MOISÉS DANTAS DOS SANTOS - Universidade Federal do Rio … · tos na obtenção da distribuição de corrente na antena. O campo elétrico, a distribuição ... 2.1 Método térmico

UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA

DO PETRÓLEO

UM MODELO MATEMÁTICO BASEADO EM WAVELETS PARA ANÁLISE DOMÉTODO TÉRMICO DE RECUPERAÇÃO DE ÓLEO PESADO APLICANDO

IRRADIAÇÃO ELETROMAGNÉTICA

MOISÉS DANTAS DOS SANTOS

Orientador: Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto

Co-orientador: Prof. Dr. Wilson da Mata

Natal, RN, abril de 2010

Agradecimentos

A Deus, força criadora do universo.

A meu pai, Antonio Luis dos Santos, pela vida, amor, educação, conforto e exemplo

de vida. Sou-lhe muito grato por ter-me feito homem.

A minha esposa Tatiana Dantas pela amor, paciência e compreensão ao longo de nossa

vida a dois e no curso desse doutorado.

Aos meus irmãos, tios e demais familiares pelo afeto, amizade, apoio, pelas comemo-

rações e momentos de lazer que nos fazem relaxar e esquecer os problemas da vida.

Aos meus orientadores Adrião Duarte Dória Neto e Wilson da Mata pelo conheci-

mento, pela acolhida, confiança e amizade. Fico feliz em ser vosso discípulo no “ad-

mirável mundo novo” da computação e engenharia do petróleo.

Aos professores e funcionários do PPGCEP/ UFRN, que contribuíram direta ou indi-

retamente na minha formação e neste trabalho. Ao professor Tarcilio Viana Dutra Junior

do PPGCEP/UFRN por sua gentil disponibilidade e apoio. Aos professores Jorge Dantas

e Ana Maria DCA/UFRN pela motivação e auxilio.

Aos professores Abel Lins Junior e José Patrocinio, membros da banca examinadora,

pelo apoio e contribuições valorosas a este trabalho.

Ao amigo Ernestro PPGCEP/UFRN pela sua ajuda e companherismo. Aos amigos e

companheiros de Campina, João Pessoa, Mossóro e Natal que deram-me força e ânimo.

Em especial à Antonio Ronaldo, Walter Martins, Iguatemi, Alana, Clarissa, Adriano,

Jamilson, João Paulo Orlando, Anthony, Elton, Rafael, Eliana, Lima, enfim a todos.

Resumo

Neste trabalho é proposto um modelo para investigar o uso de uma antena cilíndrica

utilizada no método térmico de recuperação por irradiação eletromagnética de petróleo

de alta viscosidade. A antena apresenta uma geometria simples, do tipo dipolo adaptada,

e pode ser modelada usando-se as equações de Maxwell. As transformadas de wavelets

são usadas como funções de base e aplicadas em conjunto com o método dos momen-

tos na obtenção da distribuição de corrente na antena. O campo elétrico, a distribuição

de energia e a temperatura são cuidadosamente calculadas para analise da antena como

aquecedor eletromagnético. O desempenho energético é analisado a partir de simulações

termo-fluidodinâmicas em escala de campo, através da adaptação no Steam Thermal and

Advanced Processes Reservoir Simulator (STARS) da empresa de software Computer

Modelling Group (CMG). Os resultados obtidos para poços constituídos por óleos vis-

cosos são estáveis e apresentam boa concordância com resultados da literatura.

Abstract

This work proposes a model to investigate the use of a cylindrical antenna used in

the thermal method of recovering through electromagnetic radiation of high-viscosity oil.

The antenna has a simple geometry, adapted dipole type, and it can be modelled by us-

ing Maxwell’s equation. The wavelet transforms are used as basis functions and applied

in conjunction with the method of moments to obtain the current distribution in the an-

tenna. The electric field, power and temperature distribution are carefully calculated for

the analysis of the antenna as electromagnetic heating. The energy performance is ana-

lyzed based on thermo-fluid dynamic simulations at field scale, and through the adaptation

in the Steam Thermal and Advanced Processes Reservoir Simulator (STARS) by Com-

puter Modelling Group (CMG). The model proposed and the numerical results obtained

are stable and presented good agreement with the results reported in the specialized liter-

ature.

“Dizem que o desejo de conhecimento nos fez perder o

paraíso no passado; verdade ou não, é certo que nos dará

o paraíso no futuro.”

Ingersoll

Dedicatória

Ao meu pai.

Sumário

Sumário i

Lista de fíguras iii

Lista de símbolos e abreviaturas v

Lista de tabelas ix

1 Introdução 1

1.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Organização da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Revisão bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Aspectos teóricos 8

2.1 Método térmico de recuperação por aquecimento eletromagnético . . . . 8

2.1.1 Algumas considerações sobre o aquecimento eletromagnético: Tipos

de dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2 Penetração do campo eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Desenvolvimento do modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Formulação do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3 Equações para os campos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.4 Equações de Hallén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Distribuição de potência e temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Critérios para aplicação do método por aquecimento eletromagnético . . . 22

3 Wavelets e análise de multiresolução 24

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

i

3.2 Notação e resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Definição de uma wavelet geratriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Transformada de wavelet contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5 Wavelets ortogonais e a análise de multiresolucão (AMR) . . . . . . . . . 31

3.5.1 Análise de multiresolução (AMR) . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.2 Introdução as wavelets ortogonais de Daubechies . . . . . . . . . 36

3.5.3 Aproximando funções com wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.4 Transformada rápida com wavelets: Algoritmos rápidos de de-

composição e reconstrução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Método dos momentos via wavelet 44

4.1 Descrição do método dos momentos (MoM) . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Método dos momentos através das wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Materiais e métodos 49

5.1 Análise do desempenho do aquecimento eletromagnético através da im-

plementação computacional para a antena . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1 Parâmetros utilizados na antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Análise do aquecimento eletromagnético adaptando o simulador STARS

da CMG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.1 O simulador STARS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Modelo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4 Avaliação econômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4.1 Produção líquida acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Resultados e discussões 57

6.1 Resultados e discussões obtidos para antena . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2 Resultados obtidos com simulador STARS . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.1 Análise do perfil de temperatura e viscosidade . . . . . . . . . . . 65

6.2.2 Análise dos fatores de produção . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2.3 Análise técnico-econômica através da produção líquida acumulada 72

7 Conclusões e futuros trabalhos 74

7.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.2 Futuros Trabalhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Referências bibliográficas 77

Lista de Figuras

2.1 Ação do campo elétrico (a) campo elétrico nulo: as partículas se encon-

tram de forma aleatória (b) campo elétrico aplicado: as partículas tendem

a se alinhar, deslocar de acordo com o campo (Manichand, 2002). . . . . 9

2.2 Configuração do meio submetido ao aquecimento eletromagnético por ir-

radiação (Da Mata, 1993). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Antena cilíndrica isolada tipo dipolo, imersa em um meio dielétrico dis-

sipativo (Silva, 1997). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Dipolo cilíndrico simétrico, Silva (1997). . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Análise do sinal através da Transformada de Fourier e Transformada Wavelet

Contínua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Transformada de wavelet contínua: descontinuidade no sinal . . . . . . . 31

3.3 Transformada de wavelet contínua: descontinuidade no sinal . . . . . . . 31

3.4 Função escala de Haar φ0,0 e Wavelet de Haar ψ0,0 . . . . . . . . . . . . 32

3.5 Wavelet de Haar ψ1,0 e ψ1,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6 wavelets de Daubechies dbN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7 Função da amostra S em [0,8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.8 Esquema de decomposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.9 Esquema de decomposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.10 Esquema de decomposição em todos os níveis . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1 Contribuição de cada um dos níveis em relação ao número de subdivisões

Belardi, Cardoso e Sartori (2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1 Vista esquemática do aquecimento eletromagnético por irradiação. A an-

tena é colocada no fundo do poço, bem na frente da zona de produção

(Carrizales, Lake e Johns, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Malha radial com refinamento, visão radial. . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Malha radial com refinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.1 Distribuição de corrente para um dipolo, MoM wavelet de Haar. . . . . . 58

iii

6.2 Distribuição de corrente para um dipolo: MoM wavelet de Haar versus

King, Trembly e Strohbehn (1983). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3 Distribuição de corrente para dois dipolos, MoM wavelet de Haar. . . . . 58

6.4 Distribuição de corrente para os dois dipolos: MoM wavelet de Haar ver-

sus King, Trembly e Strohbehn (1983). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.5 Distribuição de corrente utilizando os algoritmos de análise e síntese. . . . 59

6.6 Distribuição de corrente utilizando a transformada de wavelet contínua. . 60

6.7 Quantidade de elementos não nulos (pontos em cor azul), obtidas para

uma antena com 64 divisões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.8 Distribuição de corrente I(z) versus db2 no nível N = 3, gráfico (a). . . . 61

6.9 Distribuição espacial da componente axial do campo elétrico num meio

de água salgada e petróleo de alta viscosidade. . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.10 Distribuição espacial da componente radial do campo elétrico num meio

com água salgada e petróleo de alta viscosidade. . . . . . . . . . . . . . . 62

6.11 Distribuição espacial do campo elétrico total num meio de água salgada e

petróleo de alta viscosidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.12 Distribuição espacial da potência dissipada num meio de água salgada e

petróleo de alta viscosidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.13 Distribuição radial da variação da temperatura num meio de água salgada

e petróleo de alta viscosidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.14 Distribuição de potência análise através da wavelet de Daubechies db2. . 64

6.15 Distribuição de potência análise através da transformada de wavelet con-

tínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.16 Perfil transversal de temperatura após trinta dias. . . . . . . . . . . . . . 65

6.17 Perfil longitudinal de temperatura após trinta dias. . . . . . . . . . . . . . 66

6.18 Perfil transversal de viscosidade após trinta dias. . . . . . . . . . . . . . . 66

6.19 Perfil longitudinal de viscosidade após trinta dias. . . . . . . . . . . . . . 67

6.20 Perfil transversal de temperatura após um ano. . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.21 Perfil transversal de viscosidade após um ano. . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.22 Perfil de temperatura após dez anos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.23 Perfil de viscosidade após dez anos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.24 Produção diária de óleo após dez anos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.25 Produção acumulada de óleo após dez anos. . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.26 Fração recuperada de óleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.27 Consumo acumulado de energia elétrica em dez anos . . . . . . . . . . . 72

Lista de símbolos e abreviaturas

A - área de seção transversal aberta ao fluxo (cm2)

~A - vetor potencial magnético (V.m−1.rad.s−1), valor de pico.~Az - valor de pico da componente axial do vetor potencial magnético (V.m−1.rad.s−1).

a- raio externo do condutor central da antena (Região 1)(m).~B - fasor complexo associado à indução magnética (Telsa). Valor de pico.

b - raio externo do primeiro dielétrico isolante ao redor da antena (Região 2)(m).

c - raio externo do segundo dielétrico isolante ao redor da antena (Região 3)(m).

Ca - calor específico da água à pressão constante (Jkg−1.C).

ceq - calor específico equivalente do sistema óleo/água/rocha a pressão constante (Jkg−1C−1).

cw - calor específico da água a pressão constante (J.kg−1.C).

co - calor específico do óleo a pressão constante (J.kg−1.C)

c f - compressibilidade efetiva de formação (Pa−1).

d - densidade do óleo (adimensional).~D - fasor complexo associado à indução elétrica (C.m−2).~E - fasor complexo associado ao vetor campo elétrico (V.m−1); valor de pico.

E i - valor de pico do campo elétrico impresso ou incidente na superfície da antena (V.m−1).~E∗-conjugado do fasor complexo associado ao vetor campo elétrico (V.m−1).

E4r - distribuição radial do campo elétrico (V.m−1).

E4z - valor de pico da componente axial do fasor complexo associado ao campo elétrico

na Região 4 (V.m−1).

E4z - valor de pico da componente radial do fasor complexo associado ao campo elétrico

na Região 4 (V.m−1).

E iz - valor de pico da componente axial do campo elétrico incidente na superfície lateral

da antena (V.m−1).

Esz - valor de pico da componente axial do campo elétrico espalhado na superfície lateral


Esr - valor de pico da componente axial do campo elétrico espalhado nas faces terminais


~Etan - campo elétrico tangente à superfície condutora da antena (V.m−1).

v

f - frequência (Hz)

h - comprimento de cada elemento do dipolo simétrico (m).~H - fasor complexo associado ao campo magnético (V.m−1). Valor de pico.

I - corrente elétrica do dipolo simétrico (A).

Iz - distribuição de corrente axial desconhecida induzida pelo campo elétrico impresso ou

incidente (A).

j - número imaginário puro.~J - fasor complexo associado ao vetor densidade de corrente (A.m−2). Valor de pico.~Jc - fasor complexo associado ao vetor densidade de corrente condução (A.m−2). Valor

de pico.~Jd - fasor complexo associado ao vetor densidade de corrente de deslocamento no dielétrico

(A.m−2). Valor de pico.~Jr - fasor complexo associado ao vetor densidade de corrente de relaxação no dielétrico

(A.m−2). Valor de pico.~Jc f - fasor complexo associado ao vetor densidade de fonte (A.m−2). Valor de pico.

L - comprimento do meio poroso (m).

M - massa do sistema (Kg).

P - montante de óleo produzido em um determinado instante (bbl) ou (m3).

Po - pressão original do reservatório.

k - número de onda (rad.m−1).

K - permeabilidade total ao fluxo de um fluido (darcy).

Kw - permeabilidade total ao fluxo da fase água (darcy).

Ko - permeatório (Pa).

q - vazão de fluxo (cm3/s).

r - comprimento radial horizontal do sistema de coordenadas cilíndricas (m).

r′ - comprimento radial horizontal do sistema de coordenadas cilíndricas entre os eixos z

e z′ (m).~R - vetor posição com origem em um ponto de fonte e término em um ponto de campo

(m).

T - temperatura de equilíbrio da três fases petróleo-água-rocha (C).

Ti - temperatura inicial da jazida.

4t - tempo de aquecimento.

4T - variação de temperatura (C).

V - volume do meio a aquecer (m3).

V i0 - tensão elétrica impressa ou incidente na antena (V ).

Y - admitância intríseca do meio (ohm−1).

Y0 - admitância de entrada do dipolo simétrico (ohm−1).

Wp - termo de perdas de energia (W.m−3).

Z - Impedância por unidade de comprimento do condutor devido ao efeito pelicular

(ohm.m−1).

Y - Impedância de entrada do dipolo simétrico (ohm).

z - componente axial segundo a direção vertical em coordenadas cilíndricas (m).

z′ - eixo tangente a superfície do condutor central da antena paralelo à z (m).

LETRAS GREGAS

α - coeficiente de atenuação do meio dissipativo (Np.m−1).

β - constante de fases (rad.m−1).

δ - ângulo de perdas (rad).

ε - permissividade complexa efetiva do meio (F.m−1).

ε′ - permissividade elétrica do meio (F.m−1).

ε′′ - constante de relaxação dipolar do meio (F.m−1).

ε - permissividade complexa do meio (F.m−1).

ε0 - constante dielétrica do vácuo (1/(36π109).F.m−1).

ε′r - permissividade relativa do meio (F.m−1).

ε2 - permissividade do meio dielétrico isolante (Região 2) (F.m−1).

ε3 - permissividade do meio dielétrico isolante (Região 3) (F.m−1).

ε4 - permissividade do meio dielétrico dissipativo (Região 4) (F.m−1).

ε4 - permissividade complexa do meio dissipativo (Região 4) (F.m−1).

η - impedância intrínseca do meio (ohm).

Φ - potencial escalar elétrico (V ).

λc - condutibilidade térmica do meio (W.m−1.0C−1).

λi - comprimento de onda incidente em um meio dielétrico (m).

λ - comprimento de onda no meio dielétrico devido a antena (m).

µ - permeabilidade magnética do meio (kg.m.s−2.A−2).

µ0 - permeabilidade magnética do vácuo (4π10−7H.m−1).

µr - permeabilidade magnética do meio.

ρ - densidade volumétrica de carga elétrica (C.m−3).

ρa - massa volumétrica da água (kg.m−3).

ρeq - massa volumétrica do sistema petróleo-água-rocha (kg.m−3).

ρm - massa volumétrica (kg.m−3).

ρp - massa volumétrica do petróleo pesado (kg.m−3).

σ - condutividade elétrica efetiva do meio (ohm.m)−1.

σ - condutividade elétrica (iônica) do meio (ohm.m)−1.

