Multimedia Pendidikan MatematikaEris Risnawati _ 0807543

SUKU BANYAKMateri SMA Kelas XI Semester Genap

SK & KD

Standar Kompetensi:4. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah

Kompetensi Dasar:4.1 Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan algoritma suku banyak2. Siswa dapat menentukan nilai suku banyak 3. Siswa dapat menentukan derajat sukubanyak hasil

bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian

Peta KonsepSuku Banyak

Algoritma Pembagian Suku Banyak

Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Pengertian dan nilai

Suku Banyak

Hasil Bagi dan Sisa

pembagian Suku banyak

Derajat Suku Banyak pada Hasil Bagi dan

Sisa Pembagian

Penggunaan Teorema

Sisa

Penggunaan Teorema

Faktor

Akar-akar Rasional dari Persamaan Suku

Banyak

Menentukan Akar

Rasional

Sifat-sifat Akar

Persamaan Suku

Banyak

Pengertian Suku BanyakContoh:6x3 – 3x2 + 4x – 8suku banyak berderajat 3, dengan koefisien x3 adalah 6, koefisien x2 adalah –3, koefisien x adalah 4, dan suku tetapnya –8.

3x6 – x3 +110xsuku banyak berderajat 6, dengan koefisien x6 adalah 3, koefisien x5 adalah 0, koefisien x4 adalah 0, koefisien x3 adalah –1, koefisien x adalah 110.

Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan:

Dengan syarat: n ∈ bilangan cacah dan an, an-1, … , a0 disebut koefisien-koefisien suku banyak, a0

disebut suku tetap dan an ≠ 0.

anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0

Nilai Suku Banyak

Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut:1. Cara Substitusi2. Cara Horner/bangun/skema/sintetik

Cara SubstitusiDiketahui, suku banyak P(x) = 3x4 – 2x2 + 5x – 6 maka • untuk x = 1, diperoleh P(1) = 3(1)4 – 2(1)2 + 5(1) – 6 = 0• untuk x = –1, diperoleh P(–1) = –10• untuk x = 0, diperoleh = –6• untuk x + 2 = 0 atau x = –2, diperoleh P(–2) = 24• untuk x – 2 = 0 atau x = 2, diperoleh P(2) = 44

Dari uraian di atas dapat di simpulkan bahwa, rumus menentukan nilai suku banyak dengan cara substitusi adalah:

Nilai suku banyak P(x) = anxn+an-1xn-1+an-2xn-

2+...+a2x2+a1x+a0 , untuk x = k di mana k suatu bilangan real adalah:P(k) = ankn+an-1kn-1+an-2kn-2+…+a2k2+a1k+a0

Cara Horner/bangun/skema/sintetik

Diketahui, P(x) = 3x4 + 2x2 – 5x + 6Akan dihitung P(2).

P(x) dapat pula disusun sebagai berikut. P(x) = 3x4 + 2x2 – 5x + 6

= 3x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 6= (3x3 + 0x2 + 2x – 5) x + 6= [(3x2 + 0x + 2) x – 5] x + 6= [[(3x + 0 )x + 2] x – 5] x + 6

P(2) dapat dicari dengan langkah sebagai berikut:

1. Kalikan 2 dengan 3 dan tambahkan 0 maka didapat 6

2. Kalikan 2 dengan 6 dan tambahkan 2 maka didapat 14

3. Kalikan 2 dengan 14 dan tambahkan (-5) maka didapat 23

4. Kalikan 2 dengan 23 dan tambahkan 6 maka didapat 52

23 0 2

+

-5 6

3

3(2) 6(2) 23(2)14(2)

6 2314 52 P(2)

Jadi, nilai P(2) untuk persamaan P(x) = 3x4 + 2x2 – 5x + 6adalah 52

Secara umum, perhitungan nilai suku banyakah3 + bh2 + ch + d = (ah2 + bh + c)h + d

= [(ah +b)h + c]h + d

untuk x = h menggunakan cara skema, diperlihatkan pada

d+

ha

a

bah

ah+b

ch(ah+b)

h(ah+b)+c

h(h(ah+b)+c)

h(h(ah+b)+c)+d

Tanda panah pada skema berarti mengalikan dengan h, kemudian dijumlahkan dengan koefisien yang berada di atasnya

