Índice general - · PDF file•Índice general Prefacio vii I Desarrollo del cálculo diferencial. 1 1. Álgebra lineal y geometría analítica. 3 1.1. El espacio Rn:

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Prefacio VII

I Desarrollo del cálculo diferencial. 1

1. Álgebra lineal y geometría analítica. 31.1. El espacio Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. La distancia euclidiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Un repaso de álgebra lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Espacios y subespacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Bases e independencia lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. El determinante de una transformación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1. El grupo de permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2. El determinante de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4. Geometría analítica en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.1. Normas y perpendicularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2. Rectas y planos en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.3. Ángulo entre vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.4. El producto vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Funciones, sucesiones y series. 352.1. Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Familias de elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3. Sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.1. Subsucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.2. Sucesiones de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3. Topología de Rn. 533.1. Subconjuntos de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Propiedades de la topología de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3. El teorema de Borel-Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4. Compacidad en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5. El teorema de Bolzano-Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6. Generalización a un espacio vectorial real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.6.1. Prueba de los teoremas especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

I

Índice general

3.7. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4. Curvas en Rn. 814.1. Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.1. Curvas equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2. Límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4. Diferenciación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4.1. Teoremas sobre derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4.2. Tangentes, Velocidad y Rapidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5. Longitud de Arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6. Cálculo de longitud de arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.6.1. Integral de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6.2. El teorema del valor medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.6.3. Fórmula para la longitud de arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.7. Parametrización por longitud de arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.7.1. Propiedades de la función de longitud de arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.8. Conexidad en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.9. Generalización a un espacio vectorial real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.10. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5. La derivada en varias variables. 1215.1. Funciones de varias variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2. Campos vectoriales, una introducción intuitiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.2.1. Representación geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.2.2. Las transformaciones rígidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.3. Gráficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.1. Método de los conjuntos de nivel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.2. Método de las secciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4. Límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.4.1. Proyecciones canónicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4.2. Funciones polinomiales y racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.4.3. Límites reiterados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.4.4. Límites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.5.1. Continuidad y compacidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.5.2. Continuidad y conexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.5.3. Continuidad y continuidad uniforme. El teorema de Heine-Cantor. . . . . . . . . . . 143

5.6. La derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.6.1. Motivación para la definición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.6.2. Definición de derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.6.3. Completez de los espacios vectoriales normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.7. Teoría de derivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.7.1. Unicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.7.2. Diferenciabilidad implica continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.7.3. La regla de la cadena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.7.4. Diferenciabilidad de las funciones componentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.7.5. Linealidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.7.6. Derivada de un producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.7.7. Derivada de un cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

II

Índice general

5.8. Algunas derivadas especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.8.1. Funciones constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.8.2. Proyecciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.8.3. Inclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.8.4. Transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.8.5. Exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.8.6. Funciones polinomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.8.7. Otros ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.9. La derivada, interpretación geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.10. Funciones inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.11. El teorema del valor medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.12. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6. Las derivadas de una función. 1776.1. Derivadas en direcciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.2. Derivadas parciales en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.2.1. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.2.2. Sobre la definición de derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.2.3. Regla de la cadena para las derivadas parciales en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.3. Las derivadas parciales en general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.3.1. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.4. La función de derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.4.1. Derivadas parciales de orden superior en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.5. Existencia de la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.5.1. Diferenciabilidad de una función no implica continuidad de sus derivadas parciales. 1916.5.2. Continuidad de las parciales de una función no implica su diferenciabilidad. . . . . 1926.5.3. Existencia de las parciales en todas partes no implica diferenciabilidad. . . . . . . . . 1936.5.4. Existencia de la derivada en un punto no implica la existencia de las parciales salvo

ese punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.5.5. Una condición suficiente de diferenciabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.5.6. Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.6. Técnicas de derivación parcial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.6.1. Permutabilidad de las derivadas parciales de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . 1986.6.2. Funciones de clase Ck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.6.3. Notación clásica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.7. Ejemplos resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.7.1. Derivadas parciales de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.7.2. Derivadas parciales de orden superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.7.3. Riesgos de la notación clásica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.8. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7. El teorema de Taylor. 2137.1. Formas cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.1.1. Formas cuadráticas definidas y cambios de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.1.2. Matriz asociada a una forma cuadrática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

7.2. Ley de inercia de Sylvester. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.3. Segunda derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.3.1. El teorema de identificación Lin (V,Lin (V,W )) = Lin(2) (V,W ) . . . . . . . . . . . . . . 2277.4. Propiedades de la segunda derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

7.4.1. Forma cuadrática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

III

Índice general

7.4.2. Matriz asociada a la segunda derivada de una función real. . . . . . . . . . . . . . . . 2317.4.3. Funciones coordenadas y segunda derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327.4.4. Segunda derivada de una forma bilineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.4.5. Segunda derivada de funciones f : A ⊂ V →W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.5. Derivadas superiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357.5.1. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.5.2. Propiedades de las derivadas superiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7.6. El teorema de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2427.6.1. El polinomio de Taylor en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2427.6.2. El polinomio de Taylor en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.7. Desarrollos limitados; el teorema de Taylor en espacios vectoriales normados. . . . . . . . 2507.7.1. Funciones polinomiales homogéneas y no homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.7.2. Las funciones de incrementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2537.7.3. El teorema fundamental de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547.7.4. Funciones tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2567.7.5. El teorema de Taylor, otra vez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577.7.6. Propiedades de los desarrollos limitados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

7.8. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

8. Optimización libre y restringida, funciones convexas y teoremas de la función inversa eimplícita. 2678.1. Optimización libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

8.1.1. Condiciones necesarias de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.1.2. Condiciones necesarias de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2718.1.3. Condiciones suficientes de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.2. Funciones convexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758.2.1. Funciones convexas en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758.2.2. Acotamiento, continuidad y diferenciabilidad de las fuciones convexas en R. . . . . 2768.2.3. Un poco sobre funciones monótonas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2778.2.4. Caracterizaciones de funciones convexas en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2798.2.5. Operaciones que preservan la convexidad en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2828.2.6. Ejemplos de funciones convexas en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838.2.7. Funciones convexas en espacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2848.2.8. Ejemplos de funciones convexas en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8.3. Ejemplos de optimización libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888.4. Optimización restringida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

8.4.1. Homeomorfismos, difeomorfismos y diferenciabilidad fuerte. . . . . . . . . . . . . . . 2988.4.2. El método de aproximaciones sucesivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3028.4.3. El teorema de la función inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3068.4.4. El teorema de la función implícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.4.5. Algunos ejemplos de invertibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.4.6. El método de los multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

8.5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

II Desarrollo del cálculo integral. 329

9. Área de conjuntos. 3319.1. ¿Qué es el área? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3319.2. ¿Qué conjuntos son Jordán medibles? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

IV

Índice general

9.3. Propiedades básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3379.4. Cambios lineales de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3409.5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

V

Índice general

VI

• Prefacio

El cálculo de varias variables, también llamado cálculo vectorial, es una herramienta fundamental enlas ciencias. Es destacable que el cálculo aparece en diversas ramas del conocimiento, no es simplementeuna curiosidad técnica. Por ejemplo, en la física se le puede encontrar al estudiar el comportamiento departículas; en la economía, al estudiar los óptimos del bienestar; en la estadística, al estudiar la máximaverosimilitud, etcétera. Ocasionalmente se podrá mencionar algunas de estas aplicaciones, aunque cabela advertencia de que no se hará énfasis especial en estos temas.

A lo largo del texto se buscó generalizar lo que se entiende como «Cálculo diferencial e integralen R»; esto es, se trató de dar una generalización natural de las nociones clásicas del cálculo a variasvariables. Se pensó en dar todas las definiciones de tal forma que vinieran motivadas directamentede propiedades geométricas, el lector decidirá si se consiguió el objetivo. Particularmente, se pusoénfasis especial en la noción de diferenciación para funciones de V a W ; funciones entre dos espaciosvectoriales de dimensión finita. Otros temas clásicos que se definen rigurosamente son las formascuadráticas y las funciones de incrementos. También se desarrolla con cuidado y detalle lo que seentiende como teoría de optimización.

Se espera que las definiciones, teoremas y ejemplos presentadas a lo largo del texto tengan uncaracter geométrico, más que analítco. Sin embargo, no es esta razón para creer que en tales casoslas demostraciones pertinentes se harán sin la rigurosidad de un análisis matemático adecuado. Loque se trató de hacer fue resaltar el aspecto geométrico de los resultados y dar una demostraciónanalítica completa y formal, basándose únicamente en lo que ya se demostró en el texto (salvo contadasexcepciones).

Antes de comenzar a exponer de qué trata cada capítulo quisiera hacer algunos comentario perso-nales al lector, quien podría mostrarse escéptico en la presentación de este texto pues, ciertamente, elnivel del mismo podría no ser el más adecuado para un primer curso de cálculo vectorial. El texto fuediseñado para dar una construcción teórica de todo el material que fue impartido en diversos cursosde cálculo vectorial, tanto diferencial como integral, en el cual participé como ayudante1; esto fue unas7 veces.

1. Se supone que este será el primer libro de cálculo vectorial que leería el lector. Por esto, laspruebas a veces son demasiado detalladas para quien esté muy familiarizado con el material. Sinembargo, los contenidos del texto son tan amplios que perfectamente pueden ser utilizado paraun curso de cálculo avanzado en posgrado.

2. Cada capítulo trata de cubrir todo el material que se podría dar del tema a este nivel. Los ejerciciosa veces especializan los resultados o dan pruebas adicionales más elementales para casos másparticulares. Son pocos los ejercicios que se plantean de tipo mecánico; esto es, ejercicios en losque solo hace falta memorizar un algoritmo para resolverlo. Se hace énfasis en ejercicios másteóricos.

1Un término empleado muy común en inglés es Teaching Assistant

VII

Prefacio

3. Las pruebas están detallas pues están escritas pensando en que el lector no ha llevado ningúncurso de análisis; sin embargo, la experiencia ha mostrado que haber llevado uno o dos cursosde análisis facilita, mas no trivializa, las pruebas. Obviamente esto conlleva consigo un problemaen la extensión de los capítulos. A modo de tratar de equilibrar tanta tecnicidad en las pruebas,he intentado exponer algunas motivaciones geométricas de las mismas.

4. Aquí presento una construcción teórica de la mayoría de las dudas que surgieron durante losaños que participé como ayudante. Cabe destacar que originalmente el material iba a ser comple-tamente desarrollado en Rn sin entrar a espacios métricos ni normados. Pero cuando se queríadesarrollar la derivación superior, no se podían dar las definiciones y demostraciones teóricaspues las derivadas superiores dejan de poseer contradominio del tipo Rn y sus contradominiosempiezan a devenir más grandes; esto siempre causaba dudas difíciles de contestar.

El último punto es particularmente importante pues yo mismo me mostraba reacio a dar una cons-trucción más general del cálculo diferencial. Finalmente, conforme la experiencia que iba tomandocreció, decidí dejar mi paradigma de que el cálculo se realiza entre dos espacios Rn y mostrar quese puede dar más general sin perder la intuición geométrica original; decidí dar una solución a todaslas dudas que recibí. No pude encontrar otra solución a este problema salvo extendender aún más loscapítulos iniciales e introductorios, aumentar los resultados técnicos y emplear más métodos y técnicasde análisis de las que la mayoría de los profesores consideraron necesarias. Sin embargo, el beneficioes inmediato. Al dar toda la teoría para funciones entre dos espacios normados de dimensión finitaesencialmente no se aleja de la idea original de Rn y ya es posible construir con toda formalidad lasderivadas de orden superior. La mayoría de los estudiantes que leyeron este material mostraban incon-formidad en la cantidad de resultados mas nunca en la presentación de los mismos. Finalmente, doyalgunas recomendaciones y consideraciones personales para la lectura de texto.

1. El lector debe tener conocimientos de álgebra lineal, en especial en el uso intensivo de vectores,matrices, normas y productos escalares. También es deseable que el lector ya haya llevado uncurso de álgebra lineal de espacios vectoriales en general; esto es, que haya estudiado propiedadesde espacios vectoriales arbitrarios. De hecho, aquí se busca introducir al lector a la noción delálgebra lineal «libre de coordenadas».

2. Considero que este material no puede ser llevado en un curso de un semestre pero se puede tomarcomo referencia de cualquier curso. Sería extraño que se presente algún material del cálculo queno esté desarrollado aquí.

3. Si se desea basar un curso en él, siempre puede tomarse el material que se considere indispensabley dejar para los estudiantes las lecturas de las pruebas. El profesor del curso puede comprobarél mismo que estas pruebas están suficientemente detalladas como para que cualquiera puedaleerlas sin necesidad de tener que hacer muchas anotaciones.

A continuación se exponen los principales temas que se trataron en cada capítulo del texto.En el capítulo 1 se introducen o mencionan los mínimos requerimientos que el lector debe tener para

poder iniciar a leer este texto. Para empezar, se menciona al álgebra lineal y a la geometría analítica deRn; toda la materia se desarrolla como una generalización de estas dos ramas. Dado que el cálculo devarias variables estudia el comportamiento de funciones no lineales, es importantísimo tener un buenentendimiento de las funciones cuyo comportamiento es lineal. Aquí se presentan las definiciones quedan la estructura de espacio vectorial a Rn y se demuestran algunos teoremas básicos, clásicos y útilesdel álgebra lineal. Destaca, por su embergadura y su sencillez, el teorema de la dimensión (1.2.25).

En el capítulo 2 se presenta una de las definiciones más importantes en matemáticas: el conceptode función. Se parte desde la visión de teoría de conjuntos de lo que es una función y se demuestranalgunas propiedades. También aquí es donde se define el concepto angular en el análisis de «familia de

VIII

Prefacio

elementos» (ve (2.2.1)) el cual se utiliza cuando se habla de orden en los conjuntos (por ejemplo, de una«base ordenada» en un espacio vectorial). Al término de este capítulo, aparece la noción de sucesióny con esta, la de serie. Se dan las propiedades principales, haciéndo énfasis en el caso Rn y dejandocomo ejercicio las propiedades básicas del caso real, las cuales se suponen conocidas por el lector.

En el capítulo 3 se estudia el comportamiento de los subconjuntos de Rn. Aquí es donde se definelo que es un conjunto abierto y se demuestran sus propiedades principales; esto es, que conformanuna topología. Cabe destacar que muchas de las demostraciones aquí presentadas se pueden genera-lizar a espacios métricos arbitrarios e incluso a espacios topológicos. La topología ayuda a demostrarvarias propiedades generales e importantes sobre funciones. Por ejemplo, el estudio de máximos ymínimos de funciones utiliza propiedades que no dependen de la estructura métrica del dominio sinode su estructura topológica. También se definen lo que se conocen como conjuntos compactos, usandola definición de cubierta abierta (ve (3.3.2))2. Se demuestran algunos teoremas importantes, como elteorema de Bolzano-Weierstrass (3.5.3) y el teorema de Borel-Lebesgue (3.3.5). Finalmente, el capítuloconcluye con una generalización a espacios vectoriales normados de dimensión finita.

En el capítulo 4 se estudia uno de los temas más clásicos de la geometría diferencial, las curvas. Aquíse estudian las propiedades básicas: límites, continuidad, diferenciabilidad, velocidad, rapidez y longitudde arco. Temas más selectos del área de geometría diferencial, tal como curvatura, torsión, tríada deFrènet, etcétera, se mencionan únicamente en los ejercicios y a veces solo se hace referencia a estostemas sin mencionar que se trata de ellos. En este capítulo el lector observará que la mayoría de laspropiedades de curvas se reduce a estudiar las propiedades de funciones de R a R. Al igual que en elcapítulo 3, al final se presentan las generalizaciones pertinentes para un espacio vectorial de dimensiónfinita.

En el capítulo 5 se empieza el estudio directamente de funciones entre dos espacios vectoriales dedimensión finita. Se estudia a la derivada de funciones f : A ⊂ V →W ; este capítulo es el núcleo centralde este texto. También, se estudian el graficado de funciones mencionando dos de las técnicas másútiles, las curvas de nivel y las secciones. Asimismo, se estudian los campos vectoriales y se demuestraque las únicas isometrías (funciones que preservan las distancias) son aquellas que, salvo una traslaciónpor el origen, se comportan como rotaciones y reflexiones, las transformaciones ortogonales. Luego, seestudian límites y se hace mención de la diferencia fundamental con el caso básico de R, las direccionesmúltiples. Se presentan varios ejemplos para familiarizar al lector con el estudio de límites, para queestos no presenten un problema en su futuro académico. Luego, se definen las funciones polinomiales,haciéndo énfasis en que no es lo mismo un polinomio que una función polinomial, pero que existe unisomorfismo entre los espacios vectoriales asociados. Más adelante, se habla sobre continuidad, lo cualse facilita debido al estudio de los límites y entonces se presentan algunos teoremas bastante fuertesrespecto a continuidad y propiedades topológicas del dominio. El capítulo continúa con el estudio dela derivada para funciones de varias variables. Aquí es donde se dedica una sección completa a sumotivación, buscando siempre dejar claro que la ídea de la derivada es la de aproximación lineal.En esta sección es donde se introduce la idea de que el cálculo en varias variables no debe hacerserestringido a Rn sino que debe desarrollarse en V, un espacio vectorial real de dimensión finita. Se dauna motivación teórica del porqué esto no afecta la noción de derivación y entonces se concluye que noimporta si un espacio vectorial V se piensa como el espacio vectorial o como el espacio de coordanas.Después de dar la definición de derivada, se estudian su teoría básica; esto es, las relgas de derivación,demostrando con ello la regla más importante del cálculo diferencial, la regla de la cadena (5.7.3). Secontinúa con una sección de ejemplos, esto con el fin de que el lector se vuelva diestro al trabajar con laderivada. Aquí se incluyeron ejemplos de calcular derivadas para funciones entre espacios vectoriales,

2Es destacable que algunos autores definen, para el caso Rn, que un conjunto compacto es un conjunto cerrado y acotado. Sibien, el teorema de Borel-Lebesgue afirma que tal hecho es cierto, no se procedió de este modo pues la experiencia muestraque cuando se empieza con el estudio de espacios más abstractos, resulta confuso y difícil olvidar que no todos los cerrados yacotados son conjuntos compactos.

IX

Prefacio

no necesariamente del tipo Rn. Más adelante se trabaja con la noción geométrica asociada con laderivada, la cual es, como ya se mencionó, la de aproximación lineal. Entonces, se encuentra la ecuacióndel plano tangente a funciones. La penúltima sección de este capítulo es dedicada a un tema importante,sobre todo para la teoría de superficies. Esta es, la noción de derivada de la función inversa. Se da unacondición suficiente para que la derivada de la función inversa pueda y tenga que existir. Finalmente, elcapítulo concluye con lo que podría ser considerado el teorema más importante del análisis, el teoremadel valor medio (5.11.2).

En el capítulo 6 se presenta la noción de derivadas parciales en Rn y en el caso general de unespacio producto V1×V2; en esta sección se presentan varios ejemplos, destacando (6.3.9), que es dondese menciona por primera vez la técnica de transportación. Esta técnica es muy útil y bella, pues permitereducir el problem de derivar entre dos espacios vectoriales arbitrarios al de derivar entre dos espaciosde tipo Rn y da una fórmula que conecta las derivadas de una manera sencilla e intuitiva. También sehace mención de que esta presentación más general de derivación parcial permite que la teoría defunciones implícitas sea más sencillamente resuelta. También se desarrolla el concepto de derivadacomo función, motivando otra vez el uso de espacios vectoriales en la definición de derivada (5.6.5). Eneste capítulo se le advierte al lector que empezar definiendo derivación a partir de la noción de derivadasparciales tiene la consecuencia de que se piensa que una función es diferenciable si existen las parciales,hecho que, por experiencia reiterada, es difícil de eliminar una vez que se cree cierto. Después de definirlas derivadas parciales de primer orden se definen las de orden superior. Continúa una sección convarios ejemplos, los cuales poseen la única intención de demoler las esperanzas del lector en creerque las derivadas parciales pueden usarse para definir derivada. Después de estos ejemplos se muestrael teorema de Schwarz (6.6.1). El capítulo concluye con muchos ejemplos completamente resueltos yejercicios propuestos.

En el capítulo 7 se presentan varias nociones. Primeramente se busca definir a las derivadas de ordensuperior. Entonces, se empieza definiendo la segunda derivada y para esto se parte desde un punto devista geométrico. Se definen entonces las formas cuadráticas y se da un estudio elaborado de estas;este incluye su clasificación, el número de clases, la forma geométrica que poseen, su factorización aforma diagonal, etcétera. Destaca el teorema de la Ley de incercia Sylvester (7.2.1) y particularmente suprueba, la cual construye un algoritmo el cual permite factorizar cualquier forma cuadrática y llevarlaa disposición diagonal. Después de estudiar a las formas cuadráticas se define a la segunda derivada.Aquí se presenta un teorema central en la teoría de derivación superior, el teorema de identificación(7.3.1), el cual da un isomorfismo canónico entre el espacio de transformaciones lineales anidadas conel espacio de formas multilineales. Una vez demostrado este teorema se define a la segunda derivada,tanto puntualmente como función. Luego, se prueban propiedades de esta, dentro de las cuales estáque para funciones de clase C2 la derivada y la forma cuadrática asociada son equivalentes. El capítulocontinúa con derivadas superiores y sus propiedades más útiles. Luego, se define el teorema de Tayloren R y se generaliza a Rn. Aquí se puede usar la técnica de trasportación para definir el teorema deTaylor en espacios más generales. Sin embargo, no se procede así pues la técnica de transportacióndepende íntimamente de elección de bases, lo cual va contrario a la idea de libre de coordenadas quese utiliza a lo largo del texto. Por lo tanto, se generaliza la noción de forma cuadrática a la de formap-ésima entre espacios vectoriales y más generalmente a la de función polinomial homogénea y nohomogénea entre espacios vectoriales, también resulta necesario definir las funciones de incrementos,mostrando (7.7.12), que se utiliza en teoría de la integración. Con estas definiciones se prueba el teoremafundamental de polinomios (7.7.15). El capítulo continúa con el estudio de las tangencias de p-ésimoorden. Se demuestra que el polinomio de Taylor ya definido a este punto satisface una tangencia deorden p-ésimo siempre que la función sea de clase Cp+1. Luego, se generaliza y fortalece el teoremade Taylor a espacios vectoriales. Finalmente, el capítulo concluye con la teoría de desarrollos limitadosy una lista de ejercicios para el lector.

En el último capítulo (el 8) de la primera parte del texto se estudia lo que se entiende como opti-

X

Prefacio

mización. La optimización se divide entonces en dos etapas: libre y restringida. Se empieza estudiandola optimización libre, dando condiciones necesarias de primer y segundo orden para un óptimo en elinterior. También se da una condición suficiente de segundo orden. Para esto se definen a las formascuadráticas no generadas y se demuestra el Lema de Schwarz (8.1.18). Después del desarrollo de lascondiciones necesarias y suficientes para óptimos se desarrolla teoría sobre funciones convexas. Lasfunciones convexas son ampliamente utilizadas en economía, aunque no se hace mención de esto enel texto. También, las fucniones convexas transforman las condiciones necesarias de primer orden encondiciones suficientes. Se muestra que las funciones convexas son muy regulares y se hacen variascaracterizaciones de estas. Luego, se dan ejemplos de funciones convexas tanto para R como Rn. Elcapítulo continúa con una sección dedicada a varios ejemplos de optimización. Estos ejemplos estáncompletamente resueltos y están escritos justificando todos los detalles teóricos de la existencia y opti-malidad de los puntos encontrados; esto es particularmente importante pues no aparece en otros textos.Después de concluir los ejemplos de optimización libre se aborda el problema de optimización restrin-gida, motivando con esto el deseo de querer “despejar la variable Y en función de la variable X de laecuación F (X,Y ) = 0”. Así, se contruye una demostración del teorema de la función implícita, pasandopor homeomorfismos, difeomorfismos, diferenciablidad fuerte, el método de aproximaciones sucesivasy el teorema de la función inversa. Se prueba entonces una versión del teorema de la función implícita(8.4.20). Esta versión es diferente a aquellas presentadas usualmente, pero la experiencia mostró quela versión aquí presentada es más fácilmente memorizable y es más intuitiva que aquellas presentadasen [22] o en [7]. El capítulo concluye con ejemplos de optimización restringida, todos ellos clásicos: ladesigualdad de la media geométrica y aritmética, la de Hölder y la de Minkowski; y condiciones sufi-cientes de segundo orden para la existencia de un óptimo en la restricción. También se destaca que enlos ejercicios hay una demostración sencilla del método de multiplicadores de Lagrange para el casode espacios del tipo Rn.

XI

Prefacio

XII

Parte I

Desarrollo del cálculo diferencial.

1

Capítulo 1

• Álgebra lineal y geometría analítica.

El contenido de este capítulo puede ser omitido si el lector considera que ya entiende y domina loreferente al álgebra linea y la geometría analítica.

§ 1.1. El espacio Rn.Al igual que cuando se empieza a trabajar en R, es necesario definir las operaciones para trabajar

en Rn; esto es, las operaciones que dan a Rn la estructura de espacio vectorial.

( 1.1.1 ) Sea R el conjunto de los números reales. Entonces

Rn = R× · · · ×R︸︷︷︸n veces

= (x1, . . . , xn)|xi ∈ R.

En particular,Rn+m = R× · · · ×R︸︷︷︸

n veces

×R× · · · ×R︸︷︷︸m veces

.

De este modo Rn se vuelve el conjunto de todas las n-adas de números reales. A estas n-adas denúmeros se les llamará vectores. Se puede definir una suma y un producto por escalar en Rn, estocon el fin de poder dotar a Rn de la estructura de espacio vectorial sobre R.

( 1.1.2 ) Dados λ ∈ R, X = (x1, . . . , xn) y Y = (y1, . . . , yn) en Rn se define su suma como

X + Y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

y el producto escalar λ · X porλ · X = (λx1, . . . , λxn).

De este modo, se tiene que tanto la suma de vectores como el producto de un escalar con un vector son funciones:

+ : Rn ×Rn → Rn y · : R×Rn → Rn.

Por notación habitual, tal como se hizo arriba, en lugar de escribir +(X,Y ) se escribe X+Y y cuandose aplica el producto λ ·X solo se escribe λX. Es fácil verificar que, con esta suma y este producto porescalar, el conjunto Rn se convierte en un espacio vectorial real1.

1Ve la definición (1.2.1) para más detalles.

3

Capítulo 1. Álgebra lineal y geometría analítica.

En muchas ocasiones se tendrá que expresar a los vectores en términos de sus coordenadas. Porejemplo si X ∈ R3 entonces se escribirá X = (x, y, z) y diremos que esta es la expresión de X en términosde sus «coordenadas cartesianas». En general, para X ∈ Rn se escribirá X = (x1, . . . , xn). Por facilidadde notación se hace la siguiente convención, si X ∈ Rn y Y ∈ Rm están dados por X = (x1, . . . , xn) yY = (y1, . . . , ym) entonces (X,Y ) ∈ Rn+m está dado por (X,Y ) = (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym).

z 1.1.1 La distancia euclidiana.Como el interés es llegar a hablar de ortogonalidad, planos y ángulos, resulta natural preguntarse.

¿Cómo se introduce la «geometría euclidiana» en Rn? Hay que empezar definiendo una longitud enRn, pero, ¿cómo introducir una longitud en un espacio que, en general, no puede ser visualizado? Seprocede a tomar la definición de distancia en R2 y generalizar la expresión a varias variables.

Si X = (x1, x2) y Y = (y1, y2) son dos vectores en R2, la geometría analítica elemental y el teoremade Pitágoras, conducen a la fórmula fundamental de distancia:

d(X,Y ) =»

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.

Cuya generalización es obvia: si X = (x1, . . . , xn) y Y = (y1, . . . , yn) son dos vectores en Rn entonces

d(X,Y ) =»

(x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2.

Si queda definida la distancia en Rn de este modo entonces habrá surgido inmediatamente una ventaja:la preservación del teorema de Pitágoras en todas las dimensiones.

( 1.1.3 ) Sean X = (x1, . . . , xn) y Y = (y1, . . . , yn) cualesquier vectores en Rn. Se define la «distancia euclidiana»entre ellos como el número positivo

d(X,Y ) =

Ãn∑k=1

(xk − yk)2.

El siguiente teorema es consecuencia de la definición previa y algunos cálculos.

( 1.1.4 ) Sean X,Y, Z ∈ Rn. Entonces

1. d(X,Y ) = 0Ñ X = Y, identificabilidad;

2. d(X,Y ) ≥ 0, no negativadad;

3. d(X,Y ) = d(Y,X), simetría;

4. d(X,Y ) ≤ d(X,Z) + d(Y,Z), desigualdad triangular.

En efecto, la primera de ellas es consecuencia de que

d(X,Y ) = 0Ñ d(X,Y )2 = 0,

y como d(X,Y )2 =n∑k=1|xk − yk|2 es una suma de números no negativos, cada sumando debe ser cero.

Con esto, x1 = y1, . . . , xn = yn, mostrando que X = Y. La segunda propiedad, la no negatividad seobtiene por definición, se toma como distancia la raíz positiva del número correspondiente. La segundaresulta del hecho que (x−y)2 = x2−2xy+y2 = y2−2xy+x2 = (y−x)2. Para la tercera ve el teorema(1.4.3).

Las propiedades anteriores de la distancia euclidiana en Rn permiten generalizar el concepto dedistancia.

4

1.2. Un repaso de álgebra lineal.

( 1.1.5 ) Caulquier función d : Rn ×Rn → R tal que d sea identificadora, no negativa, simétrica y satisfaga ladesigualdad triangular se denomina una distancia para Rn.

En los ejercicios se definiran otras distancias en Rn, algunas de las cuales tienen interpretacionesgeométricas interesantes.

§ 1.2. Un repaso de álgebra lineal.Con el fin de poder dotar a este texto una estructura de contención propia se ha decido dar una

retroalimentación de álgebra lineal.

z 1.2.1 Espacios y subespacios vectoriales.Se empezará con las definiciones de espacio vectorial y algunos resultados sencillos.

( 1.2.1 ) Un espacio vectorial real V es una terna (V,+, ·), que consta de un conjunto V y dos operaciones+ : V × V → V, llamada «suma», y · : R× V → V, llamada «producto por escalar», que cumple lo siguiente:

1. para cualesquier u, v ∈ V, u + v = v + u;

2. existe (al menos) un x ∈ V tal que para todo v ∈ V, v + x = v;

3. para todo v ∈ V existe (al menos) un u ∈ V tal que u + v = 0;

4. para todo u, v,w ∈ V, u + (v +w) = (u + v) +w;

5. para cualesquier a, b ∈ R y cualquier v ∈ V, a(bv) = (ab)v = b(av);

6. para todos a, b ∈ R y v ∈ V, (a + b)v = av + bv;

7. para todo a ∈ R y todos u, v ∈ V, a(u + v) = au + av;

8. para cualquier v ∈ V, v = 1v, en donde 1 denota al número real uno.

( 1.2.2 ) Todo espacio vectorial V no es vacío; en particular, el conjunto vacío no es espacio vectorial real.

Lo cual se sigue inmediatamente del axioma 2 en la definición de espacio vectorial. Las demostraciones que se hagan sobre espacios vectoriales se justificarán sobre estos ocho axiomas

o sobre proposiciones ya demostradas (las cuales se basan en ellos). A continuación un ejemplo de unademostración basada únicamente en los axiomas.

( 1.2.3 ) Sea V un espacio vectorial real. Entonces existen un único elemento en V, llamado «cero», que satisfaceel axioma 2. Asimismo, para cada u ∈ V existe un único v ∈ V, llamado «negativo» de u tal que v satisface elaxioma 3 para u.

Para demostrar la unicidad se parte de que existen dos elementos 0 y 0′ tales que ambos satisfacenel axioma 2; se llegará a que coinciden o a una contradicción. La siguiente manipulación muestra loafirmado:

0 = 0 + 0′ Axioma 2= 0′ Axioma 2.

Del mismo modo, se supone que dado un y ∈ V existen u y v tales que ambos satisfacen el axioma 3para este y dado. Una manipulación análoga a la previa permite concluir:

5


u = u + 0 Axioma 2= u + (y + v) Hipótesis= (u + y) + v Axioma 4= 0 + v Hipótesis= v Axioma 2.

Por lo tanto si hay dos tienen que coincidir. De este ejemplo se deduce que no hay ningún peligro en denotar por 0 al vector cero2 en V

y denotar por −v al inverso aditivo de v. Es destacable que, en principio, −v y (−1)v pueden serelementos distintos, el siguiente ejemplo que se vera muestra que esto no es así. Para esto, se recuerdauna definición sencilla, la de subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto deV. Si W resulta ser espacio vectorial con las mismas operaciones que las de V entonces se dice que Wes subespacio vectorial de V. Formalmente, son necesarias algunas definiciones.

( 1.2.4 ) Sea (V,+, ·) un espacio vectorial real y W ⊂ V cualquier subconjunto. Se definen las operaciones+W : W ×W → V definida como +W (u, v) = u + v y ·W : R ×W → V definida por ·W (λ, u) = λu. Sedirá que W es subespacio vectorial de V si (W,+W , ·W ) es espacio vectorial real; en particular, es necesario que+W (W ×W ) ⊂W y que ·W (R×W ) ⊂W.

Ahora bien, para saber si un subconjunto dado de V es subespacio se utiliza el criterio siguiente.

( 1.2.5 ) Para que W ⊂ V sea subespacio de V es necesario y suficiente que W 6= ∅ y que a, b ∈W,k ∈ RÑka + b ∈W.

Se empieza por la implicación más sencilla; si W es subespacio de V entonces no es vacío y sesatisfacen todos los axiomas de espacio vectorial en W ; en particular, satisface que dados a, b ∈ W yk ∈ R entonces ka + b ∈W.

Ahora se demuestra la otra implicación; se supone que W no es vacío y satisface que a, b ∈W,k ∈RÑ ka + b ∈W. Poniendo k = 1 se ve que a, b ∈W Ñ a + b ∈W ; esto es, la suma es «cerrada» enW. Como W es subconjunto de V se satisfacen automáticamente todos los axiomas de la suma salvola existencia de cero en W y la existencia de los inversos en W. Observa que en V se cumple que0v = (0 + 0)v = 0v + 0v, por lo que, sumando el inverso aditivo de 0v en ambos lados de la igualdad, seconcluye que 0v = 0. Las mismas manipulaciones muestran que el inverso aditivo de v es (−1)v; estoes, −v = (−1)v. Pero entonces, como W es no vacío, existe a ∈ W, por lo que (−1)a + a = 0 ∈ W,por hipótesis. De donde, el cero está en W. Asimismo, poniendo b = 0 en la hipótesis se encuentraque k ∈ R, a ∈ W Ñ ka ∈ W ; esto es, el producto es cerrado en W. Finalmente, si u ∈ W entonces−u = (−1)u = (−1)u + 0 ∈W, lo que muestra que los inversos aditivos están en W y W es subespaciovectorial de V con las mismas operaciones.

Se realza el hecho de que en este ejemplo se utilizó fuertemente la propiedad (1.2.2); es recomendabletener esto presente.

z 1.2.2 Bases e independencia lineal.Un tema importante en el álgebra lineal es dependencia e independencia lineal.

( 1.2.6 ) Sea V un espacio vectorial real dado. A un subconjunto finito S = v1, . . . , vr de V se le llama

linealmente independiente si a1, . . . , ar ∈ R son cualesquiera tales quer∑i=1

aivi = 0 entonces cada ai = 0. En

caso que esta implicación no sea satisfecha se dirá que S es linealmente dependiente. Si S es infinito entonces sedirá que S es linealmente independente si cada subconjunto finito de él lo es con la noción anterior.

2Cabe destacar que, aunque algunos autores lo afirman, la experiencia reiterada muestra que no existe ningún peligro deconfusión por denotar con el símbolo 0 tanto al vector cero como al número real cero.

6


Observaciones: Las siguientes son consecuencias sencillas de la definición previa, serán utilizadasmás adelantes sin hacer referencia a ellas. Supón por lo pronto que S = v1, . . . , vr.

1. Para que el conjunto S sea linealmente dependiente es necesario y suficiente que existan constantes

ai no todas cero tales quer∑i=1

aivi = 0. Lo cual se obtiene negando la definición.

2. Si 0 ∈ S entonces S es linealmente dependiente. En efecto, reordenando, se puede suponer quev1 = 0, entonces se pone a1 = 1, a2 = . . . = ar = 0, así que

r∑i=1

aivi = 1 · 0 + 0 · v2 + . . .+ 0 · vr = 0

y no todas las ai son cero.

3. A una suma finita del estilor∑i=1

aivi se le llama una «combinación lineal» de los elementos de

S. Cuando todos los escalares en la suma son cero se dice entonces que hay una «combinaciónlineal trivial» del cero. Para que S sea linealmente independiente es necesario y suficiente quela única combinación lineal del cero por elementos de S sea la trivial. Lo cual es exactamente ladefinición reescrita en términos de combinaciones lineales.

4. Si v ∈ V \ 0 es combinación lineal por elementos de S entonces S ∪ v es linealmente depen-

diente. Lo cual se sigue del hecho que v =n∑i=1

aivi para algunos ai ∈ R y algunos vi ∈ S. Luego,

para bi = −ai con i = 1, . . . , n, bn+1 = 1 y vn+1 = vn+1∑i=1

bivi =n∑i=1−aivi + vn+1 = −

n∑i=1

aivi +n∑i=1

aivi = 0.

5. Si S es linealmente independiente, para que v ∈ V haga que S ∪ v sea un conjunto linealmentedependiente es necesario y suficiente que v sea combinación lineal por elementos de S. Se suponeque S es linealmente independente y que S ∪ v no lo es; se pone v = vn+1, entonces supón queexiste una combinación no trivial del cero por elementos de S; es decir

0 =n+1∑i=1

aivi =n∑i=1

aivi + an+1vn+1,

y si an+1 = 0 entonces se tendría una combinación lineal de los elementos de S la cual no es trivialpero S es linealmente independente, esto es una contradicción. Por lo tanto, an+1 6= 0, y así

vn+1 =n∑i=1− aian+1

vi,

que es una combinación de v por elementos de S. Recíprocamente, supón que v es combinaciónpor elementos de S, si v fuera el vector 0 entonces ya se habría acabado la demostración, tal comomuestra un inciso previo. Se supone que v 6= 0. Entonces, sin perder generalidad,

v =n∑i=1

aivi, con a1 6= 0.

7


Se pone bi = −ai para i = 1, . . . , n y bn+1 = 1, vn+1 = v, entonces

n+1∑i=1

bivi =n∑i=1−aivi + vn+1 = −

n∑i=1

aivi +n∑i=1

aivi = 0,

y aquí b1 6= 0, por lo que S ∪ v es linealmente dependiente.

6. Finalmente si S es linealmente independente, todo subconjunto suyo también lo es, por otro lado,si un subconjunto de S es linealmente dependiente, S también lo es. Quedan para el lector losdetalles de esta observación.

( 1.2.7 ) Sea V = R4 y supón que

S = (1, 2, 1, 3), (3,−1, 5, 2), (0,−1,−1, 1).

¿Es S linealmente dependiente?

Para demostrar dependencia se tiene que encontrar una combinación lineal no trivial de elementosde S que sumen cero. Se supone que a, b y c satisfacen que

a(1, 2, 1, 3) + b(3,−1, 5, 2) + c(0,−1,−1, 1) = 0.

Se pasa a un sistema matricial,

a

Ü1213

ê+ b

Ü3−152

ê+ c

Ü0−1−11

ê=

Ü0000

êes decir, Ü

a + 3b2a − b − ca + 5b − c3a + 2b + c

ê=

Ü0000

ê.

Todo se reduce a resolver el sistema lineala + 3b = 02a − b − c = 0a + 5b − c = 03a + 2b + c = 0

.

El método más eficiente para resolver un sistema general de ecuaciones lineales es el “Gauss-Jordán”.En este caso se puede hacer algo mejor. De la primera ecuación se obtiene que a = −3b. Sustituyendoen las otras tres ecuaciones se obtiene el sistema equivalente −7b − c = 0

2b − c = 0−7b + c = 0

.

El cual es redundante, por lo tanto, queda elimidada la tercera ecuación sin perder información.ß−7b − c = 02b − c = 0 .

8


Finalmente, restando las ecuaciones se obtiene que b = 0. Sustituyendo en a es claro que a = 0 y, alutilizar estos valores en cualquier ecuación, se obtiene el valor de c, que es cero. Finalmente, ha sidodemostrado que cualquier combinación lineal de S que sume cero debe ser la trivial. De este modo, Ses linealmente independiente.

Se continúa con la noción de base de un espacio vectorial.

( 1.2.8 ) Un subconjunto B de V se llama generador si todo elementos de V es combinación lineal por elementosde B; es decir, si satisface lo siguiente

v ∈ V Ñ existen n ∈ N y λ1, . . . , λn ∈ R, v1, . . . , vn ∈ B tales que v =n∑i=1

aivi.

Además, a B se le llama una base de V si es linealmente independiente máximo; es decir, para que B sea basees necesario y suficiente que B sea linealmente independiente y que cualquier elemento de v ∈ V tal que v /∈ Bhará que B ∪ v deje de ser linealmente independiente.

( 1.2.9 ) Para que B sea base es necesario y suficiente que genere a todo el espacio y sea linealmente independiente.

En efecto, si B genera y es linealmente independiente entonces todo elemento de V es generadopor elementos de B, por lo que si se agrega a B un elemento que no esté en él hará que B deje deser linealmente independiente. Recíprocamente, si B es base entonces es linealmente independiente ycualquier elemento que sea agregado a B hará que B deje se der linealmente independente, por lo cual,tal elemento es combinación lineal por elementos de B. Como el elemento fue arbitrario, B genera.

( 1.2.10 ) Sea V un espacio vectorial el cual es generado por los vectores w1, . . . , wn y se supone que los vectoresv1, . . . , vm con m ≤ n son linealmente independientes. Los vectores v1, . . . , vm, w ′m+1, . . . , w ′n generan a V,en donde los w ′i son una reordenación conveniente de los wi; el «lema de Steinitz».

En virtud de que los vectores wi generan a V se sigue que existen escalares λ1, . . . , λn ∈ R tales

que v1 =n∑i=1

λiwi. Como los vectores vj son linealmente independientes ninguno de ellos puede ser el

vector cero, luego, al menos uno de los escalares no es cero y tras un reordenamiento de los wi sepuede suponer que λ1 6= 0. Entonces,

w1 = 1λ1v1 −

n∑i=2

λiλ1wi;

esto es, w1 es generado por v1, w2, . . . , wm y entonces todo V es generado por este conjunto. Se repiteesta operación para cada vj . Entonces, se supone que en la etapa j-ésima se cumple que V es generadopor v1, . . . , vj , wj+1, . . . , wm. Luego, los mismos argumentos que se utilizaron para v1 pueden repetirseaquí, se deduce que existen escalares µ1, . . . , µm ∈ R tales que

vj+1 =j∑

k=1µkvj +

m∑k=j+1

µkwk.

Si µj+1 = . . . = µm = 0 entonces vj+1 será combinación lineal por elementos de v1, . . . , vj, lo cual esfalso por la independencia de todos los vi. Se concluye la existencia de un µk 6= 0 con j + 1 ≤ k ≤ m.Por lo tanto, tras un reordenamiento de los wj+1, . . . , wm es posible suponer que k = j + 1. Luego,

wj+1 = 1µj+1

vj+1 −j∑

k=1

µkµj+1

vk −m∑

k=j+2

µkµj+1

wk,

9


con lo cual se concluye que los vectores v1, . . . , vj+1, wj+2, . . . , wm generan a V. Como a los más puedehaber un número finito m de pasos, el lema queda concluído.

( 1.2.11 ) Sean B1 y B2 dos bases del espacio vectorial real V. Si card (B1) <∞ entonces card (B1) = card (B2) .En particular, cuando un espacio vectorial posee una base la cual es finita entonces todas sus bases son finitas yposeen la misma cardinalidad.

Esto es una consecuencia directa del lema de Steinitz. En efecto, se pone B1 = v1, . . . , vm yB2 = u1, . . . , un. Luego, el conjunto un, v1, . . . , vm es linealmente dependiente, existe entonces unprimer elemento que es combinación lineal de los precedentes, evidentemente no puede ser un, puespor ser B2 una base un 6= 0. Ahora, sea vi un vector que es combinación lineal de los precedentes, porlo que

un, v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vmsigue generando a V y tiene cardinalidad m. Se agrega un−1 a este conjunto, de nuevo, hay un primerelemento que es combinación lineal de los precedentes, tal elemento no puede ser ni un−1 ni un, luegotiene que ser algún vj . Luego,

un−1, un, b1, . . . , bm \ bi, bjsigue generando a V. Se continúa de este modo, no puede ocurrir que antes de n iteraciones hayansido agotados todas las br pues entonces el conjunto u2, . . . , un generaría a V, lo cual es falso puesu1 es linealmente independiente de ellos. Por lo tanto, hay al menos tantos br como us, es decir n ≤m.Procediedo de manera análoga también se puede concluir que m ≤ n.

( 1.2.12 ) Sea V un espacio vectorial real. Si V posee una base con un número finito de elementos entonces sedirá que V es de dimensión finita. Al número común de elementos que poseen todas las bases de V se le llamarádimensión de V. En el caso en el que en V no exista ninguna base finita se dirá que V posee dimensión infinita3.

( 1.2.13 ) Sea V un espacio vectorial real tal que B2 es un conjunto generador finito de él. Si B1 ⊂ B2 eslinealmente independente y no es generador entonces existen vectores en B2, que no están en B1, tales que alagregarlos a B1 hacen de este una base.

Existe un elemento en B2 que no es generado por B1, se agrega a B1. Al agregar a B1 este elementose preserva la independencia lineal. Se repite el algoritmo. Este algoritmo termina pues B2 es finito. Elconjunto resultante es base pues genera a B2 y este último genera a V.

A continuación el teorema más importante, quizá, del álgebra lineal.

( 1.2.14 ) Todo espacio vectorial real posee una base. Más específicamente, dado cualquier conjunto linealmenteindependente B del espacio vectorial V, puede agragarse a B tantos elementos como sea necesario para que B seconvierta en base de V.

Consideramos A el conjunto de todos los subconjuntos de V que son linealmente independientes yque contienen a B. El Lema de Zorn (ve [9] y [24]) muestra que existe un conjunto maximal M en A .Por ser M un elemento de A entonces B ⊂ M. Además, como M ∈ A , es linealmente independente.Para concluir basta demostrar que M es generador. Se supone que hay un elemento en V que no esgenerado por M, sea v un tal elemento. Entonces, M ∪v contiene propiamente a M y es linealmenteindependente, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, todo elemento en V es generado por M.

( 1.2.15 ) Sea W ⊂ V un subespacio vectorial del espacio V. Entonces, dimW ≤ dimV.

Como W posee una base según (1.2.14), si tal base posee más elementos que dimV entonces puedeagrandarse aún más para obtener una base de V, lo cual es una contradicción. Observa que no se utilizóninguna hipótesis de dimensiones finitas.

3El espacio vectorial V = 0 se conoce como espacio vectorial trivial. Su base es, por definición ∅ y por tanto tiene dimensióncero.

10


( 1.2.16 ) Demuestra que si S es como en (1.2.7) entonces no es base de R4.

La manera de hacer esto es exhibir un vector v de R4 tal que S∪v sea linealmente independiente,esto es, un vector v que no es combinación lineal de los elementos de S. Usemos un vector lo mássencillo posible. Sea v = (1, 0, 0, 0), se verá que S ∪ v es linealmente independiente. Para que esto seacierto es necesario y suficiente que

a + 3b + d = 02a − b − c = 0a + 5b − c = 03a + 2b + c = 0

implique a = b = c = d = 0. Se utilizará el método de “Gauss-Jordán” para resolver el sistema. Se restados veces la primera ecuación de la segunda, una vez a la tercera y tres veces a la cuarta, se obtiene

a + 3b + d = 0− 7b − c − 2d = 0+ 2b − c − d = 0− 7b + c − 3d = 0

.

Ahora, a la tercera ecuación se multiplica por siete y se le suma el doble de la segunda. A la cuarta sele resta la segunda:

a + 3b + d = 0− 7b − c − 2d = 0

− 9c − 11d = 02c − d = 0

.

Finalmente, se multiplica por nueve la cuarta ecuación y se le suma el doble de la tercera:a + 3b + d = 0− 7b − c − 2d = 0

− 9c − 11d = 0− 31d = 0

.

Es claro ahora que d = c = b = a = 0. Por lo tanto, S ∪ v es linealmente independiente. De donde, Sno es base de R4.

( 1.2.17 ) Dado un conjunto S de un espacio vectorial V se define el espacio generado por S (o la «envolventelineal» de S) como sigue:

lin 〈S〉 = n∑

i=1aivi : n ∈ N, a1, . . . , an ∈ R, v1, . . . , vn ∈ S

.

Esto es, el conjunto de todas las combinaciones lineales4 de elementos de S.

Observación: Es fácil verificar que S es subespacio vectorial, lo cual queda a título de ejercicio parael lector. Nota que la definición anterior incluye los casos en donde S es infinito.

( 1.2.18 ) Sea V un espacio vectorial real y S ⊂ V. Entonces lin 〈S〉 es el menor5 espacio vectorial que contienea S.

4Que por definición son sumas finitas.5Aquí se entenderá menor respecto al «orden parcial» de contención. Dicho de otro modo, si A,B son subconjuntos de V

entonces A es menor, respecto de este orden, que B si A ⊂ B.

11


Como lin 〈S〉 es espacio vectorial, resta verificar que es el menor que contiene a S. Supón entoncesque A es otro espacio vectorial que contiene a S. Sea v ∈ lin 〈S〉 , existen n ∈ N y a1, . . . , an ∈ R y

v1, . . . , vn ∈ S tales que v =n∑i=1

aivi. Pero como cada vi ∈ A y A es espacio vectorial, v ∈ A. En virtud

de esto, lin 〈S〉 ⊂ A.

( 1.2.19 ) Sea V un espacio vectorial real. Entonces lin 〈V〉 = V.

Evidentemente V ⊂ lin 〈V〉 , pues, por definición, S ⊂ lin 〈S〉 para cualquier S ⊂ V. Por otro lado,lin 〈V〉 es el menor subespacio vectorial que contiene a V, pero V es un subespacio vectorial que contienea V, por lo tanto lin 〈V〉 ⊂ V.

( 1.2.20 ) Sean U y V espacios vectoriales reales arbitrarios. Se cumple que dim(U × V ) = dimU + dimV.

Para empezar se recuerda que el espacio U×V = (u, v) : u ∈ U, v ∈ V es espacio vectorial real conla suma y producto por escalar definido como sigue. Dado a ∈ R se define a(u, v) = (au, av) y dados(u, v), (s, t) ∈ U × V se define (u, v) + (s, t) = (u + s, v + t). Sean ui : i = 1, . . . ,m y vi : i = 1, . . . , nbases de U y V , respectivamente. ¿Quién podría ser una base de U × V? Lo más natural es pensarque B = (ui, vj ) : i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n es base, un segundo de reflexión hará notar que han sidoseleccionados demasiados elementos. Se define B como (ui, 0), (0, vj ) : i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, sedemostrará que B es base.

Primero se demostrará que B genera U × V. Sea (u, v) ∈ U × V entonces

(u, v) =

Ñm∑i=1

aiui,n∑j=1

bjvj

é=( m∑

i=1aiui, 0

)+

Ñ0,

n∑j=1

bjvj

é=

m∑i=1

ai(ui, 0) +n∑j=1

bj (0, vj ).

De este modo, B genera a U × V.

Se demostrará ahora la independencia lineal de B. Sean λ1, . . . , λn+m tales quen+m∑i=1

λibi = 0, donde

bi =ß

(ui, 0) si i = 1, . . . ,m(0, vi−m) si i = m + 1, . . . , n +m.

De este modo,n+m∑i=1

λibi =m∑i=1

λibi +m+n∑j=m+1

λjbj =m∑i=1

λi(ui, 0) +n∑j=1

λj+m(0, vj )

=

Ñm∑i=1

λiui,n∑j=1

λj+mvj

é= (0, 0).

La ultima igualdad ocurre si y solo si ocurre a coordenadas. Dado que los conjuntos ui, vj son basesde U y V, respectivamente, se tiene que λi = 0 para cada i. Con esto, dim(U × V ) = dimU + dimV.

( 1.2.21 ) La dimensión de R es 1: dimR = 1. Por lo tanto, dimRn = n.

Cualquier elemento no nulo genera a R; en efecto, si x, y son elementos de R con x no nulo entoncesy =

(yx

)× x, aquí yx juega el papel de un escalar.

12


z 1.2.3 Transformaciones lineales.Para terminar este corto repaso de álgebra lineal se definene las transformaciones lineales.

( 1.2.22 ) Sea L : V →W, donde V y W son espacios vectoriales reales. Se dirá que L es transformación linealsi para todo u, v ∈ V y a ∈ R se cumple que

L(u + v) = L(u) + L(v) (aditiva)

yL(av) = aL(v) (homogénea).

En tal caso se usa la notación abreviada Lv para L(v). Al conjunto de las transformaciones lineales de V a W sele denotará por Lin (V,W ) .

Es inmediato que Lin (V,W ) también es un espacio vectorial con la suma y producto por escalardefinidos como antes.

Al hablar de transformación lineal es forzoso hablar de su núcleo y de su recorrido.

( 1.2.23 ) Dada una transformación lineal L : V → W se define su núcleo6 como el conjunto de vectores en sudominio que se mapean al cero:

Nuc (L) = v ∈ V |Lv = 0.Del mismo modo, se define su recorrido7 como el conjunto de vectores para los cuales existe un vector en eldominio que se mapea a este:

Ran (L) = w ∈W |∃v ∈ V, Lv = w.

Una consecuencia sencilla de la definición continúa.

( 1.2.24 ) Una condición necesaria y suficiente para que una transformación lineal sea inyectiva es que su núcleosea el conjunto 0.

Una transformación lineal L es inyectiva si Lu = Lv Ñ u = v. Se observa que cualquier transfor-mación lineal mapea el cero al cero. En efecto, 0 + 0 = 0 entonces L0 = L(0 + 0) = L0 + L0, por lo queL0 = 0. Se supone que L es inyectiva. Entonces, Lv = Lu Ñ v = u, de donde, Lv = 0 = L0 Ñ v = 0.Por lo tanto, Nuc (L) = 0. Recíprocamente, si Nuc (L) = 0, sean u, v ∈ V entonces

Lu = Lv ⇔ L(u − v) = 0⇔ u − v ∈ Nuc (L) ,

pero Nuc (L) = 0, así u − v = 0 y, por lo tanto, u = v. Esto implica que L es inyectiva. Ahora se muestra una relación íntima entre transformaciones lineales y dimensión. Se observa que

el kernel y la imagen siempre son subespacios vectoriales. Se deja de ejercicio verificar esto (ejercicio(1.8)).

( 1.2.25 ) Sea L : U → V una transformación lineal entre espacios vectoriales reales de dimensión finita. Entonces,dim U = dim Nuc (L) + dim Ran (L) ; el «teorema de la dimensión».

La idea detrás de esta demostración consiste en dar una base de U como elementos de una base deNuc (L) y una base de Ran (L) . Como Nuc (L) es subespacio de U, tiene dimensión finita. Análogamente,Ran (L) tiene dimensión finita. Sean u1, . . . , ur ⊂ U, v1, . . . , vs ⊂ V bases de Nuc (L) e Ran (L) ,respectivamente. Existen w1, . . . , ws ∈ U tales que Lwi = vi para i = 1, . . . , s. Se demostrará queB = ui : i = 1, . . . , r∪wj : j = 1, . . . , s es base de U. Entonces, hay que demostrar que B es conjuntogenerador de U y que es linealmente independiente.

6También llamado «kernel» de la transformación.7También llamado la «imagen» de la transformación.

13


Se verá primero que B es un conjunto generador. Sea v ∈ U, existen a1, . . . , as tales que Lv =s∑i=1

aivi, pues vi es base de Ran (L) . Se considera u =s∑i=1

aiwi−v, de este modo Lu =s∑i=1

aiLwi−Lv =

s∑i=1

aivi − v = 0. Por lo tanto, u ∈ Nuc (L) . Con lo cual, existen b1, . . . , br tales que u =r∑i=1

biui. Pero

u =s∑i=1

aiwi − v, se tiene que v =s∑i=1

aiwi −r∑i=1

biui. Con esto ha sido demostrado que B genera U.

Se verá ahora que B es linealmente independiente. Sear∑i=1

aiui +s∑i=1

biwi = 0, esta combinación es

la trivial; en efecto, aplicando L a la ecuación anterior se ve que

L( r∑

i=1aiui +

s∑i=1

biwi

)= 0

y como L es lineal,r∑i=1

aiLui +s∑i=1

biLwi = 0, y al ser ui : i = 1, . . . , r base del núcleo de L, se ve

ques∑i=1

bivi = 0. Como vi : i = 1, . . . , s es base de Ran (L) , cada bi = 0. Por lo tanto, la combinación

original se reduce ar∑i=1

aiui = 0. Al ser ui base de Nuc (L) , se concluye que cada ai = 0. Por lo tanto,

la combinación lineal es la trivial y el conjunto B es linealmente independiente. Esto prueba que B esbase de U y, por lo tanto, dimU = dimNuc (L) + dim Ran (L) .

§ 1.3. El determinante de una transformación lineal.En esta sección se estudiará a la función determinante y se verán algunas de sus principales pro-

piedades. Para poder estudiar al determinante es forzoso hablar de grupo y de permutación, por ende,esta sección puede ser omitida en caso de conocer la función determinante o bien, si es la primeralectura de este texto.

z 1.3.1 El grupo de permutaciones.Se supone que se tienen 3 puntos P1, P2 y P3 en R2 tales que ellos tres determinan un triángulo

equilátero. Si σ : 1, 2, 3 → 1, 2, 3 es una biyección entonces Pσ (1), Pσ (2) y Pσ (3) determinan el mismotriángulo equilátero. Puede suceder que alguna propiedad que no sea clara en el triángulo P1P2P3 seaevidente en el triángulo Pσ (1)Pσ (2)Pσ (3), por ende se generaliza esto.

( 1.3.1 ) Sea G un conjunto y · : G ×G → G una función tal que:

1. Es asociativa; para cualesquier g, h, k ∈ G, se tiene que (g · h) · k = g · (h · k).

2. Posee un neutro; existe e ∈ G tal que e · g = g · e = g.

3. Posee inversos; para cada g ∈ G existe un h ∈ G tal que g · h = h · g = e.

Al par (G, ·) se le llama grupo. Por notación, se escribirá gh en lugar de g · h.

14

1.3. El determinante de una transformación lineal.

( 1.3.2 ) Sea (V,+, ·) un espacio vectorial real. Entonces (V,+) es un grupo.

Lo cual se sigue directamente de la definición (1.2.1).

( 1.3.3 ) Dado un grupo (G, ·), si e es un neutro para ·, es el único neutro; esto mismo ocurre para los inversos,esto es, todo elemento tiene un único inverso.

Estas y otras propiedades que se verifican directamente de la definición serán encontradas en losejercicios (antes de continuar resuelve el ejercicio (1.40)).

Un grupo (también llamado estructura de grupo) consta de dos partes, un conjunto y una operación.Cambiando la operación, podría suceder que el conjunto siga teniendo estructura de grupo con la nuevaoperación, por ende, a veces se utilizarán las frases menos ambiguas “sea G el grupo con la operación·” y “sea u el neutro para · en G”, etcétera.

Como nuestra intención es hablar de permutaciones, a contiuación son definidas.

( 1.3.4 ) Sea σ : 1, . . . , n → 1, . . . , n una función biyectiva. Entonces se dirá que σ es una permutación enn elementos. Al conjunto de las permutaciones en n elementos se le denota por Sn.

( 1.3.5 ) La cardinalidad de Sn es n!

En efecto, se aplicará una técnica de conteo básica. Se observa que si se manda 1 a cualquiera delos n elementos entonces a 2 se le puede mandar a cualquiera de los n − 1 (pues toda permutacióndebe ser biyección) restantes, a 3 a n−2 elementos, y así sucesivamente, hasta que a n solo se le puedemandar al último elemento no usado. Por ende, card (Sn) = n!, como se afirmó.

( 1.3.6 ) El conjunto Sn con la composición forma un grupo. A tal grupo se le llama el grupo simétrico (en nelementos).

En efecto, se sabe que si σ ∈ Sn entonces σ−1 ∈ Sn, además la función ISn (k) = k para k = 1, . . . , nestá en Sn. Y, dado que la composición de funciones es asociativa, ha sido demostrado que si en Sn seconsidera la composición de funciones entonces Sn obtiene estructura de grupo.

( 1.3.7 ) En Sn existen funciones especiales llamadas transposiciones. Sean 1 ≤ i < j ≤ n. La función τ ∈ Sn talque

τ(k) =

k si k /∈ i, ji si k = jj si k = 1

será llamada transposición de i con j. Es destacable que ISn no es una trasposición y que si τ ∈ Sn es unatrasposición entonces τ2 = ISn , entonces las transposiciones en Sn con la operación composición no forman ungrupo.

En general, si σ ∈ Sn es una permutación entonces se escribirá

σ =Å

1 2 · · · nσ (1) σ (2) · · · σ (n)

ã,

con esto, el producto en Sn (que es la composición de funciones), puede ser realizado de manera sencilla.Por ejemplo, Å

1 2 32 1 3

ãÅ1 2 33 1 2

ã=Å

1 2 33 2 1

ã.

Para obtener el producto se observa que en la permutación derecha 1 7Ï 3 y en la izquierda 3 7Ï 3, porende, en el producto 1 7Ï 3.

15


Un concepto relacionado con el de permutación es el de signo. Si σ ∈ Sn, se dirá que σ tiene unainversión si en la segunda fila de representación matricial de σ existe i < j tal que σ (j) antecede a σ (i).Entonces, por ejemplo,

σ =Å

1 2 32 3 1

ãtiene dos inversiones pues 1 < 2 pero en la segunda fila dos antecede a uno, mismo para uno y tres.

( 1.3.8 ) Toda trasposición tiene un número impar de inversiones.

Si τ ∈ Sn es una trasposición, existe i < j tal que

τ =Å

1 · · · i − 1 i · · · j j + 1 · · · n1 · · · i − 1 j · · · i j + 1 · · · n

ã.

Como τ fija 1, . . . , i− 1 no hay inversiones, mismo para j + 1, . . . , n. Las inversiones de τ son entonces(i, k), k = i + 1, . . . , j y (k, j), k = i, . . . , j − 1. Como se está considerando dos veces la inversión (i, j) seve que el número de inversiones en τ es [j − i] + [j − 1 − (i − 1)] − 1 = 2j − 2i − 1, que es un númeroimpar.

( 1.3.9 ) Sea σ ∈ Sn. Se define el signo de σ por sgn (σ ) = 1 si el número de inversiones en σ es par y comosgn (σ ) = −1 si su número de inversiones es impar. En este caso, se dirá que σ es par o impar según sgn (σ ) = 1o sgn (σ ) = −1, respectivamente.

( 1.3.10 ) Toda trasposición en Sn es impar.

A continuación se afirma que si se considera a sgn como una función entonces ésta es multiplicativaen el conjunto de las trasposiciones. Esto tiene como consecuencia que el determinante también esuna función multiplicativa. Para demostrar este resultado se verá primero que todo elemento en Sn esproducto de transposiciones.

( 1.3.11 ) Sean n > 1 y σ ∈ Sn. Existe un k ∈ N y τ1, . . . , τk transposiciones en Sn tales que σ = τkτk−1 · · · τ1.

Se procede por inducción matemática8. Sea H el conjunto de los número naturales n tales que todapermutación en Sn+1 se factoriza por transposiciones de Sn+1

9. Como S2 consta únicamente de doselementos podemos ver que uno de ellos es una trasposición τ y el otro la identidad. Evidentemente,τ ya está factorizada por transposiciones, y como τ2 = IS2 , se ve que todo elemento en S2 se factorizapor transposiciones. De este modo, 1 ∈H .

Se supone ahora que existe un n − 1 ∈H ; esto es, todo elemento en Sn se factoriza por transposi-ciones. Sea σ ∈ Sn+1, existe un k tal que σ (k) = n+ 1. Surgen dos casos, primero, si k = n+ 1 entoncesσ∣∣∣1,...,n

∈ Sn y por inducción puede factorizarse

σ∣∣∣1,...,n

= τnk · · · τn1 ,

8En matemáticas la inducción es un propiedad de los números naturales. Esta suele probarse en textos dedicados a la lógicay conjuntos, ve los textos [9] y [24]. Aquí se enuncia para evitar posibles confusiones.

( 1.3.12 ) Sea P(n) una propiedad arbitraria que depende de n ∈ N y se supone que H ⊂ N es el conjunto de los n tales que P(n)es cierto. Si

1. 1 ∈H ,2. n ∈H Ñ n + 1 ∈H

se puede concluir que H = N.

Es decir, para poder probar que la propiedad cierta para todo natural, se tiene que demostrar que la propiedad es cierta para1 y que cada vez que sea cierta para un n arbitrario entonces será cierta para n + 1.

9Recuerda que S1 consta de 1! = 1 elementos, la identidad, por ende, no puede factorizarse por transposiciones de S1.

16


donde τni ∈ Sn. Se extiende τni a τi ∈ Sn+1 por

τi(j) =ßn + 1 si j = n + 1τni (j) si j 6= n + 1 .

Claramente, τi sigue siendo una trasposición y σ = τk · · · τ1. El segundo caso es que k 6= n+1. Se define

τ1 =Å

1 · · · k · · · n + 11 · · · n + 1 · · · k

ã,

entonces τ es una trasposición. Se observa que στ1(n + 1) = σ (k) = n + 1. Pero por el caso reciéndemostrado,

στ1 = τk · · · τ2,

para algunos τi ∈ Sn+1. Entonces, σ = στ21 = τk · · · τ1, mostrando que n + 1 ∈ H y, por inducción,

H = N.

( 1.3.13 ) Si σ = τk · · · τ1 entonces σ−1 = τ1 · · · τk.

Esto puede verificarse al hacer el producto y recordar que τ2 es la identidad para cualquier trans-posición τ.

( 1.3.14 ) Sean σ ∈ Sn arbitrario y τ ∈ Sn una trasposición. Entonces sgn (τσ ) = −sgn (σ ) .

Se supone que que τ permuta r < s y que σ (i) = r, σ (j) = s. Entonces

τσ =Å

1 · · · r · · · s · · · nσ (1) · · · σ (j) · · · σ (i) · · · σ (n)

ã.

Antes de σ (j) la trasposición τ no genera nuevas inversiones y lo mismo para después de σ (i), además,entre σ (j) y σ (i) no hay nuevas inversiones. Solo resta contar el número de inversiones que se generaroncon el cambio de σ (i) con σ (j). Se supone que entre σ (j) y σ (i) hay p1 números más grandes que s y p2más pequeños. Al permutar σ (i) con σ (j) se ve que σ (j) genera p2 inversiones pero quita p1. Del mismomodo, hay p2 + p3 elementos más grandes que r entre σ (j) y σ (i) y p1 − p3 más pequeños. Al aplicar τse ve que σ (i) genera p2 +p3 inversiones pero elimina p1−p3 inversiones. Luego, contando la inversiónde σ (i) con σ (j), se ve que el número de inversiones nuevas es

[p2 − p1] + [p2 + p3 − (p1 + p3)] + 1 = 2p2 − 2p1 + 1,

por lo tanto, el número de inversiones que genera τ es impar y con esto, sgn (τσ ) = −sgn (σ ) .

( 1.3.15 ) Sean σ, ρ ∈ Sn. Entonces sgn (σρ) = sgn (σ ) sgn (ρ) .

Se puede factorizar σ en producto de transposiciones. Entonces se cumple que σρ = τk · · · τ1ρ.Aplicando reiteradamente el teorema anterior (o, más formalmente, utilizando inducción), se ve que

sgn (σρ) = −sgn (τk−1 · · · τ1ρ) = sgn (τk−2 · · · τ1ρ)= . . . = (−1)ksgn (ρ) = sgn (σ ) sgn (ρ) .

Concluyendo el resultado deseado.

( 1.3.16 ) Para cualquier σ ∈ Sn se cumple que sgn(σ−1) = sgn (σ ) .

Basta ver que si τ es una transposición entonces sgn (τ) = sgn(τ−1) , pero como τ−1 también es

transpocisión se concluye que, ve (1.3.10), es cierto.

17


z 1.3.2 El determinante de una matriz.Antes de pasar a la definición de determinante de una transformación lineal habrá que dar primero

la definición para matrices cuadradas. Se recuerda que una matriz A es un arreglo rectangular denúmeros:

A =

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

.En este caso se dirá que A es una matriz de m filas por n columnas y se denotará por A = (ai,j ) i=1,...,n

j=1,...,m.

Más abreviadamente, se dirá "Sea A una matriz de m por n y A = (ai,j )". Si m = n se dirá que A esuna matriz cuadrada de orden n. Al conjunto de matrices de m por n se le denota como Matm×n (R) .Si A = (ai,j ), B = (bi,j ) ∈ Matm×n (R) entonces para λ ∈ R se define A + λB = (ai,j + λbi,j ), con esto,Matm×n (R) es un espacio vectorial real. Es fácil verificar que si Ei,j = (δi,j ) la matriz con entradas ceroen todas salvo la posición (i, j) que vale uno entonces el conjunto Ei,j : i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n esuna base para Matm×n (R) , a este conjunto se le llama «base canónica» de Matm×n (R) .

( 1.3.17 ) Sea A ∈Matn×n (R) dada por A = (aij ). Se define el determinante de A por

detA =∑σ∈Sn

sgn (σ )a1σ (1) · · ·anσ (n).

( 1.3.18 ) Si A = [a] es una matriz de uno por uno entonces detA = a, si ahora A =ïa bc d

òentonces

detA = ad − bc.

Para verificar esta última igualdad considera A =ïa11 a12a21 a22

òy S2 = IS2 , τ. Entonces

detA = a1IS2 (1)a2IS2 (2) + sgn (τ)a1τ(1)a2τ(2) = a11a22 − a12a21,

sustituyendo a11 = a, a12 = b, a21 = c y a22 = d se obtiene la fórmula anterior. Como Sn consta de n! elementos, la definición de determinante para una matriz de orden n involucra

n! sumandos. Es por esta razón que su cálculo se vuelve rápidamente dificultoso. Por ejemplo, paran = 3, el número de sumandos es 3! = 6 y cada uno de estos sumandos es la multiplicación de tresnúmeros. La siguiente tabla da una idea de cuán rápido crecen los cálculos en un determinante:

n Total de sumas: n!1 12 23 64 245 1206 7207 5,0408 40,3209 362,88010 3’628,800

Por ende, calcular un determinante de orden 100 ya es prácticamente imposible, incluso para unacomputadora. Por esta razón se vuelve una necesidad desarrollar técnicas para facilitar sus cálculos.A continuación se expone algunas propiedades básicas del determinante las cuales sirven para facilitarsus cálculos.

18


( 1.3.19 ) Sea A = (ai,j ) una matriz cuadrada de orden n. Entonces detA = detAt , donde At denota la matriztranspuesta10 de A.

Se observa quen∏k=1

ak,σ (k) =n∏k=1

aσ−1(σ (k)),σ (k) =n∏k=1

aσ−1(k),k,

pues σ es biyección del conjunto 1, . . . , n en sí mismo.Luego, usando (1.3.16)

detA =∑σ∈Sn

sgn (σ )n∏k=1

ak,σ (k) =∑σ∈Sn

sgn(σ−1) n∏

k=1aσ−1(k),k.

Pero cuando σ recorre todo Sn también σ−1, se ve que

∑σ∈Sn

sgn(σ−1) n∏

k=1aσ−1(k),k =

∑ξ∈Sn

sgn (ξ)n∏k=1

aξ(k),k.

Pero si At = (bi,j ) entonces bi,j = aj,i, de donde,

detAt =∑ξ∈Sn

sgn (ξ)n∏k=1

bk,ξ(k) =∑ξ∈Sn

sgn (ξ)n∏k=1

aξ(k),k,

mostrando esto que detA = detAt .

( 1.3.20 ) Sean A un matriz cuadrada y B obtenida de A al intercambiar dos columnas distintas de A. EntoncesdetA = −detB.

Sea τ la trasposición que intercambia los dos número correspondientes a las columnas que seintercambian en A para obtener B. Si A = (ai,j ) y B = (bi,j ), se ve que bi,j = ai,τ(j). Con esto, se concluyeque biσ (i) = ai,σ (τ(i)). Como sgn (στ) = −sgn (σ ) , se ve que

detB =∑σ∈Sn

sgn (σ )n∏k=1

bk,σ (k) =∑σ∈Sn

−sgn (στ)n∏k=1

ak,σ (τ(k)) = −detA,

pues al recorrer σ el conjunto Sn también lo recorre τσ.

( 1.3.21 ) Si una matriz cuadrada A tiene dos columnas idénticas entonces su determinante es cero.

Pues al permutarlas se obtiene la misma matriz A, pero de acuerdo al teorema anterior, el signodel determinante debe cambiar.

( 1.3.22 ) Los dos teoremas previos son ciertos si en lugar de ser columnas son filas.

Lo cual se sigue directamente de (1.3.19).

( 1.3.23 ) Si A es una matriz triangular11 entonces detA es el producto de los elementos en la diagonal de A.10Se recuerda que si A = (ai,j ) es una matriz de m por n entonces At es la matriz de n por m tal que su entrada (j, i) es ai,j .11Se dirá que la matriz A = (ai,j ) está dispuesta en forma «triangular inferior» si ai,j = 0 para i < j, y en forma «triangular

superior» si ai,j = 0 siempre que i > j. En caso que A sea triangular inferior o triangular superior se dirá que A es triangular.

19


Como detA = detAt basta demostrar el caso cuando A es triangular inferior. Sea σ ∈ Sn unapermutación tal que σ (1) 6= 1 entonces σ (1) > 1, pero a1,σ (1) = 0, por ende, todos los sumandos de detApara los cuales σ (1) 6= 1 son cero. Luego, σ (1) = 1. Del mismo modo, σ (2) 6= 2 implica σ (2) > 2 puesσ (1) = 1, y el mismo argumento muestra que todos los sumandos en detA para los cuales (σ (1), σ (2)) 6=(1, 2) son cero. Siguiendo este proceso se halla que todos los sumandos para σ 6= ISn son cero, por ende,

detA = sgn (ISn )a1,ISn (1) · · ·an,ISn (n) = a1,1 · · ·an,n,

como debía ser mostrado.

( 1.3.24 ) Sea det : Matn×n (R) → R dada por det(A) = detA. Entonces det es una función lineal en cadacolumna de A. Mismo resultado para filas.

Se supone que la j-ésima columna de A toma la forma ai,j = bi,j + λci,j entonces

detA =∑σ∈Sn

sgn (σ )n∏k=1

ak,σ (k)

=∑σ∈Sn

sgn (σ )

Ñn∏

k=1,k 6=jakσ (k)bk,σ (j) + λ

n∏k=1,k 6=j

ak,σ (k)ck,σ (j)

é,

mostrando la linealidad de det en cada columna de A. Por der detA = detAt el mismo resultado valepara filas.

( 1.3.25 ) Si A posee una fila o una columna de ceros entonces detA es cero.

Pues el determinante es una función lineal de dicha fila o columna y como toda transformaciónlineal en el cero vale cero se obtiene el resultado.

( 1.3.26 ) Si A es una matriz cuadrada entonces detA no cambia su valor si en lugar de A se considera A′donde A′ es obtenida de A al sumar un múltiplo de una fila (o columna) a otra fila distinta (columna distinta,respectivamente).

Basta ver que el resultado es cierto para columna, se supone que A = [A1, . . . , An] en donde Ai esla fila i-ésima de A. Entonces existe j 6= i y, sin peder generalidad, se supone que j < i; entonces A′ seobtiene de A al sumar a la columna j-ésima de A el vector λAi. Luego,

A′ = [A1, . . . , Aj−1, Aj + λAi, Aj+1, . . . , An].

En virtud de (1.3.24) y de (1.3.21),

detA′ = detA+ λ det[A1, . . . , Aj−1, Ai, Aj+1, . . . , Ai, . . . , An] = detA.

Lo que concluye lo afirmado.

( 1.3.27 ) Calcula el determinante de la matriz A dada por

A =

1 −2 2 0 −12 1 −3 5 0−2 −1 3 1 24 0 −1 2 0−1 −2 1 3 6

20

1.4. Geometría analítica en Rn.

Lo más fácil es tratar de realizar operaciones válidas para no alterar el valor del determinante yque la matriz resultante sea triangular superior. Aplicando el método de Gauss-Jordán, queda que

detA = −det

1 −2 2 0 −10 5 −7 5 20 0 11

5 2 45

0 0 0 −6 20 0 0 0 56

11

Y el determinante buscado es detA = (−11)(−6)

Å5611

ã= 336.

§ 1.4. Geometría analítica en Rn.En esta sección se discutirá, rápidamente, los conceptos básicos de geometría analítica. Estos son

los de perpendicularidad, plano y recta.

z 1.4.1 Normas y perpendicularidad.Se continúa con los conceptos relacionados con normas y perpendicularidad en Rn. Primero se

verá la definición producto interior y luego la de norma.

( 1.4.1 ) Sea (V,+, ·) un espacio vectorial real. Se dirá que la función 〈, 〉 : V × V → R es un producto interno12

si satisface las siguientes propiedades:

1. 〈u, v〉 = 〈v, u〉 , simetría;

2. 〈u1 + λu2, v〉 = 〈u1, v〉+ λ 〈u2, v〉 , linealidad en cada entrada;

3. 〈u,u〉 ≥ 0, definido positivamente;

4. 〈u,u〉 = 0⇔ u = 0, no degenerado.

( 1.4.2 ) Sea (V,+, ·) un espacio vectorial real. Se dirá que la función ‖‖ : V → R es una norma en V si dadosu, v ∈ V y λ ∈ R entonces

1. ‖u‖ ≥ 0, no negatividad;

2. ‖u‖ = 0⇔ u = 0, identificabilidad;

3. ‖λu‖ = |λ| ‖u‖ , homogeneidad absoluta;

4. ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ , desigualdad triangular.

( 1.4.3 ) Sea (V,+, ·) un espacio vectorial real. Se supone que en 〈, 〉 es un producto escalar en V. Entonces,‖v‖ =

√〈v, v〉 define una norma en V.

Queda a cargo del lector demostrar las primeras tres propiedades de la definición (1.4.2). Aquí solose demostrará la cuarta propiedad. Para realizar esto empieza observando que

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ⇔ ‖u + v‖2 ≤ (‖u‖+ ‖v‖)2

⇔ 〈u + v, u + v〉 ≤ ‖u‖2 + 2 ‖u‖ ‖v‖+ ‖v‖2

⇔ 〈u, v〉 ≤ ‖u‖ ‖v‖ .12También llamado producto interior, producto punto o producto escalar, y también denotado como ·; esto es, 〈u, v〉 = u · v.

21


Se demostrará la última desigualdad. Para hacer esto define la función f (λ) = ‖u + λv‖2 , la cual es unpolinomio en λ; en efecto, de la definición de ‖‖

f (λ) = λ2 ‖v‖2 + 2λ 〈u, v〉+ ‖u‖2 .

Por lo tanto, f es un polinomio real de segundo grado el cual siempre es positivo. La geometría analíticaelemental muestra que su discriminante debe ser no positivo; esto es,

4 〈u, v〉2 − 4 ‖v‖2 ‖u‖2 ≤ 0,

que es la desigualdad deseada. En la demostración previa dio lugar a una de las desigualdades más famosas del cálculo.

( 1.4.4 ) Sea (V,+, ·) un espacio vectorial real. Se supone que ‖‖ es una norma en V la cual deviene de unproducto escalar. Entonces, para cualesquier vectores u y v se cumple que

| 〈u, v〉 | ≤ ‖u‖ ‖v‖ ;

esta se conoce como la «desigualdad de Cauchy-Schwarz».

( 1.4.5 ) Sea d la distancia euclidiana en Rn. Entonces 〈X,Y〉 = d(X,Y )2 define un producto escalar en Rn. Aeste producto escalara se le denomina «producto escalar estándar» en Rn. Cada vez que se haga referencia a unproducto escalar en Rn se deberá entender que es este, a menos que se mencione explícitamente otro.

Queda a título de ejercicio para el lector. Ahora se define la noción de ortogonalidad. En R2 es fácil ver los ángulos entre vectores pues todos

se encuentran en un plano donde es fácil definirlo. En Rn se tiene algo más complicado. Se defineperpendicularidad en R2 con vectores y luego se generalizarán las ideas para Rn. Imagina dos vectoresen el plano, y se considera el triángulo con vértices A, B y −B, el cual es isóceles. Por lo tanto, unacondición necesaria y suficiente para que A sea perpendicular a B es que

‖A− B‖ = ‖A+ B‖ .

Elevando al cuadrado y expandiendo, la última igualdad es equivalente a

‖A‖2 − 2 〈A,B〉+ ‖B‖2 = ‖A‖2 + 2 〈A,B〉+ ‖B‖2

de donde, se obtiene que en R2 el vector A es perpendicular al vector B si y solo si

〈A,B〉 = 0.

Pero esta relación no depende de la dimensión de R2.

( 1.4.6 ) Sea (V,+, ·) un espacio vectorial real. Se supone que en V hay producto escalar 〈, 〉 . Se dirá que dosvectores en V son ortogonales si su producto escalar es cero.

Observación: es trivial verificar que si ei es el vector en Rn cuya i-ésima coordenada es uno y el

resto es cero entonces ei · ej = 0 para i 6= j. De esto es claro que sin∑i=1

aiei = 0 entonces ai = 0,

pues basta considerar el producto interior de ambos lados por el vector ei, puesto que ei · ei = 1. Másgeneralmente, se tiene que el siguiente resultado,

( 1.4.7 ) Sea (V,+, ·) un espacio vectorial real con prodcuto escalar. Se supone que v1, . . . , vk ∈ V son vectoresortogonales a pares tales que ninguno de ellos es cero entonces el conjunto formado por ellos es linealmenteindependiente.

22


Observa que sik∑i=1

aivi = 0 entonces tomando el producto escalar en ambos lados por vj se ve que

ajvj · vj = 0. Como vj 6= 0 entonces vj · vj = ‖vj‖2 > 0, con lo cual aj = 0. Por ende, a1 = . . . = ak = 0como se quería.

Puesto que cuando se estudien planos en un espacio vectorial real será necesario hablar de espaciosortogonales, esto se definen a continuación.

( 1.4.8 ) Sea V un espacio vectorial real con producto escalar y W ⊂ V un subespacio vectorial. Se define W⊥

como el conjunto de los vectores en V que son ortogonales a todos los vectores de W.

( 1.4.9 ) Sea V un espacio vectorial con producto escalar definido positivamente y sea W un subespacio de V.Entonces W⊥ es un subespacio vectorial de V. A W⊥ se le llamará el espacio ortogonal de W.

Se usará (1.2.5). Para empezar, 0 ∈ W⊥ pues si w ∈ W entonces 〈0, w〉 = 0, porque la funciónv 7Ï 〈v,w〉 es lineal. Sean a, b ∈W⊥ y λ ∈ R, para cualquier w ∈W,

〈a + λb,w〉 = 〈a,w〉+ λ 〈b,w〉 = 0 + λ0 = 0.

Por lo tanto, W⊥ 6= ∅ y a, b ∈W,λ ∈ RÑ a + λb ∈W⊥, que es lo que se quería demostrar.

z 1.4.2 Rectas y planos en Rn.En Rn es fácil definir rectas. Para empezar, en R2 una recta es un conjunto del tipo:

L = (x, y) ∈ R2|ax + by = c

donde a, b, c ∈ R y a, b no pueden ser cero simultáneamente. Se puede expresar este hecho de maneraresumida: el vector (a, b) 6= (0, 0).

Lo importante es que se puede transformar la ecuación en L de la siguiente forma:

L = X ∈ R2|X = A+ tB, t ∈ R,

donde A y B son dos vectores dados y B 6= 0. ¿Por qué esta forma? Recorda que tB es, precisamente,todos los vectores sobre la recta que pasa por el cero y en dirección del vector B. Al sumarle A seestá trasladando la recta al punto específico A. La ventaja de esta notación es que no depende de ladimensión.

( 1.4.10 ) Sean A y B dos vectores de un espacio vectorial V tales que B 6= 0. La recta que pasa por A endirección de B es

L = v ∈ V : v = A+ tB, t ∈ R.

Si V = Rn y A = (a1, · · · , an), B = (b1, · · · , bn) y X = (x1, · · · , xn) entonces las ecuaciones xi = ai + tbi sellaman ecuaciones paramétricas de la recta.

( 1.4.11 ) Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta L ⊂ R4 que tiene como elemento, o que pasa por,al vector (1,−1,−1, 0) y tal que es paralela al vector (2, 0, 1,−1).

Por definición, la recta buscada es L = X ∈ R4 : X = (1,−1,−1, 0) + t(2, 0, 1,−1), t ∈ R. Por lotanto, las ecuaciones paramétricas de L son

x1 = 1 + 2t, x2 = −1, x3 = −1 + t, x4 = −t.

Es decir, si Xt denota la posición de la recta para t ∈ R dado entonces Xt = (1 + 2t,−1,−1 + t,−t).

23


En la ecuación de una recta se deja variar libremente un parámetro, a saber, t. Esto es lo que da lanoción de un grado de libertad que posee la recta. Si una recta en Rn pasa por el origen entonces larecta es un subespacio vectorial de dimensión uno. Con esto en mente es natural definir a un plano enRn como una figura geométrica plana que posea dos grados de dimensión. En otras palabras, un planoes un espacio vectorial dos dimensional trasladado.

( 1.4.12 ) Sean A, B y C tres vectores en un espacio vectorial V tales que A y B son linealmente independientes.El plano que pasa por el vector C y es paralelo al generado por A y B es

P = v ∈ V : v = tA+ sB+C, t, s ∈ R.

Observa que los parámetros t y s están permitiendo que los puntos en P tengan dos grados dedimensión. Resulta natural definir el plano de dimensión m que pasa por Q ∈ Rn (donde m ≤ n) comoel conjunto de puntos

v =m∑i=1

tiAi +Q

donde las Ai son linealmente independientes y Q es un punto cualquiera de Rn. Pero el conjunto devectores que satisfacen esta última ecuación es el espacio solución al sistema de ecuaciones AX = 0trasladado por el vector Q. Esto motiva la siguiente definición general.

( 1.4.13 ) Sean y A1, . . . , Ak ∈ Rn vectores linealmente independientes y P ∈ Rn arbitrario. Sea A la matrizcon filas los vectores Ai. Entonces el espacio solución al sistema de ecuaciones AX = 0 trasladado por el vectorP se denomina variedad lineal de k dimensiones generada por los vectores Ai; también se conoce por el nombrede «plano k-dimensional» generado por los vectores Ai. A los vectores Ai se les llama base de la variedad. Cadavector en la variedad se determina de manera única por un punto en Rk; esto es, dado (x1, . . . , xk) ∈ Rk el puntox1A1 + . . . + xkAk + P está en la variedad y recíprocamente, dado un vector X en la variedad existe un vector(x1, . . . , xk) ∈ Rk tal que X = xiA1 + . . .+xkAk +P. Al vector (x1, . . . , xk) se le llama coordenadas afines paraP, respecto a la base A1, . . . , Ak. Dos variedades lineales cualesquiera se dicen paralelas si una se obtiene de laotra por traslación.

La definición previa está dada únicamente para Rn puesto que su generalización a un espacio vec-torial real V depende de pasar de antemano por las «coordenadas» de V.

( 1.4.14 ) Una condición necesaria y suficiente para que dos variedades lineales P1 = X + P1 ∈ Rn : AX = 0y P2 = X + P2 ∈ Rn : BX = 0 sean paralelas es que el espacio solución de AX = 0 y el espacio solución deBX = 0 sean el mismo.

A manera de ejemplo sencillo se considera los planos coordenados de R3. Cada uno de ellos esgenerado por dos vectores canónicos. Por ejemplo, el plano que pasa por los dos primeros ejes esaquel generado por los vectores e1 = (1, 0, 0) y e2 = (0, 1, 0), también es aquel generado por (1, 1, 0) y(1, 0, 0).

z 1.4.3 Ángulo entre vectores.Sean A y B dos vectores en un espacio vectorial, ¿cómo habría de definirse el ángulo que forman?

Antes de contestar esta pregunta, es importante preguntarse, ¿está definido tal ángulo? La respuestaes que sí, dado que dos vectores generan un plano, tal ángulo se encontraría sumergido en el planogenerado. Según la ley de los cosenos de la geometría elemental, para T un triángulo con longitudesde los lados a, b y c el coseno del ángulo γ determinado entre los lados de longitudes a y b viene dadopor

cos γ = a2 + b2 − c2

2ab .

24


Sean A y B dos vectores no nulos. Si A = λB entonces el ángulo medido desde A hasta B deberá serentonces cero si λ > 0 y π si λ < 0. Supón ahora que A y B son linealmente independientes. El ángulogenerado por A y B es independiente de la longitud de A y de B. Sean A = A

‖A‖ y B = B‖B‖ lo «vectores

normalizados» correspondientes a A y B y se considera el segmento que va del punto A al punto B,tal segmento es l =

A+ t(B− A)

∣∣∣t ∈ [0, 1]. Sean a =

∥∥∥A∥∥∥ = 1, b =∥∥∥B∥∥∥ = 1 y c =

∥∥∥B− A∥∥∥ , laslongitudes de los lados del triángulo determinado por el origen y los vectores A y B. Por la ley de loscosenos, el coseno ángulo determinado por los vectores A y B es

cos γ =2−

∥∥∥B− A∥∥∥2

2 .

Esto motiva la siguiente definición.

( 1.4.15 ) Sean A y B dos vectores no nulos. Si A = λB para algún λ se define el ángulo γ entre A y B comoγ = 0 si λ > 0 y como γ = π si λ < 0. En caso en que A y B sean linealmente independientes se define el

ángulo entre ellos como el único número γ ∈ (0, π) tal que cos γ =2−

∥∥∥A− B∥∥∥2

2 , donde A y B son sus vectoresnormalizados.

z 1.4.4 El producto vectorial.Antes de continuar es necesario definir una herramienta que facilita el estudio de planos en R3,

esta es el producto vectorial. Sean v1, . . . , vn−1 ∈ Rn vectores, sea L : Rn → R dada por L(w) es eldeterminante de la matriz cuyas filas son v1, . . . , vn−1, w, en ese orden. Entonces L ∈ (Rn)∗, el espaciodual de Rn, ve el ejercicio (1.36) para mayores referencias. Por el ejercicio (1.36), existe un único vectorv(v1, . . . , vn−1) ∈ Rn tal que L(w) = w · v.

( 1.4.16 ) Sean v1, . . . , vn−1 ∈ Rn. Se define el producto vectorial de ellos como el único vector v tal queL(w) = w · v para todo w ∈ Rn. A v lo se le denotará por v = v1 × · · · × vn−1.

Es importante destacar que este “producto” depende de n−1 factores siempre que se esté trabajandoen Rn. Esto explica porque tal producto no aparece en R = R1 y porque algunos autores dicen que noestá definido si n 6= 3 (no es común tener un producto que dependa de más de dos factores).

( 1.4.17 ) Simbólicamente, en R3 el producto vectorial de A = (a1, b1, c1) y B = (a2, b2, c2) puede ser escritocomo

A× B = det

e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3

,donde ei es el vector i-ésimo de la base canónica de R3.

Esto es directo de la definición de determinante y de producto vectorial, por ende, queda ejercicioal lector. (Considera la matriz (ai,j ) para i, j ∈ 1, 2, 3, escriba el determinante como una suma en S3 yfactorice el vector (a3,1, a3,2, a3,3)).

Las siguiente propiedades se verifican directamente de la definición. Por ende, quedan de ejercicioal lector.

( 1.4.18 ) Sean A1, . . . , An−1, A′i vectores en Rn y λ ∈ R. Entonces:

1. σ ∈ Sn Ñ A1 × · · · × An = sgn (σ )Aσ (1) × · · · × Aσ (n);

25


2. A1 × · · · × (Ai + λA′i)× · · · × An = A1 × · · · × Ai × · · · × An + λA1 × · · · × A′i × · · · × An;

3. si Ai es paralelo a Aj con i 6= j entonces A1 × · · · × An = 0;

4. para cada i, Ai ⊥ A1 × · · · × An;

5. si A1, . . . , An−1 son linealmente independientes entonces A1, . . . , An−1 y A1 × · · · × An = 0 son una basede Rn.

En lo que sigue, sean u, v,w ∈ R3, entonces:6. ‖u × v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sinγ, donde γ es el ángulo entre u y v.

7. u · (v ×w) = v · (u ×w);

8. u × (v ×w) = (u ·w)v − (u · v)w;

9. (u × v)×w = (u ·w)v − (w · v)u;

10. ‖u × v‖ =»‖u‖2 ‖v‖2 − (u · v)2.

Este producto en R3 sirve para calcular planos. Por ejemplo, si A,B son dos vectores linealmenteindependientes entonces el plano que generan es P = tA + sB|t, s ∈ R. Se verifica que N = A × Bes ortogonal tanto a A como a B, por tanto, N es ortogonal a cualquier vector en el plano. Por ende,N⊥, el conjunto de vectores ortogonales N, contiene al plano generado por A y B. Pero como A y Bson linealmente independientes, se ve que A, B y N son una base de R3, por lo que dim lin 〈N〉 = 1 ydim lin

⟨N⊥⟩

= 2, mostrando que N⊥ es el plano generado por A y B. En resumen( 1.4.19 ) Sean A y B dos vectores en R3 linealmente independientes, el plano que ellos generan es (A× B)⊥.

El plano que ellos generan es lin⟨(A× B)⊥

⟩, para concluir se debe mostrar que (A × B)⊥ es un

espacio vectorial. De hecho, se demostrará algo más general, sea v ∈ Rn cualquiera, v⊥ el conjunto devectores ortogonales a v es un espacio vectorial. Basta ver que v⊥ es un subespacio de Rn, pero 0 ∈ v⊥y si a, b ∈ v⊥ y λ ∈ R entonces v · (a+ λb) = v ·a+ λv · b = 0, mostrando que v⊥ es espacio vectorial yconcluyendo el teorema.

A continuación una aplicación de esto en el siguiente ejemplo.( 1.4.20 ) Sean A = (1, 0,−1) y B = (−1, 3, 0), encuentra el plano que estos vectores generan.

El plano que ellos generan es el conjunto de vectores X tales que A× B · X = 0. Pero,

A× B = det

e1 e2 e31 0 −1−1 3 0

= (−3, 1,−3),

concluyendo que el plano generado por A y B es (x, y, z) ∈ R3 : 3x − y + 3z = 0. Se considera ahora un plano en R3 definido por la ecuación N ·X = c, donde c es constante y N 6= 0.

Si se divide por ‖N‖ se encuentra una ecuación de la forma U ·X = p, donde U es unitario. El siguienteteorema da una interpretación geométrica de esta ecuación.( 1.4.21 ) Sean U ∈ Rn unitario, c ∈ R constante y P = X ∈ Rn : U · X = c una variedad lineal n − 1dimensional en Rn. Entonces |c| es la distancia13 de P al origen.

Sea X = |c|U entonces U · X = U · |c|U = |c|, por lo que la distancia de P al origen es a lo mas|c|. Recíprocamente, sea X ∈ P cualquiera, la distancia del origen a X es, por definición, ‖X‖ . ComoU es unitario, esto es igual a ‖X‖ ‖U‖ y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz (1.4.4), |c| = ‖X ·U‖ ≤‖X‖ ‖U‖ , mostrando que la distancia de P al origen es al menos |c|. Por lo tanto, la distancia de P alorigen es |c|.

13Esto se interpreta como el ínfimo de los número ‖X‖ : X ∈ P.

26

1.5. Ejercicios.

§ 1.5. Ejercicios.Se recomienda que el lector resuelva todos los ejercicios presentados a continuación.

( 1.1 ) Se define la «distancia de Manhatan» entre dos vectores de Rn, X = (x1, . . . , xn) y Y = (y1, . . . , yn)mediante la fórmula

d(X,Y ) =n∑i=1|xi − yi|.

La «distancia de Manhatan» es una distancia como fue definido en (1.1.5).El nombre de esta distancia proviene de la geometría de cualquier ciudad con cuadras uniformes. Para avanzar

en automóvil entre dos cruces de calles hay que avanzar dos unidades pues no hay modo de ir por la diagonal dela cuadra.

( 1.2 ) Se define la «distancia del máximo» entre dos vectores de Rn, X = (x1, . . . , xn) y Y = (y1, . . . , yn)mediante la fórmula

d(X,Y ) = max1≤i≤n

|xi − yi|.

La «distancia del máximo» es una distancia como fue definido en (1.1.5).Esta distancia surge de manera natural al considerar, por ejemplo, un juego con 2 jugadores, los cuales tienen

que lanzar n dardos cada uno a una diana, la cual tiene una marca en su centro. Entonces gana el jugador quehaya acercado todos sus dardos más que el otro; es decir, se mide la distancia máxima que generó cada jugadory gana el que haya hecho la menor de estas distancias.

( 1.3 ) Rn es un espacio vectorial real.

( 1.4 ) Sea V un espacio vectorial real. Entonces valen las siguientes impliaciones

1. ax = 0Ñ a = 0 o x = 0;

2. ax = ay y a 6= 0Ñ x = y;

3. x 6= 0Ñ (ax = bx Ñ a = b).

( 1.5 ) Sea V un espacio vectorial real. Para todo S ⊂ V, lin 〈S〉 es un subespacio de V. Más aún, si S1 ⊂ S2entonces lin 〈S1〉 ⊂ lin 〈S2〉 .

( 1.6 ) Cierto o falso: la unión de subespacios vectoriales es, a su vez, un subespacio vectorial.

( 1.7 ) Sean U,W dos subespacios vectoriales de V, para que U ∪W sea subespacio vectorial de V es necesarioy suficiente que uno esté contenido en el otro.

( 1.8 ) Sea T : V → W una transformación lineal. Los conjuntos Nuc (T) e Ran (T) son sendos subespacios deV y W.

( 1.9 ) La intersección de un número cualquiera de subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.

( 1.10 ) Sean U y W dos subespacios vectoriales reales de V . Se define

U +W = u +w : u ∈ U,w ∈W,

el cual es subespacio de V.

( 1.11 ) Dados S1 y S2 dos subconjuntos de un espacio vectorial real V entonces lin 〈S1 ∪ S2〉 = lin 〈S1〉+lin 〈S2〉y lin 〈S1 ∩ S2〉 ⊂ lin 〈S1〉 ∩ lin 〈S2〉 .

27


( 1.12 ) Sean U,W subespacios vectoriales de V entonces

dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ).

Sugerencia: considera L : U ×W → V dada por L(u, v) = u − v y tenga presente el teorema (1.2.25).

( 1.13 ) SiU yW son subespacios de V entonces dim(U∩W ) ≤ mındimU,dimW ≤ maxdimU,dimW ≤dim(U +W ) ≤ dimU + dimW.

( 1.14 ) Sean V un espacio con producto interior y X,Y ∈ V. Una condición necesaria y suficiente para que X yY sean ortogonales es que ‖X + Y‖2 = ‖X‖2 + ‖Y‖2 .

( 1.15 ) Si v1, . . . , vr , w1, . . . , ws es un conjunto linealmente independiente del espacio vectorial V entonceslin 〈vi : i = 1, . . . , r〉 ∩ lin 〈wj : j = 1, . . . , s〉 = 0.

( 1.16 ) Sea B una base de V, para todo a 6= 0, aB = av : v ∈ B es base de V. Más generalmente, si(v, av) ∈ B × R|v ∈ B es una colección con av 6= 0 entonces avv : v ∈ B es base de V. Observa que nose supone que la dimensión de V sea finita. En particular, dada una base, se pueden reescalar sus elementos sinmatarlos y se conservará la propiedad de base.

( 1.17 ) Termina la demostración del teorema (1.4.3).

( 1.18 ) Termina la demostración del teorema (1.4.5)

( 1.19 ) Utiliza la desigualdad del triángulo para concluir que

X,Y ∈ Rn Ñ ‖X − Y‖ ≤ ‖X‖+ ‖Y‖ .

y queX,Y ∈ Rn Ñ |‖X‖ − ‖Y‖ | ≤ ‖X − Y‖ .

Sugerencia: para la segunda desigualdad recuerda que si a < b y −a < b entonces |a| < b.

( 1.20 ) Para cualquier X = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se tiene que

‖X‖ ≤n∑i=1|xi|.

Recíprocamente, si X = (x1, . . . , xn) ∈ Rn entonces, para todo i = 1, . . . , n, se tiene que |xi| ≤ ‖X‖ . Estasdesigualdades serán utilizadas muchas veces en el texto.

( 1.21 ) Para todo X,Y en un espacio con producto interior se tiene la siguiente igualdad

X · Y = ‖X + Y‖2 − ‖X − Y‖2

4 .

A esta identidad se le conoce con el nombre de «identidad de polarización.»

( 1.22 ) Recuerda que dos espacios vectoriales U y V son isomorfos en el sentido de espacio vectorial, si existe unatransformación lineal L invertible entre ellos. Dos espacios vectoriales reales de la misma dimensión son isomorfos.

( 1.23 ) Supón que L : U → V es isomorfismo (esto es, biyectiva y lineal). Entonces L−1 : V → U es lineal y, porende, isomorfismo.

28

1.5. Ejercicios.

( 1.24 ) Resuelve este ejercicio hasta que hayas leído la sección de familia de elementos en el capítulo 2.Sean B = (v1, . . . , vn) una base ordenada del espacio vectorial V y v ∈ V. La función Φ : V → Rn dada por

Φ(v) = (λ1, . . . , λn), en donde v =n∑i=1

λivi, es un isomorfismo de espacios vectoriales entre V y Rn. A la función

Φ se le denomina «coordenadas» de V respecto a la base B y se denota por Φ(v) = [v]B.

( 1.25 ) Resuelve este ejercicio hasta que hayas leído la sección de familia de elementos en el capítulo 2.Sea B = (v1, . . . , vn) una base ordenada de V y B′ = (w1, . . . , wm) una base ordenada de W. Para cualquier

transformación lineal T : V →W existe una y solo una matriz A ∈ Matm×n (R) tal que para todo vector v ∈ Vse cumple que [Tv]B′ = A[v]B, en donde []B y []B′ son las coordenadas respecto a B y B′, ve el ejercicio (1.24). Atal matriz se le denotará por A = [T]B′B y se le llamará «matriz asociada a T respecto a las bases B de V y B′ deW». La función Φ tal que Φ(T) = [T]B′B es un isomorfismo entre el espacio Lin (V,W ) , de las transformacioneslineales de V a W, y el espacio Matm×n (R) . Cuando V = W y B = B′ se denotará [T]B′B = [T]B.

( 1.26 ) Resuelve este ejercicio hasta que hayas leído la sección de familia de elementos en el capítulo 2.Sean B y B′ dos bases de V y T : V → V una transformación lineal. La matriz P = [I]BB′ , donde I : V → V

es la tranformación lineal identidad Iv = v, se le denomina matriz de cambio de base de B a B′. Entonces,P−1 = [I]B′B y [T]B′ = P−1[T]BP.

( 1.27 ) Resuelve este ejercicio hasta que hayas leído la sección de familia de elementos en el capítulo 2.Sea T : Rn → Rm una transformación lineal, tal que, en las bases canónicas de Rn y Rm se cumple que

[T] = (ti,j ) (ve el ejercicio (1.25)). Sea M =

Ñn∑i=1

m∑j=1

t2i,j

é 12

. Entonces, para todo X ∈ Rn se tiene que

‖TX‖ ≤M ‖X‖ .

( 1.28 ) Sea L : U → V una transformación lineal entre espacios vectoriales reales de la misma dimensión finita.Si BU y BV son sendas bases de U y V entonces L queda unívocamente determinada por las imágenes de loselementos de BU como combinación lineal de los elementos de BV .

( 1.29 ) Sean u1, . . . , un base de U y w1, . . . , wn vectores arbitrarios en W, respectivamente. Existe unaúnica transformación lineal L : U →W tal que L(ui) = wi.

( 1.30 ) Sean U,V espacios vectoriales reales de dimensión finita igual. Supón que L : U → V es lineal. Lassiguientes condiciones son equivalentes:

1. L es inyectiva.

2. L es suprayectiva.

3. L es biyectiva.

4. L es isomorfismo.

( 1.31 ) Supón que L : U → V es lineal y B ⊂ V. Si LB = Lv : v ∈ B es linealmente independiente entoncesB es linealmente independiente.

( 1.32 ) Sean V y W dos espacios vectoriales con producto escalar. Una transformación lineal L : V → Wpreserva la norma si para todo X y Y en el dominio de L se tiene que ‖X‖ = ‖LX‖ , del mismo modo, preservael producto escalar si 〈X,Y〉 = 〈LX, LY〉 . Para que una transformación lineal L preserve la norma es necesario ysuficiente que preserve el producto escalar.

( 1.33 ) Si una transformación lineal L preserva la norma, L es inyectiva.

29


( 1.34 ) Si una transformación lineal L preserva la norma y es invertible, L−1 preserva la norma.

( 1.35 ) Un concepto importante en el álgebra lineal es el de espacio dual. El espacio dual se define de la siguienteforma. Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita, al conjunto de las transformaciones lineales de V enR se le conoce como espacio dual. Es decir, si V ∗ es el dual de V entonces

V ∗ =T : V → R

∣∣T es lineal

El dual de un espacio vectorial real es, por sí mismo, espacio vectorial con suma de vectores definida como sumade transformaciones lineales y producto por escalar definido como λT : V → R dado por (λT)(v) = λ(Tv).

( 1.36 ) Sea (Rn)∗ el espacio dual a Rn. Dado x ∈ Rn se define φx ∈ (Rn)∗ por φx(y) = 〈x, y〉 . Construye unaaplicación lineal de Rn en (Rn)∗ con la φ anterior. Esta aplicación lineal es un isomorfismo entre Rn y (Rn)∗.Concluye que a todo elemento x∗ en (Rn)∗ le corresponde un único x en Rn tal que φx = x∗.

( 1.37 ) Encontrar la base dual de la base canónica de R3. Sea V un espacio vectorial real y B = v1, . . . , vn unabase de V entonces la base dual B∗ de B en V ∗ es, por definición, B∗ = v∗1 , . . . , v∗n dada por v∗i (vj ) = 1 si i = jy v∗i (vj ) = 0 si i 6= j.

( 1.38 ) Sea G = −1, 1 ⊂ R y · la multiplicación usual en R. Verifique que (G, ·) es un grupo.

( 1.39 ) Si · es la multiplicación usual entonces (N, ·) no es un grupo.

( 1.40 ) Si (G, ·) es un grupo entonces las siguientes afirmaciones son ciertas.

1. Existe un único neutro. Por esto, a partir de ahora será denotado por 1.

2. Todo elemento tiene un único inverso. Por ende, si x ∈ G se denotará a su inverso por x−1.

3. Si x, y ∈ G entonces (xy)−1 = y−1x−1.

4. Define x = x1 e, inductivamente, xn = xn−1x1. Verifique que si x ∈ G y n,m ∈ N, xmxn = xm+n; fijan y utiliza inducción en m.

5. Define x−n =(x−1)n , para n ∈ N. Entonces n,m ∈ ZÑ xn+m = xnxm.

( 1.41 ) Sea E1,1, . . . , En,n la base canónica para matrices cuadradas de orden n y sea A una matriz cuadrada deorden n. Muestre que

1. detEA = detE detA, donde E = E1,1 + . . .+ λEi,i + . . .+ En,n.

2. detEA = detE detA, donde E =n∑k=1

Ek,k + λEi,j .

3. Más generalmente, si B es una matriz cuadrada de orden n,

detAB = detA detB.

Admite el siguiente hecho: toda matriz A puede factorizarse como productos de matrices como las E de losincisos anteriores.

4. Sea A invertible, muestre que detA 6= 0 y que detA−1 = 1detA.

5. Sea A tal que detA 6= 0, muestre que A−1 existe. Admite el siguiente hecho: si A no es invertible, existeuna sucesión de matrices Ei como las de los dos primeros incisos tales que Ek · · ·E1A tiene una fila deceros.

30

1.5. Ejercicios.

6. Una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible es que su determinante no sea cero.

7. Supón que A y B son dos matrices tales que existe una cambio de base P para el cual A = PBP−1.Demuestra que detA = detB.

8. Use el inciso anterior para demostrar que si se define el determinante de una transformación lineal como eldeterminante de alguna de sus representaciones matriciales entonces está bien definido.

( 1.42 ) Sea A =ïa bc d

ò, una condición necesaria para que A sea invertible es que ad − bc 6= 0. Más aún, la

inversa de A es

A−1 = 1ad − bc

ïd −b−c a

ò( 1.43 ) Sea V un espacio vectorial con producto escalar definido positivamente, sean v,w ∈ V no nulos, existeun escalar y solo uno λ ∈ R tal que v − λw es ortogonal a w. A λw se le llama la proyección ortogonal de v enw.Sugerencia: escribe 〈v − λw,w〉 = 0 y despeja λ; esto demuestra la unicidad14. Para demostrar existenciaproponga λ el encontrado para la unicidad y demuestra que v − λw es ortogonal a w.

( 1.44 ) Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto interior definido positivamente y seaW ⊂ Vun subespacio de V. Supón que B = w1, . . . , wr es una base15 ortogonal de W, es decir, es base y cada doselementos distintos en ella son ortogonales. Entonces, existen n − r vectores en V, por ejemplo wr+1, . . . , wn,tales que w1, . . . , wn es base ortogonal de V.Sugerencia: en virtud de (1.2.14) existen u1, . . . , un−r ∈ V tales que

w1, . . . , wr , u1, . . . , un−r

es base de V. Aunque esto es base, no se puede asegurar la ortogonalidad de sus elementos, por ende se procedea ortogonalizarlos utilizando el «método de Gram-Schimidt». Lo que se hace es definir

wr+1 = u1 − λ(1)1 w1 − . . .− λ(1)

r wr ,

en donde λ(1)j wj es la proyección ortogonal de u1 en wj , ve el ejercicio (1.43). Demuestra que

lin 〈w1, . . . , wr+1〉 = lin 〈w1, . . . , wr , u1〉 .

Define inductivamente

wr+k = uk −r+k−1∑j=1

λ(k)j wk,

en donde λ(k)j wj es la proyección ortogonal de uk en wj . Demuestra que para k = 1, . . . , n − r,

lin 〈w1, . . . , wr+k〉 = lin 〈w1, . . . , wr , u1, . . . , uk〉

y concluye.

( 1.45 ) Sea W ⊂ V un subespacio vectorial del espacio V, el cual contiene un producto escalar que está definidopositivamente y tiene dimensión finita n. Entonces W⊥ cumple las siguientes propiedades

1. W ∩W⊥ = 0;14En efecto, pues lo que demuestra aquí es que si tal escalar λ ya existe entonces tiene que ser el que haya encontrado.15Recuerda que en el caso en que W = 0 se cumple que r = 0, es decir, B = ∅.

31


2. V = W +W⊥;

3. dim W + dim W⊥ = dim V.Sugerencia: el primero insico es muy fácil. Para el segundo, empieza demostrando los casos W = 0 oW = V. Ahora supón que 1 ≤ dim W ≤ n − 1. Sea w1, . . . , wr una base de W, con r = dim W.Completa este conjunto a una base ortonormal w1, . . . , wr , u1, . . . , un−r de V, utilizarás (1.44). Demostrarásque u1, . . . , un−r es base de W⊥. Sea u ∈W⊥, existen constantes λ1, . . . , λr y µ1, . . . , µn−r tales que

u =r∑i=1

λiwi +n−r∑j=1

µjuj ,

entonces considera el producto 〈u,wk〉 para k = 1, . . . , r. Usando el hecho que u ∈W⊥ concluirás que λk = 0,por lo que u1, . . . , un−r generan a W⊥. Resta ver que son linealmente independientes, imita la demostración de(1.4.7). Incidentalmente, demostraste los incisos dos y tres simultáneamente.

( 1.46 ) Encuentra el plano que pasa por los tres puntos dados:

1. A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 0) y C = (0, 0,−1);

2. A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6) y C = (0, 0, 0);

3. A = (2, 0, 1), B = (1, 1, 9) y C = (9, 8, 0).Sugerencia: observa que el plano buscado pasa por los vectores C + (A − C) y C + (B − C) y es paralelo aaquel trasladado por −C.( 1.47 ) Encuentra el plano que es generado por los dos vectores dados:

1. A = (1, 1, 1) y B = (1,−1, 1) que pasa por (2,−5, 1);

2. A = (0,−1, 1) y B = (1,−1, 0) que pasa por (0, 0, 0);

3. A = (1, 2, 2) y B = (−3, 4,−5) que pasa por (1, 1,−1).( 1.48 ) En este capítulo se definió de dos maneras que A y B sean perpendiculares (mediante el producto puntoy el ángulo entre ellos). Demuestra que son equivalentes.

( 1.49 ) El ángulo entre dos vectores A y B puede escribirse como

cos γ = ‖A‖+ ‖B‖ − ‖A− B‖2

2 ‖A‖ ‖B‖ .

Con esto, derive que si A = (a1, . . . , an) y B = (b1, . . . , bn) entonces

cos γ = a1b1 + . . .+ anbn»a2

1 + . . .+ a2n

»b2

1 + . . .+ b2n

= A · B‖A‖ ‖B‖

Que es la interpretación geométrica del producto interior: A ·B = ‖A‖ ‖B‖ cos γ. Luego, para encontrar el ánguloentre dos vectores, basta conocer las expresiones

ξi = ai»a2

1 + . . .+ a2n

y µi = bi»b2

1 + . . .+ b2n

.

A estas expresiones se les conoce como cosenos directores de los vectores A y B, respectivamente. De hecho ξi y µison los cosenos de los ángulos que forman los vectores A y B con lo ejes canónicos de Rn, respectivamente. Luego,ξi = cosαi para algún α ∈ [0, 2π]. En particular, se cumple el teorema de Pitágoras para cosenos directores:

cos2 α1 + . . .+ cos2 αn = 1.

32

1.5. Ejercicios.

( 1.50 ) Utilizando la definición de ángulo entre dos vectores derive la desigualdad de Cauchy-Schwarz: |A ·B|2 ≤‖A‖ ‖B‖ .

( 1.51 ) Demuestra (1.4.18).

( 1.52 ) Sean c ∈ R una constante, U ∈ Rn un vector unitario y P = X ∈ Rn|U · X = c. La distancia de Pa Y es d = |U · Y − |c||.

33


34

Capítulo 2

• Funciones, sucesiones y series.

§ 2.1. Funciones.Si el lector desea omitir este capítulo es libre de hacerlo, no afecta el contenido del resto de los

capítulos. Sin embargo, se le solicita que lea esto en algún momento para obtener una visión másgeneral de las funciones. Se siguen las ideas de teoría de conjuntos sobre lo que es una función.

( 2.1.1 ) Se dirá que f es función de A a B, denotado por f : A → B, si f es un subconjunto de A × B tal quepara todo x ∈ A existe un único y ∈ B tal que (x, y) ∈ f. Por notación, el par (x, y) ∈ f se escribe (x, f (x)).Asimismo, muchas veces en lugar de considerar el «par ordenado» (x, f (x)) solo se considera a f (x) pues no existeningún peligro de confusión.

La definición anterior es una paráfrasis de la que el lector ya conocía. Es común que, como definiciónde función se dé la siguiente: una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos talque para todo elemento del primer conjunto existe un único elemento del segundo conjunto. Sinembargo, esta definición tiene ciertas dificultades técnicas. Por ejemplo, habría empezar definiendolo que es una regla de correspondencia y no hay un modo claro de cómo hacerlo1. En cambio, conla definición dada se evita este detalle y da la oportunidad de definir funciones entre cualesquier dosconjuntos.

En la definición (2.1.1) al conjunto A se le conoce como dominio de f y al conjunto B se le conocecomo contradominio; más adelante se verá que el contradominio suele ser banal y sin importancia.Por notación, se escribirá A = Dom (f ) . Observa que, por definición, para todo x ∈ A existe un y ∈ Btal que (x, y) ∈ f y tal y es único. Esto es, todo elemento x en A tiene una y solo una «imagen» en B.El recíproco no tiene por qué ser verdadero. Esto es, que todo elemento de B sea imagen de algúnelemento en A. Que suceda esto es tan especial que se ha decidido dar una definición.

( 2.1.2 ) Se dirá que f : A→ B es una función suprayectiva si para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que (x, y) ∈ f.

La definición anterior está dada en términos de conjuntos. En principio esto no debería causarningún problema para entenderla en términos clásicos. Dado y ∈ B existe un x ∈ A tal que f (x) = y.Intuitivamente hablando se dice que f es suprayectiva si exhausta al conjunto B, por esta razón tambiénse utiliza el término de función «exhaustiva».

Ahora se definirá lo que es una función inyectiva.1En algún momento Euler intentó definir el concepto de regla de correspondencia sin tener el éxito que tuvo la definición

presentada arriba

35

Capítulo 2. Funciones, sucesiones y series.

( 2.1.3 ) Se dirá que una función f : A→ B es inyectiva si (u, y), (v, y) ∈ f Ñ u = v.

En términos coloquiales, una función es inyectiva si para cualesquier dos elementos con la mismaimagen entonces los elementos coinciden.

Otro término importante, relacionado con funciones, es el de imagen o recorrido de la función.Este término ha sido definido ya para transformaciones lineales, la idea es dar la misma definiciónpara funciones en general. Como su nombre lo sugiere, se define la imagen de un conjunto por unafunción como el conjunto de las imágenes de los puntos.

( 2.1.4 ) Sea f : A → B una función. Se define la imagen de C ⊂ A por f como f (C) = y ∈ B : ∃x ∈C y (x, y) ∈ f.

De esta definición es inmediato que f (C) = f (x) : x ∈ C. Es importante notar que la imagen de unconjunto C ⊂ A por la función f : A→ B es un subconjunto f (C) de B.

Existe una definición relacionada con la de imagen de una función, esta es la de gráfica de unafunción, sin embargo, típicamente se define la gráfica de una función como el conjunto Γ(f ) = (x, f (x)) :x ∈ Dom (f ). Es importante notar que Γ(f ) = f, por esto se omite la definición de gráfica de unafunción2. Existe una definición análoga a la de imagen. Dada f : A→ B y C ⊂ B ¿cuáles son los puntosen A que son mandados a C por f?

( 2.1.5 ) Sea f : A → B una función. Se define la preimagen de C ⊂ B como f−1(C) = x ∈ A : ∃y ∈C tal que (x, y) ∈ f.

Es cuestión de lenguaje notar que f−1(C) = x ∈ A : f (x) ∈ C. Asimismo, algunos autores prefierenutilizar el término antiimagen para referirse a la preimagen de un conjunto.

( 2.1.6 ) El núcleo de una transformación lineal es la preimagen del cero. Esto es, Nuc (L) = L−1(0).

Lo cual es reescribir la definición de núcleo en términos de preimágenes. La siguiente relación es fundamental.

( 2.1.7 ) Sean f : A→ B una función y C ⊂ B. Para que x ∈ f−1(C) es necesario y suficiente que f (x) ∈ C.

Lo cual es inmediato de las definiciones correspondientes. Muchas veces dada una función f : A→ B solo interesa estudiar el comportamiento de esta en algún

subconjunto C de A. De este modo, se quiere estudiar al conjunto g ⊂ f tal que g = (x, f (x)) : x ∈ C.

( 2.1.8 ) Sea f : A → B función y C subconjunto de A. Se dirá que (x, f (x)) : x ∈ C es la restricción de f aC y este conjunto se le denotará por f

∣∣∣C.

( 2.1.9 ) Si f es función con dominio A y C ⊂ A entonces f∣∣∣Ces función con dominio C.

Es directo de la definición de función. A continuación se presentan algunos ejemplos de aplicaciones entre conjuntos.

( 2.1.10 ) Sean A = 1, 2, 3, 4, 5 y B = A. Determina cuales de la siguientes son funciones de A a B.

1. α = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5).

2. β = (1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 5), (5, 1).

3. γ = (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 5), (4, 1), (5, 4).2Por razones de simplicidad a veces se hablará de una función y se entenderá en x 7Ï f (x), la «regla de correspondencia»

subyacente.

36

2.1. Funciones.

4. ι = (1, 1), (2, 2), (4, 1), (5, 4).

Observa que α y β satisfacen la definición (2.1.1), por lo tanto son funciones de A a B. Sin embargo,γ no es función de A a B pues (2, 1), (2, 2) coinciden en el primer elemento y no en el segundo elemento.Asimismo, ι no es función de A a B pues no existe ι(3), cabe destacar que si se restringe ι al conjuntoA \ 3 entonces la restricción sí es función.

Del ejemplo anterior se tiene que α(A) = 1, 2, 4, por tanto α no existe x ∈ A tal que α(x) = 3 y,por ende, α no es suprayectiva. Esto sugiere el siguiente teorema.

( 2.1.11 ) Para que una función f : A→ B sea suprayectiva es necesario y suficiente que f (A) = B.

Observa que f (A) = f (x) : x ∈ A ⊂ B independientemente de que f sea suprayectiva o no.Entonces basta ver que B ⊂ f (A) si y solo si f es suprayectiva. Se supone primero que f es una funciónsuprayectiva y sea x ∈ B. Como f es suprayectiva, existe x ∈ A tal que (x, y) ∈ f. De este modo, y ∈ f (A)y B ⊂ f (A). Ahora se supone que B ⊂ f (A). Dado y ∈ B existe x ∈ A tal que f (x) = y, esto es (x, y) ∈ f.Equivalentemente, f es suprayectiva.

Este teorema da una caracterización simple de funciones suprayectivas, su imagen es todo su con-tradominio. Se observa que con la definición (2.1.1) no es tan fácil verificar cuando dos funcionesson iguales, tiene que darse la doble contenencia de conjuntos. El siguiente teorema caracteriza a lafunciones iguales.

( 2.1.12 ) Sean f y g funciones. Para que f = g es necesario y suficiente que Dom (f ) = Dom (g) y f (x) = g(x)para todo x en el dominio.

Es fácil notar que si f ⊂ A × B entonces Dom (f ) = x ∈ A|∃y ∈ B con (x, y) ∈ f. Se observa quesi f = g entonces (x, y) ∈ f ⇔ (x, y) ∈ g. De aquí que Dom (f ) = Dom (g) y f (x) = g(x) para todo xen el domino. Ahora se supone que Dom (f ) = Dom (g) y que f (x) = g(x) para todo x en el dominio.Entonces, (x, y) ∈ f Ñ x ∈ Dom (f ) , por lo tanto, x ∈ Dom (g) . Como y = f (x) = g(x), se tiene que(x, y) ∈ g y f = g.

Es importante observar dos cosas. Primero, si dos funciones difieren en su dominio automáticamenteno pueden ser iguales. Por lo tanto, solo tiene sentido preguntarse por la igualdad de funciones cuandocomparten el mismo dominio. En este caso, la negación de que dos funciones f, g : A→ B sean igualeses la siguiente:

existe x ∈ A tal que f (x) 6= g(x).Observa que el teorema anterior no solicita nada de los contradominios de f y g, en principio podrían

ser arbitrarios. Esto demuestra que una condición para que una función sea suprayectiva no dependede la regla de correspondencia, solo de su contradominio. Por ejemplo, la función f : R→ R dada porf (x) = x2 no es suprayectiva pues ningún punto en R satisface que su cuadrado es −1. Pero la funcióng : R→ [0,∞) dada por g(x) = x2 es suprayectiva. Sin embargo, por el teorema anterior, f = g.

Una noción importante y general respecto de funciones es la composición de las mismas. Porejemplo, si f : A → B y g : B → C entonces se puede definir el conjunto h = g f tal que h =(x, g(f (x))) : x ∈ A. Formalmente,

( 2.1.13 ) Sean f y g funciones tales que f (Dom (f )) ⊂ Dom (g) . Entonces, la composición de f y g es h = g f,está dada por h = (x, g(f (x)) : x ∈ Dom (f ).

La demostración del siguiente teorema queda a cargo del lector.

( 2.1.14 ) La composición de funciones es una función.

De la definición anterior no tienen por qué estar definidas fg y gf ambas a la vez. De hecho, cuandoesto sucede no tienen por qué ser iguales. Otras veces f (Dom (f )) no es subconjunto de Dom (g) , en estoscasos se escoge el subconjunto no vacío A más grande contenido en Dom (f ) tal que f (A) ⊂ Dom (g) .

37


( 2.1.15 ) Sea A = [−1, 1], B = [0, 1] y C =î0,√

2ó, considera f : A→ B y g : A→ C dadas por f (x) = x2, y

g(x) =√x + 1. Encuentra f (A), g(A), f−1([0, 1]), g−1([0, 1]), f g y g f.

Primero que nada, observa que f y g son funciones pues su regla de correspondencia está biendefinida y no hay dos elementos en su dominio que se manden a elementos distintos de su contradominioy todo elemento de su dominio tiene una imagen. Se ve ahora quien es f (A). Se considera x ∈ [−1, 1]se tiene que 0 ≤ x2 ≤ 1. De esto se deduce que f (A) ⊂ [0, 1]. Sea ahora x ∈ [0, 1]. Entonces existe√x ∈ [0, 1] y f

(√x)

= x. Por lo tanto, f (A) = [0, 1], por lo que f es suprayectiva. Como dato adicional fno es inyectiva pues f (−1) = f (1) = 1.

Se obtiene ahora g(A). Dado x ∈ [0, 1] se tiene que g(x) =√x + 1 ∈

î0,√

2ó. Así que, g(A) ⊂

î0,√

2ó.

Se ve ahora que se satisface la otra contenencia. Dado x ∈î0,√

2ó

se tiene que x2 − 1 ∈ [−1, 1] yg(x2 − 1) = x. De aquí que g(A) =

î0,√

2ó.

Por otro lado, si f (x) ∈ [0, 1] entonces x2 ∈ [0, 1] y, por ende, x ∈ A. Luego, f−1([0, 1]) ⊂ A y, comose vio antes, f (A) ⊂ [0, 1], equivalentemente A ⊂ f−1([0, 1]), por lo que f−1([0, 1]) = A. Para encontrarg−1([0, 1]

)se observa que g(x) ∈ [0, 1] si y solo si

√x + 1 ∈ [0, 1]. De esto, se ve que x+1 ∈ [0, 1], por lo

que x ∈ [−1, 0]. Es fácil ver que si x ∈ [−1, 0] entonces g(x) ∈ [0, 1] y por lo tanto g−1([0, 1])

= [−1, 0].Finalmente las funciones f g y g f están dadas por

(f g)(x) = f(g(x)

)= f

Ä√x + 1

ä= |x + 1|

y(g f )(x) = g

(f (x)

)= g

(x2) =

√x2 + 1.

Sus dominios son, Dom (f g) = x ∈ A : g(x) ∈ A = [−1, 0] y Dom (g f ) = x ∈ A : f (x) ∈ B = A.

Observa que (f g)Å1

2

ã= 3

2 y (g f )Å1

2

ã=√

52 de lo cual se sigue que f g 6= g f.

Se verá ahora un ejemplo donde no sucede que f g y g f estén definidas ambas a la vez. Seconsidera ahora las funciones

f : [0, 1]→ [−1, 0] dada por f (x) = −x2

yg : [0, 1]→ [0, 1] dada por g(x) =

√x.

Entonces, (f g)(x) = −x, sin embargo g f no está definida.

( 2.1.16 ) Sean A = [0, 1], B =î0,√

2ó, C =

î1,√

2óy D = [0, 2]. Considera f : A→ B y g : C → D tales que

f está dada por f (x) =√x2 + 1 y g está dada por g(x) =

√x2 − 1. Encuentra f g y g f.

Hay que encontrar Dom (f g) y Dom (g f ) . Se tiene que Dom (f g) = x ∈ C : g(x) ∈ A = g−1(A)y, análogamente, Dom (g f ) = f−1(B) = A. Observa que g(x) ∈ A ⇔ g(x) ∈ [0, 1], pero g(x) ∈ [0, 1] Ñx2 ∈ [1, 2], pero x2 ∈ [1, 2]Ñ x ∈

î−√

2,−1ó∪î1,√

2ó. De aquí que g−1([0, 1]) =

î1,√

2ó. De este modo,

Dom (f g) = C. Ahora bien, para x ∈î1,√

2ó

se tiene que

(f g)(x) = fÄ√

x2 − 1ä

=√x2 − 1 + 1 = |x| = x.

Como, Dom (g f ) = A, se tiene que para x ∈ A,

(g f )(x) = g(√

x2 + 1)

=√x2 + 1− 1 = |x| = x.

Por lo tanto, la composición de f y g en cualquier orden tuvo la misma regla de correspondencia.

38

2.2. Familias de elementos.

( 2.1.17 ) Considera f, g : [0,∞)→ [0,∞) dadas como antes. Encuentra f g y g f.

Del ejemplo anterior, se sabe que

Dom (f g) = g−1([0,∞)) = [0,∞)

y, análogamente,Dom (g f ) = f−1([0,∞)) = [0,∞).

Por tanto, falta encontrar la regla de correspondencia de ambas funciones. Es fácil verificar que (f g)(x) = x = (g f )(x).

Observa que f g y g f satisficieron lo siguiente: para todo x ∈ Dom (f g) , (f g)(x) = x y, paratodo x ∈ Dom (g f ) , (g f )(x) = x. Estas funciones se les conoce como función identidad. En abstracto,se tiene la siguiente definición.

( 2.1.18 ) Sea f : A→ A. Se dirá que f es la función identidad de A o función idéntica de A si f = (x, x) : x ∈ A.

En general se denotará a la función identidad de un conjunto A como idA o bien, IA. En el ejemploanterior sucedió que f g = I[0,∞) y g f = I[0,∞). Esto se destaca en la siguiente definición.

( 2.1.19 ) Sea f : A → B. Se dirá que f tiene una función inversa si existe g : B → A tal que g f = IA yf g = IB.