σ4 - condutividade elétrica (Região 4) (ohm.m)−1.

θ - ângulo entre o eixo z′ e o vetor posição R (rad).

~ν - vetor velocidade superficial (m.s−1).

ω - pulsação (rad.s−1).

Lista de Tabelas

2.1 Características dielétricas a 3 GHz e 25C . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Características dielétricas a 3 GHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.1 Resultados de f r, Np e (Ep) para todos os casos estudados. . . . . . . . . 71

6.2 Cenários considerados na análise de produção liquida acumulada em dez

anos de produção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

ix

Capítulo 1

Introdução

1.1 Apresentação

O aumento do fator de recuperação final das jazidas de petróleo tem sido uma pre-

ocupação constante de todos os setores da indústria petrolífera. A busca por novas téc-

nicas que possam ser aplicadas na solução deste problema vem sendo alvo de vários

pesquisadores, sobretudo dos que atuam na área de Engenharia de Reservatórios. Den-

tre as várias técnicas de recuperação de reservatórios de petróleo que são utilizados na

indústria petrolífera, o método térmico usando aquecimento eletromagnético tem desper-

tado o interesse de vários grupos de pesquisas. Esse método consiste na transformação

de energia elétrica em energia térmica, aumentando a temperatura média no reservatório,

reduzindo a viscosidade dos fluidos, e conseqüentemente, aumentando a mobilidade da

fase óleo (Pizzarro, 1989). Dentre os principais estudos que comprovam a viabilidade téc-

nica do aquecimento eletromagnético como método térmico de recuperação de petróleo

destacam-se os trabalhos desenvolvido por: (ABERNATHY, 1976; DA MATA 1993;

SILVA 1997; COSTA 1998; OLIVEIRA 2010; VERMEULEN 2000; TREVISAN 1990).

O princípio do aquecimento eletromagnético é a interação direta entre o campo elétrico

aplicado e as partículas eletricamente sensíveis do meio, que podem ser íons ou molécu-

las dipolares dos fluidos. Este fenômeno é complexo, mas pode ser resumido da seguinte

forma: as partículas eletricamente sensíveis encontram-se de forma desordenada no meio

quando o campo elétrico é nulo, mas uma vez submetidas a um campo elétrico, as molécu-

las dipolares e os íons tendem a se orientar de acordo com a direção do campo. À

proporção que a frequência do campo aplicado aumenta, cresce a agitação molecular e,

conseqüentemente, maior é a transformação da energia eletromagnética em térmica por

fricção intermolecular. Neste caso o aquecimento é instantâneo, independente das carac-

terísticas térmicas do meio e dependente da frequência utilizada, da intensidade do campo

elétrico de excitação e da permissividade complexa do meio. Este fenômeno é conhecido

1

Capítulo 1. Introdução

por aquecimento dielétrico ou de altas frequências (SILVA, 1997).

Neste trabalho, a aplicação do método térmico de recuperação através do Aqueci-

mento Eletromagnético por Irradiação (AEI) é feito a partir de um irradiador ou antena

cilíndrica do tipo dipolo. A antena é inserida em reservatórios constituídos por óleos pe-

sados, caracterizados como meios dissipativos. Por se tratar de um fenômeno eletromag-

nético, o modelo matemático foi desenvolvido a partir das equações de Maxwell. Desta

forma, partindo-se das equações de Maxwell obtém-se a distribuição de corrente através

da equação integral de Hallén Balanis (2004), cuja solução numérica é obtida através

método dos momentos (MoM) Harrington (1968). Para aperfeiçoar a transferência da en-

ergia eletromagnética no meio dissipativo, também foi calculado numericamente a partir

da distribuição de corrente, o campo elétrico a potência dissipada no meio e a distribuição

de temperatura.

Originalmente a aplicação do MoM é feita a partir de funções de base clássicas como

por exemplo, funções de pulsos Harrington (1968). Em muitos casos, a aplicação do

modelo convencional do MoM aumenta o esforço computacional e não permite a apli-

cação de técnicas computacionais capazes de revelar aspectos importantes do modelo em

análise. Uma importante contribuição deste trabalho, foi a implementação do MoM uti-

lizando Wavelets de Haar como funções base. Como resultado desta aplicação foi obtido

uma redução no tempo de execução do programa devido à obtenção de matrizes esparsas

geradas a partir da aplicação das transformadas wavelets (BELARDI, CARDOSO, and

SARTORI 2005; LASHAB, ZEBIRI and BENABDELAZIZ 2008).

Neste trabalho a técnica do MoM foi desenvolvida considerando como funções de

base as wavelets ortogonais do tipo Haar para determinar a distribuição de corrente ao

longo da antena. Entretanto, é possível utilizar outros tipos de wavelets como funções

de base. Testes preliminares indicam que o uso da wavelet de Daubechies poderá reduzir

ainda mais o esforço computacional devido esta possuir N momentos nulos (Daubechies,

1998). Para revelar aspectos da modelagem em diferentes níveis de resolução, foi uti-

lizada a transformada de wavelet contínua em conjunto com os algoritmos de análise e

decomposição (MALLAT, 1989).

Para validar o comportamento do método usado na recuperação de petróleo pesado,

utilizou-se o simulador STARS da empresa de software CMG que foi adaptado e utilizado

com dados de campo.

2


1.2 Motivação

Como atualmente as reservas de petróleo estão ficando cada vez mais escassas, as

empresas de petróleo estão tendo um perfil mais agressivo na hora de decidir desenvolver

um campo com características menos atrativas. A qualidade do óleo é um bom exemplo

desta mudança de critério de decisão. O óleo pesado tem um menor preço de mercado e

exige tecnologias mais avançadas para produção (mais caras) se comparado com o óleo

leve. Mas mesmo assim o óleo pesado vem aumentando a sua participação nas reservas

mundiais (TREVISAN, 1990).

A implementação de novas tecnologias deverá otimizar a produção dos reservatórios e

trazer um aumento do fator de recuperação dos óleos pesados viabilizando a sua produção

de maneira economicamente viável.

Inspirado por esta nova demanda e atratividade na produção de óleos pesados pretende-

se a partir deste trabalho possibilitar uma nova ferramenta técnico-econômica que con-

tribuia e auxilie significativamente com o aumento no fator de produção nos reservatórios

de petróleo.

1.3 Objetivos

O principal objetivo desta tese é desenvolver um modelo para investigar o uso de

uma antena linear do tipo cilíndrica adaptada para o aquecimento de um meio dissipa-

tivo, contendo petróleo de alta viscosidade. Nesse trabalho são utilizadas as wavelets

para revelar aspectos da modelagem em diferentes níveis de resolução, os quais não são

obtidos através de métodos usuais de processamento de sinais. Além disso, utiliza-se

o simulador STARS da empresa de software CMG para analisar, através de simulações

termofluidodinânmicas em escala de campo, o desempenho energético e econômico do

aquecimento eletromagnético por meio de um irradiador eletromagnético inserido num

poço de petróleo. Através destas simulações será possível obter o comportamento real

desse método térmico de recuperação e uma estimativa de produção de petróleo.

Pretende-se com este trabalho revelar aspectos na modelagem capazes de possibilitar

um melhor controle dos poços, de maneira que haja uma maximização na recuperação

do petróleo através do método térmico via aquecimento eletromagnético por irradiação.

Os resultados podem ser utilizados em processamento que auxiliem na automação da

produção e exploração de petróleo como também no âmbito teórico e científico.

3


1.4 Metodologia

Neste trabalho, será formulada a técnica numérica do Método dos Momentos con-

siderando como funções de base ou de expansão as wavelets ao invés da tradicional função

pulso, com este propósito determinamos a distribuição de corrente da antena cilíndrica

estudada, visando uma melhor precisão dos resultados obtidos. Além disso, faremos a

modelagem do campo eletromagnético, da distribuição de potência e de temperatura uti-

lizando as wavelets contínuas e os algoritmos de análise e decomposição desenvolvidos

por Mallat (1989), proporcionando uma análise sistemática do comportamento dessas

grandezas no reservatório em diferentes níveis de resolução.

A metodologia aplicada no desenvolvimento deste trabalho é dividida em etapas, des-

critas a seguir:

• Estado da arte, Revisão bibliográfica sobre Engenharia de Reservatórios, Trans-

formada wavelet, Transformada de Fourier, Análise Funcional, Teoria Eletromag-

nética, Simulação Computacional.

• Formulação teórica com todo rigor matemático em todas as etapas apresentadas no

decorrer desse trabalho, bem como no desenvolvimento dos algoritmos computa-

cionais a serem implementados.

• Após a etapa de desenvolvimento teórico e implementação computacional, será pro-

cedida à fase de validação onde testes com base em dados experimentais possam ser

feitos para analisar o desempenho do trabalho. O simulador utilizado e adaptado

será o software STARS da CMG, empresa de software especializada em simulação

da Indústria Petrolífera, utilizados em várias empresas do setor. A partir de algumas

adaptações feitas, o simulador permitirá representar a estrutura e o comportamento

de produção do reservatório de petróleo na presença do dipolo modelado.

• Durante as etapas de desenvolvimento, validação e testes, os resultados obtidos

foram publicados em congressos e revistas especializadas da área, em âmbito na-

cional e internacional.

1.5 Organização da tese

No Capítulo 2 é apresentado um estudo sobre as características relacionadas com o

aquecimento eletromagnético e desenvolvido a modelagem matemática do método pro-

posto.

4


No Capítulo 3 desenvolve-se um estudo sobre a teoria das wavelets ortogonais e sua

principal propriedade a análise de multiresolução.

No Capítulo 4 é desenvolvido o modelo numérico do método dos momentos utilizando

como funções de base as wavelets.

No Capítulo 5 são apresentados os materiais e métodos utilizados para a avaliação do

desempenho técnico e econômico do processo de aquecimento elétrico por irradiação.

No Capítulo 6 são mostrados e discutidos os resultados referentes ao AEI, utilizando

para esta análise, os programas desenvolvidos e o simulador comercial STARS da CMG.

Finalmente, no Capítulo 7 são apresentadas as conclusões sobre a avaliação do de-

sempenho energético e econômico do processo AEI e propostas de futuros estudos rela-

cionados à área.

1.6 Revisão bibliográfica

Os estudos relacionados ao método térmico de recuperação de petróleo por aque-

cimento eletromagnético podem ser divididos em dois grupos, o primeiro tratando de

aquecimento eletromagnético a baixa frequência (60 Hz) e, o segundo, utilizando fre-

quências elevadas (acima de 100 Hz). É importante notar que apesar do desenvolvimento

do método seja recente, a idéia de se utilizar energia elétrica para se levar calor até o reser-

vatório é bastante antiga. Faremos consecutivamente, uma breve discussão dos principais

trabalhos realizados referentes aos dois grupos de estudos:

Na década de 50 Ljungstrom (1951) apresentou um trabalho no qual utilizou o eletro-

magnetismo como método térmico de recuperação de hidrocarbonetos. Os estudos davam

ênfase a recuperação em folhelhos betuminosos e arenitos portadores de óleos muito pe-

sados (tar sands).

No trabalho realizado por Sarapuru (1957) foi proposto a utilização de alta densidade

de corrente elétrica para carbonizar os hidrocarbonetos, para assim aumentar a extração

via poços, objetivando desta forma, quebrar as moléculas de óleo pesado, consequente-

mente, promover a redução da viscosidade e aumentar a mobilidade do petróleo e sua

recuperação. Em Julho de 1969, foi publicado pela Petroleum Engineer, um artigo que

anunciava a aplicação do método com sucesso a 4 poços do Camoi de Little Tom, sul

do Texas. Estes poços que produziam uma média de 1 barril por dia, passaram a uma

média de 20 barris diários. Para aumentar a eficiência do método foi realizado, em cada

poço, um fraturamento hidráulico com um fluido de alta condutividade, formado por alga

salgada e partículas metálicas (PIZARRO, 1989).

O primeiro trabalho contendo resultados experimentais e de modelos numéricos foi

5


realizado por El-Feky (1977). Nela, o autor desenvolve um modelo numérico bidimen-

sional, de malha retangular, que procura quantificar os efeitos do método no reservatório.

Também foi desenvolvido neste trabalho um modelo em laboratório, que forneceu uma

série de dados experimentais que serviram para posterior comparação com os resultados

do modelo numérico.

No trabalho realizado por Harvey e Arnold (1980) foi desenvolvido um modelo ma-

temático para representar a distribuição do aquecimento resistivo que utiliza corrente al-

ternada para aquecer um reservatório. Conclui-se que 95% da energia dissipada, em um

sistema com aquecimento elétrico, estão em até 10 pés de distância dos eletrodos.

A PETROBRAS, em 1987, iniciou a implantação de um teste piloto utilizando aque-

cimento elétrico no Campo de Estreito na área do Rio Panon, Bacia Potiguar, localizado

a 180 km de Natal. Nesta época não se cogitava a possibilidade de aplicação de qualquer

método térmico nesta área para melhorar a sua recuperação, até porque existiam dúvidas

sobre a viabilidade de sua implantação.

Pizzarro e Trevisan (1990) apresentaram alguns dados deste teste de campo no Rio

Panon. Eles ajustaram um modelo de simulação utilizando características deste campo

para extrapolar o período do teste e compararam os resultados obtidos em campo com

resultados de simulação. Também foi observado por Cursino e Da Mata (1997) com os

mesmo dados, em campo, que o dano a formação (fator Skin, S = 0,6) foi removido

com a utilização o aquecimento elétrico. O teste mostrou que os poços que utilizaram o

aquecimento elétrico, apresentaram resposta rápida e clara no aumento de produção de

fluidos.

Inserido neste mesmo projeto, destaca-se também o trabalho feito por Manichand

(2002), através de simulações do desempenho do aquecimento eletromagnético na re-

cuperação de reservatórios de petróleo associado a injeção de água. Foram considerados

dois casos de estudo: o primeiro projeto no campo em Fazenda Belém no estado de Ceará,

que contém óleo de viscosidade extremamente elevado (5000 cp), e o projeto piloto no

campo de Canto de Amaro no estado do Rio Grande do Norte, que contém óleo de vis-

cosidade moderada (30 cp). Neste trabalho mostrou-se a viabilidade técnico-econômica

deste método térmico de recuperação.

Para frequências elevadas, destacam-se os trabalhos de Da Mata (1996, 1998abc,

1999a). Nestes estudos tem-se como base de investigação analisar os efeitos causados

por um irradiador eletromagnético ou antena do tipo dipolo aplicado num reservatório

que contém petróleo de alta viscosidade. O principal objetivo neste trabalho foi o di-

mensionamento dos parâmetros da antena com a finalidade de otimizar a transferência da

energia eletromagnética para o meio dissipativo. Foi desenvolvido também neste trabalho

6


um modelo em laboratório, que forneceu uma série de dados experimentais que serviram

para posterior comparação com os resultados do modelo numérico.

Sob o ponto de vista de estudo e simulações utilizando o aquecimento eletromag-

nético, destacam-se os trabalhos de Da Mata (1993abc, 1998be, 2000, 2001abc). Tam-

bém destaca-se o estudo realizado por Silva (1997), dando continuidade ao trabalho feito

por Da Mata (1993). Nesta dissertação foi desenvolvido um simulador para analisar os

efeitos de uma antena ou irradiador utilizado na recuperação de petróleos viscosos via

aquecimento eletromagnético.

Carrizales, Lake e Johns (2009) desenvolveu um estudo através de um simulador para

analisar os efeitos do aquecimento eletromagnético por altas frequências quando uma

fonte irradiadora é aplicada em frente a zona de produção. Nos resultados são mostrados

os perfis de pressão e temperatura e produção acumulada de óleo. Os resultados obtidos

para produção de óleo com o simulador COMSOL, utilizado no referido estudo são com-

parados com os resultados obtidos com o simulador STARS da CMG, sem o aquecimento

eletromagnético.

7

Capítulo 2

Aspectos teóricos

O principal objetivo deste capítulo é desenvolver um estudo sobre o método térmico

de recuperação por aquecimento eletromagnético em meios porosos contendo petróleo

viscoso, considerando os aspectos térmicos, eletromagnéticos e hidrodinâmicos.

