La música del universoensayo sobre la noción de armonía en PlatónCésar González Ochoa

Introducción

El estudio de la noción de armonía está necesariamente asociado al de otras nociones con las

cuales configura un conjunto difuso, una especie de constelación; es decir, todo un complejo de

nociones que sabemos que están relacionadas, pero de las cuales es difícil establecer la naturaleza

de sus relaciones. Entre éstas están el orden, la mediación, la proporción, la analogía, todas ellas

vinculadas, explícitamente o no, con la idea de interpretación del mundo, incluso podemos decir

del universo.

De todas esas nociones, la que está en los cimientos y soporta a todas es la de orden. De hecho,

cuando buscamos las bases de la estructura tanto física como conceptual del mundo, lo primero

en que pensamos es en el orden, y este orden no puede sino estar asociado de alguna manera con

los números; es decir, se trata de un orden matemático. Podría pensarse que esta aseveración es

válida sólo en los límites de las civilizaciones occidentales, pero puede fácilmente demostrarse

que, a lo largo de la historia, todas las grandes culturas, sea la hindú, la sumeria, la babilonia, la

griega o la maya, entre muchas otras, basaron su idea del mundo, su comprensión del universo,

en un orden sostenido por los números. Todas ellas buscaron, además, las secretas

correspondencias entre el orden cósmico y el orden de la vida humana; en otras palabras, trataron

de determinar los términos que median entre los aspectos relativos al cosmos y los aspectos

relativos a lo humano y de establecer entre ambos una relación de proporción; para decirlo de un

modo más conciso, todas esas civilizaciones trataron de ponerlos en armonía, de armonizarlos.

No obstante, el orden encontrado o el orden construido dentro de los límites de una cultura no

necesariamente es el mismo para las otras; por tanto, no podemos postular la existencia de un

orden único, un orden que sea el verdadero y el correcto para todas las culturas y todas las

épocas; ni siquiera es posible postularlo para culturas coetáneas: el orden en el cual se basaron los

babilonios, por ejemplo, no es el mismo que el de los egipcios. Y no es por azar que aparezcan

ahora los nombres de estas dos grandes culturas, ya que desde el tercer milenio antes de Cristo

pueden observarse en las manifestaciones de ambas algunas huellas de un orden numérico. Será,

sin embargo, hasta el apogeo de la cultura griega –época cuando surge una civilización nueva,

basada en las ciudades-estado y en una nueva clase de individuos, los ciudadanos libres– cuando

se comience a investigar de manera racional el universo para encontrar el orden que lo rige.

Fueron, pues, los griegos quienes intentaron sistemáticamente una interpretación matemática de

la naturaleza. Aunque sabemos que la búsqueda proviene de tiempos más remotos, se acostumbra

pensar en Pitágoras como el primero que quiso descubrir ese orden matemático, ya que, según la

tradición, fue él quien aplicó el término “cosmos” al universo percibido: del caos original,

mediante la creación, nace el cosmos. El término “cosmos”, que entre otras cosas significa

“orden”, no agota sus sentidos con esta única palabra ya que une la noción de orden o disposición

o perfección estructural con la belleza.

Aunque el objetivo de este trabajo es el análisis de la noción de armonía en los escritos de Platón,

no es posible dejar de decir unas palabras acerca de cómo se entendía esa noción por parte de sus

antecesores, sobre todo por los pitagóricos. Al menos desde los tiempos de Homero esta palabra

tiene el significado de relación entre las diferentes partes de un todo; es, como dice en la Odisea

(v. 248), el acoplamiento o la adecuación de las cosas entre sí; incluso se denomina así a la

clavija que las une. Poco tiempo después se asimilará la idea de armonía a la música y quedará

indisolublemente ligada al número.

Con los pitagóricos se introduce un cambio en los objetivos de la filosofía: de ser una curiosidad

o ser la búsqueda del progreso en el conocimiento, la filosofía se convierte en un modo de vida,

en la búsqueda de las relaciones correctas con el universo. Como señala Guthrie, “para los

pitagóricos la parte más importante de la filosofía era la que meditaba sobre el hombre, sobre la

naturaleza del alma humana y sus relaciones con otras formas de la vida y con el todo”.1

Se pueden resumir los rasgos principales de la doctrina pitagórica en los siguientes puntos:

a) cada alma individual proviene de la naturaleza divina, a la cual se asemeja y a la que, al final,

regresa purificada en el curso de las sucesivas encarnaciones;

b) la comunidad de naturaleza entre la divinidad y el alma humana es equivalente a una analogía

entre lo que denominaban macrocosmos y el ser humano, el microcosmos; el mismo principio de

orden constituye la naturaleza esencial tanto del universo, considerado como criatura viviente,

como del hombre;

c) por tanto, la unidad del todo debe ser finita y limitada, ya que de otra manera no podría ser

reproducida análogamente en el individuo;

d) se descubrió que la analogía entre el todo y la parte consiste en una proporción o razón igual

1 W. K. C. Guthrie, Historia de la filosofía griega, v. I, p. 180.

entre sus elementos, y esa proporción se entendió como un ajuste, es decir como una armonía.2

Aun cuando presenta dos aspectos separados —el religioso y el filosófico— el pitagorismo se

presenta como un sistema unitario. Para comprenderlo es necesario darse cuenta del fondo

religioso del cual surgió, en el cual es fundamental la noción de parentesco de todos los aspectos

de la vida, del universo en su totalidad. Guthrie insiste en este parentesco al decir que

si el mundo era un ser vivo, eterno y divino, y vivía por respirar en el aire o hálito del infinito que lo rodeaba, y si el hombre también vivía mediante la respiración (cuya prueba era que el alma humana en sí era aire) el parentesco natural entre el hombre y el universo, microcosmos y macrocosmos, tiene que ser estrecho.3 

La filosofía pitagórica manifiesta el triunfo del logos, entendido por una parte como lo inteligible,

como lo determinado, como lo sujeto a medida, y, por otra, como la razón de las cosas respecto al

todo. Con los pitagóricos se acentúa la capacidad de reducir todas las cosas a sus características

mensurables; también la insistencia en el concepto de proporción, tanto entre sus partes, en su

estructura interna, como en su relación con el todo. Toda la filosofía pitagórica descansa en las

ideas de límite y de orden, de peras y cosmos; a través de ellas se establece el puente que une lo

religioso y lo filosófico: en primer lugar, el mundo está ordenado, es un cosmos; dentro de él todo

se encuentra ligado por lazos de parentesco y, como ya se dijo, el alma humana está en conexión

con el universo. En consecuencia, la tarea de la filosofía es comprender la estructura del universo

y, con ello, llegar a entender lo divino presente en el alma humana.

Un término muy utilizado por los griegos tanto en música como en física y en filosofía es el de

armonía –de hecho, es un término que se origina en la lengua griega (, derivado del

verbo , que significa “juntar”). En el vocabulario de Homero ya está presente esta

noción; su concepción de armonía es de aquello que une las diferentes partes de un todo; así

entendido, se presupone lógicamente que existe una relación entre dichas partes, lo cual sería el

origen de la idea misma de medida ya que, como señala Edgar de Bruyne, “cada parte tiene que

‘guardar medida’ en el conjunto y no traspasar sus propios límites, en perjuicio del resto; de esta

manera se realiza la medida dentro de un mismo conjunto y nace la armonía”.4

En el Timeo, Platón postula la idea pitagórica de que es posible encontrar la relación de lo

humano con lo divino si estudiamos el cosmos y tratamos de determinar su orden, su estructura.

Una de las enseñanzas que se obtienen de la lectura de este diálogo es que, así como el universo

2 Como no existen textos escritos por Pitágoras o sus discípulos, la reconstrucción de estos principios se basa en la más antigua fuente del pitagorismo, que es Aristóteles, especialmente su Metafísica.

3 W. K. C. Guthrie, op. cit., p. 197.4 Edgar de Bruyne, Historia de la estética, v. I, p. 255.

está compuesto de elementos materiales ordenados puesto que están gobernados por una razón

divina, así también todos los seres humanos son estructuras formadas de la misma materia y que

reproducen los mismos principios de orden; de allí la noción de microcosmos, de que los seres

humanos puedan ser considerados como pequeños mundos.

La búsqueda del orden o de la armonía es especialmente importante en la obra de Platón; y esa

armonía la busca en el sistema planetario, en la sociedad y en su manifestación espacial, la

ciudad. En el Timeo y en algunos pasajes de la República encontramos los aspectos relativos al

orden de los planetas y la búsqueda de las leyes que lo rigen, leyes que, como él propone, son las

mismas que operan en todo el cosmos. En la República y en las Leyes se expone la concepción de

orden en la polis (ciudad o estado); en esos diálogos se pone de manifiesto que en la ciudad, de la

misma manera que en el individuo, lo más importante es la presencia de la justicia; sea la justicia

social o sea la justicia individual, en ambos casos se relaciona con el orden de los elementos que

intervienen ya sea en la ciudad, ya sea en el individuo. De hecho, los elementos que conforman la

ciudad son los individuos; por lo tanto, el orden consistiría en que cada uno de ellos esté situado

en el lugar que le corresponde y realice las funciones que le han sido asignadas de manera que

“cada individuo no debe ejercer más que un solo oficio en la sociedad, aquel para el cual la

naturaleza le ha dado la mayor aptitud”; en estas circunstancias, la justicia consistiría “en

ocuparse de sus menesteres sin ocuparse de los de los demás”.5

Platón no habla de la ciudad en términos generales, pero tampoco se refiere solamente a una

ciudad concreta; en realidad, describe –o, más bien, casi podría decirse que diseña– al menos tres.

En el Timeo esboza el esquema de una antigua Atenas, la cual habría sido construida de acuerdo

con las normas expresadas en los libros II-IV de la República. En el Critias y en las Leyes

encontramos descripciones más detalladas: en el primero se vuelve a hablar de la antigua Atenas,

además de la Atlántida, mientras que en el segundo diálogo aparece la ciudad de Magnesia. Su

meta es encontrar la ciudad perfecta;6 es decir, aquella que contenga las cuatro virtudes

fundamentales: justicia, sabiduría, valor y templanza, cada una de ellas asociada con uno de los

elementos de la ciudad.

La sabiduría reside en la porción menos numerosa de la ciudad, en los que gobiernan y que están

en posesión de la sabiduría, sofia; según establece Platón en la República, “una ciudad

constituida según la naturaleza y considerada en su conjunto, debe el nombre de sabia a lo que

5 Platón, República 433a. A partir de aquí todas las citas a este libro se incluyen en el texto.6 Dice Platón: “Si nuestra ciudad está bien constituida, debe ser perfecta”, República 427e.

está a su cabeza y la gobierna, y finalmente a la ciencia que allí reside”. (428e-429a) A ese grupo

menos numeroso le toca la ciencia que, “sola entre todas, amerita el nombre de sabiduría”. El

valor está presente en otro grupo de la sociedad, los guerreros, y mediante este término se quiere

expresar la opinión recta y disciplinada acerca de lo que se debe temer o acerca de lo que no se

debe temer; y las cosas que deben temerse “deben ser las mismas y de la misma naturaleza que

las que el legislador ha indicado en su plan de educación”. (429c) La templanza, tercera virtud, es

la que en griego se llama sofrosyne y que “a primera vista se parece, más que las precedentes, a

un acorde o a una armonía (συμφονια y άρμονία) [...] Es una especie de orden y dominio sobre

los placeres y las pasiones”. (429e) Esta virtud debe estar presente en todas las partes; de esa

manera, cuando Sócrates pregunta en cuál de los grupos de ciudadanos –gobernantes o

gobernados– debe residir la templanza, él mismo responde que en los dos, porque

si el valor y la sabiduría, que no residen más que en una parte de la ciudad, la hacen, respectivamente, sabia y valerosa, la templanza se comporta de otra manera: ésta se extiende absolutamente a la ciudad entera y produce el acorde perfecto entre todos los ciudadanos, cualquiera que sea la clase, baja, alta o media, o el rango, o su inteligencia, su fuerza o su número, sus riquezas o cualquier otra ventaja del mismo género; de manera que tenemos plenamente el derecho de decir que la templanza es ese concierto, ese acorde natural de la parte inferior y de la parte superior, para decidir cuál de las dos debe mandar en la ciudad o en el individuo. (431e-432a)

De la misma manera que en el alma colectiva de la ciudad la templanza es la armonía, es decir, el

acuerdo (el acorde) total y mutuo entre todas las partes del edificio social, gobernantes y

gobernados, así también en cada uno de los individuos la templanza estará manifestada por la

armonía entre las partes superiores e inferiores del alma. Este acorde o armonía podía expresarse

como el conocimiento de las propias limitaciones y flaquezas, a la luz de lo cual el hombre se

hace modesto, apacible, moderado y sabio; es esto lo que quiere indicar el término sofrosyne, y

de allí que su traducción más precisa sea la de templanza.7  La cuarta virtud es la justicia, y de ella

dice Platón:

lo que queda en la ciudad, fuera de las tres virtudes que hemos examinado, templanza, valor y sabiduría, es lo que les ha dado a todos la potencia de nacer, y los conserva una vez nacidos, en tanto que permanece en ellos. Hemos dicho que la virtud que quedaría cuando hubiéramos alcanzado las otras tres sería la justicia. (433b-c)

La justicia es la fuerza que empuja a cada individuo a cumplir la tarea que la sociedad le ha

impuesto; ella, junto con la sabiduría, el valor y la templanza, conduce al perfeccionamiento de la

ciudad. Por tanto, existe justicia en la sociedad cuando los distintos elementos que la componen

cumplen con sus distintas funciones; en palabras de Platón:

la ciudad es justa cuando las tres clases de espíritus que la componen hacen cada una lo que tienen que

7 Cfr. I. M. Crombie, Análisis de las doctrinas de Platón, v. I, p. 109.

hacer; por otra parte, la ciudad es temperada, valerosa y sabia, gracias a ciertas disposiciones y cualidades que corresponden a esas mismas clases. (435b)

Si en el alma de un individuo se encuentran esas mismas cualidades, se trata entonces de una

persona justa, porque su alma “existen las mismas partes y en el mismo número que en la

ciudad”; (441c) y, cuando cada una cumple su función, entonces el hombre es justo. En una de

sus intervenciones en este diálogo, hacia el final del libro IV, Sócrates señala que en el individuo

existen tres tipos de vidas o tres tipos de temperamentos: la vida de la sabiduría, la vida del honor

y la vida de los apetitos sensibles, que podemos llamar simplemente material. Estas tres vidas

corresponden en cierta manera a los llamados tres estados o tres órdenes de la ciudad: los

gobernantes, que constituyen la inteligencia y que son los que aprecian las cosas del intelecto; los

guerreros o soldados, que son el “espíritu” de la ciudad y corresponden a los que buscan la gloria;

y los productores, que atienden y satisfacen las necesidades de supervivencia material de la

sociedad entera.

Así, si existen tres elementos en cada individuo, el hombre justo será, de manera análoga a la

polis justa, aquel en el cual los tres elementos se encuentren en la proporción correcta; es decir,

aquel en el cual los tres elementos estén relacionados de manera que el resultado de esa

combinación sea que cada uno haga el trabajo para el cual está más capacitado. El elemento

racional debe gobernar; el elemento emotivo debe mantener y consolidar la autoridad; y el

elemento material debe cuidar que el todo se alimente y se reproduzca bajo los cuidados de la

razón. Si la razón gobierna, el hombre poseerá todas las virtudes morales: será sabio, porque

comprenderá los verdaderos intereses; será valiente porque sabrá temer lo que la razón indica que

debe temerse; será temperado porque en él la razón no entrará en pugna con los otros elementos,

porque todas sus pasiones y apetitos habrán sido dominados para que acepte la forma de vida

establecida por la razón.

Una vida feliz es una vida autodisciplinada y austera. Y para ser feliz se requiere una educación

que armonice el valor y la dulzura; la finalidad de la educación es producir ciudadanos que

reúnan dulzura y fuerza, sensibilidad y valor, actividad intelectual y fuerza moral; en resumen, la

finalidad es poner estos pares de elementos en armonía uno con otro, y esa armonía es la que

“hace al alma temperante y valerosa”. (410c) Todo ello se consigue a través de moldear el cuerpo

por medio de la gimnasia y el alma por la música. El cultivo del cuerpo y del alma en armonía

produce los guardianes de la ciudad, sabios y valerosos. En esta categoría de guardianes

(mencionados por primera vez en en este mismo diálogo en 374e), Platón incluye a la vez

soldados y gobernantes; cuando es necesario distinguirlos, llama a los guerreros auxiliares o

defensores (414b), y a los gobernantes, arcontes. Si se logra encontrar esa mezcla de dulzura y

fuerza para formar su juventud, la ciudad puede estar segura de su salud. (412b)

Las matemáticas tienen también un papel fundamental en la formación de la juventud; la

ignorancia de la aritmética le parece a Platón un hecho no de hombres, sino de cerdos.8 Sólo

quienes estén ejercitados en el arte de las matemáticas serán capaces de ver que los cuerpos

celestes se ajustan, igual que todas las cosas del mundo, al patrón de movimiento que les impone

la razón, patrón que es el mismo que el que produce las armonías en la música. Con el dominio

de las matemáticas llegan a comprender la lección maestra, y esa lección es que la razón es

suprema en el cosmos.

Si la salud de la sociedad tiene como condición necesaria el orden –es decir, el hecho de que cada

individuo debe estar en el lugar que le corresponde y realizar, por tanto, las funciones para las

cuales está capacitado– ello trae como consecuencia que ningún hombre pueda beneficiarse

aisladamente o llegar por sí mismo a la felicidad, ya que el bien personal no contribuye a la

felicidad de la sociedad. El equilibrio y la armonía se consiguen cuando todo y todos se ajustan al

orden general; dicho en términos musicales, cuando todos se afinan; y si un hombre no puede por

sí solo ajustarse a ese orden, lo mejor que puede hacer es someterse al gobierno de otro.

De las cuatro virtudes presentes en una ciudad justa, la responsable de la armonía es la

templanza, ya que, en tanto que virtud política (de la polis), ésta comprende tres componentes: la

sumisión de lo peor a lo mejor, la sumisión de las pasiones a la razón, y el acuerdo para decidir

quién debe gobernar. En realidad, las dos primeras se reducen a una sola, que no puede ser

primordial, ya que ambas son resultado de la tercera; ésta, por el contrario, no es producto de las

otras dos. De allí que Platón haya decidido inclinarse sólo hacia la templanza, y considerarla

como la responsable de la armonía.

La misión fundamental de Platón parece ser, al menos en estos libros, cómo desarrollar un

sistema armónico; pero en esa época todavía no existe una teoría musical consistente con los

principios pitagóricos ya que no se ha encontrado aún un sistema en el cual los tonos estén

igualmente espaciados en la escala; para lograr el tan buscado “igual temperamento” se requería

de un conocimiento matemático que todavía no estaba disponible.

Siempre se ha dicho que Platón analiza en sus diálogos el sistema astronómico, la educación, el

arte de gobernar, el alma misma del individuo, etc., usando el sistema de armonía musical como

8 Leyes 747b y 819d.

modelo; es decir, que estudia todos esos sistemas desde una perspectiva musical. Sin embargo,

queda la pregunta de cómo podría haber usado como modelo una teoría armónica que todavía no

existía. Es decir, de qué manera podría haber utilizado una teoría aún no existente para explicar,

por analogía, el comportamiento del sistema de los planetas o el sistema político. Tal vez sería

mucho más coherente pensar que la tarea de Platón ha sido tratar de conseguir esta teoría

armónica, y que el Timeo, la República, las Leyes, el Critias, entre otras de sus obras, configuran

un verdadero tratado de armonía. Es ésta la hipótesis que se quiere presentar en este escrito.

Si tomáramos en serio estas cuestiones, tendríamos que aceptar que Platón intenta, por medio de

sus alegorías políticas y astronómicas, construir una teoría del igual temperamento, y que dichas

alegorías no son sino aproximaciones sucesivas a la solución, cuyos elementos se encuentran, por

ejemplo, en las regulaciones sobre el matrimonio, o en las normas que rigen la selección de los

guardianes, ambas en la República; también en las normas que rigen las ciudades de Atlántida y

Magnesia, expuestas en el Critias y en las Leyes; en la alegoría sobre el tirano, en la descripción

de la antigua Atenas, en las dos versiones del sistema planetario que aparecen en el Timeo y en

Critias. Las páginas que siguen intentan desarrollar estas ideas.

Por todo lo dicho en páginas anteriores se pone de manifiesto la necesidad de desarrollar lo que

presupone la noción de sofrosyne, o, para darle un aspecto más técnico y menos filosófico, la

noción de armonía, puesto que es posible hablar de templanza respecto de la ciudad o del alma

del individuo desde perspectivas morales o éticas sin tener que recurrir a la aritmética o a la

geometría; sin embargo, no es posible hacer algo similar si pensamos en esa misma templanza

desde el punto de vista de la música. Trasladada a la música, la templanza puede considerarse

como el temperamento, incluso como la afinación. Pero, como sabemos por las actuales teorías

de la música, existen varios sistemas de afinación: el sistema de afinación llamado pitagórico,

que es aquel en el cual intervienen los dos primeros números primos, 2 y 3, basado, por tanto, en

la octava, la cuarta y la quinta;9  este sistema se usa, como se mostrará en el desarrollo de este

trabajo, en la República, para describir los grados de infelicidad del tirano. Otro sistema es el de

afinación justa, que se basa en la octava, la quinta y la tercera mayor, y que aparece en el mismo

diálogo, en el sistema de arreglo de los matrimonios. Un sistema más sería el que divide la octava

exactamente en doce tonos iguales, y que es el llamado bien temperado. De este último, Platón no

ofrece ejemplos, ya que se trata precisamente del sistema que está intentando encontrar, el cual

sólo fue posible conseguirlo cuando se dispuso del conocimiento y manejo de los números

9 Estas nociones se tratan por extenso en páginas posteriores.

irracionales. Sin embargo, esta idea de la división en tonos iguales está expresada por Platón

cuando dice que la moderación, es decir, la templanza, tiene por función “afinar” la ciudad,

“haciendo que el débil, el fuerte y los que están en el medio canten el mismo canto”. (República

432a)

Si limitamos el estudio a las maneras a través de las cuales Platón quiere conseguir la armonía en

sus modelos de ciudad, vemos que en la antigua Atenas desarrolla un sistema de afinación

pitagórica (o sea, pone allí en práctica lo expresado en el Timeo: hacer intervenir sólo las series

de potencias de 2 y de 3); en la descripción de la Atlántida hace intervenir, además del 2 y del 3,

al 5; por tanto, desarrolla el sistema de afinación justa. Finalmente, en la descripción de la ciudad

de Magnesia, el esquema se hace más complejo, pues allí se introduce, además, el número 7;

desarrolla, por tanto, el sistema de afinación llamado de Arquitas. Si dejamos ahora de lado todas

las consideraciones técnicas, lo que interesa destacar en este momento es cómo, a través de la

exposición de diferentes sistemas políticos, Platón intenta llegar, por aproximaciones sucesivas, a

algo que las matemáticas de su tiempo no le permitieron: el sistema de afinación bien temperada,

con todos los intervalos iguales.

