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Donatella Lucchesi 1
Moto del corpo umano: salto
Determiniamo quale e' l'altezza massima a cui puo' saltare.Fasi del salto
a) In piedi, CM acirca 1 m daterra.
b) Racoglimento CM a circa 0.65 m da terra
c) Estensione, con CM a 1.05 m da terra che termina con il decollo a velocita' v0
d) Salto, altro non e' che il moto di un grave libero.
h1
Appunti tratti da ”Physics of the Human Body” Irving P. Herman
Donatella Lucchesi 2
Altezza massima del salto
Sfruttiamo la conservazione dell'energia sapendo che all'altezza massima la velocita' e' nulla:
L'altezza massima raggiunta dipende dalla velocita' a cuiavviene il decollo v0. Questa velocita' non e' nota, vediamo come si puo' stimare.Durante l'estensione entrambe le gambe generano una forzanormale al suolo di modulo N(t) tale che Questa forza e' misurata e possiamo calcolarne il lavoro nel tratto quando il CM si sposta dall'estensione al salto.
12mb v0
2mb gh1=0mb g Hh1
12mb v0
2=mb gH
F v t =N t −mb g
s
Punto considerato e' CM
Donatella Lucchesi 3
Il lavoro e' uguale alla variazione di energia cinetica e dienergia potenziale:
Altezza massima del salto - 2
∫0
s
F v t dz=12mb v0
2=mb gH
H=
∫0
s
F v t dz
mb g=N t −mb g s
mb g=1300N−620N0.43m
620N=0.47m
H=
∫0
s
F v t dz
mb g
s=0.43m Valore medio preso su salti generici
Forza peso e' considerata per m=63kgN(t)=1300N e' misurata in esperimenti durante elongazioni normali
Donatella Lucchesi 4
Assumiamo che l'accelerazione verticale sia costante, a, durante la fase di estensione da cui
Salto: Durata della fase di decollo
Usando: dove e' la durata della fase di decollo
F v=mba
a=N t −mb g
mb
s=12a2
2=2
sg
mb g
N t −mb g=2
0.439.8
620N1300N−620N
=0.08 =0.28s
Donatella Lucchesi 5
Relazione altezza massima-tempo di decollo
Mettendo assieme le due relazioni:ricaviamo
Che sostituito nella formula di H
H=1
2 gv0
2=2s/2
2g=
2s2
g 2
v0=as=12a2 v0=
2s
Donatella Lucchesi 6
Salto con l'asta
H=1
2 gv0
2=2s/2
2g=
2s2
g 2ricaviamo
Il salto con l'asta piu' che un salto e' una spinta. L'energia cinetica del saltatore viene convertita in energia potenzialeimmagazzinata nell'asta che poi e' covertita in energia potenziale del saltatore.
hCM
hasta
hmin
Donatella Lucchesi 7
Salto con l'asta: dinamica
Sfruttiamo la conservazione dell'energia:
Il saltore corre con il baricentro ad altezza H1 ed e' a questaaltezza che decolla. L'angolo che l'asta forma con la verticaleper ottimi saltatori e aste in fibra di vetro e' 13-15o.
Se prendiamo:
Sostituendo Record mondiale 6.14m
Non abbiamo considerato l'allungamento del saltatore prima dilasciare l'asta
12mv 0
2mghCM=mghastamghmin
12mv0
2=mg hastahmin−hCM
hasta=hCM−hminv0
2
2g
v0=9.5m / s hCM=0.9m hmin=0.1m
hasta=5.4m
Dall'ultima equazione si ricava:
Donatella Lucchesi 8
Lancio della palla La descrizione di questo movimento e' piuttosto complessain quanto coinvolge piu' di una giuntura e quindi dovremo usarela descrizione a multisegmenti con piu' di una cerniera indipendente. Noi dobbiamo costruire un modello semplice che sara' diconseguenza approssimato e capire se e' usabile.
