l momento que produce ese par, se denomina por tanto, “momento del
par” y su !alor se puede encontrar sumando los momentos que efectúa
cada fuerza.
l momento del par calculado respecto a " se e#presa de la siguiente
manera$
l obtener el mismo resultado se demuestra así$
abemos que en la suma !ectorial, la ley del triangulo dice$
(or tanto$
, la formulación !ectorial por$
Pares equivalentes
Dos pares son equi!alentes si producen el mismo momento, pero
siempre y cuando se encuentren en el mismo plano o en planos
paralelos entre sí, por tanto la dirección de cada momento de par
será la misma, es decir perpendicular a los planos paralelos.
Momentos del par resultante
-os momentos de par pueden tambi/n ser sumados
!ectorialmente.
0ada uno de estos, pueden ser remplazados por sus correspondientes
momentos de par 12 y 13$
luego esos !ectores libres pueden desplazarse a un punto arbitrario
( y sumarse para obtener el momento del par resultante$ 14 5
12 6 13
(or e)emplo, para 'acer girar la rueda, es necesario aplicar un
momento de 2378m
-as fuerzas que se apliquen pueden ser muy peque9as si las
colocamos a los e#tremos$ (or e)emplo separadas :.;:m, en este caso
ambas tendrían una magnitud de 23 5 :.;: # + , donde + 5
<:7.
Ejemplo$ Determinar el momento del par, que actúa sobre el
elemento
0omo el momento del par puede ser e#presado en relación a cualquier
punto, podemos tomar por e)emplo el punto D.
)emplo$ Determinar el momento del par que actúa sobre el tubo. l
tramo %& está dirigido <:= por deba)o del plano #8y
%nálisis !ectorial
>ambi/n tomamos fuerzas con respecto a %, para anular momento de
esa fuerza.
%nálisis escalar
Sistema equivalente
Una fuerza puede trasladar y 'acer girar un cuerpo y esto depende
de dónde y cómo esta fuerza es aplicada.
0uando se tiene un sistema de fuerzas y momentos, /stos se pueden
simplificar a una sola fuerza resultante y un momento de par
actuando en un punto específico y esto se logra si o solo si tanto
la resultante de la fuerza como del momento del par produzcan los
mismos efectos de traslación y rotación que el sistema de fuerzas y
momento.
%nalizaremos dos casos$
1. Si el punto O está sobre la línea de acción de la
uer!a
>enemos el cuerpo que está sometido a la fuerza +
aplicada en %
(ara aplicar la +uerza en el punto ", sin alterar los
efectos e#ternos sobre el cuerpo aplicaremos fuerzas iguales
pero opuestas
en "?..???. + y *+
+ aplicada en % y *+ aplicada en ", pueden ser canceladas,
de)ando solo
la fuerza + aplicada en ".
0omo se !e y de alguna forma se 'a demostrado, , la fuerza 'a sido
simplemente “transmitida a lo largo de su línea de acción”,
cumpli/ndose lo que anteriormente llamamos, el principio de
transmisibilidad.
(ero? es bueno que resalte lo siguiente$
2. olo los efectos e#ternos, como el mo!imiento del cuerpo o las
fuerzas e#ternas permanecen sin cambio despu/s de que + es
desplazada.
3. n cambio, los efectos internos !arían y dependen de dónde se
localice la fuerza. sto es$ i + actúa en %, las fuerzas internas
presentes en el curepo
tiene intensidad alta alrededor de %. i + se ale)a de %, las
fuerzas internas disminuyen alrededor de
este punto.
". Si el punto O no está sobre la línea de acción de la
uer!a
>enemos el cuerpo sometido a la +uerza +, aplicada n el punto
%
eme)ante al caso anterior, aplicamos fuerzas iguales (ero opuestas
@+ y *+A en el punto "
0omo se !e, + en % y *+ en ", forman un par, cuyo 1omento !ectorial
es M # r # $.
%ES&'()*(E +E &* S,S(EM) +E &*) $&E%-) &*
P)%
e procede de la siguiente manera$
e tiene el cuerpo rígido sometido a las iguientes fuerzas y
momentos$
0omo el punto " no está sobre la línea de acción de ninguna fuerza,
desplazamos las fuerzas 'acia " e incorporamos los correspondientes
momentos de par$ 12 5 r2 # +2 y 13 5
r3 # +3
desplazando tambi/n el momento 1c al punto " ya que es libre.
