Introducción iv
1 Problema físico y modelado matemático 1 1.1 Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Presentación del modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Formulación en conjunto de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Resolución numérica con FEM del problema de Navier-Stokes bifásico 7 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Formulación variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Discretización en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Discretización en espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Descripción matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.1 Comportamiento de algoritmo hidrodinámico, con interfase dada, para distintos ratios de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Resolución numérica de la ecuación del transporte 23 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Resolución de la ecuación del transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Reinicialización reini RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4 Reinicialización reini SSO y reinicialización con conservación de la masa
reini FS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1 Test 1: calidad de la aproximación de G(φ) . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5.2 Test 2: Calidad de los procesos de reinicialización . . . . . . . . . . 37 3.5.3 Test 3: Calidad del algoritmo de transporte con reinicialización en
1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5.4 Test 4: Calidad del algoritmo del transporte con reinicialización en
2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5.5 Ensayo 2: Comportamiento del acoplamiento hidrodinámico con
transporte para distintos ratios de densidad . . . . . . . . . . . . . 51
4 Implementación numérica de la tensión superficial 57 4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
i
ii CAPÍTULO 5. XFEM PARA NAVIER-STOKES BIFÁSICO
4.2 Estimación de la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.1 Cálculo de la curvatura a partir de la función conjunto de nivel . . 58 4.2.2 Implementación numérica de la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Resultados numéricos sobre la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3.1 Test 5: Aproximación de la curvatura sobre una circunferencia . . . 61 4.3.2 Test 6: Aproximación de la curvatura sobre una elipse con ejes
paralelos a los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.3 Test 7: Aproximación de la curvatura sobre una elipse cuyos ejes
no son paralelos a los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3.4 Test 8: Acoplamiento del cálculo de la curvatura sobre la frontera
de una burbuja con el transporte de la misma . . . . . . . . . . . . 64 4.4 Resultados numéricos con tensión superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.1 Test 9: Modelo hidrodinámico con transporte y tensión superficial . 68 4.5 Ensayos numéricos con datos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5.1 Ensayo 3: Experimento de Hnat y Buckmaster . . . . . . . . . . . . 72 4.5.2 Ensayo 4: Experimento de Bhaga y Weber . . . . . . . . . . . . . . 78 4.5.3 Ensayo 5: Colisión entre burbujas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Método XFEM aplicado al problema de Navier-Stokes bifásico 87 5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2 Discretización en espacio con enriquecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.3 Descripción matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.4 Enriquecimiento de Belytschko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.5 Enriquecimiento de Gross-Reusken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.6 Partición de un elemento enriquecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.7 Cálculo de términos elementales del segundo miembro . . . . . . . . . . . 103
5.7.1 Cálculo elemental de F(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.7.2 Cálculo elemental de F(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.8 Matrices elementales que no involucran funciones enriquecidas . . . . . . 107 5.8.1 Cálculo de la matriz A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.8.2 Cálculo de la matriz N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.8.3 Cálculo de la matriz C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.8.4 Cálculo de la matriz D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.9 Matrices elementales que involucran funciones enriquecidas . . . . . . . . 109 5.9.1 Elementos enriquecidos de Belytschko . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.9.2 Elementos enriquecidos de Gross-Reusken . . . . . . . . . . . . . . 110
5.10 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.10.1 Test 10: Discretización hidrodinámica XFEM con transporte y ten-
sión superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.10.2 Ensayo 6: XFEM Belytschko para el experimento de Hnat y Back-
master . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.11 Expresión de f ∈ Vx
h en términos de funciones de forma enriquecidas . . . 122 5.12 promedio de la presión enriquecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.13 Algunas cuadraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.13.1 Una cuadratura de orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
iii
5.13.2 Cuadraturas de orden 4 y de orden 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 Existencia y unicidad de solución para espumas Newtonianas y no New- tonianas, compresibles con condiciones de contorno mixtas 129 6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2 El modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.3 Marco funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.4 Existencia y unicidad de solución del problema (P3) . . . . . . . . . . . . . 137
6.4.1 Existencia y unicidad de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.4.2 Recuperación de la presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.5 Existencia de solución del problema (P2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Conclusiones 145
Bibliografía 148
Introducción
Esta memoria trata sobre la simulación numérica bidimensional de fluidos bifásicos. En particular, se consideran dos fluidos Newtonianos, viscosos, incompresibles, e inmiscibles separados por una interfase que varia con el tiempo y en la que se consideran los efectos de la tensión superficial.
La simulación numérica del movimiento de la interfase es un tema de gran interés en muchas aplicaciones industriales, tales como fundición, llenado de moldes, soldadura inyección de moldes, etc. En la mayoría de los casos de interés, el movimiento del frente es complejo, por lo que es necesario utilizar métodos sofisticados; además hay un fuerte acoplamiento entre las variables de los distintos submodelos implicados y esto hace que de una u otra forma, sean métodos difíciles de implementar, para los que no es fácil prever el efecto que tiene sobre ellos el acoplamiento con otros fenómenos y con un coste computacional elevado.
En mecánica de fluidos se destacan, principalmente, dos formas de abordar numérica- mente esta problemática. La primera es conocida como método Lagrangiano. Básicamente se trata de que los nodos de la malla, sea de diferencias finitas o de elementos finitos, se mueven de acuerdo con la velocidad del fluido y, como consecuencia, después de cierto número de pasos de tiempo la malla puede quedar completamente distorsionada y el re- mallado se hace inevitable. Entre estas estrategias Lagrangianas se incluyen el método de transporte de la interfase (front-tracking), y el método de vórtices (vortex method), que se basan en una aproximación discreta de la una integral de contorno a lo largo de la interfase.
La segunda forma de abordar la simulación numérica de fluidos bifásicos, es con el método Euleriano, que consiste en utilizar una malla fija del dominio que ocupan ambos fluidos y agregar una incógnita adicional para caracterizar la posición de cada fluido o la fracción de volumen de uno de los fluidos. Como aplicaciones en esta línea podemos mencionar [64], [28] y [77].
Con alguna de las técnicas anteriores, se han abordado ultimamente, una gran varie- dad de fenómenos físicos, que involucran propagación de interfases. La interfase separa regiones con diferentes propiedades físicas tales como densidad, viscosidad o alguna carac- terística química. Las dificultades en el movimiento de la interfase pueden ir desde el caso más simple de advección pasiva de dos colores diferentes, hasta problemas de propagación del encendido de una llama o de solidificación de incrustaciones de un metal en otro.
En esta memoria nos centraremos en el movimiento de dos fluidos; supondremos que uno de los fluidos es una burbuja de gas que se encuentra inmersa en un líquido. Nuestro objetivo es llevar a cabo un análisis comparativo de distintas metodologías Eulerianas
v
vi INTRODUCCIÓN
y estrategias numéricas ya existentes en la literatura para simular el transporte de la burbuja, calcular la curvatura de la interfase o evitar la difusión numérica de la inter- fase cuando el tiempo avanza. Estas metodologías serán combinadas con la aplicación novedosa del método de elementos finitos estándar, incorporando la tensión superficial en la interface como un término integral en todo el líquido, y con el método de elementos finitos extendidos que permite capturar de forma más eficaz la discontinuidad de la pre- sión en la interfase de la burbuja. Un análisis exhaustivo del funcionamiento de todos los algoritmos acoplados cuando se reproduce la solución de ejemplos test o de ensayos de laboratorio será presentado a lo largo de este trabajo, haciendo especial hincapié en el comportamiento de simulaciones con un número grande de pasos de tiempo, con valores grandes del coeficiente de tensión superficial en la interfase y con saltos severos en las propiedades mecánicas de los dos fluidos implicados, como son, la viscosidad y la densi- dad. Como elemento finito estándar tomaremos P1 en presión y para aproximar el campo de velocidades el mini-elemento que combina elementos P1 con elementos burbuja. En los elementos finitos extendidos, se enriquecerá la aproximación en presión dada por los estándar con los elementos enriquecidos de Belytschko o con los de Gross-Reussken.
El último capítulo de la memoria se dedica al análisis matemático de un modelo aso- ciado al proceso de llenado de un molde; en este caso, el fluido considerado es una espuma compresible, cuyo comportamiento será no Newtoniano y, en general, no homogénea. La memoria incluye un resultado de existencia y unicidad de solución para espumas homogé- neas mediante técnicas de minimización de funcionales diferenciables convexos. También se da un resultado de existencia para el caso de espumas no homogéneas utilizando una técnica de punto fijo.
Cuando se aplican esquemas convencionales para resolver la ecuación del transporte asociada al movimiento de una burbuja que viaja en un fluido debido a las diferencias de densidad y viscosidad, se observa una difusión numérica excesiva en la interfase, debida a los cambios bruscos de las propiedades de ambos fluidos en esa zona (ver [24] y [98]). La incorporación de una formulación en conjuntos de nivel, del tipo de Hamilton-Jacobi, para capturar la interfase supone poder distinguir los dos fluidos de una forma mucho más sencilla (ver [50], [70], [98], [106]; además, esta estrategia permite tratar de forma natural fusiones y quiebras topológicas y es aplicable en cualquier dimensión. Sin embargo, este método es preciso completarlo con algún procedimiento de reinizialización de la función conjunto de nivel para que la descripción de la interfase sea adecuada después de avanzar en tiempo. La metodología de conjuntos de nivel es ampliamente empleada como puede verse en los estudios y aplicaciones llevados a cabo en [50], [62], [72], [89], y [106]. En esta memoria, se combina una formulación en conjuntos de nivel y un método de elementos finitos; esta formulación permite incluir la tensión superficial sin necesidad de integrar sobre la propia interfase, que es una frontera libre del modelo.
En la memoria se comparará esta aproximación con otra propuesta por Sussman y otros. en [98], en la que la tensión superficial se incluye como una función delta de Dirac y, en consecuencia, aparece una integral que debe calcularse sobre la frontera libre; aunque en [98] se propone su resolución utilizando diferencias finitas, los resultados que presentaremos en esta memoria serán obtenidos con elementos finitos.