La figura 3.40 mostra 4 diversi modelli di lancio di palla, tuttipiuttosto irrealistici ma possono rappresentare un buono schema di partenza
Donatella Lucchesi 9
Lancio della palla: modelli
a) due cerniere, moto sia della spalla che del gomitob) una cerniera, la spalla, braccio tesoc) una cerniera, il gomito, moto governato dai tricipidid) una cerniera, il gomito, moto governato dai bicipidi
Donatella Lucchesi 10
Lancio della palla: modello a una cerniera Usiamo il modello descritto in d) per determinare la velocita' con cui e' possibile lanciare la palla da baseball.Questo corrisponde al caso 3) che abbiamo gia studiato nelloequilibrio dell'avambraccio:
∑ z=Md M sin −W F d F sin −W B d B sin
=MdM−W F d F−W B d Bsin
Donatella Lucchesi 11
Lancio della palla: modello a una cerniera-2 Figura mostra che in realta' dovremmo usare l'angolo Per scrivere l'equazione del moto:
Ma
Momento di inerzia e' dato dalla somma di quello del braccio, astarigida di lunghezza L, piu' quello della palla:
(Lunghezza dell'avambraccio piu' meta' mano)
'
∑ z= Id 2
'
dt 2 '=90o
d 2 '
dt 2=−
d 2
dt 2
∑ z=MdM−W F d F−W B d Bsin =−Id 2
dt2
Dobbiamo adesso calcolare e i vari momenti delle forze.I
I=13mF L
2mB L
2
L=0.146H0.108H /2=0.2H=36⋅10−2m
Donatella Lucchesi 12
Lancio della palla: modello a una cerniera-3
inserito tutto mF=0.022mb=2kg mB=0.146kg I=13mF L
2mB L
2
I=0.1053kgm2
Calcoliamo alcune componenti dei momenti delle forze:W F d F=mF gd F=2⋅9.8⋅0.18=3.5Nm
W B d B=mB gd B=0.146⋅9.8⋅0.36=0.5Nm
MdM=405⋅0.04=16.2Nm
∑ z=MdM−W F d F−W B d Bsin =12.2⋅sin
Ipotesi fatte:- Punto di intersezione dei bicipidi dal fulcro, dM=0.04 m indipendente da θ.- Forza muscolare M, costante ma sappiamo che dipende dalla lunghezza del muscolo.
d B=L=0.36m
d F=L /2=0.18m
Donatella Lucchesi 13
Lancio della palla: modello a una cerniera-4
Id 2
dt 2=−12.2⋅sin
d 2
dt 2=−116 s−2
⋅sin
Questa equazione differenziale non si risolve facilmente quindioccorrono altre approssimazioni.Vogliamo calcolare la velocita' finale della palla:Determiniamo condizioni iniziali e finali (fig. 3.43 a):
vB=∣L d dt ∣
Donatella Lucchesi 14
Lancio della palla: modello a una cerniera d dt
=0t=0 braccio dritto, palla ferma t=0=180o
t=t fin braccio piegato t=t fin=0od dt
=?
Restringiamo il moto all'intervallo [135o-45o]:
t=0=34 t=t fin=
4 intervallo in cui si esercita la forza
Approssimiamo sin ≈0.707
d 2
dt 2=−116 s−2
⋅sin =−82 s−2=− Integriamo
d dt
=−⋅tc1 Poiche' d dt
=0 t=0a c1=0d dt
=−⋅t
t =−12 t 2c2 Poiche' t=0=
34 c2=
34
t =−12 t 2
34
Donatella Lucchesi 15
Lancio della palla: modello a una cerniera-5
t fin=−12 t fin
2
34=
4t=t fin=
4t fin==0.2s
vB=∣L d dt ∣=∣L t fin∣=L=5.77m / s
Ma un buon lanciatore lancia con vB=44.7m / s=100mph
Dove e' il problema? Esaminiamo le approssimazioni fatte.1) poniamo
2) Assumiano muscoli piu' grandi, eliminiamo la gravita' poniamo
sin ≈0.707 sin ≈1d 2
dt 2=−116 s−2⋅sin =−116 s−2=− t fin==0.16s
vB=L=6.8m / s
∑ z=MdM sin =32.4⋅sin sin ≈1
=346 s−2 t fin=0.09s vB=L=12m / s
Donatella Lucchesi 16
Lancio della palla: modello a una cerniera Il modello iniziale e' sbagliato, troppo semplice. Anche se passassimo a quello con due cerniere non andrebbe bene.Il lancio e' qualcosa che coinvolge tutto il corpo e non solo ilbraccio e la spalla.Si capisce molto bene dalla fotografia: