Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Siirtojohdot
Luku 2
Siirtojohdot• Siirtojohtoteoria kytkee toisiinsa kenttäteorian ja “tutun”
piiriteorian.• Siirtojohtoteoria tarkastelee vain kenttien etenemistä ja
niiden käyttäytymistä erilaisten “aineiden” rajapinnoilla.• Mutkikkaat kenttätehtävät voidaan korvata yksinkertaisella
“parijohtomallilla”.• Mallin “komponentit” sisältävät tiedon alkuperäisen
tehtävän geometriasta, materiaaleista ja niiden sähköisistä ominaisuuksista.
• Tällöin sähkö- ja magneettikentät voidaan kuvata ekvivalenttisilla jännite- ja virta-aalloilla.
2
Siirtojohdot
• Siirtojohtoteoriaa käytetään kun piirin koko alkaa olla λ:n luokkaa.
• Miksi siirtojohtoteoriaa käytetään?– Kenttien ratkaisut sisältävät paljon “turhaa” tietoa.– Usein riittää tieto, miten teho siirtyy rajapinnasta
toiseen.
Siirtojohtomalli• Siirtojohtoja mallinnetaan sarjainduktanssilla L,
shunttikondensaattorilla C, sarjaresistanssilla R, ja shunttikonduktanssilla G.
3
• Soveltamalla näihin Kirchhoffin jännite- ja virtalakia aikaharmoonisessa tapauksessa saadaan yhtälöt jännite- ja virta-aalloille.
• Sekä aaltoyhtälöt että niiden ratkaisut jännitteelle ja virralle muistuttavat läheisesti tasoaaltoratkaisua sähkömagneettiselle kentälle.
( )( )CjGLjRj
zIdz
zId
zVdz
zVd
ωωβαγ
γ
γ
++=+=
=−
=−
0)()(
0)()(
22
2
22
2
[ ]
CjGLjRLjRZ
zVzVLjR
zI
zIzIzIzVzVzV
ωω
γω
γγω
γγγ
γγ
++=+=
−−+
=
+−=
+−=
−+
−+
−+
0
00
00
00
)exp()exp()(
)exp()exp()(
)exp()exp()(
Häviötön siirtojohto• Edellä esitetyt tulokset yksinkertaistuvat häviöttömän
siirtojohdon tapauksessa.• Tällöin häviötermit R = G = 0, jolloin yhtälöt tulevat
muotoon
LCv
LC
zjZVzj
ZVzIzjVzjVzV
CLZ
LC
LCjj
p1,22
)exp()exp()(),exp()exp()(
0,
0
0
0
000
0
====
−−−=−+−=
=
==
=+=
−+−+
βω
ωπ
βπλ
ββββ
αωβ
ωβαγ
4
Kenttien ja siirtojohtoparametrien yhteys• Tarkastellaan 1m mittaista siirtojohdon pätkää. Jännite ja
virta voidaan ilmaista siirtojohdossa
• Tällöin sähkö- ja magneettikenttiin varastoitunut energia on
)exp(),exp( 00 zjIzjV ββ ±±
∫∫∗∗ ⋅=⋅=
Se
Sm dSWdSW EEHH
4,
4εµ
• Piiriteorian perusteella tiedetään, että magneetti- ja sähkökenttään varastoituneet energiat voidaan ilmaista induktanssin ja kapasitanssin avulla
• Näin saadaan siirtojohtoparametrien L ja C ratkaistua pituusyksikköä kohti
• Ääreellisen johtavuuden aiheuttama tehohäviö on
• Soveltamalla niin ikään piiriteoriaa
4,
4
20
20 VC
WIL
W em ==
∫∫∗∗ ⋅=⋅=
SS
dSV
CdSI
L EEHH 20
20
, εµ
2toisaalta,
2
20
21
IRPdlRP c
CC
sc =⋅= ∫
+
∗HH
∫+
∗ =⋅=21
1,20 CC s
ss Rdl
IRR
σδHH
5
• Vastaavasti eristehäviöt saadaan
• missä ε´´on imaginääriosa dielektrisyysvakiosta ε = ε´-jε´´ = ε´(1 - jtanδ).
• Piiriteorian mukaan eristehäviöt ovat
• jolloin shuntkonduktanssi pituusyksikköä kohti voidaan lausua
∫∗⋅
′′=
Sd dSP EE
2εω
2
20VG
Pd =
∫∗⋅
′′=
S
dSV
G EE20
εω
• Esimerkki: Koaksiaalikaapelin siirtojohtoparametrien laskeminen.
