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INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
DE LA FÍSICA MATEMÁTICA
Departamento de MatemáticasUniversidad de los Andes
ANDREI GINIATOULLINE
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EEl propósito principal de este libro es servir como texto para un primer curso de Ecuaciones de la Física Matemática. En el curso se hace una presentación teórica de las ecuaciones básicas en derivadas parciales, tales como las ecuaciones de Lagrange y Poisson y las de transmisión de calor y de onda, la deducción de las propiedades cualitativas de sus soluciones por el método de la transformada de Fourier, como también el concepto de una solución generalizada en el sentido de los espacios de Sobolev para los principales problemas de contorno.
Andrei Giniatoulline nació en Perm (Rusia). Recibió el grado de matemá-
en 1987, en la Universidad PFU de Moscú (Rusia). En la misma universidad recibió el grado de Ph.D. en Ciencias Físicas y Matemáticas en 1993. Desde ese año está vinculado al Departamen-
de Matemáticas de la Universidad de los Andes. Actualmente desempeña el cargo de profesor asociado. Sus intereses científicos son diferentes temas de la física matemática, en particular, la hidrodinámica matemá-
y el análisis funcional aplicado. Fue ganador del Programa Nacional de Estímulos Especiales a Investigadores de Colciencias en 1995. En numerosas ocasiones ha dictado el curso de Introducción a las Ecuaciones de la Física Matemática en la Universidad de los Andes, basándose en las notas preliminares de este texto.
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PUBLICACIONES RECIENTES DEL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
José Darío López G. & José del Carmen Rodríguez S., Álgebra lineal.
Teófilo Abuabara & Jaime Lesmes C., Elementos de análisis funcional.
Andrés Forero Cuervo, Matemática estructural.
t = 0
t = T
t
T
0
W
WS0t
0 0 0P (x ,t )
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DE LAFÍSICA MATEMÁTICA
ANDREI GINIATOULLINE
INTRODUCCIÓN A LASECUACIONES
DE LA FÍSICA MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
BOGOTÁ, D. C.2011
Giniatoulline, Andrei, 1964-Introducción a las ecuaciones de la física matemática / Andrei Giniatoulline. –
Bogotá: Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas;Ediciones Uniandes, 2011.
257 pp.; 17× 24 cm.
ISBN 978-958-695-598-0
1. Física matemática 2. Ecuaciones diferenciales parciales I. Universidad de los Andes(Colombia). Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas. II. Tít.
CDD 530.15 SBUA
Primera edición: abril del 2011
c⃝ Andrei Giniatoulline
c⃝ Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias, Departamento deMatemáticas
Ediciones UniandesCarrera 1 núm. 19-27, edificio AU 6, piso 2Bogotá, D. C., ColombiaTeléfonos: 339 49 49 - 339 49 99, ext. 2133http://[email protected]
ISBN: 978-958-695-598-0
Corrección de estilo: Aicardo SandovalDiseño y diagramación LATEX: Margoth Hernández QuitiánDiseño de carátula: David Laverde
Impresión: Kimpres Ltda.Calle 19 sur núm. 69C- 17, Bogotá, D. C.PBX: 413 68 [email protected]
Impreso en Colombia - Printed in Colombia
Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida ni en su todoni en sus partes, ni registrada en o transmitida por un sistema de recuperación de infor-mación, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico,magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, sin el permiso previo por escrito
de la editorial.
