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8 MODELLI MATEMATICI PER SISTEMI LINEARI
8.1 Modellizzazioni di sistemi lineari
8.2 Modellizzazioni di ordine zero
8.2.1 Modellizzazione puramente proporzionale
8.2.2 Modellizzazione puramente derivativa e proporzionale-derivativa
8.3 Modellizzazioni di ordine uno
8.3.1 Modellizzazione puramente integrativa
8.3.2 Modellizzazione proporzionale a banda limitata (di ordine uno)
8.3.3 Modellizzazione derivativa reale
8.4 Modellizzazioni di ordine due
8.4.1 Modellizzazione proporzionale con banda limitata (di ordine due)
8.4.2 Modellizzazione a banda centrale
8.4.3 Modellizzazione risonante del secondo ordine
8.5 Approssimazione del polo dominante
8.6 Un esempio di modellizzazione: il motore a corrente continua
8.1 Modellizzazioni di sistemi lineari
Fin dal capitolo uno abbiamo visto come in generale un sistema lineare di ordine
n (cioè con n variabili di stato) può essere descritto per mezzo di diversi tipi di modelli
matematici1. Considerando per semplicità un sistema con un solo ingresso e una sola
uscita, le alternative possibili sono:
1) Modello di stato: n equazioni differenziali di stato (o n equazioni iterative di stato),
più eventualmente una equazione algebrica, se l'uscita non coincide con nessuna delle
variabili di stato ( par. 1.1 e 1.4).
2) Modello ingresso-uscita: un’unica equazione differenziale ingresso-uscita di ordine
n, cioè contenente fino alla derivata n-esima della variabile di uscita ( par. 1.2 e
1.4). In alternativa è possibile utilizzare il modello approssimato costituito dalla
equazione ingresso-uscita iterativa ( par. 1.3).
3) Funzioni di trasferimento: una funzione di trasferimento in j, espressa come il
rapporto fra due polinomi in j ( 2.7), oppure una funzione di trasferimento
generalizzata nella variabile complessa S ( 7.3).
1 In tutto il capitolo si farà riferimento sempre ed esclusivamente a sistemi di tipo
lineare. Per i sistemi non lineari ( cap. 8 vol. 1) dei modelli qui proposti è possibile
usare sia il modello di stato sia il modello ingresso-uscita, mentre le funzioni di
trasferimento possono essere definite solo per i sistemi lineari.
2
I diversi modelli matematici utilizzabili per descrivere un sistema lineare non
sono tutti equivalenti per quanto riguarda gli scopi e i risultati. In particolare osserviamo
che:
a) I modelli iterativi forniscono solo una conoscenza approssimata e per punti della
risposta totale (libera e forzata) del sistema: essi sono adatti per la simulazione su
calcolatore.
b) I modelli differenziali forniscono l'espressione analitica esatta (dal punto di vista
matematico) della risposta totale del sistema. Sono pertanto più completi e precisi dei
modelli iterativi. Tuttavia non risulta sempre agevole risolvere i modelli differenziali,
in particolare quando il sistema è di ordine superiore al secondo o quando il segnale
di ingresso ha un andamento "complicato".
c) La funzione di trasferimento in j consente di ricavare solo la risposta forzata in
regime sinusoidale permanente, cioè la risposta forzata quando in ingresso viene
applicato un segnale sinusoidale (o un segnale dato dalla somma di segnali
sinusoidali). Limitatamente ai pochi segnali di ingresso per i quali risulta semplice il
calcolo della trasformata di Fourier ( par. 6.6), la f. di t. in j consente di
determinare la risposta totale del sistema. In quest'ultimo caso dunque il calcolo
effettuato con F(j) è equivalente alla soluzione dell'equazione differenziale
ingresso-uscita. Occorre tuttavia tenere conto del fatto che l'antitrasformazione del
risultato finale non è un'operazione semplice nella maggior parte dei casi.
d) La funzione di trasferimento generalizzata in S consente di determinare la risposta
totale del sistema (risposta libera e risposta forzata) con qualsiasi ingresso che
ammetta la trasformata di Laplace, a condizione di essere in grado di antitrasformare
il risultato finale. Ciò in pratica risulta abbastanza agevole solo per i sistemi del
primo o del secondo ordine e limitatamente a segnali di ingresso non troppo
"complicati".
Vediamo ora un paio di esempi di sistemi lineari descritti per mezzo dei modelli
matematici precedentemente elencati. Si osservino attentamente le relazioni esistenti fra
i diversi modelli e si noti come da ogni modello sia possibile ricavare tutti gli altri.
a) Circuito RLC
Esaminiamo ora circuito RLC in figura 8.1
3
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Circuito RLC
Allo scopo di determinare la funzione di trasferimento del circuito, calcoliamone
per prima cosa l'impedenza totale di ingresso:
ZV
I
R Z R SL Z R SL RSC
R
SL RSC
SL RSC
RS LR C SL
S LC SCR
S LCR SCR R R S LR C SL
S LC SCR
S LC R R S L CR R R
S LC SCR
tot
in
tot
p s
.
./ / / /1 1 1 2 1
2
2
1
2
2
2
2
2
1 2 1 1
2
2
2
2
2
1 2 1 2 1
2
2
1
1
1
1 1
1
A questo punto non è difficile ottenere la funzione di trasferimento generalizzata del
circuito:
F
V
V
R I
V
RV
Z
V
R
Z
S LC SCR
S LCR R
RS
L CR R
R
u
in
tot
in
in
tot
intot
(S)
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
2
2 1 2
1
1 2
1
1
1
Osserviamo che la funzione di trasferimento generalizzata così ottenuta ha due poli:
dunque l’ordine del sistema è due (come d’altra parte si può dedurre anche dalla
presenza nel circuito di due componenti reattivi, cioè in grado di accumulare energia). Si
noti che la f. di t. ha anche due zeri, ma ciò non influisce sull’ordine del sistema.
Dalla funzione di trasferimento possiamo ricavare la relazione differenziale
ingresso-uscita del sistema:
S LC
R R
RS
L CR R
RV S LC SCR Vu in
2 1 2
1
1 2
1
2
21 1
. .
da cui abbiamo infine
LC
R R
R
d v
dt
L CR R
R
dv
dtv LC
d v
dtCR
dv
dtvu u
u
in in
in
1 2
1
2
2
1 2
1
2
2 2
L'equazione differenziale così ottenuta è del secondo ordine. Si noti che l’ordine
dell'equazione differenziale è dovuto alla presenza della derivata seconda della incognita
vu: la presenza della derivata seconda del segnale di ingresso vin non influisce invece
sull’ordine dell’equazione differenziale.
4
E' possibile trasformare l'equazione differenziale ingresso-uscita in una coppia di
equazioni differenziali di stato (ciascuna del primo ordine), introducendo una nuova
variabile y uguale alla derivata prima di vu ( par. 3.5):
Di tale coppia di equazioni è poi anche possibile ottenere una versione approssimata ed
iterativa, adatta per la simulazione su calcolatore (si noti come le derivate del segnale
di ingresso vin non vengano approssimate, dal momento che è possibile eseguire il
calcolo esattamente):
y t t y t
t
LC R R
L CR R
LCd v t
dtCR
dv t
dtv t v t
L CR R
R
y t
v t t v t t y t
in in
in u
u u
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
2
2 2
1 2
1
Si osservi come, per studiare questo sistema, si sia partiti dalla funzione di
trasferimento per poi ricavare da questa gli altri modelli matematici del sistema. Questo
metodo di procedere è tipico dell’analisi dei sistemi di tipo circuitale, per i quali è facile
ricavare la funzione di trasferimento con il metodo delle impedenze complesse. Per i
sistemi non circuitali, come per esempio il sistema "molla + corpo" (vedi l'esempio
successivo), è generalmente più agevole ricavare prima il modello basato sulle
equazioni di stato o sull'equazione differenziale ingresso-uscita e quindi ottenere da
questi la funzione di trasferimento del sistema.
b) Sistema "molla + corpo"
Consideriamo un sistema2 costituito da una molla verticale e da un corpo ad essa
appeso (sottoposto dunque all’azione della forza di gravità, fig. 8.2). Supponiamo
inoltre inizialmente che sul corpo non agisca nessuna forza di attrito. L'uscita del
sistema è lo spostamento x del corpo.
2 Il sistema "molla+corpo" con attrito è stato già studiato nel paragrafo 7.4 del primo volume e, in una versione un po' modificata, nel paragrafo 3.2 del terzo volume.
LC
R R
R
dy
dt
L CR R
Ry LC
d v
dtCR
dv
dtv v
dv
dty
in in
in u
u
1 2
1
1 2
1
2
2 2
5
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Sistema "molla + corpo"
Per determinare un modello matematico per il sistema scriviamo anzitutto la legge di
bilancio delle forze agenti sul corpo:
Ftot = m. g - Km. x
da cui in base alla seconda legge di Newton abbiamo:
m. a = Fg - Km. x
e sfruttando infine la relazione che lega l'accelerazione alla velocità:
mdv
dtm g K xm
L'equazione così trovata rappresenta una delle due equazioni di stato del sistema. La
seconda equazione di stato può essere ricavata immediatamente dalla relazione:
vdx
dt
Il modello differenziale di stato a due equazioni del sistema "molla + corpo" è dunque il
seguente:
mdv
dtm g K x
dx
dtv
m
Dal precedente non è difficile ricavare per sostituzione l'equazione differenziale
ingresso uscita del secondo ordine per il calcolo di x:
md x
dtK x m gm
2
2
Infine, considerando come ingresso la forza di gravità Fg = m. g, dall'equazione
differenziale ingresso-uscita possiamo ricavare la funzione di trasferimento
generalizzata:
6
FX
F m S Kg m
(S)
12
Lasciamo come esercizio per il lettore la determinazione degli altri modelli matematici
del sistema (equazioni iterative e funzione di trasferimento in j), che possono essere
ricavati senza eccessive difficoltà dai precedenti.
Vediamo invece in quale modo si modificano i modelli del sistema se si vuole
tenere conto della presenza di una forza di attrito viscoso con l'aria di valore:
Fa = - Kv. v
In questo caso la legge di bilancio delle forze diventa:
Ftot = m. g - Km. x - Kv
. v
Senza ripetere tutti i passaggi matematici, possiamo subito scrivere il modello
differenziale di stato del sistema (aggiungendo semplicemente il termine dovuto
all'attrito viscoso al modello ricavato precedentemente):
mdv
dtK v m g K x
dx
dtv
v m
Dal precedente possiamo ricavare subito l'equazione differenziale ingresso-uscita
md x
dtK
dx
dtK x m gv m
2
2
e la funzione di trasferimento in S
FX
F m S K S Kg v m
(S)
12
I modelli matematici ricavati considerando la presenza di attrito sono indubbiamente più
precisi (dal punto di vista fisico, cioè rispetto alle misure sperimentali) dei modelli che
non tengono conto dell'attrito. Il rovescio della medaglia è che tali modelli risultano
anche più complicati da calcolare.
