MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - ŘEZY Geometrie 2

ŘEZY TĚLES

ŘEZ OBECNOU ROVINOU

1. Najdeme jeden bod řezu jako průsečík jedné (vhodné) hrany (površky) tělesa s rovinou řezu.

2. Další body řezu určíme pomocí osové afinity v prostoru u hranolů (válců) nebo středové kolineace v prostoru u jehlanů (kuželů).

Osa afinity (kolineace) je průsečnice roviny řezu a roviny podstavy a pár odpovídajících si bodů je bod na podstavě a první bod řezu.

3. Určíme viditelnost řezu tak, že strana řezu, která leží v neviditelné stěně hranolu, je neviditelná.

ROVINNÝ ŘEZ HRANOLŮ (HRANOLOVÝCH PLOCH)A JEHLANŮ (JEHLANOVÝCH PLOCH)

Rovinný řez hranolu rovinou, která není rovnoběžná s žádnou hranou, je n-úhelník,jehož jednotlivé strany jsou průsečnice stěn hranolu s rovinou řezu.

Rovinný řez jehlanu rovinou, která neprochází vrcholem jehlanu, ani není rovnoběžnás rovinou řídicího n-úhelníku jehlanu, je m-úhelník, jehož jednotlivé vrcholy jsouprůsečíky hran daného jehlanu s rovinou řezu.

AB

C

A´

B´

C´

1

2A

A´

B

B´ C

C´

D

D´

12

3

PRŮSEČÍKY PŘÍMKY S HRANOLEM (HRANOLOVOU PLOCHOU) A JEHLANEM (JEHLANOVOU PLOCHOU)

přímkou proložíme tzv. vrcholovou rovinu tělesa,

u jehlanu prochází vrcholem jehlanu a u hranolu je rovnoběžná s površkamihranolu,

určíme řez tělesa vrcholovou rovinou,

průsečíky přímky s řezem jsou hledané průsečíky přímky s tělesem.

p

X

Y

AB

C

V

p

X

Y

ROVINNÝ ŘEZ VÁLCE (VÁLCOVÉ PLOCHY )

Řezem válce:

• elipsa, kružnice (pokud je rovinařezu kolmá na osu),

• úsečka (přímka) (pokud se rovinařezu dotýká válce a jerovnoběžná s osou válce), bod(pokud se rovina řezu dotýkáválce na podstavné hraně),

• rovnoběžník (dvě rovnoběžky)pokud je rovina řezu rovnoběžnás osou válce (válcové plochy).

Pokud je řezem elipsa, příp. kružnice, pak meziřezem a podstavou platí osová afinita, jejížosou je průsečnice roviny řezu a roviny podstavy,směr afinity je dán směrem površek válce (příp.směrem osy válce).

Řezem je elipsa:

• Střed elipsy řezu je průsečík roviny řezu s osouválce.

• V podstavě (kružnice) si zvolíme dva sdruženéprůměry, které pomocí výše zmíněné osovéafinity, zobrazíme na dva sdružené průměryelipsy řezu.

S

S´

PRŮSEČÍK PŘÍMKY S VÁLCEM (VÁLCOVOU PLOCHOU)

• Přímkou proložíme vrcholovou rovinu válce (válcové plochy).

• Vrcholová rovina válce je rovnoběžná s jeho osou (příp. s površkami).

• Řezem válce (válcové plochy) takovou rovinou je čtyřúhelník (dvě rovnoběžky).

• Body, ve kterých řez touto vrcholovou rovinou protne danou přímku, jsou hledané průsečíky tělesa s danou přímkou.

p

X

Y

ROVINNÝ ŘEZ KUŽELE (KUŽELOVÉ PLOCHY)

• Je-li rovina řezu kuželové plochy vrcholová, pak je řezem: bod, přímka, dvěrůznoběžky.

• Není-li rovina řezu vrcholová, pak je řezem elipsa, parabola, hyperbola.

Mezi rovinou řezu a rovinou podstavy kužele platí středová kolineace se středemkolineace ve vrcholu kužele, osou kolineace je průsečnice roviny řezu a rovinypodstavy. Úběžnicí je průsečnice roviny podstavy a roviny rovnoběžné s rovinou řezu,která prochází vrcholem kužele.

