SIMULIRANJE SLUCAJNIH DOGADJAJAPrema konceptu prof . dr . Gabre Smiljanica stranice napravio Goran Krizman. Sva prava pridrzana.

Slucajni i pseudoslucajni dogadaji

U prirodnim je znanostima postavljen niz " formula " koje opisuju dogadjaje koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Primjerice, ispustena kocka sigurno ce pasti, ali na koju od sest ploha , nemoguce je predvidjeti, stoga slijedi, da je pad kocke na pojedinu plohu posljedica slucaja.Nije nam poznat uzrok koji u danom momentu dovodi do pada kocke na odredenu plohu, a kako uzrok, dakle nije poznat , nije moguce niti djelovati na proces u smislu ostvarenja jednog od mogucih dogadjaja. Promatranje takvih " slucajnih " dogadjaja ostvarenih pri velikom broju ponovljenih uvjeta njihove realizacije, ukazuje na cinjenicu: iako ne postoji mogucnost predvidjanja u kojem smislu i u kolikoj ce mjeri djelovati slucaj u konkretnom primjeru, ipak se djelovanje slucaja pokorava odredjenim zakonitostima, koji vrijede za skup dogadjaja kao cjelina. Proucavanje zakona koji vladaju izmedju slucajnih dogadjaja kao cijeline vrsimo pomocu matematicke obrade podataka. Podatke dobijamo mjerenjem masovnih pojava ( npr. rodjenje djecaka ili djevojcica, pad novcica na " sliku " ... ).

Simuliranje slucajnih dogadjaja se najcesce svodi na simuliranje slucajnih brojeva. Slucajni brojevi se veoma cesto upotrebljavaju u razlicitim podrucjima istrazivanja, stoga je razvijeno vise razlicitih metoda generiranja slucajnih brojeva. Tako generirani slucajni brojevi se testiraju odredjenim matematickim postupcima, a da bi se provjerila njihova svojstva, tj. koliko su stvarno slucajni i kakva su im ostala svojstva koja doprinose kvaliteti slucajnih brojeva. Tako provjereni slucajni brojevi se stampaju u posebnim knjigama slucajnih brojeva.

Pseudoslucajni dogadjaji su dogadaji pomocu kojih se simuliraju slucajni dogadjaji, proizvode se na deterministicki nacin, ali su im svojstva takva da se ponasaju kao da su slucajni.Osnovna realizacija pseudoslucajnih dogadjaja je da su pomocu pseudoslucajnih brojeva generirani na determististicki nacin.O generiranju pseudoslucajnih brojeva detaljnije se objasnjava u sljedecem poglavlju..

Generiranje pseudoslucajnih dogadjaja s uniformnom raspodjelom

Generiranje pseudoslucajnih brojeva

Racunalni programi za simulaciju slucajnih dogadjaja baziraju se na upotrebi slucajnih brojeva. Mogu se upotrijebiti tablice slucajnih brojeva koje se ucitaju u memoriju racunala i potom upotrijebe ih u simulaciji. Kada je trazena kolicina slucajnih brojeva velika, upotreba tablice je neprikladna. Razvijene su razne matematicke i logicke metode za generiranje nizova brojeva koji se ponasaju kao da su nizovi slucajnih brojevi .Generirani nizovi brojeva su distribuirani po

uniformnoj razdiobi u danim granicama, obicno izmedju 0 i 1.Brojevi su nazvani pseudo - slucajni jer se generiraju na deterministricki nacin.

Pomocu pseudoslucajnih brojeva moze se ponoviti eksperimenti s istim nizom pseudoslucajnih brojeva, buduci da su oni generirani na deterministicki nacin. Takoder se moze upotrijebiti drugi dio istog niza ili neki drugi generator pseudoslucajnih brojeva. S druge strane takvi, na deterministicki nacin generirani pseudoslucajni brojevi,moraju zadovoljavaju testove slucajnosti, tj. ponasati se kao da su stvarno slucajni. Ili, drugacije receno, simulira se slucajnost, a kod simuliranja je najvaznije da se od simulacije dobijaju isti rezultati kao i od stvarnog sistema. Zakonitosti ili logika koji dovode do takvih rezultata u manjoj su mjeri bitni.Postoje, dakle razlicite racunske i sklopovske metode ( matematicki i logicki postupci ) generiranja pseudoslucajnih brojeva.Jedno od najvaznijih svojstava pseudoslucajnih brojeva je zahtijev da serija bude sto je moguce duza.

