Nemotidos S.a.C - Mecanica Para Ingenieria (Estatica) = Bedford - Fowler

28/O8/2O1O

Mecánica para ingenieríaESTÁTICA

NEMOTIDOS S.A.C

Hola amigos les presento estemaxifico libro que ya muchos loconocerán pero como no estaen ninguna parte de internet se

los facito pero por favor esperoque por favor no reeposteen estelibro como si fuera suyo ya queme costo mucho trabajoelaborarlo lo pueden compartirpero usando el link que que esta

que esta este post asi yo lesayudo con mas contribuciones yterminando el libro ya que falta yasi ustedes también me ayudan aseguir con el trabajo depende deque acojida tenga para que memotive a terminarlo muchas

gracias

NEMOTIDOS > TARINGA

LIMA - PERÚ

Mecánica para ingenieríaESTÁTICA

QUINTA EDICIÓN

Anthony Bedford • Wallace FowlerUniversity of Texas at Austtn

TRADUCCIÓN

Jesús Elmer Murrieta MurrietaMaestro en Investigación de OperacionesInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores

de Monterrey, Campus Morelos

REVISIÓN TÉCNICA

Miguel Ángel Ríos SánchezDepartamento de Ingeniería Mecánica y Mecatronica

Instituto Tecnológico y de Estudios Superioresde Monterrey, Campus Estado de México

Alex Elias ZúñigaDepartamento de Ingeniería Mecánica

Instituto Tecnológico y de Estudios Superioresde Monterrey, Campus Monterrey

México * Argentina • Brasil * Colombia * Cosen Rica * Chile * Ecuador£spaña * Guatemala • Panamá • Perú • Puerco Rico • Uruguay 'Venezuela

f Datos de catalogación bibliográfica

BEDFOKD, ANTHONY; FOWLER, WALLACE T.

Mecánica para ingeniería» EstáticaQuinta edición

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2Ü08

ISSN: 978-970-26-1215-5Área: Ingeniería

Formato: 20 X 25.5 cm Páginas: 656

Authorized translation from the English language editiun, entiiled Engineeríng mechantes: Starics 5th edition by Anthony M. Redford and Wallace T.Fowle¡\ published by Pearson Edueuüon, Inc., publishing as Prentiee Hall, Copyright © 2008, All rights reserved.ISBN 0136129153

Traducción autorizada de ia edición en idioma inglés titulada Engineering mechantes: Statics 5th edition por Anthony M. Bcdfortl y Wallace T. Fowter,pubücada por Pearson Edueation, Inc., publicada como Prentice Hull. Copyright © 2008. Todos los derechos reservados.

Esta edición en español es la única autorizada.

Edición en españolEditor: Luis Migue! Cruz Castillo

e-mail: iuis.cruz@pearsoned,CQmEditor de desarrollo: Bernardino Gutiérrez HernándezSupervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos

Creative Director: Juan LópezArt Director: Jonathan BoylanInterior Designen Kenny BeckCover Designen Jonathan BoylanArt Editor: Xiaohong ZhuManufacturing Manager: Alexis Heydt-LongManufacturing Buyer: Lisa McDowell

Edición en inglés

Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia J. HononAcquisitions Editor: Tucy QttinnAssociate Editor: Dee BernhardManaging Editor: Scon DisantioMedia Editor: David AlickMarketing Manager Tim GatliganProduction Editor: Craig LittleDirector of Creative Services: Paul Belfanti

QUINTA EDICIÓN, 2008

D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S A. de C-V.Atlaeomulco 500-5o. pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni !a totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperaciónde información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación ocualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

*

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN 10: 970*26-1215-2ISBN 13: 978-970-26-1215-5

Impreso en México. Printeci in México.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08

Contenido

Prefacio xiií

Acerca de los autores xix

1 Introducción 3

1.1 Ingeniería y mecánica 4Resolución de problemas 4Números 5Espacio y tiempo 5Leyes de Newton 6Sistema internacional de unidades 7Unidades de uso común en Estados UnidosUnidades angulares 8Conversión de unidades 8

1.2 Gravitación de Newton 15

8

v

vi Contenido

2 Vectores 21

222.1 Escalares y vectoresSuma vectorial 22Producto de un escalar y un vectorResta vectorial 24Vectores unitarios 24

24

2.2 Componentes en dos dimensiones 30Manipulación de vectores en términos de sus componentesVectores de posición en términos de sus componentes 3 1Manipulación de vectores en términos de sus componentesVectores de posición en términos de sus componentes 32

2.3 Componentes en tres dimensiones 43Magnitud de un vector en términos de sus componentes 44Cosenos directores 45Vectores de posición en términos de sus componentes 46Componentes de un vector paralelo a una línea dada 46Cosenos directores 47Vectores de posición en términos de sus componentes 48Componentes de un vector paralelo a una línea dada 48

2.4 Productos punto 60Definición 60Productos punto en términos de sus componentes 60Componentes vectoriales paralela y normal a una línea

2.5 Productos cruz 68Definición 68Productos cruz en términos

de sus componentes 69Evaluación de un determinante de 3 X 3 70Productos triples mixtos 70Problemas de repaso 77

30

32

61

3 Fuerzas 81

3.1 Fuerzas/ equilibrioy diagramas de cuerpo libre 82Terminología 82Fuerzas gravitatorias 82Fuerzas de contacto 83Equilibrio 86Diagramas de cuerpo libre 87

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas 91

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzasProblemas de repaso lió

108

Contenido vii

4 Sistemas de fuerzas y momentos 121

4.1 Descripción bidimensionaldel momento 122

4.2 Vector de momento 134Magnitud del momento 134Dirección deí momento 134Relación con la descripción bidimensionalTeorema de Varignon 137

136 , - . .

•

.." '- • • -

.. -.-. . — - L—-L-. '-*.- , y .

43 Momento de una fuerza respecto a una líneaDefinición 148Aplicaciones 148Determinación del momento de una fuerza F

respecto a una línea L 151Casos especiales 151•

4.4 Pares 162

4.5 Sistemas equivalentes 171Condiciones de equivalencia 171Representación de sistemas mediante sistemas equivalentesRepresentación de un sistema mediante una llave de torsiónSistemas equivalentes de fuerzas y momentos 175Representación de sistemas de fuerzas y momentos mediante

sistemas equivalentes 176Problemas de repaso 189

147

172173

5 Objetos en equilibrio 195

5.1

5.2

5.3

5.4

Aplicaciones tridimensionales 196Ecuaciones de equilibrio escalares 196Soportes 196Diagramas de cuerpo libre 200Ecuaciones de equilibrio 201Soportes 201

Cuerpos estáticamente indeterminadosSoportes redundantes 2 17Soportes impropios 219

Aplicaciones tridimensionales 223Ecuaciones de equilibrio escalares 223Soportes 223Ecuaciones de equilibrio 229Soportes 229

Elementos sometidos a dos y tres fuerzasElementos de dos fuerzas 242Elementos de tres fuerzas 244Problemas de repaso 249

217

242

viii Contenido

6 Estructuras en equilibrio 255

6.1 Armaduras 256

6.2 Método de las juntas 258Método de las juntas 261Juntas especiales 261

6.3 Método de secciones 268Método de secciones 269

6.4 Armaduras espacíales 275

6.5 Bastidores y máquinas 282Análisis de la estructura completa 283Análisis de los elementos 283Problemas de repaso 306

7 Centroides y centros de masa

7.1 Centroides de áreas 312

7.2 Áreas compuestas 320

7.3 Cargas distribuidas 327Descripción de una carga distribuida 328Determinación de la fuerza y el momento 328Analogía del área 329

7.4 Centroides de volúmenes y líneas 335

7.5 Volúmenes y líneas compuestos 343

7.6 Teoremas de Pappus-Guldinus 350Primer teorema 350Segundo teorema 35 1Primer teorema de Pappus-Guldinus 352Segundo teorema de Pappus-Guldinus 352

7.7 Centros de masa de objetos 355

7.8 Centros de masa de objetos compuestosProblemas de repaso 369

362

Contenido ix

8 Momentos de inercia 375

Áreas 376

8.1 Definiciones 376

8.2 Teorema de los ejes paralelos 383

8.3 Ejes girados y ejes principales 396Ejes girados 396Momento de inercia respecto al eje xf 397Momento de inercia respecto a! eje y' 397Ejes principales 397

8.4 Círculo de Mohr 405Sistema coordenado z y y sistema coordenado girado .x'y'. 405Determinación de ejes principales y de momentos

de inercia principales 406

S-Vtaj&f&.'ip .- .. , . „ -

Masas 409

8.5 Objetos simples 409Barras delgadas 409Placas delgadas 410

8.6 Teorema de los ejes paralelos 415Problemas de repaso 425

9 Fricción 429

9.1 Teoría de la fricción secaCoeficientes de fricción 432f

Ángulos de fricción 433

430

9.2 Cuñas 448

9.3 Roscas 452

9.4 Cojinetes 459-^

9.5 Cojinetes de empuje axial y embragues 464

í

9.6 Fricción en bandas 471Problemas de repaso 479

x Contenido

10 Fuerzas y momentos internos 485

Vigas 486

10.1 Fuerza axial, fuerza cortantey momento flector 486

10.2 Diagramas de fuerza cortantey de momento flector 493

10.3 Relaciones entre carga distribuida,fuerza cortantey momento flector 498

r

Construcción del diagrama de fuerza cortante 500Construcción del diagrama de momento flector 503

Cables 511

10.4 Cargas uniformemente distribuidasa lo largo de líneas rectas 512Forma del cable 512Tensión en el cable 513Longitud del cable 513u

10.5 Cargas distribuidas uniformementea lo largo de cables 518Forma del cable 519Tensión en el cable 520Longitud del cable 520

10.6 Cargas discretas en cables 523Determinación de la configuración y las tensionesComentarios sobre modelos continuos y discretos

523524

Líquidos y gases 529

10.7 Presión y centros de presiónCentro de presión 529Presión en un líquido en reposo 531Problemas de repaso 541

529

Contenido x¡

11 Trabajo virtual y energía potencial 545

11.1 Trabajo virtual 546Trabajo 546Principio del trabajo virtual 547Aplicación a estructuras 548Trabajo 549Principio del trabajo virtual 550

11.2 Energía potencial 558Ejemplos de fuerzas conservativas 558Principio del trabajo virtual para fuerzas conservativas 559Estabiiidad del equilibrio 560Energía potencial 561Problemas de repaso 569

APÉNDICES

A Repaso de matemáticas 573A.1 Álgebra 573

Ecuaciones cuadráticas 573Logaritmos naturales 573

A.2 Trigonometría 574

A.3 Derivadas 574

A.4 Integrales 575

A.5 Series de Taylor 576

B Propiedades de áreas y líneas 577B.1 Áreas 577

B.2 Líneas 579

C Propiedades de volúmenes y objetoshomogéneos 580

Soluciones a los problemas de práctica 583

Respuestas a los problemascon número par 613

f

índice 623

Prefacio

E! desarrolío de ía quinta edición de Mecánica para Ingenie-ría: Estática y Dinámica comenzó a! preguntarnos de qué ma-nera podrían reestructurarse nuestros libros de texto para ayudara los estudiantes a aprender mecánica de manera más eftca- yeficiente.

Desde las primeras ediciones, nuestro objetivo ha sidopresentar el material de una forma que emule el desarrollo de!os conceptos por parte del profesor en el salón de clases y en-fatice el análisis visual para mejorar la comprensión del estu-diante.

Ahora, con base en nuestras experiencias a través de mu-chos años en el salón de clases y ios comentarios de colegas yestudiantes, hemos diseñado la quinta edición para apegamos ala manera en que los estudiantes actualmente usan los libros detexto para aprender mecánica. Durante el desarrollo de los nue-vos elementos descritos anteriormente seguimos apegados anuestros objetivos originales de enseñar procedimientos efica-ces para la resolución de problemas y la importancia central delos diagramas de cuerpo libre.

Novedades en esta edición

Ejemplos activosUn nuevo formato de ejemplo diseñado para ayudar a los estu-diantes a aprender conceptos y métodos, y a probar la com-prensión de los mismos. Los análisis se relacionan de maneravisual con figuras y ecuaciones en un diseño con ilustracionesy texto integrados para una lectura eficiente. Al final del ejem-plo activo se proporciona un "problema de práctica'' de maneraque los estudiantes se vean motivados a verificar si compren-dieron el material; y pueden evaluar fácilmente sus conoci-mientos al consultar la respuesta, que se proporciona en lamisma página, o estudiando la solución completa que se pre-senta en el apéndice, con el mismo formato de ilustraciones ytexto integrados.

Problemas con enfoque en ejemplos

Se incluyen nuevos problemas de tarea diseñados para incenti-var a los alumnos a estudiar los ejemplos dados y expandir sucomprensión de los conceptos. Los números de estos proble-mas se mencionan al inicio de cada ejemplo, de manera que losprofesores puedan usarlos con facilidad para estimular el estu-dio de ciertos temas seleccionados,

ResultadosLa mayoría de las secciones del libro ahora concluye con unanueva subsección de resultados, una descripción completa y su-

ficiente de los resultados necesarios para entender los ejemplosy problemas siguientes. Para una comprensión más fácil, se pre-sentan en el mismo formato de ilustraciones y texto integradosque se usa en los ejemplos activos y se puede consultar de ma-nera eficiente estas subsecciones mientras se estudia el ejem-plo y trabaja con los problemas.

Conjunto de problemasEn este texto de estática, treinta por ciento de ios problemasson nuevos. Se han marcado con un asterisco los que son re-lativamente más largos o difíciles. También es posible gene-rar problemas adicionales usando el sistema de tareas en líneacon sus capacidades algorítmicas (vea el sitio Web de estelibro).

Elementos especíales de este texto

EjemplosAdemás de los nuevos ejemplos activos, mantenemos los que si-guen una estructura con tres partes —Estrategia/Solución/Ra-zonamiento crítico— diseñados para ayudar a los estudiantesa desarrollar sus habilidades en la resolución de problemas deingeniería. En las secciones de estrategia, demostramos cómoplanear la solución de un problema, la cual presenta los pasosdetallados necesarios para llegar a ios resultados requeridos.

Algunos de los ejemplos se concentran en el diseño y pro-porcionan análisis detallados de aplicaciones de la estática aldiseño de ingeniería,

Mecánica en computadorasAlgunos profesores prefieren enseñar estática sin dar énfasis a!uso de la computadora. Otros usan la estática como una opor-tunidad de introducir a los estudiantes al uso de las computado-ras en ingeniería, y piden a los alumnos que escriban sus propiosprogramas en un lenguaje de nivel básico o que utilicen softwa-re de nivel superior para la resolución de problemas. Nuestro libroes compatible con ambos enfoques. Existe material opcional demecánica en computadoras en el sitio Web Companion, donde seincluyen tu tonales en MathCad y MATLAB. Para mayor infor-mación, vea la sección de suplementos.

Programa de ilustracionesReconocemos la importancia de ayudar a los estudiantes a vi-sualizar los problemas de mecánica. Los alumnos prefieren yse sienten más motivados con situaciones reates. Nuestros tex-tos incluyen -muchas fotografías y figuras realistas que ayudan

s * *XIII

x¡v Prefacio

a visualizar las aplicaciones y proporcionar una conexión másfuerte con la práctica de la ingeniería.

Uso del segundo colorPara ayudar a reconocer c interpretar tos elementos de las figu-ras, hemos usado ciertos valores de identificación:

Vectores unitarios

Triple verificación de la exactitud:Compromiso con los estudiantesy profesoresNuestro compromiso con los estudiantes y profesores es tomarprecauciones para asegurar la exactitud del texto hasta dondenuestra capacidad lo permita. Usamos un sistema de tripleverificación de la exactitud en el cual tres participantes, ade-más de los autores, resuelven los problemas en un esfuerzo porasegurar que las respuestas son correctas y que tienen un nivelde dificultad apropiado. Nuestro equipo de exactitud se com-pone dei

• Scott Hendricks, de la Virginia Polythecnic University• Karim Nohra de la University of South Florida• Kurt Norlin del Laurel Technical Services

Estos participantes también revisaron el texto, los ejemplos yios problemas para asegurar su exactitud. Cualquier error siguesiendo responsabilidad de nosotros, los autores, y agradecere-mos la comunicación do estudiantes y profesores en relacióncon yerros o áreas de mejoramiento. Nuestra dirección de co-rreo es Department of Aerospace Engineering and Enginee-ring Mcchanics, University of Texas at Austin, Texas 787 i 2.Nuestra dirección de correo electrónico es:abedford@mail,utexas,edu.

Recursos adicionales

Recursos para el estudianteEl paquete de estudio Statics está diseñado para pro-porcionar a los estudiantes herramientas que mejoren sushabilidades al dibujar diagramas de cuerpo libre, y para re-pasar los temas antes de los exámenes. Contiene una ayudapara los diagramas de cuerpo libre con cincuenta problemasde práctica de dificultad ascendente, los cuales incluyen so-luciones completas. Las estrategias y recomendaciones adi-cionales ayudan a los estudiantes a comprender cómo utili/arlos diagramas en la resolución de problemas relacionados.Este suplemento y material de repaso adicional para cadacapítulo fue preparado por Peter Schiavone de la Universityof Alberta.

Evaluación en la red y tutoriales; Los estudiantes puedenacceder a los recursos de ayuda, como los problemas de prácti-ca complementarios, en el sitio Web de este libro.

www.pearsoneducacion.net/bedford

Adicionalmente, los profesores pueden asignar tareas en líneaa los estudiantes usando PH GradeAssisL Las respuestas y losresultados se califican y registran de manera electrónica.

En cada tutoría) se analiza un concepto básico de mecáni-ca, y después se muestra cómo resolver un problema relaciona-do con este concepto usando MATLAB y MathCad. Estosarchivos están disponibles en formato PDF para que los profe-sores las distribuyan entre los estudiantes. Las hojas de trabajofueron desarrolladas por Ronald Larsen y Stephen Hunt de laMontana State University-Bozeman.

Recursos para el profesor

Manual de soluciones para el profesor: Este suplemento,disponible para los profesores en la página Web, contiene solu-ciones completas. Cada solución viene con el enunciado delproblema e ilustraciones asociadas. Cabe aclarar que todos estoscomplementos están en idioma inglés.

Prefacio xv

Centro de recursos para el profesor: Contiene diaposi-tivas en PowerPoint y archivos JPEG de todas las ilustracionesdel texto- También contiene series de diapositivas en Power-Point que muestran cada ejemplo.

Evaluación en la red y recursos adicionales: A travésde PH GradeAssist, el profesor puede crear tareas en línea paralos estudiantes usando problemas del texto, los cuales están enun formato algorítmico, de manera que cada alumno trabaje conproblemas un poco diferentes. Las respuestas a los problemas seregistran en un libro de calificaciones en linea que puede ba-jarse en Excel. Para recursos adicionales, acceda al sitio Webdel libro, donde encontrará series de problemas complementa-rios y demás información. Para mayores detalles contacte a surepresentante de Pearson Educación.

ReconocimientosLos siguientes colegas realizaron revisiones con base en su co-nocimiento y experiencia en la enseñanza, las cuales fueron degran ayuda al preparar tanto esta edición como las anteriores.

Shaaban AbdallahUniversity ofCincinnati

Edward E. AdamsMichigan Technological University

George G. AdamsNoríi'ieastern University

Raid S. AÍ-AkkadUniversity ofDayton

Jerry L. AndersonMemphis State University

James G. AndrewsUniversity oflowa

Roben J, AsaroUniversity of California, San Diego

Leonard B. BalcíwinUniversity of Wyonüng

HaimBaruhRutgers University

Gautam BatraUniversity ofNebraska

David M- Bayer—University ofNorth Carolina

Glenn BeltzUniversity of California-Santa Barbara

Mary BergsMarqnette University

Don L, BoyerArizona Slate University

Spencer BrinkerhoffNorthern Arizona University

L. M, BrockUniversity ofKentucky

Wilüam (Randy) BurkettTexas Tech University

Donatd CarlsonUniversity of Illinois

Major Robert M. CarpenterU.S. Military Academy

Douglas CarrollUniversity of Missouri, Rolla

Paul C. ChanNew Jersey Institute of Technology

Ñamas ChandraFlorida State University

James CheneyUniversity of California, Davis

Ravinder ChonaTexas A & M University»