A mis profesores
ÍNDICE
Introducción v
1 Algunos modelos matemáticos de los procesos físicos 1
1.1. Deducción de la ecuación de calor 1
1.2. Deducción de la ecuación de onda 6
1.3. El sentido físico de las condiciones de contorno 10
2 El sentido físico de una función generalizada, definición dela función de Dirac. El espacio de las funciones básicas Dy el espacio de las funciones generalizadas D′ 15
3 El problema de Cauchy para la ecuación de calor 23
3.1. El espacio de Schwartz S. La transformada de Fourierpara las funciones de S, L1 y L2 23
3.2. Solución del problema de Cauchy para la ecuación detransmisión de calor con las funciones iniciales de S 30
4 El espacio de funciones generalizadas S′. La transformadade Fourier en S′. Teorema de convolución de dos funcionesf(x) ∈ S, g(x) ∈ Cb 33
5 Aplicación del teorema de convolución a la solución del pro-blema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor 43
5.1. Desarrollo del núcleo de Poisson 43
5.2. Propiedades del núcleo de Poisson: G(t, x) −−−→t→0
(x) 47
I
II
6 Otras propiedades de las soluciones de la ecuación de calor 51
6.1. Solución del problema de Cauchy para la ecuación detransmisión de calor con una función inicial continuaacotada 51
6.2. El problema de Cauchy para la ecuación de transmisiónde calor no homogénea. El principio de Duhamel 55
6.3. Unicidad de la solución del problema de transmisión decalor y su dependencia continua de los datos iniciales 57
7 El problema de Cauchy para la ecuación de onda 67
7.1. La desigualdad energética y sus corolarios: la unicidadde la solución y su dependencia continua de los datosiniciales 67
7.2. Solución del problema para los datos iniciales de S 73
8 Algunos resultados de la teoría de las funciones generalizadas 77
8.1. La función concentrada en una esfera, su transformadade Fourier 77
8.2. Teorema de la convolución de una función de S con unafunción generalizada de S′ con soporte compacto 80
9 Deducción de la fórmula de Kirchhoff para la solución delproblema de Cauchy para la ecuación de onda en el caso detres variables espaciales. Buena determinación del proble-ma de Cauchy para la ecuación de onda 85
10 El principio de Duhamel para la ecuación de onda no homo-génea. La función de Green del problema de Cauchy parala ecuación de onda. Propiedades cualitativas de la propa-gación de ondas. Velocidad finita de la propagación de ondas 95
11 Primeros conceptos de los espacios de Sobolev 103
11.1. Dos métodos diferentes de definir las soluciones genera-lizadas. Las derivadas generalizadas y sus propiedadesbásicas 103
III
11.2. El espacio de SobolevW 12 , su producto escalar y su com-
pletitud. Definición del espacio W lp 111
12 Algunas propiedades de los espacios de Sobolev 117
12.1. El espacio de Sobolev0
W 12 117
12.2. Dos normas diferentes en el espacio0
W 12 (Ω). La desigual-
dad de Friedrichs 118
12.3. Las funciones medias y sus propiedades: suavidad infi-nita, convergencia en la norma de Lp, conmutatividadde las operaciones de diferenciación y promediación 121
13 Los espacios W 12 y
o
W 12 129
13.1. Propiedades de contorno de las funciones de W 12 y de
o
W 12 . Un sencillísimo teorema de inclusión: traza de u ∈
W 12 (Ω) en la frontera ∂Ω como elemento de L2(∂Ω) 129
13.2. La nulidad en promedio de las funciones deo
W 12 (Ω) en
la frontera ∂Ω. Integración por partes para las funciones
de W 12 (Ω) y de
o
W 12 (Ω) 133
14 Otras propiedades del espacio W 12 141
14.1. La desigualdad de Poincaré 141
14.2. Compacidad de inclusión de un conjunto acotado deW 1
2 (Ω) en L2(Ω) 143
15 Algunos problemas de contorno 147
15.1. La solución generalizada para el primer problema decontorno de la ecuación de Poisson 147
15.2. El primer problema de contorno para ecuaciones másgenerales 151
15.3. Un caso especial de operador diferencial de segundo or-den 152
15.4. Tercer problema de contorno para la ecuación de Poisson 153
IV
16 El método de Galerkin de solución aproximada generaliza-da del problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson 159
17 El método variacional de la solución generalizada para elproblema de Dirichlet de la ecuación de Poisson. Propieda-des de una sucesión minimizante 167
18 Introducción a las soluciones singulares 177
18.1. Las soluciones fundamentales (singulares) generaliza-das de las ecuaciones diferenciales 177
18.2. La solución fundamental para el operador de Laplace 179
19 Dos conceptos de elipticidad 183
19.1. La clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales 183