 U slucaju kad se, npr. pseudoslucajni brojevi generiraju pomocu registara, jedan od glavnih zahtjeva je da se dobije "maksimalna serija" .Takodjer je vazno da su zastupljeni svi moguci brojevi koji se mogu prikazati na samome registru (osim nule), da se sto bolje udovoljava testovima za provjeru slucajnosti itd. Iz navedenih teza,zakljucuje se kako nizovi pseudoslucajnih brojeva imaju svoju "kvalitetu" , te kako ona moze utjecati na rezulate dobivene simulacijskim eksperimentom.

Zbog toga, u nekim verzijama simulacijskog jezika GPSS-a ima i po desetak razlicitih generatora pseudoslucajnih brojeva. Kako bi se simulacijski eksperiment mogao napraviti s razlicitim nizovima pseudoslucajnih brojeva potrebno je uociti i eventualno eliminirati utjecaje nesavrsenosti pojedinih generatora pseudoslucajnih brojeva ili dijelova njihovih nizova.

Congruentna metoda

Jedna od najcesce upotrebljavanih programskih metoda za generiranje pseudoslucajnih brojeva je Congruentna metoda ili metoda ostatka. Kod te metode se novi slucajni broj Ci+1 dobiva od

prethodnog boja Ci prema sljedecoj formuli:  

( Ci+1 = (Ci * lambda + mi) * ( MODULO P) )  

Iz navedene formule je vidljivo da se novi slucajni broj dobiva tako da se prethodni broj Ci pomnozi s lambda i tome doda mi. Nakon toga se dobiveni rezultat podijeli s P i uzme ostatak kao novi slucajni broj itd. Da bi se Congruentnom metodom mogao generirati niz pseudoslucajnih brojeva mora postojati odredjeni pocetni broj (sjemenski broj, engleski seed), kao i konstante lambda (tzv. magicna konstanta), mi i P. Osim takve mjesovite Congruentne metode, cesto se upotrebljavaju i generatori kod kojih je mi = 0 . To je tzv.multiplikativna Congruentna metoda. Ona daje samo za nijansu nekvalitetnije nizove nego mjesovita Congruentna metoda, a izracunavanje pojedinog broja je znatno jednostavnije. To je, dakako, veoma vazno, buduci je u simulacijskim eksperimentima potreban ogroman broj slucajnih velicina, pa se i izracunavanja obavljaju mnostvo puta. Osim toga, u digitalnom racunalu se formule generiranja pseudoslucajnih brojeva realiziraju pomocu odgovarajucih programa.Ako u gore navedenoj formuli, upotrijebimo generator tako da je lambda = 1 dobivamo tzv. aditivnu Congruentnu metodu.

Pocetni broj (sjemenski broj, engleski seed), konstante lambda, mi i P uveliko utjecu na svojstva dobivenih serija i nije niposto svejedno kakve ce se konstante upotrijebiti. One ne mogu biti odabrane nasumice. Svaka potencijalna vrijednost konstantemora biti pazljivo ispitana, jer vrijednosti konstanti odredjuju slucajnost brojeva u nizu i samu periodu niza. Mnogi istrazivaci su pokusavali dobiti odgovarajuce konstante pomocu kojih bi se dobili kvalitetni nizovi pseudoslucajnih brojeva. Pri tome je osnovno pravilo da se pri simuliranju upotrebljavaju samo takvi provjereni nacini za dobivanje kvalitetnog niza pseudoslucajnih brojeva: Moshman za decimalne brojeve predlaze lambda = 73,713 ili 717 , dok su Taussky i Todd predlozu za binarne lambda = 52k+1, a Greanberger lambda = 218+3 .

