-
Crescimento por Condensação 1
4 - Crescimento por Condensação
Anteriormente foi mostrado que uma pequena solução de gotículas
tem que
exceder o valor crítico R* e S*para crescer e se tornar uma gota
de nuvem. Sendo que
antes e depois da gotícula atingir o tamanho critico, ela
cresceria por difusão das
moléculas de vapor água para a superfície. Agora vamos estudar a
taxa de crescimento
por difusão de uma simples gota e depois para uma população onde
elas têm que
competir pela umidade disponível.
Assumindo uma gota estacionária de raio r e com taxa de
crescimento dr/dt.
O crescimento desta gotícula será a partir da difusão do vapor
d’água do
ambiente, onde a temperatura da gota é Tr, a densidade de vapor
d’água na superfície
da gota é ρvr, a temperatura do ambiente é T∞ e a densidade de
vapor d’água do
ambiente é ρv∞. Finalmente, assumimos que não existe interação
entre as gotículas, ou
seja, elas estão isoladas.
Aplicando a lei de difusão ou lei Fick, temos:
dr
dDF vw
ρ=
onde D é o coeficiente de difusão do vapor d’água no ar.
Analisando o fluxo de massa ou a taxa de transporte de massa
através da
superfície esférica, temos:
-
Crescimento por Condensação 2
dt
dmccteFrT
AreaxFluxoT
ww
w
====
=
*4 2π
sendo que a qualquer raio R distante da gota, o fluxo de massa
através das bordas é
constante e isotrópico. Porém a taxa de crescimento da gotícula,
dr/dt, não é constante.
*4 2 cdR
dDr
dt
dm v == ρπ
∫∫∞
=∞ r
r
v R
dRcdD
vr
2*4
ρ
ρ
ρπ
=>=−∞ rc
D vrv*
)(4 ρρπ
)(4* vrvrDc ρρπ −= ∞
)(4 vrvrDdtdm ρρπ −= ∞ (1)
esta é a equação de crescimento por difusão de vapor para uma
gota isolada embebida
em um ambiente com vapor d’água.
Ela expressão mostra que uma gota irá crescer se vrv ρρ >∞ e
irá evaporar se
vrv ρρ
-
Crescimento por Condensação 3
dt
dmLdq v= (2)
assumindo que o calor é dissipado através da condução, temos que
o calor é
dR
dTKRdq 24π−= (3)
onde K é a condutividade términca. Logo a partir das equações 2
e 3 podemos
encontrar a taxa de crescimento da massa baseado no gradiente de
temperatura entre a
gota e o ambiente.
*14 2 cdt
dmLdQ
dR
dTKR v ===− π
dR
dTKRc 24*1 π−=
∫∫∞∞
=−r
T
Tr R
dRcRKdT 2*14π
r
c
rcTTK r
*1)
11(*1)(4 =−∞
=− ∞π
v
r
L
rTTK
dt
dm )(4 ∞−= π (4) Eq. de Condução de Calor
Utilizando as equações de Clausius Clapeyron e Kohler e as
equações de Difusão e
Condução podemos resolver a equação de crescrimento (dr/dt):
−=
−==
∞∞
∞∞
rv
vs
rv
vssrrr TTR
Le
TTR
LTeeTe
11exp
11exp)()( (5)
(eq. CC)
e a equação do efeito de curvatura:
-
Crescimento por Condensação 4
31
r
b
r
a
e
e
s
r −+= (6) (eq. Kohler)
Iniciando com a eq. de difusão temos:
)(4 vrvrDdt
dm ρρπ −= ∞
dt
drr
dt
drrr
dt
d
dt
dm
rm
ll
l
223
3
433
4
3
43
4
πρπρρπ
ρπ
==
=
=
dt
drrrD lvrv
24)(4 πρρρπ =−∞
)( vrvl
D
dt
drr ρρ
ρ−= ∞
−=
=
∞
∞
r
r
vl T
e
T
e
R
D
dt
drr
RTe
ρ
ρ
)(
1~
1,min
rvl
r
eeTR
D
dt
drr
TTdoassu
−= ∞∞
∞
ρ
(7)
similarmente para a equação de condução temos:
)( ∞−= TTLK
dt
drr r
vlρ (8)
-
Crescimento por Condensação 5
Lembrando que a Saturação ambiente é: ∞
∞=se
eS
Utilizando a eq. De difusão (7), temos:
)(
)(
)(
rsvl
rs
s