En particular, tomaremos una formulación variacional mixta de las ecuaciones de Na-
INTRODUCCIÓN vii
vier Stokes acoplada con la ecuación del transporte a través de un esquema explícito. La discretización en espacio de la formulación débil combinará el método de elementos finitos y el método de las características para tratar el término convectivo (ver [9], [37] y [79]). Esta discretización nos permitirá usar como primera opción el mini elemento (see [3]), el cual es estable y tiene un bajo coste computacional. Una vez obtenido el sistema lineal discretizado se resuelve con al algoritmo de Uzawa que se combina con un gradiente conjugado precondicionado para calcular la presión. Para mejorar la aproximación de la presión cuando ésta presenta una discontinuad severa en la interfase, se enriquece el espacio de elementos finitos, considerando funciones base enriquecidas sobre los elemen- tos que son atravesados por la interfase; en particular, se considerarán las funciones de enriquecimiento propuestas por Belytschko (ver [68] y [23]) y también las propuestas por Gross-Reussken (ver [46]). En el caso de la metodología seguida por Chessa y Belyschko el enriquecimiento se implementa en el gradiente de velocidad y resuelven las ecuaciones de Navier Stokes con el método de proyección de Chorin, mientras que en esta memoria el enriquecimiento se hace en presión y las ecuaciones de la hidrodinámica se resuelven con una formulación mixta en velocidad presión. En el caso de la metodología usada por Gross y Reusken, los autores utilizan el enriquecimiento en la presión resuelven un problema de Stokes con igual viscosidad en ambos fluidos, mientras que nosotros, aunque también consideramos enriquecimiento en la presión, esta combinación de técnicas nos permitirá la simulación de fluidos bifásicos con grandes diferencias de viscosidad o densidad.
La aproximación numérica que proponemos para resolver la ecuación del transporte está basada en los trabajos [94] y [98]: usaremos un esquema ENO de segundo orden (ver [87]) para la discretización en espacio y el método de Euler o el de Adams-Bashforth para la discretización en tiempo; en la memoria también se analizará el comportamiento numérico en este tipo de modelos si se utilizan diferencias centradas o un método upwind para la discretización en espacio. Para controlar la excesiva difusión numérica de la interfase, en la literatura se introducen algunos procesos de reinicialización (ver [45] y [94]); el objetivo es mantener la función conjunto de nivel como una función distancia en cualquier instante de tiempo y, así, conseguir que la norma de su gradiente sea lo más próxima posible a la unidad; esto evita zonas de gradiente plano cerca de la interfase, lo que dificultaría distinguir los puntos que son de la interfase y los que no lo son. En particular, proponemos usar el proceso de reinicialización presentado en [98], e incluir una condición de conservación de la masa como la propuesta en [94]. Un análisis comparativo con otros procesos de reinicialización también será presentado en esta memoria. Para la aproximación de la curvatura elegiremos la discretización dada en [98] y también utilizada por otros autores (ver [45], [62] y [106]).
Para mostrar la capacidad de los algoritmos elegidos para resolver cada uno de los submodelos implicados, se dan 15 tests académicos con solución analítica conocida foca- lizados en analizar la aproximación de la curvatura, la implementación del término de tensión superficial, el problema de transporte y la hidrodinámica de los dos fluidos; de es- pecial interés serán los test que incluyen el acoplamiento de varios de estos fenómenos. Se llevará a cabo un ensayo para aproximar la solución del modelo completo correspondien- te a un ensayo numérico presentado en [23], y se comparará la evolución de la burbuja con la obtenida en el trabajo mencionado. Además se reproducirá un experimento de laboratorio, presentado por Bhaga and Weber en [11], utilizando el código numérico com-
viii INTRODUCCIÓN
pleto implementado, y compararemos los resultados experimentales con la aproximación calculada.
Esta memoria se organiza en 6 capítulos; los cinco primeros dedicados a la simulación numérica del movimiento de una burbuja de gas en un fluido y el sexto dedicado al análisis matemático de un modelo asociado a la inyección de espumas en un molde.
En el Capítulo 1, se describe el modelo matemático correspondiente al movimiento de una burbuja de gas en un fluido, considerando los efectos de la tensión superficial en la interfase. Se trata de un modelo de Navier Stokes bifásico asociado a dos fluidos newtonia- nos, incompresibles, viscosos e inmiscibles, con condiciones de contorno de deslizamiento sin fricción en la frontera exterior del dominio; para determinar la frontera libre corres- pondiente a la interfase entre la burbuja de gas y el líquido, el modelo hidrodinámico se acopla con la ecuación del transporte para modelar la evolución de la función conjunto de nivel asociada a la posición inicial de la burbuja.
El Capítulo 2, supone que la evolución de la función conjunto de nivel y de la curvatura de la burbuja son conocidas, y se centra en la discretización del modelo hidrodinámico utilizando elementos finitos estandar. Así, en la Sección 2.2, se introduce la formulación variacional del modelo que se utilizará en la memoria: se trata de una formulación mixta velocidad-presión y cuya característica principal es que, gracias a la función conjunto de nivel, incluye la tensión superficial como una integral sobre toda la fase líquida, lo que evita la integración directa sobre la interfase, que es una incógnita del problema. En esta sección también se mostrarán otras dos posibles formulaciones variacionales del problema hidrodinámico empleadas por otros autores. En la Sección 2.3 se realiza la discretización en tiempo utilizando el método de las características. La Sección 2.4 se dedica a la discretización en espacio: se utilizarán elementos finitos estándar, en particular, el mini-elemento, P1 para aproximar la presión y P1 más Burbujas para discretizar cada componente de la velocidad. En la Sección 2.5 se aplica la técnica de condensación estática para eliminar los coeficientes de las burbujas de las incógnitas del problema y deducir el sistema algebraico asociado. Por último, en la Sección 2.6 se realiza un ensayo numérico para analizar el comportamiento del algoritmo cuando el ratio entre las propiedades de los dos fluidos implicados aumenta considerablemente.
El Capítulo 3 se centra en la discretización de la ecuación del transporte y en él se desarrollan algunos temas relacionados con la resolución de las ecuaciones hiperbólicas. En la Sección 2 de este capítulo, se presentan los métodos para la discretización espacial de la ecuación del transporte; Diferencias centradas, un método Upwind y finalmente, en más detalle, un método ENO (esencialmente no oscilatorio), de segundo orden. La evolución en el tiempo, de la ecuación del transporte, se realiza a través de los métodos de Euler y Adams-Bashforth. En las Secciones 3.3 y 3.4 se dedican a la presentación de los diferentes métodos de reinicialización; en ambas secciones se aborda la resolución de otra ecuación hiperbólica ligada a la reconstrucción de funciones distancia que resulta no lineal y con un término fuente. La última sección de este capítulo, Sección 3.5, se dedica en su totalidad a la presentación de variados test y ensayos numéricos con la idea de medir la calidad de los diferentes proceso de reinicialización presentados en las dos secciones anteriores. Todos los resultados numéricos presentados en la Sección 3.5 no consideran la tensión superficial.
En el Capítulo 4 se incorpora el tratamiento numérico de la tensión superficial, y, en
INTRODUCCIÓN ix
la sección 4.2 se hace una revisión de la estimación numérica de la curvatura y la Sección 4.3 se dedica a implementar diversos test para evaluar la calidad en la estimación de la curvatura considreando variadas situaciones con solución conocida. En la Sección 4.4 se presenta un test para el modelo acoplado hidrodinámico y transporte, con solución analítica conocida y que se emplea para evaluar la calidad en la estimación del salto de tensiones. La Sección 4.5 es dedicada a la presentación de tres importantes ensayos tomados de la literatura que aunque no se conoce sus soluciones exactas, se utilizan para observar el comportamiento cualitativo de los resultados del modelo. Básicamente son ejemplos del ascenso de una burbuja de gas en un líquido, poniendo énfasis en las consecuencias que la tensión superficial en la burbuja tiene sobre su forma, su velocidad media de ascenso y su pérdida de masa; uno de los ensayos trata la colisión entre dos burbujas.
En el Capítulo 5 se dedica al estudio de la metodología de enriquecimiento para luego aplicara a varios casos considerados en un test con solución conocida. En la Sección 5.2 se presentan los espacios de Elementos finitos que se utilizarán para la discretización espacial del modelo que se estudia en esta memoria; La Sección 5.3 se ocupa en presentar la formulación matricial que resulta de aplicar la metodología de enriquecimiento. En las Secciones 5.4 y 5.5 se estudian los casos particulares de enriquecimiento, de Belytschko y de Gross-Reusken respectivamente. La Sección 5.6 se aboca a plantear una ventajosa partición de un elemento enriquecido y se muestran las matrices que permitirán simplificar notablemente las integraciones elementales en este tipo de elementos. Las Secciones 5.7, 5.8 y 5.9 son dedicadas exclusivamente al cálculo de las matrices y segundos miembros elementales. Es la Sección 5.10 se implementan los diversos casos comprendidos en un test con solución conocida y que se utilizará para medir la calidad de las metodologías implementadas en las secciones anteriores. Se incluye además un ensayo con datos reales medidos en laboratorio considerado antes en el capítulo 4. En la Sección 5.11 se presenta una forma permite calcular cómo se expresa una función lineal a trozos en términos de las funciones de forma asociados a un elemento enriquecido. En la última sección de este capítulo se detallan algunas fórmulas de cuadratura que se utilizan en el cálculo de las expresiones elementales de matrices y segundos miembros.