Por ejemplo, la función f : [0, 2π) → [−1, 1] dada por f (x) = sinx es invertible y su inversa esg : [−1, 1] → [0, 2π) dada por g(x) = arcsinx. Nota que el hecho de que f sea invertible dependedirectamente de Dom (f ) y de su contradominio. Por ejemplo, para que f sea invertible es necesarioque a cada x ∈ Dom (f ) se le asocie un único elemento y en su contradominio, pues de otro modola inversa g no estaría definida. Entonces, es necesario que f sea inyectiva. El siguiente teorema esplausible. Su demostración queda de ejercicio al lector.

( 2.1.20 ) Para que una función f : A→ B sea invertible es necesario y suficiente que sea inyectiva y suprayectiva;en particular, si f : A→ B es inyectiva entonces f : A→ f (A) es invertible.

§ 2.2. Familias de elementos.Más adelante se tendrá la necesidad de considerar conjuntos xα|α ∈ Λ ⊂ X para algunos conjuntos

Λ y X arbitrarios. Lo importante aquí es que será necesario saber qué xα corresponde a cada α ∈ Λ.Por ejemplo, supón que Λ = 1, 2, 3 y es necesario poner x1 = x2 = 1 y x3 = 2 entonces escribirlocomo xα|α ∈ Λ deriva en que este conjunto es 1, 2 y ya no es claro qué elemento corresponde acada α. Para evitar esto se define la noción de familia.

( 2.2.1 ) Sea Λ 6= ∅ y X 6= ∅. Se dirá que una función f : Λ → X es una familia de elementos de X cuyoconjunto de índices es Λ. Luego, se escribirá f (α) = xα y f = (xα)α∈Λ. Si ∆ ⊂ Λ entonces a la restricción de lafunción α→ xα de Λ a ∆ se le llama subfamilia de (xα)α∈Λ.

( 2.2.2 ) Sea (xα)α∈Λ una familia de elementos de un conjunto X. Entonces la cardinalidad de esta familia coincidecon card (Λ) .

Para demostrar esto se recuerda que si A y B son dos conjuntos cualesquiera tales que existe unabiyección entre ellos entonces card (A) = card (B) . La biyección que se define es

φ : (xα)α∈Λ → Λ dada por φ(α, xα) = α.

39


Es claro que φ es inyectiva pues si φ(α, xα) = φ(β, xβ) entonces α = β y por ser (xα)α∈Λ una familia,se sigue que xα = xβ. Asimismo, φ es suprayectiva pues si α ∈ Λ entonces (α, xα) es un elemento dela famila que es mandado mediante φ a α y φ es suprayectiva. En virtud de (2.1.20) y la observacióninicial se concluye.

A continuación se da el «Axioma de elección» el cual es equivalente al Lema de Zorn utilizado antesal demostrar que todo espacio vectorial posee una base (1.2.14). Antes, es necesario definir lo que es lapotencia de una conjunto.

( 2.2.3 ) Sea X un conjunto cualquiera. Se define P (X) como el conjunto de todos los subconjuntos de X.

Observación: Las oraciones A ⊂ X y A ∈P (X) son equivalentes.

( 2.2.4 ) Sean X y Y dos conjuntos y (Ax)x∈X una familia de elementos de P (Y ) tal que cada Ax 6= ∅. Entoncesexiste una «función de elección» f : X → Y tal que f (x) ∈ Ax para cada x ∈ X.

Para la demostración de que este enunciado equivale al Lema de Zorn y otras formas del axiomade elección se recomienda al lector que lea el libro de Enderton [9] o de Suppes [24].

( 2.2.5 ) Sea (Aα)α∈Λ una familia de elementos de P (X) . El conjunto de todos los elementos x ∈ X que estánen por lo menos un Aα se llama la unión de la familia y se denota por⋃

α∈ΛAα o bien

⋃(Aα)α∈Λ.

El conjunto de los elementos x ∈ X que están en todos los Aα se llama la intersección de la familia y se denotapor ⋂

α∈ΛAα o bien

⋂(Aα)α∈Λ.

Observación: cuando el cunjunto de índices tiene un número finito de elemento, por ejemplo nelementos, entonces se puede pensar que tal conjunto es 1, . . . , n. Luego, en este caso, a la unión deuna familia finita se le denota por

n⋃k=1

Ak o bien A1 ∪ . . . ∪ An,

en donde k es una «variable muda»; es decir, k puede ser sustituído por cualquier otro símbolo conve-niente. Análogamente, la intersección de una familia finita (A1, . . . , An) se denota por

n⋂k=1

Ak o bien A1 ∩ . . . ∩ An.

( 2.2.6 ) Sea X un conjunto cualquiera. Se dirá que una familia (Aα)α∈Λ de elementos de P (X) es una cubiertade X si

⋃α∈Λ

Aα = X. Se dirá que tal familia es una partición si aparte de ser cubierta para cualesquier α, β ∈ Λ

con α 6= β se tiene que Aα ∩ Aβ = ∅.

( 2.2.7 ) Dado un conjunto fijo X se define la operación X : P (X)→P (X) mediante X(Y ) = X \ Y.

40

2.2. Familias de elementos.

Observaciones: Las siguientes son inmediatas de esta definción. Cada una de ellas puede ser derivadaa partir de las relaciones lógicas correspondientes, es decir, son definiciones reescritas en términos deconjuntos.

1. Para cualquier A ⊂ X, X(XA

)= A.

2. Para cualesquier A,B ⊂ X X(A ∪ B) = XA ∩ XB.

3. Para cualesquier A,B ⊂ X X(A ∩ B) = XA ∪ XB.

4. Para A,B ⊂ X cualesquiera las oraciones A ⊂ B y XB ⊂ XA son equivalentes; mismo paraA ∩ B = ∅, A ⊂ XB y B ⊂ XA; también se cumple para A ∪ B = X, A ⊃ XB y B ⊃ XA.

5. Si F : X → Y es una función y A ⊂ Y entonces XF−1(A) = F−1 (YA) . Esto se sigue del hechoque x ∈ XF−1(A)⇔ F (x) ∈ YA⇔ x ∈ F−1 (YA) .

La siguiente proposición resume todas las operaciones más utilizadas entre familas y funciones.

( 2.2.8 ) Sean Λ,∆,Σ tres conjuntos “de índices”; X,Y dos conjuntos “de elementos”; F : X → Y una función;(Aα)α∈Λ, (Bβ)β∈∆ dos familias de elementos de P (X) y (Cγ)γ∈Σ una familia de elementos de P (Y ) . Entonces

1. X

(⋃α∈Λ

Aα

)=⋂α∈Λ

(XAα

);

2.

(⋃α∈Λ

Aα

)∩

Ñ⋃β∈∆

Bβ

é=

⋃(α,β)∈Λ×∆

Aα ∩ Bβ;

3.

(⋂α∈Λ

Aα

)∪

Ñ⋂β∈∆

Bβ

é=

⋂(α,β)∈Λ×∆

Aα ∪ Bβ;

4. F(⋃α∈Λ

Aα

)=⋃α∈Λ

F (Aα);

5. F−1

Ñ⋃γ∈Σ

Cγ

é=⋃γ∈Σ

F−1(Cγ);

6. F−1

Ñ⋂γ∈Σ

Cγ

é=⋂γ∈Σ

F−1(Cγ).

Se dará la demostración de cada inciso por separado.

1. Si x ∈ X

(⋃α∈Λ

Aα

)entonces x no puede estar en ninguno de los Aα, pues si estuviera en algún Aα0

entonces se tendría x ∈ Aα0 ⊂⋃α∈Λ

Aα lo cual es una contradicción. Por lo tanto, x ∈⋂α∈Λ

(XAα

).

Recíprocamente, supón que x ∈⋂α∈Λ

(XAα

)y que x ∈

(⋃α∈Λ

Aα

)entonces hay un Aα0 tal que

x ∈ Aα0 lo cual es una contradicción pues x no está en ninguno de los Aα.

41


2. Si x ∈(⋃α∈Λ

Aα

)∩

Ñ⋃β∈∆

Bβ

éentonces x ∈

⋃α∈Λ

Aα y x ∈⋃β∈∆

Bβ, existen entonces α0 ∈ Λ y

β0 ∈ ∆ tales que x ∈ Aα0 y x ∈ Bβ0 ; esto es x ∈ Aα0 ∩ Bβ0 ⊂⋃

(α,β)∈Λ×∆

Aα ∩ Bβ. Recíprocamente, si

x ∈⋃

(α,β)∈Λ×∆

Aα ∩ Bβ entonces hay un índice (α0, β0) ∈ Λ ×∆ tal que x ∈ Aα0 ∩ Bβ0 , en particular

x ∈ Aα0 ⊂⋃α∈Λ

Aα y x ∈ Bβ0 ⊂⋃β∈∆

Bβ, que demuestra el inciso.

3. Inmediato de los dos primeros al considerar complementos en X.

4. Nota que y ∈ F(⋃α∈Λ

Aα

)si y solo si existe un x ∈

⋃α∈Λ

Aα tal que F (x) = y. Basta entonces ver que

esto último equivale a que exista un índice α0 tal que y = F (x) para algún x ∈ Aα0 ; es decir, equivalea que exista un índice α0 tal que y ∈ F (Aα0 ), y esto último es la definición de que y ∈

⋃α∈Λ

F (Aα).

5. Pues x ∈ F−1

Ñ⋃γ∈Σ

Cγ

éequivale a que F (x) ∈

⋃γ∈Σ

Cγ ; es decir, existe un γ0 ∈ Σ tal que F (x) ∈ Cγ0 ;

o sea, x ∈ F−1(Cγ0 ) para algún γ0 ∈ Σ; esto es, x ∈⋃γ∈Σ

F−1(Cγ0 ).

6. Es directo de los incisos anteriores tomando complementos.

Esto conluye las propiedades.

§ 2.3. Sucesiones.Recuerda que una sucesión en R se suele pensar como una lista de números a1, a2, . . . , es inme-

diato que conviene considerar familias enumerables. Por ejemplo, considera la sucesiónÅ

1 + 1n

ãn∈N

entonces, el «término general» de la sucesión es an = 1+ 1n . Resulta conveniente la siguiente definición.

( 2.3.1 ) Una sucesión definida en un conjunto A (donde A es arbitrario y no vacío) es una familia cuyo conjuntode índices son los naturales.

( 2.3.2 ) Por definición, se tiene que (an)n∈N = (n, an) : n ∈ N.

Como A 6= ∅, se tiene que F 6= ∅. Asimismo, por notación, F (n) = Fn o F (n) = an. Ahora bien, enR se tiene el concepto de límite de una sucesión, pues existe la noción de distancia. Dado que en Rn

también se tiene la noción de distancia con la cual se puede introducir todo lo conocido de límite desucesiones de R a Rn. Antes de hacer esto será necesario recordar el caso en R. Se considera (an)n∈Nuna sucesión en R tal que lım

n→∞an = p. Esto significaba precisamente lo siguiente:

(∀ε > 0)(∃N > 0) tal que (n ≥ N Ñ |an − p| < ε).

Intuitivamente hablando, se dice que p es límite de la sucesión (an)n∈N si an está cerca de p cuando ncrece. Esta noción puede generalizarse a Rn sin ningún problema.

42

2.3. Sucesiones.

( 2.3.3 ) Sea F : N → Rm una sucesión de puntos en Rm. Será dicho que la sucesión converge a P ∈ Rm,denotado como lım

n→∞F (n) = P, si

(∀ε > 0)(∃N > 0) tal que (n > N Ñ ‖F (n)− P‖ < ε).

Esta definición es una generalización directa del caso real. Seguramente el lector dice que solo hasido cambiado el valor absoluto por norma. Esto es cierto pues las propiedades geométricas del valorabsoluto se conservan de manera análoga para la norma.

Al igual que en el caso real, para encontrar un límite de una sucesión dada se debe proceder a darun número ε > 0 y encontrar un natural N > 0, el cual es función de ε, que satisfaga la definición.

( 2.3.4 ) Determine si la siguiente sucesión converge o no (cuando una sucesión no converge se dice que diverge).

La función F : N→ R2 dada por F (n) =Å

1− 1n , 1 + 1

n

ã.

Observa que cada coordenada tiende a 1 cuando n → ∞. De aquí que es natural pensar quelımn→∞

F (n) = (1, 1). Sea ε > 0. Entonces

‖(1, 1)− F (n)‖ < ε ⇔∥∥∥∥Å 1

n ,−1n

ã∥∥∥∥ < ε ⇔…

2n2 < ε

⇔√

2n < ε ⇔ n >

√2ε .

Sea N ∈ N el mínimo natural3 tal que N >√

2ε entonces para cada n ≥ N se tiene que la distancia entre

(1, 1) y F (n) es menor que ε. Esto demuestra que lımn→∞

F (n) = (1, 1).

¿Siempre existe el límite? Y cuando existe, ¿puede una sucesión convergir a dos vectores distintos?La primera respuesta es que no, la sucesión (n)n∈N no converge en R hacía ningún número real l ∈ N.La segunda es que sí, como se demuestra a continuación.

( 2.3.5 ) Sea (Xn)n∈N una sucesión en Rm. Si X y Y son dos puntos en Rm para los cuales la sucesión (Xn)n∈Nconverge a ellos entonces son el mismo punto, X = Y.

La demostración de este resultado se basa en la idea de que (Xn) finalmente estará arbitrariamentecercana a X y también estará arbitrariamente cercana a Y, por lo que X y Y deberán estar arbitraria-mente cercanos el uno del otro. Para formalizar esta noción, sea ε > 0. Como (Xn)n∈N converge a X,existe un N1 tal que

n ≥ N1 Ñ ‖Xn − X‖ <ε2 .

Como (Xn)n∈N converge a Y, existe un N2 tal que

n ≥ N2 Ñ ‖Xn − Y‖ <ε2 .

Sea N = maxN1, N2. Se siguen cumpliendo las dos implicaciones previas. Por lo tanto, n ≥ N Ñ‖X − Y‖ ≤ ‖X − Xn‖+ ‖Xn − Y‖ ≤ ε, donde la primera desigualdad es consecuencia de la desigualdadtriangular. Se demostró que (Xn)n∈N y (Yn)n∈N están arbitrariamente cercanos, por lo que deben serel mismo punto. Para ver esto, supón que X 6= Y, esto es equivalente a que ‖X − Y‖ > 0. Define

ε = ‖X − Y‖2 . Se demostró que ‖X − Y‖ < ε = ‖X − Y‖2 . Despejando, se obtiene que ‖X − Y‖ < 0, locual es falso.

Antes de continuar es conveniente que el lector recuerde las principales propiedades elementales yútiles de las sucesiones en R. El siguiente teorema queda a título de ejercicio para el lector.

3Observa que este natural es función de ε.

43


( 2.3.6 ) Sea (an)n∈N, (bn)n∈N y (cn)n∈N tres sucesiones en R. Entonces1. si (an) es convergente entonces es acotada;

2. si an ≤ bn ≤ cn y (an) y (cn) convergen a l entonces (bn) converge a l;

3. si (an) es monótona4 y acotada5 entonces an converge; de hecho, (an) convergerá a su supremo o su ínfimosegún sea monótona creciente o decreciente;

4. si (an) converge a a y (bn) converge a b entonces para cualquier λ ∈ R la sucesión (an + λbn) convergeráa a + λb y la sucesión (anbn) convergerá a ab; más aún, si b 6= 0, la sucesión

Åanbn

ãconvergerá a

ab ;

5. si 0 ≤ |r| < 1 entonces la sucesión (rn)n∈N converge a cero;

6. si p > 0 entonces la sucesión(

n√p)n∈N converge a 1;

7. si f : [0,∞)→ R es continua (en el sentido que se supone que el lector ya conoce) y (an) es una sucesióntal que f (n) = an para todo n ∈ N entonces para que (an) converga a a es condición necesaria y suficienteque lım

x→∞f (x) exista, en este caso, tal límite vale a;

8. si a < 0, la sucesión (na) convergerá a 0.

A veces no es fácil encontrar N > 0 el cual sea apropiado. Para lidiar con esto, se utilizan algunosartificios. El siguiente ejemplo muestra uno de las más utilizado, dado X ∈ Rn entonces |xi| ≤ ‖X‖ ≤n∑i=1|xi| para i = 1, . . . , n, ejercicio (1.20).

( 2.3.7 ) Sea F : N→ R3 dada por

F (n) =Åsinn

n , 3n − 2n2 , (−1)n sinn

n

ã.

Determine si F converge o no, en caso que converja encuentra su límite.

Sea F (n) = (an, bn, cn). Entonces (an), (bn) y (cn) convergen. En efecto, |an| ≤1n , |bn| ≤

3n y |c| ≤ 1

n ,

por lo cual an, bn, cn → 0. Por lo tanto, dado ε > 0 existen N1, N2 y N3 tales que n ≥ N1 Ñ |an| <ε3 ,

n ≥ N2 Ñ |bn| ≤ε3 y n ≥ N3 Ñ |cn| ≤

ε3 . Considera N = maxN1, N2, N3 entonces n ≥ N Ñ

|an|, |bn|, |cn| ≤ε3 . Como ‖F (n)‖ ≤ |an| + |bn| + |cn| se tiene que n ≥ N Ñ ‖F (n)‖ ≤ ε. Por lo tanto,

lımn→∞

F (n) = (0, 0, 0).

Como observación clave, el ejemplo anterior se puede generalizar al caso general. Esto da un criteriosimple para ver cuando una sucesión en Rn converge.

( 2.3.8 ) Sea F : N → Rm una sucesión tal que F (n) =Äa(1)n , . . . , a(m)

nä. Entonces, para que F converja a

P = (p1, . . . , pm) es necesario y suficiente que(ain)n∈N converja a pi para i = 1, . . . ,m.

La demostración de esto queda de ejercicio al lector.Al ser una sucesión en Rn convergente si y solo si converge cada una de sus coordenadas simplifica

mucho la teoría. Todos los teoremas de convergencia del caso n dimensional se reducen a aplicar nveces los teoremas del caso real. Entonces, no faltan muchos puntos a tratar, los más importantes sonsucesiones de Cauchy, subsucesiones y series.

4Se dice que una sucesión (an)n∈N es «monótona creciente» si an ≤ an+1 y «monótona decreciente» si an ≥ an+1.5Se dice que una sucesión (an)n∈N es acotada si existe un M > 0 tal que |an| ≤M para cualquier n ∈ N.

44

2.3. Sucesiones.

z 2.3.1 Subsucesiones.Continuando con este rápido estudio de sucesiones se llega al concepto de subsucesión. Sea (an)n∈N

una sucesión. Se dice que (ani )i∈N es subsucesión de (an)n∈N si (ani )i∈N es una sucesión y ni > nj ⇔ i > j.Esto conduce a una definición natural para el caso general.

( 2.3.9 ) Sea F : N→ Rm una sucesión. Se dirá que f : N→ Rm es una subsucesión de F si existe σ : N→ N

estrictamente creciente tal que f = F σ.

El caso real se satisface inmediatamente con esta definición. Como ejemplo de la definición, consi-dera la sucesión F dada por

F (n) =

exp(n) si n es par;

expÅ 1n

ãsi n es impar.

Define σ : N→ N dada por σ (n) = 2n− 1. Claramente, σ es una función creciente (en sentido estricto),por lo tanto f = F σ es una subsucesión de F. Se tiene que f está definida por f (n) = exp

Å 12n − 1

ã.

Nota que f es una sucesión convergente cuando F no lo es. La teoría sobre series será desarrolladapor el lector en los ejercicios. Antes de pasar a los ejercicios, se verá un último ejemplo.

( 2.3.10 ) Sea F : N→ R dada por F (n) = n log[1 +

(xn

)α], donde x ≥ 0 y α ≥ 0. Determine la convergencia

de F.

Encontrar el límite de F puede ser tratado de distintas formas, aquí se presentará una. Si (an)n∈N esuna sucesión de número reales y f : (0,∞)→ R satisface que f (n) = an para todo n y que lım

x→∞f (x) = p

entonces lımn→∞

an = p. Se definen las funciones φ,ψ : (0,∞) → R dadas por φ(y) = logï1 +

Åxy

ãαòy ψ(y) = y. Entonces, (ψφ)(n) = F (n) para todo n ∈ N. Por la aclaración previa, basta encontrarlımy→∞

(ψφ)(y). Claramente, lımy→∞

ψ(y) =∞; para φ se observa que log es continua, así

lımy→∞

φ(y) = logï

lımy→∞

1 +Åxy

ãαò= log(1) = 0.

Entonces, lımy→∞

(ψφ)(y) = lımy→∞

φ(y)(ψ(y))−1 toma la forma 0

0 , por lo que aplica la regla de L’Hôpital. Se tieneque,

lımy→∞

φ(y)(ψ(y))−1 = lım

y→∞

φ′(y)−(ψ(y))−2ψ′(y) = lım

y→∞

−αxαy−1−α

−ï1 +

Åxy

ãαòy−2

= αxα lımy→∞

y1−α

1 +Åxy

ãα=

∞ si 0 < α < 1,x si α = 1,0 si α > 1 o α = 0.

Esto termina el ejercicio.

45


z 2.3.2 Sucesiones de Cauchy.Se dice que (an)n∈N es una sucesión de Cauchy si los términos de índices grandes puede hacerse

arbitrariamente cercanos, esto es

(∀ε > 0)(∃N > 0) tal que (n,m ≥ N Ñ |an − am| < ε).

Tal definición no depende en lo absoluto de R y puede generalizarse de la manera obvia, cambiando elvalor absoluto por norma.

( 2.3.11 ) Sea F : N→ Rm una sucesión. Se dirá que F es de Cauchy si

(∀ε > 0)(∃N > 0) tal que (n,m ≥ N Ñ ‖F (n)− F (m)‖ < ε).

Esta condición es llamada condición de Cauchy, y por definición una sucesión es de Cauchy si ysolo si satisface la condición de Cauchy. Hay que precisar que no todas las sucesiones son de Cauchy, dehecho pronto serán caracterizadas aquellas que lo son. El criterio sería el mismo que el caso real, unasucesión es de Cauchy si y solo si es convergente. Primero se demuestra la implicación más sencilla.

( 2.3.12 ) Toda sucesión convergente es de Cauchy.

Sea (an)n∈N una sucesión en Rm la cual se supone convergente a a. Sea ε > 0 y N ∈ N tal quen ≥ N Ñ ‖an − a‖ ≤

ε2 . Entonces, de la desigualdad triangular, se deriva que para cualesquier n,m ≥ N

se debe cumplir que‖an − am‖ ≤ ‖an − a‖+ ‖am − a‖ ≤

ε2 + ε

2 = ε.

Lo cual concluye la demostración.

( 2.3.13 ) Considera la sucesión F definida por F (n) =Åpnn! ,

1n

ã, F es una sucesión de Cauchy.

Solo hay que ver que F es convergente. Observa que∞∑n=1

pnn! es convergente; en efecto, con aplicar

el criterio del cociente (ve (2.26)) se ve que

lımn→∞

pn+1

(n + 1)!pnn!

= lımn→∞

pn + 1 = 0,

lo cual dice que la serie∞∑n=1

pnn! converge y con esto se tiene que lım

n→∞

pnn! = 0. Por lo tanto, ambas

sucesiones son convergente y (2.3.12) concluye el ejercicio.

( 2.3.14 ) Sea F : N→ Rk una sucesión de Cauchy. Entonces F es convergente.

Se demostrará primero que toda sucesión de Cauchy en R es convergente. Entonces, sea (an)n∈Nuna sucesión de Cauchy en R. Existe un N > 0 tal que n,m ≥ N Ñ |an − am| ≤ 1. En particular,m ≥ N Ñ |am − aN | ≤ 1, de aquí que

|am| ≤ |am − aN |+ |aN | ≤ 1 + |aN |,

lo cual dice que los términos (ak)k≥N están acotados por 1+|aN |. Sea M = max|a1|, . . . , |aN−1|, 1+|aN |.Entonces, todos los elementos de la sucesión (an)n∈N están acotados por M. Se extraerá ahora una

46

2.4. Ejercicios.

subsucesión de (an) la cual resultará monótona. Se supone que hay una infinidad de términos en lasucesión que son distintos, en caso contrario, hay una infinidad de términos que coinciden y se definela subsucesión de tal forma que sea constante, por ende, convergente. Entonces, se puede suponer quehay una infinidad de términos de la sucesión que son más grandes que a1 (de lo contrario, hay unainfinidad de términos que son más pequeños y el argumento es el mismo). Sean n1 = 1 y define n2 comoel mínimo natural k > 1 tal que ak ≥ an1 . Se prodece inductivamente, definiendo nj+1 como el mínimonatural k > nj tal que anj+1 ≥ anj . Entonces, se definió una subsucesión (anj )j∈N la cual es monótonacreciente y acotada por M. Por lo tanto, ve (2.3.6), existe el límite de la subsucesión. Sea a = lım

j→∞anj .

Se demostrará que (an)n∈N converge a a. Para este efecto, dado ε > 0 existe un N ∈ N tal que si j ≥ Nentonces |anj −a| <

ε2 . Por la propiedad de Cauchy, existe un P ∈ N tal que n,m ≥ P Ñ |an−am| ≤

ε2 .

Sea entonces Q = maxN,P. Entonces, j ≥ Q Ñ |aj − a| ≤ |aj − anQ | + |anQ − a| ≤ ε puesto quenQ ≥M.

Se supone que F (n) =Äa(1)n , . . . , a(k)

nä

entonces por (2.3.8) basta demostrar que cada sucesiónÄa(i)nän∈N

es convergente. Si se demuestra que cada sucesiónÄa(i)nän∈N

es de Cauchy, se podrá concluir. ComoF es de Cauchy dado ε > 0 existe M > 0 tal que n,m ≥ M Ñ ‖F (n)− F (m)‖ < ε. Pero al ser,∣∣∣a(i)

n − a(i)m

∣∣∣ ≤ ‖F (n)− F (m)‖ para i = 1, . . . , k (ejercicio (1.20)) se tiene queÄa(i)nän∈N

es de Cauchy.

§ 2.4. Ejercicios.Resolver cada uno de los siguientes.

( 2.1 ) Sean f, g y h funciones tales que las composiciones h (f g) y (h f ) g están definidas. Entoncesh (f g) = (h f ) g.

( 2.2 ) Para que la función f sea inyectiva es necesario y suficiente que f−1(f (A)) = A para todo A ⊂ Dom (f ) .

( 2.3 ) Supón que f es una función que admite una inversa g entonces g es única. A tal función g se le denotarápor f−1.

( 2.4 ) Supón que f tiene inversa. Entonces f−1(A), es independiente de f y f−1. Esto es, x : f (x) ∈ A =f−1(x) : x ∈ A.

( 2.5 ) Supón que f : X → Y es una función invertible y E una “ecuación”. Sea S = x ∈ Dom (f ) : E(x) = 0entonces f (S) = y ∈ Y : E(f−1(y)) = 0.

( 2.6 ) Sea S = (x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)‖ = 1, el círculo unitario en R2. Considera la transformación linealT : R2 → R2 dada por T(x, y) = (3x + 2y, 5x − y), encuentra T(S) y T−1(S).

( 2.7 ) Sea P un plano en R2 y T : R2 → R2 una transformación lineal invertible. Demuestre que T(P) y queT−1(P) son planos.

( 2.8 ) Sea P un plano m dimensional en Rn(m ≤ n) y T : Rn → Rn una transformación lineal invertible.Demuestre que T(P) y T−1(P) son planos m dimensionales en Rn.

( 2.9 ) Sea P un plano m dimensional en Rn(m ≤ n). Encuentra T : Rn → Rn tal que T(P) no sea un plano mdimensional en Rn.

( 2.10 ) Demuestra el teorema (2.3.6). Puedes seguir las siguientes sugerencias.

1. Supón que (an) converge a a. Por definición, existe un N tal que n ≥ N Ñ |an − a| < 1. Entonces, salvoun número finito de elementos, todos los elementos de la sucesión están acotados por |a|+ 1.

47


2. Dado ε > 0 existe un N tal que n ≥ N Ñ |an − l| ≤ ε, |cn − l| ≤ ε. Concluye que l − ε ≤ an ≤ bn ≤cn ≤ l + ε para todo n ≥ N.

3. Supón que (an) es creciente. De la definición de supremo se deriva que dado ε > 0 existe un aN tal que0 ≤ sup

k∈Nak − aN ≤ ε. Por monotonía, n ≥ N Ñ |supk∈N ak − an| ≤ ε.

4. Nota que |a+ λb− an − λbn| ≤ |a− an|+ |λ||b− bn|, que |anbn − ab| ≤ |an − a||bn|+ |a||b− bn| ≤M|an − a|+ |a||b − bn|, donde M es una cota de la sucesión (bn). El cociente es más dificil,∣∣∣∣anbn − a

b

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣anb − abnbnb

∣∣∣∣ ≤ |an − a||b|+ |a||b − bn|m|b| ,

donde m > 0 es tal que para todo n grande m ≤ |bn|.

5. Basta ver que |r|n converge a cero. Entonces, dado 0 < ε < 1 se cumple que |r|n ≤ ε⇔ n log |r| ≤ logε.

6. Supón que p > 1 y que n√p = 1 + hn. Demuestra que (1 + hn)n ≥ 1 + nhn y concluye que hn → 0.

7. Es muy fácil.

8. Solo hay que notar que na = f (n) para f (x) = xa.

( 2.11 ) Sea F : N → Rm una sucesión y P ∈ Rm. Para que el límite de F sea P es necesario y suficiente quepara todo r > 0 existe N > 0 tal que si n > N entonces F (n) ∈ X ∈ Rm : ‖X − P‖ < r. Esto conduce a unainterpretación geométrica de que una sucesión converja a un punto P. Conforme n → ∞ todos los términos dela sucesión van atrapándose en las proximidades de P.

( 2.12 ) Sea F : N→ Rm una sucesión convergente a P ∈ Rm. Supón que Q ∈ Rm es un punto para el cual Ftambién converge a él entonces Q = P, esto demuestra que el límite de sucesiones es único, por lo que hablar deel límite de una sucesión sin ambigüedades.

( 2.13 ) Sean, f, g, h : N→ R3 dadas por

f (n) =Ç

sin(n)cos(n) ,

√3n + 2n , 2

n

å,

g(n) =Å

n√p, 1

np ,Å p

1 + p

ãnã, donde p > 0

y

h(n) =Å

n√n,√n2 + n − n, 3

n

n!

ã.

Determine si la convergencia de cada una de ellas. En caso de converger encuentra su límite.

( 2.14 ) Supón que F : N → Rm es una sucesión convergente y toma σ : N → N estrictamente creciente. De-muestre que f = F σ es convergente y que lım

n→∞f (n) = lım

n→∞F (n). Esto muestra que en sucesiones convergentes,

todas sus subsucesiones son convergentes y convergen al mismo límite.

( 2.15 ) Cierto o falso, dada una sucesión F tal que tiene una subsucesión convergente entonces F es convergente.

( 2.16 ) Cierto o falso, dada una sucesión F tal que todas sus subsucesiones son convergente entonces F esconvergente.

( 2.17 ) Cierto o falso, dada una sucesión F tal que todas sus subsucesiones poseen a la vez una subsucesiónconvergente entonces F converge.

48

2.4. Ejercicios.

( 2.18 ) Encuentra una subsucesión convergente de la sucesión dada. Las sucesiones están dadas por la imagende un punto n ∈ N arbitrario.

1. (n + (−1)nn, pn) , donde −1 < p < 1.

2.

(n2

3n ,n∑i=1

(−1)ii

).

3.

(1en

n∑i=1

2i, arctan(n)).

4.

( n∑i=1

(−1)iπ2i+1

(2i + 1)! ,n∑i=1

(−1)iπ2i

(2i)!

).

5.((−1)(−1)n , sin(nπ)

).

( 2.19 ) Considera F,G : N→ Rm dos sucesiones de Cauchy entonces la sucesión

‖F (n)−G(n)‖n∈N

es una sucesión real y convergente.Sugerencia: para demostrar esto utiliza la desigualdad del triángulo dando lugar a

‖F (n)−G(n)‖ ≤ ‖F (n)− F (m)‖+ ‖F (m)−G(m)‖+ ‖G(n)−G(m)‖

Con lo cual | ‖F (n)−G(n)‖ − ‖F (m)−G(m)‖ | es pequeño conforme n,m crecen.

( 2.4.1 ) Sea F : N→ Rm una sucesión y considera S : N→ Rm la sucesión dada por S(n) =n∑i=1

F (n) entonces

a S se le llama la sucesión de sumas parciales definida por F. Si S es convergente, a su límite se le denominaserie definida por F. Si S no es convergente, se dice entonces que la serie definida por F no converge o bien, quees divergente.

( 2.20 ) Demuestre con un ejemplo en R2 que existe una sucesión convergente cuya serie no converge.

( 2.21 ) Sea F : N → Rm una sucesión y S : N → Rm la serie definida por ella. Supón que S es convergenteentonces lım

n→∞F (n) = 0.

( 2.22 ) Una condición necesaria y suficiente para que la serie asociada a la sucesión F sea convergente es que

para todo ε > 0 existe un N ∈ N tal que si n y m son más grandes que N entonces

∥∥∥∥∥ n∑i=m

Fi

∥∥∥∥∥ < ε; el «criterio

de Cauchy» para convergencia de series.

( 2.23 ) Supón que F es una sucesión con valores en Rm. Si la serie numérica (‖F (n)‖)n∈N converge,∞∑n=1‖F (n)‖ <

∞, entonces la serie asociada a F converge.

( 2.4.2 ) Sea F una serie en Rm, se dice que F converge absolutamente si∞∑n=1‖F (n)‖ converge. Más aún, se dice

que F converge incondicionalmente si para cada biyección σ : N→ N se tiene que∞∑n=1

F (n) =∞∑n=1

F (σ (n)).

49


( 2.24 ) Una condición necesaria y suficiente para que una serie converja absolutamente es que cada una de lasseries coordenadas converja absolutamente.

( 2.25 ) Una condición necesaria y suficiente para que una serie converja absolutamente es que converja incondi-cionalmente.Sugerencia: utiliza que este resultado es cierto para el caso real.

( 2.26 ) Sean (an)n∈N y (bn)n∈N dos sucesión de número positivos.

1. Se supone que lımn→∞

an+1an

= a existe. Entonces, si a < 1, la serie converge; si a > 1, la serie diverge; si

a = 1, el criterio falla, esto es, hay series convergentes y divergentes para las que a = 1 (hay que dar unejemplo de cada una).

2. Si ahora se supone que lımn→∞

n√an = a existe, las conclusiones anteriores son las mismas.

3. Si lımn→∞

anbn

= l existe y l 6= 0 entonces la serie (an) converge si y solo si la serie (bn) también lo hace.

4. Si para cualquier n ∈ N se cumple que an ≤ bn entonces que la serie (an) diverja implica que la serie (bn)diverge y recíprocamente, que la serie (bn) converja implica que la serie (an) converge.

5. La series de la formaÅ 1np

ãdivergen para p ≤ 1 y convergen para p > 1.

Sugerencia: para la convergencia de las series n−p utiliza la definición de integral de Riemann para funcionesde R a R. Deberás notar que

m∫1

1xp dx ≤

m∑n=1

1np ≤ 1 +

m∫1

1xp dx.

Por lo tanto, la serie converge si y solo si la integral lo hace.

( 2.27 ) Determine la convergencia o divergencia de las siguientes series.

1.n∑i=1

Çe−ii ,

(−1)i sin( iπ2 )i

å.

2.n∑i=1

Ç1ip ,√i − 1i2

å.

3.n∑i=1

Çi − 1i ,√i2 − i + 1i2

å.

4.n∑i=1

Çpαi, (−1)i ln(i)

i

å, donde p > 0 y α ∈ R.

5.n∑i=1

Ç5i

7i + i2 ,i2 + 3i3i − i

å.

50

2.4. Ejercicios.

( 2.28 ) En R se tiene el orden dado por los números reales. En este caso se puede hablar de la divergencia a+∞ y a −∞ de las sucesiones. En efecto, se dice que lım

n→∞F (n) = +∞ si dado N > 0 existe M > 0 tal que

n ≤M Ñ F (n) > N, el caso lımn→∞

F (n) = −∞ es análogo. Ahora bien, en Rm no existe un orden como el de R

por lo que no hace sentido hablar de +∞ o de −∞, así que para generalizar esta idea, se dirá que F converge a∞ si ‖F (n)‖ converge a +∞. Demuestre que F : N → Rm converge a ∞ si y solo si alguna de sus sucesionescoordenadas lo hace.

( 2.29 ) El concepto de sucesión puede ser dado sobre cualquier conjunto A (ve (2.3.1)) mas no el de límite pueseste último requiere cierta noción sobre qué tan cerca o qué tan lejos se encuentran los elementos del conjunto.En general, se dirá que una sucesión (vn)n∈N en un espacio vectorial real y normado (V, ‖‖) converge en V siexiste un elemento v ∈ V tal que para todo ε > 0 existe un N(ε) > 0 tal que n ≥ N(ε) Ñ ‖vn − v‖ < ε. Elconcepto de subsucesión sí puede darse en general y el de sucesión de Cauchy necesita fuertemente la noción dedistancia.

Demuestra las siguientes propiedades, las cuales los análogos para las propiedades para R. En todos los casos,supón que (vn)n∈N y (wn)n∈N son dos sucesiones en el espacio vectorial normado y de dimensión finita (V, ‖‖), quev,w ∈ V son elementos cualesquiera, que (λn)n∈N es una sucesión en R y que λ ∈ R es un número cualquiera.

1. Si (vn)n∈N converge en V hacia los vectores v,w ∈ V entonces v = w.

2. Si (vn)n∈N converge en V (no importando a quien converja) entonces es una sucesión de Cauchy.

3. Si (vn)n∈N converge en V (no importando a quién converja) entonces es una sucesión acotada.

4. Si (vn)n∈N converge a v, (wn)n∈N a w y (λn)n∈N converge en R hacia λ entonces la sucesión (vn+λnwn)n∈Nconverge a v + λw.

5. Si (wn)n∈N es una subsucesión de (vn) entonces, que (vn)n∈N converja a v implica que (wn)n∈N tambiénconverge a v.

6. Si (vn)n∈N es convergente a 0 ∈ V y (λn)n∈N es acotada en R entonces (λnvn)n∈N también converge a0 ∈ V.

Sugerencia: para cada inciso se da una sugerencia.

1. Imita la demostración de (2.3.5).

2. Imita la demostración de (2.3.12).

3. Relee la demostración de (2.3.14), al principio de la demostración se prueba esta propiedad. Imita la prueba.

4. Nota que

‖vn + λnwn − (v + λw)‖ ≤ ‖vn − v‖+ ‖λnwn + λw‖≤ ‖vn − v‖+ ‖λnwn − λnw‖+ ‖λnw − λw‖= ‖vn − v‖+ |λn| ‖wn −w‖+ |λn − λ| ‖w‖ .

Luego, usarás que (λn) es acotada y que ‖w‖ es una constante.

5. Pues si ε > 0 existe un N ∈ N tal que n ≥ N Ñ ‖vn − v‖ ≤ ε. Ciertamente también se cumple quen ≥ N Ñ ‖wn − v‖ < ε, ¿por qué?

6. Sea M una cota de (λn). Entonces, ‖λnvn‖ ≤M ‖vn‖ .

51


52

Capítulo 3

• Topología de Rn.

Aquí se verán las propiedades más importantes sobre los subconjuntos de Rn para poder desarrollaradecuadamente el cálculo. En el siguiente capítulo se desarrollarán más propiedades sobre topologíade puntos en Rn. Esto será posible una vez que se hayan estudiado a las curvas en Rn.

§ 3.1. Subconjuntos de Rn.

A diferencia del cálculo de una variable en el que solo podían considerarse los intervalos, en Rn setiene una infinidad de posibilidades. Se empieza con la generalización de los intervalos. En R el intervalo[a, b] se definía como el conjunto de todos los números entre a y b incluyendo a los extremos. El análogoen Rn es, naturalmente, [a1, b1]× · · · × [an, bn] y a este conjunto se le llamará caja cerrada, rectángulocerrado, intervalo n-dimensional cerrado o inclusive policilindro cerrado1. En R2 se tiene una imagengeométrica del rectángulo cerrado, la cual es un rectángulo, el cual contiene a todos sus lados. Delmismo modo, en R3 la imagen geométrica de una caja cerrada es un paralelepípedo el cual contienetodas sus caras.

Del mismo modo que antes, se tiene una generalización natural del intervalo abierto, ¿puede adivinarcuál es? Al conjunto (a1, b1) × · · · × (an, bn) se le denomina caja abierta, rectángulo abierto, etcétera.Como en el caso del rectángulo cerrado se tiene una imagen geométrica del rectángulo abierto. En R2

se puede ver, igualmente, un rectángulo, mas esta vez no contiene sus lado y en R3 una caja que notiene a sus caras.

Los nombres de intervalo abierto y cerrado están muy relacionados con las imágenes geométricasde tales intervalos. Por ejemplo, ¿se ha preguntado alguna vez por qué al intervalo (a, b) se le llamaabierto? El adjetivo abierto surge del hecho que (a, b) no tiene bordes, es decir, estando dentro delintervalo se puede acercarse tanto a los extremos como se quiera sin llegar a estar en ellos. Intervaloscomo (−∞, a) y (a,∞) son abiertos. Como generalización natural, se dice que el conjunto A ⊂ R esabierto si nunca se tocan sus bordes; esto es, si dado un x ∈ A se puede hallar un δ > 0 tal que(x − δ, x + δ) ⊂ A. Observa que (x − δ, x + δ) = y ∈ R : d(x, y) < δ, en donde d es la distanciaeuclidiana. Este último conjunto ya no depende de la dimensión y está dispuesta a generalización.

( 3.1.1 ) Dado X en Rn, se llamará al conjunto

Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ < δ

1El término que se emplee para designarlo dependerá siempre del contexto.

53

Capítulo 3. Topología de Rn.

una bola abierta de radio δ centrada en X. Será denotada por B (X; δ)2.

Observación: La imagen geométrica en R2 de una bola abierta es un disco centrado en el punto dadoque no contiene a su círculo perimetral. En R3 se tiene un balón esférico sin cáscara.

La generalización natural es considerar ahora un conjunto arbitrario A ⊂ Rn y definir cuando A esabierto.

( 3.1.2 ) Sea A ⊂ Rn cualquiera. Se dirá que A es un conjunto abierto si para todo X en A existe un δ > 0 talque B (X; δ) ⊂ A.

Cabe la aclaración que la definión anterior es para conjunto abierto y que antes se definió bolaabierta. Obviamente los nombres parecen indicar que las bolas abiertas son conjuntos abiertos. Estoserá visto más adelante.

( 3.1.3 ) Para cada n ∈ N, Rn es abierto. Asimismo, el conjunto vacío es abierto.

Para verificar esto, sea X ∈ Rn y δ = 1, claramente B (X; δ) ⊂ Rn. Que ∅ sea abierto se sigue porvacuidad.

De este modo se extendió la definición de que un conjunto sea abierto partiendo de los intervalosen R a alguna colección de subconjuntos de Rn. Los ejemplos mostrados a continuación traen comoresultado que esta colección no es vacía.

( 3.1.4 ) Toda bola abierta es un subconjunto abierto de Rn.

Sea X ∈ Rn y M > 0, sea A = B (X;M) . Imagina lo que sucede en R2, tal vez esto sugiera qué haceren el caso general. En R2 se tiene que A es un disco de radio M y con centro en X. Se quiere ver quepara cualquier punto Y en el disco existe otro disco cuyo centro es el punto Y y que está completamentecontenido en el disco dado. Si se toma la recta que une X con Y y se ve que si se toma la diferenciaentre M y la distancia entre X y Y entonces la distancia menor de Y al borde del disco. Con estobastaría tomar el radio del disco centrado en Y como cualquier número positivo que sea menor que ladiferencia entre ambos. Se verá que esto funciona.

Sean Y ∈ A y r = M − ‖X − Y‖2 . Se define B = B (Y ; r) . Se quiere ver que B ⊂ A. Sea Z ∈ B. Por

construcción, ‖Z − Y‖ < r y se debe demostrar que ‖Z − X‖ < M ; esto sugiere usar la desigualdad deltriángulo.

‖Z − X‖ ≤ ‖Z − Y‖+ ‖Y − X‖ < r + ‖Y − X‖

= M − ‖X − Y‖2 + ‖Y − X‖ = M − ‖X − Y‖+ 2 ‖Y − X‖

2

= M + ‖Y − X‖2 < 2M

2 = M

Con la última desigualdad se ve que Z ∈ A, con lo cual B ⊂ A. Se concluye que toda bola abierta es unsubconjunto abierto.

El lector deberá buscar la forma de entender los argumentos geométricos empleados en esto ejem-plos. Una recomendación razonable es que en estos primeros ejemplos resueltos traiga una hoja depapel y realize el dibujo asociado a la demostración. Rápidamente notará que los argumentos siguenideas geométricas muy claras.

( 3.1.5 ) Todo rectángulo abierto en Rn es un subconjunto abierto.

2Muchos autores denotan al conjunto B (X; δ) como Bδ (x) o también N(X, δ), en donde N viene de la palabra neighborhood,la cual significa vecindad en inglés.

54

3.1. Subconjuntos de Rn.

Antes de iniciar la demostración conviene visualizar el problema en R2. Sean a1 < b1 y a2 < b2. Sedefine el rectángulo abierto

R = (x, y) ∈ R2 : x ∈ (a1, b1), y ∈ (a2, b2).

Se toma un punto fijo (x1, x2) en el rectángulo dado. Ahora se construye una bola de centro (x1, x2) queesté completamente contenida en el rectángulo. Lo más natural es intentar construir una bola de centro(x1, x2) y de radio r, donde r es menor a la distancia de (x1, x2) a los lados del rectángulo. Las distanciasde (x1, x2), en término de sus coordenadas, a los lados del rectángulo son x1−a1, b1−x1, x2−a2 y b2−x2.Se considera B la bola de radio r, el cual es igual a un medio del mínimo de estas distancias, y con centroen (x1, x2). Sea (x, y) un punto de B. Por ser (x, y) un punto de B se sabe que ‖(x, y)− (x1, x2)‖ < r. Porel ejercicio (1.20), se tiene que

|x − x1| ≤ ‖(x, y)− (x1, x2)‖ ≤ |x − x1|+ |y − x2|

y|y − x2| ≤ ‖(x, y)− (x1, x2)‖ ≤ |x − x1|+ |y − x2|.

Para probar que (x, y) está en R se tiene que ver que x ∈ (a1, b1) y que y ∈ (a2, b2). Se ilustra elcaso para x e inmediatamente después se prueba el caso general.

Para ver el caso de x simplemente se usarán propiedades del valor absoluto.

x − a1 ≤ |x − a1| = |x − x1 + x1 − a1| ≤ |x − x1|+ |x1 − a1|≤ ‖(x, y)− (x1, x2)‖+ x1 − a1 < r + x1 − a1

< b1 − x1 + x1 − a1 = b1 − a1.

La última desigualdad implica que x < b1. La otra desigualdad es análoga,

b1 − x ≤ |b1 − x| = |b1 − x + x1 − x1| ≤ |x1 − x|+ |b1 − x1|≤ ‖(x, y)− (x1, x2)‖+ b1 − x1 < r + b1 − x1

< x1 − a1 + b1 − x1 = b1 − a1

La última desigualdad implica que a1 < x, esto prueba que x ∈ (a1, b1) el caso para y es análogo.Ahora se da la prueba para n variables simultaneas. Sea R un rectángulo abierto de Rn y sea

X ∈ R. Por ser R un rectángulo abierto existen ai y bi tales que ai < bi, para todo i ∈ 1, · · · , n, yR = (a1, b1)× · · · × (an, bn). Como X ∈ R se tiene que xi ∈ (ai, bi), se define

r = 12 mınx − ai, bi − x : i = 1, · · · , n,

es decir, r es el menor que la mínima distancia de X a las “caras” de R. Sean B = B (X; r) y Y ∈ B,Y = (y1, . . . , yn). Para probar que Y está en R se tiene que verificar que yi ∈ (ai, bi) para cualquieri ∈ 1, · · · , n. Entonces, se repiten las desigualdades previas,

yi − ai ≤ |yi − ai| ≤ |yi − xi + xi − ai| ≤ |yi − xi|+ |xi − ai|≤ ‖Y − X‖+ xi − ai < r + xi − ai< bi − xi + xi − ai = bi − ai

de este modo, yi < bi para cada i ∈ 1, . . . , n. Análogamente ai < yi, esto prueba que R es abierto. El lector ya habrá notado que detrás de estos ejemplos existen muchos argumentos geométricos.

Las propiedades de R,R2 y R3 sugieren cómo atacar el caso n dimensional.A continuación se extenderá la definición de intervalo cerrado a la de subconjunto cerrado de Rn.

Intuitivamente, un conjunto abierto no contiene sus bordes y un conjunto cerrado habrá de contenerlos,es decir, contiene lo que no contiene el abierto. Por lo que es razonable la siguiente definición.

55


( 3.1.6 ) Sea A ⊂ Rn. Se dirá que A es un conjunto cerrado si el conjunto RnA = Rn \ A es abierto.

( 3.1.7 ) Tanto como Rn y ∅ son abiertos y cerrados. En cambio, Q no es ni abierto ni cerrado.

Dado que Rn es abierto, se sigue, de esta definición, que el vacío, ∅, es cerrado, pues ∅ = Rn \Rn.El mismo argumento muestra que Rn es abierto y cerrado al mismo tiempo. Que Q no es abierto nicerrado se sigue que entre cada dos número reales x < y existen x ≤ u, v ≤ y con u ∈ Q y v /∈ Q.

Para lo que sigue es necesaria la definición de conjunto denso.

( 3.1.8 ) Sea S un subconjunto de Rn. Se dirá que A ⊂ S es denso en S si para todo r > 0 y para todo X ∈ Sexiste Y ∈ A ∩ B (X; r) .

Es claro que la definición precedente es equivalente a la siguiente proposición. La demostración sedeja de ejercicio al lector.

( 3.1.9 ) Sea S ⊂ Rn. Entonces A es denso en S si y solo si para todo r > 0 y todo X ∈ S existe Y ∈ A con‖X − Y‖ < r.

Dado r > 0 y t ∈ T existe s ∈ S con ‖t − s‖ ≤ r2 . Para este s ∈ S particular y este r > 0 existe

a ∈ A con ‖s − a‖ ≤ r2 . La desigualdad del triángulo conduce a ‖t − a‖ ≤ r. Con esto, formalizando los

detalles, se demuestra el siguiente resultado.

( 3.1.10 ) Sean A, S y T tales que A es denso en S y S denso en T. Entonces A es denso en T.

El siguiente teorema es conocido del cálculo elemental. Se omite su demostración pues cae fueradel contexto de este libro. Una demostración de este hecho se puede encontrar en [16].

( 3.1.11 ) El conjunto Q es denso en R.

Asimismo, ahora es fácil demostrar que R \ Q es denso en R (ejercicio (3.1)), se utilizará esto másadelante.

( 3.1.12 ) Sea A ⊂ [0, 1] subconjunto cerrado de R tal que para todo r ∈ [0, 1]∩Q, r ∈ A. Entonces [0, 1] = A.

Se sabe que R \A es abierto y que [0, 1]∩Q ⊂ A. De este modo, basta probar que todo irracional en[0, 1] es elemento de A. Sea x ∈ [0, 1] \Q, y supón que x /∈ A entonces x ∈ R \A. Por tanto, existe ε > 0tal que B (x;ε) ⊂ (R \ A) ∩ [0, 1]. Esto equivale a decir que todos los puntos en B (x;ε) son irracionales,pero se sabe que Q es un conjunto denso sobre R y, en particular, sobre [0, 1] (ejercicio 3.2). Como Qes denso en [0, 1] existe algún racional en B (x;ε) contradiciendo la hipótesis que R \ A es abierto, portanto x ∈ A. Esto prueba que [0, 1] ⊂ A.

Faltan unos términos por definir. Éstos son el interior, la frontera y el exterior de un subconjuntoA ⊂ Rn. Resulta natural la siguiente pregunta: ¿qué debería ser el interior, la frontera y el exterior deun subconjunto de Rn? Considera R e I ⊂ R un intervalo. Entonces, la frontera de I es el conjunto depuntos tales que para toda bola centrada en ellos existe un punto del intervalo en la bola y un puntodel complemento del intervalo en la bola. Ahora la definición deja de depender de la dimensión.

( 3.1.13 ) Dado un subconjunto A ⊂ Rn la frontera de A, denotada como ∂A, es el conjunto de X en Rn talesque para todo ε > 0 se tiene que existe Y ∈ A y Z ∈ Rn \ A tal que Y ∈ B (X;ε) y Z ∈ B (X;ε) .

¿Puede el lector definir qué es el exterior y el interior de A? Aunque ya es posible para el lectordar una definición formal para tales conceptos, para evitar cualquier ambigüedad han sido incluidaslas definiciones aquí. Primero se nota que el interior, como su nombre sugiere, es aquello que estácompletamente contenido dentro del conjunto. El exterior es análogo, el conjunto de puntos para loscuales existe una bola cuya intersección con el conjunto dado es vacía.

56

3.1. Subconjuntos de Rn.

( 3.1.14 ) Dado un subconjunto A ⊂ Rn el interior de A, denotado como ÛA, es el conjunto de X en Rn tales queexiste algún ε > 0 para el cual B (X;ε) ⊂ A. El exterior de A, denotado como ext A, es el conjunto de puntosX en Rn para los cuales existe ε > 0 tal que B (X;ε) ⊂ RnA.

( 3.1.15 ) Para cualquier subconjunto de Rn, su interior y su exterior son conjuntos disjuntos. Más aún, el interior,

exterior y frontera son conjuntos disjuntos dos a dos y forman una partición de Rn. Esto es, Rn = ÛA∪∂A∪ext Apara cualquier A ⊂ Rn.

Esta afirmación es inmediata de la definición, queda a cargo al lector la demostración en los ejerci-cios.

( 3.1.16 ) Determine el interior, exterior y la frontera del conjunto Sn−1, el cual está definido como X ∈ Rn :‖X‖ = 1.

Este conjunto es muy “delgado” en el sentido que en R2 corresponde a los puntos sobre un círculoy en R3 a la cáscara de una balón esférico. Es natural pensar que no tiene puntos interiores. De estemodo tiene sentido pensar que el interior es vacío, el exterior es Rn menos el conjunto dado, esto esque el conjunto dado es su frontera.

Sean X tal que ‖X‖ = 1 y r > 0. Existe Y ∈ B (X; r) con ‖Y‖ 6= ‖X‖ ; de hecho, sea L la recta que pasapor el origen en dirección de X, es decir, L = tX : t ∈ R, para Y = X + r

2X se tiene que ‖X − Y‖ < rpero ‖X‖ 6= ‖Y‖ . De este modo la bola contiene puntos del conjunto, a saber X, y puntos fuera delconjunto, Y. Luego, el conjunto dado está contenido en su frontera, Sn−1 ⊂ ∂Sn−1.

Se supone ahora que X está en la frontera del conjunto. Si ‖X‖ 6= 1 entonces es mayor o menor. Sedemostrará el caso cuando ‖X‖ > 1 y se dejarán los detalles al lector para el caso ‖X‖ < 1. Se suponeque ‖X‖ = δ > 1, y se considera Y en la bola centrada en X de radio δ − 1

2 . Se cumple que

‖X‖ ≤ ‖Y‖+ ‖Y − X‖ ≤ ‖Y‖+ δ − 12 ,

usando la desigualdad del triángulo (ve (1.4.2)). Despejando ‖Y‖ , se ve que

‖Y‖ ≥ ‖X‖ − δ − 12 = δ − δ − 1

2 = δ + 12 > 1.

Por tanto, existe una bola centrada en X que no contiene puntos del conjunto. Esto implica que X noestá en la frontera y, por tanto, ‖X‖ no es mayor a uno. El razonamiento para el caso menor es análogo.De este modo, la norma de X es uno. Así, el conjunto y su frontera coinciden.

Del ejemplo anterior es razonable pensar que si B′ (X; r) = Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ ≤ r entonces∂B′ (X; r) = Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ = r. Al conjunto B′ (X; r) se le conoce como bola cerrada de centro Xy radio r. El siguiente ejemplo confirma nuestra intuición.

( 3.1.17 ) Sea B′ (X; r) ⊂ Rn la bola cerrada de centro X y radio r. Determine quienes son los conjuntos˚ B′ (X; r) ,

ext B′ (X; r) y ∂B′ (X; r) .

Observa que B (X; r) ⊂ B′ (X; r) , como B (X; r) es un conjunto abierto se tiene que

B (X; r) ⊂˚ B′ (X; r) .

Lo cual es consecuencia directa de las definiciones. Se supone ahora que Y ∈˚ B′ (X; r) . Claramente,

Y ∈ B′ (X; r) , por lo tanto, ‖X − Y‖ ≤ r. Se verá a continuación que

‖X − Y‖ = r ⇔ Y ∈ ∂B′ (X; r) ,

57


de lo cual se seguirá que

Y ∈˚ B′ (X; r)Ñ ‖X − Y‖ < r,

y, por lo tanto,˚ B′ (X; r) = B (X; r) .

Se afirma que ∂B′ (X; r) = Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ = r. Sea Y ∈ ∂B′ (X; r) , supón que ‖X − Y‖ < r

entonces Y ∈˚ B′ (X; r) y, por tanto, Y /∈ ∂B′ (X; r) . De este modo, ‖X − Y‖ ≥ r. Para verificar la igualdad

se procederá por contradicción. Se supone que ‖X − Y‖ > r entonces como Y ∈ ∂B′ (X; r) cualquier bolacentrada en Y contendrá un punto de B′ (X; r) , tal punto no es Y pues al ser ‖X − Y‖ > r, Y /∈ B′ (X; r) .Sea

Z ∈ BÅY ; ‖X − Y‖ − r2

ã∩ B′ (X; r) ,

entonces‖Y − X‖ ≤ ‖Z − X‖+ ‖Z − Y‖ < ‖Z − X‖+ ‖X − Y‖ − r2 ,

utilizando la desigualdad del triángulo. Luego,

‖Z − X‖ > ‖Y − X‖ − ‖X − Y‖ − r2 = ‖X − Y‖+ r2 > r.

Entonces, Z /∈ B′ (X; r) , contradicción a que Y ∈ ∂B′ (X; r) . Por lo tanto, ‖X − Y‖ = r, esto demuestraque ∂B′ (X; r) ⊂ Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ = r.

Se demuestra ahora la otra contenencia. Sea Y ∈ Rn con ‖X − Y‖ = r, se verá que Y ∈ ∂B′ (X; r) .Para esto, dada cualquier bola B (Y ; δ) se debe exhibir un elemento Z ∈ B′ (X; r)∩B (Y ; δ) y un elementoZ ∈ B′ (X; r) ∩ B (Y ; δ) . Claramente, Y ∈ B′ (X; r) ∩ B (Y ; δ) , de esto, basta exhibir un elemento Z ∈B′ (X; r) ∩ B (Y ; δ) . Se considera la recta L que pasa por X y Y, esto es, la recta que pasa por X endirección de Y − X. Se puede ver que L = X + t(Y − X) : t ∈ R. Entonces, para t = 1 + δ

2r el puntoZ = X + t(Y − X) está en B′ (X; r) . En efecto, basta calcular la distancia entre X y Z, esta es,

‖Z − X‖ = ‖t(Y − X)‖ = t ‖Y − X‖ = tr > r,

pues t > 1. Por lo tanto, Z ∈ B′ (X; r) . Ahora bien,

‖Z − Y‖ = ‖tY − (t − 1)X − Y‖ = (t − 1) ‖X − Y‖ = δr2r < δ

Luego, Z ∈ B (Y ; δ) Esto demuestra que Y ∈ ∂B′ (X; r) . Por lo tanto,

∂B′ (X; r) = Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ = r.

Finalmente, ext B′ (X; r) = Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ > r, esto es cierto pues Rn está partido de la siguienteforma

Rn = Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ < r ∪ Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ = r ∪ Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ > r

y

Rn =˚ B′ (X; r) ∪ ∂B′ (X; r) ∪ ext B′ (X; r) ,

con ambas particiones disjuntas. Al ser

˚ B′ (X; r) = Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ < r

58

3.2. Propiedades de la topología de Rn.

y∂B′ (X; r) = Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ = r,

no queda de otra más que ext B′ (X; r) = Y ∈ Rn : ‖X − Y‖ > r. No siempre es fácil visualizar quién es la frontera de un conjunto dado. Por ejemplo, considera

A = [0, 1] ∩ Q ⊂ R. Entonces para x ∈ A se tiene que toda bola de centro x tiene puntos racionales eirracionales pues Q ⊂ R y R \ Q ⊂ R son conjuntos densos de R. Entonces A ⊂ ∂A, esto demuestraque ÛA = ∅. Ahora bien, como A ⊂ [0, 1] es fácil pensar que ∂A = [0, 1]. Es cierto, se dejan los detallesal lector.

( 3.1.18 ) Sea Qn = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : xi ∈ Q, i = 1, . . . , n. Determine el interior, exterior y la frontera deeste conjunto.

Visualizar este conjunto es difícil. Dado que Q ⊂ R es denso en R, se deja de ejercicio verificar queQn es denso en Rn. Se afirma que Qn es denso en Rn. En efecto, sea X ∈ Rn. Si X ∈ Qn entonces nohay nada que demostrar, se supone que X ∈ Qn y sea r > 0. Se considera x1 la primera coordenada deX entonces como Q es denso en R existe y ∈ Q tal que |x1 − y| < r. Sea Y = (y, x2, . . . , xn) entoncesY ∈ Qn y ‖X − Y‖ = |x1 − y| < r. Esto demuestra que Qn es denso en Rn.

Ahora es fácil demostrar que el conjunto dado esta contenido en su frontera. En efecto, dado X ∈ Qn

y r > 0 existe Y ∈ Qn tal que ‖X − Y‖ < r, con lo cual Qn ⊂ ∂Qn. Esto muestra que ÙQn = ∅, de maneraanáloga, usando la densidad de Qn en Rn se demuestra que Rn ⊂ ∂Qn. Luego, Rn = ∂Qn, ÙQn = ∅ yext Qn = ∅.

En el último ejemplo la frontera era todo Rn. Este resultado puede resultar sorprendente. Cuandose habla por primera vez de la frontera de un conjunto lo primero que uno imagina es un conjuntomuy “delgado”, esto sucedía en las bolas abiertas. Pero ver que la frontera de un conjunto puede sertodo el espacio puede traer sorpresas inesperadas.

§ 3.2. Propiedades de la topología de Rn.Ahora se desarrollará teoría en general sobre conjuntos abiertos y cerrados. Primero que nada se

empezará con uniones e intersecciones de conjuntos abiertos y cerrados. Luego se podrá clasificar lafrontera, el interior y el exterior de un conjunto arbitrario. Esto es, se verá que la frontera de todoconjunto es un conjunto cerrado y que el interior y exterior son conjuntos abiertos.

( 3.2.1 ) Sea (Aα)α∈Λ una familia de subconjuntos abiertos de Rn entonces su unión es un conjunto abierto.

Sea A =⋃α∈Λ

Aα. Se quiere ver que A es abierto. Sea X ∈ A. Por definición, existe α ∈ Λ tal que

X ∈ Aα. Como Aα es abierto, existe δ > 0 tal que B (X; δ) ⊂ Aα ⊂ A y por tanto A es abierto. En particular, la unión arbitraria de bolas y rectángulos abiertos es un abierto. Pronto el lector

descubrirá otros conjuntos abiertos.

( 3.2.2 ) La intersección finita de conjuntos abiertos es abierto.

Para facilitar la demostración se usará inducción matemática. Se empieza definiendo el conjunto Hal que le será aplicado el teorema de inducción. Sea

H = n ∈ N : la intersección de n conjuntos abiertos es un abierto.

Hay que demostrar dos cosas, que 1 ∈ H y que n ∈ H Ñ n + 1 ∈ H . Con esto, H = N, de aquí quela intersección finita de cualquier número de abiertos es abierto.

59


Primero se verá que 1 ∈H . Sea A un conjunto abierto. Entonces A es abierto y, por tanto, 1 ∈H .Se necesitará el caso n = 2. Sean A1 y A2 dos conjuntos abiertos. Sea x un elemento en A1 ∩ A2. Porser A1 y A2 conjuntos abiertos de Rn existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que B (x; δi) ⊂ Ai para i = 1, 2. Seaδ = mınδ1, δ2, basta un segundo para darse cuenta que B (x; δ) ⊂ B (x; δ1) y que B (x; δ) ⊂ B (x; δ2) .Por tanto, B (x; δ) ⊂ A1 ∩ A2. De este modo, 2 ∈H .

Se verá ahora que m ∈ H Ñ m + 1 ∈ H . Se supone que existe un m ∈ N para el cual, m ∈ H .Sean A1, . . . , Am conjuntos abiertos de Rn entonces

A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Am+1 = (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Am) ∩ Am+1

Se está suponiendo que m ∈ H luego, el conjunto A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Am es abierto. Al haber demostrado

que 2 ∈ H , se sigue quem+1⋂i=1

Ai es un conjunto abierto. Por lo tanto, m ∈ H Ñ m + 1 ∈ H . Por el

teorema de inducción matemática H = N. El lector estará preguntándose, ¿por qué una intersección finita? La respuesta la encontrará en el

siguiente ejemplo.( 3.2.3 ) Existe una familia infinita, de hecho enumerable, de conjuntos abiertos en Rn tales que su intersecciónno es abierto.

Lo más sencillo y fácil de visualizar es trabajar en R, cuando n = 1. Sea ε > 0 y se define la familia(Bk(ε))k∈N por

Bk(ε) =Å

0, ε + 1k

ãDe este modo, la intersección de la familia es

∞⋂k=1

Bk(ε) =∞⋂k=1

Å0, ε + 1

k

ã= (0, ε]

el cual no es un conjunto abierto, pues para el punto ε no existe una bola centrada en él completamentecontenida en el intervalo.

En virtud de (2.2.8) se obtienen reglas análogas para complementos.( 3.2.4 ) La unión finita de conjuntos cerrados es cerrado.

Se usará (3.2.2), sean C1, . . . , Cm conjuntos cerrados de Rn entonces cada Ci es abierto. Se tiene

quem⋂i=1Ci es abierto, luego

[ m⋃i=1

Ci

]=

m⋂i=1Ci,

que es abierto. Por definición de cerrado,m⋃i=1

Ci es cerrado.

( 3.2.5 ) La intersección de conjuntos cerrados es cerrado.

Sea (Aα)α∈Λ una familia de subconjuntos cerrados de Rn; es decir, cada Aα es abierto. Solo hay que

ver que (⋂α∈Λ

Aα

)es abierto. De nueva cuenta, en virtud de (2.2.8)

(⋂α∈Λ

Aα

)=⋃α∈ΛAα

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y, en virtud de (3.2.1), se concluye que la intersección de conjuntos cerrados es cerrado.

Dado un conjunto A ⊂ Rn existen tres conjuntos ligados íntimamente a A. Estos son el interior, ÛA, lafrontera, ∂A, y el exterior, ext A. Con los pocos teoremas que se tienen a mano ya se tienen condicionespara clasificar la frontera, el interior y el exterior de un conjunto de Rn como conjuntos abiertos ocerrado.

( 3.2.6 ) Sea A ⊂ Rn no vacío. Entonces se cumple que su interior, ÛA, es abierto, su exterior, ext A, es abiertoy su frontera, ∂A, es cerrado.

Primero se demostrará que para todo A ⊂ Rn, ÛA es abierto. Es cuestión de lenguaje notar que elinterior es ÛA = X ∈ Rn : ∃r > 0 y B (X; r) ⊂ A.

Para demostrar que ÛA es abierto hay que demostrar que para todo X ∈ ÛA existe r > 0 tal que B (X; r) ⊂ ÛA.Se observa que si ÛA es vacío entonces es abierto por vacuidad. Se supone que X ∈ ÛA y r > 0 tal queB (X; r) ⊂ A. Se afirma que B (X; r) ⊂ ÛA. Supón que Y ∈ B (X; r) , como B (X; r) es abierto, existe r′ talque B (Y ; r′) ⊂ B (X; r) ⊂ A. De este modo, Y ∈ ÛA y, por tanto, B (X; r) ⊂ ÛA. Es decir, ÛA es un conjuntoabierto.

Se ve ahora que ext A es abierto. Por definición, se tiene que

ext A =X ∈ Rn : ∃r > 0 y B (X; r) ⊂ A

.

El resto de la demostración es análoga a la de ÛA.Finalmente, se ve que ∂A es cerrado. Basta ver que ∂A es abierto. Como ∂A∩ ÛA = ∂A∩ext A = ∅ y

Rn = ∂A∪ ÛA∪ ext A se sigue que ∂A = ÛA∪ ext A, el cual es un conjunto abierto. Con esto se concluyela demostración del teorema.

En ocasiones se trabaja con subconjuntos de Rn para los cuales no se sabe si son abiertos, cerradoso ninguno. En caso que se quiera trabajar con el conjunto abierto más grande que está contenido enel conjunto dado se usa su interior. Si se quiere trabajar con el conjunto cerrado más pequeño quecontenga al conjunto dado, se debe trabajar con la unión del conjunto y su frontera. Éste conjuntorecibe un nombre especial, la cerradura.

( 3.2.7 ) Dado un conjunto A ⊂ Rn se define la cerradura de A, denotada por A, como A ∪ ∂A.

A continuación se demostrará una propiedad que caracteriza a los conjuntos cerrados. Lo que diráel siguiente teorema es, los conjuntos cerrados son aquellos que contienen a su frontera. El teorema esde demostración sencilla, pero tiene un detalle técnico importante, se usa la definición de punto límite.

( 3.2.8 ) Sea A ⊂ Rn y P ∈ Rn. Se dirá que P es punto de acumulación de A si toda bola centrada en P tienealgún punto de A distinto de P.

( 3.2.9 ) Sean A ⊂ Rn y P ∈ ÛA. Entonces P es un punto de acumulación de A.

Existe una bola B (P; r) ⊂ A y sea B es una bola centrada en P entonces se puede encontrar otrabola B (P; δ) tal que B (P; δ) ⊂ B ∩ B (P; r) (pues la intersección de abiertos es abierto). Para cons-truir un Q distinto de P tal que Q ∈ B (P; δ) se observa lo siguiente, pon P = (p1, . . . , pn) y seaQ =

Åp1 + δ

2 , p2, . . . , pnã, es claro que ‖P −Q‖ = δ

2 , por lo que Q 6= P y Q ∈ B (P; δ) , mostrandoque P es punto de acumulación de A.

61


( 3.2.10 ) Sea B una bola en Rn, ya sea abierta o cerrada. Entonces todos los puntos de ∂B son puntos deacumulación de B.

En efecto, ya se sabe que ∂B = X ∈ Rn : ‖X − P‖ = r (ve (3.2.6)), en donde P es el centro de la bolay r su radio. Sea Y ∈ ∂B; esto es, ‖Y − P‖ = r. Considera una bola B (Y ; δ) y, sin perder generalidad,supón que δ < r. Define Z = P +

ïr − δ

2

ò Y − Pr (geométricamente, Z es un punto sobre el segmento

que una a P con Y ), se ve que ‖Z − P‖ = r − δ2 < r, con lo que Z ∈ B. Por otro lado,

‖Z − Y‖ =∥∥∥∥P − Y +

ïr − δ

2

ò Y − Pr

∥∥∥∥ = δ2r ‖Y − P‖ = δ

2 < δ,

mostrando que Z ∈ B (Y ; δ) , con lo cual, se concluye lo afirmado.

( 3.2.11 ) En general no es cierto que los puntos frontera de un subconjunto dado en Rn sean puntos deacumulación de este conjunto.

Considera, por ejemplo, A = (0, 1) ∪ 2 ⊂ R entonces ∂A = 0, 1, 2 pero 2 no es un punto deacumulación de A.

( 3.2.12 ) Sea A ⊂ Rn no vacío. Se dirá que P ∈ A es punto aislado de A si existe r > 0 y B (P; r) ∩ A = P.

Un término relacionado con los dos anteriores es el de punto límite.

( 3.2.13 ) Sea A un subconjunto de Rn. Se dirá que P ∈ Rn es un punto límite de A si existe una sucesión(Pn)n≥1 definida en A tal que lım

n→∞Pn = P.

( 3.2.14 ) Sea P un punto aislado de A. Entonces P es punto límite de A.

En efecto, se tiene forzosamente que P ∈ A, por lo que se puede definir Pn = P para cada n ∈ N y,claramente, lım

n→∞Pn = P.

( 3.2.15 ) Si P es de acumulación de A ⊂ Rn entonces es punto límite de A.

Para verificar esto se observa que si P ∈ A entonces se pone Pn = P y esto concluye el caso. Si P /∈ Aentonces para cada n ∈ N existe, por la definición de punto de acumulación, un punto Pn ∈ B

ÅP; 1n

ã∩A.

La sucesión (Pn)n≥1 es convergente a P pues ‖Pn − P‖ = 1n converge a cero.

( 3.2.16 ) Si P es un punto límite de A entonces P o es un punto aislado de A o es un punto de acumulación deA.

En efecto, se divide la prueba en dos casos: cuando P es punto aislado y cuando no lo es. Si Pes aislado no hay que demostrar nada, por lo que se supone que no lo es. Hay una sucesión (Pn)n∈Ndefinida en A tal que converge a P. Tal sucesión no deviene constante en ningún momento puesto queP /∈ A. Sea ε > 0. Hay un N ∈ N tal que n ≥ N Ñ ‖Pn − P‖ < ε; esto es, PN ∈ B (P;ε) y, ciertamente,PN es distinto de P.

( 3.2.17 ) Sea A ⊂ Rn. Para que A sea cerrado es necesario y suficiente que A contenga a todos sus puntoslímite (de acumulación).

62


Como todo punto límite o es de acumulación o aislado y, al ser los puntos aislados de A necesaria-mente elementos de A, basta dar la demostración para el caso de punto de acumulación. Ahora bien,la demostración consta de dos pasos; primero se supondrá que A es cerrado y se verificará que Acontiene a todos sus puntos de acumulación y, segundo, se demostrará que si A contiene a todos suspuntos de acumulación entonces A es cerrado.

Supón que A es cerrado y sea x un punto de acumulación de A. Se sabe que, por definición, A esabierto, como x es punto de acumulación de A, cada bola centrada en x intersecta a A y, por ende, noexiste una bola centrada en x que esté contenida en A, mostrando que x /∈ A. Como x /∈ A, x ∈ A.Se supone ahora que A contiene a todos sus puntos de acumulación. Para ver que A es cerrado setiene que probar que A es abierto. Sea x ∈ A, como x no es punto de acumulación de A se siguedirectamente de la definición que existe algún r > 0 tal que B (x; r) está contenido en A, por tanto Aes abierto.

Ahora se caracterizarán a los conjuntos cerrados. Para esto, se demostrarán otras propiedades depuntos límite. Observa que un punto límite de A es un punto “cercano” a A, de este modo, si P es puntolímite de A∪B es razonable pensar que P es “cercano” a A o a B. Esto queda formalmente demostradoen la siguiente proposición.

( 3.2.18 ) Sean A y B dos subconjuntos de Rn. Si para X ⊂ Rn se denota por X′ a los puntos límite (deacumulación) de X entonces, el siguiente resultado se verifica: (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′.

Como todo punto límite es o de acumulación o aislado y los puntos aislados de A∪B necesariamentepertenecen a A ∪ B basta dar la demostración para el caso de punto de acumulación. Sea P ∈ (A ∪ B)′.Dado r > 0 el conjunto B (P; r) contiene un punto de A ∪ B que no es P. Por ende, P es punto deacumulación de A o de B.

Recíprocamente, se considera P ∈ A′ ∪B′, se puede suponer sin perder generalidad, que P ∈ A′. Dela definición de punto de acumulación, se obtiene que para cualquier r > 0 existe un Q que no es Pcon Q en A y ‖P −Q‖ < r. Luego, Q ∈ A ∪ B, con lo que P ∈ (A ∪ B)′.

Armados con la intuición de que los puntos límite son aquellos que están cerca del conjunto, seconjetura que si A es un subconjunto de Rn y B denota el conjunto de puntos límite de A entonces elconjunto de puntos límite de B está contenido en B. Para demostrar esto se utilizará el teorema (3.2.17),obteniendo que basta demostrar que B es cerrado.

( 3.2.19 ) Sea A ⊂ Rn y B el conjunto de puntos límite de A entonces B es cerrado.

Al igual que los teoremas previos, basta ver que los puntos de acumulación de B también son puntosde acumulación de A. Sea P un punto de acumulación de B entonces para demostrar que P ∈ B sedebe ver que P es un punto de acumulación de A. Para r > 0 dado existe un Qr tal que Qr no es P yQr ∈ B (P; r) ∩ B. Se define δ = 1

2 mınr − ‖P −Qr‖ , ‖P −Qr‖ entonces B (Qr ; δ) ⊂ B (P; r) . Observaque P /∈ B (Qr ; δ) , pues ‖P −Qr‖ > δ. Ahora bien, puesto que Qr ∈ B se sigue que existe R ∈ A conR 6= Qr y ‖Qr − R‖ < δ. Entonces, R ∈ B (P; r) , y R 6= P, por lo tanto, P ∈ B. Esto demuestra que B escerrado.

Es importante recordar cómo se tomó δ en el teorema anterior. Era fundamental asegurar queP 6= Qr y que P 6= R.

( 3.2.20 ) Sea A ⊂ Rn. Entonces A es un subconjunto cerrado de Rn.

Para demostrar esto se debe verificar que A contiene a todos sus puntos límite, recuerda (3.2.17).Pero al ser A = A ∪ ∂A, se obtiene que el conjunto de los puntos límite de A es la unión de los puntoslímite de A y los de ∂A (ve (3.2.18)). Pero como ∂A es cerrado, se sigue que contiene a sus puntos límite.Luego, basta demostrar que los puntos límite de A están contenidos en A ∪ ∂A.

63


Sea P un punto límite de A. Si P es aislado no hay nada que demostrar, por lo que se supone quees de acumulación. Si P no está en A entonces necesariamente P ∈ ext A3, mostrando que existe unabola centrada en P que no toca a A, contradicción con que P sea punto de acumulación de A.

§ 3.3. El teorema de Borel-Lebesgue.Continuando con el estudio de subconjuntos de Rn ha llegado el punto de comenzar a definir una

nueva clase de conjuntos, los cuales son de gran importancia.

( 3.3.1 ) Sea A ⊂ Rn y O una cubierta de A (ve (2.2.6)) tal que satisface que para todo U ∈ O se tiene que Ues abierto. Se dirá entonces que O es cubierta abierta de A.

La siguiente definición está dada en términos algo técnicos y define una nueva clase de conjuntos,los cuales no suelen estudiarse en R. Aunque la definición es bastante complicada de verificar, se veráque la colección de estos conjuntos es suficientemente grande.

( 3.3.2 ) Sea A ⊂ Rn cualquiera. Se dirá que A es un conjunto compacto si para toda cubierta abierta O de Aexiste un subfamilia finita de O tal que sea cubierta abierta de A.

( 3.3.3 ) El vacío es un conjunto compacto.

Pues de toda cubierta abierta del vacío siempre se puede tomar un elemento de dicha cubierta y talelemento cubre al vacío.

( 3.3.4 ) Sea A = (0, 1) intervalo abierto y considera la familia

O =ÅÅ

0, 1− 1n

ããn∈N

,

O cubre a A.

Para ver que satisface la definición se tiene que tomar un elemento de A y ver que puede serincluido en algún elemento de O. Sea x en A entonces x ∈ (0, 1) y por tanto 0 < 1 − x < 1. Se sabeque existe un n ∈ N tal que n < 1

1− x < n + 1, de este modo, 1n + 1 < 1− x < 1

n o, equivalentemente,

−1 + 1n + 1 < −x < −1 + 1

n . Multiplicando la última desigualdad por menos uno se obtiene que

1− 1n + 1 > x > 1− 1

n > 0 y, por tanto, x ∈Å

0, 1− 1n + 1

ã. Como x fue arbitrario, O es una cubierta

abierta de A. Se afirma ahora que no existe un subconjunto finito de O tal que cubra a A. La prueba se deja de

ejercicio. Una vez que se haya probado esta afirmación habrá quedado demostrado que el intervalo(0, 1) no es compacto.

( 3.3.5 ) Sea ∞ < a ≤ b <∞, el intervalo cerrado [a, b] es compacto; el «teorema de Borel-Lebesgue».

Se aplica un estilo de demostración clásica del cálculo. Si a = b el resultado es trivial pues Aconsta de solamente un punto, de este modo se supondrá que a < b. Se tiene que probar que para todacubierta de [a, b] siempre se puede tomar un subconjunto finito de la cubierta tal que el subconjuntosiga siendo cubierta de [a, b]. Sea O una cubierta abierta de [a, b] y sea

A = x ∈ [a, b] : [a, x] es cubierto por un número finito de elementos de O.

3Verificar esto es sencillo, como Rn = ÛA ∪ ∂A ∪ ext A y P /∈ A ∪ ∂A entonces P ∈ ext A.

64

3.4. Compacidad en Rn.

Como se quiere probar que A = [a, b] se tiene que ver que b ∈ A.Se observa que a ∈ A pues cualquier conjunto que tenga a a como elemento lo cubre como conjunto;

esto es, siempre que un conjunto U ∈ O tenga a a (a ∈ U) se tiene que la familia de un elemento (U)es cubierta abierta para a. Por lo tanto siempre se puede tomar un elemento de O que cubran a a. Deeste modo A 6= ∅. Más aún, como a ∈ U y U es abierto, hay un x > a tal que [a, x] ⊂ U, por lo quex ∈ A.

Se muestra ahora que A es un intervalo; en efecto, si x ∈ A entonces [a, x] es cubierto por unnúmero finito de elementos de O y, por ende, [a, y] está cubierto por un número finito de elementosde O para cualquier y ∈ [a, x]. Esto muestra que [a, x] ⊂ A y que A es un intervalo. De hecho, talintervalo es cerrado, pues si A = [a, x) entonces [a, x) es cubierto por un número finito de elementosde o. Obviamente a x lo puede cubrir un elemento, de lo cual se sigue que [a, x] = [a, x) ∪ x escubierto por una finitud de elementos de O, lo cual significa que x ∈ A.

Se observa que b es cota superior de A, por lo que existe el supremo de A, se pone α = supA.Para concluir, bastará ver que α = b. Se supone que α ∈ [a, b) por lo que existe un U en O tal queα ∈ U, como a < α se ve que [a, α) ⊂ A, por lo que existe x ∈ U ∩ A tal que x ≤ α. Existe además unδ > 0 tal que x ∈ (α − δ, α + δ) ⊂ U. Luego, [a, x] está cubierto por una finitud de elementos de O yïx, α+ δ

2

ò⊂ U, mostrando que

ïa, α+ δ

2

òestá cubierto por una finitud de elementos de O y α+ δ

2 ∈ A,contradicción a que α es el supremo de A.

Por lo tanto, el intervalo [a, b] es cubierto por una finitud de elementos de O, como O fue arbitrariose sigue que [a, b] es un subconjunto compacto de R.

§ 3.4. Compacidad en Rn.Esta sección puede contener elementos algo más técnicos que el resto del capítulo. La mayoría de

ellos son resultados que involucran conjuntos compactos en Rn. El lector deberá ser cauteloso cuandolea las demostraciones.

El primer teorema habla sobre productos cruz de conjuntos compactos. El siguiente hecho se dejacomo ejercicio al lector: en la definición de subconjunto abierto de Rn se pudo haber usado equivalen-temente rectángulos abiertos que bolas abiertas (ve el ejercicio (3.10)).

( 3.4.1 ) Sea f : Rn → Rm. Se dice que f es una aplicación abierta si f (U) es abierto para todo subconjuntoabierto U de Rn.

( 3.4.2 ) Sean m ≤ n con m,n ∈ N y se define pr1,...,m : Rn → Rm la función de proyección dada por

pr1,...,m(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xm).

Entonces, cada pr1,...,m es una aplicación abierta.

Sea U un subconjunto abierto arbitrario de Rn. Observa que U =⋃x∈U

Rx , donde Rx es un rectángulo

abierto con centro en x contenido en U. Tal rectángulo existe pues es la definición alternativa (ve el

ejercicio (3.10)) de que U sea abierto. Pero cada Rx es de la forma Rx =n∏i=1

(ai, bi). Como pr1,...,m(Rx) =

m∏1=1

(ai, bi) y, por (2.2.8),

pr1,...,m

(⋃x∈U

Rx

)=⋃x∈U

pr1,...,m(Rx),

65


se tiene que pr1,...,m(U) es abierto. Con el ejemplo anterior se puede demostrar que el producto cruz de un número finito de conjuntos

compactos es un conjunto compacto.

( 3.4.3 ) Sea X ∈ Rn y B ⊂ Rm compacto. Entonces X × B es compacto.

Como siempre, se debe dar una cubierta abierta de X × B y demostrar que se puede tomar unsubconjunto finito de O de manera que este subconjunto siga siendo cubierta abierta de X × B.

Sea O una cubierta de X × B. Todo elemento en X × B es de la forma (X,Y ) con Y ∈ B, porende X × B =

⋃Y∈B(X,Y ). Para cada (X,Y ) ∈ X × B existe un WY de O tal que (X,Y ) ∈WY . Como

WY es un abierto, existen UY ⊂ Rn y VY ⊂ Rm, rectángulos abiertos, tales que

(X,Y ) ∈ UY × VY ⊂WY .

Entonces, la familia (VY )Y∈B es cubierta abierta de B. De la compacidad de B se deriva la existencia deY1, . . . , Yn ∈ B tales que (VYi )i=1,...,k cubre B. Se consideran los correspondientes (UYi )i=1,...,k entoncescada uno de ellos cubre X y, además,

⋃Y∈B(X,Y ) ⊂

k⋃i=1

UYi × VYi .

Se consideran ahora los correspondientes WYi , nota que algunos de los WYi se pueden traslapar entresí, esto no importa pues lo que se busca es un subconjunto finito de O. Ahora solo resta demostrarque (WYi )i=1,...,k cubre X × B. Dado (X,Y ) ∈ X × B existe i para el cual Y ∈ VYi entonces X ∈ UYiy (X,Y ) ∈WYi , por lo tanto, (WYi )i=1,...,k cubre X × B. Luego, ha sido demostrado que X × B es unconjunto compacto de Rn+m.

( 3.4.4 ) Sean X ∈ Rn y B ⊂ Rm un compacto. Supón que O es una cubierta de X × B. Existe un U ⊂ Rn

abierto tal que X ∈ U y U × B es cubierto por un número finito de elementos de O; el «lema del tubo».

Como X × B es compacto, se tiene que existe una subfamilia (Wi)i=1,...,k de O tal que (Wi)i=1,...,kcubre X × B. Se supone que todo Wi intersecta a X × B, de lo contrario puede ser eliminado dela cubierta. Se define pr1,...,n : Rn+m → Rn la función proyección y sea Vi = pr1,...,n(Wi) entonces Vi es

abierto (ve (3.4.2)) y X ∈ Vi para i = 1, . . . , k. Se define U =k⋂i=1

Vi entonces U es abierto y X ∈ U.

Se ve que U satisface lo pedido; dado (Y,Z) ∈ U × B, existe j tal que (X,Z) ∈Wj . Pero Y ∈ Vi paratodo i = 1, . . . , k, así que Y ∈ Vj . De esto se sigue que (Y,Z) ∈ Wj , por lo tanto U × B es cubierto por(Wi)i=1,...,k.

Es clave en el teorema anterior que U debe ser la intersección de los Vi y no su unión. Con la uniónse hubiéra podido concluir que Y estaba en algún Vi, no necesariamente con i = j, de esto no se siguenecesariamente que (Y,Z) ∈Wj . El teorema anterior no demuestra que U ×B es compacto. De hecho,más adelante se verá que U × B no puede ser compacto.

A continuación viene la demostración de que el producto cartesiano de cualquier cantidad finita deconjuntos compactos es un conjunto compacto.

( 3.4.5 ) Sean A ⊂ Rn y B ⊂ Rm conjuntos compactos. Entonces A× B ⊂ Rn ×Rm es compacto.

Sea O una cubierta abierta de A × B, para cada X ∈ A se tiene que X × B es compacto. De estemodo, por lema del tubo (3.4.4), existe un UX tal que UX × B es cubierto por un número finito deelementos de O. Evidentemente, la familia (UX)X∈A es cubierta de A. Como A es un conjunto compacto

66

3.4. Compacidad en Rn.

siempre se puede escoger un número finito de los UX, por ejemplo UX1 , . . . , UXs , tales que la familia(UXi )i=1,...,k cubre a A. Pero cada UXi , i = 1, . . . , k, es cubierto por una cantidad finita de elementos enO, de este modo una cantidad finita de elementos en O cubren todo A× B.

Como corolario del teorema anterior se tiene el siguiente teorema. Su demostración puede reali-zarse por inducción y queda a cargo del lector.

( 3.4.6 ) Sea Ai ⊂ Rni un conjunto compacto para i = 1, . . . , s. Entonces,

A1 × · · · × As ⊂ Rn1+...+ns

es un conjunto compacto.

Este teorema tiene el importante corolario que un rectángulo cerrado es Rn es un conjunto com-

pacto. En efecto, un rectángulo cerrado en Rn es de la forma R =n∏i=1

[ai, bi], por el teorema de

Borel-Lebesgue (3.3.5) cada [ai, bi] es compacto, de aquí que R es compacto.Como el lector estará sospechando, demostrar si un conjunto dado es compacto o no puede resultar

tedioso. A continuación se dan algunos criterios para demostrar si un conjunto dado es compacto o no.

( 3.4.7 ) Sea A ⊂ Rn un conjunto compacto y B ⊂ A un conjunto cerrado entonces B es compacto.

Sea O una cubierta abierta de B entonces se considera el conjunto B. Como B es un conjuntocerrado de Rn se tiene que B es un conjunto abierto. Asimismo, A ⊂ B ∪ B ⊂

⋃U∈O

U ∪ B. Por lo

tanto, la familia formada por los elementos de O y B cubre a A. Como A es un conjunto compacto deRn, se tiene que existe un número finito de esta familia que lo cubren. Sean U1, . . . , Us tales elementosentonces

B ⊂ A ⊂s⋃i=1

Ui.

Luego, la familia (Ui)i=1,...,s cubre a B. Como B ∩ B = ∅ el elemento B puede ser eliminado de(Ui)i=1,...,s y la familia que quede seguirá cubriendo a B. Esta es una subfamilia de O pues el únicoelemento que pudiera no haber sido elemento de O era B, el cual fue eliminado. Por lo tanto, B es unconjunto compacto.

( 3.4.8 ) La cerradura de toda bola es un conjunto compacto.

Toda bola está contenida en un rectángulo cerrado y que todo rectángulo cerrado es un conjuntocompacto. De esto, basta ver que la cerradura de cualquier bola es un conjunto cerrado. Pero esto esinmediato de (3.2.20).

De acuerdo con la definición de cerradura (3.2.7) y con el ejemplo (3.2.6) se tiene que la cerradurade una bola es una bola cerrada. Esto aumentó los conjuntos que ya pueden ser determinados comocompactos a un número bastante mayor. Queda a cargo del lector demostrar que la intersección ar-bitraria de conjuntos compactos es compacto y la unión finita de conjuntos compactos es un conjuntocompacto.

Una condición suficiente para que un conjunto dado sea compacto es que sea cerrado dentro de uncompacto. Según en el hecho de que toda bola cerrada es un conjunto compacto, todo cerrado dentrode una bola cerrada es un conjunto compacto. Un conjunto que puede cubrirse por una única bola sedenomina conjunto acotado.

( 3.4.9 ) Se dice que A ⊂ Rn es acotado si existe M > 0 tal que A ⊂ B (0;M) .

67


De esta definición se dice que M es cota para A. De la discusión anterior se ha demostrado elsiguiente teorema. Los detalles se dejan de ejercicio al lector.

( 3.4.10 ) Un conjunto cerrado y acotado en Rn es compacto.

Sería agradable poder caracterizar a los conjunto compacto de tal forma que sea fácil su identifica-ción. El siguiente teorema da un prueba sencilla de no compacidad. A su vez es un reciproco parcialdel teorema anterior.

( 3.4.11 ) Un conjunto compacto A ⊂ Rn es acotado.

Sea O = (B (0;k))k∈N entonces O es una familia de bolas abiertas centradas en cero. Nota que O esuna cubierta abierta de Rn, por tanto es una cubierta abierta de A. Por ser A un conjunto compactoexiste un número finito de bolas de O que cubren a A. Sea (B (0;ki))i=1,...,l una subfamilia de O quecubre a A y se toma M = maxki : i = 1, . . . , l. Entonces, B (0;ki) ⊂ B (0;M) para i = 1, . . . , l. Luego,A ⊂ B (0;M) y A es acotado.

Cualquier conjunto que no sea acotado en Rn no puede ser compacto. En particular los intervalosde la forma (a,∞), (−∞, b) no son compactos para cualquier par de reales a, b. Más aún, si A ⊂ Rn

posee una sucesión (an) tal que la sucesión real bn = ‖an‖ diverge a ∞ entonces A no es compacto. Laprueba de esto queda de ejercicio al lector.

Si el lector ha tenido el gusto de leer libros de cálculo o análisis, donde se hable acerca de conjuntoscompactos encontrará que muchas de las definiciones no son textualmente iguales, pero todas sonlógicamente equivalentes. Hay libros que definen un conjunto compacto como aquel conjunto que escerrado y acotado, otros definen a los conjuntos compactos como aquellos conjuntos que cumplen quetodo subconjunto infinito tiene un punto límite en el conjunto, entre otras muchas caracterizaciones.Para poder caracterizar a los conjuntos compactos se necesitará del teorema de Bolzano-Weierstrassque se presenta en la siguiente sección.

§ 3.5. El teorema de Bolzano-Weierstrass.Afirma que toda sucesión definida en un compacto tiene una subsucesión convergente. Asimismo,

esto tiene importantes aplicaciones cuando se estudian sucesiones de funciones y convergencia uni-forme. Para demostrar el teorema de Bolzano-Weierstrass se debe demostrar el recíproco de (3.4.10).Queda destacado que ha sido separada la demostración de (3.4.11) con la que continúa porque estaúltima utiliza elementos técnicos y requiere ser tratada con más cuidado.

( 3.5.1 ) Un conjunto compacto K ⊂ Rn es cerrado.

Se verá que todo punto límite de K es un elemento de K. Sea P un punto límite de K y se procedepor contradicción, esto es P /∈ K. Considera la familia O =

ÅB′

ÅP; 1n

ããn∈N

. Queda a título de ejercicio

para el lector verificar que O es cubierta abierta de K. Como K es un conjunto compacto existe unnúmero finito de elementos de O que cubren K. Sea (U1, . . . , UN ) una subfamilia de O tal que cubre aK y se toma M el máximo índice tal que B′

ÅP; 1M

ã∈ U1, . . . , UN. Se observa que Ui ⊂ B′

ÅP; 1M

ãpara i = 1, . . . , N. Entonces, B′

ÅP; 1

2M

ã∩ Ui = ∅ para i = 1, . . . , N y como K ⊂ U1 ∪ · · · ∪ UN , esto

contradice que P sea un punto límite de K. Esta contradicción muestra que P ∈ K. El resultado clave detrás de esta demostración es ver que todo conjunto compacto posee a todos

sus puntos límite.

68

3.5. El teorema de Bolzano-Weierstrass.

( 3.5.2 ) Una condición necesaria y suficiente para que un conjunto K ⊂ Rn sea compacto es que sea cerrado yacotado.

Lo cual es inmediato en virtud de (3.4.10), (3.4.11) y (3.5.1).

( 3.5.3 ) Sea F : N→ K ⊂ RN una sucesión definida en un conjunto compacto K de RN . Existe una subsucesiónf de F tal que f converge en K; el teorema de «Bolzano- Weierstrass».

La idea detrás de esta demostración técnica es bastante simple. La sucesión F de RN , al ser acotadapuede ser “metida” dentro de un rectángulo. Después partiremos cada arista del rectángulo por la mitady formaremos los 2N posibles subrectángulos. Como formamos un número finito de subrectángulosalguno de ellos contendrá un número infinito de términos de la sucesión. Una vez escogido el subrec-tángulo con puntos infinitos se aplicará un argumento recursivo. Se verá que los vértices menores, decada rectángulo así formado, forman una sucesión estrictamente creciente y acotada. Se usará estopara demostrar que cada coordenada menor converge.

Como la sucesión (Fn)n∈N está definida en un conjunto compacto, la sucesión está acotada. Por lotanto, existe un punto Fn1 de (Fn)n∈N y un número M > 0 tal que la sucesión está contenida en una“caja cúbica” de centro Fn1 de lado de longitud M. Se supone que Fn1 =

ÄF (n1)

1 , . . . , F (n1)N

ä, es decir, el

subíndice denota a la coordenada y el superíndice al elemento de la subsucesión que se forma. Se hamostrado que

Fn ∈N∏i=1

ïF (n1)i − M

2 , F (n1)i + M

2

ò;

se defineI (1)i =

ïF (n1)i − M

2 , F (n1)i + M

2

ò,

y seaR(1) = I (1)

1 × I(1)2 × · · · × I

(1)N .

Es decir, R(1) es el primer rectángulo que se está formando tal que contiene a toda la sucesión. Sea

A(1) =Äa(1)

1 , . . . , a(1)N

ä=ÅF (n1)

1 − M2 , . . . , F (n1)

N − M2

ã,

se denominará a A(1) como el “vértice inferior izquierdo” del rectángulo R(1). Para cada I (1)i se define

J (1)i,1 =

ïF (n1)i − M

2 , F (n1)i

òy J (1)

i,2 =ïF (n1)i , F (n1)

i + M2

ò,

esto es, se está partiendo en dos cada arista del rectángulo R(1) en dos mitades de igual longitud. Sea

J(1) =ÄJ (1)1,i1 × · · · × J

(1)N,iN

ä(i1,...,iN )∈1,2N

,

es decir, J(1) es la familia con los 2N posibles productos cruces de los distintos J (1)i,k.

Se afirma que J(1) es cubierta de R(1). Sea (x1, . . . , xN ) ∈ R(1) entonces, por la construcción, xi ∈ I (1)i ,

de aquí que xi esté en J (1)i,1 o en J (1)

i,2 . Entonces, cada coordenada xi está en algún J (1)i,k. Por lo tanto, existe

un elemento J de J(1) para el cual (x1, . . . , xN ) ∈ J. Luego, J(1) cubre a R(1).Como los elementos en J(1) son finitos y cubren R(1) existe un elemento en J(1) para el cual existe

un número infinito de puntos de la sucesión. En caso de que tal elemento de J(1) no existiera, todos loselementos de J(1) tendrían como elementos, a lo más, a un número finito de puntos de la sucesión. Esto

69


implicaría que existe un elemento Fk de la sucesión (Fn)n∈N tal que un número infinito de índices coin-ciden en Fk. Entonces, se toma la subsucesión constante f (i) = Fk, la cual, claramente , es convergente.De este modo, se puede suponer la existencia de tal elemento de J(1).

Sea R(2) un rectángulo en J(1) que contiene infinitos puntos de la sucesión. Sea Fn2 ∈ R(2) donden2 es el mínimo índice tal que n2 > n1 y Fn2 ∈ R(2), este elemento existe por dos razones. Primero,por el axioma de buen orden, todo conjunto de naturales no vacío tiene mínimo. Además, el conjuntoen cuestión es no vacío por lo justificado en el párrafo previo. Se define A(2) como el vértice inferiorizquierdo de R(2). Observa que, por construcción, a(1)

i ≤ a(2)i para todo i = 1, . . . , N.

Se verá que existe un número infinito de tales rectángulos R(k), se procede por inducción. Supón queP(n) indica que se han podido formar n puntos de la subsucesión en sus n rectángulos correspondientescon sus n vértices inferiores correspondientes tales que cada coordenada define una sucesión crecienteen R. Sea H = n ∈ N : P(n) es verdadera.

Hay que probar que 1 ∈H y k ∈H Ñ k + 1 ∈H . De la construcción anterior se sabe que 1 ∈Hy que 2 ∈ H . Se supone que k ∈ H , se demostrará que, sobre estas condiciones, k + 1 ∈ H . Sea R(k)

el k-ésimo rectángulo que ha sido formado e I (k)i la proyección del rectángulo R(k) en el eje i-ésimo.

Entonces,R(k) = I (k)

1 × · · · × I(k)N .

Sean J (k)i,j , con 1 ≤ i ≤ N y 1 ≤ j ≤ 2, las particiones de I (k)

i en dos mitades de misma longitud comose hizo antes. Sea J(k) igual que antes, la familia de los 2N productos cruces de los elementos J (k)

i,j . Porlos mismo argumentos anteriores se puede demostrar la existencia de R(k+1) y A(k+1) tales que R(k+1)

contiene un número infinito de puntos de la sucesión. Se toma Fnk+1 ∈ R(k+1) tal que nk+1 es el mínimonatural tal que nk+1 > nk y Fnk+1 ∈ R(k+1). La demostración de la existencia de nk+1 se realiza comoantes. Asimismo,la i-ésima coordenada del vértice inferior izquierdo satisface que

a(1)i ≤ . . . ≤ a

(k)i ≤ a

(k+1)i .

Con esto, se puede concluir que P(n + 1) es cierta, pues ha sido posible formar los k + 1 puntos de lasubsucesión en sus k+ 1 rectángulos correspondientes con sus k+ 1 vértices inferiores que satisfacenla desigualdad requerida. Con esto, k + 1 ∈H y de acuerdo al principio de inducción H = N.

Se ha demostrado que existen las sucesiones crecientesÄa(n)i

än∈N

, para cada índice i = 1, . . . , N,y están definidas en I (1)

i . Como I (1)i es un intervalo acotado y

Äa(n)i

än∈N

es creciente y definida en I (1)i ,

existe ai tal que que lımn→∞

a(n)i = ai.

Se afirma que la subsucesión,(Fnj)j∈N converge a A = (a1, · · · , an). Considera las sucesiones

coordenadas de(Fnj)j∈N , estas son, para cada i = 1, . . . , N,

(F (nj )i

)j∈N

. Por construcción, para cada

j ∈ N, se tiene que F (nj )i ∈ I (j)i y a(j)

i ∈ I(j)i , por tanto,

∣∣∣F (nj )i − a(j)

i

∣∣∣ ≤ M2j−1 . Haciendo j → ∞, se ve que

lımj→∞

(F (nj )i − a(j)

i

)= 0, para i = 1, . . . , N. Esto implica que lım

j→∞F (nj )i = lım

j→∞a(j)i = ai. Por lo tanto, se tiene

que lımj→∞

Fnj = A.

Finalmente, se define σ : N → N dada por σ (j) = nj entonces f = F σ es una subsucesión deF tal que lım

n→∞f (n) = A. Por último, se debe demostrar que A ∈ K. Pero al ser K compacto, K es

cerrado y por tanto, contiene a todos sus puntos límite. Como f converge a A y f está definida en K,Aes un punto límite de K. Por lo tanto, f converge en K.

( 3.5.4 ) Dado un conjunto abierto U y un compacto K ⊂ U siempre existe un compacto D ⊂ U tal que K essubconjunto propio de D.

70

3.6. Generalización a un espacio vectorial real.

Sea U un abierto de Rn y K un conjunto compacto contenido en U. Como K es compacto, K escerrado y acotado en U. Todos los puntos límites de K son elementos de K, en particular los de lafrontera. Cada punto de la frontera de K está en U, de este modo, existe una bola abierta alrededor decada punto en la frontera de K tal que está contenida en U. Sea X ∈ ∂K y r > 0 tal que B (X; r) ⊂ U.Como X ∈ ∂K, existe Y ∈ K ∩ B (X; r) entonces K ∪ Y es compacto y K es subconjunto propio deK ∪ Y.

§ 3.6. Generalización a un espacio vectorial real.La mayoría de los conceptos involucrados en este capítulo se definieron únicamente a través de la

definición de bola o se demostraron a partir de lo demostrado en términos de bola. Aquí se dan lasgeneralizaciones para un espacio vectorial real normado.

( 3.6.1 ) Sea (V,+, ·) un espacio vectorial real. Se supone que en V hay una norma ‖‖ y sean v ∈ V y r > 0.Se dirá que el conjunto B (v;ε) = u ∈ V | ‖u − v‖ < r es la bola abierta de en V de centro v y radio r.Un subconjunto A ⊂ V se dirá abierto si para cualquier punto v ∈ A existe un número positivo r > 0 tal queB (v; r) ⊂ V.

En particular, se demuestra que

( 3.6.2 ) Sea V un espacio vectorial real y normado. Toda bola abierta en él es un conjunto abierto.

La misma prueba que en (3.1.4) aplica aquí también.

( 3.6.3 ) Sea V un espacio vectorial real y normado. Sea τ = A ⊂ V |A es abierto. Entonces τ es una topología;esto es, τ satisface las siguientes propiedades:

1. ∅, V ∈ τ,

2. la unión de cualquier familia de elementos de τ también es un elemento de τ,

3. la intersección de cualquier familia finita de elementos de τ también es un elemento de τ.

Repita las pruebas de (3.2.1) y (3.2.2). Entonces, todas las definiciones presentadas en este capítulo ahora se transportan para el caso

de un espacio vectorial real. Asimismo, todas las pruebas importantes aplican, exceptuando el caso delteorema de Bolzano-Weierstrass, pues este necesitó fuertemente la noción de rectángulo, que no se tieneen un espacio vectorial arbitrario. Sin embargo, más adelante (unos párrafos más abajo) se mostraráque tal teorema sigue siendo válido en este caso más general. En particular, se pueden suponer lasdefiniciones de conjunto cerrado, bola cerrada, conjunto denso, interior, exterior, frontera, cerradura,punto de acumulación, punto aislo, punto límite, cubierta abierta y conjunto compacto. Las pruebas delos teoremas enunciados se mantienen al cambiar Rn por V (donde V es un espacio vectorial real) conla excepción de (3.2.9), (3.3.5), (3.4.8), (3.4.10), (3.5.2) y de (3.5.3). Por ningún motivo esto significa queestos teoremas sean falsos en este caso, sino que su prueba necesitó de la definición de rectángulo ose basó en una que la necesitó.

z 3.6.1 Prueba de los teoremas especiales.Aquí se darán las pruebas concernientes a los teoremas de este capítulo que no aplican para un

espacio vectorial real de dimensión finita arbitrario. Para esto será necesario transportar una definición,la de isometría entre espacios normados.

71


( 3.6.4 ) Sean V y W dos espacios vectoriales reales. Supón que ‖‖V y ‖‖W son sendas normas en V y W. Sedirá que las normas son isomorfas o que V y W son dos espacios vectoriales normados isormofos si existe unatransformación lineal Φ : V →W que sea invertible tal que para cualquier v ∈ V se cumpla que ‖Φ(v)‖W = ‖v‖V .A Φ se le llamará «isomorfismo» entre espacios vectoriales normados.

Cabe destacar que existe la noción de isomorfismo entre espacio vectoriales (ve el ejercicio (1.22)).La noción recién definida puede parafrasearse como sigue. Dos espacios vectoriales normados sonisomorfos si existe una isomorfismo de espacio vectorial entre ellos tal que este preserve la norma.Por lo tanto, esta definición es más fuerte comparada con la definición de isomorfismo de espaciovectorial. A continuación una definición todavía más fuerte.

( 3.6.5 ) Sean V y W dos espacios vectoriales reales. Supón que 〈, 〉V y 〈, 〉W son sendos producto interiores enV y W. Se dirá que los producto son isomorfos o que V y W son dos espacios vectoriales con producto interiorisormofos si existe una transformación lineal Φ : V →W que sea invertible tal que para cualesquier u, v ∈ V secumpla que 〈Φ(u),Φ(v)〉W = 〈u, v〉V . A Φ se le llamará «isomorfismo» entre espacios vectoriales con productointerior.

Esta definición es más fuerte que la previa, pues si Φ es tal isomorfimo entre V y W entonces‖Φ(v)‖W =

√〈Φ(v),Φ(v)〉W =

√〈v, v〉V = ‖v‖V . Por lo tanto, Φ también es un isomorfismo entre

espacios normados.

( 3.6.6 ) Sean V un espacio vectorial real de dimensión finita sobre R, B = (v1, . . . , vn) una base ordenada en Vy [ ]B las coordenadas de V (ve el ejercicio (1.24)). Sea 〈, 〉V : V ×V → R dada por 〈u, v〉V = [u]B · [v]B, aquí sedenota con · al producto escalar estándar de Rn. Entonces, 〈, 〉V define un producto interior en V. Más aún, [ ]Bes un isomorfismo de espacios vectoriales con producto interior.

Ya se sabe que [ ]B es un isomorfismo entre espacios vectoriales (ve el ejercicio (1.24)). Solo hay queprobar que 〈, 〉V es un producto interior en V pues de la definición de 〈, 〉V se obtendrá que [ ]B es unisomorfismo entre espacios vectoriales con producto interior.

Se verficará que 〈, 〉V satisface la definición de producto interior (1.4.1). Entonces, sean u, v,w ∈ V yλ ∈ R cualesquiera, se cumple que

1. 〈u, v〉V = [u]B · [v]B = [v]B · [u]B = 〈v, u〉B ;

2. 〈u + λw, v〉V = [u+ λw]B · [v]B =([u]B + λ[w]B

)· [v]B = [u]B · [v]b + λ[w]B · [v]B = 〈u, v〉+ λ 〈w, v〉 ;

3. 〈u,u〉V = [u]B · [u]B ≥ 0;

4. 〈u,u〉 = 0⇔ [u]B · [u]B = 0⇔ [u]B = 0⇔ u = 0, donde la última igualdad es consecuencia de que[ ]B es un isomorfismo.

Esto concluye la prueba.

Observaciones: aquí se enuncian algunas consecuencias de este teorema.

1. Las coordenadas dependen de la base, si cambia la base, cambia el producto interior y entoncesla norma.

2. Con este teorema se puede normar y hasta obtener un producto interior en cada espacio vectorialde dimensión finita. El teorema no prevalece en espacios de dimensión infinita.

3. Dos normas distinas ‖‖1 y ‖‖2 se denominan equivalentes si existen constantes a, b > 0 talesque a ‖‖1 ≤ ‖‖2 ≤ b ‖‖1 . Se demostrará ahora que si ‖‖1 y ‖‖2 son dos normas equivalentes enV entonces las topologías que definen coinciden (o sea, algo es abierto respecto a una norma si

72


y solo si es abierto respecto de la otra). Para ver esto, supón que A es un abierto en V respectode la norma ‖‖1 . Entonces, como hay una constante b > 0 tal que ‖‖2 ≤ b ‖‖1 se sigue que1b ‖‖2 ≤ ‖‖1 . Como A es abierto respecto de la norma ‖‖1 , para cada v ∈ A existe una bola deltipo B1 (v; r) = u ∈ V | ‖u − v‖1 < r ⊂ A. Nota que B2 (v;br) = u ∈ V | ‖u − v‖2 < br es unabola respecto de la norma ‖‖2 . Como

B2 (v;br) ⊂ B1 (v; r) ⊂ A,

se ve que A es abierto respecto de la norma ‖‖2 . Por lo tanto, todo abierto respecto de la norma ‖‖1es abierto respecto de la norma ‖‖2 . Cambiando los papeles de ‖‖1 y ‖‖2 se concluye que cualquiersubconjunto A de V es abierto respecto de alguna de las normas si y solo si lo es respecto de lasdos. En consecuencia, todas las propiedades topológicas ya demostradas prevalecen válidas sinimportar qué normas equivalentes se usen.

4. Obviamente, si se define ∼ en el conjunto de las normas en V como ‖‖1 ∼ ‖‖2 si y solo si ‖‖1 y ‖‖2son equivalentes, entonces∼ es una relación de equivalencia. Es inmediato de la observación previaque hay tantas topologías generadas por una norma en V como distintas clases de equivalenciahay mediante ∼ . ¿Cuántas clases de equivalencia hay? Parece sorprendente que solo hay unaclase de equivalencia (3.6.7). Por lo tanto, en un espacio vectorial V de dimensión finita, solo sepuede generar una topología mediante una norma.

5. Si Φ es un isomorfimo entre V y W que preserva la norma entonces un conjunto A es abiertoen V si y solo si Φ(A) es abierto en W. Para ver esto, basta probar que Φ(BV (v; r)) = B (Φ(v); r) ,donde BV (v; r) es la bola de centro v y radio r en v y B (Φ(v); r) es la bola de centro de Φ(v) ∈Wy radio r 4. Para probar esta igualdad se utiliza que ‖v‖V = ‖Φ(v)‖ . Entonces,

Φ(BV (v; r)) = Φ(u) ∈W | ‖u − v‖V < r = Φ(u) ∈W | ‖Φ(u)−Φ(v)‖ < r= w ∈W | ‖w −Φ(v)‖ < r = B (Φ(v); r) ,

donde la tercera igualdad vale por la invertibilidad de Φ. Por lo tanto, para que un conjunto A ⊂ Vsea abierto es condición necesaria y suficiente que Φ(A) ⊂ W sea abierto. Por lo tanto, para dosespacios vectoriales normados isomorfos (con isomorfismo entre espacios vectorial normado) lastopologías son esencialmente la misma.

El teorema que continua deberá ser leído hasta después de haber leído sobre conexidad(capítulo 4) y continuidad de funciones en varias variables (capítulo 5).

( 3.6.7 ) Sea V un espacio vectorial normado de dimensión finita y ‖‖1 , ‖‖2 dos normas en V. Existen constantesa > 0 y b > 0 tales que para cualquier v ∈ V

a ‖v‖1 ≤ ‖v‖2 ≤ b ‖v‖1 .

( 3.6.7.1 ) Basta demostrar (3.6.7) cuando V = Rn.

En efecto, existe un isomorfismo entre espacios vectoriales Φ : Rn → V, en donde n = dim V.Luego, se definen en R las normas ‖X‖R1 = ‖Φ(X)‖1 y análoga para ‖‖R2 . Si (3.6.7) vale cuando V = Rn

entonces existen a y b tales quea ‖X‖R1 ≤ ‖X‖

R2 ≤ b ‖X‖

R1 .

Luego, dado v ∈ V cualquiera existe un X ∈ Rn y solo uno tal que v = Φ(X), de la definición de ‖‖R1 y‖‖R2 se concluye el resultado deseado.

4Si esta implicación vale entonces para A ⊂ V un abierto y w ∈ Φ(A) existe un v ∈ A tal que Φ(v) = w. Para este vexiste un r > 0 tal que BV (v; r) ⊂ A, obviamente Φ(BV (v; r)) = B (Φ(v); r) = B (w; r) ⊂ Φ(A), mostrando que Φ(A) es abierto.Recíprocamente, si Φ(A) es abierto, se aplica el mismo argumento que antes pero sustituyendo A por B = Φ(A) y Φ por Ψ = Φ−1

73


( 3.6.7.2 ) Basta demostrar (3.6.7) cuando ‖‖2 es la norma estándar de Rn.

Pues si fuese cierto el teorema en ese caso existen constantes a > 0, b > 0, c > 0 y d > 0 tales quepara todo X ∈ Rn

a ‖X‖1 ≤ ‖X‖ ≤ b ‖X‖1 ; c ‖X‖2 ≤ ‖X‖ ≤ d ‖X‖2 .

De donde, ad ‖X‖1 ≤ ‖X‖2 <bc ‖X‖1 .

( 3.6.7.3 ) Para la norma euclidiana vale (3.6.7).

Pues si X =n∑i=1

aiei, donde e1, . . . , en es la base canónica de Rn, en virtud de la desigualdad

triangular (ve (1.4.2))

‖X‖1 ≤n∑i=1|ai| ‖ei‖1 ≤ max

1≤j≤n‖ej‖1

n∑i=1|ai| ≤ n max

1≤j≤n‖ej‖1 ‖X‖ .

Se ve ahora la otra desigualdad. Se probará que que la función ‖‖1 : Rn → [0,∞) es continua. Entonces,para cualesquier u, v ∈ V,

‖u‖1 = ‖u − v + v‖1 ≤ ‖u − v‖1 + ‖v‖1 ,

por lo que ‖u‖1−‖v‖1 ≤ ‖u − v‖1 Cambiando los papeles de u y v se obtiene que ‖v‖1−‖u‖1 ≤ ‖u − v‖1 .Por lo tanto,

| ‖u‖1 − ‖v‖1 | ≤ ‖u − v‖1 = b ‖u − v‖ ,

donde b = n max1≤j≤n

‖ej‖1 . Por lo tanto, si u → v entonces ‖u‖1 → ‖v‖1 . Ahora, considera S (0; 1) = X ∈

Rn| ‖X‖ = 1. Entonces, ‖X‖1 |X ∈ S (0; 1) es un conjunto conexo y compacto (ve (5.5.7) y (5.5.8)) enR. Por lo tanto, es un intervalo de la forma [a, b] (ve (4.8.7)). Obviamente, [a, b] ⊂ [0,∞) pues ‖‖1 ≥ 0.Se afirma que a > 0. Se procede por contradicción. Si a = 0 entonces existiría un X ∈ S (0; 1) tal que| ‖X‖1 | = 0, lo cual es falso pues X 6= 0. Por lo tanto ‖X‖1 ≥ a para todo X ∈ S (0; 1) . Sea ahora X ∈ Rn

cualquiera. Entonces, X = 0 Ñ ‖X‖1 = ‖X‖ y la desigualdad vale, por otro lado, X 6= 0 Ñ X‖X‖ ∈ S (0; 1)

y, por lo tanto∥∥∥∥ X‖X‖

∥∥∥∥1≥ a. Usando que ‖X‖ > 0 se concluye que ‖X‖1 ≥ a ‖X‖ .

Ahora veamos las pruebas de las propiedades faltantes para el caso más general. Estas utilizan elteorema previo.

(3.2.9) Sean (V, ‖‖V ) un espacio normado no trivial5 de dimensión finita y A ⊂ V cualquier subconjunto.Entonces, todo P ∈ ÛA es punto de acumulación de A. La idea es la misma que en el teoremapara Rn. Si P = 0, existe un v 6= 0 y entonces δ

‖v‖Vv dista de P exactamente δ, con hacer δ

suficientemente pequeño y usando que P ∈ ÛA se concluye lo afirmado para este caso. En el casoP 6= 0, existe una bola B (P; r) ⊂ A. Para r > δ > 0 se cumple que Q =

Å1 + δ

2 ‖P‖V

ãP ∈ B (P; δ)

y que ‖Q − P‖V = δ‖P‖V

‖P‖V = δ2 > 0.

5Esto es, existe un elemento de V que no es el cero.

74

3.7. Ejercicios.

(3.3.5) Sea (V, ‖‖V ) un espacio vectorial normado de dimensión finita. Todo conjunto cerrado y acotadoes compacto. En este caso sea B = (v1, . . . , vn) una base ordenada de V (tal base existe en virtudde (1.2.14)). Sea [ ]B las coordenadas de V respecto a dicha base y se genera en Rn la normaasociada al isomorfismo [ ]B, la cual se denotará por ‖‖1 . (ya se mencionó antes que esto noafecta las propiedades topológicas del espacio, (3.6.7)). Entonces, Sea A ⊂ V un conjunto cerradoy acotado y O = (Uα)α∈Γ una cubierta abierta de A. Entonces [A]B ⊂ Rn es cerrado y acotadoy [O]B = ([Uα]B)α∈Γ es una cubierta abierta de [A]B. En virtud de (3.4.10) [A]B es compacto enRn, por lo que existe una subfamilia finita ([Uα1 ]B, . . . , [Uαk ]B) que cubre a [A]B. Por definición decoordenadas, (Uα1 , . . . , Uαk ) es cubierta abierta de A, lo cual muestra que A es compacto en V.

(3.4.8) Sean (V, ‖‖V ) un espacio vectorial normado de dimensión finita. Toda bola cerrada de V es unconjunto compacto. Lo cual es consecuencia del teorema de Borel-Lebesgue (inciso previo) puesuna bola cerrada de un conjunto cerrado y acotado en V.

(3.4.10) Sea (V, ‖‖V ) un espacio vectorial normado de dimensión finita. Todo conjunto cerrado y acotadoes compacto. Que es exactamente lo que dice el teorema de Borel-Lebesgue.

(3.5.2) Sea (V, ‖‖V ) un espacio vectorial normado de dimensión finita. Una condición necesaria ysuficiente para que un conjunto sea cerrado y acotado es que sea compacto. Una implicaciónes el teorema de Borel-Lebesgue, la otra es consecuencia de (3.4.11) y (3.5.1).

(3.5.3)) Sea (V, ‖‖V ) un espacio vectorial normado de dimensión finita. Toda sucesión definida en uncompacto tiene una subsucesión convergente ahí. Sea B = (v1, . . . , vn) una base ordenada de Vy [ ]B las coordenadas de V relativas a B. Sea (an)n∈N una sucesión definida en el compacto K deV. Entonces ([an]B)n∈N es una sucesión acotada en el compacto6 [K]B de Rn. Por el teorema deBolzano-Weierstrass existe una subsucesión ([ank ]B)k∈N la cual es convergente a cierto X ∈ [K]B.La subsucesión correspondiente (ank )k∈N converge en K a a. En efecto, se cumple que existe una ∈ V tal que [a]B = X. Se verá que ank → a; de hecho,

‖ank − a‖V = ‖[ank ]B − [aB]‖ → 0

cuando k →∞. Por lo tanto, ank → a en V. Que a ∈ K se sigue de que K es cerrado y de que aes un punto límite de K.

§ 3.7. Ejercicios.Resuelve cada ejercicio.

( 3.1 ) Q es denso en R.

( 3.2 ) Supón que A es denso en S y que S es denso en T entonces A es denso en T.

( 3.3 ) Demuestra (3.1.9).

( 3.4 ) Observando que ÛA es un conjunto abierto contenido en A, concluir que ÛA es el abierto más grandecontenido en A.

( 3.5 ) Una condicion necesaria y suficiente para que un conjunto A ⊂ Rn sea abierto es que A = ÛA.( 3.6 ) Sean A,B ⊂ Rn, A \ B es abierto si A es abierto y B es cerrado.

6Que [K]B sea compacto se obtiene de que es cerrado y acotado.

75


( 3.7 ) La cerradura de un conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene al conjunto dado. Esto es,la cerradura de A es la intersección de todos los cerrados que contienen a A.

( 3.8 ) Para que un conjunto A ⊂ Rn sea cerrado es necesario y suficiente que A = A.

( 3.9 ) El interior de un conjunto es el conjunto abierto más grande contenido en él. Esto es, ÛA es la unión detodos los conjuntos abiertos que están contenidos en A.

( 3.10 ) Dada una bola abierta B (x; δ) siempre se puede encontrar un rectángulo abierto R tal que R estácontenido en B (x; δ) y x ∈ R. Concluya que en la definición de abierto se puede sustituir bolas por rectángulosabiertos sin alterar ninguno de los resultados precedentes.

( 3.11 ) Si R1 ⊂ Rn y R2 ⊂ Rm son rectángulos abiertos entonces R1 × R2 ⊂ Rn+m es rectángulo abierto.Concluya, usando el ejercicio previo, que si A y B son abiertos entonces A×B es abierto. En particular, el productocartesiano de cualquier número finito de conjuntos abiertos es abierto.

( 3.12 ) Dé un ejemplo de intervalos cerrados tales que su unión infinita sea abierto.

( 3.13 ) Para conjuntos arbitrarios A, B y C se tiene que

(A ∪ B)×C = (A×C) ∪ (B×C).

Si A ⊂ Rn y B ⊂ Rm entonces

Rn+m \ (A× B) = [A× (Rm \ B)] ∪ [(Rn \ A)× B] ∪ [(Rn \ A)× (Rm \ B)]= [A× (Rm \ B)] ∪ [(Rn \ (A×Rm)]= [Rn × (Rm \ B)] ∪ [(Rn \ A)× B].

Concluye que que si A ⊂ Rn y B ⊂ Rm son cerrados entonces A× B es cerrado.Sugerencia: Rn+m = (A ∪Rn \ A)× (B ∪Rm \ B).

( 3.14 ) ∂([0, 1] ∩Q) = [0, 1].

( 3.15 ) Para que P sea un punto límite de A ⊂ Rn es necesario y suficiente que para todo r > 0, se tenga quecard (A ∩ B (P; r)) =∞.

( 3.16 ) Sea P un punto límite de A ∩ B. Entonces P es punto límite de A y de B; esto es, los puntos límite deA ∩ B están contenidos en la interseccion de los puntos límite de A y de B.

( 3.17 ) Dé un ejemplo de un conjunto cerrado sin puntos límite.

( 3.18 ) Dé un ejemplo de un conjunto con una infinidad de puntos límite.

( 3.19 ) Dé un ejemplo de un conjunto con exactamente n puntos límite.

( 3.20 ) Dé un ejemplo de una sucesión con una cantidad infinita y numerable de puntos límite.

Sugerencia: La siguiente partición de N puede ser útil, N =∞⋃n=0

An, donde, para i ∈ N, Ai = pni : n ∈ N

tomando pi el i-ésimo primo y A0 = N \⋃i∈N

Ai.

( 3.21 ) Los siguiente conjuntos son abiertos:

1. (x, y) ∈ R2|x > 0, y > 0.

76

3.7. Ejercicios.

2. (x, y) ∈ R2|xy > 0.

3. (x, y) ∈ R2|2x + 3y − 2 > 0.

4. (x, y) ∈ R2|4 < x2 + y2 < 9.

5. (x, y) ∈ R2|0 < x < 1, 0 < y < x2.

Sugerencia: para cualquier A ⊂ Rn, ∂A ∩ A = ∅Ñ A = ÛA.( 3.22 ) Determine si la proposición es cierta o falsa. En caso de ser cierta proporcione una prueba sencilla ybreve. Si es falso, debe dar un ejemplo explícito.

1. A = ÛA ∪ ∂A.2. A \ ÛA = ∂A.

3. A ∪ ÛA = A.

4. Rn \ A = ext A.

5. ∂A = A ∩ A.

6. Todo conjunto abierto de Rn se puede expresar como unión de conjuntos cerrados.

7. Todo conjunto cerrado de Rn se puede expresar como intersección de conjuntos abiertos.

8. Todo conjunto abierto de Rn se puede expresar como unión de conjuntos cerrados con interiores no vacíos.

9. Todo conjunto abierto no vacío de Rn se puede expresar como unión de conjuntos cerrados con interioresno vacíos.

10. A ⊂ Rn y A tienen la misma cerradura.

11. Todos subconjunto numerable de R es compacto.

12. Sea X un subconjunto de Rn. Si O y O′ son cubiertas abiertas de X entonces O ∩O′ es cubierta abierta deX.

13. La unión numerable de conjuntos compactos es compacto.

14. La intersección finita de conjuntos compactos es compacto.

15. Todo conjunto cerrado es unión numerable de conjuntos compactos.

Sugerencia: Para A ⊂ Rn y X ∈ Rn define ρ(X,A) = ınfY∈A‖X − Y‖ , la «distancia» de X a A. Considera

los conjuntos Ar = X ∈ Rn : ρ(X,A) < r y A′r = X ∈ Rn : ρ(X,A) ≤ r y muestra que el primero esabierto y el segundo es cerrado. Además, muestra que A = X ∈ Rn : ρ(X,A) = 0. También puedes considerarBr = X ∈ Rn : ρ(X, A) ≥ r y demostrar que este conjunto es cerrado.

( 3.23 ) Para que una función f : R → R sea continua es necesario y suficiente que la preimagen de cualquierabierto sea abierto.Sugerencia: reescriba la definición de continuidad en términos de bolas.

( 3.24 ) Sea P un conjunto de n ∈ N puntos látices, es decir, puntos de coordenadas en Z, de R2 y L un conjuntode m rectas en el plano que es cubierta de P. Si m < n entonces existe al menos una recta en L cuya pendienteno es irracional.

77


( 3.25 ) Sea d : R2n → R definida por

d(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) = max|xi − yi| : i = 1, . . . , n,

la «distancia del máximo»7. Demuestre que:

1. La función Rn ×Rn → R dada por (X,Y ) 7Ï d(X,Y ) es una norma (ve (1.4.2)).

2. Se define una bola abierta de centro X y radio ε > 0 como

B (X;ε) = Y ∈ Rn : d(X,Y ) < ε.

Describa exactamente la forma geométrica de las bolas abiertas con esta distancia en Rn.

3. Se da la misma definición de conjunto abierto de Rn solo que usando esta distancia. Esto no generaambigüedad con lo definido en el texto; esto es, que la colección de abiertos generada por la distanciadefinida aquí coincide con aquella generada con la distancia euclidiana. Cuando dos distancias generan elmismo conjunto de abiertos se dice que son equivalentes.

4. Concluya que todas las propiedades demostradas en este capítulo valen de igual manera para la distanciaeuclidiana como para la distancia definida aquí.

( 3.26 ) Repita el ejercicio anterior para la «distancia de Manhatan»:

d(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) =n∑i=1|xi − yi|.

( 3.27 ) Sea τ(Rn) =A ⊂ Rn : A = ∅ o bien, es compacto

. Entonces

1. si (Ui)i∈I es una familia de elementos de τ(Rn) entonces su unión es un elemento de τ(Rn);

2. la intersección de cualquier familia finita de elementos de τ(Rn) es un elemento de τ(Rn);

3. Rn,∅ ∈ τ(Rn).

Cuando un subconjunto τ ∈ P (Rn) satisface las condiciones anteriores se dice que τ es una topología de Rn

entonces la colección de abiertos de la distancia euclidiana es una topología de Rn.

( 3.28 ) Sea A como en el ejemplo (3.3.4). No existe una subfamilia finita de O tal que cubra A. Esto demuestraque A no es compacto.

( 3.29 ) Recuerda que un intervalo en Rn es cerrado si su complemento es abierto, de este modo, el intervalo[a,∞) es cerrado, el cual no es compacto.

( 3.30 ) Cualquier intervalo abierto no es compacto.

( 3.31 ) Un intervalo de la forma [a, b)× [c, d] ⊂ R2 no es compacto.

( 3.32 ) [0, 1] ∩Q no es compacto.

( 3.33 ) Sean a ≤ c ≤ b y a 6= b entonces [a, b] \ c no es compacto.Sugerencia: construye una cubierta de [a, b] \ c construyendo anillos a través de bolas centradas en c.

( 3.34 ) Sea A un conjunto acotado con un número finito de puntos límite tal que los contiene a todos. EntoncesA es compacto.