Úběžnice se dotýká podstavy kužele - řezem parabola.

Úběžnice protíná podstavu kužele ve dvou bodech - řezem hyperbola.

Úběžnice podstavu neprotíná - řezem elipsa.

SESTROJENÍ ELIPTICKÉHO ŘEZU

• V podstavě kužele zvolíme vhodnýprůměr (kolmý na osu kolineace).

• Ten zobrazíme ve středové kolineaci.

• Středem bodů ohraničujících průměrřezu je střed řezu (elipsy).

• Určíme jeho obraz v podstavě. Tímtobodem rovnoběžně s osou kolineaceprochází tětiva podstavy, která sezobrazí v kolineaci jako sdruženýprůměr k výše sestrojenému průměru.

• Rytzovou konstrukcí elipsu sestrojíme.

V

´

uo

1

SESTROJENÍ PARABOLICKÉHO ŘEZU

• Úběžnice kolineace se dotýkápodstavy kužele.

• Spojnice středu kolineace(vrcholu kužele) a bodudotyku úběžnice s podstavouudává směr paraboly.

• Ke zjištění určujících prvkůparaboly (ohnisko, vrcholovápřímky, …) použijeme známézobrazení kružnice (elipsy) naparabolu pomocí středovékolineace (viz „zobrazeníkuželoseček pomocí středovékolineace“).

V

´

uo

SESTROJENÍ HYPERBOLICKÉHO ŘEZU

• Přímky určené průsečíkyúběžnice a vrcholemkuželové plochy určujísměry asymptot výslednéhyperboly.

• Užijeme konstrukci určujícíchprvků hyperboly pomocístředové kolineace mezikružnicí (elipsou) podstavya hyperbolou.

V

uo

´

PRŮSEČÍK PŘÍMKY S KUŽELEM (KUŽELOVOU PLOCHOU)

• Přímkou proložíme vrcholovou rovinu kužele (kuželové plochy).

• Určíme řez kužele (kuželové plochy) touto rovinou - trojúhelník (dvě různoběžky).

• Průsečíky přímky s tímto řezem jsou hledané průsečíky přímky s daným tělesem.

V

X

Y

p

ROVINNÝ ŘEZ HRANOLŮ A JEHLANŮ

Řez promítací rovinou

- jeden průmět řezu se zobrazí jako úsečka

- druhý průmět řezu leží na ordinálách

p1

n 2

A

B

C

D

E

F

G

H

A BCD

E FGH

1 1

1

1

1

1

1 1

2

2 2 2 2

2 2 2y

p1

n 2

A

B

C

D

E

F

G

H

A BCD

E FGH

1 1

1

1

1

1

1 1

2

2 2 2 2

2 2 2y

A1

B1

C1

D1

D2

C2

B2

A2

Řez obecnou rovinou

Příklad: Zobrazte řez kosého čtyřbokéhohranolu ABCDEFGH s podstavou ABCDv půdorysně rovinou .

p1

n 2

A

B

C

D

E

F

G

H

A BCD

E FGH

1 1

1

1

1

1

1 1

2

2 2 2 2

2 2 2y

p1

n 2

A

B

C

D

E

F

G

H

A BCD

E FGH

D´

D´

1 1

1

11

1

1

1 1

2

2

1

k

k

N

N =P

P

1

1

2

2

2 2 2 2

2

2 2 2y

p1

n 2

1

2

3

A

B

C

D

E

F

G

H

A BCD

E FGH

A´

A´

B´

B´

C´

C´

D´

D´

1 1 1

11

11

1

1

1 1 1

2

2

1

k

k

N

N =P

P

1

1

2

2

2 2 2 2

2

22

2

2 2 2y

Příklad: Určete řez trojbokého jehlanu ABCV s podstavou v půdorysně rovinou .