Daniel C. DecklerThe University ofAkron Wayne College

Anthony DeLuzioMerrimack College

Mitsunori DendaRutgers University

James F. DevineUniversity of South Florida

Craig DouglasUniversity of Massachitseits, Lowell

Marijan DruvinskiUniversity of Southern California

3. Olani DurrantBrigham Yottng University

Estelle EkeCalifornia State University, Sacramento

Bogdan 1. EpureanuUniversity of Michigan

William FerranteUniversity ofRhode hland

xvi Prefacio

Robert W. FitzgeraM

\Vorcester Polvteclmic Instinite•m

GeorgeT. FlowersAitbitrn Universitv*

M;irk Frisina\Vent\\-orth Iiixtitttte

Robert W. FuessleBradley University

Walter GerstleUniversitv México

Wiiliam GuricyUniversity ofTennessee, Chattanooga

John HansberryUniversity ofMassachusetts, Dartmouth

Mark L HarperUnited States Naval Academy

W. C. HauserCalifornia Polytechnic University, Pomona

Linda HayasUniversitv of Texas-Austint •>

R. Craig HendersonTennessee Technological University

Paul R. HeyligerColorado State University

James HillUniversity ofAlahama

Robert W. HinksArizona State University

Alien HoffmanWorcester Polytechnic ínstitute

Edward E. HornseyUniversity of Missouri, Rolla

Robert A. HowlandUniversity ofNotre Dame

Joe laneUiUniversity ofTennessee, Knoxville

Ali IranmaneshGadsden State Community College

David B. JohnsonSouthern Metfiodist University

E. O. Jones, Jr.Auburn Universitv.

Serope KaipakjianIllinois ínstitute of Technology

Kathleen A. KeitCalifornia Polytechnic University, San Luis Obispo

Yohannes ReteníaUniversity of Minnesota

Scyyed M, H. KhundaniDiablo Valley College

Charles M Krousürillb_Pttrdite Universitv

mf

B. Kent LallPortUmd State University

Chad M. LandisRice Unversity

Kenneth W. LauUniversity ofMassachttsetts, Lowell

Norman LawsUniversity ofPittshut-gh

Wiiliam M. LeeU.S. Naval Academy

DonaldG. LemkeUniversity of Illinois, Chicago

Richard J, LeubaNorth Carolina State University

Richard LewisLoitisiana Technological University

John B. LigónMichigan Tech University

Bertram LongNortlieasíeni University

V. i. LopardoU.S. Naval Academy

Frank K. LuUniversity of Texas, Arlington

MarkT. LuskColorado School of Mines

K. MadhavenChristian Brothers College

Ne!s MadsenAitbitrn University

James R. MatthewsUniversity ofNew México

Gary H. McDonaldUniversity ofTennessee

James McDonaldTexas Techmcal University

lh

Jim MeagherCalifornia Polytechnic State University, San Luis Obispo

Lee MinardiTitfts University

Prefacio xvü

Norman MunroeFlorida International University

Shanti NaírUniversüy of Massachiisetts, Amhersí

Saeed NikuCalifornia Polytechnic State University,San Luis Obispo

Mohammad NooriNorth Carolina State University

Harinder Singh OberoiWestern Washington University

James CTConnorUniversity of Texas, Austin

Samuel R Qwusu-QforiNorth Carolina A & T State University

Vcnkata PanchakarlaFlorida Smte University

Assimina A. PeiegriRutgers University

Noel C. PerkínsUniversity of Michigan

Coirado PulíUniversity ofMassachusetts-Amherst

David J. PurdyRose-Hulman ínsliíute of Technology

Yitshak RainLouisiana State University

ColinE.RatcliffeU.S. Naval Academy

Daniel RiahiUniversity of Illinois

Charles RitzCalifornia Polytechnic State University, Pomona

Georse Rosborough<* *-**University of Colorado, Boulder

Edwin C. RossowNorthwestern University

Kenneth SawyersLeliigh University

Robert SchmidtUniversity of Detroit

Robert J- SchultxQregon State University

Richard A- ScottUniversiív of Michigan

Brian Self¿7.5. Air Forcé Academy

William SemkeUniversiív of North Dakota

Patricia M. ShaniainyLawrcnce Tecluiological University

Sorin SieglerDrexel University

Pon? SoniíC? O

Rtttgers State University

Candace S. Sul/bachColorado School of Mines

L. N, TaoIllinois Instiiitte of Technology

Craig ThompsonWestern Wyoming Comrnitnity Coüege

John TomkoCleveland State University

Kevin Z. TrurnanWashington University

John ValasckTexas A & M University

Christine ValleGeorgia Institiite of Technology

Dennis VandenBrink\Vesteni Michigan University

Thomas J. VaskoUniversity of Hartford

Mark R, VirklerUniversity of Missouri, Colitmbia

William H.Walston,Jr.University ofMaryland

Andrew J. WahersMississippi University

Reynoids WatkinsUtah State University

Charles WhiteNortheastern University

Norman WittelsWorcesíer Pohtechnic fnstitute

nh

Julius P. \VongUniversity of Louisville

T. \V. WuUniversity ofKentucky

Constante ZiemianBückneii University

xviü Prefacio

Los elementos nuevos que diferencian esta edición de lasanteriores, particularmente la integración de lexlo e ilustra-ciones, fueron desarrollados con ayuda de estudiantes, colegasy editores. Los revisores de las primeras pruebas nos motivarony sugirieron refinamientos útiles. Después de haber establecidoel nuevo formato, el apoyo que recibimos de Prentice Hall en eldesarrollo de los libros fue estupendo. Nuestra editora TacyQuinn organizó el gran esfuerzo en equipo que requieren los li-bros de este tipo y nos ofreció una ayuda entusiasta y consejosvaliosos. Marcia Horton y Tim Galligan hicieron la revisiónmás importante desde las conversaciones iniciales acerca denuestras ¡deas hasta la publicación del libro. Craig Little con-tinuó enseñándonos los detalles de la producción del libro y fueel instrumento para mantener el proyecto dentro del calendarioestablecido. De nuevo, Xiaohong Zhu nos proporcionó un apoyoconsumado en los aspectos relativos a ilustraciones y fotografías.Dee Bernhard y Mack Patterson administraron nuestra comu-nicación con los revisores y usuarios de los libros. Jennifer Lons-

chein proporcionó apoyo editorial y de producción. David Alick,Ben Paris y Kristin Mayo coordinaron e! desarrollo de los re-cursos en línea que se han convertido en herramientas tan esen-ciales para los usuarios. Jonathan Boylan diseñó las portadas.Agradecemos a Peter Schiavone por desarrollar los paquetes deestudio que acompañan a los libros, y a Stephen Hunt y RonaldLarsen por escribir los apoyos en MATLAB y MathCad. ScoutHendricks, Karim Nohra y Kart Norlin, valiosos colegas denuestras campañas anteriores, nos dieron consejos con respec-to al estíio y la claridad, corrigieran muchos de nuestros erroresy revisaron los manuales de solución. Somos responsables porlos errores que aún quedan. Nancy Bedford nos ofreció conse-jo editorial y nos ayudó con la revisión. Muchas otras per-sonas talentosas y profesionales tanto de Prentice Hall como deotras partes también contribuyeron en la revisión de este texto, porlo que les estamos agradecidos. Y una vez más agradecemos anuestras familias, especialmente a Nancy y Marsha, por su pa-ciencia y comprensión en la realización de las nuevas ediciones.

Anthony Bedford and Wallace FowlerAiistin, Texas

Acerca de los autores

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Anthony Bedford (/) y Waílace T. Fowler

Anthony Bedford es profesor emérito de Ingeniería Aero-espacial e Ingeniería Mecánica en la University of Texas aiAustin, y ha ejercido la docencia desde 1968- Es miembro de laAcademia de Maestros Distinguidos de la Universitv of Texas.»-» ^Su actividad profesional principa! ha sido la educación y la in-vestigación en la mecánica para ingeniería. Ha escrito artículossobre teoría mixta, propagación de ondas y ía mecánica de im-pactos a alta velocidad, y es autor de los libros Principio deHamilton en Mecánica Continua, Introducción a la PropagaciónElástica de Ondas (con D. S. Drutnheller) y Mecánica de Ma-teriales (con K. M. Licchti). Tiene experiencia industrial enDouglas Aircraft Campan y, TRW, y Sandía National Laborato-ries.

Waílace T, Fowler es Profesor Centenario Paul D. & BettyRobertson de ingeniería en la University of Texas y es directordel Consorcio de Apoyo Espacial de Texas. Pertenece al Ame-rican ¡nstitute of Aeronaittics and Astronaittic (AI A Ai) y a laAmerican Society for Engineering Education (ASEE). ElDr. Fowler recibió el premio de excelencia en la enseñanza dedinámica general en 1976, e! premio John Leland Atwoodde AÍAAA y ASEE en 1985 (para el mejor profesor en inge-niería aeroespacial), el premio a la enseñanza del consejo demaestros de la University of Texas en 1990-1991, ademásdel premio a la enseñanza en diseño Fred Merryfield de ASEEen 1994. En 1997 fue seleccionado para pertenecer a la acade-mia de profesores distinguidos de la University of Texas. ElDr. Fowler también se desempeñó como presidente de la Ame-rican Society for Engineering Education (ASEE) de 2000 a2001. Los intereses del Dr. Fowler relativos a la investigacióny la enseñanza en la UT, en Austin, se enfocan en la ingenie-ría y el diseño de sistemas espaciales.

xix

CAPITULO

Introducción

¿Cómo diseñan y construyen los ingenieros los dispositivosque se usan en la vida diaria, desde objetos simples como sillasy sacapuntas hasta estructuras complicadas como presas»automóviles, aviones y naves espaciales? Ellos deben tener unconocimiento profundo de la física subyacente al diseño de talesdispositivos y ser capaces de usar modelos matemáticos parapredecir su comportamiento. Ai estudiar mecánica, losestudiantes de ingeniería comienzan a aprender cómo analizar ypredecir los comportamientos de los sistemas físicos.

Los ingenieros utilizan los principios de la estática en cada paso del diseño yensamble de una estructura. La estática es una de las ciencias sobre las que sebasa el arte del diseño estructura!.

4 Capítulo 1 Introducción

1.1 Ingeniería y mecánica

*S -£$J¿¿¿t¿- > kí¿k ifi¿¿^£ i¿ ÍS^ i ;Í -d¿\;3• ^ .. • - - • AHlÉÉCj BBlinVtiJ ü ib til ' ••ÉBI \'lláálKt*\*lt*9mlllta- nliar***™^"*"""HH'TffJ i»l i JTiiBI«^ »»ii í h ILiMJirMilhilia-rtrlii i im

¿Cómo pueden los ingenieros diseñar sistemas complejos y predecir sus caracte-rísticas antes de construirlos? Los ingenierox siempre han confiado en su cono-cimiento de diseños anteriores, en experimentos y en su ingenio y creatividad paraproducir nuevos diseños. Los ingenieros modernos tienen además una poderosa téc-nica: desarrollan ecuaciones matemáticas basadas en las características físicas de losobjetos que diseñan. Con estos modelos matemáticos predicen el comportamiento desus diseños, los modifican y los prueban antes de su construcción real: los ingenie-ros aeroespueiales usan modelos matemáticos para predecir las rutas que seguirá untrasbordador espacial durante su vuelo; los ingenieros civiles usan modelos mate-máticos para analizar los efectos de las cargas sobre edificios y sus cimientos.

En su nivel más básico, la mecánica es el estudio de las fuerzas y sus efectos.La mecánica elemental se divide en estática, que es e! estudio de los objetos enequilibrio, y dinámica, que es el estudio de los objetos en movimiento. Los resul-tados obtenidos en la mecánica elemental se aplican directamente a muchos cam-pos de la ingeniería. Los ingenieros civiles y mecánicos que diseñan estructurasusan ecuaciones de equilibrio obtenidas por medio de la estática. Tanto los inge-nieros civiles que analizan las respuestas de edificios frente a terremotos, como losingenieros aeroespaciales que determinan las trayectorias de satélites, usan lasecuaciones de movimiento obtenidas de la dinámica.

Lu mecánica fue la primera ciencia analítica, por eso los conceptos funda-mentales, los métodos analíticos y las analogías de la mecánica se encuentran casien todas las ramas de la ingeniería. Los estudiantes de ingeniería química y eléc-trica aprecian de una manera más profunda conceptos básicos de sus campos,como e! equilibrio, la energía y la estabilidad al aprenderlos en sus contextosmecánicos originales. Cuando estudian mecánica vuelven a trazar el desarrollohistórico de esas ideas.

La mecánica consiste en principios generales que rigen el comportamiento delos objetos. En este libro se describen esos principios y se proporcionan ejemplosque muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial que el estudianteresuelva problemas similares a esos ejemplos, y se incluyen muchos problemasde este tipo, el objetivo del texto es ayudar a entender ios principios suficiente-mente bien para aplicarlos a las nuevas situaciones que se presenten. Cada gene-ración de ingenieros se enfrenta a problemas nuevos.

Resolución de problemasEn el estudio de la mecánica usted aprenderá procedimientos para resolver pro-blemas que usará en cursos posteriores y a lo largo de su carrera. Aunque los dife-rentes tipos de problemas requieren distintos métodos, los siguientes pasos se apli-can a muchos de ellos:

• Identifique la información dada y la información, o respuesta, que debe deter-minarse. Con frecuencia resulta útil reformular el problema en sus propiaspalabras. Cuando sea apropiado, asegúrese de que entiende el sistema físico oel modelo involucrado.

* Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique los principiosy ecuaciones aplicables, y plantéese cómo !os usará. Cuando sea posible,dibuje diagramas para visualizar y resolver el problema.

* Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollará su intui-ción y lo ayudará a reconocer una respuesta incorrecta.

• PvCsuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resultados ycompárelos con su predicción, El último paso se llama verificación en la rea-lidad. ¿Es razonable su respuesta?

1.1 Ingeniería y mecánica 5

NúmerosLas mediciones, los cálculos y los resultados de ingeniería >e expresan en núme-ros. Usted necesita saber cómo se expresan los números en los ejemplos y proble-mas de este libro, y corno deberá expresar los resultados de sus propios cálculos.

Dígitos significativos Este termino se refiere al número Je dígitos significati-vos (o sea, exactos) en un número, contando hacia ia derecha a partir del primerdígito distinto de cero. Los números 7.630 y 0.007630 están expresados con cua-tro dígitos significativos. Si se sabe que sólo los primeros cuatro dígitos del núme-ro 7,630,000 son exactos, esto se puede indicar escribiendo el número en notacióncientífica como 7.630 X Iüf>,

Si un número es el resultado de una medición, los dígiios significativos quecontiene están limitados por la exactitud de la medición. Si el resultado de unamedición es 2.43, esto significa que el valor real estará má.s cercano a 2.43 que u2.42 o a 2,44

Los números pueden redondearse a cierta cantidad de dígitos significativos.Por ejemplo, el valor de TT puede expresarse con tres dígitos significativos, 3.14,o con seis dígitos significativos, 3.14159. Cuando se usa una calculadora o unacomputadora, el número de dígitos significativos está limitado por la cantidad decifras significativas que la máquina puede manejar según su diseño.

Uso de números en este libro Los números dados en los problemas debentratarse como valores exactos sin importar cuántos dígitos significativos contie-nen. Si un problema establece que una cantidad es igual a 32,2. se puede suponerque su valor es 32.200... Por lo general se utilizarán al menos tres dígitos signifi-cativos para expresar ios resultados intermedios y las respuestas en los ejemplos,así como las respuestas a los problemas. Si usa calculadora, sus resultados debentener esa exactitud. Asegúrese de evitar los errores que ocurren al redondearresultados intermedios cuando realice una sucesión de cálculos. En vez de esto,efectúe sus cálculos con la exactitud disponible a! retener los valores en sucalculadora.

Espacio y tiempoEl espacio se refiere simplemente al universo tridimensional en que vivimos. Lasexperiencias dianas proporcionan una noción intuit iva del espacio y de las ubica-ciones, o posiciones, de los puntos en éste. La distancia entre dos puntos en elespacio es la longitud de la línea recta que los une.

Para medir la distancia entre puntos en el espacio se requiere una unidad delongitud. Se usarán tanto las unidades del Sistema Internacional, o unidades SI,como las unidades de uso común en Estados Unidos. En unidades SI, la unidad delongitud es el metro (m). En unidades de uso común en Estados Unidos la unidadde longitud es el pie (ft).

Por supuesto, el tiempo resulta familiar; la vida se mide por medio de él. Losciclos diarios de luz y oscuridad y las horas, minutos y segundos medidos por unreloj proporcionan una noción intui t iva del tiempo. Éste se mide mediante los in-tervalos entre eventos repetidos, como las oscilaciones del péndulo de un reloj o lasvibraciones en un reloj de cristal de cuarzo. Tanto en las unidades SI como en las deuso común en Estados Unidos, !a unidad de tiempo es el segundo (s); también seutilizan los minutos (min), las horas (h) y los días.

Si la posición de un punto en el espacio en relación con algún punto de refe-rencia cambia con el tiempo, la razón del cambio de su posición se llama veloci-dad y la razón del cambio de su velocidad se denomina aceleración. En unidadesS!, la velocidad se expresa en metros por segundo (rn/s) y la aceleración en metrospor segundo cuadrado (m/s2). En las unidades de uso común en Estados Unidos, la


velocidad se expresa en pies por segundo (pie/s) y la aceleración en pies sobresegundo cuadrado (pie/s3),

Leyes de NewtonLa mecánica elemental se estableció sobre una base sólida con la publicación en1687 de Philosophiae Naturalis Principia Mtithematica de Isaac Newton. Aunquesumamente original, este trabajo se basó en conceptos fundamentales desarrolla-dos durante una lucha larga y difícü hacia el conocimiento (figura 1.1).

Guerra del Peloponeso

Invasión de Roma a Bretaña

Coronación de Carlomagno

Conquista normanda de Bretaña

Firma de !a Carta Magna

Peste bubónica en Europa

Impresión de la Biblia de Gutenberg

Viaje de Colón

Fundación de la colonia de Jamestown

Guerra de los treinta añosLlegada de los peregrinos a Massachussets

Fundación de la Universidad de Harvard

Establecimiento en Carolina

Cesión de Pennsylvania a Wiliiam Penn

Juicios por brujería en Salem

400 a. C —

— U —

d. C. 400

800 —

1200

1400 —

1600

— 1650

1700

Aristóteles: Estática de palancas, especulaciones sobre dinámicaArquímedes: Estanca de palancas, centros de masa, flotación

Hero de Alejandría: Estática de palancas y poleasPapo: Definición precisa del centro de masa

Juan Füopono: Concepto de inercia

Jordano de Nemora; Estabilidad del equilibrio

Alberto de Sajonia: Velocidad angularNicola d'Gresme: Cinemática gráfica, coordenadasWiliiam Heytesbury: Concepto de aceleración

Nicolás Copérnico: Concepto del sistema solarDominic de Soto: Cinemática de objetos que caen

Tycho Brahe: Observaciones de movimientos planetarios

Simón Stevin: Principio del trabajo virtualJohannes Kepler: Geometría y cinemática demovimientos planetarios

Galilea Galiíei: Experimentos y análisis en estáticay dinámica, movimiento de un proyectil

Rene Descartes: Coordenadas cartesianasEvangelistaTorricelü: Experimentos sobre hidrodinámica

BSaise Pascal: Análisis en hidrostática

John Wallis, Christopher Wren, Christian HuyghensImpactos entre objetos

Isaac Newton: Concepto de masa, leyes demovimiento, postulado de ¡a gravitaciónuniversa!, análisis de movimientos planetarios

Figura 1.1Cronología de sucesos fundamentales en e! desarrollo de la mecánica hasta la publicaciónde Principios de Newton, en relación con otros eventos en la historia.


Nevvton estableció tres "leyes'1 del movimiento que, expresadas en términosmodernos, son;

1. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero,su velocidad es constante. En particular, si iniciatniente la partícula se encuen-tra en reposo, permanecerá en reposo.

2. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una panícula no es igual acero, la suma de las fuerzas es igual a la razón de cambio de la cantidad demovimiento lineal de la partícula. Si la masa es constante, la suma de lasfuerzas es igual al producto de la masa de la partícula v su aceleración.

3. IMS fuerzas ejercidas por dos partículas entre si son iguales en magnitud yopuestas en dirección.

Observe que no se definió fuerza ni masa antes de enunciar las leyes de Newton.La visión moderna es que estos términos se definen mediante la segunda ley. Parademostrarlo, suponga que se elige un cuerpo arbitrario y se especifica que tienemasa unitaria. Luego se define una unidad de fuerza como la tuerza que imparte aesta masa unitaria una aceleración de magnitud unitaria. En principio, es posibledeterminar la masa de cualquier cuerpo: se !e aplica una fuerza unitaria, se midela aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la masa. Tambiénse puede determinar la magnitud de cualquier fuerza: se le aplica a la masa unita-ria, se mide la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar lafuerza.

De esta manera, la segunda ley de Newton proporciona significados precisosa los términos masa y fuerza. En unidades SI, la unidad de masa es el kilogramo(kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para impar-tir a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por segundo al cuadra-do (m/s2). En las unidades del uso común en Estados Unidos, la unidad de fuerzaes la libra (Ib). La unidad de masa es el slug, que es la cantidad de masa acelera-da a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra.

Aunque los resultados que se analizan en este libro son aplicables a muchos delos problemas que surgen en la práctica de la ingeniería, hay límites para la validezde las leyes de Newton. Por ejemplo, éstas no dan resultados precisos si un proble-ma implica velocidades que no son pequeñas comparadas con la velocidad de la lu?.(3 X 108 m/s). La teoría de la relatividad especial de Einstein se aplica a tales pro-blemas. La mecánica elemental también falla en problemas que implican dimensio-nes que no son grandes comparadas con las dimensiones atómicas. Para describirlos fenómenos en la escala atómica se debe usar la mecánica cuántica.

Sistema internacional de unidadesEn unidades SI, la longitud se mide en metros (m) y la masa en kilogramos (kg).El tiempo se mide en segundos (s)t aunque cuando es conveniente también se usanlos minutos (min), las horas (h) y los días. A los metros, kilogramos y segundos seles llama unidades básicas del SI. La fuerza se mide en newtons (N). Recuerde queesas unidades están relacionadas por la segunda ley de Newton: un newton es lafuerza requerida para imprimir a un objeto de un kilogramo de masa una acelera-ción de un metro por segundo cuadrado:

1N - (1 kg)(l m/s2) - lkg-m/s2.

Como el newton se puede expresar en función de las unidades básicas, se le llamaunidad derivada.

Para expresar cantidades por medio de números de tamaño conveniente, losmúltiplos de unidades se indican por medio de prefijos. En ía tabla Ll se mues-tran los prefijos más comunes, sus abreviaturas y los múltiplos que representan.Por ejemplo, I km es 1 kilómetro, o sea ÍOOO m, y 1 Mg es I megagramo, que son106 g o 1000 kg. Con frecuencia se usan los kÜonewtons (kN).

Tabla 1.1 Prefijos comunes usados enlas unidades 51 y los múltiplos querepresentan.

Prefijo

nano-micro-mil i-kilo-mega-giga-

Abreviatura

nVmkMG

Múltiplo

i O'9

10~6

¡O'3

JO3

106

109


Figura 1.2Definición de un ángulo en radianes.

Tabla 1-2 Conversión de unidades.

Tiempo 1 minuto1 horaI día

Long. 1 pie1 milla1 puig1 pie

60 segundos60 minutos24 horas

12 puig5280 pies25.4 milímetros0.3048 metros

Ángulo 2-rr radianes = 360 grados

Musa 1 slug

Fuerza 1 libra

— 14.59 kilogramos

= 4.44S newtons

Unidades de uso común en Estados UnidosEn las unidades de uso común en Estados Unidos, la longitud se mide en pies (pie)jy la fuerza se mide en libras (Ib). El tiempo se mide en segundos (s). Estas son lasunidades básicas de uso común en Estados Unidos. En este sistema de unidades lamasa es una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa de mate-ria! acelerado a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra. Lasegunda ley de Newton establece que

= (l slug)(l pie/s2).

A partir de esta expresión se obtieneF

1 slug = 1 Ib-s2/pie.

En este sistema se usan otras unidades como la milla (1 mi - 5280 pies) yla pulgada (1 pie = 12 puig). También se utiliza la kilolibra (kip), que es igual aIQOQlb.

Unidades angularesEn ambos sistemas de unidades los ángulos se expresan normalmente en radianes(rad). En la figura L2 se muestra el valor de un ángulo B en radianes. Se definecomo la razón de la parte de la circunferencia subtendida por 8 y el radio del círcu-lo. Los ángulos también se expresan en grados. Como hay 360 grados (360°) enun círculo completo y la totalidad de la circunferencia del círculo es 2TrR, 360° soniguales a 2-7T rad.

Las ecuaciones que contienen ángulos casi siempre se obtienen suponiendoque los ángulos se expresan en radianes. Por consiguiente, cuando en una ecuaciónse desee sustituir el valor de un ángulo expresado en grados, primero deberá con-vertirse a radianes. Una excepción notable a esta regla es que muchas calculado-ras están diseñadas para aceptar ángulos expresados ya sea en grados o en radia-nes cuando se utilizan para evaluar funciones como sen 8.

Conversión de unidadesEn la práctica de ingeniería surgen muchas situaciones que requieren convertirvalores expresados en unidades de una clase a valores en otras unidades. Porejemplo, si algunos de los datos que deben usarse en una ecuación están dadosen unidades SÍ y otros en unidades de uso común en Estados Unidos, todos sedeben expresar en términos de un solo sistema de unidades antes de ser sustitui-dos en la ecuación. La conversión de unidades es sencilla pero debe hacerse concuidado.

Suponga que se desea expresar 1 milla por hora (mi/h) en términos de pie porsegundo (pie/s). Corno 1 milla es igual a 5280 pies y 1 hora equivale a 3600 segun-dos, se pueden emplear las expresiones

5280 pies-——

1 mi Jy

I h

3600 s

como razones cuyos valores son iguales a L De esta forma se obtiene

rmi/h „

En la tabla 1.2 se proporcionan algunas conversiones útiles entre unidades


Identifique la información dada y la informaciónque debe determinarse.Desarrolle una estrategia; identifique los principiosy ecuaciones aplicables y plantéese cómo los usará.Siempre que sea posible, trate de predecir la respuesta.Obtenga la respuesta y, cuando sea posible,interprétela y compárela con su predicción.