• Koaksiaalikaapelin sisällä kulkee TEM-aalto, jolloin kentät noudattavat yhtälöitä
)exp(2
)exp(ln
0
0
zI
z
ab
V
γπρ
γρ
−=
−=
φH
ρE
6
• Lasketaan nyt edellä todettuihin tuloksiin nojautuen siirtojohtoparametrit
( )
( )
( ) πη
πεµ
πεµ
εππµ
επωφρρρ
εω
πφφ
π
επφρρρ
ε
πµφρρ
ρπµ
π
φ ρ
π
φ
π
φ
π
φ ρ
π
φ ρ
2
ln
2
ln
2
ln
ln
2
ln2
ln
21
ln
112
112
ln
21
ln
ln2
12
2
2
0
2
022
2
02
2
022
2
022
2
022
ab
ab
ab
ab
ab
CLZ
abdd
ab
G
baRbd
bad
aRR
abdd
ab
C
abddL
b
a
ss
b
a
b
a
=′
=
′=′==
′′=
′′=
+=
+=
′=
′=
==
∫ ∫
∫∫
∫ ∫
∫ ∫
= =
==
= =
= =
Eräiden siirtojohtojen parametrit
7
Siirtojohdon päättäminen• Tarkastellaan tilannetta, jossa siirtojohto on päätetty
kuormaimpedanssilla ZL.• Oletetaan, että tuleva aalto on muotoa V0exp(-jβz) eli
etenee +z-suuntaan alueessa z < 0 ja saavuttaa kuorman kohdassa z = 0.
• Siirtojohdon karakteristinen impedanssi on Z0.
• Kuorman ja siirtojohdon impedanssin ollessa erisuuria tapahtuu heijastus. Näin ollen etenevä ja heijastunut aalto voidaan lausua
• Näin ollen kokonaisjännite ja -virta siirtojohdossa voidaan lausua heijastuskertoimen avulla.
0
0
0
00
0
000
00
00
0
0
0
0
00
,,)0()0(
)exp()exp()(
)exp()exp()(
ZZZZ
VVV
ZZZZVZ
VVVV
IVZ
zZVz
ZVzI
zVzVzV
L
L
L
LL +
−==Γ+−=
−+==
−−=
+−=
+
−+−
−+
−+
−+
−+
γγ
γγ
[ ]
[ ])exp()exp()(
)exp()exp()(
0
0
0
zzZVzI
zzVzV
γγ
γγ
Γ−−=
Γ+−=+
+
8
• Epäsovituksessa kaikkea tehoa ei saada kuormaan.• Tätä häviötä kutsutaan paluuvaimennukseksi (Return
Loss).
• Mitä suurempi luku saadaan sitä paremmin siirtojohto on sovitettu kuormaan.
• Toinen sovitusta mittaava suure on seisovan aallon suhde(SAS) (Standing Wave Ratio, SWR), ja se määritellään
• Mitä lähempänä 1 sen paremmin siirtojohto on sovitettu.
Γ−= log20RL
( ) ( )
Γ−Γ+
==
Γ−=Γ+= ++
11
1,1
min
max
0min0max
VVSWR
VVVV
• Edellä esitetyistä lausekkeista nähdään, että jännitteen ja virran arvot muuttuvat paikan suhteen siirtojohdossa.
• Tästä voidaan päätellä, että ilmeisesti kuorma, jolla siirtojohto on päätetty, näyttää eri impedanssilta eri kohdista siirtojohtoa.
• Tarkastellaan tilannetta kohdassa z = -l.
• Kun tähän lausekkeeseen sijoitetaan heijastuskertoimen lauseke saadaan
[ ][ ] 00
0
0
)2exp(1)2exp(1
)exp()exp()exp()exp(
)()( Z
ljljZ
ljljVljljV
lIlVZin β
βββββ
−Γ−−Γ+=
−Γ−−Γ+=
−−= +
+
ljZZljZZZ
L
Lin β
βtantan
0
0
++=
9
Erikoistapauksia• On olemassa kolme merkittävää erikoistapausta päätetyille
siirtojohdoille.• Tällaisia ovat mm. Oikosuljettu, avoin ja neljännesaallon
mittainen siirtojohto.• Oikosuljetun siitojohdon heijastuskerroin on -1, jolloin
jännite- ja virta-aallot ovat
• ja sisäänmenoimpedanssi kohdassa z = -l.
