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monografia de matematica
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CAPITULO I
1. Integración indefinida
El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene
por pendiente
ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x
Se muestran tres de las infinitas primitivas de ƒ(x) que se pueden obtener
variando la constante de integración.
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es
una función F cuya derivada es f, es decir, F′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un
intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad,
que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f,
entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce
como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de
una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le
llama integral indefinida de f y se representa como:
ó
1
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración
indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas
están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema
fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular
integrales definidas de numerosas funciones.
2. Antiderivadas
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la
derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada
produce la función dada.
Ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x).
Observe que no existe una derivada única para cada función.
Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).
La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida
se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la
variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.
Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la
siguiente:
2
Teorema
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un
conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo
difieren en una constante.
Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números
reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede
escribir
Como constante real.
Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida
3. Interpretación geométrica de la integral
Se llama integral indefinida de una función y=f(x) al conjunto de todas las
primitivas de f. A la integral indefinida de la función f se le nota por la expresión
Y se lee integral de f diferencial de x. Al símbolo que inicia la expresión (y que
tiene forma de s alargada) se le llama signo integral y lo que le sigue integrando.
Para calcular la integral indefinida de una función. Basta con calcular una
primitiva y la integral indefinida será la familia de funciones que resulte de sumar
a esa primitiva una constante.
3
Donde F(x) es una primitiva de f(x).
A la constante C se le denomina constante de integración.
se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo
[a, b], y se nota por:
La expresión f(x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es
el límite inferior, y b, el límite superior.
Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal. Sea f integrable sobre [a, b]
y defínase F sobre [a, b] por
Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable
en c, y el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los
puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a,b] y F' = f
si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función
Segundo teorema fundamental del cálculo
infinitesimal [Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F,
A) Integrales inmediatas
4
Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla
(escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones
elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al
revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:
Aquí están
Función : primitiva de Función : derivada de
5
Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Como no se conocen
primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2.
2x es la derivada de x2, 3x2es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como
primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una
condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se
trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente
determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces
forzosamente k = 7.
B) Método de sustitución
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la
derivada de la función compuesta.
Para cambiar de
variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una
nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
6
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inicial:
Ejemplo
7
Cambios de variables usuales
1.
2.
3.
4.
5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un
mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable est elevado al mínimo
común múltiplo de los índices.
6. Si es par:
8
7. Si no es par:
Integración por partes I
El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y
se utiliza para resolver algunas integrales de productos.
Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que
la integral de v' sea inmediata.
Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se
eligen como v'.
Ejercicio:
9
10
4. Integrales de funciones racionales
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es
menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que
numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los
siguientes tipos de integrales racionales:
Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples
La fracción puede escribirse así:
11
Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la
suma e identificando coeficientes o dando valores a x.
Ejemplo
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han
de ser iguales:
Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan
al denominador.
12
Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples
La fracción puede escribirse así:
Ejemplo
Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al
denominador y otro más.
13
Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples
La fracción puede escribirse así:
Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de
tipo arcotangente.
Ejemplo
Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando
coeficientes:
14
4. La integral definida
Propiedades de las sumatorias
Resumen
El trabajo muestra problemas que deben enfrentar a diario los especialistas
de diversas ramas del conocimiento, y para su determinación se trabaja
desde el punto de vista teórico en la obtención de expresiones compactas.
Tomando en cuenta el amplio espectro de aplicaciones que pueden ser
beneficiadas con este tipo de resultado, en el presente trabajo se realiza una
recopilación de las propiedades de las sumatorias reportadas en la literatura,
posterior a lo cual se proponen y demuestran otro conjunto particularmente
relevante cuando se trabaja con funciones de variable discreta cuyo
intervalos de variación son uniformes en todo el dominio de la función.