El Cápitulo 6 es dedicado al análisis matemático de un modelo asociado a la inyección de espumas en un molde; además, se presenta un resultado de existencia y unicidad de solución para un problema no lineal asociado a espumas no Newtonianas y homogéneas; La Sección 6.2 de este capítulo la dedicaremos a establecer las ecuaciones y las condiciones de contorno para el modelo matemático del proceso de expansión y algunos submodelos de interés, considerando los aspectos físicos pertinentes. En la Sección 6.3, estableceremos el marco funcional, algunas notaciones, y resultados técnicos que utilizaremos posterior- mente. En la Sección 6.4, se demostrará un teorema de existencia y unicidad de solución para el problema de espumas homogéneas y no Newtonianas, utilizando técnicas de mi- nimización de funcionales diferenciables convexos. Para finalizar esta memoria, la última Sección, 6.5, la dedicaremos a establecer un resultado de existencia, para espumas no Newtonianas y cuasi-homogéneas, usando técnicas de punto fijo.
Capítulo 1
1.1 Descripción del problema
En este capítulo se describe el modelo matemático correspondiente al movimiento de una burbuja de gas en un fluido considerando los efectos de la tensión superficial en la interfase; se trata de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales acoplado y no lineal. En la modelización se considera una formulación de conjunto de nivel para caracterizar la interfase entre los dos fluidos; esta formulación también permitirá incorporar los efectos de la tensión superficial, en la frontera de la burbuja, sin necesidad de integración alguna sobre esta superficie, que no hay que olvidar que será una incógnita del modelo.
-
1
1.2 Presentación del modelo matemático
Sea un dominio acotado de R2 y [0, T ] un intervalo en R, para T > 0. En se distinguen dos regiones g(t) y l(t), separadas por una interfase deformable Γ(t); g(t) denotará la región ocupada, en el instante t, por uno de los fluidos que llamaremos gas, mientras que la región l(t) será la ocupada por el otro fluido que se llamará líquido. Se supone que ambos g(t) y l(t) son abiertos de frontera Lipschitziana. Además, g(t) se supondrá simplemente conexo, g(t) ⊂ , t ∈ [0, T ] y = l(t)∪Γ(t)∪g(t). Se denota por ν(t) la normal unitaria a Γ(t), dirigida hacia el exterior de g(t) y por n la normal unitaria exterior a (ver Figura 1.1). En lo que sigue, los subíndices g y l denotan la restricción al gas y al líquido, respectivamente.
El movimiento de ambos fluidos se rige por la ecuación de equilibrio
ρ u = div T + f , en g(t) ∪ l(t), (1.2.1)
que, para cada uno de ellos, se expresará en sus respectivos dominios de la forma
ρgug = div Tg + fg en g(t), (1.2.2) ρlul = div Tl + fl en l(t), (1.2.3)
donde u denota la derivada material del campo de velocidades u, esto es
u = ∂u
∂t + (gradu)u, (1.2.4)
y ρg, ρl son las densidades del gas y del líquido, respectivamente; ambas se suponen constantes. Por otra parte Tg y Tl denotan los tensores de esfuerzos de Cauchy para cada fluido, y fg, fl las respectivas fuerzas de la gravedad, es decir,
fg = ρgg y fl = ρlg, (1.2.5)
donde g denota la aceleración de la gravedad, que apunta en la dirección contraria al sentido positivo del eje de ordenadas (ver Fig 1.1).
Puesto que ambos fluidos son newtonianos, se escribe para el gas y el líquido sendas leyes constitutivas:
Tg = −pgId + 2µgD(ug) en g(t), (1.2.6) Tl = −plId + 2µlD(ul) en l(t), (1.2.7)
donde Id es la matriz identidad, pg, pl, µg, µl son las presiones y las viscosidades del fluido en g(t) y l(t), respectivamente, en tanto que D denota la parte simétrica del tensor gradiente de velocidades, esto es,
D(u) = gradu + gradu t
1.2. PRESENTACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO 3
La condición de incompresibilidad de ambos fluidos lleva a formular las siguientes dos ecuaciones,
div ug = 0 en g(t), (1.2.9) div ul = 0 en l(t). (1.2.10)
Debido a esto, la divergencia del tensor viscoso es
div D(u) = 1
(1.2.11)
Por ello, se puede reescribir (1.2.2)-(1.2.3) en la formulación usual de Navier-Stokes:
ρ (∂u
∂t + (gradu)u
( g(t) ∪ l(t)
)× (0, T ).
(1.2.12)
Mientras que la velocidad se supone continua sobre la interfase entre los dos fluidos, Γ(t), el vector de esfuerzos presenta un salto que se regirá por la siguiente ley de propor- cionalidad
(Tl −Tg)ν = σκν sobre Γ(t), (1.2.13)
donde κ es la curvatura de Γ y σ es un parámetro escalar llamado coeficiente de tensión superficial.
En la frontera de se impone una condición de deslizamiento sin rozamiento, es decir, el líquido no puede atravesar la frontera -la componente normal de la velocidad es nula- y no fricciona con las paredes exteriores -la componente tangencial del vector de esfuerzos es nula-; estas condiciones se pueden escribir como
ul · n = 0 sobre ∂ , (1.2.14) Tln · t = 0 sobre ∂ , (1.2.15)
donde t representa el vector unitario tangente a ∂. Finalmente se considera la condición inicial para la velocidad,
ug(x, 0) = u0 g(x), ∀x ∈ g(0) , (1.2.16)
ul(x, 0) = u0 l (x), ∀x ∈ l(0) . (1.2.17)
1.2.1 Formulación en conjunto de nivel
Una de las principales dificultades para resolver numéricamente el modelo introducido en la sección anterior es que la interfase entre ambos fluidos es deformable y, en consecuen- cia, puede romperse o fusionarse. Esto significa, que es necesario ser capaz de identificar los cambios de topología y, en consecuencia, reparametrizar la interfase. La metodología de conjunto de nivel evita esta dificultad.
4 CAPÍTULO 1. PROBLEMA FÍSICO Y MODELADO MATEMÁTICO
Siguiendo la notación introducida por [48], sean B = la configuración inicial que se toma como configuración de referencia, p un punto material de B y φ0 una función definida sobre B verificando:
φ0(p)
(1.2.18)
Una función φ0 con estas características se puede construir, por ejemplo, considerando la distancia signada desde cualquier punto p a la interfaz Γ(0), esto es,
φ0(p) =
0 si p ∈ Γ(0),
(1.2.19)
La evolución de la función φ0 con el movimiento define una función φ : × R → R, dada por
φ(x, t) = φ0
( P (x, t)
) , (1.2.20)
donde P es la aplicación de referencia que corresponde a la aplicación inversa del movi- miento X, (ver [48]). Entonces, la descripción material de φ se escribe:
φm(p, t) = φ ( X(p, t), t
) = φ0
( P
)) = φ0(p). (1.2.21)
Esto lleva a concluir que la derivada material de φ es nula, es decir,
φ(x, t) = 0, ∀x ∈ , ∀t ∈ (0, T ). (1.2.22)
Usando la regla de la cadena, es posible escribir la evolución de φ como
∂φ
∂t + u · grad φ = 0, x ∈ y 0 < t < T. (1.2.23)
Esta ecuación se complementa con la condición inicial
φ(x, 0) = φ0(x), ∀ x ∈ , (1.2.24)
Además, de (1.2.21) se deduce que φ mantiene para cualquier t > 0, la propiedad esencial
φ(x, t)
(1.2.25)
De esta manera, se puede identificar la interfase Γ(t) como el conjunto de nivel de valor cero de la función φ en cada instante, esto es,
Γ(t) = {x ∈ /φ(x, t) = 0}. (1.2.26)
1.2. PRESENTACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO 5
En resumen, dada una función φ0 verificando (1.2.18), se trata de encontrar ug, ul, Tg, Tl y φ solución del siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales:
ρg( ∂ug
∂t + gradug ug) + grad pg − µgug = fg en g(t)× (0, T ), (1.2.27)
div ug = 0 en g(t), (1.2.28) ug(x, 0) = u0
g(x) en g(0), (1.2.29) Tg = −pgId + 2µgD(ug)
en g(t), (1.2.30)
ρl( ∂ul
∂t + gradul ul) + grad pl − µlul = fl en l(t)× (0, T ), (1.2.31)
div ul = 0 en l(t), (1.2.32) ul(x, 0) = u0
l (x) en l(0), (1.2.33) Tl = −plId + 2µlD(ul)
en l(t), (1.2.34) (Tl −Tg)ν = σκν en Γ(t), t > 0, (1.2.35)
ug = ul en Γ(t), t ≥ 0, (1.2.36) ul · n = 0 y Tln · t = 0 en ∂, (1.2.37)
∂φ
∂t + u · grad φ = 0 en × (0, T ), (1.2.38)
φ(x, 0) = φ0(x) en . (1.2.39)
Se trata de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales acoplado y no lineal; este sistema constituye el modelo matemático del proceso físico de interés en esta memoria. En los capítulos siguientes se analizarán varios métodos numéricos para su resolución. Primeramente, en el capítulo 2, asumiendo conocidas las posiciones de ambos fluidos a lo largo del tiempo, se tratarán las ecuaciones del movimiento (1.2.27) a (1.2.37), que constituyen un problema de Navier-Stokes bifásico que incorpora efectos de la tensión superficial; en el capítulo mencionado se propone para su discretización un método de elementos finitos estándar. A continuación, en el capítulo 3, se resolverá el problema de transporte (1.2.38), (1.2.39) suponiendo que, el campo de velocidades, u, es conocido y, en el capítulo 4, se tratará la implementación numérica de la tensión superficial en la interfase. Para finalizar, se acoplarán los algoritmos propuestos para ambos modelos. En el capítulo 5, se incorporará una técnica de elementos finitos extendidos para mejorar la aproximación del salto de presión en la interfase.
6 CAPÍTULO 1. PROBLEMA FÍSICO Y MODELADO MATEMÁTICO
Capítulo 2
2.1 Introducción
En este capítulo la preocupación se centra en la formulación variacional de las ecuacio- nes de Navier-Stokes (1.2.27) a (1.2.37), en su discretización en tiempo y en espacio. Más adelante se acoplarán en forma explícita estas ecuaciones con la ecuación del transporte (1.2.38), cuyo tratamiento numérico se abordará en el Capítulo 3.
