NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA DE CASCAS … - SEMNI 2005...baseada na separação explícita dos movimentos de corpo rígido e deformacional. Esta separação segrega a não-linearidade

Congreso de Métodos Numéricos en Ingeniería 2005 Granada, 4 a 7 de Julio, 2005

© SEMNI, España 2005

NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA DE CASCAS FINAS DISCRETIZADAS COM ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES

APLICANDO A DESCRIÇÃO CINEMÁTICA CO-ROTACIONAL

Renato C. G. Menin*, William T. M. Silva

Grupo de Análise Não-Linear de Estruturas Programa em Estruturas e Construção Civil

Faculdade de Tecnología – Departamento de Engenharia Civil Universidade de Brasília / UnB

Campus Darcy Ribeiro, 70910-900 – Brasília / DF, Brasil e-mail: [email protected], [email protected]

Palavras-chave: Não-Linearidade, Cascas Finas, Formulação Co-Rotacional

Resumo. No presente trabalho, será apresentada uma análise de instabilidade de cascas finas envolvendo não-linearidade geométrica utilizando a descrição cinemática co-rotacional. As estruturas foram discretizadas empregando-se elementos finitos planos e triangulares, sendo admitido que as deformações sejam pequenas ou infinitesimais. A formulação co-rotacional é baseada na separação explícita dos movimentos de corpo rígido e deformacional. Esta separação segrega a não-linearidade aos movimentos de corpo rígido, permitindo a reutilização de modelos lineares de elementos finitos para obter a resposta deformacional, ao passo que as grandes translações e rotações de corpo rígido, que caracterizam a não-linearidade geométrica possam ser tratadas separadamente.

Renato C. G. Menin, William T. M. Silva

2

1. INTRODUÇÃO

Hoje em dia se presencia o aumento da utilização de estruturas cada vez mais esbeltas em várias áreas da engenharia, tais como: edificações, pontes, cascos de navios, fuselagens de aviões, cúpulas de coberturas e estruturas off-shore. Porém, devido a esta esbeltes, que é possível graças à utilização de materiais com alta resistência e baixo peso próprio, estas estruturas podem estar sujeitas a fenômenos de instabilidade de equilíbrio, que podem ocorrer localmente ou de maneira global. Portanto, é necessário que o engenheiro tenha ferramentas que sejam capazes de realizar uma análise qualitativa e quantitativa do comportamento destas estruturas, tanto na fase pré-crítica, na qual estes fenômenos ainda não ocorreram, quanto na fase posterior à perda de estabilidade de equilíbrio, denominada fase pós-crítica. O fato de um sistema estrutural apresentar instabilidade de equilíbrio não implica necessariamente que o mesmo tenha perdido a sua capacidade portante. A perda ou não desta capacidade está intimamente relacionada com a natureza da instabilidade que possa ocorrer no sistema. Desta maneira, se torna necessário conhecer a natureza deste fenômeno para melhor avaliar o desempenho da capacidade portante de uma estrutura. Nos estudos relacionados a este tipo de fenômenos, observa-se que em um grande número de casos a estrutura ou componente estrutural se comporta elasticamente mesmo na fase pós-crítica de modo que ocorrem apenas não-linearidades geométricas (grandes deslocamentos e pequenas deformações) e com isso possibilitando que se adote como hipótese simplificada que as deformações sejam pequenas ou mesmo infinitesimais, usualmente dentro do regime elástico. Esta simplificação resulta em uma série de benefícios na construção dos modelos de elementos finitos para a análise de instabilidade, de modo a permitir o uso de modelos lineares para obter a resposta deformacional do sistema ao passo que as grandes translações e rotações de corpo rígido, que caracterizam a não linearidade geométrica nas fases pré e pós-crítica possam ser tratadas separadamente. A formulação co-rotacional para a análise não linear geométrica de estruturas é portanto baseada na separação dos movimentos de corpo rígido e deformacional. Esta separação segrega a não-linearidade aos movimentos de corpo rígido, de modo a permitir a reutilização de modelos lineares de elementos finitos já existentes. No presente trabalho, será apresentada uma análise de instabilidade de cascas finas envolvendo não-linearidade geométrica utilizando a descrição cinemática co-rotacional. As estruturas de cascas finas foram discretizadas empregando-se elementos finitos planos e triangulares contendo três nós por elemento e seis graus de liberdade por nó, sendo adotado como hipótese simplificada que as deformações sejam pequenas ou mesmo infinitesimais. Nos exemplos numéricos, para a obtenção da trajetória de equilíbrio, é utilizado o método de comprimento de arco cilíndrico, combinado com o método de Newton-Raphson. 2. HISTÓRICO DA FORMULAÇÃO CO-ROTACIONAL

O conceito da formulação co-rotacional foi introduzido inicialmente por Wempner [1] que desenvolveu uma formulação para o estudo de cascas sujeitas a pequenas deformações e grandes deslocamentos e por Belytschko & Hsieh [2] que estudaram elementos de viga sujeitos a grandes rotações e propuseram um método baseado em um sistema de coordenadas curvilíneas denominado “convected coordinates”.