2.1 Método térmico de recuperação por aquecimento eletro-

magnético

O aquecimento eletromagnético baseia-se na transformação da energia elétrica em

térmica, através da interação direta entre o campo eletromagnético e as partículas eletri-

camente sensíveis do meio (ions ou moléculas dipolares dos fluidos). Este aquecimento é

obtido a partir de dois tipos distintos de interação onda-matéria (SILVA, 1997):

• Aquecimento condutivo

Baseado no efeito Joule, que é originado a partir das colisões entre as partículas

do meio e os ions em movimento presentes na densidade de corrente elétrica de

condução;

• Aquecimento dielétrico

Resultante da degradação da energia transportada pela onda eletromagnética em tér-

mica, que é originado a partir da fricção intermolecular, isto é, da dessincronização

dos momentos dipolares e das forças de ligação nas moléculas dipolares do meio

em relação a relação do campo de excitação.

Para a aplicação deste tipo de aquecimento em um meio dissipativo, como no caso

de um reservatório de petróleos viscosos a forma principal vista por Da Mata (1993),

se dá através do aquecimento dielétrico para altas e hiper frequências. Este fenômeno

8

Capítulo 2. Aspectos teóricos

pode ser resumido da seguinte forma Manichand (2002): quando um material dielétrico

de moléculas polares é submetido a um campo elétrico, no qual a frequência é gradati-

vamente aumentada, suas moléculas são orientadas constantemente na direção do campo

elétrico, veja o esquema apresentado na Figura 2.1.

Figura 2.1: Ação do campo elétrico (a) campo elétrico nulo: as partículas se encontramde forma aleatória (b) campo elétrico aplicado: as partículas tendem a se alinhar, deslocarde acordo com o campo (Manichand, 2002).

A partir de uma dada frequência, a inércia própria das moléculas dipolares e a re-

sistência das ligações químicas provocam uma dessincronização do movimento destas

moléculas em relação à oscilação do campo. Esta é a banda de relaxação, onde estas

forças antagônicas exercidas sobre as moléculas se traduzem em uma dissipação de calor,

por fricção, de parte da energia do campo. Nesta faixa existe uma ou mais frequências de

relaxação onde a dissipação é máxima. Com o aumento ou a diminuição da frequência

de operação do campo de excitação, as forças de coesão e inércia tornam-se dominantes

e o aquecimento é bastante reduzido. Portanto, a aplicação de ondas em altas-frequências

(HF,V HF,UHF) ou hiper-frequências (microondas) sobre um meio dissipativo provoca

um aquecimento eletromagnético em volume, onde as propriedades térmicas do meio não

são tão importantes quanto as propriedades dielétricas, representadas pela permissividade

complexa.

9


2.1.1 Algumas considerações sobre o aquecimento eletromagnético:

Tipos de dielétricos

A eficiência na conversão de energia eletromagnética em térmica está diretamente

relacionada com uma boa caracterização dielétrica e condutiva do meio e com a frequên-

cia empregada. Em meios condutores, em baixas frequências (σ >> ωε′′), o processo de

condução iônica é o principal mecanismo de conversão de energia. Em meios dieletricos,

em altas frequências (σ << ωε′′), a transformação de energia deve-se principalmente à

rotação das moléculas dipolares do meio.

Os meios dielétricos são caracterizados através dos valores catalogados das constantes

dielétricas relativas ε′r e das tangentes de perdas tan(δp) em função da frequência e da

temperatura. Os dielétricos podem ser classificados a partir destes parâmetros da seguinte

forma (SILVA, 1997):

• Dielétricos a baixas perdas: São meios dielétricos que possuem moléculas de

momentos dipolares extremamente baixos e, portanto, não são muito susceptíveis

ao aquecimento dielétrico.

Material ε′r tan(δp)

polyetileno 2,26 0,0003polypropileno 2,0 0,0002

polytetrafluoretileno 2,1 0,00015

Tabela 2.1: Características dielétricas a 3 GHz e 25C.

• Dielétricos a fortes perdas: A partir de um certo limite do ângulo de perdas

(tan(δp) ≈ 0,01) e para constantes dielétricas relativas entre (1 > ε′r > 10), um

dielétrico é susceptível a se aquecer rapidamente sob à ação de altas frequências.

• Dielétricos aquosos: Por apresentarem uma configuração molecular com momento

dipolar bastante intenso, são meios ideais para ser aquecidos em altas frequências.

Água ε′r tan(δp)

líquida a 1,5C 80 0,31líquida a 95C 52 0,047

gelo 3,2 0,0009

Tabela 2.2: Características dielétricas a 3 GHz

.

10


Quando se trata de escoamentos em meios porosos, a geometria dos canais de fluxo é

extremamente complexa, de maneira que a equação de Navier-Stokes é impraticável. A

equação de grande utilização prática em meios porosos foi formulada por Henry Darcy,

em 1856, e que tem a seguinte forma (MANICHAND, 2002):

~u = −K

µ(~∇P+ρg~∇Z) (2.1)

Para as duas fases consideradas água e óleo temos as seguintes equações:

V0 = −K0

µ0

∂P

∂r(2.2)

Vw = −Kw

µw

∂P

∂r(2.3)

Da equação (2.1) observa-se que a velocidade de deslocamento de um fluido ~u é direta-

mente proporcional ao gradiente de pressão ~∇P e o gradiente de altura ~∇Z (no caso de

fluxo inclinado), e inversamente proporcional a viscosidade do fluido, µ. E é justamente

nesta última variável, viscosidade, que o aquecimento eletromagnético atua. Reduzindo

a viscosidade do óleo, aumenta-se a velocidade de deslocamento e consequentemente a

produção do poço.

2.1.2 Penetração do campo eletromagnético

Quando uma onda eletromagnética que se propaga em um meio atinge um dielétrico,

parte da onda é refletida e outra parte é transmitida. A energia da onda transmitida é

progressivamente atenuada, transformando-se em energia térmica no meio dielétrico.

A profundidade de penetração de uma onda eletromagnética plana em um meio dissi-

pativo, é definida por convenção Da (Mata, 1993),

p =1

2α(2.4)

onde, α é o coeficiente de atenuação do meio e depende das propriedades do material

(µr,ε′r, tan(δp)) e do comprimento de onda incidente λi, o qual determina a profundidade

de penetração da onda no meio, podendo ser calculada a partir da seguinte equação:

α =2π

λi

√µrε

′r(−1+

√1+ tan(δp)

2. (2.5)

11


Para o caso de um meio não-magnético, µr = 1, a profundidade de penetração da onda p,

no S.I., é dada por

p =λi

4π

√2

ε′r(−1+

√1+ tan(δp)

. (2.6)

Por outro lado, note que para (tan(δp) >> 1), temos

p =λi

4π

√2

ε′r tan(δp)

, (2.7)

de onde podemos observar que a profundidade de penetração da onda no meio é inver-

samente proporcional à frequência, à raiz quadrada da tangente de perdas e da constante

dielétrica do meio. Assim, os meios com elevadas tan(δp) e com grandes aptidões para

aquecimento eletromagnético tem uma pequena profundidade de penetração. Portanto,

nesses casos o único parâmetro a ser modificado no processo é a frequência de operação.

Para o caso do aquecimento em HF , a profundidade de penetração da onda é superior

à um metro, podendo atingir várias dezenas de metro. No aquecimento em microondas

(MO), a profundidade de penetração é muito menor que no HF . Consequentemente,

o aquecimento HF é utilizado quando o material a aquecer apresenta grande espessura,

enquanto o aquecimento (MO) é mais localizado.

A eficiência na conversão de energia eletromagnética em térmica está diretamente

relacionada com uma boa caracterização dielétrica e condutiva do meio e com a frequên-

cia empregada. Em meios condutores, em baixas frequências (σ >> ωε′′), o processo de

condução iônica é o principal mecanismo de conversão de energia. Em meios dielétricos,

em altas frequências (σ << ωε′′), a transformação de energia deve-se principalmente à

rotação das moléculas dipolares do meio. Os meios dielétricos são caracterizados através

dos valores catalogados das constantes dielétricas relativas ε′r e das tangentes de perdas

tan(δp) em função da frequência e da temperatura (SILVA, 1997).

2.2 Desenvolvimento do modelo matemático

Nesta seção iremos desenvolver um modelo matemático para investigar o uso de uma

antena cilíndrica do tipo dipolo adaptada para o aquecimento eletromagnético de petróleo

de alta viscosidade. Faremos um estudo do qual apresentaremos equações analíticas refe-

rentes as grandeza eletromagnéticas de interesse.

12


2.2.1 Formulação do problema

Para verificar a precisão do método, o sistema físico analisado foi uma jazida cilíndrica

contendo hidrocarbonetos pesados e água. Neste caso, a produção resultante do sistema é

obtida considerando-se um poço vertical localizado no centro da estrutura, sobre a qual, a

fonte de radiação eletromagnética é implantada.

O esquema proposto é mostrado na Figura 2.2. O problema consiste na recuperação

de reservatórios de petróleos viscosos por aquecimento eletromagnético e, neste trabalho,

é abordado a partir do estudo do modelo da antena cilíndrica isolada inserida em um meio

dissipativo. A geometria da antena adapta-se perfeitamente aos requisitos que uma fonte

de radiação eletromagnética deve ter para ser introduzido em um poço de um reservatório

de petróleo (DA MATA, 1989).

Figura 2.2: Configuração do meio submetido ao aquecimento eletromagnético por irradi-ação (Da Mata, 1993).

A geometria da antena utilizada nessa aplicação é mostrada na Figura 2.3 e consiste de

dois condutores centrais (Região 1), de comprimento (h1) e (h2) e raio a1, envolvido por

um cilindro de dielétrico constituído de uma ou duas camadas (Região 2 e 3), com raios

externos a2 e a3, respectivamente. A região externa ao cilindro dielétrico é formada por

petróleo, água e rocha, os quais constituem o meio heterogêneo a ser aquecido (Região

4). O termo z é a componente axial segundo a direção vertical em coordenadas cilíndricas

e z′ é eixo tangente a superfície do condutor central da antena paralelo a z.

13


Figura 2.3: Antena cilíndrica isolada tipo dipolo, imersa em um meio dielétrico dissipa-tivo (Silva, 1997).

2.2.2 Modelo matemático

As teorias da eletricidade e do magnetismo são frutos de descobertas muito antigas,

mas que receberam tratamento científico adequado somente no século XIX. Inicialmente

os fenômenos magnéticos recebiam maior atenção, principalmente, pelo interesse prático

na aplicação em navegação, ao passo que os fenômenos elétricos eram reproduzidos em

demonstrações destinadas, frequentemente, a informar ao público das curiosidades sobre

os efeitos da eletricidade estática. As pesquisas mais sistemáticas sobre a eletrostática

foram executadas por Michael Faraday, entretanto a grande contribuição no eletromag-

netismo foi a descoberta feita por Hans Christian Oersted e André Marie Ampère sobre as

ações entre ímãs e corrente elétricas e interações entre condutores portadores de correntes

elétricas. Sobre esse notável conjunto de fenômenos e leis, o matemático escocês James

Clerk Maxwell construiu uma teoria física, atualmente designada como teoria eletromag-

nética, que unifica todas as leis dos fenômenos elétricos e magnéticos num único e co-

erente formalismo matemático. O conteúdo matemático dessa teoria é formado pelas

chamadas equações de Maxwell, que na sua forma diferencial descrevem, localmente, as

leis físicas da eletricidade e do magnetismo (BATISTA, 2003).

Nesta sessão serão apresentadas estas equações, assim como as formulações potenci-

ais mais utilizadas considerando um meio homogêneo e isotrópico. A análise do campo

eletromagnético é frequentemente facilitada pela utilização de funções auxiliares conhe-

cidas como potenciais. Os vetores dos campos satisfazem as equações de Maxwell (BAL-

ANIS, 2004):

14


∇×~E = − jω~B (2.8)

∇× ~H = − jω~D+ ~J (2.9)

∇ ·~D = ρ (2.10)

∇ ·~B = 0 (2.11)

Entre as intensidades e as densidades de campo elétrico e campo magnético existem

ainda as seguintes relações, válidas para materiais isotrópicos lineares:

~B = µ · ~H (2.12)

~D = ε ·~E (2.13)

~J = σ~E + ~J f (2.14)

onde, a permissividade complexa do meio ε é dado por:

ε = ε′ − jε′′

Observe que quando o meio apresenta cargas elétricas livres, estas podem se deslocar

sob a ação do campo elétrico dando lugar a uma corrente de condução proporcional à

condutividade elétrica iônica do meio σ. No que segue, consideraremos que a densidade

total ~J é devida às correntes de condução ~Jc, em fase com o campo elétrico, e às de fonte~J f , ou seja

~J = ~Jc + ~J f = σ~E + ~J f

de onde temos a seguinte expressão para o campo magnético:

∇× ~H = (σ+ωε′′)~E + jωε

′~E + ~J f . (2.15)

Podemos observar na equação (2.15) a presença de três tipos de corrente: de con-

dução e de rotação, em fase com o campo elétrico, responsáveis pelo aquecimento do

meio, de deslocamento, defasada de 90 em relação ao campo elétrico, responsável pela

propagação da onda eletromagnética no meio.

• A corrente de condução~Jc = σ~E

é independente da frequência do campo elétrico, sendo responsável pelo aqueci-

15


mento condutivo baseado no efeito Joule. Esse efeito relaciona-se diretamente com

as partículas do meio em desequilíbrio elétrico. Neste caso, o meio poroso a aque-

cer deve apresentar boa condutividade elétrica que satisfaça às condições mínimas

de aplicação do método, onde o fluxo de corrente seja mantido pela aplicação de

níveis de tensão aceitáveis durante o processo (DA MATA, 1993) .

• A corrente de rotação~Jr = ωε

′′~E

é resultado da interação entre o campo eletromagnético de excitação e as moléculas

dipolares sensíveis às variações harmônicas do campo. Estas moléculas orientam-

se conforme as linhas do campo elétrico, e a cada variação de polaridade deste

campo ocorre a agitação molecular e consequentemente a conversão de energia

eletromagnética em térmica por fricção intermolecular.

• A corrente de deslocamento~Jd = jωε

′~E

é responsável pela propagação da onda eletromagnética no meio dissipativo, sendo

importante na penetração do campo elétrico e, portanto, do campo térmico direta-

mente relacionado ao campo elétrico.

As equações de Maxwell são raramente solucionadas na forma em que estão colo-

cadas, pois implicaria encontrar uma solução (analítica ou numérica) que satisfaça todas

as quatro equações simultaneamente, o que torna o processo de solução em geral mais

difícil, sobretudo quando se procura uma solução numérica aproximada. Desta forma,

costuma-se solucionar uma equação equivalente, a qual decorre das quatro equações

citadas. Para tanto, introduz-se uma grandeza vetorial auxiliar chamada de Vetor Poten-

cial, o qual em princípio não possui um significado físico, servindo apenas para facilitar

a solução numérica.

2.2.3 Equações para os campos elétricos

Para obtenção das equações integrais que descrevem o modelo proposto considerou-se

que o cilindro possui comprimento muito maior que seu raio (h >> a1), e o raio muito

menor que o comprimento de onda (a1 << l). Estas considerações permitem desprezar

os efeitos nas faces terminais do cilindro e impor que o campo tangencial na superfície e a

corrente (I) nas extremidades do fio são nulos [I(z =±h) = 0] Collin (1985). Admitindo-

se que somente a densidade de corrente flua pela superfície do cilindro e direcionada ao

16


longo do eixo z, o que é perfeitamente viável na prática, considera-se a densidade de

corrente ~J, apenas como um filamento de corrente ao longo do eixo z (BALANIS, 2004):

~J = ~azIz.

O vetor potencial magnético ~A será dependente apenas de z e é definido de tal forma que

a indução ~B seja obtida por meio do seu rotacional:

∇× ~Az = ~B (2.16)

Por outro lado, pode-se mostrar que a relação abaixo vale para qualquer função vetorial:

∇ · (∇× ~Az) = 0 (2.17)

Assim, a definição do vetor potencial dada acima satisfaz a equação (2.11), conforme se

pode verificar:

∇ ·~B = ∇ · (∇× ~Az) = 0 (2.18)

Substituindo a equação (2.12) na equação (2.16), obtém-se:

∇× ~Az = ~B = µ · ~H (2.19)

o que implica,

~H =1µ

∇× ~Az. (2.20)

Agora, introduzindo (2.12) e (2.20) em (2.8), resulta a seguinte expressão:

∇× (~E + jω~Az) = 0 (2.21)

Desde que a expressão entre parêntesis em (2.21) seja um campo elétrico de rotacional

nulo, este será um campo conservativo e comporta-se como um campo elétrico estático.