La discretización espacial se hace a través de un método de elementos finitos com- binado con el método de las características para el tratamiento del término convectivo. Este método ha sido analizado en [79] y [33], posteriormente en [80] y [75], y para el caso estacionario en [10]. La discretización propuesta permite usar el “mini elemento” (ver [3]), el cual es estable y tiene un bajo coste computacional. El sistema de ecuaciones lineales a que conduce este procedimiento se resuelve utilizando el algoritmo de Uzawa, usando el gradiente conjugado precondicionado para el cálculo de la presión. Esta metodología ha sido aplicada más recientemente en [37].
2.2 Formulación variacional
En lo que resta de esta memoria, en caso de no inducir a confusión, se omitirá en la notación de g(t), l(t), Γ(t) y ν(t), la dependencia de t.
Con el objetivo de dar una formulación débil de las ecuaciones (1.2.27)-(1.2.37) se introducen los espacios funcionales V = H1(), V = [H1()]2 y
V0 = { w ∈ V/w · n = 0 sobre ∂
} . (2.2.1)
Se denotará por wl y wg la restricción de w ∈ V0 al líquido y al gas, respectivamente. Si se multiplica la ecuación (1.2.31) por una función test w ∈ V0 y se integra sobre
l, se obtiene ∫
7
8 CAPÍTULO 2. RESOL. NUM. CON FEM DE NAVIER-STOKES BIF.
Si además se recuerda que (ver [48])
div (Tlwl) = wl · div Tl + Tl · gradwl , (2.2.3)
y que, por ser Tl un tensor simétrico, se verifica:
Tl · gradwl = Tl ·D(wl), (2.2.4)
la ecuación (2.2.2) puede expresarse como ∫
l
Aplicando el teorema de la divergencia (ver [48]) se deduce: ∫
l
ρlg ·wl dx, ∀w ∈ V0. (2.2.6)
∫
} ds = 0. (2.2.7)
l
ρlg ·wl dx , ∀w ∈ V0. (2.2.8)
∫
La condición (1.2.36) permite deducir que la solución del problema (1.2.27)-(1.2.37)
u(x, t) =
ul(x, t) si x ∈ l(t), (2.2.10)
2.2. FORMULACIÓN VARIACIONAL 9
pertenece a V0 c.p.t. t ∈ (0, T ). Se definen en la forma natural
T =
µl en l, (2.2.11)
para denotar el tensor de tensiones, la densidad y la viscosidad, respectivamente. De la misma manera, las condiciones iniciales (1.2.29) y (1.2.33) se escriben como
u(x, 0) = u0(x) =
(2.2.12)
y se supone que u0 ∈ V0. Entonces sumando las ecuaciones (2.2.8) y (2.2.9), y teniendo en cuenta (1.2.35), se
puede escribir la siguiente formulación variacional de (1.2.27)-(1.2.37) en todo el dominio , c.p.t. 0 < t < T :
Hallar u(t) en V0 tal que ∫



div u q dx = 0 , ∀q ∈ L2(), (2.2.13)
c.p.t. t ∈ (0, T ), verificando la ley constitutiva (1.2.30), (1.2.34) y la condición inicial (2.2.12).
Con el propósito de evitar el término integral sobre Γ(t) y para identificar la posición de cada fluido, se hace uso de la función de nivel φ definida en el Capítulo 1. Como consecuencia de la propiedad (1.2.25), se puede asumir que φ < 0 en g, en tanto que φ > 0 en l. Recuérdese que φ proviene de resolver el problema hiperbólico (1.2.38),(1.2.39), y que será considerado como un dato para la resolución del problema (2.2.13).
Introduciendo la función de Heaviside
H(φ) =
0 si φ < 0, (2.2.14)
entonces, se puede escribir la densidad y la viscosidad en la forma:
ρ(φ) = ρg + (ρl − ρg)H(φ), (2.2.15) µ(φ) = µg + (µl − µg)H(φ). (2.2.16)
∫
∫
10 CAPÍTULO 2. RESOL. NUM. CON FEM DE NAVIER-STOKES BIF.
Entonces, haciendo uso de (2.2.14), se puede escribir ∫
Γ
∫
H(φ)κ div w dx, ∀w ∈ V0. (2.2.18)
∫
∫
Finalmente, reemplazando (2.2.18) y (2.2.19) en (2.2.13), se obtiene la siguiente formula- ción, para las ecuaciones del movimiento:
Formulación variacional 1 (FV1):
∫
∫
∫

div u q dx = 0, ∀ q ∈ L2(), (2.2.20)
∫
) κ ·w dx , (2.2.21)
demostrada en [22], entonces, de (2.2.13) y (2.2.19) se obtiene una formulación variacional diferente de (2.2.20) y que ha sido utilizada por diversos autores (ver [22], [93], [95], [94] y [98]); esta formulación se puede plantear como:
Formulación variacional 2 (FV2):
Dada φ, encontrar u(t) en V0 y p(t) en L2() tales que ∫

∫
∫

c.p.t. t ∈ (0, T ) y verificando la condición inicial (2.2.12).
2.2. FORMULACIÓN VARIACIONAL 11
Es conveniente notar que en esta segunda formulación el término que representa la tensión superficial involucra una delta de Dirac que corresponde a la derivada de la función de Heaviside; esto agrega una dificultad en el momento de la implementación numérica de este término. En esta memoria se presentarán resultados numéricos correspondientes a las dos formulaciones variacionales, excepto cuando se consideran elementos enriquecidos más difíciles de implementar en la segunda formulación.
Una tercera alternativa, diferente de las dos anteriores, se desprende del trabajo de Bänsch en [5], donde se utilizan las notaciones, ∇ y para la derivada tangencial y el operador de Laplace-Beltrami, para una función f definida sobre Γ:
∇(f) = gij∂i(f χ)∂jχ, (2.2.23)
y
detggij∂j(f χ)), (2.2.24)
respectivamente, donde χ es una parametrización local de Γ, (g)ij = gij = ∂iχ∂jχ es el tensor métrico de Γ y gij = (g−1)ij su inverso. Más detalles se pueden ver, por ejemplo, en [31]; allí, mediante argumentos de geometría diferencial se establecen la identidades
IdΓ = −κν, (2.2.25)
∫
∇ IdΓ · ∇w ds. (2.2.26)
Usando la identidad (2.2.25) y la fórmula de Green (2.2.26) se puede escribir ∫
Γ
∫
∇ IdΓ · ∇w ds . (2.2.27)
De esta manera, una tercera formulación variacional se puede plantear a partir de (2.2.13) y (2.2.19) como sigue
Formulación variacional 3 (FV3):
Dada φ, encontrar u(t) en V0 y p(t) en L2(), tales que ∫

∫

div u q dx = 0, ∀ q ∈ L2(), (2.2.28)
c.p.t. t ∈ (0, T ) y verificando la condición inicial (2.2.12). De ahora en adelante, se referirá a la resolución del problema hidrodinámico usando
la formulación (FV1) como algoritmo BPQ, mientras que si se usa la formulación (FV2) se indicará como algoritmo SSO. En el capítulo 4 se compararán los resultados numé- ricos obtenidos con ambos métodos; estos resultados mostrarán que no hay diferencias significativas, excepto cuando se consideran elementos finitos extendidos, más difíciles de implementar en la formulación SSO.
12 CAPÍTULO 2. RESOL. NUM. CON FEM DE NAVIER-STOKES BIF.
2.3 Discretización en tiempo La discretización en tiempo se realiza aplicando el método de las características, desa-
rrollado en [79], a la parte convectiva de las ecuaciones de Navier-Stokes. Algunas apli- caciones más recientes, podemos encontrarlas en [75], [9] y en [37].
Si t es el paso de tiempo y un es la aproximación de la velocidad en el instante tn = nt, entonces la derivada material en el instante tn+1 es aproximada por
u(x, tn+1) ≈ un+1(x)− un Xn(x)
t , (2.3.29)
donde Xn(x) = χn(x, tn+1; tn) y χn(x, t; s) da la posición, en el tiempo s, de la partícula que se encuentra en la posición x, en el instante de tiempo t; esto es, χn es la trayectoria aproximada de la partícula definida como la solución del siguiente problema de valor inicial,
{ d dτ
χn(x, t; t) = x. (2.3.30)
En consecuencia, χn es una aproximación de la curva característica (ver Figura 2.1). El sistema de ecuaciones diferenciales (2.3.30) admitirá solución única bajo ciertos
supuestos de regularidad, como por ejemplo, que un sea Lipschitziana; más detalles de los fundamentos teóricos del método de las características, se pueden encontrar en [79] y en [10].
u
2.4 Discretización en espacio La formulación variacional mixta en velocidad-presión, desarrollada en la Sección 2.2,
permite usar de manera natural el llamado “mini elemento” introducido en [3], esto es, una aproximación P1 de la presión y otra P1+burbuja de cada componente de la velocidad (ver Figura 2.2). Para esta elección, los grados de libertad del elemento son los valores de la presión en los vértices de los triángulos junto a los valores de cada componente de
2.4. DISCRETIZACIÓN EN ESPACIO 13
la velocidad en los vértices y en el baricentro de cada triángulo. Además, es importante recordar que los grados de libertad asociados a la velocidad en el baricentro (burbuja), serán eliminados por el proceso conocido como condensación estática.
Este tipo de elemento es de uso frecuente por el reducido número de grados de libertad que involucra y, gracias a la propiedad de condensación, reduce el costo computacional, como se verá más adelante. Además, esta elección conduce a esquemas estables, porque ve- rifica la clásica condición inf-sup, también conocida como condición LBB (Ladyzhenskaya- Babuška-Brezzi). Una demostración de este hecho se puede encontrar en [16], y un análisis del orden de convergencia puede consultarse en [3].