15
Introducción
El estudio de fenómenos y procesos que ocurren en la Naturaleza y
la Sociedad conduce a la formulación de modelos que los describen y
predicen su comportamiento, los cuales, no obstante su diversidad, pueden
agruparse en dos categorías: continuos, como la descripción de la
transmisión del movimiento a través de una cuerda, el desplazamiento de un
vehículo, etc., o discretos, como la serie de pagos históricos de una entidad,
los registros de temperatura de un país o territorio, etc.
Esta última categoría, discretos, tiene gran importancia en la actualidad
atendiendo al acelerado desarrollo de las técnicas digitales, que en la
práctica es un proceso donde toda la información, en última instancia, se
representa a través de conjuntos ordenados de dos valores lógicos: falso o
verdadero.
En términos matemáticos, el estudio de las funciones cuya variable
dependiente exhibe una variación discreta constituye una especialidad, que
tiene en las sumatorias y series un componente relevante.
Tomando en cuenta lo señalado, en el presente trabajo se relacionan un
conjunto de propiedades reportadas en la literatura sobre las sumatorias y se
deducen otras que pueden facilitar cálculos tales como la solución
de Sistemas de Ecuaciones Lineales resultantes del planteamiento del
problema de la obtención de expresiones analíticas para la derivada de
funciones de variable independiente discreta.
1. Generalidades
Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se
denota como sigue:
16
Donde:
S: magnitud resultante de la suma.
T: cantidad de valores a sumar.
k: índice de la suma, que varía entre h y h+t
h: punto inicial de la sumatoria
h+t: punto final de la sumatoria
nk: valor de la magnitud objeto de suma en el punto k
Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t→
∞, que se conoce como serie y se representa de la manera siguiente:
Considerando la amplitud que reviste el análisis de las series, este tema no
será abordado en este trabajo.
2. Propiedades de las sumatorias
Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura
se encuentra las once que se relacionan a continuación, cuya demostración
se realiza utilizando el procedimiento matemático de Inducción Completa.
Propiedad #1:
Propiedad #2:
17
Propiedad #3:
Propiedad #4:
Propiedad #5:
Propiedad #6:
Propiedad #7:
Propiedad #8:
Propiedad #9:
Propiedad #10:
Propiedad #11:
En la práctica existen múltiples problemas cuya solución conduce
al cálculo de sumatorias que cumplen con requisitos especiales, como es el
caso de la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales resultante para la
determinación de las derivadas de funciones con intervalo de variación
uniforme de la variable dependiente; los problemas que exhiben simetría,
18
etc., bajo cuyas condiciones es posible obtener expresiones útiles de trabajo,
que simplifican las operaciones a realizar, entre las que pueden señalarse las
que se deducen a continuación.
3. Considerando simetría en el recorrido del índice de la suma
Una condición que trata de utilizarse siempre que sea posible, ya que
simplifica los cálculos en los modelos de fenómenos o procesos, es la
simetría, la que en términos de las sumatorias esta característica se
corresponde con la variación del índice de la suma en el intervalo como
se indica a continuación:
Bajo esta hipótesis de trabajo, es posible obtener el conjunto de propiedades
que se demuestran a continuación.
Propiedad #1:
Demostración:
Propiedad #2:
Demostración:
Propiedad #3:
19
Propiedad #4:
Propiedad #5:
5. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con variable
independiente de la forma x ± kD x
Una aplicación en la cual las sumatorias simétricas adoptan un término
interesante es el caso de la obtención de expresiones analíticas por el
cálculo de las derivadas de funciones de variable discreta, en el cual es
común trabajar con términos de la forma elevado a una
cierta potencia. A continuación se deducen cinco propiedades de
gran utilidad práctica.
Propiedad #1: Cálculo de
20
Propiedad #2: Cálculo de
Propiedad #3: Cálculo de
Propiedad #4: Cálculo de
Propiedad #5: Cálculo de
21
Propiedad #6: Cálculo de
22
6. Área de una región plana por sumatoria
23
24
El área de la región R está dada por:
A=limn→∞
∑i=1
n
f ( xi−1)ΔΧ=limn→∞
∑i=1
n
f ( xi ) Δx
Al aplicar la fórmula o Ecuación recordemos que Δx=b−a
n y x1=a+iΔx
para i=0, 1, 2, …..n pues xi está a i pasos de longitud Δx a la derecha de
Χ 0=a
Ejemplos
1) Determinar el área bajo la gráfica de f(x)=x2 en el intervalo [0,3 ] .