19.2. Los sistemas elípticos en el sentido de Petrovski y en elsentido de Douglis-Nirenberg 186
20 Aplicación de las convoluciones para la teoría del potencialy los teoremas de inclusión de Sobolev 203
Apéndice A 219
A.1. Los espacios Lp, C∞ 219
A.2. Algunos teoremas básicos del análisis funcional, las de-sigualdades de Hölder y Minkovski 224
A.3. Los espacios de Hilbert, el concepto de un funcional 234
Apéndice B 243
B.1. Funciones generalizadas y sus derivadas 243
Bibliografía 257
INTRODUCCIÓN
En la mayoría de modelos matemáticos de los diferentesfenómenos de la naturaleza y la sociedad surgen ecuaciones dife-renciales en las cuales la función incógnita depende de varias va-riables. Naturalmente, estas ecuaciones comprenden ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales, que tienen un gran espectrode aplicaciones. Al desarrollo de ellas han aportado todas las ra-mas de la matemática moderna tales como el cálculo, el álgebra, lageometría, el análisis funcional, la topología, la teoría de variablecompleja y, esencialmente, la teoría de los espacios funcionales dedimensión infinita. Como casi todos los procesos físicos se descri-ben por medio de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales,tales ecuaciones se llaman frecuentemente ecuaciones de la FísicaMatemática. Observemos que las ecuaciones diferenciales parcia-les describen también fenómenos químicos, biológicos, económi-cos y otros. Este curso tiene como objetivo la presentación teóricade las ecuaciones básicas de la física matemática como las ecua-ciones de Lagrange, Poisson y las de transmisión de calor y de on-da; la deducción de las propiedades cualitativas de sus solucionespor el método de la transformada de Fourier, e igualmente el con-cepto de una solución generalizada en el sentido de los espaciosde Sobolev. Se introduce el concepto de una solución generaliza-da y se discuten sus aplicaciones en varios problemas de contornopara la ecuación de Poisson que es una de las ecuaciones más im-portantes de la Física Matemática. La existencia y unicidad delas soluciones de la ecuación de Poisson se demuestran por tresmétodos diferentes como el teorema de Riesz sobre la forma deun funcional lineal continuo en un espacio de Hilbert, el méto-do de Galerkin y el método variacional. Los dos últimos métodos
V
VI INTRODUCCIÓN
permiten, además, construir un algoritmo explícito de las solu-ciones aproximadas. Para la consideración de estos problemas,se introduce el concepto de una función generalizada y se estu-dian sus propiedades más importantes. La teoría de las funcionesgeneralizadas es una parte importante del análisis que extiendeel concepto de una función a los funcionales lineales continuos,actuando sobre un espacio determinado de funciones básicas. Eldesarrollo rápido de las funciones generalizadas fue estimuladopor las exigencias de la física, en particular, de la física cuánti-ca y la teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas par-ciales. Actualmente, la teoría de las funciones generalizadas estámuy desarrollada y es una herramienta diaria de un matemático,un físico o un ingeniero. Este curso hace énfasis teórico, orienta-do principalmente a los estudiantes de la carrera de matemática,también puede ser útil para los físicos e ingenieros que estén in-teresados en una avanzada base teórica. Una de las característicasde este texto es la deducción detallada de todos los resultados condemostraciones y su metodología orientada hacia un curso de unsemestre de duración. A diferencia de la mayoría de los textossobre el tema, este curso es relativamente corto y sencillo. En tresocasiones, en aras de no alargar demasiado el curso, las pruebasde los teoremas se limitaron a casos particulares. Como prerre-quisito, es deseable análisis funcional. Sin embargo, algunos con-ceptos básicos del análisis funcional a los que se hace referenciaa lo largo del curso, se encuentran en el apéndice de este texto,lo que hace posible, con algún esfuerzo adicional del estudian-te, reducir los prerrequisitos a un curso estándar de ecuacionesdiferenciales. Quisiera expresarle mi agradecimiento al profesorG. Téllez por sus sugerencias, correcciones y consejos durante larevisión del texto. Igualmente quisiera agradecer al Director delDepartamento de Matemáticas de la Universidad de los Andesprofesor René Meziat por su apoyo, atención y seguimiento en elproceso de edición de este libro.