3

Posteriormente, Fraeijs de Verbeke [3] desenvolveu uma formulação co-rotacional para a análise dinâmica de estruturas, porém utilizando um único sistema de eixos co-rotacionais para a estrutura como um todo, estando mais voltada para uma solução analítica do problema do que para uma formulação de elementos finitos, sendo denominada “shadow element”. A determinação deste sistema de eixos único para a estrutura como um todo criava uma série de dificuldades de modo que o conceito da configuração fantasma ou shadow element, foi levado para o nível do elemento por vários pesquisadores, dentre os quais se destacam Bergan & Horrigmoe [4] e Bergan & Nygard [5]. Nos trabalhos de Bergan e Nygard, o conceito da configuração fantasma foi usado pelos autores para eliminar os movimentos de corpo rígido de cada um dos elementos e obter apenas o movimento deformacional, a partir do qual pode ser computado o vetor de forças internas do elemento. Entretanto, as derivadas do vetor de forças internas não foram usadas diretamente na formação da matriz de rigidez tangente, fato que conduziu a uma perda de consistência. Outra importante contribuição é atribuída a Rankin & Brogan [6], que introduziram a chamada formulação EICR (Element Independent Corotational Formulation), que foi posteriormente refinada por Rankin & Nour-Omid [7] e por Nour-Omid & Rankin [8]. Esta formulação não utiliza explicitamente o conceito do “shadow element”, mas o caminho para a obtenção dos deslocamentos deformacionais, que se baseia no uso de operadores de projeção, também chamados projetores, é bastante similar ao processo utilizado por Bergan & Nygard [5]. Estes autores usaram a formulação co-rotacional diretamente para formar a matriz de rigidez tangente, proporcionando uma matriz de rigidez consistente. Entretanto, a formulação de Nour-Omid e Rankin [8] ainda apresentava restrições no número de graus de liberdade que poderiam participar na rotação do sistema de coordenadas do elemento e ao mesmo tempo manter a consistência da matriz de rigidez tangente. Para resolver este problema, Haugen [9] desenvolveu um trabalho aplicado para o estudo de cascas finas discretizadas por elementos planos triangulares e quadrangulares que continham o grau de liberdade de rotação torsional (drilling), combinando as principais características das duas formulações anteriores (shadow element e EICR). Outras contribuições na formulação co-rotacional são atribuídas a Cole [10] e Crisfield [11] que apresentaram formulações consistentes para a análise não linear geométrica de pórticos planos e espacias; Cardona [12] que utilizou o conceito da formulação co-rotacional para o estudo de mecanismos; Crisfield & Shi [13] que apresentaram um procedimento para a análise dinâmica não-linear de treliças planas; Pacoste & Eriksson [14] que estudaram problemas de instabilidade para elementos de viga no plano e no espaço, comparando as descrições lagrangiana total e co-rotacional e, posteriormente, Pacoste [15] que fez estudos de instabilidade de cascas seguindo basicamente a formulação descrita por Nour-Omid & Rankin [8] através da utilização de projetores, porém implementando uma parametrização das rotações finitas no espaço que leva a uma mudança de variáveis adicional; Menin & Taylor [16] que estudaram o comportamento pós-crítico de sistemas de barras articuladas no plano e no espaço utilizando distintas medidas de deformações; Menin & Taylor [17] que estudaram problemas de instabilidade de pórticos planos discretizados com elementos de viga de Euler-Bernoulli; e finalmente Menin & Taylor [18] e Monteiro [19] que estudaram problemas envolvendo não-linearidade geométrica de pórticos espaciais baseando-se no conceito de operadores de projeção.


4

3. DESCRIÇÃO CINEMÁTICA

No presente capítulo será descrita a formulação co-rotacional para um elemento de casca plano e triangular baseando-se em especial nos trabalhos apresentados por Haugen [9] e Nour-Omid & Rankin [8]. O movimento de um elemento de casca triangular desde a sua configuração inicial C0 até a configuração atual Cn é mostrado na Fig. (1), sendo utilizados três sistemas distintos de eixos cartesianos ortogonais da mesma forma que a empregada por Rankin & Brogan [6]:

• Sistema global-xyz utilizado para definir a conectividade entre os elementos. • Sistema local T que sofre translações e giros ao acompanhar o elemento, sendo em geral

conhecido na literatura como sistema co-rotacional. • Sistemas nodais A, B e C que estão atrelados respectivamente aos nós 1, 2 e 3 de cada

elemento triangular.

Figura 1 – Configurações inicial, co-rotacionada e deformada do elemento de casca. O sistema local T, definido na configuração inicial C0 como T0, pode ser expresso por:

=T

T

T

0_3

0_2

0_1

0

iii

T (1)

i1_0 = 21

21

XX i3_0 =

31_

31_

Xi

Xi

01

01

×

× i2_0 =

0_1_3

0_1_3

ii

ii

0

0

×

× (2)

sendo Xij = Xi – Xj, tal que o vetor Xi representa a posição inicial do nó i na configuração C0. No presente trabalho, a origem do sistema local T0 é o centróide, definido como sendo a média aritmética das coordenadas nodais de cada elemento.

centr o centr n

u1

Rθ3

Rθ1

Rθ2

u3

u2

Ao

Bo

Co

C

B

A

x y

z

1

2

3 3

2

1

Co CR

T To

Cn


5

A orientação inicial dos sistemas nodais A, B e C na configuração C0, denominadas A0, B0 e C0 respectivamente, é escolhida igual a dos eixos locais:

T0000 TCBA === (3)

O movimento do elemento entre as configurações inicial e atual pode ser subdividido em duas etapas. Observando-se a Fig. (1) novamente, inicialmente os nós 1, 2 e 3 sofrem translações representadas por u1, u2 e u3; sendo ui composto por uma parcela de corpo rígido ui

r e uma parcela deformacional ui

d; e em seguida, os sistemas nodais A, B e C sofrem rotações de θ1, θ2 e θ3 com relação a referência inicial T0, gerando curvaturas no elemento. A posição dos nós em Cn pode então ser dada por:

xi = Xi + ui (4)

ao passo que a orientação dos eixos nodais pode ser obtida por:

