Nested Set Model

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1. From Wikipedia, the free encyclopedia2. Lexicographical order

Text of Nested Set Model

Nested set modelFrom Wikipedia, the free encyclopediaContents1 Complex number 11.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 History in brief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Equality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Elementary operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Conjugation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Multiplication and division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Square root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Polar form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Absolute value and argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Multiplication and division in polar form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1 Eulers formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Natural logarithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.3 Integer and fractional exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.1 Field structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.2 Solutions of polynomial equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.3 Algebraic characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.4 Characterization as a topological eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Formal construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.1 Formal development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.2 Matrix representation of complex numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.1 Complex exponential and related functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8.2 Holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18iii CONTENTS1.9 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.1 Control theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.2 Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.3 Fluid dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.4 Dynamic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.5 Electromagnetism and electrical engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9.6 Signal analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9.7 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9.8 Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9.9 Geometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9.10 Algebraic number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9.11 Analytic number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11Generalizations and related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.13Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.14.1 Mathematical references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.14.2 Historical references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.15Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.16External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Complex plane 272.1 Notational conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Stereographic projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Cutting the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1 Multi-valued relationships and branch points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2 Restricting the domain of meromorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.3 Specifying convergence regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Gluing the cut plane back together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Use of the complex plane in control theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6 Other meanings of complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Complex-valued function 363.1 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38CONTENTS iii3.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Holomorphic function 394.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5 Several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6 Extension to functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 Imaginary number 465.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Geometric interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3 Multiplication of square roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.7 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 Imaginary unit 506.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 i and i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3 Proper use. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.4.1 Square roots . . . . . . . . . . . . . . . . .