CAPÍTULO 1
ALGUNOS MODELOS MATEMÁTICOS DE LOS
PROCESOS FÍSICOS
1.1. Deducción de la ecuación de calor
Veamos un cuerpo tridimensional Ω, cuya temperatura en elpunto x = (x1, x2, x3) está representada por la función u(t, x) pa-ra cualquier momento t, y supongamos que la función u(t, x) tie-ne derivadas continuas de segundo orden respecto a xi, i = 1, 2, 3,y de primer orden con respecto a t: u(t, x) ∈ C1,2
t,x (Ω).
La deducción de la ecuación de transmisión de calor se ba-sa en la siguiente ley física experimental: si diferentes partes deun sólido tienen temperaturas distintas, entonces, en el cuerpoaparecen unos flujos de calor, dirigidos desde las partes calienteshacia las frías.
Consideremos una superficie S que está dentro del cuerpo Ω;sea n - su vector de la normal exterior.
La cantidad de calor q que pasa a través de la superficie Sen dirección del vector n durante el intervalo de tiempo [t1; t2] sedetermina como:
q = −t2∫
t1
∫∫
S
k(x)∂u
∂nds
dt. (1.1)
1
2 ALGUNOS MODELOS MATEMÁTICOS
Ω
D
Sng
Figura 1.1.
Aquí∂u
∂n- es la derivada direccional en el punto x de la su-
perficie S a lo largo del vector n; k(x) es una función positiva ysu significado físico es el coeficiente de la conductividad de caloren el punto x. La integral (1.1) representa la ley física de Fou-rier, según la cual la cantidad de calor dq que pasa a través deun elemento de superficie ds durante el incremento del tiempoelemental dt es igual a
dq = −k(x)∂u∂n
dsdt.
Supongamos que k(x) ∈ C1(Ω). La cantidad de calor que saledel volumen D acotado por la superficie S, está dada por (1.1).Por otro lado, este calor es igual a
∫∫∫
D
c(x) ⋅ (x)[u(t1, x)− u(t2, x)] dx, (1.2)
donde (x) es la densidad del cuerpo y c(x) es la capacidad térmi-ca. Igualando (1.1) y (1.2), obtendremos
∫∫∫
D
c(x) ⋅ (x)[u(t1, x)− u(t2, x)]dx =
=
t2∫
t1
∫∫
S
k(x)∂u
∂nds
dt. (1.3)
§ 1.1. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CALOR 3
Representando
u(t2, x)− u(t1, x) =
∫ t2
t1
∂u
∂tdt
en el lado izquierdo de (1.3) tendremos
t2∫
t1
∫∫∫
D
c(x)(x)∂u
∂tdx
dt
Por el teorema de Gauss se cumple
∫∫
S
k(x)∂u
∂nds =
∫∫∫
D
3∑
i=1
∂
∂xi
(k(x)
∂u
∂xi
)dx.
Por lo tanto, de (1.3) podemos concluir que:
t2∫
t1
∫∫∫
D
[c(x)(x)
∂u
∂t−
3∑
i=1
∂
∂xi
(k(x)
∂u
∂xi
)]dx
dt = 0.
Como las funciones que están dentro de la integral son conti-nuas y el volumen D y el intervalo de tiempo [t1; t2] son arbitra-rios, la última identidad implica que ∀x ∈ Ω, ∀t se tiene
c(x) ⋅ (x)∂u∂t
=3∑
i=1
∂
∂xi
(k(x)
∂u
∂xi
). (1.4)
La ecuación (1.4) es la ecuación de transmisión de calor paraun sólido no homogéneo.
Si el cuerpo es homogéneo, o sea, k, c, = Constante, enton-ces, la ecuación (1.4) tiene la forma:
c ⋅ k
⋅ ∂u∂t
= Δu,
4 ALGUNOS MODELOS MATEMÁTICOS
donde el operador Δ se define por la fórmula: Δ ≡3∑i=1
∂2
∂x2i.
Sea t′ =k
ct. Entonces,
∂u
∂t=∂u
∂t′⋅ kc
;∂u
∂t′= Δu. Denotando
nuevamente t′ como t, llegamos a la ecuación:
∂u
∂t= Δu. (1.5)
Las ecuaciones (1.4) y (1.5) tienen una infinidad de soluciones.Para escoger de ese conjunto una solución determinada hay queplantear unas condiciones adicionales. Es decir, las condicionesde contorno y las condiciones iniciales.