[ ]
[ ] zZVzjzj
ZVzI
zjVzjzjVzV
βββ
βββ
cos2)exp()exp()(
sin2)exp()exp()(
0
0
0
0
00
++
++
=+−=
−=−−=
ljZZin βtan0=
• Vastaavasti saadaan avoimelle siirtojohdolle, jonka heijastuskerroin on +1.
• Puolenaallon ja neljännesaallon mittaiselle siirtojohdolle saadaan lausekkeet
ljZZin βtan0=
LinLin Z
ZZZZ20, ==
10
Häviölliset siirtojohdot
• Siirtojohtojen häviöt johtuvat johteiden ääreellisestä johtavuudesta ja eristeen häviöistä.
• Yleensä nämä häviöt ovat hyvin pieniä, jolloin ne voidaan unohtaa.
• Toisinaan häviöden tietäminen voi olla tarpeellista, jos halutaan tutkia aaltojen vaimenemista.
• Käytännöllisissä siirtojohdoissa häviöt ovat pieniä, muuten niillä ei olisi mitään käyttöä.
• Tällöin kompleksista etenemiskerrointa voidaan mukavasti approksimoida.
• Pienihäviöiselle siirtojohdolle edellinen esitys saadaan
• jos tähän sovelletaan Taylorin sarjakehitelmää,etenemiskerroin yksinkertaistuu
( )( )
( )( )
γ ω ω
γ ω ωω ω
ωω ω ω
= + +
= +
+
= − +
−
R j L G j C
j L j CRL
GC
j LC jRL
GC
RGLC
1 1
1 2
γ ωω ω
ω ω= − +
<< <<j LC j
RL
GC
R L G C1 , kun ja
γ ωω ω
α
β ωωω
≅ − +
≈ +
= +
≈ ≈++
=
j LCj R
LGC
RCL
GLC
RZ
GZ
LC ZR j LG j C
LC
12
12
12 0
0
0,
11
• Esimerkki: Käytetään jälleen jo tutuksi tullutta koaksiaalikaapeliesimerkkiä. Lasketaan vaimennuskerroin laskettujen siirtojohtoparametrien avulla.
α
αη
ωε η
ηµε
β ω ω µε
ηπ
= +
= +
+ ′′
=′
= = ′
= =
12
12
1 1
20
RCL
GLC
Rba
a b
LC
ZLC
ba
s
ln
,
ln
ja näin ollen
Siirtojohdon vaimennuksen laskeminen
• Pienihäviöisen siirtojohdon vaimennuksen laskemiseen onkaksi standarditapaa:
• Perturbaatiomenetelmä ja Wheelerin induktanssisääntö• Perturbaatiomenetelmässä ei tarvita siirtojohtoparametrejä
R, L, C ja G, vaan käytetään häviöttömän siirtojohdon kenttäyhtälöitä.
• Oletuksena on, että kenttien yhtälöt ovat likimain samat sekä pienihäviöisessä että häviöttömässä siirtojohdossa,tästä nimitys perturbaatio.
12
• Tehon virtaus häviöllisessä siirtojohdossa on muotoa P(z) = P0exp(-2αz),
• missä P0 on teho tasossa z = 0. α on vaimennuskerroin,joka tulisi määrittää.
• Määritellään teho siirtojohdossa pituusyksikköä kohti
• missä negatiivinen merkki on valittu, jotta olisi Plpositiivinen. Näin ollen vaimennuskerroin on
• Tämä yhtälö tarkoittaa sitä, että vaimennus α voidaan määrittää siirtojohdossa etenevän ja siinä vaimenevan tehon avulla.
PPz
P z P zl = − = − =∂∂
α α α2 2 20 exp( ) ( )
α = ==P z
P zP z
Pl l( )
( )( )
20
2 0
• Esimerkki: Lasketaan pertubaatiomenetelmällä koaksiaalikaapelin vaimennus.