Come risulta evidente dall'esempio del sistema "molla + corpo", uno stesso
sistema fisico può essere descritto per mezzo di modelli matematici differenti, a seconda
del grado di precisione che si vuole ottenere. In questo contesto ciò che importa non è
tanto il particolare tipo di modello utilizzato per la descrizione del sistema (equazione
differenziale, funzione di trasferimento ecc.), quanto le caratteristiche generali di tale
descrizione (ordine, tipo e numero di parametri ecc.).
Modelli e modellizzazioni
7
A questo proposito introduciamo il termine modellizzazione3 (di un sistema) per indicare un'intera classe di modelli, omogenei per quanto riguarda la descrizione fisica fornita e dipendenti l'uno dall'altro, nel senso che ogni modello appartenente a una data modellizzazione può essere ricavato matematicamente dagli altri modelli della stessa modellizzazione.
Così ad esempio per il sistema "molla + corpo" abbiamo individuato due possibili
modellizzazioni, a seconda che si tenga conto oppure no dell'attrito con l'aria. Le due
modellizzazioni comprendono ciascuna gli stessi tipi di modelli matematici (modello di
stato, modello ingresso-uscita, funzione di trasferimento) e si differenziano fra loro per
l'ordine e il grado di precisione.
In generale dunque "modellizzare un sistema" significa individuare una
modellizzazione che descriva il sistema con una precisione sufficiente rispetto agli scopi
dello studio. Una volta scelta una particolare modellizzazione, sarà possibile utilizzare
uno qualsiasi dei diversi modelli matematici disponibili, a seconda del tipo di calcoli
che si desiderano effettuare. Si osservi che in realtà, fino dai primi capitoli del primo
volume, il problema della "modellizzazione" è per noi sempre stato di fondamentale
importanza. L'approccio fin qui considerato consisteva nel partire da una descrizione
fisica del sistema (cioè dalle leggi che descrivono i fenomeni che avvengono nel
sistema) per arrivare quindi a costruire un modello matematico per il calcolo della
variabile di uscita4. Il metodo che verrà proposto nei prossimi paragrafi è invece
sensibilmente diverso. Il punto di partenza sarà in questo caso la modellizzazione del
sistema. Si cercherà quindi di stabilire a priori quali sistemi (e con quale precisione)
possano essere descritti per mezzo di una certa modellizzazione. In sostanza si darà la
precedenza agli aspetti matematici della descrizione, rispetto alla identificazione dei
fenomeni fisici che avvengono nel sistema (come si vedrà, in molti casi è possibile
"modellizzare" un sistema anche ignorando i dettagli fisici del comportamento del
sistema stesso). Per comodità di trattazione, suddivideremo le modellizzazioni in base
all'ordine, cioè, a seconda del particolare modello matematico considerato, in base:
a) al numero delle variabili di stato e delle equazioni di stato.
b) alla massima derivata dell'incognita presente nell'equazione
differenziale ingresso uscita.
c) al numero dei poli della funzione di trasferimento generalizzata.
E' più corretto affermare che l'ordine è una caratteristica del sistema o della sua modellizzazione?
Quali sono le differenze fra il concetto di "modello matematico" e quello di "modellizzazione"?
8.2 Modellizzazioni di ordine zero
3 Il termine modellizzazione non è certo molto elegante, ma dovrebbe rendere abbastanza bene l'idea di una generalizzazione del concetto di modello matematico. 4 Così abbiamo fatto ad esempio per il circuito RLC: utilizzando le leggi fisiche dei circuiti e dei componenti abbiamo ricavato i modelli matematici per il calcolo della tensione di uscita. Analogamente per il sistema "molla + corpo" siamo partiti da una descrizione fisica del sistema e da questa abbiamo ricavato le equazioni differenziali per il calcolo di x e di v.
?
8
Tutte le modellizzazioni di ordine zero, a seconda del particolare modello
matematico considerato, presentano le seguenti caratteristiche generali:
a) Non ci sono variabili di stato. b) L'equazione differenziale ingresso-uscita non contiene derivate
del segnale di uscita (non si tratta dunque di una "vera" equazione differenziale). Essa può tuttavia contenere derivate del segnale di ingresso.
c) La funzione di trasferimento generalizzata F(S) non contiene poli
(che dipendono dalla presenza di derivate del segnale di uscita nella relazione differenziale ingresso-uscita). Essa tuttavia può contenere degli zeri, dal momento che questi dipendono dalla presenza nell’equazione differenziale di eventuali derivate del segnale di ingresso (che non influiscono sull’ordine del sistema).
Dal punto di vista delle caratteristiche fisiche dei sistemi, le modellizzazioni di ordine
zero sono adatte per descrivere sistemi nei quali non è presente nessun accumulo di
energia, che non manifestano nessuna risposta libera e che hanno una banda passante in
frequenza illimitata. In pratica, come si vedrà meglio nel seguito, i sistemi reali possono
possedere tali caratteristiche solo in prima approssimazione, per cui sarebbe più corretto
affermare che le modellizzazioni di ordine zero si applicano a quei sistemi con
trascurabile accumulo di energia, con risposta libera di piccola ampiezza o che si
estingue rapidamente e con banda passante molto larga.
8.2.1 Modellizzazione puramente proporzionale
La più semplice modellizzazione di ordine zero è quella puramente
proporzionale (detta anche proporzionale ideale5). La ragione del nome risulta
immediatamente evidente dall'equazione ingresso-uscita, la quale assume la forma:
u(t) = K. i(t)
5 Qui e nel seguito con il termine "ideale" si intende una modellizzazione di un sistema,
la quale tiene conto soltanto delle caratteristiche principali del comportamento del
sistema stesso e che pertanto, in determinate condizioni, può fornire risultati in
disaccordo con gli esperimenti. Viceversa una modellizzazione "reale" è più precisa, dal
momento che riesce a prevedere correttamente anche quei comportamenti che sono
trascurati dalla modellizzazione "ideale". Occorre tuttavia osservare che, poiché nessun
modello matematico è mai in grado di prendere in considerazione la totalità dei
fenomeni fisici che avvengono in un sistema, ne consegue che anche le modellizzazioni
"reali" rappresentano sempre delle idealizzazioni, non potendo prevedere il
comportamento del sistema in ogni possibile condizione di funzionamento. In pratica i
due termini, "ideale" e "reale", sono utilizzati in contrapposizione fra loro, senza nessun
significato assoluto, per indicare due modellizzazioni affini aventi diverso grado di
precisione.
9
dove K è un opportuno parametro del sistema. La corrispondente funzione di
trasferimento generalizzata (ricavabile immediatamente dalla relazione precedente) è:
F SU
IK( )
In questo caso F(S) è una funzione costante (non dipende da S) e coincide con la
corrispondente f. di t. in j:
F jU
IK( )
Osserviamo che
|F(j)| = K
e
<F(j) = 0 rad (se K>0) oppure <F(j) = rad (se K<0).
Nonostante la sua notevole semplicità, la modellizzazione puramente proporzionale
consente di descrivere, in prima approssimazione, il comportamento di molti sistemi
lineari. Ad esempio essa rappresenta abbastanza bene il funzionamento di amplificatori,
trasduttori , attuatori6 e in generale tutti quei sistemi in cui l'uscita risulta direttamente
proporzionale all'ingresso.
Tuttavia la modellizzazione puramente proporzionale costituisce una
idealizzazione del comportamento di un sistema reale, dal momento che prevede una
risposta in frequenza piatta e quindi una banda passante infinita ( par. 4.3). Infatti,
come si è visto, modulo e fase di F(j) risultano costanti per tutti i valori di . Nei
sistemi reali invece la risposta in frequenza presenta pressoché invariabilmente un
"taglio" alle alte frequenze. Tale "taglio" è dovuto ad effetti parassiti (cioè indesiderati) ,
di cui la modellizzazione puramente proporzionale non tiene conto7. Ciò significa che in
generale un sistema potrà essere descritto con sufficiente precisione da una
modellizzazione proporzionale ideale, solo se le frequenze del segnale di ingresso8 si
mantengono al di sotto della frequenza di taglio del sistema. Se viene superato tale
limite in frequenza, il valore della costante di proporzionalità decresce e il sistema
comincia ad introdurre uno sfasamento fra il segnale di uscita e il segnale di ingresso
( fig. 8.3). In questo caso, per descrivere il comportamento del sistema, occorre una
modellizzazione di ordine superiore ( par. 8.3.2).
6 I trasduttori (o sensori) sono sistemi che forniscono in uscita una grandezza (di solito una tensione o una corrente) direttamente proporzionale ad un'altra grandezza fisica. Servono per effettuare misure automatiche: ad esempio un trasduttore di temperatura fornisce in uscita una
tensione direttamente proporzionale alla temperatura misurata. Gli attuatori invece convertono una grandezza (di solito di tipo elettrico) in un'altra grandezza fisica proporzionale. Ad esempio un attuatore potrebbe trasformare la tensione di comando di una valvola nell'apertura o nella chiusura della valvola stessa. Sui trasduttori e sugli attuatori vedi le schede di approfondimento 10.2 e 10.3. 7 Sarebbe possibile dimostrare, in base a considerazioni più approfondite, che un sistema a banda infinita è fisicamente impossibile. 8 Le frequenze del segnale di ingresso sono quelle appartenenti allo spettro del segnale ( par. 6.3).
Limiti di validità della
modellizzazione puramente
proporzionale
10
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Risposta in frequenza di un
sistema "reale" e limiti di validità della modellizzazione puramente proporzionale
8.2.2 Modellizzazione puramente derivativa e proporzionale-
derivativa
Quella puramente proporzionale è solo la più semplice fra tutte le
modellizzazioni di ordine zero. Come si è già detto, sono infatti di ordine zero tutti
quelle modellizzazioni in cui funzione di trasferimento non contiene poli: non vi è però
nessuna limitazione sul numero degli zeri. Ad esempio è di ordine zero anche la
modellizzazione puramente derivativa (detta anche derivativa ideale), nella quale
l'equazione ingresso-uscita9 assume la forma:
u t Kdi t
dt( )
( )
Il nome è giustificato evidentemente dal fatto che un sistema descritto da questa
modellizzazione fornisce in uscita un segnale direttamente proporzionale alle derivata
del segnale di ingresso. La corrispondente funzione di trasferimento generalizzata in S
FU
IK S(S)
contiene solo uno zero nell’origine. Per quanto riguarda la funzione di trasferimento in
j abbiamo:
9 Attenzione, nonostante la presenza della derivata, non si tratta di un'equazione
differenziale. In un'equazione differenziale devono comparire le derivate dell'incognita
(le derivate dell'ingresso non hanno alcuna importanza).