[ ] 0321 .1

ARaaaA θ== [ ] 0321 .2

BRbbbB θ== [ ] 0321 .3

CRcccC θ== (5)

O sistema co-rotacional T na configuração atual Cn, por sua vez pode ser definido da seguinte forma, segundo Haugen [9]:

TT

T

T

T

θRiii

T =

=

3

2

1

(6)

i1 =21

21

xx i3 =

31

31

xixi

1

1

××

i2 = 13

13

iiii

××

(7)

Uma vez definido o sistema de eixos co-rotacionais, estabelece-se a mudança de coordenadas entre o sistema global xyz e o local xeyeze através das seguintes operações descritas por Monteiro [19], sendo x e X quantidades tensoriais de primeira e segunda ordem, respectivamente:

xTx .=e Te TXTX ..= (8)

O próximo passo é a determinação dos deslocamentos e rotações deformacionais medidos no sistema local, também denominados co-rotacionais, obtidos a partir dos deslocamentos generalizados globais do elemento. Inicialmente, serão calculadas as posições do i-ésimo nó do elemento genérico, conforme apresentado na Fig. (2), nas configurações inicial C0 e atual Cn, designadas respectivamente pelos vetores Xi

c e xic:

( )centric

i XXTX −= .0 ∑=

=3

131

kkcentr XX (9)

( )centric

i xxTx −= . ∑=

=3

131

kkcentr xx (10)


6

O deslocamento co-rotacional uic pode então ser obtido, escrevendo-se localmente a relação

definida na Eq. (4) e substituindo-se os valores de xic e Xi

c definidos acima:

( ) ( )centricentric

ic

ic

i XXTxxTXxu −−−=−= .. 0 (11)

Figura 2 – Translações e rotações de um elemento genérico de casca triangular. Lembrando que o deslocamento corrente de rotação θi compõe-se de uma parcela rígida θr seguida de uma parcela deformacional θd,i e que a rotação de corpo rígido do elemento é por definição a rotação entre os eixos T0 e T, então:

ridi θθθ RRR .,= (12)

0.TTR Tr =θ (13)

Substituindo-se a Eq. (13) em (12), obtém-se:

( )TTi

Triid 0, ... TTRRRR θθθθ ==

TTRR .. 0,T

iid θθ = (14)

A rotação co-rotacional θic pode então ser obtida efetuando-se a mudança de coordenadas

proposta na Eq. (8):

Tiic 0.. TRTR θθ

= ( )ci

rotci θ

Rθ = (15)

A mudança de variáveis, inerente à formulação co-rotacional fica portanto definida pelas equações (11) e (15).

Xi

xi

Xcentr xcentr

centr o centr n

C n

C R C o

ui

uir ui

dRθi

Rθd,i

Rθr

x y

z

Node i - Co Node i - CR

Node i – Cn


7

4. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

Uma vez atingida uma configuração de equilíbrio, o trabalho virtual externo (δWe), realizado pelas forças nodais generalizadas externas Fext sobre os deslocamentos virtuais nodais generalizados de toda a estrutura δD, será igual ao trabalho virtual interno (δWi), proveniente do somatório do trabalho virtual realizado pela distribuição de tensão que atua em cada um dos elementos, de modo que:

δWe = δDT. Fext (16)

δWi = ( )∑ ∫−Vo

dV0.σε Tδ (17)

Em virtude do princípio da invariância da energia interna para o caso de movimentos de corpo rígido, o trabalho realizado pelas forças internas durante deslocamentos virtuais rígidos será nulo e conseqüentemente, este trabalho é proveniente somente de δdd que representa a parcela deformacional de δd. Além disso, por se tratar de uma quantidade escalar, o trabalho virtual interno proveniente dos deslocamentos deformacionais medidos nos sistemas global e local devem ser iguais e portanto:

δWi (δd) = δWi (δdd) = δWi (δdc) (18)

sendo δdc os deslocamentos virtuais co-rotacionais generalizados do elemento e portanto representa a parcela de deslocamentos deformacionais δdd escrito no sistema local. Vale ressaltar que é muito mais vantajoso definir as tensões e deformações conjugadas no sistema local, uma vez que devido ao fato do campo de deslocamentos co-rotacionais ser exclusivamente deformacional, pode-se linearizar a relação deslocamento-deformação desde que localmente as deformações sejam pequenas. Esta hipótese torna-se mais realista à medida que a malha é refinada. Supondo uma relação deformação-deslocamento local linear, é possível escrever a seguinte expressão para o campo de deformações ε em função dos deslocamentos co-rotacionais dc do elemento:

ε = Bd c. dc ε = ε(xe,ye,ze) (19)

lembrando que neste caso Bd c independe de dc. Substituindo-se:

δε = ccd

cc dBd

dε δδ .. =

∂∂ (20)

na Eq. (17) obtém-se a seguinte expressão para o trabalho virtual interno:

δWi = ( ) ( ) ( ) cTTT

Vo

dV fdσBd ccd

c .... 0 ∑∑ ∫ −=− δδ (21)

sendo f c as forças co-rotacionais generalizadas do elemento que realizam trabalho com os deslocamentos virtuais δdc, tal que:


8

( )∫=Vo

Tc dV0..σBf cd σ = σ (xe,ye,ze) (22)