vl
rvl
eSeTR
D
dt
drr
eee
e
TR
D
dt
drr
eeTR
D
dt
drr
−=
−=
−=
∞∞
∞∞
∞
∞
∞∞
ρ
ρ
ρ
Porém queremos expressar esta equação em termos de ∞s
sr
s
sr
e
eou
e
e
∞∞
∞∞ −=−= s
s
rrs
vl ee
eSeSe
D
TR
dt
drr )()(
ρ
Mas
−=
−=
∞
∞
∞
∞
∞
∞
dt
drr
De
TRSee
e
e
Xe
dt
drr
De
TRS
e
e
s
vlsrsr
s
r
sr
s
vl
s
r
ρ
ρ
−=∞
∞
∞ dt
drr
De
TRS
e
e
e
e
s
vl
r
sr
s
sr ρ (8)
Agora utilizando a eq. de CC temos
-
Crescimento por Condensação 6
( )
−≅
−=
−= ∞
∞∞
∞
∞∞
∞∞ TTTR
Le
TT
TT
R
Le
TTR
Lee r
v
vs
r
r
v
vs
rv
vssr 2expexp
11exp
Assumindo que ex =1+x, para x
-
Crescimento por Condensação 7
definindo Fk=c1 como o termo termodinâmico que está associado a
condução de calor
e
Fd=c2 com o termo de difusão do vapor.
sr
rkd
sr
r
e
eFF
e
eS
dt
drr
+
−= (10)
note que não existe crescimento da gota até que exista
saturação, sr
r
e
e, se a temperatura
do ambiente for fixa.
Se 1=sr
r
e
e, temos
dk FF
S
dt
drr
+−= 1
Integrando de um tempo inicial = 0 a um determinado tempo t,
temos que a gotícula
saira de um raio r0 até um raio r(t)
∫∫ +−=
t
dk
tr
r
dtFF
Srdr
0
)(
0
1
tFF
Srtr
dk
+−+= 12)( 20
2
tFF
Srtr
dk
+−+= 12)( 20 (12)
-
Crescimento por Condensação 8
A eq 12, descreve a curva parabólica de crescimento por
condensação. Para pequenos
intervalos de tempo, a taxa de crescimento é rápido (tabela
abaixo)
Tabela – Adaptação de Mason (1971). Tempo gasto em segundos para
uma gotícula
composta de NaCl crescer inicialmente de 0,75 microns. Cada
coluna representa CCN
com massas distintas.
Raio (µm) 10-14 g 10-13 g 10-12 g
1 2,4 0,15 0,013
2 130 7 0,61
4 1000 320 62
10 2700 1800 870
20 8500 7400 5900
30 17500 16000 14500
50 44500 43500 41500
Por outro lado, podemos também utilizar essa equação para
calcular a taxa de
evaporação (S < 1 e logo dr/dt < 0) de uma gotícula. Este
processo é rápido para gotas
que tem CCNs grandes inicialmente. Basicamente um CCN grande
necessita de uma
menor Supersaturação para crescer. Neste sentido podemos
modificar a eq (12) para
levar em conta o efeito de curvatura e da solução:
sr
skd e
eFF
r
b
r
aS
dt
drr
+
+−−=
3)1(
(13)
quando as gotas são pequenas (r < 10 microns) os efeitos de
3r
b
r
a + são importantes,
mas para gotas maiores (S-1) é dominante.
Nas 4 figuras abaixo é possivel observar o efeito das partículas
pequenas, ou seja,
dr/dt alto, o que implica em um crescimento rápido. Porém a
medida que elas ficam
-
Crescimento por Condensação 9
maiores, a mesma quantidade de vapor não é suficiente para
aumentar a gotícula na
mesma taxa. Por outro lado, é também importante mostrar que na
presença de Super-
saturações altas o crescimento é bem maior também (Figuras
b,d)
(a)
(b)
(c)
(d)
-
Crescimento por Condensação 10
Finalmente, podemos avaliar como a saturação varia a medida que
as gotículas
começam a crescer de tamanho. A saturação pode ser descrita por
um termo de
produção e outro de remoção. O termo de produção está associado
ao processo de
levantamento adiabático e consequentemente à velocidade
vertical. Já o termo de
remoção esta associado à remoção de vapor, ou seja, a
condensação das gotículas de
nuvens.