11
F(j) = K. j
da cui
F j K F j( ) ( )
2
Come si può subito osservare, la risposta in frequenza della modellizzazione
puramente derivativa è ancora meno realistica di quella della modellizzazione
puramente proporzionale, in quanto prevede che il modulo cresca indefinitamente
all’aumentare della frequenza del segnale di ingresso ( fig. 8.4). Anche in questo caso
la validità della modellizzazione è in pratica sempre limitata alle basse frequenze (si
veda anche la trattazione della modellizzazione derivativa non ideale al paragrafo 8.3.3).
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. -
Grafico bilogaritmico della risposta in frequenza della
modellizzazione puramente derivativa
Altre modellizzazioni di ordine zero10, caratterizzate tutte da un andamento del
modulo di F(j) crescente con la frequenza, possono essere ottenute aumentando il
numero degli zeri in F(S). A titolo di esempio citiamo solo la modellizzazione
proporzionale-derivativa, caratterizzata dalla seguente funzione di trasferimento
F K S(S) 1
e dalla corrispondente relazione differenziale ingresso-uscita
10 Poiché l'ordine della modellizzazione non dipende dal numero di zeri della funzione di trasferimento (ovvero il numero di derivate dell'ingresso nella relazione differenziale ingresso-uscita), ne consegue che è possibile "inventare" infinite modellizzazioni di ordine zero, semplicemente aggiungendo derivate dell'ingresso nella equazione differenziale e zeri nella funzione di trasferimento generalizzata. La maggior parte di tali modellizzazioni presenta però un interesse puramente teorico, non essendo in pratica quasi mai utilizzate.
Limiti di validità della
modellizzazione puramente derivativa
Modellizzazione proporzionale-
derivativa
12
u t Kdi t
dtK i t( )
( )( )
Come si può notare il nome di questa modellizzazione ha origine dalla presenza, nella
relazione differenziale ingresso uscita, di una parte direttamente proporzionale al
segnale di ingresso e di una parte proporzionale alla derivata del segnale di ingresso.
Incontreremo ancora questo tipo di modelli nel paragrafo 10.4, parlando del regolatore
proporzionale-derivativo.
Per quale ragione con un modello di ordine zero è possibile rappresentare un comportamento derivativo
e non un comportamento integrativo? Spiegare.
8.3 Modellizzazioni di ordine uno
Tutte le modellizzazioni di ordine uno, a seconda del particolare modello
matematico considerato, presentano le seguenti caratteristiche generali:
a) C'è una sola variabile di stato. b) L'equazione differenziale ingresso-uscita contiene solo la
derivata prima del segnale di uscita (non c'è invece alcun limite al numero di derivate del segnale di ingresso).
c) La corrispondente funzione di trasferimento generalizzata F(S)
contiene solo un polo. Come già visto nel caso delle modellizzazioni di ordine zero, non vi è invece nessuna limitazione sul numero degli zeri (gli zeri infatti non influiscono sull’ordine del sistema).
Dal punto di vista delle caratteristiche fisiche dei sistemi, le modellizzazioni di ordine
uno sono adatte per descrivere sistemi nei quali è presente un unico serbatoio di energia
e che manifestano una risposta libera di tipo esponenziale decrescente11. Per quanto
riguarda la risposta in frequenza, come si vedrà meglio nel seguito, le modellizzazioni di
ordine uno presentano una banda passante limitata alle alte frequenze se la f. di t.
generalizzata non contiene zeri; viceversa, in presenza di zeri, la banda passante risulta
illimitata.
8.3.1 Modellizzazione puramente integrativa
La più semplice modellizzazione di ordine uno (modellizzazione puramente
integrativa o integrativa ideale) è caratterizzata dalla presenza in F(S) di un solo polo
nella origine. La funzione di trasferimento generalizzata assume dunque la seguente
forma
11 L'unica eccezione è rappresentata dalla risposta libera della modellizzazione puramente
integrativa, che è costituita da un termine costante ( par. 8.3.1).
?
13
FK
S(S)
e la corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita è la seguente
du t
dtK i t
( )( )
Non è difficile osservare come la precedente equazione differenziale corrisponda ad una
equazione iterativa in forma degenere ( par. 6.6 vol. 1). Approssimando infatti la
derivata con il rapporto incrementale, abbiamo subito
u t t u t t K i t( ) ( ) ( )
E' interessante osservare che, data la relazione generale esistente fra i poli p di una
funzione di trasferimento generalizzata e le costanti di tempo dei termini esponenziali
della risposta libera ( par. 7.9)
1
p
ad un polo nullo corrisponde una costante di tempo di valore infinito. Ciò si accorda
perfettamente col fatto già noto che le equazioni iterative in forma degenere presentano
una costante di tempo infinitamente grande.
Abbiamo già incontrato questo tipo di modellizzazione nei paragrafi 4.4 e 5.4.2
trattando del circuito integratore invertente con operazionale. Integrando ambo i membri
dell'equazione differenziale ingresso-uscita si ottiene infatti:
du t
dtdt K i t dt
u t u K i t dt
t t
t
( ' )
'' ( ' ) '
( ) ( ) ( ' ) '
0 0
0
0
da cui infine
u t u K i t dt
t
( ) ( ) ( ' ) ' 00
In conclusione12, con questa modellizzazione l'uscita risulta proporzionale all'integrale
dell'ingresso (questa è la ragione del nome). Si noti che, oltre il termine proporzionale,
c'è anche un termine costante u(0), pari al valore iniziale dell'uscita stessa. Ciò è dovuto
al fatto che l'integrale definito
12 Sebbene l'uscita sia stata ricavata in questo caso integrando direttamente l'equazione differenziale, volendo, sarebbe possibile applicare il metodo risolutivo basato sulla trasformata di Laplace illustrato nel capitolo 7. Va da sé che i risultati ottenuti sarebbero gli stessi. Bisogna però osservare che, per poter usare il metodo della trasformata di Laplace, occorre specificare il segnale di ingresso considerato.
14
du t
dtdt
t( ' )
''
0
ha come primitiva13 u(t) e tale primitiva dev'essere calcolata nei due estremi di
integrazione 0 e t.
Non è difficile vedere che il termine costante u(0) rappresenta la risposta libera
della modellizzazione puramente integrativa. Infatti in generale la risposta libera di un
sistema di ordine uno ha un andamento esponenziale decrescente del tipo
e
t
In questo caso tuttavia la costante assume un valore infinito e ciò corrisponde
intuitivamente a una risposta libera esponenziale che "non decresce mai", cioè in pratica
a una risposta libera costante.
Il comportamento previsto dalla modellizzazione puramente integrativa è poco
realistico14 (per questo motivo viene anche detta integrativa ideale) in quanto,
applicando in ingresso al sistema un segnale costante, l’uscita del sistema dovrebbe
crescere all'infinito: infatti l'integrale di un termine costante è una retta crescente. Tale
comportamento può anche essere facilmente dedotto dalla risposta in frequenza, come
mostra la figura 8.5. Infatti un segnale costante equivale a una sinusoide degenere con
= 0 ( par. 4.1) e in corrispondenza di = 0 il modulo della risposta in frequenza (cioè
il guadagno subito dal segnale di ingresso) tende all'infinito (a causa della presenza del
polo nullo).
13 La variabile di integrazione è stata indicata con t' per distinguerla dall'estremo di integrazione t. Si tratta di un semplice formalismo matematico, di cui lo studente non deve preoccuparsi troppo. 14 Questo comportamento poco realistico è comune anche alle modellizzazioni di ordine uno che, oltre al polo nell’origine, presentano uno o più zeri (non nell’origine). A causa della presenza del polo in S = 0, il sistema manifesta sempre un’uscita crescente nel tempo con segnali di ingresso costanti. Un esempio di sistema descritto da un modello di questo tipo è rappresentato dal regolatore proporzionale-integrale, di cui si parlerà nel paragrafo 11.5.
Risposta libera della
modellizzazione puramente integrativa
15
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Diagramma di Bode del
modulo della risposta in frequenza di una modellizzazione integrativa ideale
Poiché, come si è detto, nessun sistema può mai produrre un'uscita sempre
crescente, è dunque ovvio che la modellizzazione puramente integrativa può costituire
solo una approssimazione del comportamento di un sistema reale. Per esempio, in un
circuito integratore con operazionale, in presenza di un segnale continuo di ingresso,
normalmente l'uscita cresce fintantoché l'operazionale non entra in saturazione15. E'
interessante osservare come ciò corrisponde al manifestarsi nel sistema di un
comportamento di tipo non lineare.
8.3.2 Modellizzazione proporzionale a banda limitata (di ordine uno)
Un'altra modellizzazione di ordine uno è quella detta proporzionale con banda
limitata o proporzionale reale, caratterizzata dalla seguente funzione di trasferimento
generalizzata in S:
FK
S(S)
1
e dalla seguente equazione differenziale ingresso-uscita
du t
dtu t K i t
( )( ) ( )
15 In un integratore con operazionale, segnali di ingresso costanti sono spesso presenti (anche se non desiderati) a causa delle tensioni e delle correnti di "offset". Per questa ragione, i circuiti puramente integrativi (o integratori ideali) sono scarsamente usati nella pratica. Normalmente si preferisce ricorrere a circuiti pseudo-integrativi (o integratori reali), i quali presentano un comportamento integrativo solo per segnali di ingresso variabili nel tempo. Un integratore reale
può essere descritto per mezzo di una modellizzazione proporzionale a banda limitata ( par. 8.3.2).
16
In questo caso F(S) presenta un solo polo di valore -1/. La risposta libera del sistema è
costituita da un esponenziale decrescente con costante di tempo . Dal punto di vista del
comportamento in frequenza, un sistema di questo tipo ha una risposta di tipo “filtro
passa-basso”, con guadagno in banda passante uguale a K e pulsazione di taglio16 pari a
1/. Per valori di frequenza superiori alla pulsazione di taglio, il modulo della risposta in
frequenza ha (su un grafico bilogaritmico) un andamento rettilineo decrescente, con
pendenza -20dB/decade ( fig. 8.6).
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Risposta in frequenza della
modellizzazione proporzionale con banda limitata e confronto con le
modellizzazioni puramente proporzionale e puramente integrativa
Si osservi che, in banda passante (cioè per pulsazioni inferiori a 1/), la risposta
in frequenza della modellizzazione coincide in pratica con quella di una
modellizzazione puramente proporzionale ( par. 8.2.1). Pertanto questa
modellizzazione si presta bene a descrivere il fenomeno di attenuazione alle alte
frequenze presente in tutti i sistemi proporzionali reali (per questo motivo viene anche
detta proporzionale reale).Pertanto, dato un sistema di tipo proporzionale (per esempio
un amplificatore), se la sua banda passante risulta sufficientemente ampia (rispetto alle
frequenze delle armoniche del segnale di ingresso), allora, come abbiamo già osservato
nel paragrafo 8.2.1, è possibile descriverlo con una modellizzazione puramente
proporzionale (di ordine zero). Viceversa, se il segnale applicato in ingresso ha
armoniche con frequenze superiori alla frequenza di taglio del sistema, è necessario
utilizzare una modellizzazione proporzionale a banda limitata17. In base alle
16 Per questo tipo di sistema già sappiamo che il valore della pulsazione di taglio coincide
esattamente col valore dell’unica break-frequency del diagramma di Bode ( par. 5.3.3). 17 In realtà anche la modellizzazione proporzionale con banda limitata di ordine uno rappresenta una approssimazione del comportamento dei sistemi reali, i quali presentano di solito più di un polo e quindi più di una break-frequency. In tali casi, per descrivere il sistema è necessario ricorrere a modelli di ordine superiore (si veda la modellizzazione proporzionale con banda limitata di ordine due nel paragrafo 8.4.1).