Admitindo-se as seguintes expressões que relacionam os deslocamentos (δdc), (δde) e (δd):

δdc = P. δde δde = G. δd (23)

então:

δdc = P. G. δd (24)

e substituindo-se a equação acima na Eq. (21), obtém-se:

δWi = FDfPGd T .... TcTT δδ −=− ∑ (25)

sendo F o vetor de forças nodais generalizadas de toda a estrutura obtido a partir da contribuição f de cada elemento:

F = ∑ ∑ ∑== ffGfPG ecT ... TT (26)

Vale ressaltar que a transformação P que aparece na Eq. (23) atua como um filtro para os deslocamentos deformacionais, uma vez que ao ser aplicada sobre o vetor de deslocamentos δde extrai-lhe a sua parcela deformacional δdc. Portanto, se P elimina a parcela de deslocamento rígido de δde, então ao ser aplicada sobre a sua parcela deformacional, resulta nela mesma:

δdc = P. δdc = P. P. δde = P 2. δde 2PP = (27)

Utilizando as Eq. (16) e (25) no princípio dos trabalhos virtuais e considerando a arbitrariedade de δD, resulta no seguinte sistema não linear, cuja solução pode ser obtida pelo processo incremental-iterativo de Newton-Raphson:

Ψ = Fext – F = 0 (28)

Vale enfatizar o fato de que no método de Newton-Raphson, os deslocamentos nodais generalizados são atualizados da seguinte forma:

Dk+1 = Dk + δDk (29)

sendo invariavelmente inconsistente para os deslocamentos de rotação, representando apenas uma estimativa arbitrária para a posição de equilíbrio e portanto desprovida de sentido físico. Uma nova estimativa para o deslocamento translacional ui é obtida a partir de seu valor corrente adicionando-lhe o deslocamento iterativo δui:

ui k+1 = ui

k + δui k (30)

ao passo que a atualização para a rotação nodal, não podendo ser feita da mesma maneira, é obtida atualizando-se a matriz de rotação associada. Dada a estimativa inconsistente natural do método:

θi k+1 = θi

k + δθi k (31)


9

a matriz de rotação associada ao deslocamento θi é atualizada consistentemente na forma:

...1 ++=+ kkkiii θθθ δRRR (32)

sendo a variação δRθ calculada diferenciando-se, em relação a θ, a matriz de rotação definida em Monteiro [19] e apresentada a seguir na Eq. (33), sendo esta expressão conhecida na literatura como fórmula de Rodrigues:

Rθ = I + senθ. Se + (1-cosθ). Se2 (33)

δRθ = Se. Rθ. δθ + senθ. δSe + (1– cosθ).(δSe. Se + Se. δSe) (34)

5. MUDANÇA DA VARIÁVEL ITERATIVA DE ROTAÇÃO

Nesta seção será efetuada uma mudança na variável iterativa de rotação de acordo com a formulação co-rotacional apresentada por Nour-Omid & Rankin [8], segundo a qual é importante diferenciar o deslocamento virtual de rotação iθδ da rotação do sistema nodal δ

iθ , uma vez que esta última não está relacionada com a variação do campo de deslocamento de rotação do elemento e sim com o giro instantâneo da tríade nodal. Portanto, será empregada a rotação do eixo nodal iθδ como variável iterativa de rotação no lugar do deslocamento virtual iθδ . Com esta mudança, a variável de rotação passa a ser θ , estando esta variável associada ao mesmo estado de rotação deθ :

θRR =θ (35)

cuja matriz de rotação pode ser atualizada na forma:

ki

ki

ki θθδθ RRR .1 =+ (36)

porém, é importante salientar que δ ≠θ δθ, conforme será mostrado posteriormente. O sistema não linear definido na Eq. (28) pode então ser re-escrito através da seguinte equação, onde a barra sobre as quantidades indica dependência da variável θ :

0FFψ ext =−= (37)

vale ressaltar que no sistema local a matriz de rigidez constitutiva ck é não simétrica, uma vez que a energia potencial do elemento é definida em função dos deslocamentos co-rotacionais dc, ou seja, os graus de liberdade do elemento na formulação elástico-linear, e não em termos dos deslocamentos cd que dependem das variáveis associadas a rotação da tríade nodal. Considerando-se a Eq. (35) e a matriz de rotação linearizada apresentada por Monteiro [19], obtém-se a seguinte expressão:

( ) ki

ki

ki

ki

ki

ki

ki

ki θθδθθθδθθδθ RSRRSIRRR ...1 +=+==+ (38)


10

que ao ser comparada com a Eq. (32) fornece:

Tθθθδ δ RRS .= (39)

A expressão definida na equação acima estabelece a relação existente entre a rotação δ θ dos eixos cartesianos associados a matriz Rθ com a variação consistente δRθ no sistema global de coordenadas. O próximo passo é a determinação da relação entre as rotações δθ e δ θ obtida aplicando-se as equações (33) e (34) em (39), resultando na seguinte expressão:

( )θθθθ23 ...cos1sen...sen SSSSSSθθS δδθ

θδθ

θδθ

θθθθθδ −

−++

−= T (40)

a partir da qual, pode-se obter:

δ θ = Λθ -1. δθ Λθ

-1= TθθSIθθ

3θ2

sencos1senθ

θθθ

θθ

θ −+

−+=

∂∂ (41)

A relação inversa é expressa por:

δθ = Λθ . δ θ (42)

onde:

2θ .