Odabir varijable P je 10 na neku potenciju za decimalne brojeve ili 2 na neku potenciju za binarne brojeve.

Aditivna metoda

Aditivna metoda za generiranje pseduoslucajnih brojeva,razlicita je od prethodno opisane congruentne aditivne metode s lambda=1. Broj Cj se generira dodajuci neposrednom prethodniku broj generiran m koraka prije prema formuli:

Za aditivni proces potrebano je m pocetnih brojeva. Proces ovisi o varijablama: m-stupnju prethodnih brojeva i n-velicini rijeci.Empirijski testovi kojima je podvrgnuta ova metoda pokazuju da vrijednost varijable m mora biti veca od 16.Takav generator moze se upotrijebiti za generiranje dugackih nizova slucajnih brojeva ( npr. n=35,n=16 period je 255 * 234) . Podvrgavanjem pseudo - slucajnih brojeva razlicitim statistickim testovima odredjuje njihovu kvalitetu i svojstva.  

Shift registar kao generator pseudoslucajnih brojeva

Osim generiranja pseudoslucajnih brojeva programskom realizacijom matematickih formula (osim navedenih postoje i druge), pseudoslucajni brojevi se mogu realizirati i sklopovima, odnosno hardwerski. Jedan od mogucih primjera bazira se na upotrebli tzv. "shift-registar" kojem je dodat modulo-2 zbrajalo ili EXILI .Ulazi zbrajala su spojeni na razlicite bistabile registra tako da formiraju jednostruku ili visestruku zatvorenu petlju, tj. preko zbrajala je realizirana povratna veza. Osnovna je prednost takvih generatora velika brzina rada. Za svaki pseudoslucajni broj dobiven pomocu programa treba izvesti vise instrukcija, koje mogu trajati, npr. oko 1 mikro sekunde ili vise od toga. Tako za generiranje jednog slucajnog broja treba desetak ili vise desetaka mikro sekundi , angazirajuci kroz to vrijeme procesor. Suprotno tome, pomak podatka na shift-registru se moze uciniti za npr. 0,1 mikro sekundi, ako se upotrijebi generator takta od 10 MHz, a sa suvremenim elektronskim sklopovima mogu se upotrebljavati i mnogo brzi generatori takta od npr. 100 MHz, pa i vise.

Povratna veza shift registra realizirana je pomocu " EKSKLUZIVNOG ILI ( MODULO 2 ) ", koji se spoja na razlicite stupnjeve shift registra i cini povratnu vezu.

"EKSKLUZIVNOG ILI ( MODULO 2 ) " simbol i tablica stanja:

Primjer. Generiranje pseudoslucajnih brojeva upotrebom 4 bitnog (n=4). shift-registra

U ovom primjeru generiranja pseudoslucajnih brojeva upotrebljava se shift-registar od samo 4 bita (n=4). To bi dakako bilo za stvarnu upotrebu premalo, jer bi se, eventualno, mogla dobiti "maksimalna" serija od svega 15 brojeva, ako se iskljuci nula. No, to je dovoljno za prikaz principa rada takvih generatora pseudoslucajnih brojeva. Bistabili shift-registra prikazani su brojkama od 1 do 4. Prije pocetka rada na registar se zapisuje pocetan broj .

Povratna veza na slici (a) izvedena je usporedbom bita 1( koji je pomaknut 3 bita od krajnjeg desnog bita) i samog krajnjeg desnog bita 4.Pretpostavi se da je u registru bio zapisan pocetni binarni broj 1000. Ulazi 1 i 4 modulo-2 zbrajala( operacija na slici je oznacena s (+)) u prvom koraku imaju vrijednosti 0 i 1 te kao rezultat logicke operacije iz zbrajala dobijamo izlaz 1.

Rezultat se pri shiftu unese na prvi bit s lijeve strane, a ostali se bitovi pomaknu po jedan korak udesno, te se dobije novi broj 1100. Na isti nacin moze se pratiti stanje shift-registra kroz sve ostale korake. Poslije 16 koraka , sadrzaj shift-registra je opet 1000 i ponavlja se isti niz brojeva.Vidi se da je ostvarena maksimalna serija (perioda), dobiva se sve moguce kombinacije stanja bistabila shift registra kroz 16 koraka , osim kombinacije svih nula.