En este trabajo se pretende una exploración del concepto de armonía elaborado por Platón; ello

presupone el análisis de las ya mencionadas alegorías a través de las cuales se expresa, de

acuerdo con la hipótesis ya señalada, el acorde, la templanza, la armonía. La primera alegoría que

se analiza es la de los planetas; y esa primacía se debe a que en la explicación del sistema

planetario se encuentran las bases de la armonía del cosmos; para estudiar este sistema es

necesario un pequeño rodeo a través de la noción de proporción y de otras nociones igualmente

básicas de la matemática griega. También es necesario otro pequeño rodeo por algunas nociones

elementales de la teoría musical, cuyo desarrollo es comprensible –espero– a partir de las bases

que aquí se exponen. A pesar de todas las precauciones, la lectura de las páginas que siguen sí

presupone una dificultad que es el manejo de las cuatro operaciones fundamentales de la

aritmética, imposible de evitar. Platón prohibía entrar en la academia a quienes no supieran

geometría; sin embargo, el estudio elemental de la armonía como el que aquí se plantea no

requiere ni de toda la aritmética ni de toda la geometría, sino sólo de algunos de sus conceptos

más elementales.

Pero antes de entrar de lleno en esas consideraciones aritméticas que gobiernan la armonía y la

proporción, haremos un breve recorrido por la visión platónica del universo expuesta en el Timeo,

en la cual se postula la necesidad de un modelo para su producción y su comprensión; también se

pone de manifiesto en este diálogo fundamental de Platón una condición para la existencia de la

relación: la necesidad de una tercera cosa para que dos cosas cualesquiera –sea que pertenezcan

al individuo, al mundo terreno, o a la esfera de los planetas– puedan establecer algún tipo de

relación; como existe una imposibilidad general de tener relaciones directas, es necesario, por

tanto, establecer o estatuir esta relación siempre a través de una cosa intermedia. Veremos, pues,

en primer lugar la mediación.

La mediación

Las ideas de Platón sobre el mundo y sobre la naturaleza contenidas en el Timeo parten de la

afirmación de que nada viene a la existencia sin una causa, sin un hacedor. Como afirma Platón,

“todo lo que nace, nace necesariamente por la acción de una causa, pues es imposible que lo que

es pueda nacer sin causa”.10 Por tanto, el universo, al ser un objeto físico, tiene una causa, y su

agente es el artesano divino o Demiurgo. Este demiurgo, este artesano es eso mismo, una causa.

Platón no la define de manera precisa, pero parece afirmar que funciona como una causa

eficiente, como un poder para producir movimiento; aunque, como señala Rivaud en el prólogo a

este libro, “la causalidad de la que se habla no es la potencia creadora que la [...] teología

cristiana atribuirá a la divinidad”.11 El demiurgo obtiene nuevas formas, pero no las obtiene de la

nada, sino de una armoniosa mezcla de elementos ya existentes, combinados según ciertas

normas de orden y belleza, y según los lineamientos de un patrón o un modelo. Es decir, el

demiurgo sólo crea orden y belleza, y lo hace de acuerdo con un modelo prexistente. Cuando el

demiurgo tomó todo lo visible, “vio que no estaba en un estado de reposo sino de discordante y

desordenado movimiento, y puso orden en el desorden, pues lo primero [el orden] es en muchas

formas mejor que lo último [el desorden]”. (29d) Al poner orden, es decir, al hacerlo pasar del

estado de caos al de cosmos, formó un mundo material y, de acuerdo con el modelo ideal y

eterno, lo convirtió en una criatura viviente, a imagen de “la Criatura Viviente de la cual todas las

demás criaturas vivientes son porciones”.

En varios pasajes de Platón (por ejemplo, en la República 427d y 500e, y en las Leyes 801b)

parece advertirse como principio general el hecho de que sea necesario buscar el modelo según el

cual ha sido construida toda cosa. Para el caso del universo existente, también fue preciso, por

tanto, utilizar un modelo; en el Timeo está planteada la pregunta sobre cuál fue dicho modelo.

Platón concibe dos modelos opuestos: uno que es eterno, que no nace y no está sometido al

devenir, y otro que no es nunca pero que no cesa de nacer. Ambos poseen su propia forma de

aprehensión: “El primero es aprehendido por el intelecto y el razonamiento, pues es idéntico

constantemente a él mismo. El segundo es objeto de la opinión unida a la sensación no razonada,

pues nace y muere pero no existe nunca realmente”. (27d-28a) Para la creación del mundo, el

Demiurgo eligió el primero, el modelo eterno, puesto que “si el mundo es bello y el obrero es

10 Platón, Timeo 28a. También las citas del Timeo aparecen, a partir de ahora, incluidas en el texto.11 A. Rivaud, “Notice”, introducción a Platón, Oeuvres Complètes, t. X, Timée-Critias, p. 36.

bueno, es claro que fijó su mirada en el modelo eterno”. (29a) Este modelo escogido se menciona

como una criatura viviente; se trata, en la argumentación de Platón, obviamente de un ser vivo y,

por tanto, de un ser que debe tener cuerpo y alma, pues,

[…] habiendo decidido formar el mundo lo más semejante posible al más bello de los seres inteligibles, a un ser perfecto en todo, el Dios ha hecho un ser viviente único y visible, que tiene una naturaleza de la misma clase que él. (30d)

Con respecto al cuerpo –que es el cuerpo del Todo– dice lo siguiente: todo lo existente necesita

ser de forma corporal, visible y tangible, y para ello se requiere de la presencia del fuego y la

tierra, pues “sin fuego nada podría ni siquiera llegar a ser visible, ni tangible sin alguna solidez,

ni sólido sin tierra”;(31d) de allí que el cuerpo del Todo tuviera necesidad, antes que nada, del

fuego y de la tierra. La tradición de la cual Platón es heredero hablaba de cuatro elementos,

mientras que Platón hasta ahora sólo ha mencionado dos; para introducir los dos restantes recurre

a una de las nociones clave del pensamiento platónico: la de proporción. Para establecer una

relación entre dos cosas –dice– se requiere de una tercera que las ligue,

[…] pues es necesario que en medio de las dos haya un enlace que las aproxime. Ahora bien, de todas las uniones, la más bella es aquella que da a sí misma y a los términos que une la unidad más completa. Y es la progresión la que naturalmente la realiza de la manera más bella. Ésta se tiene cuando en tres números, lineales o planos, el del medio es tal que el que está primero es, por relación a él, como ese medio mismo es por relación al último. (31b-c)

De esta manera es una progresión de tres números y los tres forman una unidad perfecta. Sin

embargo, esto es válido cuando se trata de sólo tres términos, pues, como dice Platón, si el mundo

fuera plano y sin espesor, bastaría con esta “mediedad” única.12 Pero ahora estamos en presencia

de sólidos, es decir, tenemos que tratar con cuatro términos; de allí que haya que recurrir a otro

tipo de proporción, la proporción geométrica; por tanto, cuando las dos cosas que se unen son

tridimensionales, es decir, sólidos, son necesarios dos términos medios, pues “para armonizar los

sólidos nunca basta una sola mediedad: son necesarias siempre dos”; (32a) por ello puso el agua

y el aire entre el fuego y la tierra, estableciendo la siguiente proporción: el aire es al agua como el

fuego al aire, y el agua es a la tierra como el aire al agua.

Por estas razones y de estos materiales, tales en clase y cuatro en número, el cuerpo del Cosmos fue armonizado con la proporción y traído a la existencia [...] Así, unido en identidad con él mismo, llegó a ser indisoluble por cualquier otro agente distinto de quien lo unió“. (32b)

La forma que le asignó es la esférica, la que tiene la mayor afinidad: como este ser viviente “debe

contener en sí mismo todos los seres vivientes, la figura que le conviene es la que comprende en

sí misma todas las figuras”. Y la figura esférica es, “de todas las figuras, la más perfecta y la más

12 Es éste, precisamente, el término que Platón utiliza: μεσοτης, que significa literalmente mediedad.

completamente semejante a ella misma”, (33b) y, como ya se sabe, lo semejante es mil veces más

bello que lo desemejante. A este cuerpo le fue impuesto un movimiento; de los siete movimientos

posibles, escogió el que concierne “al intelecto y a la reflexión“, es decir, el que realiza “sobre sí

mismo una revolución uniforme, en el mismo lugar”. (34a)

Pero, además de cuerpo, el todo tiene alma; en lo que se refiere al Alma del Mundo, las dos

esencias mencionadas, la que es siempre y nunca cambia, y la que no deja de cambiar –es decir,

lo Mismo y lo Otro– no aparecen ya como modelos, sino ahora como sus ingredientes. El

demiurgo colocó el alma en el centro del cuerpo y la “extendió por todas partes, envolviendo

también el exterior de este cuerpo”. (34b) El alma del mundo fue formada con la mezcla de lo

Mismo y de lo Otro; pero, además de éstos (del ser que es invisible y que permanece siempre

igual, y del ser transitorio y divisible), el artífice mezcló un tercer ingrediente, salido de lo

Mismo y de lo Otro, y los combinó en una forma única, “armonizando por fuerza con lo Mismo

la sustancia de lo Otro, que difícilmente se deja unir. Mezcló las dos primeras con la tercera y de

las tres hizo una sola”. (35b) Con la mezcla de esas tres entidades formó el alma del mundo. Esa

mezcla fue dividida en porciones de acuerdo con un procedimiento que recurre otra vez a la

proporción, combinando progresiones aritméticas, geométricas y armónicas.13

Más adelante se indicará la manera en que se dividió la mezcla; por ahora baste mencionar ciertos

aspectos de la relación entre la conformación del alma del mundo y la visión platónica del

universo. En la ya mencionada mezcla hizo una división longitudinal, lo cual dio como resultado

algo así como dos cintas, que fueron unidas en sus extremos para formar dos anillos o ruedas;

posteriormente puso estas ruedas una dentro de la otra, pero no de manera paralela, sino de

manera que sus planos formaran un ángulo recto, como el formado por el ecuador y uno de los

meridianos. En palabras de Platón: “habiendo cruzado las dos mitades una sobre la otra, haciendo

coincidir sus puntos medios, como una Chi, las curvó para unirlas en un círculo, uniendo entre sí

los extremos de cada una en el punto opuesto a su intersección”. (36b-c) Y las envolvió con el

movimiento uniforme que gira en el mismo lugar; y con los dos círculos hizo que uno fuera

exterior y el otro interior;

[…] al movimiento del círculo exterior lo designó como el movimiento de la sustancia de lo Mismo, y al del círculo interior, como el de la sustancia de lo Otro. El movimiento de lo Mismo se orientó según el lado de un paralelogramo, de izquierda a derecha; el de lo Otro, según la diagonal, de derecha a izquierda. (36c)

Finalmente, de la rueda interior, mediante un proceso que no se describe en el diálogo, surgieron

13 Estos conceptos serán desarrollados en páginas posteriores.

siete ruedas de distintos tamaños, aunque todas ellas relacionados armónicamente; estas ruedas

giran con velocidades distintas, también armónicamente relacionadas, “cuyas razones de una a

otra son las de los enteros naturales”. (36d)

Evidentemente, el resultado es un esquema del universo, donde el círculo mayor es la órbita

celeste de las estrellas fijas, y los siete círculos menores son los del sol, la luna y los restantes

cinco planetas que giran alrededor de la tierra. Estamos ante una imagen del universo, aunque no

sea tan desarrollada como la que se presenta en el esquema posteriormente propuesto por

Ptolomeo, en el cual se asumen y se amplían muchas ideas platónicas. Cuando el demiurgo vio

que el mundo se movía y vivía, se llenó de gozo y pensó en cómo hacerlo más semejante todavía

a su modelo; lo que le faltaba era darle también cierta semejanza respecto a su carácter de eterno.

Sin embargo, ese atributo de eternidad es imposible de asignar a un mundo engendrado, por lo

cual su autor decidió hacer sólo una imitación de dicho carácter y, “al organizar el cielo, hizo de

la eternidad, inmóvil y una, esta imagen eterna que progresa según la ley del Número, esta cosa

que llamamos el tiempo”. (37e) De hecho, el sol, la luna y los cinco astros llamados errantes, es

decir, los planetas, tienen existencia solamente para determinar y preservar los números del

tiempo, puesto que, según interpreta Copleston, “el tiempo es el movimiento de la esfera, y el

demiurgo dio al hombre el resplandeciente sol para proporcionarle una unidad con qué medir el

tiempo”.14 El divino artesano construyó, entonces, el cuerpo de cada uno de los astros y colocó

cada uno de ellos en las siete órbitas generadas por la sustancia de lo Otro.

Uno de los aspectos interesantes que conviene destacar desde ahora es que el demiurgo platónico

no es un creador; del Timeo se deduce que el demiurgo toma unos materiales ya existentes y hace

con ellos su obra; en otras palabras, no es responsable de su existencia, sino sólo de su orden.

Pero aun así, es comprensible que durante la Edad Media se haya visto al platonismo como una

doctrina compatible con la noción cristiana de dios creador, donde el dios platónico sería el bien

trascendente, o el Demiurgo que forma el universo para el bien y desea que “todas las cosas

lleguen a ser lo más semejante posibles a él mismo”.

El demiurgo ordena cosas ya existentes, cosas “ausentes de razón o medida”; y tales cosas son

precisamente los mencionados elementos: tierra, aire, agua y fuego, todos ellos compuestos de

partículas invisibles. Esta concepción de la naturaleza como un todo formado de partículas no fue

inventada por Platón, sino que ya había sido propuesta antes para explicar cómo era posible el

cambio en un mundo en el que las cosas retenían su identidad. Los pitagóricos suponían que

14 F. Copleston, Historia de la filosofía, v. 1. Grecia y Roma, p. 255.

todos los objetos estaban constituidos por puntos o unidades de existencia, por tanto, “que los

objetos naturales estaban formados de estos puntos combinados de acuerdo con las distintas

formas geométricas”.15 Los pitagóricos, en realidad, confundieron los puntos geométricos con las

más pequeñas partículas físicas. El atomista Demócrito, por su parte, estableció que los puntos

geométricos no tenían magnitud y defendió la idea de que las partículas últimas del mundo no

eran puntos geométricos, sino unidades físicas indivisibles, es decir, átomos. Todo el universo

estaba formado de átomos que se movían al azar en un vacío infinito; tales átomos variaban en

tamaño, forma, orden y posición; en sus movimientos formaban vórtices donde se formaron los

primeros cuatro elementos; después se formaron otros cuerpos por adherencia mecánica de

átomos semejantes. Platón heredó de pitagóricos y atomistas la idea de que lo inteligible,

permanente y real, en la cambiante variedad del mundo físico, era expresable sólo en términos

matemáticos.

Es interesante para los propósitos de este trabajo hablar de los cuatro elementos considerados por

Platón como componentes mínimos: tierra, fuego, aire y agua. El punto de partida de Platón es

considerar esos cuatro elementos como cuerpos y, por tanto, como poseedores de espesor o

profundidad. La profundidad, por su parte, debe estar delimitada por una superficie plana, y todo

plano rectilíneo está formado por triángulos. (Timeo 53c) Todos los triángulos tienen como origen

dos tipos de triángulos, ambos rectángulos: uno de estos triángulos –dice Platón– tiene en cada

lado la mitad de un ángulo recto marcado por lados iguales, mientras que el otro tiene el ángulo

recto dividido en partes desiguales por lados desiguales”; (53d) es decir, uno es isósceles y el otro

escaleno. El triángulo isósceles sólo tiene una especie, mientras que el escaleno tiene un número

indefinido de ellas, aunque el triángulo más bello es aquel que “con dos de ellos se puede formar

el tercer triángulo, que es equilátero”. (54a) Tres de los elementos se generaron del escaleno, y el

cuarto del isósceles.

A la tierra se dio forma cúbica, “porque de las cuatro especies la tierra es la más difícil de mover

y el cuerpo más plástico”; (55e) es el cuerpo con bases más estables y por ello es el único

elemento formado por triángulos isósceles. De los otros tres, el agua es el menos móvil y el fuego

el más móvil; el aire es intermedio. Igualmente, dice,

[…] asignamos el más pequeño cuerpo al fuego, el mayor al agua y el intermedio al aire; y nuevamente, el más agudo, al fuego; el segundo, al aire, y el tercero al agua. De estas formas, la que tiene más pocas bases debe ser necesariamente la más móvil, puesto que es de todas maneras la más punzante y la más aguda de todas; y debe ser también la más ligera, puesto que está compuesta del menor número de partes idénticas. (56a)

15 A. C. Crombie, Historia de la ciencia: de san Agustín a Galileo, v. I, p. 40.

Finalmente, si la tierra está formada por cubos, la pirámide es la forma de las partículas de fuego;

el octaedro, de las del aire, y el icosaedro, de las del agua. Estos corpúsculos son tan diminutos

que no son perceptibles. Por otro lado, “respecto a las proporciones numéricas que gobiernan sus

masas y movimientos y demás cualidades, debemos concebir que el dios realizó éstos con

exactitud [...] y ordenó todo en proporción armoniosa”.

Hasta este punto, Platón ha distinguido dos grandes formas: la que podríamos llamar el modelo,

que es “inteligible y siempre uniformemente existente”, y la segunda, la copia de este modelo,

que es “visible y sujeta al devenir”. De esas dos primeras especies, “una habíamos supuesto que

era la especie del Modelo, especie inteligible e inmutable; la segunda, copia del Modelo, estaba

sujeta al nacimiento y era visible”. (48e) Y si al principio pensaba que con estas dos era

suficiente, después cree que es necesaria una tercera, que sería algo así como una nodriza o como

un receptáculo para todo nacimiento. Se requiere, pues, la presencia de una tercera que sería el

lugar donde todo lo que es llega a ser, el espacio de existencia; esta tercera cosa, a la que llama

receptáculo o nodriza, es algo de muy difícil aprehensión. Las dos primeras son descritas con una

relativa amplitud en varias ocasiones; por ejemplo, la primera es, según el Timeo,

la Forma idéntica a sí misma, que no es generada y es indestructible, que no recibe en sí misma cualquier otra forma de otro lugar, ni pasa a cualquier otra, es invisible y en todos los aspectos imperceptible por los sentidos, y es el objeto de contemplación de la Razón;

la segunda cosa “es esa que es nombrada según la anterior, similar a ella, perceptible por los

sentidos, generada, siempre móvil, nacida en algún lugar y salida de él para desaparecer,

aprehensible por la Opinión con ayuda de la Sensación”. La tercera es tratada con menor

amplitud; sólo dice que es el “lugar eterno, que no admite destrucción y que proporciona espacio

para todas las cosas que han nacido”, sólo es aprehensible por “una especie de razonamiento

bastardo”.

En lugar de pretender elaborar un razonamiento de ese tipo, hay que señalar otra característica

con la cual Platón define las tres especies señaladas: la primera es lo que llega a ser (es decir, el

punto de partida); la segunda es eso a lo que se llega a ser (el punto de llegada), y la tercera la

fuente de la cual lo que llega a ser es copiado y producido. “Conviene comparar el receptáculo

con una madre, el modelo a un padre y la naturaleza intermedia entre los dos a un hijo”. (50d)

Hablar de ese receptáculo o Madre es casi imposible ya que no posee propiedades en sí mismo;

más bien debe ser capaz de recibir las propiedades de lo que en él ocurre. Pero, por otro lado, las

cosas que allí ocurren están en constante cambio y sólo nos encontramos con procesos; dice

Platón que no podemos señalar una cosa y decir “esto es fuego”, porque todo está en continua

transformación y no se puede decir que algo que cambia es fuego, sino solamente que tiene la

propiedad de lo ígneo; al cambiar el fuego, dicha propiedad desaparece de lo que era ígneo.

“Eso” que era ígneo es lo que sólo se puede aprehender a través de un razonamiento bastardo. En

el receptáculo surgen las instancias de las propiedades, pero como es el material último de todo lo

que existe, no tiene propiedades; de allí su semejanza con la idea de espacio, que es algo y es

nada, pues existe pero no se percibe. Es un medio plástico que no consta de ninguno de los cuatro

elementos, sino que es el lugar donde se manifiestan las propiedades que tendrán tales elementos

después de la obra ordenadora del demiurgo.

Como el universo es tridimensional, hay una cierta necesidad interna de que sus contenidos sean

también tridimensionales; por otro lado, la razón exige que los sólidos, que son las partículas de

las cuales cada elemento está formado, sean regulares. Finalmente, es necesario que los

elementos estén en continuo cambio, de acuerdo con leyes naturales, de manera que puedan

combinarse para formar otros elementos. Ésta sería la razón de postular dos tipos de unidades

inferiores bidimensionales –los triángulos– con los cuales se construyen cuatro partículas

tridimensionales: pirámide, cubo, octaedro e icosaedro. En consecuencia, lo que se obtiene al

configurar el espacio en sólidos regulares son los elementos: tierra, aire, agua y fuego; éstos son,

pues, productos del ordenamiento y no de lo que se ordena. Crombie lo resume del modo

siguiente:

El Artífice se encuentra con tres tipos de necesidades: fáctica, físicomatemática y teleológica. La necesidad fáctica consiste en la existencia de un continuo tridimensional caótico y todo lo que haya que hacer se ha de hacer en él. La necesidad fisicomatemática consiste en las maneras en que se puede llenar un continuo tridimensional con sólidos regulares y en las propiedades dinámicas que han de poseer los sólidos regulares. La necesidad teleológica consiste en la restricción ejercida sobre la voluntad del Artífice por hechos tales como que el orden es preferible al desorden y que los seres inteligentes son preferibles a la materia inerte. Debido a que el orden es preferible al desorden y debido a que se enfrenta a un continuo tridimensional, está forzado a crear en él sólidos regulares.16

De esta breve reseña de los principios rectores del universo según la concepción de Platón

interesa destacar, para los propósitos de este trabajo, en primer lugar la noción de mediación; se

trata de la idea de que no existen relaciones directas entre una cosa y otra, particularmente en lo

que toca a las relaciones entre seres que pertenecen a jerarquías distintas. Ya hemos visto que

Platón afirma que, para que dos cosas puedan conjuntarse, se requiere de una tercera, y esto

también es válido para la necesaria relación entre el demiurgo y los seres vivientes. Si queremos

conocer qué tipo de relación se establece entre ambos, tenemos que examinar la manera en que

los segundos fueron generados; no fueron producidos de manera directa por el demiurgo, sino por

16 I. M. Crombie, Análisis de las doctrinas de Platón, t. II, p. 225.

los dioses inferiores, ellos sí creados por aquél.