21

θθ SSIθθΛ ξ+−=

∂∂

= ( )θθ

θθθξsen2

cos1sen22

+−= (43)

Uma vez feita a atualização dos deslocamentos nodais ui através da Eq. (30) e da matriz de rotação através da Eq. (36), podem-se obter os deslocamentos co-rotacionais generalizados do elemento utilizando-se as expressões (11) e (15). Conhecido o vetor de deslocamentos co-rotacionais dc e a matriz de rigidez constitutiva clássica do elemento kc, o vetor de forças co-rotacionais f c pode ser calculado na forma:

f c = kc. dc f c =

c

c

c

3

2

1

fff

= ci

cic

i mnf (44)

Porém, como foi feita uma mudança da variável de rotação, torna-se necessário determinar as quantidades cf e ck do elemento, sendo as forças cf obtidas diretamente a partir de f c aplicando-se a regra da cadeia sobre a energia potencial do elemento φ :

[ ] cTcT

c

T

c

cT

cc fH

ddd

df .. =

∂∂

∂∂

=

∂∂

=φφ (45)

sendo H c uma matriz quadrada 18x18 definida por:


11

=

∂∂

=ccc

ccc

ccc

c

cc

333231

232221

131211

HHHHHHHHH

ddH

=

∂

∂=ci

ijc

i

ci

ij

ijc

ijθ

δδ

δ

Λ00I

θθ

0

0IH ..

. (46)

onde δij é o delta de Kronecker e 0 são matrizes quadradas 3x3 nulas. Já a matriz de rigidez ck do elemento pode ser obtida da seguinte forma:

ck = ( )[ ]cTccc

c

fHdd

f .∂

∂=

∂∂

= ( ) ( )[ ] cccTccc

cTc

21.. kkfHdd

fH +=∂

∂+

∂∂ (47)

A parcela simétrica c1k é expressa por:

( ) ( ) ccTcc

c

c

cTcc HkH

dd

dfHk ...1 =

∂∂

∂∂

= (48)

enquanto a parcela não simétrica c2k pode ser expressa pela seguinte equação:

( )( )

∂∂

∂∂

= c

ccTc

cc

ddfH

dk ..2 =

( )( )( )

c

cTc

cTc

cTc

c HfHfHfH

d.

.

.

.

333

222

111

∂∂ =

( )( )c

i ci

Tc

c

ci

ci

HmΛ

d

dn

∑=

∂∂

∂∂

3

1 .θ

(49)

lembrando que o vetor f c entra na derivada da equação acima como uma constante, tem-se:

[ ] 183321

xc

c

c

c

c

c

0dn

dn

dn

=

∂∂

=

∂∂

=

∂∂

(50)

ao passo que as demais sub-matrizes podem ser representadas após algebrismos simples por:

( )( ) [ ]0000Ω0mΛd

ccTc c 11.

1=

∂∂

θ ( )( )cT

cc

c 11

1 .1

mΛθ

Ωθ∂

∂=

( )( ) [ ]00Ω000mΛd

ccTc c 22.

2=

∂∂

θ ( )( )cT

cc

c 22

2 .2

mΛθ

Ωθ∂

∂= (51)

( )( ) [ ]ccTc c 33.

3Ω00000mΛ

d=

∂∂

θ ( )( )cT

cc

c 33

3 .3

mΛθ

Ωθ∂

∂=


12

sendo 0 matrizes quadradas nulas 3x3, ao passo que as derivadas que aparecem na Eq. (51) podem ser expressas pela seguinte equação:

( )( ) ( ) TTTTm

T θmSθmmθImθSmΛθ

.....2...21 2

θθ µξ +−++−=∂∂ (52)

( ) ( ))2/sen(4

2/sen8sen.12

2

θθθθθθ

θξ

θµ −+

==dd (53)

6. OPERADOR DE PROJEÇÃO

Nesta seção será apresentado o operador de projeção P , definido em função da mudança da variável iterativa de rotação proposta na seção anterior. Partindo-se da Eq. (23) obtém-se:

1818333231

232221

131211

x

e

c

=

∂∂

=PPPPPPPPP

ddP

66x

ej

ci

ej

ci

ej

ci

ej

ci

ej

ci

ij

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂=

θθ

uθ

θu

uu

dd

P (54)

Inicialmente será feita a determinação da variação do deslocamento co-rotacional uic:

( ) ( )centricentric

i xxTxxTu −+−= δδδ .. (55)

Aplicando a propriedade definida na Eq. (39) à tríade local do elemento e substituindo-se o seu valor na equação acima, obtém-se:

( ) ( )

+−++−−= ∑

=

3

131...

kkkiicentriT

ci uXuXTxxSTu δδ θδ

(56)

∑=

−+=3

131.

k

ek

ei

eT

ci c

iuuθSu

xδδδδ

Uma vez conhecida a variação do deslocamento co-rotacional conforme a equação acima, o próximo passo é a determinação da variação da matriz de rotação associada ao deslocamento co-rotacional c

iθ , definida pela Eq. (15), de modo que:

( ) Tiiic 0.. TRTRTR θθθ

δδδ += (57)

Procedendo de forma análoga e aplicando-se a propriedade (39) à tríade local do elemento e efetuando-se a mudança do sistema de coordenadas apresentado na Eq. (8), obtém-se:

( ) Tiiii T

c 0..... TRSTRSTR θθδθθδθδ +−= ( ) ce

Te ii θθδθδ

RS .−

= (58)


13

Isolando-se o termo entre parênteses na equação acima:

( ) Tiii cce

Te θθθδθδ

δ RRS .=−

(59)

que resulta, considerando a Eq. (39), na seguinte expressão:

eT

ei

ci θθθ δδδ −= (60)

Substituindo as variação dos deslocamentos co-rotacionais ciu e c

iθ , apresentados nas Eq. (56) e (60) na Eq. (54) pode-se obter a seguinte expressão para o operador de projeção:

66

6666

..