Comportamento proporzionale
17
considerazioni svolte nel paragrafo 6.3 sul legame esistente fra banda di un segnale e
rapidità di variazione del segnale stesso, possiamo dunque affermare che
in pratica la modellizzazione proporzionale di ordine zero si applica in presenza di segnali di ingresso costanti o lentamente variabili nel tempo; per segnali a rapida variazione risulta invece indispensabile usare una modellizzazione di ordine uno (o superiore).
Dal punto di vista delle caratteristiche fisiche del sistema modellizzato, si può
facilmente vedere come il taglio alle alte frequenze possa essere in generale ricondotto
alla presenza di un qualche tipo di fenomeno inerziale18. Ad esempio consideriamo un
trasduttore di temperatura, cioè un dispositivo che fornisce in uscita una tensione
direttamente proporzionale alla temperatura ambientale. Affinché esso possa misurare
correttamente la temperatura esterna, è necessario che il corpo del trasduttore sia in
equilibrio termico con l’ambiente, cioè occorre che la temperatura del dispositivo sia
uguale alla temperatura dell’ambiente. Se quest'ultima cambia, la temperatura del
trasduttore deve adeguarsi a tale cambiamento, affinché esso possa fornire una misura
corretta. Tale processo richiede comunque un certo tempo, legato alla costante di tempo
del sistema. In presenza di variazioni di temperatura troppo rapide, il trasduttore
potrebbe non essere in grado di seguirle fedelmente, a causa della propria inerzia
termica. Questo fenomeno può essere immediatamente messo in relazione con una
limitazione di banda del sistema. Infatti, come si è detto, un segnale a rapida variazione
è un segnale a banda larga, cioè contenente armoniche con frequenze elevate: se la
banda del sistema è limitata, tali armoniche vengono attenuate e sfasate ed il sistema
introduce una distorsione in frequenza sul segnale ( 6.5). Ciò significa che l’uscita
non può essere esattamente proporzionale al segnale di ingresso.
D'altra parte la relazione fra la larghezza di banda e la costante di tempo del
sistema risulta anche evidente dalla formula che esprime la pulsazione di taglio ( par.
5.3.3):
t 1
L'espressione precedente mette in evidenza il fatto che, al crescere della costante di
tempo del sistema, diminuisce la frequenza di taglio e dunque anche la larghezza di
banda (e viceversa). Dunque19 ad una banda passante "larga" corrisponde un sistema
18 Per "inerzia" di un sistema si intende qui la proprietà di ogni sistema fisico di
mostrare resistenza nei confronti di brusche variazioni degli ingressi. Ad esempio
l'inerzia di un oggetto sottoposto improvvisamente all'azione di una forza esterna fa sì
che il corpo acceleri gradatamente, con accelerazione tanto più bassa quanto maggiore è
la massa dell'oggetto. Allo stesso modo un corpo tende ad opporsi a brusche variazioni
della propria temperatura (inerzia termica). In generale i fenomeni inerziali sono legati
alla costante di tempo del sistema, nel senso che sistemi con una grande costante di
tempo presentano una inerzia maggiore e viceversa. 19 Bisogna fare attenzione per evitare confusioni: un sistema "veloce" ha una banda
larga, cioè una frequenza di taglio elevata; un segnale "a rapida variazione" ha una
banda (di segnale) larga, cioè presenta armoniche con frequenze elevate. Per evitare che
Inerzia, costante di
tempo e limitazione di
banda
18
“veloce” (piccola costante di tempo), mentre ad una banda "stretta" corrisponde un
sistema “lento” (costante di tempo elevata). I sistemi di ordine zero, che hanno banda
passante infinitamente larga (non c'è alcuna frequenza di taglio) sono anche
infinitamente veloci, nel senso che rispondono istantaneamente alla applicazione di un
segnale di ingresso (non presentano infatti alcuna risposta libera).
Osserviamo ancora dalla figura 8.6 che, per frequenze superiori alla frequenza di
taglio, la risposta in frequenza della modellizzazione proporziona con banda limitata
coincide con quella del modella modellizzazione integrativa ideale: si tratta infatti di
una retta decrescente con pendenza -20 dB/dec sul grafico bilogaritmico. Ciò significa
che il sistema si comporta da integratore nei confronti dei segnali di ingresso con
frequenza superiore20 a quella di taglio del sistema. Per questo motivo la
modellizzazione proporzionale con banda limitata viene anche detta modellizzazione
integrativa reale: a differenza della modellizzazione integrativa ideale, in questo caso
infatti il sistema non si comporta da integratore nei confronti dei segnali di ingresso
costanti o lentamente variabili. La figura 8.7 mostra i diversi comportamenti di un
sistema proporzionale con banda limitata nei confronti di un onde quadre di ingresso
con diverse frequenze.
un segnale "a rapida variazione" subisca una distorsione in frequenza occorre che il
sistema sia "veloce". 20 Se il segnale contiene più armoniche, si ha un effetto integrativo se l'armonica fondamentale (quella a frequenza più bassa) ha una frequenza superiore alla frequenza di taglio del sistema.
Comportamento integrativo
19
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Risposta di
una modellizzazione proporzionale a banda limitata a onde
quadre di ingresso con diverse frequenze
Si osservi come, per segnali di ingresso a bassa frequenza, il segnale di uscita conserva
ancora una forma d'onda simile a quella dell'ingresso (assomigli ancora a un'onda
quadra, a parte un leggero "arrotondamento" dovuto alla risposta libera). All'aumentare
della frequenza però il segnale di uscita si modifica: la sua ampiezza diminuisce e la sua
forma d'onda si avvicina sempre di più a quella di un'onda triangolare21. Ma l'onda
21 Dalla figura 8.7 si può osservare come l'onda triangolare venga a formarsi,
all'aumentare della frequenza dell'onda quadra di ingresso, a causa del raccordo di due
tratti con andamento esponenziale (in corrispondenza del fronte di salita e del fronte di
discesa dell'ingresso). Poiché il tratto iniziale di una curva esponenziale presenta un
andamento praticamente rettilineo, ne consegue che, quando la frequenza dell'onda
quadra di ingresso diventa molto elevata, il segnale di uscita viene ad essere costituito
dall'unione fra due segmenti di retta e dunque assume una forma di tipo triangolare.
20
triangolare può essere ottenuta calcolando l'integrale di un'onda quadra: ciò significa,
come già osservato, che il sistema, alle alte frequenze, si comporta da integratore nei
confronti del segnale di ingresso. E' interessante notare come tale comportamento di tipo
integrativo si possa osservare non solo nei circuiti integratori, ma anche in altri casi,
come per esempio negli amplificatori o nei filtri passa-basso del primo ordine (quando
le frequenze del segnale di ingresso sono superiori alla frequenza di taglio). In sostanza
non esiste nessuna differenza fra le modellizzazioni di un integratore reale (cioè in
grado di integrare solo i segnali variabili nel tempo), di un filtro passa-basso del primo
ordine o di un amplificatore. Tutti i precedenti sistemi (e molti altri) possono essere
descritti per mezzo della stessa modellizzazione proporzionale a banda limitata.
8.3.3 Modellizzazione derivativa reale
Un'altra semplice modellizzazione del primo ordine è la modellizzazione
derivativa reale, caratterizzata da una funzione di trasferimento che presenta un polo
non nullo e uno zero nella origine:
FK S
S(S)
1
La corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita è la seguente
du t
dtu t K
di t
dt
( )( )
( )
La risposta libera è di tipo esponenziale decrescente come nella modellizzazione
proporzionale a banda limitata (la risposta libera dipende infatti solo dai poli e cioè dal
denominatore della funzione di trasferimento).
Si noti che, in questo caso, se il segnale di ingresso è costante, l’uscita del
sistema è nulla, a causa della presenza della derivata dell’ingresso (la derivata di una
costante è infatti sempre uguale a zero). Il sistema non risponde dunque all'applicazione
di un ingresso costante e ciò può essere osservato anche dal grafico della risposta in
frequenza ( fig. 8.8). Infatti il modulo22 tende a zero per tendente a zero (cioè
quando il segnale di ingresso è continuo). L'andamento del grafico della risposta in
frequenza è quello di un filtro passa-alto (del primo ordine).
22 Anche se la modellizzazione derivativa viene detta reale, la sua risposta in frequenza non trova riscontro nei sistemi reali, in quanto essa non presenta nessuna limitazione alle alte frequenze. Il termine "reale" viene dunque usato per distinguerla dalla modellizzazione derivativa
"ideale" (la cui risposta in frequenza cresce addirittura all'aumentare di ) presentata nel paragrafo 8.2.2
21
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modulo della
risposta in frequenza di una modellizzazione derivativa reale e
confronto con la modellizzazione puramente proporzionale e la
modellizzazione puramente derivativa
Il valore del guadagno in banda passante può essere ricavato dalla espressione analitica
del modulo calcolando il limite per tendente all'infinito:
F j
K K( )
12
Anche in questo caso il valore della pulsazione di taglio coincide con la break-frequency
del diagramma di Bode (b = 1/).
Il comportamento derivativo della modellizzazione viene messo in evidenza dal
grafico della risposta in frequenza. Infatti il modulo, alle basse frequenze, presenta lo
stesso andamento rettilineo e crescente con pendenza +20 dB/dec già incontrato nel caso
della modellizzazione puramente derivativa ( par. 8.2.2). Un filtro passa-alto del
primo ordine può dunque essere usato come derivatore (alle basse frequenze). In effetti
ciò risulta generalmente preferibile per le applicazioni pratiche (rispetto ad un derivatore
"ideale"), in quanto in questo modo non si ha un guadagno crescente al crescere della
frequenza. Per frequenze di ingresso superiori alla frequenza di taglio invece la
modellizzazione derivativa reale presenta un comportamento di tipo proporzionale.
A conclusione del paragrafo, sulla base delle osservazioni precedenti, possiamo
enunciare la seguente regola generale:
se il grafico bilogaritmico del modulo della risposta in frequenza presenta un tratto con prolungata pendenza -20 dB/dec, ciò implica che per la banda di frequenze corrispondente il sistema si comporta da integratore; se invece il grafico presenta un tratto con prolungata
Comportamento derivativo e
proporzionale
22
pendenza +20 dB/dec, per la banda di frequenze corrispondente il sistema si comporta da derivatore.