Assim, da identidade vetorial

∇×∇Φ ≡ 0, (2.22)

definimos o vetor potencial escalar elétrico como sendo

~E + jω~Az = −∇×Φ. (2.23)

17


Agora, impondo a condição de Lorentz:

∇ · ~Az = − jωµεΦ, (2.24)

podemos especificar o campo

~E = − jω~Az +1

jωµε∇(∇ · ~Az). (2.25)

O campo elétrico total ~E é obtido em termos das componentes axial ~Ez e radial ~Er e será

dado por:

~E = ~Ez + ~Er = − jω~Az +1

jωµε∇(∇ · ~Az) (2.26)

o que implica,

~E = ~Ez + ~Er = − jω~Az +1

jωµε[(

∂~r

∂r+

∂~z

∂z)](∇ · ~Az) (2.27)

de onde segue,

~E = ~Ez + ~Er = (− jωAz +1

jωµε

∂2Az

∂z2 )~z+1

jωε

∂2Az

∂r∂z~r. (2.28)

Portanto, o campo radial e axial na forma escalar são dados pelas seguintes equações:

Er =1

jωε

∂2Az

∂r∂z, (2.29)

Ez =

(− jω+

1jωµε

∂2

∂z2

)Az (2.30)

onde, j é um número imaginário puro, representa a frequência angular em rad.s−1, ε é a

permissividade complexa efetiva do meio dada em F.m−1 e µ representa a permeabilidade

magnética do meio em Kg.m.s−1.A−2.

Por outro lado, substituindo (2.20) e (2.13) em (2.9) obtemos

∇× ~H = ∇×∇× ~Az = jωµε~E +µ~Iz (2.31)

Observe que usando a seguinte identidade vetorial

∇×∇× ~Az = ∇(∇ · ~Az)−∇2~Az, (2.32)

18


segue por (2.24) e (2.31),

∇2~Az +ω2µε~Az −∇( jωµΦ+∇ · ~Az) = −µ~Iz (2.33)

Portanto, através da condição de Lorentz, obtemos por (2.33)

∇2~Az + k2~Az = −µ~Iz; k = ω√

µε (2.34)

que é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, conhecida na literatura como

equação da onda vetorial.

Para o caso unidimensional, segundo Collin (1985), o vetor potencial magnético Az

pode ser obtido em função da distribuição de corrente Iz

Az =Z −h

hI(z

′)

e jkR

4πRdz

′(2.35)

onde, ~R =∣∣∣~r−~r

′∣∣∣ é o vetor do ponto de fonte ao ponto de campo, cujo módulo em coor-

denadas retangulares é dado por,

~R =√

a2 +(z− z′)2. (2.36)

Por outro lado, substituindo a equação (2.35) em (2.29) e (2.30), temos respectivamente,

as equações para o campo axial e radial na região 4:

E4z(r,z) =1

jωε

Z −h

h

[k2F(z,z′)+

∂2

∂z2 F(z,z′)

]I(z

′)dz′ (2.37)

E4r(r,z) =1

jωε

Z −h

h

[∂2

∂r∂zF(z,z′)

]I(z

′)dz′; (2.38)

onde, F(z,z′) = e jkR

4πRé a função de Green. Finalmente a equação para o módulo do campo

elétrico total será dada por:

|E(r,z)|2 = |E4z(r,z)|2 + |E4r(r,z)|2 (2.39)

2.2.4 Equações de Hallén

Na formulação da equação integral de Hallén, assume-se uma antena linear tipo dipolo

como um fio cilíndrico de raio finito e de comprimento , sendo alimentado em seu centro

19


com uma tensão de espaçamento V , como mostra a Figura (2.4),

Figura 2.4: Dipolo cilíndrico simétrico, Silva (1997).

Para obter a equação de Hallén, considera-se como condições de contorno, que o

campo elétrico tangencial à superfície da antena deve ser nulo, E4z = Etam = 0, ou seja,

os efeitos das faces terminais do fio cilíndrico podem ser negligenciados e a corrente Iz

anula-se em z = ±h, isto é, Iz(±h) = 0. Assim, a partir da equação (2.34) obtemos a

seguinte equação diferencial (COLLIN, 1985):

∂2~Az

∂z2 + k2~Az = 0. (2.40)

Desta forma, efetuando-se algumas manipulações algébricas, Segundo Balanis (2004), a

solução para equação (2.40) pode dada por:

Az =j

2YV i

0sen(k | z | +Ccos(kz) (2.41)

onde, C é uma constante determinada a partir das condições de contorno, Y = 1/√

µ/ε

representa a admitância do meio em Ω−1 e V i0 é a tensão elétrica impressa ou incidente na

antena em Volts. Finalmente, igualando-se a equação (2.35) a equação (2.41), obtém-se a

equação integral de Hallén,

Z h

−hIz

e− jkR

4πRdz′ = − j

2YV i

0sen(k | z | +Ccos(kz). (2.42)

20


2.3 Distribuição de potência e temperatura

Em óleos de alta densidade, a quantidade de gás dissolvido é pequena de modo que

consideraremos a presença de dois componentes apenas (óleo e água) em duas fases. O

escoamento é considerado bifásico (óleo viscoso e água) com as duas fases em equilíbrio

térmico. A troca de calor é efetuada por condução, por convecção e por radiação entre a

fonte e as fases fluida e sólida (rocha). As equações diferenciais que regem o problema

dependem do tempo de forma bidimensional e não-linear, pois as propriedades físicas dos

fluidos e da rocha evoluem em função da temperatura e das posições espaciais no meio.

Toda fundamentação para o modelo utilizado no processo de recuperação de petróleo

através do aquecimento eletromagnético para escoamento horizontal de fluidos é obtida

em função da equação de energia dada por (DA MATA, 1993):

ρeqceq∂T

∂t+(ρoco~νo +ρwcw~νw)

∂T

∂r= W (r) (2.43)

onde, ρeq e ceq representam, respectivamente, a massa volumétrica equivalente e o

calor específico equivalente do sistema óleo-água-rocha, ρo representa a massa volumétrica

do petróleo, co representa o calor específico do óleo e o representa ~νo vetor velocidade

superficial do óleo. Os termos ρw, cw e~νw são respectivamente, a massa volumétrica da

água, o calor específico da água e o vetor velocidade superficial da água. O termo W

representa a distribuição de potência ativa dissipada no meio, transmitido pela antena e

depende diretamente da condutividade elétrica efetiva do meio (σ) e da intensidade do

campo elétrico, podendo ser calculada pela seguinte expressão (DA MATA 1993):

W =σ

2~E ·~E∗ =

σ

2

(|E4z(r,z)|2 + |E4r(r,z)|2) (2.44)

onde, ~E∗ é o complexo conjugado do campo elétrico.

Finalmente, para calcular a distribuição de temperatura no meio dielétrico dissipa-

tivo, considera-se o caso em que não existe fluxo de fluido na direção do poço produtor,

conseqüentemente, a equação reduz-se a:

T (r, t) = Ti +W (r)

ρeqceqt. (2.45)

aqui, Ti representa a temperatura inicial e t o tempo.

21


2.4 Critérios para aplicação do método por aquecimento

eletromagnético

O método de aquecimento eletromagnético não apresenta limitações tais como vis-

cosidade, profundidade, espessura da zona, temperatura, permeabilidade média, trans-

missibilidade, salinidade da água de formação, porosidade, saturação de óleo e pressão

estática, porém algumas condições podem apresentar-se como ideais para a sua aplicação

(MANICHAND, 2002):

• Quanto mais viscoso o óleo, melhor a eficiência como método térmico, não apre-

sentando limitação como a injeção de vapor, pois tem que se injetar o vapor de

água e, caso não seja possível pela alta viscosidade do óleo, o método não pode

ser aplicado. Para o caso de reservatórios com óleo de viscosidade intermediária, o

aquecimento eletromagnético pode ser associado com injeção de água, tornando-o

uma técnica muito atraente, sob o ponto de vista de deslocamento de fluido no meio

poroso;

• Pode ser aplicado para qualquer profundidade;

• A temperatura do reservatório pode ser qualquer, porém o rendimento do processo

pode ficar prejudicado para temperaturas acima da temperatura de ebulição da água,

nas condições de reservatório. Isto é devido ao fato da condutividade elétrica ficar

prejudicada pela vaporização da água. Este problema pode ser solucionado pela

variação de frequência do sinal elétrico operante, pois, neste caso, quanto maior

a frequência, menor a dependência da condutividade elétrica do meio no processo

físico de aquecimento eletromagnético;

Em relação aos métodos convencionais de recuperação térmica, o aquecimento eletro-

magnético apresenta ainda as seguintes vantagens:

• Pode ser aplicado sem a injeção de qualquer outro fluido no reservatório, como água

quente ou vapor. Desta forma, o gasto energético é otimizado, pois se evita perda

de fluido aquecido para zonas de falha ou de alta permeabilidade;

• Pode ser aplicado em reservatórios que apresentem problemas de inchamento de

argilas em presença de água ou vapor;

• É um processo limpo ambientalmente, pois não produz rejeitos;

22


• Não tem limite de profundidade para o reservatório;

• Pode promover a geração de vapor "in situ";

• Pode ser aplicado em reservatórios que apresentem deposição de parafinas;

• Pode ser aplicado em áreas extremamente frias, pois não tem problema de perda de

calor para o ambiente, como no caso dos geradores de vapor;

• Atua na região desejada e pode independer da condutividade térmica do meio.

23

Capítulo 3

Wavelets e análise de multiresolução

O objetivo deste capítulo é apresentar de uma forma condensada os principais resulta-

dos sobre a teoria básica das wavelets ortogonais e a sua principal propriedade, a análise

de multiresolução (AMR).

São discutidos os conceitos envolvidos na definição de uma análise de multiresolução,

a qual pode ser encarada como o enquadramento geral que permite a definição e constru-

ção dos sistema de wavelets que combinados com resultados de análise funcional veremos

que é possível aproximar uma função arbitrária como uma combinação linear de wavelets

ortogonais.

3.1 Introdução

A chamada teoria das wavelets constitui um desenvolvimento recente e fascinante da

Matemática, com aplicações importantes nas mais diversas áreas da Ciências e Engen-

harias. Uma variedade de informações sua voz, sua impressão digital, uma fotografia,

uma raio-x pedido pelo médico, sinais de rádio do espaço sideral, ondas sísmicas po-

dem ser traduzidas nesta nova linguagem, que emergiu independentemente em diversas

áreas. Na verdade, apenas recentemente foram entendidas como uma mesma linguagem.

Em vários casos, essa transformação em wavelets torna-o mais fácil de ser transmitido,

comprimido e analisado ou de se extrair informações apesar do "ruído"envolvente e até

mesmo a fazer cálculos mais rápidos.

Como veremos aqui, as funções wavelets surgem como uma nova forma de ver o

mundo, onde as representações são feitas em diferentes escalas e pode-se escolher a re-

lação de compromisso desejada entre a resolução temporal e em frequência. Com a trans-

formada wavelet podemos escolher dentre várias formas de representação no domínio

tempo-frequência. Os diferentes níveis de detalhes em cada representação constituem

informações contidas em diferentes bandas de frequências, de forma que a análise em re-

24

Capítulo 3. Wavelets e análise de multiresolução

soluções múltiplas é uma forma de seccionar o espaço em diversas faixas de frequências

não sobrepostas. É possível assim segregar informações de diferentes faixas espectrais.

Todas essas propriedades da análise wavelet nascem naturalmente decorrente da relação

de escala que satisfazem.

As wavelets são um produto da colaboração de várias áreas, desde a matemática e

física puras, até engenharia e processamento de sinais. Várias pesquisas independentes

nessas áreas buscavam objetivos semelhantes, mas utilizavam abordagens diferentes. Bus-

cavam novas formas de representar sinais no domínio tempo-frequência. As diversas

linhas de pesquisa convergiram para um ponto no final da década de 80, sendo então

formalizada a teoria de wavelets. A unificação de todos os pensamentos tornou-se um fa-

tor primordial para a subsequente popularidade das wavelets, impulsionando assim novas

pesquisas na área.

A teoria é muito extensa, não sendo possível em um único texto fornecer todas as

informações. Diversos livros existem sobre wavelets e sua aplicações, e muito mais ainda

textos de conferências e jornais. A maioria dos textos é dedicada a um público que já

possua algum conhecimento sobre o assunto e mesmo os textos introdutórios assumem

uma maturidade e dedicação do leitor.

3.2 Notação e resultados preliminares

Nesta seção são apresentadas as notações matemáticas, definições e teoremas que são

utilizados na literatura das wavelets e neste trabalho. Importantes conceitos matemáticos

são revisados, para uma discussão detalhada ver Kreyszing (1989). Iremos começar o

nosso estudo definindo o seguinte espaço:

Definição 1 Dizemos que uma função f está contida no espaço das funções quadratica-

mente integráveis, ou seja, f ∈ L2(R) se,

Z +∞

−∞| f (t)|2dt < ∞.

Podemos observar pela definição acima que a energia de f ∈ L2(R) é limitada ao

longo de todo eixo dos reais, neste contexto dizemos que f possui energia finita. O

produto escalar e a norma do L2(R) são definidos como segue:

〈 f ,g〉 =Z +∞

−∞f (t)g(t)dt, ‖ f ‖=

√〈 f , f 〉.

25


Definição 2 Uma sequência ( fn) num espaço de Hilbert H é ortonormal se,

〈 fm, fn〉 = δm,n.

Se para f ∈ H existe αn tal que

limN→∞

‖ f −∞

∑n=0

αn fn‖ = 0,

então ( fn)n∈N é chamada uma base ortogonal de H. Para que uma base seja ortonormal

necessitamos que ‖ fn‖ = 1.

Todo espaço de Hilbert que admite uma base ortogonal é separável e a norma de f ∈H

é dada por

‖ f‖2 =∞

∑n=0

| < f , fn > |2.

Seja ( fn)n∈N uma sequência linearmente independente e completa em L2(a,b), isto

significa que a expansão linear fechada de ( fn) gera o L2(a,b). Dizemos que ( fn)n∈N

forma uma base de Riesz se existe A > 0 e B > 0 tal que

A∑ |ci|2 ≤‖ ∑ci fi ‖2≤ B∑ |ci|2

para cada sequência (ci) de números complexos. O teorema da representação de Riesz

garante a existência do dual ( fn) ∈ L2(a,b) tal que

(1) ( fn) é a única sequência ortogonal para ( fn), isto é, 〈 fm, fn〉 = δm,n.

(2) Se (cn) ∈ l2, cada ∑cn fn converge em L2(a,b).

(3) Para cada f ∈ L2(a,b), (〈 f , fn〉) ∈ l2.

(4) Para cada f ∈ L2(a,b),

f =∞

∑n=1

〈 f , fn〉 fn =∞

∑n=1

〈 f , fn〉 fn.

3.3 Definição de uma wavelet geratriz

Definição 3 Dizemos que uma função ψ : R → R é uma wavelet geratriz se:

ψ ∈ L2(R), ‖ψ‖2 = 1 (3.1)

26


Cψ = 2π

ZR

| ˆψ(a)|2|a| da < ∞. (3.2)

Construímos as wavelets associadas a uma dada wavelet geratriz (mencionada sim-

plesmente wavelet) da seguinte forma: Fixado um real não nulo arbitrário a, denotamos

por

ψa(t) :=1√|a|

ψ( t

a

),

que corresponde a uma compressão ou uma dilatação do gráfico de ψ no eixo horizontal,

conforme seja |a| menor ou igual que 1, seguida de, respectivamente, uma dilatação ou

uma compressão relativamente ao eixo vertical. No caso de a < 0, tem-se também uma

reflexão com relação ao eixo vertical. Observamos ainda que essa troca de escala preserva

a relação (3.1), pois

Z|ψa|2 =

1|a|

Z ∣∣∣ψ( t

a

)∣∣∣2

dt =1|a|

Z|ψ(s)|2ds = 1.

Em seguida, a função resultante ψa é submetida a translações:

ψa,b := ψa(t −b) =1√|a|

ψ

(t −b

a

). (3.3)

A família ψa,b, a 6= 0, b ∈ R2 é a familía de wavelets geradas por ψ.

O exemplo mais antigo (1910) para a função ψ são as funções construídas por Haar:

ψ

(t −b

a

)=

1 ; t ∈ [b,b+ a2 ]

−1 ; t ∈ (b+ a2 ,b+a]

0 ; t 6∈ [b,b+a].

(3.4)

È imediato verificar que para a > 0, a equação (3.4) satisfaz às condições impostas na

definição (3).