Resolución de problemas:Estos pasos se aplicana muchos tipos de problemas.

Unidades SI: Las unidades bastáis son el tiempo ensegundos (s), la longitud en metros (m) y la masaen kilogramos (kg). La unidad de fuerza es el newton (N),que es la fuerza requerida para acelerar una masa de unkilogramo a un metro por segundo cuadrado.

Unidades de uso común en Estados Unidos: Las unidadesbásicas son el tiempo en segundos (s), la longitud en piesy la fuerza en libras (Ib). La unidad de masa el slug, quees la masa acelerada a un pie por segundo cuadradomediante una fuerza de una libra.

R

Sistemas de unidades.

Definición de unángulo en radianes.

Las cantidades equivalentes, como 1 hora = 60 minutos,pueden escribirse como razones cuyos valores son 1:

60 min) ls

y usarse para realizar la conversión de unidades. Por ejemplo,

15 min = 15 niin i h l60 min

Conversión de unidades.

Existe un documento muy completo sobre unidades recopilado por Russ Rowlettde la Uníversity of North Carolina en Chapel Hill, el cual está disponible en líneaen www.unc.edu/-rowlett/units.


Conversión de unidades (> Relacionado con el problema / . / / )

Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 6 metros por segundo (m/s).¿Qué ían rápido se desplaza en kilómetros por hora (km/h)?

EstrategiaUn kilómetro equivale a 10(K) metros y una hora a 60 minutos X 60 segundos = 3600segundos. Estas unidades de conversión pueden utilizarse para determinar su velo-cidad en km/h.

Solución

Convierta de metros a kilómetros.

Convierta de segundos a horas.

ó m/s — 6 m/sI k m / 3600 s

1000 m / \ I h

-21.6 km/h.

Problema de práctica Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 10 pies porsegundo (pie/s). ¿Qué tan rápido se desplaza en millas por hora (mi/h)?

Respuesta: 6.82 mi/h.

Conversión de Unidades de presión (> Relacionado con el problema Lió)

La presión ejercida en un punto del casco del vehículo de sumersión profunda es de3.00 X 106 Pa (paséales). Un pasca! es 1 newton por metro cuadrado. Determine lapresión en libras por pie cuadrado.

EstrategiaA partir de la tabla 1.2, 1 libra = 4.448 newtons y 1 pie = 0.3048 metros. Con estasconversiones de unidades es posible calcular la presión en libras por pie cuadrado.

SoluciónLa presión (con tres dígitos significativos) es

Vehículo de sumersión profunda

3.00 X 106N/m2 - (3.00 X 106N/m2)

^62,700 Ib/pie2

1 Ib4.448 N

03048 m Y

1 pie

Razonamiento crítico¿Cómo podría haberse obtenido este resultado de una manera más directa? Obser-ve en la tabla para conversión de unidades de la contraportada de este libro que1 Pa = 0.0209 Ib/pie2. Por lo tanto,

3.00 N/m2-(3.00xtO6 N/m2)0.0209 Ib/pie

1 N/m2

62,700 Ib/pie2,

.1 Ingeniería y mecánica 11

Determinación de unidades a partir de una ecuación ( Relacionado con el problema 120}

Suponga que en la ecuación de Einstein

r, ?E = me >

la masa m está en kilogramos y la velocidad de la luz c en metros por segundo.•

a) ¿Cuáles son las unidades SI de £?b) Si el valor de £ en unidades SJ es igual a 20, ¿cuál es su valor en las unidadesbásicas de uso común en Estados Unidos?

Estrategia

a) Como se conocen las unidades de los términos m y c, es posible deducir las uni-dades de £ a partir de la ecuación dada.b) Pueden usarse las conversiones de unidades para la masa y la longitud dadas enla tabla 1.2 para convertir E de unidades SI a unidades de uso común en EstadosUnidos.

Solución

a) De la ecuación para E,

£ = (mkg)(cm/s)2,

las unidades SI de E son kg-m2/s2.

b) De la tabla 1.2,1 slug = 14.59 kg y 1 pie ^ 0.3048 metros. Por lo tanto,

1 kg-m2/s2 ='(1 kg-1; 1 pie

14.59 ks K 0.3048 m2,2= 0.738 slug-pieVs¿.

El valor de E en unidades de uso común en Estados Unidos es

= (20X0.738) ~ 14.8 slug-pie2/s2.

-*- *Razonamiento críticoEn el inciso a), ¿corno se supo que era posible determinar las unidades de E aldeterminar las unidades de me2! Las dimensiones, o unidades, de cada término enuna ecuación deben ser las mismas. Por ejemplo, en la ecuación a + b — c, lasdimensiones de cada uno de los términos a, b y c deben ser las mismas. Se diceque la ecuación es dimensionalmente homogénea. Este requisito se expresamediante la frase coloquial "No se pueden comparar peras con manzanas".


Problemas

1.1 El valor TT es 3.14159265.., Ces la circunferencia de un círcu-lo y /• su radio. Determine el valor de rIC con cuaíro dígitos signi-ficnlivos.

Problema 1.1

1,2 La base de los logaritmos naturales es e - 2.718281828....

a) Exprese e con cinco dígitos significativos.

b) Determine el valor de e2 con cinco dígitos significativos.

c) Use el valor de e obtenido en el inciso a) para determinar e!valor de e2 con cinco dígitos significativos,[El inciso c) demuestra el peligro de usar valores redondeados du-rante los cálculos].

1.3 Un técnico perfora un agujero circular en un panel con unradio nominal r = 5 mm. El radio rea! del agujero está en el rangor = 5 ±0.01 mm.

*a) ¿Hasta cual número de dígitos significativos puede expresar elradio?

b) ¿Hasta cuál número de dígitos significativos puede expresar elárea de! agujero?

Problema 13

1.4 Una portería de fútbol tiene 24 pies de ancho y 8 de alto, porlo que el área es 24 X 8 pies — 192 pies2- ¿Cuál es e! área en m2

con Eres dígitos significativos?

Problema 1.4

1.5 El Burj Dubai, que debe estar terminado en 20Q8! será el edifi-cio más alto del mundo con una altura de 705 m. El área de su baseserá de 8000 m2. Convierta su altura y su área de base en unidadesde uso común en Estados Unidos con tres dígitos significativos.

Problema 1.5

Problemas 13

1.6 Suponga que acaba de comprar un Ferrari F355 Coupc y 1.10 El motor del Porsche ejerce un par de torsión de 229 pies-lbdesea saber si puede usar su juego de llaves SAE (unidades de u>o (pio,-libra) a 4600 rpm. Determine el valor del par de torsión encomún en Estados Unidos) para trabajar en él. Usted tiene ¡laves N-m (newton-metros).con anchos co - 1/4 pulg, 1/2 pulg, 3/4 pulg y 1 pulg y el amonio', illlene tuercas con dimensiones n = 5 mm, 10 mm, 15 mm. 20 mmy 25 mm. Si se establece que una llave ajusta si oj no es 2^ mu;, orque /i, ¿cuál de sus llaves puede usar?

Problema 1.6

1 J7 Suponga que se sabe que la altura del Monte Everest estáentre 29,032 pies y 29,034 pies. Con base en esta información, ¿acuántos dígitos significativos puede expresarse la altura a) en piesy b) en metros?

1.8 El tren maglev (levitación magnética) que viaja de Shungai alaeropuerto en Pundong alcanza una velocidad de 430 km/h. Deter-mine su velocidad a) en mi/h y b) en pie/s.

•V • ',?•'.*.'-' ••""' 'r< 3

•%.*-^í-. --'Vjíi'r ' „-_- ,^~ ]íh"" • -'_. — .- J

^ _ - i- --,-, ; -:••- '

Problema 1,10

^ 1.11 La energía cinética del hombre del ejemplo activo l . l sedefine mediante smtí2, donde m es su masa y v es su velocidad.

***

La masa del hombre es 68 kg y se mueve a 6 m/s, de forma que suI 1 T T

energía cinética es 5(68 kg)(6 ni/s)~ = 1224 kg-m% . ¿Cuál essu energía cinética en unidades de uso común en Estados Unidos?

1.12 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar en uni-dades SI es g = 9.81 m/s2. Mediante la conversión de unidades,use este valor para determinar la aceleración debida a la gravedadal nivel del mar en unidades de uso común en Estados Unidos.

1.13 Un estadio por quincena es una unidad de velocidad enbroma, inventada tal vez por un estudiante como comentario satí-rico sobre la gran variedad de unidades con la que deben tratar losingenieros. Un estadio equivale a 660 pies (1/8 milla). Una quin-cena consta de 2 semanas (14 noches). Si usted camina rumbo asu clase a 2 m/s, ¿cuál es su velocidad en estadios por quincenacon tres dígitos significativos?

1.14 Determine el área de la sección transversal de la viga a) enm2y b) en puig2.

Problema 1.8

1.9 En los Juegos Olímpicos de Invierno de 2006, la carrera deski a campo traviesa de 15 krn fue ganada por Andrus Veerpalu deEstonia en un tiempo de 38 minutos 1.3 segundos. Determine suvelocidad promedio (la distancia viajada entre el tiempo utilizado)con tres dígitos significativos a) en km/h y b) en mi/h.

40 mm

120 mm

40 mm

mm200mm

Problema 1.14


1.15 Ei área de la sección transversal de la viga de acero CanalEstándar Americano C12X30 es A - 8.81 pulg2. ¿Cuál es el áreade su sección transversal en mnr?

yA

Problema 1.15

> 1.1 ó Un transductor de presión mide un valor de 300 Ib/pulg2

Determine el valor de la presión en paséales. Un pascal (Pa) esigual a un newton por metro cuadrado.

1.17 Un caballo de fuerza equivale a 550 pies-lb/s. Un watt esigual a 1 N-m/s. Determine cuántos watts son generados por losmotores de un jet comercial, si éstos producen 7000 caballos defuerza.

^Í.V'j'yJ.^Ví'T"- Í%v' :->: '••'•'"" ¿ ^¿y í í;;- ^^^

i

Problema 1.17

1.18 En el capítulo 7 se analizan las cargas distribuidas, que seexpresan en unidades de fuerza por unidad de longitud. Si el valorde una carga distribuida es de 400 N/m, ¿cuál es su valor enIb/pie?

1.19 El momento de inercia del área rectangular con respecto aleje x está dado por la ecuación

Las dimensiones del área son b = 200 mm y h= 100 mm. Deter-mine el valor de 7 con cuatro dígitos significativos en términos dea) mm4, b) m4 y c) pulg4.

h

Problema 1.19

^ 1,20 En el ejemplo 1.3, en vez de la ecuación de Einsten con-sidere la ecuación L — me, donde la masa m está en kilogramos yla velocidad de la luz c está en metros por segundo, a) ¿Cuálesson las unidades SI de 1? b) Si el valor de L en unidades Sí es 12,¿cuál es el valor en unidades básicas de uso común en EstadosUnidos?

1.21 La ecuación

O" =

se usa en la mecánica de materiales para determinar esfuerzos nor-males en vigas,

a) Cuando esta ecuación se expresa en términos de unidades bási-cas SI, M está en newton-metros (N-m), y está en metros (rn) e /está en metros a la cuarta potencia (m4). ¿Cuáles son las unidadesSí de (r?b)SiAf = 2000 N-m, y = 0.1 m e / = 7 X 10"5rn4, ¿cuál eselvalor de cr en unidades básicas de uso común en Estados Unidos?


1,2 Gravitación de Newtona 3""flE- ií r . -w^^srEftr 5^^

— t i S & 3 £ * £ , & - ¿ - ' ' . . ^ x . / . ^ ¿ a a S a E a á ¿ í . - ' '

Newton postuló que la fuerza gravitatoria entre dos de masas m, y m2 que estánseparadas por la distancia r (figura 1.3) es

GmF — -

donde G se denomina constante de gravitación universal. El valor de G en unida-des SI es 6.67 X 10"" N-rrr/kg-. Con base en su postulado, Newton calculó lafuerza gravitatoria entre una partícula de masam, y una esfera homogénea de masamr y encontró que también está dada por la ecuación (1,1), donde r expresa la dis-tancia de la partícula al centro de la esfera. Aunque la Tierra no es una esferahomogénea, es posible usar este resultado para obtener el peso aproximado de uncuerpo de masa m debido a la atracción gravitatoria de la Tierra. Se tiene

W = (1-2)

donde mE es la masa de la Tierra y r es la distancia del centro de la Tierra al obje-to. Observe que el peso de un cuerpo depende de su posición con respecto al cen-tro de la Tierra, mientras que la masa del cuerpo es una medida de la cantidad demateria que contiene y que no depende de su posición.

Cuando el peso de un objeto es la única fuerza que actúa sobre él, la acelera-ción resultante se denomina aceleración debida a la gravedad. En este caso lasegunda ley de Newton establece que W = ma, y de la ecuación (1.2) se observaque la aceleración debida a la gravedad es

Gma = (13)

Figura 1.3

Las fuerzas gravitatorias entre dos partículasson iguales en magnitud y están dirigidas a lolargo de la línea que las une.

La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar se expresa con g. Si elradio de la Tierra se representa medíante Í?E, se observa a partir de la ecuación (1>3)que Gmg = gR^ Sustituyendo este resultado en la ecuación (1.3), se obtiene unaexpresión para la aceleración debida a la gravedad a una distancia r del centro dela Tierra en función de la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar:

a 8 7 *r

(1.4)

Como el peso del cuerpo es W = rna, el peso de un cuerpo a una distancia rdel centro de la Tierra es

W = mg 2- (1.5)

Al nivel del mar (r = R^)t el peso de un cuerpo está dado en función de sumasa mediante la simple relación

W = rng. (1-6)

El valor de g varía de lugar a lugar sobre la superficie de la Tierra. Los valo-res que se usarán en los ejemplos y problemas son g = 9.81 m/s2 en unidades SIy g = 32.2 pies/s2 en unidades de uso común en Estados Unidos.


La fuerza gravitatoria entre dos partículas de masasmi Y n*2 cllie están separadas por la distancia r es

( 1 . 1 )

donde G es la constante de gravitación universal.El valor de G en unidades SI es

6.67 X 10 "n N^m2/kg2.

áj ¿fl &¿ -V-J * .¿^^>-y ,¿^

Gravitación de Newton.

Cuando la Tierra se modela como una esferahomogénea de radio REj ía aceleración debida a lagravedad a una distancia r desde el centro es

a (1.4)

donde g es la aceleración debida a la gravedadal nivel del mar.

Aceleración debida a lagravedad de la tierra.

(1-6)donde m es la masa del objeto y g es la aceleracióndebida a la gravedad al nivel del mar.

Peso de un objetoal nivel del mar.

Peso y masa (> Relacionado con el problema ! .22)

La prensa C que se muestra en la figura pesa 14oz al nivel del mar f 16 oz (onzas) =1 Ib]. La aceleración debida a hi gravedad al nivel del mar es g = 32.2 pies/s2. ¿Cuáles la masa de la prensa C en slugs?

EstrategiaPrimero debe determinarse el peso de la prensa C en libras. Después puede usarsela ecuación (1.6) para determinar la masa en slugs.

Solución

14 oz — 14 oz_Mb_

16oz- 0.875 ib.

Convierta el peso deonzas a libras.

W 0.875 Ib n m __ .tn - — = - 0.0272 shíg. -*8 32.2 pies/s2

Use la ecuación (1.6) paracalcular la masa en slugs.

Problema de práctica La masa de la prensa C es 0.397 kg. La aceleración debi-da a la gravedad al nivel del mar es g = 9.81 m/s2. ¿Cuál es el peso de la prensa Cal "nivel del mar en newtons?

Respuesta: 3.89 N,


'' "'Í| WT1F/Í Determinación del peso de un objeto (> Relacionado con el problema 127). . -^..^L-J-*V. .j¿3t^ Jí^jl^^-:.....^..Í..'^.t -.J

Cuando el vehículo exploratorio de Marte (Rover) se ensambló por completo, sumasa fue de 180 kg. La aceleración debida a la gravedad en la superficie de Martees 3.68 m/s2 y el radio de Marte es 3390 km.

a) ¿Cuál era el peso de! Rover cuando estaba al nivel del mar en la Tierra?

b) ¿Cuál es eí peso del Rover sobre ia superficie de Marte?

c) La fase de ingreso comen/ó cuando la nave espacial alcanzó el punto de inter-faz con la atmósfera de Marte a 3522 km desde el centro de Marte. ¿Cuál era elpeso del Rover en ese punto?

Operación de ensamble del vehículo exploratorio de Mane (Rover)

18 Capítulo 1 introducción

Estrategia

El peso del Rover al nivel del mar en la Tierra está dado por la ecuación (1,6) cong = 9.81 m/s2.

El peso sobre la superficie de Marte puede determinarse mediante el uso de ta ecua-ción (1.6), con la aceleración debida a la gravedad igual a 3.68 m/s2.

Para determinar el peso del Rover al inicio de la fase de introducción, se puede es-cribir una ecuación para Marte equivalente a la ecuación (1.5).

Solución

a) El peso al nivel del mar en la Tierra es

•W = mg

= (180kg)(9.81m/s2)

= 1770 N (397 Ib).

b) Sea gM — 3.68 m/s2 la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte.Entonces el peso del Rover sobre la superficie de Marte es

W = mgM

= (180kg)(3.68m/s2)

- 662 N ( 149 Ib).

c) Sea R j , = 3390 km el radio de Marte. A partir de la ecuación (1.5), el peso delRover cuando éste se encuentra a 3522 km por encima del centro de Mane es

W =

0 (3,390,000 m)2

= (180kg)(3.68m/s2)- ~V N SA ' (3,522,000 m)2

= 614 N (138 Ib).

Razonamiento criticoEn el inciso c), ¿cómo supo que la ecuación 1.5 podía aplicarse a Marte? La ecua-ción 1.5 sé aplica a la Tierra con base en su modelación como una esfera homo-génea. La ecuación puede ser aplicada a otros cuerpos celestes bajo el mismosupuesto. La exactitud de los resultados depende de qué tan poco esférico y nohomogéneo sea el objeto.

Problemas 19

Problemas

>• 1.22 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de laLuna es L62 m/s2. a) ¿Cuál sería la masa de la prensa C del ejem-plo activo 1.4 sobre la superficie de la Luna? b) ¿Cuál sería e!peso de la prensa C en newtons sobre la superficie de la Luna?

1.23 El cubo de hierro de S pie X 1 pie X I pie pesa 490 Ib a!nivel del mar Determine el peso en newtons de un cubo de1 m X 1 m X 1 m de! mismo material al nivel del mar.

1 pie

Problema 1.23

1.24 El área del Océano Pacífico es 64,186,000 millas cuadradasy tiene una profundidad promedio de 12,925 pies. Suponga que elpeso por unidad de volumen del agua del océano es 64 Ib/pie3.Determine la masa del Océano Pacífico a) en slugs y b) en kilo-gramos.

1.25 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar esg = 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. La constantegravitatoria universal es G = 6.67 X 1Q~U N-m2/kg2. Use esta in-formación para determinar la masa de la Tierra.

1.26 Una persona pesa 180 Ib al nivel del mar. El radio de la Tie-rra es de 3960 millas. ¿Qué fuerza ejerce la atracción gravitatoriade la Tierra sobre la persona si ésta se encuentra en una estaciónespacial en órbita a 200 millas sobre la superficie de la Tierra?

1.27 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de laLuna es 1,62 m/s2. El radio de la Luna es RM - 1738 km (consul-te el ejemplo 1.5).

a) ¿Cuál es el peso en Newtons en la superficie de la Luna de unobjeto que tiene una masa de 10 kg?

b) Usando el método descrito en el ejemplo L5, determine la fuer-za ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna si éste seencuentra a 1738 km por encima de la superficie lunar.

1.28 Si un objeto está cerca de la superficie de la Tierra, la varia-ción de su peso debida a su distancia desde el centro de la Tierrafrecuentemente se omite. La aceleración debida a la gravedad alnivel del mar es g = 9,81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370km. El peso de un objeto al nivel de! rrmr es mg, donde m es su

j masa. ¿A que altura sobre la superficie terrestre el peso del objetose reduce a Q.99mg?

1.29 El planeta Neptuno tiene un diámetro ecuatorial de 49,532 kmy su masa es 1.0247 X 1026 kg. Si el planeta se modela como una es-fera homogénea, ¿cuál es la aceleración debida a !a gravedad en susuperficie? (La constante gravitatoria universal es G = 6.67 X 10~L

N-m2/kg2).

Problema 1.29

1.30 En un punto entre la Tierra y la Luna, la magnitud de lafuerza ejercida sobre un objeto por la gravedad de la Tierra esigual a la magnitud de la fuerza ejercida sobre el objeto por lagravedad de la Luna. ¿Cuál es la distancia desde el centro dela Tierra hasta ese punto» con tres dígitos significativos? La dis-tancia desde el centro de la Tierra hasta el centro de la Luna es383,000 km, y el radio de la Tierra es 6370 km. El radio de laLuna es 1738 km, y la aceleración debida a la gravedad en susuperficie es 1.62 m/s2.

C A P I T U L O

Vectores

Si un objeto está sometido a varias fuerzas que tienen diferentesmagnitudes y actúan en distintas direcciones, ¿cómo pueden de-terminarse la magnitud y la dirección de la fuerza totai resultantesobre el objeto? Las fuerzas son vectores y deben sumarse deacuerdo con la definición de la suma de vectores. En ingenieríase trata con muchas cantidades que tienen tanto magnitud comodirección y que pueden expresarse y analizarse como vectores.En este capítulo se revisan las operaciones con vectores, se ex-presan los vectores en términos de sus componentes y se presen-tan ejemplos de aplicaciones de los vectores a la ingeniería.

•^ Los campos de vectores muestran las velocidades y direcciones de un flujode gas en tres posiciones verticales. Los vectores se utilizan para describir yanalizar cantidades que tienen magnitud y dirección, incluyendo posiciones,fuerzas, momentos, velocidades y aceleraciones.

22 Capítulo 2 Vectores

2.1 Escalares y vectores

(a)

A

Figura 2.1

(a) Dos punios, A y B, de un mecanismo.(b) Vector rAB de A hacía 6.

Figura 2.2

Representación de la fuerza que ejerce el cableAB sobre la torre, por medio de un vector F.

Una cantidad física que puede describirse mediante un número real se denominaescalar. El tiempo es una cantidad escalar; la masa también lo es. Por ejemplo, sepuede describir la masa de un automóvil al decir que su valor es 1200 kg.

Por otro lado, para describir una cantidad vectorial se debe especificar tantoun número real no negativo, o magnitud, como una dirección. Dos cantidades vec-toriales son iguales sólo si sus magnitudes y direcciones son iguales.

La posición de un punto en el espacio en relación con otro es una cantidadvectorial. Para describir la localización de una ciudad con respecto a su casa, no essuficiente decir que está a 100 millas; debe decir que está 100 millas al oeste de sucasa. La fuerza también es una cantidad vectorial: cuando usted empuja un mue-ble sobre el piso, aplica una fuerza de magnitud suficiente para moverlo en ladirección deseada.