-a fuerza resultante será$ +4 5 +2 6 +3
De esto se obser!a que la magnitud y la dirección de la fuerza
resultante +4 son independientes de la ubicación del punto ", por
lo que podemos concluir que$
(ero, 1ro si depende de esta ubicación de ", ya que los momentos
12 y 13 son determinados usando los !ectores de posición
r2 y r3.
l momento de la +uerza +2, se calcula así$
l momento de la +uerza +3, se calcula así$
2. implificación a una sola fuerza resultante$
i se tiene un cuerpo sometido a una serie de fuerzas y
momentos
e reduce a una fuerza resultante +4 en el punto " y a un
momento de par resultante 1ro, perpendiculares entre si.
istema de fuerzas concurrentes$
istema de fuerzas coplanares
i se tiene un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas
coplanares y momentos de par perpendiculares al plano
sto se puede reducir a una fuerza en el punto " y a un momento que
generan dic'as fuerzas más los momentos aplicados
l momento generado por el par es igual a$
l efecto resultante sería el siguiente:
istema de fuerzas paralelas
i se tiene un sistema de fuerzas paralelas y momentos de par
stos se pueden reducir a una sola fuerza resultante en la misma
dirección y un momento de par que solo tiene componente
perpendicular a la fuerza
4educción a una lla!e
i se tiene un sistema de fuerza y momentos de par sobre un
cuerpo.
%demás, puede abordarse esto de la siguiente manera$
14o puede resol!erse en dos componentes$ una perpendicular 1G y la
otra paralela 1HH a la línea de acción de +4
-a componente 1 G se puede eliminar desplazando +4 al punto ( @este
punto se encuentra en el e)e bb Iue es perpendicular a 1ro y +4.
(ara mantener Una equi!alencia de carga, la distancia de " a ( es
D5 1G H+4
+inalmente, como 1HH es un !ector libre, puede ser desplazado
'acia ( de manera que sea colineal con +4 ) ES() 0OM,*)0,O* +E
&*) $&E%-) 0O',*E)' &* MOME*(O
+E P)% SE 'E +E*OM,*) '')2E
>ener en cuenta lo siguiente$
2. l e)e de la lla!e tiene la misma línea de acción de la fuerza 3.
-a lla!e tiende a ocasionar una traslación y una rotación, ambas
con
respecto a ese e)e. <. Un sistema general de momento y par puede
ser reducido a una lla!e ;. l e)e de la lla!e y el punto por el
cual pasa este e)e, pueden ser
determinados.
(ero, ya que el momento y la fuerza son perpendiculares, podemos
reducir aún más, este sistema a una sola fuerza$
Por tanto, se concluye que los sistemas ! "! #$%&'AL#(#"
%educción de una car3a simple distribuida
Un cuerpo muc'as !eces puede estar sometido a cargas distribuidas
como por e)emplo, !ientos, fluidos o simplemente por su peso o el
peso de otros elementos, en un área superficial muy grande de
/l.
%nalicemos este caso$
e tiene la siguiente carga aplicada al elemento. 0omo se aprecia
(@#A @7Hm3A es solo función de #, debido a que en y es
uniforme.
i multiplicamos (@#A por el anc'o del elemento "btenemos (@#A . % 5
O @#A 5 P @7HmA y se representa l diagrama de carga como muc'as
fuerzas paralelas
0álculo de la %esultante
-a resultante es la suma de todas las fuerzas, pero como se tiene
un número infinito de fuerza d+ actuando sobre la placa, debe
'acerse una integración
0omo d+ está actuando sobre un elemento de longitud d# y O@#A
es
una fuerza por unidad de longitud, entonces en la ubicación
# se tiene$
por lo que para toda la placa será$
%plicamos
-a ubicación de # de la línea de acción de +4 se Determinará
igualando los momentos de la fuerza resultante y de la distribución
de fuerza con respecto a ".
0omo d+ produce un momento de # d+ 5 # O@#A d# respecto a ",
entonces para todo el elemento se tendrá$
Despe)ando #, se tiene$
-a ecuación anterior representa la coordenada del centro geom/trico
o centroide del área ba)o el diagrama de carga distribuida
O@#A
egún esto podemos concluir que$
2. la fuerza resultante tiene una línea de acción que pasa por el
0entroide del área definida mediante el diagrama de carga
distribuida
Ejemplo$
0omo nos están dando la función que tiene O@#A, entonces debemos
resol!erlo por integración$
2. Qallemos primero +4$