7Esta distancia apareció en los ejercicios del primer capítulo.

78

3.7. Ejercicios.

( 3.35 ) Sea A un conjunto acotado de Rn. Para todo X ∈ Rn existe MX > 0 tal que A ⊂ B (X;MX) .

( 3.36 ) El producto cartesiano de cualquier cantidad finita de compactos es compacto.

( 3.37 ) La unión finita de conjuntos compactos es un conjunto compacto.

( 3.38 ) La intersección arbitraria de conjuntos compactos es un conjunto compacto.

( 3.39 ) Si A es compacto en Rn y pr1,...,m : Rn → Rm es proyección, con m ≤ n entonces pr1,...,m(A) ⊂ Rm

es compacto.

( 3.40 ) Sea A un conjunto compacto en Rn. Se puede decir que A es compacto independientemente del espacio.Esto es, la inclusión de A en Rm es compacto para m ∈ N, en donde la inclusión de A en Rm es proyección sim ≤ n o bien, es A× 0 si m > n.

( 3.41 ) Las siguientes afirmaciones son equivalentes sobre un conjunto compacto K.

1. Toda sucesión definida en K tiene una subsucesión convergente en K.

2. Todo subconjunto infinito de K tiene un punto límite en K.

( 3.42 ) Las siguientes condiciones son equivalentes sobre un conjunto K ⊂ Rn.

1. K es compacto.

2. K es cerrado y acotado.

3. Toda sucesión definida en K tiene una subsucesión convergente en K.

4. Todo subconjunto infinito de K tiene un punto límite en K.

( 3.43 ) Sea (Ki)i∈I una familia de subconjuntos compacto deRn. Supón que la intersección de cualquier subfamiliafinita es no vacía. Entonces, la intersección de toda la familia es no vacía; «propiedad de la intersección finita».Sugerencia: Considera un índice α fijo. Supón que Kα ∩

⋂i∈I,i 6=α

Ki = ∅. Toma O la familia formada por

los complementos de los elementos Ki, en donde i 6= α entonces O es una cubierta abierta de Kα y utilizala compacidad de Kα para encontrar una subfamilia finita de O que sea cubierta de Kα. Esto demuestra que

Kα ∩k⋂j=1Kij = ∅, deduzca una contradicción de esto.

( 3.44 ) Sea K1 = [0, 1], y se divide K1 en tres subintervalos de igual longitud, a saber, K1 = [0, 13 ]∪( 1

3 ,23 )∪[ 2

3 , 1],se define K2 = K1 − ( 1

3 ,23 ) = [0, 1

3 ] ∪ [ 23 , 1] = I12 ∪ I22 .

Se procede inductivamente, supón que en el paso n-ésimo se ha construido un conjunto de la forma Kn =2n−1⋃i=1

Ini , donde Ini es un intervalo cerrado. Para construir Kn+1 se divide cada Ini en tres subintervalos de igual

longitud iguales y son quitados el interior del intervalo de en medio, de este modo, Kn+1 el conjunto formado de

Kn al quitarle todos estos subintervalos. Sea K =∞⋂n=1

Kn entonces K es el «conjunto de Cantor». Demuestre

que:

1. K es un compacto no vacío;

2. tiene longitud8 cero;8Considera la longitud de K como el límite de las longitudes de Kn. Observa que cada Kn tiene longitud bien definida pues

es una unión disjunta y finita de intervalos cerrados.

79


3. K coincide con el conjunto de sus puntos límite. Un conjunto que satisface esta última propiedad se denominaperfecto.

( 3.45 ) Si K ⊂ R es compacto entonces α = ınfK y β = supK son elementos de K.Sugerencia: α o es punto aislado o es punto límite de K. Procede de manera análoga para β.

( 3.46 ) Sean 1, x, x2 y x3 las funciones de R a R definidas por sendas reglas de correspondencia t 7Ï 1, t 7Ï t,t 7Ï t2 y t 7Ï t3. Considera V = lin

⟨1, x, x2, x3

⟩, el espacio de funciones polinomiales de grado a lo más

tres. Entonces, B = (1, x, x2, x3) constituye una base de V y, por ende dim V = 4 Considera la única topologíaque se puede generar en V a partir de una norma (elije la norma que más te guste). Considera el conjunto3 + 2x + ax2|a ∈ R.

Con la norma que diste, ¿cuál es la norma de este elemento?

¿Es un abierto en V?

¿Es un cerrado de V?

Determina su interior, exterior, frontera y cerradura.

Para el mismo V, sea U ⊂ V el conjunto de funciones polinomiales de grado a lo más dos. ¿Es U un conjuntoabierto?, ¿es cerrado?

( 3.47 ) Sea V un espacio vectorial real y normado, de dimensión finita. Supón que U ⊂ V es un subespaciovectorial que tiene interior no vacío. Demuestra que U = V.Sugerencia: sea x ∈ ÙU. Existe r > 0 tal que B (x; r) ⊂ U. Trasladala por −x para concluir que B (0; r) ⊂ U.Sea x ∈ V cualquier vector no nulo. Entonces,

rx2 ‖x‖ ∈ B (0; r) ⊂ U. Concluye que x ∈ U.

( 3.48 ) Se concibe una función polinomial en R2 de grado menor o igual que tres como un par ordenado depolinomios (p, q) tales que p, q ∈ V, en donde se toma V tal como en el Ejercicio (3.46). Entonces, el espaciode polinomios en R2 de grado a lo más tres es un espacio vectorial con la suma y producto por escalar definidoen cada entrada y cuya dimensión deberás determinar; de hecho, este espacio coincide con V × V (ve (1.2.20)).Sea ‖‖V una norma en V, cualquiera. Entonces, ‖(p, q)‖V×V = ‖p‖V + ‖q‖V define una norma en V × V. ¿Es elconjunto de los polinomios (a0 + a1x + a2x2 + a3x3, b0 + b1x + b2x2 + b3x3) tales que a0 < a1 y a3 > b3 unabierto en V × V?

80

Capítulo 4

• Curvas en Rn.

Las curvas, caminos, trayectorias y trazas son objetos matemáticos íntimamente ligados con ciertosconjuntos especiales, llamados conexos por trayectorias. A manera intuitiva se entenderá que un con-junto es conexo por trayectorias si para cualesquier dos puntos del conjunto existe una linea curva quelos une. Esto permitirá demostrar que en Rn los únicos conjuntos que son abiertos y cerrados a la vezson únicamente Rn y ∅. La linea curva antes mencionada será, precisamente, un camino (concepto quese define más adelante).

A manera resumida, este capítulo tratará los conceptos de límite, derivada, teoremas sobre derivadase integración para funciones cuyo dominio es subconjunto de R. No debe causar dificultades estecapítulo pues casi todos los métodos, técnicas, teoremas e ideas se basan en los conocimientos que ellector posee sobre funciones de R en R.

§ 4.1. Definiciones.Se supone que dados A,B ∈ Rn se quiere describir, a través de una función, el segmento de recta

que une a A con B. Ya se mencionó como hacer esto con conjuntos, a saber,

L = (1− t)A+ tB : t ∈ [0, 1].

Observa que lo que se está haciendo es, para cada t ∈ [0, 1], asignar un único vector en L. De estemodo se puede definir una función f : [0, 1] → L, dada por f (t) = (1 − t)A + tB, y decir que f es unacurva y al segmento descrito por f es la traza. El dominio de f es subconjunto de R y el contradominioes subconjunto de Rn.

( 4.1.1 ) Sea f : I ⊂ R → Rn entonces f es una curva. Asimismo, los términos curva, camino y trayectoria sonindistintos entre sí. Además, α = f (I) será llamada la traza definida por f.

Obsérve que α no es la gráfica de f, el conjunto α es el recorrido o imagen de f. Asimismo, elconjunto α es subconjunto de del contradominio de f y la gráfica de f, Γ(f ), es subconjunto I ×Rn.

( 4.1.2 ) Sea f : [0, 2π]→ R2 definida según la regla de correspondencia

f : t 7Ï (cos t, sin t).

Determine la “figura geométrica” que es la traza descrita por f.

81

Capítulo 4. Curvas en Rn.

Sea α la traza descrita por f. Es importante la siguiente observación: todos los puntos de α estánen el círculo unitario S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, analíticamente esto es cierto pues ‖f (t)‖ = 1.Esto sugiere pensar que α = S1. Ahora bien, para cualquier t ∈ [0, 2π] se tiene que (cos t, sin t) ∈ S1.De esto se concluye que α ⊂ S1, falta ver que la otra contenencia también es válida. Sea (x, y) ∈ S1

entonces x2 + y2 = 1. Sea θ ∈ [0, 2π) el ángulo formado desde el vector (1, 0) al vector (x, y) entoncespor definición del seno y del coseno1 (x, y) = (cos θ, sin θ) ∈ α. De donde, α = S1. Este primer ejemplo,aunque sencillo, es de los más importantes pues da una parametrización de S1

( 4.1.3 ) Sea S ⊂ Rn, se dice que f : R→ Rn es una curva que parametriza S si la traza de f es S.

Observación: dada una función f : A ⊂ R→ R se tiene que su gráfica, Γ(f ), es un subconjunto de R2.Entonces, si se define g : A→ R2 dada por g(t) = (t, f (t)) entonces la traza de g es la gráfica de f y, pordefinición, g parametriza a f.

Queda advertido al lector que se debe recordar la parametrización del ejemplo (4.1.2) pues es, sinlugar a dudas, la más importante de las parametrizaciones del círculo, es sencilla y fácil de recordar.También nota que la parametrización aquí dada recorre al círculo en sentido contrario a las manecillasdel reloj. A este sentido se le conoce como levógiro. Hay otra cosa interesante, nuestra parametriza-ción empieza en (1, 0), cuando el ángulo es cero. Esto motiva en llamar a esta parametrización como«canónica» de S1. El ejemplo (4.1.2) puede generalizarse a un círculo arbitrario en R2.

( 4.1.4 ) Sea C = X ∈ R2 : ‖X − P‖ = r, el círculo de radio r y centro P. Encuentra una parametrización deC.

Ya se sabe que f : [0, 2π] → R2 dada por f (t) = (cos t, sin t) parametriza al círculo unitario entoncesrf (t) = r(sin t, cos t), debería parametrizar al círculo de radio r y centro 0. Entonces, g(t) = rf (t) + Pdebería parametrizar a C. Se verá que esto es cierto, se pone α = f ([0, 2π]). Observa que ‖g(t)− P‖ =r ‖f (t)‖ = r. Por lo tanto, α ⊂ C. Sea X ∈ C entonces se considera t el ángulo que forman los vectoresX − P y e1 = (1, 0). Entonces, f (t) = X − P

‖X − P‖ = 1r (X − P), de este modo, g(t) = X y C ⊂ α.

Con este ejemplo se ha podido parametrizar a todo círculo en R2. En los ejercicios se dan másparametrizaciones de curvas famosas.

Dadas dos curvas en el mismo espacio, por ejemplo f y g, hay interés en definir el tipo de opera-ciones que pueden realizarse con ellas. Por ejemplo, no existe la división o multiplicación de vectores,por ende, no seran definidas f

g o fg ; sin embargo, se puede pensar en división por coordenadas o mul-tiplicación por coordenadas, aún así, esto no se hará pues más adelante se identificarán a las funcionesvectoriales como matrices de 1× n cuyas entradas son funciones en vez de números.

( 4.1.5 ) Sean f y g dos curvas definidas en Rn y φ una curva en R. Se definen las siguientes funciones a partirde ellas:

1. la suma (de curvas en el mismo espacio) como la función f + g que posee regla de correspondenciat 7Ï f (t) + g(t) y dominio Dom (f + g) = Dom (f ) ∩Dom (g) ;

2. el producto escalar (de curvas en el mismo espacio) f · g como la función con regla de correspondenciat 7Ï f (t) · g(t) y dominio Dom (f · g) = Dom (f ) ∩Dom (g) ;

3. si n = 3, el producto vectorial f×g como la función con regla de correspondencia t 7Ï f (t)×g(t) y dominioDom (f × g) = Dom (f ) ∩Dom (g) ;

1Ve, por ejemplo, [21].

82

4.2. Límites.

4. el producto por una función escalar φf como la función con regla de correspondencia t 7Ï φ(t)f (t) y dominioDom (φf ) = Dom (φ) ∩Dom (f ) .

Es inmediato de estas definiciones que la función f · g es una función de R en R y la función f × ges una función de R en R3 y φf es de R en Rn.

z 4.1.1 Curvas equivalentes.¿Que debería significar que dos curvas son equivalentes? Una manera intuitiva de pensarlo es con

una partícula la cual recorre la traza descrita por una curva α. Si β es una curva equivalente a αentonces cuando la particula sigue la regla de correspondencia de β recorre la misma traza y en lamisma dirección que con α. Entonces, se debe mantener el sentido en el que se recorre el dominio deα.

( 4.1.6 ) Sea f : [a, b] → Rn una curva. Se dirá que g : [c, d] → Rn es equivalente a f si existe una funcióncontinua y estrictamente creciente u : [a, b] → [c, d] tal que u(a) = c y u(b) = d, además tal u satisface quef = g u. A u se le llama «cambio de parámetro».

( 4.1.7 ) Se supone que f es equivalente a g con cambio de parámetro u entonces g es equivalente a f concambio de parámetro u−1. Más aún, la relación en el espacio de curvas en Rn definida por

R : f y g son equivalentes,

es de equivalencia.

Esto es así pues al ser u continua y estrictamente creciente existe una inversa, también estrictamentecreciente, u−1 : [a, b] → [a, b] tal que g = f u−1. Además, es claro que f = f I[a,b] y si f = g u yg = h v entonces f = h (v u) y v u es continua y estrictamente creciente pues u y v lo son.

( 4.1.8 ) Cuando u es estrictamente decreciente se obtiene la definición de curvas opuestas. En particular,f, g : [a, b] → Rn y u : [a, b] → [a, b] es tal que u(t) = a + b − t, se dirá que g parametriza la misma trazaque f pero en dirección opuesta. Esto también se expresa diciendo que g es la curva f recorrida al revés.

( 4.1.9 ) Si f : [a, b]→ Rn entonces existe una curva equivalente a f, por ejemplo g, tal que g : [0, 1]→ Rn.

Hay que encontrar un cambio de parámetro adecuado. Define g(t) = f ((b − a)t + a) . Entonces,g : [0, 1]→ Rn. Observa que f (t) = g

Å t − ab − a

ã, donde u(t) = t − a

b − a . Claramente u representa una rectacon pendiente positiva, por lo que es una función continua y estrictamente creciente. Además, dado queu(a) = 0 y u(b) = 1 se ve que f es equivalente a g.

§ 4.2. Límites.Uno de los conceptos más importantes (y abstractos) en cálculo es el de límite. Cuando se habla de

límite siempr se piensa en cercanía. Entonces, el símbolo lımt→a

f (t) = L habrá de significar que la curvaf estará tan cerca como se desee de L bastando para esto acercar a t la suficiente a a. Esta expresiónintuitiva requiere ser expresada en términos precisos.

( 4.2.1 ) Sea f una curva definida sobre un conjunto I ⊂ R, sea a ∈ R un punto de acumulación de I. Se diceque un límite de f en a es L, denotado por lım

t→af (t) = L, si

(∀ε > 0)(∃δ > 0) tal que (0 < |t − a| < δ, t ∈ I Ñ ‖f (t)− L‖ < ε).

83


Observaciones:

1. El δ que aparece en la definición es, típicamente, función de ε y de a. Esto difiere con las sucesionesdonde el N encontrado era función únicamente de ε.

2. Muchos autores utilizan la notación lımaf = L para referirse al límite de f en a.

3. No se pide que a ∈ Dom (f ) pues puede suceder que I = [b, a) ∪ (a, c]. En este caso, nada impideque para valores cerca de a las imágenes de tales valores tengan como límite a cierto vector L.

4. Si a no es un punto límite de I pero está en I entonces cualquier vector L es límite de f en a.Para ver esto se observa lo siguiente, dado que a no es punto límite de I existe una bola centradaen a tal que su intersección con I es a. De este modo, cualquier punto distinto de a, que estéen esta bola e I satisface que su imagen dista de L menos que ε para cualquier ε > 0. Por eso esimportante que a sea punto límite de I.

5. Observa que la definición anterior coincide con aquella dada para funciones de R en R cuando lacurva está definida en R.

6. En principio no existe ninguna garantía que existe el límite. El siguiente teorema aclara este punto.

( 4.2.2 ) Sea f una curva definida en I tal que lımaf existe. Entonces este límite es único.

Se supone que lımaf = L1 y lım

af = L2. Sea ε > 0, para que ocurra las dos igualdades anteriores es

necesario y suficiente que2

∃δ1 > 0 tal que t ∈ B∗ (a; δ1) ∩ I Ñ ‖f (t)− L1‖ < ε

y∃δ2 > 0 tal que t ∈ B∗ (a; δ2) ∩ I Ñ ‖f (t)− L2‖ < ε.

Sea δ = mınδ1, δ2 entonces las dos implicaciones previas se mantienen simultáneamente. Observaque L1 = L2 ⇔ L1 − L2 = 0⇔ ‖L1 − L2‖ = 0, en donde la última equivalencia se deriva de la definiciónde norma (1.4.2). Usando la desigualdad triangular (otra vez, ve la definición de norma), se ve que

‖L1 − L2‖ = ‖L1 − f (t) + f (t)− L2‖ ≤ ‖L1 − f (t)‖+ ‖f (t)− L2‖ .

Para cualquier t ∈ B∗ (a; δ) se tiene que

‖f (t)− L1‖+ ‖f (t)− L2‖ ≤ 2ε.

Como L1 y L2 son vectores fijos y la última desigualdad se preserva para cualquier ε, se sigue que‖L1 − L2‖ es cero3. Esto prueba el teorema.

Antes de los siguientes ejemplos habrá que convenir algo. A partir de ahora se daren solamente laregla de correspondencia de una curva f y siempre se deberá considerar al dominio como el conjuntomás grande de R para el cual esta regla está definida.

( 4.2.3 ) Demuestra los siguientes límites.

1. lımt→2

(t, 2t, t − 1) = (2, 4, 1);

2Aquí se está usando la notación B∗ (a; δ) = B (a; δ) \ a, la bola agujerada de centro a y radio δ.3Si es clara la conclusión puedes proceder como sigue. Supón por el contrario que ‖L1 − L2‖ > 0, sea ε = ‖L1 − L2‖

4 entonces

‖L1 − L2‖ < 2ε = ‖L1 − L2‖2 , lo que es falso por la suposición de que ‖L1 − L2‖ > 0

84

4.2. Límites.

2. lımt→0

(sin t, t) = (0, 0).

Se resuelve cada caso.

1. Sea ε > 0, se quiere encontrar un δ > 0, como función de ε y 2, tal que se satisfaga la definiciónde límite. Observa que 2 es un punto límite del dominio de la función (en este caso el dominioes R, el conjunto más grande donde la función está definida). También, si se pidiera encontrarel límite de la primera coordenada (o de la tercera), solamente bastaría dar δ ≤ ε para que sesatisficiera la definición de límite. Análogamente, si se tomára a la segunda coordenada se tendríaque cualquier δ ≤ 1

2ε es buen candidato. Resulta natural pensar que δ = 12ε, es buen candidato;

sea t ∈ B∗ (2; δ) . Entonces

‖f (t)− L)‖ = ‖(t, 2t, t − 1)− (2, 4, 1)‖ = ‖(t − 2, 2t − 4, t − 2)‖= ‖(t − 2)(1, 2, 1)‖ = |t − 2| ‖(1, 2, 1)‖ =

√6|t − 2|

<√

6δ =√

62 ε.

Este δ “casi” funcionó4; sin embargo, ahora es claro cuál es el candidato adecuado; sea δ = 1√6ε.

Con repetir los pasos anteriores se ve que

δ ≤ ε√6Ñ ‖(t, 2t, t − 1)− (2, 4, 1)‖ < ε.

2. Este ejemplo es un poco más complicado que el anterior, sin embargo, es más ilustrativo. Dadoε > 0 existen δ1 y δ2 tales que

|t| < δ1 Ñ | sin t| <ε√2

y |t| < δ2 Ñ |t| <ε√2

La existencia de δ1 y δ2 está garantizada pues en R las funciones seno e identidad son continuas.Sea δ = mınδ1, δ2 entonces para todo t ∈ B∗ (0; δ) se tiene que

‖f (t)− L‖ = ‖(sin t, t)‖ =»

sin2(t) + t2 <

ε2

2 + ε2

2 = ε,

que es lo que se quería demostrar.

Seguramente el lector estará sospechando los límites de curvas se comportan como límites desucesiones. Esto es, si f = (f1, . . . , fn) entonces

lımt→a

f (t) =(lımt→a

f1(t), . . . , lımt→a

fn(t))

;

esto es cierto.

( 4.2.4 ) Sea f = (f1, . . . , fn) una curva en Rn, y sea a un punto de acumulación de Dom (f ) . Para quelımt→a

f (t) = L es ncesario y suficiente que lımt→a

fi(t) = Li, para cada i = 1, . . . , n.

4Siendo menos estrictos, éste δ es suficiente para demostrar el límite pues el multiplicar por cualquier constante positiva nomodifica el significado geométrico de límite. Simplemente, se considera una bola reducida más pequeña (o más grande, segúnsea el caso).

85


Se demostrará la necesidad y la suficiencia quedará a cargo del lector.Se supone que lım

t→af (t) = L entonces, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo t ∈ B∗ (a; δ) se

tiene que ‖f (t)− L‖ < ε. Observa que

|fi(t)− Li| ≤ ‖f (t)− L‖ < ε, consecuencia del ejercicio (1.20),

esto prueba que lımt→a

fi(t) = Li para todo i = 1, . . . , n.

Los ejemplos anteriores dieron pauta para sospechar del teorema anterior. El cual permite reducirel problema de encontrar el límite de una curva en Rn a encontrar n límites de funciones de R en R.Del mismo modo se puede pensar lo siguiente, dado que la definición de límite de curvas coincide conla de funciones de R en R entonces los teoremas de aquellas funciones deberán tener sus análogos ndimensionales.( 4.2.5 ) Sean f y g dos curvas definidas en el mismo espacio y sea a um punto de acumulación de Dom (f + g) ,también se supone que lım

t→af (t) = L1 y lım

t→ag(t) = L2. Entonces,

lımt→a

(f + g)(t) = L1 + L2.

Hay que hacer una aclaración, se deben demostrar dos cosas, la primera es que el límite de f + gen a existe, la segunda, que este límite es L1 + L2.

Sea ε > 0. D acuerdo al ejercicio (3.16) a es punto límite de Dom (f ) y de Dom (g) . Entonces, existenδ1 y δ2 tales que

t ∈ B∗ (a; δ1) ∩Dom (f )Ñ ‖f (t)− L1‖ <ε2

yt ∈ B∗ (a; δ2) ∩Dom (g)Ñ ‖g(t)− L2‖ <

ε2

De este modo, se toma δ = mınδ1, δ2 entonces las dos ecuaciones anteriores se satisfacen simultá-neamente. Por lo tanto, para t ∈ B∗ (a; δ) ∩Dom (f + g) , se tiene que

‖(f + g)(t)− (L1 + L2)‖ = ‖f (t)− L1 + g(t)− L2‖

≤ ‖f (t)− L1‖+ ‖g(t)− L2‖ <ε2 + ε

2 = ε

Lo cual prueba que el límite de f + g en a existe y es igual a L1 + L2. La demostración de este teorema fue prácticamente la misma que en el caso de una variable.

( 4.2.6 ) Sean f y g dos curvas definidas en el mismo espacio y sea a un punto de acumulación de Dom (f · g) .Se supone que lım


t→ag(t) = L2. Entonces

lımt→a

(f · g)(t) = L1 · L2.

Se sabe que los límites de f y g existe si y solo si existen coordenada a coordenada. Luego,

lımt→a

(f · g)(t) = lımt→a

n∑i=1

(figi)(t) =n∑i=1

lımt→a

fi(t)gi(t)

=n∑i=1

lımt→a

fi(t) lımt→a

gi(t)

=(lımt→a

f1(t), . . . , lımt→a

fn(t))·(lımt→a

g1(t), . . . , lımt→a

gn(t))

= lımt→a

f (t) · lımt→a

g(t) = L1 · L2.

Esto concluye la demostración.

86

4.2. Límites.

( 4.2.7 ) Considera las curvas f y g definidas en R2 de la siguiente forma

f (t) =Å ln(t + 1)

t , sin tt

ãy g(t) =

Å 1t2 + 1 , exp

ß− 1t2

™ã.

Cierto o falso: el límite en 0 de f · g existe. En caso de existir, calcularlo.

En acuerdo con (4.2.6) basta encontrar los límites de f y g, pero para hacer esto basta encontrarlos límites por coordenadas. Como lım

t→0ln(t + 1) = lım

t→0t = 0, se tiene, por la regla de L’Hôpital, que

lımt→0

ln(t + 1)t = lım

t→0

1t + 1 = 1. Análogamente, lım

t→0

sin tt = 1, esto prueba que lım

t→0f (t) = (1, 1). Para la

curva g se tiene que lımt→0

1t2 + 1 = 1 y lım

t→0exp

ß− 1t2

™= lım

w→−∞ew = 0, pues lım

t→0− 1t2 = −∞ y exp es una

función continua. Así, ha sido demostrado que lımt→0

g(t) = (1, 0). Consecuentemente, en virtud de (4.2.6)se tiene que lım

t→0(f · g)(t) = 1.

( 4.2.8 ) Sean f y g curvas que están definidas en R3 y sea a un punto de acumulación de Dom (f × g) .Asimismo, se supone que lım


t→ag(t) = L2. Entonces, existe lım

t→a(f × g)(t) y se tiene la siguiente

igualdadlımt→a

(f × g)(t) = L1 × L2.

Recuerda que si A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3), entonces

A× B = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)

De este modo,

lıma

(f × g) = lıma

(f2g3 − f3g2, f3g1 − f1g3, f1g2 − f2g1)

= (lıma

(f2g3 − f3g2), lıma (f3g1 − f1g3), lıma (f1g2 − f2g1))

= (lımaf1, lıma f2, lıma f3)× (lım

ag1, lıma g2, lıma g3)

= lımaf × lım

ag = L1 × L2.

Esto concluye la demostración. Falta considerar los límites que se presentan cuando se tiene una función real de variable real

multiplicando a una curva, como es de esperarse, éste límite es el producto de los límites. Se deja estocomo ejercicio para el lector.

Con los teoremas anteriores se puede encontrar casi cualquier límite que se presente en la práctica.La idea para encontrar límite es simple, se encuentra el límite coordenada a coordenada. Luego, serealizan las operaciones algebraicas necesarias.

( 4.2.9 ) Encuentra los siguientes límites.

1. lımt→π

(sin t, cos t, t);

2. lımt→2

Ä√t, (sin t)t

ä.

Como se sabe, basta encontrar los límites individuales. Entonces,

lımt→π

(sin t, cos t, t) =(lımt→π

sin t, lımt→π

cos t, lımt→π

t)

= (sinπ, cosπ, π) = (0,−1, π)

87


ylımt→2

Ä√t, sint(t)

ä=(lımt→2

√t, lımt→2

(sin t)t)

=Ä√

2, (sin 2)2ä.

Obsérve que se han usados hechos de cálculo de una variable, a saber, las funciones seno, coseno,identidad y exponencial son continuas.

§ 4.3. Continuidad.Como su nombre indica, en esta sección se hablará de continuidad y se demostrarán algunos teore-

mas concernientes a ella. Supón entonces que una mosca se encuentra volando en la habitación. Paraque ella pueda trasladarse de un punto determinado A a otro punto determinado B la mosca no puededesaparecer en A y aparecer en algún punto arbitrario C, tiene que recorrer todo un camino que nose rompe.

( 4.3.1 ) Sea f una curva y a ∈ Dom (f ) ; si a no es punto de acumulación de Dom (f ) , se dirá que f es continuaen a; si a es un punto de acumulación de Dom (f ) , se dirá que f es continua en a si

(∀ε > 0)(∃δ > 0) tal que(t ∈ B (a; δ) ∩Dom (f )Ñ f (t) ∈ B (f (a);ε)

).

Observaciones:

1. Si f es una curva y a es un punto de acumulación del dominio de f entonces para que f seacontinua en a es necesario y suficiente que

lımt→a

f (t) = f (a).

2. La definición de continuidad ha sido dada para cada punto del dominio de la curva. Luego, estoes lo que se conoce como una propiedad local de la curva. Puede suceder que haya curvas quesean continuas en un único de su dominio. Como muestra, considera la curva f : R → R dadapor f (x) = x para x racional y f (x) = 0 para x irracional. Tal curva satisface ser continua en ceropero no en ningún otro punto de su dominio.

3. Si f está definida sobre un conjunto I ⊂ R se dirá que f es continua en I si para todo x ∈ I, f escontinua en x. Con esto, si se dice que f es una curva continua se deberá entender que f es unacurva continua en cada punto de su dominio.

La demostración de los teoremas sobre contiuidad se basa en usar repetidamente (4.2.4) para lospuntos de acumulación del dominio.

( 4.3.2 ) Sean f = (f1, . . . , fn) una curva definida en Rn y a ∈ Dom (f ) . Una condición necesaria y suficientepara que f sea continua en a es que cada fi sea continua en a.

( 4.3.3 ) Sean f y g curvas definidas en Rn las cuales son continuas en a. Se cumple lo siguiente:

1. f + g es continua en a;

2. f · g es continua en a;

3. f × g es continua en a.

En Rn la continuidad puede ser definida sin usar límites, sin usar el clásico estilo ε-δ. Si dos puntosestán arbitrariamente cercanos en la imagen entonces sus preimágenes están arbitrariamente cerca.

88

4.4. Diferenciación.

( 4.3.4 ) Sea f una curva con valores en Rn. Para que f sea continua en t ∈ Dom (f ) es necesario y suficienteque para toda bola B (f (t);ε) en Rn exista una bola B (t; δ) en R tal que

f (B (t; δ) ∩Dom (f )) ⊂ B (f (t);ε) .

Para f continua en t considera ε > 0 entonces existe δ > 0 tal que para s ∈ Dom (f ) con |t − s| < δse tiene que |f (t)− f (s)| < ε. Esto es precisamente que f (B (t; δ) ∩Dom (f )) ⊂ B (f (t);ε) .

Se supone ahora que para toda bola B (f (t);ε) en Rn exista una bola B (t; δ) en R tal que

f (B (t; δ) ∩Dom (f )) ⊂ B (f (t);ε) .

Toma ε > 0 entonces existe δ > 0 con f (B (t; δ) ∩Dom (f )) ⊂ B (f (t);ε) . Esto es, existe un δ > 0 para elcual, si s ∈ Dom (f ) es tal que |t − s| < δ entonces ‖f (t)− f (s)‖ < ε. Es decir, f es continua en t.

( 4.3.5 ) Sea f una curva con valores en Rn. Para que f sea continua en t ∈ Dom (f ) es necesario y suficienteque para todo abierto U ⊂ Rn que tenga a f (t) como elemento exista un abierto I ⊂ R que contenga a t tal quef (I ∩Dom (f )) ⊂ U.

La demostración utilizará el teorema anterior. Considera a f una función continua de t. Sea U unabierto que contenga a f (t) entonces existe ε > 0 con B (f (t);ε) ⊂ U. Por el teorema anterior, existeδ > 0 tal que

f (B (t; δ) ∩Dom (f )) ⊂ B (f (t);ε) ⊂ U.

Toma I = B (t; δ) , luego, el resultado se sigue.Recíprocamente, sea ε > 0 entonces para U = B (f (t);ε) existe I abierto con t ∈ I y f (I∩Dom (f )) ⊂ U.

Al ser I abierto y t ∈ I existe un δ > 0 tal que B (t; δ) ⊂ I. Por el teorema anterior, f es continua en t.

§ 4.4. Diferenciación.En los cursos de cálculo de una variable el lector debió haber aprendido lo que es una derivada.

Quienes estudiaron carreras con fuerte base matemática deberán saber que la derivada es un númeroque se obtiene como el resultado de un límite. Más aún, la derivada tiene interpretaciones geométricas yfísicas interesantes. En R la derivada de una función f en un punto t es el valor numérico de la pendientede la recta tangente a f en t. Para la física la derivada representa la razón de cambio instantánea en t.Esto es, el promedio puntual del crecimiento de una función respecto al crecimiento de su argumento.Como es de esperarse, la derivada de una curva también tiene representaciones geométricas y físicas.

A diferencia de las funciones de Rn en Rm, donde definir derivada es bastante más complicado queeste caso, la generalización a una curva es simple y natural. Cómo en el caso de los límites, la derivadade una curva es la derivada por coordenadas.

( 4.4.1 ) Sea f una curva definida en Rn. La derivada de f, denotada como f ′ es una función de un subconjuntode R a Rn con regla de correspondencia

f ′(t) = lımh→0

f (t + h)− f (t)h

y dominio el conjunto de puntos donde el anterior límite existe.

Observaciones:

1. La derivada es única, lo cual queda claro de la unicidad de los límites.

89


2. La derivada ha sido definida como una función de R a Rn. Esto difiere con lo aprendido encursos de cálculo de una variable, donde la derivada era un número. Asimismo, esto diferirá conla derivada más general presentada en el siguiente capítulo. Sin embargo, se demostrará en elpróximo capítulo que pese a las diferentes definiciones todas se adaptan al caso general haciendoalgunas identificaciones naturales.

3. En el caso real también se pudo haber dicho que la derivada era una función de R en R quesatisface el anterior límite. Con esto en mente, las definiciones de derivada para funciones de Ren R y las de curvas coinciden cuando n = 1.

4. Dada una curva f = (f1, . . . , fn), para que esta sea diferenciable en f es necesario y suficiente quecada fi sea diferenciable en a. En este caso f ′(a) = (f ′1(a), . . . , f ′n(a)). Lo que es inmediato de (4.2.4).

5. Existen variadas notaciones para la derivada. La siguiente es una lista de símbolos que denotan ala derivada de f : f ′, D(f )(t), Df (t), dfdt , si f (t) = X(t) entonces dX

dt denota la derivada, ddt f (t), y f ,o bien, si f (t) = X(t) entonces X. Esta última es frecuentemente utilizada en la física.

6. El problema de encontrar una derivada de R en Rn se transformó al de encontrar n derivadasde funciones de R en R. Observa que todos los teoremas sobre funciones con dominio R ycontradominio Rn se han desmenuzado a resolver n veces el mismo teorema de R a R. Lomismo sucedió con sucesiones y series.

z 4.4.1 Teoremas sobre derivadas.Aquí se desarrollarán técnicas para derivar curvas y las funciones definidas por operaciones entre

ellas. Se verá que, como en el caso de una variable, diferenciabilidad implica continuidad y no al revés.También se demostrará una generalización del teorema del valor medio a curvas.

Se empieza con cómo calcular derivadas.( 4.4.2 ) Sean f y g dos curvas en Rn para las cuales f ′ y g ′ existen en a. Entonces (f + g)′ existe en a y(f + g)′(a) = f ′(a) + g ′(a).

Pues para cada i = 1, . . . , n se tiene que (f + g)′i(a) = f ′i (a) + g ′i (a).

( 4.4.3 ) Sean f y g dos curvas en Rn para las cuales f ′ y g ′ existen en a. Entonces (f · g)′ existe en a y

(f · g)′(a) = f (a) · g ′(a) + f ′(a) · g(a).

El modo más sencillo de proceder es utilizando la regla del producto para funciones de R en R. Deeste modo,

(f · g)′(a) =( n∑

i=1fi(a)gi(a)

)′=

n∑i=1

(fi(a)gi(a))′

=n∑i=1

(fi(a)g ′i (a) + f ′i (a)gi(a))

=n∑i=1

fi(a)g ′i (a) +n∑i=1

f ′i (a)gi(a)

= f (a) · g ′(a) + f ′(a) · g(a).

Lo cual concluye la demostración. De entre todas las operaciones que se definieron para curvas en Rn existe una que está definida

exclusivamente para curvas en R3. Este es, el producto vectorial.

90

4.4. Diferenciación.

( 4.4.4 ) Sean f y g dos curvas en R3 para las cuales f ′ y g ′ existen en a. Entonces (f × g)′ existe en a y

(f × g)′(a) = f (a)× g ′(a) + f ′(a)× g(a).

Sean f = (f1, f2, f3) y g = (g1, g2, g3) entonces (omitiendo la evaluación en a, por falta de espacio)

(f × g)′ = (f2g3 − f3g2, f3g1 − f1g3, f1g2 − f2g1)′

= ((f2g3 − f3g2)′, (f3g1 − f1g3)′, (f1g2 − f2g1)′)= (f2g ′3 + f ′2g3 − f3g ′2 − f ′3g2, f3g ′1 + f ′3g1 − f1g ′3 − f ′1g3,

f1g ′2 + f ′1g2 − f2g ′1 − f ′2g1)= (f2g ′3 − f3g ′2, f3g ′1 − f1g ′3, f1g ′2 − f2g ′1)

+(f ′2g3 − f ′3g2, f ′3g1 − f ′1g3, f ′1g2 − f ′2g1)= f × g ′ + f ′ × g.

Lo cual concluye la demostración. En el teorema para obtener la derivada de un producto vectorial entre curvas se debe tener cuidado

en el orden en que aparecen los factores, pues el producto cruz no es conmutativo. Finalmente, sedemuestra el teorema que corresponde a la operación del producto de una función real con unavectorial.

( 4.4.5 ) Sea f una curva y φ una función real de variable real para las cuales f ′ y φ′ existen en a. Entonces

(φf )′(a) = φ(a)f ′(a) + φ′(a)f (a).

Sea f = (f1, . . . , fn) entonces

(φf )′(a) = (φf1, . . . , φfn)(a)′ = ((φf1)′(a), . . . , (φfn)′(a))= (φ(a)f1(a)′ + φ′(a)f1(a), . . . , φ(a)f ′n(a) + φ′(a)fn(a))= (φf ′1, . . . , φf ′n)(a) + (φ′f1, . . . , φ′fn)(a)= φ(a)f ′(a) + φ′(a)f (a).

Con esto demostramos el teorema.

Observación: Es interesante que estos teoremas hayan dado como derivada la misma regla de co-rrespondencia. En los tres casos se tiene un producto P(f, g)(t) y se satisface que P es lineal en f y eng, luego d

dt P(f, g)(t) = P(f, g ′)(t) + P(f ′, g)(t). En el siguiente capítulo se verá la razón de esto.Un hecho importante es que si una función real de variable real es derivable entonces la función

es suave en los puntos donde es derivable. También se sabe que si una función es derivable en algúnpunto t, tiene que ser continua en t.

( 4.4.6 ) Sea f una función definida en un conjunto I ⊂ R y sea a ∈ I tal que f ′ existe en a. Entonces f escontinua en a.

La idea de la demostración es, esencialmente, la misma que para el caso R. Como f es derivableen a, lım

h→0

f (a + h)− f (h)h existe. También, f es continua en a si lım

t→af (t) = f (a) o, equivalentemente,

91


lımt→a

[f (t)− f (a)] = 0. Como

lımt→a

[f (t)− f (a)] = lımt→a

[f (t)− f (a)] = lımh→0

(f (a + h)− f (a))

= lımh→0

(f (a + h)− f (a))h h

= lımh→0

(f (a + h)− f (a))h lım

h→0h

= f ′(a) · 0 = 0

se ve que lımt→a

f (t) = f (a), mostrando lo pedido

( 4.4.7 ) Sea f una curva en Rn definida sobre [a, b], con a < b, tal que f es diferenciable en (a, b) y continuaen [a, b]. Entonces, para cada i = 1, . . . , n, existe ci ∈ (a, b) tal que

f (b)− f (a) = (b − a)(f ′1(c1), . . . , f ′n(cn)

).

Esto se conoce como el «teorema del valor medio clásico».

Como f es diferenciable en (a, b) y continua en [a, b] cada fi es diferenciable en (a, b) y continuaen [a, b]. Entonces, cada función fi satisface el teorema del valor medio clásico para funciones de R aR. Entonces, para cada i = 1, . . . , n existe ci ∈ (a, b) tal que

fi(b)− fi(a) = (b − a)f ′i (ci)

lo cual concluye la demostración.

Observaciones:

1. no se demuestra la existencia de un c en (a, b) tal que f (b) − f (a) = (b − a)f ′(c). De hecho, engeneral, esto no se cumple. Por ejemplo, para f : [0, 1]→ R2 dada por f (t) = (t2, t3) no se cumple;en efecto, f ′(t) = (2t, 3t2), por lo cual f (1) − f (0) = f ′(c) si y solo si (1, 1) = (2c, 3c2). Pero ningúnc ∈ [0, 1] cumple esto.

2. Aquí se utilizó el teorema del valor medio clásico para funciones de R a R. En (4.6.8) se da unademostración alternativa al «teorema del valor medio» moderno.

Los teoremas anteriores fueron sencillos de demostrar, básicamente todo el trabajo desarrolladohasta ahora se ha resumido a cálculo de una variable.

z 4.4.2 Tangentes, Velocidad y Rapidez.¿Qué se entiende cuando se habla de tangencia? Una primera idea que viene a la mente es una recta

que se aproxima a la traza y la toca en un solo punto. En el círculo se cumple que esto es cierto, perouna traza en general no lo cumple. Como ejemplo básico cualquier recta. La tangente a una recta esla misma recta, por lo tanto, la tangente a una recta intersecta a la recta en una infinidad de puntos.

Hay trazas que en ciertos puntos de ellas se pueden dibujar una infinidad de rectas que no intersectana la traza salvo un punto. En ese caso, ¿cuál se elegiría como tangente? El ejemplo clásico para unatraza de este estilo es la gráfica de la función valor absoluto, pues en el punto cero tiene un pico.

Una traza en Rn tiene forma curvada. Si la traza es lo suficientemente suave entonces la rectaque fuere la tangente deberá aproximar a la traza en el punto dado. Lo más intuitivo es pensar quela tangente en el punto t debe ser la recta con pendiente f ′(t), para f de R a R. Entonces surge la

92

4.5. Longitud de Arco.

pregunta, ¿qué sería la pendiente en Rn? En R la pendiente se puede pensar como la dirección de larecta. Así, el análogo natural de la pendiente en Rn es el vector dirección. Entonces, la recta tangentea la traza descrita por f en el punto t debería ser

T = v ∈ Rn : v = f (p) + tf ′(p), t ∈ R.

( 4.4.8 ) Sea f una curva en Rn. Se dirá que f ′(p) es el vector tangente a f en p, siempre que tal vector exista.

Con la definición de vector tangente se procede a definir lo que es la recta tangente.

( 4.4.9 ) Sea f una curva en Rn con vector tangente en p. Se define la recta tangente a la traza descrita por fen p como

T = v ∈ Rn : v = f (p) + tf ′(p), t ∈ R.

( 4.4.10 ) Sea f : R→ R. Entonces, para que f sea diferenciable en a es necesario y suficiente que

lımh→0

f (a + h)− f (a)− hf ′(a)h = 0.

Se cumple que

lımh→0

f (a + h)− f (a)h = f ′(a) ⇔ lım

h→0

ï f (a + h)− f (a)h − f ′(a)

ò= 0

⇔ lımh→0

ï f (a + h)− f (a)h − hf ′(a)

h

ò= 0

⇔ lımh→0

f (a + h)− f (a)− hf ′(a)h = 0.

Que es lo afirmado.

( 4.4.11 ) Sea f una curva en Rn la cual es derivable en a y sea g la transformación afín con regla de corres-pondencia

g(t) = f (a) + tf ′(a)

entonces,

lımt→a

f (t)− g(t − a)t − a = 0.

Como el límite es el límite en cada coordenada esto es consecuencia de la proposición previa. En la demostración anterior se dice que la función g es buena aproximación “lineal” de f en p.Faltan de ser definidos los términos velocidad y rapidez. La velocidad, como en la física, expresa

más información que un simple número y su unidad. Expresa la razón de cambio de la curva, esto es,da la razón de cambio de la curva en cada coordenada. Luego, se dirá que la velocidad de f en p esf ′(p), en caso que exista. Asimismo, la rapidez expresará la magnitud de la velocidad. Por esta razón, ala rapidez también se le conoce como velocidad modular. Esta queda definida como ‖f ′(p)‖ , siempreque la velocidad en p de f exista.

§ 4.5. Longitud de Arco.El nombre de la sección dice todo lo que se busca ahora. Primero, antes de dar la definición, habrá

que hacerse unas preguntas. ¿Qué se pide a una curva para que su longitud esté definida? Se debebuscar una definición tal que se pueda hablar de la longitud. Recuerda que las trazas pueden serparametrizadas de muchas formas, en nuestro caso, se quiere que su longitud sea independiente de

93


la parametrización. Más aun, se quiere encontrar una fórmula explícita y relativamente sencilla paracalcular dicha longitud.

Se empieza tratatando de buscar algún significado a la longitud. Es natural pensar que ésta debeser la distancia recorrida por la curva en la traza. Ahora bien, si la curva recorre varias veces latraza entonces la distancia debe ser proporcional al número de veces que se ha recorrido la traza.Por ejemplo, es bien sabido que la longitud de la circunferencia unitaria es 2π, de este modo, la curvaf : [0, 2π]→ R2 dada por f (t) = (cos t, sin t) debe tener longitud de arco de 2π y la curva g : [0, 4π]→ R2

dada por g(t) = (cos t, sin t) debe tener una longitud de 4π.Es razonable preguntarse, ¿qué debe pedirse a la traza para que su longitud exista? Lo primero que

viene a la mente es pedirle que no se rompa, esto es, que sea continua. Es claro que no hay necesidadde perdir diferenciabilidad pues, la traza de t 7Ï (t, |t|) debería tener longitud sobre cualquier intervalode la forma [−a, a]. Lo que puede causar un poco de extrañeza es que tampoco hay necesidad de pedircontinuidad, una traza como (t,−1) para t < 0 y (t, 1) para t ≥ 0 también debería tener longitud encualquier intervalo de la forma [−a, a] y esta traza no es continua en el origen.

Lo más natural es empezar definiendo la longitud de segmentos de recta. Esta puede ser definidade la siguiente forma natural, se toma la distancia entre ambos puntos.

( 4.5.1 ) Sean A y B dos puntos en Rn. Se define la longitud del segmento de recta que une A con B como

L ([A,B]) = ‖A− B‖ .

¿Cómo se miden las distancias curvadas? Por lo regular se toma una medida recta unitaria y seaproxima la distancia traza con la medida recta. Se procede análogamente aquí; sea f : [a, b]→ Rn unacurva continua. Sea P = ti : t0 = a, tm = b, ti−1 < ti, i = 1, . . . ,m, una aproximación a la longitud defes

∆(f, P) =m∑i=1‖f (xi)− f (xi−1)‖ .

Luego, resulta natural considerar a

Lf ([a, b]) = sup∆(f, P) : P ∈ P

como la longitud buscada. Antes de hcer esto hay que verificar que la aproximación va mejorandoconforme la «norma» de P se va haciendo más fina, pero esto es cierto, ejercicio (4.64). Así, en efecto,la aproximación va mejorando y acercándose a la longitud de la traza cuando ésta es finita. En otrocaso no existe.

( 4.5.2 ) Sea [a, b] un intervalo en R. Se define una partición de [a, b] como cualquier familia P = (ti)i=0,1,...,nde puntos en [a, b] tales que a = t0 < t1 < . . . < tn = b. Si Q = (si)i=0,...,m es otra partición de [a, b] conn ≤m y tal que existen 0 = i0 < . . . < in−1 < in = m para los cuales sj = tij , o equivalentemente, la subfamilia(sij )j=0,...,n es P entonces a Q se le llama un refinamiento de P. Asimismo, el conjunto de todas las particionesde [a, b] es P([a, b]).

( 4.5.3 ) Sea f una curva continua en Rn definida en un intervalo [a, b]. Sea P una partición de [a, b], se definela aproximación de la longitud de arco de f por la partición P como

∆(f, P) =m∑i=1‖f (ti)− f (ti−1)‖ ,

en donde P = (ti)i=0,...,m.

94

4.6. Cálculo de longitud de arco.

( 4.5.4 ) Sea f una curva continua en Rn definida en un intervalo compacto I. Sea P(I) el conjunto de todas lasparticiones de I. Si a y b están en I (a ≤ b) entonces se define la longitud de arco de f entre a y b como

Lf ([a, b]) = sup∆(f, P) : P ∈ P([a, b])

en caso que exista. Si la tal longitud existe, se dirá que f es rectificable.

En el siguiente ejemplo se ilustra el uso de la definición (4.5.4) al demostrar que toda circunferenciaes rectificable.

( 4.5.5 ) Considera la circunferencia C de radio r > 0 centrada en P ∈ R2 entonces es rectificable.

De acuerdo con el ejercicio (4.66) y el ejemplo (4.1.4) se puede considerar que la circunferenciadada C está parametrizada por f (t) = r(sin t, cos t) +P para t ∈ [0, 2π]. Se observa que si Q = (ti)i=1,...,n

es una partición de [0, 2π] entonces ∆(f,Q) =n∑i=1‖f (ti)− f (ti−1)‖ . Pero f es diferenciable en (0, 2π) y

continua en [0, 2π]. Por el teorema (4.4.7) se tiene que f (ti) − f (ti−1) = (ti − ti−1)(cos(c1),− sin(c2)). Deeste modo,

∆(f,Q) = rn∑i=1

(ti − ti−1) ‖(cos(c1),− sin(c2))‖

≤ rn∑i=1

(ti − ti−1) (| cos(c1)|+ | sin(c2)|)

≤ 2rn∑i=1

(ti − ti−1) = 4rπ.

Esto muestra que ∆(f,Q)|Q ∈ P([0, 2π]) está acotado superiormente. De este modo f es rectificable.Más adelante se tendrá la oportunidad de calcular el valor de Lf ([a, b]).

§ 4.6. Cálculo de longitud de arco.Esta sección deberá leerse hasta después de haber leído el teorema de Heine-Cantor

(5.5.14) o mejor, después de haber leído el capítulo 5.En esta sección se desarrollará una técnica general para calcular longitudes de arco. La construcción

de la longitud de arco tiene importantes analogías con la construcción de la integral en R.La rapidez media es la razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. Así, la distancia

recorrida es la rapidez por el tiempo. Considerando la curva rectificable f como una función del tiempo,la cual da la posición de una partícula en Rn, se quiere calcular la longitud recorrida por la partículaen el intervalo [a, b]. Se supone que se tiene una partición P de [a, b] tal que

‖P‖ = maxi=1,...,m

|ti − ti−1|

es pequeño. La longitud de la traza sobre el intervalo [ti−1, ti] es tan pequeña que se puede aproximarcon la partición. Ahora bien, si se supone que en Rn la longitud es igual a la rapidez por el tiempo esrazonable la siguiente igualdad

Lf ([a, b]) ≈ ∆(f, P) =m∑i=1‖f (xi)− f (xi−1)‖ ≈

m∑i=1

∥∥∥f ′ Ätiä∥∥∥ (ti − ti−1) = S(‖f ′‖ , P)

95


donde ti =∈ [ti−1, ti].Es natural pensar que si se hacen refinamientos sucesivos de la partición P entonces debería tenerse

la siguiente expresión

lım‖P‖→0

S(‖f ′‖ , P) =b∫a

‖f ′(t)‖dt.

Es destacable que el símbolo lım‖P‖→0

no ha sido definido aún. Estas consideraciones conducen a la defini-

ción de integral, dada originalmente por Riemann5.

z 4.6.1 Integral de Riemann.Para poder dar una definición muy estilizada de la integral de Riemann es necesario introducir el

concepto de suma de Riemann.

( 4.6.1 ) Sean f : [a, b] → Rn una curva acotada, P = (ti)i=0,...,N una partición de [a, b] y ri ∈ [ti−1, ti].

Entonces, S(f, P) =N∑i=1

f (ri)(ti − ti−1) se conoce como una suma de Riemann de f en [a, b] con respecto a la

partición P y subordinada a la familia de punto intermedios (ri)i=1,...,N .

En la definición anterior la elección de los ri es completamente arbitraria. Con esta definición sepuede dar la definición que dió Riemann de integral.

( 4.6.2 ) Sea f : [a, b]→ Rn una curva acotada. Se dirá que f es integrable en el sentido de Riemann («Riemann-integrable») si existe un vector I ∈ Rn que satisfaga que para cada número ε > 0 exista una partición Pε de[a, b] tal que para todo refinamiento P de Pε se tenga que ‖I − S(f, P)‖ < ε, en donde S(f, P) es cualquiersuma de Riemann de f en [a, b]. En este caso, se dirá que I es una integral de Riemann de f sobre [a, b].

Esta definición es acorde a nuestra idea de que la integral sea un límite. Se denotará esto mediantelım‖P‖→0

S(f, P) = I.

El primer teorema que se demostrará afirma que la integral de Riemann es única cuando existe.La demostración es análoga al teorema para límite de una suma de curvas, todo se basa en utilizar ladesigualdad triangular.

( 4.6.3 ) Sea f : [a, b]→ Rn integrable según Riemann. Entonces, su integral es única.

Sean I y J integrales de Riemann de f sobre [a, b]. Dado ε > 0 existen Pε y Qε particiones de [a, b]tal que para toda suma de Riemann y todo refinamiento P de Pε y todo refinamiento Q de Qε se tieneque

‖I − S(f, P)‖ < ε2 y ‖J − S(f,Q)‖ < ε

2 .

Luego, considerando un refinamiento común (ve ejercicio (4.63)) Rε se tiene que para R refinamientode Rε se obtiene que ‖I − J‖ < ε. Dado que esto puede repetirse para cualquier ε > 0 dado, se puedeconcluir que, I = J.

El lector ya ha de haber notado que la mayoria de las propiades de funciones de R a Rn se reducea considerar n veces el caso de R a R. En particular para la integral de Riemann.

5La definición de integral de Riemann que maneja sumas superiores e inferiores fue originalmente dada por Jean GastonDarboux (14 de febrero de 1842 - 23 de febrero de 1917), un matemático francés. Para evitar caer en confusiones se dirá que unafunción es integrable en el sentido de Darboux si satisface la definición dada por Darboux. Asimismo, se supondrá que el lectoraprendió integración de Darboux en sus cursos de cálculo de una variable. El desarrollo de tal integral puede ser encontrado enel libro de Michael Spivak [21].

96


( 4.6.4 ) Sea f = (f1, . . . , fn) : [a, b] → Rn una curva acotada. Para que la integral de Riemann de f sobre[a, b] exista es necesario y suficiente que la integral de Riemann de cada fi sobre [a, b] exista. En este caso, siI = (I1, . . . , In) es la integral de f entonces Ii es la integral de fi.

Todo lo que hay que notar es que

S(f, P) = (S(f1, P), . . . , S(fn, P)).

Luego, como de costumbre, en virtud del ejercicio (1.20)

|Ii − S(fi, P)| ≤ ‖I − S(f, P)‖ ≤n∑k=1|Ik − S(fk, P)|,

por lo que si f es integrable según Riemann también lo es cada fi y recíprocamente. Ahora se demostrará que para funciones a valores reales, la integral de Riemann que ha sido

definido antes es equivalentemente a la integral de Darboux, aprendida a los cursos de cálculo de unavariable.

( 4.6.5 ) Una condición necesaria y suficiente para que f : [a, b] → R sea integrable según Darboux es que seaintegrable según Riemann; en este caso, ambas integrales coinciden.

Se supone primero que f es integrable según Darboux y sea I su integral. Se denotará por U(f, P)a la suma superior de f en [a, b] respecto a la partición P y por L(F,P) a la suma inferior. Entonces,dado ε > 0 se puede encontrar una partición P de [a, b] tal que U(f, P) − L(f, P) < ε

2 . Para cualquier

valor x comprendido entre L(f, P) y U(f, P) se puede concluir que 0 ≤ U(f, P) − x < ε2 . Recuerda

que I está comprendido entre L(f, P) y U(f, P). Sea S(f, P) cualquier suma de Riemann de f respectode la partición P. Entonces, de acuerdo a las definiciones de L(f, P), U(f, P) y S(f, P) se tiene queL(f, P) ≤ S(f, P) ≤ U(f, P). Por lo que 0 ≤ U(f, P)− S(f, P) < ε

2 entonces

|I − S(f, P)| ≤ |I −U(f, P)|+ |U(f, P)− S(f, P)| < ε.

Esto demuestra que si f es integrable en [a, b] según Darboux con integral I entonces f es integrablesegún Riemann en [a, b] con integral I.

Se supone ahora que f es integrable según Riemann. Sea I como en la definición (4.6.2) y sea ε > 0.Para cada partición P de [a, b] se puede escoger SU (f, P) y SL(f, P) tales que

0 ≤ (U, f )− SU (f, P) < ε4 y 0 ≤ SL(f, P)− L(f, P) < ε

4 .

Por la integrabilidad de f, se puede encontrar una partición Pε tal que si P es un refinamiento de Pεentonces para cualquier suma de Riemann S(f, P) se tiene que

|I − S(f, P)| < ε4 .

De este modo,

U(f, Pε)− L(f, Pε) = U(f, Pε)− SU (f, Pε) + SU (f, Pε)− SL(f, Pε) + SL(f, Pε)− L(f, Pε)

y como|SU (f, Pε)− SL(f, Pε)| ≤ |SU (f, Pε)− I|+ |I − SL(f, Pε)| <

ε2 ,

se ve queU(f, Pε)− L(f, Pε) < ε.

Esto concluye la demostración.

97


( 4.6.6 ) Para una curva f con primera derivada continua se tiene que

lım‖P‖→0

S(‖f ′‖ , P) =b∫a

‖f ′(t)‖dt.

En efecto, esto es consecuencia de que todas las funciones continuas son integrables6, por lo que loúnico que se debe verificar es que ‖f ′‖ es continua cuando f ′ lo es. Pero dado ε > 0 y t1 ∈ [a, b] existeδ > 0 tal que |t1 − t2| < δ Ñ ‖f ′(t1)− f ′(t2)‖ < ε. De acuerdo al ejercicio (1.19), se tiene que

| ‖f ′(t1)‖ − ‖f ′(t2)‖ | ≤ ‖f ′(t1)− f ′(t2)‖ < ε

siempre que |t1 − t2| < δ.

z 4.6.2 El teorema del valor medio.Se demostrará ahora la versión más moderna del teorema del valor medio. Es destacable que en

su libro de análisis [8], Jean Dieudonné afirma que éste es posiblemente el teorema más importante entodo el análisis matemático y que su verdadera belleza queda expresada como desigualdad, en la formaque se demostrará a continuación. Aunque se dará una versión más débil que aquella que presentaDieudonné en su libro, esta será suficiente para todos los propósitos del texto (y el autor del mismonunca ha necesitado la versión fortalecida que presenta Dieudonné).

( 4.6.7 ) Sea f : [a, b]→ Rm una curva, se dirá que f posee derivada por la derecha en un punto x ∈ [a, b) si

lımh→0,h>0

f (x + h)− f (x)h

existe; este límite será denotado por f ′d(x)7. Análogamente se define que f posee una derivada por la izquierda enx ∈ (a, b], denotado por f ′g (x)8 si

lımh→0,h<0

f (x + h)− f (x)h

existe.

( 4.6.8 ) Sean f : [a, b] → Rn una curva y g : [a, b] → R una función cualquiera. Se supone que f y g soncontinuas y sus derivadas por la derecha existen para todo x ∈ (a, b) y que estas satisfacen

‖f ′d(x)‖ ≤ g ′d(x) para cada a < x < b.

Entonces,‖f (b)− f (a)‖ ≤ g(b)− g(a).

Este es el «teorema del valor medio».

Aunque la idea puede parecer un poco oscura, se demostrará que para ε > 0 dado se satisface quepara todo x ∈ [a, b]

‖f (x)− f (a)‖ ≤ g(x)− g(a) + ε(x − a) + ε para cada x ∈ [a, b].6Dado que una función es integrable según Riemann si y solo si es integrable según Darboux y con mismo valor de la integral

ya no hace falta especificar si se habla de integral de Riemann o de Darboux.7En francés, derecha se escribee droite; de ahí el uso de la d.8En francés la palabra izquierda se escribe gauche; al ser los franceses quienes introdujeron las derivadas laterales se utiliza

la notación adoptada por ellos.

98


Luego, bastará tomar el ínfimo sobre ε > 0, el lado izquierdo permanece igual por ser independientede ε y luego se obtiene el teorema.

Para demostrar esta igualdad define U como el conjunto de los x ∈ [a, b] para los cuales la desigual-dad es falsa; para concluir basta ver que U es vacío. Observa que U es abierto; esto se sigue del hechoque U = φ−1((0,∞)) para φ una curva continua (ve (4.3.5)). Supón entonces que exite x ∈ U. Claramen-te, U es acotado y no vacío, por lo tanto existe c = ınfU. Se tiene que c > a pues ‖f (a)− f (a)‖ = 0.Asimismo, c < b, pues si c = b entonces para todo x ∈ [a, b) se cumple la desigualdad, como f escontinua también se cumple para b. Finalmente, c /∈ U, porque todo x ∈ [a, c) satisface la desigualdad,de nuevo la continuidad de las funciones muestra que se satisface para c. De la definición de f ′d(c) yg ′d(c) existe δ > 0 para el cual x ∈ [c, c + δ] implica

‖f ′d(c)‖ ≥∥∥∥∥ f (x)− f (c)

x − c

∥∥∥∥− ε2 y g ′d(c) ≤

g(x)− g(c)x − c + ε

2 .

Como c /∈ U, se deduce que ‖f ′d(c)‖ ≤ g ′d(c) y así

‖f (x)− f (c)‖ ≤ g(x)− g(c) + ε(x − c).

Usando la desigualdad triangular se deduce que para cada x ∈ [c, c + δ] se cumple que

‖f (x)− f (a)‖ ≤ g(x)− g(a) + ε(x − a) + ε.

Por lo que c no es el ínfimo de U, lo que es una contradicción.

Observación: el caso más importante del teorema del valor medio es cuando f posee derivada acotada

en (a, b). En este caso se toma g ′(t) = sups∈(a,b)

‖f ′(s)‖ ; esto es, cuando g(t) =Ç

sups∈(a,b)

‖f ′(s)‖åt, y se obtiene

que‖f (b)− f (a)‖ ≤ (b − a) sup

t∈(a,b)‖f ′(t)‖ .

z 4.6.3 Fórmula para la longitud de arco.Ahora se conectará la integral de Riemann con la longitud de arco de una curva con primera

derivada continua.

( 4.6.9 ) Sea f : [a, b] → Rn una curva continua sobre [a, b] y diferenciable sobre (a, b) (se supone a < b) y

con primera derivada continua sobre [a, b]9. Entonces f es una curva rectificable y Lf ([a, b]) =b∫a

‖f ′(t)‖dt.

En efecto, sea P = (ti)i=0,...,m una partición de [a, b]. Entonces, en virtud del teorema del valor medio(4.6.8) aplicado a cada intervalo [ti−1, ti] se cumple que

∆(f, P) =m∑i=1‖f (ti)− f (ti−1)‖ ≤

m∑i=1

(ti − ti−1) supt∈[ti−1,ti ]

‖f ′(t)‖ ≤ supt∈(a,b)

‖f ′(t)‖ (b − a),

9Esto significa que f ′ existe sobre (a, b) y los límites lımt→a

f ′(t) y lımt→b

f ′(t) existen ambos.

99


en donde la última desigualdad es consecuencia de que supt∈[ti−1,ti ]

‖f ′(t)‖ ≤ supt∈(a,b)

‖f ′(t)‖ y de que la suma

resultante resulta telescópica10. Ahora, como t 7Ï ‖f ′(t)‖ es continua de [a, b] a R se sigue que estáacotada; sea M una cota. Entonces,

∆(f, P) ≤M(b − a),y M solo depende de f ′, a y b. Por lo tanto, f es rectificable.

Ahora se demostrará que para todo ε > 0 se cumple que∣∣∣∣∣∣Lf ([a, b])−b∫a

‖f ′(t)‖dt

∣∣∣∣∣∣ < ε.

Se aplicará una técnica clásica de análisis. Observa que para cualquier P ∈ P([a, b]),∣∣∣∣∣∣Lf ([a, b])−b∫a

‖f ′(t)‖dt

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣Lf ([a, b])−∆(f, P) + ∆(f, P)− S(‖f ′‖ , P) + S(‖f ′‖ , P)−

b∫a

‖f ′(t)‖dt

∣∣∣∣∣∣≤ |Lf ([a, b])−∆(f, P)|+ |∆(f, P)− S(‖f ′‖ , P)|+

∣∣∣∣∣∣S(‖f ′‖ , P)−b∫a

‖f ′(t)‖dt

∣∣∣∣∣∣ .Entonces, dado ε > 0, por definición de la longitud de arco, existe una partición Pε tal que

|Lf ([a, b])−∆(f, P)| ≤ ε3 ,

en donde P es cualquier refinamiento de Pε. Ahora, en virtud de (4.6.6) se cumple que existe unQε ∈ P([a, b]) tal que si Q es un refinamiento de Qε entonces para cualquier suma de Riemann

S(‖f ′‖ , P) se cumple que

∣∣∣∣∣∣S(‖f ′‖ , P)−b∫a

‖f ′(t)‖dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ ε3 . Se consideran las sumas específicas

S(‖f ′‖ , Q) =m∑j=1‖f ′(qj−1)‖ (qj − qj−1),

en donde Q = (qj )j=0,...,m. Por lo tanto, faltan acotar los términos de la forma |∆(f, R)− S(‖f ′‖ , R)| , endonde R ∈ P([a, b]). Para esto supón que R = (rj )j=0,...,m entonces

|∆(f, R)− S(‖f ′‖ , R)| =

∣∣∣∣∣∣m∑j=1‖f (rj )− f (rj−1)‖ −

m∑j=1‖f ′(rj−1)‖ (rj − rj−1)

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣m∑j=1

[‖f (rj )− f (rj−1)‖ − ‖f ′(rj−1)‖ (rj − rj−1)

]∣∣∣∣∣∣≤

m∑j=1

∣∣[ ‖f (rj )− f (rj−1)‖ − ‖f ′(rj−1)‖ (rj − rj−1)]∣∣

≤m∑j=1‖f (rj )− f (rj−1)− f ′(rj−1)(rj − rj−1)‖ ,

10Una sumam∑i=1

(xi − yi) se llama telescópica si xi+1 = yi ; es fácil ver que en tal caso la suma vale xm − y1 (aplique inducción

en m).

100


donde la última desigualdad fue demostrada en el ejercicio (1.19).Ahora, como f es diferenciable, se puede escribir

f (x + h)− f (x)h = f ′(x) + ε(x;h),

donde ε(x;h) es el «error de aproximación» de f en x con incremento h. Tal error satisface que paratodo x fijo, lım

h→0ε(h;x) = 0. Entonces, despejando el error, resulta

‖ε(h;x)‖ = ‖f (x + h)− f (x)− f ′(x)h‖|h| ,

que igualmente tiende a cero cuando h→ 0 siempre que x se mantenga fijo. Esto demuestra que, trassustituir en la desigualdad anterior,

∣∣∆(f, R)− S(‖f ′‖ , R)∣∣ ≤ m∑

j=1‖ε(rj − rj−1; rj−1)‖ (rj − rj−1).

¡En esta última desigualdad h tiende cero pero x no es fijo! Por lo que debe hacerse un refinamiento11.Esta es la parte más difícil pues involucra el concepto de continuidad uniforme12. Entonces, define lafunción g : [a, b]× [a, b]→ Rn como

g(x, y) =

f (x)− f (y)x − y si x 6= y

f ′(x) si x = y.

Se afirma que g es continua en todo su dominio. Es claro que g es continua en los puntos x 6= y. Solose verificará que g es continua cuando x = y. Sean r > 0 y |h|, |k| < r. Se observa lo siguiente, supónprimero que h 6= k,

‖g(x + h, x + k)− f ′(x)‖ ≤ ε⇔∥∥∥∥ f (x + h)− f (x + k)

h − k − f ′(x)∥∥∥∥ ≤ ε

⇔ ‖f (x + h)− f (x + k)− f ′(x)(h − k)‖ ≤ (h − k)ε⇔∥∥f (x + h)− f ′(x)h −

[f (x + k)− f ′(x)k

]∥∥ ≤ (h − k)ε⇔ ‖φ(h)− φ(k)‖ ≤ (h − k)ε,

donde φ(t) = f (x + t) − f ′(x)t. Esto sugiere utilizar el teorema del valor medio (4.6.8). Aplicándolo, seconcluye que

‖φ(h)− φ(k)‖ ≤ (h − k) supt∈[−r,r]

‖φ′(t)‖ ,

puesto que [h, k] ∪ [k, h] ⊂ [−r, r] (uno de los dos intervalos entre [h, k] y [k, h] es vacío puesto que seha supuesto que h 6= k.). Observa que φ′(t) = f ′(x + t)− f ′(x). Por lo tanto, se ha demostrado que

‖g(x + h, x + k)− f ′(x)‖ ≤ supt∈[x−r,x+r]

‖f ′(x + t)− f ′(x)‖

siempre que h 6= k y |h|, |k| ≤ r. Si h = k y |h| ≤ r se ve que

‖g(x + h, x + k)− f ′(x)‖ = ‖f ′(x + h)− f ′(x)‖ ≤ supt∈[x−r,x+r]

‖f ′(x + t)− f ′(x)‖ ,

11Se espera que el lector entienda esta sutileza, pues la prueba puede quebrarse en este punto si tal cuestión es ignorada.12A partir de este punto es donde se supone conocido el teorema de Heine-Cantor (5.5.14)

101


lo cual muestra que para cualesquier |h|, |k| ≤ r se cumple que

‖g(x + h, x + k)− f ′(x)‖ ≤ supt∈[x−r,x+r]

‖f ′(x + t)− f ′(x)‖ .

Como f ′ es continua sobre [a, b], el teorema de Heine-Cantor (5.5.14) muestra que f es uniformementecontinua sobre [a, b]. Así que para cualquier δ > 0 existe r > 0 tal que si x1, x2 ∈ [a, b] y |x1 − x2| < rentonces ‖f ′(x1)− f ′(x2)‖ < δ. Por lo tanto, se puede concluir que

lım(h,k)→(0,0)

‖g(x + h, x + k)− f ′(x)‖ ≤ lımr→0

supt∈[−r,r]

‖f ′(x + t)− f ′(x)‖ = 0;

y por lo tanto, g es continua sobre [a, b]× [a, b] y entonces, g es uniformemente continua ahí (otra vez,Heine-Cantor). Observa ahora que

ε(h;x) = g(x + h, x)− f ′(x).

Como ε(0;x) = 0, se puede concluir que existe un r > 0 tal que si |h| < r y x ∈ [a, b] entonces

‖ε(h;x)‖ ≤ ε3(b − a) .

Finalmente, para concluir, se mostró la existencia de particiones Pε y Qε tales que si P es unrefinamiento de Pε y Q es un refinamiento de Qε entonces

|Lf ([a, b])−∆(f, P)| < ε3

y ∣∣∣∣∣∣b∫a

‖f ′(t)‖dt − S(‖f ′‖ , Q)

∣∣∣∣∣∣ < ε3 .

También se demostró la existencia de un r > 0 tal que si |h| < r y x ∈ [a, b] entonces

‖ε(h;x)‖ ≤ ε3(b − a) .

Considera ahora Rε una partición de [a, b] que refine simultáneamente (ve el ejercicio (4.63)) a Pε yQε de tal forma que si Rε = (rj )j=1,...,m entonces max

1≤j≤m|rj − rj−1| < r. Para cualquier partición R más

fina que Rε se cumple que ∣∣∆(f, R)− S(‖f ′‖ , R)∣∣ ≤ ε

3 .

Por lo tanto, ∣∣∣∣∣∣Lf ([a, b])−b∫a

‖f ′(t)‖dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ |Lf ([a, b])−∆(f, P)|+∣∣∆(f, R)− S(‖f ′‖ , R)

∣∣+

∣∣∣∣∣∣b∫a

‖f ′(t)‖dt − S(‖f ′‖ , Q)

∣∣∣∣∣∣ ≤ ε.Como ε > 0 fue arbitrario, se deduce que

Lf ([a, b]) =b∫a

‖f ′(t)‖dt

que es la fórmula clásica para la longitud de arco.

102

4.7. Parametrización por longitud de arco.

( 4.6.10 ) Encuentra la longitud de una circunferencia C de radio r y centro P ∈ R2 y que es recorrida una vez.

En virtud del ejemplo (4.5.5), la circunferencia C es rectificable. Además, la curva

f (t) = r(cos t, sin t) + P

parametriza a la circunferencia y la función ‖f ′(t)‖ = ‖r(− sin t, cos t)‖ = r es integrable sobre [0, 2π].Por el teorema anterior,

Lf ([0, 2π]) =2π∫0

‖f ′(t)‖dt = 2rπ.

Esto muestra que la longitud de una circunferencia unitaria es 2π. Los teoremas anteriores dan un método general de cómo calcular longitudes de arco. Cuando uno

estudia cálculo integral se aprenden los métodos de integración. Sin embargo, se advierte al lector quela mayoría de las funciones no tienen una antiderivada explícita. Para ejemplo, trate el lector de integrarla función

√sin(x2). Sin embargo, para facilidad y comodidad del uso de este material se han expuesto

ejercicios que cuyos resultados pueden obtenerse explícitamente.

§ 4.7. Parametrización por longitud de arco.Para muchas aplicaciones resulta conveniente hacer un cambio de parámetro. Supón ahora que

f : [a, b] → Rn es tal que f posee una derivada continua sobre [a, b]. Se sabe que f posee longitud dearco y que la longitud de arco de f viene dada por

Lf ([a, b]) =b∫a

‖f ′(t)‖dt.

Luego, si sucede que ‖f ′(t)‖ = 1 para todo t ∈ [a, b] entonces resulta que

Lf ([a, b]) = b − a.

¿Qué significa que ‖f ′(t)‖ = 1? La rapidez de f en un punto p ha sido definida como ‖f ′(p)‖ , por loque si ‖f ′(t)‖ = 1 para todo t ∈ [a, b] entonces la curva recorre su traza con la misma rapidez que su

parámetro recorre su domino. Esto conduce a una interpretación de la fórmulab∫a

‖f ′(t)‖dt = b − a.

Conforme el parámetro t se mueve por el intervalo [a, b] la curva f recorre a la traza en la mismaproporción. Como la rapidez es unitaria, esta proporción es 1 y entonces, se puede pensar que la curvamapea el segmento [a, b] en un pedazo de recta curvado en Rn sin provocarle ningún estiramiento.Toda esta discusión motiva la siguiente definición.( 4.7.1 ) Sea f una curva de [a, b] a Rn. Se dirá que f está parametrizada por longitud de arco si f posee unaprimera derivada continua y ‖f ′(t)‖ = 1 para todo t ∈ [a, b].

A la par de esta definición, se puede construir la función de longitud de arco de una curva f. Estoes, una función sf tal que Dom

(sf)

= Dom (f ) = [a, b] y para todo t ∈ Dom(sf), sf (t) es la longitud o

distancia que ha recorrido f durante el intervalo de tiempo [a, t].( 4.7.2 ) Sea f : [a, b]→ Rn una curva rectificable. Se define la función sf : [a, b]→ [0,∞) según

sf (t) = Lf ([a, t]).

En este caso, decimo que sf es la función de longitud de arco de f.

103


Es conveniente destacar que en la mayoría de los casos no hay peligro de confusión de la curva.Por esta razón, se escribirá s en lugar de sf cuando el contexto sea claro.

z 4.7.1 Propiedades de la función de longitud de arco.A continuación se exponen algunas propiedades básicas de la función de longitud de arco. Para

empezar, se sabe que si la curva en cuestión posee primera derivada continua en [a, b] entonces es

rectificable y s(t) =t∫

a

‖f ′(u)‖du.

( 4.7.3 ) Sea f una curva definida en [a, b] con valores en Rn y sea s su función de longitud de arco. Se supone que

f posee primera derivada continua en [a, b]. Se tiene que s(t) =t∫

a

‖f ′(u)‖du y que s es una función creciente

(en el sentido amplio). Más aún, si la derivada de f nunca se anula entonces s es estrictamente creciente.

Como f es continuamente diferenciable en [a, b] se sigue que f es rectificable. Sea t ∈ [a, b], pordefinición, se tiene que s(t) = Lf ([a, t]) pero por la diferenciabilidad de f se sigue que Lf ([a, t]) =t∫

a

‖f ′(u)‖du, que concluye el primer punto. Ahora bien, sean x < y con x, y ∈ [a, b] entonces

s(y) =y∫a

‖f ′(u)‖du =x∫a

‖f ′(u)‖du +y∫x

‖f ′(u)‖du.

Al ser la integral monótona y ‖f ′(u)‖ ≥ 0 se concluye quey∫x

‖f ′(u)‖du ≥ 0. Por lo tanto, s(y) ≥

x∫a

‖f ′(u)‖du = s(x). Si la derivada de f nunca se anula entonces se tiene que ‖f ′(u)‖ > 0 para todo

u ∈ [x, y] por lo que se puede asegurary∫x

‖f ′(u)‖du > 0, de donde, s(y) > s(x).

El siguiente teorema afirma que si una curva es lo bastante suave entonces su longitud de arco secomporta de manera agradable. Esto es, es diferenciable.

( 4.7.4 ) Sea f : [a, b] → Rn una curva con primera derivada continua y sea s su función de longitud de arco.Entonces, s es diferenciable y s′(t) = ‖f ′(t)‖ .

Como s(x) =x∫a

‖f ′(u)‖du y ‖f ′‖ es continua, se sigue, de los teoremas fundamentales del cálculo,

que s es diferenciable y que s′(t) = ‖f ′(t)‖ .

( 4.7.5 ) Si una función f : I ⊂ R → R es estrictamente creciente y diferenciable entonces se puede definir unafunción diferenciable g : f (I)→ I tal que g(f (t)) = t para todo t ∈ f (I).

Para una demostración de este hecho lee [21]. De la observación previa se puede concluir la siguiente propiedad fundamental de las curvas con

primera derivada continua que no se anula.

104

4.8. Conexidad en Rn.

( 4.7.6 ) Sea f : [a, b] → Rn una curva diferenciable con primera derivada continua que no se anula en [a, b].Entonces, existe un cambio de parámetro diferenciable u : [c, d] → [a, b] tal que f u está parametrizada porlongitud de arco.

Sea s la función de longitud de arco de f. De los teoremas anteriores, s es estrictamente creciente ydiferenciable. Por lo tanto, s([a, b]) = [c, d] para algunos c, d ∈ [0,∞) y existe una función diferenciable

u : [c, d]→ [a, b] tal que u(s(t)) = t.

Se afirma que f u está parametrizada por longitud de arco; en efecto, u s = I[a,b], por lo tanto,u′(s(t))s′(t) = 1 para todo t ∈ [a, b]. De esto se sigue que

u′(s(t)) = 1s′(t) ,∀t ∈ [a, b].

Ahora se calcula la norma de la derivada de f u. Sea p ∈ [c, d], como [c, d] = s([a, b]) existe unt ∈ [a, b] con s(t) = p. Luego,

‖(f u)′(p)‖ = ‖f ′(u(p))u′(p)‖ =∥∥∥∥ f ′(t)s′(t)

∥∥∥∥ = 1|s′(t)| ‖f

′(t)‖ = s′(t)s′(t) = 1.

Obsérve que ha sido usado el hecho que s es una función estrictamente creciente y diferenciable, luegosu derivada es positiva.

Este teorema permite demostrar, por ejemplo, que una parábola puede obtenerse de una recta solodoblandola y no estirándola. Esto es, se puede parametrizar una parábola con longitud de arco.

( 4.7.7 ) Demuestra que la parábola f (t) = (t, t2) para t ∈ R puede parametrizarse por longitud de arco.

Para esto se apela al teorema anterior. Entonces, solo se debe demostrar que f ′(t) 6= 0. Pero,f ′(t) = (1, 2t) 6= 0 para todo t ∈ R. Por ende, se puede parametrizar a la parábola por longitud de arco.Es importante destacar que es mucho más complicado encontrar el cambio de parámetro u, pues estoimplica invertir una función definida a través de integrales.

( 4.7.8 ) Sea f : [a, b] → Rn una curva con primera derivada continua. Entonces, si Syx denota la longitud dearco de f entre los puntos x y y, se tiene que Syx = −Sxy y para todo c ∈ (a, b), Sca + Sbc = s(b).

Se ha demostrado que, sobre estas hipótesis, Syx =y∫x

‖f ′‖ , por las propiedades de la integral, se

sigue el teorema.

§ 4.8. Conexidad en Rn.En esta sección se trata el tema de conexidad. Como su nombre lo indica se buscará construir una

definición que expresa la idea de que un conjunto conste de un solo pedazo. Por ejemplo, un círculo, uncuadrado, una recta y un intervalo deberán ser conjuntos conexos. Con todo esto en mente es razonabledecir que un conjunto C es conexo si no existen dos conjuntos I y J, que satisfagan lo siguiente:

1. C ∩ J ∩ I = ∅;

2. C ⊂ I ∪ J ;

3. C ∩ I 6= ∅ y C ∩ J 6= ∅.

105


Esto no es satisfactorio del todo, el intervalo [0, 1] puede ser separado en Q∩ [0, 1] y Qc∩ [0, 1]. Entonces,se tiene que modificar la definición y se pedirá que I y J sean conjuntos abiertos. Con esto, se tienenlas definiciones de separación de un conjunto y de conjunto conexo13.

( 4.8.1 ) Se dice que el par U y V es separación14 del conjunto A ⊂ Rn si se satisface lo siguiente:

1. U ∩ V ∩ A = ∅;

2. A ⊂ U ∪ V ;

3. A ∩U 6= ∅ y A ∩ V 6= ∅.

Si U y V son conjuntos abierto entonces se dirá que es una separación abierta de A.

( 4.8.2 ) Un conjunto A ⊂ Rn es conexo si no existe una separación abierta de él.

Es importante destacar que las definiciones de ser conexo y no poseer separaciones abiertas sonequivalentes.

Otra manera de definir lo que es un conjunto conexo es empezar con la idea de que dos puntoscualesquiera en él pueden ser unidos de manera continua por una curva. Esto se aleja un poco de laidea de que el conjunto consta de una pieza, por eso se decidió no motivar esta definición de ese modo.Sin embargo, este concepto es potente como se verá más adelante, por esta razón se define.

( 4.8.3 ) Un conjunto A ⊂ Rn se dice que es conexo por trayectorias si para cualesquier dos puntos X y Y en élexiste una trayectoria continua f : [a, b]→ A tal que f (a) = X y f (b) = Y.

Por ejemplo, un conjunto convexo15 es conexo por trayectorias. Como resultado más fuerte se dejade ejercicio demostrar que un conjunto con forma de estrella es conexo por trayectorias.

( 4.8.5 ) Para cualesquier números reales a ≤ b, un intervalo 〈a, b〉 es conexo y conexo por trayectorias, donde〈 puede ser [ o ( y 〉 puede ser ] o ).

Primero se verá que 〈a, b〉 es conexo por trayectorias. Sean x, y ∈ 〈a, b〉, se supone que x ≤ y. Seconsidera la curva f : [x, y] → 〈a, b〉 dada por f (z) = z. Entonces, de acuerdo al ejercicio (4.25), f escontinua y f (x) = x, f (y) = y. Esto demuestra que 〈a, b〉 es conexo por trayectorias.

Ahora se demuestra que 〈a, b〉 es conexo. Para demostrar que un conjunto es conexo típicamentese da una separación abierta de él y se llega a una contradicción. Sean U,V separación abierta de 〈a, b〉.Sea x ∈ 〈a, b〉 y se supone que x ∈ U. Sea

α = ınf y ∈ [a, b] : [y, x] ⊂ U ∩ 〈a, b〉

yβ = supy ∈ [a, b] : [x, y] ⊂ U ∩ 〈a, b〉.

Observa que α ≥ a y que β ≤ b, se afirma que ambas igualdades se cumplen. Para esto se suponeprimero que a < α, de este modo, α ∈ U∪V. Si α ∈ V entonces existe un r > 0 tal que (α−r, α+r) ⊂ V,contradicción a la definición de α entonces α ∈ U. Como α ∈ U existe un r tal que (α − r, α + r) ⊂ U,lo que también es una contradicción a la definición de α. Luego, α = a, análogamente se demuestraque β = b. Por ser U abierto, [a, b] ⊂ U y entonces 〈a, b〉 ∩ V = ∅, lo cual es una contradicción.

13Intuitivamente hablando un conjunto sin separaciones consta de solamente un pedazo, luego es conexo.14Es importante destacar que existe la noción de que un subconjunto de Rn sea separable. Esta noción cae fuera del contexto

actual y del contexto del libro, por lo que no será mencionada explícitamente. Para un estudio básico sobre conjuntos separableslee [16]. Un tratado más avanzado puede encontrarse en [8].

15Por si el lector no recuerda la definición.

( 4.8.4 ) Un conjunto C ⊂ Rn se dice convexo si para cualesquier par de puntos X y Y en C, el segmento de recta que une a X conY es subconjunto de C.

106

4.8. Conexidad en Rn.

( 4.8.6 ) Si A ⊂ R es un conjunto conexo o conexo por trayectorias entonces A es un intervalo.

Primero se verá que si A no es un intervalo entonces A es no conexo (esto es, existe una separaciónabierta de A). Como A no es un intervalo existe x ∈ A tal que existen y, z ∈ A y y < x < z. Entonces,U = (−∞, x) y V = (x,∞) es separación abierta de A. En efecto, A ⊂ U ∪V, U ∩V ∩A = ∅ y y ∈ U ∩A,z ∈ V ∩ A. Esto demuestra que A posee una separación abierta, equivalentemente A es no conexo.

Ahora si A no es un intervalo entonces A no es conexo por trayectorias; de hecho, se supone quex ∈ A es tal que existen y, z ∈ A con y < x < z. Sea f : [a, b]→ A continua tal que f (a) = y y f (b) = z.Como x ∈ (y, z) y f es continua, por el teorema del valor intermedio existe un c ∈ [a, b] tal que f (c) = x.Esto es una contradicción pues x /∈ A.

Como corolario de estos ejemplos, se tiene que las nociones de conexo y conexo por trayectoriascoinciden en R.

( 4.8.7 ) Sea A ⊂ R, las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. A es un intervalo.

2. A es conexo.

3. A es conexo por trayectorias.

De manera natural surge la siguiente pregunta. ¿Las nociones de ser conexo y ser conexo portrayectorias coinciden en Rn? La respuesta es que no. Todavía no se tienen herramientas para verun ejemplo. Se necesita desarrollar un poco más de teoría sobre conexión. El siguiente teorema esintuitivamente claro, dice que la traza de una curva continua definida sobre un intervalo es un conjuntoconexo por trayectorias y conexo.

( 4.8.8 ) Sea f : I → Rn una curva continua, donde I ⊂ R es un intervalo. Entonces f (I) es conexo y es conexopor trayectorias.

Se ve primero que f (I) es conexo por trayectorias. Sea X,Y ∈ f (I) entonces existen a, b ∈ I conf (a) = X y f (b) = Y. Sin pérdida de generalidad, se supondrá que a < b. Se toma f restringida alintervalo [a, b] ⊂ I. Entonces, de acuerdo al ejercicio (4.25) la restricción de f en [a, b] es continua.Se nota que la restricción satisface que f (a) = X y f (b) = Y. Esto demuestra que f (I) es conexo portrayectorias.

Ahora se supone que f (I) no es conexo; sean U,V ⊂ Rn una separación abierta de f (I). Como fes continua, de acuerdo con (4.3.5) se tiene que f−1(U) = A ∩ I y f−1(V ) = B ∩ I, donde A,B ⊂ R sonabiertos. Como U ∩ V ∩ f (I) = ∅ se tiene que

f−1(U) ∩ f−1(V ) ∩ I = f−1(U ∩ V ∩ f (I)) = ∅.

Pero f−1(U)∩ f−1(V )∩ I = A∩B∩ I, así, A∩B∩ I = ∅. Al ser U,V una separación abierta de f (I) existenx, y ∈ I con f (x) ∈ U y f (y) ∈ V. Esto muestra que A ∩ I 6= ∅ y B ∩ I 6= ∅. Por último, si x ∈ I entoncesf (x) ∈ U ∪ V, así x ∈ f−1(U) ∪ f−1(V ) = (A ∪ B) ∩ I, por lo que x ∈ A ∪ B e I ⊂ A ∪ B. Esto demuestraque A,B es una separación abierta de I lo que es una contradicción. Por lo tanto, f (I) es un conjuntoconexo.

El teorema anterior permite concluir de manera relativamente sencilla si cierto conjunto dado esconexo. Por ejemplo, la gráfica de t 7Ï 1

t para t > 0 no es acotado pero es conexo.El siguiente razonamiento suele repetirse mucho siempre que se inicia el estudio de conexidad.

Se piensa que la intersección de conjuntos conexos es un conjunto conexo y que la unión no lo es.Esto es parcial, la intersección de conexos no es necesariamente conexo. Como ejemplo considera la

107


intersección de dos circunferencias16. Se podría pensar que la intersección de abiertos y conexos esconexo, pero esto es falso si se consideran dos anillos17. Por ende, no se dará un criterio general paradeterminar cuando una intersección de conexos es conexo. Parece sorprendente que sí se dará uncriterio para la unión de conexos.

( 4.8.9 ) Sea (Ci)i∈I una familia de subconjuntos conexos de Rn. Si la intersección de la familia no es vacíaentonces su unión es un conjunto conexo.

Sean U,V una separación abierta de la unión de la familia y se considera X un punto en la intersec-ción. Se tiene que X ∈ U o X ∈ V, se supondrá que X ∈ U. Para cada índice i ∈ I se tiene que Ci ⊂ U,de lo contrario U,V es separación abierta de Ci lo que es una contradicción a que Ci es conexo. Por lotanto, cada Ci ⊂ U y luego también la unión de los Ci es subconjunto de U, lo cual es una contradicciónpues U,V es separación abierta de

⋃i∈ICi.

Con esto, se puede demostrar que R2 es conexo. En efecto, R2 =⋃

θ∈[0,2π]Lθ , en donde

Lθ = t(cos θ, sin θ) ∈ R2 : t ∈ R

es la recta de pendiente θ que pasa por el origen; cada recta Lθ , es conexo porque es la imagen continuade R por la aplicación lineal t 7Ï t(cos θ, sin θ) y como cada Lθ pasa por el origen, su intersección esno nula. Este ejemplo puede generalizarse, sobre ciertas consideraciones, a Rn. Sin embargo, se dejala demostración a cargo del lector.

( 4.8.10 ) El conjunto Rn es conexo para todo n ∈ N.

Se sabe que un conjunto conexo no puede separarse en abiertos. Si a un conjunto conexo se leagregan algunos de sus puntos límite, como los puntos límite están “cerca” del conjunto, es natural queel conjunto así formado sea conexo.

( 4.8.11 ) Sea A ⊂ Rn conexo entonces para todo B ⊂ Rn tal que A ⊂ B ⊂ A se tiene que B es conexo. Enparticular, la cerradura de un conjunto conexo es un conjunto conexo.

Se procede por contradicción, así, sean U,V una separación abierta de B entonces A está com-pletamente contenido en alguno de los dos, de lo contrario A no es conexo. Se supone, pasando porun renombramiento de los conjuntos en caso de ser necesario, que A ⊂ U. Sea X ∈ B \ A entoncesX ∈ ∂A \A. Para llegar a una contradicción se debe demostrar que X ∈ U, así se supone que X ∈ V. Alser V abierto, existe una bola de B (X; r) ⊂ V. Pero entonces, X es un punto exterior de A, con lo cual,X /∈ A. Esto muestra que X /∈ B y se llega a una contradicción. De este modo, X ∈ U y B ⊂ U, por loque U,V no es separación abierta de B. Con esto, ha sido demostrado que B es un conjunto conexo.

A continuación se va a relacionar la conexidad con la conexidad por trayectorias. Como se adelantó,estos conceptos no son equivalente pero uno es más fuerte que el otro.

( 4.8.12 ) Todo conjunto A ⊂ Rn conexo por trayectorias es conexo.

Sea x ∈ A. Por hipótesis, para cada y ∈ A, el conjunto Cy de las curvas continuas de [0, 1] a A quetienen a x como punto inicial y a y como punto final es no vacío. Se considera la familia (Cy)y∈A. Envirtud del axioma de elección (2.2.4) existe una función f con dominio A tal que f(y) = fy ∈ Cy es una

16Ya se sabe que una circunferencia es un conjunto conexo pues es la imagen continua de un intervalo. En efecto, f : [0, 2π]→ R2

dada por f (t) = r(cos t, sin t) + P describe una circunferencia de radio r > 0 y centro P. Como f es continua, tal circunferenciaes un conjunto conexo.

17Un anillo es el conjunto de puntos que están entre dos círculos concéntricos dados; como ejemplo típico, (x, y) ∈ R2 : 1 <x2 + y2 < 2 es un anillo.

108


curva continua que une x con y. Sea Cy la traza de fy . Se cumple la siguiente igualdad A =⋃y∈A

Cy .

Observa que cada traza Cy es un conjunto conexo pues es la imagen continua de algún intervalo. Comox ∈ Cy para todo y ∈ A, se tiene por el teorema (4.8.9) que A es conexo.

El siguiente ejemplo muestra que el recíproco del teorema anterior es falso.( 4.8.13 ) Considera el conjunto

E =ßÅ

x, sinÅ 1x

ãã: x ∈ (0, 1]

™∪ (0, y) : y ∈ [−1, 1] ⊂ R2.

Entonces, E es conexo y no es conexo por trayectorias.

Observa que A =ßÅ

x, sinÅ 1x

ãã: x ∈ (0, 1]

™es un conjunto conexo pues es la imagen de la curva

continua t 7ÏÅx, sin

Å 1x

ããpara t ∈ (0, 1]. Para ver que E es conexo se demostrará que A ⊂ E ⊂ A.

Claramente, A ⊂ E, por lo que basta ver que X ∈ E \ A implica que X ∈ ∂A. Sea X = (x, y) ∈ E \ Aentonces x = 0. En este caso, basta exhibir una sucesión (Yn)n∈N definida en A con lım

n→∞Yn = X.

Como y ∈ [−1, 1] existe θ ∈ [0, 2π] tal que sin θ = y. Se considera

Yn =Å 1θ + 2nπ , sin (θ + 2nπ)

ã=Å 1θ + 2nπ , y

ã,

entonces (Yn)n∈N está definida A y lımn→∞

Yn = X. Por lo tanto, X ∈ ∂A. Esto demuestra que A ⊂ E ⊂ A,por (4.8.11) se tiene que E es conexo.

Ahora se demuestra que E no es conexo por trayectorias. Se considera X = (0, 0) y Y =Å 1π , 0

ã,

supón que existe una curva continua f : [a, b]→ E tal que f (a) = X y f (b) = Y. Sin pérdida de generalidadse puede suponer que a = 0 y b = 1, (ve (4.1.9)). Se construirá una sucesión decreciente (tn)n∈N en [0, 1]tal que (f (tn))n∈N no converge. Para esto se utilizará repetidamente el teorema del valor intermediopara funciones reales. Sea f (t) = (f1(t), f2(t)) entonces f1(t) y f2(t) son continuas. Como f (t) ∈ E paracada t ∈ [0, 1] debe ser que f2(t) = sin

Å 1f1(t)

ã. Al ser f1(0) = 0 y f1(1) = 1

π existe t1 ∈ (0, 1) tal que

f1(t1) = 23π . De este modo,

f2(t1) = sinÅ 1f1(t)

ã= −1.

Como f1(0) = 0 y f1(t1) = 23π existe t2 ∈ (0, t1) tal que f1(t2) = 2

4π , de este modo, f2(t2) = 1. Prosiguiendode este modo, puede probarse inductivamente que la sucesión (tn)n∈N existe en [0, 1], es decreciente yf1(tn) = 2

(2n − 1)π . De aquí, se puede ver que f2(tn) = (−1)n. Como (tn)n∈N es decreciente y acotada,

converge, de acuerdo al ejercicio (4.24), (f1(tn))n∈N y (f2(tn))n∈N convergen. Pero (f2(tn))n∈N es unasucesión que va alternando entre dos valores, por lo que no converge y esto es una contradicción. Deaquí se sigue que la función f no es continua y entonces E no es conexo por trayectorias.

Se pide al lector que demuestre otras varias propiedades de los conjuntos conexos.

§ 4.9. Generalización a un espacio vectorial real.Al igual que en el capítulo 3 se pretende generalizar los conceptos a un espacio vectorial real,

normado y de dimensión finita. Las definiciones serían las mismas, los conceptos y las interpretaciones

109


geométricas también . Lo que cambia redicalmente es que en un espacio vectorial V las funcionesf : [a, b]→ V no poseen funciones coordenadas.

Los conceptos que se definen idénticamente, solo cambiando Rn por V, donde V es un espacio vec-torial real, son curva, traza, parametrización, curva equivalente, límite, continuidad, derivada, tangente,velocidad, rapidez, longitud de arco, integral de Riemann, derivadas laterales, parametrización por lon-gitud de arco, conexidad y conexidad por trayectorias. Los teoremas se demuestran igual, palabra porpalabra excepto aquellos que hablen de coordenadas, los cuales sí poseen generalización, por ejemplo,aquello del tipo f : V →W1× . . .×Wk, donde los Wi son espacios vectoriales normados y de dimensiónfinita, las cuales se ven más abajo o en los ejercicios.

Entonces, por ejemplo, una curva en un espacio vectorial V real y de dimensión finita es cualquierfunción f : [a, b] → V. Si V posee una norma, entonces f es continua en t0 ∈ [a, b] si para cualquierε > 0 existe un δ > 0 tal que

t ∈ [a, b], |t − t0| < δ Ñ ‖f (t)− f (t0)‖ < ε.

El resto de las definiciones son análogas. Los argumentos en los teoremas principales permanecensin cambios pues solo se utilizaron propiedades generales. Mas aquellos que deben demostrarse paraeste caso (pues son muy útiles), son (4.2.6), (4.4.2) y (4.4.3). También se destaca el hecho que para elteorema del valor medio y la fórmula de longitud de arco se dieron pruebas que valen en espaciosmás generales aún que los espacios vectoriales de dimensión finita. Se ven a continuación la pruebapara el caso más general de los teoremas anteriores. Al igual que en el capítulo 3, se supondráque el lector ya leyó la parte continuidad del capítulo 5. El siguiente teorema será útil para lademostración de estos teoremas.

( 4.9.1 ) Sea V un espacio vectorial real, con producto interior y de dimensión finita. La función (x, y) 7Ï 〈x, y〉de V × V a R2 es continua.

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz (1.4.4) y la desigualdad del triángulo

| 〈x + h, y + k〉 − 〈x, y〉 | = | 〈x, k〉+ 〈h, y〉+ 〈h, k〉 |≤ ‖x‖ ‖k‖+ ‖h‖ ‖y‖+ ‖h‖ ‖k‖ ,

el cual tiende a cero cuando h, k→ 0 simultaneamente. Por lo tanto, la función es continua. La prueba de los teoremas se basa en el teorema previo.

(4.2.6) Sea V un espacio vectorial real, normado y de dimensión finita. Supón que f : [a, b]→ R tomala forma f (t) = 〈α(t), β(t)〉 , en donde α y β son dos funciones de [a, b] a V las cuales poseensendos límites u y v en el punto t0 ∈ (a, b). Entonces f posee el límite 〈u, v〉 en t0. La función fes composición de las funcions 〈, 〉 y (α, β), las cuales son continuas, de ahí el resultado.

(4.4.2) Sea V un espacio vectorial real, normado y de dimensión finita. Supón que f, g : [a, b]→ V sondos curvas diferenciables en t0 ∈ [a, b]. Entonces f + λg es diferenciable en t0 y (f + λg)′(t0) =f ′(t0) + λg ′(t0). En efecto, esto se deduce inmediatamente de (4.2.5) al escribir la definición dederivada.

(4.4.3) Sea V un espacio vectorial real, con producto interior 〈, 〉V y de dimensión finita. Supón quef : [a, b] → R toma la forma f (t) = 〈α(t), β(t)〉 , en donde α y β son dos funciones de [a, b] a Vlas cuales son diferenciables en cierto t0 ∈ (a, b). Entonces, f es diferenciable en t0 y

f ′(t0) = 〈α′(t0), β(t0)〉+ 〈α(t0), β′(t0)〉 .

110


En efecto, se hace aplica manipulación estándar en análisis. Nota que

f (t0 + h)− f (t0) = 〈α(t+h), β(t0 + h)〉 − 〈α(t0), β(t0)〉= 〈α(t0 + h), β(t0 + h)〉 − 〈α(t0 + h), β(t0)〉+ 〈α(t0 + h), β(t0)〉 − 〈α(t0), β(t0)〉= 〈α(t0 + h), β(t0 + h)− β(t0)〉+ 〈α(t0 + h)− α(t0), β(t0)〉 .

Ahora, se divide todo por h y se utiliza la linealidad del producto interior en cada entrada. Seencuentra que

f (t + h)− f (t)h =

≠α(t0 + h), β(t0 + h)− β(t0)

h

∑+≠α(t0 + h)− α(t0)

h , β(t0)∑.

Resulta irresistible pensar que ahora se puede meter el límite en el lado derecho y entonces usarla diferenciabilidad de α y β. Para hacer esto, se debe probar primero que (x, y) 7Ï 〈x, y〉 escontinua de V × V a R, lo cual se probó en (4.9.1). De esto se deriva que

lımh→0

f (t + h)− f (t)h =

≠lımh→0

α(t0 + h), lımh→0

β(t0 + h)− β(t0)h

∑+≠

lımh→0

α(t0 + h)− α(t0)h , β(t0)

∑= 〈α′(t0), β(t0)〉+ 〈α(t0), β′(t0)〉 .

Que es lo que se quería demostrar.

Con esto se concluyen las propiedades de este capítulo. Se destaca que todas ellas aplican para unespacio vectorial V de dimensión finita.

Ejemplo. Ahora se desarrollará con cierto detalle un ejemplo de interés. Se considerará entoncesla familia (xn)n∈N∪0 de funciones de R a R tales que xn(t) = tn. Por notación, a x0 se le escribirá 1(entonces, 1(t) = 1 para cualquier t ∈ R). Define Vn = lin 〈1, . . . , xn〉 ; se afirma que dimVn = n+1. Enefecto, hay que probar que los n+1 vectores 1, . . . , xn son linealmente independientes. Supón entonces

que existen constantes 10, . . . , 1n ∈ R tales quen∑i=1

aixi = 0. Como cada xi es una función, esto significa

que para cualquier t ∈ R se debe cumplir quen∑i=0

aiti = 0. Supón que t = N, y divide la expresión

anterior por tn, se obtiene quea0Nn + a1

Nn−1 + . . .+ an−1N + an = 0,

sin importar lo grande que sea N. Entonces, haz N → ∞ para obtener an = 0. El resto es aplicarinducción. Por lo tanto, dim Vn = n + 1 y B = (1, x, . . . , xn) es una base ordenada de Vn, la cualse llamará «base canónica». Las coordenadas [ ]B son entonces muy fáciles de encontrar. Pues si

v =n∑i=0

aixi entonces [v]B = (a0, . . . , an). La idea ahora es definir algunas curvas y encontrar sus

derivadas, longitudes, etcétera.¿Quién es la norma de V inducida por su base canónica? ¿Proviene de algún producto escalar?

Supón que v =n∑i=0

aixi y u =n∑i=0

bixi. En acuerdo con (3.6.6), el producto escalar en V inducido por

la base ordenada B es 〈u, v〉V =n∑i=1

aibi y la norma es ‖v‖2 =n∑i=0

a2i . Con esto, Vn es escencialmente

111


Rn+1, lo cual facilita las cosas pues se deja un espacio abstracto y se trabaja en un espacio con el quese está más familiarizado.

Considera entonces dos curvas en V3. Por ejemplo, sean α(t) = sin t+2e−t2x2 y β(t) = etx+cos tx3.Primeramente observa que para cada t ∈ R tanto α(t) como β(t) son funciones de R a R; son funcionespolinomiales. Por ejemplo, α(t)(π) = sin t + 2e−t2π2. Entonces, el producto escalar de α con β es

〈α(t), β(t)〉V = [α(t)]B · [β(t)]B = (sin t, 0, 2e−t2 , 0) · (0, et , 0, cos t) = 0;

entonces, los vectores posición de las curvas son ortogonales en cada instante. Por otro lado, ahora secalculan las derivadas de α y β :

α′(t) = lımh→0

α(t + h)− α(t)h = lım

h→0

sin(t + h) + 2e−(t+h)2x2 − sin t − 2e−t2x2

h ,

observa que aún siendo funciones, los vectores 1, x, x2 y x3 son constantes fijas en el espacio vectorialV3. Por lo tanto,

α′(t) =Å

lımh→0

sin(t + h)− sin th

ã1 +

Çlımh→0

2e−(t+h)2 − 2e−t2

h

åx2 = cos t − 4te−t2x2.

Análogamente, β′(t) = etx − sin tx3. Es interesante notar que [α(t)]B = (sin t, 0, 2e−t2 , 0) por lo que[α′(t)]B = [α(t)]′B y mismo para β. Esto es acorde con (4.4.3) pues se debe tener que d

dt 〈α, β〉V (t) = 0.Finalmente, en virtud de (4.6.9)

Lα([0, π]) =π∫

0

‖α′(t)‖dt =π∫

0

‖[α′(t)]B‖dt =π∫

0

»[cos t]2 + 16t2e−2t2dt.

Observación: en el ejemplo previo todo se pudo haber reducido a encontrar [α(t)]B y entonces trabajarcon la curva en R4 dada por t 7Ï [α(t)]B. En general esto se cumple.

El siguiente teorema utiliza la regla de la cadena (5.7.3)

( 4.9.2 ) Sea V un espacio vectorial real, normado y de dimensión finita. Sea B una base ordenada de B =(v1, . . . , vn) de V y [ ]B sus coordenadas asociadas. Entonces, una condición necesaria y suficiente para que unacurva α : [a, b] → V sea diferenciable en t0 ∈ (a, b) es que [α]B : [a, b] → Rdim V sea diferenciable en t0. Eneste caso, [α′(t)]B = [α(t)]′B.

En efecto, la función [ ]B es lineal, por lo que su derivada es ella misma (5.8.1). Con observar que[ ]B es invertible se obtiene que [α]B es diferenciable si y solo si α lo es. Luego, de la regla de la cadena(5.7.3)

ddt [α(t)]B = [α′(t)]B,


§ 4.10. Ejercicios.Se concluye este capítulo con una serie de ejercicios para el lector. Es recomendable que intente

resolverlos todos.

( 4.1 ) Encuentra un conjunto C ⊂ Rn y dos parametrizaciones de él.

112

4.10. Ejercicios.

( 4.2 ) Dibuje las trazas descritas por las siguientes curvas.

1. Sea f : [a, b]→ R2 dada por t 7Ï (t, t2).

2. Sean A ∈ Rn y B ∈ Rn, se define f : [0, 1]→ Rn por f (t) = (1− t)A+ tB.

3. Define la curva f : [0, 2π]→ R2 dada por f (t) = (a cos t, b sin t), en donde a y b son positivas.

4. Sea f : R→ R3 dada por t 7Ï (cos t, sin t, t).

5. Define la curva f : R→ R2 dada por f (t) = (a cosh t, b sinh t), en donde a y b son positivas.

( 4.3 ) Encuentra dos parametrizaciones explícitas para las siguientes trazas. Encuentra el cambio de parámetrou.

1. S1.

2. La gráfica de f : [−1, 1]→ R dada por f (x) = x2.

3. La gráfica de f : [0, 1]→ R3 dada por f (x) = (1− x)(2, 1, 0) + x(1,−1,−1).

( 4.4 ) Se define la relación ∼ de la siguiente forma:

f ∼ g ↔ f es equivalente a g.

Entonces, ∼ es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las curvas de [0, 1] a Rn.

( 4.5 ) Se supone que un disco de radio uno rueda continuamente sin resbalar a lo largo del eje X. Se fija unpunto la frontera del disco y se supone que el punto empieza en (0, 0), se pinta la traza que deja el punto al rodarel disco. Encuentra una curva que parametrice esta traza.

( 4.6 ) Considera la traza L definida como sigue: un punto (x, y) está en L si sus coordenadas polares18 satisfacenque r = exp(−θ). Encuentra una curva que parametriza a L. A L se le llama la «espiral logarítmica».

( 4.7 ) Usando la definición de límite verifique las siguientes igualdades.

1. lımt→2

(3t, t2) = (6, 4);

2. lımt→−1

(2, t − 1, t2 + 1) = (2,−2, 2);

3. lımt→0

(exp(t + 1), t + 1) = (e, 1);

4. lımt→0

(ln(t + 1), |t|) = (0, 0);

5. lımt→1

(sin(ln(t)), 1− cos t) = (0, 0).

( 4.8 ) Calcula los siguientes límites:

1. lımt→0

Çet − e−t

2 , sin(et)å

;

2. lımt→π

(exp(sin t), exp(− cos t);

18Supón que las coordenadas polares son aquellas definidas por r ≥ 0, r2 = x2 + y2, y θ ∈ [0, 2π) es el ángulo que se formadesde el vector (1, 0) al vector (x, y) en sentido levógiro.

113


3. lımt→π

(ln(sin t, 1− exp(tan(t)));

4. lımt→0

Çt2 − 16

t2 + t − 20 ,1− cos t

t

å;

5. lımt→1

Å ln(t)t − 1 , sin t

ã.

( 4.9 ) Sea f = (f1, . . . , fn) una curva. Supón que en a se tiene lımt→a

fi(t) = bi entonces lımt→a

f (t) = b, dondeb = (b1, . . . , bn).

( 4.10 ) Sea φ : R→ R y f : R→ Rn tales que lımt→a

φ(t) = r y lımt→a

f (t) = L entonces lımt→a

(φf )(t) = rL.

( 4.11 ) Sea f : R→ R2 la función con regla de correspondencia f (t) = (btc, t)19. Si r es entero entonces lımt→r

f (t)no existe.

( 4.12 ) Sea f : R→ R2 dada por

f (t) =ß

(t, t) si t ≥ 0;(t,−t) si t < 0.

Entonces lımt→0

f (t) = (0, 0).

( 4.13 ) Sea f (t) = (t, t2) y p ∈ R cualquier número real, para la función gp(t) = (p, p2) + t(1, 2p) se cumpleque

lımt→p

f (t)− gp(t − p)t − p = 0.

( 4.14 ) Sea f (t) = (sin t, cos t) y p ∈ R cualquier número real. Se define la función gp(t) como antes, es decir,gp(t) = (sinp, cos p) + t(cos p,− sinp). Entonces

lımt→p

f (t)− gp(t − p)t − p = 0.

( 4.15 ) Del ejercicio (4.6), el límite de la curva en cero es el origen.

( 4.16 ) Sea f una curva tal que para todo t y s en su dominio se tiene que ‖f (t)− f (s)‖ ≤ |t − s|. Entonces fes continua en todo su dominio.

( 4.17 ) Demuestra el teorema (4.3.2).

( 4.18 ) Sean f y g curvas, se supone que f y g son continuas en a. Las siguientes curvas también son continuasen a : f + g, f · g y f × g si f y g están definidas en R3.

( 4.19 ) Si f es continua en a entonces la función ‖f‖ es continua en a, donde ‖f‖ : Dom (f ) → R está dadapor ‖f‖ (t) = ‖f (t)‖ .

( 4.20 ) Sea f : R→ R2 dado por f (t) =Çt, t

2 + 1t2 − 1

å, si t /∈ −1, 1 y f (t) = 1 para t = −1, 1. Entonces f no

es continua en −1, 1.19A la función b c : RÏ Z se le conoce como función menor entero y se define de la siguiente forma:

bxc = el mayor entero r tal que r ≤ x.

114

4.10. Ejercicios.

( 4.21 ) Se define la noción de convexidad como sigue: un conjunto A ⊂ Rn se dice convexo si para cualesquierdos de sus puntos el segmento de recta que los une está contenido en el conjunto. Cualquier caja (cerrada oabierta, acotada o no) es un conjunto convexo. Cualquier bola cerrada o abierta es un conjunto convexo.

( 4.22 ) Una transformación lineal T : R→ Rn es continua.Sugerencia: ve el ejercicio (1.27).

( 4.23 ) Para todo subconjunto no cerrado U ⊂ R existe una curva continua, f : U → R tal que f no es acotadaen U.Sugerencia: considera un punto en la frontera de U que no esté en U y define f como la función que toma elrecíproco de la distancia a ese tal punto.

( 4.24 ) Una condición necesaria y suficiente para que la curva f : [a, b] → Rn sea continua en t es que paratoda sucesión (an)n∈N, definida en [a, b], convergente a t se tenga que la sucesión (f (an))n∈N converja a f (t).

( 4.25 ) Sea f : I ⊂ R → Rn una curva continua y considera J ⊂ I. Entonces la función f restringida a J escontinua.Sugerencia: el teorema (4.3.5) será de gran ayuda.

( 4.26 ) Al igual que en una variable, se define que una curva f sea uniformemente continua si para todo ε > 0existe δ > 0 tal que x, y ∈ Dom (f ) con |x − y| < δ implican que ‖f (x)− f (y)‖ < ε. Luego, toda curvauniformemente continua es continua.

( 4.27 ) Una curva continua definida sobre un intervalo compacto es uniformemente continua. Este resultado seconoce como el teorema de Heine-Cantor. Será demostrado para el caso general en el siguiente capítulo.Sugerencia: sea f : [a, b] → R continua. Entonces, f ([a, b]) = [c, d] (¿por qué?). Ahora, dado ε > 0 existe

una finitud de puntos y1, . . . , ym tales que [c, d] ⊂m⋃i=1

(yi − ε, yi + ε). Sea xi ∈ [a, b] tal que f (xi) = yi. Para

cada xi existe un δi > 0 tal que si |x − xi| y xi ∈ [a, b] entonces f (xi) ∈ (yi − ε, yi + ε). Intenta ahora jugarcon las desigualdades del triángulo.

( 4.28 ) Si f : [a, b]→ Rn es una curva continua entonces para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que |t− si| < δ, i =1, . . . , n, implica

‖f (t)− (f1(s1), . . . , fn(sn))‖ < ε.

Sugerencia: considera funciones coordenadas y use el ejercicio previo (recuerda que el ejercicio previo en uncaso particular de (5.5.14)).

( 4.29 ) Encuentra la derivada de las siguientes curvas.

1. f (t) =(at2 + bt + c, sin t + cos t, exp(2t + 1)

), t ∈ R;

2. f (t) =Ä[cos t]2 , [sin t]2

ä, t ∈ R;

3. f (t) =Å t − 1t + 1 ,

»[sin t]2 − [cos t]2

ã, t ∈

[−π4 ,

π4

];

4. f (t) =Ç

expÇt2 + 2tt − 1

å,− exp

Å−1t

ãå, t ∈ R;

5. f (t) =Äexp

[tan t2

],(sin et

)2ä , t ∈ R.( 4.30 ) Encuentra la recta tangente de la curva f en el instante dado p. Ilustre geométricamente este hecho.

115


1. f (t) = (a + tc, b + td) , t ∈ R, p = 0;

2. f (t) =(t, t2

), t ∈ R, p = −1;

3. f (t) = (cos t, sin t) , t ∈ R, p = π3 ;

4. f (t) = (cos t, sin t, t) , t ∈ R, p = π;

5. f (t) = (3 cos t, 2 sin t), t ∈ [0, 2π), p = π4 .

( 4.31 ) Supón que un ferrocarril de pasajeros sigue la curva descrita por

f (t) =(t, t3 − 2t2 − 2t + 1

), t ∈ R+.

Supón que el ferrocarril sale de las vía al tiempo t0 = 2, siguiendo la dirección de su tangente. Si dos segundosdespués el ferrocarril se estrella, ¿cuáles son las coordenadas donde se estrellaría el ferrocarril?

( 4.32 ) Del ejercicio anterior, si el tiempo de salida es en t0 = 7 y se estrella un segundo después, ¿en qué puntose estrella?

( 4.33 ) Las curvas f, g : [−1, 1]→ R2 dadas por f (t) =Ät,√|t|äy

g(t) =ß

(−t4, t2) si t < 0(t4, t2) si t ≥ 0

parametrizan la misma traza. Observa que f no es diferenciable en 0 pero g sí lo es. Luego, la relación f ∼ g sif y g son equivalentes no preserva diferenciabilidad.

( 4.34 ) Sea f una curva definida en I ⊂ R, tal que f · f = c sobre I entonces f · f ′ = 0 sobre I. Interprete,geométricamente, este resultado en R2 y R3.

( 4.35 ) Considara la hélice cilíndrica, descrita por

f (t) = (cos t, sin t, t), t ∈ R.

En ningún punto del intervalo[0, π2

]existe una tangente paralela a la secante que pasa por los puntos en 0 y

π2 .

( 4.36 ) Sea r = θ la ecuación polar de una traza. Determine la tangente a la traza en el punto (−π, 0) dado encoordenadas cartesianas.Sugerencia: encuentra las ecuaciones paramétricas de x y de y en función de θ.

( 4.37 ) Encuentra un plano que tenga como normal a la traza descrita por la curva f (t) = (sin t, cos t, t) en elinstante t = π.

( 4.38 ) Sea f una curva diferenciable en un conjunto I ⊂ R. Sea P un punto que no está en la traza descrita porf. Supón que en el instante t el punto P se encuentra en una distancia mínima a la traza. Pruebe que P − f (t)es perpendicular a la traza en f (t). En particular, t es único si f es describe un segmento de recta.Sugerencia: construye la función d que regresa la distancia de una punto de la traza a P e investigue el mínimode d2.

( 4.39 ) Sea C la traza descrita por f, donde

f (t) =Ç

2tt2 + 1 ,

1− t21 + t2 , 1

å.

El ángulo que forman C y su tangente en cada punto es constante.

116

4.10. Ejercicios.

( 4.40 ) Las trazas descritas por las curvas

f (t) = (et , e2t , 1− e−t)

yg(t) = (1− t, cos t, sin t)

se intersectan en el punto (1, 1, 0). Encuentra el ángulo formado por ellas, este es, el ángulo formado por sustangentes.

( 4.41 ) Se define la aceleración de una traza como la derivada de su velocidad, en caso que exista. Intente justificaresta definición a partir de nociones físicas. Si la rapidez es constante entonces la aceleración y la velocidad sonortogonales20.

( 4.42 ) Si la aceleración de una traza siempre es ortogonal a su velocidad entonces su rapidez es constante.

( 4.43 ) Sea C la traza descrita por f , la curva con regla de correspondencia

t 7Ï (t + 1, 2t, t2 − 1).

Encuentra los puntos de intersección de C y el plano P, donde

P = X ∈ R3 : X · (2,−1,−3) = 2.

( 4.44 ) La traza C descrita por la curva f, donde

f (t) = (et − t, et + t, 2t + 1)

se encuentra en el plano P, donde

P = X ∈ R3 : X · (−1, 1,−1) = −1.

( 4.45 ) Encuentra la recta perpendicular a la elipse (a cos t, b sin t) en el instante p. ¿Para qué instantes psucede que la elipse es ortogonal a su tangente21?

( 4.46 ) Una condición necesaria y suficiente para que la traza C, descrita por f, se encuentre en el conjunto C,donde

C = X ∈ Rn : g1(X) = 0, . . . , gs(X) = 0

es que gi(f (t)) = 0 para todo t en el dominio de f y para todo i.

( 4.47 ) Sea L1 el segmento de recta entre los puntos (1,−3, 2) y (−1, 1,−2) y L2 el segmento de recta entre lospuntos (0, 0, 0) y (1, 1,−2). Encuentra los puntos, en caso de existir, que minimizan la distancia entre L1 y L2.Encuentra los puntos que maximizan la distancia.

( 4.48 ) Del ejercicio (4.6). La derivada de la curva es cero cuando θ →∞.

( 4.49 ) Del ejercicio (4.5). Encuentra aquellos puntos donde la curva no sea diferenciable.

( 4.50 ) Verifique el valor de verdad de las siguientes oraciones. Si son ciertas basta dar un argumento breve,enunciar alguna proposición vista, por ejemplo. Si son falsas hay que dar un contraejemplo explícito.

1. Para todas curvas f, g y h definidas en R3 se tiene que (f + g)× h = f × h + g × h.20Conviene que el lector resuelva mentalmente la pregunta: ¿qué sentido físico y geométrico puedo encontrar?21Esto es, que el vector posición en la elipse sea ortogonal al vector de dirección de la tangente.

117


2. Para todas curvas f, g y h definidas en R3 se tiene que (f × g)× h = f × (g × h).

3. Para toda curva f tal que f ′(a) existe y es no nula se tiene que

f ′(a)‖f ′(a)‖ = lım

h→0

f (a + h)− f (a)‖f (a + h)− f (a)‖

Cuando este vectorf ′(a)‖f ′(a)‖ existe se dice que la curva posee una tangente unitaria en a.

( 4.51 ) Sea f : [a, b] → Rn y supón que T(t), su tangente unitaria en t, existe en todo t ∈ [a, b]. Demuestraque T(t) · T ′(t) = 0 para todo t ∈ [a, b].

La siguiente es una definición.

( 4.10.1 ) Sea f : I ⊂ R → Rn una curva, si f es continua, se dirá que f es de clase C0 y si f ′ : I → Rn existey es continua, se dirá que f es de clase C1. Más generalmente, se dice que f es de clase Ck si f es k vecesdiferenciable y su k-ésima derivada es continua. Si f es clase Ck para cada k ∈ N entonces f es de clase C∞ yse dice que f es indefinidamente diferenciable. Se utilizará la notación f ∈ Ck (I,Rn) para k ∈ N ∪ 0 ∪ ∞.

( 4.52 ) Supón que f es una curva de clase C1, a ∈ ˚ Dom (f ) y que f ′(a) 6= 0. Entonces,

f ′(a)‖f ′(a)‖ = lım

h,k→0

f (a + h)− f (a + k)‖f (a + h)− f (a + k)‖

Una curva que cumple este límite se dice que tiene una tangente fuerte en a.Sugerencia: utiliza el teorema del valor medio clásico tanto en numerador como denominador.

( 4.53 ) Sea f : [a, b]→ Rn, supón que f ∈ C2 ([a, b],Rn) y que f ′(t) 6= 0 en [a, b]. Entonces, N(t) = T ′(t)‖T ′(t)‖

es ortogonal a la tangente unitaria, aquí T es la tangente unitaria de f. Si Rn = R3 entonces a N(t) se le conocecomo vector normal principal, asimismo, al vector B = T ×N se le llama vector binormal.

( 4.54 ) Del problema (4.53). Sea f ∈ C2 ([a, b],R2) y tal que f ′ 6= 0 en [a, b], los tres vectores T, N, y B sonortonormales.

( 4.55 ) Sea f como en el problema (4.53). Las siguientes igualdades se dan:

1. B′ · B = 0 en [a, b];

2. B′ · T = 0 en [a, b].

( 4.56 ) Encuentra una curva f y un punto a tal que exista f ′(a) y no exista la tangente fuerte de f en a.

( 4.57 ) Dada una curva f se define su primitiva como una curva g tal que g ′ = f. Para cualquier curva f si suprimitiva existe entonces es única salvo la suma de una constante.Sugerencia: utiliza el teorema del valor medio (4.4.7)

( 4.58 ) Del ejercicio (4.57). Muestre que si f = (f1, . . . , fn) es integrable sobre [a, b] entonces

h(t) =t∫

a

f (u)du =

Ñ t∫a

f1(u)du, . . . ,t∫

a

f (u)du

ées una primitiva de f.

118

4.10. Ejercicios.

( 4.59 ) Encuentra todos los instantes p tales que el vector posición es ortogonal a la tangente para la elipsecon centro en el origen y ejes mayor y menor de longitud 2a y 2b, respectivamente. Asimismo, supón que el ejemenor de la elipse está en el primer eje coordenado y el eje mayor está en el segundo eje coordenado.

( 4.60 ) Encuentra la integral de f : [1, 2]→ R3 dada por

f (t) =(ln(t2), exp(2t − 1), sin t

).

( 4.61 ) Sea f : [a, b]→ Rn una curva integrable. Entonces

∥∥∥∥∥∥b∫a

f

∥∥∥∥∥∥ ≤b∫a

‖f‖ .

( 4.62 ) Adapte los teoremas fundamentales del cálculo de una variable para curvas y demuéstralos.

( 4.63 ) Sea P,Q ∈ P([a, b]), existe un refinamiento R de P y Q simultáneamente.Sugerencia: supón que P = (pi)i=0,...,n1 y Q = (qi)i=0,...,n2 . Define r0 = p0 = q0, sea r1 el más pequeño entrep1 y q1 y considera aparte el caso p1 = q1. Supón que has podido definir rk y define rk+1 como el más pequeñode los puntos pi, qi que aún no ha aparecido en la partición.

( 4.64 ) Sea f : [a, b] → Rn una curva y P,Q dos particiones de [a, b] tales que Q es refinamiento de P.Entonces

∆(f, P) ≤ ∆(f,Q)

( 4.65 ) Sea f la curva con regla de correspondencia

f (t) =ß

0 si t ∈ [−1, 0];t2 si t ∈ (0, 1].

Pruebe que f es continua en [−1, 1].

( 4.66 ) Sea C una traza en Rn tal que es parametrizada por dos curvas equivalentes f : [a, b] → Rn yg : [c, d]→ Rn. Sea u : [c, d]→ [a, b] el cambio de parámetro; es decir, g = f u. Para cada P = (ti) que seapartición de [a, b] se cumple que u−1(P) = (u−1(ti)) es una partición de [c, d]; además

∆(f, P) = ∆(g, u−1(P)).

En particular, la longitud de arco es independiente de la parametrización.

( 4.67 ) Calcula la longitud de arco de las siguientes curvas:

1. la parábola descrita por f (t) = (t2, 2t) para t ∈ [0, 1];

2. la gráfica de la función cuya regla de correspondencia es y = ln(1 − x2) entre las rectas de ecuaciones

x = 0 y x = 12;

3. un arco de la cicloide. La traza de la cicloide puede parametrizarse mediante la siguiente curva

f (t) = (t − sin t, 1− cos t), t ∈ [0, 2π].

4. La hélice cónica descrita por f (t) = (t cos t, t sin t, t) en [0, 1].

5. La espiral de Arquímedes entre los ángulos 0 y 2π. La espiral de Arquímedes puede describirse en coordenadaspolares como r = θ (recuerda que r ≥ 0).

( 4.68 ) Del ejercicio (4.6). La espiral logarítmica tiene longitud de arco finita sobre [0,∞].

119


( 4.69 ) Del ejercicio (4.5). Encuentra la distancia que recorre el punto fijo desde el inicio en (0, 0) hasta quevuelve a tocar al eje X.

( 4.70 ) La curva de longitud más corta entre dos puntos A y B en Rn es la recta que los une.

( 4.71 ) Sea f : I → R una curva continua, donde I es un intervalo. Su gráfica es un conjunto conexo.Sugerencia: en este ejercicio no resta mucho por hacer, considera t 7Ï (t, f (t)).

( 4.72 ) Considera Sn−1 = X ∈ Rn : ‖X‖ = 1, sea LX la recta que pasa por el origen y X, para X ∈ Sn−1.Concluya que Rn es un conjunto conexo.

( 4.73 ) Si A ⊂ Rn es conexo y B ⊂ Rm es conexo entonces A× B ⊂ Rn+m es conexo.Sugerencia: considera dos punto arbitrarios x ∈ A y y ∈ B. Los conjuntos x × B y A × y son conexos.Concluya que para todo x ∈ A y todo y ∈ B se tiene que A× y ∪ x ×B es conexo. Considera a ∈ A fijo, yque A× B =

⋃y∈B

(A× y ∪ a × B) concluya el ejercicio al aplicar (4.8.9).

( 4.74 ) Un conjunto A se dice que tiene forma de estrella respecto del punto P si para cualquier punto Q ∈ A elsegmento de recta que une P con Q está completamente contenido en A. Si A tiene forma de estrella respectoa alguno de sus puntos entonces A es conexo por trayectorias (recuerda que esto implica que A es conexo).

( 4.75 ) En Rn si A es un subconjunto abierto y cerrado al mismo tiempo entonces A = ∅ o bien, A = Rn.Sugerencia: recuerda que Rn es conexo.

( 4.76 ) Supón que A ⊂ Rn es tal que A ∩Q tiene más de un punto entonces A ∩Q no es conexo.

( 4.77 ) Los siguientes conjuntos son conexos:

1. (x, y) ∈ R2 : y > x2;

2. (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2.;

3. (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, y ≤ ex.

( 4.78 ) Todo abierto y conexo A ⊂ Rn es un conjunto conexo por trayectorias.Sugerencia: sea X ∈ A y construye D el conjunto de los Y en A tales que existe una curva continua de [0, 1]en A tal que tiene por origen a X y por extremo a Y. Define C = A \D. Toma un punto Y ∈ D entonces comoA es abierto, B (Y ; r) ⊂ A. Para Z ∈ B (Y ; r) se puede unir Z y Y con un segmento de recta y a Y y X con unacurva continua, concluye que se puede unir X y Z con una curva continua. De esto, B (Y ; r) ⊂ D y D es abierto.Por el mismo argumento, C es abierto. Obtenga de esto una contradicción.

120

Capítulo 5

• La derivada en varias variables.

En este capítulo se desarrollará la herramienta fundamental del cálculo en varias variables, la deri-vada. Se introducirá este concepto de una manera diferente a la habitual, esperando que esta sea mássimple y natural; se motivará de tal forma que sea consecuencia directa de lo ya aprendido. El desarro-llo formal de la derivada puede resultar técnico. Para lidiar con esto han sido desarollados de manerasencilla y clara los procesos de derivación. También se introduciren la nociones de varias direcciones;esto es, se tratarán principalmente funciones con dominio en Rn y contradominio en R.

