MULTI-REGRESIJSKI FENOMENOLOKI MODELI

Ljubljana 2010

Fenomenoloki model kot rezultat multiregresijske analize predstavlja obliko zakona, ki velja za realni sistem pri irokem razponu vplivnih parametrov, zaradi esar odpadejo nadaljni sistematini eksperimenti. Pri tem je kljunega pomena teorija podobnosti, ki temelji na dimenzijski analizi.

procesX1X2X3X4

Y1Y2Y3

MULTI-REGRESIJSKI FENOMENOLOKI MODELI

1.1. Dimenzijska analiza

Z uporabo dimenzijske analize na posameznem fizikalnem pojavu dobimo sistem linearnih veliinskih enab, kjer so podana razmerja med posameznimi fizikalnimi veliinami. Pri tem je potrebno upotevati dimenzijsko homogenost leva in desna stran enab morata imeti isto dimenzijo. Osnovo dimenzijske analize skupaj z dimenzijsko homogenostjo predstavlja Buckinghamov -teorem.

f(xk) = 0, k = 1 ,, 2, ..., n (m) = 0, m = 1,2, ..., n r

kjer so brezdimenzijska tevila m funkcije fizikalnih veliin xk.

Z uporabo -teorema doseemo, da se zmanja tevilo spremenljivk v sistemuveliinskih enab, poleg tega pa uvedba brezdimenzijskih tevil povzroineodvisnost od merskega sistema, s imer hkrati zagotovi tudi pogoj dimenzijskehomogenosti

Multiregresijska analiza

Cilj multiregresijske analize je popisati odnos med eno odvisno spremenljivko in skupino neodvisnih oz. regresijskih spremenljivk do najbolje mone stopnje. Pomembno vejo multiregresijske analize predstavlja linearna multiregresija oz. postavitev linearnega fenomenolokega modela:

Y =(1, 2, ..., m) = 0 + 11 + ... + mm

najpogosteje uporabljen potenni zakon oblike

mmaY = ...21 21

Potenni zakon je pri modelih uporaben predvsem v primerih, ko ne poznamovpliva nobene od regresijskih spremenljivk, e posebno v primeru, ko se odvisnaspremenljivka znotraj opazovanega diapazona regresijskih spremenljivkspreminja zvezno brez velikih skokov

Multiregresijska analiza

=

+=n

jjjY

10 loglog

Linearizacija s pomojo logaritmiranja

Z upotevanjem negotovosti se model, spremeni v:

++= =

m

jjjY

10 log kjer je len, ki zajema pogreek

Z vekratnim opazovanjem (meritvami) fizikalnega procesa je mogoe dobiticenilke modela, predstavljenega z enabo. Pri tem se uporabljajo razlinipristopi oz. metode, med katerimi je zelo rezirjena metoda najmanjihkvadratov

Multiregresijska analiza

Rezultat metode so zelo uinkovite nepristranske cenilke regresijskih koeficientov pod pogojem, da so nakljuni pogreki v enabi medsebojno niso skoreliraniodnosno odvisni. Z oznaitvijo p meritev odvisne spremenljivke Y z y1, y2, ..., yp in p meritev j-te neodvisne spremenljivke j z 1j, 2j, ..., pj , dobimo naslednji matriki:

log log 1

log log 1

~ ,~

1

111

=

=

pmp

m

py

yy

K

MOMM

L

M

Cenilke koeficientov modela v enabi, ki minimizirajo preostanek vsote kvadratov, tako predstavljajo reitev sistema normaliziranih enab oblike:

yt ~~~~ =

Multiregresijska analiza

=

=m

jj

jeY1

0

),...,,( 10 mj =kjer so nepristranske cenilke koeficientov podane z:

Ocena odvisne spremenljivke je potem doloena z enabo:

In predstavljajo reitev sistema linearnih enab.

Testiranje hipoteze

Sistem enab praviloma vsebuje ve enab kot je v njih neznank. tevilo enabnamre doloajo meritve oz. tevilo opazovanj posameznega fizikalnega procesapri spreminjanju vrednosti ene ali ve neodvisnih spremenljivk. Zaradipredoloenosti sistemov enab reitve modelov predstavljajo priblike dejanskihvrednosti koeficientov, ki jih dobimo z obiajnim numerinim reevanjem tehsistemov. Z vstavljanjem izraunanih vrednosti koeficientov v uporabljen model dobimo izraunane vrednosti odvisne spremenljivke, ki bolj ali manj odstopajo oddejanskih oz. izmerjenih vrednosti.