Todo había sido hecho a semejanza del modelo, pero el trabajo no estaba concluido, pues el

universo creado no comprendía a todos los vivientes que debían nacer en él; por ello la semejanza

entre este universo y el modelo era sólo parcial. Así, “en la medida en que el intelecto percibe las

formas comprendidas en lo Viviente, sabe cuáles y cuántas son, el dios pensó que el mundo debía

contener las mismas en igual número”. De acuerdo con Platón, existen cuatro de estas formas: la

especie celeste de los dioses, la especie alada que vuela, la especie acuática, y la que camina y

vive en la tierra. La primera fue hecha por el dios y es la más brillante, la más bella y la que

posee la sabiduría; ésta se encuentra distribuida circularmente por todo el cielo.17 Pero las otras

especies no podían ser fabricadas por el divino artesano, por más que su existencia fuera una

necesidad lógica, casi matemática, para la existencia del Todo. De allí que encomendara esa tarea

a los dioses inferiores, los cuales, como nacieron o fueron creados, “no son ni inmortales ni

incorruptibles del todo”. A ellos les dice:

Tres especies mortales faltan todavía por nacer. Si no nacen, el cielo quedará inacabado, pues no comprenderá en sí mismo todas las especies vivientes. Y es necesario que las comprenda, si quiere ser absolutamente perfecto. Pero si yo las hago nacer, si participan de la vida por mi, serán iguales a los dioses. Con el fin de que, por un lado, esos seres sean mortales y que, por otro lado, el Todo sea realmente el Todo, apliquen ustedes su naturaleza para fabricar a los seres vivos... (41b-c)

Para la elaboración de las tres especies mortales se usó el mismo cuenco donde se formó el Alma

del Mundo, y los materiales con que se fabricaron fueron los restos de materiales usados en la

producción del Alma del Mundo, “aunque ya no con una pureza uniforme e invariable, sino en un

grado segundo o tercero de pureza”. (41d) Pero no solamente hay diferencia en el grado de

pureza de los materiales, sino también en la manera de unirlos: los dioses creados, imitando a su

propio hacedor, tomaron porciones de fuego y tierra y agua y aire y los unieron; pero ahora no

pegaron las porciones con esos lazos indisolubles con que ellos mismos fueron unidos, sino con

numerosos clavos, invisibles por su pequeñez; y entonces construyó cada uno de estos dioses

varios cuerpos, uno para cada individuo; y dentro de estos cuerpos colocaron las revoluciones del

Alma inmortal.

Y no sólo en este momento de la creación aparece la noción de mediación sino en todos. Al

referirse concretamente a la relación entre dios y el hombre, Platón ya había establecido en otro

de sus diálogos, el Banquete, que ésta es una relación no inmediata, sino que se realiza a través de

17 Cada uno de los dioses tiene dos movimientos: “uno se produce en el mismo lugar y según relaciones invariables (pues cada uno medita siempre en sí mismo los mismos pensamientos relativos a los mismos objetos), y el otro que se realiza hacia adelante y está dominado por la revolución de lo Mismo y de lo semejante”. (Timeo 39e–40a-b)

algún medio o puente; en fin, de una tercera cosa de algún tipo. La necesaria presencia de tres

cosas es a lo que Lewis llama “principio de la triada”, el cual florecerá a lo largo de todo el

pensamiento medieval, poniendo terceras cosas entre todas las parejas posibles: la razón y los

instintos, el alma y el cuerpo, el rey y el pueblo, etc. Este principio de la triada llegó a la Edad

Media y épocas posteriores a través, claro está, de terceros o mediadores, entre los que podemos

señalar a Apuleyo, quien vivió en el siglo II dC. En uno de sus ensayos llamado Sobre el dios de

Sócrates, Apuleyo habla de ciertas criaturas, de naturaleza intermedia entre los dioses y los

hombres, a los que denomina demonios y los considera como la única vía para establecer

relaciones entre ambas especies.18 Tales demonios ocupan un lugar preciso del espacio, pero,

antes de ver de qué clase de lugar se trata, es necesario apelar a un segundo principio heredado

del platonismo; es el que Lewis llama “principio de plenitud”, y consiste en que hay una

exigencia de la razón que impide la existencia de algún lugar del universo desaprovechado o

deshabitado. Por lo tanto, cada una de sus porciones debe tener sus criaturas apropiadas; es decir,

tanto la tierra como el aire y el éter poseen cada uno su clase especial de criaturas, de manera que

ninguna de tales porciones está vacía. Los demonios tienen como su lugar la región comprendida

entre la tierra y la órbita de la luna, es decir, el aire (las aves, aunque vuelen, se consideran

habitantes de la tierra). Los demonios tienen cuerpo, aunque éste no es visible pues tiene una

consistencia menor que la de las nubes; pero son animales racionales precisamente por tener un

cuerpo; según dice Lewis, son animales racionales aéreos del mismo modo que los seres

humanos son animales racionales terrestres; incluso los dioses son animales racionales etéreos.19

El hecho de que Platón llame en el Timeo “criaturas vivientes” incluso a los más elevados

espíritus creados, es el origen de considerar que éstos poseen corporeidad.

El traductor de una de las versiones del Timeo, Calcidio, también se refiere a los demonios en el

comentario que acompaña a su traducción, pero con ese nombre abarca tanto a las criaturas

etéreas como a las aéreas, y las primeras dice que son aquellas a las “que los hebreos llaman

ángeles”. En este autor también están presentes los dos principios mencionados por Lewis, el de

la tríada y el de la plenitud: piensa que el éter, el aire y la tierra están habitados; además, puesto

que por un lado existen criaturas estelares, celestes, inmortales y divinas, y por otro lado existen

criaturas perecederas, terrestres, temporales y mortales, necesariamente tendrá que existir entre

18 Los dioses se distinguen de los hombres “por la elevación de su morada, la eternidad de su vida, la perfección de su naturaleza, la ausencia total de relaciones directas con nosotros ...” Pero, “existen potencias divinas intermedias, que habitan el espacio aéreo, entre las alturas del éter y los bajos fondos terrestres, y que comunican a los dioses nuestros deseos y nuestros méritos. Estos seres han recibido de los griegos el nombre de demonios...” (Apulée, Du dieu de Socrate, pp. 127-133)

19 C. S. Lewis, La imagen del mundo, p. 31.

ambos tipos algo intermedio que los conecte, tal como lo establecen las leyes de la proporción.

En síntesis, la concepción del universo derivada del platonismo, la cual es el modelo de mundo

que se mantuvo vigente durante, al menos, el primer milenio de nuestra era, reposa de manera

especial en esa noción de mediación, en la existencia de terceras cosas que sirven para relacionar

dos cosas previas. De allí la necesidad de analizar con más detalle esta idea y el concepto

matemático asociado con ella, el de proporción.

La armonía y el número

Como se dijo antes, la primera definición de armonía —que podemos encontrar en Homero— es

la de relación entre las partes de un todo. En términos generales, establecer una relación armónica

significa acoplar, adaptar o ajustar una cosa a otra; el término mismo, armonía, se deriva del

verbo que significa juntar. Tal vez una de las formulaciones más amplias de la definición de

armonía de Platón sea la de A. Rivaud; para él, “la armonía es, de manera general, lo que acerca y

mantiene unidos, a pesar de su oposición, los elementos contrarios de que están formados las

cosas”.20 Esta definición sigue de cerca la de Filolao, (c. -450?) quien piensa que la armonía nace

de la relación entre las oposiciones y es la que establece la unidad de las diversas partes que

componen un todo. Por esta razón piensa que la armonía puede ser determinada y calculada de

manera matemática. Si nos situamos en el terreno de la música antigua, la armonía se considera

como la forma en que se articulan los elementos, es decir, los sonidos y los intervalos. Esta

definición es válida, sin embargo, dentro de los límites de la teoría musical griega, ya que

modernamente se entiende de manera diferente: como encadenamiento vertical de los acordes.

También hemos señalado anteriormente que la tradición postula a Pitágoras como el primero que

investigó cómo está constituido el orden del cosmos, es decir, las relaciones entre los elementos

que lo componen. Pitágoras aplicó sus conocimientos geométricos (se habla de él incluso como

padre de la geometría) a la naturaleza, y las relaciones que encontró lo condujeron a pensar que la

verdad última de la estructura del universo estaba en los números. “Todo está dispuesto conforme

al número”, dice un fragmento del Hierós Logos o Discurso sagrado atribuido por Jámblico a

Pitágoras; tanto para éste como para sus discípulos, los números tenían un significado místico,

pues, mientras que los fenómenos eran secundarios, los números constituían una realidad

independiente; por lo tanto, lo único significativo de los fenómenos era la manera en que

reflejaban el número. Pero los números no sólo explicaban el mundo físico, sino que también

representaban cualidades morales y otro tipo de abstracciones (incluso no sólo las representaban,

sino que, para ellos, eran esas cualidades). El número era, pues, en resumen, responsable de la

armonía, el principio divino que regía la estructura del mundo.21

20 A. Rivaud, Platon et la musique, Revue d'histoire de la philosophie III, 1929, cit. por J. Chailley, La musique grecque antique.

21 Aristóteles asegura que, para los pitagóricos, “las cosas en sí son números”, o “imitan” o “representan” números (Metafísica 987b 28). También señala que ellos asumían “que los elementos de los números eran los elementos de todas las cosas” y que “la totalidad del cielo era armonía y número”. (986a 1)

Ya hemos hablado en la introducción sobre los rasgos principales de la doctrina pitagórica: la

analogía entre el alma individual y el alma del mundo, es decir, la analogía entre macrocosmos y

microcosmos; el hecho de que el mismo principio de orden constituya la naturaleza del universo,

considerado como un organismo viviente, y de la criatura particular; finalmente, que la analogía

entre el todo y la parte consiste en una proporción, la cual se entendía como un ajuste, es decir,

como una armonía. El principio de orden, como se verá más adelante, consiste en poner en acción

el principio del límite frente a lo ilimitado, y, por tanto, es el productor de la armonía que es

esencialmente numérica. Es en este sentido que los pitagóricos sostienen que los números son la

realidad primaria.

Para mostrar las relaciones entre número y armonía, es decir, para calcular la armonía, se utilizó

ampliamente el monocordio, que era una caja sonora con una cuerda y un puente móvil; con este

instrumento se medían los tonos y los intervalos. Al pulsar la cuerda, que tiene una longitud

determinada y que para nuestros propósitos designamos como la unidad, se produce un sonido

que llamamos una tónica; si la cuerda tiene el doble de esa longitud, es decir, si su longitud está

en una relación 2:1 respecto a la primera, la nota que se produce estará a la distancia de una

octava de la tónica; si la cuerda es una mitad mayor que la original, es decir, 1+1/2=3/2 , el tono

estará a una distancia de un intervalo de quinta; y si la cuerda es un tercio mayor (1+1/3=4/3) la

nota producida estará a un intervalo de cuarta.22

Esto muestra que todo el sistema armónico estaba basado en las razones que se dan entre los

cuatro primeros números: 1, 2, 3, 4. Descubrir esto, descubrir que las consonancias musicales se

pueden expresar matemáticamente mediante las razones de los cuatro primeros números enteros;

entender la íntima relación entre el sonido, la longitud de la cuerda (es decir, un elemento

espacial) y el número, todo ello tuvo que originar la perplejidad y la admiración en Pitágoras y

sus discípulos, pues todo parecía indicar que habían encontrado la llave que abría la puerta de las

inexploradas regiones de la armonía universal.

No ha llegado hasta nosotros una teoría del número que proceda directamente de los pitagóricos;

el único tratado de la antigüedad data del siglo II de nuestra era, y es la Introducción a la

aritmética de Nicómaco de Gerasa, autor también de un Manual de armonía. En el siglo IV,

Jámblico compiló los escritos de Nicómaco sobre el número con el título Theologumena

aritmeticae, el cual fue traducido por Boecio y tuvo gran influencia en la Edad Media. Nicómaco,

22 Todos estos aspectos de la armonía y los intervalos musicales serán tratados extensamente en las siguientes secciones.

fiel seguidor del pitagorismo, piensa que, si el cosmos está ordenado, entonces el número es la

esencia eterna de la realidad; dice: “El caos primitivo, falto de orden y de forma y de todo lo que

diferencia según las categorías de la cualidad, de la cantidad, etc., fue organizado y ordenado

según el número”.

Nicómaco habla de dos tipos de número: el número divino o número idea, y el número científico;

el primero como el modelo ideal del segundo. Sin embargo, como en el mundo material las

únicas cosas permanentes son las formas, y la estructura de las cosas es su única realidad, el

número divino será entonces el arquetipo director de todo el universo. La razón por la cual separa

el análisis de los tipos de número proviene del hecho de que los griegos no tenían cifras o

símbolos exclusivos para representar los números; la introducción de los números arábigos y del

sistema decimal facilitó el cálculo, pero su uso hizo olvidar que la teoría del número, por un lado,

y el uso de los números para calcular, por otro, son dos cosas distintas.23 Sólo se volvió a ver esa

diferencia con la teoría de conjuntos y con los desarrollos de Cantor y Russell.

Nicómaco de Gerasa define el número científico de dos maneras: como una multitud limitada (es

decir, como conjunto numerable finito), o como combinación de mónadas o de unidades.

(Arithmetica introductio I, vii, 1) Esas unidades pueden ser puntos, planos o sólidos; como

puntos, dan origen al mundo de los números “figurados”, geométrico y algebraico. El origen de

este argumento es la tetractys, cuyo descubrimiento se atribuye a Pitágoras; se trata de la

sucesión de los cuatro primeros números naturales que intervienen en el sistema armónico. La

tetractys se piensa de dos maneras: como sucesión (1, 2, 3, 4) y como conjunto cuya suma es la

década (1+2+3+4=10), que es el cuarto número triangular, el cual se ilustra en la siguiente

figura:24

•

• •

• • •

• • • •23 Cfr. Matila Ghyka, El número de oro, II, pp. 23 y ss.24 Otros números triangulares planos, aparte del 10, son 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, etc.; o sea 1, 3, 6, 10, 15, etc.; en

general, son los que obedecen a la fórmula n(n+1)/2 . Números triangulares sólidos son: 1, 1+3, 1+3+6, 1+3+6+10, etc., o sea: 1, 4, 10, 20; en general, n(n+1)(n+2)/1x2x3 .

La tetractys tiene, entonces, las cualidades de la década, y tiene también las “cualidades

dinámicas del crecimiento triangular, base a su vez de la generación de todos los números

triangulares planos o sólidos”.25 También, como se ha señalado, la tetractys participa de las

cualidades armónicas de la progresión, ya que la razón 4:2 o 2:1 representa el intervalo de octava,

la razón 3:2 representa el de quinta, y la razón 4:3 representa el de cuarta. Nicómaco llama a la

década “el todo”, “pues sirve de medida para el todo como una escuadra y una cuerda en manos

del Ordenador”. Así, bajo la forma del número puro, en cuanto década, la tetractys se convierte

en símbolo del universo.

Esta serie de los cuatro primeros números puede, por tanto, considerarse desde varios puntos de

vista: está formada por la unidad, el primer número par, el primer número impar y el primer

número cuadrado; también es la serie formada por el punto, la línea, el primer plano (triangular),

y el primer polígono (cuadrado); finalmente, es la serie del tono, de la octava, de la quinta y de la

cuarta.26 Dice Nicómaco:

Como el todo era una multitud ilimitada, se necesitaba un orden. Ahora bien, como en la década es donde preexistía un equilibrio natural entre el conjunto y sus elementos, he ahí el por qué mediante su Razón el dios ordenador se sirvió de la década como un canon para el todo y he ahí el por qué las cosas, desde el cielo a la tierra, tienen para los conjuntos y las partes sus razones de concordancia basadas en ella y ordenadas por ella.27

El origen o principio del número, así como de todas las cosas es, dice Nicómaco, haciendo una

directa referencia a Platón, lo Mismo y lo Otro; es decir, la cualidad de ser la misma cosa y la

cualidad de ser otra cosa. En términos generales, los pitagóricos identifican la idea de Uno con la

de identidad, igualdad y simpatía, y la de Dos con la de desigualdad. De la unidad se derivan los

principios de lo impar y de lo par, que se hicieron equivalentes a los principios de lo limitado y lo

ilimitado. Había dos razones para esta identificación. La primera está en Aristóteles,28 quien dice

que la suma de los números impares sucesivos, comenzando a partir del uno, da como resultado

25 M. Ghyka, ibid., p. 36.26 Edgar de Bruyne, Historia de la estética, I, p. 51.27 Nicómaco de Gerasa, Introduction to Arithmetic I, vii, 1. Filolao, matemático del siglo V a. C., decía de la década:

“Consideremos los efectos y la naturaleza del número conforme al poder que reside en la decena. Es grande, poderoso y autosuficiente, principio primero y guía de los dioses, del cielo y del hombre. Sin él todo es ilimitado, oscuro e inescrutable. La naturaleza del número ha de ser punto de referencia, guía y orientación de toda duda o dificultad. Si no fuera por el número y por su naturaleza, nada de cuanto existe podría ser comprendido por nadie, ni en sí mismo ni con relación a otras cosas [...] Ni la armonía ni la naturaleza del número admiten falsedad alguna. La falsedad y la envidia sólo son compatibles con lo ininteligible y lo irracional”. (cit. por B. Farrington, Ciencia griega).

28 Física 203a13.

siempre la misma figura definida, un cuadrado: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, etc., pero la

suma de los números pares sucesivos da como resultado una figura oblonga de forma variable:

2+4=6, 2+4+6=12, etc. La segunda razón está en el hecho de que cada número par puede

representarse por dos líneas paralelas de puntos, y el proceso de división por el paso de una

flecha entre estas líneas. Si el número entero es par, el proceso puede continuar indefinidamente,

pero se detiene y se limita por la introducción de la unidad, que convierte el número en impar.29

Así, pues, el principio de todas las cosas, de todas las estructuras múltiples distintas, se basa en

dos principios: un principio de unidad por el cual cada cosa es ella misma, y un principio de

pluralidad, por el cual es distinta de las demás. El principio de lo mismo determina lo que la cosa

debe ser; el otro principio es todo el resto, lo indeterminado, lo indefinido. Por tanto, todo lo que

existe supone una síntesis de lo indeterminado y de lo determinado. La primera forma en que se

muestra la pluralidad es el dos: no dos unidades o dos cosas, sino simplemente la dualidad, como

primera pluralidad en cualquier campo: en aritmética, dos puntos se oponen a un punto; en

geometría, dos puntos determinan la primera línea; en la teoría de la proporción, la dualidad

produce inmediatamente la relación 2:1. Dice sobre esto Edgar de Bruyne:

en el orden cualitativo de las ideas, Dyas difiere de Monas [...] El Dyas ontológico es el principio u origen, en el orden metafísico, de lo uno y lo múltiple, de lo mismo y de lo otro; en la aritmética, de lo grande y lo pequeño, de lo igual y de lo desigual; en geometría, de lo que es largo y corto (la línea), ancho y estrecho (el plano), alto y bajo (volumen); en la música, de lo simple, de lo doble, etc.30

Pero no basta hablar de unidades aisladas sino que es necesario introducir las relaciones entre

tales unidades, las relaciones entre números, es decir, las razones. Logos significa, entre otras

cosas, relación, razonamiento, pero también razón en sentido matemático. No deja de ser

interesante que una palabra que se traduce como razonamiento o como juicio (incluso también

como discurso), sirva también para expresar una relación entre cantidades. Según M. Ghyka, una

razón, que es una comparación de magnitudes o de los números que las miden, una razón es

la proyección en el plano matemático de la operación elemental del juicio: percepción exacta de las relaciones entre las cosas o las ideas (es una medida, un “peso” ideal). La comparación entre dos o más razones, y la percepción de su equivalencia, de su armonía, de su “analogía” –operación ya más sintética de la inteligencia, que armoniza, que enlaza diversos juicios o percepciones elementales– tiene también como proyección esquemática, en el plano de los números, la ecuación de la proporción.31

En este contexto, se utiliza el término “analogía” como equivalente al de proporción.

En nuestra pobre música terrena, nosotros utilizamos el diapasón, el intervalo 1:2; pero la serie

29 Cfr. H. Tredennik, introducción a Aristóteles, The Metaphysics, pp. xvi-xvii.30 E. de Bruyne, Historia de la estética, I, p. 51.31 M. Ghyka, op. cit.

establecida por Platón es mucho más amplia, ya que comprende todas las gamas posibles, hasta el

intervalo 27, puesto que lo que él quiere describir es la armonía celeste, la armonía del Alma del

Mundo. En este gesto se percibe el poder que los antiguos daban al número como portador de

orden, medida y belleza. Belleza –dice Rivaud– “invisible al profano, que sólo el filósofo, nutrido

de matemáticas y hábil para el cálculo, sabe percibir”.32 El número se convierte, pues, en la parte

más importante de las que componen el Alma del Mundo, lo único inmortal de las almas de los

mortales.

Las ideas pitagóricas y platónicas dieron como resultado dos variantes en períodos sucesivos,

antes y después de la introducción de la notación arábiga y el uso del álgebra. En el período

anterior al uso de guarismos, la geometría fue la rama matemática dominante; de allí que la Edad

Media haya favorecido el enfoque geométrico, mientras que el Renacimiento prefirió el

numérico, es decir, el aritmético. Las proporciones aritméticas, cuyo modelo es el conjunto de las

razones de la escala musical, están formadas por números enteros o por fracciones simples; es

decir, están formadas por razones inconmensurables. La razón de dos magnitudes es

conmensurable o inconmensurable según que exista o no una medida común a ambas

magnitudes.33 La actitud medieval hacia la proporción es geométrica; la actitud renacentista, en

cambio, está determinada por otra aproximación orgánica a la naturaleza, que implica un

procedimiento empírico de medición y quiere mostrar que todas las cosas se relacionan mediante

el número. En esta visión métrica del mundo la racionalidad es una condición; en la

aproximación geométrica muy difícilmente se plantea el problema de la medida, porque se tiene

la certeza de que la verdad está detrás de las apariencias.

Aunque en la mayor parte de estas páginas trataremos con las razones aritméticas que se dan

entre los primeros enteros naturales, conviene tratar algunos aspectos de la proporción

geométrica. En geometría, el segmento de recta determinado por dos puntos es el elemento más

simple al cual se puede aplicar la idea de relación. Para que pueda hablarse de proporción, se

requiere un tercer punto del segmento de manera que podamos pasar de la unidad a la dualidad.

FIG. 1

En la figura anterior, un segmento de recta se delimita por A y B, con el punto C entre ambos; si

a y b son las longitudes de los dos segmentos resultantes, y c la longitud total, se tienen entonces

32 A. Rivaud, “Notice”, introducción al Timeo, op. cit33 Una relación inconmensurable sería, por ejemplo, la que existe entre el lado y la diagonal de un cuadrado (1:√2 ,

o sea, 1:1.4142...); otro ejemplo es la relación entre el lado del triángulo equilátero y su altura. (1:√3, es decir, 1:1.732...) Razón asimétrica la llama Aristóteles; hoy la llamamos irracional.

las razones a/b, b/c y a/c, y sus inversas, b/a, c/b y c/a. Las proporciones más sencillas se

obtienen igualando dos razones de las seis anteriores, lo cual da un total de quince. De estas

quince proporciones, seis se descartan porque conducen al resultado de que el todo es igual a una

de sus partes. Otras dos son imposibles, pues la primera da un cociente menor que la unidad

cuando el numerador es el segmento total, y la segunda genera un cociente mayor que uno

cuando el denominador es el mismo segmento. Las siete restantes contienen combinaciones

idénticas donde figuran las razones inversas; al eliminarlas quedan cuatro; dos de ellas (a/c=b/c y

a/b=b/a) llevan al resultado a=b, la partición simétrica; una más (a/b=c/a) muestra que, como

c=a+b, entonces a/b=(a + b)/a, con los dos miembros mayores que la unidad. La última es

a/b=b/c, o a/b=b(a + b), donde b es mayor que a.

