9.̊ ano#etapa2

Semana 11

Profa. Conceição Longo

2

9º.

ano

Semana 11 – #etapa2

Matemática

Semana 11 - 2º semestre - 9º EF2Neste Guia, você vai estudar sobre proporcionalidade direta e inversa

com duas ou mais grandezas.Pág. 03 a 13 do Volume 4

3Semana 11 – #etapa29º. ano –

Proporcionalidade direta e indireta

Percebemos a necessidade da proporcionalidade observando algumas situações, por exemplo:

• O preço de um sabonete duplica quando duplicamos a quantidade comprada. Triplicando a quantidade comprada, triplica-se o valor pago. E assim por diante.

• Quando viajamos, o tempo que gastamos varia de acordo com a velocidade média do veículo que usamos para a locomoção.

No caso do primeiro exemplo, dizemos que as grandezas número de sabonetes e valor pago são diretamente proporcionais. Isto é, quando aumenta o número de sabonetes, o valor pago aumenta na mesma proporção.

No segundo exemplo, dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Isto é, quando a velocidade aumenta, o tempo diminui na mesma proporção.

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O que é a regra de três?

É uma ferramenta matemática muito utilizada quando se tem quatro valores, sendo um deles desconhecido. Existem duas formas distintas de regra de três:

• a simples;

• a composta.

A regra de três simples envolve apenas duas grandezas; já a regra de três composta envolve três ou mais grandezas.

Além dessa classificação, as regras de três podem ser diretas ou inversas.

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Regra de três simples

Consideramos a regra de três simples quando temos apenas duas grandezas proporcionais envolvidas no problema. Ou seja, só ocorre quando se está trabalhando em um problema que apresenta duas informações distintas.

As regras de três simples podem ser direta ou inversamente proporcionais.

Se duas grandezas variam no mesmo sentido, ou seja, quando uma aumenta, a outra também aumenta, dizemos que é uma regra de três simples diretamente proporcional; quando ocorre o contrário, ou seja, quando o aumento de uma grandeza faz com que a outra diminua, dizemos que é uma regra de três simples inversamente proporcional.

Quando você for montar as regras de três, utilize setas para indicar o sentido de crescimento de cada grandeza; isto fará com que você observe com mais facilidade se a relação estabelecida entre elas é direta ou inversamente proporcional.

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Acompanhe os exemplos:

1. Para fazer 16 calças, gastamos 24 metros de tecido. Quanto gastaremos para fazer10 calças?

!"!#= %&

'16𝑥𝑥 = 10. 2416𝑥𝑥 = 240𝑥𝑥 = %&#

!"𝑥𝑥 = 15

Resposta: para fazermos 10 calças, iremos gastar 15 metros de tecido.

Temos que: quanto menor a quantidade de calças, menor aquantidade de tecido, portanto, as grandezas são diretamenteproporcionais. Basta, então, aplicarmos a propriedade dasproporções.

Calças Tecido (m)16 2410 x

Calças Tecido (m)

Resposta: para fazermos 10 calças, iremos gastar 15 metros de tecido.

7Semana 11 – #etapa29º. ano –

Outro exemplo:

2. Quatro operários executam uma certa obra em 15 dias. Em quantos dias 20operários com a mesma eficiência dos primeiros fariam a mesma obra?

!"#= %

&'20𝑥𝑥 = 4.1520𝑥𝑥 = 60𝑥𝑥 = /#

"#𝑥𝑥 = 3

Resposta: 20 operários farão a mesma obra em três dias.

Temos que: quanto maior a quantidade de operários, menor aquantidade de tempo, portanto, as grandezas são inversamenteproporcionais. Então, invertemos uma das frações e aplicamos apropriedade das proporções.

Operários Dias4 20

20 x

Dias

Resposta: 20 operários farão a mesma obra em três dias.

8Semana 11 – #etapa29º. ano –

Exemplo 3:

Resposta: a torneira levará seis horas.

Uma torneira despeja 20 litros de água em oito minutos. Quanto tempo essa mesmatorneira levará para encher um reservatório com 15 litros?

!"#$= &

'20𝑥𝑥 = 8.1520𝑥𝑥 = 120𝑥𝑥 = #!"

!"𝑥𝑥 = 6

Resposta: a torneira levará seis horas.

Temos que: quanto menor a quantidade de litros, menor aquantidade de tempo, portanto, as grandezas são diretamenteproporcionais. Basta aplicarmos a propriedade das proporções.

Litros Minutos20 815 x

MinutosLitros

9Semana 11 – #etapa29º. ano –

Exemplo 4:

4. Cinco funcionários de uma empreiteira executam uma certa obra em 15 dias.Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 funcionários para realizar omesmo trabalho?

!"#= %

&'30𝑥𝑥 = 5.1230𝑥𝑥 = 60𝑥𝑥 = /#

"#𝑥𝑥 =2

Resposta: cinco funcionários farão o mesmo trabalho em dois dias.

Temos que: quanto maior a quantidade de funcionários, menor aquantidade de tempo, portanto, as grandezas são inversamenteproporcionais. Então, invertemos uma das frações e aplicamos apropriedade das proporções.

Funcionários Dias5 1230 x

Funcionários Dias

Resposta: cinco funcionários farão o mesmo trabalho em dois dias.

10Semana 11 – #etapa29º. ano –

Sua vez de praticar!

1. Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Em 28 minutos, quantas voltas essa roda dá?

2. Oito eletricistas executam uma instalação de uma casa em três dias. Quantos dias levarão seis eletricistas para fazer o mesmo trabalho, com a mesma eficiência dos anteriores?

3. Com seis pedreiros, construímos uma parede em oito dias. Quantos dias gastarão três pedreiros, com a mesma eficiência, para fazer a mesma parede?

4. Em seis horas, uma máquina engarrafa 3.000 refrigerantes. Quantas horas levará essa mesma máquina para engarrafar 4.000 refrigerantes?

5. Quatro marceneiros levam 18 dias para construírem um armário. Em quantos dias nove marceneiros, com a mesma eficácia dos anteriores, fariam o mesmo armário?

6. 30 operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários, com a mesma eficácia, construiriam a mesma casa?

11Semana 11 – #etapa29º. ano –

Confira suas respostas

1) 112 voltas 2) 4 dias 3) 16 dias 4) 8 horas 5) 8 dias 6) 90 dias