.31

x

ej

eT

ej

eT

ej

eT

xej

eT

x

xxijij

ci

ci

∂∂

−

∂∂

−

∂∂

∂∂

+

−

=

θθ

uθ

θθS

uθS

0I

II

P δ (61)

ou de forma compacta por:

TjiijTijijRijTijij ΓΨPIPPIP .,,, −−=−−= δδ (62)

sendo:

66

, .31

xijT

=

0I

P TjiijR ΓΨP ., = (63)

[ ]Txx

x

xi c

i

ci

6336

ISIS

Ψ =

−=

T

ej

eT

T

ej

eT

ej

eT

j

∂∂

=

∂∂

∂∂

=dθ

θθ

uθΓ (64)

Conseqüentemente, o operador de projeção do elemento pode ser expresso por:

1818332313

322212

312111

333231

232221

131211

1818.........

x

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

x

−

−

=

ΓΨΓΨΓΨΓΨΓΨΓΨΓΨΓΨΓΨ

PPPPPPPPP

II

IP (65)

ou de forma compacta por:

TTRT ΨΓPIPPIP −−=−−= (66)

A matriz Γ T definida acima depende da geometria atual e da orientação dos eixos locais do elemento, podendo ser calculada em função da variação consistente do sistema de eixos locais na configuração atual.


14

7. VETOR DE FORÇAS INTERNAS E MATRIZ DE RIGIDEZ TANGENTE

O vetor de forças internas e a matriz de rigidez tangente da estrutura após a mudança da variável iterativa de rotação podem ser expressos pelas seguintes equações:

∑∑∑ === ffGfPGF eTcTT ... ∑∑ =

∂∂

=

∂∂

= tt kdf

DFK (67)

sendo o vetor de forças internas do elemento no sistema global e a matriz GT definidos por:

cTT fPGf ..= ( )T

x

T

T

T diag TT

TG 6

1818

=

= O (68)

ao passo que a matriz de rigidez tangente pode ser obtida pela variação das forças internas f :

cTT fPGf δδ ..1 = ( ) 321.. ffffPGf δδδδδ ++== cTT cTT fPGf ..2 δδ = (69)

cTT fPGf ..3 δδ =

Inicialmente, será calculada a variação das forças co-rotacionais cfδ , que em função das equações (23) e (47), pode ser expressa por:

dGPkddd

dd

dfd

dff δδδδ ...... c

e

e

c

c

cc

c

cc =

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

= (70)

Portanto

( ) dkdGPkPGf δδδ ...... 11 tcTT == (71)

O próximo passo é a determinação da variação do operador de projeção Pδ que pode ser obtido calculando-se a variação do operador P definido na Eq. (66), tal que:

( )TT ΓΨΓΨPPIP δδδδδδ .. +−=−−= RT (72)

( ) cTTTT fΓΨΓΨGf δδδ ...2 −−= cTT fΨΓG ... δ−= (73)

onde a segunda parcela do lado direito da equação acima foi ignorada, uma vez que segundo Haugen [9] este termo tende a zero quando as configurações CR e Cn estão próximas. Substituindo-se derivada da Eq. (64) em (73):

[ ]

−= ∑

=c

i

ci

i

Tc

i mn0SΓGf

x..

3

12 δ

δ [ ] c

in

Tc d0SΓG

iδ..

3

1∑

=

−−= (74)


15

podendo ser compactado na seguinte forma:

cTT dFΓGf δδ .~..2 −= =TF~ [ 0S0S0S ccc nnn 321−−− ] 183x (75)

Conseqüentemente:

dkdGPFΓGf δδδ ....~.. 22 tTT =−= (76)

Por último, será feito o cálculo da variação δGT no sistema local de coordenadas. Inicialmente, a propriedade definida na Eq. (39) é aplicada sobre a tríade local do elemento T e em seguida é efetuada a mudança de coordenadas proposta na Eq. (8), tal que:

( )eT

diagT

x

T

T

Tθδ

δ

δδ SG

T

TG 6

1818

.=

= O (77)

que fornece para a variação 3fδ

eTcTT fGfPGf 3 ... δδδ == ( ) ( ) eT

TeTee

Tdiagdiag θSGfSG

fδ

θδ.... 66 −== (78)

podendo ser re-escrita da seguinte forma:

eT

T θHGf δδ .~.3 −= =H~ [ cccccc mnmnmn 332211SSSSSS −−−−−− ] T (79)

e considerando a identidade

dGΓddd

dθθ δδδ ... T

e

e

eTe

T =

∂∂

∂∂

= (80)

escreve-se a Eq. (79) na forma:

dkdGΓHGf δδδ ....~. 33 tTT =−= (81)

Finalmente, agrupando-se as equações (71), (76) e (81) obtém-se a matriz de rigidez tangente do elemento de casca triangular no sistema global de eixos:

GkGkkkk ..321e

tT

tttt =++= (82)

TTcTet

et

et

et ΓHPFΓPkPkkkk ..~.~...321 −−=++= (83)

A parcela 1tk é conhecida por rigidez material e as parcelas 2tk e 3tk juntas formam a chamada rigidez geométrica . Vale ressaltar que a matriz de rigidez tangente do elemento é não simétrica, entretanto testes numéricos apresentados por Cole [10] e Crisfield [11] evidenciam que no equilíbrio de sistemas conservativos a matriz de rigidez tangente da estrutura é simétrica.


