Nilai Eigen dan Vektor Eigen1.0 Nilai EigenNilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mewakilkan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vector. Ia dapat ditulis sebagai:

di mana A suatu matriks iatu nxn,xmerupakan vektor yang tidak nol, danmerupakan satu scalar atau nilai eigen dari matriks A. Nilai eigen matriks A dapat dicari dengan

=

=

Oleh itu,

det = 0persamaan di atas dipanggil persamaan karakteristik A.Cara khusus untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3 ialah: 2x2 -> det(A) -.trace(A) +2 3x3 -> det(A) -.(M11+ M22+ M33) +2.trace(A) -3

Contoh mencari nilai eigen:

Contoh 1(a):

Carikan nilai eigen dari A = Penyelesaian:

det ; dimana I adalah matriks identiti.

det

= 0

Faktorkan persamaan linear untuk mendapatkan nilai

Penyelesaian persamaan adalah:

dan

Jadi nilai eigen yang bersesuai untuk matriks adalah:

, dan .

2.0 Vektor Eigen

Vektor eigen(x) merupakan penyelesaian dari matriks (A-) untuk setiap nilaiyang ada di manax 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya juga ada tiga.

Untuk mencari nilai eigen seperti contoh 1, nilai eigen dapat diselesaikan dengan kaedah penghapusan Gauss atau Gauss-Jordan. Kaedah peraturan Crammer tidak dapat digunakan kerana matriks di atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakana,b, dancmisalkan dalamc.

Contoh pengiraan dengan matriks A (2x2):

A =

Persamaan dapat dituliskan:

(2.1)Persamaan (2.1) dikalikan dengan identiti maka menghasilkan:

=

=

= 0(2.2)Persamaan (2.2) dalam bentuk sistem persamaan linier ditulis:

(2.3)

Persamaan (2.3) adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rn yang tidak nol terhasil jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.

Contoh untuk mencari vektor eigen daripada nilai eigen:

Contoh 2(a):

Dapatkan vektor eigen dari A = Penyelesaiannya:Mencari nilai eigen matriks:

Nilai eigennya adalah:

Vektor eigen yang terhasil daripada persamaan di atas:

Untuk Sistem persamaan liniernya dapat ditulis seperti:

Tidak ada solusi non trivial dari sistem persamaan linier tersebut, maka vektor eigen tidak terdefinisikan.

Untuk Sitem persamaan liniernya adalah:

Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah:

Vektor eigen yang sesuai adalah:

Misalkan maka vektor eigennya menjadi:

dengan t bilangan sembarang yang tidak nol.

INTERPRETASI GEOMETRIK DARI VEKTOR EIGEN

DEFINISI: Jika adalah suatu operator linear T: Rn Rn, maka skalar disebut nilai eigen dari T jika terdapat taknol x di Rn sehingga .

Vektor taknol x yang memenuhi disebut vektor eigen dari T yang berkaitan dengan .

INTERPRETASI: perkalian A memetakan vektor eigen x pada suatu vektor yang terletak di garis yang sama dengan x.

DIAGONALISASIDefinisi:Sebuah matriks bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuahmatriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriksdiagonal, P dikatakan mendiagonalisasi A.

Diagonalisasi OrtogonalDefinisi:Jika A adalah sebuah matriks simetriks, maka:(a) Nilai eigen matriks A semuanya adalah bilangan real.(b) Vektor eigen yang berasal dari ruang eigen yang berbeza saling ortogonal.