Test hi-kvadrat predstavlja eno izmed najire uporabljanih meril signifikantnosti, na osnovi katere se preko eksperimentalnih rezultatov sprejema oz. zavraahipotezo, s katero elimo popisati fizikalen proces oz. porazdelitveno funkcijoodvisne spremenljivke. Uporabna je praktino pri vsakem eksperimentu, kjer so posamezne meritve neodvisne druga od druge

Testiranje hipoteze

V primeru testiranja hipoteze, ki je rezultat multiregresijske analize, dobi enabatestiranja hipoteze sledeo obliko

( )=

=

N

i iizm

iizmiizr

YYY

1 ,

2,,2

kjer je N tevilo obratovalnih dogodkov, Yizr predstavlja izraunano vrednost odvisne spremenljivke Y , dobljeno iz modela, Yizm pa je izmerjena vrednost Y, dobljena iz meritev oz. eksperimenta.Iz enabe je razvidno, da se z blianjem izmerjenih vrednosti priakovanimvrednostim vsota 2 manja.

Proizvodni proceskamene volne

OPIS DELOVANJA STROJA - centrifuge

Kolo 1

Curek taline

Filmtalinena kolesih

Razprenovezivo naobah

Razvlaknjenje kamene volne na rotirajoih diskih centrifuge je tipien predstavnik multiparametrinega nelinearnega procesa, z zapletenimi mehanizmi, ki povezujejo snovne, termodinamskein dinamske lastnosti, ki se jih ne da uspeno modelirati z analitinimi ali numerinimi pristopi.Znailno za ta proces je tudi nepoznavanje kvalitativnih znailnosti procesa, kar vodi v sploen pristop k analizi in oceni pomembnosti posameznih spremenljivk procesa na osnovi rezultatov multiregresijske analize

DIMENZIJSKA ANALIZA NA DVOKOLESNI CENTRIFUGI

VPLIVNI PARAMETRI RAZVLAKNJENJA

gostota taline: ; viskoznost taline: ; povrinska napetost: temperatura taline T polmer valja: R [m]; irina filma taline na valju: B ; krona frekvenca valja: pretok taline: qV volumski pretok odsesa qVG. poloaj natoka taline

RAZVLAKNJEVANJE

V primeru nezadostnega poznavanja procesa se pristopi k oblikovanju mnoice monih vplivnih spremenljivk procesa

DIMENZIJSKA ANALIZA PROCESA NASTAJANJA VLAKEN

Ciljna funkcija regresijskega modela je doloitev premeravlaken kamene volne dv v odvisnosti od vplivnih parametrovprocesa.

Na podlagi dimenzijske analize lahko poiemokarakteristina dimenzijska tevila:

Iz analogije atomizacije kapljevine poznamo karakteristinatevila:

1 2 32 3 2 2; ; .Vq

R R BR

= = =

Brezdimenzijska tevila imajo obiajno fizikalno razlago, kot je naprimer : razmerje med viskoznimi in vstrajnostnimi silami ali pa razmerje med silami povrinske napetosti in vstrajnostnimisilami

DIMENZIJSKA ANALIZA

karakteristino tevilo vrtljajev *:

karakteristino tevilo pretoka qV*:

karakteristino viskozno tevilo Z

3/2

2

1* R = =

3

2

* VVqqB R

= =

RZ

2

2

2

1 ==

Mone so tudi razline kombinacije posameznih tevil, ki najvekrat temeljijo na analogijah iz podobnih procesov in so podprte z ustreznimi referencami

tevilo poloaja curka

razmerje masnih tokov

vpliv temperature

7 =

1 ,mmG G

qLuq

= +

* ,GT TTTT T

= =

DIMENZIJSKA ANALIZAPrav tako lahko s preprostimi razmerji oblikujemo brez dimenzijska tevila, odnosno so ta e sama po sebi brez dimenzijska

EKSPERIMENT

Eksperiment je bil opravljen na dvokolesni centrifugi, v realnemindustrijskem okolju.

