Embed Size (px)
Citation preview
Bài Viết Toán Học
Ôn Luyện
Hình Học Không Gian Part 1. Bồi Dưỡng HSG Toán THPT
THPT Lê Quảng Chí-Tx. Kỳ Anh-T. Hà Tĩnh
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
Bài Toán 1: Cho góc tam diện vuông .Oxyz Gọi , ,a b c lần lượt là khoảng cách từ
một điểm I ở bên trong góc tam diện theo thứ tự đến ba mặt phẳng ,Oyz Ozx
và Oxy . Qua I vẽ mặt phẳng P cắt , ,Ox Oy Oz lần lượt tại , , .A B C Phải chọn
mặt phẳng P như thế nào để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất ?
(Đề nghị Olympic 30-4)
Bài Giải:
Ta có:
1
1
IOAB IOBC IOCA
OABC OABC OABC
V V V
V V V
c a b
OC OA OB
Do đó:
3
1 1 1 9. . . .
6 6 6 2. .
3
OABC
abc abcV OAOB OC abc
a b c a b cOA OB OC OA OB OC
Dấu “=” xảy ra khi:
31
3 .3
3
OA aa b c
OB bOA OB OC
OC c
Như vậy ta cần chọn mặt phẳng P đi qua I sao cho 3 , 3 , 3 .OA a OB b OC c
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
Bài Toán 2: Cho góc tam diện vuông .Oxyz Gọi S là điểm cố định trên tia Oz và
,A B là hai điểm lần lượt di động trên các tia ,Ox Oy sao cho .OA OB OS a
1. Xác định theo a giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện .SOAB Nêu cách
dựng tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tự diện SOAB và tính theo a bán kính R
của mặt cầu ấy khi thể tích khối tứ diện SOAB đạt giá trị lớn nhất.
2. Khi ,A B di động, chứng minh rằng tổng các góc phẳng tại đỉnh S của tứ
diện SOAB luôn bằng .2
(Đề nghị Olympic 30-4)
Bài Giải:
1.
Ta có:
2 3 31. . . . .
6 6 6 4 24 24SOAB
OA OBOS OS OS aV OAOB OS OAOB
Dấu “=” xảy ra khi .2
aOA OB
Vậy 3
.24
SOAB
aMaxV Đạt được khi .
2
aOA OB
Cách dựng tâm I:
Gọi M là trung điểm AB . Qua M dựng đường thẳng Mt vuông góc với
mặt phẳng OAB .
Trong mặt phẳng ,Oz Mt dựng đường thẳng qua trung điểm N của
SO và song song với .OM .
Vậy I chính là giao của của đường thẳng Mt với đường thẳng vì theo
cách dựng đó ta có .IA IB IS IO
Bán kính R được tính bởi: 2 22 2 2
2 2 6.
2 4 2 4 4
OS AB OS OA OB aR OI MN ON OM
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
2. Ta đặt các góc phẳng tại đỉnh S như sau: , ,ASB OSA OSB
0 , ,2
.
Khi đó ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
cos2 . 2 .
. sin cos cos sin cos. .
2
SA SB AB SO OA SO OB OA OB
SA SB SA SB
SO OA OBSO OA SO SO OB
SA SB SA SB SA SB SA SB
dpcm
Bài Toán 3: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D , cạnh a. Trên cạnh 'AA kéo
dài về phía 'A lấy một điểm ,M và trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy một điểm
N sao cho MN cắt cạnh ' '.C D Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn .MN
(Đề nghị Olympic 30-4)
Bài Giải:
Gọi ' ' ', .MN C D I AN CD I
Vì
' ' '
' ' ' .
' ' ' '
AMN CDD C II
AMN ABB A AM II AM
CDD C ABB A
Đặt 0, 0.AM x BN y
Theo định lý Thales ta có:
' ' 1 1 1.
A M MI AI BC x a a
AM MN AN BN x y x y a
Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1MN AM AN AM BN AB x y a
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
1 1 1 4
4 *x y aa x y x y
Lại có :
2 2(*)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 24
8 9 3 22 2
Dox y ax y a x y a a x y a a
Từ (1) và (2) suy ra: 3 .MN a Dấu “=” xảy ra khi 2 .x y a
Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là 3a đạt được khi 2 .AM BN a