Slika (b) prikazuje povratnu vezu izvedenu usporedbom 3 bita (koji je pomaknut 3 bita od krajnjeg lijevog bita) i krajnjeg desnog bita 4.Povratna veza je suprotna prethodno promatranoj vezi, te promatrajuci nizove iz smjera oznacenih plavim strelicama vidi se da su nizovi identicni, tj. serije su simetricne Ako pomaknemo povratnu vezu s pozicije m na n-m dobit cemo suprotan niz.

Slikom (c) prikazan je jos jedan moguci cetiri-bitni generator. Ako se promatra dobiveni niz pseudosuicajnih brojava dobivenog generatorom s pocetnim vrijednostima 1000 i 1111, dobije se serija od sest brojeva.Dok s pocetnom vrijednoscu 1011 dobije se serija od samo tri broja.  

Iz datih primjera vidi se da odabir pocetnog broja i povratne veze uveliko utjece na seriju ( periodu ) niza brojeva . Korisnik mora upotrijebiti provjerene i testirane nacine za dobivanje pseudoslucajnih nizova. To znaci da je vazno odabrati odgovarajucu povratnu vezu i pocetni broj, kao i u slucaju programskog generiranja pseudoslucajnih brojeva. Sve to, dakle, vazi onda kada korisnik zeli samo upotrebljavati nizove pseudoslucajnih brojeva, a ne traziti i istrazivati nove nizove kvalitetnih slucajnih brojeva.

Serije mogu biti:

- NEMAKSIMANE

- MAKSIMALNE ( 2n-1 brojeva - sve konbinacije osim svih nula ),

Generiranje pseudoslucajnih dogadjaja s proizvoljnom raspodjelom

Postoji vise razlicitih nacina na koji se mogu generirati pseudoslucajni nizovi brojeva s jednolikom raspodjelom. Medutim, ne postoji neki opci nacin kako bi se izravno generirali slucajni brojevi s bilo kojom drugom raspodjelom, prikazanom matematickim izrazom ili nekom eksperimentalno dobivenom krivuljom skupljanjem statistike iz realnog sistema. Najcesce upotrebljavana kontinuirana raspodjela je normalna (Gausova) kojom se cesto aproksimiraju razne brojevne funkcije( f(x) ) dobivene na bazi eksperimenta na odredjenim sistemima. Poisson - ovu razdiobu kojom se opisuju dogadjaji koji imaju malenu vjerojatnost ( rodjenje cetvorki.. ) ,najcesce je upotrebaljavana diskretna raspodjela.U simuliranju upotrebljavamo tzv. Monte Carlo metodu transformacija slucajnih brojeva s jednolikom raspodjelom u slucajne brojeve s nekom drugom raspodjelom.

Normalna ( Gausova ) razdioba

Normalna ( Gausova ) razdiba je najcesce upotrebljavana kontinuirana razdioba, koja se susrece u teoriji i primjeni. Za slucajnu varijablu kaze se da je distribuirana po zakonu normalne razdiobe ako je u podrucju njezinih vrijednosti ( - besk. , +besk. ). Funkcija vjerojatnosti sadrzi oblik dolje navedene formule:

Poisson - ova razdioba

Poissovova razdioba opisuje slucaj kad je vjerojatnost dogadaja vrlo mala ,a velicina skupa " beskonacna " .Ova razdioba jednoznacno je odredena parametrom m pa i sve za nju karakteristicne velicine ovise o m.Na ovaknu razdiobu nailazi se onda kada je m manji u odnosu na n (n - ukupan broj pokusa ), tj. kad se radi o dogadjajima cija je vjerojatnost mala.