16

8. EXEMPLOS NUMÉRICOS

8.1 Cobertura esférica apoiada nos quatro bordos

A primeira estrutura analisada corresponde a uma cobertura esférica apoiada nos quatro bordos e submetida a uma carga vertical concentrada P = 1000 λ , na qual se observa um snap-through. Devido à simetria, somente um quarto da casca foi modelada utilizando uma malha quadrada 5x5 contendo 50 elementos triangulares, conforme mostrado na Fig. (3), juntamente com as propriedades materiais e geométricas. A trajetória de equilíbrio mostrada na Fig. (4) apresentou uma grande concordância com os resultados de Surana [20] e Bucalem & Bathe [21]. Pode-se ver que a trajetória de equilíbrio apresenta dois pontos limites (tangente horizontal) que podem ser detectados utilizando o CST – current stiffness parameter, segundo Crisfield [22], que se anula quando um ponto limite é encontrado e pela alteração do número de pivots negativos da matriz de rigidez, conforme mostrados na Fig. (5).

Figura 3 – Cobertura esférica apoiada nos quatro bordos. Figura 4 – Trajetórias de equilíbrio para deslocamento vertical do nó central.

Figura 5 – CST e número de pivots negativos.

50 150 250 3500 100 200 300Displacement

10

30

50

0

20

40

60

Load

Fac

tor

Menin / Taylor

Bucalem & Bathe

Surana

X

Y

Z

P

L

L

E = 68.95 v = 0.3 t = 99.45 R = 2540 L = 1569.8

10 30 500 20 40 60Load Factor

-0.2

0.2

0.6

1.0

0.0

0.4

0.8

1.2

CST

& N

egat

ive

Pivo

ts

CST

Negative Pivots

20 60 1000 40 80 120Load Steps

-0.2

0.2

0.6

1.0

0.0

0.4

0.8

1.2

CST

& N

egat

ive

Pivo

ts

CST

Negative Pivots


17

8.2 Cilindro engastado com carregamento na extremidade livre

Uma casca cilíndrica engastada em uma das extremidades e livre na outra foi submetida à ação de duas cargas P = 1.00 λ, conforme mostrado na Fig. (6), juntamente com as propriedades mecânicas e geométricas. Usando as condições de simetria, somente um quarto do cilindro foi modelado com malhas retangulares de 16x16 e 20x20 contendo respectivamente 512 e 800 elementos triangulares. A análise foi conduzida até um deslocamento vertical no ponto de carregamento de aproximadamente 1.5R. Vale ressaltar que embora este limite não seja fisicamente possível, esta análise representa um excelente teste para grandes deslocamentos. As trajetórias de equilíbrio são apresentadas na Fig. (7), podendo-se constatar uma excelente concordância com os resultados de Okstad & Mathisen [23] e Stander et al. [24]. Na Fig. (8) são apresentadas algumas configurações deformadas da estrutura ao longo do carregamento.

Figura 6 – Cilindro engastado com carregamento na extremidade livre. Figura 7 – Trajetórias de equilíbrio para deslocamento vertical do ponto de carregamento.

Figura 8 – Malha de elementos finitos deformada.

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00Displacement

0

200

400

600

800

1000

Load

Fac

tor

Menin / Taylor - Mesh 20x20

Menin / Taylor - Mesh 16x16

Stander

Okstad / MathisenP

P

X

Y Z

L R

R = 1.016L = 3.048 t = 0.03 v = 0.3 E = 2.0685e+7

clamped end

free end


18

8.3 Casca hemisférica puncionada

Uma casca hemisférica com uma abertura de 18 graus no topo é submetida à ação de duas cargas P = 1.0 de fora para dentro na direção Y e duas cargas P = 1.0 de dentro para fora na direção X, conforme apresentado na Fig. (9), juntamente com as propriedades mecânicas e geométricas. Usando as condições de simetria, somente um quarto da estrutura foi modelada utilizando malhas retangulares de 4x4, 8x8 e 16x16 formadas por elementos triangulares. A análise foi conduzida até um carregamento P = 100, gerando deslocamentos de até 60% do raio. Os resultados obtidos para o caso da malha 16x16 estão em excelente concordância com os encontrados por Simo et al. [25], ao passo que para as demais malhas de 4x4 e 8x8 foram obtidos deslocamentos um pouco superiores, conforme pode ser observado na Fig. (10). Na Fig. (11) são apresentadas algumas configurações deformadas da estrutura ao longo do carregamento.

Figura 9 – Casca hemisférica puncionada.

Figura 10 – Trajetórias de equilíbrio para o deslocamento horizontal do nó A.