La modellizzazione puramente integrativa presenta una risposta libera con andamento costante. Questo
significa che il sistema non deve dissipare energia verso l'esterno? Può aversi una risposta libera che non
si estingue in presenza di dissipazione?
La modellizzazione puramente integrativa prevede che il guadagno del sistema sia infinitamente elevato
per segnali di ingresso continui ( = 0). Ciò, come si è detto, non avviene in pratica a causa del fenomeno
della saturazione, che limita l'ampiezza del segnale di uscita. Come sarebbe dunque possibile
rappresentare l'andamento della risposta in frequenza di un integratore con saturazione? La domanda ha
senso?
E' corretto affermare che la larghezza di banda di un sistema dipende dal valore delle sue costanti di
tempo? Spiegare.
Inventare una modellizzazione di ordine uno diversa da quelle presentate nel paragrafo 8.3. Per tale
modellizzazione scrivere la funzione di trasferimento generalizzata e l'equazione differenziale ingresso-
uscita e discutere il comportamento nel tempo e in frequenza.
8.4 Modellizzazioni di ordine due
Tutte le modellizzazioni di ordine due, a seconda del particolare modello matematico
considerato, presentano le seguenti caratteristiche generali:
a) Ci sono due variabili di stato. b) L'equazione differenziale ingresso-uscita contiene la derivata
seconda del segnale di uscita. c) La corrispondente funzione di trasferimento generalizzata in F(S)
contiene due poli. Come già visto nei paragrafi precedenti, non vi è invece nessuna limitazione sul numero degli zeri in F(S) (gli zeri infatti non influiscono sull’ordine del sistema).
Dal punto di vista delle caratteristiche fisiche dei sistemi, le modellizzazioni di
ordine due sono adatte per descrivere sistemi nei quali sono presenti due serbatoi di
energia e la cui risposta libera può essere formata, a seconda dei casi, da una
combinazione lineare di due esponenziali decrescenti oppure da un'oscillazione
sinusoidale smorzata. Per quanto riguarda la risposta in frequenza, la banda risulta
limitata se il numero dei poli risulta superiore a quello degli zeri23, cioè se F(S) contiene
al massimo un solo zero.
23 Questa regola vale in generale anche per sistemi di ordine superiore: se il numero dei
poli supera il numero degli zeri, allora certamente
F j( )
0
Se invece il numero degli zeri è uguale al numero dei poli
F j C( )
dove C è un valore costante reale. Se infine il numero degli zeri è maggiore del numero
dei poli
?
23
8.4.1 Modellizzazione proporzionale con banda limitata (di ordine due)
La prima modellizzazione del secondo ordine che prendiamo in considerazione è
caratterizzata dalla presenza di due poli reali nella funzione di trasferimento:
F
K
S S(S)
1 11 2
La corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita è la seguente:
1 2
2
2 1 2
d u t
dt
du t
dtu t K i t
( )( )
( )( ) ( )
La modellizzazione presenta la seguente risposta libera (che si può calcolare in base al
valore dei poli della f. di t.):
u t C e
t
C e
t
L ( )
11
22
Supponendo che si abbia ‘1>2’, il diagramma di Bode del modulo della risposta in
frequenza è quello mostrato in figura 8.9
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. -
Modulo della risposta in frequenza di una
modellizzazione proporzionale con banda limitata del
secondo ordine
F j( )
Le ultime due condizioni, come è stato più volte ricordato, sono fisicamente impossibili,
dal momento che la risposta in frequenza deve sempre presentare un taglio alle alte
frequenze.
24
La risposta in frequenza è evidentemente quella di un filtro passa-basso: rispetto
al filtro passa-basso del primo ordine studiato nel paragrafo 8.3.2, questo presenta un
tratto della curva del modulo a pendenza -40 dB/decade. La modellizzazione presenta
un comportamento di tipo proporzionale per pulsazioni di ingresso di valore inferiore
alla prima break-frequency. Anche questa modellizzazione può dunque essere utilizzata
per descrivere sistemi proporzionali: rispetto alla modellizzazione proporzionale a
banda limitata di ordine uno, quella di ordine due consente di rappresentare sistemi con
due diverse costanti di tempo ( par. 8.6). La banda integrativa della modellizzazione è
in questo caso limitata alla zona in cui il grafico del modulo ha una pendenza di -20
dB/dec (tra le due break-frequency).
8.4.2 Modellizzazione a banda centrale
Un altra modellizzazione del secondo ordine cui vale la pena di accennare è
quella caratterizzata dalla seguente funzione di trasferimento:
F S
K S
S S( )
1 11 2
In questo caso oltre a due poli reali, si ha anche la presenza di uno zero nella origine. La
corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita è la seguente:
1 2
2
2 1 2
d u t
dt
du t
dtu t K
di t
dt
( )( )
( )( )
( )
L’unica differenza24 rispetto alla precedente modellizzazione è la presenza della derivata
dell’ingresso: a causa di tale derivata il sistema non è in grado di rispondere a segnali di
ingresso di tipo costante ( par. 8.2.2). Il diagramma di Bode del modulo della risposta
in frequenza è quello mostrato in figura 8.10
24 Per quanto riguarda la risposta libera, poiché essa non dipende dal segnale di ingresso e dalle sue derivate, essa è sempre data dalla somma di due esponenziali decrescenti.
Comportamento proporzionale e
integrativo
25
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modulo
della risposta in frequenza della modellizzazione a banda centrale
Come si può osservare la risposta in frequenza di questo sistema ha un andamento del
tipo filtro passa-banda con una banda passante centrale compresa fra le due break-
frequency (per questo motivo la modellizzazione viene detta a banda centrale).
Poiché il guadagno in banda passante è costante25, ne consegue che, per le
frequenze intermedie, questa modellizzazione presenta un comportamento di tipo
proporzionale. Per pulsazioni inferiori alla prima break-frequency invece il
comportamento è di tipo derivativo (pendenza + 20 dB/dec sul diagramma di Bode),
mentre per pulsazioni superiori alla seconda break-frequency il comportamento è di tipo
integrativo (pendenza - 20 dB/dec sul diagramma di Bode).
8.4.3 Modellizzazione risonante del secondo ordine
Consideriamo adesso un ultimo tipo di modellizzazione del secondo ordine,
caratterizzata dalla presenza in F(S) di due poli complessi e coniugati:
FK
A S B S(S)
2 1
Questo tipo di f. di t. è stato già studiato nei paragrafi 5.8 e 7.8. I poli sono complessi e
coniugati se
QA
B
1
2
Come noto, in presenza di poli complessi e coniugati la risposta libera del sistema è di
tipo oscillante. Inoltre il diagramma di Bode del modulo della risposta in frequenza
25 Il valore del guadagno in banda passante può essere ricavato osservando che il modulo vale
K per =1 e cresce nel primo tratto come una retta con pendenza unitaria: infatti, se non
intervenissero poli, esso raggiungerebbe il valore 10.K in =10. Dunque M=K nel primo tratto a
pendenza rettilinea: pertanto in =1/1 si ha M=K.1/1=K.1.
Comportamento proporzionale,
derivativo e integrativo
26
presenta un caratteristico "picco" in corrispondenza della pulsazione naturale ( fig.
8.11)
nA
1
Come sappiamo, questa particolare risposta in frequenza indica che il sistema entra in
risonanza per valori di pulsazione26 del segnale di ingresso prossimi a n. Questa
modellizzazione si presta dunque bene per descrivere sistemi risonanti. Osserviamo
infine che per pulsazioni inferiori a n la risposta in frequenza presenta una banda di
comportamento proporzionale.
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. -
Modulo della risposta in frequenza della
modellizzazione del secondo ordine risonante
8.5 Approssimazione del polo dominante
Nei paragrafi precedenti abbiamo passato in rassegna alcune modellizzazioni di
ordine zero, uno e due. Aumentando ulteriormente il numero di poli della funzione di
trasferimento generalizzata, si possono ottenere modellizzazioni di ordine superiore.
Tuttavia in genere i modelli di ordine superiore al secondo sono piuttosto complicati da
studiare e difficili da calcolare, per cui non si è ritenuto opportuno includerli nella nostra
trattazione. Vedremo però adesso come, in certe condizioni, sia possibile approssimare
un modello di ordine superiore per mezzo di un modello più semplice di ordine
inferiore, mantenendo un grado di precisione accettabile.
Consideriamo nuovamente la modellizzazione proporzionale con banda limitata
del secondo ordine ( par. 8.4.1). La corrispondente funzione di trasferimento
generalizzata in forma standard (scritta anche in modo da mettere in evidenza le break-
frequency) è la seguente:
26 Sulla distinzione fra pulsazione naturale n, pulsazione di risonanza r e pulsazione libera L, si veda la scheda di approfondimento 7.1
27
F S K
S SK
S S
b b
( )
1
1 1
1
1 11 2
1 2
dove
b b1
1
2
2
1 1
I due poli reali hanno valore
p1 = - b1 p2 = - b2
Supponiamo adesso che uno dei due poli sia molto più piccolo (in valore
assoluto) dell'altro. Senza perdere in generalità, possiamo ad esempio porre
| p1 | << | p2 |
Di solito un polo può essere considerato "molto più piccolo" di un altro se esiste almeno
un fattore dieci (cioè una decade) di differenza. Dalla relazione precedente si ha come
conseguenza che
b1 << b2 e 1 >> 2
Applichiamo ora a F(S) la scomposizione in fratti semplici ( par. 7.6.1):
F K
S S
A
S
B
S
b b
b b
(S)
1
1 11 2
1 2
Calcolando il valore dei residui si ricava
AK
B A
b b
b b
1 2
2 1
da cui
F
A
S
B
S
K
S
K
Sb b
b b
b b
b
b b
b b
b
(S)
1 2
1 2
2 1
1
1 2
2 1
2
Nella ipotesi che b2 sia molto più grande di b1, si ha che
b2 >> b1 b2 - b1 b2
Pertanto, sostituendo la precedente approssimazione nell'espressione di F(S), abbiamo
28
F
K
S
K
S
K
S
K
S
K
S
K
S
b b
b b
b
b b
b b
b
b b
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
(S)
1 2
2 1
1
1 2
2 1
2
1 2
2
1
1 2
2
2
1
1
1
2
Osserviamo che il denominatore della seconda frazione risulta certamente più grande del
denominatore della prima, a causa del fatto che b2 >> b1. Pertanto la seconda frazione
risulta certamente più piccola della prima (i due numeratori sono infatti uguali) e può
dunque essere trascurata. Abbiamo quindi
F
K
S
K
S
K
S
K
S
b
b
b
b
b
b
b
(S)
1
1
1
2
1
1
1
1
Abbiamo così dimostrato che
F KS S
KS
b b b
(S)
1
1 1
1
11 2 1
Osserviamo che, se uno dei due poli risulta molto più piccolo dell'altro, la
funzione di trasferimento può essere approssimata trascurando il termine dovuto al polo
più grande. In pratica il sistema sembra comportarsi come se in esso fosse presente
soltanto il polo più piccolo (detto polo dominante). Ciò risulta anche evidente
confrontando gli andamenti del modulo della risposta in frequenza nei due casi ( fig.