En este capítulo es donde ya se cohesionan las propiedades de espacio vectorial normado. El lectorhabrá notado ya que todas las nociones se pueden dar en espacios vectoriales normados de dimensiónfinita arbitrarios. De hecho, muchas de las propiedades demostradas se basan en la idea de tomar unisomorfismo entre el espacio vectorial y un Rn conveniente y ahí trabajar el teorema (dar la demostra-ción, desarrollar la idea, etcétera). Entonces, ¿para qué molestarse en dar los enunciados para espaciovectorial si todo se reduce a trabajar en Rn? Resulta que más adelante, cuando la derivada se piensecomo una función, resultará más natural trabajar a las funciones como objetos entre dos espacios vec-toriales normados que entre un Rn y un Rm. Si no se trabaja así, el querer definir las derivadas deorden superior deviene en un problema complicado y usualmente solo se trabajan tangencialmente,mecánicamente o de manera ineficiente; sin dar la teoría de fondo. Se recomienda que el lector consulte[1], [3], [7], [11], [15], [19] y [22] en donde apenas se menciona la segunda derivada y no se desarrollaformalmente.

§ 5.1. Funciones de varias variables.

Las funciones de varias variables surgen de manera natural en aplicaciones a la industria, biología,química y otras ciencias. Por ejemplo, imagine la siguiente situación. Se quiere describir la relaciónque existe entre el peso y la altura de una persona con su índice de masa corporal1. Si se denota porf a la función que dada la altura y el peso regresa el índice entonces f : [0,∞)2 → R. Observa que elpeso y la altura de una persona son variables independientes entre sí.

En general, se dice que dos “variables” son “independientes” entre sí si no existe una relación fun-cional entre ellas; esto es, no es posible expresar a una de ellas como función de la otra. Intuitivamente

1El índice de masa corporal es una medida que sirve para obtener una estadística bien aceptada como índice para medir elgrado de obesidad de una persona. La definición del índice es simple, si la persona pesa m kilogramos y mide n metros entoncessu índice de masa corporal, IMC, es IMC = m

n2 .

121

Capítulo 5. La derivada en varias variables.

hablando, esto es lo que se entiende por tener varias direcciones. Cada variable tiene su dominio; elcontradominio de la función es el conjunto donde interactúan todas estas variables.

Durante el resto del texto se trabajará con funciones cuyo dominio es subconjunto de Rn y cuyocontradominio lo es deRm. Esta funciones se conocen como funciones vectoriales de varias variables.Nota que las curvas son un caso particular de funciones vectoriales de varias variables. Sin embargo,en este caso solo se tiene una variable independiente. Por este motivo las funciones de varias variablesposeen más cualidades que las curvas.

Otro resultado importante dice que para una función lo suficientemente suave, su imagen cercade un punto se comporta como un subespacio vectorial del dominio trasladado al punto imagen. Esimportante recordar que las curvas tenían por imagen una “linea curvada” en Rn2. En cambio, dadauna función f : Rn Ï Rm la imagen de f define, sobre ciertas condiciones, una “superficie” en Rm conn “grados de libertad”. Más adelante se discutirá esto. Por lo pronto se está interesados en empezar lasdefiniciones de las posibles operaciones que pueden tener este tipo de funciones especiales.

( 5.1.1 ) Sean V y W dos espacios vectoriales reales, con producto interior y de dimensión finita, y f y g dosfunciones de V a W.

1. Se define f + g como la función cuyo dominio es Dom (f + g) = Dom (f ) ∩ Dom (g) y cuya regla decorrespondencia es (f + g)(X) = f (X) + g(X), a f + g se le llama la suma de f con g.

2. Se define f · g como la función cuyo dominio es Dom (f + g) = Dom (f ) ∩ Dom (g) y con regla decorrespondencia 〈f, g〉 (X) = 〈f (X), g(X)〉 , a 〈f, g〉 se le llama el producto escalar de f con g.

3. En el caso en que W = R se definefg como la función cuyo dominio es Dom

Å fg

ã= X ∈ Dom (f ) ∩

Dom (g) : g(X) 6= 0 y regla de correspondenciaÅ fg

ã(X) = f (X)

g(X) , afg se le llama el cociente de f entre

g.

4. En el caso en que W = R3 se define f × g como la función cuyo dominio es Dom (f × g) = Dom (f ) ∩Dom (g) y regla de correspondencia (f × g)(X) = f (X)× g(X), a f × g se le llama el producto vectorial def con g.

Es importante notar que si W = R entonces la función 〈f, g〉 es el producto usual de f de g. Enocasiones se presentarán solamente las reglas de correspondencia, como convención se opta por tomarel dominio de la función como el conjunto más grande para el cual la regla esté bien definida. Observaque la composición de funciones ha sido definida ya con anterioridad. Para simplificar la autocontenciónse redefine aquí.

( 5.1.2 ) Sean f : A ⊂ U → V y g : B ⊂ V → W dos funciones cualesquiera. Se define la función g fcomo aquella función con dominio Dom (g f ) = X ∈ Dom (f ) : f (X) ∈ Dom (g) y regla de correspondencia(g f )(X) = g(f (X)), a g f se le llama la composición de f seguida de g o la precomposición de g con f.

Note que se definió el dominio de g f no como todo Dom (f ) , sino aquellos puntos en Dom (f ) cuyaimagen por f están en Dom (g) .

( 5.1.3 ) Sea f (x, y, z) = x + yz , encuentra el dominio de f y determine si f es inyectiva, suprayectiva y encuentra

la imagen de f .

2Es importante destacar la existencia de una curva α : [0, 1] → [0, 1]2 tal que α es continua y suprayectiva. Tal curva sedenomina “una curva que llena el espacio”; la «curva de Peano».

122

5.1. Funciones de varias variables.

El dominio de f es el conjunto de puntos más grande en R3 donde f esté definida. La suma estásiempre definida, el único posible problema es el cociente de z, así, el dominio de f es

Dom (f ) = (x, y, z) ∈ R3 : z 6= 0.

Al ver la regla de correspondencia de la función f uno piensa que es poco probable que sea inyectiva.Lo más fácil es ver que si x + y = 0 entonces f (x, y, z) = 0. Sean X1 = (1,−1, 1) y X2 = (−1, 1, 1) dospuntos en R3, f (X1) = f (X2) = 0 y X1 6= X2, esto es, f no es inyectiva. Al ser f una función de R3

en R es natural pensar que f es suprayectiva pues R3 es “más grande” que R. Sea r en R entoncesf (r, 0, 1) = r, esto implica que f es suprayectiva. Falta encontrar la imagen de f , pero esto es inmediatode la suprayectividad, pues al ser f suprayectiva su imagen es todo R.

( 5.1.4 ) Sea α la curva dada por t 7Ï (t2, 2t, 1 − t) y sea f la función dada por f (x, y, z) =√x − y

z + 1 .Determine el dominio de α, f, f α, la imagen de las tres funciones, y la regla de correspondencia de f α.Asimismo, determine si f α es suprayectiva e inyectiva.

Primero se encuentran los dominios de α y f . Como cada función coordenada de α tiene dominioR se tiene que α tiene dominio R. Del mismo modo que el ejemplo anterior f no estará definida siz = −1 o bien, si x < 0. De este modo el dominio de f es

Dom (f ) = (x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, z 6= −1.

Para poder determinar el dominio de f α es necesario que α(t) ∈ Dom (f ) . Para que esto pasees necesario y suficiente que α1(t) ≥ 0 y α3(t) 6= −1, donde α = (α1, α2, α3); es decir, si t2 ≥ 0 y1− t 6= −1 ocurren simultaneamente. Esta condición es equvialente a que t 6= 2. Se puede concluir queDom (f α) = R\2. No se puede hacer algo mejor sobre la imagen de α que

Ran (α) = (x, y, z) ∈ R3 : ∃t ∈ R tal que x = t2, y = 2t, z = 1− t.

Es fácil ver que la imagen de f es R pues para cada r ∈ R el punto (0,−r, 0) es enviado a r mediantef. Para poder determinar la imagen de f α se debe encontrar la regla de correspondencia para f α.Pero,

(f α)(t) = f (α(t)) = f (t2, 2t, 1− t)

=√t2 − 2t

1− t + 1 = |t| − 2t2− t

que es la regla de correspondencia buscada para f α. Se procede a encontrar la imagen de f α. Sear ∈ R, |t| − 2t

2− t = r si y solo si |t|(2− t)− 2t = r(2− t). Despeja la ecuación cuadrática de t, se suponeque t ≥ 0. Entonces

t(2− t)− 2t = r(2− t) ⇔ 2t − t2 − 2t = 2r − rt⇔ t2 − rt + 2r = 0.

Resolviendo la última ecuación para t se obtiene que t = r ±√r2 − 8r2 . Esto tiene solución si y solo si

r2 − 8r ≥ 0. Por tanto, r ≥ 0 y r ≥ 8 o bien, r ≤ 0 y r ≤ −8, así que la ecuación tiene solución parar ∈ (−∞,−8] ∪ [8,∞). Se supone ahora que t < 0,

−t(2− t)− 2t = r(2− t) ⇔ −2t + t2 − 2t = 2r − rt⇔ t2 − (4− r)t − 2r = 0.

123


Resolviendo la ecuación para t se obtiene que t = 4− r ±√

(4− r)2 + 8r2 . Entonces, existe solución

para t si (4 − r)2 + 8r ≥ 0, equivalentemente, si r2 + 16 ≥ 0. Pero la última desigualdad es cierta paratodo r, de este modo, la ecuación siempre tiene solución. Esto implica que f α es suprayectiva. Porlo tanto, su imagen es todo R. De las desigualdades anteriores es claro que f α no es inyectiva. Porejemplo, (f α)(6) = 6− 12

−4 = 9 y (f α)(3) = 3− 6−1 = 9, así, f no es inyectiva.

§ 5.2. Campos vectoriales, una introducción intuitiva.Una de las interpretaciones físicas de las funciones de varias variables se deriva de estudiar las

trasformaciones del espacio. Para esto es importante introducir la noción de campo vectorial. Uncampo vectorial F es una función con dominio un subconjunto de Rn y contradominio también en Rn.La idea geométrica de un campo vectorial es la siguiente: dado un punto en Rn éste es movido por elcampo (pensado aquí como un campo de fuerzas) a otro punto en Rn. Aunque la definición de campovectorial puede ser dada para espacios vectoriales, al tomar F : V → V, esto no suele ser realmente útil.Así, a lo largo del texto siempre se entenderá que un campo vectorial F posee por dominio cierto Rn

y por contradominio el mismo Rn.

( 5.2.1 ) La función F (x, y) = (y, x) es un campo vectorial en R2. Geométricamente hablando, se entiende queF refleja R2 a través de la recta con vector de dirección (1, 1).

( 5.2.2 ) El campo vectorial F : Rn \ 0 → Rn \ 0 dado por F (X) = X‖X‖2

se conoce como inversión.

Se deja de ejercicio verificar que la inversión es invertible, fija el círculo unitario3 y es una biyecciónentre la bola unitaria y su exterior.

z 5.2.1 Representación geométrica.Para entender un poco mejor a los campos vectoriales se suele hacer una representación geométrica

de ellos. Cabe destacar que no se puede dibujar la gráfica de un campo vectorial en general. Si F : U ⊂Rn → Rn es un campo vectorial la gráfica de F es un subconjunto de Rn ×Rn = R2n, por lo que paran ≥ 2 ya no es posible dibujar su gráfica.

Es posible dar una representación geométrica de F. Si en Rn se dibuja el vector F (X) basadoen el punto X, se obtendrá una imagen geométrica de F. Más precisamente, lo que se realiza es losiguiente: se supone que F : U ⊂ R2 → R2 entonces en el pedazo de papel donde se va a representargeométricamente el campo se empieza dibujando dos lineas ortogonales como referencia a los ejescoordenados; luego, desde el punto con coordenadas (x, y) se dibuja una flecha cuya dirección esla dirección de F (x, y) y cuya magnitud es proporcional a F (x, y). Es común utilizar una constanteproporcional muy pequeña, la idea de esto es que las flechas dibujadas no se sobrepongan entre sí.Dependiendo del problema, 5 % o bien, 1 % es una buena constante proporcional.

Para evitar que el gráfico se vuelva rápidamente engorroso se dibujan las menos flechas posiblespero de tal forma que pueda verse la influencia que el campo realiza a los puntos del plano. En ocasionesincluso, se dibujan todas las flechas del mismo tamaño pues no se quiere saber la influencia local delcampo, sino, solamente el comportamiento global.

Por ejemplo, para graficar el campo vectorial F (x, y) = (x,−y) lo primero que debe realizarse esdibujar un par de lineas ortogonales. Enseguida, en el punto de coordenadas (x, y) se debe dibujar una

3Esto es, si U es el círculo unitario, el conjunto de pares (x, y) tales que x2 + y2 = 1, F (U) = U.

124

5.2. Campos vectoriales, una introducción intuitiva.

flecha de dirección (x,−y), por comodidad se dibujan todas las flechas del mismo tamaño. Se le pideal lector que realice él mismo el dibujo. Si lo ha hecho bien debería conseguir que sus flechas, si seencuentran sobre los ejes, se alejen del origen por el primer eje y se aceren al origen por el segundoeje. En los puntos que no están sobre los ejes, las flechas deberían describir dos sistema de hipérbolassimétricos tales que el origen del plano es centro común de todas las hipérbolas.

z 5.2.2 Las transformaciones rígidas.Dentro del conjunto de los campos vectoriales definidos en Rn existe un subconjunto de especial

importancia. Aunque como se vió antes, los campos pueden “invertir” el plano sobre sí mismo, es deespecial importancia estudiar aquellos que lo transforman “rígidamente”.

( 5.2.3 ) Sea T : Rn → Rm una función cualquiera, en donde Rn y Rm son dos espacios vectoriales con productointerior de dimensión finita. Se dirá que esta función es rígido o que es una trasformación rígida si para cualquierpar de vectores A y B en Rn se cumple que d(T(A), T(B)) = d(A,B), donde d es la distancia euclidiana. Si,además, T es lineal se llamará a T una transfomación ortogonal.

El siguiente teorema explica este nombre.

( 5.2.4 ) Sea T : Rn → Rn una trasformación rígida. Entonces,

1. si T es ortogonal, es invertible;

2. T preserva el producto escalar;

3. T preserva bases ortogonales de V ; esto es, si v1, . . . , vn es una base ortogonal de Rn entonces Tv1, . . . , Tvnen una base ortogonal de Rn;

Se verá cada inciso por separado. Para empezar nota que ‖T(A)− T(0)‖ = d(T(A), T(0)) = d(A, 0) =‖A‖ y haciendo A = 0 se encuetra que ‖T(0)‖ = ‖T(0)− T(0)‖ = 0, por lo que T(0) = 0. De esta forma,toda transformación rígida preserva la norma.

1. Basta ver que T es inyectiva por el ejercicio (1.30). Al ser que ‖Tu − Tv‖ = ‖u − v‖ , se ve que Tes inyectiva.

2. Solo hay que observar que

‖A− B‖2 = ‖T(A)− T(B)‖2 ⇔ ‖A‖2 + 2 〈A,B〉+ ‖B‖2 = ‖T(A)‖2 + 2 〈T(A), T(B)〉+ ‖T(B)‖2 ,

y como T preserva norma, se obtiene lo afirmado.

3. Como T preserva el producto escalar, en particular lo hace para vectores ortogonales.

Esto demuestra el teorema.

( 5.2.5 ) La composición de cualquier número finito transformaciones rígidas es a si vez una trasformación rígida.

Se procede por inducción matemática. Se define H el conjunto de los números naturales k paralos cuales, la composición de k transformaciones rígidas en Rn es a su vez una trasformación rígidaen Rn. Evidentemente, 1 ∈ H . Se supone entonces que existe un k ∈ H y sean T1, . . . , Tk+1 k + 1transformaciones rígidas de Rn. Entonces, para cualesquier a y b en Rn, se ve que si T = Tk · · · T1entonces

d(Tk+1

(T(a)

), Tk+1

(T(b)

))= d

(T(a), T(b)

)= d(a, b),

en donde la última igualdad es válida por ser k ∈H . De esto se sigue que H = N.

125


( 5.2.6 ) El conjunto de transformaciones ortogonales en Rn con la composición forman un grupo. En este grupola identidad es el neutro multiplicativo.

En efecto, en virtud de (5.2.5) y de (5.2.4) solo resta probar que si T es ortogonal T−1 también lo es.Pero la inversa de una transformación lineal es una transformación lineal, ve el ejercicio (1.23), y siuna transformación lineal invertible preserva la distancia también su inversa, ve el ejercicio (1.34). ( 5.2.7 ) Toda trasformación rígida se descompone de manera única como la composición una trasformaciónortogonal seguida de una traslación.

Se supone que T : Rn → Rn es una trasformación rígida. Sea P = T(0) entonces T −P : Rn → Rn esuna trasformación ortogonal; evidentemente, T−P es la composición de T con la traslación X 7Ï X+P,luego como consecuencia de (5.2.5) se sigue que T − P es rígida4. Por ende, basta demostrar que todatrasformación rígida que fija el origen es una transfomación lineal.( 5.2.7.1 ) Sea T una trasformación rígida que fija el origen. Entonces T es lineal.

Si e1, . . . , en es la base canónica de Rn, se ve que Te1, . . . , Ten es base ortonormal de Rn

(ve (5.2.4)). De este modo, X ∈ Rn se descompone como X =n∑i=1〈X, ei〉 ei. Análogamente, TX se

descompone como TX =n∑i=1〈TX,Tei〉Tei; al ser T rígida, preserva el producto escalar (de nuevo,

(5.2.4)) y, por ende, 〈TX,Tei〉 = 〈X, ei〉 y, por lo tanto,

TX =n∑i=1〈X, ei〉Tei;

mostrando que T es lineal5.Se supone que T = S U, con U ortogonal y S una traslación, del párrafo pasado se sabe que S es

la traslación por T(0), como las formas lineales quedan determinadas por las imágenes de una base, seve que U también está determinada de manera única.

Como importante corolario de esta proposición se obtiene lo siguiente.( 5.2.8 ) Si T es una isometría de Rn en sí mismo que fija el origen T es lineal.

Dicho de otro modo, las únicas funciones que preservan las distancias en Rn son lineales, salvo unatraslación.( 5.2.9 ) Toda trasformación rígida es invertible.

Si T : Rn → Rn es la trasformación dada, se sabe que T es composición de traslación con formalineal invertible; T es invertible.

( 5.2.10 ) La inversa de una trasformación rígida es a si vez una trasformación rígida.

Supón que T es rígidad(T−1u, T−1v) = d(TT−1u, TT−1v) = d(u, v);

por lo que T−1 es rígida.

( 5.2.11 ) Las transformaciones rigidas en Rn con la composición forman un grupo. El grupo de transformacionesortogonales es subgrupo de este.

Es inmediato de los teoremas previos y la definición de grupo. 4El hecho que una traslación sea una trasformación rígida queda de ejercicio al lector.5Para ver la linealidad de T recuerda que si u =

n∑i=1

aiei entonces ai = 〈u, ei〉 . Luego, se supone que u =n∑i=1

aiei y v =n∑i=1

biei

entonces los argumentos utilizados en la demostración prueban que T(u + λv) = Tu + λTv para cualquier escalar λ ∈ R.

126

5.3. Gráficas.

§ 5.3. Gráficas.Ya se ha hablado de la gráfica de una función pero todavía no ha sido definido lo que se interpreta

por gráfica. Se había definido a la gráfica de una función es la función misma. Por esta razón, sif : Rn → Rm entonces f ⊂ Rn+m y solamente se pueden dibujar las gráficas para n = 1 y m = 1, paran = 2 y m = 1 y, para n = 1 y m = 2. Se considera f : Rn → Rm, el caso en que n = 1 y m = 1 se tieneuna función de R a R para la cual el lector ya es experto realizando las gráficas correspondientes. Sien cambio, se considera n = 1 y m = 2 se está considerando una curva, las cuales fueron tratadas enel capítulo 4. Es por este motivo que se concentrará el interés en funciones de R2 a R.

z 5.3.1 Método de los conjuntos de nivel.Sea f una función de Rn a R con regla de correspondencia X 7Ï f (X). Sea c ∈ R una constante

arbitraria, se está interesado en definir el conjunto de aquellos puntos (X, c) ∈ f.

( 5.3.1 ) Sean f : A→ B y c ∈ B. Se dirá que el conjunto

Nc(f ) = (x, y) ∈ f : y = c

se le conoce como conjunto de nivel6 c de f.

Es importante notar que si A = Rn y B = Rm entonces los conjuntos de nivel de una función sonsubconjuntos de Rn+m. Ahora bien, como la segunda coordenada de los elementos de un conjunto denivel siempre es la misma se grafica la proyección de Nc(f ) en Rn. Esto dice que se pueden graficarlos conjuntos de nivel cualquier función con dominio hasta R3.

( 5.3.2 ) La gráfica de f es la unión de todos los conjuntos de nivel no vacíos.

Es inmediato de la definición. De hecho, los conjuntos vacíos no aportan nada a la gráfica.

( 5.3.3 ) Sea f la función de R2 a R dada por X 7Ï ‖X‖ . Encuentra los conjuntos de nivel de f para cualquiervalor c.

Como se sabe, ‖X‖ ≥ 0, de este modo, para todo c < 0, Nc(f ) = ∅. Para c = 0 se tiene queNc(f ) = (0, 0, 0) y para c > 0, se tiene que

Nc(f ) = (x, y, c) ∈ R3 :»x2 + y2 = c

esto es, un círculo de radio c sobre el plano P = (x, y, c) : (x, y) ∈ R2 y concentro en el tercer eje.Finalmente, la gráfica de f es la unión de todos estos círculos de centro el origen y radio r con la ideaque el círculo de radio r tiene su centro en el tercer eje y se encuentra embebido en un plano paraleloa aquel generado por los dos primeros ejes y que se encuentra a una altura de r sobre el origen.

( 5.3.4 ) Sea f la función de R2 a R dada por f (x, y) = xy . Encuentra los conjuntos de nivel de f para un valor

c arbitrario de R.

Sea c = 0 entoncesf (x, y) = 0⇔ x

y = 0⇔ x = 0.

6También conocidos como “isoconjuntos” de valor c. Por ejemplo, cuando una función mide la temperatura éstos conjuntosreciben el nombre de “isotérmicos”; cuando se hable en términos de utilidad económica se les denomida de “isoutilidad”, etcétera.

127


De este modo, N0(f ) = (0, y, 0) ∈ R3 : y 6= 0. A este conjunto se le puede pensar como (0, y) ∈ R2 :y 6= 0. Ahora, si c = 1 entonces es fácil ver que

N1(f ) = (x, x, 1) : x 6= 0.

En general, para cualquier c ∈ R, se tiene que Nc(f ) = (cy, y, c) : y 6= 0, esto es, lineas que cortan altercer eje en la altura c cuya pendiente es 1

c . ¿Puede el lector imaginar la gráfica de f?

( 5.3.5 ) Se supone que f es una función de R2 a R tal que Nc(f ) = (x, y, c) : 2x − y + 1 = c, determine f .

Observa que para cada valor de c el conjunto de nivel de f es una recta. Es importante notar que paratodos los valores de c las rectas tienen la misma pendiente. En la gráfica de f se tendrá que en la alturac la gráfica es una recta y que para cualquier altura se tienen rectas paralelas entre sí. Esto sugierepensar que la gráfica de f es un plano. Bastará un segundo para que el lector se convenza que unafunción en cuestión es f (x, y) = 2x−y+1 y la gráfica de f es el plano P = (x, y, z) : 2x−y−z = −1.

z 5.3.2 Método de las secciones.Este método consiste en obtener secciones de las gráficas al estudiar las intersecciones de la gráfica

con conjuntos ya conocidos y para los cuales se sabe su forma. Lo más fácil es obtener interseccionescon los planos coordenados o, en general, con un planos arbitrarios o rectas.

( 5.3.6 ) Sea f una función de A a B y C un subconjunto en A × B entonces la sección de f sobre el conjuntoC es SC(f ) = C ∩ f.

La definición, como era de esperarse, ha sido dada de manera general. Para el caso de funcionesde Rn a R se tiene que la sección de f sobre C de es un subconjunto de Rn+1.

( 5.3.7 ) De los ejemplos (5.3.3) y (5.3.4) anteriores, determinar las secciones de las funciones ahí consideradassobre los planos coordenados.

Se considera primero el ejemplo (5.3.3). Los planos coordenados son aquellos conjuntos que satisfa-cen que una de sus coordenadas es cero. Sea Pi = (x1, x2, x3) ∈ R3 : xi = 0 el plano enR3 con la i-ésimacoordenada igual a cero. Sea f la función en cuestión, en este caso f (x, y) =

√x2 + y2, y se considera

SP1 (f ). Por la definición anterior, se tiene que SP1 (f ) = P1∩f = (x, y, z) ∈ f : x = 0 = (0, y, |y|) : y ∈ R.Entonces, restringiendo a P1 se tiene que la sección se ve como la función valor absoluto. Análogamentepara P2 se obtiene gráfica de la función valor absoluto. No es difícil imaginar la gráfica de f. Se tieneque por secciones es valor absoluto y por niveles son círculos, luego f tiene un pico en el origen. Porlo que f tiene la forma de un cono.

Se considera ahora al ejemplo 5.3.4. En este caso las secciones a los planos coordenados no danmucha información. Se sabe que la intersección con el plano que tiene a la segunda coordenada iguala cero no está definida y el de la primera coordenada siempre es cero. Realmente no ayudan mucho,se usan las secciones con otros planos. Por ejemplo, sea P(k) = (x, y, z) : x = k entonces

SP(k)(f ) =ßÅ

k, y, ky

ã: y 6= 0

™.

Estos conjuntos son hipérbolas en los planos que tienen x = k. La imagen geométrica de la gráfica noes muy clara pero uno puede imaginarla un poco mejor con secciones que con conjuntos de nivel yjuntos proveen de una buena imagen geométrico de la gráfica.

Esta dos técnicas son muy utilizadas para graficar funciones. No se desarrollarán más técnicas nimétodos de graficación. Estas dos herramientas satisfacen casi todos los encuentros prácticos paragraficar funciones.

128

5.4. Límites.

§ 5.4. Límites.La generalización de límite en funciones de varias variables es inmediata de la definición dada antes

para curva (4.2.1)

( 5.4.1 ) Sean V y W dos espacios vectoriales. Supón que A es un subconjunto de V y que f : A → W es unafunción cualquiera. Sea v ∈ A un punto de acumulación de A. Se dirá que w ∈ W es un «límite de f en v através de A» siempre que se cumpla la siguiente propiedad

(∀ε > 0)(∃δ > 0) tal que (u ∈ B∗ (v; δ) ∩ AÑ f (u) ∈ B (w;ε)),

donde B∗ (v; δ) = B (v; δ) \ v. Se utilizará la notación lımu→vu∈A

f (u) = w y lımu→v

f (u) = w cuando A quede claro del

contexto.

Observaciones:

1. Siempre se deberá suponer que las bolas son respecto a la única topología que se puede definiren V y W con respecto a una norma, ve las observaciones después de (3.6.6). En particular, si unafunción posee un límite respecto a algunas normas de V y W entonces posee el mismo límitepara todas las normas que se puedan definir en V y W.

2. Esta definición coincide con la clásica definición de cálculo en una variable cuando n = 1 yV = W = R. También incluye las definiciones de límite hacia arriba (o izquierdo) y hacia abajo (oderecho).

3. El δ encontrado es típicamente función de ε y v. A veces se escribirá δ(ε, v).

4. Si en la definición no se pidiera que v fuera un punto de acumulación de A pero que v esté en Aentonces cualquier w ∈W sería límite de f en v a través de A. En efecto, existe un δ > 0 tal queB (v; δ) ∩ A = v. Luego, la propiedad definitoria de límite se cumpliría trivialmente para todopunto w ∈W, esto es por vacuidad. Como se desean que los límites sean únicos, se excluye estecaso.

5. Esta noción de punto límite explica por qué en las sucesiones solo se consideran límites en el“infinito”. Supón que a R se le agrega el “punto” especial ∞ y se define una bola abierta de centro∞ como (a,∞), para cualquier a ∈ R. Entonces, si se pone U = N en la definición anterior elúnico punto de acumulación de U es ∞. Esto puede “verificarse” de la siguiente manera, supónque n ∈ N entonces

Ån − 1

2 , n + 12

ã∩N = n, por lo que n no es punto de acumulación de N,

en cambio, se toma a ∈ R, se ve que (a,∞) ∩ N 6= ∅ sin importar a. Luego, lo estudiado sobrelímites de sucesiones es un caso especial de este.

6. La función f tiene a lo más un límite en A. Lo cual puede verificarse imitando la demostraciónde (4.2.2), hazlo.

7. Asimismo, resulta ser más complicado el cálculo de los límites ahora que antes. A continuaciónse presentan algunos ejemplos para ilustrar este hecho. En estos ejemplos se varán algunas ideasque se utilizan con frecuencia a la hora de lidiar con límites.

( 5.4.2 ) Calcula el siguiente límitelım

(x,y)→(π,0)cosx + cos y = 0.

129


La función con la que se va a trabajar es aquella cuya regla de correspondencia es (x, y) 7Ï cosx +cos y. Se sabe que la función coseno está bien definida en todo R. De este modo el dominio de lafunción es R2. Dado ε > 0 se debe encontrar un δ > 0, posiblemente en función de ε y (π, 0), tal quecumpla la definición de límite. Sea ε > 0. Como el coseno es una función continua en R existe unδ1 > 0 tal que |x−π| < δ1 Ñ | cosx+1| < ε

2 . Asimismo, existe δ2 > 0 tal que |y| < δ2 Ñ | cos y−1| < ε2 .

Sea δ = mınδ1, δ2. Entonces ‖(x, y)− (π, 0)‖ < δ Ñ |x − π| < δ y |y| < δ. Luego, las desigualdadesanteriores prevalecen, por lo que

| cosx + cos y| ≤ | cosx + 1|+ | cos y − 1| < ε.

Esto implica que lım(x,y)→(π,0)

cosx + cos y = 0.

( 5.4.3 ) Sea f (x, y, z) = x − y + 2z. Encuentra y calcula

lım(x,y,z)→(1,0,−1)

f (x, y, z).

Lo más natural es pensar que lım(x,y,z)→(1,0,−1)

f (x, y, z) = −1. Sea ε > 0 y sea δ > 0 tal que

|x − 1| < δ Ñ |x − 1| < ε3 ,

|y| < δ Ñ |y| < ε3

y|z + 1| < δ Ñ |2z + 2| < ε

3El lector deberá explicar por qué existe este δ. Al igual que antes, si ‖(x, y, z)− (1, 0,−1)‖ < δ entonceslas tres desigualdades anteriores valen y por tanto

|x − y + 2z + 1| ≤ |x − 1|+ |y|+ |2z + 2| < ε

Esto implica que lım(x,y,z)→(1,0,−1)

f (x, y, z).

( 5.4.4 ) Sea F : R3 → R3 dada por F (x, y, z) = (x + y, x2 − z, cos z). Encuentra y calcula

lım(x,y,z)→(1,−1,π)

F (x, y, z).

Es fácil pensar que el límite es (0, 1− π,−1). Se calcularán primero los límites de las funciones

f1(x, y, z) = x + y, f2(x, y, z) = x2 − z

yf3(x, y, z) = cos z

en el punto (1,−1, π). Sean ε > 0 y δ1 > 0 tal que

|x − 1| < δ1 Ñ |x − 1| < ε6 ,

y|y + 1| < δ1 Ñ |y + 1| < ε

6 ,

130

5.4. Límites.

De este modo, si ‖(x, y, z)− (1,−1, π)‖ < δ1 entonces las dos desigualdades anteriores prevalecen y, portanto,

|f1(x, y, z)| = |x + y| < |x − 1|+ |y + 1| < ε3

Sea δ2 > 0 tal que|x − 1| < δ2 Ñ |x2 − 1| < ε

6 ,

y|z − π| < δ2 Ñ |z − π| <

ε6 .

Y del mismo modo que antes, si ‖(x, y, z)− (1,−1, π)‖ < δ2 entonces las dos desigualdades anterioresprevalecen y, por tanto,

|f2(x, y, z)| = |x2 − z − 1 + π| < |x2 − 1|+ |z − π| < ε3

Por último, como cos es una función continua se tiene que existe δ3 tal que

|z − π| < δ3 Ñ |f3(x, y, z) + 1| = | cos z + 1| < ε3 .

Sea δ = mınδ1, δ2, δ3, las desigualdades concernientes a las fi se mantienen simultáneamente. De estemodo, se puede ver que

‖(x, y, z)− (1,−1, π)‖ < δ Ñ ‖F (x, y, z)− (0, 1− π,−1)‖ < ε.

Con lo cual se puede concluir que el límite es cierto.

z 5.4.1 Proyecciones canónicas.Dentro de las funciones especialmente importantes que solo han sido mencionadas vagamente

se encuentran las proyecciones naturales a los ejes coordenados. Por ejemplo, dado un punto X =(x1, · · · , xn) ∈ Rn se quieren considerar las aplicaciones X 7Ï xi para algún i fijo. Estas funciones enrealidad no dependen de la estructura de Rn, por lo que se definen en general.

( 5.4.5 ) Sean X1, . . . , Xs son conjuntos no vacíos y sea X =s∏i=1

Xi su producto cartesiano. Se define a pri1,...,ij :

X →j∏

k=1Xik dada por pri1,...,ij (x1, . . . , xs) = (xi1 , . . . , xij ); se dirá que pri1,...,ij es proyección parcial. Cuando j = 1

entonces se dirá que pri1 la proyección canónica al i1-ésimo conjunto. Si X1 = . . . = Xs, se denotará a X por Xs.Dada una función F : V → W, donde W = U1 × . . . × Um, se tiene de manera natural m funciones que

coordenadas. Es decir, para cada vector v ∈ V, se tiene que F (v) = (f1(v), . . . , fm(v)). Las funciones fi = pri Fanteriores se les conoce como funciones coordenadas de la función F. Se tiene que las funciones coordenadastienen (al menos) el mismo dominio que la función F. Por costumbre uno escribe F = (f1, . . . , fm).

( 5.4.6 ) Sean V,W1, . . . ,Wm espacio vectoriales y define W = W1 × . . . × Wm. Sean A ⊂ V cualquierconjunto y v un punto de acumulación de A. Para que la función F = (f1, · · · , fm) : A → W posea un límitew = (w1, . . . , wm) ∈ W a través de A es condición necesaria y suficiente que cada una de sus funcionescoordenadas fi posea a wi como límite en v a través de A, para i = 1, . . . ,m.

131


Recuerde que no importa que norma se utilice en la definición de límite. Supón entonces que‖‖1, . . . , ‖‖m son sendas normas en W1, . . . ,Wm y define la norma en W mediante

‖(z1, . . . , zm)‖ =m∑i=1‖zi‖i

(queda a título de ejercicio para el lector demostrar que ‖‖ es una norma en W ). Se verifica trivialmenteque para cualquier zi ∈Wi

‖zi‖i ≤ ‖(z1, . . . , zm)‖ =m∑i=1‖zi‖i .

Por lo tanto, ‖wi − fi(u)‖i ≤ ‖w − F (u)‖ =m∑i=1‖wi − fi(u)‖i . Por lo tanto, si F (u) → w cuando u → v a

través de A entonces fi(u)→ wi cuando u→ v a través de A. Del mismo modo, si para cada i = 1, . . . ,mse cumple que fi(u)→ wi cuando u→ v a través de A entonces, por ser un número finito de sumandos,F (u)→ w cuando u→ v a través de A.

( 5.4.7 ) Sean g : A ⊂ V → R, y f : I ⊂ R → R. Se supone que v es un punto de acumulación de A y quelımu→v

g(u) = l y que f es continua (como función de R en R) en l. Entonces

lımu→v

f (g(u)) = f (l).

Sea ε > 0. Existe η > 0 tal que

t ∈ B (l; η)Ñ f (t) ∈ B (f (l);ε) .

Para este η existe δ > 0 tal queu ∈ B∗ (v; δ)Ñ g(u) ∈ B (l; η) .

De este modo,u ∈ B∗ (v; δ)Ñ f (g(u)) ∈ B (f (l);ε) .

Esto prueba que lımu→v

f (g(u)) = f (l).

( 5.4.8 ) Sea f (x, y, z) = 1x2 + 2y − z . Encuentra y calcula

lım(x,y,z)→(1,0,−1)

f (x, y, z).

Considera la siguiente funcióng(x, y, z) = x2 + 2y − z.

Se encuentra primero el límite de g en (1, 0,−1), este límite es 2. Se observa lo siguiente

|x2 + 2y − z − 2| = |x2 − 1 + 2y − z − 1| ≤ |x2 − 1|+ |2y|+ |z + 1|.

Un segundo de reflexión hará notar que el único posible problema para encontrar una cota es con|x2 − 1|. Se hacen unas pequeñas manipulaciones algebraicas.

|x2 − 1| = |x + 1||x − 1| ≤ (|x|+ 1)|x − 1|

132

5.4. Límites.

Para 0 < δ < 1, se tiene que |x − 1| < δ Ñ |x| < 2. Además, dado ε > 0 se puede escoger δ > 0 de talforma que δ ≤ mın

1, ε6

entonces

‖(x, y, z)− (1, 0,−1)‖ < δ Ñ |x2 + 2y − z − 2| ≤ (|x|+ 1)|x − 1|+ |2y|+|z + 1| ≤ 3|x − 1|+ |2y|+ |z + 1|

≤ 3δ + 2δ + δ ≤ ε.

Se aplicará el teorema anterior; se debe encontrar una función ψ : I ⊂ R → R tal que ψ g = f. Seaψ : R+ → R dada por ψ(x) = 1

x . Entonces,

lım(x,y,z)→(1,0,−1)

ψ(g(x, y, z)) = lım(x,y,z)→(1,0,−1)

f (x, y, z). = 12 .

Por lo tanto, lım(x,y,z)→(1,0,−1)

f (x, y, z) = 12 .

Generalizando el ejemplo anterior no es difícil demostrar el siguiente resultado. La prueba se dejade ejercicio al lector.

( 5.4.9 ) Sean g : A ⊂ V → R y v un punto de acumulación de A. Si lımu→v

g(u) = l 6= 0, se tiene que

lımu→v

Å 1g

ã(u) = 1

l .

El siguiente teorema engloba todas las propiedades básicas de límites de funciones que tomanvalores reales. Las operaciones en cuestión son la suma y el producto.

( 5.4.10 ) Sean f, g : A ⊂ V → W y v un punto de acumulación de A. Se supone que lımu→v

f (u) = l1 y que

lımu→v

g(u) = l2. Entonces, las siguientes propiedades se verifican.

1. Para cualquier λ ∈ R, lımu→v

(f + λg)(v) = l1 + λl2;

2. Si en W hay un producto escalar 〈, 〉 , lımu→v〈f, g〉 (u) = 〈l1, l2〉 .

La demostración se delega al lector como ejercicio. Como siempre, se darán algunas sugerencias.Las funciones proyección antes definidas satisfacen ciertas propiedades especiales. De acuerdo al

ejemplo (3.4.2) se tiene que las funciones proyección son funciones abiertas.

( 5.4.11 ) Sean V1, . . . , Vn espacios vectoriales y define V = V1 × . . .× Vn. Las proyecciones canónica satisfacenque v = (v1, . . . , vn)Ñ lım

u→vpri(u) = vi.

Es destacable que Dom (pri) = V por lo que cualquier v ∈ V es punto de acumulación de Dom (pri) .Aquí otra vez se utilizará que no importa la norma que se utilice en la definición de límite. Su-pón entonces que ‖‖1, . . . , ‖‖n son sendas normas en V1, . . . , Vn y define la norma en V mediante

‖(v1, . . . , vn)‖ =n∑i=1‖vi‖i . Sean ε > 0 y δ = ε. Por definición,

u ∈ B∗ (v; δ)⇔ 0 <n∑i=1‖ui − vi‖i < δ,

por lo que‖ui − vi‖i ≤ ‖u − v‖ < δ = ε

que es la definición de que lımu→v

pri(u) = pri(v).

133


Observación: de aquí es inmediato que toda proyección parcial pri1,...,ik satisface que

lımu→v

pri1,...,ik (u) = (vi1 , . . . , vik ),

lo cual es consecuencia de (5.4.6) y de (5.4.11).

z 5.4.2 Funciones polinomiales y racionales.Con las funciones proyecciones surgen de manera natural las funciones polinomiales y racionales.

Así, se desea definit a las funciones polinomiales y las funciones racionales. Un polinomio en R es, pordefinición, una expresión formal de la forma

n∑i=0

aixi = a0 + a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn,

en donde cada xi es un símbolo que carece de sentido como tal, simplemente representa posición. Alconjunto de todos los polinomios se le puede representar por

R[x] = n∑

i=0aixi : ai ∈ R, n ∈ N

.

Se hace hincapié en que las expresionesn∑i=0

aixi no son números, el elemento xi solo está representando

una posición en el polinomio. De hecho, se puede pensar que R[x] es el siguiente conjunto:

R[x] =(a0, a1, a2, . . .) ∈ RN : ai ∈ R y ∃N ∈ N ∪ 0 tal que n > N Ñ an = 0

,

en dondeRN es el conjunto de vectores con un número infinito de entradas; esto es,RN es el conjunto delas sucesiones que toman valores reales. La notación con vectores no es habitual pues resulta complicadodefinir el producto de polinomios, por eso se prefiere la notación de sumas. Otra forma de definir R[x]es pensarlo como el espacio vectorial generado por los símbolos formales xi : i = 0, 1, 2, . . .. A esteconjunto se le conoce como conjuntos de monomios de una variable.

Existen muchas analogías entre RN y Rn para n ∈ N. No se necesitará de ninguna durante estetexto. Por otra parte, se deja de ejercicio al lector verificar que R[x] es un espacio vectorial sobre Rcon las operaciones de suma y producto por escalar definidas como antes, coordenada a coordenada.Asimismo, se deja verificar que este espacio vectorial es de dimensión infinita, de hecho el conjunto demonomios de una variable es un conjunto linealmente independiente e infinito que es base (ve (1.2.8))de R[x].

Dado un polinomio siempre es posible definir una función mediante él. Por ejemplo, para P ∈ R[x]

dado por P = (a0, . . . , an, 0, . . .) =n∑i=0

aixi entonces se puede definir la función f : R→ R dada por

f (x) =n∑i=0

aixi.

A una función de este tipo se le conoce como función polinomial en R y cabe destacar que f no es unpolinomio7. Observa que existe una aplicación natural entre el espacio de polinomios y el de funciones,

n∑i=0

aixi 7Ï(t 7Ï

n∑i=0

aiti)

7Técnicamente, f /∈ R[x].

134

5.4. Límites.

Esta aplicación será denotada por Φ : R[x]→ P(RR)8, el cual es lineal e inyectivo.

Para generalizar los resultados precedentes uno ha de preguntarse, ¿cómo se generaliza la idea defunción polinomial a Rn? Una idea natural es definir R[x1, . . . , xn] como el espacio vectorial generadopor el conjunto de los monomios en n variables. Esto es R[x1, . . . , xn] = lin 〈B〉 , donde

B =¶xi11 · · ·xinn : i1 + · · ·+ in = k, (i1, . . . , in, k) ∈ (N ∪ 0)n+1

©.

Entonces, queda a cargo del lector demostrar que B es conjunto linealmente independiente.

( 5.4.12 ) Se define el conjunto de los polinomios en n variables como

R[x1, . . . , xn] = lin¨¶xi11 · · ·xinn : i1 + · · ·+ in = k, (i1, . . . , in, k) ∈ (N ∪ 0)n+1

©∂.

Si k es un número natural, la expresión

k∑i1+···+in=0

ai1,...,inxi11 · · ·xinn ,

en donde ai1,...,in ∈ R, se llamará «polinomio de grado k en n variables».

Observación: evidentemente, si Ak es el conjunto de polinomios de grado k para k ∈ N∪0 entonces

R[x1, . . . , xn] =∞⋃k=0

Ak.

De nueva cuenta se hace hincapié en que un polinomio no es una función, es una simple expresiónformal.

( 5.4.13 ) A f : Rn → R se le llama función polinomial si existen ai1,...,in ∈ R tales que

f =k∑

i1+···+in=0ai1,...,inpri11 · · ·prinn .

En este caso, se dirá que f es una función polinomial de grado k en n variables.

Otra vez existe una función lineal e inyectiva de R[x1, . . . , xn] en R(Rn). Una vez que han sido definidaslas funciones polinomiales se está en condiciones de definir las funciones racionales.

( 5.4.14 ) Se dice que h : U ⊂ Rn → R es una función racional si existen f, g dos funciones polinomiales en nvariables tales que g(X) 6= 0 para todo X en U ⊂ Rn y h = f

g .

Por las propiedades básicas de límites de sumas, productos y cocientes, junto con (5.4.11) se tieneque el límite de una función polinomial en un punto A es la función evaluada en A. Asimismo, si h esuna función racional se tiene que el límite de h en A es h(A).

( 5.4.15 ) Calcula los siguientes límites.

1. lım(x,y,z)→(1,0,0)

x + y + z.

8Por notación, si X y Y son conjunto, el conjunto XY denota al conjunto de todas las funciones con dominio Y y contradominioX. Se puede verificar que si Y es espacio vectorial XY también es un espacio vectorial (note que no hay ninguna suposición sobreX, ¡puede ser cualquier conjunto no vacío!). Por estas razones se puede verificar que RR posee una base como espacio vectorial,ve (1.2.14). Por otra parte, se denotará al conjunto de las funciones polinomiales de Rn en R por P

(R(Rn )

).

135


2. lım(x,y,z)→(1,1,−1)

x2y − 3z3y.

3. lım(x,y,z)→(0,−1,2)

Å xz + y ,

ex+y

z , ex + e−y+zã.

4. lım(x,y,z)→(2,π,−π)

2 sinyx2 + cos z .

5. lım(x,y,z)→( π2 ,π,2π)

sinx cos ysin(z

4

) .

1. Nota que la función en cuestión es pr1 + pr2 + pr3. Por (5.4.10) se tiene que

lım(x,y,z)→(1,0,0)

x + y + z = 1 + 0 + 0 = 1.

2. Se procede análogamente al ejemplo anterior. En este caso la función es pr21pr2 − 3pr3pr2 y, por

tanto, el límite buscado es

lım(x,y,z)→(1,1,−1)

x2y − 3z3y = (1)2(1)− 3(−1)3(1) = 1 + 3 = 4.

3. Para resolver este ejemplo se usará (5.4.6). Por razonamientos análogos a los de los incisos unoy dos se puede ver que el límite en la primera coordenada es cero. Para calcular el límite de lasegunda coordenada se utiliza el hecho que la función exponencial es continua en R. Así, el límitede ex+y en (0,−1, 2) es e−1. Se utilizará de nuevo (5.4.9), se tiene que el límite de pr3 en (0,−1, 2)

es 2, por tanto, el límite de la segunda coordenada es e−1

2 . Usando que el límite de la suma es lasuma de los límites se ve que el límite de la tercera coordenada es e0 + e3 = 1 + e3. Por tanto, ellímite buscado es

(0, e−1, 1 + e3) .

4. La función seno es continua de R en R, así el límite de sin pr2 en (2, π,−π) es sinπ = 0. De aquíque el límite en el numerador sea cero. Por un razonamiento análogo al previo se ve que el límitedel denominador es 3. Como el límite del denominador no es cero, se sigue que el límite buscadoes cero.

5. Se deja al lector los detalles de este ejercicio para que verifique que, en este caso, el límite buscadoes -1.

z 5.4.3 Límites reiterados.En esta subsección se desarrollan técnicas más avanzadas para calcular límites. Es interés el casos

donde se puedan calcular los límites de una función f : Rn → R tomando límites parciales en cadadirección. Por ejemplo, la función f (x, y, z) = x + y − z satisface lo siguiente

lım(x,y)→(1,1,2)

f (x, y, z) = 0.

El anterior límite pudo haber sido calculado como sigue

lım(x,y)→(1,1,2)

f (x, y, z) = lımx→1

lımy→1

lımz→2

f (x, y, z) = lımx→1

lımy→1

lımz→2

x + y − z

= lımx→1

lımy→1

x + y − 2 = lımx→1

x − 1 = 0.

136

5.4. Límites.

La pregunta natural y obvia que surge es la siguiente. ¿Cuándo se pueden calcular los límites de manerareiterada?

Se observa lo siguiente, se supone que f : U ⊂ Rn → R tal que f (X)→ l cuando X → A, donde A esun punto de acumulación de U. El límite de f es l tomando cualquier dirección hacia A. Entonces, si ellímite por definición existe y el límite reiterado existe deben coincidir.

( 5.4.16 ) Sean A ⊂ Rn, P = (p1, . . . , pn) un punto de acumulación de A y F : A→ Rm tal que lımX→P

F (X) = Lexiste. Supón que existe una permitación σ ∈ Sn (ve (1.3.4)) para la cual se pueden definir a las funciones

g0(xσ (1), . . . , xσ (n)

)= f (x1, . . . , xn)

y

gk(xσ (k+1), . . . , xσ (n)

)= lım

xσ (k)→pσ (k)gk−1

(xσ (k), . . . , xσ (n)

),

para k = 1, . . . , n. Entonces, gn es una función constante cuyo valor es L. Por notación se escribirá

lımxσ (n)pσ (n)

. . . lımxσ (1)pσ (1)

f (x1, . . . , xn) = L.

( 5.4.17 ) Supón que lımX→A

F (X) existe en cada caso, encuentra su valor:

1. F (x, y, z) = (2xy, 2yz, 2xz), P = (1, 0,−1);

2. f (x, y, z) = x2 + yz − z3xyz , P = (−1, 1, 2).

Como los límites existen se puede utilizar límites reiterados para encontrar su valor. Entonces, setiene que, para el primer caso

lım(x,y,z)→(1,0,−1)

F (x, y, z) = lımx→1

lımz→−1

lımy→0

F (x, y, z)

= lımx→1

lımz→−1

lımy→0

(2xy, 2yz, 2xz)

= lımx→1

lımz→−1

(0, 0, 2xz)

= lımx→1

(0, 0,−2x) = (0, 0,−2).

Y para el segundo,

lım(x,y,z)→(−1,1,2)

f (x, y, z) = lımx→−1

lımz→2

lımy→1

f (x, y, z)

= lımx→−1

lımz→2

lımy→1

x2 + yz − z3xyz

= lımx→−1

lımz→2

x2 + z − z3xz

= lımx→1

x2

6x = 16 .

Que son los límites buscdos.

137


Observación: aunque no se ha demostrado un teorema muy fuerte, pues su validez depende de laexistencia del límite y de las funciones g0, . . . , gn, se tiene un criterio para determinar cuando unafunción no tiene límite en un punto. Si dos límites reiterados existen y no coinciden en valor el límiteglobal no existe.

( 5.4.18 ) Las siguientes funciones no tienen límite en los puntos señalados:

1.x

x − y2 , P = (0, 0);

2.x

x + y2 − 4 , P = (0, 2).

Se calculan los límites reiterados en cada caso. Para el primero se tiene que

lımx→0

lımy→0

xx − y2 = 1

ylımy→0

lımx→0

xx − y2 = 0.

Como los dos límites reiterados existen y no coinciden en valor, se tiene que el límite global no existe.Para el otro caso, se procede de manera análoga.

lımx→0

lımy→2

xx + y2 − 4 = 1

ylımy→2

lımx→x

xx + y2 − 4 = 0.

Por lo que lım(x,y)→(0,2)

xx + y2 − 4 tampoco existe.

A continuación un ejemplo de una función que su restricción a toda recta que pasa por el origenen Rn la convierte en una función continua (de R a R) pero que la función no tiene límite en (0, 0).

( 5.4.19 ) Sean F : U ⊂ Rn → Rm y A un punto de acumulación de U ; se supone que lımX→A

F (X) = L. Asimismo,

se supone que f : I ⊂ R→ U es una curva tal que lımt→a

f (t) = A, con a ∈ I un punto de acumulación. Entonces,

lımt→a

(F f )(t) = L.

La técnica para demostrar esto ya ha sido empleada antes. Sea ε > 0, existe δ > 0 tal que

X ∈ U, 0 < ‖X − A‖ < δ Ñ ‖F (X)− L‖ < ε.

Para este δ > 0 existe η > 0 con

t ∈ I, 0 < |t − a| < η Ñ ‖f (t)− A‖ < δ.

Por lo tanto, si t ∈ I es tal que 0 < |t − a| < η entonces ‖F (f (t))− L‖ < ε. El teorema anterior asegura que si el límite de una función F : U ⊂ Rn → Rm existe en el punto A

(punto de acumulación de U) el límite de F en A no cambia sin importar la ruta que se use al acercarsea A. Así, se tiene el criterio por excelencia para demostrar que una función F : U ⊂ Rn → Rm notiene límite en el punto A. Basta dar dos curvas α y β tales que lım

t→t0α(t) = A y lım

t→t1β(t) = A, pero que

lımt→t0

F (α(t)) 6= lımt→t1

F (β(t)).

138

5.4. Límites.

( 5.4.20 ) Sea f : R2 → R dada por

f (x, y) =

xy2

x2 + y4 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0).

Asimismo, sea u ∈ Rn un vector unitario. La restricción de f a Lu, la recta que pasa por cero y en dirección delvector u, es continua (como funciones de R a R). Sin embargo, lım

(x,y)→(0,0)f (x, y) no existe.

Se calcula la regla de correspondencia de f restringida a Lu. No es difícil convencerse que, parau 6= (0,±1), (x, y) ∈ Lu si y solo si (x, y) = (x, ax) con a ∈ R. Si u = (0,±1), (x, y) ∈ Lu si y solo si(x, y) = (0, y). La restricción de f en el segundo caso es f (x, y) = 0 para todo (x, y) en la recta. Si seestá en el primer caso,

g(x) = f (x, ax) = a3x3

x2 + a4x4 = a3x1 + a4x2 .

Como el límite de g cuando x va a cero es cero y g(0) = f (0, 0) = 0, se tiene que g es una función

continua de R en R. Observa que la curva h(t) =Ät,√tä

satisface que f (h(t)) = t22t2 = 1

2 . Como la

función toma valor constante en esta curva, se sigue que su límite en el cero es 12 . Pero ya se había

probado que el límite de f en la restricción a una recta era 0, así, el límite global de f no existe.

z 5.4.4 Límites infinitos.

El límite de la función 1x por la derecha del cero es infinito. ¿Qué significado tiene que el límite

sea infinito? La idea intuitiva es que la función puede tomar cerca del punto un valor más grande quecualquier valor grande “dado de antemano”.

( 5.4.21 ) Sea F : U ⊂ Rn → Rm y A un punto de acumulación de U. Se dice que el límite de F en A es infinito,denotado esto como lım

X→AF (X) =∞, si

(∀M ∈ N)(∃δ > 0) tal que (X ∈ B∗ (A; δ)Ñ ‖F (X)‖ > M).

En el caso que m = 1, se dice que F tiende a +∞ en A si

(∀M ∈ N)(∃δ > 0) tal que (X ∈ B∗ (A; δ)Ñ F (X) > M).

Asimismo, F tiende a −∞ en A si

(∀M ∈ N)(∃δ > 0) tal que (X ∈ B∗ (A; δ)Ñ F (X) < −M).

( 5.4.22 ) Sea f la función dada por f (x, y) = sinxcos y . El límite de f en

(π2 ,π2

)es infinito.

Sean M ∈ N y A =(π

2 ,π2

), se quiere encontrar δ > 0 tal que X ∈ B∗ (A; δ)Ñ f (x) > M. Se hace un

pequeño análisis del problema.

f (X) > M ⇔ sinxcos y > M ⇔ sinx > M cos y.

139


Se observa lo siguiente, sinx → 1 cuando x → π2 y cos y → 0 cuando y → π

2 . Se tiene que para algún

δ1 > 0, cos y < 12M siempre que

∣∣∣y − π2

∣∣∣ < δ1. Asimismo, existe δ2 > 0 tal que sinx > 12 siempre que∣∣∣x − π

2

∣∣∣ < δ2. Por tanto, si δ = mınδ1, δ2 entonces

(x, y) ∈ B∗ (A; δ)Ñ∣∣∣x − π

2

∣∣∣ < δ1,∣∣∣x − π

2

∣∣∣ < δ2,

implicando esto que f (x, y) = sinxcos y > 1

2 cos y > 2M2 = M. Con lo cual, el límite es infinito, como se

había afirmado. Es cuestión de lenguaje notar que el límite en A de una función f : Rn → R es infinito si y solo si el

límite de 1f en A se va aproximando a cero por la derecha.

( 5.4.23 ) Sea f : U ⊂ Rn → R. Entonces, lımX→A

f (X) = +∞ si y solo si lımX→A

1f (X) = 0+.

Se supone primero que el límite de f en A es +∞. Se verá que el límite de 1f en A es cero, y que la

aproximación es por la derecha. En efecto, dado ε > 0, sea M ≥ 1ε . Existe δ > 0 tal que

X ∈ B∗ (A; δ)Ñ f (X) > M.

Es decir,X ∈ B∗ (A; δ)Ñ 0 < 1

f (X) <1M < ε.

Con esto se ve que el límite de 1f en A es cero y la aproximación es por la derecha.

Recíprocamente, se supone que el límite de 1f en A es cero, y 1

f > 0. Sea M ∈ N entonces existe

ε > 0 tal que 1ε > M . Como el límite de 1

f es cero, se sigue que para este ε existe δ > 0 tal que

X ∈ B∗ (A; δ)Ñ 1f (X) < ε.

Esto es,X ∈ B∗ (A; δ)Ñ f (X) > 1

ε > M.

Lo cual implica que el límite de f en A es +∞.

§ 5.5. Continuidad.Al igual que el capítulo pasado se está interesado en definir continuidad; en aquel caso fue fácil dar

una idea geométrica de lo que es la continuidad. Bastaba decir que se quería que la traza de la curvano “saltara” ni se “rompiera”. Ahora no es tan fácil esta noción de “rompimiento” pues las gráficas delas funciones de varias variables son superficies en Rn+m y no es clara su visualización. Lo que si esclaro, y además fácil, es transcribir la definición de continuidad con la noción de siempre, procurar quelımX→A

f (X) = f (A).

140

5.5. Continuidad.

( 5.5.1 ) Sean V y W dos espacios vectoriales y A ⊂ V. Se considera una función f : A→W y v ∈ A un puntocualquiera. Se dirá que f es continua en v si v no es un punto de acumulación de A. Cuando v sea un punto deacumulación de A entonces se dirá que f es continua en v si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que

u ∈ B (v; δ) ∩ AÑ f (u) ∈ B (f (v);ε) .

Por convención, se dirá que la función f es continua en A si es continua en v para cualquier v ∈ A.

Observaciones:

1. Es consecuencia directa de la definición que una condición necesaria y suficiente para que f seacontinua en un punto de acumulación v es que lım

u→vf (u) = f (v).

2. Si F = (f1, . . . , fm) entonces una condición necesaria y suficiente para que F sea continua en v esque cada fi sea continua en v. Lo cual es consecuencia directa de (5.4.6).

3. Sean f, g : A ⊂ V →W dos funciones continuas en v. Entonces, f+λg y 〈f, g〉 (cuando en W hayaun producto interior) son funciones continuas en v. Si W = R3, f × g es continua en v. Si W = R

y g(v) 6= 0 entonces fg es continua en v. Se dejan los detalles al lector, como sugerencia, en cada

caso utilice la propiedad análoga para límites.

Una de los resultados más potentes sobre continuidad es que esta puede caracterizarse de variasmaneras distintas. Por ejemplo, las funciones continuas satisfacen que lım

u→vf (u) = f (v), esto se puede

pensar como lımu→v

f (u) = f(lımu→v

u). Esto se expresa coloquialmente diciendo que las funciones continuas

permiten “entrar los límites a su argumento”. Sin embargo, el resultado que se va a demostrar garantizaque esta operación puede realizarse cuando se toma cualquier sucesión, (un)n∈N, tal que lım

n→∞un = v.

( 5.5.2 ) Sea f : A ⊂ V → W una función. Una condición necesaria y suficiente para que f sea continua env ∈ A es que para cualquier sucesión convergente (un)n∈N definida en A tal que lım

n→∞un ∈ A se tenga que

lımn→∞

f (un) = f (v). Esto se expresa equivalentemente como lımn→∞

f (un) = f(

lımn→∞

un).

Se utilizará una técnica ya empleada antes varias veces; primero se demuestra la necesidad. Comolımu→v

f (u) = f (v) se tiene que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que u ∈ B (v; δ) ∩ A Ñ f (u) ∈ B (f (v);ε) . Comoun → v se tiene que para este δ > 0 existe M > 0 tal que n ≥ M Ñ un ∈ B (v; δ) . De este modo,n ≥M Ñ f (un) ∈ B (f (v);ε) . Esto es que lım

n→∞f (un) = f (v).

Para demostrar el recíproco se procede por contrapuesta. Esto es, se supone que existe una sucesión(un)n∈N definida en A tal que un → v y f (un) 6→ f (v). Entonces, existe ε > 0 tal que para todo M > 0existe n ≥ M tal que ‖f (un)− f (v)‖ > ε. Como un → v se puede tomar M > 0 tal que ‖un − v‖ < δpara δ > 0 dado de antemano. Pero esto es precisamente que lım

u→vf (u) 6= f (v).

Otra manera de caracterizar a las funciones continuas es aquella que se presenta a continuación.En la sección pasada se introdujo a las funciones de proyección a los ejes. Se deja de ejercicio al lectorverificar que las proyecciones son continuas (ve (5.4.11)). Asimismo, en el capítulo pasado se dijo unacaracterización para curvas continuas la cual no depende del estilo ε-δ. La misma caracterización paralas funciones de varias variables es válida.

( 5.5.3 ) Sean A ⊂ V y f : A→W. Para que F sea continua en v, un punto de acumulación de A, es condiciónnecesaria y suficiente que para toda bola abierta B (f (v);ε) ⊂ W exista una bola abierta B (v; δ) ⊂ V tal quef (B (v; δ) ∩ A) ⊂ B (f (v);ε) .

141


Se supone primero que f es una función continua en v. Sea ε > 0 entonces existe δ > 0 tal queu ∈ B (v; δ) ∩ AÑ f (u) ∈ B (f (v);ε) . Esto muestra la necesidad de la afirmación.

Para ver la suficiencia se empieza suponiendo que f es tal que para toda bola abierta B (f (v);ε) ⊂Wexiste una bola abierta B (v; δ) ⊂ V tal que f (B (v; δ) ∩ A) ⊂ B (f (v);ε) . Entonces, si u ∈ A y u ∈ B (v; δ)entonces f (u) ∈ B (f (v);ε) , que es la definición de límite.

( 5.5.4 ) Una condición necesaria y suficiente para que una función f : A ⊂ V →W sea continua en el punto ves que para todo conjunto abierto P ⊂W para el cual f (v) ∈ P exista un abierto Q tal que f (A ∩Q) ⊂ P.

Sea P un subconjunto abierto de W tal que f (v) ∈ P. Entonces, existe ε > 0 tal que B (f (v);ε) ⊂ P.Por el teorema anterior, existe un δ > 0 tal que f (B (v; δ) ∩ A) ⊂ B (f (v);ε) . Tomando B (v; δ) como Qse obtiene una implicación.

Recíprocamente, se toma P = B (f (v);ε) ; existe un abierto Q tal que v ∈ Q y f (Q ∩ A) ⊂ P; comov ∈ Q existe δ > 0 con B (v; δ) ⊂ Q. Utilizando el teorema anterior se concluye el resultado.

( 5.5.5 ) Una condición necesaria y suficiente para que una función f : A ⊂ V → W sea continua en v es quepara todo abierto P ⊂W exista un abierto Q ⊂ V tal que F (V ∩U) = W.

Es inmediato de (5.5.4) al recordar que la unión de cualquier familia de conjuntos abiertos constituyeun conjunto abierto.

( 5.5.6 ) Sea f : A ⊂ V → W, una condición necesaria y suficiente para que f sea continua es que para todoC ⊂W cerrado exista un cerrado K ⊂ V tal que f−1(C) = A ∩C.

El punto clave para demostrar esto es ver que f−1 (A) = f−1(A). Se dejan los detalles al lector, veejercicio (5.34).

z 5.5.1 Continuidad y compacidad.La continuidad de funciones refleja y conserva importantes condiciones sobre subconjuntos del

dominio. Una de las más importantes es que preserva la compacidad. Esto es, la imagen continua decualquier conjunto compacto es un conjunto compacto, ve (3.3.2).

( 5.5.7 ) Sea f : A ⊂ V → W una función continua y K ⊂ A un conjunto compacto de V. Entonces, f (K) escompacto en W.

La idea es aplicar la definición de que f (K) sea compacto. Sea O = (Pα)α∈Γ una cubierta abierta def (K). Entonces f (K) ⊂

⋃α∈Γ

Pα. Como f es continua, se tiene que para cada α ∈ Γ existe Qα ⊂ V un

abierto tal que f−1(Pα) = Qα ∩A. Se considera la familia (Qα)α∈Γ, se afirma que esta familia es cubiertaabierta de K. Sea u ∈ K entonces f (u) ∈ Pα para algún α ∈ Γ, pues O cubre f (K). Observa que f (u) ∈ Pαes equivalente a u ∈ f−1(Pα) = Qα ∩ A, por lo que u ∈ Qα. Como K es un conjunto compacto de Vexiste una subfamilia finita (Qαi )i=1,...,k tal que cubre a K. Se deducirá que la subfamilia (Pαi )i=1,...,k cubrea f (K). Sea w ∈ f (K). Entonces existe un u ∈ K tal que f (u) = w. Como u ∈ K, existe i para el queu ∈ Qαi , pero esto implica que w = f (u) ∈ Pαi . Esto demuestra que f (K) es un conjunto compacto.

Esto provee de un modo relativamente sencillo para determinar cuando un conjunto K ⊂ W escompacto. Basta ver que K es imagen continua de algún conjunto compacto C ⊂ V, para algún n ∈ N.

z 5.5.2 Continuidad y conexidad.Así como la continuidad preserva compacidad se tiene que ésta también preserva la conexidad de

los subconjuntos de V, ve (4.8.2). Esto tiene consecuencias importantes; por ejemplo, corolario de este

142

5.5. Continuidad.

resultado es que no existe una trasformación continua del conjunto B (0; 1) al conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1).Otra consecuencia importante es el teorema del valor intermedio. Este dice que si f : V → R es continua,S ⊂ V es conexo y f (u) < f (v), para algunos u, v ∈ S, entonces para todo f (u) < a < f (v) existe w ∈ Scon f (w) = a.

( 5.5.8 ) Sea f : C ⊂ V → W una función continua. Se supone que C es conexo de V entonces f (C) ⊂ W esconexo.

La demostración de este resultado es análoga a la de (5.5.7). Se considera A,B una separaciónabierta de f (C), ve (4.8.1). Como A y B son conjuntos abiertos de V existen abiertos S, T ⊂W tales quef−1(A) = S∩C y f−1(B) = T ∩C (5.5.4). Entonces, S, T son conjuntos abiertos tales que C ⊂ S∪T. ComoC es conexo, el par S, T no puede ser una separación abierta de él. Por lo tanto, C∩S = ∅ o C∩T = ∅.Observa que

C ∩ S = ∅Ñ f−1(A) = ∅,

con lo cual f (C) ∩ A = ∅. Esto es contradiría al hecho que f (C) ∩ A 6= ∅, por lo tanto, C ∩ S 6= ∅.Análogamente, C ∩ T 6= ∅. Lo cual es una contradicción.

A continuación se demuestra la generalización del teorema del valor intermedio.

( 5.5.9 ) Sean f : C ⊂ V → R una función continua y C un conjunto conexo de V. Si f (u) < f (v) para algunosu, v ∈ C entonces, para todo a tal que f (u) < a < f (v), existe w ∈ C con f (w) = a; el «teorema de Bolzano».

Como f (C) es conexo, se tiene que f (C) = I ⊂ R con I un intervalo (ve (4.8.6)). De este modo,f (u), f (v) ∈ I y como f (u) < f (v), [f (u), f (v)] ⊂ I. Pero I = f (C), por lo que para todo a ∈ (f (u), f (v))existe w ∈ C tal que f (w) = a.

( 5.5.10 ) Toda función polinomial de grado impar de n variables tiene al menos una raíz. Esto es, dado p : Rn →R una función polinomial tal que su grado es impar existe X ∈ Rn tal que p(X) = 0.

Se supone que p(x1, . . . , xn) =k∑

i1+···+in=0ai1...inx

i11 · · ·xinn . Toma

j = maxir : ir es impar e i1 + · · ·+ in = k,

este índice existe, pues de lo contrario todos los terminos i1, . . . , in serían pares, de lo que k sería par yel polinomio sería de grado par. Toma f : R→ R la función dada por f (x) = p

(∑i 6=j ei + xej

). Entonces

f es de grado impar. De este modo, existe r ∈ R tal que f (r) = 0. En efecto, al ser f de grado impar,se tiene que lım

x→−∞f (x) = −∞, por lo que existe x ∈ R tal que f (x) < 0. Análogamente, lım

x→∞f (x) = ∞ y

existe y ∈ R tal que f (y) > 0. De estas dos desigualdades se concluye la existencia de este número r.Pero (r, 1, . . . , 1) es raíz de p.

z 5.5.3 Continuidad y continuidad uniforme. El teorema de Heine-Cantor.Uno de los conceptos más importantes en el análisis matemático es el de continuidad uniforme.

La continuidad uniforme permite demostrar que toda función continua es integrable si su dominio dedefinición es un compacto. Este resultado será demostrado más adelante, una vez iniciado el estudio dela integral en Rn. La definición de continuidad uniforme en Rn es análoga a la del caso real.

( 5.5.11 ) Sea f : A ⊂ V →W. Se dirá que f es uniformemente continua en si

(∀ε > 0)(∃δ > 0) tal que u, v ∈ A, ‖u − v‖ < δ Ñ ‖f (u)− f (v)‖ < ε.

143


Nota que δ depende únicamente de ε, f y A; el punto x no influye en su elección. Se hace tantoénfasis en esto que continúa un ejemplo al respecto.

( 5.5.12 ) Determine si la función f : [1,∞)× [1,∞)→ R dada por f (x, y) =√x+y es uniformemente continua

o no.

Lo más sencillo es ver si individualmente son uniformemente continuas las funciones g(x) =√x

y h(y) = y. Sean ε > 0 y δ = ε. Entonces |u − v| < δ Ñ |h(u) − h(v)| < ε. Esto demuestra que h esuniformemente continua. Se ve ahora que g(x) también es uniformemente continua. Para este ε y esteδ se tiene que si

|u − v| < δ Ñ |g(u)− g(v)| < ε

pues

|g(u)− g(v)| =∣∣√u −√v∣∣∣∣√u +

√v∣∣∣∣√u +

√v∣∣ ≤ |u − v| < ε.

Por lo tanto, g también es uniformemente continua.Ahora bien, para demostrar que f es uniformemente continua se debe ver que satisface la definición.

Toma ε > 0 entonces existe δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que

|u − v| < δ1 Ñ∣∣√u −√v∣∣ < ε

2y

|u − v| < δ2 Ñ |u − v| <ε2 .

Toma δ = mınδ1, δ2, entionces ‖(x, y)− (u, v)‖ < δ Ñ |x − u| < δ y |y − v| < δ. De este modo, setiene que

|f (x, y)− f (u, v)| =∣∣√x −√u + y − v

∣∣ ≤ ∣∣√x −√u∣∣+ |y − v| < ε.

Por lo tanto, f es una función uniformemente continua. El siguiente teorema es análogo al teorema (5.4.6).

( 5.5.13 ) Sea F = (f1, . . . , fm) : A ⊂ V →W = W1 × . . .×Wm. Una condición necesaria y suficietne para queF sea una función uniformemente continua es que, para cada i = 1, . . . ,m, fi sea uniformemente continua.

El siguiente teorema debería ser nuevo para el lector; dice que la continuidad y continuidad uniformeson equivalentes en funciones cuyo dominio un conjunto compacto.

( 5.5.14 ) Sea K ⊂ V un conjunto compacto y f : K →W continua. Entonces, F es una función uniformementecontinua; el «teorema de Heine-Cantor».

Dado ε > 0 se quiere encontrar un δ > 0 tal que

u, v ∈ K, ‖u − v‖ < δ Ñ ‖f (u)− f (v)‖ < ε.

Como f es continua en K para cada u en K existe δu tal que

v ∈ B (u; δu)Ñ f (v) ∈ B(f (u); ε2

).

Sea O =Å

BÅu; δu2

ããu∈K

, por construcción O es cubierta abierta de K. De este modo, como K es

compacto, existen u1, . . . , uN ∈ K tales queÅ

BÅui;

δui2

ããi=1,...,N

es cubierta abierta de K. Sea δ =

144

5.6. La derivada.

12 mıni=1...,N

δui . Se afirma que este δ satisface la definición de continuidad uniforme. Sean u, v ∈ K talesque ‖u − v‖ < δ. Entonces, existe algún i para el cual u, v ∈ B (ui; δui ) . En efecto, existe i tal que

u ∈ BÅui;

δui2

ãentonces

‖v − ui‖ ≤ ‖u − v‖+ ‖u − ui‖ ≤ δ + δui2 < δui .

Por lo que u, v ∈ B (ui; δui ) . Como u, v ∈ B (ui; δui ) se tiene que

‖f (u)− f (v)‖ ≤ ‖f (u)− f (ui)‖+ ‖f (v)− f (ui)‖ < ε.

Es decir, ha sido demostrado que F es uniformemente continua. Es destacable la manera mañosa en que las bolas fueron escogidas para que al final quedara ε.

§ 5.6. La derivada.Nuestro siguiente paso para definir la derivada de una función de varias variables será dar una

motivación del cómo habría que definirse la derivada.

z 5.6.1 Motivación para la definición.La definición de derivada de una función f de I ⊂ R, intervalo abierto, en R es la siguiente:

La función f : I → R, en donde I es un intervalo abierto, es derivable (o diferenciable) en a ∈ I si

lımx→a

f (x)− f (a)x − a existe y por definición, este número es el valor de la derivada f en a.

Esta definición puede ser escrita de manera natural para una curva. De hecho, la definición en estecaso solo cambia en contradominio R por Rn. En ambos casos la idea era preservar la razón entreel cambio que ejerce la función a los puntos y el cambio que ocurre entre los puntos. Sin embargo,cuando el dominio de la función es un subconjunto de Rn ya no es claro como medir el cambio.

Una manera de hacerlo sería tomando la norma, pues la norma mide la magnitud del cambio, másno la dirección de este. Sin embargo, lo que se le pide a la derivada en una función de R a R es querepresente a la pendiente de la recta tangente que pasa por el punto. Esto es, se quiere que la derivadano sólo represente un número como la magnitud.

Cuando se definió la derivada para curvas esta definición cuidaba este aspecto y se procuraba que laderivada diera la dirección del vector tangente a la curva. En otras palabras, la derivada de una curvadice cómo se comporta la curva en “lo pequeño”. Así que, lo que se le pide a la derivada es que brindeinformación de la función sobre su comportamiento en “lo pequeño”. Para definir la derivada de unacurva era posible considerar cualquier subconjunto de R pues existe la noción de “hacia adelante” y“hacia atrás”; en Rn no existe tal cosa y como se quiere medir el cambio en todas las direcciones seránecesario pedir que para que una función F : A ⊂ V →W sea diferenciable en un punto v ∈ V entoncesque v ∈ ÛA.

Para extender la definición se hará algunas manipulaciones sencillas a la definición de R, de talforma que las expresiones encontradas equivalgan a la definición clásica y dejen de depender de ladimensión del dominio. Considera f : I ⊂ R→ Rm derivable en a ∈ I, se tiene que

lımh→0

f (a + h)− f (a)h = f ′(a),

145


Se quita el límite en la igualdad anterior, queda que

f (a + h)− f (a)h = f ′(a) + ε(a;h),

en donde lımh→0

ε(a;h) = 0. Por lo que, al multiplicar la igualdad anterior por h, se tiene

f (a + h)− f (a) = f ′(a)h + ε(a;h)h,

y, por tanto,f (a + h) = f (a) + f ′(a)h + ε(a;h)h.

La igualdad anterior realmente no depende en que h sea un número y puede generalizarse de distintasmaneras. Se considera la siguiente, ten en cuenta que aquí h se piensa como un vector en todo momento(por lo que no se puede dividir por él). Se define Ta tal que Ta(h) = f ′(a)h entonces T es lineal. Laigualdad anterior toma la forma

f (a + h) = f (a) + Tah + ε(a;h)h.

Por lo tanto, una generalización posible (y directa de la definición del caso R a R) es decir que f esdiferenciable en a si existe una transformación lineal Ta y una función de error ε(a) tal que para todoh pequeño se satisfaga la igualdad previa. Esta definición posee una dificultad natural, ¿qué significa lamultiplicación ε(a;h)h? Aquí es donde entra fuertemente el uso de espacios vectoriales. Observa quepara h fijo, la función k 7Ï ε(a;h)k es una función lineal. Por lo tanto, se puede pensar que ε(a;h)es una función lineal y que la asignación h 7Ï ε(a;h) posee por dominio un subconjunto de R y porcontradominio a Lin (R,R) , donde Lin (R,R) es el espacio vectorial de las transformaciones lineales deR a R. De este modo, la multiplicación ε(a;h)h cobra sentido.

Existen otras generalizaciones, las cuales se dan únicamente con el propósito de evitar que ε(a) seauna función de R a Lin (R,R) . Por ejemplo, algunos autores proponen hacer

ε(a;h)h = ε(a;h) h|h| |h| = ε(a;h)|h|.

Aquí se sigue cumpliendo que lımh→0

ε(a;h) = 0 mas ahora ε(a) es una función de R a R (recuerda que |h|es un número y no un vector). La última forma que se considera es generalizar la igualdad al considerarTa como antes y despejar ε(a;h). Se llega a

f (a + h)− f (a)− Tahh = ε(a;h),

tomar normas ahora no afecta a la derivada Ta. Por lo que después de tomar normas y el límite cuandoh→ 0 se ve que

lımh→0

|f (a + h)− f (a)− Tah||h| = 0.

Cualquiera de estas tres generalizaciones ya no dependen de que h ∈ R, por lo que se puede tomarcualquiera de ellas como definición de derivada. La pregunta que surge ahora es, ¿cuál es la mejoropción?

z 5.6.2 Definición de derivada.Se han visto tres formas de cómo definir generalizar la derivada en Rn. Conviene analizar un

ejemplo para ver cuál de ellas es la mejor opción.

146

5.6. La derivada.

( 5.6.1 ) Sea F : R2 → R2 dada por F (x, y) = (xy, x + y2). Encuentra trasformaciones lineales T, R y S de R2

en R2 tales que en A = (1, 0) y para todo H pequeño se cumpla que

F (A+H)− F (A) = TA+ ε1(A;H)H ;F (A+H)− F (A) = SA+ ε2(A;H) ‖H‖

y‖F (A+H)− F (A)− RA‖

‖H‖ = ε3(A;H),

en donde cada εi(A;H) converja a cero cuando H → 0.

Sea H = (h1, h2). Entonces

F (A+H) = F (1 + h1, h2) = (h2 + h1h2, 1 + h1 + h22)

= (0, 1) + (h2 + h1h2, h1 + h22) = (0, 1) + (h2, h1) + (h1h2, h2

2)= F (1, 0) + TH + (h1h2, h2

2),

en donde T(h1, h2) = (h2, h1), es lineal. Se puede tomar T = R = S y manipular el término (h1h2, h22).

Sean

ε1(A;h1, h2) = (h2, h2), ε2(A;h1, h2) =

Ñh1h2»h2

1 + h22

, h22»

h21 + h2

2

éy

ε3(A;h1, h2) =∥∥(h1h2, h2

2)∥∥

‖(h1, h2)‖= |h2|.

Resulta inmediato que ε1(A;H) y ε3(A;H) convergen a cero cuando H converge a cero. Se ve que lomismo sucede con ε2(A;H). Pero,

lım(h1,h2)→(0,0)

(h1h2, h22)»

h21 + h2

2

= lım(h1,h2)→(0,0)

(h1, h2)»h2

1 + h22

h2 = lımH→0

H‖H‖h2.

Ahora bien, para poder calcular este límite habrá que notar algo. Se sabe que la función ‖‖ es continua,por lo que ∥∥∥∥ lım

H→0

H‖H‖h2

∥∥∥∥ = lımH→0

∥∥∥∥ H‖H‖h2

∥∥∥∥ = lımH→0

‖H‖‖H‖ |h2| = 0.

Con lo cual, ε1(A;H) converge a cero cuando H converge a cero. Luego, T = R = S dadas porT(h1, h2) = (h2, h1) satisfacen las posibles definiciones respectivas de derivada.

Este ejemplo sugiere pensar que si se define que una función sea diferenciable de alguna de estasmaneras también lo será con las otras dos y con la misma derivada. Dado que en la motivación paraderivada se imponía la existencia de cierta función ε(v) : V → Lin (V,W ) parece obligado definir unanorma natural9 en Lin (V,W ) . Entonces, se supone que (V, ‖‖V ) y (W, ‖‖W ) son dos espacios vectorialesnormados. ¿Qué norma suge naturalmente con estas dos normas? Una primera idea sería:

1. Dar bases sendas bases BV y BW de V y W.

2. Considerar el espacio de matrices asociado, el cual sí posee una base canónica.

3. Dar la norma canónica a tal espacio de matrices.9Para fines de límite, ya se sabe que esto es vago. Cualesquier dos normas generan la misma topología y por ende generan

los mismos límites.

147


4. Definir la norma de un elemento L ∈ Lin (V,W ) como [L]BWBV .Este método ciertamente funciona, ¡pero no utiliza a las normas ‖‖V y ‖‖W ! Esto resulta incómodo.La siguiente norma fue propuesta y resulta natural desde la perspectiva de conservar a las normasoriginiales en V y W.( 5.6.2 ) Sean (V, ‖‖V ) y (W, ‖‖W ) dos espacios vectoriales normados de dimensión finita. Sea L ∈ Lin (V,W ) .Existe una constante c > 0 tal que ‖Lv‖W ≤ c ‖v‖V para cualquier v ∈ V. De hecho,

‖L‖Lin(V,W ) = ınfc > 0|∀v ∈ V, ‖Lv‖W ≤ c ‖v‖Vdefine una norma en Lin (V,W ) .

Para demostrar la existencia de tal c se verá primeramente que L es continua. De nuevo, bastaver que L es continua para algunas normas en V y W. Sean BV = (v1, . . . , vn) y BW = (w1, . . . , wm)sendas bases ordenadas en V y W. Define las funciones de coordenadas [ ]BV y [ ]BW con sendas normasasociadas ‖‖′V y ‖‖′W (ve (3.6.6)). Considera la transformación lineal de Rn a Rm dada por TX = [L]BWBV X.En virtud de (1.27) existe una c > 0 tal que ‖TX‖ ≤ c ‖X‖ . Sea ε > 0 y define δ = ε

c . Entonces,

‖v‖′V < δ Ñ ‖Lv‖′W = ‖[Lv]BW ‖ =∥∥∥[L]BWBV [v]BV

∥∥∥ ≤ c ‖[v]BV ‖ = c ‖v‖′V < ε,

por lo tanto, L es continua en el origen. En virtud del ejercicio (5.26), L es continua en V (recuerda queesto es independiente de la norma). Por lo tanto, ‖L‖W : V → [0,∞) es una función continua. Así, comoS (0; 1) = v ∈ V | ‖v‖V = 1 es compacto en V (ve la generalización del teorema de Borel-Lebesgue),‖L‖W está acotada superiormente ahí (ve (3.4.11) y (5.5.7)). Sea c una cota superior. Entonces, para v ∈ Vcualquiera, se cumple que si v = 0 entonces ‖Lv‖W = 0 ≤ c ‖v‖V y si v 6= 0 entonces v

‖v‖V∈ S (0; 1) y

así∥∥∥∥L v‖v‖V

∥∥∥∥W≤ c, despejando, se obtiene que ‖Lv‖W ≤ c ‖v‖V . Esto completa la primera parte de la

prueba.Ahora se debe demostrar que ‖‖Lin(V,W ) define una norma en Lin (V,W ) . Ciertamente, es claro que

‖λL‖Lin(V,W ) = |λ| ‖L‖Lin(V,W ) y que ‖L‖Lin(V,W ) ≥ 0. Ahora, si ‖L‖Lin(V,W ) = 0 entonces ‖Lv‖W = 0 paratodo v ∈ V ; esto es, L = 0. Resta ver la desigualdad triangular, la cual es bastante más trabajosa. Paraempezar, supón que L1, L2 ∈ Lin (V,W ) y que c1, c2 > 0 son tales que ‖Liv‖W ≤ ci ‖v‖V para i = 1, 2.En virtud de la desigualdad triangular para ‖‖W se cumple que

‖(L1 + L2)v‖W ≤ ‖L1v‖W + ‖L2v‖W ≤ c1 ‖v‖V + c2 ‖v‖V = (c1 + c2) ‖v‖V .Esto es válido para cualquier c1 > 0 tal que ‖L1v‖W ≤ c1 ‖v‖V . Se toma el ínfimo sobre tales c1, sepuede concluir que

‖(L1 + L2)v‖W ≤ ınfc1

(c1 + c2) ‖v‖V =Ä‖L1‖Lin(V,W ) + c2

ä‖v‖V ,

donde la última igualdad es consecuencia de que c2 es constante. Nota ahora que ‖L1‖Lin(V,W ) es unaconstante, por lo que se puede considerar el ínfimo sobre c2 para concluir que

‖(L1 + L2)v‖W ≤Ä‖L1‖Lin(V,W ) + ‖L2‖Lin(V,W )

ä‖v‖V .

Luego, ‖L1‖Lin(V,W ) + ‖L2‖Lin(V,W ) es un elemento del conjunto c > 0|∀v ∈ V, ‖(L1 + L2)v‖W ≤ c ‖V‖V.Finalmente, de la definición de ‖L1 + L2‖Lin(V,W ) se puede concluir que

‖L1 + L2‖Lin(V,V ) ≤ ‖L1‖Lin(V,W ) + ‖L2‖Lin(V,W ) ,que es la desigualdad triangular. Esto concluye el teorema.

( 5.6.3 ) Sean (V, ‖‖V ) y (W, ‖‖W ) dos espacios vectoriales normados de dimensión finita. Se define la normagenerada por ‖‖V y ‖‖W en el espacio vectorial Lin (V,W ) como la norma definida en (5.6.2).

148

5.6. La derivada.

Observación: cuando sea claro por el contexto, se omitirán los subíndices en ‖‖V , ‖‖W y ‖‖Lin(V,W ) ysiempre se denotarán por ‖‖ . Asimismo, el teorema anterior posee como consecuencia inmediata que‖Lv‖W ≤ ‖L‖Lin(V,W ) ‖v‖V . Esto se utilizará más adelante.

( 5.6.4 ) Sean (V, ‖‖V ) y (W, ‖‖W ) dos espacios vectoriales normados. Los siguientes enunciados son equivalentes

para una función f : A ⊂ V →W, en donde A es un conjunto arbitrario. Sea v ∈ ÛA.1. Existe una trasformación lineal T : V →W tal que

lımh→0

‖f (v + h)− f (v)− Th‖W‖h‖V

= 0.

2. Existe r > 0, una trasformación lineal T : V → W y una función ε(v) : B (0; r) → Lin (V,W ) , dondeLin (V,W ) es el espacio vectorial de las funciones lineales de V a W, tal que para todo h ∈ B (0; r) setiene que

f (v + h) = f (v) + Th + ε(v;h)h,y lımh→0

ε(v;h) = 0.

3. Existe un r > 0, una trasformación lineal T : V →W y una función ε(v) : V →W tal que para h ∈ B (0; r)se cumple

f (v + h) = f (v) + Th + ‖h‖V ε(v;h),donde lım

h→0ε(v;h) = 0.

Más aún, en cada caso se puede tomar T como la misma trasformación lineal.

Se demostrará que 1) Ñ 2) Ñ 3) Ñ 1) para el caso V = Rn y W = Rm. Los casos no demostradosquedarán de ejercicio para el lector, ve (5.54) y (5.55).

Para demostrar que 1)Ñ 2), se hace la suposición de que el teorema es válido para m = 1 (ejercicio(5.54)) y se verá que también se satisface para m > 1. Se supone que existe una trasformación linealT : Rn → Rm tal que

lımh→0

‖f (v + h)− f (v)− Th‖‖h‖ = 0.

Se quita el límite de la expresión anterior; existe r > 0 tal que B (v; r) ⊂ A. Se define g : B (0; r) → R

dada porg(h) = ‖f (v + h)− f (v)− Th‖

‖h‖ .

Se observa que lımh→0

g(h) = 0. Si pri denota la función de proyección canónica al i-ésimo eje coordenado

‖(pri f )(v + h)− (pri f )(v)− (pri T)h‖‖h‖ ≤ g(h).

Por lo que la función pri f = fi : A→ R satisface 1) para la trasformación lineal pri T = T i. Se sigueque, al ser válido el teorema para m = 1, existe una función εi(v) : B (0; r)→ Lin (Rn,R) tal que

fi(v + h) = fi(v) + T ih + εi(v;h)h

Se considera ahora lo siguiente,Öf1(v + h)

...fm(v + h)

è=

Öf1(v)

...fm(v)

è+

ÖT1h

...Tmh

è+

Öε1(v;h)h

...εm(v;h)h

è.

149


Se define la función h 7Ï ε(v;h) =

Öε1(v;h)

...εm(v;h)

è. Entonces, ε(v) : B (0; r) → Lin (Rn,Rm) . Se cumple

quef (v + h) = f (v) + Th + ε(v;h)h.

Como cada εi(v) satisface que lımh→0

εi(v;h) = 0 se tiene que lımh→0

ε(v;h) = 0. Esto demuestra que 1) Ñ 2)(cuando m > 1 y el teorema es válido para m = 1).

A continuación se demostrará que 2) Ñ 3). Se supone que f satisface 2); esto es existe r > 0 y unatrasformación lineal T : Rn → Rm tal que para todo v + h ∈ B (v; r) se tiene que

f (v + h) = f (v) + Th + ε(v;h)h,

donde, ε(v) : B (0; r) → Lin (Rn,Rm) es una función tal que lımh→0

ε(v;h) = 0. Solo se debe construir lafunción ε(v) de 3). Observa lo siguiente,

ε(v)(h)h = ε(v;h) h‖h‖ ‖h‖ .

Por lo que se define ε(v;h) = ε(v;h) h‖h‖ para h ∈ B (0; r) . Solo resta ver que lım

h→0ε(v;h) = 0. De acuerdo

con (5.6.2) se tiene que ‖ε(v;h)h‖ ≤ ‖ε(v;h)‖Lin(Rn ,Rm) ‖h‖ . Asimismo, se recuerda que ‖‖ es una funcióncontinua de Rn a R, por lo que∥∥∥∥lımh→0

ε(v;h)∥∥∥∥ = lım

h→0‖ε(v;h)‖ = lım

h→0

∥∥∥∥ε(v;h) h‖h‖

∥∥∥∥ ≤ lımh→0‖ε(v;h)‖ = 0.

Esto demuestra que lımh→0

ε(v;h) = 0. Por lo tanto, 2)Ñ 3).Ahora se demuestra que 3) Ñ 1), se supone que f satisface 3). Esto es, existe una trasformación

lineal T : Rn → Rm y una función ε(v) : Rn → Rm tal que para H ∈ B (0; r) se cumple

f (v + h) = f (v) + Th + ‖h‖ ε(v;h),

donde lımh→0

ε(v;h) = 0. Así que, despejando ε(v;h), se obtiene que

f (v + h)− f (v)− Th‖h‖ = ε(v;h).

Tomando normas y el límite cuando H → 0 se obtiene 1) (observa que se ha usado que la funciónnorma es continua). Por lo tanto, 3)Ñ 1).

( 5.6.5 ) Sean f : A ⊂ V → W con A un conjunto arbitrario y v ∈ ÛA. Si existen r > 0, T : V → W unatrasformación lineal y ε(v) : B (0; r)→ Lin (V,W ) tales que para todo h ∈ B (0; r)

f (v + h) = f (v) + Th + ε(v;h)h,

entonces se dirá que T es una derivada de f en v. Se dirá que f es diferenciable en A si A es abierto y para todov ∈ A, se tiene que F posee una derivada en v.

150

5.6. La derivada.

Observaciones:

1. Definiciones como esta son típicas en matemáticas, las cuales definen cierto objeto sobre la supo-sición de existencia pura sin mención explícita de cómo conseguirlos. Sobre esta definición, unodebe tener cuidado pues en principio podría suceder que ninguna función fuese deferenciable(sin embargo, nota que (5.6.1) muestra que existe una función diferenciable).

2. El siguiente capítulo lidia con el problema de cómo encontrar la derivada. En lo que resta deeste se lidia con el problema de qué funciones son derivables y qué operaciones preservan ladiferenciabilidad.

3. Aunque esta definición no parece nada parecida a la dada para funciones de R en Rn sí es unageneralización. Pues se vió que la derivada de una curva f satisface que

lımh→0

f (t + h)− f (t)− f ′(t)hh = 0,

lo cual indica que la transforación lineal h 7Ï f ′(t)h es la derivada que se acaba de definir.

4. Aunque los límites son independientes de la norma podría haber cabida a duda de que si secambian las normas en V y W entonces la derivada cambiaría. Esto no ocurre; la definición (5.6.5)es independiente de la norma que se utiliza. Pues si ‖‖1 es cualquier otra norma en V, y ‖‖2 escualquier otra norma en W, en virtud de (3.6.7) existen constantes a, b, c y d positivas tales que

a ‖‖V ≤ ‖‖1 ≤ b ‖‖V y c ‖‖W ≤ ‖‖2 ≤ d ‖‖W .

Entonces‖f (v + h)− f (v)− Th‖2

‖h‖1≤ da‖f (v + h)− f (v)− Th‖W

‖h‖V,

con tomar límite se ve que f tiene la misma derivada T en v respecto de las normas ‖‖1 y ‖‖2 .

En (5.6.1) se presenta cómo calcular la derivadade una función del tipo polinomial. A continuaciónse presentan otros ejemplos donde se utiliza una idea general.

( 5.6.6 ) ¿Es la función (x, y) 7Ï sinx + cos y diferenciable en (π, 0)? Si sí, encuentra una derivada.

Al igual que en (5.6.1) se debe proceder a calcular el incremento sin(π + h) + cos(0 + k). Aunqueparece tentador intentar utilizar las fórmulas de seno y cosena de la suma de ángulos, es más rápidorazonar y utilizar lo ya aprendido. Observa que sin y cos son funciones diferenciables de R a R. Porende, se puede escribir sin(π + h) = sinπ + h sin′ π + e1(h)h = h cosπ + e1(h)h = −h + e1(h)h ycos k = cos 0 + k cos′ 0 + e2(k)k = 1 − k sin 0 + e2(k)k = 1 + e2(k)k, donde e1(h) → 0 cuando h → 0 ye2(k)→ 0 cuando k→ 0. Entonces,

sin(π + h) + cos k = 1− h + e1(h)h + e2(k)k.

Si f (x, y) = sinx + cos y entonces la igualdad previa toma la forma f (π + h, k) = f (π, 0) + T(h, k) +〈ε(h, k), (h, k)〉 , donde T(h, k) = −h es lineal y ε(h, k) = (e1(h), e2(k)) tiende a cero cuando (h, k) → 0.En virtud de (5.6.5) se obtiene que T es una derivada de f en el punto (π, 0).

( 5.6.7 ) Considera la función F definida por F (x, y) = (cosx+y, xy2) y el punto P = (0, 1). ¿Puedes encontraruna función lineal T : R2 → R2 tal que satisfaga alguna de las generalizaciones previas de derivada? Si sí, ¿cuál?

151


Para poder responder la primera pregunta se realizarán algunos cálculo. Para empezar se consideraun “incremento” H = (h, k) ∈ R2. Entonces

F (P +H)− F (P) = (cosh + 1 + k, h(1 + k)2)− (2, 0) = (cosh − 1 + k, h + 2hk + hk2).

Para manipular el término cosh− 1 se observa que la función cos es diferenciable en el cero y que suderivada en el cero es − sin 0 = 0, por lo que existe una función de error e tal que

cosh = cos 0 + 0× h + e(h)h = 1 + e(h)h,

donde lımh→0

e(h) = 0. Entonces,

F (P +H)− F (P) = (e(h)h + k, h + 2hk + hk2).

Para escribir esto en la forma TH+ε(H)H, con T lineal que solo dependa de F y P, y que ε(H) converjaa cero cuando H lo haga, se observa que

(e(h)h + k, h + 2hk + hk2) = (k, h) + (e(h)h, 2hk + hk2).

Se propone entonces T : R2 → R2 dada por

T =ï0 11 0

òy ε(H) =

ïe(h) 02k hk

ò.

Un cálculo mental muestra que (aquí todo se escribe como vectores columna)

F (P +H)− F (P) = TH + ε(H)H.

Como cada entrada de E(H) converge a cero cuando H converge a cero se ve que lımH→0

E(H) = 0. Porlo tanto, se puede afirmar que existe una T que satisface la generalización de derivada y por lo tanto,T es una derivada de F en P

z 5.6.3 Completez de los espacios vectoriales normados.Conviene dar una más observación más que se obtiene (3.6.6). Para empezar, un espacio vectorial se

denomina completo si satisface que toda sucesión de Cauchy converge. En virtud de (2.3.14) se obtieneque Rn es un espacio vectorial completo. Más generalmente, todo espacio normado de dimensiónfinita es completo. Para verificarlo se considera V un espacio vectorial normado de dimensión finita yB = (v1, . . . , vn) una base ordenada de V. La función de coordenadas [ ]B define un isomorfimo entreespacios normados (con alguna norma para Rn). Ahora se considera (vn)n∈N una sucesión de Cauchyen V. Entonces, ([vn]B)n∈N es una sucesión de Cauchy respecto a la norma asociada a [ ]B. Se puedeverificar (lo cual queda a cargo del lector) que esta sucesión también es de Cauchy respecto a la normaestándar de Rn. Por lo que (2.3.14) muestra que existe un X ∈ Rn tal que [vn]B → X. Como los límitesson independientes de las normas, la sucesión ([vn]B)n∈N converge a v respecto de la norma de [ ]B.Entonces, hay un único v ∈ V tal que [v]B = X. Se verifica entonces que vn → v y así, V es completo.

§ 5.7. Teoría de derivación.En esta sección se desarrollan los teoremas más importantes respecto a la derivada. Asimismo, se

establecerá una fórmula general para obtener la derivada de una composición de funciones. Muchosde los teoremas presentados a continuación son generalizaciones directas de los teoremas de R. Porejemplo, un conocido teorema de R afirma que una función que es diferenciable en un punto ha de sercontinua en éste punto. Este teorema tiene una generalización idéntica al caso n dimensional.

152

5.7. Teoría de derivación.

z 5.7.1 Unicidad.Primero se demostrará que la derivada, así como ha sido definida, es única. Esto en el sentido que

si T y S son dos transformaciones lineales tales que para H ∈ B (0; r) ,

f (v + h) = f (v) + Th + ε1(v;h)h y f (v + h) = f (v) + Sh + ε2(v;h)h,

T = S en V, donde Dom (f ) ⊂ V.

( 5.7.1 ) Sea f : A ⊂ V →W tal que f es diferenciable en v ∈ ÛA. Se supone que T y S son dos transformacioneslineales tales que ambas satisfacen la definición de derivada (5.6.5). Entonces, para todo h ∈ v se tiene queTh = Sh.

Dado que S y T satisfacen ambas la definición de ser derivada de f en v, existen rT > 0, rS > 0 yfunciones

ε1(v) : B (0; rT )→ Lin (V,W ) y ε2(v) : B (0; rS)→ Lin (V,W )tales que

h ∈ B (0; rT )Ñ f (v + h) = f (v) + Th + ε1(v;h)h,h ∈ B (0; rS)Ñ f (v + h) = f (v) + Sh + ε2(v;h)h,

y lımh→0

ε1(v;h) = 0, lımh→0

ε2(v;h) = 0. Se pone r = mınrT , rS, para h ∈ B (0; r) , se tiene, tras restar que

(T − S)h = (ε1(v;h)− ε2(v;h))h.

Sea Lu = tu ∈ V : t ∈ R la recta que pasa por el origen en dirección del vector unitario u ∈ V. Seconsidera 0 < t < r entonces tu ∈ B (0; r) y tu 6= 0. Por lo que,

(T − S)(tu) = (ε1(v; tu)− ε2(v; tu))(tu).

Dividiendo por t, se obtiene que

(T − S)u = (ε1(v; tu)− ε2(v; tu))u.

El lado izquierdo es independiente de t mientras que el derecho no lo es. Tomando el límite cuando ttiende a cero, el lado derecho va a cero, por lo que el izquierdo siempre es cero. Por lo tanto Tu = Supara todo vector unitario u ∈ V. Si h ∈ V no es unitario surgen dos casos, primero que h = 0 peroentonces T0 = S0 (por ser lineales); en el caso en que h 6= 0, se tiene que u = h

‖h‖ es unitario, de este

modo, Tu = Su, así que multiplicando por ‖h‖ y usando que tanto T como S son lineales, se obtieneque Th = Sh.

Observación: dada esta unicidad, uno escribe T = Df (v) para designar a la derivada de v en el puntov.

z 5.7.2 Diferenciabilidad implica continuidad.

( 5.7.2 ) Sea f : A ⊂ V →W, con A cualquiera y f diferenciable en v ∈ ÛA. Entonces, f es continua en v.

Como f es diferenciable en v existe r > 0 y ε(v) : B (0; r)→ Lin (V,W ) tal que para todo h ∈ B (0; r)se tiene que

f (v + h) = f (v) + Df (v)h + ε(v;h)h.Por lo que, al tomar límite cuando h→ 0, se ve que lım

h→0f (v + h) = f (v). Esto es, f es continua en v.

153


z 5.7.3 La regla de la cadena.De acuerdo con la definición (5.6.5) y (5.7.1) se tiene que la derivada de f en v es la única trasforma-

ción lineal que aproxima a f (v) en los alrededores de v. Entonces, cuando uno estudia la composiciónde funciones diferenciables en natural pensar que la única trasformación lineal que aproxima a lacomposición en el punto es la composición de las derivas.

( 5.7.3 ) Sean f : A ⊂ U → V y g : B ⊂ V → W tales que f es diferenciable en u, punto interior de A y g esdiferenciable en v = f (u), punto interior de B. Entonces, g f es diferenciable en v y, además,

D(g f ) (v) = Dg (f (u)) Df (u) .

Esto se conoce como la «regla de la cadena».

Dado que f es diferenciable en u se puede encontrar rf > 0 y εf (u) : B(0; rf

)→ Lin (U,V ) tal que

para todo h ∈ B(0; rf

)⊂ U se tiene que

f (v + h) = f (v) + Df (v)h + εf (u;h)h,

donde lımh→0

εf (u;h) = 0. Análogamente, para g en v existe rg > 0 y εg : B(0; rg

)→ Lin (V,W ) las cuales

satisfacen que lımk→0

εg (v;k) = 0 y tal que para todo k ∈ B(0; rg

)se tiene que

g(v + k) = g(v) + Dg (v)k + εg (v;k)k.

Observa lo siguiente,

‖Df (u)h + εf (u;h)h‖ = ‖[Df (u) + εf (u;h)]h‖ ≤ ‖Df (v) + εf (u;h)‖ ‖h‖≤ (‖Df (u)‖+ ‖εf (u;h)‖) ‖h‖≤ (‖Df (v)‖+ 1) ‖h‖ ,

en donde la última desigualdad es válida por lo siguiente: como lımh→0‖εf (u;h)‖ = 0 se tiene que existe

δ > 0 tal que si h ∈ B (0; δ) entonces ‖εf (u;h)‖ ≤ 1. Define

r = mınß rg‖Dg (v)‖+ 1 , δ, rf

™,

entonces Df (v)h + εf (u;h)h ∈ B(0; rg

)siempre que ‖h‖ < r. Por lo que, para h ∈ B (0; r) se tiene que

(g f )(v + h) = g(f (v + h)) = g(v + Df (v)h + εf (u;h)h)= g(v) + Dg (v) (Df (u)h + εf (u;h)h) + εg (v; Df (u)h + εf (u;h)h)(Df (u)h + εf (u;h)h)= g(v) + Dg (v) Df (u)h + Λ(h)h,

donde Λ está definida por Λ : B (0; r)→ Lin (U,W ) dada por

Λ(h) = Dg (v) εf (u;h) + εg (v; Df (u)h + εf (u;h)h)(Df (u) + εf (u;h)).

Basta ver que lımh→0

Λ(h) = 0 para demostrar que Dg (v) Df (u) es la derivada de g f en v. Observaque lım

h→0εf (u;h) = 0 y que lım

h→0(Df (u)h + εf (u;h)h) = 0, por lo que lım

h→0εg (Df (u)h + εf (v;h)h) = 0. Esto

concluye la demostración de la regla de la cadena.

154

5.7. Teoría de derivación.

z 5.7.4 Diferenciabilidad de las funciones componentes.El siguiente teorema es análogo a (5.4.6). Dice que para que una función sea diferenciable en P es

necesario y suficiente que todas sus funciones coordenadas lo sean.

( 5.7.4 ) Sea F = (f1, . . . , fm) : A ⊂ V → W = W1 × . . . ×Wm. Se considera v un punto interior de A. Paraque F sea diferenciable en v es necesario y suficiente que cada fi sea diferenciable en v.

Observa que F es diferenciable en v si y solo si existe r > 0 y ε : B (0; r) → Lin (V,W ) tal quelımh→0

ε(h) = 0 y tal que para todo h ∈ B (0; r) se tiene que

F (v + h) = F (v) + DF (v)h + ε(h)h.

Reescribiendo esta última expresión en columnas, se ve queÖf1(v + h)

...fm(v + h)

è=

Öf1(v)

...fm(v)

è+

Öpr1(DF (P))

...prm(DF (P))

èh +

Öpr1(ε(h))

...prm(ε(h))

èh.

Como pri es lineal, se tiene que pri(DF (P)) es lineal para todo i, además pri(ε(h)) es una función linealde V a Wi tal que lım

h→0pri(ε(h)) = 0. De este modo, cada fi es diferenciable en v. Ahora bien, si cada fi

es diferenciable en v la igualdad anterior demuestra que F es diferenciable en v.

Observación: el teorema previo demuestra que al fijar bases en V y W entonces la matriz de Dfi (v)corresponde a la i-ésima fila de la matriz de DF (v) , esto puede escribirse como

DF (v)h =

Df1 (v)...

Dfm (v)

h =

Df1 (v)h...

Dfm (v)h

.z 5.7.5 Linealidad.

( 5.7.5 ) Sean f, g : A ⊂ V →W diferenciables en v ∈ ÛA. Entonces, para cualquier λ ∈ R la función f + λg esdiferenciable en v y, además, D(f + λg) (v) = Df (v) + λDg (v) .

Se aplica la regla de la cadena, define Ψ(w1, w2) = w1 + λw2 para w1, w2 ∈W. Entonces Ψ es linealy diferenciable pues

Ψ(w1 + h,w2 + k) = Ψ(w1, w2) + Ψ(h, k);

según (5.6.5) DΨ (w1, w2) = Ψ. Como f + λg = Ψ(f, g), de la regla de la cadena

D(f + λg) (v) = D[Ψ (f, g)

](v) = DΨ (f (v), g(v)) D(f, g) (v)

= Ψ(Df (v) ,Dg (v)) = Df (v) + λDg (v) ,

lo cual demuestra la linealidad.

z 5.7.6 Derivada de un producto.Todo producto α× β satisface que si se define B(α, β) = α× β entonces B es lineal en cada entrada,

«bilineal»; conviene entonces dar el caso general.

155


( 5.7.6 ) Sean f y g dos funciones de A ⊂ V aW1 yW2, respectivamente. Se supone que f y g son diferenciables

en v ∈ ÛA. Sea B : W2×W2 → U una función bilineal; esto es, para cada (w1, w2) ∈W1×W2 fijo, las funciones

h 7Ï B(h,w2) de W1 a U

yk 7Ï B(w1, k) de W2 a U

son lineales. Entonces, el producto de f y g relativo a B, esto es, la composición B(f, g), es diferenciable en v y,además,

DB(f, g) (v)h = B(Df (v)h, g(v)) + B(f (v),Dg (v)h);esto se conoce como la «regla de Leibniz».

Conviene dividir la prueba en varias etapas.

( 5.7.6.1 ) SeanW1,W2 y U tres espacios vectoriales. Si B : W1×W2 → U es bilineal entonces B es diferenciableen W1 ×W2 y su derivada posee por regla de correspondencia

DB (w1, w2) (h, k) = B(w1, k) + B(h,w2).

En efecto, al igual que siempre se considera el incremento

B(w1 + h,w2 + k) = B(w1, w2) + B(w1, k) + B(h,w2) + B(h, k),

por lo que solo se debe demostrar que B(h, k) = ε(h, k)(h, k). Sin embargo, no se conoce la forma deB por lo que se utilizará la primera caracterización del teorema (5.6.4). Se debe de mostrar que

lım(h,k)→0

‖B(h, k)‖‖(h, k)‖ = 0.

Como los límites son independientes de las normas, se puede considerar cualquier norma en el espacioW1×W2. Entonces, se supondrá que ‖(h, k)‖ = ‖h‖+‖k‖ . Supón que ‖B(h, k)‖ ≤ c ‖h‖ ‖k‖ para algunaconstante c > 0. Entonces,

0 ≤ ‖B(h, k)‖‖(h, k)‖ ≤

c ‖h‖ ‖k‖‖h‖+ ‖k‖ ≤ c

‖h‖2 + 2 ‖h‖ ‖k‖+ ‖k‖2

‖h‖+ ‖k‖ = c(‖h‖+ ‖k‖),

la cual tiende a cero cuando (h, k)→ 0. Por lo tanto, solo debe demostrarse la existencia de tal c.

( 5.7.6.2 ) Sean W1,W2 y U tres espacios vectoriales y supón que ‖‖1 y ‖‖2 son sendas normas en W1 y W2. SiB : W1 ×W2 → U es bilineal entonces existe c > 0 tal que ‖B(w1, w2)‖ ≤ c ‖w1‖1 ‖w2‖2 .

En efecto, se utilizará (5.6.2). Para este efecto define la función φ : W1 → Lin (W2, U) dada por φ(w1)es la transformación lineal de W2 a U que posee regla de correspondencia φ(w1)w2 = B(w1, w2). Envirtud de (5.6.2) se cumple que para cada w1 ∈W1

‖φ(w1)w2)‖ ≤ ‖φ(w1)‖ ‖w2‖2 .

Para concluir, se demostrará que φ es lineal de W1 a Lin (W2, U) . En efecto, sean v1, v2 ∈W1 y λ ∈ Rcualesquier elementos. Se debe demostrar que las transformaciones lineales φ(v1+λv2) y φ(w1)+λφ(w2)coinciden; esto es, se debe demostrar que para todo h ∈W2

φ(v1 + λv2)h = φ(v1)h + λφ(v2)h.

Por definición, el lado izquierdo previo es B(v1 + λv2, h) y el lado derecho es B(v1, h) + λB(v2, h). Elhecho que son iguales se deriva de que B es bilineal. Por lo tanto, φ es lineal de W1 a Lin (W2, U) . Asíque existe una c > 0 tal que ‖φ(w1)‖ ≤ c ‖w1‖1 , que concluye lo afirmado.

156

5.8. Algunas derivadas especiales.

( 5.7.6.3 ) Vale la regla de Leibniz.

En efecto, usando la regla de la cadena,DB(f, g) (v)h = DB (f (v), g(v)) D(f, g) (v)h

= DB (f (v))g(v)(Df (v)h,Dg (v)h)= B(f (v),Dg (v)h) + B(Df (v)h, g(v)).

Lo que concluye la demostración.

z 5.7.7 Derivada de un cociente.

( 5.7.7 ) Sea g : A ⊂ V → R diferenciable en v ∈ ÛA. Entonces, si g(v) 6= 0, se tiene que1g es diferenciable en

v y Dï 1g

ò(v) = −Dg (v)

[g(v)]2 .

Sea f = 1IR g, donde IR es la función identidad de R. Por la regla de la cadena (5.7.3), se tiene que

Df (v) = Dï 1IR

ò(g(v)) Dg (v) .

La derivada de la función 1IR

en t es h 7Ï − ht2 , por lo que

Dï 1IR

ò(g(v)) Dg (v) = −Dg (v)

[g(v)]2 .

Esto demuestra el teorema.

§ 5.8. Algunas derivadas especiales.Las funciones más comunes que se trabajan en la práctica son las proyecciones canónicas y las

“inclusiones”, los polinomios, las funciones racionales y las funciones como seno, coseno y exponencial.De este modo, se desarrollarán ejemplos de cómo calcular la derivada en un punto arbitrario de algunasde estas funciones.

z 5.8.1 Funciones constantes.Se dice que la función c : A ⊂ V → W es constante si c(A) = v para algún v ∈ V. Luego,

c(u + h) − c(u) = v − v = 0. Esto es, c es diferenciable para cualquier u ∈ ÛA y Dc (u) = 0; esto es, lafunción u 7Ï Dc (u) de A a Lin (V,W ) es la función constante igual a cero.

z 5.8.2 Proyecciones.Sea pri : W1 × . . .×Wm la i-ésima proyección canónica. Se cumple que

pri(u + h) = ui + hi = pri(u) + pri(h).De este modo, la derivada de pri en u es la trasformación lineal pri; esto es, Dpri (u) = pri. A con-tinuación se encuentra una representación matricial para pri : Rn → R. Si se denota por (e1, . . . , en)a la base canónica de Rn entonces pri(ej ) = δi,j . Luego, la representación matricial de pri es pri =[0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0].

157


z 5.8.3 Inclusiones.Se dirá que Πi : R→ Rn es inclusión si Πi tiene por regla de correspondencia

Πi(t) = (0, . . . , 0, t, 0, . . . , 0).

Observa que Πi “encaja” a R en la i-ésima coordenada de Rn. Claramente Πi es una curva diferenciable.Observa que

Πi(t + h) = (0, . . . , 0, t + h, 0, . . . , 0) = Πi(t) + Πi(h)

Luego, la derivada de Πi en t es DΠi (t) = Πi. La representación matricial de Πi es

Πi = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]t ,

donde el uno aparece en la i-ésima entrada.

z 5.8.4 Transformaciones lineales.En los dos casos anteriores se vió que la derivada de la función f era f misma para cualquiera que

fuese el punto en que se derivara. Esto no es una casualidad, sucede que esto es cierto siempre que fsea lineal. En efecto, si T es lineal, se tiene que

T(P +H) = TP + TH.

Luego, DT (P) = T. En cada caso habría que encontrar una representación matricial explícita de T.Este resultado es muy importante, por lo que se asociará un número a ello.

( 5.8.1 ) Sea T : A ⊂ V → W una transformación lineal y sea v ∈ ÛA. Entonces T es diferenciable en v yDT (v) = T.

z 5.8.5 Exponentes.Considera una función f : A ⊂ V → [0,∞) entonces tiene sentido construir la función g : A → R

dada por g(v) = (f (v))a = exp(a ln f (v)). Se puede aplicar entonces la regla de la cadena para obtenerla derivada de g. En este caso, se tiene que

Dg (v) = D(exp (a ln f ) (v) = D(exp) (a ln f (v)) D(a ln f ) (v)

= exp(a ln f (v))aD ln (f (v)) Df (v) = a(f (v))aDf (v)f (v)

= a(f (v))a−1Df (v) .

Por lo tanto, Dfa (v) = a(f (v))a−1Df (v) . En particular, la derivada de prri en P es

Dprri (v) = r(pri(v))r−1pri.

z 5.8.6 Funciones polinomiales.Recuerda que una función f : Rn → R es polinomial si

f (x1, . . . , xn) =k∑

i1+···+in=0ai1...inx

i11 · · ·xinn ,

158

5.8. Algunas derivadas especiales.

donde ai1...in son constantes. Para poder encontrar la derivada de f aprovechando los teoremas yademostrados, se debe escribir a f como función de funciones ya conocidas. Escrita como función, setiene que

f =k∑

i1+···+in=0ai1...inpri11 · · ·prinn .

Al actuar la derivada como un operador lineal en las funciones, se tiene que

Df (P) =k∑

i1+···+in=0ai1...inD(pri11 · · ·prinn ) (P) .

La derivada D(pri11 · · ·prinn ) (P) puede encontrarse utilizando repetidamente (5.7.6).

( 5.8.2 ) Considera la función polinomial f (x, y) = x2 + 2xy. Calcula la derivada de f en (a, b).

De acuerdo con lo anterior, basta expresar a f como combinación de las funciones de proyección.Observa que f = pr2

1 + 2pr1pr2. Entonces,

Df (a, b) = D[pr21 + 2pr1pr2] (a, b) = Dpr2

1 (a, b) + 2Dpr1pr2 (a, b)= 2pr1(a, b)Dpr1 (a, b)

+2[pr1(a, b)Dpr2 (a, b) + pr2(a, b)Dpr1 (a, b)]= 2apr1 + 2apr2 + 2bpr1 = [2a + 2b, 2a].

Por lo tanto, Df (x, y) = [2x + 2y, 2x].

z 5.8.7 Otros ejemplos.En general, encontrar la derivada de funciones de varias variables puede resultar tedioso y a veces

hasta complicado. Sin embargo, es cuestión de mucha práctica el poder derivar de manera rápida yeficiente. A continuación se verán algunos ejemplos de cómo calcular la derivada de funciones no tanespeciales como las consideradas hasta ahora.

( 5.8.3 ) Sea F (x, y) = (sin y, cosx). Encuentra DF (a, b) , para (a, b) ∈ R2 arbitrario.

Se consideran las inclusiones Π1 : R→ R2 y Π2 : R→ R2. Observa que F = Π1sin pr2+Π2cos pr1entonces F es diferenciable en todo R2. Por la linealidad de la derivada, se tiene que DF (a, b) =D(Π1 sin pr2) (a, b) + D(Π2 cos pr1) (a, b) . Nota que

D(Π1 sin pr2) (a, b) = DΠ1 (sin(b)) D sin (b) Dpr2 (a, b)

= Π1 cos(b)pr2 = cos(b)[1, 0]t [0, 1] =ï0 cos(b)0 0

òanálogamente, D(Π2 cos pr1) (a, b) = Π2(− sina)pr1 =

ï0 0

− sina 0

ò. Esto implica que DF (a, b) =ï

0 cos(b)− sin(a) 0

ò.

( 5.8.4 ) Sea f : R→ R una función continua. Encuentra la derivada en (a, b) ∈ R2 de F (x, y) =y∫x

f (t)dt.

159


Observa que

F (x, y) =y∫

0

f (t)dt −x∫

0

f (t)dt

=pr2(x,y)∫

0

f −pr1(x,y)∫

0

f

= g(pr2(x, y))− g(pr1(x, y))

en donde g(x) =x∫

0

f. Se sabe del cálculo de una variable que g ′(x) = f (x), para cualquier x ∈ R. Por lo

que F es diferenciable en todo R2 y, además,

DF (a, b) = D(g pr2) (a, b)−D(g pr1) (a, b)= Dg (b) Dpr2 (a, b)−Dg (a) Dpr1 (a, b)= f (b)pr2 − f (a)pr1 = [−f (a), f (b)].

Por lo tanto, la derivada buscada es DF (a, b) = [−f (a) f (b)]. Demostrar que F no es diferenciable en cierto punto P puede resultar bastante tedioso debido a que

la negación de la definición pide demostrar que toda trasformación lineal no satisface (5.6.5). Por otrolado, se sabe que la trasformación lineal (la derivada) es única, sin embargo no todavía no se tiene unmodo de determinar cual es. En caso contrario el problema se simplificaría considerablemente. Por estemotivo es que se utilizan métodos indirectos para demostrar que cierta función no sea diferenciable.El más común de ellos es utilizar (5.7.2) o bien, utilizar la regla de la cadena (5.7.3).

( 5.8.5 ) La norma estándar de Rn no es diferenciable en el 0.

Supón que ‖‖ es diferenciable en 0. Entonces ‖pr1‖ es diferenciable en 0. Pero, para todo X ∈Rn, X = (x1, . . . , xn), se tiene que ‖pr1(X)‖ = |x1|. Considera Π1 : R → Rn la inclusión de R en laprimera coordenada de Rn. Entonces, ‖pr1(Π1)‖ : R→ R está dada por ‖pr1(Π1)(t)‖ = |t|, la cual no esdiferenciable en el cero. Esto es una contradicción a la regla de la cadena (5.7.3). Por lo tanto, ‖‖ no esdiferenciable en 0.

La gráfica de ‖‖ es un cono con su vértice en el origen. Este ejemplo fortalece la idea de que sololas funciones suaves son diferenciables.

( 5.8.6 ) Sea f : R→ R una función continua y

F (x, y) =

Ñexp

xy∫0

f, ln | cos ‖(x, y)‖ |

é.

Determine el dominio de F y el subconjunto abierto más grande de este donde F sea diferenciable.

Dado que f es continua, se tiene quexy∫0

f existe para todo (x, y) ∈ R2, por lo que expxy∫0

f está definida

en todo R2 y es diferenciable en todo R2. Luego, F es diferenciable donde ln | cos ‖(x, y)‖ | lo es. Ahorabien, ln es una función que es diferenciable en donde está definida y esta solo toma argumentos positivos,por lo que ln | cos ‖(x, y)‖ | es diferenciable y está definida solamente para aquellos puntos (x, y) ∈ R2

160

5.9. La derivada, interpretación geométrica.

tales que cos ‖(x, y)‖ 6= 0. Pero cos θ 6= 0 si y solo si θ 6= π2 + kπ, k ∈ Z. Entonces, ln | cos ‖(x, y)‖ | está

definida en todo R2 menos aquellos puntos donde ‖(x, y)‖ = π2 + kπ, k ∈ Z. Esto muestra que,

Dom (F ) = R2 \⋃k∈Z

‖(x, y)‖ = π

2 + kπ.

Se afirma que Dom (F ) es un conjunto abierto de R2. Sea (x, y) en el dominio de F, existe k ∈ Z talque π

2 +kπ < ‖(x, y)‖ < π2 +(k+1)π. Se considera r como la mitad de la mínima distancia entre (x, y) y

los círculos centrados en 0 de radio π2 +kπ y π

2 +(k+1)π. Entonces, es claro que B ((x, y); r) ⊂ Dom (F ) .Con esto F está definida en un abierto de R2. Así que Dom (F ) es el conjunto abierto más grande dondeF es diferenciable. Observa que es de otra índole encontrar la matriz de DF (P) .

§ 5.9. La derivada, interpretación geométrica.En esta sección se desarrollará una interpretación geométrica de la derivada de Rn. Se verá que,

como en el caso real, la derivada implica que la función cerca de un punto de suavidad puede aproxi-marse por un plano. Además, al igual que en el capítulo 1, se restringirá el estudio de planos tangentesa funciones de Rn a R aunque este puede generalizarse para funciones entre dos espacios vectoriales.

Sean n y m dos números naturales. Es importante recordar que un plano n dimensional que pasapor un punto P ∈ Rn+m es un subespacio vectorial de Rn+m cuya dimensión es n y está trasladado alvector P. Equivalentemente, es un conjunto de la forma

P = n∑

i=1tiAi + P

∣∣∣∣∣t1, . . . , tn ∈ R,

donde los A1, . . . , An ∈ Rn+m son vectores fijos y linealmente independientes.Supón que f : Rn → Rm es una función diferenciable en P. Entonces, existe r > 0 y ε : B (0; r) →

Lin (Rn,Rm) tal que para todo H ∈ B (0; r) se tiene que

f (P +H) = f (P) + Df (P)H + ε(H)H,

donde lımH→0

ε(H) = 0. Intuitivamente, la gráfica de f determina una superficie en Rn+m. Sin embargo, noes conveniente trabajar directamente con f, así que se extenderá f de algún modo para que sea másfácil trabajar con ella.

Sea F : Rn+m → Rm dada por F(X,Y ) = f (X)− Y. Toma 0 ∈ Rm y sea S = F−1(0), la preimagenpor F del 0. Observa que S es la gráfica de f (o, en términos de este texto, S = f ). Se afirma que F esdiferenciable en (P, f (P)). En efecto, sea (H1, H2) ∈ B (0; r) ⊂ Rn+m. Entonces

F((P, f (P)) + (H1, H2)) = F(P +H1, f (P) +H2)= f (P +H1)− f (P)−H2

= f (P) + Df (P)H1 + ε(H1)H1 − f (P)−H2

= Df (P)H1 −H2 + ε(H1)H1.

Define T : Rn+m → Rm dada por T = [Df (P) ,−IRm ], esto es

T(H1, H2) = [Df (P) ,−IRm ]Å

(H1, 0)(0, H2)

ã= Df (P)H1 −H2.

161


Claramente, T es lineal. Ahora bien, si se define ε(H1, H2) = ε(H1) entonces

lım(H1,H2)→(0,0)

ε(H1, H2) = lımH1→0

ε(H1) = 0

y F es diferenciable en (P, f (P)), con derivada [Df (P) ,−IRm ].Considera ahora α : I ⊂ R→ S una curva que pasa por (P, f (P)), por ejemplo tal que α(0) = (P, f (P)).

Como α(t) ∈ S para todo t ∈ I, se tiene que F α es una función constante de valor igual a 0. Como fes una función diferenciable en P, es razonable suponer que α es diferenciable en 0. De acuerdo a laregla de la cadena, F α es diferenciable en 0 y

D(F α) (0) = DF (α(0)) Dα (0) = DF (P, f (P))α′(0).

Recorda que α′(0) es el vector tangente a la traza de α en 0. Por otro lado, se sabe que si Fi representala i-ésima función coordenada de F entonces se tiene que en (P, f (P))

DF (P, f (P)) =

DF1 (P, f (P))...

DFm (P, f (P))

,ve (5.7.4). Luego,

DF (P, f (P))α′(0) =

DF1 (P, f (P)) · α′(0)...

DFm (P, f (P)) · α′(0)

.Al ser F α una función constante, esta derivada es cero, por lo que se tiene el sistema de ecuacioneslineales

DF1 (P, f (P)) · α′(0) = 0...

......

DFm (P, f (P)) · α′(0) = 0.Esto da la interpretación geométrica buscada. La derivada de cada función coordenada de F es ortogo-nal al vector tangente de α. Pero α fue una curva arbitraria, por lo que el vector asociado a la derivadade Fi en (P, f (P)) es ortogonal a S. Esto indica, que el plano generado por este vector es tangente aS. Como hay m de tales funciones coordenadas, se tienen m de tales planos. La intersección de todosestos planos generan el plano tangente buscado. Observa que si en lugar de considerar una función fy extenderla a F se considera directamente la superficie S = F−1(0) entonces la construcción aplicaigualmente. Esta discusión conduce a la siguiente definición general.

( 5.9.1 ) Sea f : Rn → Rm diferenciable en P. Se define F : Rn+m → Rm dada por F(X,Y ) = f (X) − Y. Sedirá que el plano tangente a f en P como el espacio solución del sistema lineal

DF1 (P, f (P)) · (X,Y ) = 0...

......

DFm (P, f (P)) · (X,Y ) = 0

trasladado al punto (P, f (P)), será denotado por TPf.Si S es un subconjunto de Rn+m para el cual existe una función diferenciable F : A ⊂ Rn+m → Rm con la

propiedad que S = F−1(0) entonces, para P ∈ S, se define el plano tangente a S en P como el espacio solicióndel sistema lineal (de m ecuaciones con n +m incógnitas)

DF (P) · (X,Y ) = 0

trasladado al punto P, será denotado por TPS.

162

5.9. La derivada, interpretación geométrica.

Se tiene que el sistema lineal

DF1 (P, F (P)) · (X,Y ) = 0...

......

DFm (P, F (P)) · (X,Y ) = 0

posee m ecuaciones y tiene n + m incógnitas. Este sistema siempre tiene por solución la trivial. Esimportante notar, la dimensión del espacio solución a este sistema es a lo más n. Esto dice que lasuperficie S (que es la gráfica de f o bien, f misma) tiene a lo más n grados de libertad para moverseen Rn+m.

( 5.9.2 ) Sea f : R2 → R dada por f (x, y) = x2 + xy. Encuentra el plano tangente a f en el punto p = (1, 0).

De acuerdo a la construcción anterior, sea F : R3 → R dada por F(x, y, z) = x2 + xy − z. Entonces,se calcula la derivada de F en P = (p, f (p)) = (1, 0, 1). Se tiene que

DF (P) = Dpr21 (P) + Dpr1pr2 (P)−Dpr3 (P)

= 2pr1(P)pr1 + pr1(P)pr2 + pr2(P)pr1 − pr3 = [2, 1,−1].

De este modo, el plano tangente a F en p es solución al sistema

(2, 1,−1) · (x, y, z) = (2, 1,−1) · P.

Esta ecuación es 2x + y − z = 1, que es una ecuación que representa al plano buscado. Por lo tanto, elplano es (x, y, z) ∈ R3 : 2x + y − z = 1.

( 5.9.3 ) Sea F : R2 → R2 dada por F (x, y) = (sinx, 2xy). Encuentra la ecuación del plano tangente a F enp =

(π2 , 1

).

Se procede como en el ejemplo anterior, seaF : R4 → R2 dada porF(x, y, u, v) = (sinx−u, 2xy−v).Entonces, F es diferenciable en R4. Sea P = (x, y, u, v). Entonces

DF (P) = D(Π1(sin pr1 − pr3) + Π2(2pr1pr2 − pr4)) (P)= DΠ1 (sinx − u) D(sin pr1 − pr3) (P) + DΠ2 (2xy − v) D(2pr1pr2 − pr4) (P)= Π1(cosxpr1 − pr3) + Π2(2xpr2 + 2ypr1 − pr4).

Por lo que, al pasar a forma matricial, se obtiene

DF (P) =ïcosx 0 −1 02y 2x 0 −1

ò.

Tomando P =(π

2 , 1, 1, π), se ve que

DF (P) =ï0 0 −1 02 π 0 −1

ò.

Entonces, el plano tangente a F en P es la intersección de los planos u = 0 y 2x+πy−v = 0 trasladadoa P. Una base del espacio solución está dada por A1 = (1, 0, 0, 2) y A2 = (−π, 2, 0, 0). Por lo tanto, elplano tangente buscado es TP(F ) = v ∈ R4 : v = tA1 + sA2 + P, s, t ∈ R.

( 5.9.4 ) Encuentra el plano tangente en (1, 0, 0) de la esfera unitaria S2 definida por S2 = (x, y, z) ∈ R3 :‖(x, y, z)‖ = 1.