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
Bài Toán 4: Cho hai nửa đường thẳng ,Ax By chéo nhau. Hai điểm ,C D thay đổi
lần lượt trên Ax và By sao cho: 1 2 3
.AC BD AB
1. Chứng minh rằng: Mặt phẳng chứa CD và song song với AB luôn đi
qua một điểm cố định I trong mặt phẳng chứa Ax và song song
với .By
2. Tìm vị trí của C và D sao cho thể tích tứ diện ABCD là nhỏ nhất.
(Đề nghị Olympic 30-4)
Bài Giải:
1. Dựng 'Ay song song với By . Trên 'Ay lấy 'D sao cho ' .AD BD
Khi đó ' , ' .DCD ACD
Ta có:
1 2 3 2
1 13 3 '
AB AB
AC BD AB AC AD
Giữa hai điểm ,C D thỏa giả thiết, luôn tồn tại điểm I thuộc 'CD sao cho:
'
' 3
D I AB
D C AC
Với điểm I trên, gọi ',M Ay N Ax sao cho , '.MI Ax NI Ay
Khi đó, áp dụng định lý Thales ta có:
'
*' 3 3
AN D I AB ABAN
AC D C AC
1' 2 2
1 1 **' ' ' 3 3 ' 3
DoAM CI D I AB AB ABAM
AD CD D C AC AD
Từ (*) và (**) suy ra ,M N cố định hay I cố định. Do đó luôn đi qua
điểm I cố định trong .
2. Vì 'ABD DD A nên . . ' . 'ABCD C ABD C DD A D AD CV V V V
Do đó ABCDV nhỏ nhất khi . 'D AD CV nhỏ nhất.
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
Vì
( , ) , ' .D By
d D d D AD C constBy
Suy ra: . 'D AD CV nhỏ nhất khi diện tích 'AD CS nhỏ nhất.
Ta có: '
1 1. 'sin . sin
2 2AD CS AC AD A AC BD A .
Nhận thấy 'AD CS nhỏ nhất khi .AC BD nhỏ nhất.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
23 1 2 1 2 82 . . .
9AC BD AB
AB AC BD AC BD
Dấu “=” xảy ra khi
2
1 2 3 3.
42
3
ABAC
AB
ABAC BDBD
Vậy ABCDV nhỏ nhất khi hai điểm ,C D thỏa mãn 2 4
; .3 3
AB ABAC BD
Bài Toán 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a có
2SA a và vuông góc với đáy. M và N là các điểm di động trên ,BC CD
tương ứng sao cho 045 .NAM Xác định vị trí của ,M N để hình chóp .S AMN
có thể tích đạt giá trị lớn nhất. Tìm các giá trị ấy.
Bài Giải:
Đặt ; .MAB NAD
Khi đó ta có: ; ;cos cos
a bAM AN
0 090 45 .MAN
Ta có:
0
.
2 3 3
1 1 1. 2. . . .sin 45
3 3 2
2 2 1. . .
6 2 cos cos 3 2cos cos 3 cos cos
S AMN AMNV SA S a AM AN
a a a a
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
3
3 23cos
2
a
Vì
0
0 0
0
max cos 10 45
45 45 .20 45 min cos
2
Từ đó suy ra: 3
.
2max
6S AMN
aV . Đạt được khi
0 0
0 0
45 ; 0.
0 ; 45
3
.
2 2min .
3S AMN
aV
Đạt được khi 022 30'.
Bài Toán 6: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có khoảng cách từ A tới mặt
phẳng SBC bằng 2 .a Gọi là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Với giá
trị nào của thì thể tích của hình chóp là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài Giải:
Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của AD và .BC
Khi đó ta có: .SNM
Vì DA BC nên , , 1 .DA SBC d A SBC d M SBC
Ta có: .BC SMN SBC SMN
Do đó nếu kẻ MH SN H SN thì .MH SBC Vậy , 2d M SBC MH
Từ (1) và (2) ta suy ra 2 .MH a
Từ đó ta có:
2tan tan .
sin sin 2 cos
MH a MN aMN SO ON
Vậy 2 3
2
. 2
1 1 1 2 4. . . *
3 3 3 sin cos 3sin cosS ABCD ABCD
a a aV S SO MN SO
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
Từ (*) suy ra, để .S ABCDV nhỏ nhất thì 2sin cos 0A phải đạt giá trị lớn nhất.
Ta có:
32 2 2
2 2 2 2
2
sin sin 2 2sin 82 sin .sin 2 2sin
27 27
4 2 3.
27 9
A
A A
Dấu “=” xảy ra khi:
2 2 2 6 6sin 2 2sin 3sin 2 sin arcsin .
3 3
Suy ra: 3
3
.
42 3 .
2 33
9
S ABCD
aV a Dấu “=” xảy ra khi
6arcsin .
3
Vậy 3
. 2 3 .S ABCDMinV a
Bài Toán 7: Hình chóp .A BCD có 090 , 2 .ACB ADB AB a Đáy BCD là
tam giác cân tại ,B có 2CBD và .CD a Tính thể tích khối chóp .A BCD
theo a và .
(HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2010-2011)
Bài Giải:
Gọi I là trung điểm .AB Dễ dàng nhận thấy .2
ABIB IC ID a
Gọi H là hình chiếu của I trên BCD , M là trung điểm CD , ta có ngay:
.H BM
HB HC HD
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
Theo định lí hàm sin ta có:
.2sin 2sin 2
CD aBH
CBD
Suy ra: 2
2 2 2 2
2, 4sin 2 1.