8.12).
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Confronto fra la risposta in
frequenza della modellizzazione del secondo ordine e quella del primo ordine
approssimata col polo dominante
Polo dominante: risposta in frequenza
29
Si piò facilmente osservare che, per frequenze sufficientemente inferiori a b2, la
risposta in frequenza della modellizzazione del secondo ordine è praticamente identica a
quella della modellizzazione del primo ordine.
L'effetto del polo dominante può anche essere osservato nella risposta libera del
sistema. Infatti, in generale, la risposta libera di un modellizzazione di ordine due con
poli reali e negativi27, è data dalla somma di due esponenziali decrescenti ( par. 7.8):
u t C e
t
C e
t
L ( )
11
22
Si noti che, fra le due esponenziali, la più "importante" è quella con costante di tempo
maggiore: infatti essa si estingue più lentamente e dunque permane più a lungo nella
risposta del sistema. In pratica, se una delle due costanti di tempo risulta molto
maggiore dell’altra, allora la costante di tempo più piccola può essere trascurata. Cioè,
in prima approssimazione, la risposta libera è sostanzialmente formata solo
dall’esponenziale che decresce più lentamente. Ad esempio, se 1>>2 allora, in prima
approssimazione:
u t C e
t
L ( )
11
Si osservi come in questo caso la risposta libera sia praticamente uguale a quella di un
sistema di ordine uno ( fig. 8.13). La condizione 1>>2 implica che b1 << b2, cioè
la presenza di un polo dominante.
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Confronto fra la
risposta libera del secondo ordine e quella del primo ordine
approssimata col polo dominante
Possiamo estendere le considerazioni precedenti anche a modelli di ordine superiore al
secondo.
27 Nella maggior parte dei casi di interesse pratico i poli reali sono sempre negativi. Della possibile presenza di poli reali positivi discuteremo ancora nel successivo capitolo 9.
Polo dominante: risposta libera
30
In generale possiamo affermare che, se in un sistema è presente un polo dominante (cioè un polo di valore assoluto molto più piccolo28 rispetto a tutti gli altri poli), allora il sistema si comporta in prima approssimazione come un sistema del primo ordine che abbia come unico polo il polo dominante del sistema.
Questa approssimazione, laddove è applicabile, consente di semplificare notevolmente
la trattazione dei sistemi di ordine superiore. E' anche importante osservare che, per
poter applicare correttamente l'approssimazione del polo dominante, occorre scrivere
F(S) in forma standard ed eliminare quindi da tale scrittura tutti i termini tranne quello
corrispondente al polo dominante (si veda l'esercizio risolto in fondo al paragrafo).
Vediamo in conclusione quali condizioni devono essere verificate affinché un
sistema presenti un polo dominante rispetto a tutti gli altri. Come sappiamo, le costanti
di tempo di un sistema sono tante quante i poli e rappresentano fenomeni inerziali
presenti nel sistema stesso ( par. 8.3.2). Un sistema con più costanti di tempo è
dunque un sistema il quale manifesta differenti comportamenti inerziali (rappresentati
dai termini esponenziali decrescenti nella risposta libera). Tali comportamenti possono
essere dovuti a fenomeni fisici dello stesso tipo, come avviene ad esempio in un circuito
in cui siano presenti due gruppi RC oppure in un sistema termico con più capacità e
resistenze termiche; in altri sistemi i fenomeni inerziali in gioco sono di tipo differente,
come avviene per esempio in un motore elettrico ( par. 8.6), il quale è solitamente
caratterizzato da un’inerzia di tipo elettrico (dovuta alle resistenze ed alle capacità
interne al motore) e da un’inerzia di tipo meccanico (dovuta alla massa ed agli attriti
nell’elemento rotante). In questo secondo caso, a causa della natura fisica differente dei
fenomeni fisici presenti nel sistema, l’approssimazione del polo dominante risulta
sovente applicabile: ad esempio in un motore elettrico di solito la costante di tempo
elettrica risulta di valore notevolmente inferiore alla costante di tempo meccanica del
sistema (e dunque è presente un polo dominante). Se i invece fenomeni inerziali sono
dello stesso tipo, spesso l’approssimazione del polo dominante non può essere applicata
(e bisogna dunque utilizzare il modello completo29).
ESERCIZIO SVOLTO Sia dato il seguente circuito:
28 Lo studente presti attenzione al fatto che il polo dominante è quello di valore assoluto
più piccolo (al quale corrisponde la costante di tempo più grande). 29 L'approssimazione del polo dominante non può essere applicata in particolare quando i poli del sistema sono complessi e coniugati con coefficiente di qualità Q elevato. Talvolta, quando non è possibile individuare nessun polo dominante, si può sostituire una coppia di poli molto vicini (cioè con una distanza inferiore ad una decade) con un unico polo di molteplicità due e di valore pari alla media fra i due poli: questa approssimazione fornisce risultati abbastanza accettabili e semplifica il tracciamento dei diagrammi di Bode.
31
L = 16 H R1 = 10 k R2 = 100 k C1 = C2 = 1 F
a) Ricavare la F(S) e la corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita.
b) Calcolare i poli e verificare se esiste un polo dominante.
c) Se è possibile, applicare l'approssimazione del polo dominante a F(S) scritta in forma standard.
d) Ricavare l'equazione differenziale ingresso-uscita approssimata col polo dominante.
SOLUZIONE:
a) Ricaviamo la funzione di trasferimento applicando il metodo delle impedenze complesse:
F S
RSC
RSC
SL RSC
R
SC
SC R
SC
S LC SC R
SC
R
SC R
SC
S LC SC R
SC R
SC R S LC SC R
( )
2
2
2
2
1
1
2
2
2 2
2
2
1 1 1
1
2
2 2
1
2
1 1 1
1 2
2 2
2
1 1 1
1
1
1
1
1 1 1
1 1
L'espressione così ottenuta risulta particolarmente utile per il calcolo dei poli (si veda il successivo punto
b). Per ricavare l'equazione differenziale ingresso-uscita occorre invece svolgere il prodotto fra i due
termini a denominatore:
F SSC R
SC R S LC SC R
SC R
S LC C R S LC C R C R S C R C R
( )
1 2
2 2
2
1 1 1
1 2
3
1 2 2
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1
1
La corrispondente equazione differenziale ingresso-uscita è infine la seguente:
LC C Rd v
dtLC C R C R
d v
dtC R C R
dv
dtv C R
dv
dt
u u u
u
in
1 2 2
3
3 1 2 2 1 1
2
2 2 2 1 1 1 2
b) Calcoliamo i poli, utilizzando l'espressione di F(S) con il prodotto di due termini a denominatore.
Abbiamo dunque:
pC R
pC R C R LC
LC
1
2 2
2 3
1 1 1
2
1
1
110
4
2125 500
,
\,
Come si può osservare, p1 risulta più di dieci volte inferiore (in valore assoluto) degli altri due poli e
costituisce pertanto il polo dominante.
c) Per applicare l'approssimazione del polo dominante occorre per prima cosa scrivere F(S) in forma
standard. Dal momento che già conosciamo i valori dei poli e che F(S) ha evidentemente un solo zero
nullo, per ricavare la forma standard è sufficiente calcolare il valore della costante moltiplicativa K (
par. 7.9):
32
K
F S
S
C R
C R LC C RC R
S
( ),
0
1 2
2 2
2
1 1 1
1 20 1 0 0 1
0 1
Abbiamo dunque infine:
F S
SC R
SC R S LC SC R
S
S S S( ) ,
1 2
2 2
2
1 1 11 10 1
110
1125
1500
A questo punto possiamo approssimare F(S) eliminando i termini non dipendenti dal polo dominante:
F SS
S( ) ,
0 1
110
d) Dalla espressione di F(S) approssimata col polo dominante possiamo ricavare subito la corrispondente
equazione differenziale ingresso-uscita approssimata:
1
100 1
dv
dtv
dv
dt
u
u
in,
8.6 Un esempio di modellizzazione: il motore a corrente continua
I dettagli sul funzionamento del motore a corrente continua sono esposti nella
scheda di approfondimento 8.1 In questo paragrafo vogliamo studiare il sistema come
esempio di modellizzazione, prescindendo, per quanto è possibile, dalla sua conoscenza
fisica. Basterà a tale scopo sapere che il motore a corrente continua è un sistema di tipo
elettromeccanico, nel quale sono presenti una parte circuitale di comando e una parte
meccanica ruotante. La variabile di ingresso è rappresentata da una tensione, detta
tensione di armatura del motore (va). La variabile di uscita è la velocità angolare di
rotazione dell'albero del motore. Il modello ingressi-uscite è mostrato in figura 8.14
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello ingressi-uscite del
motore a corrente continua
Una prima semplice ipotesi sul funzionamento del motore consiste nel supporre
un legame di proporzionalità diretta fra l'uscita e l'ingresso:
= K. va
dove K rappresenta un parametro del motore. In questo modo abbiamo applicato al
sistema una modellizzazione puramente proporzionale ( par. 8.2.1). Tale
modellizzazione presuppone che il motore abbia una banda passante illimitata e sia
Modellizzazione puramente
proporzionale
33
totalmente privo di inerzia. In un sistema reale, come sappiamo, ciò può essere vero solo
nel caso di segnali di ingresso costanti o a lenta variazione ( par. 8.3.2).
Se la tensione di armatura va varia rapidamente nel tempo, occorre utilizzare una
modellizzazione di ordine superiore, la quale tenga conto del comportamento inerziale
del sistema. Possiamo dunque descrivere il motore con una modellizzazione a banda
limitata di ordine uno ( par. 8.3.2). La funzione di trasferimento generalizzata è quindi
la seguente:
F SK
S( )
1
Nella precedente la costante di tempo rappresenta appunto i fenomeni inerziali
presenti nel motore. Si osservi anche che la costante di proporzionalità K che compare
in quest'ultima modellizzazione è la stessa (cioè assume lo stesso valore per un dato
motore a corrente continua) della K che compare nella modellizzazione puramente
proporzionale.