Desde el punto de vista físico se espera que el conocimien-to de la distribución de la temperatura dentro del cuerpo en unmomento determinado y del régimen térmico en la frontera delcuerpo, determine la distribución de la temperatura en los mo-mentos del tiempo posteriores.
Si el dominio Ω coincide con todo el espacio, entonces la solu-ción de las ecuaciones (1.4), (1.5) para t > t0 se determina única-mente por las condiciones iniciales, que son los valores de u(t, x)para t = t0. Este resultado lo demostraremos más adelante.
Si el dominio Ω es acotado, se puede introducir, además de lascondiciones iniciales, la temperatura en cada punto de la fronteradel cuerpo Ω para t ≥ t0.
La condición inicial
u(x, t) ∣t=t0= u0(x, t0) (1.6)
y la condición de contorno
u(x, t) ∣∂Ω= '(x, t), t ≥ t0 (1.7)
determinan el primer problema de contorno.
Para determinar una solución única se pueden plantear, en
lugar de la condición (1.7), los valores de la derivada∂u
∂nen la
frontera ∂Ω, donde n es su vector normal.
§ 1.1. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CALOR 5
Este problema surge cuando se conoce la cantidad de calorque el cuerpo entrega al espacio exterior a través de cada elemen-to de área ds de la frontera del cuerpo. Ese flujo de calor, según
(1.1), es igual a −k∂u∂n
dsdt.
Conociendo el flujo térmico para cada elemento ds de la fron-
tera ∂Ω, se pueden encontrar los valores∂u
∂n∣∂Ω. En general, te-
nemos
∂u
∂n∣∂Ω= '(x, t), t ≥ t0. (1.8)
Las condiciones (1.6), (1.8) determinan el segundo problema decontorno.
Supongamos, ahora, que es conocida la temperatura u1(t, x)del medio exterior del cuerpo y que en su superficie hay inter-cambio de calor con el medio que lo rodea. Por la ley de Fourier, elcalor que pasa del ambiente al cuerpo durante el intervalo [t1; t2]a través de la superficie S, es igual a
t2∫
t1
∫∫
S
k1(x)(u1 − u) dsdt,
donde k1 es el coeficiente de conductividad térmica exterior en-tre el cuerpo y el medio que lo rodea, u1 y u son los valores lími-tes, externos e internos, respectivamente, de la temperatura en lafrontera del cuerpo.
Por otro lado, como hemos visto, ese mismo calor es igual a
t2∫
t1
∫∫
S
k(x)∂u
∂nds
dt,
donde concluimos que en la frontera ∂! se cumple: k1(u1 − u) =
k∂u
∂n.
6 ALGUNOS MODELOS MATEMÁTICOS
Si llamamos ℎ(x) = −k1(x)k(x)
, obtenemos la condición:
(∂u
∂n+ ℎ(x) ⋅ u
)∣∂Ω= Ψ(x, t) (1.9)
Las condiciones (1.6), (1.9) determinan el tercer problema de con-torno para la ecuación de transmisión de calor.
Observación 1. 1. A veces se consideran los casos de láminasy varillas bajo la suposición de que las superficies laterales de lavarilla o de lámina sean aisladas térmicamente. Entonces, la ecua-ción de transmisión de calor se reduce a las siguientes formas:
∂u
∂t=∂2u
∂x21+∂2u
∂x21- para el caso de una lámina,
y∂u
∂t=∂2u
∂x2- para el caso de una varilla.
1.2. Deducción de la ecuación de onda
Deduzcamos, ahora, la ecuación de onda para el caso de R2, osea, la ecuación de vibraciones de una membrana.
Llamemos membrana a una cascarilla delgada elástica que noofrece resistencia a una deformación que no cambia su área, peroque se opone a un aumento de ésta. Supongamos que en la posi-ción de equilibrio la membrana está posicionada en el plano R2 yque su forma es la de un dominio plano Ω con frontera L.