As funções wavelets possuem suporte compacto, ou decaem exponencialmente a zero

quando t →±∞. Isto significa que as wavelets são funções que possuem uma boa locali-

zação no tempo, contribuem localmente na análise de funções, ao contrário do que ocorre

nas funções de base da análise de Fourier (seno e cosseno), que são não nulas em todo

intervalo de definição, e portanto contribuem globalmente. Outra propriedade importante

é possuir momentos de diferentes ordem iguais a zero Pan (2003). Dizemos que uma

27


wavelet ψ possue momento de ordem M igual a zero, quando

Zxkψ(x)dx k = 0, . . . ,M (3.5)

Isto significa que os coeficientes das wavelets para polinômios de ordem até M são todos

nulos. A informação de detalhe gerada no processo de decomposição será toda nula, ou

seja, a informação de polinômios de ordem até M pode ser suprimida.

3.4 Transformada de wavelet contínua

Como se sabe, um dos objetivos fundamentais do processamento de um sinal consiste

na extração de informação relevante sobre esse sinal, através da sua transformação. Por

exemplo, no caso de um sinal analógico de energia finita, uma ferramenta importante para

esse fim é a transformada de Fourier, definida por:

f (ξ) = F f (ξ) :=Z ∞

−∞e−iξt f (t)dt, (3.6)

a qual nos dá uma descrição do comportamento do sinal em frequência (espectro do sinal).

Na representação espectral de um sinal através da sua transformada de Fourier, perde-

se, todavia, toda a informação desse sinal no tempo, veja Figura 3.1. Assim, em muitas

aplicações, tais como análise de sinais não-estacionários ou processamento de sinal em

tempo real, a simples utilização da transformada de Fourier não é adequada. Um processo

de obter localização de frequências no tempo é a chamada transformada de wavelet con-

tínua, que permite ultrapassar essa dificuldade, originando uma análise com janelas flexí-

veis cuja largura e altura se adaptam às frequências.

A idéia da transformada contínua de wavelet é também, como no caso da transformada

de Fourier em tempo curto, calcular o produto interno de f com a família de funções ψa,b

dependentes de dois parâmetros. Como pode ser visto na secção (3.3) essas funções ψa,b

são obtidas de uma função básica ψ (chamada wavelet mãe) por dilatações ou contrações,

isto é, mudanças de escala controladas pelo parâmetro a e translações controladas pelo

parâmetro b.

Definição 4 Fixado uma wavelet ψ, a transformada wavelet de uma função f ∈ L2(R)

28


com relação a essa função ψ é definida por:

Wψ f : R2∗ −→ C

(a,b) −→ Wψ f (a,b) :=< f ,ψa,b >L2(R)= |a|−1/2 R ∞−∞ f (t)ψ( t−b

a)dt

(3.7)

Para fixar a definição considere a função de Haar da definição (3), calculemos a transfor-

mada wavelet de ψ

Wψ f (a,b) =1√|a|

(Z b+ a2

b−Z b+a

b+ a2

)f (t)dt =

√|a|2

(a

2

(Z b+ a2

b−Z b+a

b+ a2

))f (t)dt (3.8)

Assim, o valor da transformada é a diferença entre a média da função f nos dois intervalos

adjacentes determinados por a,b.

A condição que a função ψ deve satisfazer para a existência de uma inversa da trans-

formada Wψ f é chamada condição de admissibilidade (PAN 2003):

Cψ :=Z ∞

0

|ψ(ξ)|2ξ

dξ < ∞. (3.9)

Na prática, para wavelets que satisfaçam razoáveis condições de decaimento, exigir que

ψ satisfaça a condição 3.9 é equivalente a exigir que

Z ∞

−∞ψ(t)dt = 0. (3.10)

Isto significa que de algum modo, ψ deve oscilar, isto é, comportar-se como uma onda.

Ao efetuar a transformação de um sinal, é naturalmente importante dispor de um

processo de recuperar o sinal depois de transformado. Assumindo que ψ é admissível,

pode-se provar que a correspondência f → Wψ f é invertível no seu contradomínio, sendo

a função f completamente caracterizada pelos valores de Wψ f (a,b) e podendo ser recu-

perada através do uso da fórmula

f =1

Cψ

Z ∞

−∞

Z ∞

0Wψ f (b,a)ψa,b

da

a2 db. (3.11)

Na Figura 3.1, temos um exemplo da análise espectral através da Transformada de

Fourier e através da Transformada Wavelet contínua de dois sinais. O primeiro sinal (a)

consiste da superposição de duas frequências (sen10t) e (sen20t), e o segundo consiste

das mesmas frequências aplicadas a cada uma das metades da duração do sinal (b). As

29


Figuras (c) e (d) mostram os espectros dos dois sinais obtidos através da Transformada de

Fourier, ou seja, de (a) e (b) respectivamente e finalmente as Figuras (d) e (e) mostram

a magnitude da Transformada Wavelet dos mesmos sinais. Observa-se com isso a pro-

priedade de localização.

Figura 3.1: Análise do sinal através da Transformada de Fourier e Transformada WaveletContínua.

Uma outra característica importante que pode ser observada através da Transformada

Wavelet contínua é a capacidade de detectar pontos de descontinuidades ou singularidade

presentes no sinal como são mostrados nas Figuras 3.2 e 3.3.

30


Figura 3.2: Transformada de wavelet contínua: descontinuidade no sinal

Figura 3.3: Transformada de wavelet contínua: descontinuidade no sinal

3.5 Wavelets ortogonais e a análise de multiresolucão (AMR)

Os sistemas de wavelets ortogonais são bastantes recentes. Estes sistemas surgiram

como uma continuidade de diversos trabalhos na área da discretização de funções por

sistemas ortogonais. A análise de multiresolução em wavelets foi formulada em traba-

31


lhos desenvolvidos por Mallat (1989) e Meyer (1989). O método consiste em representar

funções como um conjunto de coeficientes que fornecem informação sobre a posição e

a frequência da função. Podemos afirmar sem perda de generalidade que toda funda-

mentação teórica das wavelets ortogonais são decorrentes das funções escalas de Haar e

funções wavelet de Haar definidas como segue;

Definição 5 Seja ϕ : [0 1] 7−→ R uma função mensurável. As funções escala de Haar ou

escala são definida como

ϕ(t) =

1 se t ∈ [0, 1]

0 se t 6∈ [0, 1].(3.12)

Definição 6 Seja ψ : [0 1] 7−→R uma função mensurável. Definimos as wavelets de Haar

da seguinte forma:

ψ(t) =

1 se t ∈ [0, 12 ]

−1 se t ∈ (12 , 1]

0 se t 6∈ [0, 1].

(3.13)

Nas Figuras 3.4 e 3.5, temos a representação de algumas das funções escala de Haar

e wavelets de Haar efetuando-se dilatação e translação consecutivamente:

Figura 3.4: Função escala de Haar φ0,0 eWavelet de Haar ψ0,0 Figura 3.5: Wavelet de Haar ψ1,0 e ψ1,1

Por indução, observamos que de forma geral podemos representar as funções escalas

de Haar as wavelets de Haar através das seguintes equações:

ϕ j,k(x) = 2 j/2ϕ(2 jx− k) (3.14)

e

ψ j,k(x) = 2 j/2ψ(2 jx− k) (3.15)

32


onde, j denota a escala ou nível e k a translação ou deslocamento. Na prática o que está

ocorrendo em (3.14) é uma discretização de (3.3) com a chamada rede diática definida

por:

a = 2− j, b = 2− jk; j,k ∈ Z (3.16)

3.5.1 Análise de multiresolução (AMR)

Uma das mais importantes propriedades das wavelets é a análise de multiresolução

(AMR) Pan (2003). Um sinal pode ser visto como uma componente suave acrescido de

flutuações, detalhes. A distinção entre o que é suave e o que são detalhes é feita de acordo

com o nível de resolução empregado, isto é, uma escala a partir das quais os detalhes não

podem mais ser distinguidos. Uma análise em resolução múltiplas ou de multiresolução

é uma forma de representar uma função em diferentes resoluções.

Nesta seção estudaremos como são desenvolvidos os algoritmos de análise e síntese

desenvolvido por Mallat (1989), a partir da tal (AMR). Também veremos como uma base

de wavelets ortonormal pode ser construída a partir da análise de multiresolução, definida

como segue:

Definição 7 A análise de multiresolução de L2(R) é definida como uma sequência de

(Vj) j∈Z de subespaços fechados de L2(R) e uma função escala ϕ associada satisfazendo

as seguintes propriedades:

(1) Vj ⊂Vj+1 ⇐⇒ . . . ⊂V−2 ⊂V−1 ⊂V0 ⊂V1 ⊂V2 ⊂ . . .

(2) Os subespaços V j com j ∈ Z devem ter uma intersecção trivial, isto é,

\j∈Z

Vj = 0.

(3) A união dos espaços V j com j ∈ Z é densa

[j∈Z

Vj = L2(R).

(4) Se uma função f (t) esta definida em Vj então f (2t) está definida em Vj+1, ou seja, os

diferentes subespaços têm que estar relacionados de tal forma que

f (t) ∈Vj ⇐⇒ f (2t) ∈Vj+1.

33


(5) ∃ ϕ(t) ∈ V0 tal que a coleção ϕ(t − k) ; k ∈ Z constituem uma base ortonormada

de Vj.

Façamos algumas observações referente as propriedades desta definição:

• Para cada j ∈ Z, as funções

ϕ(t) j,k(t) = 2 j/2ϕ(2 jt − k)

constituem uma base ortonormada de Vj.

• Como podemos observar, sendo√

2ϕ(2t − k) uma base ortonormada em V0 ⊃ V1, e

das propriedades da definição que garantem as hipóteses do teorema da representação de

Riesz, então, existe uma sequência (hn) ∈ l2 tal que

ϕ(t) =√

2 ∑n∈Z

hnϕ(2t − k) ; t ∈ R (3.17)

onde, os coeficientes hn são dados por

hn = 〈ϕ(t),√

2ϕ(2t − k)〉.

Pode ser mostrado por Daubechies (1988), que o suporte de φ é o intervalo [0,2N − 1],

cujo tamanho aumenta com o parâmetro N.

A equação funcional em (3.17) é chamada equação de dilatação, de refinamento ou de

dupla escala para a função ϕ.

• As propriedades de uma AMR permitem-nos escolher uma função f j em cada um dos

espaços Vj para aproximar uma dada função f ∈ L2(R). Uma maneira de construir f j

será, por exemplo, através da projeção ortogonal no espaço Vj, isto é, tomar f j = Pj f

onde,

Pj f := ∑n∈Z

〈 f ,ϕ(t) j,k〉ϕ(t) j,k. (3.18)

As propriedades AMR2 e AMR3 combinados com os teoremas de análise funcional

garantem que

limj→∞

Pj f = f .

• As propriedades AMR4 e AMR5 significam que todos os subespaços aproximadores

Vj são, no fundo, versões dilatadas de um espaço básico V0 e que, além disso, cada um

desses subespaços Vj é invariante por translação proporcionais a 2− j. São precisamente

estas propriedades que dão o caráter de multiresolução a esta cadeia de subespaços.

Suponhamos, então, que dispomos de uma AMR e denotamos por Wj o complemento

34


ortogonal de Vj em Vj+1, isto é, seja Wj o subespaço de L2(R) tal que

V j+1 = Vj+⊕Wj. (3.19)

Da definição de W j, e atendendo o fato de os subespaços Vj estarem encaixados, con-

cluímos de imediato que os subespaços Wj são mutualmente ortogonais. Das propriedades

AMR2 e AMR3 podemos então, concluir que o espaço L2(R) admite a seguinte decom-

posição como soma ortogonal:

L2(R) = ⊕Wj. (3.20)

Assim, se dispusermos de uma base ortonormada para cada um dos espaços Wj, a

coleção dessas bases formará uma base ortonormada do espaço L2(R). Mas, os espaços

Wj herdam, dos respectivos Vj, a propriedade de dilatação AMR4. Isto significa que,

se for possível encontrar uma função ψ ∈ W0 tal que ψ(t − k) ; k ∈ Z seja uma base

ortonormada de W0, a coleção

ψ j,k = 2 j/2ψ(2 j − k) ; k ∈ Z,

constituirá uma base ortonormada de Wj, sendo, portanto, o conjunto ψ j,k ; j,k ∈ Zformam uma base ortonormada de L2(R). O princípio básico de uma AMR é que tal

função ψ existe sempre e será construída implicitamente. Mais precisamente, pode provar

o seguinte resultado; ver, (DAUBECHIES, 1988).

Teorema 1 Dada uma AMR e sendo (hn) a sequência dos coeficientes da equação de

dilatação (3.17), a função ψ definida por

ψ(t) =√

2 ∑n∈Z

(−1)ngnφ(2t − k), gn ∈ l2, (3.21)

é uma wavelet ortogonal. Mais precisamente, as funções ψ j,k formam uma base ortonor-

mada de L2(R).

O teorema (1) indica-nos como dada uma AMR, é possível encontrar uma base orto-

normada de wavelets. Os coeficiente gn da equação (3.21), são chamados de filtros de

passa baixa, enquanto os temos hn em (3.17) são referidos como filtros de passa alta. Ve-

remos adiante que esses coeficientes determinam completamente essas funções, ou seja,

tudo o que é necessário para uma análise wavelet são os coeficientes de filtro. Apenas

conhecê-los é suficiente para determinar o valor da função em qualquer ponto, com a

precisão desejada, através de um algoritmo recursivo que será mostrado posteriormente.

35


3.5.2 Introdução as wavelets ortogonais de Daubechies

Existem uma infinidade de outros exemplos de wavelets com características seme-

lhantes às da wavelet de Haar. Para definir estas wavelets os principais ingredientes são

os filtros gn e hn, que dão origem ao banco de filtros dos algoritmos de análise e sín-

tese. Portanto, existem tipos de wavelets que podem ser representadas através de funções,

como exemplo a wavelet de Haar. Já em outros casos são definidas através de um banco

de filtro como a wavelet de Daubechies.

Os filtros utilizados para a construção das wavelets desenvolvidos por Ingrid Daubechies

são formados a partir dos coeficientes gn e hn, gerando um sistemas de wavelets organi-

zados em diferentes famílias, cada uma das quais caracterizada por um número diferente

de coeficientes não nulos. Cada família tem um número (wavelet number), denotado por

dbN , o qual está diretamente relacionado com o nível de decomposição do sinal.

A partir das equações (3.17) e (3.21), impondo certas condições sobre os coeficientes

hn obtemos o seguinte sistema de equações (PAM 2003):

2N−1

∑k=0

hk = 2

2N−1

∑n=0

hnhn+2k = 2δ0k ; k = 0, . . . ,N −1

2N−1

∑n=0

(−1)khkk j = 0

A resolução deste conjunto de equações não lineares permite recuperar os valores, dos

coeficiente para cada uma das famílias.

Para fixar o algoritmo, exemplifica-se a obtenção destes coeficientes para o caso da

família de Daubechies com N = 3.

Para N = 3 temos da primeira equação:

h0 +h1 +h2 +h3 +h4 +h5 = 2

Da segunda equação:

k = 0 : h20 +h2

1 +h22 +h2

3 +h24 +h2

5 = 2

k = 1 : h0h2 +h1h3 +h2h4 +h3h5 = 0

k = 2 : h0h4 +h1h5 = 0

36


E por fim da última equação temos:

j = 1 : −h1 +2h2 −3h3 +4h4 −5h5 = 0

j = 1 : −h1 +4h2 −9h3 +16h4 −25h5 = 0

A resolução numérica deste sistema nos permite obter os seguintes coeficientes dos filtros

para esta família.h0 = 0.235233603892082

h1 = 0.570558457915722

h2 = 0.325182500263116

h3 = −0.09546720778416

h4 = −0.06041610415519

h5 = 0.0249073356548795

São apresentados na Figura 3.5.2 algumas das wavelets de Daubechies. Observa-se

que, ao contrário do caso de Haar, as wavelets de Daubechies são funções suaves, e esta

suavidade é controlada de acordo com o parâmetro N. Em contrapartida, o seu suporte fica

cada vez maior. Já o domínio de frequências, a localização das wavelets de Daubechies é

significativamente melhor do que das wavelets de Haar.

Figura 3.6: wavelets de Daubechies dbN .

Outra propriedade importante da wavelet de Daubechies é possuir momentos de di-

ferentes ordem iguais a zero. No caso em que apenas o momento de ordem 1 é nulo, a

wavelet é equivalente à wavelet de Haar.