Odvzeli smo vzorec taline in volne za laboratorijske preiskave Spreminjali in merili smo vrtilno frekvenco koles Merili smo zrani tok zraka ob centrifugi Masni tok taline smo raunali na podlagi izmerjenega preseka

curka in njegove viine padanja oziroma njegove hitrosti na kolo Temperaturo taline smo merili z optinim pirometrom Zasledovali smo poloaj natoka taline na prvo rotirajoe kolo Zasledovali smo okolico (temp., bar. tlak, rel. vlanost ) Merjene so bile debeline nastalih vlaken Odvzeti so bili vzorci taline in analizirana je bila kemijska setava,

gostota, viskoznost ter izraunana povrinska napetost

FENOMENOLOKI MODEL DEBELINE VLAKEN

Na osnovi: izmerjenih debelin reprezentativnih vzorcev vlaken, izmerjenih vplivnih parametrov procesa preraunanih brezdimenzijskih tevil je bila doloena multiregresijska odvisnost:

3 5 6 71 2 40 1 2 3 4 5 6 7 ,

a a a aa a aVd a=

a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

vrednosti 16023.3 0.0372 -0.6257 -0.1524 -0.0493 18.322 0.0821 -0.0461

verjetnost > |t| 0.6529 0.9077 0.0814 0.4522 0.7694 0.0762 0.5811 0.2019

OKRNJENI POENOSTAVLJENI FENOMENOLOKI MODEL

Primarni vpliv:

karakteristino tevilo vrtljajev koles, temperatura in poloaj natoka

taline. 5 72

0 2 5 7a aa

Vd a=

a0 a2 a5 a7

vrednosti 19628.5 -0.5477 19.3557 -0.0489

verjetnost >|t| 0.6005 9.8E-10 0.0352 0.0912

REZULTATI MODELA

Primerjava eksperimentalno izmerjenih debelin vlaken z napovedanimi vrednostmi

4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.54.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0r23-param=0.855

r27-param=0.873

7-parametrini model 3-parametrini model izmerki

debe

lina

vlak

en

m

debelina vlaken m

REZULTATI MODELA

Primerjava eksperimentalno izmerjenih debelin vlaken z napovedanimivrednostmi regresijskega modela s 95% mejami negotovosti fitanja

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

r27-param=0.873

debe

lina

vlak

en

m

tevilka preizkusa N

95 % meje negotovosti fitanja 7-parametrini model izmerki

DIMENZIJSKA ANALIZA NA TIRI KOLESNI CENTRIFUGI

V kolikor upotevamo ugotovitve na podlagi dvokolesne centrifuge, lahko zapiemo naslednja karakteristina tevila

Karakteristina t. vrtljajev koles: 1a , 1b , 1c , 1d

Karakteristina t. pretoka taline: 3a , 3b , 3c , 3d

Karakteristina viskozna t.: 4a , 4b , 4c , 4d

Karakteristini t. temperatur: 5a , 5b

Karakteristino t. razmerja pretokov: 6a , 6b

Karakteristino t. poloaja curka: 7

Karakteristino t. toplotnih tokov: 8a , 8b , 8c , 8d

DIMENZIJSKA ANALIZA NA TIRI KOLESNI CENTRIFUGI

Penostavljen zapis ciljne funkcije za doloitev debeline vlaken na

tirikolesni centrifugi je lahko

3 3 3 31 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4

31 2 1 2 1 2 4

0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4

5 5 6 6 7 8 8 8 8 ,

a b c da a a b b b c c c d d dV a b c d a b c d a b c d a b c d

he e f f h h hga b a b a b c d

d a=

EKSPERIMENTALNI REZULTATI

Opis eksperimenta

Premeri tirih koles so bili naslednji: D1=180 mm, D2=250 mm, D3=360 mm, D4=360 mm

Najveje t. vrtljavev na posameznih kolesih je bilo: n1max=3890 min-1, n2max=5638 min-1, n3max=6766 min-1, n4max=6766 min-1

Eksperiment smo ponovili 18-krat

Veliine: masni pretok taline qm, temperatura taline T, kot natoka, temperatura hladilne vode, viskoznost taline v cm, kemina sestavataline in atmosferski pogoji so bile merjene in so vplivali na eksperiment, vendar niso bile nastavljive.