Monte - Carlo metoda 

Monte - Carlo metoda je metoda za direktnu simulaciju slucajnih dogadjaja.Omogucuje generiranje pojedinacnih stohastickih velicina u slucaju kada je poznata njihova raspodjela. npr. tansformaciju slucajnih brojeva s jednolikom raspodjelom ( slucajne brojeve s jednolikom raspodjelom jednostavno je generirati ) u slucajne brojeve s nekom drugom raspodjelom.Stohasticke velicine s bilo kojom raspodjelom nije moguce generirati direktno, dok ih

se bez problema moze generirati jednolikom raspodjelom upotrebom razlicitih " kockarskih " metoda ( kocka, rulet..)odakle dolazi i naziv ove metode MONTE - CARLO . Generiranu stohasticku varijablu s jednolikom raspodjelom , moze se transformirati u stohasticku varijablu s bilo kojom drugom poznatom raspodjelom opisanom kumulativnom funkcijom f (x).

Ako se slucajni brojevi s jednolikom raspodjelom u podrucju 0 -1 izjednace s vrijednoscu F(x), onda se mogu pronaci slucajne vrijednosti X po zeljenoj raspodjeli f(x). Drugim rijecima, od poznatog ili pretpostavljenog F (x) dolazi se do pojedinacnih dogadaja, to je postupak obrnut od skupljanja statistike, odredivanja raspodjele i kumulativne funkcije raspodjele.

Slika .Monte Carlo metoda za transformaciju slucajnih brojeva s jednolikom raspodjelom u slucajne brojeve odredjene kumulativnom funkcijom raspodjele

Kumulativna raspodjela F(X) po kojoj se zeli generirati slucajne brojeve prikazuje se u podrucju od 0 do 1. Slucajni brojevi s jednolikom raspodjelom takodjer su prikazani u podrucju od 0 do 1,a sluze kao ulazne velicine u F(X). Na osi X ocitava se slucajni broj sa zeljenom raspodjelom. Da se to moze raditi na takav nacin, postoje odgovarajuci matematicki dokazi, koji se mogu pronaci u literaturi. Nas cilj je samo upotrebljavati tu metodu u simuliranju.

Neke cesto upotrebljavane krivulje raspodjele se nalaze vec ugradjene u odredjene verzije simulacijskog jezika GPSS. Za transformaciju se moze upotrijebiti i neki od desetak generatora pseudo-slucajnih brojeva ili se, alternativno, jedan simulacijski eksperiment moze izvesti s pocetnim dijelom niza pseudoslucajnih brojeva,dok se drugi izvodi s nastavkom tog istog niza.

Tako se moze, npr. pomocu bloka simulacijskog jezika GPSS: GENERATE generirati transakcije koje ulaze u model po bilo kojoj raspodjeli, one reprezentiraju kupce koji ulaze u samoposluzivanje, klijente koji ulaze u banku ili postu, automobile koji dolaze na parkiraliste itd. Na slican nacin se blokom ADVANCE moze simulirati utrosak vremena za posluzivanje, koji je slucajan i po bilo kojoj raspodjeli.

Primjeri za upotrebu Monte -Carlo metode

Imamo puno primjera za prikaz upotrebe Monte - Carlo metode simuliranja.Primjer koji smo izabrali, nije samo poucan,nego prikazuje sistem koji moze pokriti sve grane znanosti.Takav sistem moze se naci u nuklearnoj spektrometriji, u generiranju elektricnog suma, u proucavanju zivaca i misica, proucavanju nuklearnih rezonantnih krivulja....Svi ovi primjeri mogu biti prikazani s modelom Poisson-ove sume statistickih tezina..

Model Poisson - ove sume statistickih tezina 

Za sve navedene slucajeve u kojima se upotrebljava ova metoda,koristi se identican model sa stimulacijom sistema.

Stimulacijom sistema,sistem generira k slucajnih impulsa. Broj generiranih impulsa, kao i amplitude impulsa su slucajne velicine.Broj impulsa k koji su generirani distribuiran je po Poisson-ovoj slucajnoj razdiobi P(k), sa srednjom vrijednoscu m. Amplituda x svakog impulsa distrubuirana je po funkciji razdiobe f(x). Funkciju f (x) moze se dobiti na osnovi baze podataka dobivenih pomocu pokusa ili moze biti aproksimirana Gauss-ovom razdiobom. Na temelju tih dviju slucajnih velicina trazimo sumu s te dobijamo sumu:

Sistem se stimulira N puta, i trazi se koliko je puta dobivena suma s.Trazi se funkciju raspodjele gustoce vjerojatnosti (s).

