OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 1 12./14.10.2009. 19./21.10.2009.

7. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE POPREČNOG PRESEKA GREDE

STATIČKI MOMENTI

∫∫ ⋅=⋅=A

zA

y dAySdAzS 1111 (7.1)

KOORDINATE TEŽIŠTA PRESEKA T

AS

zcA

Syb y

Tz

T1

11

1 ==== (7.4)

TEŽIŠTE ČETVRTINE KRUGA PRESEK SASTAVLJEN IZ VIŠE DELOVA

πRzy TT 3

411 ==

(7.5)

MOMENTI INERCIJE POPREČNOG PRESEKA GREDE

∫∫ ==A

zA

y dAyIdAzI 211

211 (7.6) AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE

∫=A

zy dAzyI 1111 (7.7) CENTRIFUGALNI ILI DEVIJATORSKI MOMENT INERCIJE

∫=A

O dArI 211 (7.8) POLARNI MOMENT INERCIJE

PROMENA MOMENATA INERCIJE PRI TRANSLACIJI KOORDINATNOG SISTEMA (STEINER-OVA TEOREMA)

AcII yy2

1+= (7.13)

AbII yz2

1 += (7.14)

bcAII yzzy +=11

A

zAzAzAzAzA

AS

Az

A

yAyAyAyAyA

AS

Ay

AAAAAA

TTTT

i

iTiyT

TTTT

i

iTizT

ii

414

313

212

111

111

414

313

212

111

111

4321

11

11

−++==⋅=

−++==⋅=

−++==

∑

∑

∑

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 2 12./14.10.2009. 19./21.10.2009.

SOPSTVENI MOMENTI INERCIJE

( )

0

234

81

81

224

41

=

−=

==

yz

y

yz

I

R)R(RI

RII

ππ

π

π

3

121 bhI y =

hbI z3

121

=

0=yzI

3

361 bhI y =

hbI z3

361

=

22

721 hbI yz −=

0

41 4

=

==

yz

zy

I

RII π

42

24

4

42

24

01647043

481

054880

05488043

4161

R,R)R(RI

R,II

R,R)R(RI

yz

yz

y

−=−=

==

=−=

ππ

ππ

π

.

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 3 12./14.10.2009. 19./21.10.2009.

0

41 4

241

=

−==

yz

zy

I

)RR(II π

0

30

=

≈=

yz

zy

I

tRII π

PROMENA MOMENATA INERCIJE PRI ROTACIJI KOORDINATNOG SISTEMA

(7.17)

(7.19) (7.15)

GLAVNE OSE I GLAVNI MOMENTI INERCIJE (7.24)

zy

yz

III

tg−

−=2

2α (7.22)

AI

iAI

i 22

11 == (7.27) GLAVNI POLUPREČNICI INERCIJE

ϕϕ

ϕϕ

sinycoszz

cosysinzy

−=′

+=′

)sin(cosIcossin)II(IcossinIcosIsinIIcossinIsinIcosII

yzzyzy

yzzyz

yzzyy

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

22

22

22

22

−+−=

++=

−+=

′′

′

′

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

222

2222

2222

cosIsinII

I

sinIcosIIII

I

sinIcosIIII

I

yzzy

zy

yzzyzy

z

yzzyzy

y

+−

=

+−

−+

=

−−

++

=

′′

′

′

022

22

12

222

221

=

+−

−+

==

+−

++

==

I

I)II

(II

II

I)II

(II

II

yzzyzy

min

yzzyzy

max

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 4 12./14.10.2009. 19./21.10.2009.

atg =12α

++

=12αtg −+

=12αtg −−

=12αtg +−

=12αtg

I kvadrant II kvadrant III kvadrant IV kvadrant

aarctg21

1 =α ( )aarctg−= 18021

1α ( )aarctg+= 18021

1α ( )aarctg−= 36021

1α

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 5 12./14.10.2009. 19./21.10.2009.

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE PRESEKA POPREČNOG PRESEKA GREDE

PRIMERI PRIMER 1. Za presek prikazan na skici odrediti veličine i pravce glavnih centralnih momenata inercije i nacrtati elipsu inercije.

Presek ima osu simetrije ( z1 ) : - na osi simetrije leži težište - osa simetrije je ujedno i jedna od glavnih osa y1 z1 y z T1 ( 0 ; ) 2

1 m 120200600 ...A =⋅= T1 ( 0 ; )

T2 ( 0 ; ) 22 m 080100800 ...A =⋅= T2 ( 0 ; )

_______________________________ 2

21 m 200 .AAA =+=

=⋅+⋅

=A

zAzAz TT

T212111

1 m 200.= TiTi zzz 11 −= ______________________________________

=+= 21yyy III 4m 016670.=

________________________________________________________________

=+= 21zzz III 4m 003670.=

_________________________________________________________________

41 m 016670.II y ==

42 m 003670.II z ==

===AI

ii y1

1 m 2890.=

______________________

===AIii z

22 m 1350.=

______________________

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 6 12./14.10.2009. 19./21.10.2009.

Moment inercije I1 se može sračunati i na sledeći način

AcIIAcII nnny ⋅−+=⋅−= 2212 m 100.c −=

( ) 4233 m 01667020010080010031200600

31 .......I y =⋅−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅⋅=

PRIMER 2. Za presek prikazan na skici odrediti veličine i pravce glavnih centralnih momenata inercije i nacrtati elipsu inercije.