EKSPERIMENTALNI REZULTATI

V laboratoriju smo izmerili debelino vlaken od 4,27 m do 7,36 m

Vlakna kamene volne pod mikroskopom

STATISTINA ANALIZA DOBLJENIH REZULTATOV

Na podlagi regresijske analize smo dobili model, ki upoteva signifikantnost naslednjih brezdimenzijskih tevil

3 31 2 2 1 2 1 2 1 2 40 1 1 1 3 5 5 6 6 8 8 8 8

a ha a c e e f f h h hV a b c b a b a b a b c dd a=

1a , 1b , 1c....vpliv tevila vrtljajev

3b...vpliv pretoka taline

5a, 5b...vpliv razmerja temperatur

6a, 6b...vpliv razmerja pretokov zraka in taline

8a, 8b 8c 8d...vpliv razmerja toplotnih tokov odpiha ter odsesa zraka, vezivain hladilne vode glede na talino

STATISTINA ANALIZA DOBLJENIH REZULTATOV

Na podlagi regresijske analize smo dobili signifikantnost naslednjih pomebnih brezdimenzijskih tevil in vrednosti njihovih koeficientov, ki so zbrani v preglednici

Variable Koeficienti t-test Signifikantnos Rang pomembnosti

a0 10131,87 1,02 0,35

1a 18,91 2,55 0,05 II.

1b -18,99 -2,39 0,06 III.

1c -3,63 -3,17 0,02 I.

3b 32,62 1,00 0,36 X.

5a -2,20 -1,19 0,29 IX.

5b 6,77 1,91 0,11 VI.

6a 128,43 1,79 0,13 VIII.

6b -147,18 -2,04 0,10 V.

8a 0,40 0,35 0,74 XII.

8b -0,61 -0,98 0,37 XI.

8c -2,61 -2,03 0,10 IV.

8d -15,51 -1,86 0,12 VII.

STATISTINA ANALIZA DOBLJENIH REZULTATOV

Dobro ujemanje med regresijskim modelom in izmerki debelin vlaken kamene volne dokazuje tudi visoka stopnja statistike r2

4 5 6 7 8 9 104

5

6

7

8

9

10

r212-param=0,88

izmerki modelde

belin

a vl

aken

m

debelina vlaken m

STATISTINA ANALIZA DOBLJENIH REZULTATOV

Primerjava med izraunanimi in izmerjenimi debelinami vlaken

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 203,03,54,04,55,05,56,06,57,07,58,08,59,09,5

10,010,511,0

r212-param=0,88

Prem

er v

lake

n

(

m)

tevilka eksperimenta N

95 % meje negotovosti model izmerki

Eksperimentalno modeliranje na osnovi predlaganega modela odvisnosti med

spremenljivkami procesa

Ljubljana 2010

Modeliranje kavitacijskega vrtinca v sesalni cevi Francisove turbine

Kavitacijski vrtinec se pogosto pojavi na Francisovih turbinah, ko te obratujejo izven optimalnega obmoja. Vrtinec ne povzroa erozije, pa pa pogosto generiraintenzivne nizkofrekvenne tlane pulzacije, pulzacije moi na gredi turbine (nihanje moi), poveuje hidrodinamski upor in spreminja hidrodinamske pogoje. Obratovanje Francisovih turbin je zaradi poveanih vibracij e posebej problematino pri polovini moi.

KAVITACIJA

Izvedena je bila analiza strukturne dinamike kavitacijskega vrtinca in pulzacije statinega tlaka na stenah sesalne cevi modela Francisove turbine.

Medsebojna odvisnost strukturne dinamike vrtinca in tlanih pulzacijtemelji na strukturirani in eksperimentalno parametrizirani diferencialni enabi.

KAVITACIJA

Simultano zajemanje tlanega in vizualizacijskega signala pri znanih integralnih karakteristikah (,).