163


Observa que no se tiene una función F que represente a S2, sin embargo, si se define F : R3 → R

dada por F(X) = ‖X‖ − 1 entonces S2 = F−1(0). Entonces, aplica la misma construcción que antes.Por lo que el plano tangente es solución al sistema de ecuaciones DF (1, 0, 0) ·X = DF (1, 0, 0) · (1, 0, 0).En este caso, se tiene que

DF (1, 0, 0) = D»

pr21 + pr2

2 + pr23 (1, 0, 0) = D(pr2

1 + pr22 + pr2

3) (1, 0, 0)2»

pr21 + pr2

2 + pr23(1, 0, 0)

= 12 (2pr1(1, 0, 0)Dpr1 (1, 0, 0) + 2pr2(1, 0, 0)Dpr2 (1, 0, 0) + 2pr3(1, 0, 0)Dpr3 (1, 0, 0))

= pr1 = [1, 0, 0].

Entonces, el plano tangente a la esfera S2 esTPS2 = (x, y, z) ∈ R3 : x = 1. Observa que este resultado

es geométricamente claro.

§ 5.10. Funciones inversas.Al igual que el caso en una variable, en V existen funciones f : V →W tales que existe una función

g : W → V para la cual f g = IW y g f = IV . Esta clase de funciones se denominan funcionesinvertibles (2.1.19). En ocasiones F no se encuentra definida en todo el espacio, en cuyo caso, en general,g tampoco. Luego, existen un A y un B tales que f g = IA y g f = IB, donde A = Dom (g) = Ran (f ) yB = Ran (f ) = Dom (g) .

Se supone que f es una función tal que Dom (f ) ⊂ V es un abierto y Ran (f ) ⊂W también es abierto.Si f es invertible y diferenciable y si posee una inversa g que sea diferenciable, se ve que f g = IRan(f ),es la identidad de W restringida a Ran (F ) ; de la regla de la cadena (5.7.3), f g es diferenciable yD[f g ] (v) = DIRan (f ) (v) = IW . El mismo argumento muestra que D[g f ] (v) = IV ; al ser tanto f comog diferenciables, la regla de la cadena muestra que Df (g(v)) es invertible y

Df (g(v)) =[Dg (v)

]−1.

Por lo tanto, dim V = dim W. Esto conduce al siguiente resultado.

( 5.10.1 ) Sean V y W dos espacios vectoriales para los cuales existe una función f : A ⊂ V → W invertible,diferenciable y cuya inversa es diferenciable. Entonces dim V = dim W.

Los siguientes teoremas refuerzan este resultado.

( 5.10.2 ) Sea f : A→ B con A y B sendos subconjuntos abiertos de V y W. Supón las siguientes hipótesis,

1. f es invertible,

2. la inversa de f es continua,

3. f es diferenciable en un punto v ∈ A.

Sea g la inversa de f. Una condición necesaria y suficiente para que g sea diferenciable en w = f (v) es que Df (v)sea invertible; si así sucede, Dg (w) =

[Df (v)

]−1.

Se divide la prueba en varios pasos.

( 5.10.2.1 ) La condición es necesaria.

164

5.10. Funciones inversas.

Pues si g es diferenciable en w entonces f g y g f son diferenciables en acuerdo con la regla dela cadena. Pero

IW = DIB (w) = D[f g ] (w) = Df (v) Dg (w)y

IV = DIA (v) = D[g f ] (v) = Dg (w) Df (v) ,mostrando lo afirmado.

El resto de la prueba es para la suficiencia de la condición.

( 5.10.2.2 ) Se puede trasladar el problema a vecindades del origen.

En efecto, sea r > 0 tal que B (v; r) ⊂ A. Define φ : B (0; r)→W por φ(h) = f (v+h)− f (v); se observaque si φ(h1) = φ(h2) entonces f (v+h1)− f (v) = f (v+h2)− f (v), por lo que f (v+h1) = f (v+h2) y, comof es invertible, h1 = h2, por lo que φ es inyectiva. Sea ψ : φ(B (0; r)) → B (0; r) la inversa de φ (2.1.20);entonces ψ(k) = g(w + k)− g(w), pues

φ(ψ(k)) = f (v + g(w + k)− g(w))− f (v)= f (g(w + k)− v + v)−w = k +w −w = k

y

ψ(φ(h)) = g(w + f (v + h)− f (v))− g(v)= g(f (v + h))− v = v + h − h = v.

Observa que tanto φ como ψ son inversas una de la otra y están definidas en conjuntos que tiene alorigen como elemento. Además, φ es una función continua, pues f lo es. Falta ver que los dominionsde φ y ψ son abiertos.

Que Dom (φ) = B (0; r) sea un abierto es claro, por lo que se probará que Dom (φ) = φ(B (0; r)) esun abierto. De hecho, como g es invertible, se ve que para cualquier subconjunto abierto T de V existeun abierto S de W tal que g−1(T) = A ∩ S, esto es consecuencia de (5.5.4), y como B es abierto, T ∩ Btambién y g−1(T) = g−1(T ∩B). Por lo tanto, la preimagen por g de cualquier abierto de V es un abiertode W. Como g es la inversa de f, resulta de que la preimagen por g de un conjunto es la imagen porf del mismo conjunto, con lo cual, f es una función abierta. Al ser que φ toma la forma φ = L2 F L1,con L2 y L1 traslaciones, se obtiene que φ también es una función abierta y de aquí lo afirmado.

( 5.10.2.3 ) Hay un η > 0 tal que

‖k‖ < η Ñ∥∥∥[Df (v)

]−1k∥∥∥ ≥ ‖ψ(k)‖

2 .

En virtud de (5.6.2),∥∥∥[DF (P)

]−1k∥∥∥ ≤ ∥∥∥[DF (P)

]−1∥∥∥ ‖H‖ y c =

∥∥∥[DF (P)]−1∥∥∥ > 0 pues

[DF (P)

]−1

no es la transformación lineal cero. Sea 0 < ε < 12c . Existe un δ ∈ (0, r) tal que si h ∈ B (0; δ) entonces

‖f (v + h)− f (v)−Df (v)h‖ < ε ‖h‖ ,

esto es consecuencia de que f es diferenciable en v y de (5.6.4).Como 0 ∈ φ(B (0; r)) y este es un conjunto abierto, existe η1 > 0 tal que B (0; η1) ⊂ φ(B (0; r)) y al

ser ψ una función continua en 0, y ψ(0) = 0, existe un η2 > 0 tal que ψ(B (0; η2)) ⊂ B (0; δ) , esto esconsecuencia de (5.5.3). Se define η como el mínimo entre η1 y η2.

Sea k ∈ B (0; η) cualquiera. Entonces ψ(k) ∈ B (0; δ) . Luego,

k = φ(ψ(k)) = f (v + ψ(k))− f (v) = Df (v)ψ(k) + o(ψ(k)),

165


donde o(h) = f (v + h)− f (v)−Df (v)h. Como ‖k‖ < η se sigue que ‖ψ(k)‖ < δ y, por ende, ‖o(ψ(k))‖ <ε ‖ψ(k)‖ . Por lo tanto,[

Df (v)]−1k =

[Df (v)

]−1Df (v)ψ(k) +[Df (v)

]−1o(ψ(k))

= ψ(k) +[Df (v)

]−1o(ψ(k))

y, por otro lado, ∥∥∥[Df (v)]−1o(ψ(k))

∥∥∥ ≤ c ‖o(ψ(k))‖ ≤ cε ‖ψ(k)‖ ≤ ‖ψ(k)‖2 .

Usando la desigualdad triangular,∥∥∥[Df (v)]−1k

∥∥∥ ≥ ‖ψ(k)‖ −∥∥∥[Df (v)

]−1o(ψ(k))∥∥∥ ≥ ‖ψ(k)‖

2 .

Lo que concluye este paso.

( 5.10.2.4 ) La derivada de g es w existe y vale Dg (w) =[Df (v)

]−1.

En efecto, con lo ya demostrado se deduce inmediatamente que

‖ψ(k)‖ ≤ 2∥∥∥[Df (v)

]−1k∥∥∥ ≤ 2c ‖k‖

y, finalmente, ∥∥∥[Df (v)]−1o(ψ(k))

∥∥∥ ≤ c ‖o(ψ(k))‖ ≤ cε ‖ψ(k)‖ ≤ 2c2ε ‖k‖ .

Con esto, ha sido demostrado que∥∥∥ψ(k)−[Df (v)

]−1k∥∥∥ ≤ (2c2)ε ‖k‖ ,

y como ψ(k) = g(w + k)− g(w), se ha demostrado que∥∥∥g(w + k)− g(w)−[Df (v)

]−1k∥∥∥

‖k‖ ≤ (2c2)ε.

Según (5.6.4), Dg (w) existe y Dg (w) =[Df (v)

]−1.

§ 5.11. El teorema del valor medio.

Dentro de las nociones principales del cálculo se encuentra la de los incrementos, el teoremadel valor medio proporciona una estimación para los incrementos de una curva (4.6.8). Por motivosde historia, se demostrará el teorema clásico (que no se utilizará en este texto) y luego el teoremamoderno del valor medio.

( 5.11.1 ) Sea f : U ⊂ Rn → R, con U abierto. Se supone que f es diferenciable en todo P ∈ U. Asimismo, sesupone que A,B ∈ U y el segmento de recta que une a A con B es subconjunto de U. Entonces, existe c ∈ (0, 1)tal que f (B)− f (A) = (B−A) ·Df ((1 + c)A+ cB) , en donde se toma a Df (P) como el vector en Rn asociadoa la derivada de f en P. Esto se conoce como el «teorema del valor medio clásico».

166

5.11. El teorema del valor medio.

Este teorema es inmediato de su análogo en R, pues se considera la función auxiliar

α(t) = f ((1− t)A+ tB),

la cual está definida en [0, 1] y es derivable (de acuerdo con la regla de la cadena). Luego, existe unt ∈ [0, 1] tal que α(1)− α(0) = α′(t), que es precisamente la conclusión del teorema.

Se generalizará ahora el teorema del valor medio moderno para funciones de variable vector.

( 5.11.2 ) Si f : A ⊂ V →W es diferenciable y el segmento de extremos w1 y w2 está contenido en A entonces

‖f (w1)− f (w2)‖ ≤ ‖w1 −w2‖ sup0≤t≤1

‖Df ((1− t)w1 + tw2)‖ .

Si sup0≤t≤1

‖Df ((1− t)w1 + tw2)‖ =∞, el resultado es trivial, por lo que se supondrá que este supremo

es finito. Se define la curva auxiliar

α(t) = f ((1− t)w1 + tw2), t ∈ [0, 1].

Entonces α es diferenciable, de la regla de la cadena y la desigualdad de Cauchy-Schwarz

‖α′(t)‖ = ‖Df ((1− t)w1 + tw2) · (w1 −w2)‖≤ ‖Df ((1− t)w1 + tw2)‖ ‖w1 −w2‖≤ ‖w1 −w2‖ sup

0≤t≤1‖Df ((1− t)w1 + tw2)‖ .

El teorema del valor medio (4.6.8) implica entonces que

‖α(1)− α(0)‖ ≤ ‖w1 −w2‖ sup0≤t≤1

‖Df ((1− t)w1 + tw2)‖ .

Que es lo que se quería demostrar.

( 5.11.3 ) Se dirá que una función f : A ⊂ V → W es lipchitziana con constante de lipchitzianidad k > 0(«k-lipschitziana») si para todos v1, v2 ∈ A se cumple que

‖f (v1)− f (v2)‖ ≤ k ‖v1 − v2‖ .

( 5.11.4 ) Toda función lineal f : V →W es ‖f‖-lipschitziana.

Esto ya fue demostrado en (5.6.2).

( 5.11.5 ) Sea f : [a, b] → V una curva continua la cual admite una derivada por la derecha en cada puntox ∈ (a, b). Si ‖f ′d(x)‖ < k para alguna k constante f es k-lipschitziana.

Lo que se sigue inmediatamente de (4.6.8).

( 5.11.6 ) Sea f : A ⊂ V → W diferenciable, donde A es un conjunto convexo. Si ‖Df (v)‖ ≤ k para algunak > 0 y todo v ∈ A entonces f es k-lipschitziana.

Este es inmediato de (5.11.2).

167


§ 5.12. Ejercicios.( 5.1 ) Una función f : A ⊂ V → W se denomina cerrada si para todo subconjunto cerrado C ⊂ A el conjuntof (A ∩C) es cerrado en W. Demuestra que pr1 : R2 → R no es cerrada.

Sugerencia: considera el conjuntoßy = 1

x , x > 0™.

( 5.2 ) Considera las funciones φ : R→ R2 dada por

φ(x) = (exp(x), exp(−x))

y f con regla de correspondencia f (x, y) = xy . Encuentra la imagen de f φ.

( 5.3 ) Para la función f (x, y, z) = ‖(x, y, z)− (1, 0,−1)‖ encuentra su imagen y encuentra un conjunto mínimoA para el cual f (A) = [0,∞). Esto es, si B ⊂ A satisface que f (B) = [0,∞) entonces B = A.

( 5.4 ) Sea f : Rn → R dada por f (X) = X ·A, para algún vector A ∈ Rn fijo. Determine aquellos A que permitena f ser suprayectiva. ¿Existe algún A ∈ Rn tal que f es inyectiva?

( 5.5 ) Considera la función con regla de correspondencia f (x, y) = x2 + 2xy. Sea g(t) = (t, t−1), determineDom (f g) , y encuentra la regla de correspondencia de f g.

( 5.6 ) Encuentra el dominio y rango de la función con regla de correspondencia f (X) = X‖X‖ , para X ∈ R

n. ¿Es

esta función inyectiva?, ¿es suprayectiva?

( 5.7 ) Considera ahora la función f (X) = X‖X‖2

, para X ∈ Rn. Determine si f es suprayectiva e inyectiva.

( 5.8 ) Encuentra la imagen de la recta (x, y, z) ∈ R3 : x = 1 por la función dada en el ejercicio anterior.

( 5.9 ) Sea f : Rn → R dada por f (X) = ‖X‖r y g : R → Rn dada por g(t) = (t, . . . , t). Determine unaantiderivada de f g como expresión de f y g.

( 5.10 ) Grafique los conjuntos de nivel de la función f (x, y) = x2 + 2xy.

( 5.11 ) Repita el ejercicio anterior con la función ‖(x, y, z)‖ .

( 5.12 ) Grafique las secciones de f con los conjuntos

C(c) =

(x, y, z) ∈ R3 :»x2 + y2 = c

,

donde f (x, y) = xy√x2 + y2

y c ∈ R es fijo.

( 5.13 ) Dibuja la gráfica de la función f (x, y) = x + y2.

( 5.14 ) Dibuja la gráfica de la función f (x, y) = √x + y.

( 5.15 ) Dibuja la gráfica de la funciónx2 + y

|x|+ |y|+ 1 .

( 5.16 ) Dibuja la gráfica de e−x2−y2 .

( 5.17 ) Encuentra el valor de los siguientes límites, use la definición para demostrarlos.

168

5.12. Ejercicios.

1. lım(x,y)→(π,1)

cosxy ;

2. lım(x,y)→(1,−1)

(x2 − 2y, 2xy + y, x + y);

3. lım(x,y,z)→(0,1,2)

expÅx + 2y

z

ã;

4. lım(x,y)→(1,0)

expÅ− 1y

ã+ xy;

5. lım(x,y)→(0,π)

expÅ x

siny

ã.

( 5.18 ) Determine si los siguientes límites existen, en caso que existan determine su valor.

1. lım(x,y,z)→(1,−1,π)

x + ysen z ;

2. lım(x,y)→(0,0)

expÅ 1‖(x, y)‖

ã;

3. lım(x,y)→(0,0)

sinxsiny ;

4. lım(x,y,z)→(1,1,−1)

1x + yz ;

5. lım(x,y,z)→(0,0,0)

sinx sinysin z .

( 5.19 ) Dé un ejemplo de una función f : A ⊂ V →W tal que existe v ∈ V para el cual existen dos sucesiones(un)n∈N, (wn)n∈N definidas en A y un, wn → A pero ‖f (un)− f (vn)‖ 6→ 0.

( 5.20 ) Si f : A ⊂ V →W satisface, para cierto v ∈ A, que

lımh→0‖f (v + h)− f (h)‖ = 0,

entonceslımh→0‖f (v + h)− f (v − h)‖ = 0.

( 5.21 ) Determine si es cierto o falso el recíproco del ejercicio anterior. Esto es, determine si

lımh→0‖f (v + h)− f (v − h)‖ = 0Ñ lım

h→0‖f (v + h)− f (v)‖ = 0.

( 5.22 ) Sea f : A ⊂ V →W continua en A y B ⊂ A. Entonces f∣∣∣Ves continua.

( 5.23 ) Sean f : A ⊂ V →W y g : f (A)→ U funciones continuas. Entonces g f es continua.

( 5.24 ) Demuestra (5.4.9).

( 5.25 ) Demuestra (5.4.10).

( 5.26 ) Sean V y W dos espacios vectoriales normados con V de dimensión finita. Para que una transfomaciónlineal V →W sea continua es necesario y suficiente que sea continua en 0 ∈ V. Más generalmetne, es necesarioy suficiente que sea continua en v ∈ V para algún v.

169


( 5.27 ) Sea f (x, y) = x + yx − y . Intenta aplicar (5.4.16). ¿Por qué esto no contradice el teorema?

( 5.28 ) Sea f : R2 → R la función dada por:

f (x, y) =

x sinÅ 1y

ãsi y 6= 0,

0 si y = 0.

Entonces lım(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0, pero aún así, se tiene que

lımx→0

lımy→0

f (x, y) 6= lımy→0

lımx→0

f (x, y).

¿Por qué esto no contradice (5.4.16)?

( 5.29 ) Sean f : A ⊂ V →W y v cualquier punto de acumulación de A. Para que lımu→vu∈A

f (u) = w es necesario y

suficiente que cualquier sucesión (un)n∈N, definida en A, con lımn→∞

un = v satisfaga que lımn→∞

f (un) = w.

( 5.30 ) Si W es un espacio vectorial real para cualquier conjunto X, el conjunto WX = f : X → Y es unespacio vectorial con las operaciones (f + λg)(x) = f (x) + λg(x).

( 5.31 ) Se denotará por Pk(R(Rn)) el conjunto de funciones polinomiales de grado menor o igual a k en n

variables. Este es un espacio vectorial real de dimensión finita. Encuentra la dimensión y una base de este espaciovectorial.Sugerencia: encuentra primero una base para el espacio de polinomios de grado exactamente k.

( 5.32 ) El conjunto de monomios B de RN es un conjunto linealmente independiente que es base.Sugerencia: ve (1.2.8).

( 5.33 ) El mapeo Φ : R[x1, . . . , xn] → P(R(Rn)) tal que a todo polinomio lo manda a su función polinomial

asociada es una biyección lineal entre los espacios vectoriales R[x1, . . . , xn] y P(R(Rn)) .

( 5.34 ) Demuestra (5.5.6).

( 5.35 ) Si f : A ⊂ V →W es continua entonces ‖f‖ es continua.Sugerencia: solo debes utilizar que | ‖f (v1)‖ − ‖f (v2)‖ | ≤ ‖f (v1)− f (v2)‖ .

( 5.36 ) Una condición necesaria y suficiente para que F : A ⊂ V →W sea continua es que para cada λ ∈ R lafunción λF sea continua.

( 5.37 ) Sea f : R → R continua en todo R y es tal que f (Q) = c para algún c ∈ R entonces f = c; másgeneralmente, si T ⊂ V es denso y f : V → W es continua en V, constante e igual a c sobre T entonces esconstante e igual a c sobre V.

( 5.38 ) Sea f : V →W continua en v = (v1, . . . , vn) y sea i ∈ 1, . . . , n. Entonces

g(u) = f (v1, . . . , vi−1, u, vi+1, . . . , vn)

es continua en el punto ai. El recíproco de este resultado es falso.

( 5.39 ) El conjunto de los ceros de una función continua es un conjunto cerrado. Esto es, C = v ∈ V : f (v) = 0es cerrado siempre que f : V →W sea continua.

170

5.12. Ejercicios.

( 5.40 ) Una condición necesaria y suficiente para que f : A ⊂ V →W sea continua es que para todo subconjunto

B de W se tenga que f−1(ÛB) ⊂ ˚

f−1(B).

( 5.41 ) Una condición necesaria y suficiente para que f : A ⊂ V →W sea continua es que para todo subconjuntoB de A se tenga que f

(B)⊂ f (B).

( 5.42 ) Determine si puede existir o no una función continua f : A→ B tal que f (A) = B donde:

1. A = (−1, 0) ∪ (0, 1), B = (−1, 1);

2. A = (−1, 1), B = (−1, 0) ∪ (0, 1);

3. A = (−1, 0) ∪ (0, 1), B = 0, 1.

( 5.43 ) Sea f : A ⊂ V →W k-lipschitziana, ve (5.11.3). Entonces, f es uniformemente continua.

( 5.44 ) Sean V yW dos espacios vectoriales de dimensión finita. Toda función L : V →W lineal es uniformementecontinua.

( 5.45 ) Sean f y g dos funciones continuas de A ⊂ V a W. Supón que T ⊂ A es denso en A. Entonces f (T) esdenso en f (A). Más aún, si f (v) = g(v) para cualquier v ∈ T entonces f = g en A.

( 5.46 ) Supón que f : A ⊂ V → W es uniformemente continua. Entonces, para cada (un)n∈N sucesión deCauchy definida en A, se tiene que (f (un))n∈N es una sucesión de Cauchy. Cabe destacar que este es uno de losresultados más importantes en todo el análisis matemático.

( 5.47 ) Sea I = [0, 1] ⊂ R, y f : I → I una función continua. Entonces f posee un punto fijo; esto es, demuestreque existe al menos un x ∈ I tal que f (x) = x.

( 5.48 ) Sea f : A ⊂ V →W y se considera B ⊂ A. Se define la oscilación f en B como

Ω (f ;B) = sup‖f (u)− f (v)‖ : u, v ∈ B.

El número Ω (f ;B) está bien definido; esto es, siempre existe (puede valer +∞) y es único.

( 5.49 ) Sea f : A ⊂ V →W y considera B ⊂ A y v un punto de acumulación de A. Se define la oscilación f env a través del conjunto B como

ωB (f ; v) = ınfΩ (f ; B (v; δ) ∩ B) : δ > 0.

Entonces, ωB (f ; v) = lımr→0+

Ω (f ; B (v; r) ∩ B) . Asimismo, una condición necesaria y suficiente para que lımu→v

f (u)exista es que ωA (f ; v) = 0.

( 5.50 ) Sea f : A ⊂ V → W tal que f es continua en v ∈ A y es tal que f (V ) 6= 0. Existe r > 0 tal que0 /∈ F (B (v; r)∩A). Si W = R, tal r puede ser escogido de forma que todos los puntos en B (v; r)∩A se mapeenpor f con el mismo signo que se mapea v por f.

( 5.51 ) Si f y g son uniformemente continuas f + g es uniformemente continuas.

( 5.52 ) El producto de funciones uniformemente continuas no es en general uniformemente continua.

( 5.53 ) Si f es uniformemente continua existe una única extensión continua de f a Dom (f ). En tal caso, laextensión es uniformemente continua; el «teorema de extensión de Cauchy».Sugerencia: al ser

˚ Dom (f ) ⊂ Dom (f ) ⊂ Dom (f ) = ˚ Dom (f ) ∪ ∂Dom (f )

171


basta extender f a aquellos v ∈ ∂Dom (f )∩ Dom (f ) ; es decir, a aquellos v en la frontera del dominio de f queno están en el dominio de f.

Para v ∈ ∂Dom (f ) \ Dom (f ) existe una sucesión (vn) definida en Dom (f ) tal que vn → v; en virtud de(5.46) la sucesión (f (vn))n∈N es de Cauchy. Luego, existe su límite w. La intención es definir la extensión de f av como f (v) = w; para esto se debe ver que w queda determinado únicamente por v y f ; esto es, no importacuál sucesión (vn), en el dominio de f, se use para aproximar v, siempre se cumplirá que f (vn) → w. Sea pues(un)n∈N cualquier sucesión en Dom (f ) tal que un 7Ï x; ya se sabe que (f (un))n∈N es de Cauchy. Sea w ′ el límitede esta sucesión, usando la continuidad de la norma observa que

‖w −w ′‖ = lımn→∞

‖f (vn)− f (un)‖ .

Usa la continuidad uniforme de f para que, dado ε > 0 arbitrario, encontrar un δ > 0 tal que

h, k ∈ A y ‖h − k‖ < δ Ñ ‖f (P)− f (Q)‖ < ε.

Para este δ encuentra un N ∈ N tal que n ≥ N Ñ ‖un − v‖ <δ2 y ‖vn − v‖ <

δ2 . Concluya usando

la desigualdad triangular. Entonces, ya ha podido extender f a Dom (f ) a una función. Falta demostrar quetal extensión es uniformemente continua. Para esto, observa que si v1, v2 ∈ Dom (f ) entonces existen sendassucesiones

Äv(1)nän∈N

yÄv(2)nän∈N

en Dom (f ) que convergen a v1 y v2. Luego,

‖f (v1)− f (v2)‖ = lımn→∞

∥∥∥f Äv(1)nä−Äv(2)nä∥∥∥ .

( 5.54 ) Sea f : A ⊂ Rn → R, donde A es un conjunto arbitrario. Supón que v ∈ ÙU y que existe T : Rn → R

trasformación lineal tal que

lımh→0

|f (v + h)− f (v)− Th|‖h‖ = 0.

Entonces, existe r > 0 y ε(v) : B (0; r)→ Lin (Rn,R) tales que si h ∈ B (0; r) entonces

f (v + h) = f (v) + Th + ε(v;h)h,

y ε(v) es tal que lımh→0

ε(v;h) = 0.Sugerencia: como v es punto interior de A existe un r > 0 tal que B (v; r) ⊂ A. Se debe definir a la funciónε(v) : B (0; r)→ Lin (Rn,R) . Se propone la función

h 7Ï ε(v;h) = f (v + h)− f (v)− Th‖h‖2

h;

que esta función posea contradominio Lin (Rn,R) es consecuencia del ejercicio (1.36); de hecho, la imagen deh ∈ B (0; r) por esta función es la transformación lineal

k 7Ï ε(v;h)k = f (v + h)− f (v)− Th‖h‖2

〈h, k〉 .

Haciendo k = h se debe encontrar que ε(v;h)h = f (v + h)− f (v)− Th.

( 5.55 ) Completa la demostración de (5.6.4).Sugerencia: recuerda que con solo debes demostrar el caso general V y W espacios vectoriales. Considerasendas bases ordenadas P y Q de V y W y construye los isomorfismos de coordenadas asociados a estas bases.También se considerarán las normas ‖‖P y ‖‖Q en Rdim V y Rdim W , respectivamente, que son generadas por lascoordenadas [ ]P y [ ]Q, respectivamente. Define la función φ = [ ]Q f [ ]−1

P , la «transportación» de f.

172

5.12. Ejercicios.

1)Ñ 2) Sea r > 0 tal que B (v; r) ⊂ A. Observa que f = [ ]−1Q φ [ ]P . Entonces, para T = [ ]Q T [ ]−1

P secumple que

‖f (v + h)− f (v)− Th‖W‖h‖V

=

∥∥∥∥[φ ([v + h]P)]−1Q − [φ ([v]P)]−1

Q −îT ([h]P)

ó−1

Q

∥∥∥∥W

‖[h]P‖P

=

∥∥∥∥îφ ([v + h]P)− φ ([v]P)− T ([h]P)ó−1

Q

∥∥∥∥W

‖[h]P‖P

=

∥∥∥φ ([v]P + [h]P)− φ ([v]P)− T ([h]P)∥∥∥Q

‖[h]P‖P.

Sea Y = [v]P . Entonces, demuestra que, usando (3.6.7) y la observación 5. de (3.6.6), que existe unaconstante c > 0 tal que

‖f (v + h)− f (v)− Th‖W‖h‖V

≥ c

∥∥∥φ(Y + k)− φ(Y )− T(k)∥∥∥

‖k‖

para todo k ∈ B (Y ; r) . Concluye que φ satisface el primer punto (5.6.4). Por lo tanto, existe una funcióne : B (Y ; r)→ Lin

(Rdim V ,Rdim W) tal que

φ(Y + k) = φ(Y ) + Tk + e(Y ;k)k.

Considera la matriz asociada a e(Y ;k) respecto de las bases canónicas de Rdim V y Rdim W . Existe una únicatransformación lineal ε(v;h) ∈ Lin (V,W ) tal [ε(v;h)]QP es la matriz de e(Y ;k). Se cumple entonces que[ε(v;h)h]Q = [ε(v;h)]QP [h]P y como k = [h]P y [ε(v;h)]QP = e(Y ;k) se obtiene que [ε(v;h)h]Q = e(Y ;k)k.Deduce que

f (v + h) = f (v) + Th + ε(v;h)h.

2)Ñ 3) La misma demostración que para el caso Rn y Rm aplica.

3)Ñ 1) La misma demostración que para el caso Rn y Rm aplica.

( 5.56 ) Utiliza la definición (5.6.5) o bien (5.6.4) para encontrar una trasformación lineal que satisfaga la definiciónde derivada para los siguientes casos. Toma un punto P arbitrario, por ejemplo P = (a, b) ∈ R2.

1. f (x, y) = x + xy;

2. f (x, y) = 2xy + y2;

3. f (x, y) = exp(x + y);

4. f (x, y) = 3x + 2y;

5. f (x, y) = sin(x) + cos(y).

( 5.57 ) Sea A ⊂ V un conjunto abierto y convexo. Supón que f : A → W es tal que Df (v) = 0 para todov ∈ A. Entonces f es constante.Sugerencia: utiliza el teorema del valor medio.

173


( 5.58 ) Sea A ⊂ V un conjunto abierto y conexo. Supón que f : A → W y es tal que Df (v) = 0 para todov ∈ U. Entonces f es constante.Sugerencia: basta demostrar que para cierto v fijo en A se tiene que f (v) = f (u) para todo u ∈ A. Paraesto utiliza que un conjunto abierto y conexo es conexo por trayectorias (ve el ejercicio (4.78)). Por lo que siu ∈ A, existe una trayectoria continua α : [0, 1] → A tal que α(0) = v y α(1) = u. Como α es continua y[0, 1] es compacto, su traza es compacto. Como A es abierto y u ∈ U existe r > 0 tal que B (u; r) ⊂ U. ComoDf (w) = 0 para todo w ∈ B (u; r) se tiene que f es constante en B (u; r) ; esto puede repetirse para cada u ∈ Ucon su ru > 0 correspondiente. Considera ahora rt > 0 tal que B (α(t); rt) ⊂ U y define la cubierta abierta dela traza de α dada por O = (B (α(t); rt))t∈[0,1] . Utiliza que la traza de α es compacto para encontrar t1, . . . , tNtales que (B (α(ti); rti ))i=1,...,N cubre α([0, 1]).

( 5.59 ) Proporcione un ejemplo de una función f : A ⊂ V → R, con U abierto y dim V ≥ 2, tal que Df (v) = 0para todo v ∈ U y f no sea constante en U.

( 5.60 ) Sea f : V →W tal que ‖f (u)− f (v)‖ ≤ ‖u − v‖2 para todo u y todo v en V. Entonces f es constante.Sugerencia: demuestra que Df (v) = 0 para todo v ∈ V.

( 5.61 ) Sea fi : (ai, bi)→W diferenciable para i = 1, . . . , N. Sea

f (x1, . . . , xN ) =N∑i=1

fi(xi).

Entonces F es diferenciable. Expresa a la derivada de f como suma de las derivadas de fi.

( 5.62 ) Sea F : R2 → R3 dada por

F (x, y) = (sinx cos y, cosx siny, exp(x + y)).

Encuentra DF (P) para P ∈ R2.

( 5.63 ) Sean f, g : R→ R dos funciones diferenciables. La función F : R2 → R2 dada por

F (x, y) =

Ñf (x + g(y)), g(x + y)

y∫x

f (t)dt

ées diferenciable en todo R2 y encuentra su derivada en un punto P ∈ R2, arbitrario.

( 5.64 ) Encuentra el plano tangente a F en P = (1, 1,−1) donde F (x, y, z) = (x + yz, x2 − xz).

( 5.65 ) Sea T : Rn → Rm una trasformación lineal. El plano tangente a T en P es T. Interprete esto cuando Tes una función de R en R (esto es, T representa una lineal recta).

( 5.66 ) Encuentra el plano tangente en (0, 1, 1) a la superficie en R3 definida por la ecuación x2 + y2 − z2 = 0.

( 5.67 ) Sea S la superficie definida por la ecuación 3x2 + 2y2 − z = 4. Encuentra el plano tangente a S en(−1, 1, 9).

( 5.68 ) Sea S2 la esfera unitaria en R3. Encuentra su plano tangente en

Ç1√2, 13 ,

√7

3√

2

å.

( 5.69 ) Sea f : R2 → R una función diferenciable. Supón que Pc es el plano en R3 descrito por la ecuaciónz = c y que f ∩Pc es una traza descrita por una curva suave. En este caso, demuestre que si α parametriza a latraza f ∩ Pc entonces Df (P)α′(t) = 0, donde α(t) = P.

174

5.12. Ejercicios.

( 5.70 ) Una función f : V1 × . . .× Vn →W se denomina multilineal («n-lineal» cuando tiene n argumentos) sipara cualquier vector (v1, . . . , vn) ∈ V1 × . . .× Vn y cualquier índice i ∈ 1, . . . , n se cumple que la función

ui 7Ï f (v1, . . . , vi−1, ui, vi+1, . . . , vn)

es lineal de Vi a W. Demuestra que si f es multilineal entonces es diferenciable. También encuentra su derivadaen un punto arbitrario. Finalmente, encuentra la derivada de la función det : Rn × · · · ×Rn → R, que dados losn vectores A1, . . . , An ∈ Rn regresa el determinante de la matriz cuyas filas son A1, . . . , An.Sugerencia: trata de imitar la demostración de (5.7.6.1). Para esto, deberás probar que existe una constantec > 0 tal que

‖f (v1, . . . , vn)‖ ≤ c ‖v1‖ . . . ‖vn‖ .Aplica inducción intentando repetir la idea de (5.7.6.2). Para evitar problemas, define la norma en V1 × . . .× Vncomo ‖(v1, . . . , vn)‖ = max

1≤i≤n‖vi‖ .

( 5.71 ) Considera V y W dos espacios normados con sendas normas ‖‖Vy ‖‖W . Demuestra que la norma enLin (V,W ) dada por (5.6.2) puede definirse por

‖L‖Lin(V,W ) = sup‖v‖V≤1

‖Lv‖W = sup‖v‖V=1

‖Lv‖W .

( 5.72 ) Con las notaciones de (5.7.6.2), demuestra que B 7Ï φ es un isomorfimos entre los espacios vectorialesBil(W1,W2;U) y Lin (W1,Lin (W2, U)) . Considera la norma en Bil(W1,W2;U) generada por este isomorfismoy (5.6.2). Sea ‖‖ tal norma. Demuestra que

‖B‖ = ınfc > 0|∀(w1, w2) ∈W1 ×W2, ‖B(w1, w2)‖U ≤ c ‖w1‖W1‖w2‖W2

.

Salvo que se diga lo contrario, esta será siempre la norma en el espacio de transformaciones bilineales.

( 5.73 ) Con las notaciones de (5.72), demuestra que

‖B‖ = sup‖w1‖W1

≤1,‖w2‖W2≤1‖B(w1, w2)‖U = sup

‖w1‖=1,‖w2‖=1‖B(w1, w2)‖U .

( 5.74 ) Considera tres espacios vectoriales normados de dimensión finita U, V y W, en todos se denotará por ‖‖a su norma respectiva. Considera la función Φ : Lin (V,W )× Lin (U,V )→ Lin (U,W ) dada por Φ(T, S) = TS.Demuestra que ‖Φ‖ ≤ 1.Sugerencia: demuestra primero que ‖ST‖ ≤ ‖S‖ ‖T‖ , esto es consecuencia directa de algún teorema del texto,¿cuál?

( 5.75 ) Más generalemente que en (5.72), considera n + 1 espacios vectoriales normados V1, . . . , Vn y W. Entodos lados se denotará por ‖‖ a la norma correspondiente. Define V = V1 × . . .× Vn y E = Mul(V;W ) como elconjunto de las transformaciones multilineales de V a W. Entonces

1. la función ‖(v1, . . . , vn)‖ =n∑i=1‖v‖i define una norma en V; este inciso no influirá en los demás.

2. Para cada M ∈ E existe un número c > 0 tal que para cualquier vector (v1, . . . , vn) ∈ V se cumple que

‖M(v1, . . . , vn)‖ ≤ c ‖v1‖ . . . ‖vn‖ .

3. La función‖M‖ = ınfc > 0|∀(v1, . . . , vn) ∈ V, ‖M(v1, . . . , vn)‖ ≤ c ‖v1‖ . . . ‖vn‖

define una norma en E. Esta será la norma con la que siempre se trabajará en el espacio de transformacionesmultilineales.

175


4. La norma se puede caracterizar de las siguientes dos formas

‖M‖ = sup‖v1‖≤1,...,‖vn‖≤1

‖M(v1, . . . , vn)‖ = sup‖v1‖=1,...,‖vn‖=1

‖M(v1, . . . , vn)‖ .

176

Capítulo 6

• Las derivadas de una función.

En este capítulo se desarrollará parte de la teoría clásica de derivación. Las demostraciones aquíexpuestas se deducirán de consideraciones sencillas. Se demostrará una condición suficiente de di-ferenciabilidad y se ilustrará con algunos ejemplos los porqués de la inconveniencia de utilizar a lasderivadas parciales como definición de derivada. También se desarrollarán métodos de derivación par-cial utilizando ampliamente la regla de la cadena, (5.7.3).

§ 6.1. Derivadas en direcciones.La noción de derivada en direcciones es simple. Se supone que se está sobre una superficie S y

se quiere encontrar la pendiente de esta cuando se realiza una traslación sobre ella a través de ciertadirección. Esto es, dada f : A ⊂ V →W y α : I ⊂ R→ A una curva tal que α(0) = v, la razón de cambioen v sobre la superficie definida por f a través de la curva α es la derivada. Esto conduce a la siguientedefinición.

( 6.1.1 ) Sea f : A ⊂ V →W y α : I ⊂ R→ A, tal que α(0) = v. Se define la pendiente de f en v a través dela curva α como

Dαf (v) = lımh→0

(f α)(h)− (f α)(0)h .

A las pendientes Dαf (v) se les denomina de manera genérica como derivadas en direcciones.

En virtud de esto, si se define g(t) = f (α(t)) entonces Dαf (v) = g ′(0), aún cuando f no sea diferen-ciable en α(0).

( 6.1.2 ) Si f es diferenciable en v y α es diferenciable en 0 entonces

Dαf (v) = Df (v)α′(0).

Lo que es inmediato de la regla de la cadena (5.7.3). Esta igualdad puede no ser muy útil todavía, ya que es relativamente tedioso encontrar Df (v) .En los ejercicios se dará una interpretación geométrica intuitiva de la derivada de f en v a través

de la curva α.

( 6.1.3 ) Sea f : R3 → R dada por f (x, y, z) = expÅ‖(x, y, z)‖

2

ã. Encuentra la razón de cambio de f es P a

través de la curva α, Dαf (P) , donde P =Å 1√

2, 0,− 1√

2

ãy α : R→ R3 está dada por α(t) = (sin t, 0, cos t).

177

Capítulo 6. Las derivadas de una función.

Como α(0) 6= 0, se debe reparametrizar α con algún cambio de parámetro u tal que (α u)(0) = P.Observa que 1√

2= sin 3π

4 = − cos 3π4 . Se toma u(t) = t − 3π

4 entonces (α u)(0) = P. Sea β = α u

entonces (f β)(t) = expÇ√

(sinu(t))2 + (cosu(t))22

å= e 1

2 . Por lo tanto, (f β)′(0) = 0. Note que α está

embebida en S2 por lo que f α es constante.

( 6.1.4 ) Sean f (x, y) = x2+2xy y α(t) = 1t (sin 2πt, cos 2πt). Encuentra la razón de cambio de f en P = (0,−2)

en la dirección de α.

Observa que αÅ1

2

ã= P. Es fácil ver que si se reparametriza α por u(t) = t − 1

2 entonces la repa-rametrización satisface la definición de derivada en direcciones. Sin embargo, de acuerdo al ejercicio(6.4) se tiene que Dαf (P) = (f α)′

Å12

ã. Observa que

(f α)(t) = 1t2((sin 2πt)2 + 2 sin 2πt cos 2πt

)= 1t2((sin 2πt)2 + sin 4πt

).

De esta forma,

(f α)′(t) = 1t2 (4π sin 2πt cos 2πt + 4π cos 4πt)− 2

t3((sin 2πt)2 + sin 4πt

).

Por lo que, (f α)′Å1

2

ã= 16π. Finalmente, Dαf

Å12

ã= 16π.

§ 6.2. Derivadas parciales en Rn.Las derivadas parciales que ahora se definen son un caso particular de las derivadas en direcciones.

Será conveniente primero definir las derivadas direccionales para después dar paso a las derivadasparciales. Las derivadas direccionales se definen como la derivada de f en v en la dirección α en elcaso especial en que α es una recta. Se recuerda que para que una curva represente una recta hande existir dos vectores constantes v y u, con u 6= 0, tales que α(t) = v + tu. Para el caso en que u esunitario, se tiene que la curva α está parametrizada por longitud de arco. Luego, la derivada direccionalde f en v a través de α representa la razón de cambio de f en v en dirección u.

( 6.2.1 ) Sean f : A ⊂ V →W y u ∈ V unitario. Sea α(t) = tu + v. Se define la derivada direccional de f en ven dirección u como

Duf (v) = lımh→0

f (v + hu)− f (v)h .

Nota el cambio de α por u en el símbolo Duf (v) . Se ha hecho esto pues se prefiere hacer notar ladependencia de u sobre la de α.

Ya con esta definición es fácil definir las derivadas parciales, las cuales se dan, por lo pronto, paraRn.

( 6.2.2 ) Se define la derivada parcial de F : U ⊂ Rn → Rm en P respecto del k-ésimo eje coordenado comoDkF (P) = DekF (P) .

¿Cómo se calculan las derivadas parciales? Una manera sencilla de pensar a la derivada parcialk-ésima de F : U ⊂ Rn → Rm en el punto P es la siguiente. Se considera la curva g : prk(U)→ R dadapor

g(x) = F (a1, . . . , ak−1, x, ak+1, . . . , an).

178

6.2. Derivadas parciales en Rn.

Entonces, la derivada parcial k-ésima de F en P = (p1, . . . , pn) es la derivada de g en prk(P). En efecto,por definición, se tiene que

DkF (P) = lımh→0

F (P + hek)− F (P)h

= lımh→0

F (p1, . . . , pk−1, pk + h, pk+1, . . . , pn)− F (P)h

= lımh→0

g(pk + h)− g(pk)h

= lımh→0

g(prk(P) + h)− g(prk(P))h = g ′(prk(P)).

Por lo que el modo más fácil de calcular la derivada parcial k-ésima de F en P es tomar la derivadaordinaria deR pensando que F sólo es función de su k-ésimo argumento. Esto es, pensar que todos losargumentos, salvo el k-ésimo, son constantes. Por ejemplo, se considera la función f : R2 → R definidasegún f (x, y) = x2 + 2xy entonces D1f (a, b) se calcula al derivar f como función de x y considerandotodo lo demás constante y después evaluar esta derivada en (a, b). De este modo, D1f (a, b) = 2a+ 2b.Análogamente, si f (x, y, z) = sin(xy) + z2 entonces D1f (a, b, c) = b cos(ab) y D3f (a, b, c) = 2c.

Resulta evidente que las propiedades que satisfacen las derivadas en direcciones las satisfacen porigual las derivadas parciales. Adicionalmente, se tiene la siguiente propiedad.

( 6.2.3 ) Sea f : A ⊂ V → W diferenciable en v. Sea α(t) = tu + v, donde u ∈ V es un vector arbitrarioentonces Dαf (v) existe y además, Dαf (v) = Df (v)u.

De la regla de la cadena (5.7.3),

Dαf (v) = D[f α] (0) = Df (α(0)) Dα (0) .

Pero α(0) = v y Dα (0) = α′(0) = u. De este modo, Dαf (v) = Df (v)u. Con la propiedad previa ya es posible dar una expresión general para la matriz asociada a una

función A ⊂ Rn → Rm. Para esto es necesario recordar que en el caso de transformaciones linealesde T : Rn → Rm se cumple que TX = [T]X pues X = [X] en las coordenadas canónicas de Rn.

( 6.2.4 ) Sea F = (f1, . . . , fm) : A ⊂ Rn → Rm diferenciable en P ∈ ÛA y se supone que M es la matriz deDF (P) respecto a las bases canónicas de Rn y Rm. Entonces, si ai,j es la entrada (i, j) de M se cumple queai,j = Djfi (P) .

Sea (e1, . . . , en) la base canónica de Rn. Entonces,

Mek =

a1,1 a1,2 . . . a1,n...

.... . .

...am,1 am,2 . . . am,n

0...1...0

=

Öa1,k

...am,k

è.

Por otro lado, según (6.10)

DF (P) ek = DkF (P) = (Dkf1 (P) , . . . ,Dkfm (P)).

179


Por lo tanto, se tiene que la k-ésima columna de M viene dada porÖa1,k

...am,k

è=

ÖDkf1 (P)

...Dkfm (P)

è.

De este modo, la matriz de la derivada de F en P respecto de las bases canónicas de Rn y Rm es

A =

D1f1 (P) · · · Dnf1 (P)...

. . ....

D1fm (P) · · · Dnfm (P)

.Que es exactamente lo que se afirmó.

Nota que en particular DiF (P) es la i-ésima columna de la matriz que representa a DF (P) respectoa las bases canónicas de Rn y Rm.

( 6.2.5 ) Sea F : A ⊂ Rn → Rm diferenciable en P. Entonces, todas las derivadas parciales de F en P existen.

( 6.2.6 ) Sea F : A ⊂ Rn → Rm diferenciable en P. Entonces, para cualquier X = (x1, . . . , xn) se cumple que

DF (P)X =n∑i=1

xiDiF (P) .

La matriz que representa a DF (P) es un elemento de Matm×n (R) . Esta matriz puede existir aúncuando F no sea diferenciable en P. Esto es, el recíproco de (6.2.5) es falso. Por ejemplo, considera lafunción

f (x, y) =ß

1 si xy 6= 00 si xy = 0.

Entonces, como f restringida a los ejes coordenados es la función cero, sus derivadas parciales existenen el origen y valen cero. Obviamente f no es continua en el origen, por lo que tampoco es diferenciableahí (5.7.2).

Conviene entonces definir la matriz M cuya entrada (i, j) es Djfi (P) (observa el intercambio deíndices). Cabe destacar que esta definición solo aplica para el caso de funciones de A ⊂ Rn a Rm.

( 6.2.7 ) Sea F = (f1, . . . , fm) : A ⊂ Rn → Rm. Si existen todas las derivadas parciales de F en P ∈ A, se definela matriz jacobiana de F en P como

JF (P) =

D1f1 (P) · · · Dnf1 (P)...

. . ....

D1fm (P) · · · Dnfm (P)

.

z 6.2.1 Ejemplos.

( 6.2.8 ) Calcula todas las derivadas parciales de F : R2 → R2 en P = (π, 0), donde

F (x, y) =Å

sinx cos(x + y), 1− xy2 + 1

ã.

180

6.2. Derivadas parciales en Rn.

Para calcular D1F (P) se debe pensar a esta como una curva que es función únicamente de su primerargumento. Se tiene que

D1F (x, y) =Å

cosx cos(x + y)− sinx sin(x + y),− 1y2 + 1

ã.

Por lo tanto, D1F (P) = (1,−1). Ahora bien, si se piensa a F como una curva solo definida para susegundo argumento se ve que

D2F (x, y) =Å− sinx sin(x + y), 2y(x − 1)

(y2 + 1)2

ã.

Por lo tanto, D2F (P) = (0, 0).

( 6.2.9 ) Calcula la matriz Jacobiana de F (x, y, z) = (ex+yz, sin(x − z)) en P = (1, 0,−1).

Se tiene que D1F (x, y, z) es la derivada de F pensada como una curva definida únicamente para suprimer argumento. De este modo,

D1F (x, y, z) = (ex+yz, cos(x − z)).

Evaluando en P queda que, D1F (P) = (e, cos(2)). Análogamente se obtiene que

D2F (x, y, z) = (zex+yz, 0)

y queD3F (x, y, z) = (yex+yz,− cos(x − z))

Luego, D2F (P) = (−e, 0) y D3F (P) = (0,− cos(2)). Por lo tanto,

JF (P) =ï

e −e 0cos(2) 0 − cos(2)

òque es lo que se quería.

z 6.2.2 Sobre la definición de derivada.Ahora se dará otra motivación más para la definición técnica de derivada (5.6.5). Algunos autores

prefieren la siguiente definición de que F sea diferenciable en P.Definición alternativa de diferenciabilidad: Sea F : U ⊂ Rn → R con U un abierto de Rn. Sedice que F es diferenciable en P si todas las derivadas parciales de F existen en P y además, latransformación lineal TH = JF (P)H es la única que satisface

lımH→0

‖F (P +H)− F (P)− JF (P)H‖‖H‖ = 0.

A continuación se hacen varias observaciones ante la anterior definición.

Primero: esta definición siempre acarrea consigo un problema, el cual, por experiencia, es difícil deeliminar. Si se introduce primero esta definición se piensa que si las derivadas parciales unafunción existen en un punto particular entonces la función debe ser diferenciable en este punto.Sin embargo, se ha visto que existe una función cuyas parciales existen en un punto y, pese a esto,la función ni siquiera es continua en el punto.

181


Segundo: si T existe de acuerdo a (5.6.5) entonces JF (P) existe, por lo que es redundante pedir laexistencia de JF (P) .

Tercero: ha sido visto que la derivada, tal como fue definida en este texto, permite demostrar que esúnica, por lo que también resulta no razonable solicitar a la definición la unicidad.

Cuarto: todas las propiedades demostradas de la derivada no se pueden alcanzar a apreciar con estadefinición. Esto resulta del hecho que las derivadas parciales y la derivada ordinaria de R son elmismo concepto, luego no se entiende que existe un profundo cambio conceptual.

Quinto: el pedir que U sea abierto no es necesario, siempre basta trabajar con punto interiores en eldominio.

Sexto: por último, todas estas propiedades fueron demostradas a partir de (5.6.5). Luego, estas sonrazones suficientes como para no definir la derivada de una función F en un punto P, como vienedada en el arriba. De cualquier forma, se pide al lector que demuestre que la definición del arribay la dada en (5.6.5) son equivalentes.

z 6.2.3 Regla de la cadena para las derivadas parciales en Rn.Ahora hay interés en escribir la regla de la cadena en términos de las derivadas parciales. Se

necesitará un poco de teoría sobre transformaciones lineales. Se recuerda que si V y W son dosespacios vectoriales reales, se define Lin (V,W ) como el conjunto de las transformaciones linealescontinuas con dominio V y contradominio en W.

( 6.2.10 ) Se sigue directamente de la definición que Lin (U,V ) es un espacio vectorial real y que si U y V sonde dimensión finita entonces dim Lin (U,V ) = dim Udim V.

En efecto, existen en U y V bases ordenadas, por ejemplo BU y BV , toda transformación lineal quedaentonces determinada por su matriz respecto a estas bases. Estas matrices tienen dim Udim V entradasy de aquí el teorema.

Nota que en el caso en que U = Rn y V = R entonces Lin (U,V ) = (Rn)∗, definido en el primercapítulo.

( 6.2.11 ) Sean U, V y W tres espacios vectoriales reales de dimensión finita. Se supone que P = (u1, . . . , un),Q = (v1, . . . , vm) y R = (w1, . . . , wp) son sendas bases ordenadas de U, V y W. Sean S ∈ Lin (U,V ) yT ∈ Lin (V,W ) . Entonces [TS]RP = [T]RQ[S]QP .

Sea (e1, . . . , ep) la base canónica de Rp. Se recuerda que se recuerda que la matriz [TS]RP es la únicatal que para todo u ∈ U

[TS]RP [u]P = [TSu]R.

Entonces,[T]RQ[S]QP [u]P = [T]RQ[Su]Q = [TSu]R,

por unicidad, [TS]RP = [T]RQ[S]QP . De esto, se puede derivar la regla de la cadena para derivadas parciales. Asimismo, se puede derivar

la matriz asociada a la derivada de una composición. La demostración del siguiente hecho es inmediatadel teorema anterior.

( 6.2.12 ) Sean f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rp tales que f es diferenciable en P y que g es diferenciableen Q = f (P). Entonces, la matriz de la transformación lineal D[g f ] (P) con respecto a las bases canónicas deRn y de Rp es J[g f ] (P) = Jg (f (P)) Jf (P) .

182

6.3. Las derivadas parciales en general.

( 6.2.13 ) Se supone que f : Rn → Rm y que g = (g1, . . . , gp) : Rm → Rn, son diferenciables en P y f (P),respectivamente. Entonces, para i = 1, . . . , n,

Di[g f ] (P) =m∑k=1

Dkf (g(P)) Dkgi (P) .

§ 6.3. Las derivadas parciales en general.

En (5.7.4) se consideró el caso de funciones de V a W1× . . .×Wm. En la sección pasada se consideróa funciones de Rn a Rm. Ahora se generalizará esto y se considerará funciones de V1 × V2 a W1 ×W2.Así mismo, se verá una expresión general para la matriz asociada dadas bases fijas. Conviene entoncestrabajar un poco con el espacio vectorial producto V1 × V2.

( 6.3.1 ) Sean (V1, ‖‖1) y (V2, ‖‖2) dos espacios vectoriales normados reales. Entonces, la función ‖(v1, v2)‖ =max‖v1‖1 , ‖v2‖2 es una norma en V = V1 × V2. Con esta norma se satisface que B ((v1, v2); r) = B1 (v1; r)×B2 (v2; r) , en donde el subíndice denota a qué espacio pertenece la bola. Mientras no se especifique lo contrario,siempre se supondrá que la norma en el espacio producto es la expuesta aquí.

En efecto, se verificará que ‖‖ satisface la definición de norma (1.4.2). Entonces, sea (v1, v2) ∈ Vcualquier elemento. Se cumple que

1. ‖(v1, v2)‖ ≥ ‖v1‖1 ≥ 0;

2. ‖v1‖1 , ‖v2‖2 ≤ ‖(v1, v2)‖ . Por lo que si ‖(v1, v2)‖ = 0 entonces v1 = 0 y v2 = 0, mostrando que(v1, v2) = (0, 0).

3. Si λ ∈ R,

‖λ(v1, v2)‖ = ‖(λv1, λv2)‖ = max‖λv1‖1 , ‖λv2‖2= max|λ| ‖v1‖1 , |λ| ‖v2‖2 = |λ|max‖v1‖1 , ‖v2‖2= |λ| ‖(v1, v2)‖ .

4. Sea (u1, u2) ∈ V1 × V2 cualquiera. Entonces,

‖(u1, u2) + (v1, v2)‖ = max‖u1 + v1‖1 , ‖u2 + v2‖2 ≤ max‖u1‖1 + ‖v1‖1 , ‖u2‖2 + ‖v2‖2≤ max‖u1‖1 , ‖u2‖2+ max‖v1‖1 , ‖v2‖2 = ‖(u1, u2)‖+ ‖(v1, v2)‖ .

Finalmente, por definición

B ((v1, v2); r) = (u1, u2) ∈ V1 × V2| ‖(u1, u2)− (v1, v2)‖ < r= (u1, u2) ∈ V1 × V2| ‖(u1 − v1, u2 − v2)‖ < r= (u1, u2) ∈ V1 × V2| ‖u1 − v1‖1 , ‖u2 − v2‖2 < r= B1 (v1; r)× B2 (v2; r)

Lo que concluye la demostración.

183


Observación: es inmediato que si V = V1 ×V2 y pr1 : V → V1 es la proyección canónica al primer ejeentonces pr1 es una función abierta. Pues si A es abierto entonces para cada v = (v1, v2) ∈ A existe unradio r > 0 tal que B (v; r) ⊂ A. Como pr1(B (v; r)) = B1 (v1; r) ⊂ pr1(A), se ve que pr1 es abierta.

Ahora se define el importante concepto de sección.

( 6.3.2 ) Sean A ⊂ V1 × V2 y v = (v1, v2) ∈ A. Se define la sección de A respecto al segundo eje en elpunto v como el conjunto A2(v) = pr2

(A ∩

[v1 × V2

])= u2 ∈ V2|(v1, u2) ∈ A. Análogamente se define

A1(v) = u1 ∈ V1|(u1, v2) ∈ A.

En particular, si v = (v1, v2) ∈ A es un punto interior, entonces v2 es un punto interior de A2(v) pues,al ser la función pr2 abierto, pr2 manda el interior de A dentro del interior de pr2(A). Observa quepuede suceder que v2 sea interior de A2(v) sin que v sea interior de A.

Ahora se definen las derivadas parciales de una función f : V1 × V2 →W.

( 6.3.3 ) Sean V1, V2 yW tres espacios vectoriales reales de dimensión finita. Sean A ⊂ V1×V2 y v = (v1, v2) ∈ ÛA.Supón que f : A→W es una función cualquiera. Se definen la derivada parcial respecto del primer factor de f env como la derivada de la función f1 : A1(v)→W, dada por f1(u1) = f (u1, v2), en el punto v1. Análogamente, sedefine la derivada parcial respecto del segundo factor de f en v como la derivada de la función f2 : A2(v)→W,dada por f2(u2) = f (v1, u2), en el punto v2. Estas derivadas se denotarán por D1f (v1, v2) ∈ y D2f (v1, v2) ,respectivamente.

Observación: esta definición coindice con (6.2.2) cuan V1 = V2 = R y W = Rm. Pues en este caso,A1(v) contiene a un intervalo de la forma (v1 − r, v1 + r) y entonces la derivada de la función f1 en elpunto v1 es

lımh→0

f (v1 + h, v2)− f (v1, v2)h = D1f (v1, v2) .

( 6.3.4 ) Sea f : A ⊂ V1×V2 →W una función diferenciable en v = (v1, v2). Entoces, D1f (v) y D2f (v) existeny satisfacen que

Df (v) (h1, h2) = D1f (v)h1 + D2f (v)h2.

Existe un r > 0 tal que B (v; r) ⊂ A. En virtud de (6.3.1), B (v; r) = B1 (v1; r) × B2 (v2; r) . Además, laderivada de f y de f

∣∣∣B(v;r)

en v coinciden, por lo que se puede suponer que A = B (v; r) . De este modo,

f1 = f (Π1 + (0, v2)

)y f2 = f

((v1, 0) + Π2

),

en donde Π1 y Π2 son sendas funciones de V1 y V2 a V1×V2 dadas por Π1(u1) = (u1, 0) y Π2(u2) = (0, u2).Como Π1 y Π2 son transformaciones lineales, se sigue que DΠ1 (u1) = Π1 y DΠ2 (u2) = Π2. En virtudde la regla de la cadena (5.7.3), las funciones f1 y f2 son diferenciables; equivalentemente, las derivadasparciales de f existen. Además, se demostró que

D1f (v)h1 = Df1 (v1)h1 = D(f (Π1 + (0, v2)

))(v1)h1

= Df (v1, v2) DΠ1 (v1)h1 = Df (v) Π1(h1)= Df (v) (h1, 0)

y, análogamente,D2f (v)h2 = Df (v) (0, h2).

Sumando estas derivadas parciales, se encuentra que

Df (v) (h1, h2) = Df (v) (h1, 0) + Df (v) (0, h2) = D1f (v)h1 + D2f (v)h2.

184


Que es lo que se había afirmado. Ahora se supone que B1 = (u1, . . . , un) y B2 = (v1, . . . , vm) son dos bases ordenadas de V1 y V2,

respectivamente, y que C es una base ordenada de W. Dada una función f : V1 × V2 → W, ¿quién oqué forma toma la matriz de f respecto a la «concatenación» B = (u1, . . . , un, v1, . . . , vm) de las basesordenadas B1 y B2 y C? Esto es más o menos inmediato de la propiedad previa. Observa que el vector(h1, h2) posee coordenadas en B dadas por [(h1, h2)]B = ([h1]B1 , [h2]B2 ) y en virtud de (6.3.4)

[Df (v) (h1, h2)]C = [D1f (v)h1 + D2f (v)h2]C = [D1f (v)h1]C + [D2f (v)h2]C= [D1f (v)]CB1

[h1]B1 + [D2f (v)]CB2[h2]B2 .

Resultan entonces tentador reescribir la última expresión como sigue,

[D1f (v)]CB1[h1]B1 + [D2f (v)]CB2

[h2]B2 =[[D1f (v)]CB1

[D2f (v)]CB2

]Å[h1]B1

[h2]B2

ã,

en donde los cero que aparecen dentro de la matriz más grande son matrices. Finalmente, usando que[(h1, h2)]B = ([h1]B1 , [h2]B2 ) y que la matriz

[[D1f (v)]CB1

[D2f (v)]CB2

]posee las dimensiones correctas, se

encuentra, por la unicidad de las matrices dadas bases fijas, que la matriz asociada a las bases B y Cde Df (v) es la matriz

[Df (v)]CB =[[D1f (v)]CB1

[D2f (v)]CB2

].

Esto se resume en la siguiente propiedad. Para el siguiente teorema se utilizará (5.7.4) y el siguienteconvenio; si N1 y N2 son dos matrices en Matm×n1 (R) y Matm×n2 (R) entonces la «matriz de concatenaciónpor filas» es la matriz N = [N1, N2] en Matm×n1+n2 (R) . Por ejemplo, si se desea evaluar a N en el vector(x, y) ∈ Rn1+n2 entonces se escribirá

NÅxy

ã= N1x +N2y ∈ Rm.

Anpalogamente, la «concatenación por columnas» de las matrices M1 ∈Matm1×n (R) y M2 ∈Matm2×n (R)

es la matriz M =ïM1M2

ò∈Matm1+m2×n (R) dada por

Mx =ÅM1xM2x

ã;

recuerda que todo se piensa siempre como vectores columna. Con este convenio y la construcciónprevia, el siguiente resultado es inmediato1.

( 6.3.5 ) Sean V1, V2,W1 y W2 cuatro espacios vectoriales reales de dimensión finita. Supón que f = (f1, f2) :A ⊂ V1 × V2 → W1 ×W2 es diferenciable en v = (v1, v2). Sean B1, B2, C1 y C2 sendas bases ordenadas deV1, V2,W1 y W2. Supón que B es la concatenación de B1 y B2 y que C aquella de C1 y C2. Entonces, la matrizasociada a Df (v) respecto de las bases B y C toma la forma general

[Df (v)]CB =ñ[D1f1 (v)]C1

B1[D2f1 (v)]C1

B2

[D1f2 (v)]C2B1

[D2f2 (v)]C2B2

ô.

z 6.3.1 Ejemplos.A continuación se exponen algunos ejemplos, estos con el fin de aliviar al lector de tanta tecnicidad.

1Queda a cargo del lector notar el porqué de la inmediatez de dicho resultado.

185


( 6.3.6 ) Considera la funciónx + yx2 + 1 . Encuentra la matriz asociada a la derivada de esta función en un punto

(x, y) cualquiera.

Primeramente se recuerda que siempre se considerará, salvo especificación explícita, las basescanónicas de cada Rn. Entonces, se puede utilizar (6.2.3) o (6.3.5). Por la simplicidad de la funciónoriginal, conviene utilizar (6.2.3).

Entonces, se calculan las derivadas parciales. Entonces, sea f la función en cuestión. Se sigue que,tras un cálculo elemental,

D1f (x, y) = 1− 2xy − x2

(1 + x2)2 y D2f (x, y) = 11 + x2 .

Por lo tanto,

[Df (x, y)] =ñ

1− 2xy − x2

(1 + x2)2 , 11 + x2

ôLo que concluye este ejemplo.

( 6.3.7 ) Sea f (x, y, u, v) = u sinxy + ex+uv . Encuentra Df (x, y, u, v) .

Aquí se ilustrará el uso de (6.3.5). Sean V1 = R2 y V2 = R2. Entonces, se definen as funcionesf1 = f

(Π1 + (0, 0, u, v)

)y f2 = f

(Π2 + (x, y, 0, 0)

). Las derivadas asociadas son,

Df1 (x, y) = (yu cosxy + ex+uv , xu sinxy)

yDf2 (u, v) = (sinxy + vex+uv , uex+uv) .

En virtud de (6.3.5), se cumple que

[Df (x, y, u, v)] =[yu cosxy + ex+uv xu sinxy sinxy + vex+uv uex+uv] ,

que obviamente coincide con la matriz que se obtendría de (6.2.3).

Observación: para evitar sobre notación, se escribirá Df (P) tanto para la matriz como para la trans-formación lineal.

( 6.3.8 ) Sea F = (f1, . . . , fm1 , g1, . . . , gm2 ) : A ⊂ Rn1 × Rn2 → Rm1 × Rm2 una función diferenciable enP = (p, q). Demuestra que la matriz asociada a la derivada de F en P no cambia, sin importar si se encuentracon (6.2.3) o con (6.3.5).

En este caso se pondrá V1 = Rn1 , V2 = Rn2 , W1 = Rm1 y W2 = Rm2 . Asimismo, F1 = (f1, . . . , fm1 ) yF2 = (g1, . . . , gm2 ).

Según (6.2.3) se debe cumplir que

DF (P) =

D1f1 (P) . . . Dn1f1 (P) Dn1+1f1 (P) . . . Dn1+n2f1 (P)... . . .

......

. . ....

D1fm1 (P) . . . Dn1fm1 (P) Dn1+1fm1 (P) . . . Dn1+n2fm1 (P)D1g1 (P) . . . Dn1g1 (P) Dn1+1g1 (P) . . . Dn1+n2g1 (P)

.... . .

......

. . ....

D1gm2 (P) . . . Dn1gm2 (P) Dn1+1gm2 (P) . . . Dn1+n2gm2 (P)

.

186


Intencionalmente se separó la matriz previa en cuatro bloques, se demostrará que las derivadas parcialesposeen por matriz asociada el bloque correspondiente. Solo se ilustrará el caso de φ = F2

∣∣∣A1(P)

. Paraempezar, nota que

φ(x1, . . . , xn1 ) = F2(x1, . . . , xn1 , q) = (g1(x1, . . . , xn1 , q), . . . , gm1 (x1, . . . , xn1 , q)).

Entonces, según (6.2.3) se cumple que

D1F2 (P) = Dφ (p) =

D1g1 (p, q) . . . Dn1g1 (p, q)...

. . ....

D1gm1 (p, q) . . . Dn1gm1 (p, q)

,que es lo que se quería mostrar.

( 6.3.9 ) Sean V yW dos espacios vectoriales y f : A ⊂ V →W una función diferenciable en v. Supón que P y Qson bases ordenadas de V y W, respectivamente. Considera los isomorfismos de coordenadas y la transportaciónde φ = [ ]Q f [ ]−1

P de f. Sea v ∈ V y X = [v]P . Entonces, una condición necesaria y suficiente para que φ seadiferenciable en X es que f sea diferenciable en v. En este caso, la derivada de φ en X es la transportación de laderivada de f en v; esto es, Dφ (X) = [ ]QDf (v) [ ]−1

P .

Los cambios de coordenadas son transformaciones lineales invertibles, todo es consecuencia inme-diata de la regla de la cadena (5.7.3).

( 6.3.10 ) Sea Vn el espacio de las funciones polinomiales de grado menor o igual que tres. Se denotará por xka la función t 7Ï tk para k ∈ N y por 1 a la función t 7Ï 1. Asimismo, define como W = lin 〈sin, cos, exp〉 .Considera la función f dada por f (a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3) = (a1 + a2) sin− sina1 cos + 2»

a20 + 1

exp .

Responde y demuestra lo siguiente correctamente.

1. La dimensión de W es tres y la base ordenada (sin, cos, exp) se denominará base natural.

2. ¿Es f diferenciable en todo punto de V3? Si f es diferenciable, encuentra su función de derivadas.

3. ¿Cuál es la tranportación de f respecto a las bases naturales de V3 y W? Encuentra la matriz asociada a laderivada de la transportación. ¿Qué relación guardan las entradas de la derivada de la transportación conla derivada de f?

Se reponderá y demostrará cada punto por separado.

1. Se verá que sin, cos, exp es base de W. Por definición de W este conjunto ya genera, porlo que solo se debe demostrar su independencia lineal. Supón entonces que existen constantesk1, k2, k3 ∈ R tales que k1 sin +k2 cos +k3 exp = 0; esto es, para todo t ∈ R se cumple que k1 sin t+k2 cos t + k3 exp(t) = 0. Se pone t = 0 para encontrar k2 + k3 = 0 y t = π para encontrar que−k2 + eπk3 = 0, por lo que k2 = k3 = 0. Tomando t = π

2 se obtiene que k1 = 0. Esto demuestrala independencia lineal.

2. Se utilizará el teorema (6.3.9). Se transporta f. La transportación de f es

φ(a0, a1, a2, a3) =

Ña1 + a2,− sina1,

2»a2

0 + 1

é,

lo cual puede verificarlo el lector él mismo. Ahora, es claro que φ es diferenciable, lo cual se siguede las reglas de diferenciación del capítulo previo. Por lo tanto, f también es diferenciable.

187


3. La transportación de f es φ. Según (6.2.3) la derivada de φ es

Dφ (a0, a1, a2, a3) =

0 1 1 00 − cosa1 0 0

− 2a0

(a2 + 1) 32

0 0 0

.Por lo tanto,

Dφ (a0, a1, a2, a3) (h0, h1, h2, h3) =Çh1 + h2,− cosa1h1,−

2a0

(a2 + 1) 32h0

å.

Por ende, la derivada de f tiene regla de correspondencia,

Df(a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3) (h0 + h1x1 + h2x2 + h3x3)

= (h1 + h2) sin+(− cosa1h1) cos− 2a0

(a2 + 1) 32h0 exp .

La relación fundamental que guardan la derivada de la transportación de f y f es que si se piensaa las bases ordenadas de V y W como bases del tipo canónico de Rn; esto es, que el i-ésimoelemento ordenado de la base de V es la posición i-ésima del los vectores del dominio y el j-ésimo elemento ordenado de la base de W aquella del contradominio entonces se puede pensardirectamente a f como una función de R4 → R3.

§ 6.4. La función de derivadas.

La idea de esta sección es generalizar el concepto de diferenciabilidad. De acuerdo a la definición(5.6.5) se tiene que la derivada ha sido definida de manera local. Esto es, la definición de derivada def en v solo implica condiciones en v o en alguna bola lo suficientemente pequeña centrada en v. Acontinuación se extiende el concepto a una forma global.

Se supone que f : A ⊂ V → W es diferenciable en A. En virtud de (5.6.5), A debe ser un conjuntoabierto. Por ejemplo, toda función polinomial f : Rn → R es diferenciable en todo Rn. Ahora bien,sobre estas condiciones, es natural querer definir como función a la asociación

v 7Ï Df (v)

como una función de A a Lin (V,W ) . Como la derivada es única (5.7.1), resulta que la asignaciónanterior define una función. Se denotará provisionalmente por D a esta nueva función. Entonces, seestá definiendo

D : A→ Lin (V,W ) dada por D(v) = Df (v) .

Por notación, resulta irresistible proponer D = Df.

( 6.4.1 ) Sea f : A ⊂ V →W una función diferenciable. Se define la función Df : A→ Lin (V,W ) como aquellaque a cada punto v ∈ A asocia la derivada de f en v. A esta función se le llamará función de primera derivadade f. Asimismo, si V = V1 × V2, a la asignación v 7Ï Dif (v) , para i = 1, 2, (las cuales existen según (6.3.4)) seles llamará funciones de primeras derivadas parciales respecto al primer o segundo factor, según sea el caso. Estafunción será denotada por Dif : A→ Lin (Vi,W ) .

188

6.4. La función de derivadas.

Observación: cuando V (o Vi) es R entonces Lin (R,W ) posee dimensión dim W. Así que dada unabase ordenada B en W se obtiene que las coordendas [ ]B inducen un isomorfismo entre Lin (R,W ) yMatm×1 (R) . Este último espacio se identifica canónicamente con Rm, por lo que se puede pensar queLin (R,W ) es esencialemente Rm; regresando las coordenadas, se puede pensar que Lin (R,W ) = W ;esto se hará en lo que resta del texto. En el caso de curvas esto es lo que se hacía, dada una curvaf : I ⊂ R → Rm su derivada siempre se escribía como una curva f ′ : I → Rm y no como una funciónf ′ : I → Lin (R,Rm) .

z 6.4.1 Derivadas parciales de orden superior en Rn.Es claro que las derivadas parciales de orden superior serán las derivadas parciales de las funciones

de derivadas parciales. Para motivar su definición se supone que F : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable.Cuando se considera a la función DiF, según la observación previa, se puede suponer que esta tomavalores en Rm. Resulta natural preguntarse por las derivadas parciales de ella.

( 6.4.2 ) Sea F : A ⊂ Rn → W diferenciable. Se define la derivada parcial de segundo orden Di,jF como laderivada parcial de la función DjF : A→W respecto al i-ésimo eje; esto es, Di,jF : A→W es la función dadapor Di,jF (P) = Di[DjF ] (P) .

( 6.4.3 ) Encuentra las derivadas parciales de segundo orden de la función F : R2 → R2 definida según F (x, y) =(x cos y, sinxy).

Ante todo, hay que estar seguro que F es diferenciable, pero este es el caso al ser que cada coor-denada de F solo involucra funciones diferenciables. A continuación se debe encontrar las primerasderivadas parciales de F. Se observa que

D1F (x, y) = (cos y, y cosxy)

y queD2F (x, y) = (−x siny, x cosxy).

Observa que las derivadas parciales también son diferenciables. Ahora se derivaran estas funciones,esto es, para i = 1, 2 se encontrará la matriz Jacobiana de DiF (x, y) . Se encuentran las parciales deestas funciones, esto es, las parciales segundas de F,

D1,1F (x, y) = D1[D1F ] (x, y) = (0,−y2 sinxy)

yD2,1F (x, y) = D2[D1F ] (x, y) = (− siny, cosxy − xy sinxy).

Por otra parte,D1,2F (x, y) = D1[D2F ] (x, y) = (− siny, cosxy − xy sinxy)

yD2,1F (x, y) = D2[D2F ] (x, y) = (−x cos y,−x2 sinxy).

Lo que concluye el ejemplo. Observa que D1,2F = D2,1F. Inductivamente, se puede definir la derivada de orden k-ésimo.

( 6.4.4 ) Sean F : A ⊂ Rn → W y i1, . . . , ik+1 ∈ 1, . . . , n, se dirá que F posee la derivada parcial de orden(k + 1)-ésimo respecto al orden (ik+1, . . . , i1) si la función Dik ,...,i1F : A→W existe y la derivada parcial de estafunción, respecto del eje ik+1, existe según (6.4.2), se define entonces

Dik+1

[Dik ,...,i1F

]= Dik+1,...,i1F.

189


( 6.4.5 ) Calcula D2F y D3,2F, donde F (x, y, z) = (x + y, 2x2 − xyz).

Se observa que D2F (x, y, z) = (1,−xz), por lo que D3,2F (x, y, z) = (0,−y).

( 6.4.6 ) Calcula todas las derivadas parciales hasta de segundo orden de

F (x, y, z) =

Ñz

y∫x

g, sinx cos y, exp(z)

é,

donde g : R→ R es una función diferenciable.

Se procede primero a calcular las derivadas de primer orden. Se observa quey∫x

g =y∫

0

g −x∫

0

g, y

como g es continua, la derivada de t 7Ït∫

0

g existe y es g(t). De este modo, se tiene que

D1F (x, y, z) = (−zg(x), cosx cos y, 0),

D2F (x, y, z) = (zg(y),− sinx siny, 0)

y

D3F (x, y, z) =

Ñ y∫x

g, 0, exp(z)

é.

Se procede ahora a calcular las derivadas parciales de segundo orden de F. Entonces,

D1,1F (x, y, z) = (−zg ′(x),− sinx siny, 0),

D2,1F (x, y, z) = (0,− cosx siny, 0)

yD3,1F (x, y, z) = (−g(x), 0, 0).

Se continúa con las derivas parciales de D2F, en este caso,

D1,2F (x, y, z) = (0,− cosx cos y, 0),

D2,2F (x, y, z) = (zg ′(y),− sinx cos y, 0)

yD3,2F (x, y, z) = (g(y), 0, 0).

Por último, las derivadas parciales de D3F. Calculándolas se obtiene que

D1,3F (x, y, z) = (−g(x), 0, 0),

D2,3F (x, y, z) = (g(y), 0, 0)

yD3,3F (x, y, z) = (0, 0, exp(z)).

Note otra vez que para cualesquier i, j ∈ 1, 2, 3 Di,jF = Dj,iF.

190

6.5. Existencia de la derivada.

§ 6.5. Existencia de la derivada.Hasta ahora se ha podido definir la derivada y encontrar un modo simple de calcularla cuando se

sabe que existe. Lo que se quiere ahora es proceder al revés, esto es, encontrar un método simplepara determinar cuando es que la derivada existe. Aquí es donde jugarán un papel fundamental lasfunciones de diferenciación definidas hasta ahora. Antes de exponer el teorema será bueno analizarlos siguientes ejemplos en Rn, los cuales ilustran algunas cuestiones que la derivada en varias variablesposee que la derivada en una variable no. Cabe destacar que los ejemplos también son válidos enespacios vectoriales, bastaría tomar las coordenadas.

z 6.5.1 Diferenciabilidad de una función no implica continuidad de sus derivadasparciales.

En términos de funciones reales, lo que se va a demostrar es que si una función es diferenciablepuede suceder que su función de derivadas no sea continua2. El siguiente ejemplo ilustra este hecho.

( 6.5.1 ) Sea f : R2 → R definida como

f (x, y) =

x2Åy + sin 1

x

ãsi x 6= 0;

0 si x = 0.

Entonce f es diferenciable en cualquier punto de R2 y que sus derivadas parciales no son continuas en el origen.

Observa que (x, y) ∈ R2 : x = 0 es un conjunto abierto3 de R2. En este conjunto f está defi-nida como composición de funciones diferenciables por lo que es diferenciable. Falta demostrar quef es diferenciable en aquellos puntos donde x = 0. Sea P = (0, y) ∈ R2 entonces para H = (h1, h2)suficientemente pequeño,

f (P +H) = f (h1, y + h2) =

h21

Åy + h2 + sin 1

h1

ãsi h1 6= 0

0 si h1 = 0.

Para utilizar la definición (5.6.5) se debe escribir la expresión anterior como f (P) +TH + ε(H)H, dondeT es lineal y ε toma valores en Lin

(R2,R

)es tal que lım

H→0ε(H) = 0. Esto se puede hacer de varias

formas, por ejemplo

f (P +H) =

ïh1

Åy + sin 1

h1

ã, h2

1

òÅh1h2

ãsi h1 6= 0

0 si h1 = 0..

Pues f (P) = 0 y se está tomando T = 0. Todavía se debe demostrar que

lımH→0

ïh1

Åy + sin 1

h1

ã, h2

1

ò= 0.

Es claro que cuando H → 0, se consigue h21 → 0. Por otro lado,∣∣∣∣h1

Åy + sin 1

h1

ã∣∣∣∣ ≤ |h1|Å|y|+

∣∣∣∣sin 1h1

∣∣∣∣ã ≤ |h1|(|y|+ 1).

2En este caso se estará considerando a la función de derivadas con contradominio Rnm.3Para demostrar esta afirmación se toma la función f (x, y) = x, la cual es evidentemente continua, luego f−1(0) es un

conjunto cerrado. Equivalentemente, su complemento es abierto.

191


Luego, el límite requerido se cumple y, por lo tanto, f es diferenciable si x = 0 y su derivada, en estecaso, es cero.

Ha sido demostrado entonces que f es diferenciable en todo R2. Por lo tanto las derivadas parcialesde f existen en todo R2 (6.2.5). Para la primera derivada parcial, se tiene que considerar por separadolos casos si x = 0 y si x 6= 0. Luego,

D1f (x, y) =

2xÅy + sin 1

x

ã− cos 1

x si x 6= 0;0 si x = 0.

.

Y, análogamente, D2f (x, y) = x2. En este caso se tiene que D1f (x, y) no es continua en x = 0. Esto sesigue del hecho que 2x

Åy + sin 1

x

ães continua en el cero y cos 1

x no lo es. Por lo tanto, una de lasparciales de f no es continua en el origen.

Este ejemplo demuestra que aún cuando un función sea diferenciable en un punto puede sucederque sus derivadas parciales no sean funciones continuas en ese punto. La pregunta que resulta ahoraes, ¿el recíproco es cierto?

z 6.5.2 Continuidad de las parciales de una función no implica su diferenciabi-lidad.

Se ha planteado la pregunta que si una función satisface que sus funciones de derivadas parciales soncontinuas en un punto entonces la función es diferenciable en este punto. La respuesta a esta preguntaes que no, si las funciones DiF son continuas en P no necesariamente se sigue que F sea diferenciableen P. El siguiente ejemplo ilustra este hecho.

( 6.5.2 ) Sea A =(x, x) ∈ R2 : x ≥ 0

y f : R2 → R dada por

f (x, y) =®x 2

3 si (x, y) ∈ A;0 si (x, y) ∈ A.

Las parciales de f son continuas en cero pero f no es diferenciable en cero.

Se verá primero quienes son las parciales de f. Observa que A es cerrado, por lo que A es abierto.En este conjunto f es la función cero, por lo que sus parciales existen y son cero. Si (x, y) ∈ A entonces

lımh→0h 6=0

f (x + h, x)− f (x, y)x = lım

h→0

−x 23

h ,

el cual no existe para x 6= 0. Luego, D1f (0, y) = 0 para cualquier y ∈ R. Por otro lado,

lımh→0

f (x, x + h)− f (x, x)h = lım

h→0

−x 23

h ,

al igual que antes, este límite no existe a menos que x = 0. De este modo, se puede concluir queDom (D1f ) = Dom (D2f ) = A ∪ 0 y D1f = D2f = 0 sobre su dominio. Como las parciales sonconstantes en su dominio, se ha demostrado que estas funciones son continuas.

Se demuestra ahora que f no es diferenciable en cero. Se utilizará (5.6.4), la primera equivalencia.Como las parciales de f en cero son cero, el único candidato para ser derivada de f en cero es latransformación lineal cero (6.2.3). Para demostrar que esta transformación lineal no es la derivada def en cero se debe demostrar que

lımH→0

‖f (H)− f (0)‖‖H‖ 6= 0.

192


Luego, basta demostrar que el límite anterior no existe. Tomando la curva, α(t) = (t, t), para t mayorque cero, se ve que ‖f (α(t))− f (0)‖ = t 2

3 y ‖α(t)‖ =√

2t. Por lo que,

lımt→0

‖f (α(t))− f (0)‖‖α(t)‖ = 1√

2t 13.

Este límite es infinito (púes t > 0), por lo que f no es derivable en el cero. Observa que este ejemplo muestra que f puede tener parciales continuas en un punto y aún así no

ser diferenciable en tal punto. En este ejemplo sucedió que no había una vecindad del origen donde lasparciales existieran en todas partes de dicha vecindad. Es conveniente preguntarse entonces, ¿será quela existencia de las parciales en toda una vecindad alrededor del punto implique la diferenciabilidad?Para bien o para mal, esta tampoco es una condición suficiente para la diferenciabilidad.

z 6.5.3 Existencia de las parciales en todas partes no implica diferenciabilidad.( 6.5.3 ) La función f : R2 → R2 definida según

f (x, y) = xy

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0);0 si (x, y) = (0, 0).

posee derivadas parciales en todo R2, sin embargo, no es diferenciable en el cero.

Para empezar, f es diferenciable en (0, 0) pues es cociente de dos polinomios que no se anulan.Por otro lado, las derivadas parciales de f son, para (x, y) 6= (0, 0)

D1f (x, y) = y(x2 + y2)− 2x2y(x2 + y2)2 = y3 − x2y

(x2 + y2)2

y

D2f (x, y) = x(x2 + y2)− 2xy2)(x2 + y2)2 = x3 − xy2

(x2 + y2)2 .

En cambio, cuando (x, y) = (0, 0), se tiene que

D1f (0, 0) = lımh→0

f (h, 0)− f (0, 0)h = 0

yD2f (0, 0) = lım

h→0

f (0, h)− f (0, 0)h = 0.

Luego, las funciones de derivadas parciales de f están definidas en todo R2 según:

D1f (x, y) =

y3 − x2y(x2 + y2)2 si (x, y) 6= (0, 0);0 si (x, y) = (0, 0).

y

D2f (x, y) =

x3 − xy2

(x2 + y2)2 si (x, y) 6= (0, 0);0 si (x, y) = (0, 0).

Por lo tanto, dado que la derivada de f es única y esta viene dada por las derivadas parciales, se veque el único candidato a ser derivada de f en el origen es la transformación lineal idénticamente cero.

193


Utilizando (5.6.4) se sigue que una condición necesaria y suficiente para que f sea diferenciable en 0 esque

lımH→0

f (H)‖H‖ = 0.

Pero,f (x, y)‖(x, y)‖ = xy

‖(x, y)‖3= xyÄ√

x2 + y2ä3 ;

haciendo x = y, se obtiene quef (x, x)‖(x, x)‖ = x2Ä√

2xä3 = 1

2√

2x,

el cual no tiende a ningún límite cuando x tiende a cero. Observa que f es diferenciable en cualquier punto distinto del origen. Este ejemplo muestra que aún

cuando las derivadas parciales de una función existan en todos lados la función no es necesariamentediferenciable en todos sus puntos. De nueva cuenta, vale la pena preguntarse si el recíproco es cierto.Como el lector lo habrá de estar esperando la respuesta también es no. Esto es, existe una funcióndiferenciable en un punto que satisface que en toda bola centrada en ese punto las parciales de lafunción no existen en toda la bola.

z 6.5.4 Existencia de la derivada en un punto no implica la existencia de lasparciales salvo ese punto.

( 6.5.4 ) Sea f : R2 → R definida como

f (x, y) =ßx2 + y2 si (x, y) ∈ Q2

0 si (x, y) /∈ Q2 .

Entonces f es diferenciable en el cero y no existe una vecindad de este punto en donde las parciales de f existanen todas partes de dicha vecindad.

Intuitivamente hablando se ve que f es un paraboloide de revolución con sus “puntos irracionales”proyectados al cero, luego, f se comporta de manera suave en el cero y solo en ese punto. De estoresulta natural pensar que f sea diferenciable en el origen. Como ‖f (x, y)‖ ≤ ‖(x, y)‖2 , se ve que

lım(x,y)→(0,0)

‖f (x, y)− f (0, 0)‖‖(x, y)‖ ≤ lım

(0,0)‖(x, y)‖ = 0

lo cual muestra que la derivada de f en el origen existe y vale cero. Sea r > 0, y y ∈ Q∩ [0, r), se afirmaque D1f (0, y) no existe. Nota que si existiera entonces

D1f (0, y) = lımh→0

f (h, y)− f (0, y)h .

En particular, el límite anterior no cambia si se consideran las suciones (an)n∈N =Å 1n

ãn∈N

y (bn)n∈N =Ç√2

2n

ån∈N

. Pero

f (an, y)− f (0, y)an

= a2n + y2 − y2

an= an −Ïn→∞ 0

194


yf (bn, y)− f (0, y)

bn= −y

2

bn= −√

2y2n −Ïn→∞

−∞,

por lo que al no coincidir los límites, no puede existir D1f (0, y) .

z 6.5.5 Una condición suficiente de diferenciabilidad.

Ante estos ejemplos el siguiente teorema se puede apreciar mejor. Si la existencia de las parcialesen todas partes de una bola y la continuidad de ellas en el punto de interés ocurren entonces la funciónes diferenciable.

( 6.5.5 ) Sea f : A ⊂ Rn → W una función tal que para cierto P ∈ ÛA sus derivadas parciales existen en ciertabola B (P; r) . Si todas las parciales de f son continuas en P entonces existe Df (P) .

Usando la técnica de transportación, se puede transportar f de tal forma que bastará demostrar elteorema para una función f : B (P; r)→ Rm tal que todas sus derivadas parciales son continuas en P. Seutilizará el teorema del valor medio (5.11.2). Como las derivadas parciales existen, el único (en virtudde (5.7.1)) candidato para ser derivada de f en P es la transformación lineal

(h1, . . . , hn) 7Ïn∑k=1

Dkf (P)hk,

ve (6.2.6). Se define para H = (h1, . . . , hn) y k ∈ 1, . . . , n el vector Hk = (h1, . . . , hk, 0, . . . , 0) y se poneH0 = 0. Entonces

f (P +H)− f (P)−n∑k=1

Dkf (P)hk =n∑k=1

(f (P +Hk)− f (P +Hk−1)−Dkf (P)hk

).

Se observa que las diferencias f (P+Hk)− f (P+Hk−1) dependen solamente de una coordenada. Define,para k ∈ 1, . . . , n las funciones φk : [0, 1]→ Rm dadas por

φk(t) = (h1, . . . , hk−1, thk, 0, . . . , 0)

y con estas, se pone gk : [0, 1]→ Rm dada según la regla

gk(t) = f (P + φk(t))−Dkf (P) thk.

Entonces,

f (P +H)− f (P)−n∑k=1

Dkf (P)hk =n∑k=1

(gk(1)− gk(0)

).

Según el teorema del valor medio (5.11.2),∥∥∥∥∥f (P +H)− f (P)−n∑k=1

Dkf (P)hk

∥∥∥∥∥ ≤ n∑k=1‖gk(1)− gk(0)‖ ≤

n∑k=1

sup0≤t≤1

‖g ′k(t)‖ .

195


Sea (e1, . . . , en) la base canónica de Rn. Por definición de la derivada parcial,

g ′k(s) = lımh→0

gk(s + h)− gk(s)h

= lımh→0

f (P + φk(s + h))−Dkf (P) (s + h)hk − f (P + φk(s)) + Dkf (P) shkh

= lımh→0

f (P +Hk−1 + (s + h)hkek)− f (P +Hk−1shkek)h −Dkf (P)hk

= lımh→0

hkf (P +Hk−1 + (s + h)hkek)− f (P +Hk−1shkek)

hhk−Dkf (P)hk

= Dkf (P +Hk−1 + shkek)hk −Dkf (P) = Dkf (P + φk(s))hk −Dkf (P)hk.

Sustituyendo en la desigualdad previa,∥∥∥∥∥f (P +H)− f (P)−n∑k=1

Dkf (P)hk

∥∥∥∥∥ ≤ n∑k=1|hk| sup

0≤t≤1‖Dkf (P + φk(t))−Dkf (P)‖ .

Hasta ahora no se ha usado la continuidad de las funciones Dif. Usándola y usando que |hk| ≤ ‖H‖ , seobtiene que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para k = 1, . . . , n,

‖H‖ < δ Ñ ‖Dkf (P + φk(t))−Dkf (P)‖ < εn.

Por lo tanto, dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que

‖H‖ < δ Ñ

∥∥∥∥∥f (P +H)− F (P)−n∑k=1

Dkf (P)hk

∥∥∥∥∥‖H‖ < ε,

lo cual muestra la diferenciabilidad de F en P. El teorema anterior es la herramienta fundamental para demostrar si una función es diferenciable

o no en un punto. Calcular las derivadas parciales es simple y verificar si son continuas o no en elinterior de su dominio también es simple.

z 6.5.6 Diferenciales.Ahora se introduce uno de los conceptos clásicos del cálculo, este es el de diferenciales. Se quiere

destacar que este concepto surge de consideraciones físicas y, sobre todo, geométricas, pero estas noserán estudiadas aquí a fondo. Las diferenciales se ligan con la derivada de tal forma que son conceptosequivalentes (en un sentido que se definirá a continuación).

Considera f : R→ R diferenciable en un punto, por ejemplo p. Entonces, por definición, existe unatransformación lineal h 7Ï f ′(p)h tal que para cierto r > 0 se tiene que si |h| < r entonces

f (p + h) = f (p) + f ′(p)h + φ(h)h,

donde, φ : (−r, r) → R satisface que su límite en cero es cero. Es importante destacar que f ′(p)hrepresenta la parte lineal del incremento4 f (p + h)− f (p). A este incremento lineal se le conoce comodiferencial de primer orden de f en p respecto del incremento h. Como bien se sabe, si se denota

4Por costumbre se suele pensar que un incremento es una cantidad positiva, este no es el caso. Se habla del incremento comouna diferencia de dos números.

196


por e(h) = φ(h)h entonces lımh→0

e(h)h = 0. Por lo que «el desarrollo limitado» f (p) + f ′(p)h aproxima a

f (p+ h) de manera eficiente (esto será precisado con el teorema de Taylor). Estas nociones se puedentrabajar en varias variables sin mayor problema.

( 6.5.6 ) Sea f : A ⊂ V →W diferenciable en v. Se define la diferencial de primer orden de f en v respecto delincremento h como df (v;h) = Df (v)h.

Observaciones:

1. Se ha usado un punto y coma en lugar de simplemente una coma para destacar los diferentes pa-peles que juegan h y v antes. Mientras v es el punto donde se calculará el diferencial, h representael incremento en los argumentos de f.

2. h puede ser un vector arbitrario en V. Esto es contrario a lo que muchos lectores estarían acos-tumbrados. Típicamente se “define” el diferencial como la parte lineal de un incremento “infinite-simal” en los argumentos. Entonces siempre surge la duda sobre qué tan pequeño tiene que serel incremento como para que sea infinitesimal5. Esta definición formal evita tales ambigüedades.

3. df (v;h) es un vector en W. Además, la derivada de una función en un punto y el diferencial enese punto son equivalentes. Esto es cierto en el siguiente sentido, si se conoce el diferencial deuna función en un punto respecto de todos los incrementos entonces se conoce la derivada dedicha función en este punto. Recíprocamente, si se conoce la derivada en un punto entonces alevaluar en un incremento se obtiene el diferencial de esa función en ese punto respecto de eseincremento.

4. Por cuestiones tradicionalistas es común denotar el incremento h domo dh (y dX o dx según Vsea Rn o R) esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

( 6.5.7 ) Encuentra el diferencial de F (x, y) = (xy + y2, cosx) en (1, 1), con un incremento dX = (dx, dy).

En este caso, se tiene que el diferencial en P = (x, y) con incremento dX es

dF (P;dX) = DF (P)dX =ï

y x + 2ycosx 0

òÅdXdy

ã= (ydx + (x + 2y)dy, cosxdx).

De aquí que, sustituyendo datos, se obtiene dF ((1, 1);dX) = (dX + 3dy, cos 1dX). El siguiente teorema es inmediato de la definición de diferencial. La demostración se basa en el

hecho que dF (P;dX) = DF (P)dX, por lo que será omitida.

( 6.5.8 ) Las siguientes reglas para diferenciales se verifican. Se considerarán f y g dos funciones diferenciablesen v y dh y dk dos incrementos en V. Entonces,

1. df (v;dh + λdk) = df (v;dh) + λdf (v;dk) ;

2. d(f + λg) (v;dh) = df (v;dh) + λdg (v;dh) ;

3. si f (v) 6= 0 y W = R entonces dï1f

ò(v;dh) = −df (v;dh)

f (v)2 ;

4. d 〈f, g〉) (v;dh) = 〈df (v;dh) , g(v)〉+ 〈f (v),dg (v;dh)〉 .5Por ejemplo, cuando se quiere medir el error cometido al utilizar un termómetro podría parece que un error de un grado

es “infinitesimal” si se está fundiendo un metal a 5000 grados centígrados. En cambio, si se mide la temperatura corporal, unerror de un grado centígrados podría significar estar sano o enfermo.

197


( 6.5.9 ) Sean f : A ⊂ V → W y g : B ⊂ W → U tales que f es diferenciable en v y g es diferenciable enw = f (v) entonces para cada incremento dh ∈ V, se tiene que

d(g f ) (v;dh) = dg (w; df (v;dh)) ;

la «regla de Cauchy de la invariancia».

Observación: en el lenguaje clásico del cálculo la regla de Cauchy de la invariancia se expresabacomo sigue. Para un incremento df = df (v;dh) de la variable dependiente f, la variable independienteg posee un incremento

dg = dg (w;df ) .

Esta última notación, la cual es un abuso de notación6, es ampliamente utilizado en libros de ingenieríay física.

§ 6.6. Técnicas de derivación parcial.Dentro de los problemas clásicos del cálculo vectorial se encuentran el de derivar identidades que

satisfacen cierta clase de funciones a partir de sus derivadas parciales. Luego, no siempre están invo-lucradas todas las derivadas parciales por lo que es innecesario encontrar la derivada de una función(esto es, encontrar todas las derivadas parciales). Por esta razón se trabaja a las derivadas parciales porseparado.

z 6.6.1 Permutabilidad de las derivadas parciales de segundo orden.Si el lector ha sido cuidadoso seguro habrá observado que en cada ejemplo en el que se pedía

calcular las derivadas parciales de segundo orden una función F se tenía que Di,jF = Dj,iF para todoslos i y j. ¿Será que esto siempre ocurre? Y si es así, ¿sobre qué condiciones? En los ejercicios se pidendos ejemplos: uno de una función que sea diferenciable y aún así las parciales mixtas no coincidan yotro de una función que no sea diferenciable y sus parciales de segundo orden coincidan. De esto seconcluye que la permutabilidad de las parciales mixtas y la existencia de la derivada de una función sonindependientes. El siguiente teorema brinda de una condición suficiente para que las parciales mixtascoincidan.

( 6.6.1 ) Sea f : A ⊂ Rn →W, con A un conjunto abierto, una función tal que Dif y Djf tienen dominio A. Sesupone que Di,jf existe y tiene dominio A y que es una función continua en P ∈ A. Entonces, Dj,if (P) existe y,además, Di,jf (P) = Dj,if (P) ; el «teorema de Schwarz».

Supón que P = (p1, . . . , pn), al ser P un punto interior de A existe R =n∏k=1

(pk−r, pk+r) un rectángulo

abierto tal que R ⊂ A. Se define la función Φ : (−r, r)2 →W dada por

Φ(s, t) = F (P + sei + tej )− F (P + sei)− F (P + tej ) + F (P),

donde (e1, . . . , en) es la base canónica de Rn. Nota que Φ(s, t) = Φ(t, s). Toma s ∈ (−r, r) fijo y defineφ : (−r, r)→W dada por

φ(t) = F (P + sei + tej )− F (P + tej )−Di,jF (P) st.6Esto es una abuso de notación pues el símbolo g juega el papel de “variable independiente” y de “variable dependiente” en la

misma ecuación.

198

6.6. Técnicas de derivación parcial.

Entoncesφ(t)− φ(0) = Φ(s, t)−Di,jF (P) st.

En virtud del teorema del valor medio (5.11.2),

‖φ(t)− φ(0)‖ ≤ |t| sup0≤ξ≤1

‖φ′(ξt)‖ .

Es claro, de la definición de derivada parcial, que

φ′(ξt) = DjF(P + sei + ξtej

)−DjF

(P + sei + ξtej

)−Di,jF (P) s.

Con lo cual,

‖Φ(s, t)−DijF (P) st‖ ≤ |t| sup0≤ξ≤1

∥∥DjF(P + sei + ξtej

)−DjF

(P + ξtej

)−DijF (P) s

∥∥ .Define ahora ψ : (−r, r)→W por ψ(s) = DjF

(P + sei + tej

)−Di,jF (P) s para t ∈ (−r, r) fijo. Observa

que ψ es diferenciable pues Di,jF existe en todo A. Por lo que aplica el teorema del valor medio a ψ.Se obtiene que

‖ψ(s)− ψ(0)‖ ≤ |s| sup0≤ν≤1

‖ψ′(νs)‖

Finalmente, se ha demostrado que para (s, t) ∈ (−r, r)2

‖Φ(s, t)−Di,jF (P) st‖ ≤ |ts| sup0≤ξ,ν≤1

∥∥Di,jF(P + νsei + ξtej

)−Di,jF (P)

∥∥ .En efecto, la propiedad que se utiliza aquí es la siguiente. Si A y B son conjuntos cualesquiera y(t(a,b)

)(a,b)∈A×B es una familia de elementos en [0,∞) entonces

sup(a,b)∈A×B

t(a,b) = supa∈A

supb∈B

t(a,b).

Para demostrar esto, nota que si µ = sup(a,b)∈A×B

t(a,b) entonces µ acota superiormente a todos los elementos

t(a,b), en particular, para a fijo, µ acota superiormente al conjuntot(a,b)

∣∣∣b ∈ B . Por ende, µ ≥ supb∈B

t(a,b)

y como esto ocurre para cualquier a ∈ A se puede concluir que µ ≥ supa∈A

supb∈B

t(a,b). Para demostra la otra

desigualdad considera ν = supa∈A

supb∈B

t(a,b). Por definición de supremo, dado ε > 0 existe un (a, b) ∈ A×B

tal queµ − ε ≤ t(a,b) ≤ sup

b∈Bt(a,b) ≤ ν

y como esta desigualdad vale para cada ε > 0 también vale para ε = 0.Se puede concluir que para (s, t) ∈ (−r, r)2 se cumple que∥∥∥∥Φ(s, t)

st −Di,jF (P)∥∥∥∥ ≤ sup

0≤ξ,ν≤1

∥∥Di,jF(P + νsei + ξtej

)−Di,jF (P)

∥∥ ,donde la expresión de la izquierda queda reemplazada por cero en el caso en que st = 0. Usando queDi,jF es uniformemente continua en R (teorema de Heine-Cantor (5.5.14)) se sigue que

lıms→0

∥∥∥∥Φ(s, t)st −Di,jF (P)

∥∥∥∥ ≤ sup0≤ξ≤1

∥∥Di,jF(P + ξtej

)−Di,jF (P)

∥∥ .199


Para poder demostrar la igualdad de las derivadas parciales mixtas se usa ahora la existencia deDiF. Observa que

lıms→0

Φ(s, t)st = lım

s→0

F (P + sei + tej )− F (P + sei)− F (P + tej ) + F (P)st

=DiF

(P + tej

)−DiF (P)

t .

Entonces, usando la continuidad de la norma,∥∥∥∥∥DiF(P + tej

)−DiF (P)

t −Di,jF (P)∥∥∥∥∥ ≤ sup

0≤ξ≤1

∥∥Di,jF(P + ξtej

)−DijF (P)

∥∥ .Haciendo t → 0 se ve que

Dj,iF (P) = lımt→0

DiF(P + tej

)−DiF (P)

t = Di,jF (P) ,

con lo que se concluye el teorema.

( 6.6.2 ) Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U → Rm tal que Di,jf existe, es continua y Dom(Di,jf

)= U.

Entonces, Dj,if existe, es continua, tiene dominio U y Di,jf = Dj,if.

Lo cual es consecuencia del teorema anterior.

z 6.6.2 Funciones de clase Ck.A veces es útil trabajar con funciones que satisfagan que sus parciales sean continuas. De hecho, de

acuerdo a (6.5.5) una función definida en un conjunto abierto y cuya función de derivadas sea continua esdiferenciable. Asimismo, el teorema anterior muestra que una función definida en un conjunto abiertocuyas segundas parciales sean continuas satisface que las parciales mixtas conmutan. Luego, pareceque en general la diferenciabilidad con continuidad muestra agradables características.

( 6.6.3 ) Sea f : A ⊂ Rn →W con A un conjunto abierto. Se dirá que f es de clase C0 si f es continua y que fes de clase C1 si su función de derivadas es continua. Inductivamente se define que f sea de clase Ck+1 si cadauna de sus funciones de derivadas parciales es de clase Ck. Se denotará por f ∈ Ck (A,W ) cuando f : A → Rm

sea de clase Ck. Si f ∈ Ck (A,Rm) para todo k ∈ N entonces se dirá que F es indefinidamente diferenciable y sedenotará por f ∈ C∞ (A,W ) .

Observaciones:

1. Para cada k ∈ N, se tiene que Ck+1 (A,W ) ⊂ Ck (A,W ) y C∞ (A,W ) ⊂ Ck (A,W ) .

2. Se puede concluir el siguiente corolario de (6.5.5): una función definida en una abierto de clase C1

es diferenciable. Asimismo, también se puede concluir lo siguiente de (6.6.1): para una funcióndefinida en un abierto que sea de clase C2 sus derivadas parciales mixtas conmutan. Esimportante destacar que esto es falso si la función no está definida en un abierto.

3. Todo polinomio es de clase C∞. La demostración de este hecho queda de ejercicio al lector.

4. Si se considera a Di como una función entonces Di recibe el nombre de operador de diferencia-ción parcial respecto del i-ésimo eje. Es importante observar que en virtud del teorema anteriorsi se fija un abierto A ⊂ Rn y se restringe el dominio de Di a C2 (A,Rm) entonces Di conmuta con

200

6.6. Técnicas de derivación parcial.

cualquier Dj . Esto motiva la introducción de la notación multiplicativa para operadores de deri-vación. Por ejemplo, con el dominio suficientemente restringido, esto es, considerando funcionesCN para algún N > 0, se tiene que DiDjDi = DiDiDj = DjDiDi. La última expresión provocaescribir DiDi = Di

2. En virtud de esto, se da la siguiente definición.

( 6.6.4 ) Sea A un subconjunto abierto de Rn. Para cada n números naturales i1, . . . , in tales quen∑j=1

ij = k, se

define el operador Di11 · · ·Din

n : Ck (A,W )→ C0 (A,W ) , dado por

Di11 · · ·Din

n (f ) = Di11(· · ·Din

n (f )).

A k se le llama el orden del operador.

De acuerdo a (6.6.1) el operador anterior está bien definido. Aún más, el operador anterior es inde-pendiente del orden en que aparecen los factores. Luego, para encontrar la regla de correspondenciasiempre se puede derivar en el orden que más convenga.

z 6.6.3 Notación clásica.Antes de continuar con el desarrollo de algunas técnicas de derivación parcial será conveniente

introducir la notación clásica que se utiliza. Aquí se denota a la función de derivación parcial respectodel primer eje como D1. Así, cuando se quiera calcular la derivada parcial de f respecto del primer ejeen el punto P se escribe D1f (P) . Esta notación resulta ser precisa pero algo tediosa, sobre todo porque a la hora de querer calcular explícitamente ciertas derivadas no es de interés proceder de maneraformal (suponiendo que solo hay interés en el resultado).

Por esto se introduce la notación clásica del cálculo de varias variables. Se “define” el operador ∂∂u

como aquel que dada una expresión E(u) toma la derivada formal de esta expresión respecto de u.Esto es, se define ∂u

∂u = 1 y se deriva la expresión E utilizando las reglas de derivación ya demostradas.

Por ejemplo, considera la expresión E(x, y) = xy + sin

Åxy

ãy u = x

y . Entonces,

∂E(x, y)∂u = ∂(u + sinu)

∂u = ∂u∂u + ∂ sinu

∂u = 1 + ∂u∂u cosu = 1 + cosu.

Con la nueva notación, la notación clásica, se pueden “definir” ∂∂xi

= Di. En principio parecería queen realidad se está cambiando un símbolo por otro con más caracteres. La ventaja de esta nueva notaciónes que el denominador juega un doble rol. Por ejemplo, si se considera la función f (x, y) = xy

x2 + y2 y

la función T : R2 → R2 dada por T(r, θ) = (r sin θ, r cos θ) entonces para denotar a la parcial de f Tse escribe D1(f T) (r, θ) ; en cambio, se escribe ∂f

∂r para denotar esta composición; aquí ya se nota unahorro.

Ahora se explica con más detalle esto. Al introducir el símbolo ∂∂u se quiere ganar espacio y escribir

menos aunque se pierda formalidad y se gane ambigüedad7. Cuando se utiliza la notación clásica

7Luego, cada vez que se utiliza el símbolo anterior se debe tener cuidado extremo con la notación. Los símbolos ∂∂u y ∂

∂vpueden tener significados diferentes o iguales. Para muestra un ejemplo, toma la función f (x, y) = x entonces el lector estará de

acuerdo que∂(f (x, y)

)∂x = 1. Por otro lado,

∂(f (u, v)

)∂u = 1, pero en cambio,

∂(f (u, v)

)∂x = 0.

201


se considera que la función f ha sido definida a través de ciertos símbolos fijos8. La idea de estasexpresiones es que al ser f definida por argumentos específicos ya no existe la necesidad de evaluar laexpresión de diferenciación parcial en tales argumentos, luego, se escribirá ∂f

∂x en lugar de D1f (x, y) ,por ejemplo. Las ventajas de esta notación surgirán en los ejemplos.

Uno de los inconvenientes principales de la notación clásica es que evaluar las derivadas parcialeses tedioso. Por ejemplo, si se quiere evaluar la derivada parcial de f (x, y) = 2x2 − xy en (1, 0) respectodel primer eje habría que escribirÅ ∂f

∂x

ã ∣∣∣∣∣(x,y)=(1,0)

= (4x − y)∣∣∣∣∣(x,y)=(1,0)

= 4

y no simplemente ∂f (1, 0)∂x . Esto se debe a que la expresión f (1, 0) = 2 que es una constante, por lo que

su derivada respecto de x es cero.Antes de continuar cabe destacar que muchos autores prefieren aún otras notaciones. Por ejemplo,

para denotar a la matriz Jacobiana de F se escribe ∂F∂X . De nueva cuenta, esto es en el contexto en

el que F está definida para argumentos específicos. Coloquialmente hablando, F es función del vectorX. De este modo, la regla de la cadena dada antes toma una forma más “natural”. Para ver esto, seconsidera una función F diferenciable tal que ha sido definida en términos del vector Y y a Y comofunción diferenciable del vector X9. Luego, de acuerdo a la regla de la cadena, la función F definida entérminos del vector X es diferenciable y su derivada viene dada por

∂F∂X = ∂F

∂Y∂Y∂X .

Con esta expresión es muy fácil recordar la regla de la cadena para derivadas parciales. Por ejemplo,en este contexto se supone F = (f1, . . . , fp) y X = (x1, . . . , xn), luego, evaluando la expresión anterior enej se obtiene que, para cada i = 1, . . . , p,

∂fi∂xj

= ∂fi∂Y

∂Y∂xj

.

§ 6.7. Ejemplos resueltos.

z 6.7.1 Derivadas parciales de primer orden.A continuación se exponen una serie de ejemplos con la finalidad de aclarar posibles dudas de las

secciones anteriores. Se hace la aclaración de que si no se especifica el contradominio de una funcióndeberá entenderse que este es un subconjunto de W, un espacio vectorial de dimensión finita.

( 6.7.1 ) Sea A ⊂ R3 abierto y f ∈ C1 (A,w)w. Encuentra las derivadas parciales respecto de x y de y, def (x + y, x2, sinx) como una expresión en D1f, D2f y D3f.

Observa que f no es función de X = (x, y), sino es función de alguna Y que se debe determinary Y es función de X tal que Y (X) = (x + y, x2, sinx). Se define entonces, Y : R2 → R3 dada por

8Dicho de otro modo, se “casa” a la función f con argumentos específicos. A veces, se expresaba (y habrá quien todavía lohaga) esto como “... sea f función de x y y...”. Ve por ejemplo [7].

9En un contexto formal, se definen G : U ⊂ Rn → Rm y F : G(U)→ Rp tales que F y G son diferenciables.

202

6.7. Ejemplos resueltos.

Y (x, y) = (x + y, x2, sinx). Luego, al ser f función de Y se sigue que

∂f∂x = ∂f

∂Y∂Y∂x = Df (Y ) ∂Y∂x

= (D1f (Y ) ,D2f (Y ) ,D3f (Y )) · (1, 2x, cosx)= D1f (Y ) + 2xD2f (Y ) + cosxD3f (Y )

y, como ∂Y∂y = (1, 0, 0), se ve que ∂f

∂y = D1f (Y ) .

En ciertas ocasiones es conveniente introducir explícitamente las funciones coordenadas de Y paraaligerar la escritura. Por ejemplo, si se hubiése escrito Y = (a, b, c) entonces en el ejemplo anterior sehubiése obtenido

∂f∂x = ∂f

∂a + 2x ∂f∂b + cosx ∂f∂c .

( 6.7.2 ) Sea f ∈ C1 (A,W ) definida en términos de x y y. Se supone que (x, y) están dadas en «coordenadas

polares», es decir, (x, y) = (r cos θ, r sin θ). Encuentra ∂f∂r y

∂f∂θ en términos de las primeras parciales de f.

En este caso se tiene que manera natural que Y = (x, y) = (r cos θ, r sin θ). Luego, ∂Y∂r = (cos θ, sin θ)

y ∂Y∂θ = r(− sin θ, cos θ). Entonces,

∂f∂r = ∂f

∂Y∂Y∂r = cos θ ∂f∂x + sin θ ∂f∂y

y∂f∂θ = ∂f

∂Y∂Y∂θ = r cos θ ∂f∂y − r sin θ ∂f∂y .

Que son las parciales buscadas.

( 6.7.3 ) Sea f una función diferenciable en A ⊂ R2 y que toma valores en W. La suma de las derivadas parcialesde primer orden de f (x − y, y − x) siempre es cero.

Sea T(x, y) = (x + y, x − y) entonces f es función de T. De este modo, ∂f∂x = ∂f∂T

∂T∂x y ∂f

∂y = ∂f∂T

∂T∂y .

Por lo que, ∂f∂x + ∂f∂y = ∂f

∂T

Å∂T∂x + ∂T

∂y

ã. Observa que ∂T

∂x = (1,−1) y ∂T∂y = (−1, 1). El resultado se sigue

de esto. Procediendo de la misma manera que en ejemplo anterior se puede demostrar que cualquier función

f de clase C1 (Rn,R) dada por f (x1 − x2, . . . , xn−1 − xn, xn − x1) satisface quen∑i=1

∂f∂xi

= 0.

z 6.7.2 Derivadas parciales de orden superior.Sea A un subconjunto abierto de Rn y se supone que toda función en C∞ (A,W ) está definida en

términos de X = (x1, . . . , xn). Ya se ha definido el significado de expresiones como Di11 · · ·Din

n , lo que

se hará ahora será escribir esto en notación clásica. Se pone ∂∂xi

= Di, luego, por definición, deberíatenerse la siguiente igualdad

Di11 · · ·Din

n =Å ∂∂x1

ãi1· · ·Å ∂∂xn

ãin.

203


Sin embargo, se quiere que la notación clásica sea lo más fácil de escribir posible. Entonces, se reescribela expresión anterior y se define10Å ∂

∂x1

ãi1· · ·Å ∂∂xn

ãin= ∂i1+...+in

∂xi11 · · · ∂xinn.

Entonces, expresiones como∂i1+...+inf∂xi11 · · · ∂x

inn

deben entenderse como ÄDi1

1 · · ·Dinn (f )

ä.

Por otro lado, cuando f es una función definida en términos de X se ha mencionado que ∂f∂X es la

matriz Jacobiana de f. Entonces, si se denota por ∂f∂xi

la función de primeras derivadas parciales de frespecto del primer eje, se ve que la derivada de esta función viene dada por

∂∂X

∂f∂xi

=ñ

∂2f∂x1∂xi

· · · ∂2f∂xn∂xi

ô.

Más aún, si f : U ⊂ Rn → R y se considera a ∂f∂X como función con contradominio Rn entonces su

función de derivadas es∂2f∂X2 = ∂

∂X

Å ∂f∂X

ã= ∂∂X

ï ∂f∂x1· · · ∂f∂xn

ò=

∂∂X

∂f∂x1...

∂∂X

∂f∂xn

=

∂2f∂x2

1· · · ∂2f

∂xn∂x1...

. . . ...∂2f

∂x1∂xn· · · ∂2f

∂x2n

.

( 6.7.4 ) Sea f ∈ C2 (A,R) . Entonces ∂2f∂X2 es una matriz simétrica.

Lo cual es consecuencia directa de (6.6.2).

( 6.7.5 ) Encuentra las parciales de segundo orden respecto de x y y de

f

Ñ2x2 + x, siny,

y∫0

g

é,

donde g es una función real y diferenciable y f ∈ C2 (R3,W).

Sea T(x, y) =

Ñ2x2 + x, siny,

y∫0

g

éentonces

∂f∂x = ∂f

∂T∂T∂x ,

10Por cuestiones tradicionales, se escribe ∂xijj en lugar de(∂xj)ij .

204

6.7. Ejemplos resueltos.

y∂f∂y = ∂f

∂T∂T∂y .

Utilizando la regla del producto, se ve que

∂2f∂x2 = ∂

∂x

Å ∂f∂T

∂T∂x

ã= ∂f∂T

∂2T∂x2 + ∂

∂x

Å ∂f∂T

ã ∂T∂x .

Todas las expresiones anteriores, salvo ∂∂x

Å ∂f∂T

ã, ya se sabe como calcularlas. Hay que notar que

∂f∂T es función definida en términos de T. Para encontrar la derivada parcial respecto de x se debe

utilizar la regla de la cadena otra vez. Si se denota por h a ∂f∂T , se obtiene que ∂h

∂x = ∂h∂T

∂T∂x . Por las

observaciones hechas antes, ∂h∂T = ∂2f∂T2 es la matriz de segundas derivadas parciales de f.

Se empiezan a sustituir los valores correspondientes. Es fácil ver que

∂T∂x = (4x + 1, 0, 0), por lo que ∂2T

∂x2 = (4, 0, 0).

Si se denota T(x, y) = (a, b, c) entonces ∂f∂T =

Å ∂f∂a ,

∂f∂b ,

∂f∂c

ã. Como ∂h

∂x es la matriz de segundas

derivadas parciales de f evaluada en ∂T∂x , se obtiene que

∂h∂x = (4x + 1)

Ç∂2f∂a2 ,

∂2f∂a∂b ,

∂2f∂a∂c

å.

Sustituyendo términos, se encuentra que

∂2f∂x2 = 4 ∂f∂a + (4x + 1)2 ∂

2f∂a2 .

Ha sido tardado el calcular apenas una de las derivas parciales de segundo orden. Algunos de los pasos

antes expuestos suelen omitirse en la práctica. Por ejemplo, para calcular ∂2f∂y2 se procede como sigue.

Se advierte al lector que se harán abusos de la notación.

∂2f∂y2 = ∂

∂y

Å ∂f∂T

∂T∂y

ã= ∂f∂T

∂2T∂y2 +

Å ∂∂y

∂f∂T

ã ∂T∂y = ∂f

∂T∂2T∂y2 +

Ç∂2f∂T2

∂T∂y

å∂T∂y .

Pero, ∂T∂y = (0, cos y, g(y)), por lo que ∂2T∂y2 = (0,− siny, g ′(y)) y

∂2f∂T2

∂T∂y = ∂2f

∂T2 (cos ye2 + g(y)e3) = cos y ∂2f∂T2 e2 + g(y) ∂

2f∂T2 e3

= cos yÇ

∂2f∂a∂b ,

∂2f∂b2 ,

∂2f∂c∂b

å+ g(y)

Ç∂2f∂c∂a ,

∂2f∂c∂b ,

∂2f∂c2

å,

donde (e1, e2, e3) es la base canónica de R3. Por lo tanto, recordando que f ∈ C2 (R3,R), se tiene que

∂2f∂y2 = − siny ∂f∂b + g ′(y)∂f∂c + (cos y)2 ∂

2f∂b2 + 2 cos yg(y) ∂

2f∂b∂c + [g(y)]2 ∂

2f∂c2 .

205


De acuerdo al ejercicio (6.19), se tiene que al ser f función de x y y es de clase C2. Por lo que∂2f∂x∂y = ∂2f

∂y∂x . Para calcular ∂2f∂x∂y se omitirán más pasos que antes. De este modo,

∂2f∂x∂y = ∂

∂x∂∂y f

Ñ2x2 + x, siny,

y∫0

g

é= ∂∂x

Åcos y ∂f∂b + g(y)∂f∂c

ã= cos y(4x + 1) ∂

2f∂a∂b + g(y)(4x + 1) ∂

2f∂a∂c .

Cabe destacar que con mucha práctica las derivadas parciales pueden obtenerse de manera simplecomo lo anterior.

( 6.7.6 ) Sea F ∈ C2 (R3,W)una función en coordenadas cartesianas11 tal que

∂F∂y = 0. Supón que (x, y, z) =

(ρ cosφ sin θ, ρ sinφ sin θ, ρ cos θ), son las «coordenadas esféricas». Encuentra∂2F∂φ∂ρ y

∂2F∂ρ∂φ .

Como F ∈ C2 (R3,W)

se tiene que las parciales mixtas conmutas, luego basta calcular ∂2F∂φ∂ρ . Tam-

bién es destacable que el orden en que se deriven las expresiones es inmaterial. Sea T dada por

T(ρ, θ, φ) = (ρ cosφ sin θ, ρ sinφ sin θ, ρ cos θ) = (x, y, z),

por lo que∂2F∂φ∂ρ = ∂

∂φ

Åcosφ sin θ ∂F∂x + cos θ ∂F∂z

ãAhora se calcula cada sumando. Se tiene que

∂∂φ

Åcosφ sin θ ∂F∂x

ã= cosφ sin θ

Å ∂∂φ

∂F∂x

ã− sinφ sin θ ∂F∂x

= cosφ sin θñ∂2F∂x2

∂x∂φ + ∂2F

∂y∂x∂y∂φ + ∂2F

∂z∂x∂z∂φ

ô− sinφ sin θ ∂F∂x

= −ρ sinφ cosφ(sin θ

)2 ∂2F∂x2 − sinφ sin θ ∂F∂x .

Análogamente, ∂∂φ

Åcos θ ∂F∂z

ã= cos θ

ñ∂2F∂x∂z

∂x∂φ + ∂2F

∂y∂z∂y∂φ + ∂2F

∂z2∂z∂φ

ô= −ρ sinφ sin θ cos θ ∂

2F∂x∂z . Su-

mando todas estas expresiones se obtiene ∂2F∂φ∂ρ , la cual es

∂F∂φ∂ρ = −ρ sinφ cosφ

(sin θ

)2 ∂2F∂x2 − sinφ sin θ ∂F∂x − ρ sinφ sin θ cos θ ∂

2F∂x∂z .

Lo que concluye el ejercicio.

( 6.7.7 ) Considera f : R2 →W de clase C3 tal que D1,2f = 0. Encuentra la tercera parcial respecto de x de lafunción dada por f (x3 − y, sinyey).

11Esto es, F está definida en términos de (x, y, z).

206

6.8. Ejercicios.

Supón que f es función de (u, v) = (x3 − y, sinyey) entonces ∂f∂x = ∂f

∂u∂u∂x + ∂f

∂v∂v∂x . Pero ∂u

∂x = 3x2

y ∂v∂x = 0, por lo que ∂f

∂x = 3x2 ∂f∂u . Derivando de nuevo respecto de x, se ve que

∂2f∂x2 = 3x2 ∂

∂x∂f∂u + 6x ∂f∂u = 3x2

Ç∂2f∂u2

∂u∂x + ∂2f

∂v∂u∂v∂x

å+ 6x ∂f∂u

= 9x4 ∂2f∂u2 + 6x ∂f∂u .

Donde la última simplificación es debida a que D1,2f = D2,1f = 0. Con esto en mente ya no se escribiráestas parciales. Por lo que,

∂3f∂x3 = 27x6 ∂3f

∂u3 + 36x3 ∂2f∂u2 + 18x3 ∂2f

∂u2 + 6 ∂f∂u

= 27x6 ∂3f∂u3 + 54x3 ∂2f

∂u2 + 6 ∂f∂u .

Que es la derivada parcial buscada.

z 6.7.3 Riesgos de la notación clásica.A continuación se presenta un caso donde la notación clásica, cuando es usada sin cuidado, ocasiona

inconsistencias. Supón entonces que w = f (x, y, z) y z = g(x, y). Luego, por la regla de la cadena

∂w∂x = ∂w

∂x∂x∂x + ∂w

∂y∂y∂x + ∂w

∂z∂z∂x ,

como, claramente ∂x∂x = 1 y ∂y

∂x = 0, después de sustituir esto, se obtiene que

0 = ∂w∂z

∂z∂x .

Esto muestra que ∂w∂z = 0 o bien, ∂z∂x = 0. Esto es falso en general. Por ejemplo, considera las funciones

f (x, y, z) = 5z y g(x, y) = 3x. Entonces, ∂w∂z = 5 y ∂z∂x = 3, por lo que su producto nunca se anula. Luego,

¿dónde está el descuido? El descuido aparece que ha sido utilizado el símbolo z para dos sentidosdistintos. El primero de ellos es el de tercer argumento de la función f y el segundo sentido es elde función. Luego, si se quisiera proceder con notación clásica, se debe poner w = f (a, b, g) dondea(x, y) = x y b(x, y) = y. Con esto, se obtiene que

∂w∂x = ∂w

∂a∂a∂x + ∂w

∂b∂b∂x + ∂w

∂z∂z∂x = ∂w

∂a + ∂w∂z

∂z∂x ,

en donde ya no es posible “cancelar” ∂w∂x con ∂w∂a .

§ 6.8. Ejercicios.Se insiste en que el lector resuelva todos los ejercicios de este capítulo. Esto debido a que solo

la práctica forma la experiencia necesaria para que a la hora de derivar los procesos devengan mássimples.

207


( 6.1 ) Encuentra la derivada de F en P en dirección de α, donde:

1. F (x, y) = (sinx, cos y), P = (2, 4) , α(t) = (t, t2);

2. F (x, y) = (sinx cos y, x2 + xy), P = (0, π) , α(t) = (t + π, |t|);

3. F (x, y) = x3y + 2x2y − 3xy2 + xy − 5x − 2y + 1, P = (1, 1), α(t) = (t, 0).

( 6.2 ) La razón de cambio a una función constante c en cualquier punto P y para cualquier curva existe y valecero.

( 6.3 ) Supón que α : [a, b]→ A y β : [c, d]→ A son curvas equivalentes u opuestas, por ejemplo α = βu. Supónque α(0) = v y que u′(0) existe. Sea f : A ⊂ V →W tal que Dαf (v) existe. Entonces Dαf (v) = Dβf (u(0))u′(0).En particular, si β recorre α al revés, esto es β(t) = α(a + b − t) entonces Dαf (v) = −Dβv (P) .

( 6.4 ) Sea f : A ⊂ V →W y α : I ⊂ R→ A, tal que α(t) = v, para cierto t fijo. La razón de cambio de f en va través de la curva α, si existe, es Dαf (v) = (f α)′(t).

( 6.5 ) Supón que α : I ⊂ R→ A es una curva que pasa por v ∈ A, por ejemplo α(0) = v. Sean f, g : A→Wtales que Dαf (v) y Dαf (v) existen. Entonces para cualquier λ ∈ R la razón de cambio de f + λg existe en v através de la curva α y se tiene que

Dα(f + λg) (v) = Dαf (v) + λDαg (v) .

( 6.6 ) Sean f, g : A ⊂ V →W funciones tal que una de ellas es continua y sea α : I ⊂ R→ A tal que α(0) = v.Si Dαf (v) y Dαg (v) existen, demostrar que la derivada direccional de 〈F,G〉 en v a través de α existe y que

Dα 〈f, g〉 (v) = 〈f (v),Dαg (v)〉+ 〈Dαf (v) , g(v)〉 .

( 6.7 ) Sean f : A ⊂ V → R y α continuas tales que α(0) = v y Dαf (v) existe. Supón que f (v) 6= 0 entonces la

derivada direccional de1f en v a través de α existe y

Dα

ï1f

ò(v) = −Dαf (v)

f (v)2 .

( 6.8 ) Sea f : R2 → R dada por

f (x, y) = xy

x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

.

Si α es una recta entonces Dαf (0, 0) existe. Sin embargo, f no es continua en cero (considera x = y y x = √y)y, en particular, f no es diferenciable en cero. Luego, la existencia de la derivada direccional de f en un punto através de cualquier recta no garantiza la diferenciabilidad de f.

( 6.9 ) Se dirá que una función f : A ⊂ V → R tiene un máximo relativo local en v ∈ A si existe r > 0 talque para todo u ∈ B (v; r) ∩ A se tiene que f (u) ≤ f (v). Si f es diferenciable y tiene un máximo relativo en ventonces Dαf (v) = 0 para cualquier curva suave (C1) α para la cual Dαf (v) exista.

( 6.10 ) Sea F : A ⊂ V → W1 × . . . ×Wm, tal que F = (f1, . . . , fm). Supón que α : I ⊂ R → A es tal queα(0) = v. Para que DαF (v) exista es necesario y suficiente que Dαfi (v) exista para i = 1, . . . ,m. En este caso,DαF (v) = (Dαf1 (v) , . . . ,Dαfm (v)).

208

6.8. Ejercicios.

( 6.11 ) Sea α : I ⊂ R → R2 una curva tal que α(0) = P. Supón que F : R2 → R es una superficie (en R3)entonces DαF (P) es la «pendiente» de la superficie en P cuando se camina sobre ella a través de la curva α.Esta es una de las interpretaciones geométricas más importantes para DαF (P) .

( 6.12 ) Calcula todas las derivadas parciales de F, en un punto arbitrario P = (a, b) ∈ R2, donde:

1. F (x, y) = (sinx + cos y, x2 + xy);

2. F (x, y, z) = expÄ‖(x, y, z)‖2

ä.

( 6.13 ) La definición alternativa de derivada equivale a la definición dada en el capitulo 5.

( 6.14 ) Encuentra la derivada de las siguientes funciones, supón que g : R→ R es continua:

1. f (x, y, z) = xy + z;

2. F (x, y, z) = (xy , z);

3. F (x, y, z) = (x cos y, y sin z);

4. F (x, y, z) = (z, y, x);

5. F (x, y, z) =

Ñxyz ,

z∫0

g

é;

6. F (x, y, z) = (x · z, y · (x + z));

7. f (x, y) =xy∫0

g ;

8. f (x, y) = yx∫

−x

g ;

9. F (x, y, z) =

Ñy

z∫x

g,x+y+z∫

0

sin(g) cos(g)g ′é, suponiendo la existencia de g ′;

10. F (x, y, z) = x sin(y cos z).

( 6.15 ) Usando inducción en el grado del monomio, concluya que todo monomio en n variables es una funciónde clase C∞. Aplica las propiedad de linealidad de la diferenciación para ver que cada función polinomial de nvariables es una función de clase C∞ (Rn,R) .