Supongamos que sobre la membrana actúa una fuerza exte-rior cuya densidad en el punto x = (x1, x2) es igual a f(x, t) y sudirección es perpendicular al plano R2:
Bajo la influencia de esta fuerza, la membrana se deforma yllega a ser una superficie cuya ecuación escribiremos como u =u(x1, x2, t). El eje OU es perpendicular al plano (x1, x2).
§ 1.2. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDA 7
Ω
Ο
x2
U
x1
Figura 1.2.
Supongamos, además, que la superficie de la membrana se
deforma poco, lo que significa que las derivadas∂u
∂xi, i = 1, 2
son pequeñas, por lo que no se tomarán en cuenta sus potenciasmayores.
También vamos a suponer que los puntos de la membrana sedesplazan perpendicularmente al plano R2 de manera que suscoordenadas x1, x2 no se cambian.
Vamos a basarnos en uno de los principios más importantesde la mecánica según el cual “la variación de los trabajos elemen-tales de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema es igual acero, para todos los desplazamientos posibles” (véase [14]).
Encontremos el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobrela membrana en su desplazamiento desde su estado plano inicialhacia la posición representada por la función u = u(x1, x2, t).
El trabajo de la fuerza exterior con densidad f(x, t) se repre-senta por la integral
∫∫
Ω
f(x, t)u(x, t) dx1dx2.
8 ALGUNOS MODELOS MATEMÁTICOS
Supongamos que el área inicial de la membrana es igual a 1;entonces, como se sabe del cálculo vectorial, el cambio del áreadurante el desplazamiento es el siguiente:
ΔS =
∫∫
Ω
⎛⎜⎝
√√√1 +2∑
i=1
(∂u
∂xi
)2
− 1
⎞⎟⎠ dx1dx2
En este caso el trabajo de las fuerzas de elasticidad de la mem-brana es igual a
−T ⋅∫∫
Ω
⎛⎜⎝
√√√1 +2∑
i=1
(∂u
∂xi
)2
− 1
⎞⎟⎠ dx1dx2,
donde T es una constante.
Si descomponemos la función de la última integral en una se-
rie de potencias de∂u
∂x1,∂u
∂x2y no tomamos en cuenta los tér-
minos mayores de esta serie, entonces obtendremos la siguienterepresentación para el trabajo de elasticidad:
−T2
∫∫
Ω
⎡⎣(∂u
∂x1
)2
+
(∂u
∂x2
)2⎤⎦ dx1dx2
Aquí se utilizó el resultado
(1+z1+z2)12 = 1+
z12+z22+R1(z1, z2), lım
(z1,z2)→(0,0)
R1(z1, z2)√z21 + z22
= 0
y se supuso que R1 = 0.
Tenemos que tomar en cuenta también la fuerza de inercia de
la membrana, cuya densidad es igual a − ⋅ ∂2u
∂t2, donde (x1, x2)
es la densidad de la membrana.
El trabajo de la fuerza de inercia es igual a −∫∫!⋅∂
2u
∂t2u dx1dx2.
§ 1.2. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDA 9
Finalmente, el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobrela membrana en su desplazamiento desde el equilibrio hacia laposición u(t, x) es igual a
A(u) =
∫∫
Ω
− T
2
[(∂u
∂x1
)2
+
(∂u
∂x2
)2]+
+
(f − ⋅ ∂
2u
∂t2
)⋅ udx1dx2. (1.10)
Observemos que la integral (1.10) representa la energía total de lamembrana. Realicemos un desplazamiento posible, es decir, agre-guemos a la función u cierta función u y calculemos la variaciónde la integral (1.10):
A = A(u+ u)−A(u) =
=
∫∫
Ω
[−T (u′x1u
′x1 + u′x2u
′x2) +
(f −
∂2u
∂t2
)u
]dx1dx2.
Como
∂u
∂x1⋅ ∂
∂x1(u) =
∂
∂x1
(∂u
∂x1⋅ u)
− ∂2u
∂x21⋅ u,
entonces,
−∫∫
Ω
[u′x1u′x1 + u′x2u
′x2 ] dx1dx2 =
= −∫∫
Ω
[∂
∂x1
(∂u
∂x1u
)+
∂
∂x2
(∂u
∂x2u
)]dx1dx2+
+
∫∫
Ω
Δuu dx1dx2 =
= −∫
L
∂u
∂nuds+
∫∫
Ω
Δuu dx1dx2.