Solución:
Si dividimos 0, 3 en n subintervalos, de la misma longitud.
Δx=b−an
=3−0n
=3n ⇒
Δx=3n
x i=a+iΔx ⇒ x i=0+i
3n
Por tanto: ∑i=1
n
f ( x i)Δx=∑i=1
n
( x i )2Δx
sustituimos
∑i=1
n
( 3in )2
( 3n )=∑i=1n27 i2
n2 aplicando propiedad de sumatorias,
25
=
27n2
∑i=1
n
i2
aplicamos la fórmula de sumatoria
=27n2 (
13n3+ 1
2n2+ 1
6n)
Aplicamos límite cuando n→∞
A=limn→∞
27( 13 +12n
+1
6n2 )=27 ( 13 )=9 Pues
12n y
1
6n2 tienden a cero cuando
n→∞ ... A = 9u2
7. Partición de un intervalo cerrado
7.1. Partición de un intervalo [a, b]
Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos
contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y
cuya unión es [a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por
los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele
expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la partición de
26
[a, b] es:
7.2. Definición
de partición
Sea a<b. recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] todo conjunto
finito de puntos {t0 , t1 , t2 , ........tn-1 , tn} de [a, b] de forma que uno de ellos
coincide con a y otro con b, a = t0 < t1 < ......... < tn-1 < tn = b
27
8. Aproximación del área de una región plana por área de rectángulos
Supongamos la gráfica de
Limitada por el eje x, entre x=0 y
x=2.
Cuya gráfica corresponde a:
Vamos a utilizar el método del
exhaución (arquímedes) para
calcular el área comprendida entre
la gráfica de f(x) y las rectas x=0 y
x=5
Utilizaremos 5 rectángulos para
aproximar el área de la región que
corresponde a la imagen superior.
Primero utilizaremos rectángulos que aproximarán el área por defecto.
28
La base de cada rectángulo dibujado es 2/5 (puesto que hemos dividido 2
unidades en cinco partes iguales).
Los puntos terminales de la derecha en cada intervalo los podemos expresar
como (2i / 5), siendo i=1, 2, 3, 4,5
La altura puede obtenerse evaluando f en el punto terminal derecho de cada
intervalo
De manera más exacta, podemos expresar la suma de las áreas de los cinco
rectángulos como:
Aquí vemos que la aproximación por defecto al área buscada utilizando los
cinco rectángulos es 6.48 unidades cuadradas
Procedamos ahora a aproximar el área por exceso:
La base de cada rectángulo dibujado vuelve a ser 2/5 (puesto que hemos
dividido 2 unidades en cinco partes iguales). Ahora la altura de cada
rectángulo viene dada por el valor de la función en cada punto terminal de la
izquierda. Siendo (2(i-1) / 5), siendo i=1, 2, 3, 4,5
El Área del i-ésimo rectángulo= 2/5. F (2(i-1)/5)
La suma de todos los rectángulos vendrá dada por el sumatorio siguiente
expresado en notación sigma:
29
Aquí vemos que la aproximación por exceso al área buscada utilizando los
cinco rectángulos es 8.08 unidades cuadradas.
Podemos concluir que el Área de la región objeto de estudio está
comprendida entre las dos medidas encontradas:
6.48 < Área de la región plana < 8.08
Si quisiéramos afinar la medición lo que tendremos que hacer será aumentar
el nº de rectángulos, por ejemplo si utilizamos 25 rectángulos para aproximar
la medición, tendríamos:
Área por defecto = 7.1712
Área por exceso = 7.4912
7.1712 < Área de la región plana < 7.4912
DEFINICIONES
Gráfica 1
Como habíamos mencionado
anteriormente, nuestra
preocupación ahora, es
encontrar el área de cualquier
superficie sin importar su forma.
