Modulo 3 Regolazione proporzionale, integrale, derivativa · 2019. 12. 16. · Lo spostamento del punto N è dato da due contributi: 1) rotazione attorno al punto C (determinata dall’elemento

Corso di Strumentazione e Automazione Industriale

Laurea Magistrale

Modulo 3

Regolazione proporzionale, integrale, derivativa

Prof. Ing. Cesare Saccani

Prof. Ing. Augusto Bianchini

Dott. Ing. Marco Pellegrini

Dott. Ing. Michele Gambuti

Department of Industrial Engineering (DIN) - University of Bologna

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Regolazione proporzionale

Comportamento di un sistema proporzionale

Agenda

Regolazione integrale

Regolazione proporzionale più integrale

Regolazione proporzionale, integrale e derivativa

Regolazione derivativa

Messa a punto dei regolatori

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La retta di lavoro esprime il comportamento dell’attuatore in funzione dell’andamento della

variabile controllata ed è caratterizzata da un coefficiente angolare K.

L’inclinazione della retta di lavoro dà la sensibilità dello strumento: se K’<K, basta una

variazione minore X’2 – X’1 < X2 – X1 per far compiere alla valvola regolatrice una escursione

completa da 0 a 100%, cioè per la stessa variazione X – X0 si ha una escursione più ampia

della valvola (maggiore sensibilità).

Uno strumento di regolazione proporzionale, fa

corrispondere una relazione biunivoca di proporzionalità tra

variabile misurata e segnale in uscita:

Y = Y0 ± K(X − X0)

X = valore istantaneo della variabile controllata (segnale

d’ingresso)

Y = segnale di uscita.

X0 = valore desiderato di X (Set point)

Y0 = valore che manterrebbe la variabile esattamente a X0

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Poniamo: P = Y/100 , P0 = Y0/100

Definiamo l’errore relativo come la distanza che la variabile controllata ha rispetto al set point,

rapportata al campo di regolazione:

e =X − X0

X2 − X1

→ P = P0 +K

100∙ e ∙ X2 − X1

Per la retta con K=K’, per similitudine tra triangoli,

vale la relazione: K′ =Y′−Y0

X0−X=

100

X2′ −X1

′

→ P = P0 +K′

100∙ e ∙ X2 − X1 = P0 + e

X2−X1

X2′ −X1

′

Definiamo la banda proporzionale: 𝐛 =𝐗𝟐

′ −𝐗𝟏′

𝐗𝟐−𝐗𝟏

→ 𝐏 = 𝐏𝟎 +𝐞

𝐛


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𝐛 =𝐗𝟐

′ − 𝐗𝟏′

𝐗𝟐 − 𝐗𝟏

La banda proporzionale rappresenta il rapporto tra la variazione della variabile controllata per

cui si ha lo 0-100% di apertura della valvola regolatrice, e la differenza tra i valori massimo e

minimo misurabili dallo strumento (X2 – X1).

Se b è maggiore di 1, allora la valvola regolatrice non raggiunge mai la completa apertura o

chiusura. Se b è molto elevato, a parità di ΔX si ha un minore ΔY e quindi una minore

sensibilità. La risposta del sistema di regolazione sarà inoltre più lenta ma anche più stabile.

Se b diminuisce la sensibilità aumenta. Per b→0 si cade nella regolazione a due posizioni.

La velocità di spostamento della valvola di regolazione dipende dalla velocità di variazione della

variabile secondo la seguente formula:

P = P0 +e

b →

dP

dt=

1

b∙de

dt

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In figura è illustrato l’andamento della

curva di risposta di un regolatore

proporzionale per due diverse variazioni

della variabile controllata.

Con un segnale di ingresso (errore)

sinusoidale, l’uscita dello strumento risulta

direttamente proporzionale ed in fase con

l’errore.

Variazioni lineari dell’errore comportano

un andamento a gradini della velocità si

spostamento della valvola (fenomeno del

colpo d’ariete).


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La scelta della banda proporzionale è funzione della velocità di spostamento dell’attuatore.

Per esempio, nel caso di fluido incomprimibile non si possono avere elevate velocità di chiusura

della valvola o si danneggerebbero condotta e valvola (colpo d’ariete). Si potrebbe dover

rinunciare ad avere una banda proporzionale troppo piccola perché si avrebbero velocità di

intervento troppo elevate per quell’attuatore.

1) Quantificare le variazioni dell’errore caratteristiche del sistema;

2) Scelta di una opportuna valvola caratterizzata da una certa velocità di intervento (°di

apertura/min);

3) Si ricava il valore minimo che la banda differenziale dello strumento può avere, compatibile

con la massima velocità di intervento dell’attuatore: b =de

dP


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Esempio:

Uno strumento di misura ad azione proporzionale il cui campo di funzionamento va da 30°C a

130°C, viene impiegato per mantenere la temperatura di un liquido sul valore di set point di

80°C. L’apertura corrispondente della valvola regolatrice è del 50% mentre la banda

proporzionale dello strumento è posta al 20%. Si vuol sapere l’apertura della valvola

corrispondente a una temperatura del liquido di 74°C e la velocità di apertura della stessa per

una diminuzione lineare della temperatura del fluido di 6°C/min.

Prima di svolgere l’esercizio, ricordiamo i passi da seguire per determinare la scelta di una certa

valvola:

Bilancio di energia → definizione della potenza necessaria per mantenere il fluido nelle

condizioni di set point → scelta della modalità di regolazione con condizioni di simmetria di

intervento rispetto al set point (a valvola completamente aperta viene erogata una portata

superiore del 50% rispetto a quella riferita alle condizioni di set point) → calcolo del kv → scelta

della valvola e dell’otturatore.


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1) apertura della valvola corrispondente a una temperatura del liquido di 74°C:

• Al set point la valvola è aperta la 50% → P0 = 0,5

• b = 0,2 =∆X′

130−30 → ∆X′= 20°C

( Il valore si set point di 80°C è al centro dell’intervallo di regolazione: → ∆X′= 70°C ÷ 90°C )

• Ad una temperatura di 74°C corrisponde un errore relativo di: e =X−X0

X2−X1=

74−80

130−30= 0,06

→ P = P0 +e

b= 0,5 +

0,06

0,2= 0,8

Ad una temperatura del liquido pari a 74°C, lo strumento di controllo fa corrispondere una

apertura della valvola regolatrice pari all’80%

Campo di regolazione che determina lo

spostamento dell’otturatore da 0% a 100%

P = P0 +e

b

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2) velocità di apertura della stessa per una diminuzione lineare della temperatura del fluido di

6°C/min

dP

dt=

1

b

de

dt=

1

0,2

0,06

1′ = 0,3 ∙ 100

30%/min

Per una diminuzione di temperatura di 6°C/min il regolatore comanda l’apertura della valvola

con una velocità pari al 30% della apertura totale, al minuto.

Per conoscere la derivata a secondo membro si dovrebbe conoscere l’andamento dell’errore

nel tempo. Poiché la regolazione lavora sempre in un intorno relativamente piccolo del valore di

set point, è possibile considerare lineare l’andamento della variabile controllata.

dP

dt=

1

b

de

dt

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Rispetto al regolatore per la regolazione a due

posizioni si è aggiunto un soffietto di retroazione B,

detto proporzionale.

