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  • Festkörper-Modelle Leiter-Isolator-Übergänge

    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Mott-Isolator-Übergang

    Patrick Paul Denis Kast

    Universität Ulm

    5. Februar 2009

    Seminar zu Theorie der kondensierten Materie II WS 2008/09

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

  • Festkörper-Modelle Leiter-Isolator-Übergänge

    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Gliederung

    1 Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    2 Leiter-Isolator-Übergänge Erweiterung durch Elektron-Elektron-WW Mott-Isolator-Übergang

    3 Experimentelle Realisierung

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

  • Festkörper-Modelle Leiter-Isolator-Übergänge

    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Gliederung

    1 Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    2 Leiter-Isolator-Übergänge Erweiterung durch Elektron-Elektron-WW Mott-Isolator-Übergang

    3 Experimentelle Realisierung

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

  • Festkörper-Modelle Leiter-Isolator-Übergänge

    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Bändermodell Annahmen

    Ausgangspunkt: Modell des quasifreien Elektrons E = h̄ 2k2

    2m

    Gitterpotential als kleine periodische Störung

    Periodizität im reziproken Raum: E (k +G ) = E (k) =⇒Reduktion auf erste Brillouin-Zone

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Bändermodell Annahmen

    Ausgangspunkt: Modell des quasifreien Elektrons E = h̄ 2k2

    2m

    Gitterpotential als kleine periodische Störung

    Periodizität im reziproken Raum: E (k +G ) = E (k) =⇒Reduktion auf erste Brillouin-Zone

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Bändermodell Annahmen

    Ausgangspunkt: Modell des quasifreien Elektrons E = h̄ 2k2

    2m

    Gitterpotential als kleine periodische Störung

    Periodizität im reziproken Raum: E (k +G ) = E (k) =⇒Reduktion auf erste Brillouin-Zone

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

  • Festkörper-Modelle Leiter-Isolator-Übergänge

    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Bändermodell Energie im k-Raum

    Abbildung: Energiedispersion und Bandaufspaltung

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

  • Festkörper-Modelle Leiter-Isolator-Übergänge

    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Gliederung

    1 Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    2 Leiter-Isolator-Übergänge Erweiterung durch Elektron-Elektron-WW Mott-Isolator-Übergang

    3 Experimentelle Realisierung

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

  • Festkörper-Modelle Leiter-Isolator-Übergänge

    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Tight-Binding-Modell Annahmen

    starke Bindung der Elektronen

    LCAO-Methode: Überlagerung der einzelnen Wellenfunktionen

    Eigenwertproblem für das freie Atom sei exakt gelöst: ĤAtom(r − rn)φ(r − rn) = Eφ(r − rn)

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Tight-Binding-Modell Annahmen

    starke Bindung der Elektronen

    LCAO-Methode: Überlagerung der einzelnen Wellenfunktionen

    Eigenwertproblem für das freie Atom sei exakt gelöst: ĤAtom(r − rn)φ(r − rn) = Eφ(r − rn)

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Tight-Binding-Modell Annahmen

    starke Bindung der Elektronen

    LCAO-Methode: Überlagerung der einzelnen Wellenfunktionen

    Eigenwertproblem für das freie Atom sei exakt gelöst: ĤAtom(r − rn)φ(r − rn) = Eφ(r − rn)

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Tight-Binding-Modell Ritzsches Verfahren

    Ĥ = ĤAtom +v =− h̄ 2

    2m ∆ +VAtom(r − rn) + ∑m 6=nVAtom(r − rm)

    = freier Anteil + Potential des Zentralatoms + Wechselwirkung mit Nachbarkernen Elektron-Elektron-Wechselwirkung vernachlässigt

    Ritzscher Ansatz: löse ĤΨk = E (k)Ψk mit Ψk = ∑n cne ikrnφ(r − rn)

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Tight-Binding-Modell Ritzsches Verfahren

    Ĥ = ĤAtom +v =− h̄ 2

    2m ∆ +VAtom(r − rn) + ∑m 6=nVAtom(r − rm)

    = freier Anteil + Potential des Zentralatoms + Wechselwirkung mit Nachbarkernen Elektron-Elektron-Wechselwirkung vernachlässigt

    Ritzscher Ansatz: löse ĤΨk = E (k)Ψk mit Ψk = ∑n cne ikrnφ(r − rn)

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Tight-Binding-Modell Energie-Eigenwerte

    E (k)≈ h̄ 2k2

    2m −A−B∑m e ik(rn−rm)

    A =− ∫ drφ ∗(r − rn)v(r − rn)φ(r − rn)

    =Erwartungswert von v am Punkt rn B =−

    ∫ drφ ∗(r − rn+1)v(r − rn)φ(r − rn)

    = Überlapp benachbarter Wellenfunktionen

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Tight-Binding-Modell Energie-Eigenwerte

    E (k)≈ h̄ 2k2

    2m −A−B∑m e ik(rn−rm)

    A =− ∫ drφ ∗(r − rn)v(r − rn)φ(r − rn)

    =Erwartungswert von v am Punkt rn B =−

    ∫ drφ ∗(r − rn+1)v(r − rn)φ(r − rn)

    = Überlapp benachbarter Wellenfunktionen

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Tight-Binding-Modell Energiebänder

    Abbildung: Energiebänder nach dem Tight-Binding-Modell

    =⇒ Bandaufspaltung nimmt mit abnehmendem Abstand der Atome zu

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Gliederung

    1 Festkörper-Modelle Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    2 Leiter-Isolator-Übergänge Erweiterung durch Elektron-Elektron-WW Mott-Isolator-Übergang

    3 Experimentelle Realisierung

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Zusammenfassung Unterscheidung Metall/ HL/ Isolator

    Metall: Fermikante in der Mitte eines Bandes

    Halbleiter: Fermikante oberhalb eines Bandes, Energielücke E & kBT

    Isolator: Energielücke E � kBT

    Abbildung: schematische Darstellung der Energiebänder

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Zusammenfassung Unterscheidung Metall/ HL/ Isolator

    Metall: Fermikante in der Mitte eines Bandes

    Halbleiter: Fermikante oberhalb eines Bandes, Energielücke E & kBT

    Isolator: Energielücke E � kBT

    Abbildung: schematische Darstellung der Energiebänder

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

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    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Bändermodell Tight-Binding-Modell Zusammenfassung

    Zusammenfassung Unterscheidung Metall/ HL/ Isolator

    Metall: Fermikante in der Mitte eines Bandes

    Halbleiter: Fermikante oberhalb eines Bandes, Energielücke E & kBT

    Isolator: Energielücke E � kBT

    Abbildung: schematische Darstellung der Energiebänder

    Patrick Paul, Denis Kast Mott-Isolator

  • Festkörper-Modelle Leiter-Isolator-Übergänge

    Experimentelle Realisierung Zusammenfassung

    Erweiterung durch Elektron-Elektron-WW Mott-Isolator-Übergang

    Gliederung

    1 Festkörper-Modelle