Se considera una triangulación Th de donde h representa el diámetro del triángulo de mayor tamaño. En la práctica, se tomarán mallas estructuradas compatibles con una grilla del dominio en la que se aplicará un método de diferencias finitas para resolver la ecuación del transporte (ver Figura 2.3).
Se denota por P1(T) el conjunto de funciones sobre el triángulo T que son restricciones, sobre T , de polinomios de grado no superior a 1. Se considera el espacio de elementos finitos estándar
Vh = {u ∈ C0() / u|T ∈ P1(T) ,∀ T ∈ Th}, (2.4.31)
y el espacio de burbujas
Bh = {u : → R / u|T = γ(T) λ1T λ2T λ3T , γ(T) ∈ R, ∀ T ∈ Th}, (2.4.32)
donde las funciones λiT son funciones lineales tales que λiT (pj) = δij para cualquier vértice pj del triángulo T , siendo δij la delta de Kronecker. Entonces, la velocidad se aproxima en el espacio
Vh = Vh 2 ⊕ Bh
2. (2.4.33)
En resumen, si la función conjunto de nivel φ y la curvatura κ son conocidas, es posible plantear el problema discreto, asociado a la formulación variacional FV1, mediante el siguiente algoritmo:
• Sea U0 dado por la condición inicial (2.2.12).
• Entonces, para n ≥ 0, si Un h es conocida en el instante tn = nt, la solución(
Un+1 h ,Pn+1
h
) en V0h × Vh en el instante tn+1 es determinada como la solución del
siguiente problema variacional:
s
s
P1 + burbuja en cada componente de u P1 en la presión
Figura 2.2: Mini elemento.
14 CAPÍTULO 2. RESOL. NUM. CON FEM DE NAVIER-STOKES BIF.
(i, j) i,j
(i− 1, j)
(i− 1, j − 1) (i, j − 1) (i + 1, j − 1)
(i + 1, j)
(i, j)
celda i,j
(a) (b)
Figura 2.3: (a) La línea sólida corresponde a la grilla para diferencias finitas; la línea discontinua corresponde a la malla triangular inducida. (b) Esquema representativo para la aproximación de la curvatura en el nodo (i, j)
1
t
∫
− ∫
∫
∫
(2.4.34)
donde V0h = Vh ∩V0.
En la práctica, ni φ, ni κ, se conocen exactamente; por lo que será necesario utilizar aproximaciones en el instante tn que se denotarán por φn y κn, respectivamente. Estas aproximaciones serán obtenidas en los Capítulos 3 y 4.
Por otro lado, es conveniente recordar, para el posterior planteamiento como sistema lineal de ecuaciones, que el término viscoso se puede escribir de la forma
2
µ(graduh · gradwh + graduh · gradwh t) dx . (2.4.35)
2.5 Descripción matricial Para la triangulación Th del dominio introducida en la sección previa, se denota por
Nv y Ne el número de vértices y el número de elementos, respectivamente. Entonces una
2.5. DESCRIPCIÓN MATRICIAL 15
base para el espacio Vh, definido en (2.4.31), viene dada por {wi}Nv i=1, donde wi(pj) = δij,
cualquiera que sea el vértice pj de la triangulación. Para Bh consideramos una base de la forma {βT}Ne
T=1, donde βT = 27λ1T λ2T λ3T para cada elemento T , siendo λ1T , λ2T y λ3T las coordenadas baricéntricas del elemento T ; notando que, de este modo, βT es nula en los vértices y toma el valor uno en el baricentro del elemento T . Con las definiciones anteriores es posible obtener una base para el espacio Vh de la siguiente manera
{ (wi, 0), (0, wi)
T=1 . (2.5.36)
Las funciones base de Vh y de Bh verifican una interesante propiedad de ortogonalidad que será muy útil para la simplificación del problema discreto. Sean T ∈ Th, βr y wi
∫
= 0, k = 1, 2, l = 1, 2, (2.5.37)
donde η es la normal unitaria, exterior a T . Los términos del segundo miembro de (2.5.37) son nulos porque, en el primero wi es lineal en T , mientras que en el segundo, βr se anula en la frontera de T .
La solución uh = (u1, u2) y ph, del problema discreto (2.4.34), se puede escribir como combinación lineal de las bases respectivas:
uk = Nv∑ j=1
Ukjwj + Ne∑ r=1
Pjwj , (2.5.38)
donde se ha prescindido del subíndice h de la discretización, para no sobrecargar la no- tación. En (2.5.38), u = (u1, u2); Ukj, Ukr y Pj son escalares reales en las combinaciones lineales.
Tomando como funciones test en la primera ecuación del problema discreto (2.4.34), los elementos de la base de Vh, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas lineales
Nv∑ j=1
Un+1 kj
∫
(2.5.39)
16 CAPÍTULO 2. RESOL. NUM. CON FEM DE NAVIER-STOKES BIF.
donde k = 1, 2, i = 1, · · · , Nv y α = 1/t,
Nv∑ j=1
Un+1 kr
(2.5.40)
con k = 1, 2, m = 1, · · · , Ne. Además V n k representa la k−ésima componente de la veloci-
dad para el instante tn evaluada en la posición Xn(x), solución de (2.3.30). Análogamente, de la segunda ecuación de (2.4.34), se deduce
Nv∑ j=1
2∑
∂lβrwi dx = 0, i = 1, . . . , Nv. (2.5.41)
Ahora resta precisar cómo se eliminan los coeficientes de las burbujas y también cómo se obtiene un sistema sólo en presiones.
Para escribir en forma matricial el sistema de ecuaciones lineales formado por (2.5.39)- (2.5.41), es necesario definir previamente las matrices A, B(k), C(k,l) ∈ MNv×Nv(R), N ∈MNe×Nv(R), Q(k) ∈MNv×Ne(R), y los vectores F(k) ∈ RNv y F(k) ∈ RNe :
(A)ij = α
(B(k))ij = − ∫

(C(k,l))ij =

µ(φn)∂kwj∂lwi dx , k = 1, 2; l = 1, 2 , (2.5.44)
(N)ri =
(F(k))i = σ
(F(k))m = σ
2.5. DESCRIPCIÓN MATRICIAL 17
Por otra parte nótese que, en la ecuación (2.5.40), el único término no nulo en la suma Ne∑ r=1
Un+1 kr
, (2.5.49)
aparece si r = m, esto es, que la suma se convierte en
Un+1 km
. (2.5.50)
Se recuerda que el índice m varía desde 1 a Ne, luego podemos definir la matriz diagonal D ∈MNe×Ne(R), cuyos elementos no nulos están dados por
(D)mm = α
µ(φn)∇βm · ∇βm dx. (2.5.51)
Nótese que las matrices y vectores definidos en (2.5.42)-(2.5.48) y (2.5.51) dependen del instante de tiempo, pero para aligerar la notación se ha omitido el superíndice n indicando esta dependencia en todos ellos. Sin embargo, sí se explicitará la dependencia en las incógnitas del problema.
Las matrices y vectores dados en (2.5.42)-(2.5.48) y (2.5.51), junto con los vectores incógnitas Un+1
k , Pn+1 ∈ RNv y Un+1 k ∈ RNe , definidos para k = 1, 2 como
(Un+1 k )j = Un+1
kj , (Un+1 k )r = Un+1
kr , (Pn+1)j = P n+1 j , (2.5.52)
permiten, finalmente, escribir el sistema (2.5.39)-(2.5.41) de la forma
AUn+1 k + αNtUn+1
k + B(k)tPn+1 + 2∑
αNUn+1 k + DUn+1
k + Q(k)tPn+1 = F(k), k = 1, 2, (2.5.54) 2∑
l=1
{ B(l)Un+1
} = O. (2.5.55)
De la definición de la matriz D en (2.5.51), se ve que los elementos de su diagonal son todos estrictamente positivos, lo que permite asegurar que es invertible. Entonces, en la ecuación (2.5.54) es posible despejar Un+1
k :
k ) , k = 1, 2 . (2.5.56)
Reemplazando (2.5.56) en las ecuaciones (2.5.53) y (2.5.55), se obtiene el siguiente sistema algebraico con incógnitas Un+1
k y Pn+1,
2∑
F(k) − αNtD−1F(k) , k = 1, 2, (2.5.57) 2∑
l=1
18 CAPÍTULO 2. RESOL. NUM. CON FEM DE NAVIER-STOKES BIF.
Si se introducen la nuevas matrices A, B(k), E ∈ MNv×Nv(R),
A = A− α2NtD−1N, B(k) = B(k) − αQ(k)D−1N , k = 1, 2, (2.5.59)
E = − 2∑
l=1
Q(l)D−1Q(l)t, (2.5.60)
entonces, el sistema de ecuaciones (2.5.57)-(2.5.58) se pude escribir en la forma
AUn+1 k +
2∑
2∑
Q(l)D−1F(l). (2.5.62)
Este proceso, que ha permitido eliminar las incógnitas Un+1 k (valor de la velocidad en
el baricentro de cada elemento), para k = 1, 2, en el sistema (2.5.53)-(2.5.55), se conoce como condensación estática y las matrices definidas en (2.5.59) y (2.5.60) se denominan matrices condensadas.
Considerando las notaciones
permiten escribir el sistema (2.5.61)-(2.5.62) de la forma más simplificada:
(A + C)Un+1 + BtPn+1 = f , (2.5.66) BUn+1 + EPn+1 = g . (2.5.67)
Se ha omitido en los coeficientes y segundos miembros del sistema el superíndice n, que indica la evolución en el tiempo, para no sobrecargar la notación.