( 6.16 ) Si F ∈ Ck (A,R) y F 6= 0 entonces1F ∈ Ck (A,R) donde k ∈ N o bien, k =∞.

( 6.17 ) Toda función racional es C∞.

( 6.18 ) La función f (x, y) = xy x2 − y2

x2 + y2 no satisface que∂f∂x = ∂f

∂y .

( 6.19 ) Sean A y B sendos abiertos de V y Rm. Entonces,

f ∈ Cn (A,B) y g ∈ Cm (B,Rp)Ñ f g ∈ Cmınm,n (U,V ) .

209


( 6.20 ) Encuentra todas las derivadas parciales de primer orden de f respecto de x y y donde:

1. f (u, v) = expu + sin v;

2. f (u, v) = sinu sin v;

3. f (u, v) = u + v1 + v2 ;

4. f (u, v) = 2u3 − 3uv2 − v2 + uv + 2u;

5. f (u, v) = u log v.

En todo caso toma u = 11 + y y v = ‖(x, y)‖ .

( 6.21 ) Calcula las derivadas parciales de segundo orden mixtas de f, respecto de x y de y, donde:

1. f (u, v) = uuv ;

2. f (u, v) = arctan(u + v);

3. f (u, v) = v exp(sinu);

4. f (u, v) = uu2 + v2 ;

5. f (u, v) = u + v.

En cada caso a de considerar que (u, v) = (ax, x2y + x − y).

( 6.22 ) Sea ∆12 tal que ∆(f ) = ∂2f∂x2 + ∂2f

∂y2 . Entonces ∆(f ) = 0 si f viene dada por

f (x, y) = gÅ xx2 + y2 ,

yx2 + y2

ãy g satisface que ∆(g) = 0.

( 6.23 ) Sea ∆ el operador Laplaciano de R2. Si f está definida según f (x, y) = log(‖(x, y)‖) entonces ∆(f ) = 0.

( 6.24 ) Define a g por g(x, y, z) = ‖(x, y, z)‖−1 y ∆ como el operador Laplaciano de R3. Entonces ∆(g) = 0.Más generalmente, si g : Rn \ 0 → R viene dada por g(X) = 1

‖X‖ , su laplaciano vale cero.

( 6.25 ) Supón que f satisface que ∆(f (x, y)) = 0, para ∆ el operador Laplaciano de R2. Supón que u(x, y)y v(x, y) satisfacen que

∂u∂x = ∂v

∂y y que∂u∂y = −∂v∂x . Entonces, es cierto que g(x, y) = f (u, v) satisface que

∆(g(x, y)) = 0.

( 6.26 ) Encuentra una fórmula para∂z∂r y

∂z∂t , donde x = u(r, s, t), y = v(r, s, t) y z = f (x, y).

12A este ∆ se le conoce como el operador laplaciano de R2. A la expresión ∆(f ) se le llama laplaciano de f. En general, puededefinirse el operador laplaciano en Rn como sigue:

( 6.8.1 ) Se define el operador laplaciano en Rn por ∆n, donde ∆n : C2 (Rn,R)→ C0 (Rn,R) está dado por ∆n =n∑k=1

Dk2.

210

6.8. Ejercicios.

( 6.27 ) Calcula las parciales de f respecto de s y t, donde x = sin(2t), y = cos(3t − s) y f (x, y) = x + y1− xy .

( 6.28 ) Supón que D1f (0, 0, 0) = 2, D2f (0, 0, 0) = D3f (0, 0, 0) = 3. Sea g(u, v) = f (u − v, u2 − 1, 3v − 3).Encuentra D1g (1, 1) .

( 6.29 ) Sea f una función que satisface que f (tx, ty) = tmf (x, y) para todos los números reales x, y y t. Sif ∈ C2 (R2,R

)entonces

x2D1,1f (x, y) + 2xyD1,2f (x, y) + y2D2,2f (x, y) = m(m − 1)f (x, y).

( 6.30 ) Encuentra la regla de correspondencia de Di,jf, para cada i, j ∈ 1, 2, donde f : R2 → R está dada porf (x, y) = cosx siny.

( 6.31 ) Sea g(t, x, y) = f (t2x, 2y + t). Encuentra ∂g∂t en términos de las parciales de f.

( 6.32 ) Sea r : Rn → R, dada por r(X) = ‖X‖ . Encuentra la regla de correspondencia de Dir para cada i.

( 6.33 ) Sea g(x, y) = f (x + y, x − y). Entonces

D1,2g (x, y) = D1,1f (x + y, x − y)−D2,2f (x + y, x − y) .

( 6.34 ) Sean x = r cos θ y y = r sin θ, las fórmulas para coordenadas polares. Supón que f (x, y) = g(r, θ)entonces

D1,1g (r, θ) + 1rD1g (r, θ) + 1

r2 D2,2g (r, θ) = D1,1f (x, y) + D2,2f (x, y) .

( 6.35 ) Encuentra todas las parciales de hasta tercer orden de la función definida por (x, y) 7ÏÅxy , xy + y

x

ã.

( 6.36 ) Sean f, g : R→ R funciones dos veces diferenciables. Entonces u(x, y) = f (x)g(y) satisface la ecuación

u ∂2u∂y∂x + ∂u

∂x∂u∂y = 0. El recíproco también es cierto.

Sugerencia: utiliza el teorema fundamental del cálculo para una variable considerando las restricciones de u a

los ejes coordenados. Primero deberás encontrar∂∂y

Åu∂u∂x

ã.

( 6.37 ) Sea f función de x y y, si x = u + v y y = u − v entonces∂2f∂u∂v = ∂2f

∂x2 −∂2f∂y2 . Supón que f es de

clase C2.

( 6.38 ) Supón que f, g ∈ C2 (R,R) y defíne F : R2 → W dada por F (x, y) = f (x − y) + g(x + y). Entonces∂2F∂x2 = ∂2F

∂y2 .

( 6.39 ) Sea f : Rn → Rm definida como f (X) = AX donde A ∈Matm×n (R) . Supón que g se define de la misma

manera pero usando B ∈ Matm×n (R) . Entonces ∂(f + λg)∂X = ∂(A+ λB)X

∂X = A + λB. Esta es otra ventaja de

la notación clásica.

( 6.40 ) Sea F (X) = XtAX, donde X ∈ Rn, A ∈Matm×n (R) y Xt denota el vector transpuesto de X. EntoncesF es diferenciable y que DF (X) = 2AX. Recuerde que la fórmula Y tY es equivalente a Y · Y.

211


212

Capítulo 7

• El teorema de Taylor.

El teorema de Taylor es uno de los teoremas más importantes dentro del cálculo diferencial envarias variables. Este teorema permite aproximar una función a valores reales mediante polinomios,conocidos como «desarrollos limitados». Como un polinomio es suave (en el sentido que es clase C∞,ve el ejercicio (6.15)) deberán pedirse hipótesis de suavidad a la función. Por otro lado, para desarrollarla teoría del polinomio de Taylor será imprescindible definir a las derivadas de orden superior. Paraesto, primero se desarrollará la segunda derivada de tal forma que la teoría expuesta sea partiendodesde un punto de vista geométrico. Por esta razón se ha empezado definiendo a las formas cuadráticasen Rn. Una vez que sea estudiada la segunda derivada se introducirán las derivadas de orden superior.

§ 7.1. Formas cuadráticas.

Para empezar, una forma cuadrática, como su nombre lo sugiere, es una función que solo poseetérminos de segundo grado. Más específicamente, es una función polinomial tal que todos sus términosson monomios de segundo orden. Formalmente, se tiene la siguiente definición.

( 7.1.1 ) Se dirá que una función es una forma cuadrática si es una función polinomial homogénea de segundogrado. Esto es, f es una forma cuadrática en n variables si es una función polinomial tal que para cualesquierX ∈ Rn y λ ∈ R se tiene que f (λX) = λ2f (X).

Observaciones:

1. Dados n y m fijos, el conjunto de las funciones polinomiales de grado menor o igual a m en nvariables ha sido denotado por Pm (Rn) . Este conjunto resulta ser un espacio vectorial de dimen-sión finita. Luego, el subconjunto formado por las funciones polinomiales que son homogéneasde segundo orden resulta ser un subespacio vectorial de dimensión finita. En (7.1.2) se encuentrauna base y la dimensión de tal subespacio.

2. La expresión general de una función polinomial de grado 2 en 2 variables es (x, y) 7Ï ax2 +bxy + cy2 + dx + ey + f, en donde a, b, c, d, e, y f son constantes reales. Por tanto, en R2 setiene que las únicas formas cuadráticas existentes en dos variables son de la forma (x, y) 7Ïax2 + bxy + cy2. Análogamente, en R3 las únicas formas cuadráticas que existen tienen la forma(x, y, z) 7Ï ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz.

213

Capítulo 7. El teorema de Taylor.

3. Más generalmente, si f es una forma cuadrática en n variables entonces existen constantes ai,j ∈ Rpara i = 1, . . . , n y j = 1, . . . , n tales que

f (x1, . . . , xn) =n∑i=1

n∑j=1

ai,jxixj .

4. De la observación previa, en R2 se puede demostrar que las curvas de nivel de una forma cua-drática tiene por forma secciones cónicas (posiblemente degeneradas). Esto es, toda ecuación dela forma ax2 + bxy + cy2 = k para alguna k ∈ R representa una sección cónica. Por ejemplo,la forma cuadrática f (x, y) = x2 + y2 tiene por curvas de nivel círculos, mientras que la formacuadrática f (x, y) = x2− 3y2 tiene por curvas de nivel hipérbolas. En general, la forma cuadráticaf (x, y) = ax2 +by2 tiene curvas de nivel círculo si a = b, elipses si ab > 0 e hipérbolas si ab < 0.Si ab = 0 entonces f (x, y) = ax2 + by2 tiene por curvas de nivel rectas paralelas a los ejes, elconjunto vacío o todo R2.

( 7.1.2 ) El conjunto de las formas cuadrática definidas en Rn es un espacio vectorial real de dimensión

Çn2

å=

n(n + 1)2 .

Sea V el conjunto de las formas cuadráticas definidas en Rn. Claramente V es subconjunto no vacío(pues 0 ∈ V ) del espacio vectorial R(Rn), el espacio vectorial de todas las funciones de Rn en R. Luego,basta ver que V es cerrado ante combinaciones lineales de sus elementos. Sean f, g ∈ V, λ, µ ∈ R yX ∈ Rn. Entonces

(f + λg)(µX) = f (µX) + λg(µX) = µ2f (X) + µ2λg(X) = µ2(f + λg)(X).

Por otro lado, como f y g son funciones polinomioales, f + λg también lo es. Al ser f + λg una funciónpolinomial homogénea de segundo grado se concluye que es una forma cuadrática. Esto demuestraque f + λg ∈ V. Con lo que se concluye que V es un espacio vectorial real.

Se verá ahora que dim V = n(n + 1)2 . Para esto, se exhibirá explícitamente una base de V. Considera

las funciones fi,j = priprj , para i = 1, . . . , n y j = i, . . . , n. Se afirma que B = fi,j |i = 1, . . . , , j = i, . . . , nes una base de V. Como todo f ∈ V puede escribirse de la forma

f (t1, . . . , tn) =n∑i=1

n∑j=1

ai,jtitj =n∑i=1

ai,jt2i +∑i 6=j

(ai,j + aj,i)titj ,

el conjunto B genera a V. Resta demostrar que es linealmente independiente. Supón quen∑i=1

n∑j=i

ai,jfi,j =

0 entonces para todo (t1, . . . , tn) ∈ Rn se tiene quen∑i=1

n∑j=i

ai,jfi,j (t1, . . . , tn) =n∑i=1

n∑j=i

ai,jtitj =n∑i=1

ai,it2i +n∑i=1

n∑j=i+1

ai,jtitj = 0.

Pero entonces, para (e1, . . . , en) la base canónica de Rn, se ve quen∑i=1

n∑j=i

ai,jfi,j (ek) = ak,k = 0.

214

7.1. Formas cuadráticas.

Esto muestra que,n∑i=1

n∑j=i

ai,jfi,j (t1, . . . , tn) =n∑i=1

n∑j=i+1

ai,jtitj = 0.

Sean 1 ≤ s < r ≤ n. Se evalúa ahora en es + er , queda quen∑i=1

n∑j=i

ai,jfi,j (er + es) = as,r = 0.

Por lo que, a1,1 = a1,2 = . . . = an,n−1 = an,n = 0, mostrando que fi,j es linealmente independiente, con

lo cual, dim V = (n + 1)n2 .

z 7.1.1 Formas cuadráticas definidas y cambios de variables.Más adelante las formas cuadráticas se relacionarán con los máximos y mínimos de una función.

Luego, cuando una forma cuadrática en n variables f satisfaga que f (X) > 0 para todo X ∈ Rn, con X 6= 0se tendrá que f posee un mínimo estricto y absoluto1 en 0. Si la desigualdad anterior no es estricta,solo se puede afirmar que el mínimo es global, posiblemente no estricto. Luego, conviene definir a talesformas cuadráticas.

( 7.1.3 ) Para cualquier forma cuadrática f, se tiene que f (0) = 0.

En efecto, como f es homogénea de segundo grado, f (0) = 02f (0) = 0.

( 7.1.4 ) Sea f : Rn → R una forma cuadrática. Se dirá que f está definida positivamente si f (X) > 0 para todoX 6= 0. En el caso donde la desigualdad no es estricta, se dice que f está definida semipositivamente. Cuandof (X) < 0 para todo X 6= 0, se dice que f está definida negativamente; si f (X) ≤ 0 para todo X 6= 0 entonces f esuna forma cuadrática definida seminegativamente. Si f (X) > 0 para algún X 6= 0 y f (X) < 0 para algún X 6= 0,se dirá que la forma cuadrática f está no definida.

( 7.1.5 ) Clasifique a las siguientes formas cuadráticas de acuerdo con la definición anterior.

1. (x − y)2 + x2 − 2xy;

2. x2 + 2xy + 3y2;

3. x2 − 6xy + 10y2.

Intuitivamente, debe ser que la segunda forma cuadrática está definida positivamente pues tienemucho peso en su términos positivos. La primera parece estar no definida y la tercera es difícil decidira simple vista.

Para la primera se observa lo siguiente

(x − y)2 + x2 − 2xy = x2 − 2xy + y2 + x2 − 2xy = 2(x − y)2 − y2.

De este modo, tomando (x, y) = (0, 1), se ve que alcanza un valor positivo en un vector no cero ytomando (x, y) = (1, 1) se ve que alcanza un valor negativo en un vector no cero. Por ende, esta formaestá no definida. Para la segunda se harán, de nuevo, algunas manipulaciones algebraicas. Se tiene que,

x2 + 2xy + 3y2 = x2 + 2xy + y2 + 2y2 = (x + y)2 + 2y2,1Recuerda que un punto P ∈ Dom (f ) se dice que es mínimo estricto local de f si existe una bola abierta centrada en P donde

f (P) < f (Q) para cualquier Q distinto de P en la bola. Si la desigualdad anterior no es estricta, se dice que f tiene un mínimorelativo local en P. En el caso en donde la bola pueda extenderse a todo Dom (f ) se dice que P es mínimo global o absoluto (yasea estricto o no). Las definiciones para máximo son análogas.

215


que es positivo si (x, y) 6= (0, 0). Por lo tanto, esta forma cuadrática está definida positivamente.Finalmente, en el tercer caso, se completa el cuadrado. Esto es,

x2 − 6xy + 10y2 = x2 + 2x(−3y) + 9y9 + y2 = (x − 3y)2 + y2,

que muestra que esta forma cuadrática esta definida positivamente. El lector apreciará que es, en general, difícil decidir si una forma cuadrática esta definida de algún

modo. Cuando la forma depende de un número grande de variables, por ejemplo n > 4, se encuentranya muchos problemas. Sin embargo, existe un caso particularmente fácil de manejar, este es cuando laforma cuadrática está dispuesta en forma diagonal.

( 7.1.6 ) Sea f una forma cuadrática en n variables. Supón que, de acuerdo con (7.1.2),

f =n∑i=1

n∑j=i

ai,jpriprj .

Se dirá f está dispuesta en forma diagonal si ai,j = 0 para i < j.

Observaciones:

1. Cuando f es una forma cuadrática enR2 la definición anterior implica que f está en forma diagonalsi i1 = i2 = 1 Ñ ai1i2 = 0. Si se piensa que f (x, y) = ax2 + bxy + cy2 entonces f está en formadiagonal si b = 0. Análogamente, en R3 una forma cuadrática f (x, y, z) = ax2 +by2 +cz2 +dxy+exz + fyz está en forma diagonal si d = e = f = 0.

2. Más generalmente, si una forma cuadrática f en Rn es diagonal, se puede escribir como

f (x1, . . . , xn) =n∑i=1

aix2i ,

donde ai = f (ei).

3. Luego, una forma cuadrática dispuesta en forma diagonal está definida positivamente si ai > 0para todo i; está definida semipositivamente si ai ≥ 0 para todo i; está definida negativamente siai < 0 para todo i; está definida seminegativamente si ai ≤ 0 para todo i y está no definida siexisten ai y aj con aiaj < 0.

( 7.1.7 ) Encuentra un criterio en términos de los coeficientes para determinar si la forma cuadrática ax2 +bxy+cy2 está definida positivamente, semipositivamente, negativamente, seminegativamente o si está no definida.

Para una forma cuadrática en general es difícil decidir si esta esta definida de algún modo. Luego,se tratará de llevarla a forma diagonal. Para esto, se intentará completar el cuadrado como antes. Paraempezar, si a 6= 0 se puede proceder como sigue,

ax2 + bxy + cy2 = aÅx2 + 2x b

2ayã

+ cy2

= aÇx2 + 2x b

2ay + b2

4a2 y2å

+ cy2 − b2

4ay2

= aÅx + b

2ayã2

+Çc − b2

4a

åy2.

216


Haciendo u = x + b2ay y v = y, se encuentra que la forma cuadrática original está dada por

au2 +Çc − b2

4a

åv2.

En esta forma, es fácil notar que la forma cuadrática está definida positivamente si a > 0 y c− b2

4a > 0,equivalentemente, a > 0 y 4ac − b2 > 0. Está definida semipositivamente si a > 0 y 4ac − b2 ≥ 0.Está definida negativamente si a < 0 y 4ac − b2 > 0, seminegativamente si a < 0 y 4ac − b2 ≥ 0 y noestá definida si a > 0 y 4ac − b2 < 0 o bien, si a < 0 y 4ac − b2 > 0. Para el caso en que a = 0, laforma cuadrática se reduce a bxy+ cy2 = y(bx+ cy). Claramente al hacer x = αy, se ve que la formacuadrática toma la forma (αb + c)y2, lo que muestra que está no definida si b 6= 0. Si b = 0 entoncestoma la fomra cy2, la cual poseerá el signo de c. Como resumen para una forma cuadrática en R2, setiene la siguiente tabla

Tipo CoeficientesDefinida positivamente a > 0, 4ac − b2 > 0 o a = b = 0, c > 0Definida semipositivamente a > 0, 4ac − b2 ≥ 0 o a = b = 0, c ≥ 0Definida negativamente a < 0, 4ac − b2 > 0 o a = b = 0, c < 0Definida seminegativamente a < 0, 4ac − b2 ≥ 0 o a = b = 0, c ≤ 0No definida En cualquier otro caso

Esto concluye la caracterización. En el ejemplo anterior, para caracterizar a las formas cuadráticas en R2 se utilizó el método de

completar el cuadrado. En general este método no es el más recomendable (considera por ejemplo, laforma cuadrática (x, y, z) 7Ï 3x2 +6y2−2z2 +3xy−18yz+5xz), pero siempre funciona (ve la prueba de(7.2.1)). Sin embargo, existe un modo de proceder y es equivalente en R2 al de completar el cuadrado.Observa que en el ejemplo anterior se introdujeron las variables u y v. Esto se conoce como un cambiode variables.

( 7.1.8 ) Un campo vectorial T : Rn → Rn es un cambio de variable si es una biyección. Si, además, T es lineal,se dirá que es un cambio de variable lineal.

En particular, cuando se cambia el parámetro a una curva se está realizando un cambio de variable.En general, se dirá que se ha hecho un cambio de variable si dada una función esta ha sido precompuestacon un cambio de variable. Esto es, si en lugar de trabajar con F se trabaja con F T. En el ejemploanterior, se tenía que f (x, y) = ax2 +bxy + cy2. Luego, para encontrar T se procede como sigue, dado

que (f T)(u, v) = au2 +Çc − b2

4a

åv2. En el ejemplo se hizo u = x + b

2ay y v = y, luego definiendo

S(x, y) =Åx + b

2ay, yã

= (u, v), se encontra que

(f T S)(x, y) = (f T)(u, v) = (f T)Åx + b

2ay, yã

= aÅx + b

2ayã2

+Çc − b2

4a

åy2

= aÇx2 + b

axy + b2

4a2 y2å

+Çc − b2

4a

åy2

= ax2 + bxy + cy2.

217


De este modo, S es la inversa T. Para encontrar T se invierte S, luego T(x, y) =Åx − b

2ay, yã.

Como en el ejemplo pasado, para una forma cuadrática en dos variables a veces es más naturalproceder a completar el cuadrado y dar la inversa de T explícitamente. Si T no es necesaria no seprocede a encontrarla.

( 7.1.9 ) Sea f : Rn → R un polinomio y T : Rn → Rn un cambio de variable lineal. Entonces f T es unpolinomio.

Como f es una suma finita de monomios se puede suponer que f es un monomio. Se sabe que Ttoma la forma

T(x1, . . . , xn) =( n∑

i=1t1,ixi, . . . ,

n∑i=1

tn,ixi

),

donde cada ti,j es constante. Luego, suponiendo f = cpri11 · · ·prinn ,

(f T)(x1, . . . , xn) = c( n∑

i=1t1,ixi

)i1

· · ·( n∑

i=1tn,ixi

)in

,

y al ser cada ij un entero no negativo, se sigue que f T es un polinomio.

( 7.1.10 ) Sea T : Rn → Rn un cambio de variables lineal y f : Rn → R una forma cuadrática. Entonces f Tes una forma cuadrática.

En virtud de (7.1.9) f T es un polinomio. Basta verificar que es homogéneo de segundo grado. Pero,

(f T)(λX) = f (T(λX)) = f (λT(X)) = λ2f (T(X)).

Luego, por definición, f T es una forma cuadrática.

( 7.1.11 ) Sea V ⊂ P (Rn) el espacio vectorial de las formas cuadráticas en n variables. Entonces,

(f, g) ∈ V2 : f = g T para algún cambio de variable lineal T

es una relación de equivalencia en el espacio de las formas cuadráticas.

Se denota por ∼ a este conjunto, se debe mostrar que

1. f ∈ V Ñ (f, f ) ∈∼ («simetría»);

2. (f, g) ∈∼, (g, h) ∈∼Ñ (f, h) ∈∼ («transitividad»);

3. (f, g) ∈∼Ñ (g, f ) ∈∼ («reciprocidad»).

La primera de estas propiedades se obtiene tomando T = IRn . La segunda se obtiene como sigue, alser f = g T y g = h S, se sigue que f = h ST. Para la tercera se observa que al ser T invertible,f = g T ⇔ g = f T−1.

Este teorema permite considerar el espacio de clases de equivalencia V∼ . Se verá que este espacio

tiene propiedades muy importantes. Cuando dos formas cuadráticas sean equivalentes se denotará porf ∼= g. Ahora, dado un elemento f ∈ V se define su clase de equivalencia como [f ] = g ∈ V : f ∼= g,luego, se define

V∼ = [f ] : f ∈ V .

Ahora se demostrarán algunas propiedades que heredan las clases de equivalencia.

218


( 7.1.12 ) Sean f y g formas cuadráticas en n variables tales que f ∼= g. Para que f satisfaga alguna de lassiguientes propiedades es necesario y suficiente que g la satisfaga también:

1. f está definida positivamente;

2. f está definida semipositivamente;

3. f está definida negativamente;

4. f está definida seminegativamente;

5. f está no definida.

Por ser ∼= una relación de equivalencia basta demostrar que si f satisface alguna de las propiedadesanteriores entonces g también.

Se supone que f está definida positivamente y que f = gT. Se verá que g está definida positivamente.Sea Y ∈ Rn con Y 6= 0, como T es invertible, T−1Y 6= 0 y entonces

g(Y ) = g(T(T−1(Y ))) = f (T−1(Y )) > 0.

Esto muestra que g está definida positivamente. Los casos donde f está definida semipositivamente,negativamente y seminegativamente son análogos.

Supón ahora que f no está definida. Existe un X 6= 0 tal que f (X) > 0 y existe un Y 6= 0 tal quef (Y ) < 0. Pero, f (X) = g(TX) > 0 y TX 6= 0 por ser X 6= 0 y T invertible. Análogamente, g(TY ) < 0 yTY 6= 0. Luego, g está no definida.

De este teorema se sigue inmediatamente que para determinar si una forma cuadrática está definidade algún modo basta considerar una forma cuadrática más simple. Luego, es deseable que toda formacuadrática sea equivalente a una forma diagonal. Esto será discutido en la siguiente sección, al estudiarla ley de inercia de Sylvester2.

z 7.1.2 Matriz asociada a una forma cuadrática.Se considera una forma cuadrática arbitraria f definida en Rn se quiere encontrar una matriz

A ∈Matn×n (R) tal que f (X) = 〈AX,X〉 ; esto es, abusando ligeramente de la notación, f (X) = AX2. Comof es una función polinomial homogénea de segundo grado, se pueden encontrar ai,j ∈ R tales que

f (x1, . . . , xn) =n∑i=1

n∑j=i

ai,jxixj .

De esta expresión es tentador proceder a factorizar el vector X = (x1, . . . , xn). Para esto, se observa losiguiente

n∑i=1

n∑j=i

ai,jxixj =n∑i=1

xin∑j=i

ai,jxj =

∞Ñn∑j=1

a1,jxj ,n∑j=2

a2,jxj , . . . , an,nxn

é, X

∫.

Toma ahora A = (bi,j ), donde bi,j = 0 si i > j y bi,j = ai,j en otro caso. De la definición de productomatricial

n∑i=1

n∑j=1

ai,jxixj = 〈AX,X〉 .

2En honor de James Joseph Sylvester (3 de septiembre 1814 - 15 de marzo 1897) un matemático inglés, quien se especializóen teoría de matrices y teoría de números.

219


El problema resulta ahora que f 7Ï A no es una función (muchas A representan la misma f ), puessi B se obtiene de A al cambiar las entradas (supón que i < j) bi,j y bj,i por ai,j

2 y bj,i = ai,j2 se

obtiene que f también está representada por B. Esta falta de unicidad surgen del hecho el espacio deformas cuadráticas en n variables posee dimensión n(n + 1)

2 y no n2. Luego, se tienen una infinidad dediferentes matrices A que representan a f. Sin embargo, dentro de todas estas matrices existe una únicamatriz símetrica B que la representa. Tal matriz se obtiene al hacer (se supone i < j) bi,j = bj,i = ai,j

2 .Equivalentemente, si se encuentra una matriz A tal que f (X) = 〈AX,X〉 entonces la única matriz simétrica

asociada a f viene dada por B = A+ AT2 . Esto se resume en el siguiente teorema.

( 7.1.13 ) Sea V ⊂ P (Rn) el espacio de formas cuadráticas en n variables y W ⊂ Matn×n (R) el espacio dematrices simétricas. Se tiene que V yW son isomorfos. De hecho, si f (X) = 〈AX,X〉 para alguna A ∈Matn×n (R)

entonces el único elementos B ∈W asociado a f viene dado por B = A+ AT2 .

Ya se demostró que V tiene dimensión n(n + 1)2 . Queda de ejercicio para el lector demostrar que

W tiene la misma dimensión. Por lo tanto, basta dar una inyección lineal de W en V. Sea Φ : W → Vtal que manda B a la forma cuadrática X 7Ï 〈BX,X〉 , se deja de ejercicio verificar que Φ es lineal. Sesupone entonces que Φ(S) = Φ(T). Evaluando en ei, queda que

si,i = Sei · ei = Tei · ei = ti,i.

Evaluando ahora en ei + ej , se encuentra que

si,i + sj,i + si,j + sj,j = S(ei + ej ) · (ei + ej ) = Tei · ej = ti,i + tj,i + ti,j + tj,j .

De donde, si,j + sj,i = ti,j + tj,i. Al ser S y T simétricas, se concluye que S = T. Se ha mostrado entoncesque V y W son isomorfos.

Supón ahora que f (X) = 〈AX,X〉 para alguna A ∈Matn×n (R) . Claramente B = A+ AT2 es simétrica.

Se ve ahora que f (X) = 〈BX,X〉 . Se tiene que

〈BX,X〉 =ÆAX + ATX

2 , X∏

=〈AX,X〉+

⟨ATX,X

⟩2 ,

basta demostrar que⟨ATX,X

⟩= 〈AX,X〉 . Pero,

⟨ATX,X

⟩=

n∑i=1

n∑j=1

aj,ixixj =n∑j=1

n∑i=1

ai,jxixj = 〈AX,X〉 ,

en donde he sido usado que xixj = xjxi. Luego, se concluye que f (X) = 〈BX,X〉 . Es importante destacar que esta matriz simétrica B está dada respecto a la base canónica de Rn. Si

la base cambia, también la matriz se altera, esto será tratado en la siguiente sección.

( 7.1.14 ) Encuentra la única matriz simétrica que representa a la forma cuadrática

(x1, x2, x3) 7Ï 3x21 + 2x2

2 − 7x23 + x1x2 − 2x2x3 + 4x1x3.

220

7.2. Ley de inercia de Sylvester.

Sea f la forma dada, se encuentra una matriz cuadrada A tal que f (X) = 〈AX,X〉 . Una matrizA ∈Mat3×3 (R) que representa a f está dado por

A =

3 1 40 2 −20 0 −7

.Luego, la única matriz simétrica asociada a f viene dada por B = A+ AT

2 , de este modo, la matriz Bbuscada es

B =

3 12 2

12 2 −12 −1 −7

.En general, es más fácil dar A directamente y después encontrar B.

§ 7.2. Ley de inercia de Sylvester.En esta sección se demostrará la Ley de Inercia de Sylvester. Esta ley da pauta para trabajar más a

fondo con las formas cuadráticas en general. Para empezar, la ley asegura que toda forma cuadráticaes congruente a una forma diagonal g. Más aún, g puede ser escrita de la siguiente forma

g(x1, . . . , xm) =p∑k=1

x2k −

p+n∑k=p+1

x2k,

donde p y n solo dependen de la clase de equivalencia de g. A estos números se les llama los índicesde inercia positivo y negativo. A la diferencia p−n se le conoce como la signatura de A. A continuaciónse enuncia, demuestra y se exhiben algunos ejemplos del teorema.

( 7.2.1 ) Sea f una forma cuadrática definida en Rn. Existe un cambio de variable lineal T que diagonaliza af ; esto es, f T es diagonal. Más aún, si S es un cambio de variable lineal donde f S es diagonal entonces elnúmero de coeficientes positivos de f S y los de f T son iguales; la «ley de inercia de Sylvester». Mismo paracoeficientes negativos.

Se va a realizar la demostración utilizando inducción matemática. Define H el conjunto de losnúmeros naturales n para los cuales toda forma cuadrática definida en Rn es equivalente a una formacuadrática en forma diagonal. Se verá que H = N.

Para empezar, 1 ∈ H pues toda forma cuadrática en una variable es de la forma ax2, para algúna ∈ R, luego, ya está dispuesta en forma diagonal. Supón ahora que n ∈ H y toma f : Rn+1 → R unaforma cuadrática cualquiera. Para utilizar inducción lo más natural es tratar de eliminar una de lasvariables de f, dicho de otro modo, disponer f como sigue

f (x1, . . . , xn+1) = g(x1, . . . , xn) + Ayn+1,

donde yn+1 es función lineal de x1, . . . , xn+1. Si es posible escribir a f de esta forma, el principio deinducción asegura que g es equivalente a una forma diagonal, luego existe un Tg : Rn → Rn tal queg Tg está en forma diagonal. Así,se podría definir T : Rn+1 → Rn+1 por

T(x1, . . . , xn+1) = (Tg (x1, . . . , xn), yn+1).

Por ende, todo se reduce a encontrar yn+1, la cual, como se mencionó, deberá ser una expresión linealen (posiblemente todas) las variables x1, . . . , xn+1.

221


Supón que

f (x1, . . . , xn+1) =n+1∑i=1

n+1∑j=i

ai,jxixj .

Se hace una reducción del problema, se supone que an+1n+1 6= 0. Ahora se agrupa todos los términosque involucran a la variable xn+1. Queda que,

f (x1, . . . , xn+1) =n∑i=1

n∑j=i

ai,jxixj +n+1∑i=1

ai,n+1xixn+1.

Luego, se define h : Rn → R dada por h(x1, . . . , xn) =n∑i=1

n∑j=i

ai,jxixj . Por lo tanto, para concluir, se debe

escribir la expresiónn+1∑i=1

ai,n+1xixn+1 como una constante por una combinación lineal de todas las xi

elevada al cuadrado. Como se ha supuesto que an+1,n+1 6= 0, se puede dividir por esta variable, quedaque

n+1∑i=1

ai,n+1xixn+1 = an+1,n+1

( n∑i=1

ai,n+1an+1,n+1

xixn+1 + x2n+1

).

Se define bi = ai,n+12an+1,n+1

para i = 1, . . . , n entonces la expresión entre paréntesis anterior es

2b1x1xn+1 + . . .+ 2bnxnxn+1 + x2n+1.

Por otro lado, si se considera constantes fijas c1, . . . , cn ∈ R, se ve que( n∑i=1

cixi + xn+1

)2

= 2c1x1xn+1 + . . .+ 2cnxnxn+1 + x2n+1 +H(x1, . . . , xn),

en donde H(x1, . . . , xn) consiste en aquellos términos que no involucran a xn+1. Haciendo ci = bi parai = 1, . . . , n se encuentra que

n∑i=1

bixixn+1 + x2n+1 = 2b1x1xn+1 + . . .+ 2bnxnxn+1 + x2

n+1

+H(x1, . . . , xn)−H(x1, . . . , xn)

=( n∑

i=1cixi + xn+1

)2

−H(x1, . . . , xn)

De donde,

f (x1, . . . , xn+1) = h(x1, . . . , xn)−H(x1, . . . , xn) +( n∑

i=1cixi + xn+1

)2

,

de donde, se toma g = h−H y se ve que es una forma cuadrática que solo depende de las primeras nvariables. Luego, ha sido demostrado el teorema para el caso donde an+1,n+1 6= 0.

Se ve ahora el caso donde an+1,n+1 = 0. Supón primero que ai,i 6= 0 para algún i ∈ 1, . . . , n. DefineT : Rn+1 → Rn+1 dada por

T(x1, . . . , xn+1) = (x1, . . . , xi−1, xn+1, xi+1, . . . , xn, xi),

222


es claro que T es un cambio de variable lineal. De este modo, es inmediato que el coeficiente de xn+1 def T es no nulo, por lo que aplica el caso anterior a f T. Luego, se puede encontrar S : Rn+1 → Rn+1

tal que f T S es diagonal. Por lo tanto, la transformación buscada para este caso es T S. Finalmente,supón que ai,i = 0 para i = 1, . . . , n + 1. Entonces, para f la transformación cero no hay nada quedemostrar, por lo que se supondrá que existe aij 6= 0. Pasando por un cambio de variable se puedesuponer que i < j, define T : Rn+1 → Rn+1 dada por T = (T1, . . . , Tn+1), donde Tk(x1, . . . , xn+1) = xk sik = 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n y

Ti(x1, . . . , xn+1) = xi + xj2 , Tj (x1, . . . , xn+1) = xi − xj

2 .

Observa lo siguiente,f (T(ei)) = f

(ei + ej2

)= ai,i + ai,j + aj,j = ai,j .

Luego, por los casos anteriores, f T es equivalente a una forma diagonal. Al agotar todos los casos, seconcluye que n+ 1 ∈H y, por lo tanto, H = N. Por ende, toda forma cuadrática real es equivalente auna forma cuadrática diagonal.

Se ve ahora que si f T y f S son formas cuadráticas equivalentes y diagonales entonces elnúmero de coeficientes positivos, negativos y nulos coinciden. Utilizando cambios de coordenadas, sepuede trabajar en Ran (S) = Rn. Luego, se puede pensar que f está en forma diagonal y que T es unatransformación que manda f a otra forma diagonal. Cambiando el orden de las coordenadas se puedesuponer que, respecto de f T, los términos positivos empiezan y luego los negativos. Supón entoncesque

f (x1, . . . , xn) =p1∑i=1

αix2i −

p1+n1∑i=p1+1

αix2i

y

(f T)(x1, . . . , xn) =p2∑i=1

βix2i −

p2+n2∑i=p2+1

βix2i ,

donde todos los αi y los βj son números positivos. Se quiere demostrar que p1 = p2 y que n1 = n2.Para esto, observa que f T T−1 = f. Escribe T−1 = (t1, . . . , tn) entonces, se ha de cumplir que paracualquier X ∈ Rn

p1∑i=1

αix2i −

p1+n1∑i=p1+1

αix2i =

p2∑i=1

βi(tiX)2 −p2+n2∑i=p2+1

βi(tiX)2,

de donde,p1∑i=1

αix2i +

p2+n2∑i=p2+1

βi(tiX)2 =p2∑i=1

βi(tiX)2 +p1+n1∑i=p1+1

αix2i .

Si p1 6= p2, por ejemplo p1 < p2, se puede tomar X 6= 0 tal que

X ∈ 0p1 ×Rn−p1 ∩ T (Rp2 × 0n−p2 ) .

En efecto, considerando que T es invertible, se concluye que

dim (0p1 ×Rn−p1 ) = n − p1

y quedim T (Rp2 × 0n−p2 ) = p2

223


se ve que la dimensión de 0p1×Rn−p1∩T (Rp2 × 0n−p2 ) es al menos p2−p1, demostrando lo afirmado.Par tal X se tiene que T−1X ∈ Rp2 × 0n−p2 . De donde,

p1∑i=1

αix2i +

p2+n2∑i=p2+1

βi(tiX)2 = 0,

con lo que,p2∑i=1


αix2i = 0.

Al ser X 6= 0 y T−1 invertible, se concluye que existe un k para el cual tkX 6= 0, luego

p2∑i=1


αix2i ≥ βk(tkX)2 > 0,

que es una contradicción. Por lo tanto, p1 6< p2. Considerando X ∈ Rp1 × 0n−p1 ∩ T(0p2 × Rn−p2 )se puede concluir que p2 6< p1, con lo que p1 = p2. Considerando −f y −f T se ve que n1 = n2. Seconcluye lo pedido.

La demostración anterior es constructiva, de ella se puede deducir como definir los cambios devariable en casos particulares.

( 7.2.2 ) Exprese la siguiente forma cuadrática f (x, y, z) = 2x2 + y2 − xz + xy − 2yz en forma diagonal.

Suponiendo que f (x1, x2, x3) =∑i,jaijxixj entonces, como en la demostración de la ley de inercia

de Sylvester, se necesita que alguna de las coordenadas ai,i sea no nula. Se toma a1,1 = 2 como lacoordenada no nula. Luego, se debe agrupar todos los términos que contengan a x, queda que

f (x, y, z) = (2x2 + xy − xz) + (y2 − 2yz).

Ahora se escribirá 2x2 + xy − xz como un trinomio al cuadrado menos valores independientes de x.Observa que

2x2 + xy − xz = 2(x2 + xy

2 + xz2

),

se quiere que 12 = 2a, por ende a = 1

4 . Con esto, se ve que

(x + ay + az)2 = x2 + 2axy + 2axz + a2y2 + 2a2yz + a2z2.

Tomando ∆ = a2y2 + 2a2yz + a2z2, queda que

2x2 + xy − xz = 2(x + ay + az)2 − 2∆.

De esta forma,f (x, y, z) = 2

(x + y

4 + z4

)2− 2∆ + y2 − 2yz.

Ahora se debe completar el cuadrado

−2∆ + y2 − 2yz = −y2 + yz + z2

8 + y2 − 2yz = 78y

2 − 178 yz − 1

8z2.

224


Por otro lado,

7y2 − 17yz − z2 = −Åz + 17

2 yã2

+Å

7 + 2894

ãy2 = 317

4 y2 −Åz + 17

2 yã2.

Finalmente,

f (x, y, z) = 2(x + y

4 + z4

)2+ 317

32 y2 − 1

8

Åz + 17

2 yã2,

que es una expresión diagonal para f. De la ley de inercia de Sylvester se tiene que si f es una forma cuadrática y f T es una forma

diagonal equivalente a f entonces p − n está bien definido sin importar T, donde p es el número decoeficientes positivos de f y n el número de coeficientes negativos. A estos números se les da nombresespeciales.

( 7.2.3 ) Sea f una forma cuadrática y f T cualquier forma cuadrática diagonal equivalente a f, sea p el númerode coeficientes positivos de f T y n el número de coeficientes negativos. Se definen el índice de signatura (o deinercia) positivo de f como p, el índice de signatura negativo de f como n, la signatura de f como sig(f ) = p−ny el rango de f como ran(f ) = p + n.

El teorema anterior permite reducir toda forma cuadrática a otra forma cuadrática especialmentefácil de analizar.

( 7.2.4 ) Sea f una forma diagonal en n variables. Existe un cambio de variable T tal que todos los coeficientesno nulos de f T son unitarios. Esto es, existe T tal que

(f T)(x1, . . . , xn) =p∑i=1

x2i −

p+n∑i=p+1

x2i ,

en donde p y n son, respectivamente, los índices de inercia positivo y negativo.

Como f está en forma diagonal, se tiene que f =n∑k=1

akpr2k. Toma T : Rn → Rn definida según

prk(TX) =

1√|ak|

prk(X) si ak 6= 0

prk(X) si ak = 0.

Es claro que T es lineal, luego basta demostrar que es inyectiva para ver que es cambio de variable.Supón que TX = 0, tomando la proyección k-ésima, queda que

ckxk = prk(TX) = prk(0) = 0.

donde ck 6= 0, luego xk = 0. Así, Nuc (T) = 0, mostrando que T es inyectiva y, por ende, invertible.Se ve ahora que f T tiene coeficientes no nulos unitarios. Sea 1 ≤ k ≤ n tal que ak 6= 0. Luego, el

coeficiente k-ésimo de f T tiene norma

|f (Tek)| =∣∣∣∣∣ n∑i=1

aipr2i (Tek)

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ ak|ak|

∣∣∣∣ = 1.

Mostrando que f T solo tiene coeficientes no nulos unitarios. De los dos teoremas previos, se concluye que toda forma cuadrática f es congruente a una forma

cuadrática con coeficientes unitarios. Por ende, es natural decir que el representante canónico de unaclase de congruencia en el espacio de formas cuadráticas es cualquier forma cuadrática en la clase deequivalencia tal que todos sus coeficientes sean unitarios.

225


( 7.2.5 ) Sea f una forma cuadrática y [f ] su clase de equivalencia entonces g ∈ [f ] es está dispuesta en formacanónica si todos los coeficientes no nulos de g son unitarios.

Como corolario de estos teoremas se tiene lo siguiente. Tomando V las formas cuadráticas en nvariables, 0 ≤ h, k ≤ n y ∼ la relación de equivalencia definida por cambios de variable lineales, existeuna única clase de equivalencia en V

∼ tal que sus elementos tienen signatura h y rango k. Para ver

esto se supone que existen dos clases [f ] y [g ] en V∼ tales que ambas tienen signatura h y rango k. Sea

pf el numero de coeficientes positivos de un elemento canónico en [f ] y nf el número de coeficientesnegativos de un elemento canónico en [f ]. Define pg y ng de manera análoga en [g ]. Se tiene quepf − nf = pg − ng = k y pf + nf = pg + ng = h. Sumando y restando, se obtiene que 2pf = h + k = 2pgy 2nf = h − k = 2ng , con lo que pf = pg y nf = ng . Por lo que, f y g son equivalentes a los formacuadrática

pf∑k=1

x2k −

pf+ng∑k=pf+1

x2k.

Mostrando que [f ] = [g ], como se afirmó.

( 7.2.6 ) Sea V el espacio de las formas cuadráticas en Rn; existen (n + 1)(n + 2)2 clases de congruencia definidas

por elementos de V.

Esto es una consecuencia casi inmediata de la observación anterior. Para empezar, se observa lasiguiente tabla:

Numero de entradas positivas Número de clasesn 1

n − 1 2...

...1 n0 n + 1

El nombre de la primera columna es autoexplicativo, la segunda columna da el número de clases quetienen el índice de inercia positivo dado por la primera columna. Luego, si la tabla es correcta, se tendríael resultado deseado. Se verificará que se han hecho bien los cálculos.

Para realizar esto se puede suponer que se tienen n casillas que se deben llenar con tres letrasp, q y r, en donde solo importa el número letras que se hayan escrito de cada tipo y no el orden encomo fueron escritas. En este caso, se está entendiendo que p significa el índice de inercia positivo, q elnegativo y r indica el número de entradas nulas. Toma 0 ≤ k ≤ n, y supón que se han tomado k letrasp entonces, las primeras k casillas están ocupadas por la letra p. De este modo, las otras n− k casillasdeben ser ocupadas por las letras q y r. Se puede suponer que se tienen n− k letras q y cero letras r,o bien, n− k− 1 letras q y una letra r, o bien, en general, n− k− i letras q e i letras r entonces, con kletras p se tiene un total de n− k+ 1 formas de acomodar n− k− i letras q e i letras r3 Luego, el totalde clases de equivalencia de formas cuadrática con índice de signatura positivo igual a k es n − k + 1,que es precisamente el número que aparece en la segunda columna de la fila k-ésima.

3Estas formas corresponden a como varía i desde cero hasta n − k.

226

7.3. Segunda derivada.

§ 7.3. Segunda derivada.La idea ahora es poder definir derivadas de orden superior. Para esto, se empezará con la segunda

derivada. Por cuestiones didácticas, se separa la construcción de la segunda derivada, que se hará contodo detalle, del resto de las derivadas de órdenes superiores.

Como motivación principal para definir la segunda derivada se observa lo siguiente. Se toma unafunción g : R2 → R en el conjunto C2 (R2,R

)y se define la función f (x, y) =

Å∂g∂x ,

∂g∂y

ã. Entonces,

como g ∈ C2 (R2,R), se tiene que las parciales de f existen ambas y son continuas. Por ende, de

acuerdo con (6.5.5), se tiene que f es diferenciable. La derivada de f es este caso viene dada por

Df (x, y) =

∂f1∂x

∂f1∂y

∂f2∂x

∂f2∂y

=

∂2g∂x2

∂2g∂y∂x

∂2g∂x∂y

∂2g∂y2

.Como g es un elemento de C2 (R2,R

), para cada punto (a, b) ∈ R2, se tiene que la matriz asociada a la

derivada de la función f en el punto (a, b) es simétrica. Luego, esta matriz es la única matriz simétricaque representa a la forma cuadrática

(x, y) 7Ï 〈(Df (a, b) (x, y)) , (x, y)〉 .

Un acercamiento para definir segunda derivada es pensar que la segunda derivada de g es esta formacuadrática.

z 7.3.1 El teorema de identificación Lin (V,Lin (V,W )) = Lin(2) (V,W ) .El siguiente teorema es pilar para poder definir satisfactoriamente las derivadas de orden supe-

rior. Aquí se regresa a la estructura general del texto; esto es, se estudian los espacios vectoriales dedimensión finita.

( 7.3.1 ) Sean U, V y W tres espacios vectoriales normados de dimensión finita positiva. Existe un isomorfimocanónico4 que preserva la norma entre los espacios normados

(Lin (U,Lin (V,W )) , ‖‖)

y(Bil(U,V ;W ), ‖‖) ,

en donde las normas que se utilizan son las normas de (5.6.2) y del ejercicio (5.72).

Se recuerda que la norma en Lin (E, F ) , donde E y F son espacios vectoriales, está dada por

‖T‖ = ınfc > 0|∀v ∈ E, ‖Tv‖ ≤ c ‖v‖;

del mismo modo, la norma en Bil(U,V ;W ) está dada por

‖B‖ = ınfc > 0|∀(u, v) ∈ U × V, ‖B(u, v)‖ ≤ c ‖u‖ ‖v‖.

Se considera la asociación de (5.7.6.2); esto es, dada una forma bilineal B ∈ Bil(U,V ;W ) define, parau ∈ U la función φB(u) ∈ Lin (V,W ) dada por φB(u)v = B(u, v). Entonces u 7Ï φB(u) es una funciónlineal φB : U → Lin (V,W ) . Define Φ : Bil(U,V ;W ) → Lin (U,Lin (V,W )) dada por Φ(B) = φB. Sedemuestra ahora que Φ es un isomorfismo que preserva la norma. Se verá cada punto.

4Un isomorfismo entre espacios vectoriales recibe el adjetivo de canónico cuando en su definición no intervienen coordenadas.

227


Linealidad. Sean B1, B2 ∈ Bil(U,V ;W ) y λ ∈ R. Se debe demostrar que φB1+λB2 = φB1 + λφB2 . Esto es,debe demostrarse que para cada u ∈ U las transformaciones lineales φB1+λB2 (u) y φB1 (u)+λφB2 (u)coinciden; esto es, que para todo v ∈ V los elementos en W

φB1+λB2 (u)v = (B1 + λB2)(u, v)

yφB1 (u)v + λφB2 (u)v = B1(u, v) + λB2(u, v)

son el mismo, lo cual es claro.

Invertibilidad. Se construye la inversa de Φ. Es natural entonces proponer la inversa como sigue.Dada φ ∈ Lin (U,Lin (V,W )) define Bφ ∈ Bil(U,V ;W ) por

Bφ(u, v) = φ(u)v.

Sea Ψ : Lin (U,Lin (V,W )) → Bil(U,V ;W ) dada por Ψ(φ) = Bφ. Para φ ∈ Lin (U,Lin (V,W )) setiene que

(Φ Ψ)(φ) = φ ⇔ ∀u ∈ U, (Φ Ψ)(φ)(u) = φ(u)⇔ ∀u ∈ U,∀v ∈ V (Φ Ψ)(φ)(u)v = φ(u)v.

Por definición, (Φ Ψ)(φ) = Φ(Bφ) y dado (u, v) ∈ U × V, Φ(Bφ)(u)v = Bφ(u, v) = φ(u)v; lo cualmuestra que

(Φ Ψ) = ILin(U,Lin(V,W )).

Análogamente,(Ψ Φ) = IBil(U,V ;W ),

lo cual deviene en que Ψ = Φ−1.

Isometría. Ahora se demostrará que Φ preserva la norma. Sea φ ∈ Lin (U,Lin (V,W )) . Entonces, delos ejercicios (5.71) y (5.73) se sigue que

‖Ψ(φ)‖ = sup‖u‖=1,‖v‖=1

‖Bφ(u, v)‖ = sup‖u‖=1,‖v‖=1

‖φ(u)v‖

= sup‖u‖=1

sup‖v‖=1

‖φ(u)v‖ = sup‖u‖=1

‖φ(u)‖ = ‖φ‖ ,

Luego, en virtud del ejercicio (1.34), Φ preserva la norma.

Esto concluye la demostración de (7.3.1).

Observación: a partir de este teorema los dos espacios vectoriales Lin (U,Lin (V,W )) y Bil(U,V ;W ) seconsiderarán indistinguibles; esto es, se supondrá que son el mismo conjunto. Entonces, si se habla deuna forma bilineal B, esta se identificará con una función φB : U → Lin (V,W ) y se escribirá, por abusode notación, φB(u) = B(u, ·). Además, para facilitar la notación, cuando U = V se pondrá Lin(2) (V,W )para denotar a cualquiera de estos espacios. Con esto, ya es posible dar una definición estilizada dederivada.

( 7.3.2 ) Sean f : A ⊂ V → W y v un punto interior de A. Supón que Df existe en una bola B (v; r) . Se diráque f es dos veces diferenciable en v si Df : B (v; r) → Lin (V,W ) es diferenciable en v. Se dirá que f es dosveces diferenciable si A es abierto y su segunda derivada existe en cada punto de A.

228

7.3. Segunda derivada.

Observación: se hace hincapié en que la segunda derivada de una función en un punto es una formalbilineal que depende del punto. Esto se ha preferido a cualquier otra opción pues así la primera derivadade una función en un punto es una forma lineal que depende del punto. En general, se definirá la k-ésimaderivada de una función en un punto como una forma k-lineal que depende del punto.

( 7.3.3 ) Calcula la segunda derivada de f (x, y) = sinx cos y en el punto P =(π

4 ,π4

).

Se utilizará (6.3.9). Entonces, se encuentra la primera derivada de f. Según (6.2.4), la primera derivadade f es (después de ser transportada de Lin

(R2,R

)a R2)

Df (x, y) = (cosx cos y,− sinx siny).

Luego, la segunda derivada de f en P es la forma bilineal que representa a la derivada de esta funciónen el punto P. Por lo que, la deriva de Df en (x, y) es

D2f (x, y) =ï− sinx cos y − cosx siny− cosx siny − sinx cos y

ò.

La regla de correspondencia de la segunda derivada queda determinada por

((h1, k1), (h2, k2)) 7Ï⟨D2f (x, y) (h1, k1), (h2, k2)

⟩.

Haciendo los cálculos, queda que la segunda derivada es la forma bilineal

D2f (x, y) ((h1, k1), (h2, k2)) = − (h1 + k1)(h2 + k2)2 .

Lo cual concluye el ejemplo. Se considera a continuación un ejemplo más complicado.

( 7.3.4 ) Encuentra la función de segundas derivadas de F en P donde F (x, y) = (y sinx, x2y + 2xy).Se procede como en el ejemplo anterior, la función de primeras derivadas de F viene dada por

DF (x, y) =ï

y cosx sinx2xy + 2y x2 + x

ò.

Sea (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) la base canónica de Mat2×2 (R) . Observa que

DF (x, y) = y cosxE1,1 + sinxE1,2 + (2xy + y)E2,1 + (x2 + 2)E2,2.

En virtud del ejemplo (6.3.9), se puede pensar que Df (x, y) es la función g(x, y) = (y cosx, sinx, 2xy +y, x2 + 2). Luego, la derivada de g es

Dg (x, y) =

y sinx cosxcosx 02y 2x + 1

2x + 1 0

.Evaluando esta función en un punto (h1, k1) se obtiene que

Dg (x, y) (h1, k1) = (y sinxh1 + cosxk1, cosxh1, 2yh1 + (2x + 1)k1, (2x + 1)h1).

Este último vector pertenece al mismo contradominio de g, por lo que toma la forma

(y sinxh1 + cosxk1)E1,1 + cosxh1E1,2 + (2yh1 + (2x + 1)k1)E2,1 + (2x + 1)h1E2,2.

De nueva cuenta, (6.3.9) muestra que este vector es D2F (x, y) ((h1, k1), ·). Finalmente,

D2F (x, y) ((h1, k1), (h2, k2)) =((y sinxh1 + cosxk1)h2 + cosxh1k2, (2yh1 + (2x + 1)k1)h2 + (2x + 1)h1k2

),

que es la segunda derivada buscada.

229


§ 7.4. Propiedades de la segunda derivada.El interés ahora es desarrollar propiedades básicas de la segunda derivada. Algunas de ellas son

consecuencias directas de las propiedades análogas de la primera derivada. Asimismo, se verá que losteoremas desarrollados en los capítulos pasados facilitarán las demostraciones de los teoremas quesiguen. Al final se anexan varios ejemplos.

z 7.4.1 Forma cuadrática.Al igual que la primera derivada de una función en un punto representa el plano tangente a la función

en el punto, la segunda derivada representa la forma cuadrática de segundo grado que mejor aproximaa la función en el punto. Dado que la segunda derivada es una forma 2-lineal queda de inmediato quepara cada punto existe una forma cuadrática asociada a la segunda derivada de una función.

( 7.4.1 ) Sea f : A ⊂ Rn → R dos veces diferenciable. Se define la forma cuadrática de f en P como la funciónC : Rn → R dada por C(X) = D2f (P) (X,X).

Es importante notar que si f es de clase C2 en P (esto es, D2f es continua en P) entonces C y D2f (P)son equivalentes en el sentido que continúa. Para que la forma cuadrática C exista es necesario que lasegunda derivada de la función en el punto exista. Recíprocamente, si se conoce C(X) para todos losX ∈ Rn, se puede encontrar D2f (P) (X,Y ) como sigue. Se tiene la siguiente igualdad,

D2f (P) (X,Y ) = C(X + Y )−C(X)−C(Y )2 .

Para verificar esto, basta utilizar la definición de C y el hecho que D2f (P) es una forma 2-lineal.Haciendo algunos cálculos, debe encontrarse que

C(X + Y )−C(X)−C(Y )2 = D2f (P) (X,Y ) + D2f (P) (Y,X)

2 .

Pero al ser f de clase C2 en P, se sigue de (6.6.1) que D2f (P) (X,Y ) = D2f (P) (Y,X) para cualesquier Xy Y en Rn.

Luego, para toda función de clase C2 su derivada en un punto es equivalente a la forma cuadráticaque representa. Es precisamente por esta razón que en muchos textos se maneje que una función esdos veces diferenciable si es de clase C2 y que su derivada es la forma cuadrática asociada a la segundaderivada. Se enfatiza en que estos conceptos son equivalentes para funciones de clase C2 pero que sevale un resultado más general. Asimismo, es por esta razón que luego se identifica la segunda derivadade una función f : A ⊂ Rn → R con una matriz cuadrada y simétrica; la matriz hessiana.

( 7.4.2 ) Encuentra la forma cuadrática asociada a f (x, y) = ax2 + bxy + cy2 en P = (x0, y0).

Como f es un polinomio se tiene que f ∈ C∞(R2,R

). Derivando, se ve que

Df (x, y) = (2ax + by, bx + 2cy).

Derivando por segunda ocasión, se encuentra que,

D2f (x, y) =ï

2a bb 2c

ò.

Luego,D2f (x0, y0) ((h1, k1), (h2, k2)) = 2ah1h2 + bk1h2 + bh1k2 + 2ck1k2.

230

7.4. Propiedades de la segunda derivada.

Observa que haciendo (h1k1) = (h2, k2) = (h, k), se encuentra queD2f (x0, y0) ((h1, k1), (h1, k1)) = 2ah2 + 2bhk + 2ck2 = 2f (h, k).

Simbólicamente esto puede ser escrito del modo mucho más sugerente f (X) = D2f (P)X(2)

2! , el cual esun polinomio de Taylor en varias variables.

z 7.4.2 Matriz asociada a la segunda derivada de una función real.Considera una función f : A ⊂ Rn → R dos veces diferenciable en P. Se quiere encontrar un método

general de encontrar la segunda derivada de f en P.Lo que se va a hacer aquí es demostrar que dada una forma bilineal B ∈ Lin(2) (Rn,R) existe una

matriz cuadradaM ∈Matn×n (R) que representa a B5. Para encontrar explícitamente la matrizM = (mi,j )se hace lo siguiente. Se empieza suponiendo que M existe. Por ser M representante de B, se debecumplir que

B(u, v) = 〈Mu, v〉 .Haciendo u = ej y v = ei, se encuentra que

mi,j =⟨M j , ei

⟩= 〈mej , ei〉 = B(ej , ei),

donde M j es la j-ésima columna de M. Ha sido demostrado entonces que si la matriz M existe entoncesviene dada por M = (mi,j ) = (B(ej , ei)). Para demostrar que tal M existe, define M tal que su entrada(i, j) es B(ej , ei). Se comprueba fácilmente que B(u, v) = 〈Mu, v〉 para cualesquier u, v ∈ Rn.

Supón ahora que B = D2f (P) . Entonces,B(ej , ei) = (D2f (P) ej )ei.

Lo que resta es encontrar la expresión en el lado derecho de la ecuación anterior. Para esto, se observaque la función Df viene dada por

Df (P) = (D1f (P) , . . . ,Dnf (P)) .Luego, su derivada viene dada por

D2f (P) =

D1,1f (P) . . . Dn,1f (P)... . . .

...D1,nf (P) . . . Dn,nf (P)

.Por ende, B(ej , ei) = Dj,if (P) . Finalmente, se ha mostrado que la matriz M asociada a la segundaderivada de la función f en el punto P viene dada por

M =

D1,1f (P) . . . Dn,1f (P)...

. . . ...D1,nf (P) . . . Dn,nf (P)

,que era de esperarse. Esta matriz se denomina la matriz Hessiana6 de f.( 7.4.3 ) Sea f : A ⊂ Rn → R cuyas funciones de segundas derivadas parciales existen en P. Se define la matrizhessiana de f en P por

Hessf (P) =

D1,1f (P) . . . Dn,1f (P)...

. . ....

D1,nf (P) . . . Dn,nf (P)

.5Esto es, se va a demostrar que existe una matriz M ∈Matn×n (R) tal que B(u, v) = 〈Mu, v〉 .6En honor de Ludwig Otto Hesse (22 abril 1811 - 4 agosto 1874), un matemático alemán.

231


Observaciones:1. Nota que si Hessf (P) = (mi,j ) entonces el elemento mi,j es Dj,if (P) y no Di,jf (P) , como es definido

por algunos autores. Sin embargo, cuando f es de clase C2 en un abierto, tales parciales coincideny no existe peligro a confusión.

2. Es destacable que se ha definido Hessf (P) siempre que existan todas las segundas parciales def en P. Esto es, la matriz anterior puede existir aún sin f ser dos veces diferenciable en P. Paraéste caso especial, ha sido demostrado el siguiente teorema.

( 7.4.4 ) Sea f : A ⊂ Rn → R dos veces diferenciable en P. Entonces, existe un única matriz M ∈ Matn×n (R)tal que D2f (P) (u, v) = 〈Mu, v〉 . Más aún, la matriz M anterior es la matriz Hessf (P) .( 7.4.5 ) Encuentra la segunda derivada de f (x, y) = sinx cos y.

Para empezar, f ∈ C∞(R2,R

), por lo que es dos veces diferenciable. Luego, se tiene que la segunda

derivada está dada por Hessf (P) . Pero,

Hessf (P) =ï

D1,1f (P) D2,1f (P)D1,2f (P) D2,2f (P)

ò=

ï− sinx cos y − cosx siny− cosx siny − sinx cos y

ò.

Que concluye el ejercicio.

z 7.4.3 Funciones coordenadas y segunda derivada.Lo que es de intentarés ahora es generalizar las ideas anteriores para una función F = (f1, . . . , fm)

con dominio en Rn y contradominio en Rm. Como siempre ha ocurrido, se quiere demostrar que unacondición necesaria y suficiente para la existencia de la segunda derivada de F es necesario y suficientela existencia de la segunda derivada de cada función coordenada. Además, se buscará una forma dedisponer de manera matricial dicha forma bilineal.( 7.4.6 ) Sean F = (f1, . . . , fm) : A ⊂ Rn → Rm y P un punto interior de A. Para que F sea dos vecesdiferenciable en P es conidición necesaria y suficiente que cada fi sea dos veces diferenciable en P. En este caso

D2F (P) =(D2f1 (P) , . . . ,D2fm (P)

),

en el sentido queD2F (P) (u, v) =

(D2f1 (P) (u, v), . . . ,D2fm (P) (u, v)

).

Observa que en una bola suficientemente pequeña centrada en P se cumple que

DF =n∑i=1

n∑j=1

DjfiEi,j ,

en donde (Ei,j ) es la base canónica de las matrices cuadradadas de orden n. En vitud del ejemplo (6.3.9),D2f (P) existe si y solo si la derivada de cada función Djfi existe; esto es equivalente a que cada Dfisea diferenciable en P; esto es equivalente a que cada fi sea dos veces diferenciable en P. Ahora sedemostrará

D2F (P) (u, v) =(D2f1 (P) (u, v), . . . ,D2fm (P) (u, v)

).

Según (6.2.6),

DF (P)u =n∑i=1

uiDiF (P) =n∑i=1

ui(Dif1 (P) , . . . ,Difm (P)) = (Df1 (P)u, . . . ,Dfm (P)u).

232

7.4. Propiedades de la segunda derivada.

( 7.4.6.1 ) Sea f : A ⊂ V →W una función dos veces diferenciable en v. Sea h ∈ V cualquier vector y considerala función g(u) = Df (u)h. Entonces g es diferenciable en v y Dg (v)k = D2f (v) (h, k).

Considera la función φ : Lin (V,W )→W dada por φ(T) = Th; obviamente φ es lineal y g = φ Df.De la regla de la cadena

Dg (v) = D(φ Df ) (v) = Dφ (Df (v)) D2f (v) = φ(D2f (v)

)= D2f (v) (u, ·) ∈ Lin (V,W ) .

Evaluando en k ∈ V se encuentra que

Dg (v)k = D2f (v) (h, k).

Finalmente, utilizando esto y (5.7.4),

D2F (P) (u, ·) =(D2f1 (P) (u, ·), . . . ,D2fm (P) (u, ·)

).

Tras evaluar en v se encuentra lo afirmado. Simbólicamente, se escribirá

HessF (P) =[Hessf1 (P) , . . . ,Hessfm (P)

],

donde al evaluar en (u, v) se estará pensando que esta operación se realiza coordenada a coordenada.Antes de dar el teorema se necesita de una definición.

( 7.4.7 ) Sea F : A ⊂ Rn → Rm. Supón que para algún P ∈ A existen todas las derivadas de segundo orden deF. Se define la matriz hessiana de F en P como

HessF (P) =[Hessf1 (P) , . . . ,Hessfm (P)

],

donde la expresión de la derecha se entiende como la concatenación por columnas7 de todas las matrices hessianas.

El teorema que se ha demostrado es el siguiente.

( 7.4.8 ) Sea F : A ⊂ Rn → Rm dos veces diferenciable en P. Entonces su segunda derivada en P tiene matrizasociada a

HessF (P) = [HessF1 (P) , . . . ,HessFm (P)] ,donde evaluar en (u, v) significa hacerlo en cada coordenada.

( 7.4.9 ) Encuentra la segunda derivada de

F (x, y) = (x2 + 2yx + exy , log(x2 + 1) + log(y2 + 1)).

De acuerdo al teorema anterior, la segunda derivada de F en (x, y) es HessF (x, y) . Pero, HessF (x, y)es la matriz dada segúnï 2 + y2exy 2 + exy + xyexy

2 + exy + xyexy x2exyò,

2 1− x2

(1 + x2)2 0

0 2 1− y2

(1 + y2)2

,

que es la expresión buscada.

7Por ejemplo, la concatenación por columnas de las matrices A =[a11 a12a21 a22

]y B =

[b11 b12b21 b22

]está dada por la matriz

[A,B] =[[

a11 a12a21 a22

],[b11 b12b21 b22

]].

233


z 7.4.4 Segunda derivada de una forma bilineal.En el ejercicio (5.7.6 se encontró la primera derivada de una forma bilineal. La intención es encontrar

la segunda derivada.

( 7.4.10 ) Sea B : V1 × V2 → W una función bilineal. Para cada (v1, v2) ∈ V1 × V2 la segunda derivada de Bexiste; de hecho

D2B (v1, v2) ((h1, k1), (h2, k2)) = B(h1, k2) + B(h2, k1).

Se intentará aplicar la definición de derivada a la función DB. Observa que según (5.7.6),

DB (v1, v2) (h, k) = B(v1, k) + B(h, v2) = B(v1,pr2(h, k)) + B(pr1(h, k), v2),

por lo que las dos transformaciones lineales DB (v1, v2) y B(v1,pr2)+B(pr1, v2) coinciden. Dicho de otromodo, la regla de correspondencia de la DB es

(v1, v2) 7Ï B(v1,pr2) + B(pr1, v2).

Entonces,

DB (v1 + h1, v2 + k1)−DB (v1, v2) = B(v1 + h1,pr2) + B(pr1, v2 + k1)− B(v1,pr2)− B(pr1, v2)= B(h1,pr2) + B(pr1, k1)

tras despejar y tomar norma se puede concluir que

lım(h1,k1)→(0,0)

‖DB (v1 + h1, v2 + k1)−DB (v1, v2)− B(h1,pr2)− B(pr1, k1)‖‖(h1, k1)‖

= 0.

Por lo tanto, DB es diferenciable. De hecho, se demostró que

D2B (v1, v2) ((h1, k1), ·) = B(h1,pr2) + B(pr1, k1),

tras evaluar en (h2, k2) se obtiene el resultado deseado.

z 7.4.5 Segunda derivada de funciones f : A ⊂ V →W.Para encontrar la derivada de una función f : A ⊂ V →W se puede utilizar (7.4.6.1), pues reduce la

función Df a la función g ; la ventaja de hacer esto es que Df posee contradominio Lin (V,W ) , mientrasque g posee contradominio W.

En general, se trabajará con la transportación o se fijarán coordenadas, lo cual es equivalente.Entonces, se considerarán P y Q sendas bases ordendas de V y W. Luego, la función g = [ ]P f [ ]−1

Q .La regla de la cadena muestra que Dg (X) = [ ]P Df (v) [ ]−1

Q ; aquí cabe una advertencia, las funcionesde cambio de variable [ ]P y [ ]Q en la segunda fórmula son constantes. Luego, se puede pensar que

Dg = c1Df [ ]−1Q c2,

donde c1 y c2 son los elementos lineales [ ]P y [ ]−1Q , respectivamente. Luego, derivando de nuevo, queda

queD2g (X) = c1D2f (v) (c2, c2).

Esta es la forma bilineal,(x, y) 7Ï c1D2f (v) (c2x, c2y).

Haciendo c2x = h y c2y = k se ve que

D2f (v) (h, k) = D2g (X) ([h]Q, [k]Q).

Esto queda ilustrado en el siguiente ejemplo.

234

7.5. Derivadas superiores.

( 7.4.11 ) Sea V = lin 〈sin, cos〉 . Considera la función f : V → R dada por f (v) =

π2∫

0

v(t)dt + sin(v(π)). ¿Es

f dos veces diferenciable? Encuentra la matriz asociada a su segunda derivada respecto a la base generadora deV.

Supón que v = a sin +b cos . Luego,

f (v) = a

π2∫

0

sin tdt + b

π2∫

0

cos tdt + sin(a sinπ + b cosπ) = a + b + sin(−b).

Por lo tanto, tomando la transportación g se ve que g(a, b) = a + b + sin(−b). En virtud de (7.4.4), lasegunda derivada de g es

D2g (a, b) =ï

0 00 sin(−b)

ò.

Por lo tanto, la segunda derivada de f tiene regla de correspondencia

D2f (v) (h1 sin +k1 cos, h2 sin +k2 cos) = D2g (a, b) ((h1, k1), (h2, k2)) = sin(−b)h2k2.

Lo cual concluye el ejemplo.

§ 7.5. Derivadas superiores.

Como se ha estado anticipando se definirá que una función sea k-veces diferenciable si existe ciertaforma k-lineal que satisfaga algunas propiedades. Para esto se utilizará el teorema de identificación(7.3.1). Usando un argumento inductivo puede ser demostrado que

Lin (U1,Lin (U2, . . .Lin (Un,W ))) = Mul(U1, . . . , Un;W ),

donde Mul(U1, . . . , Un;W ) es el conjunto de las transformaciones multilineales de U1 × . . . × Un a W.Se recuerda que la norma ahí queda determinanda por (ve el ejercicio (5.75))

‖M‖ = sup‖u1‖=1,...,‖un‖=1

‖M(u1, . . . , un)‖ .

Al igual que antes, cuando U1 = . . . = Un = V se denotará por Lin(n) (V,W ) al conjunto de las trans-formaciones n-lineales de V a W. Observa que para k < n y v1, . . . , vk ∈ V cualesquiera, se obtieneque

M(v1, . . . , vk, ·, . . . , ·) ∈ Lin(n−k) (V,W ) .

( 7.5.1 ) Sean f : A ⊂ V →W una función y v ∈ ÛA. Supón que se ha podido definir la derivada k-ésima de f,denotada por Dkf, y que esta existe en una bola B (v; r) ⊂ A. Se dirá que f es (k + 1) veces diferenciable en vsi la función Dkf : B (v; r)→ Lin(k) (V,W ) es una función diferenciable en v. La derivada (k + 1)-ésima de f sedenotará por Dk+1f (v) .

Si una función tiene derivada k-ésima para cada k ∈ N, se dirá entonces que es indefinidamente diferenciable.

235


z 7.5.1 Ejemplos.( 7.5.2 ) Toda función constante es indefinidamente diferenciable y, además, todas sus derivadas son cero.

Ya se sabe que si c : V →W es constante entonces Dc = 0. Por otro lado, si 0 : V →W es la funcióncero, como es constante se sigue que D0 (v) = 0, por lo que D0 = 0. Al ser W arbitrario, se sigue loafirmado.

( 7.5.3 ) Una transformación lineal es indefinidamente diferenciable, encuentra cada una de sus derivadas.

Sea L lineal de V a W. Se ha visto antes que DL (v) = L, para cada v ∈ V ; su derivada es una funciónconstante. De esto se sigue que D2L = 0 y, como es de esperarse, DkL = 0 para todo k ≥ 2.

La derivada k-ésima de una función lineal, k ≥ 2, es la forma k-lineal cero; debes tener presenteesto.

( 7.5.4 ) Sea B : V1 × V2 → W, una forma bilineal. Entoncese B es indefinidamente diferenciable y todas susderivadas a partir de la tercera son cero.

Esto es consecuencia directa de (5.7.6) y de (7.4.10). La segunda derivada es constante, por lo que lasderivadas sucesivas son cero.

( 7.5.5 ) Calcula todas las derivadas de una función polinomial de tercer grado en dos variables.

Supón que f es la función polinomial dada entonces existen constantes a1, . . . , a10 ∈ R tales que

f (x, y) = a1x3 + a2x2y + a3xy2 + a4y3 + a5x2 + a6xy + a7y2

+a8x + a9y + a10.

Utilizando derivadas parciales, se ve que Df (x, y) = (D1f (x, y) ,D2f (x, y)) y como

D1f (x, y) = 3a1x2 + 2a2xy + a3y2 + 2a5x + a6y + a8

yD2f (x, y) = a2x2 + 2a3xy + 3a4y2 + a6x + 2a7y + a9,

se ve que Df es diferenciable en cada punto de R2. Por ende, la segunda derivada de f es la formabilineal dada por la matriz

D2f (x, y) =ï

6a1x + 2a2y + 2a5 2a2x + 2a3y + a62a2x + 2a3y + a6 2a3x + 6a4y + 2a7

ò.

Escribiendo esto en un solo renglón, se puede pensar que F = D2f : R2 → R4 está dada por F =(F1, F2, F3, F4), donde

F1(x, y) = 6a1x + 2a2y + 2a5, F2(x, y) = 2a2x + 2a3y + a6,

F3(x, y) = 2a2x + 2a3y + a6 y F4(x, y) = 2a3x + 6a4y + 2a7.

Derivando a la función F, se obtiene la tercera derivada de f en (x, y). Esta está dada por,

D3f (x, y) =

6a1 2a22a2 2a32a2 2a32a3 6a4

.236


Evidentemente, pensada como función de de R2 en R8, se ve que todas las entradas de D3f son constan-tes, por lo que la derivada cuarta de f es la forma 4-lineal cero; más aún, todas las derivadas posterioresde f existen y valen cero. Para encontrar la regla de correspondencia de la tercera derivada, se evalúala expresión en un vector (h1, k1) arbitrario. Se encuentra que

D3f (x, y) (h1, k1) = (6a1h1 + 2a2k1, 2a2h1 + 2a3k1, 2a2h1 + a3k1, 2a3h1 + 6a4k1),

la cual se puede retransportar para encontrar que

D3f (x, y) (h1, k1) =ï

6a1h1 + 2a2k1 2a2h1 + 2a3k12a2h1 + a3k1 2a3h1 + 6a4k1

ò.

Finalmente, evaluando esta forma cuadrática en ((h2, k2), (h3, k3)) se encuentra que

D3f (x, y) ((h1, k1), (h2, k2), (h3, k3)) = 6a1h1h2h3 + 2a2k1h2h3 + 2a2h1k2h3 + 2a3k1k2h3

+ 2a2h1h2k3 + a3k1h2k3 + 2a3h1k2k3 + 6a4k1k2k3,

que es la tercera derivada buscada. De este último ejemplo se puede sacar mucho más provecho. Nota que

f (x, y) = f (0, 0) + Df (0, 0) (x, y) + D2f (0, 0) ((x, y), (x, y))2! + D3f (0, 0) ((x, y), (x, y), (x, y))

3! ;

que es una expansión de Taylor de f de tercer orden. Si se escribe X = (x, y), X(k) = (X, . . . , X)︸︷︷︸k veces

y

Dkf = f (k) entonces se obtiene la misma expresión que para el caso real

f (X) = f (0) + f ′(0)X + f ′′(0)X(2)

2! + f (3)(0)X(3)

3! .

Para demostrar que esta expansión es válida se deben evaluar las derivadas en (h, k) las veces necesa-rias. Queda a cargo del lector verificar el cálculo.

( 7.5.6 ) Demuestra que f (x, y) = (sinx, cos y) es una función indefinidamente diferenciable y encuentra todassus derivadas.

Ya se sabe que la primera derivada de F está dada por

DF (x, y) (u1, v1) = D1F (x, y)u1 + D2F (x, y) v1 = (cosxu1,− sinyv1).

Por ende, se puede pensar que DF es la función de R2 en R2 dada por

DF (x, y) = (cosx,− siny).

La segunda derivada de F en (x, y) es entonces,

D2F (x, y) ((u1, v1), (u2, v2)) = D1DF (x, y)u1u2 + D2DF (x, y) v1v2

= (− sinxu1u2,− cos yv1v2).

Se puede entonces pensar que

D2F : R2 → R2 dada por D2F (x, y) = (− sinx,− cos y).

237


Análogamente, D3F : R2 → R2 está dado por D3F (x, y) = (− cosx, siny) y D4F : R2 → R2 porD4F (x, y) = (sinx, cos y). Se afirma que la derivada n-ésima de F en (x, y) es la forma n-lineal da-da por

DnF (x, y)W = (sinxu1 · · ·un, cos yv1 · · · vn) si n = 4k;

DnF (x, y)W = (cosxu1 · · ·un,− sinyv1 · · · vn) si n = 4k + 1;

DnF (x, y)W = (− sinxu1 · · ·un,− cos yv1 · · · vn) si n = 4k + 2;

yDnF (x, y)W = (− cosxu1 · · ·un, sinyv1 · · · vn) si n = 4k + 3,

en donde, W ∈ R2n es el vector W = ((u1, v1), . . . , (un, vn)), y k ∈ N ∪ 0. Con esto se concluye elejercicio.

( 7.5.7 ) Demuestra que f (x, y) = sinxy es tres veces diferenciable y encuentra todas sus derivadas hasta lasegunda.

Se observa que la primera derivada viene dada por

Df (x, y) (u1, v1) = D1f (x, y)u1 + D2f (x, y) v1 = y cosxyu1 + x cosxyv1.

Se define entonces g(x, y) = y cosxyu1 + x cosxyv1. Con esto, la segunda derivada de f está dada por

D2f (x, y) ((u1, v1), (u2, v2)) = ∂g∂xu2 + ∂g

∂y v2.

Pero,

∂g∂x =

∂(y cosxyu1 + x cosxyv1

)∂x

= yu1∂(cosxy

)∂x + v1

∂(x cosxy

)∂x

= yu1(−y sinxy) + xv1(cosxy − xy sinxy)

y

∂g∂y =

∂(y cosxyu1 + x cosxyv1

)∂y

= u1∂(y cosxy

)∂y + xv1

∂(cosxy

)∂y

= yu1(cosxy − xy sinxy) + xv1(−y sinxy),

de donde,

D2f (x, y) ((u1, v1), (u2, v2)) = yu1u2(−y sinxy) + xu2v1(cosxy − xy sinxy)+ yu1v2(cosxy − xy sinxy) + xv1v2(−y sinxy).

Vista como una función de R2 en R4 (toma cada par u1u2, u1v2, v1u2 y v1v2 como una coordenada),D2f es una función diferenciable, por ende, f es tres veces diferenciable.

( 7.5.8 ) Si f es k veces diferenciable en P entonces

Dkf (P) (ei1 , . . . , eik ) = Dik ,...,i1f (P) .

238


La demostración puede proceder por inducción, así se hará. Sea H el conjunto de los númeronaturales k tales que si f es k veces diferenciable en P entonces Dkf (P) (ei1 , . . . , eik ) = Dik ,...,i1f (P) . Yaha sido demostrado antes que Dif (P) = Df (P) ei; que muestra 1 ∈ H . Supón que existe k ∈ H , se veque k + 1 ∈H . Se supone entonces que f es k + 1 veces diferenciable en P entonces, por inducción,

Dk+1f (P) (ei1 , . . . , eik+1 ) = D[Dkf

](P)(ei1 , . . . , eik )(eik+1 )

= D[Dik ,...,i1f

](P) eik+1

= Dik+1,...,i1f (P) ,

lo que muestra k + 1 ∈H .

Este ejemplo dice que la notación utilizada en el capítulo pasado para diferenciación parcial esconsistente con las definiciones de derivación superior.

z 7.5.2 Propiedades de las derivadas superiores.Se enuncian ahora algunas de las propiedades principales de las derivadas de orden superior. La

mayoría de las demostraciones expuestas se basan en el teorema de inducción matemática, (1.3.12).

( 7.5.9 ) Sean A un subconjunto de V y v ∈ ÛA. Toda función f : A → W que sea k veces diferenciable en vsatisface que su derivada k-ésima es única.

Sea define H como el conjunto de los números naturales k tales que si f : A → W es k vecesdiferenciable en v entonces su derivada k-ésima es única. Ha sido demostrado que 1 ∈ H , teorema(5.7.1); se verá que k ∈ H Ñ k + 1 ∈ H . Supón que k ∈ H y sea f : A → W una función k + 1 vecesdiferenciable en v. Se tiene que, por definición,

Dk+1f (v) = D[Dkf

](v) ;

como la primera derivada de una función es única y, por hipótesis, Dkf es único entonces Dk+1f (v) esúnica. Esto muestra que k + 1 ∈H ; mostrando que H = N y concluyendo el teorema.

Como en el caso de la segunda derivada, al ser la derivada k-ésima de una función en un puntoúnica se puede utilizar cualquier método para encontrar la derivada k-ésima de una función en unpunto particular dado.

( 7.5.10 ) Sean A ⊂ V, v ∈ ÛA y h1, . . . , hk ∈ V. Se supone que f : A →W es k veces diferenciable en v. SeaB (v; r) ⊂ A y define g(u) = Dk−1f (u) (h1, . . . , hk−1) para u ∈ B (v; r) . Entonces, g es diferenciable en v y

Dg (v)hk = Dkf (v) (h1, . . . , hk).

La idea es exactamente la misma que para (7.4.6.1). Define φ : Lin(k−1) (V,W )→W dada por φ(M) =M(h1, . . . , hk−1). Observa que g(u) = φ(Dk−1f (u)). Según la regla la regla de la cadena, g es diferenciableen v y su derivada es

Dg (v)hk = Dφ(Dk−1f (v)

)Dkf (v)hk = Dkf (v) (h1, . . . , hk−1, ·)hk = Dkf (v) (h1, . . . , hk).

Lo que concluye la prueba.

Observación: este teorema permite (puesto que facilita) encontrar las derivadas superiores de unafunción. Solamente se encuentra la primera derivada evaluada en un h1 para definir la función g(u) =Df (u)h1 la cual habita en los espacios originales; esto es, no se cambian ni el dominio ni el contrado-minio.

239


( 7.5.11 ) Sea A ⊂ V y v ∈ ÛA. Para cualesquier dos funciones f y g de A en W que sean k veces diferenciablesen v y para cualquier λ ∈ R, se cumple que f + λg es k veces diferenciable en v y, además, Dk[f + λg ] (v) =Dkf (v) + λDkg (v) .

Al igual que antes, sea H el conjunto de los número naturales k tales que si f y g son dos funcionesde A a W diferenciables en v entonces f + λg es k veces diferenciable en v y Dk[f + λg ] (v) = Dkf (v) +λDkg (v) . El caso k = 1 fue demostrado antes, por ende, supón que k ∈ H . Sean f y g dos funcionesde A a W que sean k + 1 veces diferenciables en v. Entonces, por ser k ∈H ,

Dk+1[f + λg ] (v) = D[Dk[f + λg ]

](v)

= D[Dkf + λDkg

](v)

= D[Dkf

](v) + λD

[Dkg

](v)

= Dk+1f (v) + λDk+1g (v) .

Que concluye la inducción, H = N.

( 7.5.12 ) Sean A ⊂ V y v ∈ ÛA. Una condición necesaria y suficiente para que F = (f1, . . . , fm) : A→W sea kveces diferenciable en v que cada fi sea k veces diferenciable en v; en este caso,

DkF (v) =(Dkf1 (v) , . . . ,Dkfm (v)

).

Se omiten algunos pasos. Se tiene que

Dk+1f (v) = D[Dkf

](v) = D

(Dkf1, . . . ,Dkfm

)(v) =

(D[Dkf1

], . . . ,D

[Dkfm

])(v)

=(Dk+1f1, . . . ,Dk+1fm

)(v) =

(Dk+1f1 (v) , . . . ,Dk+1fm (v)

).

Que demuestra lo pedido.

( 7.5.13 ) Sea F ∈ Ck (A,W ) , donde A ⊂ Rn. EntoncesF es k-veces diferenciable.

Observa que si el teorema es cierto para cierto k ∈ N entonces, al ser que Dk+1F = D[DkF

]y

que las parciales de DkF son continuas en U que es un abierto (ve (7.5.8)), se concluye que DkF esdiferenciable.

Nota que han sido omitidos varios pasos en las últimas dos demostraciones pues éste es el estilomás bien utilizado al emplear inducción, y no el presentado aquí hasta este momento. Sin embargo, secree firmemente que definir el conjunto H como el conjunto de los naturales que satisfacen los pedidoes más conveniente para proposiciones más complicadas.

En (7.5.13) es imprescindible que U sea abierto; esto es, si U no es abierto, el teorema anterior novale.

( 7.5.14 ) Se dirá que f : A ⊂ V → W es k veces diferenciable con continuidad en v si todas sus funciones dederivación Df, D2f, . . . , Dkf existen en una bola B (v; r) y cada una de ellas es continua en v. Se dirá que f esk veces diferenciable con continuidad si Dkf existe con el mismo dominio que f y es continua.

Observaciones:

1. De hecho, como una función diferenciable es continua, para ver que una función es k vecesdiferenciable con continuidad en un punto v basta demostrar que su derivada k-ésima existe enuna bola B (v; r) y es continua en v.

2. Con esta definición y el se tiene que una condición necesaria y suficiente para que una funciónsea continuamente k veces diferenciable en P es que pertenezca al conjunto Ck (B (P; r) ,Rm) .

240


( 7.5.15 ) Sea f ∈ Ck (A,W ) , en donde A es un conjunto abierto de Rn. Si i1, . . . , ik son k números enterospositivos entre 1 y n (posiblemente coincidentes algunos de ellos) y σ ∈ Sk, es una permutación (ve (1.3.4)) dek elementos entonces Di1···ikF = Diσ (1)···iσ (k)F.

Esto se hace por inducción. Se define H como el conjunto de los números naturales k tales quesi f ∈ Ck (A,W ) , i1, . . . , ik son k números enteros positivos entre 1 y n, y σ ∈ Sk entonces Di1···ikf =Diσ (1)···iσ (k)f. Evidentemente, 1 ∈ H , se ve que 2 ∈ H . Se supone que f ∈ C2 (A,W ) entonces, para cadaP ∈ A, Hessf (P) es una matriz simétrica, por ende

Hessf (P) (ei, ej ) = Hessf (P) (ej , ei);

esto es, Di,jf (P) = Dj,if (P) ; mostrando que 2 ∈ H . Supón ahora que k ∈ H y sean ei1 , . . . , eik+1 ∈ Rn

vectores de la base canónica. Sea f ∈ Ck+1 (A,W ) . Define g : A→ Lin(2) (Rn,W ) dada por

g(X)(u, v) = Dk−1f (X) (u, v, ei3 , . . . , eik+1 ) .

En acuerdo con (7.5.10)la primera derivada de g es Dg (X) v = Dkf (X) (v, ei3 , . . . , eik+1 ) y, su segundaderivada es,

D2g (X) (u, v) = Dk+1f (X) (u, v, ei3 , . . . , eik+1 ) .Es evidente que se puede identificar a Sk como las permutaciones del conjunto K = 2, . . . , k+ 1, conesto, tomando una permutación σ : K → K, se tiene, por inducción, que para cada X ∈ U,

DkF (X) (ei2 , . . . , eik+1 ) = DkF (X)(eiσ (2) , . . . , eiσ (k+1)

).

Derivando respecto de X, se obtiene que

D2g (X) (ei1 , ei2 ) = Dk+1F (X) (ei1 , . . . , eik+1 )= DkF (X)

(ei1 , eiσ (2) , . . . , eiσ (k+1)

).

Como g ∈ C2 (U,Rm) y el teorema es cierto para el caso k = 2, se ve que

D2g (X) (ei1 , ei2 ) = D2g (X) (ei2 , ei1 ).

Esto es,Dk+1F (X) (ei2 , ei1 , ei3 , . . . , eik+1 ) = DkF (X)

(ei1 , eiσ (2) , . . . , eiσ (k+1)

).

Por ende, se puede trasponer el índice i1 con el índice i2 y, por inducción, se pueden permutar cuales-quier otros índices. Para concluir basta demostrar que todo elemento Sk+1 puede ser factorizado comoproducto de elementos que sean permutaciones del conjunto K o la trasposición de 1 con 2. Para esteefecto, basta ver que toda trasposición de Sk+1 se puede factorizar de este modo (pues las trasposicionesde Sk+1 generan Sk+1). Sea τ es una trasposición de Sk+1, por ejemplo τ = (ij); es decir, τ intercambia icon j. Si tanto i como j son distintos de 1, entonces τ

∣∣∣K

es una biyección de K en K y ya está factorizadodel modo requerido. Sin pérdida de generalidad, se supone que i = 1, entonces

τ = (2j)(12)(2j);

de hecho,

τ(i) =

(2j)(12)(2j)i = i si i 6= 1, 2, j(2j)(12)(2j)i = j si i = 1(2j)(12)(2j)i = 2 si i = 2(2j)(12)(2j)i = 1 si i = j,

mostrando que τ = (2j)(12)(2j), que es una factorización requerida. De este modo, Sk+1 se puede facto-rizar como se afirmó y esto demuestra que k + 1 ∈H , con lo cual se concluye que H = N.

241


( 7.5.16 ) Sean hi = (hi,1, . . . , hi,n), para i = 1, . . . , k, k vectores en Rn. Sea f : A ⊂ Rn → W k veces

diferenciable en P ∈ ÛA. EntoncesDkf (P) (t1, . . . , tk) =

∑j1,...,jk∈1,...,n

Dj1···jkf (P)h1,j1h2,j2 · · ·hk,jk .

Se procede por inducción, el caso k = 1 ha sido demostrado ya. Supón que el teorema es ciertopara cierto k y sea f : A→W una función k + 1 veces diferenciable en P. Entonces, por el caso k = 1(ve (6.2.6)),

Dk+1f (P) (t1, . . . , tk+1) = D[Dkf

](P) (h1, . . . , hk+1)

=n∑

jk+1=1Djk+1

[Dkf

](P) (t1, . . . , tk)hk+1,jk+1 .

Ahora, la hipótesis inductiva es que

Dkf =∑

j1,...,jk∈1,...,n

Dj1···jkf,

sustituyendo en la expresión anterior, se llega a que Dk+1f (P) (h1, . . . , hk+1) coincide conn∑

jk+1=1

∑j1,...,jk∈1,...,n

Djk+1

[Dj1···jkf

](P)h1,j1 · · ·hk+1,jk+1 ,

Cabe destacar que como todas las sumas son finitas, se pueden reordenar, mostrando que el teoremaes cierto para k + 1 y, por lo tanto, el teorema es cierto para todo k ∈ N.

Este teorema cuando k = 1 se reduce a la muy conocida fórmula

Df (P) (x1, . . . , xn) =n∑k=1

Dkf (P)xk = Jf (P)X;

y, para k = 2, se reduce a la también conocida fórmula (6.2.6)

D2f (P) (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) =n∑i=1

n∑j=1

Di,jf (P)xiyj = Hessf (P) (X,X).

§ 7.6. El teorema de Taylor.Ahora se desarrollará el teorema de Taylor en varias variables para funciones a valores reales. Será

necesario recordar el caso de una variable. Se adelanta la idea a trabajar. Se definirá un operador T talque si f es una función con k derivadas en un punto P ∈ Rn entonces Tf (P) es un polinomio de gradok que depende de f y de P. Es importante destacar que T poseerá propiedades análogas a las de losoperadores diferenciales.

z 7.6.1 El polinomio de Taylor en R.Supón que f : R→ R es una función que tiene n derivadas en a ∈ R entonces existe uno y solo un

polinomio centrado8 en a, Tnf (a) : R → R tal que las primeras n derivadas de Tnf (a) en a coinciden

8Se dice que un polinomio p : R→ R está centrado en a si p(x) =n∑i=0

ci(x − a)i.

242

7.6. El teorema de Taylor.

con las primeras n derivadas de f en a. Esto es, existe un único polinomio p tal que

p(a) = f (a), p′(a) = f ′(a), . . . , p(n)(a) = f (n)(a).

Ahora se va a demostrar la existencia y unicidad. Supón primero que existe un polinomio p que seacentrado en a y satisfaga las ecuaciones anteriores. Considera una función polinomial centrada en a,

p(x) =n∑i=0

ci(x − a)i,

donde las ci son constantes a determinar. Se ve que p(a) = c0, por lo que

p(a) = f (a)Ñ c0 = f (a).

Por otro lado, p′(x) =n∑i=1

ici(x − a)i−1 y p′(a) = c1, con lo cual

p′(a) = f ′(a)Ñ c1 = f ′(a)1! .

Procediendo inductivamente, puede demostrarse que ci = f (i)(a)i! . Se ha mostrado que si existe un tal

polinomio p entonces

p(x) =n∑i=0

f (i)(a)i! (x − a)i.

Claramente, definiendo Tnf (a) : R → R de esta forma, se concluye que Tnf (a) posee las propiedadesrequeridas.

( 7.6.1 ) Sea f : I → R en donde I ⊂ R y sea a ∈ I, un punto interior. Si f es n veces diferenciable en a, se

define el polinomio de Taylor de grado n de f centrado en a como Tnf (a) (x) =n∑i=0

f (i)(a)i! (x − a)i.

( 7.6.2 ) Calcula el polinomio de Taylor de grado n centrado en cero de la función x 7Ï exp(x).

Observa que si f (x) = ex entonces f ′(x) = f (x), por lo que f (n)(0) = 1 para cada n ∈ N. Luego, elcoeficiente n-ésimo del polinomio de Taylor es cn = 1

n! , de donde,

Tnf (0) (x) =n∑i=0

xii! .

En general, puede mostrarse que el polinomio de Taylor generado por f de grado n centrado en a es

Tnf (a) =n∑i=0

ea(x − a)ii! .

( 7.6.3 ) Calcula el polinomio de Taylor de grado n centrado en cero de la función x 7Ï cosx.

Observa que si f (x) = cosx entonces para cada i ∈ N, f (i)(0) = f (i4)(0), en donde i4 es el úniconumero natural en 0, 1, 2, 3 tal que i − i4

4 ∈ N ∪ 0. Basta calcular las primeras cuatro derivadas

243


(incluyendo la derivada cero) de f en cero, pero f (0) = 1, f ′(0) = − sin 0 = 0, f ′′(0) = − cos 0 = −1 yf (3)(0) = sin 0 = 0. De donde, el polinomio de Taylor de f centrado en cero de grado n es

Tnf (0) (x) =n∑i=01k=0 mod 2(i)(−1)[ i2 ]x

i

i! ,

en donde k = 0 mod 2 es el conjunto de los enteros no negativos que son divisibles por 2, [x] denotael mayer entero menor o igual que x y para cada A ⊂ R, se define 1A(x) = 1 si x ∈ A y cero si x /∈ A.Como los términos impares mueren, conviene escribir el polinomio de Taylor del coseno centrado encero de un grado par arbitrario, se tiene que

T2n cos (0) (x) =n∑i=0

(−1)i x2i

(2i)! .

Que es el polinomio buscado.

Lo que procederá ahora es a demostrar algunas propiedades del polinomio de Taylor para funcionesde R.

( 7.6.4 ) El operador Tn es lineal; esto es dadas f y g funciones n veces diferenciables en a, donde a es puntointerior de sus dominios entonces Tn[f + λg ] (a) = Tnf (a) + λTng (a) .

No se demostrará esta propiedad sino hasta el caso general.

( 7.6.5 ) Sea f una función definida en algún subconjunto de R y a un punto interior de su dominio tal quef (n)(a) existe. Entonces

(Tnf (a)

)′ = Tn−1f ′ (a) .

Se procede por inducción en el grado del polinomio de Taylor, para n = 1, se tiene que T1f (a) (x) =f (a) + f ′(a)(x − a) y T0f ′ (a) (x) = f ′(a). Si el teorema se satisface para cierto n entonces

Tn+1f (a) (x) = Tnf (a) (x) + f (n+1)(a)(n + 1)! (x − a)n+1,

de donde, (Tn+1f (a)

)′(x) =(Tnf (a)

)′(x) + f (n+1)(a)n! (x − a)n,

por inducción,(Tnf (a)

)′ = Tn−1f ′ (a) , de donde, el teorema es cierto para n + 1.

( 7.6.6 ) Sea f ∈ Cn (I,R) , donde I es un intervalo abierto en R y a es un punto de I. Se define g por

g(x) =x∫a

f (t)dt entonces Tn+1g (a) =x∫a

Tnf (a) ; escrito de otro modo,

Tn+1

x∫a

f (a) =x∫a

Tnf (a) .

Se procede por inducción en n, si f es continua en a entonces g es diferenciable en a y

T1g (a) (x) = g(a) + g ′(a)(x − a) = f (a)(x − a) =x∫a

f (a) =x∫a

T0f (a) .

244


Luego, el teorema es cierto para “la base inductiva”. Supón que hay un n para el cual el teorema escierto entonces

Tn+1g (a) (x) = Tng (a) (x) + g (n+1)(a)(n + 1)! (x − a)n+1.

Por inducción, Tng (a) (x) =x∫a

Tn−1f (a) y, como g (n+1) = f (n), se ve que

Tn+1g (a) (x) =x∫a

Tn−1f (a) + g (n+1)(a)(n + 1)! (x − a)n+1

=x∫a

Tn−1f (a) +x∫a

f (n)(a)n! (t − a)ndt

=x∫a

Tnf (a) ,

como se quería. Otras propiedades de los polinomios de Taylor de funciones en R serán vistas en los ejercicios.

z 7.6.2 El polinomio de Taylor en Rn.La idea para definir el polinomio de Taylor en Rn es bastante simple: se toma el polinomio de Taylor

de R y se extiende esta definición. Supón entonces que f : Rn → R y f es k veces diferenciable en P.Si H es otro punto de Rn y α es la recta que une a P con P +H, se puede pensar que α : R→ Rn estádada por α(t) = P + tH, entonces f α : R → R es k veces diferenciable. En este caso se tiene que elpolinomio de Taylor de f α de grado k centrado en cero es

Tk[f α

](0) t =

[f α

](0) + 1

1![f α

]′(0)t + . . .+ 1k![f α

](k)(0)tk.

Como α(0) = P, se puede definir Tkf (P) = Tk[f α

](0) . Nota que el lado izquierdo de esta igualdad

no tiene un significado riguroso, mientras que el lado derecho sí está bien definido. Resta calcular lasderivadas de f α. Procediendo por inducción, se demostrará que[

f α](p)(t) = Dpf (P + tH)H (p),

donde H (p) = (H, . . . , H)︸︷︷︸p veces

. Esto es consecuencia de la regla de la cadena. La primera derivada es

[f α]′(0) = f ′(P) · α′(0) = f ′(P) ·H.

Supón ahora que f es p+1 veces diferenciable y que la fórmula anterior vale para p. Sea h =[f α

](p);por inducción, h(t) = Dpf (P + tH)H (p). Con lo cual,

h(t + r)− h(t) = Dpf (P + (t + r)H)H (p) −Dpf (P + tH)H (p)

=[Dpf (P + (t + r)H)−Dpf (P + tH)

]H (p)

=[Dp+1f (P + tH) rH + φ(rH)

]H (p),

245


en donde lımH→0

‖φ(H)‖‖H‖ = 0. Dividiendo ambos lados por r, se ve que

h(t + r)− h(t)r =

ïDp+1f (P + tH)H + φ(rH)

r

òH (p).

Cuando r → 0, queda que

h′(t) =[Dp+1f (P + tH)H

]H (p) = Dp+1f (P + tH)H (p+1).

De este modo, se obtiene que [f α](p)(0) = Dpf (P)H (p).

( 7.6.7 ) Sea f ∈ Ck (U,Rm) , donde U es un abierto. Se define el polinomio de Taylor de f de grado k centradoen P ∈ U como

Tkf (P)H = f (P) + 11!Df (P)H + . . .+ 1

k!Dkf (P) (H)(p).

Observaciones:

1. Es destacable que, de hecho, el polinomio de Taylor en Rn es un polinomio en n variables; siH = (h1, . . . , hn), entones “las variables” son h1, . . . , hn.

2. Se pide que U sea abierto para evitar problemas de diferenciabilidad y que f sea de clase Ck parafacilitar las expresiones de las derivadas.

( 7.6.8 ) Sean f, g ∈ Ck (U,R) , donde U ⊂ Rn es un conjunto abierto. Entonces, para cada λ ∈ R y para cadaP ∈ U, se tiene que Tk

[f + λg

](P) = Tkf (P) + λTkg (P) .

Por definición, se tiene que

Tk[f + λg

](P)H = [f + λg ](P) + 1

1!D[f + λg ] (P)H + . . .+ 1k!Dk[f + λg ] (P) (H)(p).

El resto es consecuencia de la linealidad de la derivada.

( 7.6.9 ) El polinomio de Taylor es único; esto es, dada f ∈ Ck (U,R) , con U ⊂ Rn un abierto, dado P ∈ U,existe un único polinomio p en n variables de grado k tal que p = Tkf (P) .

Es consecuencia directa de que las derivadas de orden superior son únicas.

( 7.6.10 ) Sea f ∈ Ck+1 (U,Rm) , donde U ⊂ Rn es abierto. Se supone que P ∈ U y sea r > 0 tal que la bolacerrada de centro P y radio r está contenida en U, esto es B′ (P; r) ⊂ U. Para cada H ∈ Rn con ‖H‖ < r, setiene que

f (P +H) = Tkf (P)H + Rk+1(f ;P,H),

donde Rk+1(f ;P,H) es un término residual, al cual se le conoce como residuo del polinomio de Taylor de f degrado k + 1 centrado en P con incremento H. De hecho, se puede encontrar un ξ ∈ (0, 1) tal que

Rk+1(f ;P,H) = 1(k + 1)!Dk+1f (P + ξH)H (k+1).

Este se conoce como «Teorema de Taylor con resto de Lagrange».

246


Supón primero que n = 1. Se pone p = P e I = [p, p + r] ⊂ U. Para cada t ∈ I se define S(t)mediante la igualdad

f (p + r) = f (t) + f ′(t)(p + r − t) + . . .+ f (k)(t)k! (p + r − t)k + S(t),

Derivando respecto de t, pues f es Ck+1, se obtiene que

0 = ddt

ñf (t) + f ′(t)(p + r − t) + . . .+ f (k)(t)

k! (p + r − t)kô

+ S′(t).

Pero, para i = 1, . . . , k, se tiene que

ddt

ñf (i)(t)i! (p + r − t)i

ô= f (i+1)(t)

i! (p + r − t)i − f (i)(t)(i − 1)! (p + r − t)i−1,

de donde,

0 = f ′(t)+ [f ′′(t)(p + r − t)− f ′(t)]

+ñf (3)(t)

2! (p + r − t)2 − f ′′(t)(p + r − t)ô

...

+ñf (k+1)(t)k! (p + r − t)k − f (k)(t)

(k − 1)! (p + r − t)k−1ô

+ S′(t),

arrojando “suma telescópica”, en la que se cancelan casi todos los términos, quedando que

S′(t) = − f(k+1)(t)k! (p + r − t)k.

Sea ahora g(t) = (p+ r − t)k+1; definiendo φ : I → R por φ(t) = S(p)g(t)− g(p)S(t) se ve que φ(p+ r) =0 = φ(p). Debido al teorema de Rolle9, existe un t en el interior de I para el cual φ′(t) = 0; esto es,

0 = S(p)g ′(t)− g(p)S′(t).

Sustituyendo la expresión de S′(t) encontrada antes, se obtiene que

S(p) = g(p)S′(t)g ′(t) =

rk+1 f (k+1)(t)k! (p + r − t)k

(k + 1)(p + r − t)k = f (k+1)(t)(k + 1)!r

k+1.

Como t está en el interior de I, existe un ξ ∈ (0, 1) tal que p+ ξr = t, con lo que se ha demostrado que

f (p + r) = f (p) + f ′(p)r + . . .+ f (k)(p)k! rk + f (k+1)(p + ξr)

(k + 1)! rk+1,

9El teorema de Rolle asegura que si φ es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) tal que φ(b) = φ(a) = 0, entonces existeun t ∈ (a, b) para el cual φ′(t) = 0. La demostración de esto es sencilla, se verifica por casos. Si φ = 0 es todo (a, b), el resultadoes trivial, por lo que se supone que φ no se anula en todo (a, b); pero entonces, como [a, b] es compacto existe un punto dondeφ se maximiza. Al ser φ diferenciable, en tal punto su derivada se anula.

247


que concluye el teorema para éste caso especial.Se continúa con el caso general. Sea α : R→ Rn la curva dada por α(t) = P+ tH y define g = f α.

Por el caso n = 1 aplicado a p = 0 y r = 1, se tiene que

g(1) = g(0) + g ′(0) + . . .+ g (k)(0)k! + g (k+1)(ξ)

(k + 1)! ,

donde ξ ∈ (0, 1). Pero se sabe que para cada i = 0, . . . , k + 1,

g (i)(t) = Dif (P + tH)H (i),

sustituyendo en la igualdad anterior, se obtiene el teorema general.

( 7.6.11 ) Calcula el polinomio de Taylor de tercer orden de (x, y) 7Ï ex+y , centrado en cero.

Se debe calcular las primeras tres derivadas de f, donde f (x, y) = ex+y . Observa que ∂f∂x = ∂f

∂y = f,por ende,

Din ,...,i1f (0, 0) = 1.Utilizando (7.5.16) se encuentra que

T3f (0) (h, k) = f (0) + Df (0, 0) (h, k) + 12!Hessf (0) (h, k)(2)

+ 13!D3f (0, 0) (h, k)(3)

= 1 + h + k + h2 + hk + kh + k2

2

+ hhh + hhk + hkh + hkk + khh + khk + kkh + kkk6

= 1 + h + k + h2

2 + hk + k2

2 + h3

6 + h2k2

hk2

2 + k3

6 ,

que es el polinomio buscado.

( 7.6.12 ) Supón que f : R2 → R es de clase Ck entonces

Dkf (P) (u, v)(k) =(uD1 + vD2

)kf (P),

donde esto se entiende que primero se expande el binomio y luego se hacen las operaciones con los operadores dediferenciación y, por último, se efectúan las evaluaciones correspondientes; esto es, se define

(uD1 + vD2

)kf (P) =k∑i=0

Çki

åuivk−iDi

1Dk−i2 f (P),

donde se ha utilizado la notación multiplicativa para operadores diferenciales.

Para demostrar esta fórmula se procede por inducción, como cabía esperar. El caso k = 1 directoy ya ha sido demostrado. Se supone entonces que se satisface para cierto k ∈ N entonces

Dk+1f (P) (u, v)(k+1) =îD[Dkf

](P) (u, v)(k)

ó(u, v).

Por hipótesis inductiva,

Dkf (P) (u, v)(k) =k∑i=0

Çki

åuivk−iDi

1Dk−i2 f (P),

248


de lo cual, se deduce que,

Dk+1f (P) (u, v)(k+1) =k∑i=0

Çki

åui+1vk−iDi+1

1 Dk−i2 f (P)

+k∑i=0

Çki

åuivk+1−iDi

1Dk+1−i2 f (P),

basta demostrar que

(a + b)k+1 =k∑i=0

Çki

åai+1bk−i +

k∑i=0

Çki

åaibk+1−i.

Esta igualdad se satisface para todo a, b reales y todo índice natural o cero k, su demostración quedade ejercicio.

( 7.6.13 ) Calcula el polinomio de Taylor centrado en cero de cuarto orden de (x, y) 7Ï sinxy.

Por la observación previa, el polinomio buscado es, denotando por f a la función dada,

T4f (0, 0) (h, k) = f (0, 0) + (hD1 + kD2)f (0, 0) + 12! (hD1 + kD2)2f (0, 0)

+ 13! (hD1 + kD2)3f (0, 0) + 1

4! (hD1 + kD2)4f (0, 0).

Se calculan las parciales correspondientes; las de primer orden son

D1f (x, y) = y cosxy y D2f (x, y) = x cosxy;

las de segundo orden son

D11f (x, y) = −y2 sinxy,D12f (x, y) = cosxy − xy sinxy

yD22f (x, y) = −x2 sinxy;

las de tercer orden son,

D111f (x, y) = −y3 cosxy,D112f (x, y) = −2y sinxy − xy2 cosxy,

D122f (x, y) = −2x sinxy − xy2 cosxy y D222f (x, y) = −x3 cosxy;

es fácil ver que todas las parciales de cuarto orden de f se anulan en el cero, por ende, no serán dadas.Queda entonces que

T4f (0, 0) (h, k) = hk,

que es el polinomio buscado.

En ocasiones conviene estudiar el residuo del polinomio de Taylor y ver qué sucede con el errorcuando crece el número de términos. Si el error se va haciendo cada vez más pequeño de tal formaque cuando k →∞ el error Rk → 0 entonces se pasa del polinomio de Taylor a la serie de Taylor. Nose estudiará la serie de Taylor aquí y solo se verán algunos ejemplos clásicos en los ejercicios, todosdel caso real.

249


§ 7.7. Desarrollos limitados; el teorema de Taylor en espacios vec-toriales normados.

Aquí se definen lo que se llamará un «desarrollo limitado». Cuando el lector estudie un poco sobreteoría de funciones diferenciables en Cn notará que estas admiten «desarrollos ilimitados». Aquí elsentido de limitado se refiere al grado de aproximación que tiene el desarrollo sobre la función. Cabedestacar que se necesitará más teoría sobre polinomios de la que se ha desarrollado hasta este momento.De hecho, será necesario definir una generalización de formas cuadráticas a formas p-ésimas y éstoconducirá al estudio de las funciones polinomiales homogéneas y no homogéneas. En lo que sigue seseguirá el mismo estilo que se sigue en [4], claro, con una presentación más acorde a la línea que sigueeste texto.

z 7.7.1 Funciones polinomiales homogéneas y no homogéneas.Hasta este momento solo han sido mencionadas las funciones polinomiales de Rn a R sin embargo,

se quisiera extender el teorema de Taylor a funciones con dominio en V y contradominio en W.Se considera una función polinomial cualquiera. Se decía que esta es una forma cuadrática si era

homogénea de segundo grado, se podría decir que es una forma lineal si es homogénea de primergrado, cúbica si es de tercer grado etcétera. Por lo pronto supón que se procede de este modo entoncesuna forma lineal toma la forma

x1, . . . , xn) 7Ï a1x1 + . . .+ anxn = 〈(a1, . . . , an), (x1, . . . , xn)〉

y ya se sabía que una forma cuadrática toma la forma

X 7Ï B(X,X) =n∑i=1

n∑j=1

bi,jxixj

en donde B es bilineal. Luego, resulta natural proponer que una forma p-ésima tome la forma

X 7Ï φ(X, . . . , X),

donde φ ∈ Lin(p) (Rn,R) . Observa que procediendo de esta forma ya es posible una generalización aespacios vectoriales.

( 7.7.1 ) Sea f : V → W una función cualquiera. Se dirá que f es una función polinomial homogénea degrado p si existe una función φ ∈ Lin(p) (V,W ) tal que f (v) = φ(v, . . . , v). Cuando W = R se llamará a estafunción una forma p-ésima, se usarán también los términos forma lineal, cuadrática y cúbica cuando p = 1, 2, 3,respectivamente. Se dirá, por convención, que una función constantes c : V → W es una función polinomialhomogénea de grado cero.

( 7.7.2 ) Toda función polinomial homogénea f de grado p satisface que f (λv) = λpf (v).

Pues existe una función p-lineal φ tal que f (v) = φ(v, . . . , v), por lo que

f (λv) = φ(λv, . . . , λv) = λpφ(v) = λpf (v).

Lo cual concluye la demostración. Recuerda que a toda forma cuadrática f le correspone una única función bilineal simétrica. Esto es

en realidad un resultado particular de otro más general, el cual afirma que a toda función polinomialhomogénea de grado p le corresponde una única forma p-lineal simétrica. A continuación se demuestrala existencia de tal función multilineal simétrica.

250

7.7. Desarrollos limitados; el teorema de Taylor en espacios vectoriales normados.

( 7.7.3 ) Se dirá que una función p-lineal φ ∈ Lin(p) (V,W ) es simétrica si para cada σ ∈ Sp (ve (1.3.4)) yv1, . . . , vp ∈ V se cumple

φ(v1, . . . , vp) = φ(vσ (1), . . . , vσ (p)

).

( 7.7.4 ) Sea f una función polinomial homogénea de grado p. Existe una función p-lineal simétrica φ tal quef (v) = φ(v, . . . , v).

Se sabe que para f existe una función p-lineal ψ tal que f (v) = ψ(v, . . . , v) entonces, se define

φ(v1, . . . , vp) = 1p!∑σ∈Sp

ψ(vσ (1), . . . , vσ (p)

),

(ve la definición del determinante (1.3.17)). Es evidente que f (v) = φ(v, . . . , v) pues la cardinalidad de Spes p! (ve (1.3.5)). Ahora bien, basta demostrar que φ es simétrica. Supón que ρ ∈ Sp es una permutaciónde p elementos entonces

φ(vρ(1), . . . , vρ(p)

)= 1p!∑σ∈Sp

ψ(vσ (ρ(1)), . . . , vσ (ρ(p))

)= 1p!∑ζ∈Sp

ψ(vζ(1), . . . , vζ(p)

)pues al recorrer σ a Sp también lo hace σ ρ. Por lo tanto,

φ(vρ(1), . . . , vρ(p)

)= φ(v1, . . . , vp),

mostrando la simetría de φ. Se tiene ahora interés en estudiar el comportamiento de las funciones polinomiales homogéneas

de cierto grado fijo como subconjunto del espacio vectorial de todas las funciones de V a W.

( 7.7.5 ) El conjunto de funciones polinomiales homogéneas de grado p es un subespacio vectorial del espacio detodas las funciones de V a W.

Evidentemente la función cero es una función polinomial homogénea de grado p (considera lafunción p-lineal cero). Basta ver que combinación lineal de estas funciones es otra función polinomial.Sean pues f y g dos de estas funciones y λ ∈ R. Se sabe que existen φ y ψ tales que f (v) = φ(v, . . . , v)y g(v) = ψ(v, . . . , v). Entonces,

(f + λg)(v) = f (v) + λg(v) = φ(v, . . . , v) + λψ(v, . . . , v) = (φ + λψ)(v, . . . , v)

y es claro que φ + λψ es p-lineal. Recuerta que el “productos” entre dos funciones f y g es una composición B(f, g), donde B es

bilineal.

( 7.7.6 ) Sean B : V1 × V2 → W una función bilineal y f : U → V1 y g : U → V2 dos funciones polinomialeshomogéneas de grados s y t, respectivamente. Entonces, su «producto» relativo a B es una función polinomialhomogénea de grado s + t.

Se consideran sendas funciones φ y ψ que sean s-lineal y t-lineal tales que f (u) = φ(u, . . . , u) yg(u) = ψ(u, . . . , u). Sea h el producto de f y g relativo a B; esto es, h = B(f, g). Como

h(u) = B(f (u), g(u)) = B(φ(u, . . . , u), ψ(u, . . . , u))

solo resta demostrar que B(φ,ψ) es (s + t)-lineal, lo cual es inmediato. El siguiente resultado reitera la noción de que la “nueva” definición de función polinomial es en

efecto una generalización de aquella que ya se usaba.

251


( 7.7.7 ) Sea f : Rn →W una función polinomial homogenea de grado p. Existen constantes ci1,...,in ∈ Rm talesque

f (x1, . . . , xn) =∑

i1+...+in=pci1,...,inx

i11 · · ·xinn .

Esta se conoce como la «forma general» de una función polinomial homogénea en Rn.Se sabe que existe una función φ que es p-lineal tal que f (X) = φ(X, . . . , X). Luego, si e1, . . . , en es la

base canónica de Rn se concluye que

φ(X1, . . . , Xp) =n∑

jp=1φ(X1, . . . , Xp−1, ejp )xp,jp ,

donde Xi = (xi,1, . . . , xi,n) para i = 1, . . . , p. Procediendo de este modo se puede concluir que

φ(X1, . . . , Xp) =n∑

j1=1· · ·

n∑jp=1

φ(ej1 , . . . , ejp )x1,j1 · · ·xp,jp .

Cuando X1 = . . . = Xp = X = (x1, . . . , xn) entonces x1,j1 · · ·xp,jp toma la forma xi11 · · ·xinn , donde i1 + . . .+in = p y entonces ci1,...,in es la suma de todas las φ(ej1 , . . . , ejp ) tales que x1,j1 · · ·xp,jp = xi11 · · ·xinn , lo queconcluye la demostración.

( 7.7.8 ) Sea f : Rn → R una función polinomial según la definición (5.4.13). Existen funciones polinomialeshomogéneas f0, . . . , fk tales que f = f0 + . . .+ fk.

Sea k el grado de f entonces existen constantes ci1,...,in tales que

f (x1, . . . , xn) =k∑

i1+...+in=0ci1,...,inx

i11 · · ·xinn ;

tomar fj como el sumando cuando i1 + . . .+ in = j. Entonces, fj es una función polinomial homogéneade grado j.

Esta proposición motiva la siguiente definición.( 7.7.9 ) Sean f0, . . . , fk : V → W funciones polinomiales homogéneas de grados 0, . . . , k, respectivamente. Se

dirá que f =k∑i=0

fi es una función polinomial de grado menor o igual a k.

Observaciones:1. Toda función polinomial de grado menor o igual que k también es una función polinomial de

grado menor o igual que l para todo l ≥ k.

2. Supón que f : V →W1 es una función polinomial homogénea de grado menor o igual a k y g : V →W2 de grado menor o igual a l. Existen funciones polinomiales homogéneas f0, . . . , fk : V → W1y g0, . . . , gl : V → W2 de grados 0, . . . , k y 0, . . . , l, respectivamente, tales que f = f0 + . . . + fk yg = g0 + . . .+ gl. Si B es una función bilineal de W1 ×W2 →W, y si h = B(f, g) es el producto delos polinomios f y g entonces, de acuerdo a (7.7.6),

h = B

Ñk∑j=0

fj ,l∑

i=0gi

é=∑i,jB(fi, gj )

es una función polinomial de grado menor o igual que k + l.

252


z 7.7.2 Las funciones de incrementos.Ya se ha hablado de incrementos con anterioridad; en diferenciales o teorema del valor medio

(5.11.2). Íntimamente ligados con los polinomios se encuentran las funciones de incrementos. Por cues-tiones tradicionales se definía a la derivada como

lım∆x→0

∆y∆x = dy

dx .

Ahora se define formalmente esta simbología.

( 7.7.10 ) Sea f : V →W una función cualquiera y sea h ∈ V cualquiera, se define la función de incrementos def con incremento de tamaño h por ∆hf : V → W definida como (∆hf )(v) = f (v + h) − f (v). Por notación seescribirá (∆hf )(v) = ∆hf (v).

( 7.7.11 ) Sea f : V →W cualquiera y h1, h2 ∈ Rn. Entonces, para cualquier v ∈ V,

∆h2 (∆h1f ) (v) = ∆h1 (∆h2f ) (v).

Luego, se escribirá ∆h1∆h2f para denotar a cualquiera de estas funciones.

Esto se sigue directamente de la definición, pues

∆h2 (∆h1f ) (v) = ∆h1f (v + h2)−∆h1f (v)= f (v + h1 + h2)− f (v + h2)− f (v + h1) + h(v)

y, análogamente∆h1 (∆h2f ) (v) = f (v + h1 + h2)− f (v + h2)− f (v + h1) + f (v),

lo cual concluye lo afirmado. Se definirán ahora las funciones de n-ésimos incrementos y se demostrarán algunas propiedades

sobre ellas.

( 7.7.12 ) Para cualesquier f : V →W, k ∈ N, h1, . . . , hk ∈ V y σ ∈ Sk se tiene que

∆h1

(∆h2 . . . (∆hkf ) . . .

)(v) = ∆hσ (1)

(∆hσ (2) . . .

(∆hσ (k)f

). . .)(v).

Entonces, a cualquiera de estas funciones se les llamará función de k-ésimos incrementos de f y será denotadapor ∆h1 · · ·∆hkf.

Se procede por inducción en k, así el teorema es cierto para k = 2 según (7.7.11). Por otro lado, si elteorema es cierto para k, se puede permutar los índices del 2 al k+ 1 sin afectar la función y tambiénse puede transponer los índices 1 y 2. Luego, para concluir basta ver que todo elemento de Sk+1 sepuede factorizar mediante permutaciones de los conjuntos 2, . . . , k+ 1 y 1, 2. Esto fue demostradoen (7.5.15).

( 7.7.13 ) Sean f : V →W. Para cualesquier k ∈ N y v, h1, . . . , hk ∈ V,

∆h1 · · ·∆hkf (v) = f(v +

k∑i=1

hi

)−

∑1≤j1<...<jk−1≤n

f(v +

k−1∑i=1

hji

)+ . . .+ (−1)kf (v);

es decir, es la suma de las 2k funciones v 7Ï (−1)k−jF(v + hi1 + . . .+ hij

), en donde 1 ≤ i1 < . . . < ij ≤ k y

j = 0, . . . , k.

253


Se procede por inducción. En la prueba de (7.7.11) muestra que el resultado es cierto para k = 2.Supón que es cierto para k− 1 entonces, F = ∆h1 · · ·∆hkf es igual a la suma de las funciones ∆hkfi1,...,ij ,donde fi1,...,ij (v) = (−1)k−1−jf

(v + hi1 + . . .+ hij

). Como cada ∆hkfi1,...,ij puede identificarse con la suma

de dos funciones, se ve que F es la suma de 2k funciones. Pero,

∆hkfi1,...,ij (v) = f (v + hi1 + . . .+ hij + hk)− f (v + hi1 + . . .+ hij ),

con lo cual se ve que el primer sumando admite j + 1 de las hi y el segundo solo j de ellos, además,el primer sumando conserva el signo con el que aparece fi1,...,ij y el segundo lo cambia. Por lo tanto,aquellos sumando de F que admiten j+1 de las hi conservan el signo con el que aparecen los sumandosque admiten j de las hi en la (k − 1)-ésima función de incrementos de f. Por lo tanto, si gi1,...,ij es lafunción v 7Ï f (v + hi1 + . . .+ hij ) para 1 ≤ i1 < . . . < ij ≤ k y j = 0, 1, . . . , k entonces gi1,...,ij aparece conel signo (−1)(k−1)−j+1 = (−1)k−j .

z 7.7.3 El teorema fundamental de polinomios.Así como ocurrió con formas cuadráticas, sería deseable poder demostrar la existencia de un iso-

morfismo entre el espacio de funciones polinomiales homogéneas en n variables de grado p y elconjunto de funciones p-lineales simétricas en n varibles.

Cuando f : R→ R es una función polinomial de primer grado toma la forma f : t 7Ï a + bt, con aconstante entonces ∆hf : R→ R está dada por t 7Ï a+ b(t + h)− a− bt = bh, que es constante y paraf una funcón polinomial de segundo grado se tiene que f es de la forma t 7Ï a + bt + ct2, así que

∆hf (t) = a + b(t + h) + c(t + h)2 − a − bt − ct2 = 2cht + ch2 + bh

que es un polinomio de grado uno. Usando el teorema del binomio de Newton es sencillo verificar quesi f : R → R es una función polinomial de grado menor o igual que p entonces ∆hf es una funciónpolinomial de grado menor o igual que p − 1.( 7.7.14 ) Sea F : V →W una función polinomial de grado menor o igual que p. Supón que f = f0 + . . .+ fp,donde cada fi es una función polinomial homogénea de grado p. Entonces, para cualquier h ∈ V, el primerincremento ∆hf : V →W es una función polinomial de grado menor o igual que p − 1.

Se procede por inducción en p. El resultado vale para p = 1; en efecto,

∆hf (v) = f (v + h)− f (v) = f0(v + h) + f1(v + h)− f0(v)− f1(v) = f1(h),

pues f1 es lineal y f0 es constante, ve (7.7.1).Supón que el resultado vale para algún p − 1 ≥ 0. Entonces

∆hf = ∆hfp + ∆h(f0 + . . .+ fp−1)

y, por induccióm, ∆h(f0 + . . . + fp−1) es una función polinomial de grado menor o igual que p − 2.Por lo que basta ver que ∆fp es de grado menor o igual que p − 1. Sea ψ ∈ Lin(p) (V,W ) tal quefp(v) = ψ(v, . . . , v). Se puede suponer que ψ es simétrica (7.7.4). Luego,

∆hfp(v) = ψÄ(v + h)(p)

ä− ψ

Äv(p)ä

=p∑k=0

Çpk

åψÄv(p−k), h(k)

ä− ψ

Äv(p)ä.

Si k ≥ 1 entonces v 7Ï ψÇpk

åψ(v(p−k), h(k)) es una función polinomial homogénea de grado p−k ≤ p−1

y cuando k = 0, Çpk

åψÄv(p−k), h(k)

ä− ψ

Äv(p)ä

= ψÄv(p)ä− ψ

Äv(p)ä

= 0.

254


Mostrando que el resultado es cierto para p.

( 7.7.15 ) Sea f : V → W una función polinomial de grado menor o igual que p. Supón que f = f0 + . . . + fp,donde fi : V →W es una función polinomial homogénea de grado i. Entonces, si ψ ∈ Lin(p) (V,W ) es tal que

fp(v) = ψ(v, . . . , v),

se cumple que para cualesquier v, h1, . . . , hp ∈ V

ψ(h1, . . . , hp) = 1p!∆h1 · · ·∆hpf (v).

Este se conoce como el «teorema fundamental de polinomios» sobre espacios vectoriales.

Se procede por inducción en p. El resultado es cierto para p = 1 pues en este caso, ∆h1f (v) = f (h1).Se supone ahora que el resultado vale para cierto p − 1 ≥ 0, en acuerdo con (7.7.14), ∆hnf es unpolinomio de grado a lo más p − 1. Se supone entonces que

∆hnf = g0 + . . .+ gp−1,

en donde gi es una función polinomial homogénea de grado i. De hecho, (7.7.14) muestra que gp−1(X) =pψ(v, . . . , v, vp). En virtud de la hipótesis de inducción,

∆h1 · · ·∆hnf (v) = (p − 1)!(pψ(h1, . . . , hp−1, hp)) = p!ψ(h1, . . . , hp).

Lo que concluye el teorema.

( 7.7.16 ) Dada una función polinomial f : V →W de grado menor o igual que p y 2(p+1) funciones polinomialeshomogéneas f0, . . . , fp, f0, . . . , fp : V →W de sendos grados 0, . . . , p y 0, . . . , p, tales que

f =p∑i=0

fi =p∑i=0

fi,

entonces fi = fi para cada i = 0, . . . , n; el «teorema de expansión única».

Pues en virtud del teorema fundamental, si φ y ψ son funciones p-lineales tales que

fp(X) = φ(v, . . . , v)

yfp(v) = ψ(v, . . . , v),

entonces en virtud del teorema fundamental

φ(v1, . . . , vp) = 1p!∆h1 · · ·∆hnf (v) = ψ(v1, . . . , vp).

Esto muestra que fp = fp. Por inducción se obtiene el resultado. A partir de ahora se utilizará la convención de llamar a la función polinomial homogénea de grado

p «componente de grado p» de f.( 7.7.17 ) Dada una función polinomial homogéna f : V → W de grado p existe una única aplicación p-linealsimétrica φ tal que f (v) = φ(v, . . . , v).

Tal φ existe según (7.7.4). Es única pues, en acuerdo con el teorema fundamental (7.7.15), cualquierψ que sea p-lineal y simétrica satisface que

ψ(X1, . . . , Xp) = 1p!∆X1 · · ·∆XpF (X);

en particular φ.

255


z 7.7.4 Funciones tangentes.La noción de tangencia se entiende de manera clara con la derivada. Ahora bien, lo que es la

tangencia a la derivada debería, en todo caso, ser conocida como tangencia lineal. Ahora se explicaesto. Una función f : R→ R continua en a satisface que ε(h) = f (a + h)− f (a) tiende a cero conformeh tiende a cero, es decir, f admite una expansión de orden cero en a, una expansión constante;

f (a + h) = f (a) + ε(h), lımh→0

ε(h) = 0.

Según (5.6.4) cuando f es diferenciable en a admite una expansión de orden uno en a, una expansiónlineal;

f (a + h) = f (a) + f ′(a)h + ε(h), lımh→0

ε(h)h = 0.

( 7.7.18 ) Sean f, g : A ⊂ V → R cualesquiera y v un punto de acumulación de A. Se dirá que f es o(g) (léase,

“o de ge”) en v a través de A si lımu→vu∈A

f (u)g(u) = 0. Eso será escrito como f = o(g) o f ≺ g.

Observaciones:

1. Para que f sea cotinua en v es necesario y suficiente que f = o(1) en v.

2. Una condición necesaria y suficiente para que una función f sea o(g) en v es que las funcionesf ′(v) = f (v + h) y g ′(v) = g(v + h) satisfagan que f ′ es o(g ′) en cero.