En resumen, de las cuatro proporciones, dos dividen el segmento de recta en partes iguales,

mientras que las otras dos lo dividen en partes desiguales. Podemos tomar un solo caso que

englobe estas dos últimas: a/b=c/a=(a+b)/a. Se trata, de hecho, de una proporción que contiene

sólo dos magnitudes, a y b, ya que la tercera es la suma de ambas; es la “partición asimétrica más

directa, más general y más en armonía con la transposición lógica del mínimo esfuerzo”.34

Esta proporción, cuya forma es ab=(a+b)/a, y a la cual el monje boloñés Luca Paccioli llamó

divina, a la que Kepler consideró como uno de los dos tesoros de la geometría (el otro es el

teorema de Pitágoras), da como resultado el llamado número de oro. Es muy probable que los

matemáticos griegos anteriores a Platón ya la hubieran conocido; con toda seguridad fue usada

por Eudoxo, quien murió a mediados del siglo IV aC. Su denominación como “sección áurea”, sin

embargo, parece datar del siglo XIV.

Euclides, en sus Elementos de geometría, alude a esta proporción en los teoremas 5 y 6 (se refiere

a ella con el nombre de “razón extrema y media”), y con ello alude a la división de una línea en

dos partes de manera que la porción mayor está en proporción respecto a la menor, de la misma

manera que el segmento total lo está respecto a la porción mayor. Si en la expresión

a/b=(a + b)/a se divide numerador y denominador del segundo miembro por b y se sustituye a/b

por x, el resultado es la ecuación cuadrática x2- x - 1 = 0, cuyas raíces son x1=(1 + √5)/2 y

x2=(1 −   √5)/2. La segunda solución es negativa y corresponde a un punto fuera del segmento. El

síntesis, el resultado es a/b=1.61803398875..., número irracional, es decir, inconmensurable

cuyas características son muy especiales. Sir Thomas Cook, en su libro The Curves of Life,

34 Matila C. Ghyka, Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, p. 26.

propone expresar dicho número con la letra griega Φ. Algunas de sus características son:

Φ=1.618033...;

1/Φ=0.618... = Φ-1; Φ= 1+1/Φ;

Φ2=2.618... = Φ+ 1;

Φ3= Φ(Φ+1)= Φ2+Φ;

Φ4=Φ(Φ2+Φ) = Φ3+Φ2;

en general, Φn = Φn −   1 + Φn −   2.

Estos valores pueden representarse gráficamente como se ilustra en la siguiente figura.

FIG. 2

De todo esto puede decirse que una progresión geométrica, cuya razón es Φ, tiene una propiedad

única: un término cualquiera de ella es igual a la suma de los dos precedentes. De allí que la serie

1, Φ, Φ2, Φ3, Φ4...,Φn sea a la vez multiplicativa y aditiva, es decir, participa al mismo tiempo de

la naturaleza de una progresión geométrica y de una progresión aritmética. Otra serie que posee

la misma propiedad aditiva es la llamada sucesión de Fibonacci, que consiste de los términos

siguientes: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...; también aquí, cada término es igual a la

suma de los dos anteriores. Tanto esta serie como la de Φ están relacionadas, pues la serie de

Fibonacci tiende, en el límite, al valor de Φ, es decir, a 1.618...: 55/34=1.6173, 89/55=1.61818,

144/89=1.6178, etc.

Las proporciones que toman cuenta números conmensurables son especialmente importantes en

música. La música es, para san Agustín,35 la “ciencia de la buena modulación”. Y es ciencia, no

arte, ya que, en la concepción antigua y medieval, arte significa destreza práctica que se obtiene a

través de la experiencia, mientras que ciencia es la capacidad para explicar el procedimiento por

medios racionales; en este caso, la verdadera comprensión de la música, la que conoce las leyes

de su naturaleza, que las aplica a la creación musical y que puede describirlas, es a lo que Agustín

llama la ciencia de la música.

San Agustín habla de modulación, término que viene de “módulo”. La ciencia de la música se

interesa por la relación de las unidades musicales según una medida o módulo, de manera tal que

esa relación pueda expresarse por medio de razones aritméticas simples, como las que hay entre

los términos de la tetractys: 1:2, 2:3 y 3:4, razones que son los intervalos de las consonancias de

octava, de quinta y de cuarta. Según Agustín, la importancia de estos intervalos no se deriva de

35 San Agustín, De Musica, p. 1083.

sus cualidades acústicas o de sus efectos estéticos, sino del hecho que son ecos audibles de la

perfección del número, en especial, de esos primeros cuatro números. Sin el principio del

número, el universo regresaría al caos.

San Agustín utilizó toda la mística pitagórica y neoplatónica del número para la interpretación del

universo cristiano y estableció una cosmología que se mantuvo vigente prácticamente durante

toda la Edad Media. Como se ha dicho, las consonancias musicales son un simple eco de la

verdad teológica y el hecho de que los sentidos humanos disfruten de las armonías –el oído en el

caso de la armonía musical, la vista en el de la armonía arquitectónica– constituye una mera

respuesta intuitiva a la realidad última con la cual nuestra naturaleza se encuentra en armonía.

Hay coincidencia entre san Agustín y Platón tanto en la desconfianza hacia el mundo de las

imágenes como en la confianza en la validez de las relaciones aritméticas, que se pueden percibir

por el oído y por la vista. Si el valor musical de las consonancias proviene de la dignidad de las

razones en que se basan, de la misma manera, la belleza de las proporciones visuales se debe a

que se fundamentan en las mismas razones aritméticas. De allí que la geometría y la música

tengan un valor privilegiado dentro del conjunto de las artes liberales ya que ambas tienen una

función anagógica, es decir, una capacidad para conducir a la mente desde el mundo de las

apariencias hasta la contemplación del orden divino. Una de las más precisas expresiones de lo

anterior se debe a Teón de Esmirna; para él,

la armonía une todas las oposiciones, reconcilia los contrarios. No se limita a los ritmos y melodías, sino que crea música en todo lo que es “sistema” u ordenación. La armonía domina al mundo (por el orden); el Estado, por la buena legislación (eunomía); la familia, por la sabia prudencia. Mantiene juntos el alma y el cuerpo, la familia y la sociedad, y los hace uno.36

Platón consideraba a la música y a la arquitectura como hermanas, ya que ambas eran hijas del

número; Boecio, en su tratado De arithmetica, dice que las proporciones que producen las

consonancias perfectas se perciben tan fácilmente por la vista como por el oído, pues “los sonidos

afectan el oído de un modo que es en gran medida el mismo en que las impresiones ópticas

afectan el ojo”. Igual que para Platón y san Agustín, Boecio tampoco piensa que la belleza

pertenezca al mundo de las realidades empíricas; las armonías que percibimos por los sentidos

son indicios de la armonía superior; sin embargo, por su función anagógica, pueden conducir al

alma a la experiencia de Dios.

Según Agustín, existe modulación desde el momento en que un movimiento está sometido al

número, a la medida. Es ésta una de las bases de su tratado De musica; en otro tratado, en De

36 Citado por Edgar de Bruyne, Historia de la estética, I, p. 344.

ordine, establece que tanto la arquitectura como la música están sometidas a las mismas leyes de

orden, y que este orden está gobernado por el número. Un movimiento sin orden requiere de la

determinación.

La armonía cósmica rige las correlaciones de los elementos de todas las composiciones,

comenzando por el orden de los cuerpos celestes: todo existe y se mueve de acuerdo con

proporciones exactas; las proporciones más simples y las más agradables son las que se

establecen entre los cuatro primeros números; son las que gustan al ojo y al oído, y son las que

encontramos en ese poliedro perfecto que es el cubo. Ya Filolao había observado que el cubo, con

doce aristas, ocho ángulos y seis planos, era la proyección espacial de los intervalos elementales

de la música: la octava, 12/6 o 1/2; la quinta, 12/8 o 3/2; y la cuarta, 8/6 o 4/3. En las figuras

planas tenemos el cuadrado (1:1) y el doble cuadrado (2:1); los rectángulos que les siguen en

sencillez son aquellos en que sus lados están en relación 2:3 y 3:4, las mismas relaciones que las

de los intervalos de octava, quinta y cuarta.

Sin entrar en muchos detalles, vamos a pasar revista a algunos elementos de la proporción en

arquitectura, para pasar inmediatamente a la música, la parte más problemática. El más antiguo

tratado sobre arquitectura griega es el de Vitruvio, constructor romano de la época de Augusto.

Uno de sus méritos es haber puesto de manifiesto el uso griego del módulo, y de relacionarlo con

la proporción y con la simetría.

La arquitectura griega, según Vitruvio, descansa en los principios de taxis, diathesis, euritmia,37

simetría, conveniencia y economía.38 Taxis, que significa orden, es la determinación de las

diferentes partes y su orden en la totalidad del edificio, según su uso y dimensión. Esta

distribución está determinada por una cantidad proporcional, que es una escala tomada de las

partes del edificio mismo. Diathesis, nombre del segundo principio, significa, en términos

amplios, separar las mercancías unas de otras para su venta, o las cláusulas de un contrato, o los

pasajes de un discurso; corresponde a lo que la retórica latina designa con el nombre de

dispositio. En palabras de Vitruvio, “es el ensamble de los detalles y, a partir de este ensamble, el

efecto elegante de la obra y sus dimensiones, junto con una cierta calidad o carácter”.39 Con la

euritmia se produce la apariencia agradable; es el adecuado despliegue de los detalles en su

contexto, el cual “se alcanza cuando los detalles de la obra son de una altura adecuada a su

anchura, de una anchura adecuada a su longitud; en una palabra, cuando todo tiene una

37 Algunos comentaristas de Vitruvio, como Granger, traductor al inglés, traducen eurythmia por proporción.38 Vitruvius, On Architecture, Libro I, ii.39 Ibid., I, ii, 2.

correspondencia simétrica”.40 La simetría es el resultado de la armonización de las partes del

edificio en su totalidad; es resultado de que cada una de las partes esté en proporción con el todo.

En conclusión, tanto la euritmia como la simetría están determinadas por el módulo. En el

segundo libro Vitruvio es más explícito cuando señala que

la disposición (compositio) de los templos depende de la simetría, cuyas leyes el arquitecto debe conocer perfectamente. La simetría surge de la proporción (que en griego se llama analogía). La proporción consiste en tomar un módulo fijo en cada caso, tanto para las partes del edificio como para el todo, por medio del cual se pone en práctica el método de la simetría. Porque sin simetría y sin proporción ningún templo puede tener un plano regular.41

La palabra módulo, en griego embates, significa coturno; es decir, el botín que usaban los actores

trágicos cuando caminaban con pasos solemnes y medidos; el término embaterion era un canto de

marcha con ritmo muy marcado. Cuando Vitruvio traduce embates por modulus, es decir, por

medida, pensaba seguramente en el verbo modulari, que significa cantar o actuar con medida, y

en el adjetivo modulatus, que corresponde a lo que comprendemos como “rítmico”.42 Si el

arquitecto se sirve de la unidad de medida justa, del embates, obtendrá la modulación, es decir, la

medida y el ritmo en su obra.

En el templo griego se usó como unidad el radio de la base de la columna, o el ancho del triglifo,

para fijar las proporciones de las partes del edificio y para determinar así el conjunto, en relación

unas con otras, de acuerdo con las leyes armónicas. Dice Vitruvio que la “anchura debe ser igual

a la mitad de su longitud”;43 por tanto, su proporción debía ser la de la octava, proporción

utilizada extensamente para los edificios sagrados en todas las culturas de la antigüedad, y que

está presente en las más antiguas concepciones del universo. Un ejemplo especialmente

importante en las culturas occidentales es el templo de Salomón, edificado alrededor del año 960

aC. En el capítulo seis del libro de Reyes se lee: “La Casa que edificó el rey Salomón a Yahveh

tenía sesenta codos de largo veinte de alto y veinticinco de alto.44 El Ulam delante del Hekal de la

Casa tenía veinte codos de largo en el sentido del ancho de la Casa, y diez codos en el sentido del

largo de la Casa”. (vers. 2-3) El Ulam es el vestíbulo y el Hekal es el sancta, o tabernáculo, de

cuarenta codos de longitud. Y continúa:

40 Ibid., I, ii, 3.41 Ibid., II, i, 1.42 Cfr. Macody Lund, Ad Quadratum.43 Vitruvius, On Architecture, V, 1, 4.44 Este número, 25, contradice el argumento que se intenta sostener aquí; sin embargo, dice el anotador que, según

la edición en hebreo, la altura es de treinta codos. La diferencia entre las dos alturas se debe a que esos 25 codos se miden en la sala del Sancta Sanctorum, que tenía una plataforma de cinco codos de altura. En este sistema de medidas, un codo es igual a 45 cm, equivalente a dos palmos, y éste, a su vez, sería igual a tres cotos de 7.5 cm. Cada coto es igual a tres pulgadas.

Construyó los veinte codos del fondo de la Casa con planchas de cedro desde el suelo hasta las vigas, formando así por la parte interior el Debir, el Santo de los Santos; cuarenta codos tenía la Casa, es decir, el Hekal, delante del Debir. (vers. 16-17)

Este Santo de los Santos, Sancta Sanctorum, es la estancia destinada a custodiar el Arca de la

Alianza, donde sólo el Sumo Sacerdote tenía acceso, y estaba separada del Hekal por un velo;

esta sala “tenía veinte codos de largo, veinte codos de ancho y veinte codos de alto”. (v. 19-20)

Dejemos aquí las consideraciones sobre la armonía visual para pasar a examinar de manera más

cercana las bases de la armonía musical, comenzando por las leyes aritméticas que rigen la

noción de proporción. Éste será el tema de la siguiente sección.

La proporción

Euclides, en el libro V de sus Elementos de geometría, establece que “una razón (ratio, logos) es

una especie de relación respecto al tamaño de dos magnitudes de la misma clase”. Dos pares de

magnitudes que están relacionadas según la misma razón son proporcionales; y a la igualdad

entre estas dos razones la llama proporción.45 Esta primera definición sirve para delimitar las

nociones de razón y de proporción; la primera es una relación entre dos cantidades, mientras que

la segunda es la igualdad de razones entre dos pares de cantidades. Algebraicamente, la

proporción se expresa como: a/b=c/d.

Nicómaco de Gerasa también define la proporción como la combinación de dos o más razones;

para él, una razón es “la relación mutua que existe entre dos términos”; y esa combinación de

razones es una proporción; una combinación de dos o más razones daría, al menos, cuatro

términos, pero, como dice el mismo Nicómaco,

[…] tres es el más pequeño número de términos que puede componerla, aunque pueda ser una serie mayor, sometida a la misma razón o la misma diferencia. Por ejemplo, 1:2 es una razón donde hay dos términos, y 2:4 es otra razón similar; de aquí que 1, 2, 4 sea una proporción, porque es una combinación de razones, o de tres términos que están en la misma razón uno de otro.46

Esta proporción a la que Nicómaco se refiere puede expresarse de manera algebraica como

1/2=2/4 (así como también 1:2::2:4); como en ella los términos medios son iguales, se trata de un

tipo particular de proporción, llamada continua; la proporción continua, dice Euclides en el

mismo libro V, es una proporción de tres términos, y éste es el menor número posible para que

pueda existir proporción.

La definición de Nicómaco es más compleja. Dice: “se llama proporción continua cuando el

término medio es comparable con los que están a ambos lados; con el mayor como consecuente,

con el menor como antecedente”; por ejemplo, 1, 2, 4 es una proporción continua con respecto a

la cualidad, porque 4:2 es igual a 2:1, y al contrario, 1:2 es igual a 2:4. La proporción 1, 2, 3 es

una proporción continua respecto a la cantidad, porque la cantidad en que 3 excede a 2 es igual a

aquella en que 2 excede a 1, e inversamente, 1 es menor que 2 de la misma manera que 2 es

menor que 3.

La proporción de cuatro términos es la discontinua o disyunta. Jámblico reserva el término

45 Euclides, Elementos de geometría, Libro V.46 Arithmetica introductio, II, xxi, 2-3

“analogía” para la proporción continua, mientras que a la de cuatro la llama “análogon”. Según

Nicómaco, existen diez tipos de proporciones,47 aunque los principales son los tres primeros, ya

conocidos por Pitágoras. Según Jámblico,

en los días antiguos, en tiempos de Pitágoras y de los matemáticos de su escuela, había sólo tres medias, la aritmética, la geométrica y una tercera que se llamaba entonces subcontraria, pero que fue redenominada armónica por el círculo de Arquitas e Hipaso, porque parecía proporcionar razones armoniosas.48

Se describirán aquí las tres proporciones a la manera de Nicómaco, la cual no es, sin embargo,

más que una reelaboración de la manera en que lo hacían los antiguos griegos.

Se tiene una proporción aritmética cuando tres o más términos mantienen la misma diferencia

cuantitativa entre números sucesivos, pero no la misma razón entre los términos. Dicho en otras

palabras, cuando el segundo término excede al primero por la misma cantidad en que el tercero

excede al segundo. Un ejemplo de proporción aritmética es la formada por la serie 2, 3, 4.49

La progresión geométrica es la única que para Nicómaco es en sentido estricto una proporción; es

decir, es la única en que sus términos están en la misma razón: el primer término es al segundo

como el segundo es al tercero. Un ejemplo de proporción geométrica es la formada por la serie 1,

2, 4. En ella los tres números están en proporción mutua por el hecho de que las diferencias entre

los términos están en la misma razón que los términos mismos respecto a sus adyacentes.

La proporción armónica es aquella en la cual el término mayor es al menor como la diferencia

entre el término mayor y el medio es a la diferencia entre el término medio y el menor. Por

ejemplo: en la serie 3, 4, 6, el término mayor, 6, excede al medio por un tercio de él mismo,

mientras que el menor, 3, es más pequeño que el término medio, 4, también por una tercera parte

de él mismo. Otro ejemplo es la serie 2, 3, 6; aquí, 6 excede a 3 por una mitad, que es la misma

fracción por la cual 2 es excedido por 3. Nicómaco señala una propiedad curiosa de esta

proporción: cuando los extremos se multiplican por el término medio (por la media) y se suman

los resultados, la suma es igual al doble del producto de los extremos entre sí. Así, para el

segundo ejemplo tenemos 6·3+2·3=2·(6·2).

Otra forma de describir las tres proporciones es la de Arquitas.50 Para él, la proporción aritmética

47 Los diez tipos de proporción son (en forma de progresión): primera, 1, 2, 3; segunda, 1, 2, 4; tercera, 3, 4, 6; cuarta, 3, 5, 6; quinta, 2, 4, 5; sexta, 1, 4, 6; séptima, 6, 8, 9; octava, 6, 7, 9; novena, 4, 6, 7; y décima, 3, 5, 8. (Nicómaco, Arithmetica introductio, II, xxviii, 11)

48 Jamblico, On Nicomachu's Introduction to Arithmetics. Algunos fragmentos de esta obra están reproducidos en Greek Mathematical Works, v. I. Media o mediana es el término intermedio de cualquier clase de proporción.

49 Si una serie de números como ésta no tiene la apariencia de una proporción, es porque los griegos escribían las proporciones, de cualquier tipo que fueran, bajo la forma de una progresión o serie.

50 Citado por Porfirio en su Comentario sobre la armonía de Ptolomeo, en Greek Mathematical Works I:113

es aquella en la cual los tres términos están en proporción en virtud de alguna diferencia: el

primero excede al segundo por la misma cantidad que el segundo excede al tercero; en otras

palabras, los términos a y c están en proporción aritmética, si la media entre los dos, es decir, b

(llamada media aritmética) es tal que a-b=b-c. La proporción geométrica es aquella en la cual el

primer término es al segundo como el segundo al tercero; es decir, b será la media geométrica

entre a y c si a/b=b/c. La proporción subcontraria, que también se llama armónica, es aquella en

la cual el primer término excede al segundo por una porción de aquél que es igual a la porción del

tercero en la que el segundo término excede al tercero; en términos aritméticos, b es la media

armónica entre a y c si (a −   b)/a=(b −   c)/c, de modo que 1/c-1/b=1/b-1/a, y por tanto, 1/c,1/b y

1/a forman una progresión aritmética.

Encontrar la media o mediana entre dos términos –es decir, el término intermedio que da

nacimiento a la proporción– es lo mismo que llenar el intervalo entre esos dos términos extremos;

en otras palabras, equivale a armonizar. La proporción más elemental, es decir, la que se formaría

al considerar los dos primeros números, 1:2, como extremos, es la que en música origina el

intervalo de octava, el cual basta para distinguir las diferentes armonías según su altura. Y esta

distancia entre un sonido y otro del doble de altura –es decir, lo que es realmente el intervalo de

octava– se llena con los intervalos llamados de quinta y de cuarta, que dividen la octava en dos

partes desiguales, aunque consideradas como armoniosas. Por eso, la acción de llenar un

intervalo, de poner un término intermedio, se llama armonizar. El problema de cómo armonizar,

de cómo llenar los intervalos de la serie del Timeo, será tratado en la siguiente sección.

Platón, en la República, dice que el problema armónico en general consiste en poner en

proporción los intervalos por medio de términos que se den en razones definidas con los términos

iniciales, con el fin de obtener la consonancia o el acorde de intervalos.51 Y cuando Platón habla

del problema armónico en general, se tienen que tomar estas palabras literalmente; es decir, ya se

trate de intercalar el término medio de un silogismo, ya se trate de relacionar dos imágenes por

medio de una metáfora, o de reunir, por medio de la analogía, las formas, las superficies o los

volúmenes arquitectónicos, en todos los casos se trata de armonizar, y todas estas operaciones son

análogas a la creación de la armonía musical que los pitagóricos toman como modelo, y que

Platón en el Timeo, y Vitruvio en sus Diez libros de arquitectura nos refieren. En el Timeo se

habla extensamente de las nociones de proporción y de armonía, aplicadas sobre todo a términos

51 Dice M. Ghyka: “En la teoría griega de la armonía musical, el intervalo es el conjunto formado por dos tonos y la razón que los une. Llenar el intervalo es, en este caso, poner entre dos tonos otros unidos a los dos primeros por razones sencillas tales que del nuevo intervalo comprendido entre dos tonos consecutivos, resulte el acorde o consonancia (sinfonía) de los intervalos”. (El número de oro I, p. 30)

tridimensionales; de allí que la proporción geométrica sea la más utilizada. Como se sabe, en una

proporción de este tipo, y que además sea continua, como la formada por a, b, c, el término

central es la media geométrica de los otros dos y, por tanto, es igual a la raíz cuadrada del

producto de los extremos: b=√ac. De esta proporción continua “fluye la semejanza (homotecia)

de las figuras en geometría, y la analogía de los planos o de los volúmenes en arquitectura”.52

Como se dijo antes, cuando Platón se refiere a la armonía de las cosas, dice que no es posible que

dos cosas puedan conjuntarse sin una tercera, pues se necesita un enlace intermedio para

conectarlas. Y el mejor de los enlaces es ése que une de manera más perfecta en la unidad a él

mismo y a las cosas que enlaza; y para efectuar esto de la mejor manera está la propiedad natural

de la proporción. A través de esta “propiedad natural” se quiere armonizar el todo, el cuerpo del

Todo; es decir, se trata de poner orden en el caos, donde “todas las cosas estaban en un estado

carente de razón o medida”. La pregunta pertinente aquí es qué clase de cosas necesitaban orden;

es decir, de qué cosas habla Platón.