Los vectores se representarán mediante letras en negritas, tí, V, W, „., y lamagnitud de un vector U se denotará por medio de |U¡. Un vector se representagráficamente por medio de una flecha: su dirección indica el sentido del vector ysu longitud se define como proporcional a la magnitud. Por ejemplo, considere lospuntos A y B del mecanismo de la figura 2,1a. La posición del punto B respectoal punto A puede especificarse mediante el vector rAB de la figura 2. Ib. La direc-ción de rAB indica la dirección del punto A hacia el punto B. Si la distancia entrelos dos puntos es 200 mm, la magnitud \TAB = 200 mm.

En la figura 2.2, el cable AB ayuda a soportar la torre de transmisión de tele-visión. La fuerza que ejerce el cable sobre la torre se puede representar por mediode un vector F, como se muestra en la figura. Si el cable ejerce una fuerza de800 N sobre la torre, F = 800 N (un cable tal mostraría algún pandeo, o curva-tura, y la tensión variaría junto con su longitud; por ahora, supondremos que lacurvatura en los cables y cuerdas suspendidas y las variaciones en sus tensionespueden ignorarse, supuesto más o menos válido si el peso de la cuerda o el cablees pequeño en comparación con la tensión. En el capítulo 10 se estudiarán y ana-lizarán los cables y las cuerdas suspendidas con mayor detalle).

Los vectores son un medio conveniente para representar cantidades físicasque tienen magnitud y dirección, aunque eso es sólo el principio de su utilidad. Asícomo los números reules se manipulan con las reglas conocidas para la suma, laresta, la multiplicación, etcétera, existen reglas para operar con vectores. Esasreglas proporcionan herramientas poderosas para el análisis en ingeniería.

Suma vectorialCuando un objeto se mueve de un lugar a otro en el espacio, se dice que expe-rimenta un desplazamiento. Si se mueve un libro (o, hablando de manera másprecisa, algún punto de un libro) de un lugar de la mesa a otro, como muestra lafigura 2.3a, es posible representar el desplazamiento mediante el vector U. Ladirección de U indica la dirección del desplazamiento y IUI es la distancia recorri-da por el libro.

Suponga que al libro se le da un segundo desplazamiento V, como se mues-tra en la figura 2,3b. Los desplazamientos U y V equivalen a un solo desplaza-miento del libro de su posición inicial a su posición final, que se representamediante el vector W en la figura 2.3c. Observe que la posición final del libroes la misma si primero ocurre el desplazamiento U y después el desplazamientoV que si primero ocurre el desplazamiento V y luego el desplazamiento U (figu-ra 2.3d). El desplazamiento W se define como la suma de los desplazamientosU y V:

U + V - W.

2.1 Escalares y vectores 23

.

W" 1

fi,

---,• | •. •. .X--. j^*., . ,— -_J^-dl -• ^-l\lt~l , -S-- ' *•- - — ..- -L --^— . j- Ur^ ir* •?f

(a) (b)

(c)

Figura 2.3(a) Desplazamiento representado por el vector U.(b) El desplazamiento U seguido por el desplaza-

miento V,(c) Los desplazamientos U y V son equivalentes al

desplazamiento W.(d) La posición final del libro no depende del orden

de los desplazamientos.

U

V

-J1'

.jfl*- u + v U

V

V• ^ ,^. '

(b)

u- u

i

(e)

U.-5**"

-J-

.-v

u + v

(c)

Figura 2.4(a) Dos vectores, U y V.(b) La cabeza de U colocada en la cola de V.(c) Regla del triángulo para obtener la suma de U y V,(d) La suma es independiente del orden en que se sumen los

vectores.(e) Regla del paralelogramo para obtener la suma de U y V.

La definición de suma vectorial está basada en la suma de desplazamientos.Considere los vectores U y V de la figura 2.4a. Si se colocan cabeza con cola (figu-ra 2.4b), su suma se define como el vector que va de la cola de U a la cabeza de V(figura 2.4c). Esto se llama regla del triángulo para la suma vectorial. La figura2.4u demuestra que la suma es independiente del orden en que los vectores se colo-can cabeza con cola. De esta figura se obtiene la regla del paralelogramo para lasuma vectorial (figura 2.4e),

La definición de la suma vectorial implica que

La suma vectorial es conmutativa. (2.1)

U

W

/ \1 + V + W

•j

Figura 2.5Suma de tres vectores U» V y

(U + V) + W = U + (V + W) La suma vectorial es

asociativa.(2-2)

para cualesquiera vectores U, V y \V. Estos resultados indican que al sumar dos omás vectores, el orden en que se sumen no importa. La suma puede obtenerse colo-cando los vectores cabeza con cola en cualquier orden. El vector que va de la coladeí primer vector a la cabeza del último es la suma (figura 2.5a). Si la suma de doso más vectores es igual a cero, los vectores forman un polígono cerrado cuando secolocan cabeza con cola (figura 2.6).

W

Figura 2,6Tres vectores U, V y W cuya suma es igual acero.


^

»

Figura 2.7Las flechas que denotan las posicionesrelativas de los puntos son vectores.

-'

Isn1

U /2U ÍLlu2 2

Figura 2.8Un vector U y algunos de sus múltiplos escalares.

**'"•*.-.,U

Una cantidad física se denomina vector si tiene magnitud y dirección y obe-dece la definición de ía suma vectorial. Se sabe que un desplazamiento es un vec-tor. La posición de un punto en el espacio respecto a otro punto también es unacantidad vectorial En la figura 2.7, el vector rAC de A a C es la suma de rAB y rBC*Una fuerza tiene dirección y magnitud pero, ¿obedecen !as fuerzas la definición dela suma vectorial? Por ahora se asumirá que sí. Cuando se estudie la dinámica, semostrará que la segunda Eey de Newton implica que la fuerza es un vector.

Producto de un escalar y un vectorEí producto de un escalar (número real) a por un vector U es un vector que seescribe como aU. Su magnitud es \a U|, donde a es el valor absoluto del escalara. La dirección de o\J es igual que la de U cuando a es positivo y es opuesta a ladirección de U cuando a es negativo.

El producto (-l)U se escribe -U y se llama "negativo del vector U1'. Tiene lamisma magnitud que U pero dirección opuesta. La división de un vector U entreun escatar a se define como el producto

Ua

En la figura 2.8 se muestran un vector U y los productos de U con los escalares2, -1 y 1/2.

Las definiciones de la suma vectorial y del producto de un escalar y un vec-tor implican que

El producto es asociativo con respectoa la multiplicación escalar.

(a + 6)U = aU + ¿U, Los productos son distributivos conrespecto a la suma escalar.

(2.3)

(2.4)

"- -•>,

«•*

(-l)V

(b)

(-l)V

U-1i

\(c)

Figura 2.9(a) Dos vectores U y V.(b) Vectores V y (-l)V.(c) La suma de U y (-l)V es ¡a diferencia

vectorial U - V.

£í(U + V) = íllJ + £íV, Los productos son distributivos conrespecto a la suma vectorial.

(2.5)

para cualesquiera escalares a y b y vectores U y V. Estos resultados serán necesaños cuando se estudien ías componentes de los vectores.

Resta vectorialLa diferencia de dos vectores U y V se obtiene sumando U al vector (-l)V:

U - V - U + (-l)V. (2.6)

Considere los dos vectores U y V que se muestran en Ja figura 2.9a, El vector(-l)V tiene la misma magnitud que el vector V pero dirección opuesta (figura2.9b). En la figura 2.9c se suma el vector U al vector (-l)V para obtener U - V.

Vectores unitariosUn vector unitario es simplemente un vector cuya magnitud es igual a la unidad. Unvector unitario especifica una dirección y permite expresar en forma convenienteun vector que tiene una dirección particular. Si un vector unitario e y un vector Utienen la misma dirección, se puede escribir U como el producto de su magnitud|U| y el vector unitario e (figura 2.10),

U = |u|e.

Cualquier vector U puede verse como el producía de su magnitud y un vector uni-tario que tiene la misma dirección de U. Dividiendo ambos lados de esta ecuaciónentre ¡U| se obtiene

U

ü|= e,

entonces, al dividir cualquier vector entre su magnitud se obtiene un vector unita-rio que tiene la misma dirección.

Una cantidad física que está completamente descrita por un número real se llamaescalar. Un vector tiene tanto magnitud como dirección y satisface una regla defi-nida para ía suma. Un vector se representa gráficamente mediante una flecha cuyalongitud se define como proporcional a la magnitud.

Suma vectorialLa suma de dos vectores U y V sedefine mediante la regla deltriángtdo o su equivalente, la regladel paralelogramo.

UU+ V

2.1 Escalares y vectores 25

U

J |U¡e - U

Figura 2.10Como U y e tienen la misma dirección, el vec-tor U es igual al producto de su magnitud y e.

Regla de! triángulo

***/

/*•* U + V

Producto de un escalar y un vectorEl producto de un escalar a y un vector U se definecomo un vector aV con magnitud a , Su direcciónes la misma que la de U cuando a es positiva y opuestaa la de U cuando a es negativa. La división de U entrea se define como el producto (1/0)U.

Regla del paralelogramo

/U /2U (-«« £L

Resta vectorialLa diferencia de dos vectores U y V sedefine por medio de

U- V = U + (-l)V.

(-l)V

u\


Vectores unitariosUn vector unitario es aquel que tiene una magnitudde 1. Cualquier vector U puede expresarse comotU!e, donde e es un vector unitario con la mismadirección que U. Al dividir un vector U entre sumagnitud se obtiene un vector unitario con la mismadirección de U.

¡Ufe - U

Operaciones Vectoriales (> Relacionado con el problema 2.7)

Las magnitudes de los vectores que se muestran son ¡U| = 8 y jVj = 3- El vector Ves vertical. Determine gráficamente la magnitud del vector U + 2V.

VEstrategiaAl dibujar los vectores a escala y aplicar la regla del triángulo para la suma, es po-sible medir la magnitud deí vector U + 2V.

Solución

Dibuje los vectores U y 2V a escala,colóquelos cabeza con cola.

2V

El valor medido dees 13.0.

2V

Problema de práctica Las magnitudes de los vectores que se muestran son ¡Uj = 8 y|VJ = 3. El vector V es vertical. Determine gráficamente la magnitud del vector U - 2V.

Respuesta: |U - 2VJ = 5.7.

Problemas 27

Suma de Vectores (> Relacionado con el problema 2.2)

Una parte del techo en voladizo de un estadio deportivo debe estar soportada por loscables AB y AC. Las fuerzas que ejercen los cables sobre la pila a la que están uni-dos se representan con los vectores ¥AB y FAc- Las magnitudes de las fuerzas son|F,u; ^ 100 kN y ¥AC = 60 kN. Determine la magnitud y la dirección de la sumade las fuerzas ejercidas sobre la pila por los cables.

. - ,"-"'*wí(-ft3ító¿f

V^¿••" -.'

-'

a

,. v-"^V— „-. • . • • '.".<'

.- , . sfT - , 7^ -v-^-^ú^JÍ-'^í s>*^ / : > / -H^í^íîlí^:

a*^ rJrí ":: :;*?w$É-i , ^"-^ r / ^^«Sss fc¡ -^ -•^^í '

30° ' oí :^S i|fe:

i: a "*'¿iáfe¿^íi*H-^"

• «8™,

1 ->x yv^Y.,« -

.' í

'AB

30°

. r?** -¡r™*•'.'.-.

•3?*tt 1T-í •"**'• .'•*

EstrategiaAI dibujar el paralelogrurno, con los vectores a escala, para sumar las dos fuerzasse puede medir la magnitud y dirección de su suma.

^*

SoluciónSe construye gráficamente el paralelogramo para obtener ía suma de las dos fuer-zas con las longitudes de F¿fí y F^ proporcionales a sus magnitudes (figura a). Mi-diendo la figura, se estima que la magnitud del vector FA5 + ¥AC es de 155 kN y sudirección es de 19° sobre la horizontal.

/1C

100 kN

60 kN VAC

(a) Solución gráfica.

Razonamiento críticoEn las aplicaciones de ingeniería, las operaciones con vectores casi siempre sehacen de manera analítica. Entonces, ¿por qué es importante adquirir experienciacon los métodos gráficos? Al hacerlo se mejora la intuición acerca de tos vectoresy ayuda a entender tas operaciones vectoriales. Asimismo, el bosquejo de una solu-ción gráfica puede ayudar frecuentemente a formular una solución analítica.

Problemas

>* 2.1 En el ejemplo activo 2.1, suponga que los vectores U y Vse reorientan como lo muestra la figura. Eí vector V es vertical.Las magnitudes son ¡U¡ = 8 y J V j = 3. Determine en forma gráfi-ca la magnitud del vector ü -i- 2V.

Problema 2.1

^ 2.2 Suponga que ía pila del ejemplo 2.2 se coloca más cercadef estadio de manera que eí ángulo entre las fuerzas ¥A8 y FAC

es de 50°. Dibuje un bosquejo de la nueva situación. Las magnitu-des de las fuerzas son \FAB\ - 100 kN y \FAC\ = 60 kN. Determinegráficamente la magnitud y la dirección de la suma de las fuerzasejercidas por los cables sobre ía pila.


Al resolver los problemas 2.3 a 2,5 consulte e! siguientediagrama. Los vectores de fuerza F¿, fB y Fc pertenecenal mismo plano.

Problemas 23-2.5

2.3 La magnitud FA j = 80 Ib y el ángulo a - 65°. La magni-tud ¡F^ + FB\ = 120 Ib. Determine gráficamente la magnitudde F0.

2.4 Las magnitudes \¥A = 40 N, |F¿ = 50 N y Fc¡ = 40 N. Losángulos a = 50° y /3 = 80°. Determine gráficamente la magnitudde F + F + F .

2.5 Las magnitudes \FA = ¥B\ - ¡FCÍ = 100 Ib, y el ánguloa = 30°. Determine gráficamente el valor del ángulo j8 para elcual la magnitud \FA + FB + Fc\ es mínima y el valor mínimo de

2.6 Eí ángulo Q = 50°. Determine gráficamente la magnitud delvectorrAC.

60 mm

Problema 2.6

2.7 Los vectores FA y F¿, representan las fuerzas ejercidaspor la banda sobre la poica. Sus magnitudes son F^j — 80 N y|F/;| = 60 N. Determine gráficamente la magnitud de la fuerzatotal que ejerce la banda sobre la polea.

->5^£ A " r;£&£>!-'• >r ;-\S4"-™* í ±?»fc-.

in'' '

Problema 2.7

2.8 La suma de las fuerzas F¿ + F¿ + Fc = 0. La magnitudJFj = 100 N y el ángulo a = 60Ü. Determine gráficamente lasmagnitudes ¡Ffí y Fc

2.9 La suma de las fuerzas F¿ + Ffi + Fc = 0. Las magnitudes|FJ - 100 N y Fflt = 80 N. Determine gráficamente la magni-tud \FC y el ángulo a.

Problemas 2.8/2.9

Problemas 29

2.10 Las fuerzas que actúan sobre el planeador están represen- \ 2.12 La cuerda ABC ejerce fuerzas Fa4 y Facde igual magnitudradas por tres vectores. El empuje L y el arrastre D son perpen- { sobre la polea en B. La magnitud de la fuerza total ejercida sobredículurcs. La magnitud del peso W es de 500 Ib. La suma de las la polea por las dos fuerzas es de 200 !b. Determine gráficamenteiucrzas W + L + D = 0. Determine gráficamente las magnitudes [F,del empuje y e! arrastre.

wProblema 2.10

2,11 Un tanque de almacenamiento esférico está soportadopor cables. El tanque está sometido a tres fuerzas: las fuerzas ¥A yF£ ejercidas por los cables y el peso W. El peso del tanque es)W| = 600 Ib. La suma vecloria! de las fuerzas que actúan sobreel tanque es igual a cero. Determine gráficamente las magnitudesde FA y Ffl.

Problema 2.12

2.13 Dos tractores para nieve remolcan un refugio de emergenciahacia una nueva ubicación en la base McMurdo de la Antartica (semuestra una vista aérea; los cables son horizontales). La fuerzatotal F¿ + Ffi ejercida sobre !a unidad tiene una dirección paralelaa la línea L, y su magnitud es de 400 Ib. Determine gráficamentei

i las magnitudes de ¥A y FB.

Vista Superior

Problema 2.13

| 2.14 Un topógrafo determina que la distancia horizontal delpunto A al punto B de la figura es de 400 m y que ía distanciahorizontal de A a C es de 600 m. Determine gráficamente [amagnitud del vector rñc y e¡ ángulo a.

Norte

Problema 2.11

Este

Problema 2.14


2.15 El vector r se extiende desde e! punto A de la figura hasta elpunto medio entre los puntos B y C. Demuestre que

A

Problema 2.15

2.16 Por medio de un bosquejo de los vectores, explique por qué

U + (V 4- W) = (U + V) + \V.

y

U

(a)

U

U

u.

(b)

U u

(c)

Figura 2.11(a) Vector U.(b) Componentes vectoriales U^ y Uv.(c) Las componentes vectoriales se pueden

expresar en función de i y j.

2.2 Componentes en dos dimensiones

Es más fácil trabajar con vectores cuando se pueden expresar en términos de com-ponentes vectoriales perpendiculares. Aquí se explicará cómo descomponer vecto-res en componentes cartesianas y se darán ejemplos de manipulaciones de vectoresusando componentes.

Considere el vector U de la figura 2.11a. Al colocar un sistema coordenadocartesiano de modo que el vector U sea paralelo al plano x-yt es posible escribirlocomo la suma de los componentes vectoriales perpendiculares Ux y \Jy que sonparalelas a los ejes xty (figura 2.1 Ib):

U = U, + Uv.

Luego, si se introduce un vector unitario i que señale en la dirección positiva deleje x y un vector unitario j que señale en la dirección positiva del eje y (figura2.1 le), se puede expresar el vector U en la forma

U - Uxl + Vyl _ (2.7)

Los escalares Ux y Uy se llaman componentes escalares de U. Cuando se nombransimplemente las componentes de un vector, se hace referencia a las componentesescalares. Se llamará a Ux y Uy las componentes x e y de U.

Las componentes de un vector especifican tanto sus direcciones relativas alsistema coordenado cartesiano como sus magnitudes. En el triángulo rectánguloformado por el vector U y sus componentes vectoriales (figura 2.lie), se observaque la magnitud de U está dada en términos de sus componentes por el teorema dePitágoras:

u (2.8)

Con esta ecuación se podrá determinar la magnitud de un vector cuando se conoz-can sus componentes,

Manipulación de vectores en términos de sus componentesLa suma de dos vectores U y V en términos de sus componentes es

U + V - (Uj + Uyj) + (Vxi + Vyj)

+ Vx)i + (Uy+ VOj. (2.9)

(a)

2.2 Componentes en dos dimensiones 31

y

.-V

V.

.

(b)

Figura 2.12(a) Suma de U y V. (h) Componentes vectoriales de U y V. (c) La suma tic las componentesen cada dirección coordenada es igual a la componente üe U -H V en esa dirección.

Las componentes de U + V son las sumas de las componentes de los vectores U y V.Observe que para obtener este resultado se usaron las ecuaciones (22), (2.4) y (2.5).

Es instructivo derivar gráficamente la ecuación (2.9)- La suma de U y V semuestra en la figura 2.12a. En la figura 2.12b se introduce un sistema coordenadoy se muestran las componentes de U y V. En la figura 2.12c se suman las compo-nentes x e y y se obtuvo la ecuación (2.9).

El producto de un numero a y un vector U en términos de las componentes deU es

«U = flE/vj.

La componente de aU en cada dirección coordenada es igual al producto de ay la componente de U en esa dirección. Se usaron las ecuaciones (2.3) y (2.5) paraobtener este resultado.

Vectores de posición en términos de sus componentesEl vector de posición de un punto relativo a otro punto se puede expresar en tér-minos de las coordenadas cartesianas de ambos puntos. Considere el punto A concoordenadas (#¿, yA) y el punto B con coordenadas (,rs, y8\ Sea rAB el vector queespecifica la posición de B en relación con A (figura 2.13a)- Esto es, mediante rA¡¡

se denota el vector que va de un punto A a otro punto B. Se observa en la figura2.13b que TAB está dado en términos de las coordenadas de los puntos A y B por

Observe que la componente x del vector de posición que va del punto A al puntoB se obtiene restando la coordenada x de A de la coordenada x de 5, y la compo-nente y se obtiene restando la coordenada y de A de la coordenada y de B.

yB

X

(a)

y 4.

AB

B

1•

I (y» - yyOj

i f1 l

i

*. i¿>mMun**BfL r m i ™ u tr< tf

\' 1B - A) |

!

(b)

Figura 2.13(a) Puntos A y B, y el vector posición r¿fl de A

(b) Las componentes de rAB se pueden determi-nar a partir de las coordenadas de los pun-tos A y B.

Un vector U que es paralelo al plano x-y puede expresarse como

U - f/,i + Uyl (2.7)

donde i es un vector unitario que apunta en la dirección positivadel eje x y j es un vector unitario que apunta en la direcciónpositiva del eje y.

La magnitud de U está dada por

|U| = V2, + U (2.8)


Manipulación de vectores en términos de sus componentes

La suma (o resta) vectorial y lamultiplicación de un vector porun número puede realizarse entérminos de sus componentes.

u + v - (u¿ + uí) + (vx\ +(u,

olí »= flí/jl +

Vectores de posición en términos de sus componentes

El vector de posición de A a B está dado por

(2-10)

A

Determinación de Componentes (> Relacionado con el problema 231)

El cable entre los puntos A y íf ejerce una fuerza de 900 N sobre la pane superiorde la torre de televisión que se muestra en la figura, la fuerza está representada porel vector F. Exprese F en términos de sus componentes usando el sistema coorde-nado que se indica.

Estrategia .Se determinarán las componentes del vector F de dos maneras distintas. En el pri-mer método se encontrará el ángulo entre F y el eje y, y después se usará trigono-metría para determinar las componentes. En el segundo método se usará la pendientedada para el cable AB y se aplicarán triángulos semejantes para determinar las com-ponentes de F,

Solución

Primer método

Fuerzaejecidasobre latorre porel cableAB

¥

Y

40 m

Determine el ángulo entre Fy el eje _y:

/40a — arctan -— 1 = 26.6°.

V 80


Use trigonometría pura determinar F entérminos de sus componentes:

V sen ai FcOS aj

- 900 sen 26.6° ¡ - 900 eos 26.6° j (N)

= 402i - 805J (N).

Segundo método

Usando las dimensiones dadas calculela distancia desde A hasta B:

(40 m)2 + (80 m)2 = 89.4 m.

Use triángulos semejantes paradeterminar las componentes de F:

_40m_|F|" ~ 89.4 m

entonces40

y

F =

SOm|F 89.4 m

(900 N)i - —(900 N)¡J89.4 89.4- 402i - 805j (N).

A

SOm

\\

SOm

\\

\

\V\\

40 m

4m

(-—40 m—-)

Problema de práctica El cable que va del punto A al punto B ejerce una fuerza de900 N sobre la parte superior de una torre de televisión; la fuerza se representa median-te el vector F. Suponga que se puede cambiar la colocación del punto B de manera quela magnitud üe la componente y de F sea tres veces la magnitud de la componente x deF. Exprese F en términos de sus componentes. ¿Qué tan lejos del origen del sistema co-ordenado debería colocarse 6 a lo largo del eje *?

Respuesta: F = 285i - 854j (N). Coloque el punto ñ a 26.7 m del origen.