Figura 11 – Configurações deformadas da estrutura

20 60 1000 40 80 120Load Factor

1

3

5

7

0

2

4

6

8

Dis

plac

emen

t

4x4 mesh

8x8 mesh

16x16 mesh

Simo

P

P

X

Y

Z

R180 Sym

Sym

Free

Free

A

E = 6.825e+7v = 0.3 t = 0.04 R = 10.0


19

9. CONCLUSÕES

O presente trabalho teve como principal objetivo enfatizar os conceitos básicos da descrição cinemática co-rotacional, baseada na decomposição explícita dos movimentos em deformacional e de corpo rígido, para o caso específico de cascas modeladas com elementos finitos planos e triangulares, bem como a implementação computacional de um algoritmo para solucionar problemas de não-linearidade geométrica capaz lidar com grandes deslocamentos e rotações, porém admitindo deformações infinitesimais. Em função dos exemplos numéricos analisados pode-se concluir que esta formulação co-rotacional e a sua implementação computacional apresentaram resultados com grande concordância em relação aos encontrados na literatura. Pode também ser observado que métodos indiretos como o parâmetro de rigidez CST – current stiffness parameter e a alteração do número de pivots negativos da matriz de rigidez foram capazes de detectar com precisão a ocorrência de pontos limites, representados por tangentes horizontais nas trajetórias de equilíbrio.

REFERÊNCIAS [1] G.A. Wempner, “Finite elements, finite rotations and small strains of flexible shells”, Int.

Jornal of Solids and Structures Vol. 5, pp. 117-153, (1969). [2] T. Belytschko & B.J. Hsieh, “Non-linear transient finite element analysis with convected

coordinates”, Int. J. Numer. Meth. Engrg. Vol. 7, pp. 255-271, (1973). [3] B.M. Fraeijs de Verbeke, “The dynamics of flexible bodies”, Int. J. Engrg. Science,

Pergamon Press, pp. 895-913, (1976). [4] P.G. Bergan & G. Horrigmoe, “Incremental variational principles and finite element

models for nonlinear problems”, Computer. Meth. Appl. Mech. Engrg. Vol. 7, pp 201-217, (1976).

[5] P.G. Bergan & M.K. Nygard, “Nonlinear shell analysis using free formulation finite elements”, Finite Element Methods for Nonlinear Problems, Springer Verlag, Berlin, pp. 317-338, (1989).

[6] C.C. Rankin & F.A. Brogan, “An element independent corotational procedure for the treatment of large rotations”, ASME J. Pressure Vessel Technology Vol. 108, pp 165-174, (1986).

[7] C.C. Rankin & B. Nour-Omid, “The use of projectors to improve finite element performance”, Computers & Structures, Vol. 30, pp 257-267, (1988).

[8] B. Nour-Omid & C.C. Rankin, “Finite rotation analysis and consistent linearization using projectors”, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. Vol. 93, pp 353-384, (1991).

[9] B. Haugen, “Bucking and stability problems for thin shell structures using high performance finite element”, PhD thesis, University of Colorado-USA, (1994).

[10] G. Cole, “Consistent co-rotational formulation for geometrically nonlinear beam elements with special reference to large rotations”, PhD thesis, Kingston Polytechnic-UK, (1990).

[11] M.A. Crisfield, “A consistent co-rotational formulation for non-linear three dimensional beam elements”, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. Vol. 81, pp 131-150, (1990).


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[12] A. Cardona, “An integrated approach to mechanism analysis”, PhD thesis, University of Liedge-Belgium, (1989).

[13] M.A. Crisfield & J. Shi, “A co-rotational element/time integration strategy for non-linear dynamics”, Int. J. Num. Meth. Engrg., Vol. 37, pp. 1897-1913, (1994).

[14] C. Pacoste & A. Eriksson, “Beam element in instability problems”, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. Vol. 144, pp 163-197, (1996).

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[16] R. Menin & W. Taylor, “Resposta pós-crítica de sistemas articulados com diferentes deformações utilizando uma formulação co-rotational”, XXIV Cilamce, Ouro Preto / MG, Brasil, (2003).

[17] R. Menin & W. Taylor, “Resposta pós-crítica de pórticos planos discretizados com elementos de viga de Euller-Bernoulli utilizando uma formulação co-rotational”, XXIV Cilamce, Ouro Preto / MG, Brasil, (2003).

[18] R. Menin & W. Taylor, “Análise não-linear geométrica de pórticos espaciais utilizando uma formulação co-rotacional”, XXXI Jornadas Sud-Americanas de Ingenieria Estructural, Mendoza, Argentina (2004).

[19] F.A. Monteiro, “Estudo de uma formulação co-rotacional geral: aplicação a pórticos espaciais”, Dissertação de Mestrado, ITA-SP, Brasil, (2004).

[20] K.S. Surana, “Geometrically nonlinear formulation for the curved shell elements”, Int. J. Num. Meth. Engrg., Vol. 19, pp 582-615, (1983).

[21] M.L. Bucalem & K.J. Bathe, “Higher-order MITC general shell elements”, Int. J. Num. Meth. Engrg., Vol. 36, pp 3729-3754, (1993).

[22] M.A. Crisfield, “Non-linear finite element analysis of solids and structures – Vol 1”, J. Wiley, Chichester – UK, (1991).

[23] K.M. Okstad & K. M. Mathisen, “Towards automatic adaptative geometrically nonlinear shell analysis. Part I: Implementation of an h-adaptive mesh refinement procedure”, Int. J. Num. Meth. Engrg., Vol. 37, pp 2567-2578, (1994).

[24] N. Stander, A. Matzenmiller, E. Ramm, “An assessment of assumed strain methods in finite rotation shell analysis”, Engrg. Computers, Vol. 6, pp 58-66, (1989).

[25] J.C. Simo, D.D. Fox, M.S. Rifai, “On a stress resultant geometrically exact shell model. Part III: Computacional aspects of the nonlinear theory”, Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. Vol. 79, pp 21-70, (1990).

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NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA DE CASCAS … - SEMNI 2005...baseada na separação explícita dos movimentos de corpo rígido e deformacional. Esta separação segrega a não-linearidade