• Häviöttömän koaksiaalikaapelin kentät ovat
• missä Z0 on johdon karakteristinen impedanssi. V0johtimen jännite kohdassa z = 0. Lasketaan ensin teho P0
• Häviöt lasketaan erikseen johteelle ja eristeelle 1mmatkalla
abZzj
ZVzj
ab
V ln2
),exp(2
),exp(ln
00
00
πηβ
πρβ
ρ=−=−= φHρE
P dV
Zd d
ba
VZa
b
S0
0
2
0 20
20
2
0
12 2 2 2
= × ⋅ = =∗
==∫∫∫Re
lnE H S
ρ ρ φ
πρφ
π
ρ
PR
H dSR
H a ad H b bd dz
R VZ a b
lcs
tS
s
z
s
= = = + =
= +
∫ ∫∫∫===2 2
41 1
2 2 2
0
2
0
2
0
1
0
2
02
φ φφ
π
φ
π
ρ φ ρ φ
π
( ) ( )
13
• missä e´´ on imaginääriosa kompleksisesta dielektrisyysvakiosta.
• Yhdistämällä häviöiden ja P0 lausekkeet saadaan vaimennuskertoimeksi
20
2
0
1
0
22
ln
22
V
ab
dzddEdVPb
a zVld
επω
φρρεωεω
ρ
π
φρ
′′=
′′=
′′= ∫ ∫ ∫∫
= = =
E
απ
πωε
η
ωε η
ηµε
=+
= +
+
′′
= +
+
′′
=′
P PP
RZ a b
Zba
Rba
a b
lc ld s
s
2 41 1
2
1 12
0 0
0
ln
ln
missä
Wheelerin menetelmä
• Wheelerin menetelmä perustuu siirtojohdon induktanssin ja resistanssin yhtälöiden samankaltaisuuteen.
• Johdinhäviöt aiheutuvat johtimen sisäpinnoilla kulkevista virroista, jotka ovat yhteydessä magneettikentän tangentiaalikomponentteihin.
• Tehon vaimeneminen hyvässä johtessa voidaan laskea lausekkeesta
• jolloin induktanssi pituusyksikköä kohti on
∫∫ ==S
ts
Ss
sl dSRdSRP 22
22HJ
LI
dSS
= ∫µ
22H
14
• Kun johdin on vähähäviöinen, niin H ei ole enää nolla,vaan kenttä aiheuttaa lisä-induktanssin ∆L.
• Kuten on aiemmin todettu, kentät johteessa vaimenevat eksponentiaalisesti, jolloin ∆L voidaan laskea
• Nyt häviöteho voidaan lausua ∆L avulla
• Nyt vaimennuskertoimen määritelmän mukaan
• missä Z0 on siirtojohdon karakteristinen impedanssi.
∆LI
dls
c
= ∫µ δ0
22
2H
PR I L I L I L
Rls
s ss
s= = = = =
2
0
2
02
20
2 21∆ ∆ ∆
µ δ σµ δω ωµ
σ σδ,
αω
clPP
LZ
PI Z
= = =2 2 20 0
0
20∆
,
• Vaimennuskerroin voidaan myös lausua karakteristisen impedanssin muutoksena, jossa johtimen seinämät ovat ikään kuin vetäytyneet δs/2 verran.
• Vielä on yksi mahdollisuus lausua vaimennuskerroin.• Tässä käytetään hyväksi Taylorin sarjakehitelmän kahta
ensimmäistä termiä Z0:lle
• Tämä viimeisin esitys on ehkä kaikkein käyttökelpoisin esitys Wheelerin menetelmästä.
ZLC
LLC
LvZ
Zp c00
02= = = =, α
β∆
∆Z Z ZdZdl Z
dZdl
RZ
dZdl
s sc
s s0 0 0
0
0
0
0
0
2 2 4 2=
− = = =
δ δα
βδη
,
15
• Esimerkki. Käytetään jälleen samaa koaksiaalikaapeli-esimerkkiä.
• Koaksiaalikaapelin karakteristinen impedanssi on
• Sovelletaan tähän lausekkeeseen Wheelerin menetelmän viimeksi esitettyä muotoa vaimennuskertoimen määrittämiseksi.
• Tulos vastaa aiemman esimerkin kanssa johdin häviöiden osalta.
• Todellisuudessa huolimatta siitä kumpaa menetelmää onkäytetty, vaimennuskertoimet ovat yleensä suurempia.
Zba0 2
=ηπ
ln
αη π πc
s s sRZ
dZdl
RZ
dba
db
dba
daRZ b a
= = −
= +
2 4 41 1
0
0
0 0
ln ln