Determinación de componentes en términos del ánqulo (> Problema relacionado 2.33)

Muchos dispositivos mecánicos utilizan cilindros hidráulicos para ejercer fuerzas.La fuerza se ejerce mediante un líquido a presión (fluido hidráulico) que empuja unémbolo contra un pistón dentro del cilindro. El cilindro hidráulico AB de la figu-ra ejerce una fuerza F de 4000 Ib sobre la caja del camión de volteo en B. ExpreseF en términos de componentes usando el sistema coordenado que se muestra.

(a) La fuerza F y sus componentesforman un triángulo rectángulo.

EstrategiaCuando la dirección de un vector se especifica por medio de un ángulo, como en esteejemplo, es posible determinar los valores de las componentes con ayuda del trián-gulo rectángulo formado por el vector y sus componentes.

SoluciónLa figura a muestra el vector F y sus componentes vectoriales. En el triángulo rec-tángulo resultante se observa que la magnitud de Fx es

Fr - F eos 30° - (400Glb)cos3G° - 3460 Ib.

apunta en la dirección x negativa, por lo que

F, = -346()i(Ib).

La magnitud de Fy es

F sen 30° = (4000 Ib) sen 30° = 2000 Ib.

La componente vectorial Fy apunta en la dirección y positiva, por lo que

Fy - 2000J (Ib).

El vector F, en términos de sus componentes, es

F - + -346QÍ + 2000J (Ib).

La componente x de F es -3460 Ib y la componente y es 2000 Ib,

Razonamiento criticoCuando se han determinado las componentes de un vector dado se debe verificarque ios resultados sean razonables. En este ejemplo se puede observar, a partir dela dirección del vector, que ia componente x debería ser negativa y la componen-te y positiva. También se puede verificar que las componentes tengan la magnitudcorrecta. En este ejemplo,

F - V(-3460 Ib)2 + (2000 Ib)2 - 4000 Ib,


Tnwmfl'-.. -'•f /", —." "•" •-1

M ; Determinación de una magnitud vectorial desconocida (> Relacionado con el. Í4ÍM11

Los cables A y li de la figura ejercen fuerzas ¥A y F8 sobre el gancho. La magnitudde FA es de 100 Ib. La tensión en el cable B se ha ajustado para que la fuerza totalF,t + F« sea perpendicular a la pared a la que está unido el gancho.

a) ¿Cuál es la magnitud de F/{?b) ¿Cuál es la magnitud de la tuerza total ejercida por los dos cables sobre el gancho?

EstrategiaLa suma vectorial de las dos fuerzas es perpendicular a la pared, por lo que la sumade las componentes paralelas a la pared es igual a cero. A partir de esta condiciónpuede obtenerse una ecuación para la magnitud de Fg.

Solucióna) En términos del sistema coordenado de la figura a, las componentes de ¥A yFB son

FA = FA sen40°i + FA eos 40°j,

Fs sen20°i - Ffí eos 20°j.

La fuerza total es

FA + FB = ( FA sen 40° + FB sen 20°) i

+ (|FA|cos40° - ¥B cos20°)j.

Ahora, la componente de la fuerza total paralela a la pared (la componente y), se iguala a cero

|FA eos 40° - FB eos 20° - O,

así se obtiene una ecuación para la magnitud de FB:

FA eos 40° (1001b)cos40°FB eos 20 eos 20°

= 81.5 Ib.

b) Como ahora se conoce la magnitud de Ffl, es posible determinar la fuerza totalque actúa sobre el gancho:

FA + FB = (|FA sen 40° + |FB sen20°)i

- [(1001b)sen40° + (81.5 Ib)sen20°]i = 92.21 (Ib).

La magnitud de la fuerza total es de 92.2 Ib.

Pensamiento críticoLa solución del inciso a) se puede obtener de una manera menos formal. En la fi-gura a se observa que, si la componente de la fuerza total paralela a la pared es cero,la magnitud de la componente vertical de F¿ debe ser igual a la magnitud de la com-ponente vertical de Fa:

|FA eos 40° - Ffi eos 20°.

Por lo tanto, la magnitud de FB es

FA eos 40° (100 Ib) eos 40'F

eos 20°- 81.5 Ib

problema 2.47)

40

B

a) Resolución de F¿ y F¿¡ encomponentes paralelas y per-pendiculares a la pared-


Problemas

2.17 Una fuer/a F - 40i - 20j (N). ¿Cuál es la magnitud F|?

Estrategia: La magnitud de un vector en términos de suscomponentes está dada por ta ecuación (2.8).

2.18 En la estimación de las componentes de una fuerzaF = Fxi + Fy j que actúa sobre el empotramiento de un puente,un ingeniero ha determinado que Fx = 130 MNT F - 165 MN.y Fy es negativa. ¿Cuál es el valor de Fy7

2.19 Un soporte está sometido a una fuerza F = F¿i + 80j (N).Si el soporte resiste con seguridad una fuerza de 100 N, ¿cuál es elintervalo permisible para ¡a componente FT?

2.20 Si FA - óGGi - 800j (kip) y Ffí = 200i - 200j (kip), ¿cuál esla magnitud de la fuerza F — F^ -

2.21 Las fuerzas que actúan sobre el planeador de ia figura sonsu peso W m -500J (Ib), el arrastre D = -2GOi + lOOj (Ib), y elempuje L. La suma de las fuerzas \V + L + D = 0. Determinelas componentes y la magnitud de L.

y

Problema 2.21

2.22 Dos vectores perpendiculares U y V se encuentran en elplano x-y. El vector U — ói — 8j y ¡V) = 20. ¿Cuáles son las componentes escalares de V?

2.23 Un pez ejerce una fuerza de 10 ib sobre la línea representa-da por el vector F, Exprese F en términos de sus componentesusando el sistema coordenado que se muestra en la figura.

2.24 Un hombre ejerce una fuerza F de 60 ¡b para meter un cajónen un camión, a) Exprese F en términos de sus componentes usan-do el sistema coordenado que se muestra en la figura, b) El pesodel cajón es de ¡00 Ib. Determine la magnitud de la suma de lasfuer/as ejercidas por el hombre y el peso del cajón.

Problema 2,23

x--a

¿I\ 1

,..-• . , !" 1 "1- v - ^ .; •\^^^.¡^--rl.-+- -,,.. "'. -'u- - V">- l S*'. '-'- ",¿^s¿&^y5LÉ3^y.: ^J,-•-• - -Í.Í- -'-' ' --*-*\ i'í. ,-^ "' ~*•-

- - • *

'-a— •• •-

Problema 2.24

2.25 El motor de un misil ejerce una fuerza F de 260 kN. a) Ex-prese F en términos de sus componentes usando el sistema coor-denado que se muestra en la figura, b) La masa del misil es de8800 kg. Determine la magnitud de la suma de las fuerzas ejerci-das por el motor y el peso del misil.

--*-v - f - ••1

' •

Problema 2.25

2,26 Para la armadura que se muestra en la figura, exprese elvector de posición rAD, del punto A al punto D, en términos de suscomponentes. Use su resultado para determinar la distancia quehay desde el punto A hasta el punto D.

Problema 2.26

Problemas 37

2.27 Los puntos A, tí son las juntas de) elemento estructuralhexagonal Sea rwí el vector de posición de la junta A a la juma B.r/icei vector de posición de la junta A a la junta C\ etcétera. Deter-mine Us componentes de los vectores r /u- y rAr.

2.28 Determine las compunciHes de! vector rfUí - \-nc.

.r

Problemas 2.27/2.28

2.29 Las coordenadas de! punto A son (1.8, 3.0) pie. La coorde-nada y del punto B es 0.6 pie. El vector rAlí tiene ¡a misma direc-ción que el vector unitario tAR = 0.616Í -0.788J. ¿Cuáles son las

componentes de rA/j?

y

B

Problema 2.29

2.30 Exprese el vector de posición del punto A ai punto B de la má-quina que se muestra en la figura en términos de sus componentes-

b) Exprese ei vector de posición del punto B al punto C en términosde sus componentes.

c) Use los resultados de los incisos a) y b) para determinar la distan-cia dei punto A al punto C.

55pulg

50pulg

Problema 230

> 231 En el ejemplo activo 2.3, el cable AB ejerce una f u c r x ade 900 N sobre la parte superior de !a torre. Suponga que la uniónen el punto B se mueve alejándolo mus de la torre en direcciónhorizontal, y suponga que la magnitud de la fuerza F que c! cableejerce sobre la parle superior de tu [orre es proporciona! a la longi-tud del cable, a) ¿Cuál es la distancia desde la torre hasta e! punióB si !a magnitud de la fuerza es 1000 N? bj Exprese la fuerza F tic1000 N en términos de sus componentes usando e! sistema coor-denado que se muestra.

232 Determine el vector de posición rAIÍ en términos de suscomponentes sí a) 9 — 30° y b) O = 225°,

y

60 mm

Problema 232

^ 233 En el ejemplo 2.4, las coordenadas del punto fijo A son1 (17,1) pie. El conductor baja la caja del camión a una nueva posi-

ción en la que las coordenadas del punto B son (9, 3) pies. Lai magnitud de la fuerza F ejercida sobre la caja por ei cilindro hi-: dráulico cuando la caja está en la nueva posición es de 4800 Ib.| Haga un bosquejo de ia nueva situación. Exprese F en términos de

sus componentes.

j 2.34 Un topógrafo mide la posición dei pumo A y determina queTOA = 400i + SOOj (m). E! topógrafo desea determinar la posiciónde un punto B de manera que \rAÍ¡\ = 400 m y \TOA + rA8 = i 200 m.¿Cuáles son las coordenadas cartesianas del punto B?

Caminopropuesto

\ \

Problema 234


2.35 La magnitud del vector de posición rBA del punto B alpunto A es de 6 m y !a magnitud del vector de posición rÂ

del punto C al punto A es de 4 m. ¿Cuáles son las componentesde rai?

2.36 En el problema 2.35 determine las componentes deun vector unitario eCi4 que'apunta desde el punto C hacia elpunto A.

Estrategia: Determine las componentes de rCA y después divida el vector rCA entre su magnitud.

Problemas 235/236

237 Se muestran las coordenadas x e y de los puntos A, B y Cdel velero.

a) Determine las componentes de un vector unitario que sea pa-ralelo al cable AS y que apunte de A a B.

b) Determine las componentes de un vector unitario que sea paralelo al cable BC y que apunte de C a B.

B (4,13}m

Problema 237

2.38 La longitud de la barra AB es 0.6 m. Determine las compo-nenies de un vector unitario QAB que apunte desde el punto A haciael punto B.

B

Problema 238

239 Determine las componentes de un vector unitario quesea paralelo al actuador hidráulico BC y que apuníe desde Bhacia C.

2.40 El actuador hidráulico BC ejerce una fuerza F de 1.2 kNsobre la junta en C, la fuer/a es paralela al actuador y apuntadesde If hacia C. Determine las componentes de F.

O Pala

Problemas 239/2.40

Problemas 39

2.41 Un topógrafo determina que la longiluil de la línea OA es de 1500 rn y que la longitud de la línea OB es de 2000 m.

í\) Determine las componentes del vector de posición desde el punto A hasta el punto B.

b) Determine las componentes del vector unitario que apunta desde A hacia B.

i i

Problema 2.41

2.42 Las magnitudes de las tuerzas ejercidas por los cables son |Tt| - 2800 Ib, JT2| - 3200 Ib, |T3j - 4000 Ib y T4| = 5000 Ib. ¿Cuáles la magnitud de la fuerza total ejercida por los cuatro cables?

2.43 Las tensiones en los cuatro cables son iguales: |T( == |T2 = T3j — T4| = T. Determine el valor de Ttal que los cuatro cablesejerzan una fuerza total de 12,500 Ib de magnitud sobre et soporte.

Problemas 2.42/2.43


2,44 La cuerda ABC ejerce las fuerzas ¥BA y Ffíc sobre la poleaen B que se muestra en la figura. Sus magnitudes son iguales:JF¿VI = |FtfC|. La magnitud de la fuerza total ejercida sobre lapolea en B por la cuerda es JF&4 + F/JC = 920 N. DetermineF/M expresando las fuerzas FgA y F/ÍC en términos de sus compo

| 2.46 Cuatro grupos se enfrentan en una competencia de jalar lacuerda. Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los grupos fí,C y D son |Fj = 800 Ib, |FC| = 1000 Ib, y |FD| = 900 ib. Si lasuma vectorial de las cuatro fuerzas es igual a cero, ¿cuál esla magnitud de ¥A y el ángulo a?

nenies.

RA

Probfema 2.44

2.45 La magnitud de la fuerza horizontal F[ es de 5 kN yFI + F2 + F3 = 0. ¿Cuáles son las magnitudes de F2 y F3?

30°

ftlt!

í •.

- -

Problema 2.45

Problema 2.46

> 2.47 En et ejemplo 2.5, suponga que el punto de unión delcable A se mueve de tal forma que e! ángulo entre el cable y lapared se incrementa de 40° a 55°, Haga un bosquejo que muestrelas fuerzas ejercidas por los dos cables sobre el gancho. Si sedesea que la fuer/a total F¿ + FB tenga una magnitud de 200 ib yque su dirección sea perpendicular a la pared, ¿cuáles son lasmagnitudes necesarias de F¿ y Ftí?

H

2.48 La ménsula de la figura debe soportar las dos fuerzas quese muestran, donde |Fj| = F2 = 2 kN. Un ingeniero determinaque la ménsula soportará de manera segura una fuerza total conuna magnitud de 3.5 kN en cualquier dirección. Suponga queO < a a 90°. ¿Cuál es el intervalo seguro del angula a?

Problema 2.48

Problemas 41

2,49 En la figura se muestran tres fuerzas que actúan sobreuna junta de una estructura. La magnitud de Fc es de 60 kN, yFA + Ffl + Fc = 0. ¿Cuáles son las magnitudes de FA y Ffí?

2.52 Ei peso total de un hombre y su paracaidas es \V| = 230 ibLa fuerza D de arrastre es perpendicular a la fuerza L de eleva-ción. Si la suma vectorial de las tres fuerzas es igual a cero, ¿cuá-les son !as magnitudes de \J y D?

y

Problema 2.49

2.50 Cuatro fuerzas coplanares actúan sobre una viga. Las fuer-zas FB y Fc son verticaíes. La suma vectorial de las fuerzas es iguala cero. Las magnitudes F#| = 10 kN y Fc = 5 kN. Determine lasmagnitudes de F¿ y FD.

. -r- - -- 1.*- „ J ",i .-V— I- __.— I

-

B

Problema 2.50

2.51 Seis fuerzas actúan sobre una viga que forma parte de laestructura de un edificio. La suma vectorial de las fuerzas esigual a cero. Las magnitudes \VB\ = |F£¡ = 20 kN, JFC = 16 kN y

- Determine las magnitudes de FA y FG.

- *

IF

Problema 2.51

W

Problema 2,52

2,53 En la figura se muestran las tres fuerzas que actúan sobre elautomóvil. La fuerza T es paralela al eje x y la magnitud de lafuerza W es 14 kN. Si T + W + N — Q, ¿cuáles son las magnitu-des de las tuerzas T y N?

—IJ

Problema 2.53


2.54 Los cables A, B y C ayudan a soportar una columna de unaestructura. Las magnitudes de ias fuerzas ejercidas por los cablesson iguales: \FA — F7Í = Fc . La magnitud de la suma vectorialde las tres fuer/as es de 200 kN. ¿Qué valor tiene \¥,\

Problema 2.54

2.55 La fuerza total ejercida en el punió superior B del mástilpor los cables AS y BC dei velero es 180i - 820¡ (N). ¿Cuálesson las magnitudes de las fuerzas ejercidas en B por los cablesAB y BC!

(4.13)111

; 2.56 La estructura que se muestra en la figura forma parte deuna armadura que soporta el techo de una sala de conciertos. Los

i elementos AB, AC y AD ejercen fuer/as FAB, VAC y ¥AD sobre la| juntad. La magnitud |FA/Í¡ — 4 kN. Si la suma vectorial de lasi tres fuerx.as es igual a cero, ¿cuales son ias magnitudes de VÁC

Problema 2.56

2.57 La distancia s = 45 pulg.

a) Determine el vector unitario tBA que apunta desde B hacia A.

b) Use el vector unitario que obtuvo en a) para determinar lascoordenadas del collarín C.

2.58 Determine las coordenadas x e v de! collarín C como funclones de la distancia s.

Problema 2.55

"(14,45) pulg

(75,12) puíg

-x

Problemas 2.57/2.58

2.3 Componentes en tres dimensiones 43

2.59 El vector de posición r va del punto A a un punto sobre ¡a j 2.60 Sea r el vector de posición que va del punto C de la figuralínea recta entre B y C, como se muestra en la figura. Su magnitudes r = 6 pies. Exprese r en términos de sus componentes.

y 5V(7 f 9)pics

A (3,5) pies

Problema 2.59

a! punto localizado a una distancia de 5 metros del punto A, sobrela línea recta que conecta A con B. Exprese r en términos de suscomponentes (su solución estará en términos de s).

ylí

C (9,3) m

Problema 2.60

2.3 Componentes en tres dimensiones

•^^^^^K^^^^^^^P^S^íKf^SSl^' «HBSS&lSy -"* ,*™* ^.•jrjJflicC- *^¿tf-jyríx- j-J^""^" :' X'(' "V--- '•5ivftEy^T?Jw5feSkttJ**'" ' ÍKÉSv

En ingeniería muchas aplicaciones requieren que los vectores se expresen en tér-minos de sus componentes en un sistema coordenado tridimensional. En estasección se explicará la técnica para hacer esto y se mostrará cómo realizar opera-ciones con vectores en tres dimensiones.

Primero se repasará cómo dibujar objetos en tres dimensiones. Considere uncuerpo tridimensional, por ejemplo un cubo. Si se dibuja el cubo como se ve cuan-do el punto de vista es perpendicular auna de sus caras, se obtiene la figura 2.14a.En esta vista el cubo parece bidimensional. No puede verse la dimensión perpen-dicular a la página. Para remediar esto, es posible mover el punto de vista haciaarriba y a la derecha, de donde se obtiene la figura 2.14b. En esta vista oblicua latercera dimensión ya es visible. Los bordes ocultos del cubo se muestran comolíneas discontinuas.

y

(a) (b)

Figura 2.14(a) Cubo visto con la linca visual perpendicular a una cara.(b) Vista oblicua del cubo.(c) Sistema coordenado cartesiano alineado con los bordes del cubo,(d) Representación tridimensional dei sistema coordenado.

(c) (d)


Figura 2.15Identificación de un sistema coordenado

derecho.

y

Figura 2.16Un vector U y sus componentes vectoriales.

Esle método puede usarse para drbuja r o.

nales. En la figura 2. ,4c « *cartesiano trid.mens.onal con tos

Ll de, Eterna coor *="^coordenado es Arré S se

^ ¿a representan mdimensio-

^ este s,stemaJ de la mano derecha en ,a dírecc.én

cooren ce(Tar el mo) hacia el ejeposaiva de, eje , y se doblan como p nc p ^ ? ^ 2Jft ^

Deb'd° "positivo, el pulgar

(2.11)

' en tenuuuja v^ • -, , , lo* eies je V V z. respectivamente (figura 2.16):

Uv y U2 paralelas a los ejes x,) y i

U = U, + Uv + U,.

(Se ha dejado una caja

H*¿=s" " de sus componentes escalares como:

= <y,¡(2.12)

s x, y y z de U.Los escalares Ux.

M,.,,,, de un .«c.or en ,«r™no, d, - ™™^ .

^SSSSSSSSSKíSS^SÍse puede ver que

(2.13)

I TEl vector U es la suma de los vec ores üun triángulo rectángulo (ligum 2.17c). a

,. Estos tres vectores Forman

• •Sustituyendo la ecuación.13) en este resultado se obtiene la ecuación

2 -

(a)

Figura 2.17(a) Vector U y sus componentes vectoriales.b Triángulo rectángulo formado por los vectores U, U, y(c) Triángulo rectángulo formado por los vectores U, U,, y by

2,3 Componentes en tres dimensiones 45

8fly*-• Mi l ii! y \i*,1 - / \

(a)

Figura 2.18(a) Un vector U y los ángulos Ox, Oy y dz.(b)-(d) Los ángulos 8X, 6y y Bz y las componentes vectoriales de U.

Así, la magnitud de un vector U está dada, en términos de sus componentes, en tresiidimensiones, mediante la expresión

w- ? + í/5 + t7--y (2.14)

Cosenos directoresAnteriormente se describió la dirección de un vector relativa a un sistema coorde-nado cartesiano bidimensional especificando el ángulo entre el vector y uno de losejes coordenados. Una manera de describir la dirección de un vector en tres dimen-siones es especificar los ángulos 9^ 9y y 8Z entre el vector y los ejes coordenadospositivos (figura 2,18a).

En las figuras 2.18(b)-(d) se demuestra que las componentes del vector Uestán dadas, respectivamente, en términos de los ángulos 0tí 6y y Qz, por

Ux - U| eos O» Uy - |U| eos B Uz - |U| eos 6Z. (2.15)

Las cantidades eos 8X7 eos &y y eos Bz se llaman cosenos directores de U. Los cose-nos directores de un vector no son independientes: si se sustituyen las ecuaciones(2.15) en la ecuación (2.14), se encuentra que los cosenos directores satisfacen larelación

eos2 Bx + eos2 $y + eos2 8t - \. (2-16)

Suponga que e es un vector unitario con la misma dirección de U, de forma que

U - |U e,

En términos de las componentes, esta ecuación es

i 4- = \V$exi

Así, las relaciones entre las componentes de U y e son

Ux = \U\ex, Uy - Ule,, t/z = U

Al comparar estas ecuaciones con las ecuaciones (2.15), se observa que

eos Ox = eos Q = e¡ eos Bz — ez.

Los cosenos directores de cualquier vector U son las componentes de un vectorunitario que tiene la misma dirección que U.


Figura 2.19(a) Vector üe posición del punto A al

punto B.(b) Las componentes de rAB se pueden

determinar ¿i partir de las coordenadas delos puntos A y B.

B

(a)

P * (ZB '-íí I* • • * > • (yu - y ,-$\

- .• i.- -agSr?^J ***«jtf*--ísííISmtJí ; /„ ' -\íí^*^

y-fí " x&.â>-^-.

(b)

Vectores de posición en términos de sus componentesA partir de una generalización del caso bidimensional, podemos considerar unpunto A con coordenadas (XA, VA, ZA) y un punto B con coordenadas (x¡¡, yB, ZB). Elvector de posición TAB que va de A a B, que se muestra en la figura 2.19a, está dadoen función de las coordenadas de A y B por

(yB ~ (ZB (2.17)

Las componentes se obtienen restando las coordenadas del punto A de las coor-denadas del punto B (figura 2.19b).

Componentes de un vector paralelo a una línea dadaEn aplicaciones tridimensionales, la dirección de un vector suele definirse especi-ficando las coordenadas de dos puntos sobre una línea paralela al vector. Estainformación puede usarse para determinar las componentes del vector.