También ya se dijo que Platón, en el Timeo, dice que todo lo que existe debe existir de forma

corporal, visible y tangible; y como nada es visible sin fuego, ni tangible sin solidez, ni sólido sin

tierra, entonces los primeros elementos para la construcción del cuerpo del todo son el fuego y la

tierra; son ésos los términos que es necesario armonizar, los extremos cuyo intervalo es necesario

llenar. Si el cuerpo del Todo tuviera una existencia plana, sin profundidad, bastaría un solo

término medio para unir los otros dos términos; pero el cuerpo del Todo no es plano sino sólido,

es decir, tridimensional, y para armonizar sólidos no basta un solo término medio, sino siempre

dos. Esos dos términos medios fueron el aire y el agua; con su ayuda se construyeron las dos

razones que la proporción iguala; la primera es la que se forma con los términos fuego y aire, es

decir, fuego : aire; la segunda se forma con los términos agua y tierra; por lo tanto, agua : tierra.

Con estos materiales, “el cuerpo del Cosmos fue armonizado y llevado a la existencia”.

Al cuerpo del Todo el demiurgo le asignó la forma perfecta, la de la esfera, y lo puso a girar sobre

sí mismo; este cuerpo fue envuelto por el Alma del Mundo, que se extendió por todas partes, “y

como un círculo girando en otro círculo, estableció un cielo único y solitario, capaz por su

excelencia de acompañarse consigo mismo, de bastarse a sí mismo, de no necesitar nada más”.

En páginas anteriores recordamos que el demiurgo tomó como elementos primarios lo Mismo y

lo Otro para formar una tercera parte, y con ésta y los dos primeros obtuvo otra mezcla que

distribuyó en varias porciones de acuerdo con los términos de una progresión compleja, que es la

52 M. Ghyka, op. cit., p. 32.

siguiente: 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27.53 Esta progresión compleja está a su vez formada por dos

progresiones geométrica simples: una de razón 2 (1, 2, 4, 8) y una segunda de razón 3 (1, 3, 9,

27). Hecho esto, el demiurgo procedió a llenar los intervalos entre los términos y lo hizo con

ayuda de lo que Platón denomina μεσότης, palabra que denomina una serie de tres términos que

forman una progresión continua –es decir, una proporción– pero que literalmente significa

“mediedad”. Para definir el intervalo que existe entre dos términos consecutivos de una

mediedad, Platón apela a nociones no de la aritmética o de la geometría, sino de la música; es

decir, determina el intervalo por diferencias no entre números, sino entre sonidos. Si a cada

término de la progresión hacemos corresponder un tono definido de la escala musical, un

intervalo (diástema) será el conjunto formado por dos tonos de altura desigual o, como dice

Euclides en los Elementos de geometría, por dos tonos desigualmente agudos o graves. En estas

condiciones, un intervalo se compone no sólo de los tonos de desigual altura, sino también de la

relación matemática que los une, es decir, el logos.

En el lenguaje matemático griego, mesotes es tanto la serie de tres términos que forman una

proporción continua, como el término central que une los términos extremos de esa proporción.

Pero debemos recordar que existen tres clases de progresiones del tipo AzB, donde z es la

mediedad entre A y B: z es la media aritmética en el caso de que tenga el valor de (A + B)/2, es la

media armónica si tiene el valor de 2AB/(A + B), y es la media geométrica si es igual a √AB. Los

pitagóricos sólo utilizaron las dos primeras medias, aritmética y armónica; la última, la media

geométrica, no se utilizó en música porque los antiguos no habían podido resolver el problema de

la irracionalidad; si se hubiera utilizado, la media geométrica de la octava que va desde un Do

hasta el siguiente Do estaría situada en Fa#. Al usar la media aritmética, ésta divide la misma

octava en un intervalo de cuarta y uno de quinta (de Do a Fa, intervalo de cuarta, y de Fa a Do,

intervalo de quinta); si se usa la media armónica, la misma octava queda dividida en un intervalo

de quinta más uno de cuarta (de Do a Sol, intervalo de quinta, y de Sol a Do, intervalo de cuarta).

A diferencia de la media geométrica, tanto la aritmética como la armónica han desempeñado un

papel fundamental en la historia de la teoría musical.54 Recordemos, finalmente, que los cuatro

primeros números naturales configuran para los pitagóricos la sagrada tetractys, cuya suma es

diez; con esos cuatro números y con las mencionadas proporciones construirán todo el sistema

armónico, la imagen del mundo por excelencia.

Podemos ahora volver a tomar los términos de la progresión compleja utilizada por el demiurgo

53 Platón, Timeo 35b-c.54 J. Chailley, La musique grecque antique, pp. 44-45.

platónico para dividir el Alma del Mundo; ésta es: 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27, que, como ya se mencionó,

está formada por dos progresiones simples, una de base 2, es decir, construida con las potencias

de 2: 1, 2, 4, 8 (en otros términos, 20, 21, 22, 23) y la otra de base 3: 1, 3, 9, 27 (o sea, 30, 31, 32,

33). Si se hace corresponder a cada término un tono musical, el intervalo será la distancia entre

dos tonos y el logos que los une. El problema armónico consiste en llenar esos intervalos con

otros términos que estén en una relación precisa con los términos extremos; como se ha visto, a

esta operación es a lo que se le llama armonizar, y su resultado es la consonancia (συμφονια) de

los intervalos, o acorde.

En un mismo intervalo existen dos relaciones, dependiendo del sentido en que se considere dicho

intervalo; por ejemplo en el primer intervalo, 1:2, están las relaciones 1:2 y 2:1; la segunda es

mayor y se llama προλογος, la primera se llama υπο-λογος. Por tanto, en esta progresión se

encuentran seis intervalos (1:2, 2:3, 3:4, 4:8, 8:9, 9:27) y doce relaciones (1:2–2:1, 2:3–3:2,

3:4–4:3, 4:8–8:4, 8:9–9:8, 9:27–27:9). Estas relaciones pueden ser de tres tipos: la primera es

cuando la relación mayor es un múltiplo de la menor; es el caso de 1:2 – 2:1, o representado

como fracción: 1/2 – 2/1; otros casos: 4/8 – 8/4, 9/27 – 27/9; la segunda es cuando la relación

mayor equivale a la unidad, más una porción alícuota; por ejemplo, 3/2=1+1/2; 4/3=1+1/3;

9/8=1+1/8; y la tercera cuando la relación mayor equivale a la unidad, más una porción no

alícuota. Este tercer caso no está tomado en cuenta por las teorías armónicas griegas. Las tres

relaciones del segundo tipo, aunque provienen de la teoría musical musical griega, son más

conocidas por sus nombres latinos; éstos son los siguientes: 1+1/2 es el λόγος ήμιόλιος o ratio

sesquialtera; 1+1/3 es el λόγος έπίτριτος o ratio sesquitertia; 1+1/8 es el λόγος έπόγδοος o ratio

sesquioctava.55

Para calcular los intervalos de la compleja progresión de Platón se requiere llenar los intervalos;

en primer lugar el que va de 1 a 2. La media aritmética de este primer intervalo de la serie de

potencias de dos es: (1+2)/2=3/2, y la media armónica del mismo es 2(1x2)/(1+2)=4/3; por tanto

el intervalo 1:2, al llenarse con ambas mediedades queda como 1—4/3—3/2—2. Pero 4/3=1+1/3

y 3/2=1+1/2; es decir, el primero es la ratio sesquitertia y el segundo la ratio sesquialtera. En

resumen, la serie para el intervalo 1:2 está formada por la secuencia: 1—[1+1/3]—[1+1/2]—2. Si

se toma ahora el intervalo entre los términos 2 y 4, la mediedad armónica es: 8/3(=2+2/3); para el

intervalo entre 4 y 8 es: 16/3(=5+1/3). La mediedad aritmética para el intervalo de 2 a 4 es 3, y

para el intervalo entre 4 y 8 es 6.

55 Cf. A. Rivaud, “Notice”, introducción a Platón, Oeuvres Complètes, t. X, Timée-Critias, p. 45, y Edgar de Bruyne, Historia de la estética, I, pp. 58-59. La explicación detallada puede encontrarse en Nicómaco, I, xxi y ss.

En el caso del primer intervalo de la serie de las potencias de tres, 1:3, la mediedad aritmética es

(1+3)/2=2, y la armónica es 2(1·3)/(1+3)=6/4=3/2=1+1/2. Así, el primer intervalo de la serie de

potencias de tres es: 1—[1+1/2]—2—3. Para el intervalo entre 3 y 9 es: 9/2(=4+1/2); y para el

intervalo entre 9 y 27 es: 27/2(=13+1/2). La mediedad aritmética en la serie de los triples para el

intervalo entre 3 y 9 es 6; y 18 para el intervalo entre 9 y 27.

Si se combinan ambas mediedades, la aritmética y la armónica, el resultado son dos series, una

serie para los intervalos dobles y otra para los triples. Estas series son las siguientes:56

Dobles: 1 — 43 — 32 — 2 — 83 — 3 — 4 — 163 — 6 — 8

Triples: 1 — 32 — 2 — 3 — 92 — 6 — 9 —272 — 18 — 27

Al analizar estas series se descubre que, en la progresión de los dobles, la relación entre la media

armónica y la media aritmética es de 9/8, es decir, 3/2 corresponde a los 9/8 de 4/3 (en otros

términos, 3/2=9/8·4/3), 3 corresponde a los 9/8 de 8/3 (3=9/8·8/3), y 6 corresponde a los 9/8 de

16/3 (6=9/8·16/3). En la progresión de los triples, la relación entre las medias es de 4/3 (2 es 4/3

de 3/2, 6 es 4/3 de 9/2, 18 es 4/3 de 27/2). Para no utilizar fracciones,57 se usa 6 como

denominador común y con esto se obtienen las dos series con números enteros:

Dobles: 6—8—9—12—16—18—24—32—36—48

Triples: 6—9—12—18—27—36—54—81—108—162

Según Platón, el demiurgo

[…] llenó los intervalos dobles y triples, tomando porciones de la mezcla primitiva y disponiendo allí esas partes de tal manera que, en cada intervalo, hubiera dos mediedades. La primera sobrepasa los extremos o es sobrepasada por éstos por la misma fracción de cada uno de ellos. La segunda sobrepasa los extremos por una cantidad igual a aquella por la cual ella misma es sobrepasada. De esas relaciones nacen, en los intervalos designados, nuevos intervalos de uno más un medio, uno más un tercio y uno más un octavo. (Timeo 36a)

Para continuar la argumentación se requiere tener una comprensión clara de cómo hizo esto el

demiurgo. Al analizar con detalle la serie de los dobles, se pone de manifiesto que las distancias

entre los términos consecutivos, es decir, su intervalo, son: entre 6 y 8, es 2 (o sea, un tercio de 6,

del primer término); entre 8 y 9 es 1, o sea un octavo del primero; entre 9 y 12 es 3, o sea un

tercio de 9; entre 12 y 16 es 4, un tercio de 12; entre 16 y 18 es 2, un octavo de 16; entre 18 y 24

es 6, un tercio de 18; entre 24 y 32 es 8, un tercio de 24; entre 32 y 36 es 4, un octavo de 32; y

entre 32 y 48 es 12, un tercio de 36. En síntesis, en todos los casos el intervalo es igual a la

56 Los guiones largos entre los términos de la serie no tienen otra función que separarlos.57 Platón insiste en repetidas ocasiones en la necesidad de evitar fracciones y usar sólo números enteros. Dice

Sócrates en la República: “De seguro tú sabes la forma de los hombres adiestrados en estas cosas. Si en el argumento, alguno intenta cortar el uno en sí mismo, ellos ríen y no lo permiten. Si trata de desbaratarlo en moneda pequeña, ellos multiplican...” (525d)

tercera parte del término menor, con excepción de los intervalos 8:9, 16:18 y 32:36, donde el

intervalo es de un octavo.

Si se toma como unidad de medida el menor de los intervalos, es decir, 1/8, es posible entonces

dividir todos los demás intervalos con ayuda de esta fracción. En este caso, y siempre para la

serie de los dobles, se tiene:

6 — 6+6/8 — (6+6/8)+(6 + 6/8)/8 — 8 — 9 — 9+9/8 — (9+9/8)+(9 + 9/8)/8 — 12 — 12+12/8 —

(12+12/8)+(12+12/8)/8 — 16 — 18 — 18+18/8 — (18+18/8)+(18+18/8)/8 — 24 — 24+24/8 —

(24+24/8)+(24+24/8)/8 — 32 — 36 — 36+36/8 — (36+36/8)+(36+36/)/8 — 48

Al hacer las operaciones (con 8 como denominador común):

48 — 54 — 54+54/8 — 64 — 72 — 81 — 81+81/8 — 96 — 108 — 108+108/8 — 128 — 144 — 162

— 162+162/8 — 192 — 216 — 216+216/8 — 256 — 288 — 324 — 324+324/8 — 384;

finalmente, al reducir otra vez las fracciones, se llega a la serie de los dobles desarrollada de

acuerdo con las instrucciones de Platón:

384 — 432 — 486 — 512 — 576 — 648 — 729 — 768 — 864 — 972 — 1024 — 1152 — 1296 —

1458 — 1536 — 1728 — 1944 — 2048 — 2304 — 2592 — 2916 — 3072

Si se hacen las mismas operaciones en la serie de los triples se obtiene otra serie:

1—3/2—2—3—9/2—6—9—27/2—8—27

serie que queda, al reducirla:

2—3—4—6—9—12—18—27—36—54

Por tanto, entre los términos 3 y 4, entre 9 y 12 y entre 27 y 36, el intervalo es menor que en los

demás casos; mientras en el resto el intervalo equivale a la mitad del primer término, en los

señalados es sólo de una tercera parte. Con el mismo procedimiento que en la serie de los dobles

e intercalando intervalos de 13, se llega a la siguiente serie (después de eliminar las fracciones):

6 — 8 — 9 — 12 — 16 — 18 — 24 — 27 — 36 — 48 — 54 — 72 — 81 — 108 — 144 — 162

Otra vez el intervalo menor es de 8/9, es decir, una octava parte del primer término en todos los

intervalos menores. Al reducir toda la serie a este tipo de intervalos, se tiene:

6 — 6+6/8 — (6+6/8)+(6+6/8)/8 — 8 — 9 — 9+9/8 — (9+9/8)+(9+9/8)/8 — 12 — 12+12/8 —

(12+12/8)+(2+12/8)/8 — 16 — 18 — 18+18/8 — (18+18/8)+(18+18/8)/8 — 24 — 27 — 27+27/8 —

(27+27/8)+(27+27/8)/8 — 36 — 36+36/8 — (36+36/8)+(36+36/8)/8 — 48 — 54 — 54+54/8 —

(54+54/8)+(54+54/8)/8 — 72 — 81 — 81+81/8 — (81+81/8)+(81+81/8)/8 — 108 — 108+1088 —

(108+108/8)+(108+108/8)/8 — 144 — 162

Al reducir, la serie de los triples queda finalmente como:

384 — 432 — 486 — 512 — 576 — 648 — 729 — 768 — 864 — 972 — 1024 — 1152 — 1296 —

1458 — 1536 — 1728 — 1944 — 2304 — 2592 — 2916 — 3072 — 3456 — 3888 — 4374 — 4608

— 5184 — 5832 — 6561 — 6912 — 7776 — 8748 — 9216 — 10368

Cuando se unen ambas series, la de dobles y la de triples, y se eliminan los números duplicados,

se llega la serie final:

384 — 432 — 486 — 512 — 576 — 648 — 729 — 768 — 864 — 972 — 1024 — 1152 — 1296 —

1458 — 1536 — 1728 — 1944 — 2048 — 2187 — 2304 — 2592 — 2916 — 3072 — 3456 — 3888

— 4374 — 4608 — 5184 — 5832 — 6912 — 7776 — 8748 — 9216 — 10368

Si se dispone esta serie completa en una tabla, se obtienen tres columnas: en la primera están los

términos de la serie platónica original; en la segunda están los términos con los cuales esa serie se

llena; y en la tercera, los intervalos entre estos últimos términos.

1 384 4 1536

8:9 8:9

432 1728

8:9 8:9

486 1944

243:256 243:256

512 2048

8:9 2048:2187

576 2187

8:9 243:256

648 2304

8:9 8:9

729 2592

243:256 8:9

2 768 2916

8:9 243:256

864 8 3072

8:9 8:9

972 9 3456

243:256 8:9

1024 3888

8:9 8:9

3 1152 4374

8:9 243:256

1296 4608

8:9 8:9

1458 5184

243:256 8:9

5832 8748

tono+leimma 243:256

6912 9216

8:9 8:9

7776 27 10368

8:9

En esta tabla aparecen tres clases de intervalos: 8:9, que es el tono; 243:256, llamado leimma; y

2048:2187, llamado apotomé, los cuales serán analizados en la siguiente sección. Si se hace

corresponder las notas de la escala musical con los términos de la serie completa, el resultado

aparece en la siguiente tabla:

384 Do 1296 La 3888 Mi

432 Re 1458 Si 4374 Fa#

486 Mi 1536 Do 4608 Sol

512 Fa 1728 Re 5184 La

576 Sol 1944 Mi 5832 Si

648 La 2048 Fa 6912 Re

729 Si 2187 Fa# 7776 Mi

768 Do 2304 Sol 8748 Fa#

864 Re 2592 La 9216 Sol

972 Mi 2916 Si 10368 La

1024 Fa 3072 Do

1152 Sol 3456 Re

Una vez que se han delimitado todos los intervalos de la serie por medio del desarrollo de las

series de las potencias de dos y de las potencias de tres, tal como Platón lo establece en el Timeo,

ya se tienen las herramientas para entrar a algunas cuestiones relacionadas con la armonía

musical. Para ello es necesario revisar algunas nociones de la teoría musical de los griegos.

Acerca de la teoría musical griega

Dice Platón: “Con ayuda del intervalo de uno más un octavo, el Dios llenó todos los intervalos de

uno más un tercio, dejando subsistir de cada uno de ellos una fracción tal que el intervalo restante

estuviera definido por la relación del número 256 al número 243. Y así, la mezcla en la cual había

hecho esas divisiones, pudo ser empleada en su totalidad”. (Timeo 36b) La división de los

intervalos de un tercio con intervalos de un octavo no ofrece ningún misterio, pues es el

procedimiento que usamos aquí en la serie de los dobles; pero en el párrafo de Platón aparecen

dos nuevos números, 256 y 243, que hasta ahora no se habían presentado. Para entender de dónde

vienen, es necesario analizar con mayor detalle los intervalos menores con los cuales se llenan los

diferentes intervalos.

Si se analizan las tablas al final de la sección anterior, en el primer intervalo 1:2, el de la octava,

se observa que la relación entre los dos primeros términos, 384 y 432, es la misma que entre 8 y

9; por tanto, se trata de un intervalo de un tono. Lo mismo para el caso de los intervalos 432:486,

512:576, 576:648, y 648:729; en todos ellos hay tonos completos. Pero en los intervalos 486:512

y 729:768 su distancia es más pequeña, por tanto, son menores que un tono. En ambos casos se

encuentra la relación 243:256, intervalo llamado leimma, que significa resto, y que se ha

identificado como un semitono, aunque en realidad es mucho menor que la mitad de un tono. En

consecuencia, el intervalo de octava se llena con cinco tonos y dos leimmas.

En el intervalo de 2 a 3 (2:3) están los términos 768 y 864, que están en la proporción 8:9; por

tanto, forman un tono; 864:972 también forman un tono; 972:1024 están en la proporción

243:256, es decir, una leimma; 1024:1152 está en proporción 8:9. En resumen, el intervalo de

quinta, 2:3, se llena con tres tonos y una leimma.

El intervalo 3:4 se llena con un tono entre 1152 y 1296; un tono entre 1296 y 1458; y una leimma

entre 1458 y 1536. Total, dos tonos y una leimma.

El intervalo 4:8 se llena con cuatro tonos (1536:1728, 1728:1944, 2304:2592 y 2592:2916), tres

leimmas (1944: 2048, 2187:2304 y 2916:3072) y una nueva fracción, 2048:2187, que no puede

reducirse más y que recibe el nombre de apotomé (άπο-τομή).58 

58 Se trata de un nombre usual en los Elementos de geometría de Euclides, el cual aparece sobre todo en las secciones sobre números irracionales. Rivaud introduce en la serie un número que no pertenece a ella, el 6144; de allí que los elementos que llenan los intervalos no sean exactamente los mismos. Incluso así, hay un error, pues, en lugar de que el último intervalo tenga “siete tonos, cuatro leimmas y una apotomé”, como él dice, tendría ocho

El intervalo 8:9 es por definición un tono. Y el intervalo 9:27 se llena con 7 tonos (3456:3888,

3888:4374, 4608:5184, 5184:5832, 6912:7776, 7776:8748, y 9216 : 10368), 2 leimmas

(4374:4608 y 8748:9216); la fracción que falta, la que está entre 5832 y 6912, es igual a la suma

de un tono y una leimma.

Esta serie completa es mucho más extensa que nuestra gama musical, donde sólo está presente el

primer intervalo, la octava, con cinco tonos y dos leimmas, dividida en cuarta y quinta. Pero la

armonía del Alma del Mundo comprende todas las gamas, hasta la 27, y sobrepasa infinitamente

las limitadas armonías de nuestra imperfecta música.

Los griegos sólo admitieron tres intervalos consonantes elementales: la octava (δια πασων), la

quinta justa (δια πέντε) y la cuarta justa (δια τεσσάρων), que es la inversión o complemento a la

octava de la quinta, más las consonancias compuestas por la adición de una octava a las

consonancias simples.59 Sobre la base de esas tres consonancias, los griegos construyeron el

sistema (συστημα), o sea, la escala estructurada de sonidos de que se puede disponer para

construir melodías. A continuación se muestra el sistema con los nombres griegos de las notas y

los intervalos.

FIG. 3

De esas tres consonancias, la octava es para nosotros la base de toda referencia, pues, como dice

Chailley,60 “nuestro razonamiento musical desde hace cuatrocientos o quinientos años es

esencialmente ’armónico’, en el sentido moderno de la palabra, y en este orden de razonamiento,

la octava es el dato inicial”. Pero esto no era así para los griegos; para ellos la primera

consonancia era la de la cuarta, unidad de base y referencia fundamental, “el más pequeño

intervalo consonante admitido por el oído”, según dice Reinach. La octava es un descubrimiento

posterior y no interviene en la constitución de los intervalos fundamentales. Por ello la unidad de

análisis del sistema griego era el tetracorde.

Un tetracorde sería la distancia entre los dos sonidos que limitan un intervalo de cuarta justa, Mi

y La, por ejemplo. De acuerdo con las concepciones griegas, la voz humana, para pasar de uno de

esos sonidos al otro, sólo puede intercalar naturalmente dos sonidos intermedios, cuyas notas,

tonos y tres leimmas (por la fracción igual a la suma de tono y leimma). En resumen y de acuerdo con la tabla anterior, los intervalos comprendidos entre 486 y 512, 729 y 768, 972 y 1024, 1458 y 1536, 1944 y 2048, 2187 y 2304, 2916 y 3072, 4374 y 4608, 8748 y 9216 corresponden a la fracción 243 : 256, es decir, a un leimma; el intervalo entre 2048 y 2187 es una apotomé; el intervalo entre 5832 y 6912, es decir entre Si y Re, es la suma de un tono más una leimma; todos los demás intervalos corresponden a un tono completo, es decir, a la fracción 8:9.