Quando la paletta si avvicina all’ugello, la pressione

modulata aumenta e l’otturatore viene spinto dal

soffietto (come nella regolazione a due posizioni)

chiudendo completamente l’alimentazione

all’attuatore di processo. La pressione dell’attuatore

cala sfogandosi verso l’esterno.

La pressione così raggiunte si ha anche nel soffietto

di retroazione che, contraendosi, tende a spostare il

punto 3 e a riportare la paletta verso la posizione di

partenza.

Il sistema continua a regolarsi in questa maniera

attraverso una serie di equilibri instabili. La pressione

all’attuatore non è mai ad un valore fisso ma cambia

in continuazione fino a che il segnale di ingresso e la

retroazione raggiungono l’equilibrio.

Regolatore pneumatico ad azione proporzionale

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Stabiliamo la relazione esistente tra la pressione di uscita e il segnale di ingresso rappresentato

dallo spostamento della paletta.

Lo spostamento del punto N è dato da due contributi:

1) rotazione attorno al punto C (determinata dall’elemento sensibile)

xNC

CN=

xI

CI → xNC =

CN

CIxI = γ xI

2) rotazione attorno al punto I (determinata dalla retroazione del soffietto proporzionale)

xC

CI=

xNI

NI → xNI =

NI

CIxC = δ xC

→ xN = xNC + xNI = γ xI + δ xC

La relazione che lega lo spostamento del punto N allo spostamento dei punti I e C è lineare

perché i coefficienti γ e δ sono costanti.

Avere γ e δ costanti vuol dire che le cerniere non si devono usurare e le posizioni non si devono

modificare.


𝒑𝒖

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Se la valvola di regolazione funziona nel campo di linearità della pressione all’ugello, la

pressione dell’ugello risulta proporzionale allo spostamento –xN del punto N.

m ed n sono caratteristiche del sistema:

m = pu xN= 0 n = coefficiente angolare della retta di regolazione


calo di temperatura contrazione dell’elemento sensibile xN↑

La paletta apre l’ugello pu’↓ L’otturatore del relay sale

aumenta la pressione all’attuatore

(azione inversa)

(il soffietto proporzionale si oppone

allo spostamento della paletta)

pu = m − n xN

𝒑𝒖 Il segno negativo tiene conto del fatto che la pressione dell’ugello pu′ diminuisce quando lo spostamento XN aumenta:

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Ipotizzando per il soffietto di superficie A, una reazione elastica al

pari di una molla:

F = −k xC = A pu

Risulta allora:

pu = m − n xN = m − n γ xI + δ xC = m − n γ xI − δ A pu

k= m − n γ xI +

n δ A

k pu

𝐩𝐮 =m

1 −n δ A

k

− n γ

1 −n δ A

k

xI =m k

k − n δ A −

n γ k

k − n δ A 𝐱𝐈

𝒑𝒖

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𝐩𝐮 =𝐦 𝐤

𝐤 − 𝐧 𝛅 𝐀 −

𝐧 𝛄 𝐤

𝐤 − 𝐧 𝛅 𝐀 𝐱𝐈

Cambiando i due parametri γ e δ si riesce a modificare la banda proporzionale e quindi la

risposta del sistema:

se C si avvicina ad N → γ↓ e δ↓ → la banda proporzionale aumenta

se C si avvicina ad I → γ↑ e δ↑ → la banda proporzionale si restringe

𝒑𝒖

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Agenda






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Controllo automatico della temperatura di un

fluido in uscita da uno scambiatore di calore

Si consideri lo scambiatore in figura (scambiatore

allagato) dove il fluido B scalda il fluido A.

Il regolatore C deve mantenere costante la

temperatura di A (variabile controllata) regolando

opportunamente la portata di B con la valvola

regolatrice.

TA < TB , GA = cost

Il bilancio termico in condizioni stazionarie si scrive:

cpAθAU

− θAIGA = cpB

θBI− θBU

GB

U = uscita

I = ingresso

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Dal bilancio energetico, si ricava la curva

di carico del processo, rappresentata da

una retta.

Sia Θ1 la temperatura che viene raggiunta

a valvola completamente aperta e sia Θ2

quella raggiunta a valvola chiusa.

La retta di lavoro passa per i punti così

individuati.

Di solito si adotta una configurazione che

garantisca simmetria di regolazione, per

cui il set point si trovi al centro del campo

di regolazione e venga ottenuto con

valvola aperta al 50%:

θ0 = θ1 + θ2 /2 per p = 0,5

Se b=1 come in figura, allora la retta di lavoro e di carico si incontrano nel punto di

funzionamento H.


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Supponiamo di voler cambiare il valore desiderato della variabile da Θ0 a Θ’ >Θ0.

Non essendo variato il carico, la retta di

carico rimane inalterata.

Si ricava il nuovo grado di apertura della

valvola necessario per mantenere la

temperatura di uscita del fluido riscaldato sul

nuovo valore Θ’.

La retta di lavoro ci dà inoltre la deviazione

fra indice e controindice necessaria per

ottenere il nuovo grado di apertura della

valvola. Per far sì che lo strumento di

controllo dia in uscita un segnale

corrispondente al nuovo grado di apertura

della valvola occorre portare il controindice

su un valore Θ’0 che differisca dal nuovo

valore desiderato della variabile della

quantità Θ0 – Θ’’.

Ciò equivale a una traslazione uniforme

della retta di lavoro, che dovrà inoltre

passare per il nuovo punto di equilibrio H’.

nuova posizione valvola

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Lo spostamento della retta di lavoro

comporta una nuova corrispondenza fra

valore della variabile e apertura della

valvola regolatrice. Ciò viene ottenuto

spostando il controindice sulla scala

graduata.

Lo scarto Θ’0 – Θ’ fra indice e controindice

produce nello strumento un segnale di

uscita corrispondente all’apertura della

valvola richiesta dal nuovo punto H’.

Se si volesse riportare l’indice e il

controindice sul valore Θ’, occorrerebbe

spostare meccanicamente il controindice e

portarlo sul valore Θ’, senza interessare la

parte pneumatica dello strumento

(questione puramente estetica).

Il nuovo campo di funzionamento dello strumento è cambiato passando dai limiti Θ1 e Θ2 ai

nuovi limiti Θ’1 e Θ’2.

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Esaminiamo il comportamento di un sistema proporzionale allorché interviene una variazione di

carico.

La portata U di un liquido uscente da un serbatoio viene regolata in modo da mantenere

costante il livello nel serbatoio nonostante l’ingresso I di nuovo liquido.

L’insieme del galleggiante A, del fulcro B e dei levismi relativi realizza una relazione di

proporzionalità diretta fra il livello del liquido nel recipiente e la luce di passaggio della valvola C.

Supponiamo che la portata di ingresso I sia di 50 litri/sec e che la capacità di efflusso della linea

di scarico sia di 50 litri/sec quando la valvola è aperta al 50%.

Riempito il serbatoio in maniera tale che il livello coincida con il valore desiderato quando la

valvola è a metà, le portate si equivalgono e il livello rimane costante.


I: portata in ingresso

U: portata in uscita

A: galleggiante

B: fulcro

C: valvola

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1) Improvvisamente viene rovesciata nel serbatoio una quantità finita di liquido

Il livello del serbatoio sale momentaneamente. Ciò provoca l’innalzamento del galleggiante e

una maggiore apertura della valvola, con conseguente aumento della portata di uscita.