4sin 2 2sin 2
a ad I BCD IH IB BH a
2, 2 , 4sin 2 1.sin 2
ad A BCD d I BCD
Từ tam giác BMC vuông tại M ta có: tan .cot .2
aBM DM
Vậy
3 2
2
. 2
1 1 1 4sin 2 1. , . . 4sin 2 1. . .cot . .
3 3 sin 2 2 2 24 sinA BCD BCD
a a aV d A BCD S a
Bài Toán 8: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông với 2 ,AB a tam
giác SAB vuông tại .S Mặt phẳng SAB vuông góc với ABCD .Biết góc tạo bởi
đường thẳng SD và SBC bằng với 1
sin .3
Tính thể tích khối chóp .S ABCD
và khoảng cách từ C đến SBD theo .a
Bài Giải:
Ta có: BC AB BC SAB SA BC . Lại có SA SB ,suy ra: .SA SBC
Vì góc tạo bởi đường thẳng SD và SBC bằng với 1
sin3
nên ta có:
, .sin , .3 3
SD SDd D SBC SD d A SBC AS Do AD SBC
Xét tam giác SAD vuông tại A (do DA SAB ) ta có:
2 2 2 2 2 2 24 9 .
2
aSA AD SD SA a SA SA
Áp dụng định lý Py-ta-go ta được: 2 2 14.
2
aSB AB SA
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
Khi đó ta có: 2 2 2 2
2 14.
. 72 2 .4
2 14
2 2
a aSA SB a
SHSA SB a a
Vậy 3
2
.
1 1 7 7. . . .4 .
3 3 4 3S ABCD ABCD
a aV SH S a
Ta có: 3
. .
1 7.
2 6C SBD S ABCD
aV V
Tam giác SBD có 14 3 2
, 3 , 2 2.2 2
a aSB SD SA BD a
Dễ thấy 2 2 2SB SD DB nên suy ra tam giác SBD vuông tại .S
Do đó21 14 3 2 3 7
.2 2 2 4
SBD
a a aS Suy ra:
3
.
2
73.
3 26, .33 7
4
C BCD
BCD
aV a
d C SBDS a
Bài Toán 9: Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng a . Gọi , M N lần lượt là
trung điểm của , .DB AC Trên đường thẳng AB lấy điểm ,P trên đường thẳng DN
lấy điểm Q sao cho .PQ CM Tính độ dài PQ và thể tích khối .AMNP
Bài Giải:
Gọi F là trung điểm AM , khi đó FN CM .
Vậy .P DF AB Trên DPN dựng PQ Q DN song song với FN .
Gọi E là trung điểm của .PB Khi đó ||ME PF suy ra PF là đường trung bình của
tam giác AME .
Ta có:
1 1 3.
2 4 4PF ME PD DF PD
3.
2 4
CM aFN
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
Suy ra:
33 3 34 .4 4 3
aFN DF a
PQPQ DP PQ
Ta có: 1 1 1
. . 1 .3 2 6 12
APMN ABCDAMNP
ABMC
V VAP ANV
V AB AC
Lại có: 3 2
212
ABCD
aV .
Từ (1) và (2) ta suy ra: 3 2
.144
AMNP
aV
Bài Toán 10: Cho hình chóp .S ABC có các mặt phẳng SBC và ABC vuông
góc với nhau. Các cạnh .AB AC SA SB a Tìm độ dài cạnh SC sao cho khối
chóp .S ABC có thể tích 3
.8
aV
(HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2012-2013)
Bài Giải:
Gọi H là hình chiểu của A trên .BC
Ta có các tam giác vuông sau bằng nhau AHB AHC AHS (ch-cgv).
Từ đó suy ra: HB HC HS SBC vuông tại .S
Đặt 0.SC x Khi đó:
2 2 22 2 2 3
.2 2
BC a xBC a x AH AC
Vậy 2 2 2 21 1 3 1 3
. . . .3 3 2 2 12
SABC SBC
a x ax a xV AH S ax
Ta cần tìm x sao cho 3
.8
SABC
aV Hay:
2 2 3 2
2 2 2 2 23 62 3 3 3 0 .
12 8 2
ax a x a ax a x a a x x x
Vậy độ dài SC cần tìm bằng 6
.2
a
ÔN LUYỆN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GMAIL: [email protected]
Trong quá trình gõ bài viết, không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự
đóng góp ý kiến từ mọi người để Nguyễn Minh Đức có thể hoàn thành tốt bài viết và
phục vụ cho việc hoàn thành part2 bổ sung của bài viết. Cảm ơn!
Sẽ tiếp tục cập nhật….
My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu
“Tôi thích sự truyền đạt”
Nguyễn Minh Đức.