Dessa maneira, temos:
CPdt
dS −= , onde P é a produção por levantamento e C a redução por
condensação.
Ou
dt
dQ
dt
dzQ
dt
dS χ21 −=
-
Crescimento por Condensação 11
Sendo que o 1º termo é o aumento da saturação devido ao
esfriamento adiabático e o segundo termo é a diminuição da
saturação devido à condensação d’água. χ é o conteúdo de água
líquida total. Para calcular estes termos assumimos que:
• Existe uma velocidade vertical constante (u) • Não ocorre
mistura da parcela de ar com o ar ambiente, ou seja, existe uma
distribuição fixa de núcleos de condensação (NCN) e estes estão
associados com uma gotícula e um NCN.
1º Passo:
Não há condensação, logo , 0=dt
dχ
dt
dzQ
dt
dS1=⇒ (1)
, lembrando que se
eS =
−==⇒
dt
dee
dt
dee
edt
eed
dt
dS ss
s
s2
1)/((1)
Porém ε
ε wpep
ew s =⇒=
Portanto
(1a)
=ε
wp
dt
d
dt
de, como não há condensação w = constante
dt
dz
gRT
pw
dt
dz
g
w
dt
dz
dz
dpw
dz
dz
dt
dpw
dt
dpw
dt
de RTp
gdz
dp
dz
dzx
ερ
εεεερ
ρ
− →− →=→=⇒=−=
dt
dz
RT
ge
dt
de −=⇒
Assim 1a torna-se
dt
dz
RT
ege
dt
dee ss −=⇒
(1b)
dt
dz
dz
dT
dT
de
dz
dz
dt
dT
dT
de
dt
dT
dT
de
dT
dT
dt
de
dt
de ssdzdz
xssdT
dTx
s =→=→⇒
Sendo que
pd
v
svs
c
g
dz
dT
TR
eLClapeyronClausius
dT
de
−=Γ=
=→ 2.
-
Crescimento por Condensação 12
dt
dz
c
g
TR
eL
dt
de
pv
svs2−=
Portanto temos que 2a � dt
dz
c
g
TR
eLe
dt
dee
pv
svs2−=
Inserindo 1a e 1b temos:
dt
dz
c
g
TR
L
RT
g
e
ee
dt
dz
c
g
TR
eLe
dt
dz
RT
ege
edt
Sd
pv
v
s
s
pv
svs
s
+−=
+−= 22221
dt
dz
RcTR
L
T
Sg
dt
dz
RT
g
c
g
TR
LS
dt
dz
c
g
TR
L
RT
g
e
e
dt
Sd
pv
v
pv
ve
eS
pv
v
s
s
−=
− →
+−== 11
22
Mas ε=R/Rv
dt
dz
cT
L
RT
Sg
dt
dz
RcRT
L
T
Sg
dt
Sd
p
v
p
v
−=
−= 1111 εε
Sendo assim, temos que:
−= 11p
v
Tc
L
RT
SgQ
ε
2º Passo: Temos somente condensação,
dt
dwQ
dt
dQ
dt
Sd22 −=−=
χ (2)
ctePdt
dee
dt
dee
ee
e
dt
d ss
ss
=
−=
,
12
Sendo que
dt
dwpwp
dt
d
dt
de
εε=
=
e
dt
dw
dw
dT
dT
de
dw
dw
dT
dT
dt
de
dt
de sss ==
CCdT
des .= � (2a)
Lembrando que da 1º e da 2º lei da termodinâmica em um processo
isobárico temos:
p
vdppv c
L
dw
dTdpdTcdwLdQ −= →−=−= =0,α
Então temos que:
dt
dw
TRc
eL
dt
dw
c
L
TR
eL
dt
de
vp
sv
p
v
v
svs2
2
2 −=
−= � (2b)
Logo, inserindo 2a e 2b em 2
-
Crescimento por Condensação 13
dt
dwS
pTc
LS
e
RT
dt
dwS
pTc
L
e
e
e
RT
dt
dwS
pTc
L
e
e
e
RT
dt
dS
dt
dwS
pTc
L
e
RT
dt
dw
e
e
pTc
L
e
RT
dt
dw
P
e
Tc
LRT
edt
dS
dt
dw
PTc
eLRT
edt
dw
P
R
TcR
eLRT
edt
dS
dt
dw
cTR
eLRT
edt
dw
cTR
Le
p
edt
dS
dt
dw
cTR
eLe
dt
dwpe
edt
dee
dt
dee
ee
e
dt
d
dt
dS
p
v
p
v
sp
v
s
p
v
s
e
eS
sp
v
sp
v
s
p
v
s
R
R
pv
v
s
R
PT
pv
v
s
RTp
pv
v
s
pv
svs
s
ss
ss
s
v
+=
+=
+=
+ →
+=
+=
+ →
+ →
+ →
+=
+=
−=
=
=
==
=
222
222
22
2
2
2
2
2
2
22
11
11
11
εε
ρεε
ρεε
ρ
εε
ρεε
ρεε
ρ
ρεε
ρρε
ρ
ερ
ε
ε
ερ
ρ
dt
dw
pTc
L
e
RTS
dt
dS
p