A B

C

V

A

B

C

V

1

1

1

1

2

2 2

n 2

p1

y

2

A =P B

C

V

A

B

C

V

A´

B´

C´

1

2

N

N

P

k

k

1

11

1

1

1

1

1 1

2

1

2

2

2 2 2

n 2

p1

y

A´

B´ C´

2

2 2

2

Příklad: zobrazte řez rotačního válce s podstavou v půdorysně rovinou a kolmou k nárysně.

Příklad: zobrazte řez rotačního válce s podstavou v půdorysně obecně danou rovinou a.

Příklad: zobrazte průsečíky přímky m = PM s povrchem rotačního válce s podstavou v půdorysně.

Příklad: zobrazte řez rotačního kužele s podstavou v půdorysně rovinou kolmou k nárysně.

S =V =o

p

o

n

y

1

1 1 1

2

2

a

a

S

V2

2

A

A

B

B

S =V =o

S a =b =s

p

S

o

n =s

y

1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

2

2

2 2

2

2

_

_

a

a

S

V2

2

2 2ab

A

A

B

B

S =V =o

S

p

S

o

n =s

y

1

1 1

1 1 1

1

2

2

2 2

2

2

_

_

a

a

S

V2

2

22a

b

A´B´

E´

F´= o

p1a

= u´´

1

12

F 1

U´

U8

n2a ´

E

a =b =s1 1 1

A

A

B

B

S =V =o

S

p

S

o

n =s

y

1

11

1 1 1

1

2

2

2 2

2

2

_

_

a

a

S

V2

2

22

ab

A´B´

E´

F´= o

p1a

= u´´

1

12

F 1

U´

U8

n2a ´

E

S´_

C´

D´

C

D

1

1

{3

a =b =s1 1 1

Příklad: zobrazte řez rotačního kužele s podstavou v půdorysně rovinou a kolmou k nárysně.

S =V =o

p

o

n

y

1

1 1 1

2

2

a

a

S

V2

2

S =V =o

p = o

o

n

y

1

1 1 1

2

2

a

a

S

V2

2

n2a ´

p = u1a

U´A´

C´

D´

1

V´

V8

A

C1

1

A2

S =V =o

p = o

o

n

y

1

1 1 1

2

2

a

a

S

V2

2

n2a ´

p = u1a

U´A´

C´

D´

1

V´

V8

A

C1

1

A2

D1

Příklad: zobrazte řez rotačního dvojkužele s dvěma podstavami o středech S, S´rovinou a kolmou k nárysně.

p

on

y

1

1

22

a

a

S

V2

2

2S´

S =V =o1 1

on

y

1

22

a

S

V2

2

2S´

S =V =o1 1

p = o1ap = u ´

1a

n2a ´

A´B´

C´

D´

1

U´

U8

B

D1

1

2

A1

y

1S =V =o1 1

p = o1ap = u´

1a

A´B´

C´

D´

1

U´

U8

B

D1

1

2

A1

M´

N´

m´

n´

3

4 m

n

1

1

on

y

1

22

a

V2

2S´

S =V =o1 1

p = o1ap = u´

1a

n2a ´

A´B´

C´

D´

1

U´

U8

B

D1

1

2

A1

M´

N´

m´

n´

3

4 m

n

1

1

S2

B

A

2

2

C1

Příklad: zobrazte řez rotačního kužele s podstavou v půdorysně obecnou rovinou a.

S =V =o

o

y

1 1 1

2

V2

S2

2an

p1a

S =V =o

o

y

1 1 1

2

V2

S2

2an

p1a

p = u´1a

= o h

h

1

2

a

a

n2a

S =V =o

o

y

1 1 1

2

V2

S2

2an

p1a

p = u´1a

= o

K´

L´

M´

N´

1

U´

LN

11

2V´

K

M1

1

n2a

S =V =o

o

y

1 1 1

2

V2

S2

2an

p1a

p = u´1a

= o

K´

L´

M´

N´

1

U´

LN

11

2V´

K

M1

1

n2a

C´

C 1

O1

O C

L

M

N

D´

D1

D

2

2 2

2

2

2

2

f

f

1

2

T

T´

2

2

Příklad: zobrazte průsečíky přímky m s povrchem rotačního kužele s podstavou v půdorysně.