Supongamos que queremos
hallar el área de la región
comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la
función f(x) (Gráfica 1).
30
Gráfica 2
Ahora, supongamos que
tomamos la región y la
dividimos en una serie de
rectángulos de base x (Gráfica
2.). Si lográramos calcular el
área de cada uno de esos
rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del
área total de la región que deseamos.
Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola
expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del
intervalo [a,b], tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:
de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo
así:
Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos,
es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser
cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi
puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la
aproximación:
Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que
deseamos. Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las
particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más
grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de
la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que Pse haga tan
pequeño como pueda o que el número de
31
particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor
aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).
Gráfica 3
De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de
rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos
rectángulos sean muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta
aproximación del área que tanto hemos buscado. Y esto se representa así:
que es equivalente a con esto ya encontramos la mejor aproximación del
área. Ahora si, podemos definir la integral definida ya que,
Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la
hemos definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera
aplicación de la integración definida, hallar el área bajo una curva.
Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las
partes que la componen.
Toda la expresión se lee, integrable f(x), desde a hasta b; a y b, son los
límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El
símbolo", es una s mayúscula alargada, que significa suma y se llama
símbolo de integración. La función f(x), es el integrando y el dx, se llama
diferencial y es el que lleva la variable de integración que en este caso es x.
9. Aplicaciones de la integral definida
9.1. Áreas de regiones planas
Casos
32
Encontrar el área bajo la gráfica de f(x) + de x0 a x3.
Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente.
Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una
aproximación de esta región se puede encontrar usando dos rectángulos. La
altura del primer rectángulo es f(0) 3 y la altura del segundo rectángulo es
f(1,5) . El ancho de cada rectángulo es 1,5
El área total de los dos rectángulos es:
A 3 . 1,5 + . 1,5 8,397114317 unidades cuadradas.
33
Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real.
Para lograr una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres
partes iguales, cada uno de una unidad de ancho.
La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero
f(2). En todos los casos el ancho del subintervalo es 1 es decir, la medida de
la base es 1 unidad.
El área total de los tres rectángulos es:
Área 1 . f(0) + 1 . f(1) + 1 . f(2) 1 . 3 + 1 . + 1 .
Área 8,064495102 unidades cuadradas.
Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior
pero aún es mayor que el área real buscada.
Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con
anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada
rectángulo 0,5 unidades.
34
Rectángulo x f(x)Ancho de
la baseÁrea
1 0 3 0,5 1,5
2 0,5 0,5 1,479019946
3 1 0,5 1,414213562
4 1,5 0,5 1,299038106
5 2 0,5 1,118033989
6 2,5 0,5 0,829156197
Área total 7,63946180
De la misma forma analizamos el área total considerando rectángulos de
medida de base 0,25 unidades.
Este proceso de aproximar el área bajo una curva usando más y más
rectángulos para obtener cada vez una mejor aproximación puede
generalizarse. Para hacer esto podemos dividir el intervalo de x 0 a x 3
en n partes iguales. Cada uno de esos intervalos tiene ancho de
medida y la altura determinada por el valor de la función en el lado
izquierdo del rectángulo es decir fi donde i 1, 2 , 3, ....., n. Si
utilizamos el ordenador podemos hacer los cálculos tomando cada vez más
rectángulos.
35
n Área
150 7,09714349
2500 7,0703623
10000 7,069030825
45000 7,068683193
Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de
rectángulos es cada vez más grande observamos que la suma de sus áreas
se acerca cada vez más al área real de la región.
En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas
cuando n crece indefinidamente, lo que puede escribirse:
Área (suma de las áreas de los n rectángulos)
Esta situación se puede visualizar en la animación siguiente.
36
Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la
comprensión intuitiva del Cálculo Integral.