59 Théodore Reinach, La musique grecque, p. 78.60 J. Chailley, op. cit., p. 26.

unidas a las dos de los extremos, forman el tetracorde, elemento primario de las gamas griegas.

Un grupo de tetracordes, al menos dos, forman una escala o un sistema. Si se piensa en un

instrumento de ocho cuerdas para abarcar este mínimo sistema, se tendría configurado el

diapasón según aparece en la figura anterior.

La octava, como es de todos sabido, es el marco de todo el sistema melódico occidental, pero no

era así en el mundo antiguo; para los griegos, el intervalo principal es el tetracorde, es decir, el de

cuarta. Si entre los tonos que limitan un intervalo de cuarta, Mi y La por ejemplo, se intercalan

naturalmente dos sonidos intermedios, este conjunto formado por los dos tonos extremos y los

dos tonos intermedios es el tetracorde, el cual era, como se dijo, el elemento primario, la célula

constitutiva de todas las gamas musicales. Los dos tonos extremos de un tetracorde, los que

producen el intervalo de cuarta, son sonidos fijos; los intermedios son móviles pues su entonación

depende de factores como el “género” de cada acorde. Un grupo de tetracordes, al menos dos,

forma una escala o, como la llamaban los griegos, un sistema.

En un principio, la música estaba limitada a la octava, puesto que el instrumento más popular, la

lira, contaba con siete cuerdas, es decir, era de siete notas. Pero había varias formas de construir

la escala de la lira de acuerdo con el área geográfica. Ya en la Grecia clásica se llega a una cierta

normalización de las notas móviles en el interior del tetracorde, y ello se hace atendiendo a tres

tipos o géneros el diacrónico, el cromático y el enarmónico.

El diacrónico es el más cercano a nuestro sistema y también es el que más se aproxima a la teoría

griega de los intervalos, ya que, según Chailley,61 “es el único que se puede justificar por

intervalos previstos por la teoría de las consonancias, a saber, dos tonos enteros 9:8 insertados en

el marco de una cuarta 4:3”. De allí su nombre, διατονοϛ, es decir, que procede por tonos. De

manera aproximada, puede describirse el tetracorde diatónico bajo la forma de una sucesión de

intervalos que van, de lo agudo a lo grave, según la serie tono–tono–semitono, por ejemplo

La–Sol–Fa–Mi. En realidad, la división no es exacta, pues en el extremo más grave queda un

intervalo diferencial. que es lo que antes se asoció con el intervalo llamado leimma o resto

(256:243), menor que la mitad de un tono.

En el género cromático, la segunda nota es atraída hacia el extremo grave, por lo que el intervalo

entre la primera y la segunda nota es de una tercera menor; los otros dos intervalos son de medio

tono. Como ejemplo de tetracode cromático está el formado por las notas La–Solb–Fa–Mi.

61 Ibid., op. cit., p. 29.

En el género enarmónico la atracción hacia el extremo grave alcanza la segunda y la tercera notas

del tetracorde y las sitúa muy cerca del límite inferior. Los intervalos, entonces, son: tercera

mayor–cuarto de tono–cuarto de tono. Ejemplo de tetracorde enarmónico: La–Fa (igual a

Solbb)–Fa semibemol (o Mi semisostenido)–Mi.

Los tetracordes se agrupan para formar sistemas complejos; en esa agrupación intervienen

solamente las notas fijas y los tetracordes se llenan de acuerdo con los géneros. Chailley propone

una notación que tiene la ventaja de ser indiferente al género y según la cual los sonidos móviles

no se representan como notas, sino como x la nota aguda, y como + la grave. Así, por ejemplo, el

tetracorde ilustrado en la figura siguiente

FIG. 4

se lee de tres maneras distintas; en primer lugar, en género diatónico:

FIG. 5

en segundo, en cromático:

FIG. 6

finalmente, en enarmónico:

FIG. 7

Dos tetracordes pueden unirse usando como enlace la nota inferior de uno y la superior del otro;

si ambas notas son la misma, entonces se forma un heptacorde por conjunción, como aparece en

la figura siguiente:

FIG. 8

Aquí, la nota que une los dos tetracordes, La, está en el centro del sistema; de allí su nombre,

μεση. En cuanto a las notas extremas, éstas se denominan νητη la aguda (a pesar de que la

palabra nete significa “la que está más abajo”) e υπατη, la grave (hypate significa “la más

elevada”). Esta situación paradójica se debe a que la equivalencia entre alto y agudo y entre grave

y bajo es ajena al pensamiento griego. Nicómaco habla de una tradición heredada de los egipcios

según la cual la nete corresponde a la luna, que es el planeta más bajo, el más cercano a la tierra.

En general, de acuerdo con esa tradición, la escala de armonía de las esferas es descendente a

medida que se aleja de la tierra, de manera que la correspondencia entre los planetas y las notas,

según Nicómaco, se ilustra como sigue:

FIG. p. 9

de lo cual se deduce que, en el género diatónico, la sucesión por quintas descendentes

corresponde a la sucesión de los nombres de los días de la semana: luna, marte, mercurio, júpiter,

venus, saturno y sol.62

En síntesis, el heptacorde tiene las notas que se muestran a continuación, y que varían según cada

género: dos tetracordes

diatónico cromático enarmónico

nete Re Re Re Re

paranete x Do Si Sib

paramese63 + Sib Sib Sibb

mese La La La La

hypermese64 x Sol Solb Solbb=La

parhypate + Fa Fa Fab

hypate Mi Mi Mi Mi

La tradición pitagórica atribuye a su fundador la transformación del heptacorde en octocorde, en

el cual se incluye la consonancia de cuarta, la de quinta y la de octava. Para ello fue necesario

empujar el tetracorde agudo un tono hacia arriba y, en lugar de unirse por la misma nota, los dos

tetracordes se separaron por el intervalo de un tono, que se llamó tono disyuntivo. El octocorde se

ilustra en el pentagrama siguiente:

FIG. p. 10

el cual se traduce en cada género como se ilustra en la tabla mostrada a continuación:

diatónico cromático enarmónico

NETE Mi Mi Mi Mi

paranete x Re Reb=Do# Rebb=Do

trite + Do Do Dob

paramese Si Si Si Si

62 Cf. J. Chailley, op. cit., p. 39.63 La paramese se conoce también con el nombre de trite. 64 También conocida con el nombre de lichanos.

MESE La La La La

lichanos x Sol Solb=Fa# Solbb=Fa

parhypate + Fa Fa Fab

HYPATE Mi Mi Mi Mi

Entre la paramese y la mese –entre Si y La– está un tono completo que separa los dos tetracordes.

Ése es el tono disyuntivo.

En la escala fundamental, cada uno de los dos tetracordes recibe un nombre, así como cada una

de las cuatro notas que lo forman (y que corresponden a las cuerdas de la lira). Así, el tetracorde

de las disyuntas comprende las notas nete, paranete, trite y paramese, y el tetracorde de las

medias comprende las notas mese, lichanos, parhypate e hypate.

Más tarde, por adiciones sucesivas, el número de cuerdas de la lira, o lo que es lo mismo, el

número de notas de la escala, se aumentó a quince: al lado más grave del tetracorde de las medias

se añadió el tetracorde de las hypates, y después, para dar la octava grave de la mese, se añadió

otro tono, llamado proslambanómenos y que significa sobreañadido. Por el otro extremo de la

escala, por el agudo, se añadió el tetracorde de las hyperbolés o sobreagudas, cuyo tono más alto

es también la octava superior de la mese. Por tanto, la mese se encuentra en el centro matemático

de la escala ampliada.

No se sabe con precisión cuándo ocurrieron las varias etapas de esta transformación, pero se cree

que se realizó en dos etapas; tal vez en la primera se añadió el tetracorde grave, seguido del tono

exterior, proslambanómenos. La segunda sería la adición simétrica del tetracorde agudo. Con las

dos etapas se obtendrían dos sistemas: el pequeño, descendente de Re a La, llamado pequeño

sistema conjunto

FIG. 11

y el segundo, el grande, de quince notas o gran sistema disyunto:

FIG. 12

Los dos sistemas reunidos forman el sistema completo, el cual se asume que adquirió su forma

definitiva hacia el siglo III aC. Este sistema que comprende una doble octava de La a La, se

representa como sigue: (sólo se muestran las notas fijas donde A es el tetracorde de las

hiperbolés, B el de las disyuntas, C el de las medias, D el de las hypates, E el tetracorde de las

conjuntas y F es el proslambanómenos).

FIG.13

Vamos ahora a regresar a la noción central de este trabajo, a la de armonía. Sin embargo, existe

otro elemento musical que no se puede dejar de tratar y es lo que se conoce como el

temperamento. Este elemento es el que permite relacionar las metáforas celestes, familiares y

civiles de Platón, y, sobre todo, la templanza o sofrosyne, revisadas en la primera parte de este

trabajo, con la noción general de armonía. Vamos a hacer una breve revisión del temperamento en

la siguiente sección.

Sobre el temperamento

No es posible, en estas notas elementales, entrar en mayores detalles respecto al desarrollo

histórico de las escalas, pero sí sería de interés mencionar cómo se ajustan las cuerdas de los

instrumentos a las notas. Para ello tenemos que regresar a la noción de armonía. Se mencionó

antes que, fuera de todo contexto musical, armonía significa el acoplamiento o ajuste de una cosa

a otra, mientras que, en el terreno musical, armonía designa, entre las varias acepciones, el ajuste

o afinación de las notas de un instrumento. Dice Barker,65 “lo que se crea por medio de la

afinación (tuning) es un acoplamiento de notas, una estructura de relaciones que puede usarse

para formar las bases de las melodías”.

En su muy documentado libro sobre la historia de los sistemas de afinación, M. Barbour66 

comienza hablando de los tres grandes sistemas de la antigüedad entre los cuales está en primer

lugar el pitagórico. Este sistema, como sabemos, se basa en la octava y en la quinta, primeros

intervalos de la serie armónica, con los cuales es posible afinar todas las notas de la escala

diatónica en sucesiones de quintas y de octavas, o, por lo mismo, todas las notas de la escala

cromática.

El siguiente sistema es el de Aristoxeno, quien planteó la cuestión de una manera nueva en su

disputa contra los pitagóricos. Según él, son más importantes las apreciaciones de los músicos

que los resultados de los cálculos numéricos y, por tanto, el juicio del oído es superior a las

razones aritméticas. En la escala pitagórica, como hemos señalado, un intervalo de cuarta está

formado por dos tonos y una fracción, la leimma; Aristoxeno

propuso que este intervalo de cuarta estuviera formado exactamente por dos tonos y un semitono. De esta manera, al postular un sistema musical compuesto solamente de tonos y de mitades de tonos, Aristoxeno postula implícitamente un acorde de la lira idéntico al de nuestra gama temperada [...] es decir, que divide la octava en doce semitonos sensiblemente iguales [...] En otros términos, identifica, como nosotros, los sonidos de Sol# y Lab. Este sistema, que falsea ligeramente las consonancias de cuarta y de quinta, tiene la inmensa ventaja de reducir el número de cuerdas de los instrumentos.67

De allí que los teóricos musicales del siglo XVI, ampliamente estudiados por Barbour, hayan

considerado a Aristoxeno como el precursor del “igual temperamento”.68

65 Andrew Barker, Greek Musical Writings, v. I. The Musician and his Art, p. 164.66 J. Murray Barbour, Tuning and Temperament. A Historical Survey.67 Th. Reinach, op. cit., p. 21.68 Se denomina igual temperamento a la división de la octava en un número igual de partes, específicamente, en

doce semitonos, cada uno de ellos con razón de 12√2.

El tercer gran sistema es el de Claudius Ptolemaeus, más conocido por sus trabajos geográficos; a

él se debe un principio importante de afinación: ésta es mejor cuando el oído y la razón están de

acuerdo. Su sistema coincide con el de la llamada afinación justa, es decir, con el sistema basado

en los primeros cinco intervalos de la serie armónica –octava, quinta, cuarta, tercera mayor y

tercera menor.

A primera vista, es extraño mencionar a Aristoxeno y a Ptolomeo en un trabajo sobre Platón; se

piensa que no hay mucha relación entre ellos, puesto que los primeros se basaban menos en las

matemáticas y más en el oído, al contrario de lo que pasaba con Platón. La razón de ponerlos

juntos estriba en que, en ambos casos, pero por caminos diferentes, la meta es la división de la

escala en intervalos iguales. En contra de lo que piensan muchos teóricos de la música, McClain

dice que la República de Platón “encierra un tratado sobre el igual temperamento”.69 [H]  Y este

problema del temperamento es crucial, pues surge de la inconmensurabilidad entre las razones de

octava, cuarta y quinta que dan los tonos. Las potencias de 2, que definen octavas, son números

pares, y por ello nunca coinciden con las potencias de tres, números nones, que son las que

definen las quintas y las cuartas; finalmente, ni las potencias de 2 ni las de tres coinciden con las

potencias de 5, que son las que definen las terceras, mayores y menores.

El problema de la división de la octava en partes iguales (es decir, de una escala bien temperada)

no podía resolverse con los conocimientos matemáticos griegos de los tiempos de Platón, ya que

sólo podían usarse razones formadas por números racionales puesto que, si se quisiera dividir la

octava en doce partes iguales, cada una de estas partes –es decir, cada semitono– tendría el valor

de 12√2, que es un número irracional. La teoría moderna del igual temperamento divide el ciclo de

la octava, definida por la razón 1:2, en 1200 unidades logarítmicas llamadas cents, de manera que

cada semitono es igual a 100 cents. Geométricamente, la octava se puede representar por un

círculo, y dividida en doce semitonos iguales, se representa como sigue:

FIG. 14

Igualmente, los intervalos que quinta y de cuarta, que subdividen la octava, también pueden tener

una representación de este tipo:

FIG. 15

de manera tal que si se agrupan los dos ciclos, es decir, simultáneamente en sentido ascendente y

69 Ernest G. McClain, The Pythagorean Plato, p. 5. El desarrollo de los instrumentos de teclado transformó los problemas teóricos planteados por Platón en problemas prácticos en tiempos de Bach. El igual temperamento conseguido en el clave bien temperado de hecho realizó el sueño platónico.

en sentido descendente, tenemos:

FIG. 16

En sentido ascendente se tienen las notas La, Re, Mi y La, y en sentido descendente las notas La,

Mi, Re y La. Entre La y La se tiene la proporción de la octava, 1:2 y, si, para evitar fracciones,70 

se usa la proporción equivalente 6:12, la media aritmética estará en 9 y la media armónica o

subcontraria en 8. La media aritmética corresponde a la nota Re en el sentido ascendente, y a Mi

en el descendente, mientras que la media armónica corresponde a Mi en sentido ascendente y a

Re en descendente. En términos de McClain,

la media aritmética subdivide la octava en una quinta perfecta de razón 2:3 (=6:9) y una cuarta perfecta complementaria de razón 3:4 (=9:12), esto es, con la razón mayor entre los números más pequeños. La media armónica invierte el orden de los intervalos en una dirección “subcontraria” (6:8=3:4 y 8:12=2:3) para establecer la simetría inversa perfecta que caracteriza la aritmética de Platón.71

De estas razones de cuarta y de quinta se obtiene la llamada proporción musical 6:8::9:12, la cual,

según se dice, fue llevada de Babilona a Grecia por Pitágoras, y en ella se pueden ver con

claridad las mencionadas relaciones de octava, de cuarta y de quinta:

FIG. 17

No obstante, esta forma lineal de representación puede llevar a equívocos, ya que los números

funcionan de manera recíproca; es decir cuando se aplican a secuencias que suben o bajan de

tono pueden considerarse, o bien como razones de longitud de onda o de frecuencia, o bien como

múltiplos y submúltiplos de una unidad de longitud de la cuerda. En el ejemplo, si tomamos La

como referencia, Re y Mi asumen los valores de media aritmética y de media armónica cuando se

consideran en sentido ascendente, pero los invierten cuando se ven de manera descendente:

6 : 8 :: 9 : 12

en sentido ascendente: La Re Mi La

en sentido descendente: La Mi Re La

Es verdad que Re y Mi invierten sus papeles como media aritmética y como media armónica,

pero debido a la capacidad de convertirse en un ciclo, es conveniente representar la octava

circularmente en lugar de hacerlo de manera lineal. En un círculo de tonos, el principio y el fin

70 Ya hemos visto que Platón establece que en todos los casos deben evitarse las fracciones y usarse sólo números enteros. Cfr. República 525d.

71 Ernest G. McClain, The Myth of Invariance. The Origins of the Gods, Mathematics and Music: From the Rg Veda to Plato, p. 27.

coinciden de modo que el tono de referencia, La en este caso,

[…] funciona visualmente como la media geométrica entre las medias aritmética y armónica simétricamente situadas, cuyas propias posiciones se alterarían según que los tonos se piensen como múltiplos o como submúltiplos, y se unan a tonos que suban o bajen.72

Además de las ya mencionadas subdivisiones de la octava en quinta, 2:3, y cuarta, 3:4, existen

otras como la tercera mayor, 4:5 y la tercera menor, 5:6. Pero quien construye, afina o toca algún

instrumento, sabe que la octava no puede subdividirse igualmente por razones como las

señaladas, las cuales se derivan de números racionales; por ello, en la escala bien temperada se

divide el espacio de la octava en 12 partes iguales, de manera que cada una de esas partes de

112de octava, que es a lo que llamamos semitono, tiene un valor numérico de 12√2

(aproximadamente 1.059463), por lo cual cada intervalo de menor tamaño será siempre un

número múltiplo de semitonos, el más pequeño intervalo del sistema. Así, existen dos

posibilidades de expresar los intervalos de los tonos: primero, como ya se ha visto, como razones

de enteros (1:2, octava; 2:3, quinta; 3:4, cuarta), y segundo, como unidades logarítmicas de 100

cents por semitono (es decir, con la octava igual a 1200 cents). Existe otra posibilidad: la de

expresar la octava por medio de un círculo, y cada uno de los tonos por un número de grados,

para formar lo que McClain llama el “mandala” de tonos. El uso de esta forma de representación

proporciona mayor comprensión del problema, pues allí el principio y el fin coinciden y, por

tanto, La puede representar la media geométrica de las medias aritmética y armónica,

simétricamente situadas, y cuyas posiciones se alternan según el punto de vista ascendente o

descendente.

Esto nos permite relacionar la teoría griega de la música con la creación del Alma del Mundo tal

como está expuesta en el Timeo. Dice allí (50d) que Dios es el inamovible 1, el punto de

referencia que funciona como esa media geométrica entre cada número y su recíproco; de allí

que, como afirma McClain, el número uno “simbolice a Dios por su absoluta invariancia”.

Se ha mencionado en páginas anteriores que en muchas mitologías antiguas se encuentran casos

de hermafroditismo del creador, representado por la unidad, la unidad divina, quien, por un

proceso de división que casi podría entenderse como mitótico, produce una hija. En esas

circunstancias, puede procrear a través de la hija, el principio femenino. No es extraño, pues,

pensar que si el creador es 1, invariancia absoluta, la hija sea 2. El número 2 tiene en la alegoría

platónica un papel femenino porque es receptáculo o matriz; corresponde así a la octava, de la

cual nacen todos los demás tonos. Sin embargo, esa matriz por sí misma es estéril, sólo puede

72 Ernest McClain, The Pythagorean Plato, p. 10.

originar, como dice Sócrates en la República, ciclos de esterilidad, ya que la multiplicación y

división por 2 no puede introducir nuevos tonos. El principio de la madre está simbolizado por la

octava, es decir, por el círculo sin división: cada revolución del círculo equivale, en un sentido, a

una multiplicación por dos y, en el otro, a una división entre dos. Dicho en palabras de McClain,

“las potencias de 2 (2n) generan identidades cíclicas, esto es, dejan invariable la relación musical

del ciclo de la octava”.73 Para introducir nuevos tonos se requiere la presencia de números nones,

con lo que justifica su denominación de “machos”; los números pares, hembras, son

genéticamente pasivos, por producir sólo octavas sin división. Los nones, en cambio, permiten

que la unidad sea dividida: si nos limitamos, como en la teoría musical de los griegos, a las

razones llamadas superparticulares o epimóricas (es decir, a las que se forman por dos enteros

consecutivos o que difieren por la unidad), entonces cada número impar funciona como la media

aritmética para una razón superparticular: 3 será la media entre 1 y 2, 5 entre 2 y 3, 7 entre 3 y 4,

etc. Así, si 1 es la referencia, el inamovible, y 2 es la madre o receptáculo, simbolizado por el

círculo sin división, (Timeo 50d) la media aritmética será 3, el hijo. Pero si, como se ha visto

antes, en lugar de usar 1 y 2 como los números que forman la razón de octava, se usa 6 y 12,

entonces esta media aritmética será 9. Esta media tiene un hermano gemelo, derivado del

significado recíproco del 3, el cual funciona como la media armónica. Por tanto, en la llamada

proporción musical 6:8::9:12, las medias armónica y aritmética, 8 y 9, son hermanas, de acuerdo

con lo que Platón expresa en la República 461d. Regresemos por un momento a la representación

en forma de círculo:

FIG. 18

El círculo de tonos simboliza la moderna escala bien temperada y constituye un emblema –visual

y acústico– para las periodicidades del universo: el tiempo cíclico, el movimiento circular de los

cuerpos celestes, los doce meses lunares. Cada segmento sería equivalente al intervalo de un

semitono. Por tanto, este círculo sólo puede relacionarse con el igual temperamento.

La estructura cíclica de la octava es la invariante de todo sistema de afinación y, dispuesta como

círculo de tonos, funciona como una matriz de la cual nacen los tonos derivados. Si representa el

mundo, entonces las dos mitades del mundo estarán separadas por el diámetro, que tonalmente se

localiza en Mib=Re#, directamente opuesto a La, el tono de referencia, que tiene un valor

aritmético de √2. Los números nones introducen nuevos tonos (ya que los pares, como se

estableció antes, sólo generan “ciclos de esterilidad”, círculos completos); el “divino número

73 Ernest McClain, The Myth of Invariance, p. 20.

masculino”, el 3, genera “rayos” que caen muy cerca de los rayos ideales generados por el igual

temperamento: la razón 2:3, un intervalo de quinta, vale unos 702 cents,74 por lo cual está a 2

cents del tono temperado, es decir a 0.6 grados75 en la circunferencia; su complementario, el

intervalo de cuarta, 3:4, está más o menos a 498 cents, también a seis décimos de grado del tono

bien temperado. El 5, “número masculino humano”, genera rayos menos aproximados, pues el

intervalo de tercera mayor, 4:5, vale 386 cents, es decir, está a 4.2°, y la tercera menor, su

complementaria, 5:6, vale 316 cents, 4.8° separada del tono igualmente temperado. Si volvemos a

la llamada proporción musical 6:8::9:12 que equivale, en sentido creciente a La, Re, Mi y La, y

decreciente, La, Mi, Re y La, y a su representación circular, podremos continuar con la

argumentación.