La primera ecuación del sistema, (2.5.66)-(2.5.67), es equivalente a
Un+1 = A−1(f − BtPn+1 −CUn+1) . (2.5.68)
Reemplazando (2.5.68) en (2.5.67), resulta
(BA−1Bt − E)Pn+1 = BA−1f − BA−1CUn+1 − g . (2.5.69)
2.6. RESULTADOS NUMÉRICOS 19
Esta escritura sugiere utilizar el siguiente algoritmo iterativo para aproximar la solución del sistema (2.5.66)-(2.5.67) suponiendo conocidas la función conjunto de nivel y la cur- vatura de la interfase en cada instante tn:
(BA−1Bt − E)Pn+1 m = BA−1(f −CUn+1
m )− g, (2.5.70) Un+1
m+1 = A−1(f − BtPn+1 m −CUn+1
m ). (2.5.71)
En la práctica, el sistema (2.5.70) se resuelve en la incógnita Pn+1 m , utilizando el método
del gradiente conjugado con un precondicionador de Cahouet. Para más detalles acerca de esta aproximación se pueden consultar las referencias [49], [37] y [17].
La metodología anterior se resume en el siguiente algoritmo:
• Sea U0 dado.
• Para n ≥ 0, conocida Un en el instante tn, se puede determinar ( Un+1,Pn+1
) en el
instante tn+1, solución aproximada del problema (2.4.34), con el siguiente algoritmo iterativo:
– Sea Un+1 0 dado.
– Para m ≥ 0, conocido Un+1 m , se determina Pn+1
m resolviendo la ecuación (2.5.70) donde los coeficientes y segundos miembros corresponden a la curvatura y a la función conjunto de nivel del instante tn.
– Obtenido Pn+1 m se determina Un+1
m+1 resolviendo (2.5.71).
2.6 Resultados numéricos Con vistas a validar el algoritmo recién descrito y testear su implementación en orde-
nador, se ha resuelto un problema como el detallado en el Capítulo 1, pero centrado solo en el modelo hidrodinámico y sin tensión superficial. Básicamente se trata de resolver las ecuaciones de Navier-Stokes para una distribución de densidades y viscosidades dada, y analizar el comportamiento del algoritmo cuando estas propiedades son muy distintas en los dos fluidos.
2.6.1 Comportamiento de algoritmo hidrodinámico, con interfase dada, para distintos ratios de densidad
Se considera el dominio = [0, 1] × [0, 1] y en su interior una burbuja circular de radio r = 0.15 centrada en (x0, y0) = (0.5, 0.2). La función conjunto de nivel es dada asumiendo que en todo momento la burbuja se desplaza como un cuerpo rígido y su centro es impulsado con una velocidad determinada. El objetivo es calcular el campo de velocidades y la presión, que son solución del problema de Navier-Stokes en , debido a la imposición de este movimiento sobre la interfase.
Se considera la velocidad v = (0, 2500t) para mover el centro de la burbuja, que en el instante inicial se supone en reposo y centrada en la posición (0.5, 0.2). De esta forma, la función conjunto de nivel φ está dada por
φ(x, y, t) = √
20 CAPÍTULO 2. RESOL. NUM. CON FEM DE NAVIER-STOKES BIF.
Figura 2.4: Malla de . h = 1 50 .
Figura 2.5: Campo de velocidades en t = t. h = 1 50 , ρl = 1000, ρg = 1.2, µg = µl/10 = 0.1.
2.6. RESULTADOS NUMÉRICOS 21
y en cualquier instante de tiempo proporciona la identificación de g(t) y l(t) (ver (1.2.25)). Se consideran las fuerzas f derivadas de la acción de la gravedad y σ = 0 en la interfase.
Se analizará el efecto que produce en la solución del problema de Navier-Stokes, el aumentar la diferencia entre las densidades de los dos fluidos ρg y ρl. Esta variación conlleva un mal condicionamiento de la matriz del sistema, y su efecto se refleja en el número de iteraciones necesarias para resolverlo.
Se toma ρl = 1000 Kg/m3 (densidad del agua), mientras que para ρg se usan valores desde 1.2 Kg/m3 (densidad del aire) hasta 800 Kg/m3. Para las viscosidades se usa µl = 1 Kg/(ms) y µg = µl/10 y el paso de tiempo t = 0.005 s. La discretización del dominio se hace con una malla totalmente estructurada con paso h = 0.02 (ver Figura 2.4). En la Figura 2.5 y Figura 2.6 se puede ver el campo de velocidades y los isovalores de la presión, respectivamente, que se obtienen después de un paso de tiempo. Recuérdese que la presión está definida salvo una constante, por esta razón no se especifican sus valores en la figura.
Como era de esperar, a medida que aumenta la razón entre las densidades, ρl/ρg, y empeora el número de condicionamiento de la matriz, se percibe un incremento signifi- cativo del número de iteraciones en la resolución del sistema. Esto se puede apreciar, claramente, en la Tabla 2.1.
Figura 2.6: Presión en t = t. h = 1 50 , ρl = 1000, ρg = 1.2, µg = µl/10 = 0.1.
22 CAPÍTULO 2. RESOL. NUM. CON FEM DE NAVIER-STOKES BIF.
Densidad del gas Núm de pasos en Núm de iter. de ρg alg. iterat. v-p grad. conj. en (2.5.70) 800 3 6 120 4 22 12 6 102 1.2 7 261
Tabla 2.1: Número de iteraciones en función de ρg, para un paso de tiempo.
Capítulo 3
3.1 Introducción La aproximación numérica que proponemos para resolver la ecuación del transporte
está basada en los trabajos de M. Sussman, P. Smereka y S. Osher (1994), M Sussman y E. Fatemi (1999) y posteriormente por G. Russo y P. Smereka (2000): se usará un esquema ENO de segundo orden (ver C. Shu y S. Osher (1988)) para la discretización espacial y un método de Euler o un método de Adams-Bashforth para la discretización en tiempo. Para controlar el proceso de difusión numérica, que puede llegar a destrozar la aproximación de la interfase, en la bibliografía se introducen algunos procesos de reinicialización (ver P. Gómez, J. Hernández y J. López (2005), [45], y M. Sussman, P. Smereka y S. Osher (1994) y M. Sussman y E. Fatemi (1999)); el objeto de este proceso de reinicialización es que la función conjunto de nivel se mantenga como una función distancia en todo instante de tiempo. En este capítulo se usará el proceso de reinicialización dado en M. Sussman, P. Smereka y S. Osher (1994) e introduciremos una condición de conservación de la masa como en M. Sussman y E. Fatemi (1999) la cual también ha sido usada por otros autores (ver [50], [86], [70], [71], [72], [106]).
3.2 Resolución de la ecuación del transporte La ecuación del transporte, definida en (1.2.38), se discretiza en tiempo a través del
método de Adams-Bashforth de dos pasos, (ver [98] y [87]). El método de Euler, básicamente, trata la evolución de φ en el tiempo como sigue
φn+1 = φn −tun+1 · grad φn, (3.2.1)
mientras que el método de Adams-Bashforth aproxima su evolución por
φn+1 = φn − t
2 (3un+1 · grad φn − un · grad φn−1) , (3.2.2)
donde es necesario generar con otro método, por ejemplo con Euler, la estimación de φ1, recordando que φ0 está dada por la condición inicial (1.2.39).
23
24 CAPÍTULO 3. RESOLUCIÓN NUM. DE LA EC. DEL TRANSPORTE
En la discretización espacial consideramos una malla de diferencias finitas para el dominio , cuyos nodos son exactamente los mismos de la malla de elementos finitos (ver Figura 2.3). Si h es el paso de la malla se utiliza la notación estandar de diferencias finitas
(xi, yj) = ((i− 1)h, (j − 1)h) , (3.2.3) ui,j ≈ u(xi, yj) = (u(xi, yj), v(xi, yj)) , (3.2.4) φi,j ≈ φ(xi, yj) , (3.2.5)
donde i = 1, · · · , Nx + 1 y j = 1, · · · , Ny + 1, siendo Nx, Ny el número de subdivisiones en las direcciones x e y, respectivamente.
Para la aproximación del término u · grad φ, que aparece en las expresiones (3.2.1)- (3.2.2) se analizarán en esta memoria tres estrategias distintas para calcular [grad φn]i,j, que corresponde a la discretización espacial de grad φn usando las notaciones típicas de diferencias finitas. Las tres estrategias consideradas son:
• Diferencias centradas (ver [101]), con la discretización:
[grad φn]i,j = 1
i,j+1 − φn i,j−1
) . (3.2.6)
• Una alternativa Upwind, en la que la derivada espacial se aproxima por una dife- rencia de primer orden descentrada en la dirección contraria al flujo. Por ejemplo, cuando la componente de la velocidad en la dirección del eje x es positiva y la com- ponente en la dirección y es negativa, la expresión en este caso particular es (ver [101])
[grad φn]i,j = 1
i,j+1 − φn i,j
[grad φn]i,j = 1
i− 1 2 ,j
) . (3.2.8)
En (3.2.8), la aproximación de φi,j+ 1 2 se calcula utilizando un método ENO de se-
gundo orden; para este propósito se definen las siguientes expresiones
φD = φi,j + 1
vD = vi,j + 1
φU = φi,j+1 − 1
vU = vi,j+1 − 1
φM = 1
3.2. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DEL TRANSPORTE 25
donde, los subíndices D, U y M indican inferior -down-, superior -up- y medio -middle-, respectivamente, y,
m(a, b) =
(3.2.15)
φi,j+ 1 2
(3.2.16)
De manera análoga se procede para definir φi+ 1 2 ,j. Sólo se debe tener en cuenta que
las variaciones son en la direción del eje x, esto es,
φL = φi,j + 1
uL = ui,j + 1
φR = φi+1,j − 1
uR = ui+1,j − 1
φM = 1
2 (uL + uR) , (3.2.22)
donde, los subíndices L, R y M denotan izquierda -left-, derecha -right- y medio -middle-. De igual forma,
φi+ 1 2 ,j =
(3.2.23)
Con esto se completa la discretización espacial, dada en (3.2.8), para el término u · grad φ.