10 ALGUNOS MODELOS MATEMÁTICOS
Aquí utilizamos la fórmula de integración por partes, conoci-da del cálculo vectorial:
∫∫
Ω
f1∂f2∂x1
dx1dx2 =
=
∫
L
f1 ⋅ f2 ⋅ cos(n, x1) dx1dx2 −∫∫
Ω
∂f1∂x1
⋅ f2 dx1dx2
para el caso particular de f1 = 1 y f2 =∂u
∂x1u,
∂u
∂x2u, donde
Δu significa la suma de las segundas derivadas: Δu =∑i=1,2
∂2u
∂x2i.
Finalmente,
A = −∫
L
T∂u
∂nuds+
∫∫
Ω
[TΔu+ f −
∂2u
∂t2
]u dx1dx2 (1.11)
Según el principio de los desplazamientos posibles, tenemosA = 0.
La integral∫L
T∂u
∂nuds también es igual a cero, dado que en
la frontera L = ∂Ω se cumple la condición u = 0.
En los puntos inferiores del dominio Ω, u es una función ar-bitraria continua. De esta manera, de (1.11) concluimos
TΔu− ∂2u
∂t2+ f = 0 (1.12)
1.3. El sentido físico de las condiciones decontorno
Si la membrana está fija en su frontera, la condición de con-torno que le corresponde es
u ∣L= '(x, t) (1.13)
§ 1.3. EL SENTIDO FÍSICO DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO 11
donde '(x, t) es la ecuación de la curva en el espacio R3 que de-termina la frontera de la membrana, de tal manera que la proyec-ción de ' sobre el plano (x1, x2) sea la curva L.
Si la membrana está suelta en su contorno, entonces la fun-ción u es arbitraria también en la frontera y para que se anule laprimera integral en (1.11) tenemos que exigir la condición
∂u
∂n
∣∣∣L= 0. (1.14)
Si la frontera de la membrana está sujeta a la acción de unafuerza con densidad lineal f1, entonces a la integral (1.10) hayque agregarle el término
∫L
f1 ⋅ u ⋅ ds, de manera que la primera
integral en (1.11) se transforma en∫L
(−T ∂u
∂n+ f1
)uds.
Así se obtiene la siguiente condición de contorno, que gene-raliza la fórmula (1.14):
T∂u
∂n
∣∣∣L= f1. (1.15)
Ahora, si la fijación de la membrana es elástica, entonces lafuerza que actúa sobre su borde es proporcional al desplazamiento:
f1 ∣Ω = ku ∣Ω .
En este caso la condición de contorno tendrá la siguiente forma:(T∂u
∂n− ku
)∣∣∣∣∣L
= 0. (1.16)
Para determinar las soluciones de la ecuación (1.12) es necesariointroducir las condiciones iniciales
⎧⎨⎩u(x, t) ∣t=0= '(x)∂u
∂t= Ψ(x)
; x = (x1, x2) ∈ Ω. (1.17)
Si la membrana es tan grande que la influencia de la frontera esinsignificante, entonces se consideran las vibraciones de todo elplano (Ω = R2) sujetas a la ecuación (1.12).
12 ALGUNOS MODELOS MATEMÁTICOS
En este caso, para la unicidad de la solución bastan las condi-ciones (1.17).
En el caso de considerar la influencia de la frontera, tenemostres tipos de condiciones de contorno: (1.13), (1.15), (1.16).
El problema (1.12, 1.13, 1.17) se llama el problema de Dirichlet oel primer problema de contorno para la ecuación de onda.
El problema (1.12, 1.15, 1.17) lleva el nombre de Neumann ytambién se llama el segundo problema de contorno.
El problema (1.12, 1.16, 1.17) se conoce como el tercer problemade contorno.
Si la fuerza exterior es estacionaria, la ecuación (1.12) para lamembrana se transforma en
Δu(x) = F (x),
la cual se llama la ecuación de Poisson.