37


3.5.3 Aproximando funções com wavelets

A partir de todo estudo desenvolvido, podemos observar que através da AMR para

qualquer nível de escala ou deslocamento a família de funções ϕ j,k e ψ j,k formam um

sistema ortonormal completo no espaço de Hilbert L2(a,b), ainda mais, estas formam

uma base de Riesz Daubechies (1988). Isto significa que dado um conjunto de funções

φ(t) j,k e ψ(t) j,k gerando todo espaço L2(R), qualquer função f ∈ L2(R) pode ser escrita

como uma expansão em série das funções escalas e wavelets, ou seja,

f (t) = a−n,0φ−n,0(x)+ ∑j=−n

2 j+n−1

∑k=0

d j,k(x)ψ j,k(x). (3.22)

Os parâmetros d j,k são os coeficientes wavelets, e a sequência a−n,0 representa o sinal de

mais baixa resolução em frequência no nível j.

A seguir, mostraremos, através de um exemplo, como aproximar uma dada função

através da transformada discreta de uma forma direta. Acreditamos que este exemplo

ajudará a fixar os conceitos e o entendimento do método numérico que utilizaremos no

próximo capítulo. Em seguida, introduzimos o algoritmo desenvolvido em Mallat (1989),

conhecido como transformada rápida de wavelets (do inglês Fast Wavelet Transform), que

é utilizado para calcular a DWT. Escolhemos para trabalhar, a mais simples e antiga de

todas as wavelets, a wavelet de Haar ψ.

Considere S = (s0,s1, . . . ,s2n−1) nossa amostra, de tamanho 2n, de um sinal qualquer.

A decomposição em wavelets de f (x) será da forma

f (x) = a−n,0φ−n,0(x)+−1

∑j=−n

2 j+n−1

∑k=0

d j,k(x)ψ j,k(x) (3.23)

onde, f (x) é uma aproximação de f (x), a−n,0 e d j,k são os coeficientes associados à φ−n,0

e ψ j,k, respectivamente.

Vamos fixar nossa amostra S e calcular a decomposição explicitamente. Seja S =

(1,0,−3,2,1,0,1,2). A função f correspondente pode ser vista na figura 3.7

Os coeficientes de (3.23) podem ser calculados diretamente, através da equação matri-

cial a seguir. Observe que a matriz operadora é formada pela multiplicação da constante

2 j/2 pela wavelet correspondente, nos níveis de escala j = −3,−2 e −1. É importante

ressaltar também, que cada equação descrita neste sistema é responsável pela represen-

tação de uma parte do sinal. Assim, a primeira equação descreve a função no intervalo

x ∈ [0,1), a segunda no intervalo x ∈ [1,2) e assim sucessivamente, e é por isso que apare-

38


Figura 3.7: Função da amostra S em [0,8)

cem os elementos 0 na matriz operadora. Estes são consequência do valor da wavelet

utilizada no intervalo considerado. Por exemplo: a primeira equação descreve o sinal em

x ∈ [0,1). Neste intervalo, as wavelets ψ−2,1, ψ−1,−1, ψ−1,2 ψ−1,3 tem valor zero. Por-

tanto, os elementos da primeira linha da matriz operadora que correspondem a cada uma

destas wavelets serão iguais a 0.

1

0

−3

2

1

0

1

2

=

12√

21

2√

212 0 1√

20 0 0

12√

21

2√

212 0 − 1√

20 0 0

12√

21

2√

2−1

2 0 0 1√2

0 01

2√

21

2√

2−1

2 0 0 − 1√2

0 01

2√

2− 1

2√

20 1

2 0 0 1√2

01

2√

2− 1

2√

20 1

2 0 0 − 1√2

01

2√

2− 1

2√

20 −1

2 0 0 0 1√2

12√

2− 1

2√

20 −1

2 0 0 0 − 1√2

·

a−3,0

d−3,0

d−2,0

d−2,1

d−1,0

d−1,1

d−1,2

d−1,3

(3.24)

39


A solução de 3.24 é dada por

a−3,0

d−3,0

d−2,0

d−2,1

d−1,0

d−1,1

d−1,2

d−1,3

=

√2

−√

2

1

−11√2

− 5√2

1√2

− 1√2

(3.25)

De onde podemos obter a aproximação,

f (x) =√

2φ−3,0(x)−√

2ψ−3,0(x)+ψ−2,0(x)−ψ−2,1(x)+ (3.26)

+1√2

ψ−1,0(x)−5√2

ψ−1,1(x)+1√2

ψ−1,2(x)−1√2

ψ−1,3(x)

A solução é de fácil verificação. Por exemplo, se x ∈ [0,1)

f (x) =√

2.1

2√

2−√

2.1

2√

2+1.

12

+1

2√

2.

1

2√

2= 1 = f (x) (3.27)

O problema de se calcular os coeficientes por esta forma direta é que, a medida que S

vai crescendo, o custo computacional para resolver o sistema de equações se torna muito

alto. Para superar esta dificuldade, foi desenvolvido por Mallata (1989), um algoritmo que

calcula a DWT em (n) operações, dando um vetor de tamanho (n), ou seja, sua complex-

idade é de ordem (n) (O(n)). Tal algoritmo é conhecido como Transformada Rápida de

Wavelets (FWT, do inglês Fast Wavelet Transform) e será apresentado na próxima seção.

3.5.4 Transformada rápida com wavelets: Algoritmos rápidos de de-

composição e reconstrução

Vejamos agora como o esquema de AMR permite obter um algoritmo muito eficiente

para a expansão de um sinal discreto numa base de wavelets. Este algoritmo, que está inti-

mamente ligado com sistemas de decomposição de sinais em duas bandas, foi introduzido

por Mallat (1989). O algoritmo é um esquema clássico conhecido para processamento de

sinal como codificador de sub banda de dois canais. Este prático algoritmo dá origem à

transformada rápida de Wavelet uma caixa na qual o sinal passa, e na saída são obtidos os

40


coeficientes de Wavelet.

Consideremos, então, uma AMR com funções escala φ e wavelet mãe ψ, e denotamos

por Pj e Q j, os operadores de projecção ortogonal nos espaços V j e Wj, respectivamente,

isto é, sejam

Pj f = ∑k∈Z

a j,kφ j,k Q j f = ∑k∈Z

d j,kψ j,k, (3.28)

de tal forma que

a j,k =< f ,φ j,k >, d j,k =< f ,ψ j,k > .

Se os dados a serem analisados são discretos, isto é, são uma sequência (ak),k ∈ Z,

podemos sempre encará-los como representando a aproximação de um sinal contínuo f (t)

num determinado espaço aproximador VJ , cuja escala está relacionada com o intervalo de

amostragem.

Por uma questão de simplicidade, consideremos que essa escala é J = 0, ou seja,

partimos de

f0 = ∑k∈Z

akφ0,k. (3.29)

Recordemos que utilizamos a convenção

. . . ⊂V2 ⊂V1 ⊂V0 ⊂V−1 ⊂V−2 ⊂ . . . ⊂ L2,

portanto j ↓, Vj ↑. Essa aproximação pode, então, ser decomposta como soma de uma

aproximação f−1, de mais fraca resolução, com uma função w−1 ∈ W−1 que "contém"a

informação que é perdida ao representar f na escala mais grosseira. Este processo pode

ser repetido sucessivamente, até se chegar a uma escala −J desejada. Assim, o se pretende

é obter a seguinte decomposição

f0 = ∑k∈Z

a−J,kφ−J,k +−J

∑j=−1

∑k

d j,kψ j,k. (3.30)

ou, mais precisamente, obter as sequências (a−J,k) e d j,k; j = −1, · · · ,−J, a partir da

sequência inicial ak.

O algoritmo da transformada rápida com wavelets baseia-se no uso (3.17) e (3.21).

Mostra-se que a partir destas equações se deduzem as seguintes fórmulas de decom-

posição:

a j−1,k = ∑n∈Z

h2n−ka j,n. (3.31)

De modo análogo se pode obter uma relação para d j−1,k , a partir de φ j−1, e das wavelets

41


ψ j expressa por:

d j,k = ∑n∈Z

gn−2ka j,n, (3.32)

onde

gn := (−1)nh1−n.

Estas relações mostram que o cálculo dos coeficientes pode ser feito recursivamente,

partindo da sequência (a0,k) := (ak). O algoritmo pode ser esquematizado da seguinte

forma:

Figura 3.8: Esquema de decomposição

Construirmos desta maneira um algoritmo rápido para passar de uma escala para outra

escala subsequente. Para tanto é necessário apenas conhecermos os coeficientes a j,k que

representam a função f numa dada escala j e também os coeficientes de filtro hn da função

escala associada á análise. De forma semelhante obtemos uma maneira simples de obter

os detalhes perdidos ao se passar de uma escala de maior para uma de menor resolução,

sendo agora necessário os coeficientes de filtro gn da wavelet associada.

Verifica-se que são efetuadas multiplicações que totalizam um fator linear com relação

ao total de dados de entrada, ou seja, O(N). Observamos ainda uma diferença entre o

tratamento da aproximação com as wavelets e outras técnicas, utilizamos as projeções em

diferentes espaços, não apenas uma análise mais fina é efetuada, mas por assim dizer,

numa parte, num intervalo do espectro. Além disso, a divisão do sinal permite a análise

separada de cada uma de suas partes, revelando aspectos locais, como pode ser visto nas

Figuras (3.10) e (3.9).

A transformação anterior pode ser invertida, ou seja, é possível reconstruir o sinal

original (ak), partindo do conhecimento das sequências (a−J,k) e d j,k; j = −1, · · · ,−J.

Por outras palavras, o sinal pode ser recuperado juntando "camadas"sucessivas de por-

42


menores a uma versão mais grosseira. A fórmula que descreve essa transformada inversa

também é deduzida das equações (3.17) e (3.21) e é a seguinte:

a j,k = ∑n∈Z

(hk−2na j−1,n +gk−2nd j−1,n) (3.33)

As expressões (3.32) e (3.33) indicam que apenas uma tabela com valores de hn e gn são

exigidas para dar partidas aos cálculos.

Figura 3.9: Esquema de decomposição

Figura 3.10: Esquema de decomposição em todos os níveis

43

Capítulo 4

Método dos momentos via wavelet

Neste capítulo foi desenvolvida uma metodologia para calcular a distribuição de cor-

rente através da antena em estudo. A metodologia envolve o método dos momentos,

utilizando as Wavelets de Haar como funções base.

Os métodos utilizados na resolução de problemas, nos vários ramos da Engenharia

ou ciências aplicadas, baseiam-se, atualmente, em duas categorias: métodos analíticos e

métodos numéricos.

Por exemplo, na resolução de equações diferenciais, é raro se encontrar um problema

que possa ser resolvido analiticamente, a menos que se imponham condições de simpli-

ficação nos modelos respectivos. Com o desenvolvimento de rápidos e eficientes com-

putadores, o papel dos métodos numéricos tem vindo a aumentar significativamente a

resolução de problemas.

4.1 Descrição do método dos momentos (MoM)

O método dos momentos (MoM) é uma das mais poderosas técnicas numérica para

a resolução de equações integrais que envolvem problemas eletromagnéticos (Harring-

ton, 1968). O MoM é essencialmente um esquema de discretização no qual o operador da

equação é transformado em uma equação matricial que pode ser resolvido computacional-

mente (Cardoso e Satori, 2005). Na formulação pelo MoM, considera-se uma equação

não homogênea,

L( f ) = g (4.1)

onde, L é um operador linear, g é uma função conhecida e f é a função a ser obtida.

Expandindo-se f numa série de funções f1, f2, ...., fn, definidas no domínio do operador

L, tem-se:

44

Capítulo 4. Método dos momentos via wavelet

f = ∑n

αn fn (4.2)

onde, os αn representam constantes e as funções fn são conhecidas como funções de

base ou funções de expansão. Para soluções exatas o segundo termo da equação (4.2) é

um somatório infinito e os fn formam um conjunto completo de soluções de base. Caso

seja uma solução aproximada, f é dado por um somatório finito.

Fazendo uso da linearidade do operador L, obtemos:

L( f ) = L(∑n

αn fn) = ∑n

αnL( fn) = g (4.3)

O próximo passo consiste em calcular o produto interno usando um conjunto de

funções conhecidas, wm, definidas como funções de teste ou funções peso.

〈wm,g〉 = 〈∑n

αnL( fn),wm〉 = ∑n

αn〈L( fn),wm〉 (4.4)

Finalmente, após algumas manipulações algébricas, o conjunto de equações descrito

em (4.4) assume a forma matricial dada a seguir:

[lmn] [αn] = [hm] (4.5)

onde,

[lmn] =

〈w1,L( f1)〉〈w1,L( f2)〉 . . .

〈w2,L( f1)〉〈w2,L( f2)〉 . . .

. . . . . . . . .

,

[αn] =

α1

α2

. . .

[hm] =

〈w1,g〉〈w2,g〉

. . .

Se a matriz [lmn] for não singular, sua inversa [lmn]−1 existe, conseqüentemente, as con-

stantes αn podem ser obtidas da seguinte forma:

[αn] = [lmn]−1 [hm] . (4.6)

Desta forma, a solução para f é obtida a partir de (4.2). Finalmente, considerando

todas as funções de base, [ fn] = [ f1, f2, f3, ...], a equação (4.2) poderá ser reescrita da

seguinte forma:

45


[ f ] = [ fn][α1] = [ fn] [lmn]−1 [hm] . (4.7)

Podemos observar que a solução pode ser exata ou aproximada, dependendo apenas

da escolha das funções fn e wn. Como o nosso objetivo é sempre obtermos uma melhor

aproximação, se considerarmos as funções fn linearmente independentes, então alguma

superposição de (4.2) pode aproximar f razoavelmente bem.

4.2 Método dos momentos através das wavelets

Nesta seção o método dos momentos será aplicado em conjunto com as transformadas

de wavelets. Aqui, as wavelets do tipo Haar serão aplicadas como função de expansão

para calcular a distribuição de corrente. Neste procedimento a antena é subdividida em m

segmentos iguais de comprimento (∆z′m = h

m).

A partir da equação (2.42), a qual representa integral de Halén, pode-se definir o

operador linear L:

L : L2(−z′,z′) −→ R

I 7−→ L(I) =R h−h Iz(z

′)e− jkR

4πRdz′ = j

2YV i0sen(k | z′ |)+Ccos(kz′).

(4.8)

Como Iz ∈ L2(R), da equação (3.22) conclui-se que a distribuição de corrente (Iz)

pode ser escrita como uma combinação linear das funções wavelets de Haar e funções

escala:

Iz = a−n,0φ−n,0 +N

∑j=−n

2 j+n−1

∑k=0

c j,kψ j,k (4.9)

De acordo com a equação (4.9) para o nível (N = 2), o cálculo da distribuição de

corrente em cada ponto será expresso por:

Iz = a0,0φ0,0 + c0,0ψ0,0 + c1,0ψ1,0 + c1,1ψ1,1 + c2,0ψ2,0 + c2,1ψ2,1 + c2,2ψ2,2 + c2,3ψ2,3

Observe que neste caso, o número de wavelets envolvidas são oito, de onde pode-se

concluir que existe uma relação direta entre o número de segmentos m sobre a antena e

a quantidade de wavelets envolvidas. Por exemplo, na Figura 4.2, a antena de compri-

mento h foi dividida em oito comprimentos iguais. Nota-se nesta figura os intervalos e as

amplitudes para wavelet de Haar, até o nível dois de resolução (N = 2), representando a

46


amplitude da função obtida através da variação do nível j e do deslocamento k.

Figura 4.1: Contribuição de cada um dos níveis em relação ao número de subdivisões Belardi, Cardoso e

Sartori (2005).

Considerando as funções de testes como sendo as funções Delta de Dirac,

wm =

1 se z

′ ∈ ∆z′m

0 se z′/∈ ∆z

′m

(4.10)

onde, o subscrito m em z′m indica o seguimento da antena e aplicando as equações (4.9),

(4.8) e (4.10) na equação (4.4), após algumas manipulações algébricas obtém-se o seguinte

sistema matricial:

−Ccos(kz1)

lmn...

−Ccos(kzm)

(N +1×N)...

−Ccos(kzN+1)

a−1,0

c0,0...

cm,N

C

=

− j2YV i

0sen(k | z1 |)...

− j2YV i

0sen(k | zm |)...