Primjer.

Ovakav model kao sto je spomenuto moze se upotrijebiti za simulaciju na razlicitim sistemima.Jedan tipican primjer bi bio u medicini.Misici se stimuliraju elektricnim impulsima (stimulans), a nakon toga misic reagira slucajnim brojem trazaja(k) i svaki trzaj ima odredjenu jakost(amplitudu) X.Trazi se velicina s kao rezultatat dviju slucjanih velicina k i x.

 

Suma statistickih tezina pomocu " OFF - LINE " racunala

Sumu statistickih tezina pomocu “ OFF - LINE ” racunala prikazna je pomocu dijagrama toka u 7 osnovnih koraka. Koraci 1,2 i 3 predstavljaju osnovne uvijete pokusa,dok koraci 4,5,6 i 7simuliraju jedan stimulans i ponavljaju se N puta.

1.U prvom koraku , program ucita m (srednju vrijednost Poisson-ove raspodjele), izracunava Poisson-ovu razdiobu i Poisson-ovu integralnu razdiobu P(k):  

 

Razdiobom P(k) dobiva se broj slucaja kada suma sadrzi manji ili jednak broj impulsa od k impulsa.

2.U drugom koraku program cita funkciju razdiobe amplitude f(x).Obicno f(x) moze biti prikazana(aproksimirana) Gaussov-om razdiobom , u tom slucaju potrebno je osigurati vrijednosti za varijable (srednje vrijednosti) i (standardne devijacije) ili moze biti dobivena na osnovi elsperimentalnih podataka.Program pretvara razdiobu f(x) u integralni oblik F(x).

3.U trecem koraku ,program trazi da se unese broj stimulacija N.Za detaljniju i precizniju statisticku analizu, vrijednost N mora biti barem par tisuca stimulacija.

4.U cetvrtom koraku integralna Poisson-ova razdioba je upotrebljena za odredjivanje broja impulsa unutar sume impulsa .Za j-ti stimulans generira se slucajni broj s jednolikom raspodjelom izmedju 0 i 1.Dobiveni broj se usporedjuje s integralnom Poissonov-om razdiobom. Dobiva se varijabla k, koja oznacava broj impulsa dobivenih s promatranim stimulansom. Ako generator slucajnih brojeva generira sve impulse izmedju 0 i 1 s jednakom vjerojatnoscu. Vrijednosti varijable k ce se ponasati po Poisson-ovoj razdiobi.

5.U petom koraku integralnu funkciju raspodjele amplitude F(x) koristi se za odredjivanje slucajne amplitude jednog impulsa. Nacin je isti kao u prethodnom koraku u kojem je upotrijebljen generator slucajnih brojeva. Korak se ponavlja za svaki impuls( za k -impulsa k-puta se ponavlja u petlji).U istom koraku proizvedena je suma od k impulsa sa slucajnom amplitudom x1,x2, ,xk.Ta suma prikazuje izlazni rezultat stimulacije.

6.U sestom koraku formira se funkcija raspodjele gustoce vjerojatnosti za s. (s)= (s)+1 ,dodaje se1 iznosu dobivene sume.

7.Sedmim korakom , simulacija stimulacije zavrsava ako je j<N, tj. ako je j-ti stmulans ujedno i zadnji. Poslije N puta, prelazi se na crtanje krivulje funkcije raspodjele gustoce vjerojatnosti (s).

LITERATURA

- G. S. Fishman Concepts and Methods in Discrete Event Digital Simulation, John Wiley & Sons 1973

- B. Soucek Minicomputers in Data Processing and

Simulation, John Wiley & Sons, Inc. New York 1972 - J. Reitman Computer Simulation Applications, John Wiley & Sons, Inc. New York 1971 - G.Smiljanic Predavanja iz kolegija Modeliranje i simuliranje