Poiché, come è stato detto, il motore a corrente continua è un sistema misto (di
tipo elettromeccanico) si può anche ipotizzare la presenza di due differenti fenomeni
inerziali, dovuti rispettivamente alla parte elettrica e alla parte meccanica del motore. In
questo caso occorre utilizzare due costanti di tempo30 1 e 2. Descrivendo pertanto il
sistema con una modellizzazione a banda limitata del secondo ordine ( par. 8.4.1),
abbiamo la seguente funzione di trasferimento generalizzata:
F S
K
S S( )
1 11 2
Delle tre modellizzazioni considerate, l'ultima è certamente la più completa e
precisa, anche se presenta maggiori difficoltà di calcolo e richiede la conoscenza di un
numero maggiore di parametri. La modellizzazione puramente proporzionale viceversa
è la più semplice e di conseguenza anche la meno precisa. Come si è visto è stato
possibile "costruire" le modellizzazioni del motore a corrente continua senza dover
studiare i fenomeni fisici che avvengono nel motore. Questo però non significa che sia
possibile scegliere una modellizzazione prescindendo dalla realtà concreta del sistema
studiato. Infatti la scelta della descrizione più adatta può essere effettuata soltanto
confrontando i risultati del calcolo dei modelli teorici con i risultati delle misure
sperimentali eseguite sul motore. La modellizzazione migliore è in generale la più
semplice, fra tutte quelle che, entro margini di errore ritenuti accettabili, forniscono
valori in accordo con i dati sperimentali.
30 Si osservi che i valori di 1 e di 2 non coincidono necessariamente con le costanti di tempo
elettrica e e meccanica m di cui si parla nella scheda di approfondimento 8.1 Infatti queste ultime sono le costanti di tempo del modello di stato e, come visto nel paragrafo 8.4.1, esse possono differire dalle costanti di tempo della funzione di trasferimento in forma standard.
Modellizzazione proporzionale a
banda limitata (di ordine uno)
Modellizzazione proporzionale a
banda limitata (di ordine due)
Confronto fra le modellizzazioni
34
SCHEDA DI APPROFONDIMENTO :
MOTORE A CORRENTE CONTINUA
Il motore a corrente continua è molto usato nell'ambito del controllo automatico, grazie alla
relativa facilità con cui è possibile regolare la sua velocità di rotazione. Prima di affrontare il problema
della modellizzazione del sistema, è necessario richiamare alcune nozioni fondamentali sul moto di corpi
in rotazione. La Meccanica, la branca della Fisica che studia il movimento dei corpi, si suddivide in
Meccanica Traslazionale, la quale si occupa del moto traslatorio ovvero dello spostamento di un corpo, e
in Meccanica Rotazionale, la quale si occupa del moto rotatorio, cioè della rotazione di un corpo intorno
ad un asse fisso (ad esempio una ruota). Della Meccanica Traslazionale ci siamo interessati ampiamente
fin dal primo capitolo del primo volume, trattando ad esempio di oggetti in caduta o di sistemi costituiti da
una molla e da un corpo attaccato. Lo studio della Meccanica Rotazionale invece non è stato finora
affrontato, ma è possibile accennarne ora rapidamente ed in modo semplice, dal momento che tutte le
grandezze e le leggi fisiche usate nella Meccanica Traslazionale hanno un corrispondente nella Meccanica
Rotazionale. La tabella 8.1 ha lo scopo di evidenziare le principali corrispondenze. Per ogni grandezza
viene indicato il nome, il simbolo normalmente usato, le unità di misura e le eventuali relazioni esistenti
con le altre grandezze del moto.
MECCANICA TRASLAZIONALE MECCANICA ROTAZIONALE
spostamento x [m] spostamento angolare [rad]
velocità v [m/s]
vdx
dt
velocità angolare [rad/s]
d
dt
accelerazione a [m/s2]
adv
dt
d x
dt
2
2
accelerazione angolare [rad/s2]
d
dt
d
dt
2
2
massa m [kg] momento di inerzia J [kg m]
forza F [N] coppia C [N m]
seconda legge di Newton Ftot = m.a legge del moto rotatorio Ctot = J.
energia cinetica Ec = ½ m.v2 energia cinetica Ec = ½ I.2
forza di attrito viscoso Fa = - Ka.v coppia di attrito viscoso Ca = -Ka
.
Tabella 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Confronto fra Meccanica Traslazionale e
Meccanica Rotazionale
Lo spostamento angolare rappresenta l'angolo di rotazione del corpo intorno ad un asse (per
esempio di una ruota intorno all'asse di rotazione), rispetto ad una posizione di riferimento. Si noti che
spostamento, velocità ed accelerazione angolari sono tra loro legate dalle stesse relazioni esistenti fra
spostamento, velocità ed accelerazione lineari. Osserviamo poi che il concetto di "forza" nella meccanica
traslazionale, corrisponde al concetto di "coppia" nella meccanica rotazionale. La coppia (detta anche
momento meccanico) è data dal prodotto di una forza31 per il suo braccio di applicazione, dove il braccio
della forza è la distanza fra il punto di applicazione della forza e l'asse di rotazione. Questa è la ragione
per la quale le unità di misura della coppia sono "newton metro". La figura 8.15 illustra il fatto che la
stessa forza F, applicata in due diversi punti di una ruota, esercita una diversa coppia sulla ruota stessa, a
causa del diverso braccio di applicazione. Per questa ragione, per fare girare una ruota, risulta più
conveniente applicare una forza in corrispondenza del bordo esterno, piuttosto che in prossimità dell'asse
di rotazione.
31 In realtà la coppia è una grandezza vettoriale (come la forza) e pertanto una trattazione completa e rigorosa richiederebbe la definizione anche del verso e della direzione della coppia.
35
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. -
La forza con braccio di applicazione più lungo
corrisponde ad una coppia maggiore
Una considerazione analoga può essere effettuata a proposito del momento di inerzia J, il quale
risulta dato dal prodotto di una massa per una lunghezza (come appare evidente dalle unità di misura "kg
m"). Come la massa m rappresenta la proprietà per cui un corpo si oppone alle variazioni del proprio
stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, allo stesso modo il momento di inerzia J rappresenta la
proprietà per cui un corpo in rotazione si oppone alle variazioni della propria velocità angolare. Così ad
esempio possiamo osservare che occorre un certo "sforzo" per mettere in rotazione una ruota. Tale sforzo
dipende dalla massa della ruota (ad esempio è più facile fare ruotare una ruota "leggera" piuttosto che una
ruota "pesante"), ma anche da come tale massa è distribuita intorno all'asse di rotazione. Infatti il
momento di inerzia dipende non solo dalla massa del corpo, ma anche dalla sua distribuzione, ovvero,
intuitivamente, da quanto è "lontana" la massa dall'asse di rotazione. Per esempio, a parità di massa, una
ruota piena (in cui la massa è concentrata più vicino all'asse) ha un momento di inerzia inferiore ad una
ruota con raggi (in cui la maggior parte della massa si trova lontano dall'asse di rotazione, fig. 8.16).
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - A parità di massa,
una ruota "piena" ha un momento di inerzia inferiore rispetto ad una ruota
con i raggi
Possiamo a questo punto affrontare lo studio di un motore a corrente continua. Come in tutti i
motori elettrici, abbiamo una parte fissa, detta statore, ed una parte in rotazione, detta rotore. Nel motore
a corrente continua lo statore è costituito da un magnete permanente32 (in pratica una grossa calamita),
all'interno del quale, tra i due poli magnetici, è posto il rotore. Sul rotore cilindrico sono avvolte un certo
numero di spire conduttrici33, connesse al circuito esterno di alimentazione del motore per mezzo di un
contatto strisciante, costituito dal collettore (che ruota insieme al rotore) e da alcune spazzole fisse. Per
semplicità nella figura 8.17 è stata rappresentata una sola spira ed inoltre non è stato disegnato il cilindro
del rotore, attorno al quale la spira è avvolta.
32 Per semplicità di trattazione verrà qui affrontato lo studio solo del motore a corrente continua a magnete permanente. Vi sono infatti altri motori a corrente continua nei quali il campo magnetico dello statore viene generato per mezzo del passaggio di una corrente all'interno di conduttori. 33 Si dice spira un circuito filiforme circolare concatenato ad un campo magnetico esterno.
36
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello figurativo del motore a corrente
continua
La spira è percorsa da una corrente ia (detta corrente di armatura), prodotta da un circuito
esterno di cui parleremo più avanti. Si osservi che il collettore risulta suddiviso in due semicilindri, isolati
elettricamente l'uno dall'altro, ciascuno dei quali collegato con uno dei capi della spira. A causa della
rotazione del rotore sul quale la spira è avvolta, ad ogni mezzo giro i contatti fra spazzole (fisse) e
collettore (mobile) si invertono, in modo tale che la corrente nella spira cambia di verso34. Sarebbe
possibile dimostrare che una spira percorsa da corrente e posta in un campo magnetico esterno subisce
una coppia, di intensità proporzionale alla corrente che percorre la spira. Dunque nel nostro caso:
Cm = Km.ia
dove Cm è detta coppia motrice prodotta dal motore, Km è un parametro del sistema (detto costante di
macchina del motore35) e ia è la corrente di armatura. A causa di tale coppia la spira tende naturalmente
ad allinearsi col campo magnetico esterno ed in tale modo provoca la rotazione del rotore sul quale è
avvolta. Tuttavia tale allineamento perfetto non è possibile poiché, non appena esso si verifica, i due
contatti del collettore si scambiano di posizione e la corrente nella spira si inverte: in questo modo la spira
è nuovamente costretta a ruotare, senza potersi fermare mai.
La coppia motrice Cm rappresenta in pratica la "forza" prodotta dal motore. Tale coppia viene
utilizzata per mettere in rotazione il motore e l'eventuale carico36 ad esso collegato. Se Jtot rappresenta il
momento di inerzia totale del rotore più quello del carico, dalla legge generale del moto rotatorio
34 Si tenga presente che, in un motore a corrente continua reale, intorno al rotore sono avvolte molte spire ed il collettore risulta pertanto suddiviso in tanti "spicchi", ad ogni coppia dei quali è collegata una spira. In questo modo, durante la rotazione del rotore, il contatto delle spazzole commuta fra le diverse spire. 35 Se L è la lunghezza di un lato della spira, D è il diametro del rotore su cui è avvolta la spira, B è il valore del campo magnetico esterno (detto induzione magnetica) e n è il numero delle spire avvolte sul rotore, la costante di macchina è data da
Kn B L D
m
4
36 Il carico o utilizzatore rappresenta l'apparato che viene messo in rotazione dal motore. Ad esempio, se il motore viene utilizzato per muovere le pale di un ventilatore, le pale del ventilatore costituiscono il carico.
37
Ctot = J.
nel caso del motore a corrente continua diventa
Cm = Jtot.
dove è l'accelerazione angolare del motore. L'equazione precedente non tiene tuttavia conto della
presenza dell'attrito viscoso con l'aria, il quale ostacola la rotazione. La coppia di attrito Ca si oppone
naturalmente alla coppia motrice Cm e dunque l'equazione del moto con attrito viscoso diventa
Cm - Ca = Jtot. Cm - Ka
. = Jtot.
dove Ka è il coefficiente di attrito viscoso rotazionale del sistema.