Smaltita la quantità di liquido introdotta bruscamente, il livello ritorna a coincidere con il valore

desiderato e si ristabiliscono le condizioni iniziali.

2) La portata di ingresso passa da 50 litri/sec al nuovo valore costante di 75 litri/sec

Inizialmente il livello inizia a salire e la valvola si apre sempre più finché non viene raggiunto un

grado di apertura tale da garantire una porta di uscita di 75 litri/sec. Il livello cessa di salire e

rimane ad un valore costante diverso da quello iniziale.

Il sistema regola mantenendo costante la variabile controllata, ma ad un valore diverso dal

valore desiderato: la differenza tra i due livelli è chiamata errore residuo ed è tale da garantire

un’apertura della valvola in grado di smaltire una portata di liquido pari a quella entrante.

Dal lato impiantistico l’errore residuo appare come differenza della variabile controllata dal

valore di set point, mentre dal lato regolazione l’errore residuo si concretizza nella non

coincidenza tra indice e controindice.


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Variazione di carico

Torniamo alla regolazione di temperatura del

fluido in uscita dallo scambiatore di calore e

supponiamo che, a partire da un certo istante,

la temperatura di ingresso del fluido scaldante

B cali improvvisamente.

Per ottenere una certa temperatura di uscita

del fluido A è necessaria una portata maggiore

di B e quindi una apertura maggiore della

valvola regolatrice.

Ciò corrisponde a una traslazione della retta di

carico nella direzione delle aperture crescenti.

L’intersezione fra la nuova retta di carico e la

retta di lavoro porta il sistema a funzionare nel

nuovo punto di equilibrio H’, caratterizzato da

una temperatura Θ’ < Θ0.


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Per effetto della variazione di carico,

l’apertura della valvola del 50% non è

più sufficiente a mantenere la variabile

controllata sul valore desiderato. La

temperatura del fluido A comincia

perciò a diminuire fino a raggiungere il

valore Θ’. L’indice dello strumento sulla

scala graduata si allontana dal

controindice della quantità Θ0 – Θ’.

Se si vuole eliminare l’errore (e cioè

riportare l’indice al valore di set point)

occorre traslare la retta di lavoro in

maniera tale da ottenere un nuovo

punto di equilibrio H’’ a temperatura

Θ0. Lo spostamento della retta di

lavoro viene ottenuto spostando il

controindice sulla scala graduata.


Comp. 1

Comp. 2

Una componente dello spostamento del controindice contrasta, ma non elimina, l’errore residuo;

la restante componente è quella necessaria per eliminare l’errore residuo.

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Riassumendo:

1) Variazione della variabile controllata.

2) Determinazione di un errore residuo.

3) Determinazione di una nuova posizione del controindice per assorbire la variazione

corrispondente all’errore residuo.

4) Determinazione del nuovo punto di regolazione: a regime la posizione di indice e

controindice non sarà coincidente se non in condizioni di progetto (Θ0 ).


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Variazione dell’errore residuo al variare della banda proporzionale

In figura si vede come, a seguito di

una variazione del carico, l’errore

residuo si riduce al diminuire della

banda differenziale (aumenta la

sensibilità del sistema)

Tuttavia una banda proporzionale

troppo piccola può comportare

problemi di colpi d’ariete o di

controllo in opposizione di fase.


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Comportamento del sistema a variazioni di carico a gradino

Si consideri una riduzione a gradino del

carico.

Il tipo di risposta del sistema dipende

dall’ampiezza della banda proporzionale

dello strumento:

1) con banda ampia si ha una risposta

sottosmorzata, ma l’errore residuo è

piuttosto grande;

2) con banda stretta si ha un piccolo

scarto ma si evidenziano pendolazioni

della variabile controllata. Aumenta,

inoltre, il tempo che il sistema impiega

a raggiungere la condizione di regime.


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Correzione manuale per una variazione di carico

In figura è rappresentata la curva di risposta di un processo in cui la variabile, dopo una

variazione di carico, viene riportata sul valore originario spostando opportunamente il

controindice sulla scala dello strumento.

Dall’istante t1 in cui interviene la variazione di carico, la variabile si porta ad un valore che

differisce dal valore desiderato della quantità m (scarto). Per riportare la variabile controllata al

valore originario, all’istante t1 si sposta manualmente il controindice sulla scala graduata di un

opportuno valore m’.

Questa correzione manuale è possibile quando le variazioni di carico del processo non sono

frequenti, altrimenti l’operatore dovrebbe continuamente intervenire sullo strumento.


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Sfasamento fra variabile e azione correttiva

Lo sfasamento fra variabile ed azione

correttiva dipende dalle caratteristiche del

sistema e, in particolare, dalla frequenza di

oscillazione.

La presenza di ritardi notevoli limita

sensibilmente la possibilità di usare una

banda proporzionale stretta (il ritardo è una

caratteristica intrinseca del sistema).

Riducendo la banda proporzionale, può

accadere, infatti, che lo sfasamento

raggiunga i 180° e che, quindi, errore ed

azione correttiva vengano a trovarsi in

opposizione di fase.

Il problema interessa soprattutto sistemi

caratterizzati da oscillazioni frequenti, che

richiedono strumenti di regolazione sensibili

(cioè con piccola banda proporzionale).


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La regolazione proporzionale è indicata nei processi caratterizzati da:

1) variazioni di carico piccole perché all’aumentare delle variazioni di carico si assiste ad un

errore residuo maggiore a parità di banda proporzionale;

2) variazioni di carico poco frequenti, in quanto all’aumentare della frequenza l’incidenza del

tempo morto è maggiore e si rischia, nel caso di banda proporzionale relativamente piccola,

di arrivare in opposizione di fase;

3) piccoli ritardi per evitare di arrivare in opposizione di fase;

4) velocità di risposta basse;

5) grande ricettività.


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Ricettività di un sistema

Si considerino i due serbatoi A e B contenenti lo stesso volume di liquido. Per la stessa

variazione di carico, il livello aumenta di più in A che in B.

Il serbatoio B è più ricettivo rispetto al serbatoio A. Con ricettività si intende il rapporto tra la

quantità di massa/energia introdotta nel processo e la corrispondente variazione della variabile

controllata.

Unità di misura della ricettività:

1) Livello m3

m (variazione di volume contenuto per metro di variazione di livello)

2) Temperatura kJ

°C (variazione di energia termica per °C di variazione di temperatura)

3) Pressione m3

Pa (variazione di volume per Pa di variazione di pressione)


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Agenda






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Se si vuole eliminare l’errore residuo si utilizza l’azione integrale.

Uno strumento di regolazione viene detto ad azione integrale quando fa corrispondere fra

l’apertura della valvola regolatrice e il valore istantaneo dell’errore una relazione espressa

dall’equazione:

𝐏 = 𝐏𝟎 + 𝐟 𝐞 𝐭 𝐝𝐭𝐭

𝟎

Occorre conoscere la legge di variazione dell’errore e, poiché si cerca di regolare sempre in un

intorno del set point, tale legge si può considerare lineare.

L’integrale a secondo membro è l’elemento che consente al regolatore di intervenire sull’errore.

La valvola può rimanere in una posizione diversa da quella iniziale anche dopo che la variabile

è tornata al valore desiderato e quindi e = 0.

Perché ciò avvenga occorre che sia f ≠ 0 e e dtt

0≠ 0.