Si calculamos el área utilizando la fórmula del área de un círculo y teniendo
en cuenta que el área sombreada es la cuarta parte del área del círculo de
radio 3 con centro en el origen resulta:
Área A 9 7,068583471.
9.2. Aplicación de la integral en los sólidos de revolución
Sea f una función definida en el intervalo [a,b].
Recibe el nombre de sólido de revolución, el sólido generado al girar
alrededor del eje x, la región limitada por la gráfica de y= f(x), el eje x y
las gráficas de x=a y x=b. El eje x es un eje de simetría de dicho sólido y
una sección recta perpendicular al eje x es un círculo.
37
Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un
procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el
"volumen" de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes
de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.
Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos
elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por
definición, el producto del área de la base por el espesor (o altura).
Consideremos una partición Pn del intervalo [a,b.] determinada por el
conjunto de números
donde, con. , con
Sea un aumento de Pn.
Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son
, y cuyas bases tienen radios
38
El volumen del n-ésimo disco es:
La suma
de los volúmenes de los discos nos da una aproximación al volumen del
sólido de revolución.
Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la
aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la
siguiente definición:
Si existe un número tal que dada exista para la cual
para toda partición Pn de [a,b] y todo aumento Tn de Pn, y con , este
número es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada
por las gráficas de alrededor del eje x.
39
Si es la función dada por para , entonces la
suma de aproximación:
utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede
escribirse como:
donde
.
Luego, de la definición de integral y de
la definición de dada, se tiene que
Consideremos ahora dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado
[a,b], tales que para . Sea la región del plano
limitada por las curvas con ecuaciones y=f(x), y=g(x) y las rectas con
ecuaciones x=a, x=b.
Deseamos determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar
la región alrededor del eje x (note que en este caso no giramos la región
alrededor de una de sus fronteras).
El sólido generado se muestra en la siguiente figura:
40
Sea Pn una partición del intervalo [a,b] determinada por el conjunto de
números con para
, y sea un aumento de Pn.
En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de
aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.
Se muestra a continuación el ésimo rectángulo y el ésimo anillo circular
generado al rotar aquel alrededor del eje .
por lo que el volumen del n-ésimo elemento sólido será:
Entonces, la suma de aproximación
para el volumen del sólido de
revolución es:
Puede suponerse que mientras más
delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma
anterior al volumen del sólido.
41
Si existe un número V tal que dada exista para la cual
Para toda partición Pn de [a,b] y todo aumento Tn de Pn, y con , este
número de es el volumen del sólido obtenido por revolución del área
limitada por las gráficas de y=f(x), y=g(x), x=a, x=b, alrededor del eje x.
Si h es la función dada por: para ,
entonces la suma de aproximación
Utilizada en la definición 8, puede escribirse como:
Donde .
Luego se tiene que:
10. Sólidos de revolución
Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar
áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de
una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos
volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración
definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el
42
cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del
área, a una tercera dimensión.
Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su
volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que
un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su
base por su altura.
si
10.1. Método de los discos
Gráfica 5
Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda más fácil
comprender el concepto de volumen por el método de los discos. Como
sabemos las dimensiones del disco diferencial (Gráfica 5.), son muy
parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro
cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir
que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario
sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si
llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la
mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos como funciona la
integral definida, es por eso que para este caso el cálculo del volumen del
sólido, es una expansión del cálculo del área de una superficie plana.
43
Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es x, de aquí
deducimos que por lo tanto, dado que el volumen esta entre a y b
De esta manera, podemos calcular el volumen de un sólido, mediante el
método de los discos.
10.2. Método de las arandelas
Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también
se basa en discos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama
arandelas. El hecho que se
presente el agujero, se debe a
que el volumen de revolución
lo forma la rotación de dos
funciones, a un mismo sentido
y a un mismo ritmo, de donde
generalmente se forma un
sólido hueco.