3. Si f es o(g) y |h| ≥ |g | entonces f es o(h).

4. Si f y g son o(h) entonces f + g es o(h).

5. Si f está acotada en una vecindad de v y g es o(h) en v entonces fg es o(h) en v.

6. De acuerdo con (5.6.4), la definción de derivada de una función f : A ⊂ V → W en v ∈ ÛA esequivalente a que ‖f (v + h)− f (v)−Df (v)h‖ sea o(‖h‖). Este punto permite sugiere definir loque sería la tangencia de orden p-ésimo.

( 7.7.19 ) Sea f : B (0; r) ⊂ V → W con r > 0. Se dirá que f es tangente a cero en el origen con «orden» detangencia p (y para abreviar «p-tangente» a cero en el origen) si ‖f (h)‖ es o(‖h‖p) en cero.

( 7.7.20 ) Sea f : B (0; r) ⊂ V → W una función (p + 1)-tangente a cero en el origen. Entonces también esp-tangente a cero en el origen.

Pues de hecho para ‖h‖ ≤ 1, ‖h‖p ≥ ‖h‖p+1 . La noción de n-tangencia a cero permite definir una relación entre funciones f, g : B (0; r) ⊂ V →W

mediante f ∼ g si y solo si f−g es n-tangente a cero en el origen. Queda como ejercicio (7.24) verificarque esta relación es de equivalencia.

( 7.7.21 ) . Sea f : B (0; r) ⊂ V →W una función n-tangente a cero en el origen. La función p-lineal simétricaψ(h1, . . . , hp) = ∆h1 · · ·∆hpF (0) satisface que

ψ(h1, . . . , hp) = o((‖h1‖+ . . .+ ‖hp‖)p).

La demostración queda de ejercicio a cargo del lector. A continación se demuestran algunas propiedades de n-tangencia y funciones polinomiales.

256


( 7.7.22 ) Toda función polinomial de grado menor o igual que p que sea p-tangente a cero en el origen esidenticamente nula.

Se procede por inducción. Cuando la función tiene grado cero es una constante, por lo que el únicomodo que sea o(1) es que sea identicamente nula. Se supone ahora que el resultado es válido parap − 1 ≥ 0. Sea f = f0 + . . .+ fp, donde fi es una función polinomial homogénea de grado i. Entonces,

ψ(h1, . . . , hp) = 1p!∆h1 · · ·∆hpF (0)

es p-lineal y simétrica. En virtud de (7.7.21), pues f es p-tangente a cero en el origen, se cumple que

‖ψ(h1, . . . , hp)‖ = o((‖h1‖+ . . .+ ‖hp‖)p).

Así que, dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que si ‖h1‖+ . . .+ ‖hp‖ ≤ δ entonces

‖ψ(h1, . . . , hp)‖ ≤ ε(‖h1‖+ . . .+ ‖hp‖)p.

Pero entonces, se puede sustuir los vectores h1, . . . , hp ∈ B (0; δ) por cualesquier vectores v1, . . . , vp ∈ V.En efecto, al ser ψ una función p-lineal, para todo λ > 0,

‖ψ(λh1, . . . , λhp)‖ = |λ|p ‖ψ(h1, . . . , hp)‖ .

Dados los vectores v1, . . . , vp ∈ V se puede escoger λ > 0 suficientemente pequeño de tal forma que|λ|(‖v1‖+ . . .+ ‖vp‖) = ‖λv1‖+ . . .+ ‖λvp‖ ≤ δ. De este modo, si v1, . . . , vp ∈ V, se cumple que

‖ψ(v1, . . . , vp)‖ ≤ ε(‖v1‖+ . . .+ ‖vp‖)p.

Haciendo ε > 0 tender a cero, se concluye que ψ = 0 y, por lo tanto fp = 0. Hasta ahora ha sidodemostrado que f es una función polinomial de grado menor o igual que p− 1, por lo que la hipótesisinductiva concluye la demostración.

z 7.7.5 El teorema de Taylor, otra vez.El teorema de Taylor afirma que la función polinomial de grado menor o igual que p dada por

H 7Ïp∑k=0

1p!DkF (P)H (k) es “suficientemente próxima” a F en P.

( 7.7.23 ) Sea A ⊂ V y f : A → W una función. Se dirá que f admite un desarrollo limitado φ : V → W de

«orden» p en el punto v ∈ ÛA si φ es una función polinomial de grado menor o igual que p que sea p-tangenteen origen a la función h 7Ï f (v + h).

En realidad, el teorema de Taylor, como ha sido formulado antes, no demuestra que la función

polinomial H 7Ïp∑k=0

1p!DkF (P)H (k) sea un desarrollo limitado. Entonces, para que esta definición estilo

«de existencia» no sea vaga habrá que demostrar que existe un conjunto amplio de funciones queposeen desarrollos limitados. Lo que se hará será generalizar el teorema de Taylor para funciones deA ⊂ V →W en puntos v ∈ ÛA donde la función sea p-veces diferenciable (también ve el ejercicio (7.34)).Antes se verán algunas propiedades sencillas de desarrollos limitados.

( 7.7.24 ) Se supone que f : A ⊂ V →W admite dos desarrollos limitados de orden p en el origen. Es condiciónnecesaria que estos coincidan.

257


Pues si φ1, φ2 : V →W son tales desarrollos entonces ‖φ1 − f‖ (v) = o(‖v‖p) y ‖φ2 − f‖ (v) = o(‖v‖p).Se sigue que ‖φ1 − φ2‖ (v) = o(‖v‖p) y por (7.7.22) se obtiene el resultado.

¿Qué pasa cuando los dos desarrollos limitados no son en el origen, sino en un punto A? Se dejaa cargo del lector el pensar este caso. Por otro lado, si los desarrollos limitados en el origen de unafunción son unicos, ¿qué pasa cuando a un desarrollo se quitan los términos de ordenes altos? ¿Seráque las funciones polinomiales así obtenidas sean desarrollos de ordenes más pequeños?

( 7.7.25 ) Sea f una función polinomial de V a W de grado menor o igual que p. Supón que f =p1∑i=0

fk, donde

fi es la componente homogénea de grado i de f. Se dirá que la función polinomialp2∑k=0

fk se obtiene de la primera

mediante un truncamiento al orden p2 (se supone p1 ≥ p2).

( 7.7.26 ) Sean f : A ⊂ V →W y v ∈ ÛA tal que f admite un desarrollo limitado de orden p en v. El truncamientode este desarrollo a cualquier orden q < p corresponde a un desarrollo limitado de f en v de orden q.

Esto no es más que hacer unas cuántas manipulaciones algebraicas,∥∥∥∥∥f (v)−q∑k=0

fk(v)∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥f (v)−p∑k=0

vk(v)∥∥∥∥∥+

∥∥∥∥∥∥p∑

k=q+1fk(v)

∥∥∥∥∥∥= o(‖v‖n) + o(‖v‖p) = o(‖v‖p),

pues toda función polinomial homogénea de grado mayor que p es o(‖X‖p), ve (7.26). Se deja al lector verificar lo siguiente.

( 7.7.27 ) Sea B : V1 × V2 → W una función bilineal y considera dos funciones u : (a, b) ⊂ R → V1 yv : (a, b)→ V2 que sean p veces diferenciables en t0 ∈ (a, b) y define

ψ(t) =p∑k=0

(−1)kBÄu(k)(t), v(p−k)(t)

ä.

Entonces ψ es diferenciable en t0 y

ψ′(t0) = BÄu(t0), v(p+1)(t0)

ä+ (−1)pB

Äu(p+1)(t0), v(t0)

ä.

En particular, para α : (a, b)→W que sea p + 1 veces diferenciable en t0

ddt

∣∣∣t=t0

ïα(t) + (1− t)α′(t) + . . .+ 1

p! (1− t)pα(p)(t)

ò= 1p! (1− t0)

pα(p+1)(t0).

Finalmente, si α(p+1) está definida y continua en [0, 1] se cumple que

α(1)− α(0)− α′(0)− 12α′′(0)− . . .− 1

p!α(p)(0) =

1∫0

(1− t)pα(p+1)(t)p! dt.

A continuación se demuestra que las funciones que son de clase Cp+1 en un abierto A ⊂ V a valoresen W satisfacen que poseen desarrollos limitados de orden p en cada punto de su dominio.

258


( 7.7.28 ) Sea f ∈ Cp+1 (A,W ) , donde A ⊂ V es un abierto. Para cualesquier v y h tales que el segmentocerrado [v, v + h] = v + th|t ∈ [0, 1] ⊂ A se tiene que

f (v + h) = Tpf (v) +1∫

0

(1− t)pf (p+1)(v + th)h(p+1)

p! dt.

En particular, Tpf (v) es un desarrollo limitado de f de orden p en v; esto se conoce como «el teorema de Taylorcon resto integral».

Se define α : [0, 1] → W por α(t) = f (v + th) entonces α ∈ Cp+1 ([0, 1],W ) . En particular (7.7.27)muestra que

α(1)− α(0)− α′(0)− 12α′′(0)− . . .− 1

p!α(p)(0) =

1∫0

(1− t)pα(p+1)(t)p! dt.

Como α(1) = f (v + h) y α(0) + α′(0) + . . .+ 1p!α

(p)(0) = Tpf (v) se obtiene la primera afirmación.

Para obtener la segunda, solo se debe verificar que∥∥∥∥∥∥1∫

0

(1− t)pf (p+1)(v + th)h(p+1)

p! dt

∥∥∥∥∥∥ = o(‖h‖p).

Según el ejercicio (5.75), existe una constante c > 0 tal que∥∥∥f (p+1)(v + th)h(p+1)∥∥∥ ≤ c ‖h‖p+1 .

Por lo tanto, en virtud del ejercicio (4.61)∥∥∥∥∥∥1∫

0

(1− t)pf (p+1)(v + th)h(p+1)

p! dt

∥∥∥∥∥∥ ≤1∫

0

1p!

∥∥∥f (p+1)(v + th)h(p+1)∥∥∥dt

≤ cp! ‖h‖

p+1 = o(‖h‖p),

que concluye la demostración.

z 7.7.6 Propiedades de los desarrollos limitados.Si f y g son funciones de un conjunto A ⊂ V a W las cuales admiten desarrollos limitados de orden

p en un punto v ∈ ÛA y ∗ es una operación para la cual ∗(f, g) está definida, ¿será que el desarrollorlimitado de ∗(f, g) sea la ∗ de los desarrollos limitados de f y g? Para la suma es inmediato verificar;se nota que la función T(w1, w2) = w1 +w2, w1, w2 ∈W es lineal.

( 7.7.29 ) Sean f y g sendas funciones de A ⊂ V a W1 y W2 las cuales admiten desarrollos limitados, ψ y φ,respectivamente, de orden p en v. Entonces, para cualquier T : W1×W2 →W lineal, se cumple que el desarrollolimitado de T(f, g) : A→W de orden p en v es T(φ,ψ).

259


Se cumple que φ =p∑i=0

φi y ψ =p∑i=0

ψi, en donde φ0, . . . , φp y ψ0, . . . , ψp son las componentes

homogéneas de φ y ψ, así que

T(φ,ψ) = T( n∑

i=0(φi, ψi)

)=

n∑i=0

T(φi, ψi).

Ahora se prueba un lema.

( 7.7.29.1 ) Sean ψ : V →W una función polinomial homogéna de grado p y T : W → U lineal. Entonces T ψes una función polinomial homogéna de grado p.

Pues existe ψ ∈ Lin(p) (V,W ) tal que ψ(v) = ψ(v, . . . , v). Basta ver que T ψ es p-lineal. Pero siv ′k, v1, . . . , vp ∈ V, y λ ∈ R entonces

TÄψ(v1, . . . , vk + λv ′k, . . . , vp)

ä= T

Äψ(v1, . . . , vp) + λψ(v1, . . . , vk−1, v ′k, vk+1, . . . , vp)

äy como T es lineal, T ψ es lineal en la entrada k-ésima. Luego, T ψ es p-lineal, concluyendo laafirmación.

Para concluir (7.7.29) todavía se tiene que ver que T(φ,ψ) es función polinomial de grado menor oigual que p y que

‖T(f (v + h), g(v + h))− T(φ(h), ψ(h))‖ = o(‖h‖p).

En virtud de (7.7.29.1) T(φ,ψ) es una función polinomial homogénea de grado menor o igual que p.Por otro lado,

T(f (v + h), g(v + h))− T(φ(h), ψ(h)) = T(f (v + h)− φ(h), g(v + h)− ψ(h))

y según (5.11.4) la norma de la expresión anterior está acotada por

‖T‖ ‖(f (v + h)− φ(h), g(v + h)− ψ(h))‖ .

Se concluye con la siguiente afirmación.

( 7.7.29.2 ) Sean f y g funciones de A ⊂ V aW1 yW2, respectivamente. Supón que en algun punto v ∈ ÛA tantof como g admiten desarrollos limitados de orden p, φ y ψ, respectivamente. Entonces (f, g) : A → W1 ×W2admite un desarrollo limitado de orden p en v y esta dado por (φ,ψ).

Aunque parezca obvio que (φ,ψ) sea una función polinomial se deduce del hecho que (w1, w2) 7Ï(w1, w2) es bilineal y de (7.7.6). Solo resta demostrar que

‖(f (v + h)− φ(h), g(v + h)− ψ(h))‖ = o(‖h‖p).

Pero para w1 ∈W1 y w2 ∈W2, ‖(w1, w2)‖ ≤ ‖w1‖+ ‖w2‖ (6.3.1).

( 7.7.30 ) Sean f : A ⊂ V → W1 y g : A → W2 funciones que admiten desarrollos limitados φ : V → W1 y

ψ : V → W2, respectivamente, de orden p en el punto v ∈ ÛA. Sea B : W1 ×W2 → W una forma bilineal. Elproducto de f con g relativo a B admite un desarrollo limitado Φ de orden p en el punto P. En este caso, Φ esel producto de los desarrollos limitados de f y g truncado al orden p.

260


Se supone que φ =p∑k=0

φk y que ψ =p∑k=0

ψk, donde φk y ψk son las componentes homogéneas de φ

y ψ, respectivamente. Observa que

B(φ,ψ) =p∑

i,j=0B(φi, ψj )

es una función polinomial de grado mayor que p. Sea Φ el truncamiento de esta función al orden p.Entonces, con definir ε1(h) = f (v+h)− f (v) y ε2(h) = g(v+h)− g(v), se ve que ‖ε1(h)‖ = o(‖h‖p) y que‖ε2(h)‖ = o(‖h‖p). Asimismo,

B(f (v + h), g(v + h))− B(φ(h), ψ(h)) = B(ε1(h), ε2(h)) + B(φ(h), ε2(h)) + B(ε1(h), ψ(h)),

de donde, según (5.73)‖B(ε1(h), ε2(h))‖ ≤ ‖B‖ ‖ε1(h)‖ ‖ε2(h)‖ ,

‖B(φ(h), ε2(h))‖ ≤ ‖B‖ ‖φ(h)‖ ‖ε2(h)‖

y‖B(ε1(h), ψ(h))‖ ≤ ‖B‖ ‖ε1(h)‖ ‖ψ(h)‖)

Como φ y ψ son continuas (¿por qué?), existe una bola cerrada T ⊂ A en donde están acotadas. Porende, los tres términos anteriores son o(‖h‖p). Para concluir, basta ver que∥∥∥∥∥∥

p∑i,j=0

B(φi(h), ψj (h))−∑

0≤i+j≤pB(φi(h), ψj (h))

∥∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥∥ ∑p+1≤i+j≤2p

B(φi(h), ψj (h))

∥∥∥∥∥∥ = o(‖h‖p),

lo cual se sigue de (7.7.6) y (7.26).

( 7.7.31 ) Considera dos abiertos A ⊂ V y B ⊂W, y dos funciones f : A→ B y g : B→ U. Supón que f admiteun desarrollo limitado φ de orden p en v ∈ A y que g admite un desarrollo limitado ψ de orden p en w = f (v).Entonces, g f admite un desarrollo limitado Φ de orden p en v. En este caso,

Φ(h) = g(w) +p∑j=1

Ñ ∑1≤i1+...+ij≤n

ψj(φi1 (h), . . . , φij (h)

)é,

en donde φ1, . . . , φp son las componentes homogéneas del desarrollo de f y ψ1, . . . , ψp son las funciones multili-neales simétricas asociadas a las componentes homogéneas del desarrollo de g.

La demostración queda de ejercicio al lector. Esta cantidad de propiedades demostradas hasta ahora permiten encontrar polinomios de Taylor

con gran generalidad.

( 7.7.32 ) Encuentra el polinomio de Taylor, centrado en cero, de orden décimo, de la función (x, y) 7Ï exy cosxy.

Se encuentran por separado los polinomios de Taylor, se sabe que los polinomios de Taylor dedécimo orden de coseno y exponencial, son

T10 cos (0)h = 1− h2

2 + h4

24 −h6

6! + h8

8! −h10

10!y

T10 exp (0)h = 1 + h + h2

2 + h3

6 + . . .+ h10

10! .

261


Observa que las funciones multilineas asociadas a las componentes homogéneas de la función expo-nencial son las funciones

ψj : Rj → R dada por ψj (ti, . . . , tj ) = t1 · · · tjj! .

Es fácil ver que el polinomio de Taylor de la función (x, y) 7Ï xy es ella misma, por lo que suscomponentes homogéneas son

φi(x, y) =ß

0 si i 6= 2xy si i = 2.

Según (7.7.31), el polinomio de Taylor de f (x, y) = exy es

T4f (0, 0) (x, y) = exp(0) + ψ1(φ2(x, y)) + . . .+ ψ5Ä(φ2(x, y))(5)

ä= 1 + xy + x2y2

2 + x3y3

6 + x4y4

24 + x5y5

120 .

Procediendo de manera análoga para el coseno, ahora se encuentra que sus funciones multilinealesasociadas a sus componentes homogéneas son

τj (t1, . . . , tj ) =

0 si j es impar,t1 · · · tjj! si j es par.

Por lo tanto, el polinomio de Taylor de g(x, y) = cosxy es

T4g (0, 0) (x, y) = cos 0 + τ2Ä(φ2(x, y))(2)

ä+ τ4

Ä(φ2(x, y))(4)

ä= 1 + x2y2

2 + x4y4

24 .

Según (7.7.30), el polinomio de Taylor buscado es

(x, y) 7Ï 1 + xy +Å1

2 + 12

ãx2y2 +

Å16 + 1

2

ãx3y3

+Å 1

24 + 14 + 1

24

ãx4y4 +

Å 1120 + 1

12 + 124

ãx5y5,

o bien(x, y) 7Ï 1 + xy + x2y2 + 2

3x3y3 + 1

3x4y4 + 2

15x5y5.

Lo cual conluye el ejemplo.

§ 7.8. Ejercicios.

( 7.1 ) El espacio vectorial real de las matices simétricas de n×n con coeficientes en R tiene dimensiónn(n + 1)

2 .

( 7.2 ) El espacio vectorial real de las matrices antisimétricas de n × n con coeficientes reales tiene dimensiónn(n − 1)

2 .

( 7.3 ) Encontrar una base del espacio de las matrices simétricas de n×n con coeficientes en R y una base parael espacio de las matrices antisimétricas. Con esto, demostrar que el espacio de matrices de n × n con entradasreales es suma directa10 de los espacios de matrices simétricas y antisimétricas.

10Se dice que el espacio vectorial V es suma directa de sus subespacios U y W si se satisface la siguiente condición:(∀v ∈ V )(∃!u ∈ U,∃!w ∈W )(v = u +w).

262

7.8. Ejercicios.

( 7.4 ) Encontrar un cambio de variable lineal que transforme las siguientes formas cuadráticas a forma diagonal.De esto, deducir si la forma cuadrática dada está definida positivamente, semipositivamente, negativamente,seminegativamente o si está no definida.

1. x2 − 5xy + y2;

2. 3xy − 5y2;

3. 5xy;

Sugerencia: para el último caso, considera u = x + y y v = x − y.

( 7.5 ) Encuentra todas las matrices simétricas B que satisfagan que f (X) = 〈BX,X〉 .

1. f (x, y) = x2 − 6xy + 9y2;

2. f (x1, . . . , xn) =( n∑k=1

akxk

)2

;

3. f (x, y) =10∑k=1

(x + ky)2;

4. f (x, y) =n∑k=1

(x + ky)2 −n∑k=1

(kx + y)2.

( 7.6 ) En (7.1.13), demostrar que Φ es lineal.

( 7.7 ) Hacer un dibujo donde se represente a todas las clases de equivalencia de las formas cuadráticas en una ydos variables.

( 7.8 ) Encuentra la segunda derivada de las siguientes funciones. Da explícitamente las reglas de correspondencias(h, k) 7Ï D2F (x, y) (h, k) para F dada por:

1. F (x, y) = x2 + y2.

2. F (x, y) = log(x2 + y2 + 1).

3. F (x, y) = (y sinx, x cos y).

( 7.9 ) Sea f ∈ Ck (A,W ) donde A ⊂ Rn es un conjunto abierto. Entonces, f tiene a lo más k + 1 derivadasparciales distintas.

( 7.10 ) Supón que f es m veces diferenciable en v y que Dmf es n veces diferenciable en v. Entonces f esm + n veces diferenciable en P y Dm+nf (v) = Dn [Dmf ] (v) .

( 7.11 ) Una condición necesaria y suficiente para que f ∈ C∞ (A,W ) , en donde A ⊂ Rn es una abierto, es queexista un k ∈ N tal que Dkf ∈ C∞ (A,Lin (Rn,W )) .

( 7.12 ) Sean f : A → B y g : B → W funciones k veces diferenciables con continuidad, en donde A ⊂ U yB ⊂ V son abiertos. Entonces h = g f es k veces diferenciable con continuidad.Sugerencia: no intentes encontrar una «fórmula general» para la derivada k-ésima. Utiliza inducción en k.

Equivalentemente, si todo elemento en V puede ser escrito de manera única como combinación lineal de un elemento de U conotro de W.

263


( 7.13 ) Para cada k ∈ N y para cada A ⊂ Rn abierto, Ck (A,W ) es un espacio vectorial real. ¿Qué dimensióntiene este espacio?

( 7.14 ) Sea A ⊂ Rn un conjunto abierto. Para cada «multiíndice» ν ∈ (N∪0)n, por ejemplo ν = (m1, . . . ,mn),se define

|ν| = m1 + · · ·+mn y Dν = Dm11 · · ·Dmn

n .

Supón que C es una familia finita de multiíndices en (N∪0)n, por ejemplo C = (ν1, . . . , νp). Sean a1, . . . , apcualesquiera p números reales. Se define el «operador diferencial» inducido por C como la función

DC =p∑i=1

aiDνi .

Sea N = max|ν1|, . . . , |νp|. Se puede pensar que DC es una función de CN (A,W ) a C0 (A,W ) de la maneraobvia, DCf es la función continua de A a W que está dada por

DCf (X) =p∑i=1

aiDνif (X).

Si DCf = 0 para cada función f en su dominio entonces ai = 0 para cada i.

Sugerencia: considera f (x1, . . . , xn) = exp( n∑

i=1λixi

), donde los número λi son arbitrarios pero fijos.

( 7.15 ) Sea P : Rn → R una función polinomial de grado k según (5.4.13), por ejemplo

P(x1, . . . , xn) =∑

0≤i1+···+in≤kbi1···inx

i11 · · ·xinn ,

se define DP : CN (A,W )→ C0 (A,W ) , donde A ⊂ Rn, como

DP =∑

0≤i1+···+in≤Nbi1···inDi1

1 · · ·Dinn

y a DP se le denomina el operador diferencial lineal inducido por P. El grado de P coincide con el orden de DP .Si P1 y P2 son dos funciones polinomiales entonces DP1+P2 = DP1 + DP2 y si el grado de P1P2 es a lo más Nentonces DP1P2 = DP1DP2 .

( 7.16 ) Sean f y g dos funciones en Ck (A,W ) , donde A ⊂ V es una abierto. Entonces 〈f, g〉 es un elementoen Ck (A,R) y para cada v ∈ A, se tiene que, denotando a h(i) = (h, . . . , h)︸︷︷︸

i veces

,

Dk[〈f, g〉] (v)h(k) =k∑i=0

Çki

å¨Dif (v)h(i),Dk−ig (v)h(k−i)

∂.

( 7.17 ) Encuentra el polinomio de Taylor de orden n de la función x 7Ï sinx.Sugerencia: utiliza la propiedad de integración del polinomio de Taylor y calcula el polinomio de Taylor del senoa partir del encontrado en el texto para el coseno.

( 7.18 ) Si p : R→ R es un polinomio de grado n entonces Tnp (0) = p.

264

7.8. Ejercicios.

( 7.19 ) Si un polinomio es alterado por un error pequeño entonces su polinomio de Taylor es él mismo; esto es,

supón que f = p + r, con p un polinomio de grado n y lımx→0

r(x)xn = 0 entonces p es el polinomio de Taylor de

grado n centrado en cero de f.Sugerencia: utiliza que el polinomio de Taylor está determinado de manera única y demuestra que las primerasn derivadas de f y p coinciden; para esto, observa que r(x) = xno(x), donde o(x)→ 0 cuando x → 0.

( 7.20 ) Si g(x) = f (cx), donde c ∈ R es fijo entonces Tng (a) (x) = Tnf (ca) (cx).

( 7.21 ) Encuentra el polinomio de Taylor de grado n de cada una de las siguientes funciones:

1. x 7Ï e−x ;

2. x 7Ï 11− x , x ∈ (0, 1); utiliza el ejercicio (7.19) y la identidad

11− x = 1 + x + x2 + . . .+ xn + xn+1

1− x .

3. x 7Ï ex + e−x2 ; esta función se conoce como coseno hiperbólico.

4. x 7Ï ex − e−x2 ; esta función se conoce como seno hiperbólico; derive el anterior.

5. x 7Ï log(1 + x); calcula primero el polinomio de Taylor de − log(1− x), utiliza un inciso previo.

6. x 7Ï 11 + x2 ; igual que el segundo inciso.

7. x 7Ï arctanx; integre el anterior.

( 7.22 ) Si a, b ∈ R y k ∈ N entonces

(a + b)k+1 =k∑i=0

Çki

åai+1bk−i +

k∑i=0

Çki

åaibk+1−i.

( 7.23 ) El espacio vectorial de funciones polinomiales homogéneas V → W cuyo grado es p es isomorfo alespacio vectorial de las funciones p-lineales simétricas de V a W. Encuentra la dimensión de tales espacios.

( 7.24 ) Considera el conjunto de funciones H = f : B (0; r) ⊂ V → W y define la relación ∼ en H porf ∼ g ⇔ f y f son n-tangentes a cero en el origen. Verifique que ∼ es de equivalencia.

( 7.25 ) Demuestra (7.7.21).

( 7.26 ) Sea f : V →W una función polinomial homogénea de grado mayor p. Entonces ‖f (h)‖ = o(‖h‖p).

( 7.27 ) Demuestra (7.7.27).

( 7.28 ) Demuestra (7.7.31).

Sugerencia: considera f (v + h) = w +p∑i=1

φi(h) + r(h) y g(w + k) = g(w) +p∑j=1

ψj (k) + s(k), en donde

‖r(h)‖ = o(‖h‖p) y ‖s(k)‖ = o(‖k‖p).

( 7.29 ) Considera las funciones F (x, y) = (sinx, x cos y) y G(x, y) = (x2 + 3xy + y3, exy), encuentra elpolinomio de Taylor de h = 〈F,G〉 en el origen de quinto orden.

( 7.30 ) Encuentra el desarrollo de Taylor de orden n para las funciones

265


1. cosxy;

2. xy exp(xy).

( 7.31 ) Demuestra que una función multinomial es indefinidamente diferenciable.Sugerencia: no intentes calcular las derivadas. Nota que la primera derivada de una función (k + 1)-linealevaluada en un vector fijo es una suma finita de funciones k-lineales. Aplica inducción.

( 7.32 ) Si F : V →W es una función polinomial entonces F ∈ C∞ (V,W ) .Sugerencia: reduce al caso cuando F es una función polinomial homogénea e intente dar una demostraciónutilizando la regla de la cadena.

( 7.33 ) Si f : A ⊂ Rn → W admite un desarrollo limitado φ de orden p en el punto P ∈ ÛA entonces existenconstantes c0,...,0, . . . , cn,...,n ∈W tales que

φ(x1, . . . , xn) =∑

0≤i1+...+in≤pci1,...,in (x1 − p1)i1 · · · (xn − pn)in .

Esto es lo que se conoce como un polinomio centrado en A = (a1, . . . , an).Sugerencia: define, para h pequeño, la función h 7Ï f (P + h) y observa que esta función es tantas vecesdiferenciable en cero como lo es f en P.

( 7.34 ) Sea f : A ⊂ V → W una función k veces diferenciable sobre B (v; r) ⊂ A, cuya derivada k-ésima escontinua en P. Entonces∥∥∥∥f (v + h)− f (v)−Df (v)h − . . .− 1

k!Dkf (v)h(k)∥∥∥∥ = o

Ä‖h‖k

ä.

Sugerencia: procede por inducción en k, recuerda que el caso k = 1 es definición. Supón ahora que f es k+ 1veces diferenciable en v y define para h pequeño

φ(h) = f (v + h)− f (v)−Df (v)h − . . .− 1(k + 1)!Dk+1f (v)h(k+1),

φ es diferenciable para todo h pequeño y

Dφ (h) = Df (v + h)−Df (h)− . . .− 1(k + 1)!Dk+1f (v)h(k);

para concluir esta última igualdad habrás de usar que Dif (v) es i-lineal y simétrica (ve (7.5.15)). En virtud de lahipótesis inductiva puedes concluir que

‖Dφ (h)‖ = oÄ‖h‖k

ä.

Luego, dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que

‖h‖ < δ Ñ ‖Dφ (h)‖ ≤ ε ‖h‖k .

El teorema del valor medio (5.11.2) muestra entonces que

‖h‖ < δ Ñ ‖φ(h)‖ ≤ ε ‖h‖k+1 ,

es decir, ‖φ(h)‖ = oÄ‖h‖k+1

ä.

266

Capítulo 8

• Optimización libre y restringida, fun-ciones convexas y teoremas de la fun-ción inversa e implícita.

Como su nombre lo sugiere la optimización se centra en encontrar los puntos “mejores” de unafunción. Cabe destacar que la noción de “mejor” queda definida por el contexto que se trabaja. Así, porejemplo, si U(x, y) expresa el bienestar que obtiene un individuo al consumir x unidades de un primerbien y y unidades de un segundo bien entonces surge naturalmente la pregunta: ¿Cuál es la decisiónóptima de un individo para maximizar su bienestar? Preguntas análogas surgen cuando U representadinero gastado, tiempo empleado, etcétera.

Obviamente, para hablar de optimización es necesario comparar números, por lo que solamente esposible optimizar cuyo contradominio es un subconjunto de R.

§ 8.1. Optimización libreExisten, en general, dos tipos diferentes de optimización, estas son la optimización libre o sin res-

tricciones y la optimización restringida. Ahora se explica a qué se refiere la expresión con optimizaciónlibre. Una función de I ⊂ R → R posee solo una variable independiente y por ende, no existen rela-ciones de dependencia entre sus argumentos. En cambio, una función U ⊂ Rn → R posee n variablesindependientes entre sí las cuales pueden o no tener relaciones de dependencia entre ellas.

En esta sección se buscará resolver el problema de maximización libre, el cual se explica a continua-ción. El problema de maximizar libremente una función sobre su dominio se entiende como encontrarun punto en el dominio en donde la función alzance su mayor valor. Es decir, si f : A ⊂ V → R entoncesel problema de maximización, escrito como

arg max f (v) s.a. v ∈ U,

en donde arg max se lee “argumento que maximiza a” y “s.a.” se lee “sujeto a”, es encontrar un v ∈ Atal que f (v) sea el valor más grande alcanzado por f sobre A.

Problema de maximización libre: dados un subconjunto A ⊂ V y una función f : A → R encontrarun v ∈ A tal que f (v) sea el mayor valor alcanzado por f. El problema de minimización libre quedadefinido de manera análoga.

267

Capítulo 8. Optimización libre y restringida, funciones convexas y teoremas de la funcióninversa e implícita.

Es conveniente analizar algunos casos.

( 8.1.1 ) Resuelve el problema de maximización para las siguientes funciones:

1. t 7Ï 1;

2. t 7Ï −1 si t < 0, t 7Ï 1 si t ≥ 0;

3. t 7Ï at2 + bt + c y a 6= 0.

Se ve cada inciso por separado.

1. El mayor que puede alcanzar la función es 1 pues es, de hecho, el único valor puede alcanzar.Entonces, cualquier t ∈ R satisface que el valor de la función en t es máximo. Es decir, cualquiert ∈ R resuelve el problema de maximización. Evidentemente, cualquier t ∈ R también resuelve elproblema de minimización.

2. Al igual que el inciso anterio cualquier t ≥ 0 resuelve el problema de maximización y cualquiert < 0 resuelve el problema de minimización.

3. Observa lo siguiente

at2 + bt + c = aÅt2 + b

at + ca

ã= a

Åt + b

2a

ã2+ c − b2

4a .

Hay dos casos a tratar. Si a > 0 entonces aÅt + b

2a

ã2≥ 0 y, por lo tanto, la función tiene una

solución a su problema de minimización, tal solución es t = − b2a . No existe solución a su problema

de maximización pues

lımt→∞

at2 + bt + c = lımt→∞

t2Åa + b

t + ct2

ã=∞,

es decir, la función puede superar cualquier cota superior impuesta de antemano. El caso a < 0es análogo, aquí existe una solución al problema de maximización.Observa que los resultados de este inciso son geométricametne claros pues la gráfica de la funciónes una parábola la cual “abre” hacia arriba o hacia abajo según a > 0 o a < 0, respectivamente.

Esto concluye el ejemplo. De este ejemplo se deriva que existen funciones que tienen una única solución a su problema de

maximización y funciones que tienen ínfinitas soluciones.

( 8.1.2 ) Considera la función f : R→ R dada por f (x) = 2x − 3. Resuelve el problema de maximización

arg max f (t) s.a. t ∈ I,

cuando I = R, I = [a, b] e I = (a, b).

Si I = R entonces lımx→∞

f (x) = ∞. Por lo que no hay solución a su problema de maximización. SiI = [a, b] entonces f (x) ≤ 2b−3 para calquier x ∈ [a, b]. Y como f (b) = 2b−3 se ve que el problema demaximización tiene solución y la solución es b. Se considera finalmente el caso I = (a, b). Si x ∈ (a, b)es un punto que resuelve el problema de maximización de f entonces para cualquier y ∈ (a, b) se debecumplir que f (y) ≤ f (x). Ahora, sea r = b − x

2 entonces r > 0 y x < x+r < b, con lo cual x+r ∈ (a, b).

268

8.1. Optimización libre

Es fácil notar que f (x) < f (x + r), lo cual es una contradicción y no existe solución al problema demaximización para el caso I = (a, b).

Este ejemplo muestra que puede suceder que una función A → R tenga solución su problema demaximización sobre algún B más grande que A (o sea, A ⊂ B) pero no sobre A. Entonces, el problemade maximización habrá que plantearlo de manera local y no global; es decir, para vecindades de puntosy no para todo el dominio. Surgen naturalmente las siguientes definiciones.

( 8.1.3 ) Sea f : A ⊂ V → R. Se dirá que f tiene un máximo relativo en v ∈ A si existe un r > 0 tal que paracada u ∈ B (v; r)∩A se cumple que f (u) ≤ f (v). Cuando la desigualdad anterior sea estricta siempre que u 6= vse dirá entonces que f tiene un máximo relativo estricto1 en v. Cuando para cualquier u ∈ A se cumpla quef (u) ≤ f (v) se dirá que f tiene un máximo relativo global en P y cuando la desigualdad sea estricta se dirá quef tiene un máximo estricto global en P. Las definiciones para mínimo son análogas.

Esta definición es de existencia pura sin dar un modo de cómo encontrar los puntos óptimos deuna función.

( 8.1.4 ) Cuando f posee un máximo o mínimo de algún tipo en un punto v se dirá que f tiene un óptimo o unvalor extremo en v y a v se le llamará optimizador o punto extremo de f. A un punto v ∈ A que maximize a fse le llamará maximizador y utilizarán los adjetivos relativo, estrico y global con la misma connotación que antes.Las definiciones relativas a minimizadores son análogas.

El problema de optimización libre queda entonces resumido a encontrar todos los maximizadoresy minimizadores.

La noción de forma cuadrática definida se puede generalizar a espacios vectoriales. En particular,la definición (7.1.4) se conserva al cambiar Rn por V y X por v.

( 8.1.5 ) Sea f : V → R una forma cuadrática definida positivamente. Entonces el origen es un punto mínimoestricto absoluto de f. Si f está definida semipositivamente entonces el origen es un mínimo relativo global.Resultados análogos para formas cuadráticas definidas negativa y seminegativamente con máximos estrictos yrelativos, ambos globales, respectivamente.

Lo cual es inmediato de las definiciones (7.1.4), (8.1.3) y (8.1.4).

( 8.1.6 ) Para que f : A ⊂ V → R tenga un máximo relativo (respectivamente, estricto, relativo global y estrictoglobal) en v ∈ A es necesario y suficiente que −f tenga un mínimo relativo (respectivamente, estricto, relativoglobal y estricto global) en v ∈ A.

Lo cual es inmediato de que si a < b (o a ≤ b) entonces −a > −b (−a ≥ −b, respectivamente). El resultado previo muestra que basta estudiar los mínimos de las funciones. Así, los propiedaes

siguientes serán derivadas y escritas en términos de mínimos2.

( 8.1.7 ) Si f : A ⊂ V → R y v ∈ A es un punto aislado, entoces f posee un mínimo y un máximo relativo en v.

Pues existe un r > 0 tal que B (v; r) ∩ A = v, el resto es consecuencia de la definición (8.1.4).

( 8.1.8 ) Para que f : A ⊂ V → R tenga un mínimo relativo en v es necesario y suficiente que exista r > 0 talque f (B (v; r)) ⊂ R sea un conjunto acotado inferiormente y f (v) = ınf

u∈B(v;r)f (u).

Lo cual es reescribir la definición (8.1.3) en términos de bolas e ínfimos.

( 8.1.9 ) Para que f : A ⊂ V → R tenga un mínimo absoluto en v ∈ A es condición necesaria y suficiente quef (v) = ınf

u∈Af (u).

1Algunos autores prefieren el adjetivo absoluto en vez de estricto2Esto se hace así pues los teoremas de las condiciones necesarias y suficientes de segundo orden son más sencillos de verifica.

269


Nota que no se pide que f (A) sea acotado inferiormente. De hecho, esto sería una condición redun-dante pues f (v) ∈ R así que f (A) está acotado inferiormente.

En lo que resta de la sección se derivarán dos condiciones necesarias y una condición suficientepara la existencia de óptimos.

z 8.1.1 Condiciones necesarias de primer orden.A manera intuitiva, un punto donde f alcanza un máximo satisface ser un punto de estabilidad. Por

ejemplo, piensa en un péndulo, cuando alcanza un punto de altura máxima su velocidad disminuyehasta cero.

( 8.1.10 ) Sea f : A ⊂ V → R tal que f es diferenciable en v ∈ ÛA y alcanza un mínimo (relativo o estricto, globalo no) en v. Entoces Df (v) = 0; las «condiciones necesarias de primer orden»3.

Se demostrará que para cada u ∈ V unitario, Df (v)u = 0. Con esto, Df (v) = 0. Entonces, existe unr > 0 tal que B (v; r) ⊂ A y f (w) ≥ f (v) para cada w ∈ B (v; r) . Sea u ∈ V unitario. Define α : (−r, r)→ Vdada por α(t) = v + tu. Es claro que α(−r, r) ⊂ A, por lo que la función f α está definida. Según laregla de la cadena

D(f α) (0) = Df (v)u.Por otro lado, de la definición de derivada, se debe cumplir que

D(f α) (0) = lımh→0h>0

(f α)(h)− (f α)(0)h = lım

h→0h>0

f (α(h))− f (v)h ≥ 0

y queD(f α) (0) = lım

h→0h<0

f (α(h))− f (v)h ≤ 0.

El único modo para que el límite exista es que D(f α) (0) = 0.

Observación: las condiciones de primer orden no son suficientes, solo necesarias. Para muestraconsidera las función t 7Ï t3 de R a R la cual tiene por derivada la transformación lineal cero en elcero pero no tiene ningún punto óptimo en el origen.

Las condiciones de primer orden restringen en gran medida el trabajo que hay que realizar. Elconjunto de puntos donde la derivada sea nula son los únicos candidatos a óptimos. Esto conduce a suestudio.( 8.1.11 ) Sea f : A ⊂ V → R. Se dirá que un punto v ∈ Rn es punto crítico de f si Df (v) = 0.

Recuerda que la derivada de una función solo se definió en puntos interiores del dominio de esta.Por ende, un punto crítico debe caer en el interior del dominio de la función.( 8.1.12 ) Considera la función (x, y) 7Ï x2 − y2. Entonces, el origen es su único punto crítico y no es óptimo.

Pues si f es tal función entonces Df (x, y) =Å ∂f∂x ,

∂f∂y

ã= 2(x,−y), y esto es (0, 0) si y solo si (x, y)

es el origen. Salvo en el origen, f siempre es positiva sobre el primer eje y restringida al segundo ejef siempre es negativa, luego f no posee ningún extremo en el origen. Por lo tanto, f no posee ningúnextremo en absoluto.

Si el lector realiza el gráfico de la función anterior notará que esta tiene la forma de una silla demontar en una vecindad del origen.

3Se utiliza el plural pues en los textos usuales las condiciones se dan para una "función de las variables x y y"siendo lascondiciones ∂f

∂x = ∂f∂y = 0.

270


( 8.1.13 ) Si f : A ⊂ V → R posee un punto crítico en v ∈ ÛA y v no es óptimo de f entonces se dirá que v esun punto de ensilladura de f.

¿Cómo garantizar que f : A ⊂ V → R posea un extremo? Para empezar es natural que f estéacotada inferiormente, sin embargo, la función f (t) = 1

t siempre es positiva y conforme t → ∞ se veque f (t) → 0, pero no hay ningún punto t en donde f (t) = 0. El problema aquí es que los valores endonde f podría alcanzar su óptimo escapan a ∞.

( 8.1.14 ) Una condición suficiente para que una función continua A ⊂ V → R alcance un mínimo es que A seaun conjunto compacto. Sobre esta misma condición, la función alcanza un máximo.

Sea f la función en cuestión. Según (5.5.7), f (A) es compacto en R. Luego, según (3.5.2), f (A) escerrado y acotado. Por ende, existe α = ınf f (A). Hay dos casos, el primero es que α ∈ f (A), en cuyocaso existe un v ∈ A con f (v) = α y esto concluye la prueba, v es minimizador. El segundo caso es queα /∈ f (A). Entonces, para cada 1

n existe un yn ∈ f (A) con 0 ≤ α − yn ≤1n , por lo que α es un punto

de acumulación de f (A), ve (3.2.8). Como f (A) es cerrado, contiene a todos sus puntos de acumulación(3.2.17), α ∈ f (A).

Se utilizan los mismos argumentos para sup f (A).

z 8.1.2 Condiciones necesarias de segundo orden.A veces se conocen condiciones adicionales sobre las funciones que han de ser optimizadas. En

particular, se conoce la existencia de derivadas superiores en algún punto crítico.

( 8.1.15 ) Sea f : A ⊂ V → R dos veces diferenciable con contiuidad en v ∈ ÛA. Si f admite un mínimo (relativoo estricto, global o no) en v entonces D2f (v) es una forma cuadrática que está definida semipositivamente; las«condiciones necesarias de segundo orden».

En virtud del ejercicio (7.34) se obtiene que

f (v + h)− f (v) = 12D2f (v) (h, h) + o

Ä‖h‖2

ä,

cuando h→ 0. Se puede escribir entonces, en virtud de que v es un minimizador,

0 ≤ D2f (v) (h, h) + r(h) ‖h‖2 ,

donde r(h)→ 0 cuando h → 0. Sea u ∈ V unitario y t ∈ R \ 0 suficientemente pequeño de tal formaque v + tu ∈ A. Entonces

0 ≤ D2f (v) (tu, tu) + r (tu) t2,dividiendo todo entre t2 y usando que D2f (v) es bilineal, se concluye que

0 ≤ D2f (v) (u,u) + r (tu) .

Con hacer t → 0 y usando nuevamente la bilinealidad de D2f (v) , se concluye que

D2f (v) (u,u) ≥ 0,

para cualquier u ∈ V unitario. Para pasar de vectores unitarios a cualquier vector h ∈ V se observaque si h = 0 entonces D2f (v) (h, h) = 0 y si h 6= 0 entonces u = h

‖h‖ es unitario. Al usar que D2f (v) es

bilineal, se concluye que D2f (v) (h, h) ≥ 0 para cualquier h ∈ V.

271


Observación: no se puede “mejorar” la parte de semipositivamente a positivamente como lo mues-tran las funciones t 7Ï t4 y t 7Ï −t4.

z 8.1.3 Condiciones suficientes de segundo orden.Las condiciones (8.1.10) y (8.1.15) son necesarias. Ahora se probará una condición suficiente. Es

necesario establecer el contexto teórico sobre el cual se trabajará. Recuerda que si f : A ⊂ V → R esdos veces diferenciable en v ∈ ÛA entonces

D2f (v) ∈ Lin2 (V,R) = Lin (V,Lin (V,R)) .

Entonces, D2f (v) puede identificarse canónicamente con una transformación lineal V → Lin (V,R) .Como V se supone siempre de dimensión finita, dim Lin (V,R) = dim V, por lo que D2f (v) puede o noser invertible.( 8.1.16 ) Se dirá que una forma cuadrática f : V → R es no degenerada si la única forma bilineal simétricaasociada a ella (ve (7.7.17)) satisface que al ser vista como transformación lineal V → Lin (V,R) es invertible.En caso contrario, se dirá que f es degenerada.

( 8.1.17 ) Determine cuales de las siguentes formas cuadráticas son no degeneradas:

1. (x, y, z) 7Ï x2 + y2;

2. (x, y, z) = x2 + y2 − z2;

3. (x, y, z) = x2 + 2xy + z2 + 2yz.En cada caso se debe encontrar la función bilineal simétrica asociada. Se resuelve cada inciso

separadamente.1. La forma bilineal simétrica asociada es

B =

1 0 00 1 00 0 0

,la cual, vista como transformación lineal R3 → R3 es evidentemente no invertible, por lo que laforma cuadrática es degenerada.

2. En este caso la forma bilineal simétrica es

B =

1 0 00 1 00 0 −1

,como el determinante de B es −1, B es invertible (ve (1.41)). Por lo que la forma cuadrática es nodegenerada.

3. En este caso se tiene que

B =

1 1 01 0 10 1 1

,luego,

detB = det

1 1 00 −1 10 1 1

= det

1 1 00 −1 10 0 2

= −2,

por lo que la forma cuadrática es no degenerada.

272


Observa que se han utilizado varias propiedades del determinante. El siguiente es una generalización de la desigualdad de Cauchy-Schwarz (1.4.4).

( 8.1.18 ) Sea f : V → R una forma cuadrática que está definida positivamente y sea φ la única forma 2-linealsimétrica asociada a f (ve (7.7.17)). Entones para cualesquier u, v ∈ V

φ(u, v)2 ≤ f (u)f (v);

el «lema de Schwarz». En particular, φ(u, v) = 0 si f (u) o f (v) son nulas.

La demostración es idéntico a la de la desigualdad de Cauchy-Schwarz por lo que se dejan losdetalles al lector. Recuerda que se define λ 7Ï f (λu+v) ≥ 0 y se desarrolla el polinomio en λ, obteniendof (λu + v) = λ2f (u) + 2λφ(u, v) + f (v) que al ser positivo tiene discriminante negativo.

La siguiente propiedad es un recíproco parcial del lema de Schwarz. Caracteriza a las formascuadráticas no degeneradas.

( 8.1.19 ) Sea f : V → R una forma cuadrática. Una condición necesaria y suficiente para que f sea no degeneradaes que si φ es la única forma bilineal simétrica asociada a f entonces se cumpla la siguiente propiedad

si v ∈ V es tal que para cada u ∈ V, φ(u, v) = 0 entonces v = 0.

Se ve primero la necesidad de la aformación, el método de demostración que se empleará es clásico.Dado v ∈ V define φv : V → R dada por φv(u) = φ(v, u). De acuerdo a la identificación canónica (7.3.1)v 7Ï φv es precísamente φ. Como φ es invertible de V a Lin (V,R) se ve que Nuc (φ) = 0, por lo quesi v ∈ V es tal que para cada u ∈ V se cumple que φ(v, u) = φv(u) = 0 entonces v ∈ Nuc (φ) = 0,mostrando que v = 0.

Recíprocamente, define φv igual que el párrafo anterior. Entonces φ : V → Lin (V,R) dada porφ(v) = φv tiene núcleo trivial, Nuc (φ) = 0. Por el ejercicio (1.30) φ es invertible, que es lo que sequería demostrar.

( 8.1.20 ) Sea f : A → R dos veces diferenciable en v ∈ ÛA. Si Df (v) = 0 y D2f (v) es una forma cuadráticapositiva y no degenerada entonces f admite un mínimo relativo estrico en v; si D2f (v) está no definida entoncesv es un punto de ensilladura; las «condiciones suficientes de segundo orden».

Supón primero que existe una constante λ > 0 tal que para cualquier h ∈ V se cumple queD2f (v) (h, h) ≥ λ ‖h‖2 . Por la fórmula de Taylor del ejercicio (7.34) se cumple que

f (v + h)− f (v) = 12D2f (v) (h, h) + r(h) ‖h‖2 ,

donde r(h)→ 0 cuando h→ 0. Como existe λ > 0 constante tal que para cualquier h ∈ V

12D2f (v) (h, h) ≥ λ ‖h‖2 .

Entonces,f (v + h)− f (v) ≥ (λ + r(h)) ‖h‖2

y como r(h) tiende a cero se ve que para todo h suficientemente pequeño λ + r(h) > 0, por lo quef (v+h) > f (v) siempre que h 6= 0 y sea suficientemente pequeño; esto es, v es un minimizador relativoestricto de f. Por lo tanto, basta demostrar la existencia de λ. El siguiente resultado resume esto.

( 8.1.20.1 ) Sea f : V → R una forma cuadrática que está definida positivamente y que es no degenerada. Existeuna constante λ > 0 tal que para cualquier v ∈ V, f (v) ≥ λ ‖v‖2 .

273


Sea φ la única forma bilineal simétrica asociada a f. Según el teorema de identificación (7.3.1),φ : V → Lin (V,R) . Como φ es invertible y lineal,

∀k ∈ Lin (V,R) ,∥∥∥φ−1(k)

∥∥∥ ≤ ∥∥∥φ−1∥∥∥ ‖k‖ .

Con poner k = φ(v) se ve que esta desigualdad es equivalente a

∀v ∈ V, ‖v‖ ≤∥∥∥φ−1

∥∥∥ ‖φ(v)‖ .

Según el ejercicio (5.71) se cumple que

‖φ(v)‖ = max‖h‖=1

|φ(v)h| = max‖h‖=1

|φ(v, h)|.

Luego, existe hv ∈ V con ‖hv‖ = 1 tal que

12 ‖φ(v)‖ ≤ |φ(v, hv)|.

Por lo tanto,‖v‖ ≤ 2

∥∥∥φ−1∥∥∥ |φ(v, hv)|.

De acuerdo al lema de Schwarz (8.1.18) se cumple que

‖v‖2 ≤ 4∥∥∥φ−1

∥∥∥2f (v)f (hv).

Al ser f continua y el conjunto S1 = h ∈ V | ‖h‖ = 1 compacto, existe un M > 0 tal que f (h) ≤ Msiempre que ‖h‖ = 1. Por lo tanto,

‖v‖2 ≤ 1λ f (v),

donde λ = 1

4∥∥∥φ−1

∥∥∥2M.

( 8.1.20.2 ) Si D2f (v) es una forma cuadrática que está no definida entonces v es un punto ensilladura.

En este caso existen dos vectores no nulos v1 y v2 tales que

D2f (v) (v1, v1) > 0 y D2f (v) (v2, v2) < 0.

EntoncesD2f (v)

Å vi‖vi‖

, vi‖vi‖

ã= 1‖vi‖2

D2f (v) (vi, vi),

que es positivo o negativo según i = 1 o i = 2. Entonces, se puede suponer que v1 y v2 son unitarios.Luego, por la expansión de Taylor

f (P + tvi)− f (v) = t22 D2f (v) (vi, vi) + r1(t)t2 = t2

Å12D2f (v) (vi, vi) + r1(t)

ã,

en donde r1(t) → 0 cuando t → 0. Entonces, para t suficientemente chico, la expresión anterior esnegativa o positiva según i = 1 o i = 2. Luego, v es un punto de ensilladura.

274

8.2. Funciones convexas.

§ 8.2. Funciones convexas.Se vieron ejemplos de funciones que podían o no tener ningún punto óptimo o tener una infinidad

de ellos. Resulta entonces, ¿qué condiciones imponer para que las condiciones de primer y segundoorden sean necesarias y suficientes para existencia y unicidad? Aunque tales condiciones existen estasresultan ser muy restrictivas. Sin embargo, muchos ejemplos existen en donde estas condiciones sesatisfacen. Es por ellos que a continuación se presenta un poco sobre funciones convexas en espaciosvectoriales.

z 8.2.1 Funciones convexas en R.( 8.2.1 ) Sea I ⊂ R un intervalo y f : I → R. Se dirá que f es una función convexa si para cualesquier x, y ∈ Iy cualquier λ ∈ [0, 1]

f (λx + (1− λ)y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y).Se dirá que f es estrictamente convexa si la desigualdad anterior es estricta.

Observación: geométricamente, la «epigráfica» de f es un conjunto convexo; es decir, el conjunto depunto (z, x) ∈ R2 tales que z ≥ f (x) y x ∈ I es convexo; esto es, el conjunto de punto que se encuentranpor encima de la gráfica de f es convexo (ve (4.8.4)).( 8.2.2 ) Sea f : I → R una función convexa (estrictamente convexa). Entonces, para x < y < z cualesquieratres puntos de I se cumple que la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x, f (x)) y (y, f (y)) es menor oigual (menor estricto, respectivamente) que aquella correspondiente a la recta que pasa por los puntos (x, f (x))y (z, f (z)) y esta pendiente es, a su vez, más pequeña (estricamente más pequeñan, respectivamente) que lapendiente de la recta que pasa por (y, f (y)) y (z, f (z)); el «lema de las tres cuerdas».

El enunciado ha sido dado en su versión geométrica, lo que hay que demostrar es lo siguientef (y)− f (x)y − x ≤ f (z)− f (x)

z − x ≤ f (z)− f (y)z − y .

El caso estricto se prueba igual que el presentado a continuación, basta cambiar ≤ por < . Comoy ∈ [x, z] existe un λ ∈ [0, 1] tal que y = λx + (1− λ)z, de hecho

λ = z − yz − x .

De la definición de convexidad,f (y) = f (λx + (1− λ)z) ≤ λf (x) + (1− λ)f (z) = λ(f (x)− f (z)) + f (z).

Sustituyendo λ y despejando se obtiene quef (z)− f (y)z − y ≥ f (z)− f (x)

z − x

Análogamente, sea µ = y − xz − x ∈ [0, 1] por lo que 1− λ = µ y así que y = µz + (!− µ)x, por lo que

f (y) ≤ µf (z) + (1− µ)f (x) = µ(f (z)− f (x)) + f (x),de donde,

f (y)− f (x)y − x ≤ f (z)− f (x)

z − x ,

lo cual concluye el lema. Las funciones convexas en general presentan características muy agradables. Por ejemplo, son

acotadas, continuas cuando su dominio es un intervalo abierto y poseen derivadas laterales.

275


z 8.2.2 Acotamiento, continuidad y diferenciabilidad de las fuciones convexas enR.

( 8.2.3 ) Sea f : [a, b] → R convexa. Entonces f está acotada superiormente por M = maxf (a), f (b) e

inferiormente por m = 2fÅa + b

2

ã−M.

Esto es consecuencia casi inmediata de la definición, si z ∈ [a, b] entonces hay un λ ∈ [0, 1] tal quez = λa + (1− λ)b, por lo que

f (z) ≤ λf (a) + (1− λ)f (b) ≤ λM + (1− λ)M = M.

Por otro lado, como a + b2 ∈ [a, b] todo z ∈ [a, b] puede escribirse como a + b

2 + t para algún t, dadoeste z,

fÅa + b

2

ã≤ 1

2 fÅa + b

2 + tã

+ 12 fÅa + b

2 − tã≤ 1

2 f (z) + 12M,

de donde f (z) ≥m.

( 8.2.4 ) Considera la función f : [0, 1]→ R dada por f (t) = 1 si t = 0 y f (t) = 0 si t ∈ (0, 1]. Entonces, f no escontinua pero es convexa.

Si x, y ∈ (0, 1] entonces la definición de convexidad es trivialmente satisfecha. Si x = y = 0, tambiénes trivialmente satisfecha, se supone entonces que 0 = x < y ≤ 1. Entonces, para λ ∈ [0, 1]

f (λx + (1− λ)y) = f ((1− λy)),

que vale 1 si λ = 1 y 0 si no. Por otro lado λf (x) + (1 − λ)f (y) = λ, mostrando que f es convexa y,evidentemente, f no es continua en 0.

El lema de las tres cuerdas tiene como implicación que todas las funciones convexas son continuasen el interior de su dominio. Una manera geométrica de ver esto es considerando un punto t en elinterior de su dominio y dos puntos t + δ y t − δ, cerca de t. Ahora se construyen las rectas que pasanpor los pares de puntos (t − δ, f (t − δ)), (t, f (t)), y (t, f (t)), (t + δ, f (t + δ)). La gráfica de f debe quedaren la región determinado entre ambas rectas y cuando δ → 0 la gráfica tiende a (t, f (t)), mostrando lacontinuidad.

( 8.2.5 ) Si f : [a, b]→ R es convexa y t ∈ (a, b) entonces f es continua en t.

Como t es interior existe un δ > 0 tal que [t − δ, t + δ] ⊂ I. Sean

m1 = f (t)− f (t − δ)δ y m2 = f (t + δ)− f (t)

δ ;

define L1(x) = m1(x−t)+f (t) y L2(x) = m2(x−t)+f (t), las rectas que pasan por (t, f (t)) con pendientes m1y m2, respectivamente. Si x ∈ [t, t+δ] entonces hay un 1−µ ∈ [0, 1] tal que x = (1−µ)t+µ(t+δ) = t+µδ;luego el lema de las tres cuerdas implica que

f (t + µδ)− f (t)µδ ≤m2,

de donde,f (x) ≤m2(µδ) + f (t) = L2(t + µδ) = L2(x).

Análogamente, f (x) ≥ L1(x). De este este modo, L1 ≤ f ≤ L2 sobre [t, t + δ]. Procediendo del mismomodo, L2 ≤ f ≤ L1 sobre [t − δ, t]. Como L1(t + h) → L1(t) = f (t) y L2(t + h) → L2(t) = f (t) cuandoh→ 0, se ve que f es continua en t.

276


( 8.2.6 ) Sea f : [a, b]→ R una función convexa. Entonces, para cada x ∈ (a, b) las derivadas laterales de f enx existen, ve (4.6.7). Más aún, si x < y con x, y ∈ (a, b) entonces

f ′g (x) ≤ f ′d(x) ≤ f ′g (y) ≤ f ′d(y).

Esto es consecuencia directa del lema de las tres cuerdas (8.2.2). Sean a < p < x < y < q < b.Entonces

f (x)− f (p)x − p ≤ f (y)− f (p)

y − p ≤ f (y)− f (x)y − x ≤ f (q)− f (x)

q − x ≤ f (q)− f (y)q − y .

Sea ahora uy dada por

uy(t) = f (y)− f (t)y − t .

Se sigue que uy(t) ≤f (q)− f (y)q − y y uy es creciente (pues p y x son arbitrarios). Por lo tanto, el límite

cuando t ↑ y existe; es decir, f ′g (y) existe. Análogamente, f ′d(x) existe. En virtud de las desigualdadesanteriores, f ′g (x) ≤ f ′d(y). Las otras desigualdades son análogas.

z 8.2.3 Un poco sobre funciones monótonas.( 8.2.7 ) A una función f : I ⊂ R → R se le dice creciente en el sentido amplio, si para todo x < y conx, y ∈ I se satisface que f (x) ≤ f (y). Si la desigualdad es estricta, será llamada creciente en el sentido estricto.Las definiciones para funciones decrecientes son análogas. Una función se llama monónota si es creciente odecreciente.

Observaciones:

1. El conjunto I anterior es arbitrario, no tiene por qué ser un intervalo.

2. Dada una función f : I → R convexa, existen asociadas a ellas las funciones f ′d y f ′g , las cuales soncrecientes sobre I. Esto es consecuencia directa de (8.2.6). Esto motiva un breve estudio sobrefunciones monótonas.

( 8.2.8 ) Sea f : I → V una curva cualquiera y t ∈ I. Se dirá que f posee un límite derecho f (t+) en t si

lımh→0,h>0

f (t + h)

existe. Entonces se define f (t+) como este límite. Análogamente se definen los límites izquierdos f (t−) de f ent. Esto se conocen como límites laterales. Si f posee límites laterales en cada punto de su dominio se dirá que fes débilmente regular.

Observación: es casi inmediato de esta definición que una curva es continua si y solo si sus límiteslaterales coinciden en cada punto. Se le pide al lector que él mismo intente dar una demostración deesto. Es destacable que muchos autores prefieren denotar los límites derechos por f+(t) o por f (t+).También, en lugar de escribir h→ 0, h > 0 escriben h→ 0+, h→ 0+ o h ↓ 0.

( 8.2.9 ) Sea f : I → R una función monótona con I un intervalo abierto. Entonces f es debilmente regular. Másaún, para todo x < y con x, y ∈ I se cumple que f (x+) ≤ f (y−).

277


En efecto, se demostrará de hecho que si f es creciente y t ∈ I entonces

f (t+) = ınfx∈I,x>t

f (x).

Sobre (t,∞)∩ I, la función está acotada inferiormente por f (t). Como t ∈ I el cual es abierto, existe unx ∈ (t,∞) ∩ I. Por lo tanto, α = ınf

x∈I,x>tf (x) existe. Luego, para todo ε > 0 existe un 0 < δ < ε tal que

t+δ ∈ I y satisface que 0 < f (t+δ)−α < ε. Sea ahora x ∈ (t, t+δ). Entonces f (t+δ) > f (x) > α, por loque 0 < f (x)−α < ε. Es decir, para todo ε > 0 existe δ > 0 talque si h ∈ (0, δ) entonces |α−f (t+h)| < ε,lo cual es precisamente lo que se quería demostrar. Para el caso en que f es decreciente se demuestra,análogamente, que

f (t−) = supx∈I,x<t

f (x).

La segunda parte es consecuencia de la primera, pues si x < y entonces hay un x < r < y y

f (x+) = ınfr>u>x

f (u) ≤ f (r) ≤ supr<v<y

f (v) = f (v−),

que concluye el teorema.

( 8.2.10 ) Sea f : I → R una función monótona con I un intervalo abierto. Existe un conjunto contable4 C ⊂ Ital que si t ∈ IC entonces f es continua en t.

Sea D el conjunto de discontinuidades de f sobre I. Entonces, D es el conjunto de los x ∈ I tales quef (x−) < f (x+). Como Q es denso en R, ve la definición (3.1.8), cada conjunto (f (x−), f (x+)) ∩ Q 6= ∅,en virtud del axioma de elección (2.2.4) existe una función r : D → Q tal que f (x−) < r(x) < f (x+). Seafirma que r es inyectiva; es efecto, si x1 6= x2 entonces

f (x1−) < r(x1) < f (x1)+ ≤ f (x2−) < r(x2) < f (x2+),

luego r(x1) 6= r(x2) y r es inyectiva. Por lo tanto, en virtud de (2.1.20), card (D) = card (r(D)) ≤ card (Q) =card (N) , lo cual concluye el teorema.

( 8.2.11 ) Sea f : [a, b]→ R una función monótona. Entonces

b∫a

f (x)dx existe, ve (4.6.2).

Se supondrá que f es creciente, sea P = (ti)i=0,...,n una partición de [a, b] y pon

mi = ınft∈[ti−1,ti ]

f (t) y Mi = supt∈[ti−1,ti ]

f (t).

Por ser f creciente, mi = f (ti−1) y Mi = f (ti). Entonces,

U(f, P)− L(f, P) =n∑i=1

(Mi −mi)(ti − ti−1).

Esto sugiere qué partición escoger; dado ε > 0 sea Pε cualquier partición tal que

maxi=1,...,n

(ti − ti−1) <ε

f (b)− f (a) .

Entonces,

U(f, Pε)− L(f, Pε) ≤ε

f (b)− f (a)

n∑i=1

(Mi −mi) = εf (b)− f (a) (Mn −m1) = ε,

lo cual concluye la demostración. 4Recuerda que un conjunto C ⊂ R se llama contable si card (C) ≤ card (N) ; es decir, o es finito o existe una biyección entre

C y N.

278


( 8.2.12 ) Sea f : (a, b)→ R diferenciable. Una condición necesaria y suficiente para que f sea no decreciente esque f ′ sea no negativa sobre (a, b); una condición necesaria y suficiente para que f sea no creciente es que f ′ seano positiva sobre (a, b).

Sea f no decreciente y diferenciable. Entonces para cualquier x ∈ (a, b),

f ′(x) = lımh→0,h>0

f (x + h)− f (x)h ≥ 0.

Recíprocamente, si f ′ ≥ 0 sobre (a, b) entonces el teorema del valor medio (5.11.2)5, f (y)− f (x) ≥ 0 paratodo a < x < y < b. Los casos para no crecimiento y decrecimiento se prueban al considerar −f.

Según (8.2.6), si f : [a, b]→ R es convexa entonces f ′d y f ′g existen y son crecientes. Luego,b∫a

f ′g (x)dx

eb∫a

f ′d(x)dx existen, ¿qué relación tienen estas integrales con f? Recuerda que el teorema fundamental

del cálculo establece que

f (x)− f (a) =x∫a

f ′(t)dt.

El siguiente resultado responde a esta pregunta.

z 8.2.4 Caracterizaciones de funciones convexas en R.( 8.2.13 ) Una condición necesaria y suficiente para que f : [a, b] → R sea convexa es que exista una funcióncreciente g : [a, b]→ R tal que

f (x)− f (a) =x∫a

g(t)dt.

De hecho, g puede ser tomada f ′g o bien f ′d.Este resultado es consecuencia de la demostración de (8.2.6) pues en ella se vio que si P = (ti)i=0,...,n

es una partición de [a, x] entonces

f ′g (ti−1) ≤ f ′d(ti−1) ≤f (ti)− f (ti−1)ti − ti−1

≤ f ′g (ti) ≤ f ′d(ti).

Luego, se considera que

f (x)− f (a) =n∑i=1

[f (ti)− f (ti−1)],

asimismo,0 ≤ f (ti)− f (ti−1)

ti − ti−1− f ′g (ti−1) ≤ f ′g (ti)− f ′g (ti−1),

por lo que, despejando y sumando sobre i se llega a que

0 ≤n∑i=1

[f (ti)− f (ti−1)− f ′g (ti−1)(ti − ti−1)

]≤

n∑i=1

[f ′g (ti)− f ′g (ti−1)

](ti − ti−1) = U(f ′g , P)− L(f ′g , P).

5Se utiliza el teorema poniendo la f del teorema como la curva cero y la función g como la función f del enunciado.

279


En virtud de (8.2.11) y de (4.6.2),

0 ≤ lım‖P‖→0

n∑i=1

[f (ti)− f (ti−1)− f ′g (ti−1)(ti − ti−1)

]≤ lım‖P‖→0

[U(f ′g , P)− L(f ′g , P)

]= 0,

y como

lım‖P‖→0

n∑i=1

f ′g (ti−1)(ti − ti−1) =x∫a

f ′g (t)dt,

se ve que f (x)− f (a) =x∫a

f ′g (t)dt. El caso para f ′d es análogo. Por lo tanto, se estableció la necesidad de

la afirmación.Se ve ahora la suficiencia. Sean a < x < y < b y µ ∈ [0, 1] entonces pon z = µx + (1− µ)y,

µf (x) + (1− µ)f (y)− f (z) = µx∫a

g(t)dt + (1− µ)y∫a

g(t)dt −z∫

a

g(t)dt.

Usando la linealidad de la integral, se concluye que

µx∫a

g(t)dt + (1− µ)y∫a

g(t)dt −z∫

a

g(t)dt = (1− µ)y∫z

g(t)dt − µz∫

x

g(t)dt.

Hasta ahora no ha sido usada la hipótesis de que g es creciente, usándola, y la monotonía de la integral,se concluye que

µf (x) + (1− µ)f (y)− f (z) = (1− µ)y∫z

g(t)dt − µz∫

x

g(t)dt

≥ (1− µ)y∫z

g(z)dt − µz∫

x

g(z)dt

= (1− µ)(y − z)g(z)− µ(z − x)g(z) = 0.

Luego, f es convexa.

( 8.2.14 ) Sea f : (a, b)→ R convexa. Existe un conjunto contable C ⊂ (a, b) tal que f ′ existe sobre (a,b)C. Enparticular, f ′d = f ′g sobre (a,b)C.

Este es corolario inmediato de la proposición anterior, de (8.2.6), de (8.2.10) y del teorema funda-

mental del cálculo, el cual establece que si F (x) =∫ x

af, para x ∈ (a, b) y si f es continua en c ∈ (a, b)

entonces F ′(c) = f (c).Para f ′g existe Cg ⊂ (a, b) contable tal que sobre (a,b)Cg f ′g es continua. La proposición anterior

muestra entonces que sobre (a,b)Cg f ′(x) existe y vale f ′g (x). Análogamente, existe Cd ⊂ (a, b) contabletal que sobre (a,b)Cd f ′(x) existe y vale f ′d(x). De la uncididad de la derivada f ′d(x) = f ′g (x) para todox ∈ (a,b)Cg ∩ (a,b)Cd = (a,b)(Cd ∪Cg ) y C = Cd ∪Cg es contable.

Otro corolario directo de (8.2.13) es que si f es diferenciable entonces, que sea convexa equivale aque su derivada sea creciente.

280


( 8.2.15 ) Sea f : (a, b) → R diferenciable. Una condición necesaria y suficiente para que f sea convexa es quef ′ sea creciente sobre (a, b).

Sea c ∈ (a, b) cualquiera. Del teorema fundamental del cálculo, la única g que satisface que paracualquier x ∈ (a, b)

f (x)− f (c) =∫ x

cg(t)dt,

es f ′. Luego, (8.2.13) muestra el resultado.

( 8.2.16 ) Sea f : (a, b) → R dos veces diferenciable. Para que f sea convexa es encesario y suficiente quef ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b).

Pues según (8.2.15) f es convexa si y solo si f ′ es creciente y esto último equivale a que f ′′ ≥ 0 según(8.2.12).

( 8.2.17 ) Sea I ⊂ R un intervalo. Se dirá que f : I → R tiene una recta de soporte en el punto t ∈ I si existeuna función afín, por ejemplo A : I → R dada según A(x) = f (t) + m(x − t), tal que A(x) ≤ f (x) para cadax ∈ I. A la gráfica de A se le llama línea de soporte para f en t.( 8.2.18 ) Para que f : I → R sea convexa es necesario y suficiente que para cada t ∈ I exista una línea desoporte de f en t.

La necesidad es consecuencia directa del lema de las tres cuerdas (8.2.2). Se pone m ∈ [f ′g (t), f ′d(t)]cualquiera entonces para h > 0

f (t + h)− f (t)h ≥ f ′d(t) ≥m

y para h < 0f (t + h)− f (t)

h ≤ f ′g (t) ≤m.

En cualquier caso f (t + h) ≥ f (t) +mh = A(t + h), lo cual muestra que A(x) = f (t) +m(x − t) es rectade soporte y la necesidad de la afirmación queda concluída.

Recíprocamente, sea A una recta de soporte de f en t; sean x, y ∈ I con x < t < y y λ ∈ [0, 1] talque t = λx + (1− λ). Entonces

f (t) = A(t) = λA(x) + (1− λ)A(y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y),que concluye la demostración por la arbitrariedad de x, y y t.

De la demostración previa se concluye que todo m ∈ [f ′g (t), f ′d(t)] genera una recta de soporteentonces si en t existe una única recta, se obtiene que f ′g (t) = f ′d(t); esto es, si hay una única recta desoporte en t entonces f es diferenciable en t. El recíproco también es cierto.( 8.2.19 ) Sea f : [a, b] → R una función convexa. Para que f sea diferenciable en t ∈ (a, b) es necesario ysuficiente que exista una y solo una recta de soporte de f en t.

La suficiencia ya fue demostrada. Para la necesidad se supone que f es diferenciable en t. En efecto,si A(x) = f (t) +m(x − t) es recta de soporte entonces

f (x) ≥ f (t) +m(x − t),de donde, para x > t

m ≤ f (x)− f (t)x − t

y para x < tm ≥ f (x)− f (t)

x − t ,

con hacer t → 0 se ve que m = f ′(t), por lo que A debe ser A(x) = f (t) + f ′(x)(x − t). Resta ver que Aes, en efecto, una recta de soporte, pero esto es directo de (8.2.18).

281


z 8.2.5 Operaciones que preservan la convexidad en R.Es trivial verificar que si f y g son convexas entonces f + λg es convexa para cualquier λ ≥ 0. Esto

queda resumido en la siguiente proposición.

( 8.2.20 ) Sean f, g : I → R funciones convexas y λ > 0. Entonces f + λg : I → R es convexa.

¿Cuando la composición de funciones convexas es convexa? Pues si g y f son convexas entonces,¿qué relación existe entre las dos siguiente expresiones?

g(f (λx + (1− λ)y))

yg(λf (x) + (1− λ)f (y)) ≤ λg(f (x)) + (1− λ)g(f (y))

donde la última desigualdad es derivada del hecho de ser g convexa. Es natural pedir que g sea creciente.

( 8.2.21 ) Supón que I y J son intervalos en R y que f : I → J y g : J → R son funciones convexas. Entonces essuficiente que g sea creciente para que g f sea convexa.

Pues en este caso

g(f (λx + (1− λ)y)) ≤ g(λf (x) + (1− λ)f (y)) ≤ λg(f (x)) + (1− λ)g(f (y)),

que es lo que se quería demostrar. ¿Qué condiciones pedir a f y g para que fg sea convexa? Supón que f y g son funciones convexas

y no negativas. Nota que

f (λx + (1− λ)y)g(λx + (1− λ)y) ≤(λf (x) + (1− λ)f (y)

)(λg(x) + (1− λ)g(y)

)= λ(1− λ)(f (x)g(y) + f (y)g(x))+ λ2f (x)g(x) + (1− λ)2f (y)g(y).

Si se pide que f (x)g(y) + f (y)g(x) ≤ f (x)g(x) + f (y)g(y) entonces

f (λx + (1− λ)y)g(λx + (1− λ)y) ≤ λf (x)g(x) + (1− λ)f (y)g(y),

que es la condición de convexidad. Luego, ¿qué condición implica que f (x)g(y) + f (y)g(x) ≤ f (x)g(x) +f (y)g(y)? Es cuestión de reordenar las expresiones anteriores para notar que esta desigualdad equivalea

(f (x)− f (y))(g(y)− g(x)) ≤ 0.

Luego, basta pedir, por ejemplo, que f y g sean ambas crecientes o ambas decrecientes.

( 8.2.22 ) Sean f, g : I → R funciones convexas positivas las cuales son crecientes ambas (respectivamente,decrecientes ambas). Entonces h = fg es también creciente y convexa (respectivamente, decreciente y convexa).

Que h sea convexa se deriva de las cuentas previas, restaría ver que h es creciente, pero esto esinmediato de que si a < b y c < d son todos número positivos entonces ac < bd.

( 8.2.23 ) Sea (fα)α∈Λ una familia de funciones convexas de un intervalo I a R. Entonces, si existe un x ∈ I parael cual sup

α∈Λfα(x) < ∞ entonces, el conjunto J =

ßx ∈ I

∣∣∣ supα∈Λ

fα(x) <∞™

es un intervalo y f : J → R dada por

f (x) = supα∈Λ

fα(x) es convexa.

282


Recuerda que J ⊂ R es un intervalo si y solamente si satisface la siguiente propiedad,

(∀x, y ∈ J)(x < y)(x < z < y Ñ z ∈ J).

Entonces, sean x, y ∈ J con x < y y toma z entre x y y, existe un λ ∈ (0, 1) tal que z = λx + (1 − λ)y.Observa que para cada α ∈ Λ, la convexidad de fα implica que fα(z) ≤ λfα(x)+ (1−λ)fα(y), por lo tanto,

f (z) ≤ supα∈Λ

(λfα(x) + (1− λ)fα(y)

)≤ λ sup

α∈Λfα(x) + (1− λ) sup

α∈Λfα(y);

esto es,f (λx + (1− λ)y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y) <∞,

donde la última desigualdad es debido a que x, y ∈ J. Esto ha demostrado simultaneamente que J es unintervalo y que f es convexa sobre J.

¿Qué otras operaciones son clásicas a la hora de trabajar funciones? Está el cociente, el cual, porsu comportamiento con las desigualdades, no es dificil imaginar que no preserve convexidad. Por otrolado, también están los límites.

( 8.2.24 ) Sea (fn) una sucesión de funciones de I ⊂ R un intervalo a R la cual satisface que para cada x ∈ Iexiste un número f (x) ∈ R tal que f (x) = lım

n→∞fn(x). Entonces, f es convexa sobre I.

Esto es consecuencia directa de la definición pues si x, y ∈ I y λ ∈ [0, 1] entonces

f (λx + (1− λ)y) = lımn→∞

fn(λx + (1− λ)y)

≤ λ lımn→∞

fn(x) + (1− λ) lımn→∞

fn(y) = λf (x) + (1− λ)f (y),

que es la condición para que f sea convexa.

z 8.2.6 Ejemplos de funciones convexas en R.( 8.2.25 ) Toda función t 7Ï at + b, con a, b ∈ R constantes, es convexa.

Pues si f es tal función, entoces f (λx + (1− λy) = λf (x) + (1− λ)f (y).

( 8.2.26 ) La función x 7Ï x2n de R a R es convexa.

Se utiliza (8.2.16) pues2n(2n − 1)x2n−2 ≥ 0

para cualquier x ∈ R.

( 8.2.27 ) La función x 7Ï |x| de R a R es convexa.

Pues

|x| =x∫

0

sgn (x)dt,

donde sgn (x) vale 1 si x > 0, vale −1 si x < 0 y vale 0 si x = 0. Evidentemente x 7Ï sgn (x) es creciente,luego el resultado es consecuencia de (8.2.13).

( 8.2.28 ) La función x 7Ï ex de R a R es convexa.

Pues esta función es indefinidamente diferenciable, con segunda derivada x 7Ï ex la cual es nonegativa en todo punto x ∈ R. El resultado es consecuencia de (8.2.16).

283


( 8.2.29 ) La función x 7Ï 1x2 es convexa sobre (−∞, 0) y sobre (0,∞).

De nuevo, su segunda derivada es 6 1x4 ≥ 0 sobre (−∞, 0) y sobre (0,∞).

En este ejemplo se destaca el hecho que resulta imposible extender a la función x 7Ï 1x2 de manera

convexa sobre toda la recta. Si esto fuera posible, tal extensión debería ser continua en el origen, locual es imposible.

( 8.2.30 ) La función x 7Ï −√x es convexa sobre (0,∞).

Pues su segunda derivada es 14√x3≥ 0 para cualquier x ∈ R.

( 8.2.31 ) Si p ≥ 1 entonces x 7Ï xp es convexa sobre [0,∞).

Pues su segunda derivada es p(p − 1)xp−1 ≥ 0 por ser p ≥ 1. En general, los teoremas expuestos en esta sección permiten determinar con cierta facilidad cuando

una función en R es convexa o no.

z 8.2.7 Funciones convexas en espacios vectoriales.Se generalizan ahora las propiedades previas a V. Es de interés definir lo que significa que una

función f : A ⊂ V → R sea convexa. Observa que dados u, v ∈ A y λ ∈ [0, 1] se querrá considerarλu + (1− λ)v ∈ A, entonces, A debe ser un conjunto covexo.

( 8.2.32 ) Se dirá que una función f : A ⊂ V → R es convexa si A es un conjunto convexo y si para cada paru, v ∈ A y cada λ ∈ [0, 1] se satisface que

f (λu + (1− λ)v) ≤ λf (u) + (1− λ)f (v).

La demostración de que una función convexa I → R es continua sobre ÛI dependía fuertementede R y no puede ser generalizada a varias variables. Existen otras demostraciones que sí pueden sergeneralizadas pero al ser ideas menos obvias se decidió no exponerlas hasta este punto. Se necesitanalgunas definiciones previas.

( 8.2.33 ) Sean v1, . . . , vk ∈ V y λ1, . . . , λk ∈ [0, 1]. Se dirá que v =k∑i=1

λivi es combinación lineal convexa de

los v1, . . . , vk sin∑i=1

λi = 1.

( 8.2.34 ) Sea S ⊂ V y CS el conjunto de todas las combinaciones lineales convexas por elementos de S; esto es

v ∈ CS si existen v1, . . . , vk ∈ S y λ1, . . . , λk ∈ [0, 1] tales que v =k∑i=1

λivi yn∑i=1

λi = 1. Entonces CS es un

conjunto convexo el cual será llamado la «envolvente convexa» de S.

Es inmediato de la definición, pues si u, v ∈ S entonces

u =p∑i=1

λiui y v =q∑j=1

µjvj

284


en donde cada ui, vj ∈ S y todos los λi, µj ∈ [0, 1] satisfacen quep∑i=1

λi = 1 yq∑j=1

µj = 1. Luego, para

α ∈ [0, 1]

αu + (1− α)v =p∑i=1

αλiui +q∑j=1

(1− α)µjvj .

Nota que αλi, (1− α)µj ∈ [0, 1] y quep∑i=1

αλi +q∑j=1

(1− α)µj = α+ (1− α) = 1,

por lo que λu+ (1− λ)v es suma convexa por elementos de S, es decir está en CS . Esto prueba que CSes convexo.

( 8.2.35 ) Sean [a1, b1], . . . , [an, bn] ⊂ R intervalos cerrados. La caja generada por ellos R =n∏i=1

[ai, bi] ⊂ Rn

es la envolvente convexa del conjunto de vértices VR = (x1, . . . , xn)|xi ∈ ai, bi.

Se procede por inducción sobre n; el resultado es evidente para n = 1 pues si t ∈ [a1, b1] entoncesse define λ = b1 − t

b1 − a1∈ [0, 1] y es claro que t = λa1 + (1 − λ)b1; recíprocamente, si t es un elemento

de la envolvente convexa de a1, b1 entonces existe un λ ∈ [0, 1] tal que t = λa1 + (1− λ)b1 y entoncest ∈ [a1, b1]; esto es CVR1

= [a1, b1].Supón que el resultado vale para un n arbitrario y

(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 =n+1∏i=1

[ai, bi] = Rn × [an+1, bn+1]

entonces existen constantes λ1, . . . , λ2n ∈ [0, 1] con2n∑i=1

λi = 1 y (x1, . . . , xn) =2n∑i=1

λivi, en donde VRn =

vi : i = 1, . . . , 2n. Es claro que

VRn+1 = (vi, an+1), (vi, bn+1)|vi ∈ VRn,

por lo que

2n∑i=1

λi(vi, an+1) =( 2n∑

i=1λivi, an+1

)y

2n∑i=1

λi(vi, bn+1) =( 2n∑

i=1λivi, bn+1

)

pertenecen a la envolvente convexa de VRn+1 . Como xn+1 ∈ [an+1, bn+1] existe un λ ∈ [0, 1] con xn+1 =λan+1 + (1− λ)bn+1. Luego,

λ( 2n∑

i=1λivi, an+1

)+ (1− λ)

( 2n∑i=1

λivi, bn+1

)=

( 2n∑i=1

λivi, λan+1 + (1− λ)bn+1

)= (x1, . . . , xn+1);

esto es, (x1, . . . , xn+1) pertenece a la envolvente convexa de VRn+1 .

( 8.2.36 ) Sea f : A ⊂ Rn → R una función convexa. Entonces f es continua en el interior de A.

285


Sea X ∈ ÙU. Existe un cubo R centrado en X y de lado 2r tal que R ⊂ U, ve el ejercicio (3.10).Es claro que B (X; r) ⊂ R, luego, según (8.2.35), si V es el conjunto de vértices de R, entoces paracualquier Y ∈ B (X; r) se cumple que f (Y ) ≤M, en donde M = max

v∈Vf (v). En virtud de (3.1.17), para cada

Y ∈ B (X; r) la recta que pasa por X y Y interseca a la frontera de B (X; r) en dos puntos de la formaX + u y X − u con ‖u‖ = r.

Considera λ = ‖Y − X‖r yL1 = X + tu|t ∈ [0, 1]

yL2 = X − tu|t ∈ [0, 1].

Es claro que L1 ∪ L2 es el segmento de recta que une a X − u con X + u. Como Y ∈ L1 ∪ L2 se puedesuponer que Y ∈ L1, luego existe un t ∈ [0, 1] tal que Y = X + tu. De aquí se deriva que t = λ.Análogamente, si X = t(X−u)+ (1− t)Y para algún t ∈ [0, 1]. Despejando t se encuentra que t = λ

1 + λ .Entonces

Y = (1− λ)X + λ(X + u) y X = 11 + λY + λ

1 + λ (X − u).

Por la convexidad de f se concluye que

f (Y ) ≤ (1− λ)f (X) + λf (X + u)

y quef (X) ≤ 1

1 + λ f (Y ) + λ1 + λ f (X − u).

Entonces, f (Y ) ≤ (1− λ)f (X) + λM y f (X) ≤ 11 + λ f (Y ) + λ

1 + λM, de la primera desigualdad se concluyeque

f (Y )− f (X) ≤ λ(M − f (X))

y de la segunda, multiplicando todo por 1 + λ,

f (X)− f (Y ) ≤ λ(M − f (X)).

Por lo tanto,|f (X)− f (Y )| ≤ λ(M − f (X)) = M − f (X)

r ‖X − Y‖ ,

es decir, f es M − f (X)r -lipschitziana en B (X; r) , en particular es uniformemente continua ahí. Por la

arbitrariedad de X, f es continua en ÙU.

( 8.2.37 ) Sean f : A ⊂ V → R cualquier función y B una base ordenada de V. Supón que [ ]B son las coordenadasde V relativas a B. Una condición necesaria y suficiente para que f sea convexa es que f [ ]−1

B sea convexa. En

particular, si f es convexa entonces es continua en ÛA.Lo segundo es consecuencia de lo primero y de (8.2.36). Que la caracterización es cierta se sigue

inmediatamente de que [ ]−1B es una función lineal.

( 8.2.38 ) Sea f : A ⊂ V → R, donde A es un conjunto abierto y convexo. Se supone que f es diferenciable. Unacondición necesaria y suficiente para que f sea convexa es que para cada par de vectores u, v ∈ A

f (v) ≥ f (u) + Df (u) (v − u).

286


Define g(λ) = f (u + λ(v − u). Entonces g es convexa y diferenciable. El lema de las tres cuerdasmuestra que

g(λ)− g(0)λ ≤ g(1)− g(0) = f (v)− f (u),

y cuando λ ↓ 0 se ve que g(λ)− g(0)λ → g ′(0). Según la regla de la cadena,

g ′(λ) = Df (u + λ(v − u)) (v − u).

Esto muestra la necesidad de la afirmación.Ahora se verá la suficiencia. Sean u, v ∈ A y λ ∈ [0, 1]. Se pone w = λu + (1− λ)v. Entonces

λ(u −w) + (1− λ)(v −w) = λu + (1− λ)v −w = 0,

así quef (w) = f (w) + Df (w) (λ(u −w) + (1− λ)(v −w)),

pero por hipótesis Df (w) (u−w) ≤ f (u) y Df (w) (v −w) ≤ f (v), usando esto en la igualdad anterior seencuetra que

f (w) ≤ λf (u) + (1− λ)f (v)

y f es convexa.

Observacion: corolario directo de esta propiedad es una condición suficiente de primer orden paraminimización global. Esta es la siguiente. Si f es convexa y diferenciable y si existe un v en su dominiotal que Df (v) = 0 entonces f posee un mínimo global en v.

( 8.2.39 ) Sea f : A→ R una función dos veces diferenciable con continuidad sobre el conjunto abierto y convexoA. Una condición necesaria y suficiente para que f sea convexa es que D2f (v) esté definida semipositivamentepara cada v ∈ A.

La suficiencia es inmediata de (8.2.38), según el teorema de Taylor (7.6.10) se cumple que

f (v) = f (u) + Df (u) (v − u) + 12D2f (u + λ(v − u)) (v − u, v − u),

en donde λ ∈ [0, 1], por lo que al estar la segunda derivada definida semipositivamente se concluye que

f (v) ≥ f (u) + Df (u) (v − u),

para cualesquier u, v ∈ A; es decir, f es convexa sobre A.Se verá ahora la necesidad. Sea f convexa y u ∈ A. Define para h ∈ V cualquiera la función

g(λ) = f (u+λh). Entoces g está definida y es convexa sobre un intervalo de la forma (−r, r). Entonces,según el ejercicio (6.19) y (8.2.16) se sigue que g ′′(λ) ≥ 0 para todo λ ∈ (−r, r). Ahora bien, según laregla de la cadena

g ′′(λ) = D2f (u + λh) (h, h),

con hacer λ = 0 se obtiene queD2f (u) (h, h) ≥ 0

para cualesquier u ∈ A y h ∈ V, que era lo que se quería demostrar.

287


Observación: las condiciones de segundo orden, tanto necesarias y suficientes, dicen que para queuna función posea un mínimo en un punto es necesario y suficiente que la función se comporte comouna función convexa. Una motivación a posteriori6 para estudiar funciones convexas.

z 8.2.8 Ejemplos de funciones convexas en Rn.( 8.2.40 ) Cada función T : Rn → R afín es convexa.

Pues T(λX + (1− λ)Y ) = λTX + (1− λ)TY.

( 8.2.41 ) (x, y) 7Ï − logx − logy es convexa sobre (0,∞)2.

Pues si f es la función dada entonces f es dos veces diferenciable y su segunda derivada en (x, y) es

D2f (x, y) ((h, k), (s, t)) = hsx2 + kt

y2 ,

y al hacer h = s, k = t se ve que D2f (x, y) ((h, k), (h, k)) ≥ 0 y según (8.2.39) f es convexa.

( 8.2.42 ) La función X 7Ï ‖X‖2 de Rn a R es convexa.

Esta función puede escribirse como f (x1, . . . , xn) =n∑i=1

x2i y su segunda derivada es

D2f (x1, . . . , xn) =

2 0 . . . 00 2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 2

,la cual define una forma cuadrática definida positivamente. El resto es consecuencia de (8.2.39).

( 8.2.43 ) (x1, . . . , xn) 7Ïn∑i=1

ai|xi + bi|p, en donde ai ≥ 0, bi ∈ R y p ≥ 1, es una función convexa sobre Rn.

En virtud del ejercicio (8.14) basta demostrar que cada función (x1, . . . , xn) 7Ï |xi + bi|p es convexa.El ejemplo (8.2.31) muestra que basta ver que (x1, . . . , xn) 7Ï |xi + bi| es convexa. Pero

|λxi + (1− λ)yi + bi| = |λ(x + bi) + (1− λ)(yi + bi)| ≤ λ|xi + bi|+ (1− λ)|yi − bi|,

que muestra la convexidad.

§ 8.3. Ejemplos de optimización libre.Aunque no existe un algoritmo general para determinar los puntos óptimos de una función siempre

se puede proceder como sigue:

1. Si el problema está planteado implícitamente, asegurarse que la función que plantees para op-timizarla describa correctamente el problema. Encontrar el dominio de la función. A veces esnecesario cerrar el dominio para que este devenga en un conjunto compacto.

6Es decir, ya una vez estudiada la teoría, es una razón para estudiarla de nuevo.

288

8.3. Ejemplos de optimización libre.

2. Verificar que la función sea de clase Ck en el interior del dominio para algún k ∈ N conveniente.

3. Verificar si el dominio es compacto para asegurar la existencia de los óptimos. En caso contrariohabrán que utilizarse heurísticas para asegurar que fueron encontrados todos los puntos óptimos.

4. Si la función es diferenciable, encontrar los puntos críticos. Observa que este punto solo permitiráencontrar puntos óptimos en el interior del dominio de f. La fronterá tendrá que ser analizadamás a detalle.

5. Si la función es dos veces diferenciable, usar las condiciones de segundo orden cuando apliquen ysea conveniente; a veces es más fácil evitar calcular la segunda derivada y utilizar un argumentode exitencia y unicidad. En este punto conviene verificar si la función es convexa.

( 8.3.1 ) Dado un pedazo de cartón cuya área es S > 0, si se puede utilizar todo sin que exista desperdicio, ¿cuáles la caja con tapa de volumen máximo que se puede formar?

Siguiendo las sugerencias iniciales se empieza encontrando la función a maximizar. Sean x, y, z lasdimensiones de la caja entonces su volumen es V (x, y, z) = xyz. El dominio de V es, de acuerdo alas condiciones iniciales, (x, y, z) ∈ [0,∞)3|2(xy + yz + zx) = S. Este problema no corresponde a laoptimización libre pues las variables están relacionadas entre sí; sin embargo, se puede despejar algunade ellas. Por ejemplo z, quedando que, z(x + y) = S

2 − xy. Con considerar el caso cuando x + y = 0 seve que la función a maximizar es

V (x, y) =

xy(S − 2xy)

2(x + y) si 0 ≤ x, y, (x, y) 6= (0, 0) y xy ≤ S2 ;

0 si (x, y) = (0, 0).

Se verificarán ahora algunas propieades sobre V.

( 8.3.1.1 ) Dom (V ) es un subconjunto cerrado y no acotado de R2.

Se verá primero que Dom (V ) es cerrado. Sean

D1 =ß

(x, y) ∈ R2∣∣∣∣0 < x, y y xy < S

2

™y

D2 =ß

(x, y) ∈ R2∣∣∣∣xy = 0 o xy = S

2

™,

entonces Dom (V ) = D1 ∪ D2 y, de hecho, D2 = ∂D1, así Dom (V ) = D1, ve la definición (3.2.7). Paraverificar esto basta ver que para cada (x, y) ∈ D2 existe una sucesión (xn, yn) ∈ D1 tal que (xn, yn) →(x, y). Sea pues (x, y) ∈ D2, hay dos casos a considerar.

1. El primero es que xy = 0 entonces puede suceder que x = 0, y 6= 0, o bien x 6= 0, y = 0 obien x = y = 0. Si x = 0, y 6= 0 entonces define la sucesión xn = S

2yn y yn = y entonces

xnyn = S2n < S

2 y como xn, yn > 0 se ve que (xn, yn) ∈ D1. Claramente (xn, yn) → (x, y). Si

x 6= 0, y = 0, define xn = x y yn = S2xn . Si (x, y) = (0, 0), define xn = yn =

…S2n entonces

(xn, yn) ∈ D1 y (xn, yn)→ (0, 0).

289


2. El segundo caso es cuando xy = S2 entonces tanto x como y son no nulas. Para este caso define

(xn, yn) =Ç

x1 + 1

n, y1 + 1

n

å,

entonces (xn, yn) ∈ D1 y (xn, yn)→ (x, y).Por lo tanto ∂D1 = D2. Ver que Dom (V ) no es acotado es sencillo, como todos los puntos x ≥ 0, y ≥ 0con xy = S

2 están en Dom (V ) se ve que para cualquier n ∈ N si se pone xn = n y yn = S2n entonces

(xn, yn) ∈ Dom (V ) y como n = |xn| ≤ ‖(xn, yn)‖ → ∞ mostrando que Dom (V ) no es acotado.( 8.3.1.2 ) V es un función continua sobre su dominio y diferencible sobre D1.

Que V sea diferenciable sobre D1 se deduce del hecho que es cociente de dos funciones diferen-ciables en donde el denominador no se anula en ningún punto de D1. Es claro que V es continua endonde su denominador no se anula, pero como x ≥ 0 y y ≥ 0, el único punto donde el denominadorde V se anula es el origen, de aquí que basta ver que

lım(x,y)→(0,0)

V (x, y) = 0.

Nota que si (x, y) 6= (0, 0) entonces

0 ≤ V (x, y) = xy(S − 2xy)2(x + y) ≤ (x + y)2(S − 2xy)

2(x + y) ≤ (x + y)(S − 2xy)2 ,

el cual tiende a cero cuando (x, y)→ (0, 0) y así, V es continua sobre su dominio.( 8.3.1.3 ) No existe ningún maximizador de V sobre D2.

Esto es muy claro geométricamente, pues V∣∣∣D2

= 0 y si (x, y) ∈ D1 entonces V (x, y) > 0, como∂D1 = D2 se sigue que para cada (x, y) ∈ D2 existen punto arbitrariamente cercanos a (x, y), los cualesestán sobre D1 y así V no puede tener ningún maximizador sobre D2.( 8.3.1.4 ) Todos los puntos de D2 son minimizadores estrictos de V.

Como ya se mencionó V∣∣∣D2

= 0 y V∣∣∣D1> 0 por lo que los puntos de D2 son minimizadores de V.

( 8.3.1.5 ) Existe un único punto crítico de V.La derivada de V es

DV (x, y) =ÇSy2 − 4xy3 − 2x2y2

2(x + y)2 , Sx2 − 4x3y − 2x2y2

2(x + y)2

å.

Como (x, y) ∈ D1 se cumple que x > 0 y y > 0, por lo que

DV (x, y) = (0, 0)⇔ (S − 2x2 − 4xy, S − 2y2 − 4xy) = (0, 0).

De este sistema se deriva que 2x2 = 2y2, es decir, x2 = y2 y como x > 0 y y > 0 debe ser que x = y.Luego, la solución al sistema es x = y y x satisface la ecuación

S − 6x2 = 0⇔ x =…S6 .

Observa que de aquí se deriva que z =…S6 , es decir, el punto crítico corresponde al cubo que se puede

formar. Se denotará por (x∗, y∗) a este punto crítico.

290


( 8.3.1.6 ) El punto crítico es máximo local de V.

Primeramente se recuerda que si un punto es maximo local de V entonces cae en D1. Consideran0 = 2 ‖(x∗, y∗)‖ , y considera las cajas cerradas Cn = [0, n] × [0, n] para n ≥ n0. Se sabe que Bn =Dom (V ) ∩ Cn es cerrado y acotado (3.2.5), por lo que es compacto (3.4.10). Luego, existe al menos unmaximizador de V sobre cada Bn (ve (8.1.14)). Se deducen dos casos: que el maximizador pertenezcaa ıBn o que a ∂Bn. Se mostrará que el segundo caso es imposible. Entonces se supone que hay unmaximizador (pn, qn) de V sobre ∂Bn. Tal maximizador debe satisfacer que pn = n y qn ∈

ï0, S2n

òo que

qn = n y pn ∈ï0, S2n

ò. Por la simetría de la función, basta ver el primer subcaso. Entonces pn = n, de

lo cual se deduce que la función toma la forma y 7Ï ny(S − 2ny)2(n + y) . Observa que, al ser y ≥ 0,

ny(S − 2ny)2(n + y) ≤ 1

2y(S − 2ny) = h(y).

Se maximiza ahora h. Entonces, h′(y) = 12S − 2ny, por lo que h′(y) = 0 ⇔ y = S

4n . Este puntoes máximo sobre el intervalo en cuestión; la función h se anula en los extremos y es positiva en elinterior, al ser que el maximo existe (pues el intervalo es compacto), el maximo es interior, por lo quela derivada de h se anula en el punto máximo, pero solo hay un punto donde la derivada se anula.

Luego, tras un cálculo elemental, h(y) ≤ S2

16n . Tomando n suficientemente grande se puede ver que

V (pn, qn) ≤S2

16n < V (x∗, y∗), lo cual deviene en una contradicción. Por lo tanto, (x∗, y∗) es máximo deV. De hecho, se demostró que (x∗, y∗) es máximo global de V.

( 8.3.1.7 ) El maximizador global de V es estricto.

Si no fuera así existiría algún punto (x′, y ′) 6= (x∗, y∗) para el cual V (x′, y ′) = V (x∗, y∗). Como lospuntos sobre D2 son minimizadores estrictos se cumple que (x′, y ′) ∈ D1 y así DV (x′, y ′) = (0, 0) lo cualmuestra que (x′, y ′) = (x∗, y∗), lo cual es una contradicción.

Finalmente, se puede concluir que el cubo de lados…S6 es la caja con tapa más grande que se puede

formar.

Observaciones:

1. Se siguió, a modo general, lo presentado al inicio de la sección. Se definió la función a maximizar,aquí, por las condiciones del problema, se pudieron hacer algunas reducciones, quedando al finaluna función de dos variables.

2. Es destacable que para haber resuelto “más correctamente” el ejercicio debió haberse planteadola función como V (x, y, z) = xyz con dominio (x, y, z) ∈ R3|x, y, z ≥ 0 y 2(xy + yz + xz) ≤ S,y este sería un problema de maximización libre. Sin embargo, si el óptimo no utilizara todo elmaterial, es decir, si hay un punto (x, y, z) óptimo tal que 2(xy + xz + yz) < S entonces se puedeencontrar un ε > 0 tal que 2([x+ε]y+[x+ε]z+yz) ≤ S y (x+ε)yz > xyz. Es decir, a veces es fácilderivar que el óptimo de una función en n variables se encuentra en su frontera, en la cual hayuna relación de dependencia de las variables. Esto suele llevar a que una de las variables puedeser despejada, dejando un problema de optimización de n variables a otro de n − 1 variables.

291


3. Aunque era claro que V no podía tener máximo cuando xy = 0 se decidió definir a V sobre unconjunto cerrado. Esto se hizo pues había una motivación de fondo, que puede resultar un pocoopaca a primera vista: todo conjunto cerrado es la unión de una familia creciente y enumerablede subconjuntos compactos de él; la demostración de esto es sencilla pues si C es cerrado y Bnes la bola cerrada de centro el origen y radio n ∈ N entonces (C ∩ Bn)n∈N es la familia deseada(queda a título de ejercicio verificar esto). Luego, con tener esto presente y (8.1.14) se observaque se puede maximizar a la función en cada uno de los miembros de la familia y así obteneruna sucesión de máximos. Si estos máximos, como ocurrió, son uno solo entonces se obtiene unmáximo global.

4. Es destacable que se pudo haber calculado la segunda derivada de V en (x1, y1) pero DV (x, y) yatenía una expresión realmente complicada como para calcular la segunda derivada.

( 8.3.2 ) Dado un número A > 0, ¿cuál es la manera óptima de dividirlo en 3 cantidades a, b, c ≥ 0 tales quea + b + c = A y abc sea máximo?

La función a maximizar es f (a, b, c) = abc, pero las variables no son independientes. Sin embargo,por las condiciones iniciales, se puede despejar c entonces, la función a maximizar es f (a, b) = ab(A−a − b). El dominio de esta función es (a, b) ∈ R2|a, b ≥ 0 y 0 ≤ a + b ≤ A, ahora, si a + b = 0 oa+ b = A entonces f (a, b) = 0, como hay puntos donde f > 0, si el máximo existe entonces el máximoes un punto interior; que el máximo efectivamente existe se deriva de (8.1.14). Como f es de clase C2

aplican las condiciones de primer orden. El máximo de f debe satisfacer que Df (a, b) = (0, 0), pero

Df (a, b) = (Ab − 2ab − b2, Aa − a2 − 2ab),

como (a, b) es un punto interior, tanto a como b no son cero, por lo que Df (a, b) = (0, 0) si y solo siA− 2a− b = 0 y A− a− 2b = 0, restando una ecuación de la otra se obtiene que a = b y sustituyendoesto en cualquiera se concluye que a = b = A

3 . Luego, el candidato a máximo esÅA

3 ,A3

ã. Que este es

un punto maximizador se deriva del hecho que el maximo existe y debe ser un punto interior. Luego,

el punto encontrado es maximizador. El valor máximo que puede alcanzar f es A3

27 .

Observación: este es un problema de optimización clásico. Se siguió el método o algoritmo estándar.No hay ideas oscuras de por medio.

( 8.3.3 ) Supón que la función T : R → R dada por T(x, y) = Cx2 + y4 + 1 indica la temperatura del punto

(x, y) en el plano, ¿en qué punto la temperatura es mínima? ¿Y máxima?

En este caso tanto la función como el dominio están dados, al ser la función de clase C∞ se puedenutilizar las condiciones de primer y segundo orden. Se empieza encontrando los puntos críticos. Setiene que

DT (x, y) =Ç− 2Cx

(x2 + y4 + 1)2 ,−4Cy3

(x2 + y4 + 1)2

å,

por lo que el único punto donde la derivada se anula es el origen. En este punto la función vale C ycomo x2 + y4 > 0 para (x, y) 6= 0 se ve que si (x, y) 6= (0, 0) entonces T(x, y) < C, por lo que C es unpunto máximo global estricto. No hay puntos mínimos pues por ser todos los puntos interiores el únicocandidato a óptimo era el origen.

292


Observación: aunque se podían utilizar las condiciones de segundo orden, resultaba demasiado difícilcalcular la segunda derivada. En muchas ocasiones una inspección a la función deriva en que los puntosencontrados son extremos.

( 8.3.4 ) Considera un plano no degenerado P = X · A = λ ⊂ R3. Entonces existe un único X∗ ∈ P tal que‖X∗‖ es el valor más pequeño de ‖X‖ para X ∈ P.

Aquí la función a minimizar es f (X) = ‖X‖ y su dominio es P. Sin embargo, las variables en P estánrelacionadas por la ecuación X · A = λ por lo que no son variables independientes entre sí (hay unarelación funcional entre ellas). Sin embargo, se puede mejorar esto, se supone que A = (a, b, c), comoP es un plano no degenerado A 6= 0, por lo que, por ejemplo c 6= 0 entonces, se puede suponer quec = 1. Entonces, si X = (x, y, z) ∈ P, se ve que z = λ − ax − by. Luego, la función a minimizar es

f (x, y) = ‖(x, y, λ − ax − by)‖ , (x, y) ∈ R2.

Es claro que f no es de clase C2, para arreglar esto se considera la función t 7Ï t2 la cual es crecientesobre [0,∞), como f (x, y) ≥ 0 se ve que (x, y) es un mínimo de f si y solo si es mínimo de f (x, y)2.Luego, se puede considerar que la función a minimizar es

(x, y) 7Ï x2 + y2 + (λ − ax − by)2

Sea f esta función entonces

Df (x, y) = (2x + 2a(ax + by − λ), 2y + 2b(ax + by − λ))

Se resuelve ahora el sistema Df (x, y) = (0, 0). Escribiéndolo en forma matricial, se debe ver si la matriz

M =ï

1 + a2 abab 1 + b2

òes invertible, pero detM = 1 + a2 + b2 > 0, por lo que el sistema Df (x, y) = (0, 0) tiene una únicasolución. Sea (x∗, y∗) dicha solución, se probará ahora que esta solución es minimizador estricto yglobal de f. Se calcula la segunda derivada de f en el punto (x, y) arbitrario. Se obtiene que

D2f (x, y) = 2ï

1 + a2 abab 1 + b2

ò,

por lo tanto,

D2f (x, y) ((h, k), (h, k)) = 2[(1 + a2)h2 + 2abhk + (1 + b2)k2] = 2(h2 + k2) + 2(ah + bk)2 > 0

siempre que (h, k) 6= 0. Luego, en virtud de las condiciones suficientes de segundo orden (8.1.20) sederiva que (x∗, y∗) es un mínimo relativo estricto de f.

Para ver que X∗ = (x∗, y∗) es mínimo global se observa que si Bn = X ∈ R2| ‖X‖ ≤ n entoncesBn es compacto y que Bn ⊂ Bn+1. Además, para todo n ∈ N grande se cumple que X∗ ∈ Bn. Se afirmaque X∗ es el mínimo absoluto de f sobre Bn. En virtud de (8.1.14) existe un punto Xn ∈ Bn tal quef (Xn) ≤ f (X) para todo X ∈ Bn. Ahora bien, si X∗ ∈ Bn entonces ‖X∗‖ ≤ n < n + 1, por lo que X∗ esinterior a Bn+1, luego f alcanza su mínimo en el interior de Bn+1. Según (8.1.10) el único candidato aser mínimo de f es X∗ y como tal mínimo existe X∗ es el mínimo de f sobre Bn+1. Luego, para todo ngrande, X∗ es el mínimo de f sobre Bn.

Se verá ahora que X∗ es el mínimo global de f. Sea entonces X ∈ Rn cualquiera entonces X,X∗ ∈ Bnpara algún n suficientemente grande, de aquí que f (X∗) ≤ f (X), que es lo que se quería demostrar.

293


Observación: al igual que con un ejemplo previo aquí se utilizó el método de dividir el dominio, elcual es cerrado, como una sucesión creciente de conjuntos compactos; por existencia y unicidad delmáximo se deriva que el único máximo es global.

( 8.3.5 ) Calcular el volumen del paralelepípedo recto, cuyas caras son paralelas a los planos coordenados, demayor volumen que se pueda inscribir en el elipsoide

E =®

(x, y, z) ∈ [0,∞)3∣∣∣∣x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1´.

Es intuitivamente claro que paralelepípedo debe tener los ocho vértices sobre el elipsoide7. Porser las caras paralelas, se tiene que los ocho vértices tienen coordenadas (±x,±y,±z). Luego, bastaconsiderar el caso x ≥ 0, y ≥ 0 y z ≥ 0. Entonces, se debe maximizar la función

V (x, y, z) = 8xyz

sobre el conjunto®

(x, y, z) ∈ [0,∞)3∣∣∣∣x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1´. Con notar que z ≥ 0 sobre este conjunto se

puede ver que es despejable de la ecuación definitoria, obteniendo que

z = c

1− x2

a2 −y2

b2 .

Luego, la función a maximizar es

V (x, y, z) = 8cxy

1− x2

a2 −y2

b2

sobre el conjunto®

(x, y) ∈ R2∣∣∣∣x ≥ 0, y ≥ 0 y x2

a2 + y2

b2 ≤ 1´. Como se observó en un ejemplo previo,

V no es diferenciable en todos los puntos, por lo que conviene mejor maximizar V2

64c2 . Por lo tanto, lafunción a maximizar es

V (x, y) = x2y2Ç

1− x2

a2 −y2

b2

å= x2y2 − x4y2

a2 −x2y4

b2

sobre el conjunto®

(x, y) ∈ R2∣∣∣∣x ≥ 0, y ≥ 0 y x2

a2 + y2

b2 ≤ 1´.

( 8.3.5.1 ) El dominio de V es un conjunto compacto.

Es claro que Dom (V ) está contenido en el conjunto

E =®

(x, y) ∈ R2∣∣∣∣x2

a2 + y2

b2 ≤ 1´

que es imagen de la bola unitaria cerrada por la función T(x, y) = (ax, by), ve el ejercicio (2.5). ComoT es invertible, T−1 existe y es lineal (ejercicio (1.23)), por lo que es continua. En consecuencia

E = T(B′ (0; 1)) = (T−1)−1(B′ (0; 1))7Si un paralelepípedo maximizador satisface que no todos sus ocho vértices están sobre el elipsoide, entoces existiría al menos

uno que no estaría sobre el elipsoide y así, todas las coordenadas de dicho vértice pueden incrementarse en una cantidad pequeñay positiva, esto muestra que el volumen crecería estricamente y el paralelepípedo no sería maximizador

294


es la preimagen por T−1 de B′ (0; 1) , en virtud del ejercicio (5.34) se concluye que E es cerrado. Que E esacotado se obtiene directamente de que E ⊂ B

Å0; 2 max

ß 1a2 ,

1b2

™ã. Finalmente, Dom (V ) = [0,∞)2∩E,

es la intersección de un conjunto cerrado con un conjunto cerrado y acotado, en consecuencia Dom (V )es cerrado y acotado, o sea, es compacto.

( 8.3.5.2 ) Cada punto en ∂Dom (V ) es un minimizador estricto de V.

Pues V∣∣∣∂Dom(V )

= 0 y V > 0 en el interior de su dominio.

( 8.3.5.3 ) Existe un único punto crítico de V.

La derivada de V es

DV (x, y) =Å

2xy2 − 4a2x

3y2 − 2b2xy

3, 2x2y − 4b2x

2y3 − 2a2x

3yã,

entonces

DV (x, y) = (0, 0)⇔Ç

2x2

a2 + y2

b2 − 1, x2

a2 + 2y2

b2 − 1å

= (0, 0).

De estas ecuaciones se deriva que x2

a2 = y2

b2 y, como x > 0 y y > 0 (recuerda que (x, y) ∈ ˚ Dom (V )) se

deriva finalmente que x = aby. Sustituyendo esto en cualquiera de las ecuaciones se llega a que x = a√

3y que y = b√

3; con estos valores se obtiene que z = c√

3. Como x > 0, y > 0 y x2

a2 + y2

b2 = 23 < 1 se ve

que (x, y) ∈ ˚ Dom (V ) , luego (x, y) es el único punto crítico de V.

( 8.3.5.4 ) El punto crítico de V es máximo global estricto de V.

Como el máximo global de V existe y tiene que ser un punto interior en donde se satisfacen lascondiciones de primer orden, se tiene que el punto crítico es máximo global. Que el máximo es estrictose deriva del hecho que si otro punto fuera máximo entonces tendría que ser interior y se tendrían quesatisfacer las condiciones de primer orden.

Observación: como el dominio de V ya era un conjunto compacto puede aplicarse directamente unargumento de existencia y unicidad; si el máximo existe y está en el interior y en el interior hay unúnico punto crítico entonces tal punto crítico es el máximo buscado.

( 8.3.6 ) Sean A1, . . . , Ak ∈ Rn vectores linealmente independientes, con k < n, y A ∈ Rn cualquiera, define elplano

P = k∑

i=1xiAi + A

∣∣∣(x1, . . . , xk) ∈ Rk

.

¿Existe algún punto P cuya distancia al origen sea mínima? Describir tal punto en términos de los vectoresA1, . . . , Ak y A.

Observa que P es el espacio vectorial generado por A1, . . . , Ak trasladado al punto A. Entonces, sepuede cambiar la base afín de P por otra más conveniente. Aquí, con conveniente se hace referencia

295


a una base ortogonal. Entonces, define

B1 = A1

B2 = A2 −〈A2, B1〉〈B1, B1〉

B1

......

...

Bk = Ak −〈Ak, B1〉〈B1, B1〉

B1 − . . .−〈Ak, Bk−1〉〈Bk−1, Bk−1〉

Bk−1;

( 8.3.6.1 ) El conjunto B1, . . . , Bk es base ortogonal del espacio generado por A1, . . . , Ak.

En efecto, se probará que los vectores B1, . . . , Bk son ortogonales y no nulos, luego, según (1.4.7) losk vectores B1, . . . , Bk serán linealmente independientes, con lo cual constituirán una base del espaciogenerado por A1, . . . , Ak. Se mostrará primeramente que Bi+1 es ortogonal a B1, . . . , Bi. Entonces, seprocede por inducción, el caso i = 1 es muy sencillo pues

〈B2, B1〉 =≠A2 −

〈A2, A1〉〈A1, B1〉

B1, B1

∑= 〈A2, B1〉 −

〈A2, A1〉〈A1, B1〉

〈B1, B1〉 = 0

ya que B1 = A1.Se supone ahora que Bi+1 es ortogonal a B1, . . . , Bi entonces, para j = 1, . . . , i + 1,

〈Bi+2, Bj〉 = 〈Ai+2 − c1B1 − . . .− ci+1Bi+1, Bj〉 = 〈Ai+2, Bj〉 − cj 〈Bj , Bj〉

y cj = 〈Ai+2, Bj〉〈Bj , Bj〉

. Con lo cual Bi+2 es ortogonal a Bj para j = 1, . . . , i+ 1. Luego, se ha demostrado que

cada Bi es ortogonal a los anteriores, por lo tanto, B1, . . . , Bk son ortogonales entre sí.Observa que P = lin 〈B1, . . . , Bk〉+ A, el espacio generado por los vectores B1, . . . , Bk trasladado

al punto A. Define la función F : Rk → Rn dada por

F (x1, . . . , xk) =k∑i=1

xiBi + A

y la función r : Rn → R dada por r(y1, . . . , yn) =n∑j=1

y2j . Entonces ∂F

∂xi= Bi y ∂r

∂yj= 2yj . Nota que la

función a minimizar es r(F (x1, . . . , xk)). En virtud de las condiciones necesarias de primer orden (8.1.10)y de la regla de la cadena, debe cumplirse que para un óptimo (x1, . . . , xk),

0 = ∂r∂xi

=n∑j=1

∂r∂yj

∂F∂xi

= 2 〈F (x1, . . . , xk), Bi〉 .

Es decir, un punto X es óptimo solo si

0 = 〈F (x1, . . . , xk), Bi〉 =

∞k∑j=1

xjBj + A,Bi

∫= xi 〈Bi, Bi〉+ 〈A,Bi〉 .

Por lo tanto, el único punto crítico de la función es

X = −Å 〈A,B1〉〈B1, B1〉

, . . . , 〈A,Bk〉〈Bk, Bk〉

ã.

296

8.4. Optimización restringida.

Se calculan ahora las parciales de segundo orden de F. Primeramente, se encontró que

∂r∂xi

= 2xi 〈Bi, Bi〉+ 2 〈A,Bi〉 .

Por lo tanto, ∂2r∂xi∂xj

= 0 para i 6= j y ∂2r∂x2

i= 2 〈Bi, Bi〉 . Luego, la matriz hessiana de la función a

maximizar es una matriz diagonal cuyas entradas son 2 〈Bi, Bi〉 = 2 ‖Bi‖2 > 0 por ser ninguno de losBi nulos. Luego, esta forma cuadrática está definida positivamente y el punto en cuestión es mínimo(8.1.20).

§ 8.4. Optimización restringida.Hasta ahora ha sido considerado el problema llamado optimización libre. La optimización restringida

surge de manera natural, por ejemplo, al considerar el siguiente problema: dada una superficie Sencontrar el punto en ella que está más cerca al origen. Esto puede ser planteado naturalmente comosigue

arg max ‖P‖ s.a. P ∈ S.

Ahora es común que S pueda ser escrito como S = v ∈ V |f (v) = λ para algunas f : V →W y λ ∈W.Entonces las variables están relacionadas ímplicitamente a través de la función f.

Otro ejemplo natural es el siguiente: dado un conjunto factible de pares de bienes, se deseamaximizar la producción de cierto artículo que necesita de estos dos bienes; se sabe que por cadaunidad del primer bien se necesitan dos unidades del segundo bien. ¿Cuál es la cantidad óptimade cada bien para maximizar la producción del artículo? Esto puede ser planteado como

arg max f (x, y) s.a. y = 2x, (x, y) ∈ A.

Observa que aquí existe una relación explícita entre x y y.En resumen, se puede dividir la optimización restringida en dos casos: cuando las variables están re-

lacionadas implícitamente y cuando están relacionadas explícitamente. Se plantean ahora los problemasque han sido establecidos con ejemplos.

El problema de optimización restringida implícitamente: dadas F : A ⊂ V → W, S = F−1(0) yf : S → R, resolver el problema

arg max f (v) s.a. v ∈ S.

El problema de optimización restringida explícitamente: dadas f : A ⊂ V1×V2 → R, g : A1 ⊂ V1 →A2 ⊂ V2 tales que A1 × A2 ⊂ A resolver el problema

arg max f (v, g(v)) s.a. v ∈ A1.

Observaciones:

1. El problema de optimización restringida explícitamente es un tipo de optimización libre. En efec-to, si defines F (v) = f (v, g(v)) para v ∈ A1 entonces el problema de optimización restringidaexplícitamente se reduce a

arg maxF (v) s.a. v ∈ VA1.

297


2. En consecuencia, lo que se va a buscar son condiciones suficientes para que el problema deoptimización restringida implícitamente se reduzca al problema de optimización restringida ex-plícitamente. Sin más preámbulo, se empieza el camino hacia dos de los máximos logros en elcálculo, los teoremas de la función implícita e inversa. Se necesitan varios resultados y definicionesprevias.

z 8.4.1 Homeomorfismos, difeomorfismos y diferenciabilidad fuerte.La función t 7Ï t3 es diferenciable en cada punto de R, además es invertible, sin embargo, si inversa

t 7Ï 3√t no es diferenciable en el origen. Con ver (5.10.2) se obtiene el por qué la inversa no es

diferenciable. La derivada de t 7Ï t3 en el origen es cero, por lo que no es invertible.Esto todavía no es satisfactorío. ¿Qué significa que una función invertible y diferenciable no satisfaga

que su inversa sea diferenciable? En este ejemplo, se ve la geometría de la función inversa, la derivadade t 7Ï 3

√t es 1

3 3√t2la cual tiende a ∞ cuando t → 0. Entonces, la deformación que ejerce t 7Ï t3 cerca

del cero explosiona; es decir, deja de ser suave.

( 8.4.1 ) Sean A ⊂ V y B ⊂W dos abiertos, y f : A→ B una función. Se dirá que f es un homeomorfismo8 si fes biyectiva, continua y f−1 es continua también. También se utiliza el término de función bicontinua. Al conjuntode los homeomorfismos de A a B se le denotará por Hom (A,B) .

Observa que (5.10.2) caracteriza a los homeomorfismo que satisfacen que ellos y su inserva sonclase C1. En particular, como corolario de esta propiedad (5.10.1) se obtuvo que si dos abiertos A ⊂ Vy B ⊂W son transformados uno en el otro de manera diferenciable entonces dim V = dim W y, porende, son isomorfos. En particular, los cambios que deforman suavemente a dos subconjuntos nopueden darse en espacios esencialmente diferentes.

( 8.4.2 ) Sean V y W dos espacios vectoriales isomorfos. Supón que A y B son sendos abiertos de V y W, y quef : A→ B es una función. Se dirá que f es un difeomorfismo de p-ésimo orden o de clase Cp, para p ∈ N∪∞,si:

1. f es biyectiva;

2. f es de clase Cp;

3. f−1 es de clase Cp;

por simplicidad, estas funciones serán llamadas «Cp-difeomorfismos». El conjunto de los Cp-difeomorfismos deA a B será denotado por D (p) (A,B) .

Naturalmente puede definirse una función Ψ : D (p) (A,B)→ D (p) (B,A) dada por

Ψ(f ) = f−1.

Tal Ψ posee propiedades muy agradables9. Si está interesado el lector en ver y estudiar cuales son talespropiedaes refiérase a [4], a [8] o a [13].

( 8.4.3 ) Para cualesquier A ⊂ V y B ⊂W dos abiertos, se tiene que Hom (A,B) = D (0) (A,B) .

Lo cual es consecuencia directa de que una función es continua si y solo si es de clase C0, ve ladefinición (6.6.3).

8De las raices griegas homeo y morfo, que significan ‘semejante’ o ‘parecido’ y ‘forma’, respectivamente.9Si se definen y demuestran los mismos conceptos para espacios vectoriales de dimensión arbitraria que se comporten como

lo espacios de dimensión finita, los «espacios banachianos», entonces Ψ es un C∞-difeomorfismo.

298


( 8.4.4 ) Sean V y W dos espacios vectoriales isomorfos. Para cualesquier p, k, n ∈ N y A ⊂ V, B ⊂ W dosabiertos se cumple que

D (∞) (A,B) ⊂ D (p+k) (A,B) ⊂ D (p) (A,B) ⊂ Hom (A,B) .

Lo cual se deriva inmediatamente de las observaciones de (6.6.3).

( 8.4.5 ) Sean V y W dos espacios vectoriales isomorfos y L ⊂ Lin (V,W ) el conjunto de las funciones linealese invertibles de V a W. Entonces L ⊂ D (∞) (V,W ) .

Esto es consecuencia del ejemplo (7.5.3) y del ejercicio (1.23).

( 8.4.6 ) Sean A ⊂ U, B ⊂ V y C ⊂W tres abiertos. Si f : A→ B y g : B→ C son homeomorfismos entoncesg f : A→ C es homeomorfismo.

Para empezar tanto A como C son abiertos, además g f es invertible cuya inversa es g−1 f−1, lascuales son continuas por serlo f, g y sus inversas.

( 8.4.7 ) Sea f : A → B una función. Una condición necesaria y suficiente para que f sea un homeomorfismo esque sea invertible, abierta (ve (3.4.1)) y que f−1 sea abierta.

Pues f es continua si y solo si f−1 es abierta (5.5.4), como lo mismo aplica para f−1, se obtiene laequivalencia.

( 8.4.8 ) Sean f : A→ B un homeomorfismo y sea C ⊂ A un abierto. Entonces f : C → f (C) es un homeomor-fismo.

Pues según (8.4.7) f (C) es un abierto. Según (2.1.20), f : C → f (C) es invertible, y según (5.22) f escontinua. Como

(f∣∣∣C

)−1= f−1

∣∣∣f (C)

se obtiene que el mismo argumento muestra que f−1∣∣∣f (C)

es continua.En particular, f es un homeomorfismo.

( 8.4.9 ) Sean V y W dos espacios vectoriales isomorfos y L ⊂ Lin (V,W ) el conjunto de las transformacioneslineales invertibles. Sean A ⊂ V y B ⊂W dos abiertos. Supón que f : A→ B es un homeomorfismo de clase C1.Una condición necesaria y suficiente para que f ∈ D (1) (A,B) es que Df (v) ∈ L para cada v ∈ A.

Que la condición es necesaria es consecuencia de (5.10.2). Se verá entonces que la condición essuficiente. Según (5.10.2) para cada w ∈ B existe Df−1 (w) . Resta ver que la función w 7Ï Df−1 (w) escontinua en B. Según (5.10.2), se tiene que

Df−1 (w) =[Df(f−1(w)

)]−1 =(φ Df f−1)(w),

dondeφ : L → L −1 = T−1|T ∈ L

está dada por φ(T) = T−1. Por lo tanto, al ser f−1 y Df funciones continuas, basta ver que φ es continua.Se demostrará este resultado, el cual es relativamnete complicado pues se necesitarán varios lemas; dehecho, cada uno es muy importante.

( 8.4.9.1 ) Sean U un espacio vectorial y T ∈ Lin (U,U) . Se define

T0 = IU y Tk = T Tk−1.

Entonces∥∥Tk∥∥ ≤ ‖T‖k .

299


Según el ejercicio (5.71), para cualquier S ∈ Lin (U,U) , se cumple

‖S‖ = max‖u‖=1

‖S(u)‖ .

Además, (5.6.2) muestra que ‖Su‖ ≤ ‖S‖ ‖u‖ para cualesquier S ∈ Lin (U,U) y u ∈ U. Entonces,∥∥∥Tku∥∥∥ =∥∥∥T(Tk−1)u

∥∥∥ ≤ ‖T‖ ∥∥∥Tk−1u∥∥∥ ,

inductivamente se demuestra que para cualquier u ∈ U∥∥∥Tku∥∥∥ ≤ ‖T‖k ‖u‖ .Tomando u tal que ‖u‖ = 1 se encuentra que

∥∥Tk∥∥ ≤ ‖T‖k , que era lo afirmado.

( 8.4.9.2 ) Sean U un espacio vectorial y T ∈ Lin (U,U) tal que ‖T‖ < 1. Entonces, la serie (ve (2.4.1)) definidapor la sucesión (Tn)n∈N∪0 es absolutamente convergente (ve (2.4.2)), en consecuencia, existe T∗ ∈ Lin (U,U)

tal que∞∑k=0

Tk = T∗.

Lo cual es consecuencia directa de que ‖Tn‖ ≤ ‖T‖n y que si 0 ≤ r < 1 entonces la serie (rn)n∈N∪0 es

convergente. Luego, según el ejercicio (2.23) se debe tener que existe un T∗ ∈ Lin (U,U) con∞∑k=0

Tk = T∗.

( 8.4.9.3 ) Sean U un espacio vectorial y T ∈ Lin (U,U) tal que ‖T‖ < 1. Sea T∗ la suma de la serie asociadaa (Tn)n≥0. Entonces IU − T ∈ L y, de hecho, T∗ = (IU − T)−1.

Simplemente se realiza un cálculo,

T∗(IU − T) = T∗ − T∗T =∞∑k=0

Tk −∞∑k=1

Tk = T0 = IU ,

del mismo modo,

(IU − T)T∗ = T∗ − TT∗ =∞∑k=0

Tk −∞∑k=1

Tk = T0 = IU ,

que demuestra lo pedido.Ahora se regresa a la prueba del enunciado principal. Se recuerda que este quedará concluido si se

demuestra que φ es continua sobre L .

( 8.4.9.4 ) L es un subconjunto abierto de Lin (V,W ) .

Pues L se identifica con el conjunto de matrices cuyo determinante es no nulo (ejercicio (1.41)) ycomo la funcion det es continua, L = det−1(R \ 0) es un abierto.

( 8.4.9.5 ) φ es continua sobre L .

Sea T ∈ L , existe un r > 0 tal que B (T ; r) ⊂ L . La idea genial de esta demostración es escribir,para H ∈ B (0; r) ⊂ Lin (V,W ) ,

T −H = T(IV − T−1H),por lo que

φ(T −H)− φ(T) = (T −H)−1 − T−1 = (IV − T−1H)−1T−1 − T−1

=[(IV − T−1H)−1 − IV

]T−1,

300


para que (IV − T−1H)−1 exista es suficiente que∥∥T−1H

∥∥ < 1, luego, es suficiente que ‖H‖ <∥∥T−1∥∥−1 .

Por lo tanto, si ‖H‖ < mın¶r,∥∥T−1∥∥−1© , se cumple que

‖φ(T −H)− φ(T)‖ ≤∥∥∥[(IV − T−1H)−1 − IV

]∥∥∥ ∥∥∥T−1∥∥∥

y como (IV − T−1H)−1 =∞∑k=0

(T−1H)k, se ve que

∥∥∥[(IV − T−1H)−1 − IV]∥∥∥ =

∥∥∥∥∥ ∞∑k=1

(T−1H)k∥∥∥∥∥ ≤ ∞∑

k=1

(∥∥∥T−1∥∥∥ ‖H‖)k =

∥∥∥T−1∥∥∥ ‖H‖

1−∥∥∥T−1

∥∥∥ ‖H‖ .Finalmente, se ve que

‖φ(T −H)− φ(T)‖ ≤

∥∥∥T−1∥∥∥2

1−∥∥∥T−1

∥∥∥ ‖H‖ ‖H‖ ,que tiende a cero cuando ‖H‖ → 0.