En la sección 3.5 se presentará un test académico con solución conocida para mostrar el comportamiento de este algoritmo sobre un ejemplo 1D y, analizar la difusión numérica que aparece en la frontera a medida que el número de pasos de tiempo aumenta, haciendo necesaria la incorporación de un proceso de reinicialización que será abordado en las siguientes secciones.
26 CAPÍTULO 3. RESOLUCIÓN NUM. DE LA EC. DEL TRANSPORTE
3.3 Reinicialización reini RS Una de las mayores dificultades que surge en la resolución numérica de la ecuación
de transporte (1.2.38) es la alta difusión numérica que presenta si el número de pasos de tiempo se hace muy grande. Esta difusión produce una interfase entre los dos fluidos con un espesor cada vez mayor y, de esta manera, se torna muy difícil determinar dón- de termina un fluido y dónde comienza el otro (ver [98]). También se producen serias alteraciones, por ejemplo, pérdidas de masa o la aparición de esquinas al evolucionar la burbuja.
Para controlar esta alta difusión, una de las estrategias más usadas, por ejemplo en [98] o más recientemente en [93], es mantener la función φ como una distancia signada en cada paso de tiempo; de esta manera se logra que el espesor de la interfase se mantenga, aproximadamente, constante en el tiempo. Pero, para ello, no es suficiente iniciar el proceso con una función conjunto de nivel que sea distancia, pues al hacerla evolucionar en el tiempo a través de la ecuación del transporte (1.2.38) esta propiedad no se mantiene.
Rouy y Tourin plantean, en [84], un proceso de reinicialización a través de la solución estacionaria de un problema hiperbólico definido en l × [0,∞),
∂φ
∂τ = 1− ||grad φ|| , (3.3.24)
siendo τ un tiempo ficticio. Pero ellos necesitaban imponer la condición φ = 0 sobre una parte de ∂l. Esto obligaba a disponer explícitamente de la interfase Γ(t) y, por tanto, eliminaba la ventaja de recuperar a posteriori la posición de la interfase. Poste- riormente, Sussman, Smereka y Osher en [98], plantean encontrar la solución estacionaria del siguiente problema hiperbólico no lineal de primer orden, definido en todo el recinto × [0,∞).
Reinicialización: Fijado un instante de tiempo t ≥ 0 y una función conjunto de nivel inicial φ0, hallar φ solución estacionaria de
∂φ
∂τ = sig (φ0)(1− ||grad φ||) , (3.3.25)
φ(x, y, 0) = φ0(x, y) , (3.3.26)
siendo τ ∈ [0,∞) un tiempo ficticio y sig la función signo definida como
sig (φ) =
1 si φ > 0,
0 si φ = 0,
−1 si φ < 0.
En [84] se demuestra la existencia y unicidad de solución del problema (3.3.25)-(3.3.26). Además se prueba que la solución estacionaria de este problema es una función distancia que posee el mismo conjunto de nivel cero que φ0. Entonces, la idea es utilizar este problema, en cada paso de tiempo, para corregir la aproximación φn+1 calculada mediante (3.2.1) o (3.2.2), tomando como dato inicial en (3.3.25)-(3.3.26) φ0 = φn+1.
En [98] se propone un algoritmo numérico para aproximar la solución estacionaria del problema de reinicialización; y en esta memoria, se aplicará un esquema mejorado
3.3. REINICIALIZACIÓN REINI RS 27
desarrollado posteriormente por Russo y Smereka en [85], con la idea de resolver algunas deficiencias tales como la movilidad de la interfase hacia los nodos más cercanos o la pérdida de masa.
La ecuación (3.3.25), que es una ecuación del tipo Hamilton-Jacobi, se puede escribir en la forma
∂φ
donde
ν = grad φ
||grad φ|| (3.3.28)
es el vector normal unitario de cada conjunto de nivel de la función φ. La dirección de propagación de la señal es alejándose, en forma normal, de la interfase, por lo que no es necesario imponer una condición de contorno para φ. De esta manera es posible aplicar un método de descentramiento (upwind) para calcular la única solución de (3.3.25)-(3.3.26).
Teniendo en cuenta la dirección del campo de vectores sig (φ0)ν, hacemos las esti- maciones de las derivadas que intervienen en grad φ. Se introducen previamente algunas notaciones:
D− x =
D+ x =
D− y =
D+ y =
Para φ0 i,j > 0, se aproxima ∂φ
∂x en cada punto de la malla por:
[ ∂φ
∂x
x ≥ 0
x < 0
x ≥ 0,
[ ∂φ
∂x
x + D+ x ≥ 0,
mín{(D− x )+, (D+
x < 0, (3.3.34)
donde los subíndices + y − representan la parte positiva y negativa, respectivamente, esto es
(a)+ = máx{a, 0} ,
28 CAPÍTULO 3. RESOLUCIÓN NUM. DE LA EC. DEL TRANSPORTE
De (3.3.34) se deduce que, [ ∂φ
∂x
]2
i,j
[ ∂φ
∂y
y ≥ 0
y < 0
y ≥ 0,
∂y
]2
i,j
−} . (3.3.38)
Entonces, si φ0 i,j > 0, las ecuaciones (3.3.36) y (3.3.38) permiten escribir una estimación
para ||grad φ||:
y )2 +, (D+
y )2−} . (3.3.39)
Para el caso en que φ0 i,j < 0 el razonamiento es similar, con la diferencia de que ahora
el sentido del campo de vectores sig (φ0)ν es opuesto al caso anterior, hecho que se debe tener en cuenta en el momento de aplicar el descentramiento.
[ ∂φ
∂x
x ≤ 0
x > 0
x ≤ 0.
(3.3.40)
La ecuación (3.3.40) la podemos escribir en forma más compacta, [ ∂φ
∂x
x + D+ x ≤ 0
máx{(D− x )−, (D+
x > 0, (3.3.41)
∂x
]2
i,j
∂y
]2
i,j
+} , (3.3.43)
y por medio de (3.3.42) y (3.3.43), se obtiene una estimación para ||grad φ||, en el caso φ0
i,j < 0:
||grad φ|| = √
x )2 +}+ máx{(D−
+} . (3.3.44)
3.3. REINICIALIZACIÓN REINI RS 29
Resumiendo, de (3.3.39) y (3.3.44) la estimación para ||grad φ|| es:
||grad φ|| =
√ máx{(D−
+, (D+ y )2−} si φ0
i,j > 0,√ máx{(D−
y )2 +} si φ0
i,j < 0. (3.3.45)
Finalmente, y con el objetivo de formular la discretización en espacio del segundo miembro en la ecuación (3.3.25), se deduce el valor de G(φ) = (||grad φ|| − 1) en el nodo (xi, yj):
(i, j − 1) φ0 < 0
φ0 = 0
Figura 3.1: Un caso en que (i, j) ∈ Γ∗h.
G(φi,j) ≈
i,j > 0,√ máx{(D−
i,j < 0,
(3.3.46)
En el Test 3 de la Sección 3.5 se mostrará el buen comportamiento de esta aproximación en problemas unidimensionales; sin embargo, el Test 1 de la misma sección mostrará que en problemas bidimensionales la aproximación de G es buena en la interfase pero presenta errores considerables al aproximarse al centro de la burbuja. Dado que la función de nivel φ requiere ser próxima a una distancia alrededor de la interfase, pues H(φ) es nula en el interior de la burbuja, este mal comportamiento de la aproximación (3.3.46) en el centro de la burbuja no será un problema para este algoritmo.
Nótese que es posible que el nodo (i, j) tenga uno de sus adyacentes del otro lado de la interfase, por ejemplo (i+1, j) (ver Figura 3.1), en cuya situación escribimos φ0
i,jφ 0 i+1,j < 0.
Entonces la discretización dada en (3.3.45) debe ser modificada para nodos con esta propiedad y de esta manera respetar el criterio de descentramiento que se utiliza para estimar las derivadas parciales de φ. Así, suponiendo que φ0
i,j > 0, la estimación de [
∂φ ∂x
] i,j
se hace a través de D+ x , procedimiento que no es verdaderamente un descentramiento pues
a partir de la interfase φ0 = 0 hasta (i + 1, j), la propagación de la señal es de izquierda a derecha y por tanto se debería usar D−
x (ver Fig. 3.1).
30 CAPÍTULO 3. RESOLUCIÓN NUM. DE LA EC. DEL TRANSPORTE
Para facilitar la notación en el desarrollo, que se hace a continuación, se define el siguiente conjunto,
Γ∗h = {(i, j)/ φ0 i,jφ
0 i+1,j < 0 ó φ0
i,jφ 0 i−1,j < 0 ó φ0
i,jφ 0 i,j+1 < 0 ó φ0
i,jφ 0 i,j−1 < 0} . (3.3.47)
Para los nodos (i, j) ∈ Γ∗h se procede de una forma hasta la interfase y luego entre ésta y el siguiente nodo, se modifica el procedimiento. Para implementar esta idea, se hace previamente una estimación de la distancia entre (i, j) y la interfase φ0 = 0 utilizando un desarrollo de Taylor para φ0 alrededor del punto (xi, yj). Sea di,j la distancia desde el punto (xi, yj) hasta la curva φ0 = 0 (ver Figura 3.2), y
νi,j = [grad φ0]i,j ||[grad φ0]i,j|| (3.3.48)
una aproximación de la normal unitaria exterior a la curva φ0 = 0; en consecuencia, (xi, yj) + di,jνi,j, será un punto próximo a la interfase. Entonces, a través del desarrollo de Taylor para φ0 alrededor de (xi, yj) y de la definición de νi,j que se da en (3.3.48), se obtiene
0 ≈ φ0((xi, yj) + di,jνi,j) = φ0 i,j + di,j||[grad φ0]i,j||+ O(h2) . (3.3.49)
De la ecuación (3.3.49) se obtiene la siguiente estimación para di,j,
φ0 < 0 φ0 > 0
φ0 = 0
Figura 3.2: di,j para (i, j) ∈ Γ∗h, con φ0 i,j < 0.