Suponga que se conocen las coordenadas de dos puntos A y B sobre una líneaparalela al vector U (figura 2,20a). Se puede usar la ecuación (2.17) para determi-

(a)

x

>i

B

*A8:i

U

.t

(b)

Figura 2.20(a) Dos puntos A y B sobre una línea paralela a 13.(b) Vector de posición de A a B.(c) Vector unitario e¿fl que apunta desde A hacia B

B


nar el vector de posición rAfs que va de A a B (figura 2.20b). Se divide rAB entre sumagnitud para obtener un vector unitario e.\B que apunta de A a B (figura 2.20c).Corno £A8 tiene la misma dirección que U7 se puede determinar U en términos desus componentes escalares expresándolo como el producto de su magnitud y eAÍ}.

En forma más general, suponga que se conoce la magnitud de un vector U ylas componentes de cualquier vector V que tiene la misma dirección que U,Entonces V/jV| es un vector unitario con la misma dirección que U, y las compo-nentes'de U pueden determinarse mediante la expresión U = |U¡(V/[V¡).

.i*£Effi",- ** -' •* '-.ÍT-' -I-SÍ - -**•.! t . . . ..'J'í1 '-**-• " • .SK.I-'I-- - J_ - ,-«••.-J rlj^r™ lAífftfffí • H'CrW- ^í IJir 'r -!._ ^ rl-^ - '-«^..-^—- -K'-A-"---3

S3LJÍSi3iaíaláii:iî

u.**•

*'

Cualquier vector U puede expresarse como

U = Uxl + í/,j + f/;k,

donde i es un vector unitario que apunta en la dirección deleje JE, j es un vector unitario que apunta en la direcciónpositiva del eje y, y k es un vector unitario que apunta en ladirección positiva del eje t.

La magnitud de U está dada por

(2.14)

Cosenos directores

La dirección de un vector U en relacióncon un sistema coordenado dado puedeespecificarse mediante los ángulos0t, Qy, y 6, entre el vector y los ejescoordenados positivos.

Las componentes de U están dadas por

uv = |u eos e y, (2.15)

uz = |u|cosLos términos eos 6X, eos 0V, y eos 0¿ se denominan loscosenos directores de U. Los cosenos directores sonlas componentes de un vector unitario con la mismadirección que U.


yVectores de posición en términos de sus componentes

B

El vector de posición de A a B está dado por

(2.17)

z

Componentes de un vector paralelo a una línea dada

U

yB X

El vector U es paralelo a ia línea que pasa através de los puntos A y B.Obtenga e! vectorde posición rAfi de A a B en términos de suscomponentes. Divida r^ entre su magnitudpara obtener un vector unitario e^g que es pa-ralelo a la línea. Entonces, el vector U entérminos de sus componentes está dado por

U =

Cosenos directores (> Relacionado con el problema 2.67)

Las coordenadas del punto C de la armadura que se muestra en la figura son xc = 4 rn,yc » o^ Zc » O, y las coordenadas del punto D son XD = 2 m, yD = 3 m, ZD = 1Cuáles son los cosenos directores del vector de posición rCD desde el punto C hasta

el punto DI


EstrategiaSÍ se conocen las coordenadas de los puntos C y D, es posible determinar rCD entérminos de sus componentes. Después se puede calcular la magnitud de rco (la dis-tancia de C a O) y usar las ecuaciones (2.15) para obtener los cosenos directores.

Solución

3j + k(m).

Determine el vector de posición rCD

en términos de sus componentes.

CD r2 4- '"rCDy

(3m>

- 3.74 m.

Calcule la magnitud de rCD.

eos & =

eos 0>;

eos Q, —

CDy

-I m' 3.74 m

3m' 3.74 m

I mT* ^ «^ • ™- b- - «- ^

ro>l 3.74 m

= -0.535,

= 0.802,

- 0.267,

Determine los cosenos directores.

Problema de práctica Las coordenadas del punto B de la armadura son XB ~ 2.4 m,y8 = O, ZB = 3 m. Determine las componentes de un vector unitario eSD que apuntadesde B hacia D.

Respuesta: eflD = -0.1101 + Ü.827J - 0.55Ik.


Determinación de componentes en tres dimensiones (+> Relacionado con elproblema 2,76)

La grúa que se muestra en la figura ejerce una fuerza F de 600 Ib sobre el cajón hi-dráulico. El ángulo entre F y el eje x es de 54° y el ángulo entre F y el eje y es de40°, La componente z de F es positiva. Exprese F en términos de sus componentes.

> V. •mj*á

EstrategiaSe dan sólo dos de los ángulos entre el vector y los ejes coordenados positivos, perose puede usar la ecuación (2.16) para determinar el tercer ángulo. Luego es posibledeterminar las componentes de F usando las ecuaciones (2.15).

SoluciónLos ángulos entre F y los ejes coordenados positivos están relacionados por

eos2 Ox + eos2 9y + eos2 0: = (eos 54°)2 4- (eos 4Q°)2 + eos2 Qt - L

Al despejar eos 0Z de esta ecuación se obtienen las dos soluciones, eos 0Z = 0.260y eos 0Z - -0,260, que implican que 0Z — 74.9° o 6Z = 105.1°. La componente zdel vector F es positiva, por lo que el ángulo entre F y el eje z positivo es menorque 90°, Por lo tanto, 0Z = 74.9°.

Las componentes de F son

Fx - |F| eos Qx - 600 eos 54° - 353 Ib,

= |F| eos ey = 600 eos 40° - 460 Ib,r

Ft = |F| eos 6, - 600 eos 74.9° = 156 Ib.

Razonamiento críticoDebe hacerse notar que cuando se conoce el cuadrado de un número no se sabe elvalor del número de manera única. Si a2 - 4, el número a puede ser 2 o bien —2.En este ejemplo, el conocimiento de los ángulos 6^ y 0V permitió despejar el valorde eos2 ¿L de la ecuación (2.16), lo cual resultó en dos posibles valores del ángulo6V Existe una explicación geométrica simple para esto: los dos ángulos 0X y 0y sonsuficientes para definir una línea paralela al vector F, pero no la dirección de Fsobre esa línea. Los dos valores de 0Z que se obtuvieron corresponden a las dosposibles direcciones de F a lo largo de la línea. Se requiere información adicionalpara indicar la dirección. En este ejemplo, la información adicional fue propor-cionada estableciendo que la componente z de F es positiva.


-" W JM*rWIMBp5!!«*fpaL-MW!fai!)ILl- ¿te,. - i>r jî^," - .*^_7£p-

i í tüll£ÉC r-l Determinación de componentes en tres dimensiones (>• Relacionado con el- •'T -' -3£ -g¿¿i¿jvS^ r^Sffi; lij- íji '

problema 2.86)El cable del globo que se muestra en la figura ejerce una fuerza F de 800 N sobreel gancho en O. La línea vertical AB interseca el plano .r-z en el punto A. El ángu-lo entre el eje z y la línea OA es de 60° y el ángulo entre la línea OA y F es de 45°.Exprese F en términos de sus componentes. \"

•

EstrategiaPueden determinarse las componentes de F en dos etapas usando la informacióngeométrica dada. Primero se expresa F como la suma de dos componentes vecto-riales paralelas a las líneas OA y AB. La componente paralela a AB es la componentevectorial Fr Luego puede usarse la componente paralela a OA para determinar lascomponentes vectoriales Fx y Fr

SoluciónEn la figura a se expresa F como la suma de su componente en y, Fv, y la compo-nente Ffc paralela a OA. La magnitud de Fv es

Fv = |F sen 45° = (800 N) sen 45° - 566 N,

y la magnitud de FA es

Fh - |F| eos 45° = (800 N) eos 45° = 566 N

En la figura b se expresa F/, en términos de las componentes vectoriales F^ y F,. Lamagnitud deFTes

= |FA| sen 60° - (566 N) sen 60° - 490 N,

y la magnitud de F, es

|FZ| = Vh eos 60° - (566 N) eos 60° - 283 R

Las componentes vectoriales t\, fy y F, apuntan en las direcciones positivas de losejes, por lo que las componentes escalares de F son positivas:

F = 490i + 566j + 283k(N).

Razonamiento criticoComo este ejemplo lo demuestra, se requieren dos ángulos para especificar la di-rección de un vector en relación con un sistema coordenado tridimensional. Losdos ángulos usados podrían no estar definidos del mismo modo que en el ejemplo,pero sin importar cómo estén definidos, pueden determinarse las componentes delvector en términos de la magnitud y los dos ángulos especificados mediante un pro-cedimiento similar al que se empleó aquí.

(a) Descomposición de F encomponentes vectorialesparalelas a OA y OB.

B

(b) Descomposición de F^ en compo-nentes vectoriales paralelas a los

ejes x y t.


'&S¿tti¿¿&&jkÁr- SesteaHÍtlf* Determinación de componentes en tres dimensiones Relacionado con el

problema 2.90)

Una cuerda se extiende del punto B al punto C pasando por una argolla metálicaunida a la pared en el punto A. La cuerda ejerce fuerzas FAB y F¿c sobre la argollacuyas magnitudes son \FAB — |F^C| = 200 Ib. ¿Cual es la magnitud de la fuerza totalF — FAB + FAC ejercida por la cuerda sobre la argolla?

2 pies -*/

EstrategiaLa fuerza F^ es paralela a la línea que va de A a B y la fuerza FAC es paralela a lalínea que va de A a C- Debido a que es posible determinar las coordenadas de lospuntos A* B y C a partir de las dimensiones dadas, también se pueden determi-nar las componentes de los vectores unitarios que tienen las mismas direccionesque las dos fuerzas y usarlos para expresar las fuerzas en términos de componentesescalares.

SoluciónSean r^ el vector de posición de A a B y rAC el vector de posición de A a C (figu-ra a), A partir de las dimensiones dadas, las coordenadas de los puntos A, B y C son

A: (6, 7, 0) pies, B: (2, O, 4) píes, C; (12, O, 6) píes.

C

(a) Vectores de posición rAB y

Por lo tanto, las componentes de r¿ñ y r¿c, con las coordenadas en pies, estándadas por

(2 - 6)i + (O - 7)j + (4 - 0)k

- 7j + 4k (pies)

23 Componentes en tres dimensiones 53

\ + (yc - >u)j + (zc ~

= (12 - 6)i + (O - 7)j + (6 - 0)k

= 6i — 7j + 6k (pies)

Sus magnitudes son \rAB\ = 9 pies y jrACj = 11 píes. Al dividir r^ y rAC entre susmagnitudes se obtienen los vectores unitarios eAg y CAC I116 apuntan en las direc-ciones de FAfi y FAC (figura b);

rAB -0.444Í - 0.778J + 0.444k,

= 0.545Í - 0.636J + 0.545k.

C

(b) Vectores unitarios e^ y eAC

Las fuerzas FAfi y ¥AC son

B = (2001b)e¿s - -88.9Í - 155.6J + 88.9k (Ib),

C = (2001b)eAC = 109.H - 127.3J + 109.1k (Ib)

La fuerza total ejercida sobre la argolla por la cuerda es

F = J? +AB = 20.2Í - 282.8J + 198.0k (Ib),

y su magnitud es

|F| = V(20.2)2 + (-282.S)2 + (198.0)2 = 346 Ib.

Razonamiento crítico¿Cómo se puede saber que la magnitud y la dirección de ía fuerza total ejercida porla cuerda sobre la argolla de metal en A está dada por la magnitud y la direccióndel vector F = ¥AB + FAC? Hasta este punto del desarrollo de la mecánica, sesupone que la fuerza es un vector, pero no se ha hecho una demostración de ello.En el estudio de la dinámica se demuestra que la segunda ley de Newton implicaque la fuerza es un vector.


Determinación de las componentes de una fuerza (> Relacionado con el problema 2.95)

El cable AS ejerce una fuerza T de 50 N sobre el collar en A. Exprese T en términos de las componentes.

O.LSni

0.2 m 0.3 m

0.5 m

0,15 m

EstrategiaSea rAB el vector de posición desde A hasta 6. Se dividirá rAB entre su magnitud paraobtener un vector unitario e¿5 que tiene la misma dirección de la fuerza T- Despuésse puede obtener T en términos de sus componentes escalares al expresarlo comoel producto de su magnitud y eA£[. Para iniciar este procedimiento, primero se debendeterminar las coordenadas del collarín A. Esto se hará obteniendo un vector uni-tario €CD que apunte desde C hacia Dt para después multiplicarlo por 0.2 m y asídeterminar la posición del collarín A en relación con C,

Solución

Determinación de las coordenadas del punto A El vector de posición de C aD, con las coordenadas en metros, es

rCD - (0,2 - 0.4)i + (O - Q.3)j + (0.25 - 0)k

- -0.2i - 0.3j + 0.25k(m).

Al dividir este vector entre su magnitud se obtiene el vector unitario eCD (figura a):

-0-2i - 0.3j + 0.25k

+ (0.25)2

- -0.456Í - 0.684J + 0.570k,

Usando este vector se obtiene el vector de posición de C a A:

} rCA = (0.2m)eCD = -0.09H - 0.137J + 0.114k (m).

El vector de posición desde el origen de! sistema coordenado hasta C es r^c = 0.4i+ 0.3j (m), por lo que el vector de posición desde el origen hasta A es

(a) Vectores unitarios eAB y eco.= roc + rCA = (0.4i + 0.3j) + (-0.091! - 0,137] 4- 0-IHk)

- 0.309Í + 0.163J + 0.1 14k (m).

Las coordenadas de A son (0.309, 0.163, 0.114) m.

Problemas 55

Determinación de las componentes de T Usando las coordenadas del punto A,se encuentra que el vector de posición de A a B es

TAB = (G - 0309)i + (0.5 - Q.163)j + (0.15 - 0.1L4)k

- -0309Í + 0337J + 0.03ók (m).

Al dividir este vector entre su magnitud, se obtiene el vector unitario %AB (figura a).

rAB -03G9Í + Q.337J + 0.036k (m)

V(-0.309 n

= -0.674Í + 0.735J + 0.079K.

La fuer/a T es

np ___ (50N)(-0,674¡ + 0/735J + 0.079k)

- -33.71 + 3Ó.7J + 3.9k (N),

Razonamiento criticoObserve las dos formas en que se usaron los vectores unitarios en este ejemplo. Elvector unitario eCD se empleó para obtener las componentes dei vector de posiciónrCA, que hizo posible determinar las coordenadas del punto A. Las coordenadas delpunto A se usaron después para determinar el vector unitario e^, el cual se empleópara expresar la fuerza T en términos de sus componentes.

Problemas

2.61 ¿Cuál es la magnitud de un vector U = 3i — 4j — 12k?

Estrategia: La magnitud de un vector está dada, en términosde sus componentes, por la ecuación (2.14).

•

1 "72.62 El vector e = 5i + ~ j + ezk es un vector unitario. Deter-mine la componente ez.

2.63 Un ingeniero determina que el punto de unión en la figuraestará sujeto a una fuer/a F = 20i + Fv j - 45k (kN). Si el puntode unión deberá soportar de manera segura una fuerza con magni-tud de 80 kN en cualquier dirección, ¿cuál es el intervalo aceptablede valores para F?

2.64 Un vector U = U¿ + Vy$ + UM. Su magnitud |U| = 30. Suscomponentes están relacionadas con las ecuaciones Uy = — 2U¿ yUz = 4í/r Determine las componentes.

2.65 Un objeto está sometido a dos fuerzas Fj = 20i -1- 30j — 24k(kN) y F2 = -60i + 20j + 40k (kN). ¿Cuál es la magnitud de lafuerza total que actúa sobre el objeto?

2.66 Se tienen dos vectores U = 3i - 2j + 6k yV = 4Í + 12j - 3k.

a) Determine las magnitudes de U y V.

b) Determine la magnitud del vector 3U + 2V.

^ 2.67 En el ejemplo activo 2.6, suponga que se desea redise-ñar la armadura, cambiando la posición del punto D de tal formaque la magnitud del vector rCD de! punto C al punto D sea 3 m.Para lograr esto, considere que las coordenadas del punto D son(2, y¿>, 1) m, y determine e! valor de yD tal que |rc/)j — 3 m.Haga un bosquejo de la armadura con el punto D en su nuevaposición, ¿Cuáles son los nuevos cosenos directores de

Problema 2.63

2.68 Un vector de fuerza está dado en términos de sus compo-nentes por F - lOi - 2G¡ - 20k (N).

a) ¿Cuáles son los cosenos directores de F?

b) Determine las componentes de un vector unitario e que tiene lamisma dirección que F.


2.69 El cable ejerce una fuerza F sobre el gancho en O cuyamagnitud es 200 N. El ángulo entre F y el eje x es de 40° y e! án-gulo entre F y el ejey es de 70°.

u) ¿Cuál es el ángulo entre el vector F y el eje ??

b) Exprese F en términos de sus componentes.

Estrategia; a) Dado que se conocen los ángulos entre ei

vector F y los ejes x, e y, puede usarse la ecuación (2,16) paradeterminar el ángulo entre F y el eje z (observe en la figura que

el ángulo entre F y ei eje z está claramente dentro del intervaloO < #, < 180o.) b) Las componentes de F pueden obtenerse conlas ecuaciones (2.15).

y

. f -.,'

7°° y ' i~~^JFy\4o° \/ \ ip -ji- - v >- tí •»*- j a--., \",£ .->..•. •) JE

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Problema 2.69

2.70 Un vector unitario tiene los cosenos directores eos 0T = —0.5y eos 8y = 0.2. Su componente z es positiva. Exprese este vector entérminos de sus componentes.

2.71 Los motores de un avión ejercen una fuerza de empujetotal T con magnitud de 200 kN. El ángulo entre T y el eje x esde 120°, y el ángulo entre T y el eje y es de 130a. La componentez de T es positiva.

a) ¿Cuál es el ángulo entre T y el eje z?

b) Exprese T en términos de sus componentes.

É-V

J Para resolver los problemas 2.72 a 2.75 consulte elsiguiente diagrama:

v

Problema 2-71

C(Ó,Q,G)m

B(5,0,3)m

Problemas 2J2-2.7S

2.72 Determine las componentes del vector de posición rfíw delpunió B al punto D. Use su resultado para determinar la distanciadesde B hasta D.

2.73 ¿Cuáles son los cosenos directores del vector de posiciónTBD del punto B al punto O?

2.74 Determine las componentes del vector unitario eco queapunta desde el punto C hacia el punto D.

2.75 ¿Cuáles son los cosenos directores del vector unitario eco

que apunta desde el punto C hacia el punto DIT

^ 2,76 En el ejemplo 2,7, suponga que se cambia el cajón auna nueva posición sobre el suelo. La magnitud de la fuerza Fpermanece en 600 Ib. En la nueva posición, el ángulo entre lafuerza F y el eje x es de 60° y el ángulo entre F y el eje z es de70°, Exprese F en términos de sus componentes.

2-77 En el trasbordador espacial, los astronautas usan radarpara determinar las magnitudes y los cosenos directores de losvectores de posición de dos satélites, A y fi. El vector r¿ deltrasbordador al satélite A tiene una magnitud de 2 km y cosenosdirectores eos ex - 0.768, eos 0y = 0.384, eos = 0.512. Elvector rfí del trasbordador al satélite B tiene una magnitud de4 km y cosenos directores eos 9X - 0.743, eos 6y = 0,557,eos 8t = -0.371, ¿Cuál es la distancia entre los satélites?

y

Problema 2.77

Problemas 57

2.78 Unos arqueólogos midieron una estructura ceremonialprecolombina y obtuvieron las dimensiones mostradas. Determine a) la magnitud y bj los cosenos directores del vector deposición del punto A al punto B.

y

4 m10 m

Problema 2,78

2.79 Considere la estructura descrita en el problema 2.78. Al re-gresar a Estados Unidos, un arqueólogo se da cuenta de que unestudiante de posgrado ha borrado el único archivo que contiene¡a dimensión h. Pero con los datos guardados en el GPS es posi-ble calcular que la distancia del punto Bal punto C es de 16.61 m.

a) ¿Cuáles la distancia bl

b) Determine los cosenos directores del vector que va de 8 a C.

2.80 Los observadores A y B usan teodolitos para medir ladirección de sus posiciones al cohete en vuelo que se muestraen la figura. Si las coordenadas de la posición del cohete en uninstante dado son (4, 4, 2) km, determine los cosenos directoresde los vectores TAR y rBR que los observadores medirían en eseinstante. ^

2,81* Suponga que las coordenadas de ía posición del cohetede la figura no se conocen. En un instante dado, la persona Adetermina que los cosenos directores de rAR son eos 6X = 0.535,eos By — 0-802 y eos Bt = 0.267, y la persona en 6 determinaque los cosenos directores de r^ son eos 6X — -0.576, eos 9— 0.798 y eos Bt = —0.177. ¿Cuáles son las coordenadas de laposición del cohete en ese instante?

B (5,0,2) km

Problemas 2.80/2.81

2.82* Un topógrafo midió originalmente la altura del MonteEverest con el siguiente procedimiento. Primero midió la altitudde dos puntos y la distancia horizontal entre ellos. Por ejemplo,suponga que los puntos A y B de la figura están a 3000 m sobre elnivel del mor y que entre ellos hay una distancia de 10,000 m.Luego usó un teodolito para medir los cosenos directores delvector r¿/> del punto A a la cima P de la montana y del vectorTBP del punto B a P. Suponga que para rAP se obtuvieron los cose-nos directores eos 8X *= 0.5179, eos 6y = 0.6906, eos 0Z = 0.5048y que para r#p los cosenos directores obtenidos fueron eos 0r =-0.3743, eos 0V = 0.7486, y eos 0; = 0.5472. Usando estos datos,determine la altura del Monte Everest sobre el nivel del mar.

z PA""-"^ . V " , * 3 h

Problema 2,82

2-83 La distancia del punto O al punto A es de 20 pies. La línearecta AB es paralela al eje y, y el punto B está en el plano -t-z. Ex-prese el vector de TOA en términos de sus componentes.

Estrategia: Se puede expresar rOA como la suma de un vectorde O a B y un vector de B a A. Luego se puede expresar el vec-tor de O a B como la suma de componentes vectoriales paralelas alos ejes x y z. Vea el ejemplo 2.8.

B

Problema 2.83


2.84 Las magnitudes de los dos vectores de fuerza son\FA\ = 140 Ib y |Fñ{ — !00 Ib. Determine la magnitud de la sumade las tuerzas VA + Ffl.

2.85 Determine los cosenos directores de los vectores FA y Ftí.

Problemas 2.84/2.85

>-2.86 En el ejemplo 2,8, suponga que un cambio en el vientoocasiona un cambio en la posición del globo e incrementa a 900 Nla magnitud de la fuerza F ejercida sobre el gancho en O. En lanueva posición, el ángulo entre las componentes vectoriales Fj, yF es de 35° y el ángulo entre las componentes vectoriales Ft¡ y F¿es de 40°. Haga un bosquejo que muestre la relación de estos án-gulos con las componentes de F. Exprese F en términos de suscomponentes.

2.87 Un ingeniero calcula que la magnitud de la fuerza axialen una de las vigas de un domo geodésico es |P| — 7.65 kN. Lascoordenadas cartesianas de los extremos A y B de la viga recta quese muestra en la figura son (-12.4, 22.0, -18.4) m y (-9.2, 24.4,-15.6) m, respectivamente. Exprese la fuerza P en términos de suscomponentes.