Ahora se define lo que se entiende por una función es fuertemente diferenciable en un punto.Observa que la definición de diferenciabilidad se escribe como

f (v + h)− f (v) = Df (v)h + o (‖h‖) .

¿Qué tan grande puede ser o(‖h‖)? En general no existe ninguna condición salvo que

o(‖h‖)‖h‖ → 0

cuando ‖h‖ → 0. Luego, cualquier función φ(h) = ‖h‖p es o(‖h‖) para p > 1. Nota ahora que

φ(h)‖h‖ = ‖h‖p−1

la cual es una función continua y por lo tanto, para cualquier ε > 0 existe un δ > 0 tal que

‖h‖ < δ Ñ ‖h‖p−1 < ε.

Sustituyendo esto en la definición de derivada se encuentra que

‖h‖ < δ Ñ ‖f (v + h)− f (v)−Df (v)h‖‖h‖ < ε,

lo cual indica que h 7Ï f (v + h)− f (v)−Df (v)h es ε-lipschitziana sobre la bola B (0; δ) . Esta condiciónes más fuerte que f sea diferenciable.

( 8.4.10 ) Se dirá que una función f : A ⊂ V → W es fuertemente diferenciable en v ∈ ÛA si existe unaT ∈ Lin (V,W ) tal que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que la función h 7Ï f (v + h) − f (v) − Th esε-lipschitziana sobre la bola B (0; δ) .

Algunas propiedades de las funciones fuertemente diferenciables están descritas en los ejercicios.Ahora verá una condición suficiente de diferenciabilidad fuerte.

301


( 8.4.11 ) Sea f : A ⊂ V →W diferenciable. Si la función Df : A→ Lin (V,W ) es continua en v entonces f esfuertemente diferenciable en v.

Define g(u) = f (u)− f (v)−Df (v) (u − v), la cual existe para todo u cercano a v. Entonces,

Dg (u) = Df (u)−Df (v) ,

por la continuidad de Df en v dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si ‖u − v‖ < δ entonces ‖Dg (u)‖ < ε. Envirtud del teorema del valor medio, (5.11.2), si ‖u − v‖ < δ entonces ‖g(u)− g(v)‖ = ‖g(u)‖ < ε ‖u − v‖ .Es decir, f es fuertemente diferenciable en v.

z 8.4.2 El método de aproximaciones sucesivas.Problemas del estilo encontrar un punto v ∈ A que satisfaga cierta propiedad surgen día a día

en matemáticas. Los problemas de optimización caen dentro de esta categoría. Existen innumerablesejemplos, como encontrar un v ∈ A tal que f (v) = 0. Pon, por decir algo, f (t) = t3 − 3t + 1 entoncesf (0) = 1 y f (1) = −1, así que hay un x ∈ [0, 1] tal que f (x) = 0. Se puede definir entonces una sucesiónan de manera recursiva como an es un punto tal que an = an−1 si f (an−1) = 0, o bien, |an−an−1| =

12n y

f (an)f (an−1) ≤ 0 si f (an−1) 6= 0. Se obtiene pues una sucesión (an)n∈N definida en [0, 1] la cual convergea un cero de f, quedan los detalles para el lector (ve el ejercicio (8.24)).

El llamado «método de aproximaciones sucesivas», clásico en matemáticas, es muy sencillo de em-plear. Se define una «primera aproximación» a0; luego, se define por recurrencia an+1 = f (an). Resultade interés estudiar el comportamiento límite de las subsucesiones de an. Resulta entonces natural im-poner que an se encuentre siempre dentro de un compacto y que f sea una función suficientementeagradable.

Este método permite obtener aproximaciones numéricas de las soluciones a los problemas men-cionados anteriormente debido a la forma explícita de las expresiones involucradas. El método ya hasido utilizado anteriormente, por ejemplo, el teorema de Bolzano-Weierstrass (3.5.3) fue demostradoutilizando este método pues para definir an+1 se necesitaba saber quién era an. A continuación un parde ejemplos.

( 8.4.12 ) Sea A ⊂ V cualquiera tal que existen u ∈ ÛA y v ∈ ext A. El segmento de recta que una a u con vintersecta a ∂A en algún punto.

No se sabe nada acerca de qué tan lejos se encuentran u y v de la frontera de A; sin embargo,se puede definir una sucesión que alterne entre el interior y la frontera de A y cuyos elementosvayan acercandose muy rápidamente, parece intuitivo que esta sucesión de aproximaciones sucesivasconverja a algún punto en ∂A.

Define a0 = u + v2 , el punto medio entre u y v. Hay tres casos a tratar:

1. si a0 ∈ ∂A, no hay más que hacer;

2. si a0 ∈ ÛA, define a1 = a0 + v2 , el punto medio entre a0 y v; puede suceder que a1 ∈ ÛA, que

a1 ∈ ext A o que a1 ∈ ∂A. En el último caso, el problema queda concluido por lo que se omite.En el primer caso define a2 = a1 + v

2 , y en el segundo caso se aguarda al siguiente párrafo.En general, lo que se hace es definir inductivamente an como el punto medio entre an−1 y vhasta que an ya no esté en el interior. Luego, se ha definido a1, . . . , an−1 ∈ ÛA y an /∈ ÛA, además‖ai − ai−1‖ = ‖u − v‖2i . De nuevo, si an ∈ ∂A no hay más que hacer, por lo que se supone quecada an ∈ ext A.

302


3. Si a0 ∈ ext A, procede como en el caso previo, definie an como el punto medio entre u y an−1hasta que an /∈ ext A. Aquí también es lo mismo que en el caso previo, si an ∈ ∂A no hay más quehacer, por lo que se supone que siempre an ∈ ÛA.

Los términos así formados satisfacen que los últimos dos an y an−1 cumplen con las condicionesiniciales del problema; es decir, uno está en el interior y el otro en el exterior. Sin embargo, aquí‖an − an−1‖ = ‖u − v‖2n , los puntos ahora están mucho más cerca.

Se repite el algoritmo anterior para los puntos an y an−1. De este modo, se obtiene una sucesión deinfinitos términos10 tales que ninguno de ellos está en la frontera. Sea (an)n∈N esta sucesión. Ahora severán algunas propiedades de ella.

( 8.4.12.1 ) Hay una infinidad de términos de la sucesión en ÛA y una infinidad en ext A.

Si no fuera así, supón que hay un número finito de términos en ÛA entonces existe el N más grandetal que aN ∈ ÛA. Por la definición de (an) se debe cumplir que aN+p es el punto medio entre aN yaN+p−1 para cualquier p ∈ N. Entonces, la sucesión (aN+p)p∈N converge a aN pues por las construcción

‖aN+p − aN‖ = ‖aN − aN+1‖2p (ve el caso dos original). Por lo tanto, cuando p → ∞ se concluye que

aN+p → aN . Como aN ∈ ÛA existe un p0 ∈ N tal que si p ≥ p0 entonces aN+p ∈ ÛA (ve el ejercicio (2.11)),lo cual es una contradicción al ser aN el último teŕmino en ÛA. Por lo tanto, existen una infinidad detérminos de la sucesión en ÛA. Del mimso modo se prueba lo análogo para ext A.

( 8.4.12.2 ) La sucesión (an)n∈N converge.

Pues si m > n, por ejemplo m = n + p entonces

‖an − am‖ =

∥∥∥∥∥∥an +p−1∑k=1

(an+k − an+k)− an+p

∥∥∥∥∥∥ =∥∥∥∥∥

p∑k=1

(an+k − an+k−1)∥∥∥∥∥ ≤

p∑k=1

12n+k = 1

2n+1 ,

con hacer n suficientemente grande se ve que (an) es una sucesión de Cauchy (ve (2.3.11)). En virtudde (2.3.14) existe un a ∈ V tal que an → a.

( 8.4.12.3 ) El punto a está en el segmento.

Pues el segmento es imagen de la función φ : [0, 1]→ V dada por φ(t) = tu+(1− t)v, y en virtud de(5.5.7) tal segmento es compacto. Como a es un punto límite de una sucesión definida en el segmento,a debe estar en el segmento (ve (3.5.1) y (3.2.17)).

( 8.4.12.4 ) El punto límite a está en ∂A.

Pues se vió que hay infinitos términos de la sucesión tanto en ÛA como en ext A. Por lo que haysubsucesiones de (an)n∈N, por ejemplo

(aσ (n)

)n∈N definida en ÛA y

(aψ(n)

)n∈N definida en ext A. Como

toda la sucesión converge, las subsucesiones también (ejercicio (2.14)) y así, se concluye que aψ(n) → ay aσ (n) → a. Por lo tanto, a ∈ ∂A (ve (3.1.13)), que es lo que se quería demostrar.

( 8.4.13 ) Sea f : C ⊂ V → C, en donde C es compacto, una función tal que ‖f (u)− f (v)‖ ≥ ‖u − u‖ paracualesquier u, v ∈ C. Entonces, ‖f (u)− f (v)‖ = ‖u − v‖ .

10Recuerda que por como ha sido definida la sucesión, si en algún momento algún términos an ∈ ∂A ya se habría acabado,por lo que se omite este caso.

303


En principio, podria parecer que el método de aproximaciones sucesivas no tiene nada que ver aquí.Sin embargo, se mostrará que no es así, que el método da una demostración elegante de este resultado.

Sean u, v ∈ C cualesquiera y define las aproximaciones sucesivas (un)n≥0 y (vn)n∈N por u0 = u yun = F (un−1) para n ∈ N, análogamente (vn)n≥0. Por definición de f, ambas sucesiones están en C. Seafirma que para todo ε > 0 existe un k ∈ N tal que

‖uk − u‖ ≤ ε y ‖vk − v‖ ≤ ε.

Se procederá por contradicción, la hipótesis de contradicción es que existe un número ε > 0 tal quepara todo k ∈ N o bien ‖uk − u‖ > ε o bien ‖vk − v‖ > ε. Considera los siguientes conjuntos A = k ∈N| ‖uk − u‖ > ε y B = k ∈ N| ‖vk − v‖ > ε, como A∪B = N debe cumplirse que card (A) = card (N)o card (B) = card (N) . Por simetría, se supondrá que card (A) = card (N) . Observa que

‖u1 − uk+1‖ = ‖f (u0)− f (uk)‖ ≥ ‖u0 − uk‖ = ‖u − uk‖ > ε

para cualquier k ∈ A. Por inducción,‖up − uk+p‖ > ε

para cualquier k ∈ A y cualquier p ∈ N. La subfamilia (uk)k∈A puede verse como una subsucesión de(un)n∈N, basta ordenar a A. Luego, en virtud del teorema de Bolzano-Weierstrass (3.5.3), la sucesión(uk)k∈A posee una subsucesión convergente. Sea

(uψ(k)

)k∈A una subsucesión convergente de (uk)k∈A.

Entonces,lımk→∞

∥∥uψ(k) − uψ(k+1)∥∥ = 0,

pero ψ(k + 1) = ψ(k) + (ψ(k + 1) − ψ(k)) = ψ(k) + p y p ∈ N, por lo que la desigualdad previa muestraque ∥∥uψ(k) − uψ(k+1)

∥∥ > ε.

Como k fue arbitrario, no puede suceder que∥∥uψ(k) − uψ(k+1)

∥∥ converja a cero, esto es una contradicción.De este modo, la afirmación hecha es cierta.

Finalmente, sean ε > 0 cualquiera y k ∈ N tal que

‖uk − u‖ ≤ε2 y ‖vk − v‖ ≤

ε2 ,

la desigualdad triangular muestra que

‖u − v‖ ≤ ‖u1 − v1‖ ≤ ‖uk − vk‖ ≤ ‖uk − u‖+ ‖u − v‖+ ‖vk − v‖ ≤ ‖u − v‖+ ε.

Por ser ε > 0 arbitrario, se concluye que

‖u − v‖ = ‖u1 − v1‖ = ‖F (u)− F (v)‖ ,

que era lo que se quería demostrar. Estos ejemplos y el teorema de Bolzano-Weierstrass muestran que las demostraciones que utilizan el

método de aproximaciones sucesivas suelen ser difíciles de escribir. En general es cierto pues hay quedemostrar propiedades sobre la sucesión definida. Con un buen arsenal de teoremas sobre sucesionesno deberían causar demasiadas complicaciones, conviene que el lector vuelva a revisar las propiedadesya vistas sobre sucesiones. Se retoma ahora el camino hacia el teorema de las función implícita.

( 8.4.14 ) Una función f : A ⊂ V →W se llama una contracción si es k-lipschitziana para algún k ∈ (0, 1). A kse le llama una constante de contracción.

304


( 8.4.15 ) Sean A ⊂ V un abierto y f : A→ V una función tal que

φ : A→ V dada por φ(v) = v − f (v)

es una contracción con constante de contracción k. Entonces, para cada v ∈ A existe un r > 0 tal que B (v; r) ⊂ Ay f restringida ahí es un homeomorfismo. De hecho, f (B (v; r)) = B (f (v); (1− k)r) y f−1 es

11− k -lipschitziana.

La existencia de tal r es consecuencia de la definición de abierto. Se verá ahora que f es biyectivasobre B (v; r) y que f (B (v; r)) = B (f (v); (1− k)r) . Sean u y u′ dos vectores en B (v; r) . Entonces

‖f (u)− f (u′)‖ = ‖u − u′ − φ(u) + φ(u′)‖≥ ‖u − u′‖ − ‖φ(u)− φ(u′)‖ ≥ (1− k) ‖u − u′‖ .

Por lo que si f (u) = f (u′) entonces ‖u − u′‖ = 0 y u = u′. Así que f es inyectiva. Ahora se demostraráque f (B (v; r)) = B (f (v); (1− k)r) . Se afirma que para cada w ∈ B (f (v); (1− k)r) existe un u y solo unoen B (v; r) tal que f (u) = w. La unicidad de tal u es consecuencia directa de la inyectividad de f, por loque se demostrará la existencia. Para este efecto se utilizará el método de aproximaciones sucesivas.Define a0 = v, ¿cómo se deberían definir los an? Observa que, en el caso en que exista tal u,

f (u) = w ⇔ φ(u) = u −w,

y si la sucesión (an)n∈N ya está definida y es tal que lımn→∞

an = u entonces

f (u) = w ⇔ lımn→∞

φ(an) = lımn→∞

an −w,

entonces, al quitar límite, resulta natural querer proponer

an = w + φ(an−1).

Ahora se demostrará que si an−1 ∈ B (v; r) entonces an ∈ B (v; r) . Primeramente, se demostraráque

‖an − v‖ ≤1− kn1− k ‖w − f (v)‖ .

Se procederá inductivamente. Por la definición de a0 y a1, se tiene que

‖a1 − v‖ = ‖w + φ(a0)− v‖ = ‖w − f (v)‖ = 1− k1− k ‖w − f (v)‖ .

Supón que an satisface esta desigualdad. Entonces

‖an+1 − v‖ ≤ ‖an+1 − an‖+ ‖an − v‖ = ‖φ(an)− φ(an−1)‖+ ‖an − v‖

≤ k ‖an − an−1‖+ 1− kn1− k ‖w − f (v)‖

≤ . . . ≤ kn ‖a1 − a0‖+ 1− kn1− k ‖w − f (v)‖

= kn − kn+1

1− k ‖w − f (v)‖+ 1− kn1− k ‖w − f (v)‖ = 1− kn+1

1− k ‖w − f (v)‖ .

Luego, la desigualdad es válida para cualquier n ∈ N. Finalmente, como ‖w − f (v)‖ ≤ (1 − k)r, por ladefinición de w, se ve que an ∈ B (v; r) , lo cual muestra lo afirmado.

305


Recuerda que por la definición de (an)n∈N y la continuidad de φ la existencia de u quedará demos-trada si se muestra que (an)n∈N es convergente. Se parte de la desigualdad

‖an+1 − an‖ ≤ kn ‖w − f (v)‖ ,

entonces si m = n + p, se ve que

‖am − an‖ ≤p∑i=1‖an+i − an+i−1‖ ≤

p∑i=1

kn+i−1 ‖w − f (v)‖

≤ kn ‖w − f (v)‖∞∑i=0

ki = kn ‖w − f (v)‖1− k ,

y en virtud de que k ∈ (0, 1), con escoger n suficientemente grande, se ve que ‖an − am‖ es pequeñosin importar m ≥ n; esto es, la sucesión (an)n∈N es de Cauchy (2.3.11). Luego, existe un u ∈ V tal quean → u. Todavía no ha sido concluida la afirmación pues falta verificar que u ∈ B (v; r) . Se demostróque

‖an − v‖ ≤1− kn1− k ‖w − f (v)‖

y con hacer n→∞, y utilizando la continuidad de la norma, se puede concluir que

‖u − v‖ ≤ 11− k ‖w − f (v)‖ < 1

1− k (1− k)r = r,

con lo cual u ∈ B (v; r) . Con esto ha sido concluída la afirmación.Se verá ahora que f restringida a B (v; r) es un homeomorfismo. Sea

g : B (f (v); (1− k)r)→ B (v; r)

la inversa de f. Ya se sabe que f es continua por ser k-lipschitziana (ve (5.43)). Resta ver que g tambiénes continua. La desigualdad

‖f (u)− f (u′)‖ ≥ (1− k) ‖u − u′‖

es equivalente a ∥∥∥f−1(w)− f−1(w ′)∥∥∥ ≤ 1

1− k ‖w −w′‖ ,

es decir, g−1 es 11− k -lipschitziana, en particular es continua, como se había dicho.

z 8.4.3 El teorema de la función inversa.Supón que f : A→W, con A ⊂ V un abierto y en donde V y W son isomorfos. Si para cierto v ∈ A la

transformación lineal Df (v) es invertible, ¿es razonable suponer que f es invertible? En principio podríaparecer que sí, sin embargo, hay contraejemplo a esto. Ahora, en el caso en donde f ∈ C1 (A,W ) , seve de la definición de derivada y de (8.4.11) que dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que si ‖h‖ < δ entonces

‖f (v + h)− f (v)−Df (v)h‖ ≤ ε ‖h‖ .

Luego, para δ muy pequeño se ve que h 7Ï f (v +h)− f (v) se comporta prácticamente igual que Df (v) .¿Es esto suficiente para que f sea invertible cerca de v?

306


( 8.4.16 ) Sean V y W dos espacios vectoriales isomorfos. Supón que A ⊂ V es un abierto y que f : A → Wes continua y fuertemente diferenciable en v ∈ A. Asimismo, se impone la hipótesis de que Df (v) sea invertible.Entonces existen dos abierto S ⊂ A y T ⊂W con v ∈ S y w = f (v) ∈ T tales que f : S → T es homeomorfismo;el «teorema del homeomorfismo».

Sea f1 = [Df (v)]−1 f : A→ V. Entonces f1 es estricamente diferenciable en v. En efecto, sea ε > 0.Existe δ > 0 tal que h 7Ï f (v + h)− f (v)−Df (v)h es ε-lipschitziana sobre B (0; δ) , así que

f1(v + h)− f1(v) = [Df (v)]−1 [f (v + h)− f (v)]

= [Df (v)]−1 [Df (v)h + o(‖h‖)]

= h + [Df (v)]−1 o(‖h‖),

en donde ‖o(‖h‖)‖ ≤ ε ‖h‖ . Por lo tanto,

‖f1(v + h)− f1(v)− h‖ ≤ ε∥∥∥[Df (v)]−1

∥∥∥ ‖h‖ ,es decir, h 7Ï f1(v + h) − f1(v) − h es

(ε∥∥∥[Df (v)]−1

∥∥∥)-lipschitziana sobre B (0; δ) . Por la arbitrariedad

de ε y el hecho que∥∥∥[Df (v)]−1

∥∥∥ es una constante independiente de h, se ve que f1 es fuertementediferenciable en f. Luego, se obtuvo que Df1 (v) = IV .

Se demostrará ahora que existe una bola B (v; r) tal que la función φ(u) = u−f1(u) es una contracciónahí. En efecto, sean u = v + h y u′ = v + h′, luego

‖φ(u)− φ(u′)‖ =∥∥[u − f1(u) + f1(v)

]−[u′ − f1(u′) + f1(v)

]∥∥=

∥∥[f1(v + h)− f1(v)− v − h]−[f1(v + h′)− f1(v)− v − h′

]∥∥=

∥∥[f1(v + h)− f1(v)− h]−[f1(v + h′)− f1(v)− h′

]∥∥≤

(ε∥∥∥[Df (v)]−1

∥∥∥) ‖h − h′‖ .Resta escoger ε > 0 de tal forma que ε

∥∥∥[Df (v)]−1∥∥∥ < 1. Se escoge cualquier ε > 0 que cumpla la

desigualdad anterior y sea k la constante de contracción.En virtud de (8.4.15), f1 es un homeomorfismo de B (v; δ) a B (f1(v); (1− k)δ) . Según (8.4.5) Df (v)

es un homeomorfismo, por lo que f = Df (v) f1 es un homeomorfismo de S = B (v; δ) a T =Df (v)

(B (f1(v); (1− k)δ)

), lo cual es consecuencia de (8.4.6).

A continuación dos corolarios de este teorema.

( 8.4.17 ) Sean V y W dos espacios vectoriales isomorfos y A ⊂ V un abierto. Supón que f : A → W es declase C1 y que v ∈ A. Una condición suficiente para que exista un abierto S ⊂ A tal que v ∈ S y que exista unabierto T de W que contenga a w = f (v) para los cuales F sea un C1-difeomorfismo de S a T es que Df (v) seainvertible; el «teorema de la función inversa».

Este resultado es consecuencia de los teoremas previos y unas sencillas observaciones.

1. Como Df (v) está en el conjunto de las transformaciones lineales invertibles, hay un abierto C ahítal que Df (v) ∈ C (8.4.9.4); por la continuidad de Df,

A2 = Df−1(C)

es un abierto (5.5.4) de V.

2. Existe A1 sobre el cual f es un homeomorfismos según (8.4.16). Define A = A1 ∩ A2 y B = f (A).

307


3. Como A ⊂ A1 es abierto, se conluye que f : A→ B es homeomorfismo (8.4.8).

4. Finalmente, f es un homeomorfismo sobre A y para cada u ∈ A se cumple que Df (u) es invertible.Luego, según (8.4.9) se concluye que f es un C1-difeomorfismo.

Esto concluye el teorema. Naturalmente uno se pregunta, ¿cuál es la regla de correspondencia de la función inversa? En

general no se puede obtener la regla de correspondencia de la función inversa. Por ejemplo, la fuciónx 7Ï xx = ex logx satiface que su derivada sobre (0,∞) es x 7Ï xx + xx logx; esta derivada es continuaen todo R y, además, no se anula para x > 1. De hecho, para x = 1, su valor es 1. El teorema de lafunción inversa muestra que la ecuación y = xx puede ser teoricamente “despejada” en un intervalo(1− ε, 1 + ε). En la práctica, es imposible encontrar explícitamente la inversa.

Las hipótesis del teorema de la función inversa no se pueden eliminar o debilitar. Se podría pensarque si solamente se pide que la derivada sea invertible en el punto v entonces f ya habría de serinvertible pues se comporta como la derivada. Sin embargo, la continuidad de la derivada demostróque si es invertible en v entonces es invertible en todo un radio alrededor de v. La invertibilidad nopermite concluir esto. De hecho, hay contraejemplo y en los ejercicios se da uno.

El otro corolario que se dará del teorema del homeomorfismo.

( 8.4.18 ) Sean V y W dos espacios vectoriales isomorfos y A,B sendos subconjuntos abiertos de V y W. Sesupone que f ∈ C1 (A,B) . Una condición suficiente para que f sea abierta (ve (3.4.1)) es que para cualquierv ∈ A la transformación lineal Df (v) sea invertible; el «teorema de la función abierta».

En virtud de (8.4.11) las hipótesis del teorema del homeomorfismo (8.4.16) se satisfacen para cadapunto del dominio de la función. Por lo que si S ⊂ A es un abierto y v ∈ S, existe un abierto Tv ⊂ S endonde f es homeomorfismo. En particular, f (Tv) es un abierto (8.4.7) de W. Luego, f (S) =

⋃v∈S

f (Tv) es

abierto. Como corolario de los teoremas de la función inversa y de la función abierta se obtiene una carac-

terización de D (1) (U,V ) .

( 8.4.19 ) Sean V y W dos espacios vectoriales isomorfos, A ⊂ V un abierto y f : A → W. Una condiciónnecesaria y suficiente para que f sea un C1-difeomorfismo sobre A es que satisfaga las siguientes tres propiedades:

1. f sea de clase C1 sobre V ;

2. f sea inyectiva;

3. Df (v) sea invertible para cada v ∈ U.

Las condiciones son evidentemente necesarias por definición de C1-difeomorfismo. Se verá que lascondiciones son suficientes. Como f es inyectiva existe f−1 : f (A)→ A. Observa que f ∈ Hom (A, f (A)) ;en efecto, f es biyectiva ahí, y como f es continua f−1 es una aplicación abierta (5.5.4), luego, basta verque f es abierta (8.4.7), lo cual es consecuencia del teorema de la función abierta (8.4.18). El resto esconsecuencia de (8.4.9).

z 8.4.4 El teorema de la función implícita.El resultado que se presenta en esta sección pertenece a la rama de las matemáticas conocida como

geometría diferencial. Existen muchas versiones de este teorema y hay varios caminos para derivarsu demostración. El que se utilizará aquí será aplicar el teorema de la función inversa; sin embargo,es posible demostrar el teorema de la función implícita de manera independiente del teorema de la

308


función inversa y derivar el teorema de la función inversa como corolario del teorema de la funciónimplícita. Esto es, los teoremas son equivalentes.

Antes de dar la demostración se considerá un ejemplo. El círculo unitario en el plano euclidianopuede describirse mediante la ecuación x2 + y2 = 1; es decir, si S1 es el círculo entonces

S1 = (x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1.

Ya se ha mencionado antes, S1 puede ser descrita de la forma S1 = f−1(λ). En efecto, basta ponerf (x, y) = x2 + y2 y λ = 1. Es fácil ver que para S1 puede despejarse explícitamente una de las variablesen términos de la otra siempre que se imponga alguna restricción del estilo y > 0, etcétera. Es fácil darejemplos11 en donde una variable no puede despejarse en términos de la otra, por ejemplo, se habíamencionado antes, y = xx .

Conviene entender geométricamente el caso f (x, y) = 0; entonces, si en el espacio euclidiano sepone z = f (x, y), se quiere estudiar la intersección12 de esta ecuación con la ecuación z = 0. Observaque si Df (x, y) = (0, 0) entonces no se puede afirmar nada. Considera un paraboloide z = x2 + y2,una silla de montar z = 2xy y la suma de ambas z = x2 + 2xy + y2 = (x + y)2. Todas estas funcionestienen por derivada en el origen un plano horizontal y la primera de ellas intersecta a la ecuación z = 0únicamente en el origen, la segunda la intersecta en x = 0 o y = 0 y la tercera en x = −y. Por lo quesi se quiere estudiar el despeje de y en la ecuación f (x, y) = 0 se debe pedir Df (x, y) 6= 0.

( 8.4.20 ) Sean V1, V2 y W tres espacios vectoriales tales que V2 y W son isomorfos. Sea A ⊂ V1 × V2 unabierto y f : A → W. Supón que para (v1, v2) ∈ A se cumple que f (v1, v2) = 0. Define la función f1 medianteu1 7Ï f (u1, v2), la cual existe sobre la sección (ve (6.3.2)) A1(v1, v2). Analogamente define f2 para todo u2 cercade v2; esto es, f2(u2) = f (v1, u2), cuyo dominio es A2(v1, v2). Una condición suficiente para que existan sendosabiertos S y T de A y A1(v1, v2), con (v1, v2) ∈ S y v1 ∈ T, y que exista una función g : T → W de clase C1

para los cuales la relación(u1, u2) ∈ S y f (u1, u2) = 0

equivalga a la relaciónu1 ∈ T y g(u1) = u2

es que f sea de clase C1 y Df2 (v2) sea invertible; el «teorema de la función implícita».

Primeramente, en virtud de (6.3.3), se observa que para cada u1 ∈ A(v1, v2) se cumple que Df1 (u1) =D1f (u1, v2) y, análogamente, Df2 (u2) = D2f2 (u1, u2) .

Ahora, la idea de la prueba agrandar la función f a una función A → V1 ×W de tal forma que seaposible aplicar el teorema de la función inversa. Para este efecto es necesario que la extensión F : A→V1×W sea de clase C1 y que DF (v1, v2) sea invertible. Lo más natural es poner F (v1, v2) = (v1, f (v1, v2));en otras palabras, se define F = (pr1, f ) : A → V1 ×W. La motivación de definir F de este modo surgede (5.7.4) pues entonces F es de clase C1 y, de hecho,

DF (u1, u2) = (pr1,Df (u1, u2)).

De donde para (h1, h2) ∈ V1 × V2,

DF (u1, u2) (h1, h2) = (h1,Df (u1, u2) (h1, h2)).

En virtud de (6.3.4), se cumple que

DF (u1, u2) (h1, h2) = (h1,D1f (u1, u2)h1 + D2f (u1, u2)h2).11En realidad es todo un reto demostrar que tales ejemplos no pueden ser despejados como función de funciones elementales;

es decir, como suma, composición, producto de las funciones identidad, trigonométricas, exponenciales, etcétera.12Aquí se está haciendo intencionalemnte un abuso del lenguaje. Entienda que cuando se habla de una ecuación se está haciendo

refeerencia al conjunto de puntos que satisfacen dicha ecuación.

309


Sustituyendo D1f (u1, u2) por Df1 (u1) y lo mismo para D2f (u1, u2) con Df2 (u2) se encuentra que

DF (u1, u2) (h1, h2) = (h1,Df1 (u1)h1 + Df2 (u2)h2).

Se quiere que esta transformación lineal sea invertible cuando (u1, u2) = (v1, v2); es decir, en la ecuación

DF (v1, v2) (h1, h2) = (x, y)

se quiere desepejar (h1, h2) en términos de (x, y). Es inmediato de la primera ecuación que h1 = x.Sustituyendo en la segunda ecuación se llega a que Df2 (v2)h2 = y − Df1 (u1)x. De la suposición deinvertibilidad de Df2 (v2) se obtiene que

h2 = [Df2 (v2)]−1 (y −Df1 (u1)x) .

Por lo tanto, DF (v1, v2) es invertible y se está en condiciones de aplicar el teorema de la función inversa(8.4.17) a la función F en el punto (v1, v2).

El teorema de la función inversa muestra que existen dos abiertos S y P tales que (v1, v2) ∈ S ⊂ A yP ⊂ V1 ×W tales que F (v1, v2) = (v1, 0) ∈ P y F es un C1-difeomorfismo de S en P.

Sea G : P → S la inversa de F. Entonces G = (pr1, g) para alguna g. En efecto, pues debe cumplirseque

(F G)(u1, w) = (u1, w)

y que(G F )(u1, u2) = (u1, u2).

De aquí se deriva la expresión para G. Por lo tanto, de la equivalencia

(u1, u2) ∈ S y F (u1, u2) = (u1, w) ⇔ (u1, u2) ∈ A y G(u1, w) = (u1, u2)

se deriva la equivalencia entre(u1, u2) ∈ A y f (u1, u2) = w

y(u1, w) ∈ P y g(u1, w) = u2.

Con hacer w = 0 se obtiene que si T = pr1(P ∩

(V1 × 0

)), el cual es un abierto, entonces las

condiciones anterior son(u1, u2) ∈ S y f (u1, u2) = 0

yu1 ∈ T y g(u1) = g(u1, 0) = u2,

son equivalentes13. Así se ve que g es de clase C1 por ser composición de funciones C1. Esto concluyeel teorema.

Al igual que con el teorema de la función inversa este teorema no brinda información sobre lainversa.

13Se utilizó la misma letra g para denotar a dos funciones.

310


z 8.4.5 Algunos ejemplos de invertibilidad.Se verán ahora algunos ejemplos del tipo clásico.

( 8.4.21 ) Sea A ⊂ V un abierto y conexo. Supón que L es lineal de V a W y que g : A → W es una funcióntal que Dg = 0. Si L es invertible entonces L + g es un C1-difeomorfismo.

En virtud de (8.4.19) basta ver que L+ g es de clase C1, es inyectiva y D(L+ g) (u) = L es invertiblepara cada u ∈ A. Ahora bien, la función g es constante, ve el ejercicio (5.58). Luego, L+ g es inyectiva,de clase C1 y cuya derivada es invertible (por hipótesis).

( 8.4.22 ) Es posible «resolver la ecuación» f (x, y) = 0 para y como función de x en una vecindad del punto(p, q) para los siguientes casos:

1. f (x, y) =√

log(x + y), (p, q) = (2,−1);

2. f (x, y) = x2 − y2, (p, q) = (1, 1).

Se puede apelar al teorema de la función implícita. Sin embargo, conviene antes examinar más afondo cada caso.

1. Observa que la ecuación√

log(x + y) = 0 puede resolverse explícitamente; en efecto, elevando alcuadrado se obtiene que log(x+y) = 0. Tomando funcion exponencial se concluye que x+y = 1,de donde y = 1 − x. Ahora bien, ¿cuál es el dominio de x? Observa que x + y > 0 por lo quey > −x, luego, si y = 1− x, entonce y > −x y el dominio es todo R.

2. Aquí la ecuación x2 − y2 = 0 no puede resolverse explícitamente sin un mínimo de cuidado. Puesdespejando y tomando raíz se debe cuidar el signo de la raíz. Observando que x = y = 1 entoncesla solución es x = y, de nuevo, con dominio R.

Esto concluye el ejemplo.

( 8.4.23 ) Es posible despejar a y como función de x en la siguiente ecuación: x5 + y5 +xy = 3 cerca del punto(1, 1).

Un poco de álgebra convencerá al lector que no es posible despejar explícitamente a y como funciónde x. Luego, se apela al teorema de la función implícita. Define la función F (x, y) = x5 + y5 + xy − 3entonces F (1, 1) = 0, y la función f (y) = F (1, x) = y5 + y − 2 posee derivada f ′(1) = 3 6= 0, que esinvertible. Luego, según el teorema de la función implicita existe un abierto V que contiene a (1, 1), unabierto (1 − δ, 1 + δ) y una función g : (1 − δ, 1 + δ) → R de clase C1 tal que la relación F (x, y) = 0para (x, y) ∈ V equivale a la relación F (x, g(x)) = 0 para x ∈ (1 − δ, 1 + δ), es decir y = g(x) parax ∈ (1− δ, 1 + δ), que es lo que se quería demostrar.

( 8.4.24 ) Es posible despejar a y como función de x en la siguiente ecuación xy + logxy = 1 cerca del punto(1, 1). En caso de ser posible, encuentra y ′(x).

Sea F (x, y) = xy + logxy − 1 entonces F (1, 1) = 0 y la función y 7Ï F (1, y) = y + logy − 1 poseederivada igual a 1 cuando y = 1, por lo que su derivada es invertible. Evidentemente F es de clase C1,el teorema de la función implícita muestra entonces que y se puede despejar como función de x en unintervalo de la forma (1− δ, 1 + δ). En virtud del ejercicio (8.31) y es función de clase C1 de x. Luego,la regla de la cadena muestra que si f (x) = F (x, y(x)) entonces

f ′(x) = DF (x, y) · (1, y ′(x)) = y + 1x + y ′(x)

Åx + 1

y

ã.

311


Por otro lado, F (x, y(x)) = 0, es decir, f ′(x) = 0, de donde,

y ′(x) = −y(x) + 1

xx + 1

y

= −yx ,

que es lo que se pedía calcular.

( 8.4.25 ) Demostrar que x + y + z + xyz = 0 define a z de manera implícita como función de x y y en unavecindad del punto (0, 1,−1). Encontrar un desarrollo limitado de z de cuarto orden centrado en (0, 1).

Define F (x, y, z) = x + y + z + xyz. Entonces F es de clase C∞ y la función z 7Ï F (0, 1, z) = 1 + zposee derivada 1 la cual es invertible para cualquier z ∈ R. En virtud del teorema de la función implícitaz se puede expresar como función de x y y. Entonces,

F (x, y, z(x, y)) = 0;

aquí, aunque se puede tomar la derivada usando la regla de la cadena, resulta más cómodo derivarparcialmente de manera directa. Entonces se calculan las derivadas parciales

0 = ∂F (x, y, z(x, y))∂x = ∂(x + y + z + xyz)

∂x = 1 + ∂z∂x + yz + xy ∂z∂x ;

derivando nuevamente respecto de x,

0 = ∂∂x

Å1 + ∂z

∂x + yz + xy ∂z∂x

ã= ∂2z∂x2 + y ∂z∂x + y ∂z∂x + xy ∂

2z∂x2 = ∂2z

∂x2 + 2y ∂z∂x + xy ∂2z∂x2 ;

las parciales tercera y cuarta respecto de x,

0 = ∂3z∂x3 + 2y ∂z

2

∂x2 + y ∂2z∂x2 + xy ∂

3z∂x3 = ∂3z

∂x3 + 3y ∂z2

∂x2 + xy ∂3z∂x3

y, análogamente,

0 = ∂4z∂x4 + 4y ∂z

3

∂x3 + xy ∂4z∂x4 .

Las parciales respecto de y se obtienen al cambiar los símbolos x y y por la simetría que tiene F enlas variables x y y. Finalmente, se calculan las parciales mixtas. Recuerda que por ser F de clase C∞ ysimétrica, bastará calcular solo algunas de las parciales mixtas. Basta tener las siguientes

0 = ∂2z∂x∂y + z + y ∂z∂y + x ∂z∂x + xy ∂2z

∂x∂y ,

0 = ∂3z∂x2∂y (1 + xy) + 2 ∂z∂x + x ∂

2z∂x2 + 2x ∂2z

∂x∂y

0 = ∂4z∂x2∂y2 (1 + xy) + 2y ∂3z

∂x∂y2 + 2x ∂3z∂x2∂y + 4 ∂2z

∂x∂y .

y

0 = ∂4z∂x3∂y (1 + xy) + (2x + y) ∂3z

∂x2∂y + x ∂3z∂x3 + 3 ∂

2z∂x2 + 2 ∂2z

∂x∂y .

312


Lo que sigue es poner x = 0, y = 1 y z = −1, luego hacer los despejes. Se encuentra que ∂z∂x = 0

y ∂z∂y = −1. Se sustituyen estos valores en las ecuaciones subsecuentes. Con esto, se encuentra que

∂2z∂x2 = 0, ∂

2z∂y2 = 0 y ∂2z

∂x∂y = 2. Repitiendo con las parciales de tercer orden, ∂3z∂x3 = 0, ∂3z

∂x2∂y = 0,

∂3z∂x∂y2 = −2 y ∂3z

∂y3 = 0. Finalmente las de cuarto orden, ∂4z∂x4 = 0, ∂4z

∂x3∂y = −4, ∂4z∂x2∂y2 = −4, ∂4z

∂x∂y3 = 0

y ∂4z∂y4 = 0.

En virtud del ejercicio (7.34) y del ejemplo (7.6.12) se obtiene que el desarrollo limitado está dadopor

T4z (0, 1) (h, k) = z(0, 1) +4∑i=1

1i!

Åh ∂∂x + k ∂

∂y

ãiz(0, 1).

Conviene calcular cada sumando por separado. Entonces, en el caso i = 1 se obtiene el sumando −k;en el caso i = 2,

12!

Åh ∂∂x + k ∂

∂y

ã2z(0, 1) = 1

2

Çh2 ∂2z∂x2 + 2hk ∂2z

∂x∂y + k2 ∂2z∂y2

å(x,y)=(0,1)

= 2hk;

si k = 3 entonces13!

Åh ∂∂x + k ∂

∂y

ã3z(0, 1) = 1

2(−2hk2) = −hk2;

si k = 4 entonces

14!

Åh ∂∂x + k ∂

∂y

ã4z(0, 1) = 1

24(−16h3k − 24h2k2) = −2h3k3 − h2k2.

Por lo tanto, el desarrollo limitado de z de orden cuarto centrado en el punto (0, 1) está dada por

T4z (0, 1) (h, k) = −1− k + 2hk − hk2 − 2h3k3 − h2k2,

lo cual concluye el ejercicio.

( 8.4.26 ) ¿Es posible despejar a u y v de las ecuaciones 3xu+2yx−zxy−4u+6v2 = 2 y x2 +y2 +uvz = 1en una vecindad del punto x = y = 0, z = 1, v = 1 y u = 1?

Define la función

F (x, y, z, u, v) = (3xu + 2yx − xyz − 4u + 6v2 − 2, x2 + y2 + uvz).

Se definirá la función f2 del teorema de la función implícita (8.4.20). En este caso se define la función

F2(u, v) = F (0, 0, 1, u, v) = (−4u + 6v2 − 2, uv),

la cual posee derivadaDF2 (u, v) =

ï−4 12vv u

ò,

el determinante de esta transformación lineal cuando u = v = 1 es −16 que al no ser cero muestra queDF2 (1, 1) es invertible (ve el ejercicio (1.41)). El teorema de la función implícita muestra entonces quees posible despejar a u y v en términos de x, y y z.

313


Aunque se puede utilizar la regla de la cadena para encontrar las derivadas es más convenientederivar una fórmula general utilizando el método empleado en la demostración del teorema de lafunción implícita.

( 8.4.27 ) Con las hipótesis y notaciones del teorema de la función implícita se cumple que

Dg (v1) = −[Df2 (v2)

]−1[Df1 (v1)].

Recuerda que si se pone φ(u1) = f (u1, g(u1)) para u1 ∈ T entonces φ es la función constanteidénticamente cero. Luego, su derivada es nula. Por otro lado, de la regla de la cadena, para cualquierh ∈ V1,

0 = Dφ (v1)h = Df (v1, g(v1)) D(IV1 , g) (v1)h= Df (v1, v2)

(IV1 ,Dg (v1)

)h = Df (v1, v2)

(h,Dg (v1)h

).

Se usa ahora la propiedad (6.3.4), lo cual nos permite concluir que

0 = Df1 (v1)h + Df2 (v2) Dg (v1)h.

Al ser esto válido para cualquier h ∈ V1, se obtiene la igualdad entre transformaciones lineales. Conesto, se llega a

0 = Df1 (v1) + Df2 (v2) Dg (v1) ,

con despejar Dg (v1) y usando que Df2 (v2) es invertible se concluye el resultado deseado.

( 8.4.28 ) Con las hipótesis y notaciones del teorema de la función implícita, T puede ser tomado de tal formaque Df2 (g(u1)) sea invertible para todo u1 ∈ T.

Pues se demostró que f2 es continuamente diferenciable (ve la prueba de (6.3.4)), por lo que lafunción u2 7Ï Df2 (u2) es continua del abierto A1(v1, v2) a Lin (V2,W ) . Al ser que Df2 (v2) ∈ L , el espaciode transformaciones lineales invertibles, se observa que existe un abierto B tal que Df2 (v2) ∈ B ⊂ Lpues L es abierto (8.4.9.4). La imagen inversa de B por la función Df2 es un conjunto abierto (5.5.4)que tiene a v2 como elemento. Basta considerar la intersección T ∩Df−1

2 (B) como el nuevo T.

( 8.4.29 ) Con las hipótesis y notaciones del teorema de la función implícita, se puede suponer que para todou1 ∈ T se cumple que

Dg (u1) = −[Df2 (g(u1))

]−1[Df1 (u1)].

Observa que en la demostración de (6.3.4) el punto v2 solo se utilizó para concluir que Df2 (v2) fueseinvertible. Por lo tanto, esta misma expresión vale al sustituir v1 por u1 y v2 por g(u1) si Df2 (g(u1)) esinvertible. Para conluir bastará ver entonces que Df2 (g(u1)) es invertible para todo u1 suficientementecerca de v1. Observa que, según (6.3.4), para cualesquier u2 ∈ A2(v1, v2) y h2 ∈ V2,

Df2 (v2)h2 −Df2 (u2)h2 = Df (v1, v2) (0, h2)−Df (v1, u2) (0, h2),

de donde, en virtud del ejercicio (5.71),

‖Df2 (v2)−Df2 (u2)‖ = max‖h2‖=1

‖Df2 (v2)h2 −Df2 (u2)h2‖

= max‖h2‖=1

‖Df (v1, v2) (0, h2)−Df (v1, u2) (0, h2)‖

≤ max‖h2‖=1

‖Df (v1, v2)−Df (v1, u2)‖ ‖(0, h2)‖ ve (5.11.4)

≤ ‖Df (v1, v2)−Df (v1, u2)‖ ve (6.3.1)

314


y esta última tiende a cero cuando u2 → v2 pues f es de clase C1. Luego, como Df2 (v2) ∈ L , el conjuntode las funciones lineales invertibles de V2 a W, y este es un conjunto abierto (8.4.9.4), existe un abiertoB ⊂ L tal que Df2 (v2) ∈ B. La continuidad de Df2 muestra que T = [Df2]−1 (B) es un conjunto abiertode V2. Luego, bastará considerar que T es el conjunto T ∩ T.

( 8.4.30 ) En el ejemplo (8.4.26) encuentra la primera derivada de (u, v) cerca de (0, 0, 1) y evalúe en el punto(0, 0, 1).

Ya se sabe que (u, v) es una función de clase C1 cerca del punto (0, 0, 1). Se apela ahora a (8.4.29)para encontrar la primera derivada. Se tiene que

F (x, y, z, u, v) = (3xu + 2yx − xyz − 4u + 6v2 − 2, x2 + y2 + uvz)

entoncesDF2 (u, v) =

ï3x − 4 12vvz uz

òy

DF1 (x, y, z) =ï

3x + 2y − yz 2x − xz −xy2x 2y uv

ò.

En virtud del ejercicio (1.42) se tiene que

[DF2 (u, v)

]−1 = 1(3x − 4)uz − 12v2z

ïuv −12v−vz 3x − 4

ò.

De donde,

D(u, v) (x, y, z) = 1(3x − 4)uz − 12v2z

ïuv −12v−vz 3x − 4

ò ï3x + 2y − yz 2x − xz −xy

2x 2y uv

ò.

Finalmente, se evalúa, es decir, se pone x = y = 0 y z = u = v = 1. Se obtiene que

D(u, v) (0, 0, 1) = − 116

ï1 −12−1 −4

ò ï0 0 00 0 1

ò=ï0 0 3

40 0 1

4

ò,

que es la derivada buscada.

Observación: en el ejemplo previo se pudo haber empezado a derivar parcialmente la expresión

F (x, y, z, u, v) = (0, 0).

En este caso se hubieran obtenido seis ecuaciones, a saber

∂F∂x = (0, 0), ∂F∂y = (0, 0) y ∂F

∂z = (0, 0),

las cuales tendrían seis incógnitas, a saber

∂u∂x ,

∂u∂y ,

∂u∂z ,

∂v∂x ,

∂v∂y y ∂v

∂z .

El lector decidirá en cada caso si es más fácil resolver el sistema de ecuaciones o invertir las matricesapelando a (8.4.29).

315


z 8.4.6 El método de los multiplicadores de Lagrange.Se regresa ahora al problema de optimización restringida. Recuerda que este había sido planteado

comoarg max f (u1, u2) s.a. F (u1, u2) = 0.

Se había observado que si v podía despejarse en términos de u entonces el problema de optimizaciónrestrignida se reducía al de optimización libre.

( 8.4.31 ) Sean V1, V2 y W tres espacios vectoriales tales que V2 y W son isomorfos. Sean A ⊂ V1 × V2 unabierto, F : A → W y f : A → R dos funciones. Además, se supondrá que f y F son diferenciables, con F declase C1. Sea (v1, v2) ∈ F−1(0) un punto mínimo relativo local del problema

arg max f (u1, u2) s.a. F (u1, u2) = 0.

Sea F2 como en (8.4.20). Si DF2 (v2) es invertible, existe un λ ∈ Lin (W,R) tal que

Df (v1, v2) = λDF (v1, v2) ;

el «método de los multiplicadores de Lagrange». A la ecuación Df (v1, v2) = λDF (v1, v2) se le conoce como las«condiciones lagrangianas necesarias de primer orden».

En virtud del teorema de la función implícita (8.4.20), existen dos abiertos S ⊂ A con (v1, v2) ∈ S yT ⊂ A1(v1, v2) con v1 ∈ T y una función g : T →W, de clase C1, tales que

(u1, u2) ∈ S y F (u1, u2) = 0

equivale au1 ∈ T y u2 = g(u1).

Se puede suponer que (u1, u2) ∈ S Ñ f (u1, u2) ≥ f (v1, v2). De aquí se deriva que si u1 ∈ T entonces

f (v1, v2) = f (v1, v2) ≤ f (u1, g(u1)),

en particular, por ser f y g diferenciables, se sigue de las condiciones necesarias de primer orden(8.1.10) que la derivada de la función φ : T → R dada por φ(u1) = f (u1, g(u1)) en el vector v1 debe sernula. Por la regla de la cadena

0 = Dφ (v1) = Df (v1, g(v1)) D(IV1 , g) (v1) = Df (v1, v2)(IV1 ,Dg (v1)

).

En virtud de (6.3.4), se llega a que para cualquier h ∈ V1,

0 = Dφ (v1)h = D1f (v1, v2)h + D2f (v1, v2) Dg (v1)h = Df1 (v1)h + Df2 (v2) Dg (v1)h.

En (8.4.27) se encontró el valor de Dg (v1) en términos de las derivadas parciales de F. Sustituyendo seve que

0 = Df1 (v1)−Df2 (v2) [DF2 (v2)]−1 DF1 (v1) .Define λ = Df2 (v2) [DF2 (v2)]−1 . Es claro que λ ∈ Lin (W,R) puesto que [DF2 (v2)]−1 ∈ Lin (W,V2) y queDf2 (v2) ∈ Lin (V2,R) . Luego, despejando Df1 (v1) se encuentra que

Df1 (v1) = λDF1 (v1) .

Asimismo, nota que Df2 (v2) = λDF2 (v2) . Finalmente, para cualquier (h, k) ∈ V1 × V2,

Df (v1, v2) (h, k) = D1f (v1, v2)h + D2f (v1, v2)k = Df1 (v1)h + Df2 (v2)k

= λDF1 (v1)h + λDF2 (v2)k = λ(

DF1 (v1)h + DF2 (v2)k)

= λ(DF (v1, v2) (h, k)

).

316


Esto permite concluir la igualdadDf (v1, v2) = λDF (v1, v2) ,


Observación: el teorema se puede especializar al caso V1 = Rn y V2 = W = Rm. En este caso seobtiene que Lin (W,R) se identifica con Mat1×m (R) . Escribe v1 = X y v2 = Y, por lo que las condicioneslagrangianas necesarias de primer orden toman la forma más común

Df (X,Y ) = λDF (X,Y ) =(λD1F (X,Y ) , . . . , λDn+mF (X,Y )

);

esto se suele escribir como un sistema de ecuacionesD1f (X,Y ) = λ1D1F1 (X,Y ) + . . .+ λmDmFm (X,Y )

......

...D1f (X,Y ) = λ1D1F1 (X,Y ) + . . .+ λmDmFm (X,Y )

Cuando m = 1 se reduce al «método clásico de Lagrange»Dif (x, y) = λDiF (x, y) , i = 1, . . . , n +m.

En los ejemplos se verá la conveniencia de la escritura de (8.4.20), por lo que estos dos resultadosprevios no se utilizarán.

Interpretación: considera f : R2 → R y S = F−1(0) con F : R2 → R. Observa que S será una curvay cruzará muchas curvas de nivel, Nc = (x, y) ∈ R2 : f (x, y) = c, de f. Entonces, conforme se muevaun punto sobre la curva S este incrementará o decrementará el valor de c, esto será posible siempreque las tangentes de S y Nc no sean paralelas y solo cuando estas tangentes coinciden puede darseun valor extremo. Considera el caso en que S = (t, t3) ∈ R2|t ∈ R y los conjuntos de nivel Nc sonlíneas de la forma (x, y) ∈ R2|y = c. Entonces, cuando t = 0, la tangente a S tiene por dirección elvector (1, 0) misma que la curva de nivel N0. Sin embargo, con hacer t crecer un poco más se empizana cruzar curvas Nc para c > 0 y no hay ningún óptimo.

El caso general puede plantearse de igual manera, pero en este los conjuntos de nivel son super-ficies con cierta dimensión que intersectarán a S de cierto modo. Solo en el caso en que los planostangentes coinciden puede darse un óptimo. Se puede pensar en el mismo ejemplo de antes, aquíS = (x, y, x3)|(x, y) ∈ R2 y Nc = (x, y, z)|z = c. Entonces, el plano tangente a S en el punto (0, 0, 0)coincide con el de N0, pero no existe óptimo.

Ahora un ejemplo clásico de aplicación.( 8.4.32 ) Sea f (x, y) = x2 − y2 y S1 el círculo unitario. Resuelve el problema

arg max f (x, y) s.a. (x, y) ∈ S1.Observa que S = F−1(0), en donde F = ‖‖2 . Luego, si (p, q) es un punto crítico entonces existe

λ ∈ R tal que Df (p, q) = 2λ(p, q). Pero Df (p, q) = 2(p,−q). Entonces se resuelven las ecuaciones p = λpq = −λq

p2 + q2 = 1.De la tercera ecuación (p, q) 6= (0, 0). Si p = 0, se deriva que q = ±1 y λ = ∓1. Los puntos críticos sonentonces (0,±1). Si p 6= 0 entonces λ = 1 y q = 0, por lo que p = ±1. Los puntos críticos son cuatro,los valores de f en ellos son

f (0,±1) = −1 y f (±1, 0) = 1.Como S1 es compacto, f alcanza sus extremos. Por lo tanto, (0,±1) son minimizadores y (±1, 0) sonmaximizadores.

317


Observación: el método de los multiplicadores de Lagrange es una condición necesaria para que unpunto (v1, v2) en la restricción implicita F (u1, u2) = 0 sea óptimo. Esta no es una condición suficiente,tal como lo se mostrará a continuación.

( 8.4.33 ) Considera la función f (x, y) = x2+y2 y F (x, y) = 3x+2y+20, ¿existe algún punto (p, q) ∈ F−1(0)tal que (p, q) resuelve el siguiente problema de maximización?

arg max f (x, y) s.a. F (x, y) = 0.

Observa que DF (p, q) = (3, 2), por lo que para cada Fp es invertible para cualesquier p y q. Deacuerdo al método de multiplicadores de Lagrange, si (p, q) es un óptimo, existe un λ ∈ R tal que

Df (p, q) = λDF (p, q) .

Es decir,2(x, y) = (3, 2),

en consecuencia, el único candidato a resolver el problema es x = 32 y y = 1. Pero f ( 3

2 , 1) = 134 . Sea

ε > 0 entonces

fÅ3

2 −ε3 , 1 + ε

2

ã= 13

4 + 13ε2

36 − ε > fÅ3

2 , 1ã.

Esto muestra que el problema no tiene solución, aún cuando hay un punto candidato. Este ejemplo mostró que aún cuando haya puntos candidatos, los cuales serán llamados «puntos crí-

ticos», no es obligatorio que tales puntos críticos resuelvan el problema de maximización. Sin embargo,en el ejemplo previo el punto es un mínimo, por lo que sí es un óptimo. A continuación un ejemplo endonde existe un punto crítico que no es óptimo.

( 8.4.34 ) Sea S la superficie definida por los (x, y, x3) ∈ R3 tales que (x, y) ∈ R2. Considera la funciónf (x, y, z) = z. Demuestra que ningún punto crítico de f es óptimo en la reestricción f

∣∣∣S.

Aquí S queda determinada por la función F (x, y, z) = z − x3; es decir

S = F−1(0),

lo cual es inmediato de verificar. Ahora, de acuerdo al método de los multiplicadores de Lagrange, si(p, q, r) es un punto óptimo, entoces existe un λ ∈ R tal que

(0, 0, 1) = Df (p, q, r) = λDF (p, q, r) = λ(−3p2, 0, 1).

Inmediatamente se deriva que λ = 1 y que p = 0; es decir, cualquier punto de la forma (0, y, 0) es puntocrítico. Sea y ∈ R cualquiera, se verá que (0, y, 0) no es maximizador ni minimizador de f. Sea ε > 0, lospunto (ε, y, ε3) y (−ε, y,−ε3) están en S y distan de (0, y, 0) la cantidad ε

√1 + ε4. La función f en estos

puntos alcanza los valores ε3 > 0 y −ε3 < 0. Por lo tanto, (0, y, 0) ni es maximizador ni es minimizador,tal como se afirmó.

( 8.4.35 ) Sean a1, . . . , an ≥ 0 entonces

n√a1 · · ·an ≤

a1 + . . .+ ann ;

la «desigualdad entre la media geométrica y aritmética».

318


Considera la función f (x1, . . . , xn) = x21 · · ·x2

n, la cual será maximizada sobre

Sn−1 = X ∈ Rn| ‖X‖2 = r2.

Entonces, de acuerdo al método de los multiplicadores de Lagrange, si (x1, . . . , xn) ∈ Sn−1 es un óptimode f entonces existe un λ ∈ R tal que

2x1 · · ·xn(x2 · · ·xn, x1x3 · · ·xn, . . . , x1 · · ·xn−1) = Df (x1, . . . , xn) = λ2(x1, . . . , xn).

Como f ≥ 0 y f (x1, . . . , xn) = 0 si alguno de los xi = 0, se puede ver que los mínimos de f son aquellospuntos de Sn−1 en los que alguna coordenada se anula. Como se busca un máximo y Sn−1 es compacto,tal máximo existe. Luego, se supondrá que x1 · · ·xn > 0. Por lo tanto, se derivan las ecuaciones

(1) x22x2

3 · · ·x2n = λ

(2) x21x2

3 · · ·x2n = λ

......

...(n) x2

1x22 · · ·x2

n−1 = λ.

Como x1 · · ·xn > 0, λ > 0, por lo tanto, diviendo la ecuación (i) por la ecuación (j) se encuentra quex2i = x2

j . De donde, como (x1, . . . , xn) ∈ Sn−1 se llega a que

r2 = x21 + . . .+ x2

n = nx21

y, en consecuencia, x1 = ± r√n. Análogamente, xi = ± r√

n. Para cualquiera de los 2n puntos críticos

encontrados, se llega a que f (x1, . . . , xn) =Çr2

n

ån

, que por existencia, debe ser el máximo buscado.

Luego, se puede concluir que para cualesquier x21 , . . . , x2

n con x21 + . . .+ x2

n = r2

n»x2

1 · · ·x2n ≤

r2

n = x21 + . . .+ x2

nn .

Finalmente, basta poner r2 = a1 + . . .+ an y x2i = ai.

( 8.4.36 ) Sean u, v ≥ 0 y α > 0, β > 0 tales que1α + 1

β = 1. Entonces

uv ≤ uαα + vβ

β .

En consecuencia, si u1, . . . , un y v1, . . . , vn son números no negativos arbitrarios en los que al menos un ui y unvj son positivos entonces

n∑i=1

uivi ≤( n∑

i=1uαi

) 1α( n∑

i=1vβi

) 1β

;

la «desigualdad de Hölder». Finalmente, concluir que la función

(x1, . . . , xn) 7Ï ‖(x1, . . . , xn)‖p = p

Ãn∑i=1|xi|p

es una norma en Rn siempre que p ≥ 1. A la desigualdad triangular

‖X + Y‖p ≤ ‖X‖p + ‖Y‖pse le llama «desigualdad de Minkowski».

319


Observa primeramente que si uv = 0 entonces la desigualdad es trivial. Luego, basta dar el resultadoen el caso uv > 0. Por otro lado, si la desigualdad es válida para todos los uv = 1 entonces para t > 0Ä

ut 1αä Ävt

1βä

= tuv ≤ tÇuαα + vβ

β

å=

Äut 1

αäα

α +

Ävt

1βäβ

β .

Por lo tanto, basta demostrar la desigualdad en el caso en que uv = 1. Se va a resolver el problema

arg mın uα

α + vββ s.a. uv = 1, u > 0.

De acuerdo al método de los multiplicadores de Lagrange (8.4.31), si existe un punto (u, v) que resuelveel problema entonces existe un λ ∈ R tal que(

uα−1, vβ−1) = λ(v, u).

Como uv 6= 0 se ve que λ 6= 0, por lo tanto, diviendo una ecuación por la otra, se llega a que

uα−1

vβ−1 = vu

y, por lo tanto, uα = vβ, o bien, u = v βα . De esto, se deriva que v = 1 y, por tanto, u = 1. Luego, el punto

(1, 1) es el único candidato a mínimo.

( 8.4.36.1 ) Existe una solución al problema de minimización.

Se utilizará un método denominado «de sucesiones minimizadoras». Sea f (u, v) = uαα + vβ

β entonces

f ≥ 0, por lo que si S = (u, v)|uv = 1 entonces se ve que f (S) ⊂ [0,∞). Por lo tanto, existe m = ınf f (S).Luego, hay una sucesión (Yn)n∈N definida en f (S) tal que Yn →m.Cada conjunto X ∈ S|f (X) = Yn es novacío, según el axioma de elección (2.2.4) existe una sucesión r : N→ S tal que r(n) ∈ X ∈ S|f (X) = YN.La sucesión r está definida en S y es acotada. Pues si r(n) = (un, vn) y un → ∞, por ser vn ≥ 0 seobserva que

f (r(n)) = uαnα + vβn

β ≥uαnα →∞.

Sucede lo mismo si vn → ∞. En cualquiera de estos dos casos Yn = f (r(n)) → ∞, que contradicela definición de la sucesión (Yn)n∈N. Ahora bien, en virtud del teorema de Bolzano-Weierstrass (3.5.3)existe una subsucesión r φ de r tal que r φ converge a cierto P. Es claro que P ∈ S pues S es cerradoya que coincide con g−1(1) para g(u, v) = uv (ve (5.5.6)). Por la continuidad de f,

f (P) = f(

lımn→∞

r(φ(n)))

= lımn→∞

f (Yφ(n)) = m,

en donde la última igualdad se deriva del ejercicio (2.14).

( 8.4.36.2 ) Se cumple la desigualdad

1 ≤ uαα + vβ

β ,∀u, v ≥ 0, uv = 1.

Pues como existe el mínimo y hay un solo candidato a mínimo, tal candidato es minimizador.

( 8.4.36.3 ) Vale la desigualdad de Hölder.

320


Se aplica la primera desigualdad a cada uno de los pares de númerosui( n∑

i=1uαi

) 1α

y vi( n∑i=1

vαi

) 1α,

obteniendo queuiviÑ

n∑j=1

uαj

é 1αÑ

n∑j=1

vβj

é 1β≤ uαi

αn∑j=1

uαj

+ vβi

βn∑j=1

vβj

.

Con sumar todos los términos correspondientes a i = 1, . . . , n, se obtiene quen∑i=1

uiviÑn∑j=1

uαj

é 1αÑ

n∑j=1

vβj

é 1β≤

n∑i=1

uαi

αn∑j=1

uαj

+

n∑i=1

vβi

βn∑j=1

vβj

= 1α + 1

β = 1.

Que es la desigualdad de Hölder.

( 8.4.36.4 ) Vale la desigualdad de Minkowski.

Pues el caso p = 1 ya fue demostrado en el ejercicio (1.1). Ahora, supón que p > 1 y sea q tal que1p + 1

q = 1. Sean X = (x1, . . . , xn) y Y = (y1, . . . , yn) en Rn. Entonces

‖X + Y‖pp =n∑i=1|xi + yi|p =

n∑i=1|xi + yi||xi + yi|p−1

=n∑i=1|xi||xi + yi|p−1 +

n∑i=1|yi||xi + yi|p−1

≤( n∑

i=1|xi|p

) 1p( n∑

i=1|xi + yi|q(p−1)

) 1q

+( n∑

i=1|yi|p

) 1p( n∑

i=1|xi + yi|q(p−1)

) 1q

,

en donde la última desigualdad es la de Hölder poniendo α = p y β = q. Observa que q = pp − 1 , por

lo que (p − 1)q = p. Luego, sustituyendo, se ve que

‖X + Y‖pp ≤ ‖X‖p ‖X + Y‖pqp + ‖Y‖p ‖X + Y‖

pqp =

Ä‖X‖p + ‖Y‖p

ä‖X + Y‖

pqp .

Dividiendo ambas expresiones por ‖X + Y‖pqp y usando que p − p

q = 1, se concluye que

‖X + Y‖p ≤ ‖X‖p + ‖Y‖p ,

que es la desigualdad de Minkowski. El teorema de Lagrange da condiciones necesarias de primer orden para la existencia de un extremo.

Ahora se dará una condición suficiente de segundo orden.

321


( 8.4.37 ) Sean V1, V2 y W tres espacios vectoriales normados tales que V2 y W son isomorfos. Se supondrá queA ⊂ V1 × V2 es un abierto, que f : A → R y F : A → W son dos funciones dos veces diferencibales, con F declase C2. Asimismo, se partirá de la hipótesis de que (v1, v2) ∈ F−1(0) es mínimo relativo local del problemade maximización restringida. Define la función F2 : A2(v1, v2) → W dada por F2(u2) = F (v1, u2) y supón queDF2 (v2) es invertible. Sea λ ∈ Lin (W,R) tal que

Df (v1, v2) = λDF (v1, v2)

el cual existe según (8.4.31). Sea g como en el teorema de la función implícita; es decir, existe un S ⊂ A y unT ⊂ A1(v1, v2) tales que las (u1, u2) ∈ S, F (u1, u2) = 0 ⇔ u1 ∈ T, g(u1) = u2. Define L : T → R, la «funciónde Lagrange» por

L(u1) = f (u1, g(u1))− λF (u1, g(u1)).

Entonces,

1. si HessL (v1) es una forma cuadrática definida positivamente, el punto (v1, v2) es mínimo local estricto delproblema restringido;

2. si HessL (v1) es una forma cuadrática definida negativamente, el punto (v1, v2) es máximo local estrictodel problema restringido;

3. si HessL (v1) es una forma cuadrática que está no definida entonces (v1, v2) es un punto de ensilladura;

las «condiciones lagrangianas suficientes de segundo orden».

En efecto, se calcula la primera derivada de L. Se utilizará la regla de Leibniz (5.7.6) y la regla de lacadena (5.7.3). Entonces,

DL (u1) = Df (u1, g(u1)) (IV1 ,Dg (u1))− λDF (u1, g(u1)) (IV1 ,Dg (u1)) .

Por ende,DL (v1) =

(Df (v1, g(v1))− λDF (v1, g(v1))

)(IV1 ,Dg (v1)) = 0

pues g(v1) = v2 y Df (v1, v2) = λDF (v1, v2) . Luego, v1 es punto crítico de L. En acuerdo con las hipótesishechas sobre HessL (v1) , se concluye que v1 es minimizador estricto local, maximizador estricto localo punto de ensilladura según HessL (v1) esté definida positivamente, negativamente o esté no definida(ve (8.1.20)). Si u1 ∈ T entonces g(u1) = u2 y F (u1, u2) = 0, por lo que L(u1) = f (u1, u2). Luego, laoptimalidad de L en v1 se preserva para la optimalidad de f en (v1, v2). Esto concluye el teorema.

Observación: aún con todos los teoremas y ejemplos desarrollados aún no se pueden determinarcondiciones para que una función Rn → R con primera y segunda derivada nula en un punto tengaóptimo. En los ejercicios se dan condiciones suficientes para una función de clase Cp cuya p-ésimaderivada es la primera en no ser nula.

§ 8.5. Ejercicios.

( 8.1 ) Se dice que una función f : A ⊂ V →W es localmente constante en v ∈ A si existe un r > 0 tal que paratodo u ∈ B (v; r)∩A se cumple que f (u) = f (v). Si f es localmente constante en v entonces v es un maximizadory minimizador de f. El recíproco también es cierto.

322

8.5. Ejercicios.

( 8.2 ) Sea f : I → R convexa. Para cada [a, b] ⊂ ÛI, f es k-lipschitziana para alguna k adecuada, ve (5.11.3).

Sugerencia: existe ε > 0 tal que [a − ε, b + ε] ⊂ I. Sea k = M −mε , en donde M es cota superior de f

sobre [a − ε, b + ε] y m es cota inferior. Dados a ≤ x < y ≤ b pon z = y + ε y λ = y − xε + y − x , deduce que

λz + (1− λ)x = y. Concluye usando la propiedad de convexidad.

( 8.3 ) Sea f : I → R en donde I ⊂ R es un intervalo. Una condición necesaria y suficiente para que f sea convexaes que su epigráfica Ep(f ) = (x, z) ∈ R2|z ≥ f (x) sea un conjunto convexo.

( 8.4 ) Considera f : A ⊂ V → R una función convexa. Para cualesquier v1, . . . , vk ∈ A y λ1, . . . , λk ∈ [0, 1] tales

quek∑i=1

λi = 1 se satisface que

f (λ1v1 + . . .+ λkvk) ≤ λ1f (v1) + . . .+ λkf (vk);

la «desigualdad de Jensen».

( 8.5 ) X 7Ï ‖X‖ de V a R es una función convexa; esto es, cualquier norma es una función convexa.Sugerencia: recuerda las desigualdades del triángulo.

( 8.6 ) La envolvente convexa de Sn−1 = X ∈ Rn| ‖X‖ ≤ 1 es B′ (0; 1) .

( 8.7 ) Si A ⊂ V es un conjunto convexo y T : V →W es afín entonces T(A) es convexo.

( 8.8 ) Si A ⊂W es un conjunto convexo y T : V →W es afín entonces T−1(A) es convexo.

( 8.9 ) Si C es convexo entonces su envolente convexa coincide consigo mismo.

( 8.10 ) Si S ⊂ C con C un conjunto convexo, la envolvente convexa de S está contenida en C.

( 8.11 ) La intersección de cualquier familia de subconjuntos convexos de V es un subconjunto convexo de V.

( 8.12 ) Sean A ⊂ V y B ⊂W convexos. Entonces A× B ⊂ V ×W es convexo.

( 8.13 ) Se dirá que una función f : A ⊂ V → Lin (V,R) , donde A es un abierto en V, es una función crecientesi para cualesquier u, v ∈ A se cumple que

(f (u)− f (v))(u − v) ≥ 0.

Entoces, esta noción es la misma que (8.2.7) cuando V = R y Lin (R,R) se identifica con R. Asimismo, con estadefinición más general, una condición necesaria y suficiente para que una función diferenciable f : A ⊂ V → R,con A un abierto y convexo, sea convexa es que Df sea creciente.Sugerencia: para la necesidad utiliza (8.2.38). Para la suficiencia considera la función φ(λ) = f (λu+ (1− λ)v),para λ ∈ [0, 1]. Demuestra que φ′ es creciente y concluye.

( 8.14 ) Sean f, g : A ⊂ V → R funciones convexas y λ > 0. Las siguientes son funciones convexas f + λg, yλmaxf, g. Si f (A) es un intervalo y φ : f (A)→ R es convexa y creciente entonces φ(f ) es convexa. Si A = Ventonces u 7Ï f (Lu + b), en donde L ∈ Lin (U,V ) y b ∈ U es convexa sobre U.

( 8.15 ) Encuentra las medidas de los ángulos de todos los triángulos tales que el producto de los senos de susángulos sea máximo.Sugerencia: recuerda que los ángulos se miden en radianes y que sin(π − t) = sin t para cualquier t ∈ R.

( 8.16 ) Calcula la distancia del plano P al origen en cada uno de los siguientes casos:

323


1. P = y = mx + b;

2. P = tA+ B, A, B ∈ Rn;

3. P = (x, y, z) · (a, b, c) = 5;

4. P = λ(1, 1, 0,−1) + µ(0, 0, 1, 1) + (2,−1,−1, 0)|(λ, µ) ∈ R2.

( 8.17 ) Dados n puntos A1, . . . , An ∈ Rk encontrar todos los puntos X ∈ Rk tales quen∑i=1‖X − Ai‖2 sea

mínimo; el «método de mínimos cuadrados».Sugerencia: la función a miminizar es convexa. Escribe ‖X − Ai‖2 = 〈X − Ai, X − Ai〉 y utiliza la forma quetiene la derivada de un producto, la regla de Leibniz.

( 8.18 ) La función (x1, . . . , xn)→ (x31 , . . . , x3

n) es un homeomorfismo de Rn a Rn.

( 8.19 ) La función (x, y) 7Ï (x2+y2, x2−y2) es un C1-difeomorfismo sobre algunos conjuntos abiertos A,B ⊂ R2.Encuentra dos subcojuntos maximales A y B donde dicha función sea C1-difeomorfismo; esto es, si F tal función,encontrar dos subconjuntos A y B tales que F : A→ B sea difeomorfismo y si A ⊂ C es un subconjunto para elcual F restringida a C es difeomorfismo entonces C ⊂ A.Sugerencia: observa que dado A, B queda determinado por B = F (A). Además, F es de clase C∞, por lo queesto no brinda mucha información acerca de cómo escgoer a A. Intenta calcular la inversa de F, encontrar B yponer A = F−1(B).

( 8.20 ) Repita el ejercicio anterior con (x, y) 7Ï (ex , ey) y con (x, y) 7Ï (ex + ey , ex − ey).

( 8.21 ) Toda función que sea fuertemente diferenciable en un punto, es también diferenciable en ese punto. Eneste caso, las derivadas coinciden.

( 8.22 ) Una condición necesaria y suficiente para que F = (f1, . . . , fm) : A ⊂ V → W sea fuertemente

diferenciable en v ∈ ÛA es que cada fi lo sea.

( 8.23 ) Una condicion necesaria y suficiente para que f : A ⊂ V → W sea fuertemente diferenciable en v ∈ ÛAes que exista un ψ tal que para todo h y k cercano a v,

f (h)− f (k) = Df (v) (h − k) + ‖h − k‖ψ(h, k)

ylım

(h,k)→(v,v)ψ(h, k) = 0.

( 8.24 ) Sea f : [0, 1]→ R continua tal que f (0)f (1) < 0. Entonces, la sucesión definida recursivamente mediante

a1 = 12 y an = an−1 si f (an−1) = 0 o bien, |an − an−1| =

12n con f (an)f (an−1) ≤ 0 si f (an−1) 6= 0 constituyen

unas aproximaciones sucesivas a una raiz de f. Esto es, (an)n∈N converge a cierto punto a ∈ [0, 1] y f (a) = 0; el«método de bisección».Sugerencia: para encontrar el punto a verifique la sucesión (an)n∈N es de Cauchy, concluya con (2.3.14). Unavez que tenga el punto a utiliza que f es uniformemente continua para verificar que para cualquier ε > 0 dado,|f (a)| < ε.

( 8.25 ) Sea f : C → C con C ⊂ V compacto y f una contracción. Existe un punto v ∈ C y solo uno quesatisface f (v) = v; el «teorema de contracción de Banach». A un v que satisfaga esto se le denomina punto fijo.Sugerencia: escoge cualquier v0 ∈ C y define las aproximaciones sucesivas vn = f (vn−1). Verifica que vn es deCauchy, por lo que converge. El límite es un punto fijo, esto demuestra la existencia. La unicidad es muy fácil,supón que hay dos puntos fijos y utiliza la condición lipschitziana.

324

8.5. Ejercicios.

( 8.26 ) Considera la función f (x) = x2 sin 1x + x

2 si x 6= 0 y f (0) = 0. Entonces, f es diferenciable en el origeny su derivada es invertible ahí pero no existe ninguna vecindad del origen en donde f sea inyectiva.Sugerencia: procede a demostrar que para todo ε > 0 la ecuación f ′(x) = 0 posee solución sobre (0, ε].Demuestra que si f ′(ξ) = 0 entonces f ′′(ξ) 6= 0. Utiliza (8.1.20) para concluir que f no puede ser inyectiva encualquier bola centrada en ξ.

( 8.27 ) Sean V yW dos espacios vectoriales isomorfos. Sea L ⊂ Lin (V,W ) el conjunto de las transformacioneslineales invertibles y L −1 = T−1|T ∈ L . La función φ : L → L −1 dada por φ(T) = T−1 es diferenciable. Dehecho, su derivada está dada por

Dφ (T)H = −T−1HT−1.

Esta es la fórmula clásicaddt(t−1) = − 1

t2 cuando V = W = R y Lin (R,R) se identifíca con R. Observa que elproducto de transformaciones lineales no es conmutativo.Sugerencia: ya sabes que

φ(T −H)− φ(T) + T−1HT−1 =[(IRn − T−1H)−1 − IRn + T−1H

]T−1,

lo cual es consecuencia de la demostración de (8.4.9.5). También ya sabes que

(IV − T−1H)−1 = IV + T−1H +∞∑k=2

(T−1H)k;

concluya que ∥∥∥φ(T −H)− φ(T) + T−1HT−1∥∥∥ ≤

∥∥∥T−1∥∥∥3‖H‖2

1−∥∥∥T−1

∥∥∥ ‖H‖ = o(‖H‖).

( 8.28 ) Sea L ⊂ Lin (V,W ) el conjunto de las transformaciones lineales invertibles y L −1 = T−1|T ∈ L .La función φ : L → L −1 dada por φ(T) = T−1 es indefinidamente diferenciable.Sugerencia: define

ψ : Lin (W,V )× Lin (W,V )→ Lin (Lin (V,W ) ,Lin (W,V ))

por ψ(S, T) es la transformacion lineal de Lin (V,W ) a Lin (W,V ) dada por, para R ∈ Lin (V,W )

ψ(S, T)R = −SRT.

Entonces, ψ es bilineal, por lo que es indefinidamente diferenciable y, además Dφ = ψ(φ,φ), luego, si φ es pveces diferenciable, también Dφ.

( 8.29 ) Sea L y φ como en el ejercicio (8.27); la derivada p-ésima de φ está dada por

φ(T)(H1, . . . , Hp) = (−1)p∑σ∈Sp

T−1 Hσ (1) T−1 . . . T−1 Hσ (p) T−1.

Sugerencia: aplique inducción.

( 8.30 ) Sea φ : L → L como en el ejercicio (8.27), un desarrollo limitado de φ en T está dado por

H 7Ïn∑k=0

(−1)k(T−1H)kT−1.

325


Tal desarrollo converge absolutamente cuando n → ∞ para H en la bola B

Ñ1; 1∥∥∥T−1

∥∥∥é. De hecho, en ese

caso, φ coincide con la serie∞∑k=0

(1−)k(T−1H)T−1; esto es, si ‖H‖ < 1∥∥∥T−1∥∥∥ entonces

lımn→∞

[φ(T +H)−

n∑k=0

(−1)k(T−1H)kT−1

]= 0.

Este es un primer ejemplo no trivial de una función real y de varias variables la cual posee un «desarrollo ilimitado»en cualquier punto de su dominio. Es importante destacar que tal desarrollo ilimitado depende del punto T deexpansión.

( 8.31 ) Sean V y W dos espacios vectoriales isomorfos. Se supondrá que f : A ⊂ V → W es de clase Cp. SiDf (v) es invertible para algún v ∈ ÛA entonces existe un abierto S ⊂ A con v ∈ S y f es un Cp-difeomorfismosobre S.Sugerencia: aplica inducción y utiliza el hecho que

Df−1 = φ Df f,

donde φ está definida en (8.28).

( 8.32 ) En el teorema de la función implícita (8.4.20), si f es de clase Cp entonces g también.

( 8.33 ) Sean A ⊂ V1 × V2 un abierto y S ⊂ A una superficie (o sea, cualquier contjunto) para la cual existeuna función f : A ⊂ V1 × V2 → W tal que S = f−1(0). Supón que para cierto (v1, v2) ∈ S se cumpleque Df2 (v2) es invertible, donde f2 : A2(v1, v2) → W está dada por f2(u2) = f (v1, u2). Entonces de acuerdo alteorema de la función implícita hay dos abiertos S ⊂ A con (v1, v2) ∈ S y T ⊂ A1(v1, v2) con v1 ∈ T tales queu1 ∈ T, g(u1) = u2 ⇔ (u1, u2) ∈ S, (u1, u2) ∈ S . Entonces, g = S ∩ S (ve la definición general de función(2.1.1)). Más aún, TPg = T(v1,v2)S , ve (5.9.1). En particular, este resultado afirma que, suponiendo ciertaregularidad en S , localmente la superficie S es la gráfica de una función; en terminos más técnicos, cerca delpunto (v1, v2) ∈ S existe una «carta» ((v1, v2), T, g), donde g es el «sistema de coordenadas» locales de lacarta.

( 8.34 ) Aquí se da otra demostración del teorema de Lagrange en el caso en que V1 = Rn y V2 = W = Rm.Supón que A ⊂ Rn+m es un abierto, F : A → Rm, S = F−1(0) y f : A → R. Además, se supondrá que(v1, v2) ∈ S es tal que DF2 (v2) es invertible, donde F2 : A2(v1, v2) → Rm está dada por F2(u2) = F (v1, u2), yes solución del problema

arg max f (u1, u2) s.a. (u1, u2) ∈ S

Entonces existen números λ1, . . . , λm ∈ Rm tales que

Df (v1, v2) =m∑i=1

λiDFi (v1, v2) .

Sugerencia: observa queDF2 (v2)k = DF (v1, v2) (0, k),

por lo que dim Ran (DF (v1, v2)) ≥m, y en consecuencia, dim Ran (DF (v1, v2)) = m. Por lo tanto, los vectoresDF1 (v1, v2) , . . . ,DFm (v1, v2) son linealmente independientes. Observa ahora que el plano tangente a S sobre el

326

8.5. Ejercicios.

punto (v1, v3) es, por definición, Nuc (DF (v1, v2)) trasladado a (v1, v2), por lo que la dimensión de T(v1,v2)S esn, ve (1.4.13). Considera entonces el espacio ortogonal del núcleo de la derivada de F en (v1, v2),

Nuc (DF (v1, v2))⊥ = X ∈ Rn| 〈X,Y〉 = 0, ∀Y ∈ Nuc (DF (v1, v2)).

En virtud del ejercicio (1.45), tal espacio tiene dimensión m. Todos los vectores DFi (v1, v2) pertenecen a esteespacio ortogonal, en consecuencia, son una base de él. Finalmente, Df (v1, v2) pertenece a Nuc (DF (v1, v2))⊥ ,por lo que Df (v1, v2) se puede escribir como combinación lineal de cualquier base.

( 8.35 ) Considera una función V → R p veces diferencibale en v y tal que sus primeras p−1 derivadas son ceroen v. Sea T la p-ésima derivada de esta función en v. Si T

(h(p)) > 0 para cualquier h ∈ V \ 0 entonces la

función tiene un mínimo en v. El mismo resultado para > y máximo. Si hay dos vectores h1 y h2 no nulos paralos cuales T

Äh(p)

1

ä> 0 y T

Äh(p)

2

ä< 0 entonces la función tiene un punto de ensilladura en v.

327


328

Parte II

Desarrollo del cálculo integral.

329

Capítulo 9

• Área de conjuntos.

En este corto capítulo se estudiará el cómo medir el volumen de ciertos conjuntos. Se buscarámotivar la definición a partir de la noción de áreas y extender esta idea a dimensiones superiores.Estas definiciones conducirán naturalmente a la medida de Jordán (ve [7]). Se estudiarán propiedadesde los conjuntos que pueden medirse en el sentido de Jordán y esto será un primer paso hacia la teoríade integración que se empezará a generalizar. Cabe destacar que la construcción siguiente solo se haráen Rn por la naturaleza en la estructura que poseen los intervalos.

§ 9.1. ¿Qué es el área?

El término área es un concepto intrínseco que solo puede aprenderse a manera inuituiva duranteel desarrollo humano. Es dificil encontrar una definición de área en términos de otras palabras quedescriban su significado. Luego, más que interesarnos en llegar a una definición la palabra área sebuscará definir qué conjuntos tienen área o mejor dicho, a qué conjuntos se les puede medir el área.

Intuitivamente, el área de una región es el número de cuadrados, de cierta longitud unitaria dada,que pueden ser admitidos dentro de dicha región. Evidentemente tomar esto como definición tienecomplicaciones naturales; piensa, por ejemplo, ¿qué significan admitir π cuadrados unitarios dentro deun círculo?. Entonces, se seguirá un poco la línea que se utilizó al definir longitud de arco. Convienevolver a leer esa sección.

( 9.1.1 ) Un intervalo cerrado en n dimensiones («n-dimensional») es un producto de n intervalos [ak, bk] ⊂ R

con ak ≤ bk, para k = 1, . . . , n. Se define la medida del volumen según Jordán de R =n∏k=1

[ak, bk] por

vol (R) =n∏k=1

(bk−ak). Al intervalo [ak, bk] se le llamará k-ésimo subintervalo generador de R. Cualquiera de los

2n puntos (x1, . . . , xn) con xk ∈ ak, bk recibirá el nombre de vértice de R.

Observación: para que ÛR 6= ∅ es necesario y suficiente que para cualquier k = 1, . . . , n se satisfagaque ak < bk. Otra caracterización es ÛR 6= ∅ ⇔ vol (R) > 0. Cuando vol (R) = 0 se dirá que R es unintervalo degenerado.

331

Capítulo 9. Área de conjuntos.

( 9.1.2 ) Sea R un intervalo cerrado con k-ésimo intervalo generador [ak, bk]. Sea Pk = (sk,i)i∈1,...,nk unapartición de [ak, bk], ve (4.5.2). Se dirá que la familia1

P = P1 ⊗ . . .⊗ Pn = ((s1,i1 , . . . , sn,in ))(i1,...,in)∈

n∏k=1

0,1,...,pk

es una partición de R. Asimismo, se dirá que la partición

Q = Q1 ⊗ . . .⊗Qn = ((t1,j1 , . . . , tn,jn ))(j1,...,jn)∈

n∏k=10,1,...,qk

es un refinamiento de P si cualquier Qk es un refinamiento de Pk. Al conjunto de todas las particiones de R será

denotado por P(R). Para cada (i1, . . . , in) ∈n∏k=11, . . . , pk se puede definir un subintervalo

Pi1,...,in =n∏k=1

[sk,ik−1, sk,ik ] ⊂ Rn.

A Pi1,...,in se le llamará subintervalo componente de P generado por (i1, . . . , in).

( 9.1.3 ) Sea R un intervalo en Rn y P1 ⊗ . . .⊗ Pn una partición de R. Entonces

R =p1⋃i1=1· · ·

pn⋃in=1

Pj1,...,jn ;

más aún, si (i1, . . . , in) 6= (i′1, . . . , i′n),˚Pi1,...,in ∩

˚Pi′1,...,i′n = ∅.

Queda a cargo del lector a título de ejercicio. En particular, este teorema afirma que toda parti-ción genera una familia de intervalos componentes y recíprocamente. En consecuencia, una particióntambién puede ser pensada como una familia de subintervalos componentes.

Lo que continuaría ahora sería definir la aproximación de la medida del área de un conjunto C ⊂ Rn.Se aplicará el «método de agotamiento»; es decir, se aproximará la medida del área por áreas internasy externas. Esto conduce a la definición de la medida interior y exterior del volumen.

( 9.1.4 ) Sea C ⊂ Rn un subconjunto acotado de Rn y sea R un intervalo cerrado que lo contiene. Entonces paraP = ((s1,i1 , . . . , sn,in ))

(i1,...,in)∈n∏k=1

0,1,...,pk, una partición de R, se define la medida según Jordán de la aproximación

interior de C respecto de la partición P por

˚volP (C) =

∑(i1,...,in)|Pi1 ,...,in⊂C

vol (Pi1,...,in ) .

Análogamente, se define la medida según Jordán de la aproximación exterior de C respecto de la partición P por

volP (C) =∑

(i1,...,in)|Pi1 ,...,in∩C 6=∅

vol (Pi1,...,in ) .

( 9.1.5 ) Sea R un intervalo cerrado en Rn y P,Q dos particiones de él. Existe T ∈ P(R) que es refinamientocomún de P y Q.

1Aquí se empleará el símbolo ⊗ con el único proposito de denotar que P depende de los Pk y que P no es el productocartesiano de los Pk.

332

9.1. ¿Qué es el área?

Se supone que P = P1⊗ . . .⊗Pn y Q = Q1⊗ . . .⊗Qn, en virtud del ejercicio (4.63) existen particionesT1, . . . , Tn tales que Ti es refinamiento de Pi y Qi, luego, T = T1 ⊗ . . .⊗ Tn es un refinamiento comúnde P y Q (ve (9.1.2)).

( 9.1.6 ) Sean R un intervalo cerrado de Rn y P,Q dos particiones de él tales que Q es un refinamiento de P.Entonces

˚volP (R) ≤ ˚

volQ (R) ≤ volQ (R) ≤ volP (R) .Es decir, las aproximaciones a los volumenes interior y extererior se van haciendo más finos conforme las particionesse refinan.

Supón queP = ((s1,i1 , . . . , sn,in ))

(i1,...,in)∈n∏k=10,1,...,pk

y queQ = ((t1,j1 , . . . , tn,jn ))

(j1,...,jn)∈n∏k=1

0,1,...,qk.

De la definción de refinamiento, para cada k = 1, . . . , n, existen dos índices α(k) ≤ β(k) tales que

[sk,ik−1, sk,ik ] =[tk,jα(k)−1, tk,jα(k)

]∪ . . . ∪

[tk,jβ(k)−1, tk,jβ(k)

].

Por lo tanto, cada Pi1,...,in se descompone como una unión de algunos Qj1,...,jn . De aquí se puede deducirque si Pi1,...,in ⊂ R entonces cadaQj1,...,jn ⊂ Pi1,...,in también está contenido en R. Luego, ˚

volP (R) ≤ ˚volQ (R) ,

que es la primera desigualdad. Para ver la tercera desigualdad se nota que aún cuando Qj1,...,jn ⊂Pi1,...,in ∩ R 6= ∅ podría suceder que Qj1,...,jn ∩ R = ∅. De donde, volQ (R) ≤ volP (R) , que es la terceradesigualdad.

Para ver la segunda desigualdad observa que Qj1,...,jn ⊂ C Ñ Qj1,...,jn ∩C 6= ∅, por lo que

˚volQ (R) ≤ volQ (C)

Lo que concluye el teorema. Este teorema da la pauta de cómo definir el área. Esto se deriva de que para cualesquier particiones

P y Q se cumple que˚volP (C) ≤ volQ (C) .

Lo cual puede ser demostrado al considerar un refinamiento común T de ambas particiones y aplicarla propiedad previa. En particular, se cumple que

supP∈P(R)

˚volP (C) ≤ ınf

P∈P(R)volP (C) .

( 9.1.7 ) Se define el área interior de C por

˚vol (C) = sup

P∈P(R)

˚volP (C)

y el área exterior de C porvol (C) = ınf

P∈P(R)volP (C) .

Cuando el área interior y el área exterior de C coincidan se dirá que C es medible en el sentido de Jordán («Jordánmedible») y se define la medida del volumen según Jordán de C como

vol (C) = vol (C) = ˚vol (C) .

333


Observación: sea R un intervalo cerrado, entonces vol (R) ha sido definido de dos maneras diferentes;sin embargo, las definiciones son consistentes. Para verificar esto primero nota que basta ver que si Pes una partición de R entonces

vol (R) =p1∑i1=1· · ·

pn∑in=1

vol (Pi1,...,in ) .

Se demuestra usando inducción. El caso n = 1 es obvio y si se supone que el resultado es verdaderopara n − 1 entonces

p1∑i1=1· · ·

pn∑in=1

vol (Pi1,...,in ) =p1∑i1=1· · ·

pn∑in=1

n∏k=1

(sk,ik − sk,ik−1)

=

Ñp1∑i1=1· · ·

pn−1∑in−1=1

n−1∏k=1

(sk,ik − sk,ik−1)

é( pn∑in=1

(sn,in − sn,jn−1))

= vol

(n−1∏k=1

[ak, bk])× (bn − an) = vol (R) .

( 9.1.8 ) Sea R un intervalo cerrado en Rn con intervalos generadores [ak, bk] para k = 1, . . . , n. Se supondrá

que S =n∏i=1

[ci, di] ⊂ R es un subintervalo de R. Entonces existe una partición PS ∈ P(R) de tal forma que los

vértices de S y de R son elementos de la familia PS .

Define sk,0 = ak, entonces

1. si ak = ck, define sk,1 = dk y entonces; si dk = bk pon Pk = (sk,i)i∈0,1; si dk < bk define sk,2 = bky pon Pk = (sk,i)i∈0,1,2;

2. si ak < ck, define sk,1 = ck y sk,2 = dk, entonces si dk = bk pon Pk = (sk,i)i∈0,1,2 y en casocontrario define sk,3 = bk y pon Pk = (sk,i)i∈0,1,2,3.

Define PS = P1 ⊗ . . .⊗ Pn, cualquier vector (x1, . . . , xn) con xk ∈ ck, dk y cualquier vector (x1, . . . , xn)con xk ∈ ak, bk es un elemento de PS .

( 9.1.9 ) Sea R un intervalo cerrado en Rn y S un subintervalo de R. Cada P ∈ P(S) se extiende a un Q ∈ P(R).

Supón queP = ((s1,i1 , . . . , sn,in ))

(i1,...,in)∈n∏k=10,1,...,pk

,

y considera los subintervalos Pi1,...,ii . Existe una partición Qj1,...,jn de R tal que los vértices de Pi1,...,in sonelementos de Qj1,...,jn (ve (9.1.8)). Se considera finalmente Q como un refinamiento común de todos losQj1,...,jn , el cual existe según (9.1.5).

( 9.1.10 ) Sea C acotado y R1, R2 ⊂ Rn intervalos cerrados que lo contienen. Entonces

supP∈P(R1)

˚volP (C) = sup

Q∈P(R2)

˚volQ (C)

eınf

P∈P(R1)volP (C) = ınf

Q∈P(R2)volQ (C) .

En consecuencia, ˚vol (C) y vol (C) están bien definidos (es decir, no depende del R que se escoja en (9.1.4)).

334

9.2. ¿Qué conjuntos son Jordán medibles?

Sea R = R1 ∩ R2. Entonces C ⊂ R y para cada partición P ∈ P(R) existe una partición asociadasQP ∈ P(R1). Se observa que si Pi1,...,in es un subintervalo componente de la partición P, entonces P esunión de algunos subintervalos componentes de la partición QP . En consecuencia, si P ⊂ C entoncestodos los Qi1,...,in contenidos en P también están contenidos en C, de donde

˚volP (C) ≤ ˚

volQP (C) ,

por lo quesup

P∈P(R)

˚volP (C) ≤ sup

Q∈P(R1)

˚volQ (C) .

La otra desigualdad es más trabajosa, se considera una partición Q ∈ P(R1), y se refina a una particiónQR tal que los vértices de R son elementos de QR. Supón que

QR = Q(1)R ⊗ . . .⊗Q

(n)R ,

en dondeQ(k)R = (tk,j )j=0,...,qk y, por construcción, existen índices α(k) y β(k) tales que tk,jα(k) = ck, tk,jβ(k) = dk

y [ck, dk] es el k-ésimo intervalo generador de R. Define P(k)Q =

(tk,jα(k)+l

)l=0,...,β(k)−α(k) y pon PQ = P(1)

Q ⊗. . .⊗ P(n)

Q . Luego,˚volPQ (C) = ˚

volQR (C) ≥ ˚volQ (C) ,

así quesup

P∈P(R)

˚volP (C) ≥ sup

Q∈P(R1)

˚volPQ (C) ≥ sup

Q∈P(R1)

˚volQ (C) ,

que, con la otra desigualdad, dan la igualdad buscada. El caso para las medidas de los volúmenesexteriores queda de ejercicio al lector.

( 9.1.11 ) Sea C ⊂ Rn acotado. Entonces 0 ≤ ˚vol (C) ≤ vol (C) <∞.

Sea R cualquier intervalo cerrado en Rn que contenga a C, entonces, por la definición de ˚volP (C) y

volP (C) se concluye que0 ≤ ˚

volQ (C) ≤ volQ (C) ≤ vol (R) .Tomando primeramente el ínfimo sobre el lado derecho, se concluye que

0 ≤ ˚volQ (C) ≤ vol (C) ≤ vol (R) ,

con tomar el supremo el en lado izquierdo se concluye que 0 ≤ ˚vol (C) ≤ vol (C) < vol (R) <∞.

§ 9.2. ¿Qué conjuntos son Jordán medibles?La definición previa junto con su observación mostraron que todos los intervalos cerrados en Rn son

conjuntos con medida en el sentido de Jordán. Surge naturalmente la pregunta, ¿qué otros conjuntostambién tienen medida de Jordán? A continuación se presentan algunos criterios útiles al momento dequerer determinar si cierto conjunto dado tiene o no tiene medida en el sentido de Jordán.

( 9.2.1 ) Una condición necesaria y suficiente para que un conjunto C ⊂ R sea medible según Jordán es que paratodo ε > 0 exista una partición P ∈ P(R), en donde R es un intervalo que contiene a C, para la cual

volP (C)− ˚volP (C) < ε.

335


La necesidad es evidente de que ˚vol (C) = vol (C) , pues si ε > 0 entonces existe un P tal que

volP (C) − vol (C) < ε2 y existe una partición Q tal que ˚

vol (C) − ˚volQ (C) < ε

2 . Considera entonces unapartición T que sea refinamiento común de P y Q (ve (9.1.5)), en virtud de (9.1.6) se concluye quevolT (C)− vol (C) < ε

2 y que ˚vol (C)− ˚

volT (C) < ε2 . Por lo tanto, al sumar, se obtiene la necesidad.

La suficiencia tambiés es sencilla, pues por definición de vol (C) y ˚vol (C) se obtiene que

vol (C)− ˚vol (C) ≤ volP (C)− ˚

volP (C) < ε.

Como ε > 0 fue arbitrario, se concluye lo deseado.

( 9.2.2 ) Una condición necesaria y suficiente para que un conjunto C ⊂ R sea medible según Jordán es que ∂Csea medible según Jordán y vol (∂C) = 0.

Se ve primero la necesidad. Sea R un intervalo cerrado con C ⊂ R, entonces ∂C ⊂ R pues al ser Rcerrado ∂C ⊂ C ⊂ R. Sea P una partición de R, entonces

∂C ⊂⋃

(i1,...,in)|Pi1 ,...,in∩C 6=∅

Pi1,...,in \⋃

(i1,...,in)|Pi1 ,...,in⊂C

Pi1,...,in .

De donde,vol (∂C) ≤ volP (C)− ˚

volP (C) ;

dado ε > 0 se puede encontrar P tal que

0 ≤ ˚vol (∂C) ≤ vol (∂C) < ε.

La arbitrariedad de ε muestra que ∂C es Jordán medible y vol (∂C) = 0.Se verá ahora la suficiencia. Entonces, para P una partición de R se considera la resta

volP (C)− ˚volP (C) = volP (∂C) .

Entonces, dado ε > 0 existe una partición P talque volP (C) < ε. Por lo tanto, vol (C)− ˚vol (C) = 0.

( 9.2.3 ) Sea C ⊂ Rn un conjunto Jordán medible. Entonces ÙC y C son Jordán medibles y

vol(ÙC) = vol (C) = vol

(C).

En efecto, sea R un intervalo cerrado que contiene a C y P una partición de R, entonces

˚volP

(ÙC) = ˚volP (C)

yvolP (C) = volP

(C).

Con tomar el supremo o el ínfimo, según corresponda, y utilizando que C es Jordán medible se concluyeel resultado deseado.

( 9.2.4 ) Sea C ⊂ Rn un conjunto Jordán medible y D ⊂ C, entonces vol (C) = 0 implica que D es Jordánmedible y que vol (D) = 0.

336

9.3. Propiedades básicas.

Se cumple que D ⊂ C y vol(C)

= 0 (ve (9.2.3)). De aquí que,

0 ≤ ˚vol (D) ≤ vol (D) ≤ vol

(C)

= vol(C)

= 0.

Lo cual demuestra lo pedido.

( 9.2.5 ) Sean A y B dos subconjuntos de Rn que tienen medida de Jordán cero, etnonces A ∪ B tiene medidade Jordán y vale cero.

Es inmediato de las definiciones que para cualquier partición P de un rectángulo R que contenga aA ∪ B se cumple que

volP (A ∪ B) ≤ volP (A) + volP (B) .

Considera el ínfimo sobre todos los P, se puede concluir que

vol (A ∪ B) ≤ ınfP∈P(R)

(volP (A) + volP (B)

)= vol (A) + vol (B) ,

en donde la última igualdad es consecuencia de que si X y Y son subconjuntos de número positivos,entonces

ınfx + y|x ∈ X, y ∈ Y = ınfy∈Y

ınfx + y|x ∈ X = ınfy∈Y

(ınfX + y

)= ınfX + ınf Y.

Esto conluye lo afirmado.

( 9.2.6 ) Sea C ⊂ Rn un conjunto. Para que C sea medible según Jordán y vol (C) = 0 es necesario y suficiente que

para todo ε > 0 exista una familia finita de intervalos R1, . . . , Rp ⊂ Rn tales que C ⊂p⋃i=1

Ri yp∑i=1

vol (Ri) < ε.

La necesidad es evidente pues según (9.2.1) para cada ε > 0 existe una partición P tal que

volP (C)− ˚volP (C) = volP (C) < ε.

Por lo tanto, se considera la familia de rectángulos definidos por P tales que intersectan a C.La suficiencia es consecuencia que se considera un intervalo R que contenga a todos los Ri y una

partición Pi que extienda a Ri (ve (9.1.8)). Se considera ahora una partición P que refine a todas las Pi(ve (9.1.5)). Luego, de las definición se obtiene que

vol (C) ≤ volP (C) ≤p∑i=1

vol (Ri) < ε.

Como ε fue arbitrario, se concluye que vol (C) = 0 y entonces, C es Jorán medible con vol (C) = 0.

§ 9.3. Propiedades básicas.Si se considera natural la definición dada para la medida de Jordán del área de un conjunto, entonces

las propiedades que se demuestran a continuación deberían ser intuitivas.

( 9.3.1 ) Sean A y B subconjuntos acotados de R con volumen en el sentido de Jordán. Entonces A ⊂ B Ñvol (A) ≤ vol (B) ; la «monotonía» de la medida según Jordán del volumen.

337


Sea R un intervalo que contiene a B. Entonces R también contiene a A. Luego, si P ∈ P(R) y Pi1,...,ines un subintervalo componente de P se ve que

Pi1,...,in ⊂ AÑ Pi1,...,in ⊂ B,

en consecuencia˚volP (A) ≤ ˚

volP (B) .

Tomando el supremo sobre todos los P, se ve que

vol (A) = ˚vol (A) ≤ ˚

vol (B) = vol (B) ,

en donde las desigualdades son válidas por existir los volúmenes de A y B.

( 9.3.2 ) Sean A y B dos subconjuntos de Rn medibles en el sentido de Jordán tales que A ∩ B = ∅. EntoncesA ∪ B es medible en el sentido de Jordán y vol (A ∪ B) = vol (A) + vol (B) ; la «aditividad» de la medida segúnJordán del volmen.

Sea R un intervalo que contiene a A ∪ B, y sea P ∈ P(R). Entonces para cualquier subintervaloPi1,...,in de P se cumple que

Pi1,...,in ⊂ A o bien Pi1,...,in ⊂ B Ñ Pi1,...,in ⊂ A ∪ B.

Asimismo, (Pi1,...,in ⊂ AÑ Pi1,...,in ∩ B = ∅

)y

(Pi1,...,in ⊂ BÑ Pi1,...,in ∩ A = ∅

).

De estas dos observaciones se deriva que∑(i1,...,in)|P⊂A

vol (Pi1,...,in ) +∑

(i1,...,in)|P⊂B

vol (Pi1,...,in ) ≤∑

(i1,...,in)|P⊂A∪B

vol (Pi1,...,in ) ;

esto es,˚volP (A) + ˚

volP (B) ≤ ˚volP (A ∪ B) .

Del mismo modo, se observa que

Pi1,...,in ∩ (A ∪ B) 6= ∅ Ñ Pi1,...,in ∩ A 6= ∅ o bien Pi1,...,in ∩ B 6= ∅.

De donde, se concluye quevolP (A ∪ B) ≤ volP (A) + volP (B) .

Por lo tanto, como P fue arbitrario, se sigue de (9.1.11) y de (9.1.6) que

˚volP (A) + ˚

volP (B) ≤ ˚volP (A ∪ B) ≤ volQ (A ∪ B) ≤ volQ (A) + volQ (B) .

para cualesquier P y Q particiones de R.Tomando el supremo sobre P y después el ínfimo sobre Q se concluye que

supP∈P(R)

( ˚volP (A) + ˚

volP (B))≤ ˚

vol (A ∪ B) ≤ vol (A ∪ B) ≤ ınfQ∈P(R)

(volQ (A) + volQ (B)

).

Basta ver quesup

P∈P(R)

( ˚volP (A) + ˚

volP (B))

= ˚vol (A) + ˚

vol (B)

338

9.3. Propiedades básicas.

y queınf

Q∈P(R)

(volQ (A) + volQ (B)

)= vol (A) + vol (B) .

La segunda de estas igualdades ya fue demostrada en (9.2.5). La primera es análoga, sean X y Ysubconjuntos de números reales positivos, entonces

supx + y|x ∈ X, y ∈ Y = supy∈Y

supx∈X

(x + y) = supy∈Y

(supX + y

)= supX + supY.

Esto concluye la propiedad de aditividad.

( 9.3.3 ) Sean A y B subconjunto de Rn cuyo volumen tiene medida en el sentido de Jordán tales que A ⊂ B.Entonces B \ A también tiene volumen en el sentido de Jordán y vol (B \ A) = vol (B)− vol (A) .

Se observa que B \ A = B ∩ A, por lo que ∂(B \ A) ⊂ ∂B ∩ ∂(A)

y según (9.2.4) ∂(B \ A) es Jordánmedible con medida de Jordán cero. En consecuencia (9.2.2) B \ A es Jordá medible. Con notar queB = (B\A)∪A y que (B\A)∩A = ∅, y utilizando la propiedad aditiva de la medida de Jordán se concluyeque

vol (B) = vol (B \ A) + vol (A) ,

que es exactamente lo que se quería demostrar.

( 9.3.4 ) Sean A y B subconjunto de Rn cuyos volúmenes son medibles en el sentido de Jordán. Entonces losvolúmenes de A∩B, A\B, B\A y A∪B tienen medida en el sentido de Jordan. Estas medidas están relacionadaspor

vol (A ∪ B) = vol (A) + vol (B)− vol (A ∩ B) .

Se usará (9.2.2) para cada caso. Primero hay que recordar que ∂X = ∂(X)

para cada X ⊂ Rn,entonces se verifica que la frontera de cada conjunto está contenida en ∂A∪∂B. Según (9.2.5) el conjunto∂A∪∂B tiene medida de Jordán cero y según (9.2.4) todas las fronteras de los conjuntos también tienenmedida de Jordán cero, en consecuencia, los conjuntos son medibles en el sentido de Jordán.

Para verificar la fórmula se observa que

A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B),

y las uniones son de conjuntos ajenos a pares. La propiedad aditiva de la medida de Jordán (9.3.2)muestra entonces que

vol (A ∪ B) = vol (A \ B) + vol (B \ A) + vol (A ∩ B) .

Con notar queA = (A \ B) ∪ (A ∩ B)

y que la unión es ajena, se concluye que

vol (A) = vol (A \ B) + vol (A ∩ B) .

Luego, se puede ver quevol (A ∪ B) = vol (A) + vol (B \ A) .

Al restar y sumar vol (A ∩ B) se concluye la fórmula requerida.

( 9.3.5 ) Sean A ⊂ Rn y B ⊂ Rm dos subconjuntos medibles en el sentido de Jordán. Entonces A× B ⊂ Rn+m

es medible en el sentido de Jordán y vol (A× B) = vol (A) vol (B) .

339


Sea R1 un intervalo en Rn que contiene A y R2 un intervalo en Rm que contiene B. Sean

P1 = P1,1 ⊗ . . .⊗ P1,n

yP2 = P2,1 ⊗ . . .⊗ P2,m

particiones de R1 y R2, respectivamente. Entonces, R = R1 ×R2 es un intervalo que contiene a A×B y

P = P1 ⊗ P2 = P1,1 ⊗ . . .⊗ P1,n ⊗ P2,1 ⊗ . . .⊗ P2,m

es una partición de R. Nota que si P(1)j1,...,jn y P(2)

i1,...,im son sendos subintervalos componentes de R1 y R2

formados por sendos puntos de las particiones P1 y P2 entonces P(1)j1,...,jn × P

(2)i1,...,im es un subintervalo de

R formado por puntos de la partición P. Además

P(1)j1,...,jn ⊂ A y P(2)

i1,...,im ⊂ B Ñ P(1)j1,...,jn × P

(2)i1,...,im ⊂ A× B,

por lo que˚volP1 (A) ˚

volP2 (B) ≤ ˚volP (A× B) .

También se cumple que

P(1)j1,...,jn ∩ A = ∅ y P(2)

i1,...,im ∩ B = ∅ Ñ P(1)j1,...,jn × P

(2)i1,...,im ∩ A× B = ∅,

de dondeP(1)j1,...,jn × P

(2)i1,...,im ∩ A× B 6= ∅ Ñ P(1)

j1,...,jn ∩ A 6= ∅ o bien P(2)i1,...,im ∩ B 6= ∅.

Por lo tantovolP (A× B) ≤ volP1 (A) volP2 (B) ,

usando (9.1.11), se ve que

˚volP1 (A) ˚

volP2 (B) ≤ ˚volP (A× B) ≤ volP (A× B) ≤ volP1 (A) volP2 (B) .

Tomando los ínfimos y supremos correspondientes en un orden conveniente se concluye que

vol (A) vol (B) = ˚vol (A) ˚

vol (B) ≤ ˚vol (A× B)

≤ vol (A× B) ≤ vol (A) vol (B) = vol (A) vol (B) .

Lo cual muestra que A× B tiene volumen de Jordán y que este coincide con vol (A) vol (B) .

§ 9.4. Cambios lineales de variables.A veces no es fácil trabajar con un sistema coordenado dado, entonces conviene trabajar en otro sis-

tema coordenado. Aunque existen fórmulas generales para el cambio de sistemas coordenados a partirde difeomorfismos aquí será de interés exclusivo el caso de cambios de variables lineales. Convieneentonces repasar un poco de propiedades de los cambios de variables y los cambios de variables elemen-tales. Dado que las siguientes propiedades pueden ser demostradas en sucesión sin mucho esfuerzo,quedarán todas ellas a cargo del lector.

340

9.4. Cambios lineales de variables.

( 9.4.1 ) Sean E1,1, . . . , En,n la base canónica de Matn×n (R) , se dirá que las matrices

ERi→λRi = E1,1 + . . .+ Ei−1,i−1 + λEi,i + Ei+1,i+1 + . . .+ En,n,

ERi↔Rj =n∑k=1

Ek,k − Ei,i − Ej,j + Ei,j + Ej,i

yERi→Ri+Rj = IRn + Ei,j

son matrices elementales. Para cualquier A ∈Matn×n (R) , ERi→λRiA se obtiene de A al multiplicar su i-ésima filapor λ. Análogamente, ERi→Ri+RjA se obtiene de A al suma a su i-ésima fila λ veces su j-ésima fila. Finalmente,ERi↔RjA se obtiene de A al intercambiar las filas i-ésima y j-ésima. En particular,

1. ERi→λRiERi→µRi = ERi→λµRi ;

2. IRn = ERi→Ri = ERi↔Ri .

A las transformaciones lineales asociadas a estas matrices se les llamará cambios de variable elementales.

Los cambios de variable elementales tienen intepretaciones geométricas muy interesantes. Por ejem-plo, el cambio ERi→λRi se entiende como un alargamiento o estiramiento por un factor constante λ deli-ésimo eje. Es evidente que si λ = 0, entonces ERi→0 es la matriz correspondiente a la proyección atodos los ejes excepto el i-ésimo.

El tipo de cambio de variable ERi↔Rj es interpretado como intercambiar los ejes i-ésimo y j-ésimo.Asimismo, el cambio ERi→Ri+Rj es una rotación por π4 hecha por el eje i-ésimo sobre el plano generadopor les ejes i-ésimo y j-ésimo y en dirección del eje j-ésimo.

Lo más interesante de los cambios de variables elementales es que toda transformación lineal sepuede descomponer como un número finito de cambios elementales.

( 9.4.2 ) Sea E una matriz elemental en Matn×n (R) , entonces para cualquier A ∈ Matn×n (R) se cumple queAE se obtiene de A al intercambiar dos columnas, multiplicar una de ellas por un escalar o a una de ellas sumarotra de ellas, según EA haga lo mismo para las filas.

( 9.4.3 ) Sean ERi→λRi , ERi↔Rj y ERi→Ri+Rj como en (9.4.1), entonces

1. si λ 6= 0, la inversa de ERi→λRi es ERi→ 1λRi

;

2. la inversa de ERi↔Rj es ella misma;

3. la inversa de ERi→Ri+Rj es ERi→Ri−Rj .

( 9.4.4 ) Sea M ∈ Matn×n (R) , entonces existe una sucesión S1, . . . , Sk de matrices elementales (ve (9.4.1))tales que M = Sk · · ·S1. Más aún, una condición necesaria y suficiete para que M sea invertible es que cada Sjsea invertible.

Ahora sí se empezarán a demostrar las propiedes referentes a la medida del volumen de la imagende una caja a través de una transformación lineal.

( 9.4.5 ) Sean S, T : Rn → Rn dos transformaciones lineales tales que para todo C ⊂ Rn que sea mediblesegún Jordán se cumple que T(C) y S(C) son medibles según Jordán, y que vol (T(C)) = |det(T)|vol (C) yvol (S(C)) = |det(S)|vol (C) . Entonces

vol (S(T(C))) = |det(ST)|vol (C) .

341


De la hipótesis se sigue que

vol (S(T(C))) = |det(S)|vol (T(C)) = |det(S)||det(T)|vol (C)= |det(S) det(T)|vol (C) = |det(ST)|vol (C) ,


( 9.4.6 ) Sea C ⊂ Rn un subconjunto medible según Jordán y T : Rn → Rn una trasformación lineal elemental.Entonces T(C) es medible según Jordán y vol (T(C)) = |det(T)|vol (C) .

La demostración constará de varios pasos.

( 9.4.6.1 ) Para cualquier S que sea una transformación elemental del tipo Ri → λRi y cualquier R ⊂ Rn unintervalo se cumple que vol (S(R)) = |det(S)|vol (R) .

Se supone que R posee como k-ésimo intervalo generador a [ak, bk]. Entonces, S(R) es un rectángulocuyo i-ésimo intervalo generador es [λak, λbk] si λ ≥ 0 o [λbk, λak] si λ < 0, y cuyos otros intervaloscomponentes son [ak, bk], k 6= i. Luego,

vol (S(R)) = (b1 − a1) · · · |λbi − λai| · · · (bn − an) = |λ|n∏k=1

(bk − ak) = |λ|vol (R) .

Es claro de la representación matricial de S que det(S) = |λ|.

( 9.4.6.2 ) Para cualquier S que sea una transformación elemental del tipo Ri → 0 y cualquier C ⊂ Rn unsubconjunto medible según Jordán entonces S(C) es medible según Jordán y vol (S(C)) = 0.

Sea R un intervalo que contiene a C, entonces S(C) ⊂ S(R). Por la parte previa, se ve que

vol (S(C)) ≤ vol (S(R)) = |det(S)|vol (R) = 0,

de donde se sigue lo afirmado.

( 9.4.6.3 ) Sea S una transformación elemental del tipo Ri → λRi y λ 6= 0. Para cada C ⊂ Rn que sea Jordánmedible se sigue que S(C) es Jordán medible y que vol (S(C)) = |det(S)|vol (C) .

Sea R un intervalo que contiene a C y P una partición de R. Entonces

S(C) ⊂⋃

(i1,...,in)|Pi1 ,...,in∩C 6=∅

S(Pi1,...,in ),

por lo que

volP (S(C)) ≤∑

(i1,...,in)|Pi1 ,...,in∩C 6=∅

vol (S(Pi1,...,in ))

=∑

(i1,...,in)|Pi1 ,...,in∩C 6=∅

|det(S)|vol (Pi1,...,in ) = |det(S)|volP (C)

Análogamente ⋃(i1,...,in)|Pi1 ,...,in⊂C

S(Pi1,...,in ) ⊂ S(C).

342

9.4. Cambios lineales de variables.

Se usa ahora (9.2.3) para ver2 que vol (S(Pi1,...,in )) = vol

ÅSÅ

˚Pi1,...,inãã

, y como (ve (9.1.3))

(j1, . . . , jn) 6= (i1, . . . , in)Ñ˚ Pj1,...,jn ) ∩

˚Pi1,...,in = ∅,

se concluye que

|det(S)| ˚volP (C) = |det(S)|

∑(i1,...,in)|Pi1 ,...,in⊂C

vol (Pi1,...,in )

=∑

(i1,...,in)|Pi1 ,...,in⊂C

vol (S(Pi1,...,in ))

=∑

(i1,...,in)|Pi1 ,...,in⊂C

vol

ÅSÅ

˚Pi1,...,inãã≤ ˚

volP (S(C)) .

Finalmente, ha sido demostrado que

|det(S)| ˚volP (C) ≤ ˚

volP (S(C)) ≤ volP (S(C)) ≤ |det(S)|volP (C) .

Con tomar los supremos e ínfimos en donde corresponda se ve que

vol (S(C)) = |det(S)|vol (C) ,


( 9.4.6.4 ) Sean S una transformación lineal del tipo Ri ↔ Rj y R ⊂ Rn un intervalo. Entonces vol (S(R)) =|det(S)|vol (R) .

Pues si R =n∏k=1

[ak, bk] entonces S(R) =n∏k=1

[aτ(k), bτ(k)

], en donde τ ∈ Sn es la transposición de i

con j, ve (1.3.7). Luego, vol (S(R)) =n∏k=1

(bτ(k) − aτ(k)

)=

n∏k=1

(bk − ak) = vol (R) . Es claro que det(S) = −1,

por lo que la fórmula vale también para este caso.

( 9.4.6.5 ) Sea S una transformación elemental del tipo Ri ↔ Rj . Entonces, para cualquier C ⊂ Rn que seaJordán medible se sigue que S(C) es Jordán medible y que vol (S(C)) = |det(S)|vol (C) .

Aplica exactamente la misma demostración que para las transformaciones del tipo Ri → λRi conλ 6= 0.

( 9.4.6.6 ) Sean S una transformación lineal del tipo Ri → Ri + Rj con i 6= j y R un intervalo. Entoncesvol (S(R)) = |det(S)|vol (R) .

En este caso det(S) = 1, además,

S(R) = (x1, . . . , xi−1, xi + xj , xi+1, . . . , xn)|x1, . . . , xn ∈ R.

En virtud de (9.4.5), se pueden aplicar cambios de variables Ri ↔ Rj de tal forma que

S(R) = (x1, x1 + x2, x3, . . . , xn)|(x1, . . . , xn) ∈ [0, 1]n= (x1, x1 + x2)|(x1, x2) ∈ [0, 1]2 × (x3, . . . , xn)|(x3, . . . , xn) ∈ [0, 1]n−2= (x1, x1 + x2)|(x1, x2) ∈ [0, 1]2 × [0, 1]n−2

2Observa que S es invertible, por lo que˚ S

(Pi1,...,in

)= S( ˚Pi1,...,in

).

343


Según (9.3.5) resta ver que C = (x1, x1 + x2)|(x1, x2) ∈ [0, 1]2 es medible y que

vol (C) = 1.

Sea Pn = (sn,i)i=0,...,n y Qn = (tn,j )j=0,...,2n particiones de [0, 1] y de [0, 2] dadas por sn,i = in y tn,j = j

n .Sea Rn = Pn ⊗Qn partición del intervalo [0, 1]× [0, 2]. Supón que

˚volRn (C) = 1− 1

n y volRn (C) = 1 + 3n −

2n2 .

Entonces, se seguiría que ˚vol (C) ≥ 1− 1

n y vol (C) ≤ 1+ 3n −

2n2 para cualquier n ∈ N. Luego, se podría

concluir que ˚vol (C) = vol (C) = 1, lo cual terminaría la prueba del lema. Por lo tanto, todavía se deben

demostrar las dos igualdades supuestas. Sea Pni,j = [sn,i−1, sn,i]× [tn,j−1, tn,j ]. Entonces

Pi,jn ⊂ C ⇔ i ∈ 1, . . . , n, j ∈ i + 1, . . . , i + n − 1;

en efecto, si i ∈ 1, . . . , n y j ∈ i+1, . . . , i+n− 1, entonces para (x, y) ∈ Pni,j se ve que x ∈ï i − 1

n , in

òy que y ∈

ï j − 1n , jn

ò, por lo que 0 ≤ y−x ≤ 1, y de la definición de C se puede concluir que (x, y) ∈ C;

recíprocamente, se supone que Pni,j ⊂ C cualquiera. Entonces, los cuatro puntosÅ i − 1n , j − 1

n

ã,Å i − 1

n , jn

ã,Å in ,

j − 1n

ãy

Å in ,

jn

ãpertenecen a Pni,j . Usando la definición de C se concluyen las siguientes deigualdades, cada una de estasse obtiene al notar que (x, y) ∈ C ⇔ (x, y − x) ∈ [0, 1]2,

1 ≤ i ≤ n + 1 i ≤ j ≤ n + i1 ≤ i ≤ n + 1 i − 1 ≤ j ≤ n + i − 1

1 ≤ i ≤ n i ≤ j ≤ n + i1 ≤ i ≤ n i − 1 ≤ j ≤ n + i − 1

Por lo tanto, estas 8 desigualdades valen únicamente cuando i ≤ i ≤ n e i ≤ j ≤ n + i − 1. Como todoslos Pni,j tienen volumen 1

n2 y hay n(n− 1) contenidos en C se obtiene la igualdad para la aproximacióndel volumen interior a C respecto de Rn. La otra igualdad se resuelve análogamente, simplemente severifica que Pni,j ∩ C si y solo si i ∈ 2, . . . , n − 1, j ∈ i − 1, . . . , i + n + 1 o bien i = 1, j = 1, . . . , n + 2o bien i = n, j = n − 1, . . . , 2n. De donde, hay (n − 2)(n + 3) + 2(n + 2) = n2 + 3n − 2 subintervalos Pni,jcuya intersección con C es no vacía. Esto concluye la demostación del lema.

( 9.4.6.7 ) Sea S una transformación elemental del tipo Ri → Ri+Rj . Para cada C ⊂ Rn que sea Jordán mediblese sigue que S(C) es Jordán medible y que vol (S(C)) = |det(S)|vol (C) .

Aplica exactamente la misma demostración que para los otros dos tipos de transformaciones ele-mentales. Esto concluye la demostración del teorema.

( 9.4.7 ) Sea T : Rn → Rn una transformación lineal cualquiera y C ⊂ Rn un conjunto Jordán medible, entoncesT(C) es Jordán medible y vol (T(C)) = |det(T)|vol (C) .

344

9.5. Ejercicios.

Se sabe que para T existe una sucesión S1, . . . , Sk de transformaciones lineales elementales, para lascuales vale el teorema, y tales que T = S1 · · ·Sk, entonces

vol (T(C)) = |det(S1) · · ·det(Sk)|vol (C) = |det(T)|vol (C) ,

en donde la última igualdad es válida según el ejercicio (1.41).

( 9.4.8 ) Sea T : Rn → Rn una transformación ortogonal (ve (5.2.3)). Para cualquier C ⊂ Rn que sea Jordánmedible, T(C) es Jordán medible y vol (T(C)) = vol (C) .

Lo que hay que demostrar es que si T es ortogonal, entonces |det(T)| = 1. Se afirma que si Tes ortogonal y [T] es la representación matricial de T, entonces [T]ᵀ, la matriz transpuesta de [T],representa a la inversa de T. Se sabe que Tei es la columna i-ésima de [T] y, por tanto, es la fila i-ésimade [T]ᵀ. Usando ahora (5.2.4), se ve que Te1, . . . , Ten son una base ortogonal de vectores unitarios,por lo tanto, [T][T]ᵀ = [T]ᵀ[T] = [IRn ] , que demuestra lo afirmado.

Finalmente, en virtud del ejercicio (1.41) se ve que

1 = det ([IRn ]) = det([T]) det([T]ᵀ) = det([T])2,

por lo que |det([T])| = 1.

( 9.4.9 ) Sea T : Rn → Rn una transformación rígida (ve (5.2.3)). Para cualquier C ⊂ Rn que sea Jordánmedible, T(C) es Jordán medible y vol (T(C)) = vol (C) .

En virtud de (5.2.7), se puede suponer que T = O + P, en donde P ∈ Rn es fijo y O es unatransformación ortgonal. Observa que si para cualquier traslación L : X 7Ï X + P se cumple quevol (L(C)) = vol (C) , entonces, en virtud de (9.4.8) se habrá concluido.

( 9.4.9.1 ) Si L : Rn → Rn es una traslación entonces para cualquier conjunto C ⊂ Rn que sea medible en elsentido de Jordán se sigue que L(C) es medible en el sentido de Jordán y que vol (L(C)) = vol (C) .

El caso en que C es un rectángulo se obviará por ser trivial. Ahora bien, se considera R un intervaloque contiene a C, entonces

Pi1,...,in ⊂ C ⇔ L(Pi1,...,in ) ⊂ L(C)y

Pi1,...,in ∩C 6= ∅⇔ L(Pi1,...,in ) ∩ L(C) 6= ∅,de donde se sigue lo afirmado.

§ 9.5. Ejercicios.( 9.1 ) Verifica (9.1.3).

( 9.2 ) Complete la demostración de (9.1.10).

( 9.3 ) El disco unitario B (0; 1) ⊂ R2 tiene volumen de Jordán. Se define el número π como su volumen.

( 9.4 ) Cualquier disco tiene área. Encuentra el área de un disco de radio r como función de π y r.

( 9.5 ) Un cilindro tiene área, encuentra el área de un cilindro de radio r y altura h.

( 9.5.1 ) Un paralelogramo tiene área, calcula el área de un paralelogramo de lados a, b y alturas h1 y h2.

( 9.6 ) Todo trapecio tiene área, encuentra el área de un trapecio de base mayor a, base menor b y altura h.Sugerencia: recuerda (9.3.2) y (9.4.9)

345


( 9.7 ) Existen dos conjuntos C1 y C2 que no son medibles en el sentido de Jordán pero tales que C1 ∪C2 sí loes.

( 9.8 ) Considera la región C = (x, y) ∈ R2|x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x), en donde f : [a, b] → R es integrableen el sentido de Riemann (4.6.2). Entonces, C tiene volumen de Jordán y

b∫a

f (t)dt = vol (C) .

( 9.9 ) Considera f : [0, 1]n → [0,∞) continua y sea C = (X, z)|0 ≤ z ≤ f (X). Define Pm =Å km

ãk=0,...,m

y

pon P(m) =m⊗i=1

Pm. Define

m(m)i1,...,in = ınf

X∈P(m)i1 ,...,in

f (X)

e igualmente M (m)j1,...,jn pero tomando el supremo. Verifica que

L(m) =∑

(i1,...,in)

m(m)i1,...,invol

ÄP(m)i1,...,in

ä≤ vol (C)

y quevol (C) ≤

∑(i1,...,in)

M (m)i1,...,invol

ÄP(m)i1,...,in

ä= U (m).

Finalmente, muestra que U (m) − L(m) → 0 cuando m→∞. Concluye que

vol (C) = lımm→∞

L(m).

Entonces, la medida de Jordán puede usarse para definir∫[0,1]n

f (X)dX = vol (C) .

( 9.10 ) Sea C ⊂ [0, 1] el conjunto de Cantor, ejercicio (3.44). Entonces, C posee medida de Jordán y esta valecero.

( 9.11 ) Sean C ⊂ Rn un conjunto y R un intervalo cerrado n-dimensional tal que C ⊂ R. Se supondrá queP ∈ P(R) es una partición de R. Entonces, una condición necesaria y suficiente para que C sea Jordán mediblees que C ∩ Pi1,...,in es Jordan medible para cada subintervalo componente Pi1,...,in de P. En este caso,

vol (C) =∑

(i1,...,in)

vol (C) ∩ Pi1,...,in .

( 9.12 ) Sea C ⊂ Rn. Una condición necesaria y suficiente para que ÙC 6= ∅ es que ˚vol (C) > 0.

( 9.13 ) Sea P ∈ Rn cualquier punto. Entonces, P posee medida de Jordán igual a cero. Luego, usandoinducción, demuestra que cualquier cantidad finita de puntos posee medida de Jordán cero; esto es, si C ⊂ Rn

es finito, vol (C) = 0.

346

9.5. Ejercicios.

( 9.14 ) Sean C1, C2 ⊂ Rn dos subconjuntos medibles según Jordán tales que

C1 M C2 = (C1 \C2) ∪ (C2 \C1) ⊂ ∂C1 ∪ ∂C2.

Entonces, vol (C1) = vol (C2) .

( 9.15 ) Sea C ⊂ Rn un conjunto Jordán medible. Para cualquier ε > 0 existe un conjunto compacto K ⊂ C talque vol (C \K) < ε.

( 9.16 ) Si R1y R2 son dos intervalos cerrados n-dimensionales entonces R1∩R2 es un intervalo cerrado también.

( 9.17 ) Sea R ⊂ Rn un intervalo cerrado y define a A ⊂ P (Rn) como el conjunto de las uniones finitas desubintervalos cerrados de R; esto es, C ∈ A si existe una familia finita (R1, . . . , Rk) de subintervalos cerrados deR tales que C = R1 ∪ . . . ∪ Rn. Entonces, A es un «álgebra de conjuntos»; esto es, A satisface las siguientestres propiedades

1. R ∈ A ;

2. A,B ∈ A Ñ A ∪ B ∈ A ;

3. A ∈ A Ñ RA ∈ A .

Observa que la tercera propiedad previa no puede ser reemplazada por la siguiente propiedad más fuerte:

4. si (An)n∈N es una familia de elementos de A entonces∞⋃n=1

An ∈ A .

Sugerencia: trata de construir el ejemplo en [0, 1]. Define An =ï0, 1− 1

n

ò. Entonces, An pertenece a la

álgebra A correspondiente pero su unión no.

( 9.18 ) Demuestra que el conjunto A ⊂ P (Rn) de los subconjuntos medibles según Jordán conforma unaálgebra, tal como se definió en (9.17).

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