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Velocità di regolazione

La velocità della valvola regolatrice è:

𝐝𝐏

𝐝𝐭= 𝐟 𝐞

La velocità di variazione della posizione dell’attuatore è proporzionale all’errore.

Con la regolazione proporzionale la velocità risultava proporzionale alla derivata dell’errore e si

potevano avere delle variazioni molto rapide dell’otturatore a fronte di variazioni modestissime

dell’errore.

Con la regolazione integrale ciò non avviene: anche con un errore a gradino, la velocità di

intervento rimane costante fino a che l’errore rimane costante.

Nello stesso istante in cui appare lo scostamento dalla variabile controllata, la valvola

regolatrice comincia a muoversi con una velocità pari a dP/dt = f e. Questa velocità rimane

costante per tutto il tempo in cui rimane costante l’errore.

La valvola regolatrice ritornerà nella sua posizione originale soltanto dopo che ci sarà stato un

altro errore di segno opposto al primo e di valore tale che l’area compresa fra l’asse dei tempi e

la curva errore-tempo sia uguale a quella corrispondente alla prima deviazione della variabile.


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1) Errore a gradino

L’errore a gradino determina una

variazione lineare dell’apertura

della valvola a velocità costante

fino a che l’errore non si annulla;

nel momento in cui l’errore si è

annullato la valvola si trova nella

posizione P ≠ P0.

2) Errore sinusoidale

Con un errore sinusoidale di tipo

seno, la velocità è ancora

sinusoidale di tipo seno, mentre la

posizione di apertura della valvola

è descritta dalla funzione –coseno.


Risposta di uno strumento di regolazione ad azione integrale

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L’integrale è una somma di termini che

mantiene traccia della storia dell’errore

fin dal tempo iniziale t0 = 0.

La comparsa di un errore a gradino,

comporta un’apertura continua di tipo

lineare della valvola fino all’annullamento

dell’errore.

Non essendo nullo il termine e(t)t

0dt la

valvola si trova una posizione diversa da

quella di partenza P0.

Nel caso in cui si verifichi negli istanti

successivi un errore come quello

proposto in figura, la valvola torna a

posizionarsi nella posizione di partenza.

Regolazione integrale Ritorno della valvola nella posizione originale

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Fattore di velocità

Si definisce fattore di velocità la percentuale dell’escursione della valvola al minuto P

t∙ 100 per

variazione percentuale della variabile e ∙ 100 rispetto al range dello strumento.

Azione integrale: P = P0 + f e dtt

0

se e = cost : P = P0 + f e t

se P0 = 0 : P = f e t

𝐟 =𝐏

𝐞 𝐭= fattore di velocità

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Risposta di un processo munito di regolazione integrale al variare del fattore di velocità

Si consideri il caso tipico di una variazione di

carico a gradino.

Quanto maggiore è il fattore di velocità dello

strumento, tanto più grande è la tendenza del

sistema a produrre oscillazioni.

Con l’aumentare del fattore di velocità, l’azione

correttiva si fa sempre più brusca e la

regolazione integrale si fa sempre più vicina ad

una regolazione a due posizioni. L’entità delle

oscillazioni per un dato valore del fattore di

velocità dipende dalle caratteristiche del

processo e dai ritardi del sistema. Un fattore

di velocità alto è vantaggioso e può essere

adottato quando la velocità di reazione del

processo è alta e i ritardi sono piccoli.

In genere è conveniente adottare un fattore di velocità tale per cui la curva di risposta risulti

leggermente sottosmorzata in modo che la variabile ritorni sul valore desiderato in un tempo

relativamente breve e senza troppe oscillazioni.

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Agenda






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Se si dovessero verificare variazioni di carico grandi e improvvise, l’azione correttiva di una

regolazione integrale potrebbe risultare troppo lenta e l’errore persisterebbe per un tempo

eccessivo. La velocitò di spostamento della valvola regolatrice risulta infatti direttamente

proporzionale all’entità dell’errore, per cui la sua azione correttiva diviene efficace solo dopo che

l’errore ha assunto una certa consistenza.

Per compensare tempestivamente squilibri improvvisi l’azione integrale viene usata in

combinazione con una azione regolatrice proporzionale, più rapida.

Nella regolazione proporzionale la velocità di spostamento della valvola regolatrice è

proporzionale alla velocità di variazione dell’errore dP

dt=

1

b

de

dt.

Se quindi se la deviazione della variabile dal valore desiderato avviene rapidamente, altrettanto

rapidamente interviene l’azione correttiva.

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Regolazione proporzionale più integrale In una regolazione ad azione proporzionale più integrale (P.I.) la relazione fra errore e

correzione è la seguente:

𝐏 = 𝐏𝟎 +𝐞

𝐛+ 𝐡 𝐞 𝐝𝐭

𝐭

𝟎

Si definisce velocità di integrazione (reset rate) il rapporto r =P T

B=

P

T B

esprime di quante volte, nell’unità di tempo, la variazione nella posizione dell’elemento finale di

controllo dovuto all’azione integrale (P) ripete quella dovuta alla sola azione proporzionale (B).

La velocità di integrazione viene, perciò, generalmente espressa in ripetizioni al minuto.

La velocità di integrazione in uno strumento di regolazione ad azione P.I. viene predisposta al

valore desiderato con un aggiustamento manuale; essa determina la pendenza della curva del

segnale di uscita ed è indipendente sia dalla deviazione della variabile controllata che dalla

ampiezza della banda proporzionale.

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Con la sola regolazione proporzionale si

avrebbe una variazione a gradino della

posizione dell’elemento di controllo la cui

entità dipende dell’errore e della banda

proporzionale adottata.

Con la sola regolazione integrale si avrebbe

un andamento lineare dell’apertura.

Sommando i due effetti, immediatamente

alla comparsa dell’errore si ha il contributo

della regolazione proporzionale che porta

l’elemento di controllo in posizione P1; non

essendo nullo l’integrale e t dtt

0, la

regolazione integrale, fa si che la valvola

continui ad aprirsi fino alla scomparsa

dell’errore. Il contributo proporzionale viene meno nel momento in cui l’errore si annulla, mentre il

contributo integrale mantiene la valvola in una posizione diversa da quella originaria.

Risposta di uno strumento di regolazione ad azione proporzionale più integrale

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Regolazione proporzionale più integrale Si dimostra facilmente che la costante h che compare nell’equazione dell’azione P.I. è data da:

𝐡 = 𝐫/𝐛

dove r è la velocità di integrazione in ripetizioni per unità di tempo e b è la banda proporzionale

dello strumento.

Riferendosi alla figura precedente in cui interviene un errore a gradino E, si ha infatti:

• regolaz. proporzionale → P1 = P0 +E

b

• regolaz. proporzionale + integrale → P2 = P0 +E

b+ h E dt

t

0

P2 = P1 + h E t

r =P2 − P1

P1 − Po t La velocità di integrazione, secondo la definizione che abbiamo dato, risulta:

Sostituendo i valori di P2 − P1 e P1 − P0 si ottiene: r =h E t

Eb

t= b h 𝐡 =

𝐫

𝐛

L’equazione di un regolatore ad azione P.I. risulta pertanto: 𝐏 = 𝐏𝟎 +𝐞

𝐛+

𝐫

𝐛 𝐞 𝐝𝐭

𝐭

𝟎

44/85


Esercizio

In un sistema di regolazione P.I. la banda proporzionale e la velocità di integrazione

dello strumento di controllo sono rispettivamente del 20% e di 0,5 ripetizioni/minuto.