Presek je centralno simetričan : - težište se poklapa sa centrom simetrije

21 cm 482107 ...A =⋅= T1 ( ; )

22 cm 482107 ...A =⋅= T2 ( ; )

23 cm 01401014 ...A =⋅= T3 ( ; )

____________________ 2

321 cm 830 .AAAA =++=

=−= IIay

Iayy III ( ) 433 cm 819186110701408

121 ..... =⋅−⋅⋅=

_______________________________________

=+= IIbz

Ibzz III ( ) 433 cm 56338018121521

121 .... =⋅+⋅⋅=

________________________________________

=+⋅=++= 31321 2 yzyzyzyzyzyz IIIIII 4cm 08430.−= _________________________________

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 7 12./14.10.2009. 19./21.10.2009.

=+−

±+

= 2221 22 yz

zyzy, I)

II(

III

=21,I 7951868628 .. ±= ______________________________________________________________

41 cm 471147.I = 4

2 cm 89109.I =

zy

yz

III

tg−

−=2

2 1α

> ili <

−=12 αtg 48241.= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0 0

cossin 2 1 ∈⇒ α kvadrantu

____________________________

°=⋅= 28.001.4824 21

1 arctgα

==AI

i 11 cm .106=

_____________________

==AI

i 22 cm .891=

_____________________

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 8 12./14.10.2009. 19./21.10.2009.

PRIMER 3. Za dati presek, odrediti glavne centralne momente inercije, pravce glavnih centralnih osa, nacrtati Mohr-ov krug inercije i elipsu inercije.

=⋅πR

34 552.= cm

_________ bi ci y0Ti z0Ti yTi zTi

T1 ( ; ) 21 cm 60

21210

=⋅

=A T1 ( ; )

T2 ( ; ) 22

1 cm 55562

6 .A =⋅

=π T2 ( ; )

T3 ( ; ) 22 cm 1234 =⋅=A T3 ( ; )

__________________________________

2321 cm 55104 .AAAA =−+= 11 TiTi yyy −= 11 TiTi zzz −=

=−+

== ∑ AyAyAyA

yAA

y TTT

iTiiT

31321211100

1 = 9.7 cm

________________________________________

=−+

== ∑ AzAzAzAzA

Az TTT

iTiiT

31321211100

1 =5.37 cm

________________________________________ ( )=⋅+= ∑

iii

iyy AcII 2

= + + + - [ ]=935.27 cm4 __________________________________________________________________________________

( )=⋅+= ∑i

iiizz AbII 2

( ) +⋅−+⋅⋅= 600331210361 23 . ( ) 081435127134

1215556852 232 .... =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅−+⋅⋅−⋅+ cm4

______________________

( )=⋅⋅+= ∑i

iiiiyzyz AcbII

= + + + - [ ]= 471.65 cm4 ____________________________________________________________________________________________________

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 9 12./14.10.2009. 19./21.10.2009.

76533171185654712

081435279352

0814352793522

22

2221 .......I)

II(

III yz

zyzy, ±=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

±+

=+−

±+

=

cm4

9417181 .I = cm4 054

551049417181

1 ...

AIi === cm

406512 .I = cm4 52

5510446512

2 ...

AIi === cm

> ili <

=−

−=zy

yz

III

tg2

2α = 1.887 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0 0

cossin 2 1 ∈⇒ α kvadrantu

___________________

=α ( ) °=+= 04121086218021 ..

____________________________

__________________________

(elipsa i osa 2 "prate presek" ) Mohrov krug

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 1012./14.10.2009. 19./21.10.2009.

PRIMER 4. Za dati presek, odrediti glavne centralne momente inercije, pravce glavnih centralnih osa i elipsu inercije. (presek sastavljen od valjanih profila čije su geometrijske karakteristike date u tablicama)

Iz tablica: za L 200.100.18 : Iy , Iz , Iξ , Iη , A , ey , ez Iξ , Iη - u tablicama su glavni momenti inercije

ηξ IIIII yxyz ⋅−⋅= znak centrifugalnog momenta se posebno određuje prema položaju krajeva ugaonika (kao kod pravouglog trougla)

profil ey [cm] ez [cm] A [cm2] Iy [cm4] Iz [cm4] Iyz [cm4] L 200.100.18 7.29 2.34 51.0 347 2060 -429

U 320 2.60 - 75.8 10870 597 - y1 z1 η ζ T1 ( 7.29 ; 2.34 ) 2

1 cm 51=A T1 ( 5.91 ; -8.17 ) T2 ( -2.60 ; 16.0 ) 2

2 cm 875.A = T2 ( -3.98 ; 5.49 ) ____________________

221 cm 8126875051 ...AAA =+=+=

( ) 381

81266028752970512211 .

.....

AyAyAy TT

T =−⋅+⋅

=+

= cm

51108126

0168753420512211 ..

....A

zAzAz TTT =

⋅+⋅=

+= cm

( ) 1690687549510870051178347 22 =⋅++⋅−+= ....Iη cm4

( ) 56398759835970519152060 22 =⋅−++⋅+= ....Iζ cm4 ( ) ( ) 45488754959830051178915429 −=⋅⋅−++⋅−⋅+−= ......Iηζ cm4

( ) 72401127345482

5639169062

563916906 22

21 ±=−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

±+

=,I

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 1112./14.10.2009. 19./21.10.2009.

185131 =I cm4 0812

812618513

1 ..

i == cm

40332 =I cm4 645

81264033

2 ..

i == cm

( ) 80730563916906

454822 .tg =−

−⋅−=α 02

02>>

αα

cossin

kvI 2 ∈α

( ) ( ) °=+=+= 041210862180218871180

21 ...arctgα

OM1 V2 V3 Ime i prezime: Index br: 1212./14.10.2009. 19./21.10.2009.

PRIMER 5. Za date preseke, odrediti glavne centralnie momente inercije, pravce glavnih centralnih osa, vrednosti poluprečnika elipse inercije i skicirati elipse inercije. a)

b)

c)

d)