + 3 Pendiente =
2
3
Ordenada = 3
Si a (pendiente) es positiva la recta forma con el eje de las x un ángulo agudo.
Si a es negativa la recta forma con el eje de las x un ángulo obtuso.
86
Los ángulos se miden a partir del semieje positivo de las x y en sentido
antihorario (contrario a las agujas del reloj).
Graficas de los ejemplos:
87
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARESE
RECTAS PARALELAS:
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y distinta ordenada al
origen.
y1 = ax + b
y2 = ax + c →y1 // y2
Ejemplo:
y = 3x + 1
y = 3x ─2
Gráfico
RECTAS PERPENDICULARES:
Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son invertidas y de signos
opuestos.
88
y1 = ax + b
y2 = ─a
1x + b, c, d, etc →y1 y2
La ordenada al origen de la perpendicular puede ser la misma o cualquier otro
número, incluido el cero.
Ejemplo:
y = 3
2x ─ 2
y = ─2
3x + 1
Gráfico:
RAIZ DE LA FUNCION:
La raíz de una función es el valor de x que hace nula la función (es el valor de
x que hace que y valga cero, es el punto donde la recta corta al eje de las x).
89
Para hallarla se iguala la función a cero y se despeja x para obtener su valor.
Ejemplo:
y = 2x ─ 4
2x ─4 = 0
2x = 4
x = 4 : 2
x = 2
90
EJERCICIOS:
1) Representar gráficamente las siguientes funciones, indicar para cada una la
pendiente, la ordenada al origen y hallar las raíces.
a) y = 2x
b) y = x
c) y = 3
2x + 5
d) y = 2
1x ─3
e) y = ─x + 1
f) y = 2
3x + 2
2) Para cada una de las siguientes rectas, escribir la ecuación de una recta
paralela, una perpendicular y hallar la raíz de la recta dada.
a) y = 3x + 3
b) y = ─3
2x ─4
c) y = 2
3x + 1
d) y = 2x ─5
91
RESPUESTAS:
1)
a) x = 0 ; pendiente = 2 ; ordenada = 0
b) x = 0 ; pendiente = 1 ; ordenada = 0
c) x = ─2
15 ; pendiente =
3
2 ; ordenada = 5
d) x = ─6 ; pendiente = ─2
1 ; ordenada = ─3
e) x = 1 ; pendiente = ─1 ; ordenada = 1
f) x = 3
4 ; pendiente = ─
2
3 ; ordenada = 2
2)
a) // y = 3x ± c ; y = ─3
1x ± b ; x = ─1
b) // y = ─3
2x ± c ; y =
2
3x ± b ; x = ─6
c) // y = 2
3x ± c ; y = ─
3
2x ± b ; x = ─
3
2
d) // y = 2x ± c ; y = ─2
1x ± b ; x =
2
5
Donde b es la ordenada al origen de la función dada y c un número distinto de
b.
92
Aritmética y álgebra III Alcántara, Lomazzi , Mina Editorial Estrada.
Tapia 3 y 4 – Editorial Estrada
Estudio dirigido de Matemática 3 Bert, Pedemonti, Semino AZ editora.
Matemática 3 Camus, Massana Editorial Aique.
Matemática 3. Bogani, Elsa de Destuet, Oharriz. Ed. Plus Ultra.
Matemática 8 y 9 . Ed. Mc. Graw Hill
93
94
Manual de matemática de séptimo grado.
Enciclopedia temática Océano.
Tapia 2 y 3. Editorial Estrada
Apuntes universitarios:
Apuntes sobre geometría, cátedra de Álgebra y Geometría I
Números reales, cátedra de Álgebra y Geometría I