In condizioni progettuali di funzionamento l’apertura della valvola regolatrice è del

50%.

Determinare il grado di aperture della valvola regolatrice dopo che sono trascorsi 2

minuti dal momento in cui la variabile controllata ha subito una deviazione permanente

dal valore desiderato pari al 3% del campo di funzionamento dello strumento.

Se, per esempio, il segnale in uscita dovuto alla sola azione

proporzionale fosse uguale al 3% del valore di fondo scala (es. 15 psi),

con un’azione integrale pari a 1 ripetizione/minuto il segnale di uscita

aumenterà ancora ogni minuto del 3% del valore di fondo scala; con

un’azione integrale di 2 ripetizioni/minuto il segnale in uscita aumenterà

ancora ogni minuto del 6% del valore di fondo scala e così via.

45/85


Dati:

b = 0,20

r = 0,5 ripetizioni/min

P0 = 0,5

e = 0,03

t = 2 min

Soluzione:

P = P0 +e

b+

r

b e dt

t

0

= P0 +e

b+

r

b e t

P = 0,5 +0,03

0,2+

0,5

0,2∙ 0,03 ∙ 2 = 0,8

( Con sola reg. proporzionale: P = 0,50 +0,03

0,2= 0,65 )

Si conclude perciò che per un errore pari al 3% del campo di funzionamento persistente per 2

minuti, lo strumento di regolazione fa variare il grado di apertura della valvola regolatrice dal

50% all’80%.

L’apertura della valvola dovuta alla sola azione proporzionale sarebbe stata del 65%.

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Sistema di regolazione pneumatico ad azione proporzionale più integrale

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In un sistema di regolazione pneumatico ad azione P.I. sono presenti un soffietto ad azione

integrale (I) e un soffietto ad azione proporzionale (B).

Nelle normali condizioni di funzionamento la pressione dell’aria nei due soffietti è la stessa ed è

uguale alla pressione all’attuatore. Grazie alla presenza della valvola a spillo (R), il soffietto

integrale (I) non si accorge immediatamente di una eventuale variazione della variabile di

processo ed interviene in ritardo rispetto al soffietto proporzionale (B).

Supponiamo che ad un certo istante avvenga una variazione della variabile di processo tale da

provocare un allontanamento della paletta dall’ugello. Attraverso l’azione del relay la pressione

in uscita diretta all’attuatore aumenta. Il soffietto proporzionale (B), avvertendo un aumento di

pressione, agisce dilatandosi tentando di ravvicinare la paletta all’ugello.

Piano piano, attraverso la resistenza (R), l’aria comincia a passare gradualmente anche verso il

soffietto integrale (I), provocando un nuovo allontanamento della paletta dall’ugello.

Ciò comporta un nuovo aumento di pressione nel soffietto proporzionale (B) e, quindi, il ciclo si

ripete con continuità provocando un graduale aumento della pressione all’attuatore fino al

raggiungimento di una situazione di equilibrio.

La valvola regolatrice varia gradualmente il suo grado di apertura apportando al processo

l’azione correttiva per riportare la variabile di processo al valore desiderato.


48/85

Quando la variabile torna a coincidere con il valore di set point, la paletta riassume la posizione

originaria e i soffietti si trovano entrambi alla pressione dell’attuatore. Tale pressione è quella

corrispondente all’apertura della valvola regolatrice necessaria a mantenere la variabile al

valore desiderato malgrado la nuova condizione di carico del processo

Il soffietto integrale consente all’azione proporzionale di ripetere se stessa.

L’intensità dell’azione integrale viene regolata variando opportunamente la resistenza variabile

(R). Di solito ciò avviene modificando la luce di passaggio di una valvola a spillo, agendo su una

manopola posizionata su una scala graduata. Generalmente la scala va da 0 a 50 ripetizioni al

minuto.

Se la valvola a spillo è completamente aperta, la resistenza variabile è nulla, le pressioni nei

due soffietti sono sempre equilibrate e ci si riduce ad una regolazione a due posizioni (infinite

ripetizioni al minuto).

Se la valvola a spillo è completamente chiusa, la linea di comunicazione tra i due soffietti è

chiusa e si torna ad una regolazione proporzionale (zero ripetizioni al minuto).


49/85

Regolazione proporzionale più integrale Esercizio

Supponiamo che il sistema sia inizialmente in equilibrio con una pressione sulla valvola di

controllo di 7 psig. La stessa pressione agisce nei due soffietti proporzionale e integrale:

pI = pB = 7 psig.

Supponiamo che, in seguito ad una variazione di carico, la pressione sulla valvola regolatrice

necessaria a mantenere la variabile controllata sul valore desiderato divenga 11 psig.

La variazione di carico provoca una deviazione iniziale della variabile, che supponiamo pari al

6% del campo di funzionamento di uno strumento avente banda proporzionale del 30%.

La variazione corrispondente della pressione in uscita dovuta all’azione proporzionale è uguale

a:

Δpu =0,06

0,3= 0,2

ossia pari al 20% del campo di variazione della pressione in uscita.

Poiché la pressione in uscita varia da 3 a 15 psig, con una escursione di 12 psig, la variazione

di pressione dovuta all’azione proporzionale risulta:

Δpu = 0,2 ∙ 12 = 2,4 psig

50/85


Per effetto dell’azione proporzionale, la pressione sulla valvola regolatrice passa quindi da 7 a

9,4 psig.

Anche la pressione nel soffietto proporzionale diviene uguale a 9,4 psig e, quindi, ai due lati

della resistenza (R) si viene a creare una differenza di pressione pari a 2,4 psig:

PB = 9,4 psig → ΔpR = 9,4 − 7 = 2,4 psig

Ciò provoca un flusso di aria dal soffietto proporzionale a quello integrale. La pressione nel

soffietto integrale comincia ad aumentare provocando un graduale allontanamento della paletta

dell’ugello. Ne consegue un ulteriore aumento della pressione di uscita e quindi il ripristinarsi

della differenza di pressione fra i due soffietti.

Il fenomeno si ripete con costante aumento della pressione di uscita e si arresta soltanto

quando vengono raggiunti gli 11 psig.

A questo punto la valvola regolatrice ha raggiunto l’apertura sufficiente a ristabilire nel processo

le condizioni iniziali per cui la variabile controllata torna a coincidere con il valore desiderato. La

paletta riassume la posizione iniziale davanti all’ugello mentre nei due soffietti si stabilisce la

stessa pressione di uscita che agisce anche sulla valvola regolatrice pu = pI = pB = 11 psig.

51/85

Regolazione proporzionale più integrale Risposta di un processo munito di regolazione proporzionale più integrale

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I valori più alti della velocità di integrazione vengono usati generalmente in quei processi che

hanno una velocità di risposta elevata e piccoli ritardi, come il controllo della portata di un fluido.

Nei sistemi di controllo della temperatura e in altri processi a risposta lenta, vengono adottate

basse velocità di integrazione per evitare di produrre oscillazioni.

Per rallentare l’azione correttiva adeguandola alla velocità di reazione del processo, occorre

aumentare la banda proporzionale e ridurre la velocità di integrazione. Tuttavia, in questo modo

la variabile ritorna molto lentamente al valore desiderato.