v
+=→2ε
ερ
Portanto, temos que Q2
+=pTc
L
e
RTSQ
p
v2
2
εε
ρ
Sendo assim a taxa de variação da saturação pode ser expresso
como:
dt
d
pTc
L
e
RTS
dt
dz
Tc
L
RT
Sg
dt
dQ
dt
dzQ
dt
dS
p
v
p
v χεε
ρεχ
+−
−=−=2
21 1
Então, utilizando a equação de crescimento da gotícula com o
efeito da saturação, curvatura e soluto, ou seja,
dk FFr
b
r
aS
dt
drr
+
+−−=
3)1(
e a equação da variação da saturação, podemos avaliar a evolução
do espectro de gotículas, a partir da definição de uma distribuição
de NCN e uma velocidade vertical. Por exemplo, assumindo uma
velocidade vertical (dz/dt) de 15 cm/s e uma concentração de NCN
moderado na base da nuvem, Mordy (1959) apresentou os seguintes
resultados, Figura 1.
-
Crescimento por Condensação 14
Figura 1. Crescimento de gotículas de nuvens (curva contínua
preta) para diferentes massas e variação da super-saturação acima
da base da nuvem (Adaptado de Mordy, 1959) (linha tracejada em
vermelho) Destas simulações os seguintes resultados podem ser
concluidos:
• As gotículas pequenas se movem com o ar a uma velocidade de 15
cm/s, porém as maiores não;
• Todas as gotículas começam a crescer a medida que elas
ascendem na base da nuvem, umas com maior eficiência do que as
outras.
• A super-saturação (SS) aumenta e tem uma máximo de 0,5%
aproximadamente a 10 m acima da base da nuvem. Basicamente, o termo
de produção (Q1xdz/dt) proporciona um aumento da saturação,
entretanto várias gotículas começam a se formar (condensação) até
um ponto que o termo de produção não vence a quantidade de vapor
condensada. Adicionalmente, observa-se um segundo máximo da S entre
50 e 70 m acima da nuvem. Basicamente, as gotículas pequenas (
-
Crescimento por Condensação 15
Figura 2. Caracteristicas do crescimento de gotículas de nuvens
em uma nuvem com corrente ascendente de 0,5 m/s (azul) e 2 m/s
(vermelho) a partir da base da nuvem, ou seja, quando a saturação é
1,0.
• A saturação é maior para uma parcela de ar com velocidade
vertical maior. Basicamente com o aumento da velocidade vertical
maior é a produção de vapor. O nível de SS máxima também é mais
alto, uma vez que mais partículas pequenas serão ativadas, o que
irá proporcionar uma equiparação com o termo de remoção por
condensação.
• A concentração de gotículas ativas é proporcional à SS, ou
seja, quanto maior a
SS maior o número de particulas menores a ser ativadas. Sendo
que o máximo coincide com o máximo de super-saturação. Uma vez
ativadas, a concentração não varia.
• A parcela de ar com menor velocidade vertical apresenta
gotículas com maior
raio, uma vez que para SS baixas, somente os NCN grandes são
ativados, e o mesmo raciocínio vale para o conteúdo de água
liquida