CCD camera

pressuresensor

turbine

drafttube

cavitated vortex core

image anddata

acquisition

signalconditioning

window

Analiza slik in tlanih signalov

Zajem tlanegasignala

CCD kamera

Kavitacijskivrtinec

Modelturbine

Aktivnookno

Tlanipretvornik

Sesalna cev

KAVITACIJA

Analiza dinamike kavitacijskega vrtinca temelji na fluktuaciji skalarne spremenljivke A(t) - sivine digitalizirane slike v izbranem oknu S.

{ }255.....2,1,0),(),()(300

1

150

1==

= =

mlEmlEtAl m

wtA )(

w je dele parne faze v opazovanem oknu

E(l,m) je celotevilna vrednost sivine v opazovani toki (l,m)

KAVITACIJA

Iskanje povezave med izmerjenimi tlanimi oscilacijami v sesalni cevi turbine in posneto dinamiko kavitacijskega vrtinca je temeljilo na strukturno podobni diferencialni enabi, kot jo je oblikoval Faneli leta 1999.

3 2 1 0 '1Ya Y a Y a a p

Y+ + + =

+&& &

AA

wwY

,,= '

_AAA +=

pri emer so parametri a0 , a1 , a2 in a3 nepoznane vrednosti, ki so doloene z metodo najmanjih kvadratov in se z obratovalnimi parametri turbine (,) spreminjajo.

KAVITACIJA

Rezultati fenomenolokega modela so podani v obliki tlanih pulzacij, ki so izraunane z modelom.

0 2 4-200-180-160-140-120-100-80-60-40-20

020406080

100120140160180200

measured

model (r2=0,67)

Pres

sure

m

bar

Time s

0 2 4-200-180-160-140-120-100-80-60-40-20

020406080

100120140160180200

measured

model (r2=0,94)

Pres

sure

m

bar

Time s

Rezultati tudije potrjujejo vzrono odvisnost med strukturnimi fluktuacijamikavitacijskega vrtinca in tlanimi fluktuacijami v sesalni cevi Francisove turbine.Rezultati podpirajo Fanellijeve ugotovitve o nelinearni naravi kavitacijskegavrtinca.

Modeliranje na osnovi statistinih analiz obstojeih tehninih konstrukcijskih

reitev

Ljubljana 2010

Optimizacija energetskih in geometrijskih parametrov na podroju vodnih turbin

Na razpolago so razlini statistini rezultati obstojeih turbinskih agregatov. Podatki so najvekrat zbrani v obliki grafinih datotek, diagramov in obratovalnih parametrov v podroju optimalnega izkoristka.Podatli predstavljjo polje vrednosti tok, ki jim lahko doloimo priopadajoeregresijaske polinome, ki predstavljajo odvisnost med nastopajoimi spremenljivkami.

Optimizacija energijskih parametrov turbine

Optimizacija energijskih parametrov turbine

Optimizacija kavitacijskih parametrov turbine

Optimizacija geometrijskih parametrov rotorja

MULTI-REGRESIJSKI FENOMENOLOKI MODELIMULTI-REGRESIJSKI FENOMENOLOKI MODELIOPIS DELOVANJA STROJA - centrifugeDIMENZIJSKA ANALIZA NA DVOKOLESNI CENTRIFUGIDIMENZIJSKA ANALIZA PROCESA NASTAJANJA VLAKENDIMENZIJSKA ANALIZA EKSPERIMENTFENOMENOLOKI MODEL DEBELINE VLAKENOKRNJENI POENOSTAVLJENI FENOMENOLOKI MODELREZULTATI MODELAREZULTATI MODELADIMENZIJSKA ANALIZA NA TIRI KOLESNI CENTRIFUGIDIMENZIJSKA ANALIZA NA TIRI KOLESNI CENTRIFUGIEKSPERIMENTALNI REZULTATI EKSPERIMENTALNI REZULTATISTATISTINA ANALIZA DOBLJENIH REZULTATOVSTATISTINA ANALIZA DOBLJENIH REZULTATOVSTATISTINA ANALIZA DOBLJENIH REZULTATOVSTATISTINA ANALIZA DOBLJENIH REZULTATOVEksperimentalno modeliranje na osnovi predlaganega modela odvisnosti med spremenljivkami procesaModeliranje na osnovi statistinih analiz obstojeih tehninih konstrukcijskih reitev