FIG. 19 (p. 95 libro)

Recordemos que en esta proporción 6:8::9:12, el número 9 es la media aritmética dentro del

módulo de la octava, y 8 es la media armónica; la media aritmética subdivide la octava en una

quinta y una cuarta complementaria, 2:3 y 3:4. La media armónica invierte el orden de los

intervalos: primero una cuarta (pues 6:8=3:4) y luego una quinta (pues 8:12=2:3). También

hemos visto que los griegos entendían estas medias como límites fijos de tetracordes, dentro de

los cuales se intercalaban tonos móviles dependientes del género. En la música occidental en

general, estos tonos generados por el número primo 3 se conocen como los tonos dominante y

subdominante.

Los dos tetracordes de la figura anterior se llenan con los sonidos móviles generados por el

número primo 5. Este número “humano masculino”, como lo llama Platón, funciona como media

aritmética en el intervalo de quinta 2:3, que se expande a 4:5:6 para evitar, como siempre, las

fracciones. Pero el problema entonces, como señala McClain,76 es “descubrir de cuántas maneras

las razones 4:5 y 5:6 pueden entrar en la razón 3:4, la cual ocurre dos veces en la proporción

musical 6:8::9:12”. Las razones 4:5 y 5:6, tercera mayor y tercera menor, respectivamente,

producto de la intervención del número 5, dan por resultado cuatro patrones diferentes, en

función de si se consideran dichos intervalos después del primer tono o antes del segundo.

Vamos a tomar primero el intervalo de tercera mayor, 4:5. Si consideramos en primer lugar que

este intervalo viene inmediatamente después del primer tono, tendremos entonces la siguiente

74 Para convertir razones en cents, se resta el logaritmo del número menor del logaritmo del mayor, y el resultado se multiplica por 1200/log2 , o sea aproximadamente por 3986.3.

75 Para convertir cents en grados, se multiplica el número de cents por 360/1200 = 0.3.76 E. McClain, The Myth of Invariance, p. 23.

progresión: 6, 6(5/4), 8, 9, 9(5/4), 12.77  Al reducir las fracciones, obtenemos la serie: 24, 30, 32,

36, 45, 48, que corresponde, en orden creciente y decreciente, a los intervalos siguientes:

24 30 32 36 45 48

creciente: La do# Re Mi sol# La

decreciente: La fa Mi Re sib La

6 : 8 :: 9 : 12

Si consideramos ahora que el intervalo 4:5 está inmediatamente antes del segundo tono,

tendremos la serie: 6, 8(5/4), 8, 9, 12(5/4), 12.78 Al hacer las operaciones y reducir las fracciones,

tenemos: 30, 32, 40, 45, 48, 60, que da lugar a los siguientes intervalos:

30 32 40 45 48 60

creciente: La sol# Mi Re do# La

creciente: La sib Re Mi fa La

6 : 8 :: 9 : 12

La combinación de los intervalos de la tercera mayor da por resultado la siguiente escala:

FIG. 20

Si ahora tomamos el intervalo de la tercera menor, 5:6, el resultado será también dos patrones

simétricos, como en el caso anterior. Primero, se toma en consideración que la tercera menor está

inmediatamente después del primer término de cada proporción. Con ello se obtiene una

progresión del tipo: 6, 6(6/5), 8, 9, 9(6/5), 12, la cual, al reducirse se obtiene:

30 36 40 45 54 60

creciente: La do Re Mi sol La

decreciente: La fa# Mi Re si La

6 : 8 :: 9 : 12

Finalmente, si el intervalo de tercera menor se piensa como antes del segundo tono, se obtiene: 6,

8(5/6), 8, 9, 12(5/6), que es igual a la progresión siguientes, con sus respectivas escalas:

77 Para sumar las fracciones, por estar operando con logaritmos, se multiplica.78 La resta logarítmica es una división, y en este caso dividir entre 5/4} es igual que la multiplicación de por 4/5.

36 40 48 54 60 72

decreciente: La sol Mi Re do La

creciente: La si Re Mi fa# La

6 : 8 :: 9 : 12

El resultado, expresado en el pentagrama, es el siguiente:

FIG. 21

Si se expresa esto por medio de círculos de tonos se tiene, para la tercera mayor:

FIG. 22

Y para la tercera menor:

FIG. 23

Estos cuatro patrones combinados contienen un total de once tonos diferentes que podemos

disponer en una escala y su recíproca. Esas escalas y sus números correspondientes son:

30 32 36 40 45 48 54 60

normal: La sib do Re Mi fa sol La

recíproco: La sol# fa# Mi Re do# si La

Los once tonos de estas dos escalas, reunidos, constituyen nuestra escala cromática; los enteros

más pequeños que pueden definirla están en la relación 360:720. Esta escala se divide en 360

unidades, lo cual coincide con el año de 360 días de los calendarios antiguos de gran diversidad

de culturas. La escala cromática y los números que la definen, en orden creciente y menguante,

son:

La sib si do do# Re Mi fa fa# sol sol# La

360 384 400 432 450 480 540 576 600 648 675 720

720 675 648 600 576 540 480 450 432 400 384 360

y se representan en el círculo de tonos de la siguiente manera:79

79 La división del círculo en 360 unidades no corresponde a su división en grados, sino que hay que recordar que tales unidades están definidas logarítmicamente.

FIG. 24

Aunque en este trabajo no nos proponemos una exploración exhaustiva de todos los aspectos de

la música griega, sí es conveniente introducir otra noción, la de modo. El origen de los modos

estriba en que en la música griega se encontraban mezcladas diversas corrientes que provenían de

diferentes lugares, tales como el lado occidental de la Grecia continental, el lado oriental de la

misma, los territorios de Asia Menor, etc. Este carácter sincrético se manifiesta de manera muy

palpable en la presencia de los modos.

Según Reinach, las melodías griegas generalmente estaban limitadas a una octava, que era

precisamente la gama de la lira. Así pues, si toma en consideración solamente al género

diatónico, la octava estará formada por siete intervalos de cinco tonos completos y dos intervalos

de medio tono. El orden en que suceden los tonos y los semitonos sería lo característico del

modo.80 Para la música de épocas posteriores, sin embargo, el modo no podía definirse sólo por el

orden en que se suceden los intervalos de su octava, sino que se hacía necesario establecer en esa

octava un tono principal al cual subordinar armónica y melódicamente los demás tonos. Ese tono

principal o nota es lo que ahora conocemos como la tónica. Para nosotros, el octocorde modal

comienza y termina con la tónica, y nuestros dos modos son los llamados mayor y menor: el tono

mayor es aquel cuyos intervalos aparecen tal como están dispuestos en la octava situada entre Do

y Do; es decir, t-t-s-t-t-t-s (t significa tono y s semitono); el tono menor es aquel cuyos intervalos

están dispuestos tal como los encontramos en la octava de La a La; es decir, t-s-t-t-s-t-t. Por tanto,

Re mayor, por ejemplo, quiere decir que se reproducen los mismos intervalos que hay entre Do y

Do, pero en la escala de Re a Re, lo cual genera la escala Re – Mi – Fa# – Sol –La – Si – Do# –

Re. Y la tonalidad de Sol menor, por ejemplo, significa que se reproducen los intervalos que hay

entre La y La en la octava de Sol a Sol, lo cual produce la escala siguiente: Sol – La – Sib – Do –

Re – Mib – Fa – Sol.

Sin embargo, como señala Chailley, esta definición de modo es insuficiente para los “modos”

gregorianos, y falsa para la música griega y para la oriental. Esta definición de modo es la que se

elaboró en el siglo XVIII bajo el impulso de Rameau, quien llega incluso a identificar “tono” con

“modo”. Si sobrepasamos el marco escolar de esta forma de ver el modo, tendríamos que verlo

como la organización estructurada en la cual intervienen muchos otros elementos, tales como el

timbre o la tesitura, así como algunos procedimientos de ornamentación.

Así determinado, un “modo” es fácilmente reconocible y adquiere una personalidad que permite

80 Théodore Reinach, La musique grecque, pp. 26-27.

atribuirle un papel social o religioso o mágico: de allí la noción de ethos (ηθος) que ocupa un lugar tan importante en la “ética” platónica [...] un modo caracteriza un sentimiento, una hora del día, una categoría social, etc.81

En la República, Platón habla de ciertas “armonías” (άρμονίαι), y hacía notar ciertos caracteres y

emociones asociados con ellas, aunque su característica principal es estar constituidas por

diferentes secuencias de intervalos. Es decir, tales armonías son lo que podemos entender como

“modos”. En ese diálogo, Sócrates evalúa las armonías, presentadas por Glaucón, de la siguiente

manera: dice que los llamados modos mixolydio y sintonolydio son “apropiados para los

lamentos”; por tanto, dice que esos modos deben ser proscritos de la ciudad. A los dos modos

siguientes, el jonio y el lidio, Sócrates no les atribuye vigor y dice que son apropiados sólo para

los bebedores; por tanto también los rechaza. Los únicos modos que pueden tolerarse en la ciudad

son el dorio y el frigio, puesto que poseen, por un lado, carácter grave y religioso y, por el otro,

un aspecto viril y guerrero. La admisión en la ciudad de estos dos únicos modos tendrá una

especial importancia en las concepciones de armonía, según veremos en la próxima sección.

Estas “armonías”, que estaban asociadas con un carácter moral, no eran “un simple aspecto de la

octava, cuyo reconocimiento fuera sólo posible por especialistas”; tampoco eran “una simple

transposición en la altura, noción esencial para el ejecutante, pero indiferente para el auditorio”.82

La descripción de esas harmoniai aparece seis siglos después, cuando seguramente ya no se

usaban más. Arístides Quintiliano las describe de dos maneras, por tonos y por intervalos, y las

escalas que describe “son escalas enarmónicas, irregulares con relación al sistema clásico, y sólo

a ellas puede y debe aplicarse lo dicho por Platón o posteriormente a propósito del ethos de los

modos”.83 Tales modos son los siguientes:

Lidio:

FIG. 25

La disposición de intervalos en el modo lidio es q, d, t, q, q, d, q (donde q=cuarto de tono,

d=ditono, t=tono; el signo + antes de la nota designa una alteración de un cuarto de tono). Esta

estructura abarca una octava completa.

Dorio:

81 J. Chailley, La musique grecque antique, pp. 107-8.82 Ibid., op. cit., p. 110.83 Ibid., op. cit.

FIG. 26

Los intervalos en el modo dorio tienen la estructura t, q, q, d, t, q, q, d, que abarca una octava más

un tono.

Frigio:

FIG. 27

El esquema de intervalos del modo frigio es: t, q, q, d, t, q, q, t. La estructura abarca una octava

completa, y la única diferencia respecto al dorio es el desplazamiento de su nota más alta.84

Hay otros tres modos en el texto mencionado de Platón: el jonio (también llamado iastio), el

mixolydio y el sintonolydio, pero que no importan para los propósitos de este trabajo; además,

excepto el mixolidio, los otros dos desaparecieron sin dejar ninguna huella. Sócrates está de

acuerdo en que permanezcan en la república únicamente dos modos, el dorio y el frigio; los

esquemas de intervalos son los siguientes: para el dorio, t s t t t s t t, y para el modo frigio, t s t t t

s t.

Una peculiaridad del modo frigio es que el patrón de tonos y semitonos es el mismo, ya sea que

se tome en sentido creciente, ya sea en decreciente:

FIG. 28

En lo que toca al modo dorio, podemos comprobar que los once tonos de la escala cromática

encontrados anteriormente y dispuestos en forma ascendente, corresponden precisamente a los

tonos que configuran el modo dorio; la escala recíproca del modo dorio es equivalente a nuestro

moderno modo mayor:

30 32 36 40 45 48 54 60

dorio La sib do Re Mi fa sol La

recíproco La sol# fa# Mi Re do# si La

Con esta breve excursión sobre los modos, podemos ahora concluir respecto a las nociones de

armonía y retomar el modelo del Timeo para establecer cómo el demiurgo establece la armonía

del universo.

84 Cf. Andrew Barker, Greek Musical Writings, v. I. The Musician and his Art, p. 165, y Jacques Chailley, op. cit., pp. 110-113.

La armonía del cosmos

En la última recomendación que hace Pitágoras a sus discípulos –que según dice Arístides

Quintiliano es: “trabajen el monocordio”– está expresada su convicción de que la música es un

fiel reflejo de la armonía del cosmos gracias al equilibrio de las proporciones. En consecuencia,

una lección del Timeo es que el conocimiento de la música conduce al conocimiento del cosmos;

por tanto, con el desarrollo de la noción de mesotes y de los números de la sagrada tetractys se

construye el sistema armónico que es la “imago mundi por excelencia”.85

Ya hemos hablado del carácter hermafrodita de la unidad divina; sin embargo, como al dios sólo

le es posible crear a través del principio femenino, tiene que dividirse para producir el número 2,

que en la alegoría de Platón corresponde a la matriz, al receptáculo. El número 2 corresponde a la

octava, que es la matriz de todos los tonos, pero que, no obstante, por sí misma es estéril, pues

sólo genera ciclos de esterilidad, círculos sin división, correspondientes a la multiplicación o

división por 2. Los tonos de la escala requieren de la presencia de los números masculinos 3 y 5.

Todos los enteros unidos por las razones generativas, dentro de una octava, son hermanos; sólo

con la presencia de estos números –dice Sócrates– la paternidad es segura, pues para los tonos

generados por otras razones, es decir, por afinaciones diferentes, es incierta. De allí que una de

las más importantes funciones de los legisladores sea la de arreglar matrimonios para conservar la

disposición de los intervalos. (República 459-460, Leyes. 773).

En las Leyes, por ejemplo, se especifica que el número primo 3 genera “ciudadanos de clase de la

más alta propiedad”, definidos por los intervalos de quinta, 2:3, y de cuarta, 3:4, los cuales son

las mayores subdivisiones de la octava. El número primo 5 produce “ciudadanos de clase de la

segunda más alta propiedad”, que son las terceras mayores, 4:5, y las terceras menores, 5:6, las

cuales subdividen los intervalos de quinta. El número primo 7 genera “ciudadanos de la clase de

la tercera más alta propiedad”, que son los tonos séptimos 6:7 y 7:8, y que son los que subdividen

el intervalo de cuarta. Aunque Sócrates no lo menciona, la opinión de McClain86 es que de allí se

deduce que los números primos mayores generan los ciudadanos de la clase de los esclavos.

Según Platón, (República 546a-d) toda aristocracia, incluso la mejor, degenera en el transcurso

del tiempo en una tiranía, a través de las etapas intermedias de timocracia, oligarquía y

85 J. Chailley, op. cit., p. 45.86 The Pythagorean Plato, p. 14.

democracia. De la misma manera, cualquier sistema armónico que use relaciones entre enteros (y

éste es el caso del sistema de Platón, que usa los primeros seis de la serie de los números

naturales) degenera, a menos que el número de tonos sea limitado. La degeneración consistiría en

la no concordancia entre series: la serie de quintas perfectas (2:3), por ejemplo, podría concordar

con la serie de la octava, (1:2), sólo si alguna potencia de 2 coincidiera con alguna de 3, lo cual

es, como hemos visto, una imposibilidad. De la misma manera, las terceras no pueden concordar

con las octavas o con las quintas.87 En la teoría platónica del Estado, ello se traduce en la

imposibilidad de fundar un Estado basado en modelos que carezcan de un principio interno de

regulación o de limitación.

La teoría política de Platón es tan rigurosamente musical como su teoría del universo o su

astronomía; no solamente la legislación está cimentada en un modelo matemático y musical, sino

también el sistema de los planetas. Vamos ahora a regresar al sistema planetario, tal como se

expresa en el Timeo, para mostrar la pertinencia del uso, en este campo, del modelo musical al

cual nos hemos referido.

Hemos visto que el demiurgo formó el mundo de materiales ya existentes; no insistiremos en

ello. Lo que importa para los propósitos es recordar la manera cómo formó las dos partes del

mundo, el alma y el cuerpo. El alma del mundo fue formada con la mezcla de lo Mismo y de lo

Otro: con lo Mismo, es decir, el ser que es invisible y que permanece siempre igual, y con lo

Otro, o sea, el ser transitorio y divisible, el artífice mezcló un tercer ingrediente, salido de lo

Mismo y de lo Otro, y combinó los tres en una forma única, “armonizando por fuerza con lo

Mismo la sustancia de lo Otro, que difícilmente se deja unir. Mezcló las dos primeras con la

tercera y de las tres hizo una sola”. (Timeo 35b) Con esta mezcla formó el alma del mundo, y lo

hizo distribuyéndola en varias porciones de acuerdo con los términos de una progresión

compleja, 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27, que ya se analizó extensamente en las primeras secciones de este

trabajo. Esta progresión compleja está a su vez formada por dos progresiones geométricas

simples: una de razón 2 (1, 2, 4, 8) y una segunda de razón 3 (1, 3, 9, 27). En consecuencia, las

porciones del alma del mundo pertenecen a dos progresiones del tipo punto–línea–plano–sólido,

desarrolladas a partir de los números primos 2 y 3 (20, 21, 22, 23 y 30, 31, 32, 33). Las potencias

de 2 definen tres octavas consecutivas, mientras que las potencias de 3 definen tres doceavas

consecutivas, equivalentes a cuatro octavas, más una sexta mayor.

87 Dicho en otros términos, la concordancia ocurriría cuando las potencias de 2, de 3 y de 5 coincidieran; es decir, cuando 2p=3q=5r. Y ello sólo puede ocurrir cuando las potencias son iguales a cero, los cual nos genera la unidad, símbolo de Dios.

Lo que sigue en la descripción de Platón es la inserción de las medias aritmética y armónica. Los

enteros más pequeños que pueden representar estas medias en el intervalo de la octava son los

números de la llamada proporción musical, que se representa por 6:8::9:12. Es decir, las

porciones del Alma del Mundo introducida por Platón tienen que multiplicarse por seis para

evitar fracciones, como ya se estableció; por tanto, la serie de las triples comienza con 6:18, y sus

medias aparecen en la proporción 6:9::12:18. La media aritmética entre 6 y 18 es 12, siendo la

razón 6:12=1:2, una octava, y la razón 12:18=2:3, una quinta. De aquí que el número 9 funcione

como media armónica, invirtiendo de esta manera el orden interno de los intervalos, 6:9=2:3, una

quinta, y 9:18=1:2, una octava.

Después se tiene que llenar un intervalo de cuarta con tonos completos. Cuando Platón dice que

el intervalo de cuarta, 4:3, se llena con dos tonos enteros 9:8 y deja un resto, la leimma, establece

con ello la fórmula del tetracorde dórico, que es el siguiente:

FIG. 29

Para una progresión de este tipo, los enteros más pequeños que la cumplen son 192:216:243:256.

Para completar la octava es necesario añadir un segundo tetracorde, con la razón de quinta (3:2);

para ello se requiere multiplicar por 3/2. La serie completa será:

192 : 216 : 243 : 256 : 288 : 324 : 364.5 : 384

Como se deben evitar las fracciones a toda costa, se multiplican todos los elementos por dos; por

tanto, la serie de la octava con sus respectivos intervalos y tonos correspondientes, vista en ambos

sentidos, es la siguiente:

FIG. 30

Así, la progresión formada por las porciones del Alma del Mundo es tal que permite representar

la escala en la cual aparecen todos los tonos e intervalos de la música de las esferas (aunque aquí

nos hemos limitado al primer intervalo pero ya antes lo hicimos para la escala completa); pero

también es posible representarlos de acuerdo con lo sugerido por Crantor88 en su comentario al

Timeo: en forma de Λ, lambda mayúscula. Nicómaco, en la Introducción a la aritmética, (II, iii,

4) muestra una tabla triangular en la que de izquierda a derecha se presentan las potencias de 2,

mientras que las potencias de 3 están a lo largo de la hipotenusa del triángulo. La tabla de

Nicómaco es la siguiente:

88 Crantor fue un contemporáneo de Platón, miembro de la Academia. Fragmentos de su obra fueron publicados por Kayser a fines del siglo XIX.

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

3 6 12 24 48 96 192 384 768

9 18 36 72 144 288 576 1152

27 54 108 216 432 864 1728

81 162 324 648 1296 2592

243 486 972 1944 3888

729 1458 2916 5832

2187 4374 8748

6561 13122

19683

En las columnas verticales, las parejas de números aparecen de acuerdo con la razón 2:3, es decir,

son quintas perfectas. Esa disposición triangular de Nicómaco se puede transformar en la Λ por

medio de un simple giro de la tabla de manera que el número 1 quede situado en el vértice; la

siguiente figura muestra la disposición en forma de lambda:

FIG. 31

El resultado será entonces que los productos enteros de los primos 2 y 3 estarán dispuestos en

progresiones geométricas a lo largo de tres ejes: octavas, 1:2, a lo largo de la diagonal que va del

vértice hacia la izquierda; doceavas, es decir, triples, 1:3, a lo largo de la diagonal que va del

vértice hacia la derecha; y quintas, 2:3, a lo largo de las líneas horizontales. En esta disposición

lambda, la media aritmética de cualquier doble está inmediatamente a la derecha del número

menor, y la media armónica, inmediatamente a la izquierda del número mayor. Por ejemplo, la

media aritmética del intervalo 12:24 está a la derecha de 12 (o sea 18) y la media armónica, 16, a

la izquierda de 24. De la misma manera, la media aritmética de cualquier triple está a la izquierda

del mayor, y la media geométrica está a la derecha del menor. Por ejemplo, en el intervalo triple

6:18 la media aritmética será 12, y la armónica, 9. Esta tabla genera ya sea los enteros requeridos

para un tetracorde, ya sea para toda la escala, o incluso para toda la gama de términos obtenida

para la armonía de las esferas.

La siguiente acción del demiurgo fue hacer con la mencionada mezcla de los elementos

primordiales una división longitudinal, lo cual dio como resultado algo así como dos cintas, con

las cuales, “habiendo cruzado las dos mitades una sobre la otra, hizo coincidir sus puntos medios,

como una χ”. (Timeo 36b-c) Se puede pensar que la lambda previamente construida constituye la

mitad inferior de la χ a la que se refiere Platón; y como todos los números tienen, según su

concepción, significados recíprocos, la mitad superior de la χ será un reflejo de la inferior,

formada por sus recíprocos. La χ completa será, entonces:

FIG. 32

En la χ platónica está representado el movimiento oblicuo del sistema planetario con respecto a

las estrellas fijas: los planetas siguen un movimiento paralelo al plano de la eclíptica, mientras

que el círculo de las estrellas fijas es paralelo al ecuador. Así, el círculo de lo Mismo gira hacia la

izquierda, “siguiendo la diagonal de un paralelogramo”, como está establecido en el Timeo, e

incluye en él las potencias 2n, por lo cual solamente produce, como ya se había establecido,

ciclos de esterilidad, de acuerdo con la metáfora expresada por Sócrates en la República. El

círculo de lo Otro, formado por los triples (3n), las potencias de 3, se mueve hacia la derecha,

“siguiendo el lado del paralelogramo”, por medio de intervalos que, según se observan en la χ

anterior, son de quinta, de 3:2.