Contoh Soal

1. Tentukan derajat, koefisien-koefisien, dan suku tetap dari setiap suku banyak berikut ini. a. x4 + 5x2 – 4x + 3 b. 3x5 – 5x3 – x2

c. x(1 – x)(1 + x)2. Hitunglah nilai f(x) = 2x4 – 4x3 + 4x – 2 untuk

x = –6d. Dengan cara substitusie. Dengan cara skema

Jawaban No. 1 Jawaban No. 2

Jawaban No. 1

a. x4 + 5x2 – 4x + 3suku banyak berderajat 4, dengan koefisien x4

adalah 1, koefisien x3 adalah 0, koefisien x2 adalah 5, koefisien x adalah (-4), dan suku tetapnya 3.

b. 3x5 – 5x3 – x2

suku banyak berderajat 5, dengan koefisien x5

adalah 3, koefisien x4 adalah 0, koefisien x3 adalah (-5), koefisien x2 adalah (-1), koefisien x adalah 0 dan suku tetapnya 0.

Lanjutan jawaban no.1c. x(1 – x)(1 + x)

x(1 – x)(1 + x) = (x – x2)(1 + x) = x + x2 – x2 – x3

= x – x3

suku banyak berderajat 3, dengan koefisien x3

adalah (-1), koefisien x2 adalah 0, koefisien x adalah 1 dan suku tetapnya 0.

Jawaban No. 2 a. Cara Substitusi

f(x) = 2x4 – 4x3 + 4x – 2f(-6) = 2(-6)4 – 4(-6)3 + 4(-6) – 2

= 2592 + 864 – 24 – 2= 3430

Jadi, f(2) = 3430

b. Cara Skema f(x) = 2x4 – 4x3 + 4x – 2

-62

2

-42(-6)

0(-16)(-6)

96

4+

-2

-16

96(-6)

-572

(-572)(-6)

3430

Jadi, f(2) = 3430

Derajat Suku Banyak pada Hasil Bagi dan Sisa Pembagian

1. Cara Susun

Pembagian suku banyak f(x) = (ax3 + bx2 + cx + d) dengan (x – h) dengan cara pembagian bersusun berikut ini.

ax2 + (ah+b)x + (ah2+bh +c) Hasil

x – h ax3 + bx2 + cx + d

ax3 -ahx2

(ah + b) x2 + cx

(ah + b) x2 _ (ah2+bh)x

(ah2+bh +c)x + d

(ah2+bh +c)x – (ah3+bh2 +ch)

ah3+bh2 +ch +d sisa

Dari perhitungan tersebut diperoleh ax2 + (ah+b)x + (ah2+bh +c) sebagai hasil bagi. Maka, dapat diketahui dari ax3 + bx2 + cx + d dibagi oleh (x – h) hasil baginya berderajat 2. Selain itu, dari perhitungan di atas diperoleh ah3+bh2 +ch +d sebagai sisa pembagian.

2. Cara Horner

Perhatikanlah penentuan nilai suku banyak dengan cara Horner berikut ini.

ha

a

bah

ah+b

ch(ah+b)

h(ah+b)+c

h(h(ah+b)+c)

h(h(ah+b)+c)+d+

d

Jika kita bandingkan hasil di atas dengan pembagian cara susun, maka diperoleh hasil sebagai berikut.a. ah3+bh2 +ch +d merupakan hasil bagi.b. a, ah + b, dan ah2+bh +c merupakan koefisien

hasil bagi berderajat 2.

Dengan demikian, menentukan nilai suku banyak dengan cara Horner dapat juga digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dengan pembagi (x – h).

Berdasarkan uraian yang telah kita pelajari maka dapat ditarik kesimpulan sebagaiberikut.

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh fungsi berderajat satu akan menghasilkan hasil bagi berderajat (n – 1) dan sisa pembagian berbentuk konstanta.

Contoh SoalTentukanlah derajat dari hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak 2x3 + 4x2 – 18 dibagi x – 3.a. Dengan cara susunb. Dengan cara Horner

Jawaban

Jawabana. Dengan cara susun 2x2 + 10x + 30X-3 2x3 + 4x2 + 0x -18 2x3 – 6x2

10x2 + 0x – 1810x2 – 30x

30x – 18

30x – 90

72

b. Dengan cara Horner

32

2

4610

0

30

90

72

-18

30

Dari kedua penyelesaian diatas diperoleh 2x2 + 10x + 30sebagai hasil bagi berderajat 2 dan 72 sebagai sisa pembagian.

Terima Kasih