Problema 2.87

2.88 El cable BC de la tigura ejerce una fuerza F de 8 kN sobre¡abarra AS en B.

a) Determine las componentes de un vector unitario que apuntadesde el punto B hacia el punto C.b) Exprese la fuerza F en términos de sus componentes.

yB (5,6,l)m

C (3,0, 4) m

Problema 2.88

2.89 Un cable se extiende desde el punto C hasta el punto E,como se muestra en la tigura. Ejerce una fuerza T de 50 Ib sobrela placa en C dirigida a lo largo de ia línea que va de C a E. Exprese T en términos de sus componentes.

y

6 pies

D

Problema 2.89

> 2.90 En el ejemplo 2.9, suponga que la argolla de metal en Ase mueve hacia arriba de manera que la distancia vertical hastaA se incrementa de 7 a 8 pies. Como resultado, las magnitudes delas fuerzas FA3 y FAC aumentan a \FA8 - FAC| = 240 Ib. ¿Cuáles Ja magnitud de la fuerza total F = FAB + FAC ejercida por lacuerda sobre la argolla?

Problemas 59

El cable AB mostrado ejerce una fuerza FAB de 200 Ib en elpunto A dirigida a to largo de la línea que va de A a B. ExpreseF in en términos de sus componentes.

2.92 El cable^B ejerce una fuerza F¿# de 200 Ib en el punto Aque está dirigida a lo largo de la línea de A a B. El cable AC ejer-ce una fuerza FAC de 300 Ib en A que está dirigida a to iargo de lal inea que va de A a C. Determine la magnitud de la fuerza totalejercida en A por los dos cables.

C

6 pies

z A (6,0,10) pies

Problemas 2,9172.92i

2.93 La torre de 70 m de altura que se muestra está soportadapor tres cables que ejercen sobre ella las fuerzas F^, FAC y F^.La magnitud de cada fuerza es de 2 kN. Exprese la fuerza totalejercida sobre la torre por los tres cables en términos de sus com-ponentes,

2.94 La magnitud de la fuerza F4S es de 2 kN, Las componentesx y i de la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre la torrepor ios tres cables son iguales a cero. ¿Cuáles son las magnitudes

y

^ 2.95 En el ejemplo 2.10, suponga que la distancia del puntoC al collarín A se incrementa de 0.2 m a 0.3 m, y que la magnitudde la fuerza T aumenta a 60 N. Exprese T en términos de suscomponentes.

2.96 El cable AB mostrado ejerce una fuerza T de 32 Ib sobre e!collarín en A. Exprese T en términos de sus componentes.

Problema 2.96

2.97 La barra circular que se muestra en la figura tiene 4 m deradio y pertenece al plano x-y. Exprese el vector de posición delpunto B al collarín en A en términos de sus componentes.

2.98 El cable AB que se muestra en la figura ejerce una fuerza Tde 60 N sobre el collarín en A, que está dirigida a lo largo de lalínea que va de A a B. Exprese T en términos de sus componentes.

Problemas 2.97/2.98

Problemas 2.93/2.94


U

(b)

Figura 2,21(a) Vectores U y V.(!>) El ángulo 9 entre U y V cuando los dos

vectores se colocan cola con cola.

2.4 Productos puntor^^^^"^^^

_&£ rj&^&j¿¿^k^ ¿¿ ¿^^tá¿£¿&¿l£g&î¿.:S:, [C iZL¿i , ¿ .í 4í-j:.::-¿ :l?,:¿.¿-¿£S

Se ha encontrado que dos clases de productos vectoriales, el producto punto y elproducto cruz, tienen aplicaciones en casi todas las áreas científicas y de ingenie-ría, especialmente en mecánica y en la teoría del campo electromagnético. En elcapítulo 4 se usarán ambos productos para evaluar momentos de fuerzas respectoa puntos y líneas.

El producto punto de dos vectores tiene muchos usos, incluida la determina-ción de las componentes paralela y perpendicular a una línea dada para un vector,así como la determinación del ángulo entre dos líneas en el espacio.

DefiniciónConsidere los vectores U y V (figura 2.21a). El producto punto de U y V, denota-do por U • V (de ahí el nombre de "producto punto"), se define como el productoformado por la magnitud de U, la magnitud de V y el coseno del ángulo 6 entre Uy V cuando éstos se colocan cola con cola (figura 2,2 tb):

U - V = |U|V|cos0. (2.18)

Como el resultado del producto punto es un escalar, se denomina también produc-to escalar Las unidades del producto punto son el producto de las unidades de losdos vectores. Observe que el producto punto de dos vectores distintos de cero esigual a cero si y sólo si los dos vectores son perpendiculares.

El producto punto tiene tas siguientes propiedades:

U • V = V • U, El producto punto es conmutativo. (2-19)

O (U'Y) — (flU)*V = U*(aY), El producto punto es asociativo (2.20)con respecto a la multiplicaciónescalar.

U " (V + W) = U ' V + U - W , El producto punto es asociativocon respecto a la suma vectorial

para todo escalar a y vectores U, V y W cualesquiera.

(2.21)

Productos punto en términos de sus componentesEn esta sección se obtendrá una ecuación que permitirá determinar el producto puntode dos vectores si se conocen sus componentes escalares. Esta deducción tambiénresultará en una ecuación para calcular el ángulo entre los vectores. El primer paso esdeterminar los productos punto formados con los vectores unitarios i, j y k. A conti-nuación se evaluará el producto punto i • i. La magnitud |i| = 1 y el ángulo entre dosvectores idénticos colocados cola con cola es igual a cero, por lo que se obtiene

1M - COS(0)» (1)0)0) «

El producto punto de i y j es

Continuando de la misma manera, se obtiene

i - i - 1, i - j - O, i - k = O,(2.22)

k-i -* O, k-j - O, k - k = 1.

2.4 Productos punto 61

El producto punto de dos vectores U y V expresado en términos de sus com-ponentes es

U - V - (Uxi + Uyj + í/zk) • (Vxi + Vyj + V

- UXVX(\-1) + í / ,V(i - j ) + £/. rV2(i-k)

+ U z V x ( k - \ ) + í / ,Vv(k-j) + £/ ,V = (k-k) .

Para obtener este resultado se usan las ecuaciones (2,20) y (2,21). Sustituyendo lasecuaciones (2.22) en esta expresión, se tiene una ecuación para el producto puntoen términos de las componentes escalares de los dos vectores:

_f x y y z. z,~ \&*+jz*+>/

Para obtener una ecuación para el ángulo Q en términos de las componentes de losvectores, se iguala la expresión para el producto punto dada por la ecuación (2.23)con la definición del producto punto, ecuación (2.18). y se despeja eos 0:

eos 8 ~U - V

MM U V(2.24)

Componentes vectoriales paralela y normal a una líneaEn algunas aplicaciones de ingeniería es necesario expresar un vector en términosde las componentes vectoriales paralela y normal (perpendicular) a una línea dada.La componente de un vector paralela a una línea se denomina proyección del vec-tor sobre la línea. Por ejemplo, cuando el vector representa una fuerza, la proyec-ción de ésta sobre una línea es la componente de la fuerza en la dirección de lalínea.

Las componentes de un vector paralela y normal a una linca pueden determi-narse usando el producto punto. Considere un vector U y una línea recta L (figura2.22a). Es posible expresar U como la suma de las componentes vectoriales Up yUn paralela y normal a L (figura 2.22b).

Componente paralela En términos del ángulo 9 entre U y la componentevectorial Up, la magnitud de Up es

U U eos 0. (2.25)

Sea e un vector unitario paralelo a L (figura 2.23). El producto punto de e y U es

e - U = e||U cosfl - |ü| eos 0.

Comparando este resultado con la ecuación (2,25) se observa que la magnitud deUpes

U, e - U .

(2.26)

Por ío tanto la componente paralela, o proyección de U en L es

Up = (e - U)e.

(Esta ecuación se cumple aun si e no apunta en la dirección de Up. En este caso, elángulo & > 90° y e • U es negativo.) Cuando se conocen las componentes de unvector y ías componentes de un vector unitario e paralelo a una línea ¿, se puedeusar la ecuación (2.26) para determinar la componente del vector paralela a L,

Componente normal Una vez que se ha determinado la componente pa-ralela, se puede obtener la componente vectorial normal mediante la relaciónU = U + ün:

u(a)

ib)

Figura 2-22(a) Vector U y línea L.(b) Descomposición de U en sus componentes

paralela y normal a L.

Figura 2.23El vector unitario e es paralelo a L-

o.» u - up. (2.27)


•rir ^ -''-" ^ -* J ¡':"T"1"í'*'W'vT^ví1"*r "'"£*••!' ™T"lWF'5P '"T** fi*;»^??*^ *Vff •.*• J l 1/ .-7^ • ar nt> \ 5 ^1 ."n íí vi ' '.~5¿-'-v T JÍP--IÍ .r . "•*" s JJ'B

Producto puntoEl producto punto de dos vectores U y V está definido por

U-V = |Ul|Vcosf?, (2.18)

donde 9 es el ángulo entre los vectores cuando éstos secolocan cola con cola. Observe que IMJ — |XJ|2.Si (Ul * O y |V| =!*= O, U-V - O si y sólo siU y V son perpendiculares.

Producto punto en términos de componentesEl producto punto de U y V está dado en términos de lascomponentes de los vectores por

U-V = UXV UyVy UZVZ. (2.23)

U

Componentes vectoriales paralela y normal a una líneaUn vector U puede descomponerse en una componente vectorialUp que sea paralela a una línea dada L y una componentevectorial Un que sea normal a L. Si e es un vector unitario quees paralelo a L, la componente paralela de U está dada por

Up = (e-XJ) e. (2.26)

La componente normal puede obtenerse de la relación

(2.27)

n

Productos punto (> Relacionado con el problema 2.99)

Las componentes de dos vectores U y V son U = 6i - 5j - 3k y V = 4i + 2j +2k. a) ¿Cuál es el valor de U-V- b) ¿Cuál es el ángulo entre U y V cuando se colo-can cola con cola?

EstrategiaComo se conocen las componentes de U y V, puede usarse la ecuación (2.23) paradeterminar el valor de U-V. Después se puede emplear la definición del productopunto, ecuación (2.18), para calcular el ángulo entre los vectores.

2.4 Productos punto 63

Solución= (JXVX + VyVy +

4- - 3)(2)

— 8.

u|v|cos0,

eos 0 =

entoncesU-V

|U¡V|8

(4)2 + (2)2

= 0.195.Por lo tanto B = 78.7°.

Use las componentes de los vectorespara determinar el valor de U-V.

Use la definición deU-V para determinar

Problema de práctica Las componentes de dos vectores U y V son U = 6i - 5j ~ 3ky V = Vti + 2j + 2k. Determine el valor de la componente Vx tal que los vectores U yV sean perpendiculares.

Respuesta: Vx = 2.67.

Uso del producto punto para determinar un ángulo (> Relacionado con e[problema 2.100)

¿Cuál es el ángulo & entre las líneas AB y AC de la figura?

EstrategiaSe conocen las coordenadas de los puntos A, B y C, por lo que es posible determi-nar las componentes del vector rAB de A a B y del vector rAC de A a C (figura a). Des-pués puede usarse la ecuación (2.24) para determinar 0.

SoluciónLos vectores rAB y rAc, con las coordenadas en metros son

- (6 - 4)i + (1 - 3)j + (-2 - 2)k - 2i - 2j - 4k (m),- (8 - 4)i + (8 - 3)j + (4 - 2)k = 4i + 5j + 2k (m).

Sus magnitudes son

(6,1,-2)m

\TM\ = V(2m}2 + (- (-4 mf = 4.90 m,

(8,8,4)m

9

|r,4C - V(4 m)2 + (5 m) + (2 m)2 - 6.71 m.

El producto punto de rA8 y rAC es

TAB-TAC = (2m)(4m) + ( -2m)(5m) + ( - 4 m ) ( 2 m ) = -10m2.Por lo tanto,

-10m2

(4,3,2) m•

(a) Vectores de posición r^ y rAC

COS & —(4-90m)(6.7Lm)

- -0.304.

El ángulo O = arceos (-0.304) = 107.7°.

Razonamiento crítico¿Cuál es el significado de que el producto punto de dos vectores sea negativo? Dela ecuación (2.18) y la gráfica del coseno (figura b), puede observarse que el pro-ducto punto es negativo, como en este ejemplo, sólo si el ángulo incluido entre losdos vectores es mayor de 90°.

O

(b) Gráfica de eos B.

90' 130'


til*fe*

Componentes vectoriales paralela y normal a una línea (> Relacionado con elproblema 2.111)

Suponga que usted jala el cabie ÜAque se muestra en la figura ejerciendo una fuer-za F de 50 N en O. ¿Cuáles son las componentes vectoriales de F paralela y normalal cable Ofi?

,6,-3)m

O

Af

XA-*r

B

(a) Componentes de F paralela y ñormal a OB.

- m

(lQ,-2,3)mB

(b) Vectores de posición TOA y TOB.

(c) Vectores unitarios cw y eOB

EstrategiaA! expresar F como la suma de sus componentes vectoriales paralela y normal a OB(figura a), es posible determinar éstas usando las ecuaciones (2.26) y (2.27), Sinembargo, para aplicar tales ecuaciones primero debe expresarse F en términos de suscomponentes escalares y luego determinar las componentes de un vector unitario pa-ralelo a OB, Es posible obtener las componentes de F determinando las compo-nentes del vector unitario que va de O a A y multiplicándolas por ¡F|.

SoluciónLos vectores de posición d e O a A y d e O a S son (figura b)

6i + 6j - 3k (m),

lOi - 2j + 3k (m).

Sus magnitudes son jr^j = 9 m y \rO8\ = 10.6 m. Dividiendo estos vectores entresus magnitudes se obtienen vectores unitarios que van del origen hacia A y hacia B(figura c):

ói + ój - 3k (m)

9m

lOi - 2j -f 3k(m)

- G.667Í + G.667J - Q,333k,

\rOB\ 10.6 m

La fuerza F en términos de sus componentes escalares es

F = |Feo, - (50N)(0.667i + 0.667J

= 33.3Í + 33.3J - 16.7R (N).

Tomando el producto punto de eO8 y F se obtiene

- (0.94I)(33.3N) + (-0.188)(33.3N)

= 20.4 N.

= 0.941Í - 0.188J + 0.282k.

0.333k)

(0.282)(-16.7 N)

La componente paralela de F es

Fp - (eofl-F)eos = (20.4 N)(0.941i - 0.188J

= 19.21 - 3.83J + 5.75k (N),•

y la componente normal es

Fn = F - F = 14.2Í + 37-2J - 22.4k (N).

0.282k)

Razonamiento crítico¿Cómo se puede coafirmar que los dos vectores son perpendiculares? Resultaclaro, de fa ecuación (2.18), que el producto punto de dos vectores diferentes decero es cero si y sólo si el ángulo incluido entre ellos es 90°, Este diagnósticopuede usarse para confirmar que las componentes de F determinadas en este ejem-plo son perpendiculares. Evaluando el producto punto de Fp y Fn en términos desus componentes en newtons, se obtiene

+ (-3.83)(37.2) + (5.75)(-22.4) = 0.

Problemas 65

Problemas

Kn H ü j r inp lo activo 2 . 1 1 , suponga que el vector V seeamhiüi i V - <1I M H)k.n) ¿Curtí es el v n l n i « I r U ' V ?lo ¿C'iuíl i*s rl ríiifiuln n i l rv U y V rn¡mcln ésfos se colocan cola

con colu?

> 2.100 l > n el r j r m p l n 2 . 12 , *H|umph¡i qiu- las coordenadas delpunto li se cambian a (h, -1 . - 1 ) ni. ¿Curtí i<* el i ln^nln fl entre laslíneas Afí y ACV

2.101 ¿Cuál es el punIncUi punió del vcclor de posición

r = _IQÍ + 25j (m) y la IUCP/Ü F - 3001 I 250J i .UHÍk ( N ) 7•

2.102 Suponga t|iie el produclo punió de dos vcclnrcs U y V esU • V — 0. Si |U| ^ 0. ¿t|ué se sahc acerca del vector V?

j-

2.1 03 Dos vectores perpendiculares están dados en términos desus componentes por U - U x\ 4j + 6k y V = 3i + 2j - 3k_ Useel producto punto para determinar la componente Ux*

2.104 Los tres vectores

U ^ Ux\ + 3j + 2k,

V = -31 j + 3k,

= -2i + 4j +

son mutuamente perpendiculares. Use el producto punto para determinar las componentes í/^, Vy y Wz,

2.105 Se tienen las magnitudes |U| - 10 y ¡Vi -

a) Use la ecuación (2. 1 8) para determinar U - V.

b) Use la ecuación (2.23) para determinar U • V.

20.

Problema 2.105

2.106 Evaluando el producto punto U * V, demuestre la identi-dad cosíO, - 02) = eos 9{ eos 62 + «en 0¡ sen fl2-

Estrategia: Evalúe el producto punto usando las ecuaciones(2.18) y (2.23).

&>

Problema 2.106

2.107 Use el producto punto para determinar el ángulo entre elcable Afí y el cable BC de! velero que se muestra en ia figura.

B (4,13)m

Problema 2.107

2.708 Determine el ángulo B entre las líneas AB y AC

a) usando la ley de los cosenos (vea e! apéndice A);

b) usando el producto punto.

(5,-1,3) na

Problema 2.108


2.109 El barco O mide las posiciones del barco A y del avión By obtiene las coordenadas que se muestran. ¿Qué valor tiene el ánguio O entre las líneas de vista OA y OBI

(4,4,-4) km

(6,0,3) km

Problema 2.109

2.TÍO En el trasbordador espacial, los astronautas usan radarpara determinar las magnitudes y los cosenos directores de losvectores de posición de dos satélites A y ñ. El vector rA del tras-bordador al satélite A tiene una magnitud de 2 km y cosenos direc-tores eos 8¿ = 0.768, eos 0V = 0384, eos 9Z = 0,512. El vector rfí

del trasbordador al satélite B tiene una magnitud de 4 km y cose-nos directores eos Qx = 0.743, eos fl> = 0,557, eos 0. ~ -0371.¿Cual es el ángulo 9 entre los vectores r¿ y rfi?

Problema 2.110

2,111 En el ejemplo 2.13, si usted cambia su posición y lascoordenadas del punto A donde aplica la fuerza de 50 N se con-vierten en (8Y 3, -3) m, ¿cuál es la componente vectorial de F pa-ralela al cable OBI

2.112 Una persona ejerce una fuer/a F = 60¡- 40j (N) sobre lamanivela de la máquina para hacer ejercicio que se muestra en lafigura. Use la ecuación (2.26) para determinar la componente de Fque es paralela a la línea que va desde el origen O hasta donde lapersona empuña la manivela.

Problema 2.112

2.113 En el instante mostrado, el vector de empuje del Harrier esT = 17,000i + 68,000j - S.OOOk (N) y su vector de velocidades v = 7.3i + 1.8j~0.ók(m/s). La cantidad P= |TpHv|, dondeTp es la componente vectorial de T paralela a v, es la potenciaque en este instante transfiere el motor al avión. Determine elvalor de ¡\

• •:-' -• f• ' - •. ^ .

Problema 2.113

Problemas 67

A I M Dos cables se extienden de A a B y de A a C. El cable ACi ' jni r nna fuerza F de 1000 Ib en A.

,0 ¿(Juií valor tiene el ángulo entre los cables AS y AC?

M I Vh'rmine la componente vectorial de F paralela al cable AB.

¿.115 Sea TAQ el vector de posición que va del punto A al punto/ f , Determine la componente vectoria! de TAB paralela al cable AC

«Ji (0,7,0) pies

> G,10) pies(14,0,14) pies1

Problemas 2.114/2.115

2.116 Se tiene la fuerza F = lOi + 12j - 6k (N). Determine tascomponentes vectoriales de F paralela y normal a la línea OA.

Problema 2.116

2.117 La cuerda AB ejerce una fuerza T de 50 N sobre el colla-rín A. Determine la componente vectoria! de T que es paralela a labarra CD.

2.118 En el problema 2.117, determine la componente vectorialde T que es normal a la barra CD.

0.15 m

Problemas 2,117/2.118

2.119 El disco A está en el punto medio de la superficie inclina-da que se muestra en la figura. La cuerda que va de A a B ejerceuna fuerza F de 0.2 Ib sobre el disco. Si F se expresa en términosde las componentes vectoriales paralela y normal a la superficieinclinada, ¿cuál es la componente normal a la superficie?

»2.120 En el problema 2.119, ¿cuál es la componente vectorial deF paralela a la superficie?

y

B 0 (0,6,0) pies



2.121 Un astronauta se aproxima a una estación espacial en unaunidad de maniobras. En el instante presente, la estación informaque la posición relativa del astronauta al origen del sistema coor-denado de la estación es rG = 50i + 80j + 180k (m) y su veloci-dad es v — -2.2j - 36k (ru/s). La posición de la entrada a uncompartimiento es r^ = -12i + 20k (m). Determine el ánguloentre el vector de velocidad del astronauta y la línea que va de suposición a la ubicación de la entrada del compartimiento.

2.122 En el problema 2.121, determine la componente vectorialde la velocidad del astronauta paralela a la línea desde su posiciónhasta la ubicación del compartimiento.

2.123 El punto P se encuentra a 30°W de longitud y a45QN delatitud sobre el Océano Atlántico, entre Nueva Escocia y Francia.El punto Q se encuentra a 6QQE de longitud y a 20°N de latitud enel mar de Arabia. Use el producto punto para determinar la distan-cia más corta sobre la superficie de la Tierra entre P y Q en térmi-nos del radio terrestre RE.

Estrategia: Use el producto punto para determinar el ánguloentre las líneas OP y OQ\ después use la definición de un ángulo enradianes para determinar la distancia sobre la superficie de la tierradesde P hasta Q.

Problemas Z121/2.122

Ecuador

Problema 2.123

2.5 Productos cruz

ANTSC DEN'TES V -*'t, .:*+•-—

Igual que el producto punto, el producto cruz de dos vectores tiene muchas aplica-ciones, entre otras la determinación de la velocidad de rotación de una partícula defluido y el cálculo de la fuerza ejercida sobre una partícula cargada por un campomagnético. Debido a su utilidad en el cálculo de momentos de fuerzas, el productocruz es una herramienta indispensable en la mecánica. En esta sección se mostrarácómo evaluar los productos cruz y se darán ejemplos de aplicaciones sencillas.

DefiniciónConsidere dos vectores U y V (figura 2.24a). El producto cruz, de U y V5 denota-do por U X V, se define como

U X V = |U||V| sen Q e. (2.28)

El ángulo 9 es el ángulo entre U y V cuando los vectores se colocan cola con cola(figura 2.24b). El vector e es un vector unitario definido como perpendicular a Uy a V. Como esto implica dos posibles sentidos para e, los vectores U, V y e sedefinen como un sistema derecho. En la figura 2.24c se muestra la regla de lamano derecha para determinar la dirección de e. El pulgar de la mano derechaapunta hacia e cuando los cuatro dedos restantes, que apuntan hacia el vector U (elprimer vector en el producto cruz), se doblan hacia el vector V (el segundo vectoren el producto cruz).

Debido a que el resultado del producto cruz es un vector, se le suele llamartambién producto vectorial. Las unidades de! producto cruz son el producto de las

2.5 Productos cruz 69

niml íu l ivs de los dos vectores. Note que el producto cruz de dos vectores diferentesti l - cero es i f j ia l a cero si y sólo si los dos vectores son paralelos.