Poiché l'accelerazione angolare è legata alla velocità angolare da una semplice derivazione,
la legge del moto può essere scritta in funzione di nel seguente modo:
C K Jd
dtm a tot
Si tratta evidentemente di una equazione differenziale del primo ordine nell'incognita . Riordinandola e
sostituendo al posto di Cm la sua espressione in funzione della corrente di armatura ia, abbiamo:
Jd
dtK K itot a m a
Nella equazione precedente la corrente di armatura ia rappresenta l'ingresso. Modificando il
valore di ia, cambia anche la velocità di rotazione del motore. Studiamo adesso il circuito esterno che
produce la corrente di armatura. Tale circuito è costituito banalmente da un generatore di tensione di
armatura va collegato con le spazzole, le quali, a loro volta, sono collegate, attraverso il collettore, alla
spira. Un semplice modello figurativo del circuito di alimentazione è quello mostrato in figura 8.18
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello figurativo del circuito di
alimentazione del motore
Quello in figura non costituisce un vero modello circuitale, dal momento che non sono
rappresentate le caratteristiche elettriche della spira. A questo proposito possiamo osservare che i
conduttori con cui è realizzata la spira sono certamente dotati di una resistività elettrica non nulla; inoltre
anche il contatto strisciante fra spazzole e collettore è sede di fenomeni resistivi. Possiamo dunque
rappresentare tutto ciò per mezzo di una resistenza equivalente di armatura Ra (mediante Ra è anche
possibile tenere conto della resistenza interna del generatore va). Inoltre la spira è un avvolgimento
percorso da corrente e come tale è sede di un effetto induttivo, il quale può essere rappresentato per
mezzo di un'induttanza equivalente di armatura La. Infine ai capi di un circuito conduttore in
movimento entro un campo magnetico esterno si localizza una caduta di potenziale, detta forza
elettromotrice. Si osservi che, nonostante il nome, la forza elettromotrice non è altro che una tensione v,
indotta ai capi del circuito in movimento. Sarebbe possibile dimostrare che, nel caso della spira in
rotazione, l'intensità di tale forza elettromotrice è direttamente proporzionale alla velocità di rotazione
38
della spira e che la costante di proporzionalità è la stessa costante di macchina Km incontrata
precedentemente a proposito della coppia motrice:
v = Km.
La tensione v, che, come detto, si localizza ai capi della spira a causa della rotazione nel campo magnetico
prodotto dallo statore, ha sempre un verso opposto a quello della tensione di armatura applicata
dall'esterno va. Possiamo quindi disegnare il modello circuitale equivalente del circuito di alimentazione
del motore ( fig. 8.19).
Figura 8.Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. - Modello circuitale del circuito di
alimentazione del motore
Analizziamo il circuito. Applicando la legge di Kirchhoff alle tensioni della maglia otteniamo
subito
va = vR + vL + v
da cui, sostituendo alle singole tensioni il modello matematico del componente corrispondente, abbiamo
v R i Ldi
dtKa a a a
am
Si tratta evidentemente di una equazione differenziale del primo ordine nell'incognita ia. Riordinandola
abbiamo:
Ldi
dtR i v Ka
aa a a m
L'ingresso (termine noto) della precedente equazione è costituito dalla tensione di armatura va applicata
dall'esterno e da un termine che dipende dalla velocità angolare di rotazione del motore. Per calcolare
è necessario ricorrere alla prima equazione differenziale, quella ricavata analizzando il moto rotatorio
della spira.
Possiamo dunque facilmente concludere che il sistema risulta descritto da un modello matematico
composto dalle seguenti due equazioni differenziali del primo ordine:
Jd
dtK K i
Ldi
dtR i v K
tot a m a
aa
a a a m
Si tratta dunque di un modello del secondo ordine, nelle due variabili di stato e ia. Ciò è perfettamente
ragionevole, dal momento che rappresenta il livello dell'energia cinetica rotazionale accumulata dal
rotore, mentre ia rappresenta il livello dell'energia elettromagnetica accumulata nell'induttanza equivalente
La.
39
Sostituendo al posto delle derivate i rapporti incrementali, il precedente modello può essere
facilmente discretizzato nel seguente modo:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
t t tt K
Ki t t
i t t i tt v K t
Ri t
JK
m
aa
a a LR
a m
aa
tot
a
a
a
Le equazioni precedenti consentono di mettere in evidenza le due costanti di tempo del sistema: 1=Jtot/Ka
, detta costante di tempo meccanica (in quanto dipende dai parametri meccanici del motore), e 2=La/Ra ,
detta costante di tempo elettrica (in quanto dipende dai parametri elettrici del circuito di alimentazione del
motore).
Combinando insieme le due equazioni di stato differenziali è possibile ricavare un'unica
relazione differenziale ingresso-uscita per il calcolo della velocità di rotazione del motore. Ricavando
infatti ia dalla prima equazione di stato differenziale
Jd
dtK K i i
J
K
d
dt
K
Ktot a m a a
tot
m
a
m
e sostituendola nella prima, abbiamo:
Ldi
dtR i v K
L
dJ
K
d
dt
K
K
dtR
J
K
d
dt
K
Kv K
L J
K
d
dt
L K
K
d
dt
R J
K
d
dt
R K
Kv K
aa
a a a m
a
tot
m
a
ma
tot
m
a
ma m
a tot
m
a a
m
a tot
m
a a
ma m
2
2
da cui, riordinando l'equazione e raggruppando insieme i termini con uguale ordine di derivazione,
abbiamo:
L J
K
d
dt
L K R J
K
d
dt
R K
KK va tot
m
a a a tot
m
a a
mm a
2
2
L'equazione differenziale del secondo ordine così ottenuta rappresenta la relazione ingresso-uscita
differenziale del motore in corrente continua con uscita ed ingresso va.
Dalla precedente equazione differenziale possiamo infine ricavarci, senza particolari difficoltà, la
funzione di trasferimento generalizzata fra l'uscita e l'ingresso va:
F SS
v S L J
KS
L K R J
KS
R K
KK
a a tot
m
a a a tot
m
a a
mm
( )( )
( )
1
2
Scrivendo F(S) in forma standard otteniamo
F SS
v S
K
R K K L J
R K KS
L K R J
R K KSa
m
a a m a tot
a a m
a a a tot
a a m
( )( )
( )
2
2
2
2
1
1
40
La funzione di trasferimento presenta due poli, come era ragionevole attendersi, essendo il sistema del
secondo ordine. Tali poli sono dati da
p
L K R J
R K K
L K R J
R K K
L J
R K K
L J
R K K
a a a tot
a a m
a a a tot
a a m
a tot
a a m
a tot
a a m
1 2
2 2
2
2
2
4
2,
Si osservi che i poli non coincidono semplicemente con l'opposto del reciproco delle due costanti
di tempo e e m delle equazioni di stato, ma hanno un'espresione più complessa ( par. 8.4.1). Se il
discriminante dell'equazione di secondo grado è positivo, i due poli sono reali e negativi; se invece <0
i due poli sono complessi e coniugati ed il sistema presenta un comportamento di tipo oscillatorio
smorzato. Se assume un valore positivo ed elevato, i due poli reali hanno valori notevolmente diversi. In
questo caso è talvolta possibile applicare al sistema l'approssimazione del polo dominante.
41
PAROLE CHIAVE
Derivativo, sistema: Sistema la cui uscita, entro una determinata banda di frequenze (banda di
derivazione), è proporzionale alla derivata del segnale di ingresso. Nella banda di derivazione il grafico
bilogaritmico del modulo della risposta in frequenza ha una pendenza pari a +20 dB/dec
Integrativo, sistema: Sistema la cui uscita, entro una determinata banda di frequenze (banda di
integrazione), è proporzionale all'integrale del segnale di ingresso. Nella banda di integrazione il grafico
bilogaritmico del modulo della risposta in frequenza ha una pendenza pari a -20 dB/dec
Inerzia: Caratteristica di un sistema per cui l'uscita non riesce a "seguire" ingressi che variano troppo
rapidamente nel tempo.
Modellizzazione: Classe di modelli matematici, omogenei fra loro per quanto concerne la descrizione
fisica del sistema, ciascuno dei quali può essere ricavato matematicamente dagli altri.
Ordine di un sistema: Numero di variabili di stato del sistema. Coincide col numero di poli della
funzione di trasferimento generalizzata e con il grado massimo della equazione differenziale ingresso-
uscita.
Polo dominante, approssimazione del: Approssimazione mediante la quale è possibile trascurare il
contributo in una funzione di trasferimento dei poli molto maggiori del polo di valore inferiore, detto
"polo dominante".
Proporzionale, sistema: Sistema la cui uscita, entro una determinata banda di frequenze (banda di
proporzionalità), è direttamente proporzionale al segnale di ingresso. Nella banda di proporzionalità il
grafico del modulo della risposta in frequenza ha un andamento costante.
42
MAPPA DEGLI ARGOMENTI
MODELLIZZAZIONI
Equazioni
di stato
Equazione
ingresso-uscita
Funzione di
trasferimento
Ordine
Di ordine
zero
Di ordine
unoDi ordine
due
Polo
dominante
Puramente
proporzionale
Inerzia
Puramente
derivativa
Proporzionale
con banda
limitata
Proporzionale
con banda
limitata
Puramente
integrativa
43
DOMANDE ED ESERCIZI
1) Si abbia un trasduttore di temperatura che fornisce in uscita una tensione variabile fra 0 e 10 V per
temperature compre fra 0 e 60 gradi. Si supponga inoltre che il trasduttore abbia una costante di tempo
dell'ordine di un secondo. Determinare una modellizzazione adatta a descrivere il sistema (funzione di
trasferimento ed equazione differenziale ingresso-uscita).
2) Si abbia un motore a corrente continua in cui la velocità angolare di rotazione può essere variata fra 0
e 100 rad/sec applicando una tensione di armatura compresa fra 0 e 5V. Si supponga inoltre che il sistema
presenti due costanti di tempo = 1ms e = 0,2 s. Determinare una modellizzazione adatta a descrivere
il sistema (funzione di trasferimento ed equazione differenziale ingresso-uscita). Verificare se esiste un
polo dominante e, in tale caso, approssimare il comportamento del sistema con una modellizzazione di
ordine uno.
3) Per i sistemi degli esercizi 1 e 2, determinare due modelli matematici iterativi adatti alla simulazione su
calcolatore.
4) Per ciascuna delle seguenti funzioni di trasferimento generalizzate, determinare se è possibile applicare
l'approssimazione del polo dominante. In tale caso trovare la funzione di trasferimento approssimata e
l'equazione ingresso-uscita approssimata.
FS S
F SS S
F SS S
S S1 2 2 2 3
2
4 2
100
100 1 100 1000 2
100 10
10 10 1(S)
( )=
3 S +1 ( )=
5) Per ciascuno dei seguenti circuiti determinare la funzione di trasferimento e l'equazione differenziale
ingresso-uscita. Con i valori riportati nel testo verificare se si può applicare l'approssimazione del polo
dominante. In tale caso trovare la funzione di trasferimento approssimata.