Se la deviazione della variabile controllata dal valore desiderato persiste per molto tempo (es.

avviamento di un impianto), può accadere che la valvola regolatrice raggiunga una posizione

limite fermandosi in apertura totale o chiusura totale. Da questo momento in poi il sistema cessa

ogni azione di regolazione. Il segnale di uscita rimane invariato finché l’errore non cambia

segno, ossia finché la variabile controllata non è passata dall’altro lato del valore desiderato.

La regolazione P.I. è in grado di reagire efficacemente in processi con ampie e frequenti

variazioni del carico, mentre risulta meno indicata per processi caratterizzati da tempi morti e

ritardi rilevanti.

Regolazione proporzionale più integrale Effetto della velocità di integrazione e dell’ampiezza della banda proporzionale sulla

risposta di un sistema di regolazione ad azione proporzionale più integrale

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Effetto della velocità di integrazione

sulla risposta di un sistema di

regolazione ad azione proporzionale

più integrale

Effetto dell’ampiezza della banda

proporzionale sulla risposta di un sistema

di regolazione ad azione proporzionale

più integrale

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Agenda






55/85

Azione derivativa

Nel caso di processi in cui siano presenti tempi morti e ritardi notevoli, la regolazione ad azione

proporzionale più integrale risulta di difficile attuazione.

Uno strumento di regolazione ad azione derivativa, realizza una relazione lineare di

proporzionalità fra il segnale di uscita e la velocità di variazione del segnale errore di ingresso:

𝐏 = 𝐏𝟎 + 𝐦𝐝𝐞

𝐝𝐭

La regolazione derivativa non intraprende nessuna azione correttiva finché l’errore rimane

costante, a prescindere dalla sua entità. Con errori di piccola entità ma frequenza elevata

(rumore, vibrazioni, …) si possono avere interventi rilevanti, mentre con errori grandi ma

costanti nel tempo, l’azione di correzione è nulla. Pertanto, difficilmente si incontra una

regolazione puramente derivativa.

La velocità di spostamento dell’elemento finale di controllo si ottiene differenziando l’equazione

data:

dP

dt= m

d2e

dt2


56/85

Risposta di uno strumento di regolazione ad azione derivativa


57/85

Azione proporzionale più derivativa

L’azione derivativa da sola non viene mai adottata

negli strumenti di regolazione in quanto essa non

reagisce in nessun modo a una deviazione costante

della variabile comunque grande essa sia. Di solito

l’azione derivativa viene impiegata in combinazione

con quella proporzionale e integrale. L’equazione di

un regolatore ad azione proporzionale più derivativa

si ottiene combinando le rispettive relazioni:

𝐏 = 𝐏𝟎 +𝐞

𝐛+ 𝐦

𝐝𝐞

𝐝𝐭


L’azione derivativa provoca un rapido spostamento della valvola regolatrice di valore maggiore

rispetto a quello che si avrebbe con la sola azione proporzionale. Questa brusca apertura della

valvola apporta al processo una forte azione correttiva iniziale che contrasta immediatamente il

movimento di allontanamento della variabile dal valore desiderato.

Successivamente, man mano che la velocità di incremento dell’errore diminuisce, l’azione

derivativa si attenua sempre di più fino ad annullarsi completamente quando l’errore diventa

costante. A questo punto lo strumento di regolazione funziona con la sola azione proporzionale.

58/85

Nel caso di regolazione proporzionale: P − P0 =e t2

b

Nel caso di regolazione proporzionale più derivativa: P − P0 =e t1

b+ m

de

dt t1

Supponendo di approssimare la curva e(t) ad un tratto rettilineo (per un breve tratto è sempre

possibile) e t = k t

P − P0 =k t2

b=

k t1b

+ m k

Calcolo di m

Il coefficiente di proporzionalità m che esprime l’entità

dell’azione derivativa, viene generalmente scritto sotto

la forma:

m =q

b

b è la banda proporzionale dello strumento;

q è una grandezza caratteristica chiamata tempo di

derivazione ed espressa in unità di tempo; il suo

valore serve a indicare quantitativamente l’entità

dell’azione derivativa.


59/85

Per cui m =t2−t1

b

Essendo m =q

b si ha: q = t2 − t1


L’azione derivativa al tempo t1, corrisponde

alla stessa azione che si avrebbe con la sola

regolazione proporzionale ad un istante t2

successivo a t1.

L’azione derivativa è un’azione di previsione.

Si ha previsione perché si sostituisce la curva

dell’errore ad un certo istante con la sua

derivata (supponendo l’errore lineare). Più

l’errore ha andamento lineare nel tempo e più

è lecito prevedere per tempi lunghi.

Variazioni veloci → tempi di derivazione piccoli

Variazioni lente → tempi di derivazione anche

grandi

60/85

Effetto azione derivativa

L’azione derivativa tende a livellare la curva

secondo un andamento parallelo all’asse dei

tempi:

• quando la variabile controllata sale,

l’azione derivativa tende ad opporsi alla

salita. Tale opposizione è tanto più forte

quanto più si è vicini al valore di set point;

• se la variabile controllata scende, l’azione

derivativa tende a farla scendere più

lentamente.


All’azione derivativa non interessa l’entità dell’errore. Essa Interviene soltanto in caso di

variazione dell’errore e si oppone a tale variazione, stabilizzando la curva.

tende unicamente a stabilizzare la curva, opponendosi alle variazioni.

61/85

Consideriamo il caso in cui la variabile controllata

si stia allontanando dal valore desiderato,

diminuendo con velocità costante, tale da

passare dal punto A al punto B in 2 minuti. La

posizione della valvola regolatrice dovuta alla

sola azione proporzionale è determinata dal

punto corrispondente lungo la retta di lavoro.

Allo stesso istante, supponendo di predisporre il

tempo di derivazione a 2 minuti, l’apertura della

valvola regolatrice, per effetto dell’azione

proporzionale e derivativa combinate, risulta

uguale a quella che la sola azione proporzionale

avrebbe provocato due minuti più tardi, ossia

quando la temperatura fosse giunta in C.

Regolazione derivativa Effetto dell’azione derivativa quando la variabile controllata si allontana dal valore

desiderato

Il risultato complessivo delle due equazioni equivale a un’azione proporzionale immaginaria con

banda proporzionale più stretta di quella effettiva (retta di lavoro tratteggiata).

P − P0 =e

b+

q

b

de

dt

62/85

Consideriamo ora il caso in cui la variabile

controllata si stia avvicinando al valore

desiderato. Aumentando con velocità costante

essa passa dal punto A al punto B in 2 minuti.

Per effetto dell’azione derivativa l’apertura

complessiva della valvola in corrispondenza

del punto A è uguale a quella che la sola

azione proporzionale provocherebbe due

minuti più tardi, cioè quando la temperatura è

in B.

Regolazione derivativa Effetto dell’azione derivativa quando la variabile controllata si avvicina al valore

desiderato

Ne risulta pertanto che i punti di funzionamento dovuti all’azione proporzionale e derivativa

combinate, corrispondono a quelli di un’azione proporzionale immaginaria con una banda

proporzionale più ampia di quella effettiva (retta di lavoro tratteggiata).

P − P0 =e

b+

q

b

de

dt

63/85


Si può pertanto concludere dicendo che quando la

deviazione della variabile controllata dal valore

desiderato sta aumentando, l’azione derivativa

equivale a una diminuzione della banda

proporzionale dello strumento. L’azione di controllo

risulta pertanto più sensibile ed energica e le

deviazioni della variabile sono contenute entro limiti

più stretti

Quando invece la deviazione della variabile sta

diminuendo, l’azione derivativa equivale a un

allargamento della banda proporzionale. L’azione

correttiva viene attenuata e si riduce la possibilità

che la variabile oltrepassi il valore desiderato

provocando il nascere di oscillazioni.