− j2YV i

0sen(k | zN+1 |)

(4.11)

onde,

lmn =Z

∆z′m

In(z′)e− jkRm

4πRmdz

′; Rm =

√a2 +(z− z′m)2 (4.12)

47


com

I0 = φ0,0

I1 = ψ0,0

I2 = ψ1,0

...

In = ψ j,k,

Para implementar a técnica descrita nas sessões anteriores, um programa computa-

cional foi desenvolvido na linguagem MATLAB utilizando um Microprocessador PEN-

TIUM CoreTM2 Quad, 4GB com MRAM de 2 GB. Para obtenção dos resultados a

wavelet utilizada foi do tipo Haar, com o nível de resolução N = 6. Portanto, de acordo

com a equação (4.9) o número de wavelets envolvidas é 64. Desde que 64 wavelets foram

envolvidas, um sistema de matriz de (64× 64) elementos é gerado a partir da equação

(4.2).

Neste trabalho também foram utilizadas as transformadas de wavelets contínua e os

algoritmos de análise e de síntese desenvolvidos por Mallat (1989), para revelar aspectos

e características na modelagem em diferentes níveis de resolução.

48

Capítulo 5

Materiais e métodos

Neste capítulo são apresentadas as ferramentas, as considerações e os procedimentos

adotados para o desenvolvimento do trabalho. As ferramentas são os programas desen-

volvidos e os simuladores computacionais utilizados. As considerações envolvidas são

a modelagem da antena, a modelagem do reservatório e de algumas características do

processo.

Para avaliar o desempenho do aquecimento eletromagnético como método de recu-

peração térmica vamos considerar como caso de estudo um reservatório que apresenta

algumas característica similares aos encontrados nas bacias sedimentares do Nordeste

Brasileiro (PIZARRO, 1989).

5.1 Análise do desempenho do aquecimento eletromag-

nético através da implementação computacional para

a antena

Para analisar o comportamento do irradiador eletromagnético (antena cilíndrica do

tipo dipolo) inserido num reservatório com características idênticas às encontrados em

reservatórios contendo de óleo de alta viscosidade, foi utilizado dados semelhantes aos

usados por Da Mata (1993), a partir de um protótipo desenvolvido em laboratório. O

irradiador eletromagnético é inserido em um meio heterogêneo, ou seja, num reservatório

contendo areia saturada com água salgada e petróleo de alta viscosidade. Na busca de

uma melhor adaptação e de controle do método, tendo como principal objetivo aumentar

e controlar a temperatura interna no reservatório a antena foi posicionada no fundo do

poço, como mostra a Figura 5.1.

49

Capítulo 5. Materiais e métodos

Figura 5.1: Vista esquemática do aquecimento eletromagnético por irradiação. A antena écolocada no fundo do poço, bem na frente da zona de produção (Carrizales, Lake e Johns,2009).

5.1.1 Parâmetros utilizados na antena

A estrutura usada como fonte de irradiação, mostrada na Figura (2.3) tem compri-

mento h1 = h2 = 15cm, condutor central de raio a1 = 0,0179cm, o dielétrico isolante

possui uma camada central de raio externo a2 = 0,0584cm com permissividade elétrica

ε2 = 2,1 e uma camada mais externa de raio a3 = 0,080cm e permissividade dielétrica

ε3 = 2,1. Para o meio heterogêneo (Região 4), os dados foram: permissividade relativa

real ε4 = 19.9, condutividade elétrica efetiva σ44 = 0.257S/m, massa volumétrica equiv-

alente do meio poroso ρeq = 1995Kg.m−1, calor especifico ceq = 1235J.Kg−1.oC−1 e a

temperatura inicial Ti = 40oC.

A frequência de operação aplicada tem a função de efetuar o controle efetivo do

processo. Os valores simulados são decorrentes das possíveis situações que podem acon-

tecer na prática. O nosso objetivo, ao testar o programa desenvolvido com dados de

laboratório, foi validar este trabalho e testar o funcionamento do modelo com dados reais.

Com as simulações foram obtidas as soluções numéricas aproximadas referentes as

equações (2.42), (2.37), (2.38), (2.37), (2.44) e (2.45) que determinam respectivamente

o comportamento da densidade de corrente ao longo da antena, do campo elétrico axial,

radial e total, da distribuição de potência e temperatura. A fim de otimizar o processo

foram feitas várias simulações onde, o principal parâmetro de controle é a frequência de

operação aplicado na antena.

50


5.2 Análise do aquecimento eletromagnético adaptando

o simulador STARS da CMG

Com os dados de caracterização do reservatório (porosidade, permeabilidade, permis-

sividade, saturação, entre outros), foram feitas simulações adaptando o simulador comer-

cial STARS da CMG e utilizando o módulo de expansão térmica.

5.2.1 O simulador STARS

O programa STARS da CMG é um simulador térmico que pode envolver reações

químicas e considerações geomecânicas nas três dimensões. A entrada de dados do reser-

vatório pode ser realizado através de uma malha cartesiana, radial ou de coordenadas.

Neste módulo podem ser modelados reservatórios com diferentes processos térmicos tais

como: injeção contínua de vapor, injeção cíclica de vapor, combustão in situ, expansão

térmica, aquecimento eletromagnético resistivo (60 Hz) entre outros, tanto na escala de

laboratório quanto na escala de campo (OLIVEIRA, 2010).

Os parâmetros de controle durante a aplicação do aquecimento eletromagnético no

campo real são as variáveis estudadas durante as diversas simulações a fim de avaliar o

seu efeito sobre a produção de óleo e água são: a frequência de operação aplicado na

antena e a potência aplicada no poço.

Através da adaptação no STARS, pode-se obter a produção diária de óleo (Qo) e acu-

mulada de óleo (Np), os perfis de temperatura e de viscosidade nos casos da produção

primária e com aquecimento eletromagnético. Pode-se observar também consumo de en-

ergia, dentre outras características decorrentes do AEI.

5.3 Modelo físico

O modelo físico adotado neste trabalho, para o reservatório de petróleo em escala de

campo, foi um modelo tridimensional de malha do tipo radial. No centro da estrutura

existe um poço produtor onde a fonte de irradiação de calor é colocada, frente à zona de

produção. As propriedades da malha, rocha e fluidos utilizados no modelo computacional

são apresentados da seguinte forma:

Características Gerais:

• Tipo de Malha: radial;

51


• Raio do poço rw: 0,0889 m (0.298 f t);

• Espessura do reservatório: 8,5 m (55.5 f t);

• Profundidade base do reservatório: 139,59 m (458 f t);

• Pressão inicial: 15,0 kg/cm2 (213.35 psi);

• Temperatura inicial: 37 C (98 F);

• Condutividade elétrica da formação: 0.43 S/m;

• Número total de blocos: 21×1×10 = 210 blocos;

• Número de blocos na direção i = 21 blocos: 17 blocos de 1 f t, 2 blocos 6.56 f t, 1

bloco de 9.84 f t e 1 bloco de 13.21 f t;

• Número de blocos na direção j = 1;

• Número de blocos na direção k (sentido descendente) = 10 blocos: 5 blocos de

5.578 f t e 5 blocos de 1.116 f t.

Características físicas da rocha:

• Porosidade: 30 %;

• Permeabilidade, direção i : 1000 md;

• Permeabilidade, direção k : 100 md;

• Permeabilidade, direção j : 1000;

• Compressibilidade da rocha: 0,0025 (Kg/cm2)−1 (0.0355 psia);

• Condutividade térmica 2,5 W/mK.

Características físicas da óleo:

• Massa específica: 961,20 kg/m3;

• Compressibilidade 0,0001 (kg/cm2)−1;

• Calor específico 2000 J/kgF ;

• Viscosidade do óleo 2452 cp a 37 C (98 F) e 100 cp a 104,4 C;

52


• Condutividade térmica 0,1 W/mK;

• Saturação de óleo inicial: 62 %.

Características físicas da água:

• Massa especifica: 1000,0 kg/m3;

• Compressibilidade 1,0×10−6(kg/cm2)−1;

• Calor específico 4182 J/KgF ;

• Saturação inicial de água: 38 %;

• Condutividade térmica = 0,65 W/mK.

É importante destacar que o STARS apresenta limitações para aplicações em altas

frequências. Para superar estas limitações foram feitas algumas adaptações, utilizando o

módulo de expansão térmica, onde o principal parâmetro de entrada é a potência aplicada

em cada célula da malha. Esta adaptação foi realizada utilizando valores da potência, cal-

culados a partir da equação (2.44) e distribuídos para cada célula da malha considerando

a direção k e a distância radial i.

Aqui somente o aquecimento eletromagnético é utilizado o que já é suficiente para re-

duzir a viscosidade do óleo e aumentar ainda mais a vida produtiva do poço. Com carac-

terísticas semelhantes aos encontrados num reservatório do Nordeste brasileiro, Trevisan

e Pizarro (1990), faremos um estudo paramétrico do processo onde, a partir das simu-

lações realizadas com o simulador STARS teremos uma idealização prática do processo.

O modelo computacional faz o uso da interação das propriedades do reservatório,

dos fluidos envolvidos, juntamente com o aquecimento eletromagnético em uma porção

contínua de um reservatório de petróleo que também possui suas propriedades e peculiari-

dades. Assim, é necessário que as dimensões das células da malha de simulação estejam

ajustadas para que o modelo tenha uma boa representação dos processos existentes no

reservatório que utilizam aquecimento eletromagnético como método de recuperação de

petróleo. As Figuras 5.2 e 5.3 ilustram a malha utilizada no processo.

Para comprovar a viabilidade econômica do método foi realizada uma análise econô-

mica do processo.

5.4 Avaliação econômica

A análise de investimentos abrange desde a definição do projeto, a determinação de

alternativas até a tomada de decisão, ou seja, a escolha entre alternativas. Para que um

53


Figura 5.2: Malha radial com refinamento, visão radial.

investimento seja atrativo, ele deve ser mais rentável que as oportunidades ordinárias apre-

sentadas pelo mercado. Deve-se observar que não só a rentabilidade é importante num

empreendimento. Outros fatores devem ser considerados como a liquidez e a Confiabili-

dade, ou seja, o risco do negócio (MANICHAND, 2002).

Cada método de recuperação avançada possui suas limitações e trazem consigo custos

inerentes. Quando as características do reservatório são favoráveis para a aplicação de um

determinado processo, este pode trazer uma grande vantagem econômica, enquanto que,

quando aplicado em reservatórios com outras características, pode ser economicamente

inviável. Isto nos leva a questionarmos ou indagarmos, se o projeto desenvolvido nesta

tese é economicamente viável. Motivados por esta peculiaridade fizemos o estudo da via-

bilidade técnico-econômica da aplicação do AEI como método de recuperação avançada.

O método utilizado neste trabalho de modo a avaliar o retorno financeiro, considerando

o preço do petróleo produzido e da energia elétrica será o método da produção liquida

acumulada (OLIVEIRA, 2010).

54


Figura 5.3: Malha radial com refinamento

5.4.1 Produção líquida acumulada

A produção líquida acumulada pode ser definida de forma simplificada, como sendo

o resultado da receita do projeto descontando os custos ou despesas para a realização do

processo. Isto pode ser representado pela seguinte equação:

NpLiq = P−C; C = Roe.CE (5.1)

onde, P é o montante de óleo produzido em um determinado instante, C é o custo montante

de óleo necessário para pagar a despesa com a energia elétrica no mesmo instante, CE

indica o consumo de energia e Roe (razão óleo-energia) é definido como sendo a relação

econômica existente entre um volume de óleo e uma quantidade de energia elétrica, ou

seja, é o volume necessário para pagar certo montante de energia elétrica consumida e

pode ser expresso pela seguinte equação:

Roe =Volume

Energia[m3 de óleo ST D/MWh] (5.2)

55


Portanto, de forma prática e admitindo algumas considerações podemos obter o Roe da

seguinte forma:

US$/bbl︸︷︷︸Preço do Petróleo

· R$/MWh︸︷︷︸Preço da energia

· US$/R$︸︷︷︸Taxa de cãmbio

= bbl/MWh︸︷︷︸Roe

(5.3)

US$/bbl︸︷︷︸Preço do Petróleo

· R$/MWh︸︷︷︸Preço da energia

· USS/R$︸︷︷︸Taxa de cãmbio

· 0,159m3

bbl︸︷︷︸Conversão de unidade

= m3/MWh︸︷︷︸Roe

(5.4)

Para fixar a nossa metodologia vamos considerar um exemplo hipotético. Admitindo-

se o preço do barril de petróleo a 50 US$, a taxa de cambio de USS 1,00 a R$ 2,00 e o

preço da energia para instalações industriais de R$ 200/MWh, temos:

bbl

US$ 50· R$ 200

MWh· US$ 1

R$ 2= 2 bbl/MWh (5.5)

o que equivale a:

bbl

US$ 50· R$ 200

MWh· US$ 1

R$ 2· 0,159m3

bbl= 0,318m3/MWh. (5.6)

Assim, para pagar o custo com 1 MWh é necessário que seja produzido ao menos 0,318m3

Pode-se observar através da equação (5.1) que para o projeto ser economicamente

viável, o termo C deve ser significativamente menor do que o montante adicional de óleo

produzido durante a execução do processo.

56

Capítulo 6

Resultados e discussões

Neste capítulo são apresentados os principais resultados encontrados referentes às in-

fluências de análise paramétrica, análise econômica e otimização dos parâmetros opera-

cionais e de reservatório na aplicação do processo do aquecimento eletromagnético.

6.1 Resultados e discussões obtidos para antena

Neste seção são apresentados os principais resultados e parâmetros operacionais a

partir do programa desenvolvido no software MATLAB para a análise do comportamento

da antena linear do tipo dipolo inserida num reservatório de petróleo utilizada para o AEI.

Na Figura 6.1 é apresentada ao longo de um dipolo simétrico isolado a distribuição de

corrente, obtida através da solução da equação de Hallén, onde utilizamos como função

de expansão no MoM as wavelets de Haar. A Figura 6.2, mostra a distribuição de corrente

para um dipolo utilizando o método proposto por King, Trembly e Strohbehn (1983) em

comparação com MoM, utilizando como funções de expansão as wavelets de Haar. Na

Figura 6.3, temos a distribuição de corrente para os dois dipolos obtido através do MoM

(wavelet de Haar). Também é apresentado na Figura 6.4, a comparação entre os dois

métodos.

57

Capítulo 6. Resultados e discussões

Figura 6.1: Distribuição de corrente para um dipolo, MoM wavelet de Haar.

Figura 6.2: Distribuição de corrente para um dipolo: MoM wavelet de Haar versus King, Trembly e Stro-

hbehn (1983).

Figura 6.3: Distribuição de corrente para dois dipolos, MoM wavelet de Haar.

58


Figura 6.4: Distribuição de corrente para os dois dipolos: MoM wavelet de Haar versus King, Trembly e

Strohbehn (1983).

Utilizando os algoritmos de análise e decomposição proposto por Mallata (1989),

podemos observar na Figura 6.5 a distribuição de corrente em diferentes níveis de re-

solução e sua reconstrução, onde nota-se com os níveis de detalhamento as condições de

contorno.

Figura 6.5: Distribuição de corrente utilizando os algoritmos de análise e síntese.

Através da transformada de wavelet contínua é apresentado uma análise da distribuição

de corrente ao longo da antena por um gráfico de cores (diferentes níveis de resolução)

onde, pode ser observado a influência do espaçamento gap (Figura 6.6), ou seja, os pontos

de descontinuidades presentes no sinal.

59


Figura 6.6: Distribuição de corrente utilizando a transformada de wavelet contínua.

Devido a esparsidade da matriz formada a partir das transformadas wavelets de Haar,

notou-se uma redução no esforço computacional e conseqüentemente uma redução consi-

derável no tempo simulação. A Figura. 6.7 mostra a quantidade de elementos não nulos,

obtidas para a antena com variação no número de divisões.

Figura 6.7: Quantidade de elementos não nulos (pontos em cor azul), obtidas para umaantena com 64 divisões.

Para efeito de teste, também utilizamos a wavelet do tipo Daubechies (db2 no nível

N = 3) para mostrar (Figura 6.8 (a)), que é possível obtermos a aproximação do sinal

(distribuição de corrente I(z′)) utilizando outro tipo de wavelet ortogonal.