Si se estudian las vibraciones de un medio tridimensional, quepueden ser, por ejemplo, vibraciones de un gas u ondas de so-nido, entonces, se puede demostrar, de manera análoga al casode las vibraciones de membrana, que la función u(t, x1, x2, x3)que caracteriza la desviación de la presión normal en el puntox = (x1, x2, x3) en el momento t, satisface la ecuación:
∂2u
∂t2= a2
(∂2u
∂x21+∂2u
∂x22+∂2u
∂x23
). (1.18)
donde a2 es una constante.
La ecuación (1.18) se llama la ecuación de onda.
Muchos procesos de vibraciones (ejemplo, vibraciones elec-tromagnéticas) se describen mediante la ecuación (1.18).
En el caso de una dimensión, que podría ser el de vibracionesde una cuerda o de un gas dentro de un tubo, la función u(t, x)correspondiente satisface la ecuación
∂2u
∂t2= T
∂2u
∂x22(1.19)
§ 1.3. EL SENTIDO FÍSICO DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO 13
que se llama la ecuación de vibraciones de una cuerda.
Aquí (x) significa la densidad lineal en el punto x de la cuer-da, T es tensión y u(t, x) es la desviación de la cuerda.
Las condiciones de contorno e iniciales para las ecuaciones(1.18) y (1.19) siguen siendo las mismas.
Observación 1. 2. Las ecuaciones (1.12), (1.18), (1.19) se obtuvie-
ron bajo la condición de ignorar los valores(∂u
∂xi
)4
a diferencia
de(∂u
∂xi
)2
, lo que es igual a la suposición de la pequeñez de las
vibraciones. Sin esta suposición, las ecuaciones de movimientodel medio elástico tienen una forma no lineal.
Observación 1. 3. Como hemos visto, en las ecuaciones de onday de transmisión de calor entran las expresiones
∂2u
∂x21+∂2u
∂x22o∂2u
∂x21+∂2u
∂x22+∂2u
∂x23.
Esto ocurre siempre para las ecuaciones lineales de segundoorden deducidas para un medio isotrópico y homogéneo, por-que estas expresiones (o laplacianos) son las únicas combinacio-nes lineales de las derivadas parciales de segundo orden de u queson invariantes con respecto a cualquier transformación ortogo-nal (rotación de los ejes del sistema cartesiano de coordenadas).
Observación 1. 4. La ecuación de Laplace Δu = 0 describe, porejemplo, los potenciales del campo de gravitación y del campoelectrostático, como también el flujo irrotacional (potencial) de unlíquido. Las ecuaciones de Laplace, Poisson, de transmisión decalor y de onda se consideran las ecuaciones básicas de la físicamatemática.
14 ALGUNOS MODELOS MATEMÁTICOS
Ejercicios
1. Considérese una cuerda de longitud l que se encuentra esti-rada por la fuerza T0 en la posición rectilínea de equilibrio.En el instante t0 los puntos de la cuerda se someten a las des-viaciones y velocidades iniciales. Plantee el problema de lasvibraciones transversales de la cuerda, si los extremos:
a) Son fijos.
b) Pueden desplazarse transversalmente.
c) Tienen fijación elástica, en otras palabras, la resistencia alos desplazamientos transversales en los extremos es pro-porcional a dichos desplazamientos.
2. Una varilla elástica de longitud l se encuentra fuera del reposopor los desplazamientos y velocidades iniciales longitudinalesde sus extremos. Deduzca los problemas de vibraciones longi-tudinales de la varilla si:
a) Los extremos son fijos.
b) Los extremos son libres.
c) Los extremos se mueven longitudinalmente, según lasfórmulas dadas.
3. Deduzca la ecuación de difusión en un medio inmóvil queocupa el dominio acotado Ω, si se conoce la densidad de lasfuentes F (x, t) y la difusión se realiza con absorción. La velo-cidad de absorción en cada punto x ∈ Ω es proporcional a ladensidad u(x, t) de la sustancia que se encuentra en difusión.Obtenga las condiciones de frontera para los casos cuando:
a) En la frontera de Ω se mantiene la densidad dada.
b) La frontera no es transparente para la difusión.