Una propÍL*d¡uJ iniLTesunte del producto cruz consiste en que no es conmuta-tivo, l , n rnmcu'iii (2.28) implica que la magnitud del vector U X V es igual a la

M drl wctor V X U, pero la regla de la mano derecha indica que estos vec-m o j i u r s i i M IMI i l iuM/uon (f igura 2.25). Esío es,

[I X V V X V), l!l ¡mnlucto c r u / n o es conmutativo.

produrlo u u/ h i m l m > Mi l i s l ac í* las relaciones

„ ( I I • V) (tt\\) - V II X («V) El producto cruz es

asociativo con respecto

a la multiplicación

escalar.

(2.29)

(2.30)

(a)

(b)

U X (V I W) (I! X V ) h (U X VV) Hl producto cruz es

distributivo con

respecto a la suma

vectorial.

(2.3!)

para indo escalar a y vectores U, V y W cualesquiera.

Productos cruz en términos de sus componentesPañi obtener una ecuación para el producto cruz de dos vectores en términos desus componentes, se deben determinar los productos cruz formados con los vecto-res unitarios i, j y k. Como el ángulo entre dos vectores idénticos colocados colacon cola es igual a cero, se deduce que

i X i = |i| i sen (0) e = 0.

El producto cruz i X j es

¡Xj = ¡ i j ( j | sen9G°e-e 1

donde e es un vector unitario perpendicular a i y j. e = k o bien ela regla de la mano derecha, e = k (figura 2.26). Por lo tanto,

i X j = k.

Continuando de la misma manera se obtiene

i X i - O, i X j - k, i X k - -j,

J x 1 - -k. J x J « O, j x k - i,k x ¡ = j, k x j - -i, k x k - 0.

-k. Aplicando

(2.32)

Para recordar estos resultados con facil idad, se disponen los vectores en círculocomo se muestra en la figura 2.27a. El producto cru/ de vectores adyacentes esigual al tercer vector cun un signu positivo si e! orden de los vectores en el pro-ducto cruz es el orden indicado por las flechas, y con un signo negativo en casocontrario. Por ejemplo, en la figura 2.27b se ve que i X j = k, pero i X k = — j.

líl producto cru/ de dos vectores (J y V expresado en función de sus compo-nentes es

U x V m (u,\ \ uyj + í/,k) X (l^¡ + Vyj + V.k)= uxvx(\ x ¡) + uxvy(\ x j) + uxvz(i x k)

+ Í/,V,(J X i) + UyVy(i X j) + f/,K(j X

+ UzVx(k X ¡) + í/zVy(k X j) + UzVz(k x k)

(c)

Figura 2.24(a) Vectores U y V.f(b) Ángulo O entre los vectores cuando se

colocan cola con coia.(c) Determinación de la dirección de e me

diante la regla de la mano derecha.

U X V

i• V

v

- u

V X U

Figura 2.25Direcciones de U X V y V X U


Figura 2.26La regla de la mano derecha indica quei x j - k.

(a)

¡ X j - k i x k - - j

(b)

Figura 2.27(a) Disponga los vectores unitarios en un círcu

lo con flechas que indiquen su orden.(b) El círculo se puede usar para determinar

sus productos cruz.

Al sustituir la ecuación (2.32) en esta expresión se obtiene la ecuación

u x v = (uyv, - c/.vyi - (uxvz -(2.33)

Este resultado se puede escribir en forma compacta como el determinante• •i J

U X V (2.34)ux uy u,V, Vy V,

Esta ecuación se basa en las ecuaciones (2.32) que se obtuvo usando un sistemacoordenado derecho. Da el resultado correcto para el producto cruz sólo si se usaun sistema coordenado derecho para determinar las componentes de U y V.

Evaluación de un determinante de 3 x 3Un determinante de 3 X 3 se puede evaluar repitiendo sus dos primeras columnasy evaluando los productos de los términos en las seis diagonales:

Sumando los términos obtenidos con las diagonales que van de arriba hacia abajoa la derecha (flechas azules), y restando íos términos obtenidos con las diagonalesque van de arriba hacia abajo a la izquierda (flechas negras), se obtiene el valor deldeterminante;

i/sv-,j.íW

i

#xv»

3Uy

V

k

^z

V,

Un determinante de 3 X 3, también puede evaluarse expresándolo como. .

lfJ **

ux uy uzV V VYx Yy yi

•— 1

V Vvy yz- j

U.

V, V,+ k

U

vx

Los términos de la derecha se obtienen multiplicando cada elemento de la prime-ra fila del determinante de 3 X 3 por el determinante de 2 X 2 que se obtienetachando la columna y la fila en que se encuentra ese elemento. Por ejemplo, elprimer elemento de la primera fila, i, se multiplica por el determinante de 2 X 2

k

£V,

Recuerde que el segundo término se resta. Desarrollando los determinantes de 2 X 2se obtiene el valor del determinante:

J

Uy , - t/rVy)Í - (UXVZ - UZVX)\ + (UxVy -

Productos triples mixtosEn el capítulo 4, cuando se analice el momento de una fuerza respecto a una línea,se usará una operación denominada producto triple mixto definido por

U*(V X W). (235)


(¿nimios Je las componentes escalares de los vectores.

U - ( V x \V) = (Uxi í/,k)

VWx)

Este resultado se puede expresar como e) determinante

U - ( V X W)u.V,

«

V*_

(vxw -

(2.36)

Si se intercambian dos vectores cualesquiera en el producto triple mixto, se cam-bia el signo pero no el valor absoluto del resultado. Por ejemplo,

^

U - ( V X W) - -W-(V X U).

S¡ los vectores U, V y W en !a figura 2.28 forman un sistema derecho, puededemostrarse que el volumen del paralelepípedo es igual a U • (V-X W).

W

Figura 2.28Paralelepípedo definido por los vectores U, Vv W.

Producto CruzEl producto cruz de dos vectores U y V está definido por

U X V = lU||V|sen0e. (2-28)Como en el producto punto, Q es el ángulo entre los vectorescuando éstos se colocan cola con cola. El vector unitario ese define perpendicular a U, perpendicular a V, y dirigido detal manera que U, V, e forman un sistema derecho. Si|U| * O y |V| * O, U X V - O si y sólo si U y V sonparalelos.

Producto cruz en términos de sus componentesEl producto cru/ de U y V está dado en términos delas componentes de los vectores como

U X V - (UyVt ~ UtVy)i - (UxVt - t/:V,)j.

+ (UxVy - UyVx)k (2.33)

¡ J

VX Uy u*y.

(2.34)


Producto triple mixtoLa operación U-(V X W) se llama el producto triple mixto delos vectores U, V y W. Puede expresarse en términos de lascomponentes de los vectores mediante el determinante

U-(V x W) =ux uy

v,W,

V, (2.36)

Cuando U, V, W forman un sistemaderecho, el volumen del paralelepípedomostrado es igual a U-(V X W),

W

Productos cruz l> Relacionado con el problema 2.124)

Las componentes de dos vectores U y V son U = 6i - 5j — k y V — 4i + 2j + 2k.a) Determine el producto cruz U X V. b) Use el producto punto para probar queU X V es perpendicular a U.

Estrategiaa) Como se conocen las componentes de U y V, se puede usar la ecuación (2.33) paradeterminar U X V. b) Una vez determinadas las componentes del vector U X V,puede probarse que éste es perpendicular a U al demostrar que (U X V) • U = O,

-

Solución

U X V - \ - (UXVZ -

(UxV ~ t/yV,)kxy

32k.

(U X V)-U - (U X V)XUX + (U X V)yUy + (U X V)rí/j

+ (-16X-5) +

(a) Use las componentes de losvectores para determinar U X V

= 0.

(b) Demuestre que (U X V)-U = O,

Problema de práctica Las componentes de dos vectores U y V son U = 3i + 2j - ky V = 51 — 3j — 4k. Determine las componentes de un vector unitario que sea perpen-dicular a U y perpendicular a V.

Respuesta: e = -0.477Í + 0.304J - 0.825k o bien e = 0.477Í - 0.304J + 0.825K.


r*— *>»wpWWj* •*• Jl lír-'F^wfJ

I j1 iHJ'll) títi? | Distancia mínima de un punto a una línea

( ' u in i i l i 'K- lus líneas rectas OA y OB de la figura.n i I viriMimc las componentes de un vector unitario que sea perpendicular a OA y

(> Relacionado con el problema 2.133)

!)) ¿( 'n¡'il es la distancia mínima del punto A a la línea OS?

u) Scun rOA y r08 los vectores de posición d e O a A y d e O a S (figura a). Como elproducto cruz ro¿ X rOB es perpendicular a rOA y a rOB, dicho producto será deter-minado para después dividirlo entre su magnitud para obtener un vector unitariopnpcndicular a las líneas OA y OB.b) La distancia mínima de A a la linea OB es la longitud d de la línea recta que vadesde A hasta OB que es perpendicular a OB (figura b). Se puede ver que d = \rOA

sen 0, donde 6 es el ángulo entre rOA y rOB, De la definición del producto cruz, lamagnitud de rOA X rOB, es \:OA ro$\ sen d, por lo que es posible determinar d divi-diendo la magnitud rOA X rOB entre la magnitud de

Solucióna) Las componentes de rOA y TOB son

- lOi - 2j -f 3k (m),— 6i -H 6j — 3k (m).

Usando la ecuación (2.34) se obtiene TOA X rOB:

i i kJ10 -2 36 6 - 3

i + 48j + 72k(m2)

Este vector es perpendicular a rOA y a rOB. Al dividirlo entre su magnitud se obtiene un vector unitario e que es perpendicular a las líneas OA y OB:

-12¡ + 48j + 72k(m2)rOA X rOfie =TOA x fQB\ V(-12m2)2 + (48 m2)2 + (72 m1)2

- -0.1 37i + 0.549J + 0.824k.

b) De la figura (b) se sabe que la distancia mínima d es

(M sen .

La magnitud de r(M X r(J/¡ es

I Y* "" fe* I I" \W~ - I • I t f í

\*OA A r<W\ r()A\\lUW 7-

Despejando sen O de esta cuiiu-irin se obtiene que la distancia d es

x rwt|\ |r^ x~J"Jd « ríM

a»

V(-\2 m2)2 (48 m2)2

V(6= 9.71 m.

Razonamiento criticoEste ejemplo es una ilustración del poder de los métodos vectoriales. La determi-nación de la distancia mínima del punto A a la línea OB puede formularse como unproblema de minimización en cálculo diferencial, pero la solución vectorial que sepresenta aquí es mucho más simple.

B(6,6,-3)m

X(10,-2,3)m

(a) Vectores rOA y rOfl.

(b) Distancia mínima dde A a lalínea OB.


Componente de un vector perpendicular a un plano (> Relacionado con el problema 2.139)

[f (0.2.0.4,-0.1) m

C(0,0.2,0)m

D

(G.5,0,G)m

T- _r

{035,0,0.2)01

CD

(a) Determinación de un vector unitario per-pendicular a la puena

La cuerda CE que se muestra en la figura ejerce una fuerza T de 500 N sobre la puer-ta ABCD, ¿Cual es la magnitud de la componente de T perpendicular a la puerta?

EstrategiaSe dan ias coordenadas de las esquinas A, 5, y C de la puerta. Si se toma el productocruz del vector de posición rcfí de C a B y el vector de posición rCA desde C hastaA, se obtendrá un vector que es perpendicular a la puerta. Se puede dividir el vec-tor resultante entre su magnitud para obtener un vector unitario perpendicular a lapuerta y después aplicar la ecuación (2.26) para determinar la componente de Tperpendicular a la puerta.

Solución•¡

Las componentes de rcs y rCA son

rCB = 0.35Í - 0.2j + 0.2k (m),

rCA = 0.5Í - 0.2J (m).

Su producto cruz es

rCA

i J0.35 -0.20.5 -0.2 O

= 0.04Í + O.lj + 0.03k(m2).

Al dividir este vector entre su magnitud, se obtiene un vector e unitario que es per-pendicular a la puerta (figura a):

CA (XG4i + O.lj + (X03k(m2)x

e =x **oj V(0.04m2)2 + (0.1 m2)2 + (0.03 m1)2

- 0.358Í + 0.894J + 0.268k.

Para usar la ecuación (2.26) es necesario expresar T en términos de sus compo-nentes escalares. El vector de posición de C a £ es

TCE = 0.2i + 0.2j - O.lk (m),

entonces, la fuerza T puede expresarse como

T = TCE

rCE= (500 N)

0.2i + 0.2j - O.lk(m)

V(0.2m)2 + (0.2 m)2 + (-0.1 m)2

- 333i + 333j - Í67k (N).

La componente de T paralela al vector unitario e, que es la componente de T per-pendicular a la puerta, es

(e-T)e = [(0.358)(333N) + (0.894)(333 N) + (0.268)(-167 N)]e- 373e (N).

La magnitud de la componente de T perpendicular a la puerta es 373 N.

Razonamiento critico¿Por qué resulta útil determinar la componente de la fuerza T perpendicular a lapuerta? Si el eje y es vertical y la cuerda CE es lo único que evita que la puertacaiga, puede verse de manera intuitiva que es la componente de la fuerza perpen-dicular a la puerta la que la mantiene en su lugar. En el capítulo 5 se analizan pro-blemas de este tipo.

Problemas

Problemas 75

J.\JA i \\\ el ejemplo activo 2.14, suponga que e! vector Vriimhi:i ¡i V ~ 4i — 6j — lOk. a) Determine el producto cruz

U - V. h) Use el producto punto para probar que U X V es per-pendicular a V.

-' 125 Se tienen ios vectores U = 3i + 2j y V = 2i + 4j.

; i ) ¿Qué valor tiene el producto cruz U X V?

h) ¿Qué valor tiene el producto cruz V X U?H

2.126 Los dos segmentos de la barra en forma de L que semucslra en la figura son paralelos a los ejes x y z. La cuerda ABejerce una fuerza de magnitud F — 500 Ib sobre la barra en -4.I )ctcrmine el producto cruz rC4 X F, donde rCA es el vector deposición del punto C al punto A.

2.127 Los dos segmentos de la barra en forma de L que semuestra en la figura son paralelos a los ejes x y z. La cuerda ABejerce una fuerza de magnitud |F¡ — 500 Ib sobre la barra en A.Determine el producto cruz rCB X F, donde rCB es el vector deposición del punto C al punto B. Compare su respuesta con la queobtuvo para el problema 2.126,

(6,0,4) pies

2.126/2.127

2.128 Suponga que* H p n u l i i r l t » u u/ di- dos vectores I) y V esU X V 0. Si I I | / O, ¿t|iié se sabe acere» tlcl vector V?

2.1 ZV l i l prodiiL'iu LTU/ de dos vectores U y V rs U X V = -30i+ 40k, Kl vector V -= 41 - 2J + 3k. El vector U = 41 + Uyj +U* k. Determine Uy y Uz.

2.130 Se tienen las magnitudes |U¡ - l O y V -20.

a) Use la definición del producto cruz para determinar U X V.

b) Use ía definición del producto cruz para determinar V X U

c) Use la ecuación (2.34) para determinar U X V,

d) Use la ecuación (2.34) para determinar V X U.

y

U

Problema 2.130

2-131 Se tiene la fuerza F = 10¡ — 4j (N). Determine el producto cruz rAB X F.

(6, 3,0) ni

0,4) m .

Problema 2.131

2.132 Demuestre la identidad sen (Ol — 02) = sen 0l eos 02

eos 0, sen 02, evaluando el producto cruz U X V,

Problema 2.132

^ 2.133 En el ejemplo 2.15, ¿cuál es la distancia mínima delpunto B a la línea OA?


2-134 a) ¿Cuál es el producto cruz TOA X r^? b) Determine unvector unitario e que sea perpendicular a rOA y TOB,

2.135 Use el producto cruz para determinar la longitud de lalínea recta más corta del punto B a ia línea recta que pasa a travésde los puntos O y A,

yB (4,4, -4} ra

A (6, -2,3) m


2.136 El cable BC ejerce una fuerza F de 1000 Ib sobre el gancho en B, Determine

—.x

Problema 2.136

2.137 El vector de tuerza F apunta a lo largo de una línea rectadesde el punto A hasta el punto B. Su magnitud es ÍF| = 20 N. Lascoordenadas de los puntos A y 6 son j^ - 6 m, yA = 8 m, ZA = 4 my XH = 8 m, yB = 1 m, ZB — —2 m.

a) Exprese el vector F en términos de sus componentes.

b) Use la ecuación (2.34) para determinar los productos cruz rA XF y r 5 x F .

yA

2.138 La cuerda AB ejerce una fuerza T de 50 N sobre el colla-rín en A. Sea rCA el vector de posición del punto C al punto A. De-termine el producto cru/ rCÁ X T.

Problema 2.137

0.15 m

0.2 m 0.3 m

0.25 m

Problema 2.138

2,139 En el ejemplo 2,16, suponga que el punto de unión Esemueve a la ubicación (0.3, 0.3, 0) m y la magnitud de T se incre-menta a 600 N. ¿Cuál es la magnitud de la componente de T per-pendicular a la puerta?

2.140 La barra AB tiene 6 metros de largo y es perpendicular alasbarras AC y AD. Use el producto cruz para determinar las coorde-nadas ¿y* yB y ZH del punto B.

y

(0,3,0) m

Problema 2,140

Problemas de reposo 77

' I I I ' l v i f t i n i í i i ! la distancia mínima del punto P al plano dcfiiM' ln I K H |us iii's puntos A, B y C.

I I . (0,5,0) m

(9, 6, 5} m

(3, O, 0) m

{0.0,4) m

Problema 2.141

2. \ M" \(\ vector de fuerza F apunta en dirección de la línea rectai|iii- va ild punto A al punto B, Use las ecuaciones (2.28)—(2.31)p/n ¡i demostrar que

rfi X F = TA x F.

Estmiegia: Sea rAS e! vector de posición del punto A al puntoU líxprcse r,| en términos de r^ y rAB. Observe que los vectoresrAti V ' 'M m paralelos.

2,143 Para los vectores u = 6i + 2j - 4k, V = 2i + 7j y W3Í + 2k, evalúe los siguientes productos triples mixtos:

a) U - ( V X W);

b) \V-(V X U);•

I c) V - ( W X U),

2.144 Use ei producto triple mixto para calcular el volumen delparalelepípedo.

(140, 90, 30) mm". - 'v.

.,-J-l" 1' |- „"_

« - •-,::> &, -- "-'*•

' - '. -

-, v^-

":l " \(20G,G,G)mm^*^—^v<. .--.^^^ ^^—x

•#- ''¿ZZ##~¿,-.,-"•

(160,0,100) mm

Problema 2.144

2.145 Usando las ecuaciones (2.23) y (2.24) demuestre que

U - ( V X W)íí.v*wx

Uy

Vy

Wy

Vtvzwz

Problema 2.142

2.146 Los vectores U = i + Uyj + 4k, V = 2i + j - 2k, yW = -3i + j — 2k son coplanares (se encuentran en el mismoplano). ¿Qué valor tiene la componente f/v?

Problemas de repaso

2.147 (iii l . i t irina, la maîulini tic I1' rs tic K kN, [Exprese F entérminos tic sus componentes cscahtrcs,

X\\

Problema 2.J47

in

2.148 La magnitud de la fuerza vertical W que se muestra esde 600 Ib y la magnitud de la fuerza B es de 1500 Ib. Si A + BW = 0T determine la magnitud de la fuerza A y el ángulo a.

Problema 2.148


2.149 La magnitud del vector de fuerza vertical A es de 200 ib.Si A + B + C = O, ¿qué valor tienen las magnitudes de los vectores fuerza U y C?

2.150 La magnitud del vector de fuerza horizontal D es de 280 ib.

Si D + E + F = O, ¿qué valor tienen las magnitudes de los vecto-res fuerza E y F?

100 pu!g

50 pulg

i *tf E-Sre "i-í ^T-H^V -


Para resolver los problemas 2.151 a 2.157 consulte elsiguiente diagrama.

(4,4,2) pies

F = 20i + 10J - lOk (Ib)

B (8,1, -2) piesx

Problemas 2.151-2.157

2.151 ¿Qué valor tienen los cosenos directores de F?

2.152 Determine las componentes de un vector unitario paraleloa la línea AB que apunta desde A hacia B.

H

2.153 ¿Qué valor tiene el ángulo 9 entre AB y la fuerza F.

2,154 Determine la componente vectorial de F paralela a lafínea AB.

2.155 Determine la componente vectorial de Fque es normal ala línea AS.

2,156 Determine el vector TBA X F, donde i>A es el vector de posicion de B a A.

2.157 a) Escriba el vector de posición rAJÍ del punto A al punto Ben términos de sus componentes.

b) El vector R tiene magnitud ¡R =200 Ib y es paralela a la líneaque va de A a B. Determine el vector R en términos de sus compo-

2,158 La cuerda que se muestra en la figura ejerce una fuerza demagnitud |F| = 200 Ib sobre la parte superior de! poste en B.

a) Determine el vector rAB x F, donde rAB es el vector de posiciónde A a B.

b) Determine el vector rAc X F, donde r^c es el vector de posi-ción de A a C

B (5,6,1) pies

C (3,0,4) pies

Problema 2.158

2.159 El poste que soporta el letrero es paralelo al eje xy tiene 6pies de longitud. El punto A está contenido en el plano y-z* a) Ex-prese el vector r en términos de sus componentes, b) ¿Cuál es elvalor de los cosenos directores de r?

; Cataratí Bedfufd

Problema 2,159

Problemas de repaso 79

J IM) I n < uni|iHMniir , ilrl vcctnr tli1 l'ucr/a F es de 80 Ib. a) Ex

pn-'H1 I1' rn 1iM ni lMMS ili1 sus i'iiin|>nnniles. b) ¿Cuáles son los angu-

ín* H^ f^ v ". i'iiiir I'1 y Km ejes coordenados positivos?

Problema 2.160

2.161 La magnitud del vector de fuerza ¥B es de 2 kN. Expréseloen función de sus componentes escalares.

2.162 La magnitud del vector de fuerza vertical F es de 6 kN.Determine las componentes vectoriales de F paralela y normal a lalínea que va de B a O.

2.163 La magnitud del vector de fuerza vertical F es de 6 kN.Dado que F + F¿ + Fs + Fc = 0T ¿cuáles son las magnitudes de

F* F* y FC?

B {5,Q,3)m

Problemas 2.161-2.163

2.164 La magnitud de la fuer/a vertical W es de 160 N.Los cosenos directores deí vector de posición de A a B soneos Bx - 0.500, eos 9y - 0.866 y eos 0, = O, y los cosenosdirectores del vector de posición de B a C son eos 0V = 0.707,eos 9y = 0,619 y eos 0, ~ —0.342. El pumo Gcs el punto mediode la línea de B a C. Determine el vector r^ X \V, donde rA$ esel vector de posición de A a G.

T ' tóft '

Problema 2,164

2.165 La cuerda CE ejerce una fuerza T de 500 N sobre la puerra con bisagras que se muestra en la figura.

a) Exprese T en términos de sus componentes.

b) Determine la componente vectorial de T que es paralela a lalínea que va del punto A al punto B.

2.166 En el problema 2,165, sea rBC el vector de posición delpunto B al punto C. Determine el producto cruz rfíc X T.

(0.2,0.4, -0.1) m

A (0.5,0,0)01

C(0,0.2,0)m

B'.35,0,0.2) m


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Nemotidos S.a.C - Mecanica Para Ingenieria (Estatica) = Bedford - Fowler