Effetto dell’azione derivativa P − P0 =

e

b+

q

b

de

dt

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Regolazione derivativa Banda proporzionale fittizia

L’azione proporzionale più derivativa è espressa come: P − P0 =e

b+ m

de

dt

E’ possibile scrivere:

e

b P − P0= 1 −

m

P − P0

de

dt

P − P0 =e

b 1 −m

P − P0

dedt

=e

b′

Si introduce la banda proporzionale fittizia b’ da confrontare con quella del regolatore

proporzionale b:

b′ = b 1 −m

p − p0

de

dt

65/85

Regolazione derivativa La banda proporzionale fittizia b’ è la banda proporzionale della sola regolazione proporzionale

corretta da tre fattori:

• m è il coefficiente che esprime l’azione diretta o inversa della correzione.

• m > 0 azione derivativa diretta

• m < 0 azione derivativa inversa

• P − P0 è la distanza fra la posizione attuale della valvola e la posizione di design.

•de

dt è la velocità di variazione dell’errore (può essere positiva o negativa).

Se:

1)m

p−p0

de

dt= 0 → banda fittizia pari alla banda proporzionale: b′ = b

2)m

p−p0

de

dt> 0 → banda fittizia più stretta della proporzionale: b′ > b

3)m

p−p0

de

dt< 0 → banda fittizia più larga della proporzionale: b′ > b

66/85


L’azione derivativa risulta vantaggiosa nella regolazione dei processi con elevata velocità di

risposta. In essi le deviazioni della variabile avvengono rapidamente e poiché il segnale

derivativo è proporzionale alle velocità di variazione dell’ errore, ne risulta un’azione

particolarmente efficace.

Generalmente negli strumenti di regolazione il tempo di derivazione arriva al massimo a circa

10 minuti. L’azione derivativa, pertanto, è efficace in quei casi in cui un anticipo massimo di 10

minuti nel posizionamento dell’elemento finale di controllo ha un effetto apprezzabile.

Ciò si verifica in pratica per i processi nei quali la costante di tempo non sia superiore alle 2 o 3

ore.

Nei processi in cui la costante di tempo è maggiore alle 2 o 3 ore, la velocità di variazione

dell’errore è troppo bassa per generare un segnale derivativo tale da agire efficacemente sul

processo. Esempi di processi di questo tipo sono rappresentati, per esempio, dai grandi forni

per i trattamenti metallici. In questi casi l’azione derivativa risulta praticamente inutile.

Ci sono inoltre alcuni casi in cui l’azione derivativa può risultare addirittura dannosa. Ciò si

verifica in quei processi molto disturbati nei quali i disturbi sono del tutto casuali e di brevissima

durata.

67/85



Agenda






68/85

La relazione che lega l’errore al segnale in uscita è:


Da notare che:

• con la regolazione proporzionale si ha

un’azione inversa e l’apertura della valvola ha

un andamento analogo a quello dell’errore,

scalato del coefficiente 1/b;

• Il contributo dell’azione integrale è tale da

mantenere una posizione della valvola diversa

da quella di partenza, anche quando il valore

della variabile torna al valore di set point;

• nell’azione derivativa i massimi si hanno in

corrispondenza dei flessi della curva dell’errore.

1) banda proporzionale, b

2) reset rate, r

3) tempo di derivazione, q

𝐏 = 𝐏𝟎 +𝐞

𝐛+

𝐫

𝐛 𝐞 𝐝𝐭

𝐭

𝟎

+𝐪

𝐛

𝐝𝐞

𝐝𝐭

Le variabili da settare sullo strumento sono 3:

69/85

Esempio numerico:

In un sistema di regolazione, i valori di predisposizione dello strumento sono: banda

proporzionale del 30%, velocità di integrazione pari a 0,5 ripetizioni al minuto, tempo di

derivazione di 0,3 minuti.

Partendo da un’apertura della valvola regolatrice del 50%, calcolare il grado di apertura della

stessa dopo che è trascorso 1 minuto dall’istante in cui la variabile ha cominciato a subire una

deviazione dal valore desiderato, espressa dall’equazione e t = 0,06 t .

(La variabile controllata si allontana dal valore desiderato; al termine dell’azione correttiva dello

strumento, la variabile ritorna peraltro a coincidere con esso per effetto dell’azione integrale che

fa assumere alla valvola regolatrice una apertura finale adeguata al nuovo valore di carico.)

Dati:

P0 = 0,5

q = 0,3 min

e = 0,06 t

b = 0,3

r = 0,5 ripetiz./min de

dt= 0,06


70/85

Soluzione:

P = P0 +e

b+

r

b e dt

t

0

+q

b

de

dt= 0,5 +

0,06 ∙ 1

0,3+

0,5

0,3∙ 0,06 ∙

1

2− 0 +

0,30

0,30× 0,06 = 0,81

Cioè dopo 1 minuto l’apertura della valvola è passata dal 50% all’81%.

Se la banda proporzionale fosse stata del 100% avremmo avuto:

P = P0 +e

b+

r

b e dt

t

0

+q

b

de

dt= 0,5 +

0,06 ∙ 1

1+

0,5

1∙ 0,06 ∙

1

2− 0 +

0,30

1× 0,06 = 0,593

Il grado di apertura corrispondente a ciascuna azione è, nei due casi:

Banda

proporzionale

apertura

iniziale

azione

proporzionale

azione

integrale

azione

derivativa

totale

b = 0,3 50% 20% 5% 6% 81%

b = 1 50% 6% 1,5% 1,8% 59,3%


71/85

Regolatore pneumatico PID

Il regolatore pneumatico PID ha una ulteriore

valvola a spillo R1.

Con R1 chiusa si torna alla regolazione a

due posizioni.

Con R1 leggermente aperta, le variazioni di

pressione all’uscita del relay, arrivano ai

soffietti B ed I ritardati dalla presenza di R1.

L’anticipo fornito dall’azione derivativa si

concretizza nel ritardare la retroazione dei

due soffietti. Il ritardo di flusso che fa sì che

in fase iniziale l’azione proporzionale e quella

integrale siano nulle e si regoli a due

posizioni.


72/85

Realizzazione di un regolatore proporzionale

Controllo di livello con galleggiante

Il sistema è di tipo proporzionale e ad azione inversa:

P = P0 +e

b

Y = −a

b X


73/85

Il sistema è costituito da una pompa ad

ingranaggi dotata di sfioro. Una valvola a due vie

con molla tarata garantisce la corretta pressione

di mandata (es: 200 bar). In caso di

sovrapressioni si apre e scarica il fluido nel

serbatoio. A valle si ha un distributore a cassetti,

con un entrata centrale per l’olio e due uscite,

una superiore ed una inferiore. Se il cassetto è

centrato le due uscite sono chiuse e l’olio

ricircola verso il serbatoio.

Realizzazione di un regolatore integrale

Centralina idraulica oleodinamica e cassetti di distribuzione (es: servocomando del freno)

Nel momento in cui il livello monitorato si alza, il cassetto si alza in maniera solidale.