Gráfica 6
Ahora, si miramos la Gráfica 6; nos damos cuenta que el proceso para hallar
el volumen es muy similar al del método anterior, pero aquí es necesario
hacer una resta de volúmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el
radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela,
, de aquí ya podemos hallar fácilmente el volumen del sólido, desarrollando
la integral definida en el intervalo [a,b].
10.3. Método de los casquillos cilíndricos
Cuando necesitamos hallar el volumen de un sólido de revolución, a veces
los casquillos cilíndricos nos pueden dar una solución más fácil, que el
método de las arandelas. En parte, la razón es que la formula a la que nos
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llevan no requiere que se eleve al cuadrado. Los métodos de discos y
arandelas usaban como elemento representativo de volumen un disco
circular, generado al girar un rectángulo orientado perpendicularmente al eje
de rotación o revolución. El método de los casquillos usa como elemento
representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo,
orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es
necesario que desarrollemos la fórmula para el volumen del cilindro
diferencial.
Gráfica 7
Anteriormente ya habíamos calculado el volumen de un cilindro, así que
aquí, miraremos una formula geométrica que nos
dice que el volumen de un casquillo barrido por
un rectángulo es:
V=2 (radio promedio del casquillo)(altura del
casquillo)(grosor) en nuestro caso es:
Gráfica 8
Supongamos que hacemos girar la región sombreada de la Gráfica 8,
alrededor del eje y para generar un sólido. Para hallar una aproximación del
volumen del sólido, así:
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Gráfica 9
Como podemos ver en la Gráfica 9, de la rotación resultan casquillos
cilíndricos diferenciales. Si hacemos la sumatoria de volúmenes de los
casquillos diferenciales, obtendremos el volumen del sólido de revolución.
Anteriormente, habíamos definido el volumen de uno de los casquillos
diferenciales en términos de la función, así que ya podemos afirmar que:
Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los volúmenes de los casquillos
diferenciales y es el método de los casquillos para calcular volúmenes de
revolución.
Volúmenes por rebanadas: Cuando analizamos el método de los discos para
hallar el volumen de un sólido, llegamos a la formula donde, era el área de la
sección circular y x el espesor del disco.
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Ahora podemos generalizar este método, para calcular el volumen de sólidos
con forma arbitraria, si conocemos el área de una de sus secciones. Por
ejemplo si A(x), representa el área de una sección en x, perpendicular al eje
x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando A(x) con respecto a
x.
Gráfica 10
Por ejemplo en la Gráfica 10, encontramos un sólido cuyas secciones
transversales son triángulos, de manera que si calculamos el área de uno de
esos triángulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos
el volumen total del sólido, es decir:
De esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier sólido, siempre
que conozcamos un elemento diferencial y la fórmula para hallar su área.
Longitud de arco: Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular
magnitudes con unidades cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva
a preguntarnos, ¿podemos medir unidades lineales mediante la integral
definida? Pues en esta aplicación veremos cómo podemos medir longitudes
usando esta magnífica herramienta del cálculo.
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Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido
muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o
simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos
sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de
manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta
vez de segmentos curvos.
De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la
distancia entre dos puntos usando la fórmula que deriva del teorema de
Pitágoras:
Esta fórmula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud
de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar
este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un
intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo
[a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita
entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus
puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.
Gráfica 11
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Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la
curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación
de su longitud. Tenemos i, donde es la partición correspondiente de [a,b] tal
que
a = n1< n2< n3< n4<…< ni = b
Con esto, estimamos una aproximación de la longitud del arco, que
denotamos s, así y podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo
[a,b], así: tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común
(x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es: ahora, como f'(x), es
continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo que
existe algún ci en [xi-1,xi], tal que: o equivalente: así, podemos decir que: que
realmente es equivalente a: que finalmente es lo que definimos en cálculo
integral como longitud de arco.
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BIBLIOGRAFÍA:
www . wikipedia.com
www.monografías .com
www. Starmedia .com
www lentech.com
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