Pode-se perceber que através da wavelet de Daubechies já obtemos uma boa aproxi-

mação, com nível de resolução N = 3. Isto deve-se ao fato que a wavelet de Daubechies

possui N momentos nulos, consequentemente, este fato implicará numa provável redução

60


no esforço computacional caso desejássemos implementar no programa desenvolvido

(MoM wavelet de Haar - software MATLAB), a wavelet de Daubechies. Também é

mostrado, (Figura 6.8 (b)-(c)), os detalhes presentes no sinal, onde, observa-se os picos

de descontinuidades provocados pelas condições de contorno impostas na antena.

Figura 6.8: Distribuição de corrente I(z) versus db2 no nível N = 3, gráfico (a).

Nas Figuras 6.9, 6.10, 6.11, 6.12 e 6.13 mostram as soluções numéricas das equações

(2.38), (2.37), (2.37), (2.44) e (2.45) respectivamente. A partir destes resultados pode-se

observar o comportamento do campo elétrico axial, radial e total, bem como o comporta-

mento da transferência de potência e de temperatura dissipada no meio heterogênio.

61


Figura 6.9: Distribuição espacial da componente axial do campo elétrico num meio de água salgada e

petróleo de alta viscosidade.

Figura 6.10: Distribuição espacial da componente radial do campo elétrico num meio com água salgada e

petróleo de alta viscosidade.

Figura 6.11: Distribuição espacial do campo elétrico total num meio de água salgada e petróleo de alta

viscosidade.

Através das Figuras 6.9, 6.10 e 6.11, pode-se perceber que as componentes espaciais

do campo elétrico, em torno da antena isolada dentro do meio dissipativo, diminuem

62


muito rapidamente com o aumento da distância radial.

Figura 6.12: Distribuição espacial da potência dissipada num meio de água salgada e petróleo de alta

viscosidade.

Observa-se nas Figuras 6.12 e 6.13, que a distribuição de potência dissipada e a dis-

tribuição de temperatura, também diminuem muito rapidamente com o aumento da dis-

tância radial. Através desta análise poder-se-ia até concluir que a potência dissipada e a

distribuição de temperatura é praticamente uniforme, o que veremos, através da análise

em multiresolução é que isto não acontece na prática.

Figura 6.13: Distribuição radial da variação da temperatura num meio de água salgada e petróleo de alta

viscosidade.

A Figura 6.14 foi obtida através dos algoritmos de análise e decomposição. A partir

destes algoritmos pode-se revelar aspectos da potência dissipada em diferentes níveis de

resolução permitindo uma análise sistematizada das grandezas em estudo. A Figura 6.15

mostra a potência dissipada utilizando-se a transformada de wavelet contínua. A partir

destas análises em diferentes níveis de resolução pode-se concluir que esta grandeza não

apresenta uma distribuição uniforme, ou seja, existem pontos de descontinuidade, o que

não pode se observar apenas com a solução dada a partir da solução obtida por (2.44).

63


Figura 6.14: Distribuição de potência análise através da wavelet de Daubechies db2.

Figura 6.15: Distribuição de potência análise através da transformada de wavelet contínua

6.2 Resultados obtidos com simulador STARS

Neste seção são apresentados os principais resultados encontrados referentes às in-

fluências de análise paramétrica, análise econômica e otimização dos parâmetros opera-

64


cionais e de reservatório na aplicação do processo do AEI. Os resultados foram mostrados,

analisados e discutidos da seguinte forma:

• Comparação entre o modelo sem o AEI e com AEI;

• Análise de parâmetros operacionais de reservatórios investigados através do Np, da

fração recuperada ( f r) e do consumo de energia;

• Análise da componente de volume produzido devido ao AEI;

• Análise econômica através da produção liquida acumulada;

6.2.1 Análise do perfil de temperatura e viscosidade

Para validação do modelo de aquecimento eletromagnético foram obtidos os perfis de

temperatura e viscosidade durante os dez primeiros anos após o início da aplicação do

método. As Figuras 6.16 a 6.23 mostram o perfil de temperatura após trinta dias, um ano

e dez anos do início do projeto.

Figura 6.16: Perfil transversal de temperatura após trinta dias.

Observa-se que após trinta dias o fenômeno do aquecimento eletromagnético já é rele-

vante, com o aumento da temperatura nas proximidades do poço (Figuras 6.16 e 6.17), e a

redução da viscosidade (Figuras 6.18 e 6.19). Pode-se perceber claramente a evolução da

temperatura no fundo do poço produtor onde o irradiador é aplicado e consequentemente

a diminuição da viscosidade.

65


Figura 6.17: Perfil longitudinal de temperatura após trinta dias.

Figura 6.18: Perfil transversal de viscosidade após trinta dias.

Após um ano nota-se claramente a evolução da temperatura (Figura 6.20) e uma con-

siderável redução da viscosidade (Figura 6.21) por todo o volume considerado (grid sim-

ulado).

Ao longo de dez anos houve o aquecimento de todo o volume considerado (Figura

6.22), exceto nas áreas distantes do poço produtor. Isto se explica pelo fato de que o

66


Figura 6.19: Perfil longitudinal de viscosidade após trinta dias.

Figura 6.20: Perfil transversal de temperatura após um ano.

aquecimento é causado por irradiação eletromagnética, ou seja, o aquecimento é local.

No perfil da viscosidade (Figura 6.23), nota-se que houve uma redução da viscosidade

em todo o grid estudado.

É importante destacar que próximo ao poço, a temperatura atinge os maiores valores

e diminui rapidamente em função da distância radial. Este fenômeno físico mostra a pre-

67


Figura 6.21: Perfil transversal de viscosidade após um ano.

Figura 6.22: Perfil de temperatura após dez anos.

cisão do modelo teórico usado neste trabalho para este tipo de análise. A temperatura

próximo ao poço produtor alcança valores próximos de 742oF (372oC) e cerca de 400oF

68


Figura 6.23: Perfil de viscosidade após dez anos.

(204,4oC) a uma distância de 15 f t (4.57m) do poço, isto significa que um considerá-

vel volume do reservatório é aquecido reduzindo a viscosidade para o mesmo volume

considerado.

6.2.2 Análise dos fatores de produção

As Figuras 6.24 e 6.25 mostram a produção diária (Qo) e a produção acumulada de

óleo (Np), considerando os respectivos níveis de potência.

A presença do aquecimento eletromagnético fica evidenciada através do deslocamento

das curvas de produção de óleo (Qo) e de produção acumulada (Np) em relação à pro-

dução primária. Observa-se um considerável aumento na produção do reservatório como

conseqüência da elevação de temperatura provocada pelo aquecimento eletromagnético.

Isso ocorre devido a uma redução da viscosidade do óleo no reservatório, resultando em

um maior fluxo de fluido na direção do poço produtor.

A Tabela 6.1 mostra os resultados: da fração recuperada de óleo f r(%) (como pode

ser observado na Figura 6.26), da produção acumulada de óleo e do acumulado de energia

elétrica (Ep) gasto no processo ( como pode ser visto na Figura 6.27), durante dez anos

de produção para os casos estudados com o aquecimento elétrico por irradiação eletro-

magnética.

69


Figura 6.24: Produção diária de óleo após dez anos.

Figura 6.25: Produção acumulada de óleo após dez anos.

Observa-se que, de uma forma geral, em todos os casos simulados ocorre um aumento

da fração recuperada. Nota-se um considerável aumento na fração recuperada de 7,7%

no caso da produção primária, para 40,7% no caso do aquecimento eletromagnético com

70


Tabela 6.1: Resultados de f r, Np e (Ep) para todos os casos estudados.Potência kW f r(%) Np(m

3) Ep/MWh

0 7,7 107,32 0100 12,06 167,77 305,670150 25,44 356,75 703,677200 40,7 566,41 939,828

potência aplicada de 200 kW mostrando a eficiência do método.

De forma qualitativa pode-se perceber que os ganhos são bastante significativos, o que

faz do aquecimento eletromagnético uma ferramenta de gerenciamento de reservatório

bastante interessante, pois pode representar, em um determinado cenário de preços de

petróleo no mercado mundial, uma substancial receita econômica.

Figura 6.26: Fração recuperada de óleo.

71


Figura 6.27: Consumo acumulado de energia elétrica em dez anos .

6.2.3 Análise técnico-econômica através da produção líquida acumu-

lada

Nesta seção é feita uma análise econômica através da produção liquida acumulada

(NpLiq). Esta análise foi realizada para mostrar a viabilidade econômica do processo AEI

com diferentes cenários de preço do petróleo.

Os preços da energia elétrica (P.E (R$/MWh)) e o preço do petróleo (P.O (US$)) po-

dem variar de acordo com o mercado, com as técnicas e tecnologias. Desta forma, foram

escolhidos alguns cenários de preços, e distintos valores da potência aplicada (P.A (kW ))

mostrados na Tabela 6.2. O cálculo da relação (Roe), do custo (C) e da produção liquida

acumulada foi realizada de acordo com o estudo realizado na seção (5.4.1).

Observa-se que, de uma forma geral, em todos os casos estudados com o aumento da

potência aplicada há um considerável aumento da produção acumulada de óleo. Porém,

ocorreu um aumento no acumulado de energia elétrica, este fato implica em uma menor

produção liquida acumulada, ou seja, um menor interesse econômico do projeto. A par-

tir deste resultados podemos concluir que a principal variável de controle no processo,

ou seja, de maior interesse econômico do projeto será a potência, que esta diretamente

relacionado com o aumento do consumo de energia elétrica e obviamente com o custo do

processo.

A relação (Roe) varia segundo o preço do óleo e da energia, mas se acontece um

72


Tabela 6.2: Cenários considerados na análise de produção liquida acumulada em dez anosde produção.

Cenário P.A (kW ) P.O (US$) P.E (R$ MWh) Roe C NpLiq

01 200 78 100 0,11 103,55 462,8402 200 60 200 0,28 269,24 297,203 200 50 300 0,51 484,3 81,7604 150 78 100 0,11 77,14 279,5505 150 60 200 0,28 200,56 156,1306 150 50 300 0,51 361,02 -4,3207 100 78 100 0,11 33,67 134,4208 100 60 200 0,28 87,55 80,5409 100 50 300 0,51 105.06 63,06

incremento do preço do óleo e proporcionalmente um aumento do preço da energia, não

haverá mudança na relação óleo-energia (Roe).

Os resultados da análise técnico-econômica mostram a importância do preço do óleo

e da energia na (NpLiq). Se o preço da energia acompanha o preço do óleo a relação (Roe)

não vai ser muito afetada, mostrando que o preço pode ser viável, mas valores altos da

(Roe) podem fazer com que o processo não seja viável.

73

Capítulo 7

Conclusões e futuros trabalhos

Finalizamos, neste capítulo, o nosso estudo sobre o método térmico de recuperação

de petróleo utilizando aquecimento eletromagnético por irradiação com as conclusões e

algumas considerações finais. Procuramos, também, traçar metas para a continuidade de

nossos estudos sobre o tema através de propostas para futuros trabalhos.

7.1 Conclusões

As análises dos resultados obtidos pelo modelo e apresentados no capítulo anterior

levam-nos as seguintes conclusões:

• De acordo com os resultados obtidos podemos observar que o método numérico

apresentado é eficiente e preciso nas soluções de problemas em eletrostática;

• Dado o fato de que a matriz da transformada das wavelets de Haar produz matrizes

esparsas, temos uma redução no tempo total de execução do programa. Através

da transformada de wavelet contínua e dos algoritmos de análise e decomposição

revelamos aspectos na modelagem em diferentes níveis de resolução;

• As componentes espaciais teóricas do campo elétrico em torno da antena isolada

dentro do meio dissipativo diminui muito rapidamente com o aumento da distân-

cia radial ao redor da antena. No campo próximo, a componente radial do campo

elétrico é predominante. As componentes do campo elétrico apresentam um decai-

mento elevado na extremidade da antena;

• As distribuições de potência e de temperatura dentro do meio dissipativo a aquecer

diminuem muito rapidamente com o aumento da distância radial. Pode-se concluir

que essas distribuições são praticamente uniforme a menos de ponto de singulari-

74

Capítulo 7. Conclusões e futuros trabalhos

dade como apresentados nos gráficos de cores através da transformada de wavelet

contínua;

• Pelo estudo realizado podemos concluir que o método de aquecimento eletromag-

nético não apresenta limitações em relação à viscosidade, profundidade, espessura

da zona, temperatura, permeabilidade média, transmissibilidade, porosidade e sa-

turação de óleo. Porém, algumas condições podem apresentar-se como ideais para

a sua aplicação, tais como: quanto mais viscoso o óleo, melhor a eficiência do

método, a temperatura pode ser qualquer desde que não ultrapasse a temperatura de

ebulição da água nas condições de reservatório;

• A eficiência do aquecimento eletromagnético esta relacionada a diversos fatores,

como por exemplo: uma boa caracterização dielétrica do meio dissipativo (condu-

tividade e permissividade elétrica), a existência de fluidos de moléculas dipolares,

a escolha da frequência de operação ideal, a distribuição espacial dos aplicadores,

e por conseguinte, do campo elétrico;

• O aquecimento eletromagnético apresenta várias vantagens em relação aos métodos

convencionais de recuperação térmica dentre dos quais podemos citar a sua aplica-

bilidade sem a injeção de qualquer outro fluido no reservatório, sua aplicabilidade

em reservatórios argilosos ou com parafinas, além de não existir limitação quanto à

profundidade.

• Quanto à avaliação econômica pode se concluir que o aquecimento eletromagnético

por si só reduz significativamente a viscosidade do óleo, aumentando assim sua

mobilidade e a produtividade. Os resultados obtidos tornam evidentes as vantagens

do método do aquecimento eletromagnético incentivando sua aplicação.

7.2 Futuros Trabalhos

Uma vez alcançados nossos objetivos iniciais nos estudos sobre o método térmico de

recuperação de petróleo utilizando aquecimento eletromagnético, existem várias possi-

bilidades para trabalhos futuros que nos permitam consolidar e expandir nossos conheci-

mentos na área, dentre estes podemos destacar as seguintes:

• As distribuições de potência e de temperatura diminuem muito rapidamente com o

aumento da distância radial;

75

Capítulo 7. Conclusões e futuros trabalhos

• Dado o fato de que a matriz da transformada das wavelets de Haar produz matrizes

esparsas, temos uma redução no tempo total de execução do programa;

• Através da transformada de wavelet contínua e dos algoritmos de análise e decom-

posição revelamos aspectos na modelagem em diferentes níveis de resolução;

• Analisar o AEI associado com outro método;

• Adaptar o programa desenvolvido nesta tese para inserir os dados automaticamente

no simulador STARS;

• Fazer um estudo detalhado no tempo execução computacional, ou seja, otimização

do MoM fazendo uma comparação com diferentes wavelets;

• Com a adaptação no simulador STARS foi desenvolvido uma nova "ferramenta"que

proporciona uma análise técnica e econômica do processo do AEI com dados de

campo;

• Pode se concluir que o aquecimento eletromagnético por si só reduz significativa-

mente a viscosidade do óleo, aumentando assim sua mobilidade e a produtividade;

• Quanto à avaliação econômica, com resultados obtidos através da NpLiq torna-se ev-

idente as vantagens do método do AEI mostrando a viabilidade técnica e econômica

do método e incentivando sua aplicação;

• Seria interessante a construção de um modelo experimental para a investigação la-

boratorial dos efeitos do método e sua posterior comparação com os resultados do

simulador;

• Fazer um estudo mais aprimorado das propriedades físicas da rocha e dos fluidos

em relação a variação de temperatura.

76

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Trabalhos Publicados, aceitos e submetidos decorrentes desta tese

New antenna modelling using wavelets for heavy oil thermal recovering methods, Jour-

nal of Petroleum Science and Engineering, artigo aceito, em processo de revisão para

publicação.

Modelling and Simulation of Antennas Using Wavelets for Electromagnetic Heating Oil

Thermal Recovery Method, MOMAG, Vila Velha - ES, 17 março, 2010.

New wavelet-based modeling for analysis of heavy oil thermal recovery applying electro-

magnetic irradiation, Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference

(LACPEC), 13 December in Lima, Peru, 2010.

New antenna modeling using wavelets for heavy oil thermal recovering methods, Progress

in Electromagnetics Research Symposium (PIERS), 22-26 March 2010 Xi’an, China

Uso da Transformada Wavelet para a Análise do Método Térmico de Recuperação de

Petróleo Aplicando Ondas Eletromagnéticas, Revista IEEE América Latina, artigo sub-

metido.

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MOISÉS DANTAS DOS SANTOS - Universidade Federal do Rio … · tos na obtenção da distribuição de corrente na antena. O campo elétrico, a distribuição ... 2.1 Método térmico