Si apre la luce superiore di scarico che consente l’ingresso dell’olio nella parte superiore del

servomotore idraulico. L’otturatore della valvola viene spinto verso il basso e l’azione di chiusura

persiste fintanto che il livello non è tornato ad essere quello di set point, unica condizione per

cui la posizione del cassetto è centrata (l’azione integrale persiste finché persiste l’errore, anche

se piccolo).


74/85

La velocità del punto Y può essere scritta come:

dY

dt= K1Q

dove Q è la portata di olio.

Q = K2 X

Per cui, sostituendo e posto K =K1+K2:

dY

dt= −K X

→ Y = − K Xt

odt

P = P0 +r

b e dt

t

0


75/85

L’azione derivativa sfrutta forze di tipo viscoso.

Un cilindro tenuto da due molle è riempito di olio.

Se il livello si alza, il pistone tende a scendere.

L’olio trafila dalla camera inferiore alla camera

superiore. A causa della viscosità dell’olio il

passaggio non avviene immediatamente ma

richiede un certo tempo.

Ciò fa sì che appena il pistone si abbassa, tutto il

cilindro lo segue, non essendo l’olio ancora

trafilato. Le molle tendono poi a riporta il cilindro

alla posizione originaria, e l’olio si sposta da una

camera all’altra.

Y = −KdX

dt

Realizzazione di un regolatore derivativo

Controllo di livello con galleggiante:

P = P0 +e

b+

r

b e dt

t

0

+q

b

de

dt


76/85

Tabella riassuntiva


77/85



Agenda






78/85

1) Divisione secondo il tipo di funzionamento: formule empiriche di D.W. Pessen

È necessario individuare la banda proporzionale di pendolazione (BPp), cioè la banda

proporzionale corrispondente al sorgere delle oscillazioni permanenti.

Corrispondente, il tempo impiegato dalla variabile per compiere una oscillazione completa viene

definito periodo di pendolazione (Pp).

a. Impianti con preminente fase di avviamento

b = 5 BPp , r =3 ripetizioni

Pp , q =

Pp

2

b. Impianti a funzionamento prevalentemente continuo

b = 3 BPp , r =2 ripetizioni

Pp , q =

Pp

3


79/85


2) Divisione secondo il tipo di regolazione: formule empiriche Ziegler e Nichols

a) azione proporzionale: b =BPp

0,5= 2 BPp

b) azione proporzionale e integrale: b =BPp

0,45 , r =

1,2 ripetizioni

Pp

c) azione proporzionale, integrale e derivativa: b =BPp

0,6 , r =

2 ripetizioni

Pp , q =

Pp

8

Si noti come con la sola azione proporzionale si cerca di evitare la pendolazione con un

coefficiente di sicurezza pari a 2.

Passando all’azione proporzionale più integrale non deve sorprendere che la banda

proporzionale aumenti perché è presente anche il contributo integrale.

Nel caso PID si può ridurre la banda proporzionale perché l’azione derivativa rende più stabile

l’azione proporzionale.

È bene ripetere che tanto le formule di Pessen che quelle di Ziegler e Nichols, danno dei valori

orientativi i quali devono essere affinati in base ai risultati pratici ottenuti.

80/85


La maggioranza dei processi industriali rientra nella

categoria dei processi con autoequilibrio.

A seconda della durata e del grado di smorzamento

del periodo transitorio, i processi con autoequilibrio

possono poi suddividersi in:

• processi di ordine 0;



• processi con tempo morto;

• processi di ordine superiore.

L’ordine del processo corrisponde all’ordine dell’equazione differenziale che descrive

matematicamente la risposta transitoria del processo stesso. Così, un processo di ordine 2

presenta una risposta transitoria espressa da una equazione differenziale di 2° ordine.

La risposta transitoria risulta tanto più ’’rallentata’’ quanto maggiore è l’ordine che

contraddistingue il processo. Questo rallentamento può essere assimilato ad un tempo morto

tanto più quanto è alto l’ordine del processo.

Questa circostanza consente di sostituire, con buona approssimazione, la risposta transitoria di

un processo di ordine superiore con quella di un processo di ordine 1 con autoequilibrio e

tempo morto.

Risposta transitoria di un processo di

ordine1 con autoequilibrio e tempo morto:

Ordine di un processo

81/85


È così possibile semplificare la caratterizzazione

del comportamento di un processo di ordine

superiore con autoequilibrio, essendo infatti

sufficiente conoscere soltanto i seguenti tre fattori

caratteristici: il fattore di amplificazione Vs, la

costante di tempo Ts ed il tempo morto

equivalente Tt.

La determinazione di questi fattori si ricava dalla

risposta transitoria del processo.

Il tempo morto equivalente Tt è pari al segmento

intercettato sull’asse dei tempi dalla tangente alla

curva della risposta transitoria nel punto di flesso F.

Determinazione dei fattori caratteristici di un processo di ordine superiore sulla base

dell’andamento della risposta transitoria

La costante di tempo Tt risulta invece individuata dall’intersezione della stessa tangente con la

linea orizzontale corrispondente al nuovo stato di equilibrio.

La validità di questa approssimazione è tanto più grande quanto maggiore è l’ordine del

processo.

82/85

Messa a punto dei regolatori 3) Criterio pratico per la valutazione del grado di difficoltà della regolazione

Partendo da tempo morto e costante di tempo, è possibile caratterizzare la difficoltà di

regolazione di un sistema:

a)𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒎𝒐𝒓𝒕𝒐

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒊 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐<

𝟏

𝟏𝟎 : la regolazione del processo si può ritenere facile.

b)𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒎𝒐𝒓𝒕𝒐

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒊 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐≃

𝟏

𝟔 : il processo si può considerare ancora sufficientemente regolabile.

c)𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒎𝒐𝒓𝒕𝒐

𝑪𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒊 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐>

𝟏

𝟑 : la regolazione del processo è difficile.

83/85

Messa a punto dei regolatori 4) Metodo della curva di reazione (Ziegler-Nichols)

Una volta disegnata la curva di reazione che è la variazione libera del sistema (cioè escludendo

la regolazione) ad una variazione a gradino del carico o dell’alimentazione, si valuta se la

regolazione è più o meno semplice tramite il metodo di Ziegler-Nichols.

N = tangente massima (coeff. angolare

nel punto di flesso)

L = ritardo (tempo morto equivalente)

A = valore della variabile all’istante in cui è

stata prodotta la variazione di carico (o di

alimentazione)

∆P = Variazione percentuale del carico (o

del grado di apertura della valvola di

regolazione)

84/85

• Regolazione proporzionale:

b =N L

∆P

• Regolazione proporzionale e integrale:

b =1,1 N L

∆P , r =

0,3

L ripetizioni minuto


• Regolazione proporzionale, integrale e derivativa:

b =0,83 N L

∆P , r =

0,5

L ripetizioni minuto , q = 0,5 L minuti

Corso di Strumentazione e Automazione Industriale

Laurea Magistrale

Modulo 3

Regolazione proporzionale, integrale, derivativa

Prof. Ing. Cesare Saccani

Prof. Ing. Augusto Bianchini

Dott. Ing. Marco Pellegrini

Dott. Ing. Michele Gambuti

Department of Industrial Engineering (DIN) - University of Bologna

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Modulo 3 Regolazione proporzionale, integrale, derivativa · 2019. 12. 16. · Lo spostamento del punto N è dato da due contributi: 1) rotazione attorno al punto C (determinata dall’elemento