di,j ≈ − φ0 i,j
||[grad φ0]i,j|| . (3.3.50)
Como se ha supuesto que φ0 i,j < 0, si se define
Di,j = φ0
||[grad φ0]i,j|| , (3.3.51)
entonces Di,j es una aproximación de la distancia signada, desde el nodo (i, j) hasta la interfase Γ. Para efectuar la aproximación numérica, de Di,j, se estima grad φ0 utilizando diferencias centradas. Esto permite escribir
Di,j = 2 hφ0
i,j−1) 2 . (3.3.52)
3.3. REINICIALIZACIÓN REINI RS 31
Si por el contrario se tiene φ0 i,j > 0, el desarrollo es totalmente análogo al caso anterior;
la diferencia radica en que el vector νi,j está dirigido desde la interfase hacia el nodo (i, j). Por esta razón al aplicar Taylor, se obtiene
0 ≈ φ0((xi, yj)− di,jνi,j) = φ0 i,j − di,j||[grad φ0]i,j||+ O(h2) , (3.3.53)
y la estimación de la distancia signada está dada nuevamente por la ecuación (3.3.51). El razonamiento hecho para el caso φ0
i,jφ 0 i+1,j < 0, es también aplicable a cualquiera
de los casos que definen Γ∗h en (3.3.47). La evolución en el tiempo (tiempo ficticio τ) de la ecuación (3.3.25) se realiza a través
del método de Euler, esto es:
φn+1 i,j = φn
i,j −τ sig (φ0 i,j)(||[grad φn]i,j|| − 1) . (3.3.54)
Nótese que la discretización del término ||[grad φn]i,j|| − 1 está dada en (3.3.46), salvo cuando se trata de un nodo (i, j) ∈ Γ∗h, en cuyo caso se debe proceder en forma diferente; en efecto, si (i, j) ∈ Γ∗h, se considera la siguiente regularización para la función signo,
sig h = Di,j
φn+1 i,j = φn
−Di,j
) . (3.3.56)
Por otro lado, utilizando el desarrollo de Taylor para φn alrededor de (xi, yj), se obtiene
0 ≈ φn i,j −Di,j||[grad φn]i,j||. (3.3.57)
De (3.3.57) se deduce que
||[grad φn]i,j|| ≈ φn
i,j
Di,j
. (3.3.58)
Reemplazando (3.3.58) en la ecuación (3.3.56) y utilizando (3.3.51), se tiene
φn+1 i,j = φn
Teniéndose en cuenta que
φn i,j = sig (φ0
i,j)|φn i,j| . (3.3.60)
de la ecuación (3.3.59) se concluye el esquema para evolucionar el valor de φ en los nodos que pertenecen a Γ∗h y que además respeta el criterio de descentramiento:
φn+1 i,j = φn
32 CAPÍTULO 3. RESOLUCIÓN NUM. DE LA EC. DEL TRANSPORTE
Usando la notación G(φn i,j), presentada en (3.3.46) para la discretización espacial del
término ||[grad φn]i,j|| − 1, la evolución de φ en cualquier nodo de la malla asociada a se escribe como
φn+1 i,j =
(3.3.62)
Para detener el proceso iterativo (3.3.62), se utiliza el criterio de parada presentado en [98],
∑ (i,j)∈Γ∗ |φn+1
i,j − φn i,j|
M < τh2 , (3.3.63)
donde M es el número de elementos del conjunto Γ∗. En los ejemplos numéricos, desarro- llados en [98], los autores utilizan
Γ∗ = {(i, j) / |φn i,j| < ε} , (3.3.64)
con ε = 3/2h y τ = h/10. En lo que resta de este trabajo el proceso de reinicialización presentado en esta sección
lo llamaremos reini RS. En el Test 2, que se presenta en la Sección 3.5, se mostrará el comportamiento de este
proceso sobre varios tests académicos con solución conocida; en particular, se analizará su capacidad de regenerar una función distancia signada y, lo que es más importante, mantener el conjunto de nivel cero de la condición inicial. Además, en los Test 3 y 4, se mostrará como se comportan estas propiedades cuando aumenta el número de pasos de tiempo.
3.4 Reinicialización reini SSO y reinicialización con con- servación de la masa reini FS
∂
Hε(φ) dx = 0 , (3.4.65)
donde Hε corresponde a una regularización de la función de Heaviside y V a cualquier subconjunto arbitrario de e independiente de τ . Para incorporar la condición (3.4.65), el problema (3.3.25)-(3.3.26) se modifica introduciendo un multiplicador λ que permite reescribirlo como
∂φ ∂τ
= L(φ0, φ) + λf(φ) , (3.4.66) φ(x, y, 0) = φ0(x, y) , (3.4.67)
3.4. REINI SSO Y REINI FS 33
siendo λ una función que sólo depende de τ , f una función que debe eligirse apropiada- mente, como se verá más abajo, y L definida por:
L(φ0, φ) = sig (φ0)(1− ||grad φ||) . (3.4.68)
Para determinar λ se calcula la derivada de la integral en la condición (3.4.65) y se sustituye en el resultado obtenido la expresión para ∂φ
∂τ dada por (3.4.66):
H′ ε(φ)[L(φ0, φ) + λf(φ)] dx = 0 . (3.4.69)
En consecuencia, si se supone que λ sólo depende de τ , es posible escribir
λ = − ∫
f(φ) = H′ ε(φ)||grad φ|| . (3.4.71)
Esta elección asegura que la corrección, debida a la conservación de la masa, se realiza sólo en la interfase. Es conveniente notar que, si φ es la solución exacta del problema de reinicialización (3.3.25)-(3.3.26) entonces λ será nula, ya que en este caso L(φ0, φ) = 0. Sin embargo, para la solución numérica de (3.3.25)-(3.3.26) esta última propiedad puede no verificarse ya que el conjunto de nivel cero asociado a φ0 podría diferir del estimado para φ, debido al error numérico. Como el conjunto de nivel cero debería permanecer invariante después del proceso de reinicialización, es por lo que se introduce el nuevo proceso (3.4.66)-(3.4.67) de modo que la masa se mantenga numericamente invariante en cualquier volumen V ⊂ .
A efectos numéricos, en la discretización de la ecuación (3.4.66) se impone que el valor de
∫ i,j
i,j = { (x, y) : xi− 1
2 ,j ≤ x ≤ xi+ 1
2 ,j y yi,j− 1
2 ≤ y ≤ yi,j+ 1
2
} ; (3.4.72)
esto conduce a un multiplicador λi,j en cada celda, tomando en (3.4.70) V = i,j. En resumen, el problema de reinicialización con conservación de la masa consiste en
calcular el estado estacionario de la función φ verificando:
φτ = L(φ0, φ) + λi,jf(φ) , para (x, y) ∈ i,j , (3.4.73)
λi,j = − ∫
φ(x, y, 0) = φ0(x, y). (3.4.75)
Para la discretización de los multiplicadores se ha considerado que λi,j es constante a trozos, es decir, constante en cada celda i,j; en la práctica, λ -que es una función que varía en espacio y tiempo ficticio τ - se supone nula fuera de una delgada zona alrededor del frente.
34 CAPÍTULO 3. RESOLUCIÓN NUM. DE LA EC. DEL TRANSPORTE
La discretización espacial del término ||grad φ||, que aparece en la expresión (3.4.68) de L y en la elección (3.4.71) de f , se realiza usando la discretización (3.3.45), que corresponde al método ENO de primer orden (ver [84], [94] y [98]).
Como regularización de la función de Heaviside, en la bibliografía de este ámbito se considera
Hε(φ) =
ε + 1
1 si φ > ε,
(3.4.76)
y, consecuentemente, la regularización de la función signo que se considera es:
sig ε(φ) = 2Hε(φ)− 1 . (3.4.77)
Es posible encontrar en la literatura aproximaciones para diferentes elecciones de ε; en esta memoria, al igual que en [94], se considera ε = h.
Continuando con la discretización, la expresión para L en τn = nτ es
L(φ0, φn) = sig h(φ 0)(1− ||grad φn||). (3.4.78)
En resumen, el proceso de reinicialización propuesto con conservación de la masa, sigue los siguientes pasos:
• A través del método de Euler se obtiene la primera estimación de la solución de (3.4.66) en τn+1, que se denota φn+1, y que se calcula como
φn+1 = φn + τL(φ0, φn) . (3.4.79)
• Se calcula el multiplicador λi,j sobre la celda i,j con la expresión obtenida en (3.4.74):
λi,j = − ∫
. (3.4.80)
• Se realiza la corrección que proviene de aplicar la condición de conservación de la masa en cada celda, y que permite obtener finalmente la estimación de φn+1 como sigue
φn+1 = φn+1 + τλi,jH ′ h(φ
0)||grad φ0||. (3.4.81)
∫
3.4. REINI SSO Y REINI FS 35
∫
i,j
] dx. (3.4.84)
∫
0)||grad φ0|| − φ0 ] dx. (3.4.85)
Como λi,j es constante en cada i,j, (3.4.85) se transforma en
τ
] , (3.4.86)
donde se observa que el valor de λi,j dado en (3.4.80) es precisamente el que anula esta expresión y, en concecuencia, λi,j corresponde a tomar una aproximación lineal del término (3.4.83), lo cual garantiza que el conjunto de nivel en el tiempo τn+1 es una aproximación lineal del conjunto de nivel inicial sobre cada celda.
En el ensayo 2 que se presenta en la sección 3.5 se compara el comportamiento de entre las diferentes alternativas de reinicialización en cuanto a mantener el area de la burbuja para un número considerable de pasos de tiempo y con diversas magnitudes de ratios de densidad. Los resultados obtenidos en el caso evolutivo muestran que la alternativa reini FS es el más eficiente entre los diferentes procesos de reinicialización.
36 CAPÍTULO 3. RESOLUCIÓN NUM. DE LA EC. DEL TRAN