Cada desplazamiento hacia la derecha es una traslación aritmética que resulta de la multiplicación

por 3/2 y que equivale a una transposición musical de un intervalo de quinta. Así, si limitamos la

χ tres filas hacia arriba y tres hacia abajo de la unidad, comenzando con el término 127,

tendremos: 1/27; 1/27(3/2)=1/18; que es precisamente el término siguiente; 1/18(3/2)=1/12; y

1/12(3/2)=1/8. Si se establece una correspondencia entre este último término, que pertenece a las

potencias de 2 (2−3), con la nota La, el tono de referencia arbitrariamente elegido, entonces el

tono a la izquierda, a una quinta de distancia, será Mi, y el que sigue, también a una quinta, es Si,

y el último de la fila, a una quinta, es Fa.

En la siguiente fila el primer término es 1/9; el segundo es 1/6, igual al producto de 1/9(3/2) (es

decir, desplazado un intervalo de quinta); y el tercero es 1/4(=1/6(3/2)). Este último término, 1/4,

por ser también múltiplo de 2(2−2), es también La; por tanto, 1/6 corresponde a Mi, y 1/9 a Si. Si

hacemos la misma operación con las restantes filas de la χ el resultado es el siguiente:

FIG. 33

La diagonal que va de izquierda a derecha, la del círculo de lo Otro, incluye solamente octavas.

Al hacerlo girar “siguiendo la diagonal de un paralelogramo”, se generan las potencias de dos,

positivas y negativas, con lo cual se producen los ciclos de esterilidad. Al tomar la otra diagonal,

la del círculo de lo Mismo, la cual consiste en las potencias de tres y que define doceavas

musicales, y someterla a un desplazamiento hacia la derecha, también “siguiendo el lado de un

paralelogramo”, el resultado se muestra enseguida:

FIG. 34

Este movimiento se realiza a través de intervalos de quinta, 3:2, y cada desplazamiento equivale a

una multiplicación por 3/2, que deja el patrón original intacto.

El demiurgo decide posteriormente dividir el círculo interior, el círculo de lo Otro, en siete

círculos desiguales; con ello produce siete progresiones de octavas 2n, todas distintas entre sí. Ser

distintas quiere decir que están basadas en tonos o notas diferentes, y cada uno de ellos

corresponde al diámetro de la órbita (circular) de cada uno de los planetas.

Al dividir el círculo en siete partes, Platón asume implícitamente que la armonía del cosmos

puede describirse con una escala diatónica de siete tonos. Los siete círculos corresponden a los

intervalos dobles y triples, y esto en un doble sentido: “cada secuencia de octavas contiene los

significados recíprocos de los dobles 1:2:4:8, y las siete diferentes secuencias de octava

mantienen siempre entre ellas el significado recíproco de los intervalos triples, 1:3:9:27”.89 De

acuerdo con la χ representada por tonos, se tiene la serie La – Si – Mi – La – Re – Sol – Do.

Esta serie de notas constituye la escala diatónica que Platón asimila a la armonía celestial.

Finalmente, respecto a las velocidades de esos siete círculos internos, Platón menciona que el

demiurgo asignó a tres de los siete círculos velocidades similares, y a los otros cuatro, distintas,

por un lado, de la velocidad de los tres primeros y, por el otro, de las velocidades de cada uno de

los demás; sin embargo, cada una de tales velocidades debía estar siempre “de acuerdo con la

razón”. Si recordamos lo que hemos revisado anteriormente acerca de la teoría musical griega,

cada octava debe tener tres tonos fijos, los cuales funcionan como marco de los tetracordes (que

aquí hemos arbitrariamente asumido como La – Re, el primero, y Mi – La, el segundo, es decir, la

escala La — Re — Mi — La, correspondientes a los números de la proporción musical

6:8::9:12), y cuatro tonos móviles, dos en cada uno de los tetracordes, como se estableció al

hablar de los modos.

Para concluir, es importante discutir brevemente los modelos de ciudad que aparecen en la obra

de Platón, ya que, por todo lo anterior, existen suficientes indicios para asumir que con su

descripción expresa ideas acerca de los sistemas armónicos. Platón muestra al menos tres

89 E. McClain, The Pythagorean Plato, p. 60.

modelos de ciudad: en el Timeo esboza el retrato de una antigua Atenas, que habría sido

construida según las normas expresadas en los libros II-IV de la República; en el Critias aparece

una descripción más desarrollada de esa misma ciudad. La ciudad de la Atlántida también se

menciona en el Timeo, pero su descripción se encuentra en ese mismo diálogo inconcluso. En las

Leyes aparece una tercera ciudad, Magnesia. Vamos a revisar algunos pasajes donde se muestran

aspectos de esas ciudades, comenzando por la Antigua Atenas.

Platón establece que los dioses “se distribuyeron la tierra entera, por regiones y sin disputa”, ya

que este reparto fue realizado por Dike.90 Dos de estos dioses, Hefesto y Atenea, hermanos de

padre y que compartían su amor por la ciencia y el arte, también compartieron una misma porción

de tierra. Con sus descendientes,91 los dioses organizaron la ciudad, la cual contaba con una

acrópolis en el centro, situada en la cima de una colina; allí, “la periferia, incluso las pendientes

de la Acrópolis, estaban ocupadas por los artesanos y los agricultores [...] Pero sólo los guerreros

ocupaban la parte superior, separados del resto por una muralla”. (112b) En la acrópolis, las

habitaciones comunes de los guerreros estaban al norte, donde tenían refectorios para el invierno.

La parte sur estaba formada por “jardines, gimnasios y refectorios, que abandonaban en la

estación cálida. Había una fuente única que [...] daba a todos un agua generosa, igualmente sana

en invierno y en verano”. (112c-d) Finalmente, el número de tales guerreros, hombres y mujeres,

“que eran a la vez los guardianes de los conciudadanos y los jefes libremente aceptados por los

demás helenos”, se mantenía constante en “alrededor de veinte mil”.

De la descripción de la Antigua Atenas habría que señalar, primero, que fue generada por los

hijos gemelos de Zeus, y que Zeus, como antes se dijo, representa la unidad divina. Tales

gemelos, hembra y macho, corresponden a los números primos 2 y 3 respectivamente. Su

carácter de primos muestra que no tuvieron una madre generadora, pues, al ser divisibles sólo por

ellos mismos y por la unidad, son realmente una pluralidad de unos y, por ello, relacionados

directamente con Dios. Los números 2 y 3 y sus series producen tonos que caen en la misma serie

de octavas y de quintas; es decir, no hay posibilidades de cambios (con ellos se puede estar

seguro de la paternidad); ése tal vez sea el sentido del decir de Platón de que cada generación de

individuos dejaba otra igual a ella. En la Atlántida ya no se puede asegurar la permanencia de las

generaciones, como se verá.

No es una casualidad, por otro lado, que en la Antigua Atenas haya alrededor de veinte mil

90 Platón, Critias 109d.91 No se dice explícitamente en este diálogo que sean hijos de la pareja divina, aunque deja abierta la posibilidad;

sólo señala que son personas autóctonas.

ciudadanos calificados para formar el ejército, pues es un número que aparece en otras dos

ocasiones. Como se ha visto, hay dos formas de disponer las series numéricas desarrolladas: en

fila o en forma de lambda. En el primer caso, en la serie lineal, el límite superior era 20 736; en el

segundo, en la lambda, de 19 683. De allí que Platón tome un número intermedio, aunque sin

precisarlo.

Con este esquema, Platón ha construido con simplicidad y con elegancia un verdadero sistema

tonal; en esta ciudad, sus habitantes comparten mujeres, hijos y propiedades, y ello hace que los

cambios se eviten. En esta descripción se desarrolla el sistema de afinación llamado pitagórico,

en el cual intervienen los dos primeros números primos, 2 y 3. El 2, como se ha visto, crea la

matriz de la octava, de la cual nacen todos los demás tonos. Pero, por sí mismo, el 2 sólo puede

crear ciclos de esterilidad, octavas completas. Los tonos nuevos se introducen por medio del

número 3, número masculino divino. Con el 3, según vimos en la disposición lambda, obtenemos

la escala que corresponde al modo frigio, modo que tiene la característica de que su arreglo de

intervalos es el mismo tanto en sentido ascendente como en sentido descendente.

El número tres genera sólo siete tonos; sin embargo, aun cuando sean “ciudadanos de clase de la

más alta propiedad”, por una búsqueda de correspondencia con las doce constelaciones y los doce

meses lunares, se requiere dividir la escala en doce tonos. Y para ello se requiere introducir otro

número non, lo cual alegóricamente se realiza por medio de la construcción de la Atlántida.

Platón no está conforme con la Antigua Atenas; quiere una ciudad más unificada y mejor

gobernada; una ciudad que se limite a lo esencial.

En el Timeo, la Atlántida, región de Poseidón, aparece como una isla grande rodeada de otras

islas. Su disposición geográfica, la cual se describe en Critias, es bastante extraña: alrededor de

una colina, Poseidón construyó una serie de anillos concéntricos compuestos cada uno por una

elevación de tierra y un ancho y profundo canal. La isla central está formada por la montaña

donde Poseidón se unió a la mortal Clito; allí se construyó su templo. Esta isla está rodeada de

dos círculos de tierra y tres de agua. (Critias 113d) El diámetro de esa isla central es de cinco

estadios (unos tres mil pies);92 el primer canal tiene un estadio (600 pies) de ancho; después viene

una franja circular de tierra de dos estadios de ancho, seguida de un segundo canal de la misma

anchura. Finalmente, una segunda porción de tierra y un tercer canal, cada uno de tres estadios.

El último canal está a 50 estadios del océano.

92 A. Rivaud, en la introducción al Critias, señala que un estadio equivale aproximadamente a 180 metros. Como Platón habla también de pies como un submúltiplo del estadio, daré aquí las equivalencias en pies.

Toda esta disposición no es obra humana, sino de los dioses; a los reyes sólo les tocó completar el

trabajo. Una de sus acciones fue trazar un canal recto de tres pletros (la mitad de un estadio, o

sea, 300 pies) de ancho y cien pies de profundidad, el cual comunica el canal extremo con el

océano. Otra obra es un puente de cien pies de ancho, que comunica la isla central con el resto

del territorio. Edificaron también murallas revestidas de metal con propósitos defensivos.

Finalmente, construyeron una muralla circular, a cincuenta estadios del canal exterior, la cual

llegaba hasta el borde del océano; entre esa muralla y el canal se extendía toda la ciudad, “toda

cubierta de numerosas mansiones juntas unas con otras”. (117e) En la confluencia del canal recto

con los tres canales circulares se construyeron tres puertos, a los que llegaban barcos de todos los

países.

El templo de Poseidón y Clito y el palacio de los reyes estaban en el centro de la isla, en la

acrópolis. El templo, que estaba rodeado por un muro de oro, era rectangular, de razón 1:2, de un

estadio de largo y tres pletros de ancho; del palacio no se dan dimensiones, sólo se dice que “era

proporcional a la magnitud del imperio y a la riqueza de los ornamentos del santuario”. (117a) La

figura siguiente muestra de manera aproximada lo descrito en líneas anteriores.

FIG. 35

El resto del país tenía también una conformación extraña: es un territorio plano, oblongo y

rodeado de montañas. Sus medidas estaban en proporción 3:2 (tres mil estadios en el lado mayor

y dos mil en el menor). Todo el territorio estaba circundado (menos por el lado del océano) por

un canal de un estadio de ancho y un pletro de profundidad. La planicie entera estaba regada por

treinta canales paralelos, pero también existían canales oblicuos que tenían a la ciudad como

punto de convergencia. Todo el territorio se encontraba dividido en sesenta mil “distritos” de diez

por diez estadios.

Toda esta disposición espacial nos conduce a conclusiones de interés para una teoría musical.

Entre ellas podemos señalar, en primer lugar, que, a diferencia de la Antigua Atenas, donde

Hefesto y Atenea fueron generados directamente por Zeus, aquí interviene el principio femenino,

el número 2: Clito, que además era mortal. Esto, por un lado, permite generar más tonos (más

divisiones de la escala) pero, por otro, ya no se tiene control sobre esa generación. La isla central

contiene lo necesario para las razones contenidas en el número perfecto, el 6: el templo

proporciona los dos primeros enteros, 1 y 2; el diámetro de la isla es cinco estadios, es decir,

3000 pies; aquí están contenidos el tres y el cinco. El templo de Poseidón tiene la proporción de

la octava en la forma 300:600, cien veces la razón 3:6, que abarca las razones expresadas en la

alegoría del matrimonio 3:4:5:6. Ya se ha visto anteriormente de qué manera con el 2 y el 3 se

obtienen la octava, la quinta y la cuarta; también se vio más tarde que con la introducción del

cinco se tiene la posibilidad de dividir el intervalo de quinta en terceras mayores y menores (4:5 y

5:6). Es decir, con la presencia del cinco se llega a la escala cromática de doce tonos, aunque

desigualmente espaciados, y finalmente se obtiene el sistema de afinación justa.

La tercera ciudad platónica es Magnesia, de la cual se hace la descripción en las Leyes. Esta

ciudad se encuentra en el centro del país y algunos de sus aspectos son los siguientes:

El legislador debe dividir el país en 12 secciones. Pero antes debe reservar un área sagrada para Hestia, Zeus y Atenea (la que se llamará Acrópolis), y definir sus límites. Entonces dividirá la ciudad misma y el país entero en doce secciones por líneas radiantes que parten del punto central. Las doce secciones deben ser iguales en el sentido de que una sección debe ser más pequeña, si el suelo es bueno, o más grande si es pobre. El legislador debe entonces marcar cinco mil cuarenta porciones y después dividir cada una en dos partes; debe entonces hacer que una posesión individual consista en dos partes acopladas de modo que una esté cerca del centro, y la otra cercana a la frontera [...] debe dividir la ciudad en doce secciones de la misma manera como dividió el resto del país; y cada hombre debe tener dos casas, una cerca del centro de la ciudad, otra cerca del límite.93

El mapa de la ciudad de Magnesia y el mapa completo del “país” tendrían un aspecto similar al

que aparece en la figura a continuación: (la separación entre las franjas de tierra y de agua no es

proporcional; no hay, por otro lado, indicaciones sobre la orientación de los canales paralelos).

FIG. 36

Sin embargo, la aritmética pitagórica, que usa solamente números enteros y fracciones racionales,

no puede llegar a un mapa de estas características. Es fácil deducir de esta descripción, que las

líneas radiales definen doce semitonos cromáticos de igual temperamento; la octava se divide en

doce partes iguales, y cada una de ellas es el semitono, definido por el irracional 12√2. No sólo en

Magnesia, sino en todas las ciudades de Platón, los ciudadanos se representan por números

enteros, por lo que, si como dice Platón, el territorio debe dividirse “tan exactamente como sea

posible en doce secciones iguales”,94 el problema es ver qué tan cerca se puede lograr eso con

números racionales. Un intento de solución está en la presencia de un número que Platón

menciona repetidas veces: el número de propietarios, que debe mantenerse exactamente en 5 040.

Este número muestra precisamente la introducción del número siete, ése que se considera como

“padre de ciudadanos de la tercera mayor clase” y que produce los intervalos de séptima (6:7 y

7:8), que son los que subdividen el intervalo de cuarta, ya que 6/7(7/8)=3/4. (Otra vez,

93 Platón, Leyes 745.94 Ibid., 760.

recordemos que los números son logarítmicos, por lo cual la suma se realiza multiplicando las

fracciones que expresan los intervalos). El número 5 040 es el producto de los siete primeros

números, 1·2·3·4·5·6·7, o, dicho en términos aritméticos, factorial de 7 (7!); también es igual

24·32·5·7.

Aunque exista una mayor aproximación, Platón desconfía de la introducción tanto del cinco

como del siete. Ya hemos visto que sólo con el tres produce hijos sin variación, ya que es la

media aritmética entre la divina unidad y el dos, círculo sin división; es decir, es el hijo del 1 y el

2; este número tres tiene un hermano gemelo, que es la media complementaria de la aritmética, o

sea, la armónica.95 Cualquier otra división de la octava, por ejemplo, las que introducen el cinco o

el siete, hacen la paternidad incierta.

Habría dos aspectos más que señalar en este sentido, y son, en primer lugar, lo que dice Platón en

uno de los pasajes más oscuros de la República sobre las armonías que provienen del nacimiento

humano. Dice:

Para un nacimiento divino hay un período comprendido por un número perfecto; para un nacimiento humano, el número más pequeño en el cual ciertas multiplicaciones dominadoras y dominadas progresan en tres intervalos y cuatro términos, y llegan finalmente, por la vía de la semejanza o desemejanza, crecimiento o decrecimiento, a establecer entre todas las partes del conjunto una correspondencia racional expresable. Su base epitrita acoplada con el número cinco, si se multiplica tres veces, produce dos armonías. Una está hecha de un número igualmente igual, tomado cien veces, mientras que la otra está hecha en parte de factores iguales, en parte de factores desiguales, a saber de cien cuadrados de diagonales racionales de cinco, cada una disminuida por uno, o de cien cuadrados de diagonales de las diagonales irracionales, disminuidos por dos, y de cien cubos de tres. (546 b-c)

El número perfecto que interviene en el nacimiento divino es el primero de la serie de tales

números, que son perfectos porque son iguales a la suma de sus factores; en este caso se trata del

6 (=1+2+3); las razones de los seis primeros números naturales, como ya se estableció, definen

los tonos del modo dorio, uno de los dos modos admitidos por Platón. Cuando habla del

nacimiento humano, se refiere a una progresión geométrica, en la cual los “tres intervalos y

cuatro términos” son expresión de la serie x0:x1:x2:x3; en otras palabras, de la progresión

punto-línea-plano-sólido. Estos números producen tonos que pueden ser “semejantes o

desemejantes” por su función recíproca como múltiplos o submúltiplos, y crecen o decrecen

como tonos que suben o bajan.

La “base epitrita” antes mencionada podría ser 2:3 o 3:4; al estar acoplada con el cinco, indica

que se tiene que optar por la segunda posibilidad, de manera que se obtiene la serie 3:4:5. El

95 Si se evitan las fracciones, la octava 1:2 se convierte en 6:12, por lo que la media aritmética es 9, y la armónica es el 8. Con esto tenemos la proporción musical 6:8::9:12.

producto de estos tres números es 60. Al multiplicarla tres veces por sí misma, llegamos al

número soberano de Sócrates, 12 960 000 (60·60·60·60=604). Este número “produce dos

armonías” o, en otras palabras, se puede factorizar de dos maneras diferentes. Una es igual a un

número igual de veces, es decir, se trata de la multiplicación de un número por sí mismo, de un

cuadrado; la segunda es un oblongo. El número 604 es igual a 602·602, o sea, 3600·3600. Ésta es

la primera armonía. La segunda, oblonga, tiene como factores, en primer lugar, “cien cubos de

tres”, es decir, 100·27=2700. El segundo es “cien cuadrados de diagonales racionales de cinco

menos uno”. Esta oscura frase se refiere a la diagonal de un cuadrado de lado 5, que sería √50, el

cual es un número irracional. La diagonal racional sería √49 (=7), cuyo cuadrado menos uno es

48 (igual al cuadrado de la diagonal irracional, √50, menos dos). El oblongo, por tanto, tiene

como lados 4800 y 2700, cuyo producto, otra vez, es el número soberano de Sócrates.

Es importante aquí destacar, de estos números, el 27, cubo de tres, generador de los siete tonos

que constituyen el modo dorio, como se ha visto anteriormente:

30 31 32 33

ascendente La Mi Si Fa

descendente La Re Sol Do

El segundo aspecto es el hecho de que, también en la República, Sócrates menciona cinco tipos

de gobierno: el real, el timocrático, el oligárquico, el democrático y el tiránico. Con este artificio,

Platón va a producir una aproximación a la división de la octava en proporción geométrica, es

decir, en dos partes iguales, división que realmente cae en √2. En este diálogo, Sócrates pide a

Glaucón que le diga cuál es el gobernante más feliz y cuál es el orden creciente de grados de

infelicidad. La respuesta de Glaucón es que el rey es el más feliz y el tirano el más infeliz,

siguiendo el mismo orden en que le fueron presentados; desde esta perspectiva, al tirano le

correspondería en nivel cinco de infelicidad. Pero Sócrates dice que “el tirano está alejado del

verdadero placer por un número que es tres veces tres”. La explicación es la siguiente: “el

fantasma del placer con el cual cohabita el tirano está tres veces más alejado de la verdad que el

fantasma del placer del que huye el hombre oligárquico [...] A su vez, el oligarca está en un tercer

grado respecto del hombre real”. (República 587) La distancia total será 9, el producto de las dos

distancias parciales.

Sócrates pide, al decir esto, que interpretemos los números como lineales y como planos, de

manera que, si al rey le corresponde el uno, al timócrata le corresponderá el 2, al oligarca el 3

(que ahora ya no es lineal sino plano, 3·1), al demócrata el 6 (3·2) y al tirano el 9 (3·3), porque “el

fantasma del placer del tirano, considerado según su longitud, puede ser expresado por un

número plano”. Finalmente, dice Platón: “y si se quiere saber a qué distancia está el rey del tirano

en cuanto a la realidad del placer, se encontrará, hecha la multiplicación, que el rey es 729 veces

más feliz, y que el tirano es más infeliz en la misma proporción”. Esto significa que, si el

fantasma del placer del tirano es un número plano, la realidad del placer, que es 729, es un

número sólido, equivalente a 93. Si entendemos el número 9 como expresión del tono completo

(9:8), el cubo de este intervalo, considerado como fracción, es (9/8)3=1.4238, una aproximación

bastante aceptable a √2=1.4142, punto medio geométrico del intervalo de octava.

Hay muchos más indicios de que el juego numérico introducido por Platón en sus diálogos no es

un capricho o una broma sólo para iniciados. No es posible aquí, entre otras razones por falta de

competencia, seguir el complejo desarrollo, pero lo que sí puede asegurarse es que, tanto en la

República como en las Leyes, está expresada una lección y es la siguiente: que el estudio de la

música lleva también al conocimiento de la sociedad humana y, por tanto, a su regulación. Una

teoría de la armonía que pretenda ser general, tiene que ser capaz de resolver los conflictos entre

sistemas irreconciliables –sea del sol y los planetas, de intervalos de octava e intervalos de quinta,

o de los miembros de una res publica. Esta armonización es de importancia vital para que el caos

sea derrotado. Así, pues, “lo que el demiurgo ha mostrado como posible en los cielos, lo que los

músicos muestran como posible en los tonos, el filósofo debe empeñarse en hacer posible en la

vida política”.96

El demiurgo construyó el universo a imagen del sistema musical, y para ello impuso sobre el caos

original los intervalos que provienen de los cuatro números de la tetractys. Pero, aunque el Timeo

parece tener como finalidad la explicación del cosmos, tal vez debíamos pensar, junto con

Rivaud,97 que “es el hombre lo que queda en el centro de los estudios de Platón; todas las

ciencias, incluso las más abstractas, se subordinan a la ciencia del hombre”. En este sentido, la

noción de proporción opera plenamente no sólo en la música, no sólo en la astronomía, sino que

se extiende a la política y a la moral.

96 A. Rivaud, op. cit.,, p., 14.97 Ibid, op. cit., p. 11.

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